2020年高考北京版高考数学 专题十二 数系的扩充与复数的引入
北京2020版高考数学一轮复习第十二章复数、算法初步、推理与证明第一节数系的扩充与复数的引入课件理
单化.
2-1 (2017北京,2,5分)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象
限,则实数a的取值范围是 ( B )
A.(-∞,1) B.(-∞,-1) C.(1,+∞) D.(-1,+∞)
答案 B ∵复数(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i在复平面内对应的点在第二象
第一节 数系的扩充与复数的引入
教材研读
总纲目录
1.复数的有关概念 2.复数的几何意义
3.复数的运算
考点突破
考点一 复数的有关概念 考点二 复数的几何意义 考点三 复数的代数运算
教材研读
1.复数的有关概念
2.复数的几何意义
复数z=a+bi(a,b∈R) 复平面内的点Z(a,b)
向量
.O Z
3.复数的运算
限,∴
a 1
∴1 a<0 ,-1.故选B.
a 0,
B
2-2 复数z= i (i为虚数单位)在复平面内对应的点位于 (
(2)(1+i)(a+i)=(a-1)+(a+1)i,∵a∈R,该复数在复平面内对应的点位于实
轴上,∴a+1=0,∴a=-1.
方法技巧 (1)复数z、复平面上的点Z及向量 O Z间的相互联系:z=a+bi(a,b∈R)⇔Z
(a,b)⇔O Z .
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、
1-1 已知复数 a 为i 纯虚数,则实数a= ( D)
2i
A.-2 B.- 1
高考数学 第四章 数系的扩充与复数的引入本章整合课件 北师大版选修12
专题一
专题二
专题三
【应用 3】复数((12-+23ii))45等于
.
提示:直接运算比较麻烦,注意到分子提取 24 后变为(1+i)4,分母提取-25
变为
-
1 2
+
3 2
i
5
,可以利用(1+i)2=2i,
-
1 2
+
3 2
i
3
=1 来简化求解.
解析:原式= 16(1+i)4
-25 -12+ 23i
5
=-12 ×
复数的代数形式是 z=x+yi(x,y∈R),所以任意一个复数都可由实数对 (x,y)唯一确定,利用复数的代数形式,在处理复数相等、复数的模、复数对应 点的轨迹问题时,都可以化归为实数 x,y 应满足的条件的问题,即复数问题 实数化,这一思想方法渗透于本章的各个知识点.
专题一
专题二
专题三
【应用 5】设 z∈C,满足 z+1������∈R,z-14是纯虚数,求 z. 提示:设 z=x+yi(x,y∈R),根据条件转化为方程组求解.
解:设 z=x+yi(x,y∈R),
则 ������
������-1
=
������+������i (������-1)+������i
=
(������+������i)[(������-1)-������i] (������-1)2+������2
=(���(���2������+-1���)���22-+���������)���-2������i.
∵y≠0,∴
������2 + ������2 = 5,解得 ������ + ������ = -3,
2020高考理数(北师大版)总复习 第4章 第4节 数系的扩充与复数的引入
效 果
课
(2)因为i2 019＝i504×4＋3＝i3＝－i，所以－i＝kii－－k1，
堂
题 型
可得k＋i＝i－k，
全
突 破
∴k＝0，故选C.]
课 后 限 时 集 训
返 首 页
复数的几何意义
课
【例2】
(1)(2018·北京高考)在复平面内复数
1 1－i
的共轭复数对应的点位
真
前
题
知 识
于(
)
自 主
全
验
通 关
A．第一象限
B．第二象限
效 果
C．第三象限
D．第四象限
课 堂 题 型 全 突
(2)在复平面内与复数z＝
2i 1＋i
所对应的点关于实轴对称的点为A，则A对应
的复数为( )
课 后 限 时 集 训
破
A．1＋i
B．1－i
返
C．－1－i
D．－1＋i
首 页
课
真
前
题
知
自
识
(3)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范 主
验 效 果
所以点A的坐标为(1，－1)，其对应的复数为1－i.
课 堂 题 型 全 突 破
(3)因为复数(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i在复平面内对应的点在第二象限， 所以a1＋ －1a＜ ＞00， ， 解得a＜－1.]
课 后 限 时 集 训
返 首 页
课
[规律方法] 对复数几何意义的理解及应用
(3)z＝1＋i32i＋i＝1－ ＋i2i＋i＝－i5－2＋i＝－25＋45i，故选C.]
突
课 后 限 时 集 训
高中数学第四章数系的扩充与复数的引入1数系的扩充与复数的引入教案(含解析)北师大版选修12
高中数学第四章数系的扩充与复数的引入1数系的扩充与复数的引入教案（含解析）北师大版选修121数系的扩充与复数的引入数的概念的扩展已知方程：(1)x 2－22x ＋2＝0，(2)x 2＋1＝0.问题1：方程(1)在有理数数集中有解吗？在实数范围内呢？ 提示：在有理数集中无解；在实数范围内有解，其解为 2. 问题2：方程(2)在实数集中有解吗？ 提示：没有．问题3：若有一个新数i 满足i 2＝－1，试想方程x 2＋1＝0有解吗？ 提示：有解x ＝i ，但不是实数．1．复数的概念(1)虚数单位：把平方等于－1的数用符号i 表示，规定i 2＝－1.我们把i 叫作虚数单位．(2)复数：把形如a ＋b i 的数叫作复数(a ，b 是实数，i 是虚数单位)．复数通常表示为z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)．(3)复数的实部与虚部：对于复数z ＝a ＋b i ，a 与b 分别叫作实部与虚部． (4)复数的分类：复数a ＋b i(a ，b ∈R)⎩⎨⎧实数b ＝0虚数b ≠0⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数a ＝0非纯虚数a ≠02．复数集复数的全体组成的集合叫作复数集，记作C.显然R C.复数的相等问题1：若a ，b ，c ，d ∈R 且a ＝c ，b ＝d ，则复数a ＋b i 和c ＋d i 相等吗？ 提示：相等．问题2：若a ＋b i ＝c ＋d i ，那么实数a ，b ，c ，d 有何关系？提示：a ＝c ，b ＝d .复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .复平面及复数的几何意义问题1：实数与数轴上的点一一对应，复数可以用平面内的点表示吗？ 提示：可以．问题2：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)与有序实数对(a ，b )有何对应关系？与平面直角坐标系中的点Z (a ，b )有何对应关系？提示：一一对应，一一对应．问题3：在平面直角坐标系中点Z (a ，b )与向量OZ ―→＝(a ，b )有何对应关系？ 提示：一一对应．问题4：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)与OZ ―→有何对应关系？ 提示：一一对应．1．复平面当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x 轴为实轴，y 轴为虚轴．2．复数的几何意义(1)任一个复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)与复平面内的点Z (a ，b )是一一对应的． (2)一个复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)与复平面内的向量OZ ―→＝(a ，b )是一一对应的． 3．复数的模设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)在复平面内对应的点是Z (a ，b )，点Z 到原点的距离|OZ |叫作复数z 的模或绝对值，记作|z |，显然，|z |＝a 2＋b 2.1．注意复数的代数形式z ＝a ＋b i 中a ，b ∈R 这一条件，否则a ，b 就不一定是复数的实部与虚部．2．表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数0.3．只有两个复数都是实数时才能比较大小，否则没有大小关系．复数的基本概念[例1] 复数z ＝22(1)z 为实数；(2)z 为虚数；(3)z 为纯虚数．[思路点拨] 分清复数的分类，根据实部与虚部的取值情况进行判断． [精解详析] (1)当m 2＋m －2＝0，即m ＝－2或m ＝1时，z 为实数． (2)当m 2＋m －2≠0，即m ≠－2且m ≠1时，z 为虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2≠0，m 2－3m ＋2＝0，即m ＝2时，z 为纯虚数．[一点通] 复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)时应先转化形式．(2)注意分清复数分类中的条件设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则①z 为实数⇔b ＝0，②z 为虚数⇔b ≠0，③z 为纯虚数⇔a ＝0，b ≠0，④z ＝0⇔a ＝0，且b ＝0.1．若(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．4 C ．－1或4D ．不存在解析：选B 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －4＝0，m 2－5m －6≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1或4，m ≠－1且m ≠6，∴m ＝4.2．下列命题中：①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；②若复数x ＋y i(x ，y ∈R)是实数，则x ＝0，y ＝0； ③若a ，b ∈R ，且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；④若两个复数实部的差和虚部的差都等于0，则这两个复数相等． 其中，正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B 对于①，若a ＝－1时，(a ＋1)i 为实数；对于②，若x ＋y i(x ，y ∈R)是实数，则y ＝0；对于③，因为a ＋i 和b ＋i 是虚数，所以不能比较大小；由复数相等的条件可知④正确.复数的相等[例2] (1)已知(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，x ，y ∈R ，求x 与y ；(2)设z 1＝1＋sin θ－icos θ，z 2＝11＋sin θ＋(cos θ－2)i.