挑战中考数学压轴题——几何综合题素质训练之正方形

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正方形定理常考题、易错题、压轴题集锦

正方形定理常考题、易错题、压轴题集锦
正方形定理是数学中一个非常重要的定理，它广泛应用于几何学和代数学中的许多问题。

在考试中，往往会出现与正方形定理相关的题目。

下面是一些常考题、易错题和压轴题的集锦，供您复和参考。

常考题：
1. 已知一个正方形的边长为a，求其面积。

2. 若正方形的对角线长为d，求其边长a。

3. 若一个正方形的面积为A，求其边长a。

易错题：
1. 一个正方形的周长为b，求其面积。

2. 若一个正方形的面积增加到原来的n倍，求其边长的增加倍数。

3. 一个正方形的面积是另一个正方形面积的k倍，求它们边长的比值。

压轴题：
1. 一个正方形与一个等边三角形的面积相等，求三角形的边长。

2. 一个正方形和一个圆的面积相等，求圆的半径。

3. 若正方形的面积与边长相等，求正方形的对角线长。

以上题目涉及正方形的面积、边长、对角线等相关知识点，解
题需要运用正方形定理及相关几何运算。

希望能够帮助您在考试中
更好地应对这些题目。

祝您取得好成绩！
注意：本文档中所有内容均为参考资料，如有需要，请在考试
前确保准确性。

初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案有答案

初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案有答案 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。

2.掌握正方形的性质定理1和性质定理2。

3.正确运用正方形的性质解题。

4.通过四边形的从属关系渗透集合思想。

5.通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点。

正方形的性质因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质（由学生和老师一起总结）。

正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。

正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。

小结：（1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图（2）正方形的性质：①正方形对边平行。

②正方形四边相等。

③正方形四个角都是直角。

④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

例1．如图，折叠正方形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD 重合，得折痕DG，使2AD=，求AG．【解析】：作GM⊥BD，垂足为M．由题意可知∠ADG=GDM，则△ADG≌△MDG．∴DM=DA=2． AC=GM又易知：GM=BM．而BM=BD-DM=22-2=2（2-1），∴AG=BM=2（2-1）．例2 ．如图，P为正方形ABCD内一点，10==，并且P点到CD边的距离也PA PB等于10，求正方形ABCD的面积？【解析】：过P作EF AB⊥于F交DC于E．设PF x =，则10EF x =+，1(10)2BF x =+．由222PB PF BF =+．可得：222110(10)4x x =++．故6x =．216256ABCD S ==．例3. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM EF ⊥，•垂足为M ，AM AB =，则有EF BE DF =+，为什么？【解析】：要说明EF=BE+DF ，只需说明BE=EM ，DF=FM 即可，而连结AE 、AF ．只要能说明△ABE ≌△AME ，△ADF ≌△AMF 即可．理由：连结AE 、AF ．由AB=AM ，AB ⊥BC ，AM ⊥EF ，AE 公用， ∴△ABE ≌△AME ． ∴BE=ME ．同理可得，△ADF ≌△AMF ． ∴DF=MF ．∴EF=ME+MF=BE+DF ．例4．如下图E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，且45EAF ︒∠=，试说明EF BE DF =+。

中考数学压轴题练习正方形问题含解析含答案

正方形问题1 如图，在边长为6的正方形ABCD的两侧作正方形BEFG和正方形DMNK，恰好使得N、A、F三点在一直线上，连接MF交线段AD于点P，连接NP，设正方形BEFG的边长为x，正方形DMNK的边长为y．（1）求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）当△NPF的面积为32时，求x的值；（3）以P为圆心，AP为半径的圆能否与以G为圆心，GF为半径的圆相切？如果能，请求出x的值，如果不能，请说明理由．解析：（1）∵正方形BEFG、正方形DMNK、正方形ABCD∴∠E＝∠F＝90O，AE∥MC，MC∥NK∴AE∥NK，∴∠KNA＝∠EAF∴△KNA∽△EAF，∴NKEA＝KAEF，即yx＋6＝y－6x∴y＝x＋6（0＜x≤6）（2）由（1）知NK＝AE，∴AN＝AF∵正方形DMNK，∴AP∥NM，∴FPPM＝AFAN＝1∴FP＝PM，∴S△MNP ＝S△NPF ＝32∴S正方形DMNK ＝2S△MNP ＝64∴y＝8，∴x＝2（3）连接PG，延长FG交AD于点H，则GH⊥AD易知：AP＝y2，AH＝x，PH＝y2－x，HG＝6；PG＝AP＋GF＝y2＋x①当两圆外切时在Rt△GHP中，PH2＋HG2＝PG2，即(y2－x)2＋62＝(y2＋x)2解得：x＝－3－33（舍去）或x＝－3＋3 3 ②当两圆内切时在Rt△GHP中，PH2＋HG2＝PG2，即(y2－x)2＋62＝(y2－x)2方程无解所以，当x＝33－3时，两圆相切N KGCEDFA BPM2 已知：正方形ABCD的边长为1，射线AE与射线BC交于点E，射线AF与射线CD交于点F，∠EAF ＝45°，连接EF．（1）如图1，当点E在线段BC上时，试猜想线段EF、BE、DF有怎样的数量关系？并证明你的猜想；（2）设BE＝x，DF＝y，当点E在线段BC上运动时（不包括点B、C），求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；（3）当点E在射线BC上运动时（不含端点B），点F在射线CD上运动．试判断以E为圆心，以BE 为半径的⊙E和以F为圆心，以FD为半径的⊙F之间的位置关系；（4）如图2，当点E在BC的延长线上时，设AE与CD交于点G．问：△EGF与△EFA能否相似？若能相似，求出BE的长，若不可能相似，请说明理由．解析：（1）猜想：EF＝BE＋DF证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABF′，易知点F′、B、E在同一直线上（如.图1）∵AF′＝AF∠F′AE＝∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝90°－45°＝45°＝∠EAF又AE＝AE，∴△AF′E≌△AFE∴EF＝F′E＝BE＋BF＝BE＋DF（2）在Rt△EFC中，EC2＋FC2＝EF2∵EC＝1－x，FC＝1－y，EF＝x＋y∴(1－x)2＋(1－y)2＝(x＋y)2∴y＝1－x1＋x（0＜x＜1）A BDCEF图1ABDC EFG图2ABDCEF图1F′12（3）①当点E 在点B 、C 之间时，由（1）知EF ＝BE ＋DF ，故此时⊙E 与⊙F 外切； ②当点E 在点C 时，DF ＝0，⊙F 不存在.③当点E 在BC 延长线上时，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°，得△ABF′（如图2）则AF′＝AF ，∠1＝∠2，B F′＝DF ，∠F ′AF ＝90° ∴∠F ′AE ＝∠EAF ＝45° 又AE ＝AE ，∴△AF ′E ≌△AFE ∴EF ＝EF′＝BE －B F′＝BE －DF ∴此时⊙E 与⊙F 内切综上所述，当点E 在线段BC 上时，⊙E 与⊙F 外切；当点E 在BC 延长线上时，⊙E 与⊙F 内切（4）△EGF 与△EFA 能够相似，只要当∠EFG ＝∠EAF ＝45° 即可此时CE ＝CF设BE ＝x ，DF ＝y ，由（3）知EF ＝x －y 在Rt △CFE 中，CE 2＋CF 2＝EF 2∴( x －1 )2＋( 1＋y )2＝( x －y )2∴y ＝ x －1x ＋1 （x ＞1）由CE ＝CF ，得x －1＝1＋y ，即x －1＝1＋ x －1x ＋1化简得x 2－2x －1＝0，解得x 1＝1－ 2（舍去），x 2＝1＋ 2 ∴△EGF 与△EFA 能够相似，此时BE 的长为1＋ 23 已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＝2，BC ＝6，AB ＝3．E 为BC 边上一点，以BE 为边作正方形BEFG ，使正方形BEFG 和梯形ABCD 在BC 的同侧．（1）当正方形的顶点F 恰好落在对角线AC 上时，求BE 的长；（2）将（1）问中的正方形BEFG 沿BC 向右平移，记平移中的正方形BEFG 为正方形B′EFG ，当点E 与点C 重合时停止平移．设平移的距离为t ，正方形B′EFG 的边EF 与AC 交于点M ，连接B′D ，B′M ，DM ．是否存在这样的t ，使△B′DM 是直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG 与△ADC 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式以及自变量t 的取值范围．A D A DABD CEF G图2F ′12解析：（1）如图①，设正方形BEFG的边长为x 则BE＝FG＝BG＝x∵AB＝3，BC＝6，∴AG＝AB－BG＝3－x∵GF∥BE，∴△AGF∽△ABC∴AGAB＝GFBC，即3－x3＝x6解得x＝2，即BE＝2（2）存在满足条件的t，理由如下：如图②，过D作DH⊥BC于点H则BH＝AD＝2，DH＝AB＝3由题意得：BB′＝HE＝t，HB′＝|t－2|，EC＝4－t在Rt△B′ME中，B′M2＝B′E2＋ME2＝22＋(2－12t)2＝14t2－2t＋8∵EF∥AB，∴△MEC∽△ABC∴MEAB＝ECBC，即ME3＝4－t6，∴ME＝2－12t在Rt△DHB′中，B′D2＝DH2＋B′H2＝32＋(t－2)2＝t2－4t＋13 过M作MN⊥DH于点N则MN＝HE＝t，NH＝ME＝2－12t∴DN＝DH－NH＝3－(2－12t)＝12t＋1在Rt△DMN中，DM2＝DN2＋MN2＝54t2＋t＋1（ⅰ）若∠DB′M＝90°，则DM2＝B′M2＋B′D2即54t2＋t＋1＝(14t2－2t＋8)＋(t2－4t＋13)，解得t＝207（ⅱ）若∠B′MD＝90°，则B′D2＝B′M2＋DM2即t2－4t＋13＝(14t2－2t＋8)＋(54t2＋t＋1)，解得t1＝－3＋17，t2＝－3－17∵0≤t≤4，∴t＝－3＋17BACD图①EFGBACD图②EFGH B′MN（ⅲ）若∠B′DM＝90°，则B′M2＝B′D2＋DM2即14t2－2t＋8＝(t2－4t＋13)＋(54t2＋t＋1)，此方程无解综上所述，当t＝207或－3＋17时，△B′DM是直角三角形（3）当0≤t≤43时，S＝14t2当43≤t≤2时，S＝－18t2＋t－23当2≤t≤103时，S＝－38t2＋2t－53当103≤t≤4时，S＝－12t＋52提示：当点F落在CD上时，如图③FE＝2，EC＝4－t，DH＝3，HC＝4由△FEC∽△DHC，得FEEC＝DHHC即24－t＝34，∴t＝43当点G落在AC上时，点G也在DH上（即DH与AC的交点）t＝2当点G落在CD上时，如图④GB′＝2，B′C＝6－t由△GB′C∽△DHC，得G′BB′C＝DHHC即26－t＝34，∴t＝103当点E与点C重合时，t＝4①当0≤t≤43时，如图⑤∵MF＝t，FN＝12t∴S＝S△FMN＝12·t·12t＝14t2②当43≤t≤2时，如图⑥∵PF＝t－43，FQ＝34PF＝34t－1BC图⑤EBC图⑥EBACD图③EFGB′HBACD图④EFGB′H∴S△FPQ＝12(t－43)(34t－1)＝38t2－t＋23∴S＝S△FMN－S△FPQ＝14t2－(38t2－t＋23)＝－18t2＋t－23③当2≤t≤103时，如图⑦∵B′M＝12B′C＝12(6－t)＝3－12t∴GM＝2－(3－12t)＝12t－1∴S梯形GMNF＝12(12t－1＋12t)×2＝t－1∴S＝S梯形GMNF－S△FPQ＝(t－1)－(38t2－t＋23)＝－38t2＋2t－53④当103≤t≤4时，如图⑧∵P B′＝34B′C＝34(6－t)＝92－34t∴GP＝2－(92－34t)＝34t－52∴S梯形GPQF＝12(34t－52＋34t－1)×2＝32t－72∴S＝S梯形GMNF－S梯形GPQF＝(t－1)－(32t－72)＝－12t＋52BC图⑦EB C图⑧EB。