若z 1＝z 2，求θ.[思路点拨] 先找出两个复数的实部和虚部，然后再利用两个复数相等的充要条件列方程组求解．[精解详析] (1)根据复数相等的充要条件，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝－3－y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝4.(2)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋sin θ＝11＋sin θ，cos θ＝2－cos θ，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝0，cos θ＝1.则θ＝2k π(k ∈Z)．[一点通] 复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．3．若a i ＋2＝b －i(a ，b ∈R)，i 为虚数单位，则a 2＋b 2＝( ) A ．0 B ．2 C.52D ．5解析：选D 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2＝b ，a ＝－1，则a 2＋b 2＝5.4．满足方程x 2－2x －3＋(9y 2－6y ＋1)i ＝0的实数对(x ，y )表示的点的个数是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3＝0，9y 2－6y ＋1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3或x ＝－1，y ＝13.∴实数对(x ，y )表示的点有⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，13，共有2个．答案：2复数的几何意义[例3] 实数a a 2－3a ＋2)i 的点 (1)位于第二象限； (2)位于直线y ＝x 上？[思路点拨] 位于第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0；位于直线y ＝x 上的点的横坐标等于纵坐标．[精解详析] 根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋(a 2－3a ＋2)i 的点就是点Z (a 2＋a －2，a 2－3a ＋2)．(1)由点Z 位于第二象限得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2<0，a 2－3a ＋2>0，解得－2<a <1.故满足条件的实数a 的取值范围为(－2,1)．(2)由点Z 位于直线y ＝x 上得a 2＋a －2＝a 2－3a ＋2，解得a ＝1. 故满足条件的实数a 的值为1.[一点通] 按照复数集和复平面内所有的点的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所对应的点，就可根据点的位置确定复数的实部、虚部满足的条件．5．实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 实部为－2，虚部为1的复数为－2＋i ，所对应的点位于复平面的第二象限，选B.6．设复数z ＝a ＋b i 对应的点在虚轴右侧，则( ) A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＜0 C ．b ＞0，a ∈RD ．a ＞0，b ∈R解析：选D 复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可为任意实数． 7．在复平面内，求复数z ，使复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i(m ∈R)的对应点(1)在虚轴上； (2)在实轴负半轴上．解：(1)若复数z 的对应点在虚轴上， 则m 2－m －2＝0，∴m ＝－1或m ＝2， 此时，z ＝6i 或z ＝0.(2)若复数z 的对应点在实轴负半轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1，∴z ＝－2.复数的模[例4] (1)若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |＝5，则复数z ＝( ) A ．1＋2i B ．－1－2i C ．±1±2iD ．1＋2i 或－1－2i(2)设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，且|z 1|＜|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(－1,1) C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)[精解详析] (1)依题意可设复数z ＝a ＋2a i(a ∈R)， 由|z |＝5得 a 2＋4a 2＝5，解得a ＝±1，故z ＝1＋2i 或z ＝－1－2i. (2)因为|z 1|＝ a 2＋4，|z 2|＝4＋1＝5， 所以a 2＋4＜5，即a 2＋4＜5，所以a 2＜1， 即－1＜a ＜1. [答案] (1)D (2)B [一点通] 复数模的计算(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解．8．设复数z 1＝x ＋2i(x ∈R)，z 2＝2－y i(y ∈R)，若z 1＝z 2，则|z 1|＝________. 解析：∵z 1＝z 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，2＝－y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.∴z 1＝2＋2i ，∴|z 1|＝2 2. 答案：2 29．求复数z 1＝6＋8i 及z 2＝－12－2i 的模，并比较它们的模的大小．解：∵z 1＝6＋8i ，z 2＝－12－2i ，∴|z 1|＝62＋82＝10， |z 2|＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋－22＝32. ∵10>32，∴|z 1|>|z 2|.1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚数b i(b ≠0，b ∈R)不要只记形式，要注意b ≠0.2．复数与复平面内的点一一对应，复数与向量一一对应，复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)、复平面内的点Z (a ，b )和平面向量OZ ―→之间的关系可用图表示．1．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3iB ．3＋iC ．－2＋2i D.2＋2i解析：选A 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，故z ＝3－3i. 2．若复数(a ＋1)＋(a 2－1)i(a ∈R)是实数，则a 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．±1D ．不存在解析：选C (a ＋1)＋(a 2－1)i(a ∈R)为实数的充要条件是a 2－1＝0，∴a ＝±1. 3．复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C 复数z ＝－1－2i 在复平面内对应的点为(－1，－2)，位于第三象限．。
2020新课标高考艺术生数学复习：数系的扩充与复数的引入含解析
1．(20xx·全国Ⅲ卷)(1＋i)(2－i)＝( )
A．－3－iB．－3＋i
C．3－iD．3＋i
解析：D[(1＋i)(2－i)＝2＋i－i2＝3＋i、选D.]
2．(20xx·××市模拟)已知复数z＝a＋i(a∈R)、若z＋ ＝4、则复数z的共轭复数 ＝( )
3．复数z＝ (i为虚数单位)、z在复平面内所对应的点在( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
解析：A[因为z＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i、所以z在复平面内所对应的点 在第一象限、故选A.]
4．已知复数z1＝－1＋2i、z2＝1－i、z3＝3－4i、它们在复平面上对应的点分别为A、B、C、若 ＝λ ＋μ 、(λ、μ∈R)、则λ＋μ的值是________．
3．(20xx·全国Ⅲ卷)若z＝1＋2i、则 ＝( )
A．1B．－1C．iD．－i
解析：C[ ＝ ＝i.]
4．已知复数z＝ 、 是z的共轭复数、则z· ＝______.
解析：∵z＝ ＝
＝ ＝
＝ ＝－ ＋ i、
故 ＝－ － i、
∴z· ＝ ＝ ＋ ＝ .
答案：
复数代数形式运算问题的解题策略
(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算、可将含有虚数单位i的看作一类同类项、不含i的看作另一类同类项、分别合并即可．
1.复数的有关概念、达成数学抽象和数学运算素养．
2.复数的几何意义、提升直观想象和数学运算素养．
3.复数的四则运算、增强数学运算素养
复数的有关概念及代数形式的运算是高考命题的热点之一、重点考查对复数概念的辨析、理解能力和复数四则运算的计算、求解能力、题型一般为选择题、难度较小、属于低档题
2024年新高考版数学专题1_专题十二 数系的扩充与复数的引入(分层集训)
答案 B
B.5i
C.-5
D.5
)
9.(2020课标Ⅱ文,2,5分)(1-i)4= (
A.-4
答案 A
B.4
C.-4i
D.4i
)
3
1
10.(多选)(2022湖南师大附中二模,9)设复数z=- + i,则下列命题中正确
2 2
的是 (
)
A.|z|2=z·z
B.z2= z
C.z的虚部是 3 i
)
6.(2022全国甲理,1,5分)若z=-1+ 3 i,则
A.-1+ 3 i
1
3
C.- +
3
i
3
答案 C
B.-1- 3 i
1 3
i
3 3
D.- -
z
=
z z 1
(
)
2i
=
1 2i
7.(2020新高考Ⅰ,2,5分)
A.1
B.-1
答案 D
C.i
D.-i
(
)
8.(2020新高考Ⅱ,2,5分)(1+2i)(2+i)= (
2
D.若zn∈R,则正整数n的最小值是3
答案 ABD
11.(2019浙江,11,4分)复数z=
答案
2
2
1
(i为虚数单位),则|z|=
1 i
.
综合篇
考法 复数代数形式的四则运算的解题方法
1.(2023届山西长治质量检测,1)设复数z满足(1+i)z=i,则|z|= (
A.1
B.
答案 B
2
2
C.
2
A.-
高中数学(北师大版,选修12)：第四章+数系的扩充与复数的引入(课件+同步练习+章末归纳总结+综合检
第四章 §1 第2课时一、选择题1．复数z 与它的模相等的充要条件是( )A ．z 为纯虚数B ．z 是实数C ．z 是正实数D ．z 是非负实数[答案] D[解析] ∵z ＝|z |，∴z 为实数且z ≥0.2．已知复数z ＝(m －3)＋(m －1)i 的模等于2，则实数m 的值为( )A ．1或3B ．1C ．3D ．2 [答案] A[解析] 依题意可得(m －3)2＋(m －1)2＝2，解得m ＝1或3，故选A. 3．复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( )A ．a ≠2或a ≠1B ．a ≠2或a ≠－1C ．a ＝2或a ＝0D ．a ＝0[答案] C[解析] 由题意知a 2－2a ＝0，解得a ＝0或2.4．已知平行四边形OABC ，O 、A 、C 三点对应的复数分别为0、1＋2i 、3－2i ，则向量AB →的模|AB →|等于( ) A. 5B ．2 5C ．4D ．13 [答案] D[解析] 由于OABC 是平行四边形，故AB →＝OC →，因此|AB →|＝|OC →|＝|3－2i|＝13，故选D.5．已知复数z ＝(x －1)＋(2x －1)i 的模小于10，则实数x 的取值范围是( )A ．－45<x <2 B ．x <2 C ．x >－45D ．x <－45或x >2 [答案] A[解析] 由条件知，(x －1)2＋(2x －1)2<10，∴5x 2－6x －8<0，∴－45<x <2. 6．已知复数z 1＝2－a i(a ∈R )对应的点在直线x －3y ＋4＝0上，则复数z 2＝a ＋2i 对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案] B[解析] 复数z 1＝2－a i 对应的点为(2，－a )，它在直线x －3y ＋4＝0上，故2＋3a ＋4＝0，解得a ＝－2，于是复数z 2＝－2＋2i ，它对应的点在第二象限，故选B.二、填空题7．已知复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内的对应点在第三象限，则实数x 的取值范围是________．[答案] (1,2)[解析] 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋5<0x －2<0， 解得1<x <2.8．已知复数z ＝k 2－3k ＋(k 2－5k ＋6)i(k ∈R )，且z ＜0，则|z |＝______________.[答案] 2[解析] 认真审题，把握“z ＜0”，说明“z 是实数且小于0”，然后具体求解．因为z ＜0，则z ∈R ，所以虚部k 2－5k ＋6＝0解得k ＝2或k ＝3.当k ＝3时，z ＝0，不合题意，故舍去，∴z ＝－2，∴|z |＝2.9．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________.[答案] 12[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3≠0m 2－9＝0， ∴m ＝3，∴z ＝12i ，∴|z |＝12.三、解答题10．如果复数z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R )对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围．[解析] ∵z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＞04m 2－8m ＋3＞0， 解得m ＜－1－52或m ＞32， 即实数m 的取值范围是m ＜－1－52或m ＞32.一、选择题11．复数1＋cos α＋isin α(π＜α＜2π)的模为( )A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α2[答案] B[解析] 所求复数的模为(1＋cos α)2＋sin 2α＝2＋2cos α＝4cos 2α2， ∵π＜α＜2π，∴π2＜α2＜π， ∴cos α2＜0， ∴4cos 2α2＝－2cos α2. 12．已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是( )A ．(1,5)B ．(1,3)C ．(1，5)D ．(1，3)[答案] C[解析] 由已知，得|z |＝a 2＋1. 由0<a <2，得0<a 2<4，∴1<a 2＋1<5.∴|z |＝a 2＋1∈(1，5)． 故选C.13．若A 、B 是锐角△ABC 的两内角，则复数z ＝(cos B －sin A )＋(sin B －cos A )i 在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] B [解析] ∵A 、B 是锐角△ABC 的两内角，∴A ＋B ＞π2① 由①得 A ＞π2－B ， ∵A 、B 为锐角△ABC 的内角，∴A ∈(0，π2)，(π2－B )∈(0，π2)， 又在(0，π2)，正弦函数单调递增， ∴sin A ＞sin(π2－B )， 即sin A ＞cos B ，∴cos B －sin A ＜0.又由①可得 B ＞π2－A ， 同理可得sin B ＞sin(π2－A )， 即sin B ＞cos A ，∴sin B －cos A ＞0.即z 对应的点在第二象限．二、填空题14．设复平面内点A 、B 对应复数分别为1＋i,2－i ，O 为坐标原点，向量O C →＝A B →，则点c 在第________象限．[答案] 四[解析] 由条件知A (1,1)，B (2，－1)，∴A B →＝(1，－2)，∴O C →＝(1，－2)，又O 为坐标原点，∴点C 在第四象限．15．已知复数z 1＝－1＋2i 、z 2＝1－i 、z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A 、B 、C ，若O C →＝x O A →＋y O B →(x 、y ∈R )，则x ＋y 的值是________．[答案] 5[解析] 由复数的几何意义可知，O C →＝xOA →＋yOB →，即3－2i ＝x (－1＋2i)＋y (1－i)，∴3－2i ＝(y －x )＋(2x －y )i.由复数相等可得⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ＝32x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝4. ∴x ＋y ＝5.16．设(1＋i)sin θ－(1＋icos θ)对应的点在直线x ＋y ＋1＝0上，则tan θ的值为________．[答案] 12[解析] 由题意，得sin θ－1＋sin θ－cos θ＋1＝0，∴tan θ＝12. 三、解答题17．已知a ∈R ，则复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在复平面的第几象限内？复数z 的对应点的轨迹是什么曲线？[解析] a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1.由实部大于0，虚部小于0可知，复数z 的对应点在复平面的第四象限内．设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2)．消去a 2－2a ，得y ＝－x ＋2(x ≥3)．所以复数z 的对应点的轨迹是以(3，－1)为端点，－1为斜率，在第四象限的一条射线．18．设z ∈C ，则满足条件|z |＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应的点Z 的集合是什么图形？[解析] 解法一：|z |＝|3＋4i|得|z |＝5.这表明向量OZ →的长度等于5，即点Z 到原点的距离等于5.因此，满足条件的点Z 的集合是以原点O 为原点，以5为半径的圆．解法二：设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，则|z |2＝x 2＋y 2.∵|3＋4i|＝5，∴由|z|＝|3＋4i|得x2＋y2＝25，∴点Z的集合是以原点为圆心，以5为半径的圆．。
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第四章 §2 第1课时一、选择题1．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( )A ．1＋iB ．2＋iC ．3D ．－2－i[答案] D[解析] ∵z 1＋z 2＝(2＋b i)＋(a ＋i)＝(2＋a )＋(b ＋1)i ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋a ＝0b ＋1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2b ＝－1， ∴a ＋b i ＝－2－i.2．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案] C[解析] z ＝z 2－z 1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i.故z 对应的点为(－1，－3)，在第三象限．3．(2014·浙江台州中学期中)设x ∈R ，则“x ＝1”是“复数z ＝(x 2－1)＋(x ＋1)i 为纯虚数”的( )A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] z 是纯虚数⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x ＋1≠0，⇔x ＝1，故选A. 4．在复平面内，点A 对应的复数为2＋3i ，向量OB →对应的复数为－1＋2i ，则向量BA →对应的复数为( )A ．1＋5iB ．3＋iC ．－3－iD ．1＋i[答案] B[解析] 向量OA →对应的复数即为A 点对应的复数，又因为BA →＝OA →－OB →，而(2＋3i)－(－1＋2i)＝3＋i ，故BA →对应的复数为3＋i ，故选B.5．设复数z 满足关系式z ＋|z |＝2＋i ，那么z ＝( )A ．－34＋i B ．34－i C ．－34－i D ．－34＋i [答案] D[解析] 设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，则x ＋y i ＋x 2＋y 2＝2＋i ， 因此有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋x 2＋y 2＝2y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34y ＝1， 故z ＝34＋i ，故选D. [点评] ∵|z |∈R ，z ＝2－|z |＋i ，∴z 的虚部为1，因此可设z ＝a ＋i(a ∈R )，由此得a ＋i ＋a 2＋1＝2＋i 解出a .6．复数z ＝sin1 000°－icos1 000°在复平面内所对应的点Z 位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] C[解析] z ＝sin(－80°)－icos(－80°)＝－sin80°－icos80°，∴－sin80°<0，－cos80°<0，∴点Z 在第三象限．故应选C.二、填空题7．(2014·揭阳一中期中)已知向量OA →和向量OC →对应的复数分别为3＋4i 和2－i ，则向量AC →对应的复数为________．[答案] －1－5i[解析] ∵AC →＝OC →－OA →，∴AC →对应复数为(2－i)－(3＋4i)＝－1－5i.8．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝________.[答案] －1[解析] z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R )为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1. 9．在复平面内，O 是原点，O A →、OC →、A B →对应的复数分别为－2＋i 、3＋2i 、1＋5i ，那么B C→对应的复数为________．[答案] 4－4i[解析] B C →＝O C →－O B →＝O C →－(O A →＋A B →)＝3＋2i －(－2＋i ＋1＋5i)＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i＝4－4i.三、解答题10．已知平行四边形ABCD 中，A B →与A C →对应的复数分别是3＋2i 与1＋4i ，两对角线AC 与BD 相交于P 点．