正方形压轴培优4大专题

正方形压轴培优4大专题
正方形是最特的四边形，边、角、对角线均具有特殊性质，同时，由其自身的轴对称性及中心对称性，使得正方形有更多的考法。

一、正方形基本构图
二、弦图模型
三、当半角遇上三垂直
半角模型和三垂直极型都有正方形的身影，把这两个模型结合起来，问题将变得更有趣。

四、正方形综合
正方形综合题是几何压轴思的一神常见题型，在于正方形本身可以球全等、相似、对称、旋特，匀段等等知识相结合，考点广、合性强，需要扎实的知识基础以及恰当的方法选择。

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冲刺中考数学几何压轴题专项复习专题22正方形存在性问题巩固练习(提优)

正方形存在性问题巩固练习（提优）1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8，AD＝24，BC＝32，点P从A点出发，以1cm/s的速度向D运动，点Q从C点同时出发，以3cm/s的速度向B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点，也随之停止运动．（1）从运动开始，两点运动多长时间时，PQ＝CD？（2）从运动开始，是否存在某个时间，使得四边形ABQP恰好为正方形？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x、y轴于点A、B，直线BC分别交x、y 轴于点C、B，点A的坐标为（2，0），∠ABO＝30°，且AB⊥BC．（1）求直线BC和AB的解析式；（2）将点B沿某条直线折叠到点O，折痕分别交BC、BA于点E、D，在x轴上是否存在点F，使得点D、E、F为顶点的三角形是以DE为斜边的直角三角形？若存在，请求出F 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）在平面直角坐标系内是否存在两个点，使得这两个点与B、C两点构成的四边形是正方形？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝6cm．点P从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为1cm/s．过点P作PM⊥BC交AB于点M，过点Q作QN⊥BC，垂足为点N，连接MQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜3）．解答下列问题：（1）当t为何值时，点M是边AB中点？（2）设四边形PNQM的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PNQM：S△ABC＝4：9？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（4）是否存在某一时刻t，使四边形PNQM为正方形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．4．在平面直角坐标系中，直线AB的解析式为y＝﹣2x+12，点C是线段AB的中点．（1）如图，求直线OC的解析式；（2）点D从点O出发，沿射线OC方向运动，速度为每秒个单位，过点D作x轴的垂线，交直线AB于点E，设△EDC的面积为S，点D的运动时间为t，写出S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当点D运动时间恰好为2秒时，点P为直线AD上的动点，在平面内，是否存在点Q，使以点O，A，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝Rt∠，sin∠B，AB＝10，点D以每秒5个单位长度的速度从点B处沿沿射线BC方向运动，点F以相同的速度从点A出发沿边AB向点B 运动，当F运动至点B时，点D、E同时停止运动，设点D运动时间为t秒．（1）用含t的代数式分别表示线段BD和BF的长度．则BD＝，BF＝．（2）设△BDF的面积为S，求S关于t的函数表达式．（3）如图2，以DF为对角线作正方形DEFG，在运动过程中，是否存在正方形DEFG的一边恰好落在Rt△ABC的一边上，若存在，求出所有符合条件的t值；若不存在，请说明理由．6．如图，直线L1：y＝x+1与直线L2：y＝﹣x+5相交于点C直线L1与x轴相交于点A，直线L2与x轴相交于点B．（1）求三角形ABC的面积；（2）若经过点C的一条直线交x轴于D，直线CD把三角形ABC分成两个三角形，且这两个三角形面积的比为1：2，请直接写出点D的坐标；（3）假设G是直线y＝x+1上的点，在坐标平面上是否存在一点Q，使以A，B，Q，G为顶点的四边形是正方形，若存在求出点Q的坐标，若不存在请说明理由．7．如图，边长为5的正方形OABC的顶点O在坐标原点处，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是OA边上的点（不与点A重合）EF⊥CE，且与正方形外角平分线AG交于点P．（1）求证：CE＝EP（2）若点E坐标为（3，0）时．①在y轴上是否存在点M使得四边形BMEP是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．②在平面内是否存在点Q，使四边形CEPQ为正方形，若存在，请直接写出Q点坐标，若不存在，说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y x+4分别交x、y轴于B、A两点，将△AOB沿直线l2：y＝2x B落在点C处．（1）点C的坐标为；（2）若点D沿射线BA运动，连接OD，当△CDB与△CDO面积相等时，求直线OD的解析式；（3）在（2）的条件下，当点D在第一象限时，沿x轴平移直线OD，分别交x，y轴于点E，F，在平面直角坐标系中，是否存在点M（m，3）和点P，使四边形EFMP为正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．9．如图，对称轴为直线x的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）①当四边形OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形？②是否存在点E，使四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．正方形存在性问题巩固练习（提优）1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8，AD＝24，BC＝32，点P从A点出发，以1cm/s的速度向D运动，点Q从C点同时出发，以3cm/s的速度向B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点，也随之停止运动．（1）从运动开始，两点运动多长时间时，PQ＝CD？（2）从运动开始，是否存在某个时间，使得四边形ABQP恰好为正方形？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．【解答】（1）t＝10；（2）t＝8时，四边形ABQP是正方形【解析】（1）分两种情况：①当P、Q运动到P1D＝Q1C，P1D平行且等于Q1C，如图所示：此时四边形P1DCQ1是平行四边形，此时P1Q1＝CD．设运动时间为t秒，则AP1＝t，P1D＝24﹣t，CQ1＝3t，BQ1＝32﹣3t，∵P1D＝CQ1，∴24﹣t＝3t，解得t＝6，即t＝6时，P1Q1＝CD；②当P、Q运动到P2，Q2时，过D，P2分别作DH⊥BC于H，P2G⊥BC于G，如图所示：当Q2G＝HC＝8时，△P2Q2G≌△DCH，此时P2Q2＝CD．∵CQ2＝CH+HG+GQ2＝CH+DP2+GQ2，∴3t＝8+（24﹣t）+8，解得t＝10．综上所述，从运动开始，两点运动6秒或10秒时，PQ＝CD；（2）假设存在某个时间，使得四边形ABQP恰好为正方形．如图．∵∠B＝90°，AD∥BC，∴当AP＝BQ时，四边形ABQP为矩形，即t＝32﹣3t，解得t＝8，此时AP＝AB＝8，∴矩形ABQP为正方形，所以当t＝8时，四边形ABQP是正方形．2．如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x、y轴于点A、B，直线BC分别交x、y 轴于点C、B，点A的坐标为（2，0），∠ABO＝30°，且AB⊥BC．（1）求直线BC和AB的解析式；（2）将点B沿某条直线折叠到点O，折痕分别交BC、BA于点E、D，在x轴上是否存在点F，使得点D、E、F为顶点的三角形是以DE为斜边的直角三角形？若存在，请求出F 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）在平面直角坐标系内是否存在两个点，使得这两个点与B、C两点构成的四边形是正方形？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．（1）直线AB的解析式为，直线BC；【解答】（2）F坐标为（﹣2，0）或（0，0）；（3）M″（﹣3﹣，3+），N﹣3﹣3）【解析】（1）在Rt△AOB中，∵OA＝2，∠ABO＝30°，∴OB，在Rt△OBC中，∵∠BCO＝30°，OB，∴OC＝6，∴B（0），C（﹣6，0），设直线AB的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线AB的解析式为，设直线BC的解析式为y＝k′x+b′则有，解得，∴直线BC．（2）如图，根据对称性可知，当点F与O重合时，∠EF′D＝∠EBD＝90°，此时F′（0，0），设DE交OB于K，作FH⊥DE于H．当△EFD≌△DF′E时，∠EFD＝∠DF′E＝90°，易证DK＝EH＝1，DE＝＝4，∴KH＝OF＝4﹣2＝2，∴F（﹣2，0），综上所述，满足条件的点F坐标为（﹣2，0）或（0，0）．（3）如图2中，∵B（0），C（﹣6，0），∴BC＝4，当BC为正方形BCMN的边时，M（﹣6﹣，6），N（﹣，2+6）或M′（2﹣6，﹣6），N′（2，2﹣6）．当BC为正方形的对角线时，M″（﹣3﹣，3+），N″（﹣3，﹣3）．3．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝6cm．点P从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为1cm/s．过点P作PM⊥BC交AB于点M，过点Q作QN⊥BC，垂足为点N，连接MQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜3）．解答下列问题：（1）当t为何值时，点M是边AB中点？（2）设四边形PNQM的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PNQM：S△ABC＝4：9？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（4）是否存在某一时刻t，使四边形PNQM为正方形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【解答】（1；（2）y＝S四边形PNQM ＝t2+6（0＜t＜5）；（3）t＝（4）不存在【解析】（1）过点A作AD⊥BC于D，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BD＝CD＝3，AD＝4，∵PM⊥BC，∴PM∥AD，∴∵点M是AB的中点，∴BM＝AB，∵BP＝t，∴；（2）∵∠B＝∠B，∠MPB＝∠ADB＝90°，∴△MBP∽△ABD，∴，∴∴，同理：△QCN∽△ACD，∴，∴CQ＝5﹣t，∴，∴QN＝（5﹣t）＝4t，CN＝3﹣，∴PN＝6﹣t﹣3+t，∴y＝S四边形PNQM＝MP+QN）•PN t+4t）（3﹣）＝t2+6（0＜t＜5）；（3）存在，理由：假设存在t，使S四边形PNQM：S△ABC＝4：9，，∴y＝SBC•AD＝12，∵S，∴t＝﹣t＝即：存在时间t＝S四边形PNQM：S△ABC＝4：9，（4）不存在，理由：假设存在，使四边形PNQM为正方形，∴PM＝QN，PM＝PN，当PM＝QN时，t＝4t，∴t，∴PM t＝，PN＝3﹣＝，∴PM≠PN，∴不存在某一时刻t，使四边形PNQM为正方形．4．在平面直角坐标系中，直线AB的解析式为y＝﹣2x+12，点C是线段AB的中点．