(1)求A D →对应的复数；(2)求D B →对应的复数；(3)求△APB 的面积．[答案] (1)－2＋2i (2)5 (3)52[分析] 由复数加、减法运算的几何意义可直接求得A D →，D B →对应的复数，先求出向量P A →、P B →对应的复数，通过平面向量的数量积求△APB 的面积．[解析] (1)由于ABCD 是平行四边形，所以A C →＝A B →＋A D →，于是A D →＝A C →－A B →，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i ，即A D →对应的复数是－2＋2i.(2)由于D B →＝A B →－A D →，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，即D B →对应的复数是5.(3)由于P A →＝12C A →＝－12A C →＝⎝⎛⎭⎫－12，－2， P B →＝12D B →＝⎝⎛⎭⎫52，0，于是P A →·P B →＝－54， 而|P A |→＝172，|PB |→＝52， 所以172·52·cos ∠APB ＝－54， 因此cos ∠APB ＝－1717，故sin ∠APB ＝41717， 故S △APB ＝12|P A |→|PB |→sin ∠APB ＝12×172×52×41717＝52. 即△APB 的面积为52. [点评] (1)根据复数加、减法运算的几何意义可以把复数的加、减法运算转化为向量的坐标运算．(2)复数加、减法运算的几何意义为应用数结合思想解决复数问题提供了可能．一、选择题11．实数x 、y 满足(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，则xy 的值是( )A ．1B ．2C ．－2D ．－1[答案] A[解析] ∵(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1. ∴xy ＝1.12．若复数x 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( )A ．－2B ．4C ．3D ．－4 [答案] B[解析] z ＝1－(3－4i)＝－2＋4i ，故选B.13．(2014·新乡、许昌、平顶山调研)复数z 1、z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m 、λ、θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－916，1]C ．[－916，7] D ． [916，1] [答案] C [解析] ∵z 1＝z 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ. ∴λ＝4sin 2θ－3sin θ＝4(sin θ－38)2－916， ∵sin θ∈[－1,1]，∴λ∈[－916，7]． 二、填空题14．已知k ∈R ，且关于x 的方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋k i ＝0有实根，则实数k 的值为________．[答案] ±2[分析] 方程的实根必然适合方程，设x ＝x 0为方程的实根，代入整理后得a ＋b i ＝0的形式，由复数相等的充要条件，可得关于x 0和k 的方程组，通过解方程组可得x 及k 的值．[解析] 设方程的实数根为x 0，则x 20＋(k ＋2i)x 0＋2＋k i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋kx 0＋2＝0，(1)2x 0＋k ＝0，(2)将(2)代入(1)消去k 得：－x 20＋2＝0，∴x 0＝±2， 当x 0＝2时，k ＝－22，当x 0＝－2时，k ＝22，综上知，k ＝±2 2.15．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i(a 、b ∈R )，若z 1－z 2＝43，则a ＋b ＝________. [答案] 3[解析] z 1－z 2＝[32a ＋(a ＋1)i]－[－33b ＋(b ＋2)i] ＝(32a ＋33b )＋(a ＋1－b －2)i ＝43， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 32a ＋33b ＝43a －b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1，∴a ＋b ＝3. 三、解答题16．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )，设z ＝z 1－z 2，且z ＝13－2i ，求z 1，z 2.[答案] z 1＝5－9i y 2＝－8－7i[解析] z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i]＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ，又因为z ＝13－2i ，且x ，y ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1. 所以z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ，z 2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.17．已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求：(1)点C 、D 对应的复数；(2)平行四边形ABCD 的面积．[解析] (1)∵向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，∴向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又OC →＝OA →＋AC →，∴点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.∵AD →＝BC →，∴向量AD →对应的复数为3－i ，即AD →＝(3，－1)．设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3，y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0.∴点D 对应的复数为5.(2)∵BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，∴cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝210. ∴sin B ＝7210.∴S＝|BA→||BC→|sin B＝5×10×72＝7，10∴平行四边形ABCD的面积为7.。
高中数学 第四章 数系的扩充与复数的引入 4.1 数系的扩充与复数的引入教案 北师大选修12
4.1数系的扩充与复数的引入教学目标（1）了解数的概念发展和数系扩充的过程，了解引进虚数单位i 的必要性和作用，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求；（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．教学重点，难点：复数的基本概念以及复数相等的充要条件．教学过程一．问题情境1．情境：1)数的概念的发展从正整数扩充到整数，从整数扩充到有理数，从有理数扩充到实数，数的概念是不断发展的，其发展的动力来自两个方面．①解决实际问题的需要．由于计数的需要产生了自然数；为了刻画具有相反意义的量的需要产生了负数；由于测量等需要产生了分数；为了解决度量正方形对角线长的问题产生了无理数(即无限不循环小数)．②解方程的需要．为了使方程40x +=有解，就引进了负数，数系扩充到了整数集；为了使方程320x -=有解，就要引进分数，数系扩充到了有理数集；为了使方程22x =有解，就要引进无理数，数系扩充到了实数集．引进无理数以后，我们已经能使方程2x a =(0)a >永远有解．但是，这并没有彻底解决问题，当0a <时，方程2x a =在实数范围内无解．为了使方程2x a =(0)a <有解，就必须把实数概念进一步扩大，这就必须引进新的数．（可以以分解因式：44x -为例）2．问题：实数集应怎样扩充呢？二．建构数学1．为了使方程2x a =(0)a <有解，使实数的开方运算总可以实施，实数集的扩充就从引入平方等于1-的“新数”开始．为此，我们引入一个新数i ，叫做虚数单位．并作如下规定：①21i =-；②实数可以与i 进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立． 在这种规定下，i 可以与实数b 相乘，再同实数a 相加得i b a ⋅+．由于满足乘法交换律和加法交换律，上述结果可以写成a bi + (,a b R ∈)的形式．2．复数概念及复数集C形如a bi +(,a b R ∈)的数叫做复数．全体复数构成的集合叫做复数集，一般用字母C 来表示，即{},,C z z a bi a b R ==+∈．显然有N*N Z Q R C ．3．复数的有关概念1) 复数的表示：通常用字母z 表示，即z a bi =+(,a b R ∈)，其中,a b 分别叫做复数的实部与虚部；2）虚数和纯虚数①复数z a bi =+(,a b R ∈)，当0b =时，z 就是实数a ．②复数z a bi =+(,a b R ∈)，当0b ≠时，z 叫做虚数．特别的，当0a =，0b ≠时，z bi =叫做纯虚数．3)复数集的分类分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一．根据上述原则，复数集的分类如下：4)两复数相等如果两个复数a bi +与c di +（,,,a b c d R ∈）的实部与虚部分别相等，我们就说这两个复数相等．即a c a bi c di b d =⎧+=+⇔⎨=⎩，（复数相等的充要条件），特别地：aa bib=⎧+=⇔⎨=⎩（复数为0的充要条件）．复数相等的充要条件，提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径．5）两个复数不能比较大小：两个实数可以比较大小，但两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，不能比较它们的大小．6）复平面的概念复平面、实轴、虚轴：复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定，如z=3+2i可以由有序实数对(3，2)确定，又如z=－2+i可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i，非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i，z=－5－3i对应的点(－5，－3)在第三象限等等.复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.7）共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数8）复数的几何意义①复数a+bi ，即点Z （a,b ）（复数的几何形式）、即向量OZ （复数的向量形式。
2020版高考数学一轮复习第十二章算法初步第2讲数系的扩充与复数的引入课件理新人教A版
1－m
> 2，故选C.
答案
解析
4．(2019·武汉调研)设(1－i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则x＋yi在复平 面内所对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 ∵(1－i)x＝1＋yi⇒x－xi＝1＋yi⇒(x－1)－(x＋y)i＝0⇒
x－1＝0， x＋y＝0
)
A．z的模为2
B．z的实部为1
C．z的虚部为－1 D．z的共轭复数为1＋i
答案 C
解析
根据题意可知，
2 －1＋i
＝
2－1－i 2
＝－1－i，所以z的虚部为－
1，实部为－1，模为 2，z的共轭复数为－1＋i，故选C.
答案
解析
3．若a为正实数，i为虚数单位，a＋i i＝2，则a＝(
i，其对应的点为a2＋a 1，a2＋1 1，
又该点位于直线x－2y＝0上，所以a＝2，所以z＝52＋51i，其虚部为51.
答案
解析
触类旁通 求解与复数概念相关问题的技巧
复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部 和虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代 数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意列方程(组)求解．