（1）如图，求直线OC的解析式；（2）点D从点O出发，沿射线OC方向运动，速度为每秒个单位，过点D作x轴的垂线，交直线AB于点E，设△EDC的面积为S，点D的运动时间为t，写出S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当点D运动时间恰好为2秒时，点P为直线AD上的动点，在平面内，是否存在点Q，使以点O，A，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】（1）y＝2x；（2）S＝2t2﹣12t+18（t＞0且t≠3）；（3）Q1（6，6），Q2（3，﹣3）【解析】（1）∵直线AB的解析式为y＝﹣2x+12，∴当y＝0时，﹣2x+12＝0，解得x＝6，即A（6，0），当x＝0时，y＝12，即B（0，12），∵点C是线段AB的中点，∴点C坐标为（3，6）．设直线OC的解析式为y＝kx，则3k＝6，解得k＝2，故直线OC的解析式为y＝2x；（2），点D从点O出发，沿射线OC方向运动，速度为每秒个单位，∴点D运动到点C．设ED⊥x轴于点M．∵OC为直角△ABC斜边AB的中线，∴OC＝AC，∴∠DOM＝∠OAB．∵在直角△DOM中，OD＝t，∴OM＝OD•cos∠DOM＝OD•cos∠OAB＝，DM＝OD•sin∠DOM＝OD•sin∠OAB，∴D（t，2t），∴E（t，﹣2t+12）．如图，分两种情况：①当0＜t＜3时，D在线段OC上，∵DE＝﹣2t+12﹣2t＝﹣4t+12，C到DE的距离为：3﹣t，∴S△CDE＝4t+12）（3﹣t）＝2t2﹣12t+18，即S＝2t2﹣12t+18；②当t＞3时，D线段OC的延长线上，∵DE＝2t﹣（﹣2t+12）＝4t﹣12，C到DE的距离为：t﹣3，∴S△CDE＝4t﹣12）（t﹣3）＝2t2﹣12t+18，即S＝2t2﹣12t+18；综上所述，S与t的函数关系式为S＝2t2﹣12t+18（t＞0且t≠3）；（3）当点D运动时间为2秒时，OD，D（2，4）．设直线AD的解析式为y＝mx+n，∵A（6，0），D（2，4），∴，解得，∴直线AD的解析式为y＝﹣x+6，∴直线AD与y轴交点为（0，6）．以点O，A，P，Q为顶点的四边形为正方形时，分两种情况：①如果OA为正方形的边，如图，作正方形OP1Q1A，则P1为直线AD与y轴交点，如图所示：∵OA＝OP1＝6，∠OAQ1＝90°，∴Q1点的坐标为（6，6）；②如果OA为正方形的对角线，设OA中点为N，则N（3，0），当x＝3时，y＝﹣3+6＝3．作OA的垂直平分线l，交直线AD于点P2，如图所示：则P2点的坐标为（3，3），在l上截取NQ2＝NP2，则四边形OP2AQ2是正方形，此时Q2点的坐标为（3，﹣3）．综上所述，所求Q点的坐标为Q1（6，6），Q2（3，﹣3）．5．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝Rt∠，sin∠B，AB＝10，点D以每秒5个单位长度的速度从点B处沿沿射线BC方向运动，点F以相同的速度从点A出发沿边AB向点B 运动，当F运动至点B时，点D、E同时停止运动，设点D运动时间为t秒．（1）用含t的代数式分别表示线段BD和BF的长度．则BD＝，BF＝．（2）设△BDF的面积为S，求S关于t的函数表达式．（3）如图2，以DF为对角线作正方形DEFG，在运动过程中，是否存在正方形DEFG的一边恰好落在Rt△ABC的一边上，若存在，求出所有符合条件的t值；若不存在，请说明理由．【解答】（1）BD＝5t，BF＝10﹣5t；（2）S＝﹣t2+15t；（3）t＝s或s或s时，正方形DEFG的一边恰好落在Rt△ABC的一边上【解析】（1）在Rt△ABC中，∵AB＝10，tanB，∴AC＝6，BC＝8．由题意BD＝5t，BF＝10﹣5t，（2）如图1中，作FM⊥BC于M．∵FM∥AC，∴∴，∴FM10﹣5t）＝6﹣3t，∴S＝BD•FM＝5t•（6﹣3t）＝﹣t2+15t．（3）如图2中，当DE在BC边上时，作FM⊥AC于M．易知FM＝EC＝4t，AM＝3t，CM＝EF＝DE＝6﹣3t，∵BD+DE+EC＝8，∴5t+6﹣3t+4t＝8，∴t s．如图3中，当FG在AB边上时，易知DG＝FG＝3t，BG＝4t，∵BG+FG+AF＝10，∴4t+3t+5t＝10，∴t s．如图4中，当DG在BC边上上时，易知FG＝DG＝6﹣3t，BG＝8﹣4t，∵BD＝BG+DG＝5t，∴8﹣4t+6﹣3t＝5t，∴t s．如图5中，当EF在边AB上时，易知BE＝4t，DE＝EF＝3t，∵BE﹣EF＝BF，∴4t﹣3t＝10﹣5t，∴t＝．综上所述，t s或或s或时，正方形DEFG的一边恰好落在Rt△ABC的一边上．6．如图，直线L1：y＝x+1与直线L2：y＝﹣x+5相交于点C直线L1与x轴相交于点A，直线L2与x轴相交于点B．（1）求三角形ABC的面积；（2）若经过点C的一条直线交x轴于D，直线CD把三角形ABC分成两个三角形，且这两个三角形面积的比为1：2，请直接写出点D的坐标；（3）假设G是直线y＝x+1上的点，在坐标平面上是否存在一点Q，使以A，B，Q，G为顶点的四边形是正方形，若存在求出点Q的坐标，若不存在请说明理由．【解答】（1）S△ABC＝9；（2）D（1，0）或D（3，0）；（3）Q（﹣1，6）或Q（2，﹣3）【解析】（1）在y＝x+1中，当y＝0时，则x＝﹣1，∴A（﹣1，0）在y＝﹣x+5中当y＝0时，则x＝5，∴B（5，0）∴AB＝OA+OB＝6，由，解得，∴C（2，3）∴作CE⊥x轴于E．∴E（2，0）∴CE＝3•AB•CE6×3＝9，∴S（2）由题意A（﹣1，0），B（5，0），AD＝2BD或BD＝2AD，可得D（1，0）或D（3，0）．（3）设y＝x+1交y轴于F，则F（0，1）．∴OF＝OA，∴∠OAF＝45°，同理∠ABC＝45°，∴∠ACB＝90°，∴CA＝CB，在L1上取点G（G异于A），且CG＝CA，在L2上取点Q（Q异于B），且CQ＝CB∴CG＝CA＝CQ＝CB，又∵AG⊥BQ，∴四边形ABGQ为正方形，又∵A（﹣1，0），∴AB＝AQ＝6∴Q（﹣1，6）．当G与C重合时，以AB为对称轴作G的对称点Q，于是四边形AQBG为正方形．又∵G（2，3），∴Q（2，﹣3）综合上述：Q（﹣1，6）或Q（2，﹣3）．7．如图，边长为5的正方形OABC的顶点O在坐标原点处，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是OA边上的点（不与点A重合）EF⊥CE，且与正方形外角平分线AG交于点P．（1）求证：CE＝EP（2）若点E坐标为（3，0）时．①在y轴上是否存在点M使得四边形BMEP是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．②在平面内是否存在点Q，使四边形CEPQ为正方形，若存在，请直接写出Q点坐标，若不存在，说明理由．【解答】（1）见解析；（2）①M（0，2），②Q（5，8）【解析】（1）证明：如图1，在OC上截取OK＝OE．连接EK，∵OC＝OA，∠COA＝∠BAO＝90°，∠OEK＝∠OKE＝45°，∵AP为正方形OCBA的外角平分线，∴∠BAP＝45°，∴∠EKC＝∠P AE＝135°，∴CK＝EA，∵EC⊥EP，∴∠CEF＝∠COE＝90°，∴∠CEO+∠KCE＝90°，∠CEO+∠PEA＝90°，∴∠KCE＝∠PEA，在△CKE和△EAP中，，∴△CKE≌△EAP（ASA），∴EC＝EP；（2）①y轴上存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形．如图2，过点B作BM∥PE交y轴于点M，连接BP，EM，则∠CQB＝∠CEP＝90°，所以∠OCE＝∠CBQ，∵在△BCM和△COE中，∵，∴△BCM≌△COE（ASA），∴BM＝CE，∵CE＝EP，∴BM＝EP．∵BM∥EP，∴四边形BMEP是平行四边形，∵△BCM≌△COE，∴CM＝OE＝3，∴OM＝CO﹣CM＝2．故点M的坐标为（0，2）．②如图3，存在点Q使四边形CEPQ是正方形，过点Q作QH⊥y轴于点Q，则∠QHC＝∠COE＝90°，∴∠HQC+∠HCQ＝90°，∵∠QCE＝90°，∴∠HCQ+∠ECO＝90°，∴∠ECO＝∠HQC，∵四边形CEPQ是正方形，∴CQ＝EC，∴△HCQ≌△OEC（AAS），∴HC＝OE＝3，HQ＝OC＝5，则HO＝8，∴点Q的坐标为（5，8）．8．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y x+4分别交x、y轴于B、A两点，将△AOB沿直线l2：y＝2x B落在点C处．（1）点C的坐标为；（2）若点D沿射线BA运动，连接OD，当△CDB与△CDO面积相等时，求直线OD的解析式；（3）在（2）的条件下，当点D在第一象限时，沿x轴平移直线OD，分别交x，y轴于点E，F，在平面直角坐标系中，是否存在点M（m，3）和点P，使四边形EFMP为正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【解答】（1）（0，3）；（2）y＝2x或y＝﹣2x；（3）点P（﹣3，1）【解析】（1）直线l1：分别交x、y轴于B、A两点，则点A、B的坐标分别为：（0，4）、（6，0），设直线l2与y轴交于点H（0，），则CH＝BH OC＝HC﹣OH，故答案为：（0，3）；（2）①点D在第一象限时，∵△CDB与△CDO面积相等，∴CD∥OB，∴点D的纵坐标为3，当y＝3时，+4＝3，解得：x，∴点D的坐标为（3），∴直线OD的解析式为：y＝2x；②点D在第二象限时，AC＝4﹣3＝1．设点D到y轴的距离为a，则S△CDB＝S△CDA+S△CAB＝1•a×1×6＝+3，∵△CDB与△CDO面积相等，∴+3＝×3a，解得a＝3，∴点D的横坐标为﹣3，当x＝﹣3时，y＝3）+4＝6，∴点D的坐标为（﹣3，6），∴直线OD的解析式为：y＝﹣2x；（3）存在，理由：设直线OD平移后的解析式为y＝2x+b，令y＝0，则2x+b＝0，解得x＝﹣，令x＝0，则y＝b，所以OE b，OF＝b，过点M作MN⊥y轴于N，过点P作PQ⊥x轴于Q，如图所示：∵四边形EFMP为正方形，∴△MNF≌FOE≌△EQP，∴MN＝OF＝EQ，NF＝OE＝PQ，M（m，3），∴ON＝b+b＝3，解得b＝2，∴OE＝1，OF＝2，∴OQ＝OE+QE＝1+2＝3，∴M（﹣2，3），P（﹣3，1）．故存在点M（﹣2，3）和点P（﹣3，1），使四边形EFMP为正方形．9．如图，对称轴为直线x的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）①当四边形OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形？②是否存在点E，使四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】（1）（2）S＝﹣4（x﹣）2+25（1＜x＜6）；（3）①是，②不存在【解析】（1）由题可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣）2+k，∵抛物线经过点A（6，0）和B（0，4），∴，解得，∴抛物线的解析式为（2）过点E作EH⊥OA，垂足为H，如图1，由＝0得x1＝1，x2＝6．∵点E（x，y）是抛物线上位于第四象限一动点，∴1＜x＜6，y＜0．∵四边形OEAF是平行四边形，∴△OAE≌△AOF．∴S＝2S△OAE＝2•EH＝OA•EH＝﹣6y＝﹣6×[x2﹣＝﹣4（x）2+25．∴四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式为S＝﹣4（x）2+25，其中1＜x＜6．（3）①当S＝24时，﹣4（x）2+25＝24，解得x1＝4，x2＝3．Ⅰ．当x＝4时，y×（4﹣）2﹣＝﹣4，则点E（4，﹣4）．过点E作EH⊥x轴，垂足为H，如图2，则有OH＝4，EH＝4，AH＝2．∵EH⊥x轴，∴OE AE．∴OE≠AE．∴平行四边形OEAF不是菱形．Ⅱ．当x＝3时，y×（3﹣）2﹣＝﹣4，则点E（3，﹣4）．过点E作EH⊥x轴，垂足为H，如图3，则有OH＝3，EH＝4，AH＝3．∵EH⊥x轴，∴OE＝5，AE＝5．∴OE＝AE．∴平行四边形OEAF是菱形．综上所述；当点E为（4，﹣4）时，平行四边形OEAF不是菱形；当点E为（3，﹣4）时，平行四边形OEAF是菱形．②不存在点E，使四边形OEAF为正方形．理由如下：当点E在线段OA的垂直平分线上时，EO＝EA，则平行四边形OEAF是菱形，如图4，此时，x E＝＝3，y E＝﹣4，点E为（3，﹣4）．则有OA＝6，EF＝8．∵OA≠EF，∴菱形OEAF不是正方形．∴不存在点E，使四边形OEAF为正方形．。