答案 A
解析 由题意得(a＋ 3i)(a－ 3i)＝4，即a2＋3＝4， ∴a＝±1.故选A.
答案
解析
7．(2018·香坊模拟)已知复数z＝
5a 2＋i
＋
1＋i 1－i
，a∈R，若复数z对应的点
在复平面内位于第四象限，则实数a的取值范围是( )
A．a>1
B．a<0
2020届高考数学(理)二轮高分冲刺专题十二：算法初步、推理与证明、复数(6)数系的扩充与复数的引入+Word
算法初步、推理与证明、复数（6）数系的扩充与复数的引入 1、若复数z 满足()68i 86i z -=+ （i 是虚数单位），则z 的虚部为( ) A.45 B.4 C.45- D.4- 2、复数i 13i -+等于（ ） A ．93i 1010- B ．13i 1010+ C ．93i 1010+ D ．13i 1010- 3、51i i +=-( ) A.23i + B.33i + C.23i - D.33i -4、已知复数z满足()11z i =+，则复平面内与复数z 对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 5、已知复数z 满足121z i z +=-+- (i 为虚数单位)，则z =（ ） A.2i + B.2i - C.2i -+ D.2i --6、已知i 为虚数单位,若a 为实数,且0,a ≠则1i i a a -=+（ ） A.i a +B.i a -C. iD.i - 7、已知(),a i b i a b R i +=+∈则a b +=( ) A.2-B.0C.1D.2 8、(1i)(3i)=-+( )A.22i +B.22i -C.42i +D.42i - 9、已知i 是虚数单位，则21i i =+（ ） A.1i - B.1i + C.12i - D.12i + 10、复数11=+z i ，2=z i ，其中i 为虚数单位，则12z z 的虚部为( ) A ．1- B ．1 C ．iD ．-i 11、已知复数()cos 2isin [0,π]z ααα=+∈，则2z 的最大值为______________.12、m I ⎝⎭=______________。
13、已知i 是虚数单位，复数2i i 1z =-，则在复平面上复数z 对应的点坐标_________. 14、复数()2i 14i 1z -+=+的虚部为____________.15、已知复数22(2)(23)i z m m m m =++--，R m ∈（i 为虚数单位）．(1).当1m =时，求复数1iz +的值； (2).若复数z 在复平面内对应的点位于第二象限，求m 的取值范围．答案以及解析1答案及解析：答案：A解析：∵复数z 满足()68i 86i z -=+（i 是虚数单位），()()()86i1068i 34i 68i 68i 68i 55z ++===+--+∴z 的虚部为45. 所以A 选项是正确的.2答案及解析：答案：A解析：3答案及解析：答案：A 解析：()()5154623122i i i i i i ++++===+-，故选A4答案及解析：答案：D解析：因为z ==，所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为⎝⎭，该点在第四象限。
2020年高考数学(理)抢分秘籍12 数系的扩充与复数的引入(解析版)
秘籍12 数系的扩充与复数的引入1．如果复数z=2−1+i，则（ ）A ．|z|=2B ．z 的实部为1C ．z 的虚部为﹣1D ．z 的共轭复数为1+i 【答案】C【解答】：由z=2−1+i =2(−1−i)(−1+i)(−1−i)=−1−i ， 所以|z|=√2，z 的实部为﹣1，z 的虚部为﹣1， z 的共轭复数为﹣1+i ， 故选：C ．【名师点睛】本题考查复数除法运算以及复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.复数的定义形如a +b i （a ，b ∈R ）的数叫作复数，其中a 叫作复数的实部，b 叫作复数的虚部，i 为虚数单位且规定i 2=–1．注意：复数的虚部是b ，而不是b i ．2．复数21−i（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ）A ．1+iB ．1﹣iC ．﹣1+iD ．﹣1﹣i【答案】B【解答】：化简可得z=21−i=2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i ， ∴z 的共轭复数z =1﹣i 故选：B ．【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．共轭复数一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫作互为共轭复数． 互为共轭复数的充要条件：a +b i 与c +d i 互为共轭复数⇔a =c ，b =–d （a ，b ，c ，d ∈R ）．求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准代数形式，然后其实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．3．若i 是虚数单位，复数z 的共轭复数是z ，且2i ﹣z =4﹣i ，则复数z 的模等于（ ） A ．5B ．25C ．√5D ．√17 【答案】A【解答】：∵2i ﹣z =4﹣i ，∴z =﹣4+3i ，∴z=﹣4﹣3i ，∴|z|=√(−4)2+(−3)2=5， 故选：A ．【名师点睛】本题主要考查复数的除法运算和复数的模的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.复数的模向量OZ u u u r的长度r 叫作复数z =a +b i 的模，记作|z |或|a +b i|，则|z |=|a +b i|=r =22a b （r ≥0，r ∈R ），即复数a +b i的模表示点Z （a ，b ）与原点O 的距离． 特别地，b =0时，z =a +b i 是实数a ，则|z |=|a |． 求复数的模时，直接根据复数的模的公式|a +b i|=22a b 和性质|z 2|=|z |2=z ·z ，|z 1·z 2|=|z 1|·|z 2|，|12z z |=12||||z z ，|z |=|z |等进行计算．1．己知点Z 1，Z 2的坐标分别为(1，0)，(0，1)，若复数z 对应的向量为Z 1Z 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，则复数z 对应点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】因为点Z 1，Z 2的坐标分别为(1，0)，(0，1)，所以Z 1Z 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,1),所以复数z 对应点位于第二象限，故本题选B.【名师点睛】本题考查了平面向量的坐标表示，向量的始点和终点的顺序很重要.复数的几何意义2．已知复数a+i2−i 是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 等于（ ）A ．﹣2B ．2C ．12D ．﹣1【答案】C 【解答】：∵a+i 2−i =(a+i)(2+i)(2−i)(2+i)=2a−1+(a+2)i 5=2a−15+a+25i 是纯虚数，∴{2a −1=0a +2≠0，解得a=12．故选：C ．复数的分类z =a +b i 0000b a b a =⎧⎪=⎧⎨≠⎨⎪≠⎩⎩实数（）纯虚数（）虚数（）非纯虚数（）注意：（1）一个复数为纯虚数，不仅要求实部为0，还需要求虚部不为0； （2）两个不全是实数的复数不能比较大小；（3）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示．3．已知i 为虚数单位，则2342018i i i i i ++++⋯+=（ ） A ．﹣1+iB ．﹣1C．1﹣i D ．0【答案】A【解答】：2342018i i i i i ++++⋯+=i(1−i 2018)1−i=i[1−(i 4)504⋅i 2]1−i=2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i ．故选：A．复数的四则运算1．复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，把含有虚数单位i的项看作一类同类项，不含i的项看作另一类同类项，分别合并即可；复数除法运算的关键是分母实数化，注意要把i的幂化成最简形式．2．复数运算中的常用结论：（1）（1±i）2=±2i；（2）1i1i+-=i；（3）1i1i-+=–i；（4）iia b+=b–a i；（5）i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=–1，i4n+3=–i，i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0（n∈N）．1．下列命题中，假命题的是（）A．若z为实数，则z=z B．若z=z，则z为实数C．若z为实数，则z•z为实数D．若z•z为实数，则z为实数2．已知i为虚数单位，若复数（a+i）2i为正实数，则实数a的值为（）A．2B．1C．0D．﹣13．若纯虚数z满足z（1﹣2i）=a+i，其中a∈R，i是虚数单位，则实数a的值等于（）A．﹣2B．−12C．2D．124．设复数z满足z+i1−i=1+i，则z=（）A ．2﹣iB ．√2+iC ．√3 iD ．2+i5．设z=﹣12+√32i ，则z 2+z=（ ） A ．﹣1 B ．0C ．1D ．26．若z 1=1+2i ，z 2=1﹣i ，则|z 1z 2|=（ ） A ．6 B ．√10C ．√6D ．√27．已知复数2i ﹣3是方程2x 2+px+q=0的一个根，则实数p ，q 的值分别是（ ） A ．12，0 B ．24，26C ．12，26D ．6，88.复数z 1、z 2满足|z 1|=|z 2|=1，z 1﹣z 2=2−4i2+i ，则z 1•z 2=（ ） A ．1 B ．﹣1C ．iD ．﹣i9.若复数z 满足（1﹣2i ）z=2﹣i ，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10.已知复数z=2+bi （b ∈R ）（i 为虚数单位）的共轭复数为z ，且满足z 2为纯虚数，则z ⋅z =（ ） A ．2√2 B ．2√3C ．8D ．1211. 复平面上矩形 ABCD 的四个顶点中，A ，B ，C 所对应的复数分别为 2+3i ，3+2i ，−2−3i ，则 D 点对应的复数是 ( )A. −2+3iB. −3−2iC. 2−3iD. 3−2i12.复数 z 1=3a+5+(10−a 2)i ，z 2=21−a+(2a −5)i ，若 z 1+z 2 是实数，实数 a 的值为 .1.D 【解答】：对于A 、若z 为实数，则z =z ，正确；对于B 、设z=a+bi （a ，b ∈R ），则z =a −bi ，由z =z ，可得b=﹣b ，则b=0，即z 为实数，故B 正确； 对于C 、若z 为实数，则z •z=|z|2为实数，故C 正确； 对于D 、对于任意复数z ，都有z •z=|z|2为实数，故D 错误． 故选：D ．2.D 【解答】：∵（a+i ）2i=（a 2﹣1+2ai ）i=﹣2a+（a 2﹣1）i 为正实数，∴22010a a -⎧⎨-=⎩＞，解得a=﹣1．故选：D ．3.C 【解答】：设z=bi （b ≠0），由z （1﹣2i ）=a+i ，得bi （1﹣2i ）=a+i ， 即2b+bi=a+i ， ∴b=1，a=2． 故选：C ． 4.A 【解答】：∵z+i 1−i=1+i ，∴z+i=（1+i ）（1﹣i ）=2， ∴z=2﹣i ． 故选：A ．5.A 【解答】：由z=﹣12+√32i ， 得z 2+z=z(z +1)=(−12+√32i)(12+√32i)=(√32i)2−(12)2=−1．故选：A ．6.B 【解答】：∵z 1=1+2i ，z 2=1﹣i ， ∴|z 1z 2|=|1+2i|•|1﹣i|=√5×√2=√10． 故选：B ．7.C 【解答】：∵2i ﹣3是关于x 的方程2x 2+px+q=0的一个根， 由实系数一元二次方程虚根成对定理，可得方程另一根为﹣2i ﹣3，则q2=（﹣3+2i ）（﹣3﹣2i ）=13，即q=26， ﹣p2=﹣3+2i ﹣3﹣2i=﹣6，即p=12 故选：C ．8.A 【解答】：z 1﹣z 2=2−4i 2+i=(2−4i)(2−i)(2+i)(2−i)=−10i 5=﹣2i ，由|z 1|=|z 2|=1，设z 1=cos α+isin α，z 2=cos β+isin β， ∴cos α=cos β，sin α﹣sin β=﹣2， ∴cos α=cos β=0，sin α=﹣1，sin β=1， ∴z 1=﹣i ，z 2=i ， 则z 1•z 2=﹣i •i=1． 故选：A ．9.A 【解答】：由（1﹣2i ）z=2﹣i ，得z=2−i 1−2i =(2−i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=45+35i ， ∴在复平面内z 对应的点的坐标为（45，35），位于第一象限． 故选：A ．10.C 【解答】：∵z=2+bi ， ∴z 2=4﹣b 2+4bi ，由z 2为纯虚数，得{4−b 2=04b ≠0，得b=±2． ∴z ⋅z =|z|2=22+b 2=8． 故选：C ． 11.答案：B 12.3【解答】：z 1+z 2=3a+5+(a 2−10)i +21−a +(2a −5)i =(3a+5+21−a)+[(a 2−10)+(2a −5)]i =a−13(a+5)(a−1)+(a 2+2a −15)i.因为 z 1+z 2 是实数，所以 a 2+2a −15=0，解得 a =−5 或 a =3 . 因为 a +5≠0，所以 a ≠−5， 故 a =3 .。