初中数学正方形压轴题题型大全

初中数学里，正方形相关的题型是非常重要的，它涉及到了面积、周长、对角线、图形的性质等等。

掌握好正方形的相关知识，对学生的数学学习有着重要的影响。

在这篇文章中，我们将会介绍初中数学中与正方形相关的压轴题题型，希望能够帮助学生更好地理解和掌握这部分知识。

一、正方形的性质1.定义正方形是一种特殊的四边形，它有四条边，四个角均为直角，且四条边均相等。

2.面积公式正方形的面积公式为：面积 = 边长× 边长，即S=a^2。

3.周长公式正方形的周长公式为：周长= 4 × 边长，即C=4a。

4.对角线性质正方形的对角线相等且垂直平分。

二、正方形的应用题1.求面积已知一个正方形的边长为5cm，求其面积。

解：根据正方形的面积公式可知，面积= 5cm × 5cm = 25cm²。

该正方形的面积为25平方厘米。

2.求周长已知一个正方形的周长为24dm，求其边长。

解：根据正方形的周长公式可知，周长= 4 × 边长，即24dm = 4 × 边长，解得边长为6dm。

该正方形的边长为6分米。

3.求对角线长已知一个正方形的对角线长为10m，求其面积。

解：根据对角线分割正方形为两个全等的直角三角形，可以利用勾股定理求得正方形的边长，再利用面积公式求得面积。

三、正方形的相关性质1.正方形的对角线长度为边长的√2倍。

2.正方形的边长、对角线和面积的关系。

3.正方形与菱形的关系。

四、解题方法1.结合图形进行解题。

2.利用正方形的性质和公式进行计算。

3.将问题转化为方程，从而求解。

五、典型例题分析1.已知一个正方形的对角线长为6cm，求其面积和周长。

2.一个正方形的面积是16平方米，求其边长和周长。

3.一个正方形和一个等边三角形的周长相等，且它们的面积分别为36平方米和24平方米，求正方形的边长。

六、学习方法1.掌握正方形的定义和性质。

2.熟练掌握正方形的面积和周长公式。

3.多做相关的练习题，加深对知识的理解和掌握。

冲刺中考数学几何压轴题专项复习专题22正方形存在性问题巩固练习(基础)

正方形存在性问题巩固练习（基础）1．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24厘米，AB＝8厘米，BC ＝30厘米，动点P从A开始沿AD边向D以每秒1厘米的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向B以每秒3厘米的速度运动，P，Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒．（1）当t在什么时间范围时，CQ＞PD？（2）存在某一时刻t，使四边形APQB是正方形吗？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．2．如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒3cm的速度向B移动，一直达到B止，点Q以每秒2cm的速度向D移动．（1）P、Q两点出发后多少秒时，四边形PBCQ的面积为36cm2？（2）是否存在某一时刻，使PBCQ为正方形？若存在，求出该时刻；若不存在，说明理由．3．如图，正比例函数y＝ax与反比例函数（x＞0）的图象交于点（1）求这两个函数的表达式；（2）如图1，若∠AMB＝90°，且其两边分别于两坐标轴的正半轴交于点A、B．求四边形OAMB的面积．（3）如图2，点P是反比例函数（x＞0）的图象上一点，过点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，PF交直线OM于点H，过作x轴的垂线，垂足为G．设点P的横坐标为m，当时，是否存在点P，使得四边形PEGH为正方形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中Rt△AOB≌Rt△CDA，且A（﹣1，0），B（0，2）抛物线y ＝ax2+ax﹣2经过点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线（对称轴的右侧）上是否存在两点P、Q，使四边形ABPQ为正方形？若存在，求点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．5．已知：t1，t2是方程t2+2t﹣24＝0的两个实数根，且t1＜t2，抛物线y x2+bx+c的图象经过点A（t1，0），B（0，t2）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设点P（x，y）是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形OP AQ是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OP AQ的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，当平行四边形OP AQ的面积为24时，是否存在这样的点P，使平行四边形OP AQ为正方形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．6．如图，抛物线y＝﹣ax2+bx+5过点（1，2）、（4，5），交y轴于点B，直线AB经过抛物线顶点A，交x轴于点C，请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）点Q在平面内，在第一象限内是否存在点P，使以A，B，P，Q为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，点A是动点且纵坐标为6，点B是线段OA上一动点，过点B作直线MN∥x轴，设MN分别交射线OA与x轴所成的两个角的平分线于点E、F．（1）求证：EB＝BF；（2为何值时，四边形AEOF是矩形？证明你的结论；（3）是否存在点A、B，使四边形AEOF为正方形？若存在，求点A与B的坐标；若不存在，说明理由．8．如图，已知二次函数y＝ax2+c图象的顶点为点M（0，﹣9），且经过点A（3，0）．（1）求此二次函数的关系式；（2）设点D（x，y）是此二次函数图象上一动点，且位于第三象限，点C的坐标为（﹣5，0），四边形ABCD是以AC为对角线的平行四边形．①求平行四边形ABCD的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②当点B在此二次函数图象的对称轴上时，求平行四边形ABCD的面积；③当平行四边形ABCD的面积为64时，请判断平行四边形ABCD是否为菱形？④是否存在点D，使平行四边形ABCD为正方形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图（1），在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m交y轴于点A，交x轴于点B，点C 为OB的中点，作C关于直线AB的对称点F，连接BF和OF，OF交AC于点E，交AB于点M．（1）直接写出点F的坐标（用m表示）；（2）求证：OF⊥AC；（3）如图（2），若m＝2，点G，0），过G点的直线GP：y＝kx+b（k≠0）与直线AB始终相交于第一象限；①求k的取值范围；②如图（3），若直线GP经过点M，过点M作GM的垂线交FB的延长线于点D，在平面内是否存在点Q，使四边形DMGQ为正方形？如果存在，请求出Q点坐标；如果不存在，请说明理由．正方形存在性问题巩固练习（基础）1．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24厘米，AB＝8厘米，BC＝30厘米，动点P从A开始沿AD边向D以每秒1厘米的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向B以每秒3厘米的速度运动，P，Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒．（1）当t在什么时间范围时，CQ＞PD？（2）存在某一时刻t，使四边形APQB是正方形吗？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．【解答】（1）当6＜t≤10时，CQ＞PD；（2）不存在【解析】（1）∵CQ＝3t，24﹣t，∴由CQ＞PD有3t＞24﹣t，解得t＞6．又∵P、Q点的运动时间只能是30÷3＝10（s），∴6＜t≤10，即当6＜t≤10时，CQ＞PD．（2）若四边形是正方形，则AP＝AB且BQ＝AB，∴1×t＝8且30﹣3t＝8，显然无解，即不存在t的值使得四边形APQB是正方形．2．如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒3cm的速度向B移动，一直达到B止，点Q以每秒2cm的速度向D移动．（1）P、Q两点出发后多少秒时，四边形PBCQ的面积为36cm2？（2）是否存在某一时刻，使PBCQ为正方形？若存在，求出该时刻；若不存在，说明理由．【解答】（1）P、Q两点出发后4秒时，四边形PBCQ的面积为36cm2；（2）不存在【解析】（1）设P、Q两点出发t秒时，四边形PBCQ的面积为36cm2．由矩形ABCD得∠B＝∠C＝90°，AB∥CD，所以四边形PBCQ为直角梯形，故S梯形PBCQ CQ+PB）•BC．又S梯形PBCQ＝36，所以2t+16﹣3t）•6＝36，解得t＝4（秒）；（2）不存在．因为要使四边形PBCQ为正方形，则PB＝BC＝CQ＝6，所以P点运动的时间为秒，Q点运动的时间是3秒，P、Q的时间不一样，所以不存在该时刻．3．如图，正比例函数y＝ax与反比例函数（x＞0）的图象交于点（1）求这两个函数的表达式；（2）如图1，若∠AMB＝90°，且其两边分别于两坐标轴的正半轴交于点A、B．求四边形OAMB的面积．（3）如图2，点P是反比例函数（x＞0）的图象上一点，过点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，PF交直线OM于点H，过作x轴的垂线，垂足为G．设点P的横坐标为m，当时，是否存在点P，使得四边形PEGH为正方形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】（1）y＝x；（2）6；（3）P）【解析】（1y＝ax与得：，解得：a＝1，k＝6．∴这两个函数的表达式分别为：y＝x．（2）如图，过点M分别做x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D．则∠MCA＝∠MDB＝90°，∠AMC＝∠BMD＝90°﹣∠AMD，MC＝MD＝，∴△AMC≌△BMD，∴S四边形OCMD＝S四边形OAMB＝6．（3）设P点坐标为（x，），则PE＝HG＝GE＝，OE＝x，∵∠MOE＝45°，∴OG＝GH＝，∴OE＝OG+GH＝，∴x＝，解得x，∴P，）．4．如图，在平面直角坐标系中Rt△AOB≌Rt△CDA，且A（﹣1，0），B（0，2）抛物线y ＝ax2+ax﹣2经过点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线（对称轴的右侧）上是否存在两点P、Q，使四边形ABPQ为正方形？若存在，求点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】（1）y＝x2+x﹣2；（2）P（2，1）、Q（1，﹣1）【解析】（1）由Rt△AOB≌Rt△CDA，得OD＝2+1＝3，CD＝1∴C点坐标为（﹣3，1），∴抛物线经过点C，∴1＝a（﹣3）2+a（﹣3）﹣2，∴a＝∴抛物线的解析式为y＝2+x﹣2；（2）在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P、Q，使四边形ABPQ是正方形．以AB为边在AB的右侧作正方形ABPQ，过P作PE⊥OB于E，QG⊥x轴于G，可证△PBE ≌△AQG≌△BAO，∴PE＝AG＝BO＝2，BE＝QG＝AO＝1，∴P点坐标为（2，1），Q点坐标为（1，﹣1）．