北京市2020〖人教版〗高三数学复习试卷综合测评数系的扩充与复数的引入0
北京市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷综合测评数系的扩充与复数的引入一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(·福建高考)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋b i(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于( )A．3，－2 B．3,2C．3，－3 D．－1,4【解析】(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋b i，所以a＝3，b＝－2.【答案】A2．(·广东高考)若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则z＝( )A．2－3i B．2＋3iC．3＋2i D．3－2i【解析】∵z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，∴z＝2－3i.【答案】A3．(·衡阳高二检测)若i(x＋y i)＝3＋4i(x，y∈R)，则复数x＋y i 的模是( ) A．2 B．3C．4 D．5【解析】由i(x＋y i)＝3＋4i，得－y＋x i＝3＋4i，解得x＝4，y＝－3，所以复数x＋y i的模为错误!＝5.【答案】D4．(·广东高考)已知复数z满足(3－4i)z＝25，则z＝( )A．－3－4i B．－3＋4iC．3－4i D．3＋4i【解析】由(3－4i)z＝25，得z＝253－4i＝错误!＝3＋4i，故选D.【答案】D5．(·天津高二检测)“m＝1”是“复数z＝(1＋m i)(1＋i)(m∈R，i为虚数单位)为纯虚数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】z＝(1＋m i)(1＋i)＝1＋i＋m i－m＝(1－m)＋(1＋m)i，若m＝1，则z ＝2i为纯虚数；若z为纯虚数，则m＝1.故选C.【答案】C6．设z∈C，若z2为纯虚数，则z在复平面上的对应点落在( )【导学号：1924】A．实轴上B．虚轴上C．直线y＝±x(x≠0)上D．以上都不对【解析】设z＝a＋b i(a，b∈R)，∵z2＝a2－b2＋2ab i为纯虚数，∴{a2－b2＝0，ab≠0.∴a＝±b，即z在复平面上的对应点在直线y＝±x(x≠0)上．【答案】C7．设复数z满足1－z1＋z＝i，则|1＋z|＝( )A．0 B．1 C.2D．2【解析】∵1－z1＋z＝i，∴z＝1－i1＋i＝错误!＝－i，∴|z＋1|＝|1－i|＝2.【答案】C8．设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数，若z·z i＋2＝2z，则z＝( ) A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i【解析】设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z ·z i ＋2＝2z ，得(a ＋b i)(a －b i)i ＋2＝2(a ＋b i)，即(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ，由复数相等的条件得{a2＋b2＝2b ，2＝2a ，得{ a ＝1，b ＝1，∴z ＝1＋i. 【答案】A9．若z ＝cos θ＋isin θ(i 为虚数单位)，则使z 2＝－1的θ值可能是( ) A.π6B.π4 C.π3D.π2【解析】z 2＝(cos θ＋isin θ)2＝(cos 2θ－sin 2θ)＋2isin θcos θ＝cos 2θ＋isin 2θ＝－1，∴{ sin 2θ＝0，cos 2θ＝－1，∴2θ＝2k π＋π(k ∈Z )， ∴θ＝k π＋π2(k ∈Z )，令k ＝0知选D. 【答案】D 10．当z ＝－1－i2时，z 100＋z 50＋1的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．iD ．－i【解析】原式＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－i 2100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－i 250＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 2250＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 2225＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝－i.故应选D.【答案】D11．在复平面上，正方形OBCA 的三个顶点A ，B ，O 对应的复数分别为1＋2i ，－2＋i,0，则这个正方形的第四个顶点C 对应的复数是( )A ．3＋iB ．3－iC ．1－3iD ．－1＋3i【解析】∵正方形的三个顶点的坐标分别是A (1,2)，B (－2,1)，O (0,0)， ∴设第四个顶点C 的坐标为(x ，y )，则BC →＝OA →，∴(x ＋2，y －1)＝(1,2)． ∴{ x ＋2＝1，y －1＝2， ∴{ x ＝－1，y ＝3，∴第四个顶点C 的坐标为(－1,3)． 【答案】D12．复数z ＝(x －2)＋y i(x ，y∈R )在复平面内对应向量的模为2，则|z ＋2|的最大值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】由于|z |＝2，所以错误!＝2，即(x －2)2＋y 2＝4，故点(x ，y )在以(2,0)为圆心，2为半径的圆上，而|z ＋2|＝|x ＋y i|＝x2＋y2，它表示点(x ，y )与原点的距离，结合图形易知|z ＋2|的最大值为4，故选B.【答案】B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．) 13．(·天津高考)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________．【解析】由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数可得a ＋2＝0,1－2a ≠0，解得a ＝－2.【答案】 －2 14．复数z 1＝⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2，z 2＝2－i 3分别对应复平面内的点P ，Q ，则向量PQ→对应的复数是________．【解析】∵z 1＝⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－1，z 2＝2－i 3＝2＋i ， ∴P (－1,0)，Q (2,1)，∴PQ →＝(3,1)，即PQ →对应的复数为3＋i. 【答案】3＋i15．定义运算错误!＝ad －bc ，则对复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )符合条件错误!＝3＋2i 的复数z 等于_________________________________．【导学号：1925】【解析】由定义运算，得||z 1z 2i ＝2z i －z ＝3＋2i ，则z ＝3＋2i－1＋2i＝错误!＝错误!－错误!i.【答案】15－85i16．复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i ，a∈R 对应的点位于第二象限，则|z |的取值范围是________．【解析】复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i 对应的点的坐标为(a －2，a ＋1)，因为该点位于第二象限，所以{ a －2<0，a ＋1>0，解得－1<a <2.由条件得|z |＝错误! ＝2a2－2a ＋5 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫a2－a ＋14＋92＝2⎝⎛⎭⎪⎫a －122＋92，因为－1<a <2，所以|z |∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫322，3.【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫322，3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)已知复数x 2＋x －2＋(x 2－3x ＋2)i(x ∈R )是4－20i 的共轭复数，求实数x 的值．【解】∵复数4－20i 的共轭复数为4＋20i ， ∴x 2＋x －2＋(x 2－3x ＋2)i ＝4＋20i ， ∴{ x2＋x －2＝4，x2－3x ＋2＝20，∴x ＝－3.18．(本小题满分12分)已知复数z ＝(2＋i)m 2－6m 1－i－2(1－i)，当实数m 取什么值时，复数z 是：(1)虚数；(2)纯虚数．【解】z ＝(2＋i)m 2－3m (1＋i)－2(1－i)＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i ， (1)当m 2－3m ＋2≠0，即m ≠2且m ≠1时，z 为虚数． (2)当{ 2m2－3m －2＝0，m2－3m ＋2≠0，即m ＝－12时，z 为纯虚数．19．(本小题满分12分)设复数z ＝错误!，若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．【解】z ＝错误!＝错误! ＝3－i2＋i＝错误!＝1－i. 将z ＝1－i 代入z 2＋az ＋b ＝1＋i ，得 (1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i ， (a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i ， 所以错误! 所以{ a ＝－3，b ＝4.20．(本小题满分12分)已知等腰梯形OABC 的顶点A ，B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA ∥BC .求顶点C 所对应的复数z .【解】设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ， 因为OA ∥BC ，|OC |＝|BA |， 所以k OA ＝k BC ，|z C |＝|z B －z A |，即⎩⎪⎨⎪⎧21＝y －6x ＋2，x2＋y2＝32＋42，解得{ x1＝－5，y1＝0或{ x2＝－3，y2＝4.因为|OA |≠|BC |，所以x 2＝－3，y 2＝4(舍去)， 故z ＝－5.21．(本小题满分12分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部为2.(1)求复数z；(2)设z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．【解】(1)设z＝a＋b i(a，b∈R)，由已知条件得：a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2ab i，∴2ab＝2.∴a＝b＝1或a＝b＝－1，即z＝1＋i或z＝－1－i.(2)当z＝1＋i时，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i.∴点A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，∴S△ABC ＝12|AC|×1＝12×2×1＝1.当z＝－1－i时，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i. ∴点A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，∴S△ABC ＝12|AC|×1＝12×2×1＝1.即△ABC的面积为1.22．(本小题满分12分)已知关于x的方程：x2－(6＋i)x＋9＋a i＝0(a∈R)有实数根b.(1)求实数a，b的值；(2)若复数z满足|z－a－b i|－2|z|＝0，求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的值.【导学号：1926】【解】(1)∵b是方程x2－(6＋i)x＋9＋a i＝0(a∈R)的实根，∴(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0，∴{b2－6b＋9＝0，a＝b，解得a＝b＝3.(2)设z＝x＋y i(x，y∈R)，由|z－3－3i|＝2|z|，得(x－3)2＋(y＋3)2＝4(x2＋y2)，即(x＋1)2＋(y－1)2＝8，∴复数z对应的点Z的轨迹是以O1(－1,1)为圆心，22为半径的圆，如图所示．有最大值或最小值，|z |，的连线上时1OO 在Z 当点 ，22＝r ，半径2＝|1OO |∵ .2＝min |z |且有最小值|z |，时i －1＝z 当∴。