由（1）抛物线y x2+﹣2，当x＝2时，y＝1；当x＝1时，y＝﹣1．∴P、Q在抛物线上．故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P（2，1）、Q（1，﹣1），使四边形ABPQ是正方形．5．已知：t1，t2是方程t2+2t﹣24＝0的两个实数根，且t1＜t2，抛物线y x2+bx+c的图象经过点A（t1，0），B（0，t2）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设点P（x，y）是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形OP AQ是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OP AQ的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，当平行四边形OP AQ的面积为24时，是否存在这样的点P，使平行四边形OP AQ为正方形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．【解答】（1）y2+x+4；（2）S＝﹣4（x）2+25（﹣6＜x＜﹣1）；（3）不存在【解析】（1）t2+2t﹣24＝0，（t+6）（t﹣4）＝0，t1＝﹣6，t2＝4∵t1＜t2，∴A（﹣6，0），B（0，4）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A，B两点．∴，解得，∴y＝2+x+4．（2）∵点P（x，y）在抛物线上，位于第三象限，∴y＜0，即﹣y＞0．又∵S＝2S△APO＝2×|OA|•|y|＝|OA|•|y|＝6|y|，∴S＝﹣6y＝﹣6x2+x+4）＝﹣4（x2+7x+6）＝﹣4（x）2+25令y＝0时，x2x+4＝0，解得x1＝﹣6，x2＝﹣1．∵抛物线与x轴的交点坐标为（﹣6，0），（﹣1，0），∴x的取值范围为﹣6＜x＜﹣1．（3）当S＝24时，得24＝﹣4（x+2+25，解得：x1＝﹣3，x2＝﹣4代入解析式得：y1＝﹣4，y2＝﹣4．∴点P的坐标为（﹣3，﹣4），（﹣4，﹣4）当点P为（﹣3，﹣4）时，满足PO＝P A，此时，平行四边形OP AQ是菱形．当点P为（﹣4，﹣4）时，不满足PO＝P A，此时，平行四边形OP AQ不是菱形．而要使平行四边形OP AQ为正方形，那么，一定有OA⊥PQ，AO＝PQ，此时，点P的坐标为（﹣3，﹣3），而（﹣3，﹣3）不在抛物线y＝x2x+4上，故不存在这样的点P，使四边形OP AQ为正方形．6．如图，抛物线y＝﹣ax2+bx+5过点（1，2）、（4，5），交y轴于点B，直线AB经过抛物线顶点A，交x轴于点C，请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）点Q在平面内，在第一象限内是否存在点P，使以A，B，P，Q为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】（1）y＝x2﹣4x+5；（2）P（6，3）或（4，7）【解析】（1）∵抛物线y＝﹣ax2+bx+5过点（1，2）、（4，5），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+5；（2）在y＝x2﹣4x+5中，令x＝0可得y＝5，∴B（0，5），∵y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，∴A（2，1），∴，设直线AB解析式为y＝kx+n，则有，解得，∴直线AB解析式为y＝﹣2x+5，①当P A⊥AB时，如图，可设直线P A解析式为y+m，把A（2，1）代入可得1+m＝1，解得m＝0，∴直线P A解析式为y x，∴可设点P坐标为（x，），∴，∵四边形P ABQ为正方形，∴P A＝AB，即，解得x＝﹣2或x＝6∵点P在第一象限内，∴x＝﹣2不符合题意，舍去，故x＝6，此时P点坐标为（6，3）；②当PB⊥AB时，如图2，可设直线PB解析式为y+s，把B（0，5）代入可得s＝5，∴直线PB解析式为y x+5，∴可设P点坐标为（x，+5），∴，解得x＝﹣4（舍去）或x＝4，此时P点坐标为（4，7）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（6，3）或（4，7）．7．如图，在平面直角坐标系中，点A是动点且纵坐标为6，点B是线段OA上一动点，过点B作直线MN∥x轴，设MN分别交射线OA与x轴所成的两个角的平分线于点E、F．（1）求证：EB＝BF；（2为何值时，四边形AEOF是矩形？证明你的结论；（3）是否存在点A、B，使四边形AEOF为正方形？若存在，求点A与B的坐标；若不存在，说明理由．【解答】（1）见解析；（2）是，见解析；（3）A（0，6），B（0，3）【解析】（1）证明：∵OF平分OA与x轴正方向的夹角，如图所示：∴∠1＝∠3，∵MN∥x轴，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴BO＝BF，同理可得BE＝BO，∴BE＝BF；（2时，四边形AEOF是矩形．理由如下：∵，即BO＝BA，而BE＝BF，∴四边形AEOF为平行四边形，∵MN分别交射线OA与x轴所成的两个角的平分线于点E、F．∴∠EOF180°＝90°，∴四边形AEOF是矩形；（3）存在．∵四边形AEOF是矩形，∴当OA⊥EF时，四边形AEOF为正方形，而EF∥x轴，∴OA⊥x轴，∴点A在y轴上，∴点A的坐标为（0，6），∵BO＝BA，∴B点坐标为（0，3）．8．如图，已知二次函数y＝ax2+c图象的顶点为点M（0，﹣9），且经过点A（3，0）．（1）求此二次函数的关系式；（2）设点D（x，y）是此二次函数图象上一动点，且位于第三象限，点C的坐标为（﹣5，0），四边形ABCD是以AC为对角线的平行四边形．①求平行四边形ABCD的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②当点B在此二次函数图象的对称轴上时，求平行四边形ABCD的面积；③当平行四边形ABCD的面积为64时，请判断平行四边形ABCD是否为菱形？④是否存在点D，使平行四边形ABCD为正方形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】（1）y＝x2﹣9；（2）①（﹣3＜x＜0），②40，③是菱形；（4）不存在【解析】（1）由题意得，解得故二次函数的关系式为y＝x2﹣9，（2）①D（x，y）在二次函数的图象上，且位于第三象限，∴y＜0，即﹣y＞0，﹣y表示点D到AC的距离．∵AC是平行四边形ABCD的对角线，．当y＝0时，x2﹣9＝0，得x＝±3所以二次函数的图象与x轴的另一个交点是（﹣3，0），所以，自变量x的取值范围是﹣3＜x＜0．②如图：当点B在此二次函数图象的对称轴上时，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠DCE＝∠BAO，∠CED＝∠AOB＝90°，∴△ABO≌△CDE∵点B在二次函数的图象的对称轴上OA＝3，∴CE＝OA＝3，所以OE＝2，所以当x＝﹣2时，y＝﹣5，S＝40；③根据题意，当S＝64时，即﹣8x2+72＝64．解之，得x1＝1，x2＝﹣1．故所求的点D有两个，分别为D1（1，﹣8）（舍去），D2（﹣1，﹣8），所以平行四边形ABCD不是菱形（或者说明点D不在第三象限）；点D2（﹣1，﹣8）满足DC＝DA，所以平行四边形ABCD是菱形．④当AC⊥BD，且AC＝BD时，平行四边形ABCD是正方形，此时点D的坐标只能是（﹣1，﹣4）．而坐标为（﹣1，﹣4）的点不在二次函数的图象上，故不存在这样的点D，使平行四边形ABCD为正方形．9．如图（1），在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m交y轴于点A，交x轴于点B，点C 为OB的中点，作C关于直线AB的对称点F，连接BF和OF，OF交AC于点E，交AB于点M．（1）直接写出点F的坐标（用m表示）；（2）求证：OF⊥AC；（3）如图（2），若m＝2，点G，0），过G点的直线GP：y＝kx+b（k≠0）与直线AB始终相交于第一象限；①求k的取值范围；②如图（3），若直线GP经过点M，过点M作GM的垂线交FB的延长线于点D，在平面内是否存在点Q，使四边形DMGQ为正方形？如果存在，请求出Q点坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】（1）F（m m）；（2）见解析；（3）①0＜k＜6，②Q（【解析】（1）y＝﹣x+m，令x＝0，则y＝m，令y＝0，则x＝m，则∠ABO＝45°，故点A、B的坐标分别为：（0，m）、（m，0），则点C（，0），如图（1）作点C的对称轴F交AB于点R，则CF⊥AB，CR＝FR，则∠RCB＝45°，则RC＝RB＝RF，∴∠RBF＝45°，即FB⊥x轴，故点F（m m）；（2）∵OC＝BF，OB＝OA，∴△AOC≌△OBF（HL），∴∠OAC＝∠FOB，∵∠OAC+∠AOE＝90°，∴∠OAC+∠AOE＝90°，∴∠AEO＝90°，∴OF⊥AC；（3）①将点（0）代入y＝kx+b得：，解得：，由一次函数图象知：k＞0，∵交点在第一象限，则，解得：0＜k＜6；②存在，理由：直线OF的表达式为：AB的表达式为：y＝﹣x+2，联立上述两个表达式并解得：x＝，故点M（，直线GM所在函数表达式中的k，则直线MD所在直线函数表达式中的k值为，将点M坐标和直线DM表达式中的k值代入一次函数表达式并解得：直线DM的表达式为：y＝x+4，故点D（2，﹣1），过点M作x轴的垂线于点N，作x轴的平行线交过点G于y轴的平行线于点S，过点G作y轴的平行线交过点Q与x轴的平行线于点T，则MN＝MH＝2＝，GN＝＝＝DH＝1）＝∴△MNG≌△MHD（HL），∴MD＝MG，则△GTQ≌△MSG，则GT＝MS＝GN＝，TQ＝SG＝MN，故点Q（，﹣．。