高中数学 第四章 数系的扩充与复数的引入 4.1 数系的
数系的扩充与复数的引入重难点透视1、深刻理解复数、实数、虚数、纯虚数、模、共轭复数的概念和复数的几何表示——复数Z=a+bi （a 、b ∈R ）与复平面内的点P （a 、b ）及向量是一一对应的。
在对概念的理解时要善于利用数形结合的思想，如纯虚数与虚轴上的点对应，实数与实轴上的点对应，复数的模表示复数对应的点到原点的距离等。
2、熟练掌握并能灵活运用以下结论：（1）复数相等的充要条件a+bi=c+di ⇔a=c 且b=d （a 、b 、c 、d ∈R ）（2）复数是实数的充要条件①Z=a+bi ∈R ⇔b=0（a 、b 、∈R ）；②Z ∈R ⇔Z=Z ③Z ∈R ⇔Z 2≥0 （3）复数是纯虚数的充要条件①Z=a+bi 是纯虚数⇔a=0且b ≠0（a 、b ∈R ）②Z 是纯虚数⇔ Z+Z =0（Z ≠0）③Z 是纯虚数⇔Z 2＜0 3、解答复数问题，要学会从整体的角度出发去分析和求解（整体思想贯穿整个复数的内容），如果遇到复数就设Z=a+bi （a 、b ∈R ），则有时会给问题的解答带来不必要的运算上的困难，如能把握复数的整体性质，充分运用整体思想求解，则能做到事半功倍。
典例剖析例1当m 为何实数时，复数z ＝2223225m m m ---+(m 2+3m －10)i ；（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数．解： （1）z 为实数，则虚部m 2+3m －10=0，即223100250m m m ⎧+-=⎨-≠⎩， 解得m =2，∴ m =2时，z 为实数。
（2）z 为虚数，则虚部m 2+3m －10≠0，即223100250m m m ⎧+-≠⎨-≠⎩， 解得m ≠2且m ≠±5. 当m ≠2且m ≠±5时，（3）z 为虚数．22223203100250m m m m m ⎧--=⎪+-≠⎨⎪-≠⎩，解得m =－21, ∴当m =－21时，z 为纯虚数． 点评：本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件，还应特别注意分母不为零这一要求．例2已知x为纯虚数，y是实数，且2x－1＋i＝y－(3－y)i，求x、y的值．解：设x＝ti (t∈R，且t≠0），则2x－1＋i＝y－(3－y)i可化为2ti－1＋i＝y－(3－y)i，即(2t＋1)i－1=y－(3－y)i，∴21(3)1t yy+=--⎧⎨-=⎩, ∴y=－1, t=－25, ∴ x=－25i.点评：主要考查复数的有关概念，实数与i的运算，复数相等的充要条件，方程组的解法．。
北京版高考数学 专题十二 数系的扩充与复数的引入
专题十二数系的扩充与复数的引入挖命题【真题典例】【考情探究】分析解读 1.掌握复数、纯虚数、实部、虚部、共轭复数、复数相等等概念,会进行复数代数形式的四则运算.考查学生运算求解能力.2.复数的概念及运算是高考必考内容.破考点【考点集训】考点一复数的概念及几何意义1.(2012北京文,2,5分)在复平面内,复数对应的点的坐标为( )A.(1,3)B.(3,1)C.(-1,3)D.(3,-1)答案A2.(2015北京文,9,5分)复数i(1+i)的实部为.答案-1考点二复数的四则运算3.(2011北京,2,5分)复数-=( )A.iB.-iC.--iD.-+i答案A4.计算= .答案-i5.复数= .答案1+i炼技法【方法集训】方法1 复数的概念及几何意义1.已知i为虚数单位,设复数z满足z+i=3,则|z|=( )A.3B.4C.D.10答案C2.(2014安徽,1,5分)设i是虚数单位,表示复数z的共轭复数.若z=1+i,则+i·=( )A.-2B.-2iC.2D.2i答案C方法2 复数代数形式的四则运算3.复数z满足=2-3i,则复数z在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案A4.若复数是纯虚数,则实数a= .-答案 1过专题【五年高考】A组自主命题·北京卷题组1.(2017北京,2,5分)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,1)B.(-∞,-1)C.(1,+∞)D.(-1,+∞)答案B2.(2015北京,1,5分)复数i(2-i)=( )A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i答案A3.(2013北京,2,5分)在复平面内,复数(2-i)2对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案D4.(2016北京,9,5分)设a∈R.若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a= . 答案-15.(2014北京,9,5分)复数= .-答案-1B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一复数的概念及几何意义1.(2015湖北,1,5分)i为虚数单位,i607的共轭复数为( )····A.iB.-iC.1D.-1答案A2.(2018江苏,2,5分)若复数z满足i·z=1+2i,其中i是虚数单位,则z的实部为.答案 23.(2017天津,9,5分)已知a∈R,i为虚数单位,若-为实数,则a的值为.答案-2考点二复数代数形式的四则运算1.(2018课标Ⅰ,1,5分)设z=-+2i,则|z|=( )A.0B.C.1D.答案C2.(2018课标Ⅱ,1,5分)=( )-A.--iB.-+iC.--iD.-+i答案D3.(2018课标Ⅲ,2,5分)(1+i)(2-i)=( )A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i答案D4.(2017课标Ⅱ,1,5分)=( )A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i答案D5.(2017课标Ⅲ,2,5分)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=( )A. B. C. D.2答案C6.(2016课标Ⅰ,2,5分)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=( )A.1B.C.D.2答案B7.(2016课标Ⅲ,2,5分)若z=1+2i,则=( )-A.1B.-1C.iD.-i答案C=i,则|z|=( )8.(2015课标Ⅰ,1,5分)设复数z满足-A.1B.C.D.2答案A9.(2015课标Ⅱ,2,5分)若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=( )A.-1B.0C.1D.2答案B=( )10.(2014课标Ⅰ,2,5分)-A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i答案D11.(2018天津,9,5分)i是虚数单位,复数= .答案4-iC组教师专用题组考点一复数的概念及几何意义在复平面内所对应的点位于( )1.(2015安徽,1,5分)设i是虚数单位,则复数-A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案B2.(2014重庆,1,5分)复平面内表示复数i(1-2i)的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案A3.(2014课标Ⅱ,2,5分)设复数z1,z2在复平面内对应的点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=( )A.-5B.5C.-4+iD.-4-i答案A4.(2016天津,9,5分)已知a,b∈R,i是虚数单位.若(1+i)(1-bi)=a,则的值为.答案 25.(2015天津,9,5分)i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为.答案-26.(2015重庆,11,5分)设复数a+bi(a,b∈R)的模为,则(a+bi)(a-bi)= .答案 3考点二复数的四则运算=i,其中i为虚数单位,则z=( )1.(2015山东,2,5分)若复数z满足-A.1-iB.1+iC.-1-iD.-1+i答案A2.(2015四川,2,5分)设i是虚数单位,则复数i3-=( )A.-iB.-3iC.iD.3i答案C3.(2014山东,1,5分)已知a,b∈R,i是虚数单位,若a-i与2+bi互为共轭复数,则(a+bi)2=( )A.5-4iB.5+4iC.3-4iD.3+4i答案D4.(2014辽宁,2,5分)设复数z满足(z-2i)(2-i)=5,则z=( )A.2+3iB.2-3iC.3+2iD.3-2i答案A5.(2014江西,1,5分)是z的共轭复数,若z+=2,(z-)i=2(i为虚数单位),则z=( )A.1+iB.-1-iC.-1+iD.1-i答案D6.(2014湖南,1,5分)满足=i(i为虚数单位)的复数z=( )A.+iB.-iC.-+iD.--i答案B7.(2014广东,2,5分)已知复数z满足(3+4i)z=25,则z=( )A.-3+4iB.-3-4iC.3+4iD.3-4i答案D8.(2017江苏,2,5分)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是.答案9.(2017浙江,12,5分)已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2= ,ab= . 答案5;210.(2016江苏,2,5分)复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是.答案 511.(2014上海,2,4分)若复数z=1+2i,其中i是虚数单位,则·= .答案 6【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共50分)1.(2018北京海淀期末,1)复数=( )A.2-iB.2+iC.-2-iD.-2+i答案A2.(2019届中央民大附中10月月考文,1)复数i(1+i)在复平面上对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案B3.(2018北京石景山期末,2)设i是虚数单位,则复数在复平面内所对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案A4.(2018北京朝阳一模,2)复数z满足(1+i)z=i,则在复平面内复数z所对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案A在复平面内对应的点位于( )5.(2018北京东城一模,2)复数z=-A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案B6.(2018北京海淀二模,2)已知复数z在复平面内对应的点为(1,-1),则( )A.z+1是实数B.z+1是纯虚数C.z+i是实数D.z+i是纯虚数答案C7.(2017北京西城二模,1)在复平面内,复数z对应的点是(1,-2),则复数z的共轭复数=( )A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i答案A8.(2017北京朝阳二模,1)已知i为虚数单位,则复数z=i(1+2i)在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案B9.(2017北京海淀一模,2)已知复数z=i(a+bi)(a,b∈R),则“z为纯虚数”的充分必要条件为( )A.a2+b2≠0B.ab=0C.a=0,b≠0D.a≠0,b=0答案D10.(2019届北京十四中10月月考,2)记复数z的共轭复数为,已知复数z满足(2-i)z=5,则||=( )A. B. C. D.5答案B二、填空题(每小题5分,共65分)11.(2018北京通州摸底,9)已知复数-的实部与虚部相等,那么实数a= .答案 212.(2018北京通州一模,9)已知复数(1-i)(1+ai)是纯虚数,那么实数a= .答案-1= .13.(2019届北京通州期中文,9)复数-答案i14.(2019届北京牛栏山一中期中,9)复数= ,其在复平面上对应的点在第象限.答案+;一15.(2019届北京四中期中,9)i为虚数单位,计算(-3-i)i= .答案1-3i16.(2019届北京顺义一中10月月考文,9)复数z=在复平面上对应的点位于第象限.答案一17.(2017北京海淀二模,10)已知复数z=-,则|z|= .答案=-1+i,其中i是虚数单位,那么实数a= .18.(2017北京房山一模,9)已知-答案 219.(2017北京丰台二模,9)在复平面内,复数对应的点的坐标为.答案(4,-3)20.(2017北京顺义二模,9)已知z=(a-2)+(a+1)i在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是.答案(-1,2)21.(2018北京西城一模,9)若复数(a+i)(3+4i)的实部与虚部相等,则实数a= .答案-7高考加油！高考加油！高考加油！高考加油！22.(2018北京顺义二模,9)若(x-2i)i=2+i(x∈R),则x= .答案 123.(2018北京丰台一模,9)如图所示,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B对应的复数分别是z1,z2,则= .答案-1-2i。
高中数学 数系的扩充和复数的概念教学课件 北师大版选修12
例
z m 1 (m 1)i
题
是（1）实数？ （2）虚数？
实部
虚部
巩 （3）纯虚数？
解:
固 （1）当 m 1 0，即 m 1时，复数z 是实数．
（2）当m 1 0 ，即m 1 时，复数z 是虚数．
（3）当 m 1 0 m 1 0
即 m 1时，复数z 是
纯虚数．
练 当m为何实数时，复数
复 数
定义：把形如a+bi的数叫做复数 （a,b 是实数）
的 z a b i (a R,b R)
概
实部 虚部 虚数
念
单位
复数全体组成的集合叫复数集，
记作：C
数
集
系 的
复数
a bi
b 0实数集
集
RQZ N
扩 充
(a R, b R)
b
0虚数
集
特别地，a 0 纯虚数
复数集C和实数集R之间有什么关系？
例 例3. 下列命题中正确的有__B___
题
（A）若 z C,则 z2 0
（B）x yi 1 i (x,y为实数)的充
巩 要条件是 x y 1
固 （C）1＋ai是一个虚数
（D）若a＝0，则a＋bi为纯虚数
1.若复数(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i
(mR) 表示纯虚数的充要条件是_____
实数b 0
R C
复数 a+bi
虚数b
纯虚数a 0非纯虚数 a
0，b 0 0，b
0
复数相等
a
bi
c
di
a b
c d
3.1.1数系的扩充和 复数的概念
数 x32
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【五年高考】
A 组 自主命题·北京卷题组
1.(2017 北京,2,5 分)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数 a 的取值范围是( ) A.(-∞,1) B.(-∞,-1) C.(1,+∞) D.(-1,+∞) 答案 B 2.(2015 北京,1,5 分)复数 i(2-i)=( ) A.1+2i B.1-2i C.-1+2i D.-1-2i 答案 A 3.(2013 北京,2,5 分)在复平面内,复数(2-i)2 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 D 4.(2016 北京,9,5 分)设 a∈R.若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则 a= . 答案 -1
������ - i
3.(2017 天津,9,5 分)已知 a∈R,i 为虚数单位,若2 + i为实数,则 a 的值为 . 答案 -2
考点二 复数代数形式的四则运算
1-i
1.(2018 课标Ⅰ,1,5 分)设 z=1 + i+2i,则|z|=( )
1
A.0 B.2 C.1 D. 2
考点二 复数的四则运算
i-2
3.(2011 北京,2,5 分)复数1 + 2i=( )
43
43
A.i B.-i C.-5-5i D.-5+5i
答案 A
1
4.计算
(1
+
i)2= .
1
答案 -2i
2i
5.复数1 + i= . 答案 1+i
炼技法
【方法集训】
方法 1 复数的概念及几何意义
破考点
备战 2020 高考
【考点集训】
考点一 复数的概念及几何意义
10i
1.(2012 北京文,2,5 分)在复平面内,复数3 + i对应的点的坐标为( ) A.(1,3) B.(3,1) C.(-1,3) D.(3,-1) 答案 A 2.(2015 北京文,9,5 分)复数 i(1+i)的实部为 . 答案 -1
答案 C
1 + 2i
2.(2018 课标Ⅱ,1,5 分) 1 - 2i =( )
43
43
34
34
A.-5-5i B.-5+5i C.-5-5i D.-5+5i
答案 D 3.(2018 课标Ⅲ,2,5 分)(1+i)(2-i)=( ) A.-3-i B.-3+i C.3-i D.3+i
答案 D
3+i
4.(2017 课标Ⅱ,1,5 分)1 + i=( )
A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i
答案 D 5.(2017 课标Ⅲ,2,5 分)设复数 z 满足(1+i)z=2i,则|z|=( )
1
2
A.2 B. 2 C. 2 D.2
答案 B
(1 + i)3
10.(2014 课标Ⅰ,2,5 分) (1 - i)2 =( ) A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i
答案 D
6 + 7i
11.(2018 天津,9,5 分)i 是虚数单位,复数1 + 2i= .
答案 4-i
备战 2020 高考
备战 2020 高考
备战 2020 高考
答案 C 7.(2017 北京西城二模,1)在复平面内,复数 z 对应的点是(1,-2),则复数 z 的共轭复数������=( ) A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i 答案 A 8.(2017 北京朝阳二模,1)已知 i 为虚数单位,则复数 z=i(1+2i)在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 B 9.(2017 北京海淀一模,2)已知复数 z=i(a+bi)(a,b∈R),则“z 为纯虚数”的充分必要条件为( ) A.a2+b2≠0 B.ab=0 C.a=0,b≠0 D.a≠0,b=0 答案 D 10.(2019 届北京十四中 10 月月考,2)记复数 z 的共轭复数为������,已知复数 z 满足(2-i)z=5,则|������|=( ) A. 3 B. 5 C. 7 D.5 答案 B 二、填空题(每小题 5 分,共 65 分)
方法 2 复数代数形式的四则运算
������
3.复数 z 满足i=2-3i,则复数 z 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
备战 2020 高考
答案 A
������ + i
4.若复数 1 - i 是纯虚数,则实数 a= . 答案 1
答案 C
1 + ������
8.(2015 课标Ⅰ,1,5 分)设复数 z 满足 1 - ������ =i,则|z|=( )
A.1 B. 2 C. 3 D.2
答案 A 9.(2015 课标Ⅱ,2,5 分)若 a 为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则 a=( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
i
5.(2018 北京东城一模,2)复数 z=1 - i在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 B 6.(2018 北京海淀二模,2)已知复数 z 在复平面内对应的点为(1,-1),则( ) A.z+1 是实数 B.z+1 是纯虚数 C.z+i 是实数 D.z+i 是纯虚数
( ) 1 + i 2
5.(2014 北京,9,5 分)复数 1 - i = . 答案 -1
B 组 统一命题、省(区、市)卷题组
考点一 复数的概念及几何意义
1.(2015 湖北,1,5 分)i 为虚数单位,i607 的共轭复数为( )
····
A.i B.-i C.1 D.-1 答案 A 2.(2018 江苏,2,5 分)若复数 z 满足 i·z=1+2i,其中 i 是虚数单位,则 z 的实部为 . 答案 2
1.已知 i 为虚数单位,设复数 z 满足 z+i=3,则|z|=( ) A.3 B.4 C. 10 D.10 答案 C
������
2.(2014 安徽,1,5 分)设 i 是虚数单位,������表示复数 z 的共轭复数.若 z=1+i,则i+i·������=( ) A.-2 B.-2i C.2 D.2i 答案 C
备战 2020 高考
专题十二 数系的扩充与复数的引入
挖命题 【真题典例】
【考情探究】
考点
内容解读
考题示例
5 年考情
考向
预测热度
1.理解复数的基本概
1.复数的 概念及几 何意义
念 2.理解复数相等的充 要条件 3.了解复数的代数表
2018 北京,2 2017 北京,2 2016 北京,9
复数的概念、运算和几何 意义的综合考查
i
3.(2018 北京石景山期末,2)设 i 是虚数单位,则复数2 + i在复平面内所对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 A 4.(2018 北京朝阳一模,2)复数 z 满足(1+i)z=i,则在复平面内复数 z 所对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 A
备战 2020 高考
������ + i
6.(2014 湖南,1,5 分)满足 ������ =i(i 为虚数单位)的复数 z=( )
11
11
11
A.2+2i B.2-2i C.-2+2i D.-2-2i
答案 B 7.(2014 广东,2,5 分)已知复数 z 满足(3+4i)z=25,则 z=( ) A.-3+4i B.-3-4i C.3+4i D.3-4i 答案 D 8.(2017 江苏,2,5 分)已知复数 z=(1+i)(1+2i),其中 i 是虚数单位,则 z 的模是 . 答案 10 9.(2017 浙江,12,5 分)已知 a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i 是虚数单位),则 a2+b2= ,ab= . 答案 5;2 10.(2016 江苏,2,5 分)复数 z=(1+2i)(3-i),其中 i 为虚数单位,则 z 的实部是 . 答案 5
C 组 教师专用题组
考点一 复数的概念及几何意义
2i
1.(2015 安徽,1,5 分)设 i 是虚数单位,则复数1 - i在复平面内所对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 B 2.(2014 重庆,1,5 分)复平面内表示复数 i(1-2i)的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 A 3.(2014 课标Ⅱ,2,5 分)设复数 z1,z2 在复平面内对应的点关于虚轴对称,z1=2+i,则 z1z2=( ) A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i 答案 A
������
4.(2016 天津,9,5 分)已知 a,b∈R,i 是虚数单位.若(1+i)(1-bi)=a,则������的值为 . 答案 2 5.(2015 天津,9,5 分)i 是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数 a 的值为 . 答案 -2 6.(2015 重庆,11,5 分)设复数 a+bi(a,b∈R)的模为 3,则(a+bi)(a-bi)= . 答案 3