18.2.3 正方形人教版数学八年级下册素养提升练习(含解析)

第十八章　平行四边形18.2　特殊的平行四边形18.2.3　正方形基础过关全练知识点1　正方形的定义及性质1.(2023四川自贡中考)如图,边长为3的正方形OBCD的两边与坐标轴正半轴重合,点C的坐标是( )A.(3,-3)B.(-3,3)C.(3,3)D.(-3,-3)2.(2023河南周口期末)如图,在正方形ABCD中,E为AD上一点,连接BE交对角线AC于点F,连接DF,若∠ABE=25°,则∠EFD的度数为( )A.40°B.50°C.55°D.65°3.【教材变式·P67T1(3)】如图,在正方形ABCD的外侧,作等边△ABE,连接ED,则∠BED的度数为( )A.15°B.35°C.45°D.55°4.如图,正方形ABCD的边长为2,对角线AC,BD交于点O,E是AC 延长线上一点,且CE=CO,连接BE,则BE的长度为( )A.3B.10C.5D.2525.(2021湖南邵阳中考)如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F是对角线AC上的两点,且AE=CF,连接DE,DF,BE,BF.(1)证明:△ADE≌△CBF;(2)若AB=42,AE=2,求四边形BEDF的周长.知识点2　正方形的判定6.(2021广西玉林中考)如图,一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形:a.两组对边分别相等;b.一组对边平行且相等;c.一组邻边相等;d.一个角是直角.顺次添加的条件:①a→c→d;②b→d→c;③a→b→c.则正确的是( )A.仅①B.仅③C.①②D.②③7.(2023黑龙江龙东地区中考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD 相交于点O,试添加一个条件: ,使得矩形ABCD为正方形.8.如图,正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC.若AC=2,则点E到边CD的距离为 .9.(2022湖南邵阳中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,OE=OA.求证:四边形AECF 是正方形.10.(2022广东深圳模拟)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,DE∥AB交AC于点E,DF∥AC交AB于点F.(1)求证:四边形AFDE为正方形;(2)若AD=22,求四边形AFDE的面积.能力提升全练11.(2022山东青岛中考,7,★☆☆)如图,O为正方形ABCD对角线AC 的中点,△ACE为等边三角形.若AB=2,则OE的长度为( )A.6B.6C.22D.23212.(2023山东青岛二十六中期中,6,★★☆)如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,给出四个条件:①AB=BC;②∠ABC=90°;③OA=OB;④AC⊥BD.从所给的四个条件中任意选择两个为一组,能判定▱ABCD是正方形的有( )A.3组B.4组C.5组D.6组13.(2022重庆中考A卷,9,★★☆)如图,在正方形ABCD中,AE平分∠BAC交BC于点E,点F是边AB上一点,连接DF,若BE=AF,则∠CDF的度数为( )A.45°B.60°C.67.5°D.77.5°14.(2021湖南常德中考,7,★★☆)如图,已知F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点,AE与DF交于点P,连接CP,则下列结论成立的是　( )AE B.PC=PDA.BE=12C.∠EAF+∠AFD=90°D.PE=EC15.(2023重庆中考B卷,9,★★☆)如图,在正方形ABCD中,O为对角线AC的中点,E为正方形内一点,连接BE,BE=BA,连接CE并延长,与∠ABE的平分线交于点F,连接OF,若AB=2,则OF的长度为( )A.2B.3C.1D.216.(2022江苏无锡中考,16,★★☆)如图,正方形ABCD的边长为8,点E 是CD的中点,HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G,则BG= .17.【新考法】(2023天津中考,17,★★★)如图,在边长为3的正方形ABCD的外侧,作等腰三角形ADE,EA=ED=5.2(1)△ADE的面积为 ;(2)若F为BE的中点,连接AF并延长,交CD于点G,则AG的长为 .18.(2023广西南宁期末,22,★★☆)如图,△ABC中,D是BC边上一点,E 是AD的中点,过点A作BC的平行线交CE的延长线于F,且AF=BD,连接BF.(1)求证:D是BC的中点.(2)当△ABC满足什么条件时,四边形AFBD是正方形?并说明理由.19.(2023浙江绍兴中考,22,★★☆)如图,在正方形ABCD中,G是对角线BD上的一点(与点B,D不重合),GE⊥CD,GF⊥BC,E,F分别为垂足.连接EF,AG,并延长AG交EF于点H.(1)求证:∠DAG=∠EGH;(2)判断AH与EF是否垂直,并说明理由.20.(2022山东潍坊诸城一模,21,★★☆)如图,E是正方形ABCD的对角线BD上的点,连接AE、CE.(1)求证:AE=CE;(2)若将△ABE沿AB翻折得到△ABF,则当点E在BD上的何处时,四边形AFBE是正方形?请证明你的结论.素养探究全练21.【几何直观】下图是一张矩形纸片ABCD,按照下面步骤进行折叠:第一步:如图①,将矩形纸片沿AM折叠,使得点D的对应点N落在AB上,连接MN,然后把纸片展开.第二步:如图②,将四边形ADMN沿PQ对折,使AD与NM重合.将纸片展开,得到折痕PQ,然后连接NQ.第三步:如图③,折叠纸片使得NQ落在DC上,折痕为EQ,点N的对应点为F.(1)求证:四边形ADMN是正方形;(2)求图③中四边形NQFE的面积与四边形ADMN的面积的比值.答案全解全析基础过关全练1.C　∵正方形OBCD的边长为3,∴DC=BC=3,DC与BC分别垂直于y轴和x轴.∵点C在第一象限,∴点C的坐标为(3,3).2.A　∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAC=∠DAC,∠BAD=90°,在△ABF和△ADF中,AB=AD,∠BAF=∠DAF, AF=AF,∴△ABF≌△ADF(SAS),∴∠ADF=∠ABE=25°,∵∠AEB=90°-∠ABF=65°,∴∠EFD=∠AEB-∠ADF=65°-25°=40°,故选A.3.C　在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,在等边△ABE中,AB=AE,∠BAE=∠AEB=60°,∴AD=AE,∠DAE=∠BAD+∠BAE=90°+60°=150°,∴∠AED=∠ADE=12×(180°-150°)=15°,∴∠BED=∠AEB-∠AED=60°-15°=45°.故选C.4.C　∵正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,∴OB=OC,OB⊥OC,∴OB2+OC2=BC2,∵正方形ABCD的边长为2,即BC=2,∴OB=OC=1(舍负),∵CE=OC,∴OE=2,∴在Rt△OBE中,BE=12+22=5.故选C.5.解析　(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AD=BC,∠DAE=∠BCF=45°,在△ADE和△CBF中,AD=CB,∠DAE=∠BCF, AE=CF,∴△ADE≌△CBF(SAS).(2)∵四边形ABCD为正方形,∴∠BAD=90°,AC=BD,OA=OC,OB=OD,AC⊥BD,AD=AB=42,∴BD= AB2+A D2=(42)2+(42)2=8,∴AC=BD=8,∴DO=BO=4,OA=OC=4,∵AE=CF=2,∴OA-AE=OC-CF,即OE=OF=4-2=2,∴四边形BEDF为平行四边形.∵∠DOE=90°,∴四边形BEDF是菱形,∵DE=DO2+E O2=42+22=25,∴4DE=85,∴四边形BEDF的周长为85.6.C　①由a得,两组对边分别相等的四边形是平行四边形,添加c得,有一组邻边相等的平行四边形是菱形,再添加d得,有一个角是直角的菱形是正方形,故①正确;②由b得,一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,添加d得,有一个角是直角的平行四边形是矩形,再添加c得,有一组邻边相等的矩形是正方形,故②正确;③由a得,两组对边分别相等的四边形是平行四边形,添加b得,一组对边平行且相等的平行四边形仍是平行四边形,再添加c得,有一组邻边相等的平行四边形是菱形,不能得到四边形是正方形,故③不正确.故选C.7.答案　AB=AD(答案不唯一)解析　添加AB=AD.(答案不唯一)理由:∵四边形ABCD 是矩形,AB=AD,∴四边形ABCD 是正方形.8.答案　0.5解析　如图,连接EO,交CD 于H,∵CE ∥BD,DE ∥AC,∴四边形OCED 是平行四边形,在正方形ABCD 中,AC ⊥BD,OD=OC,∴∠COD=90°,∴四边形OCED 是正方形.∴EH=12CD,OE ⊥CD,∵AC=2,∴AB=BC=CD=1,∴EH=12CD=0.5,即点E 到边CD 的距离为0.5.9.证明　∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD,OA=OC,OB=OD,∵BE=DF,∴OE=OF,∴四边形AECF 是菱形.∵OE=OA=OF,∴OE=OF=OA=OC,∴EF=AC,∴四边形AECF 是正方形.10.解析　(1)证明:∵DE ∥AB,DF ∥AC,∴四边形AFDE 是平行四边形.∵AD 平分∠BAC,∴∠FAD=∠EAD.∵DE ∥AB,∴∠EDA=∠FAD,∴∠EDA=∠EAD,∴AE=DE,∴四边形AFDE 是菱形.∵∠BAC=90°,∴四边形AFDE 是正方形.(2)∵四边形AFDE 是正方形,∴AF=DF=DE=AE,∠AED=90°,∴AE 2+DE 2=AD 2,∵AD=22,∴AE=DE=2(舍负),∴四边形AFDE 的面积为2×2=4.能力提升全练11.B　∵四边形ABCD为正方形,AB=2,∴AC=22,∵O为正方形ABCD对角线AC的中点,△ACE为等边三角形,∴∠AOE=90°,AE=AC=22,AO=2,∴OE=AE2-O A2=6.故选B.12.B　∵AB=BC,∠ABC=90°,∴▱ABCD是正方形,故①②为一组,能判定▱ABCD是正方形;∵∠ABC=90°,∴▱ABCD是矩形,∵AC⊥BD,∴矩形ABCD是正方形,故②④为一组,能判定▱ABCD是正方形;在▱ABCD中,AC=2OA,BD=2OB,∵OA=OB,∴AC=BD,∵AC⊥BD,∴▱ABCD是正方形,故③④为一组,能判定▱ABCD是正方形;∵OA=OB,∴AC=BD,∴▱ABCD是矩形,∵AB=BC,∴矩形ABCD是正方形,故①③为一组,能判定▱ABCD是正方形.故选B.13.C　∵四边形ABCD是正方形,∴AD=BA,∠DAF=∠ABE=90°,在△DAF和△ABE中,AD=BA,∠DAF=∠ABE,AF=BE,∴△DAF≌△ABE(SAS),∴∠ADF=∠BAE,∵AE平分∠BAC,四边形ABCD是正方形,∴∠BAE=12∠BAC=22.5°,∠ADC=90°,∴∠ADF=22.5°,∴∠CDF=∠ADC-∠ADF=90°-22.5°=67.5°,故选C.14.C　∵F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点,∴AF=BE,∠DAF=∠ABE=90°,在△AFD和△BEA中,AF=BE,∠DAF=∠ABE=90°, AD=BA,∴△AFD≌△BEA(SAS),∴∠FDA=∠EAB.∵∠FDA+∠AFD=90°,∴∠EAB+∠AFD=90°,即∠EAF+∠AFD=90°,故C中结论成立,根据已知条件无法证明A、B、D中结论成立,故选C.15.D　如图,连接AF,∵四边形ABCD是正方形,∴BC=AB=BE=2,∠ABC=90°,∴∠BEC=∠BCE,AC=AB2+B C2=22,∴∠EBC=180°-2∠BEC,∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=2∠BEC-90°,∵BF平分∠ABE,∴∠ABF=∠EBF=12∠ABE=∠BEC-45°.∴∠BFE=∠BEC-∠EBF=45°,在△BAF与△BEF中,AB=EB,∠ABF=∠EBF,BF=BF,∴△BAF≌△BEF(SAS),∴∠BFA=∠BFE=45°,∴∠AFC=∠BFA+∠BFE=90°,∵O为对角线AC的中点,∴OF=12AC=2,故选D.16.答案　1解析　连接AG,EG,如图,易知AG=EG.∵E是CD的中点,∴DE=CE=4,设CG=x,则BG=8-x,在Rt△ABG和Rt△GCE中,根据勾股定理,得AB2+BG2=CE2+CG2,即82+(8-x)2=42+x2,解得x=7,∴BG=8-7=1.17.答案　(1)3　(2)13解析　(1)过E 作EM ⊥AD 于M,如图,∵EA=ED=52,AD=3,∴AM=DM=12AD=32,∴EM=AE 2-A M 2=2,∴△ADE 的面积为12AD·EM=12×3×2=3.(2)延长EM 交AG 于N,交BC 于P,过点N 作NH ⊥DC 于H,如图,∵四边形ABCD 是正方形,∴BC ∥AD,∴EP ⊥BC,∴四边形ABPM 是矩形,∴PM=AB=3,AB ∥EP,∴EP=5,∠ABF=∠NEF,∵F 为BE 的中点,∴BF=EF,在△ABF 与△NEF 中,∠ABF =∠NEF ,BF =EF ,∠AFB =∠NFE ,∴△ABF ≌△NEF(ASA),∴EN=AB=3,∴MN=1,∵NH ⊥CD,∴∠GHN=∠NMA=90°,NH ∥AD,∴∠GNH=∠NAM,易知四边形MNHD 为矩形,∴NH=DM=AM,∴△GNH ≌△NAM,∴AN=NG,∵AM=MD,∴GD=2MN=2,∴AG=AD 2+G D 2=13.18.解析　(1)证明:∵AF ∥BC,∴∠AFE=∠DCE,∵点E 为AD 的中点,∴AE=DE,在△AEF和△DEC中,∠AFE=∠DCE,∠AEF=∠DEC, AE=DE,∴△AEF≌△DEC(AAS),∴AF=CD,∵AF=BD,∴CD=BD,∴D是BC的中点.(2)当△ABC满足AB=AC,∠BAC=90°时,四边形AFBD是正方形.理由如下:∵AF∥BD,AF=BD,∴四边形AFBD是平行四边形,∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ADB=90°,AD=BD=12BC,∴平行四边形AFBD 是正方形.19.解析　(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AD⊥CD,∵GE⊥CD,∴AD∥GE,∴∠DAG=∠EGH.(2)AH⊥EF.理由如下:连接GC交EF于点O,如图,∵BD为正方形ABCD的对角线,∴∠ADG=∠CDG=45°,∵DG=DG,AD=CD,∴△ADG≌△CDG(SAS),∴∠DAG=∠DCG.在正方形ABCD中,∠ECF=90°,∵GE⊥CD,GF⊥BC,∴四边形FCEG为矩形,∴OE=OC,∴∠OEC=∠OCE,∴∠DAG=∠OEC,由(1)得∠DAG=∠EGH,∴∠EGH=∠OEC,∴∠EGH+∠GEH=∠OEC+∠GEH=∠GEC=90°,∴∠GHE=90°,∴AH⊥EF.20.解析　(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CB,∠ABE=∠CBE=45°,在△ABE和△CBE中,AB=CB,∠ABE=∠CBE, BE=BE,∴△ABE≌△CBE(SAS),∴AE=CE.(2)点E在BD的中点处时,四边形AFBE是正方形.证明如下:由翻折得∠F=∠AEB,AF=AE,BF=BE,∵AB=AD,∠BAD=90°,E是BD的中点,∴AE=12BD=BE=DE,AE⊥BD,∵BF=BE,AE=AF,∴AE=BE=AF=BF,∴四边形AFBE是菱形,∵AE⊥BD,∴∠AEB=90°,∴四边形AFBE是正方形.素养探究全练21.解析　(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠DAN=∠D=90°,由折叠可得∠ANM=∠D=90°,AD=AN,∴四边形ADMN是正方形.(2)∵四边形ADMN为正方形,∴AD=DM=MN,设AD=DM=MN=2a,∵将正方形ADMN对折后,AD与MN重合,∴DQ=QM=a,在Rt△NQM 中,由勾股定理得NQ=QM2+N M2=a2+(2a)2=5a,由折叠可得QF=NQ=5a,易得四边形NQFE为菱形,∵四边形NQFE与四边形ADMN的高都为2a,∴S四边形NQFE∶S四边形ADMN=QF∶DM=5a∶2a=52.。

挑战中学考试数学压轴题——几何综合题素质训练之正方形

初中几何综合题素质训练之正方形1．已知：如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别在AD 、DC 上，且DE ＝DF ，BM ⊥EF 于M ．求证：ME ＝MF ．2．如图，正方形ABCD ，E 是BC 上的一点，延长AB 至F 使BE BF =，延长AE 交CF 于G ．求证：CF AG ⊥．3．如图，ABCD 、BEFG 都是正方形，A 、B 、Ｅ在一条直线上，连结A 、G ，且延长交CE 的连线为H ，求证：CE AH ⊥．4．如图，某同学参加数学兴趣小组活动，提供了下面3个有联系的问题，请你帮助解决：（1）如图1，正方形ABCD 中，作AE 交BC 于E ，DF AE ⊥交AB 于F ，求证：AE DF =；（2）如图2，正方形ABCD 中，点E F ，分别在AD BC ，上，点G H ，分别在AB CD ，上，且EF GH ⊥，求GH EF :的值；（3）如图3，矩形ABCD 中，AB a =，BC b =，点E F ，分别在AD BC ，上，且EF GH ⊥，求GH EF :的值．图1FBA图2G BAH图3GBACH5．已知：如图，正方形ABCD ，P 是BO 上任意一点，DQ ⊥AP ，垂足是Q ，交AC 于R ，求证：⑴、DP=CR ．⑵、若P 为OB 延长线上一点，其它条件不变，那么上述的结论是否仍然成立，画图并证明.6．如图，已知ABCD 是正方形，对角线AC 与BD 相交于O ，AB MN //，且分别与AO 、BO 交于M 、N ．求证：CN BM ．BAD7．如图，已知正方形ABCD 中，F 为CD 延长线上一点，AF CE ⊥于E ，交AD 于M ．求：∠MFD 的度数．8．已知：如图，正方形ABCD 中，M 为DC 中点，AM DF ⊥交AC 于E ，交BC 于F ．求证：∠DMA=∠EMC ．9．已知：如图，AM 为△ABC 的中线，四边形ABDE 、ACFG 均为正方形．求证：EG AM 21=．10．已知：如图，正方形ABCD 中，CE 垂直于CAD ∠的平分线于E ，AE 交DC 于F ．求证：AF CE 21=．11．已知：如图，正方形ABCD 中，M 是CD 中点，E 是CD 上一点，且DAM BAE ∠=∠2．求证：AE ＝BC ＋CE ．12．已知：如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，CE 、DF 交于M ．求证：AM=AD ．13、如图正方形ABCD ，以CD 为边长向正方形内作等边△CDE,连BE 交AC 于F ，连DF ，求证：⑴ △ADF ≌△ABF ⑵ 求∠AFD 的大小 ⑶ 求证AF+DF=CFCD14．（利用旋转处理正方形问题）△ABC 是等腰直角三角形，∠C ＝90°，M 、N 为斜边AB 上两点，如果∠MCN ＝45求证 AM 2＋BN 2=MN2BCA15、已知M 、N 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，且∠MAN=45°⑴ 如图1求证：MN=DN+BN⑵ 如图2，若点M 、N 分别在CB 、DC 的延长线上，∠MAN=45°，请探究：MN 、BM 、DN 之间的关系MADAD如果改∠MAN=45°顶点不在A 点，而在正方形的中心O 点处，其它的条件不变，请问MC 、MB 与MN 之间的关系A16、已知M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且MN=DN+BN⑴如图1求∠MAN的度数⑵如图2，若AM、AN分别和BD交于E、F点，请探究：DE、EF、FB之间的关系⑶若点M、N分别在CB、DC的延长线上，∠MAN=45°MN、DN、BN之间的关系；请探究：DE、EF、FB之间的关系画图证明D CMAD17、如图正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，点P为正方形ABCD外的一点，且BP⊥CP⑴如图1，求证BP+CP=2OP⑵如图2，当点P在正方形的内部时，问BP、CP、OP三者又存在什么样的关系？请证明ECAB C18、正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PF ⊥CD 于点F 。

初三几何综合应用：正方形难题解析

初三几何综合应用：正方形难题解析压轴题1：在正方形ABCD中，E为AD的中点，DF⊥CE于M，交AB于F，交AC于N，连接EN、BM，有如下结论：①△ADF≌△DCE；②CN=2AN；③MN:EN=4:5；④S△AND：S四边形CNFB=2:5；⑤∠ADF=∠BMF。

其中正确的结论有哪些？【解析】①：∵∠ADF+∠DEC=∠ADF+∠DFA=90°，∴∠DEC=∠DFA，AD=CD，∴△ADF≌△DCE，①正确；②：由①知：AF=DE=½AD=½AB，AF∥CD，∴AF∶CD=AN∶NC=1:2，∴NC=2AN，故②正确；③设EM=x，∵△CDE为Rt△，DM⊥CE，∴△DME和△DMC也是Rt△，故△CDE∽△DME∽△CDM，∴x∶DE=DM∶CD，得DM=2x，同理，CM=4x；由AE=AF，AN为∠EAF角平分线，知：EN=FN，设MN=y，则：x²+y²=EN²=FN²=(DF-DN)²=(CE-DN)²,∴x²+y²=(x+4x-2x-y)²，即y=4x/3，由勾股定理，EN=5x/3，∴MN∶EN=4x/3∶5x/3=4:5，故③正确；④延长DF、CB，相交于G点，如右图。

则由于F为AB中点，AD∥BG，得：△ADF≌△BGF；设S△ANF =p，则由NF∶ND=AF:CD=1:2，知：S△AND =2p；∴S△ADF=3p，即S△BGF=3p；连接BN，则S△BNF =S△ANF =p，∴S△GBN=p+3p=4p；而BG=AD=BC，∴S△CBN =4p，即S四边形CNFB=5p，∴S△AND：S四边形CNFB=2p：5p=2:5，故④正确；⑤在Rt△CMG中，B为CG中点，∴BG=BM，∠BGF=∠BMF，而∠ADF=∠BGF，∴∠ADF=∠BMF，故⑤正确。

中考数学压轴题,如何解函数与几何综合问题篇：二次函数与正方形.doc

中考数学压轴题，如何解函数与几何综合问题篇：二次函数与正方形什么是正方形？有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

什么是二次函数？一般地，如果y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0），那么y 叫做x 的二次函数。

y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）叫做二次函数的一般式。

正方形与二次函数作为初中数学最重要知识内容之一，一直是中考数学热点和重点。

像二次函数的重要性，相信不要老师多说，它一直是中考数学必考的热点，超过90%以上的压轴题都和二次函数有关。

正方形作为一种特殊的平行四边形，不仅具有一般平行四边形所有性质，更具自身特殊的性质，如：1、具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质；2、正方形的四个角都是直角，四条边都相等；3、正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；4、正方形是轴对称图形，有4条对称轴；5、正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形；6、正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

因此，在中考数学中，若把二次函数和正方形放在一起，就可以“创造”出很多具有综合性强、创新型、解法灵活等鲜明特点的题型。

中考数学，二次函数与正方形相关题型，典型例题分析1：巳知二次函数y=a（x2-6x+8）（a＞0）的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C．点D是抛物线的顶点．（1）如图①．连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点0恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a 的值；（2）如图②，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4，4）、（4，3），边HG位于边EF的右侧．小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P是边EH或边HG上的任意一点，则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段不能构成平行四边形）．“若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；（3）如图②，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标l是大于3的常数，试问：是否存在一个正数阿a，使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由．考点分析：二次函数综合题．题干分析：（1）本题需先求出抛物线与x轴交点坐标和对称轴，再根据∠OAC=60°得出AO，从而求出a．（2）本题需先分两种情况进行讨论，当P是EF上任意一点时，可得PC＞PB，从而得出PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，即可求出线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形．（3）本题需先得出PA=PB，再由PC=PD，列出关于t 与a的方程，从而得出a的值，即可求出答案．解题反思：本题主要考查了二次函数的综合问题，在解题时要注意运用数形结合和分类讨论，把二次函数的图象与性质和平行四边形的判定相结合是本题的关键．二次函数与正方形相关题型本质上就是函数与几何综合类问题，此类问题一直是中考数学的热点。

正方形中考填空压轴题

有关中考“正方形”的压轴题中考正方形压轴题通常会涉及正方形的性质、判定以及与其他几何图形的结合。

有关中考“正方形”的压轴题如下：题目：已知正方形ABCD中，E为CD的中点，F为AD上一点，且AF=1/4AD。

试判断BE与CF的位置关系，并说明理由。

解析：1.根据题意，正方形ABCD的四条边都相等，即AB = BC = CD = DA。

2.由于E是CD的中点，所以CE = DE = 1/2 * CD。

3.F是AD上的一点，且AF = 1/4 * AD，那么FD = 3/4 * AD。

4.为了判断BE与CF的位置关系，我们可以考虑它们的斜率。

在正方形中，由于AB∥CD和BC∥AD，我们可以利用这些平行关系来找到BE和CF的斜率。

5.通过相似三角形或勾股定理，我们可以找到BE和CF的长度。

然后，我们可以使用这些信息来计算两条线的斜率。

6.如果两条线的斜率相等且不为零，则它们是平行的。

如果它们的斜率乘积为-1，则它们是垂直的。

然而，这个解析可能不是最直接的方法。

更简洁的方法是使用正方形的性质和全等三角形的判定。

简洁解析：1.连接BF，设正方形的边长为4a（为了简化计算）。

2.由于AF = a和AB = 4a，利用勾股定理可以得到BF的长度。

3.同理，由于CE = 2a和BC = 4a，也可以得到BE的长度。

4.通过观察或计算，我们可以发现△BCF和△DCE是相似的，因为它们都有一个公共角（即∠BCF和∠DCE）且它们的对应边成比例。

5.由于△BCF和△DCE是相似的，我们可以得到∠CBF = ∠CDE。

6.延长BE交CF于点G。

由于∠BFC和∠CDE都是直角三角形的锐角，并且它们的余角相等（即∠CBF和∠DCE），我们可以得到∠BGF = 90°。

7.因此，BE⊥CF。

中考数学压轴题正方形问题精选解析

2013中考数学压轴题正方形问题精选解析(一)例1如图1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点．P (0,m )是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D ．（1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）当△APD 是等腰三角形时，求m 的值；（3）设过P 、M 、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E ，过点O 作直线ME 的垂线，垂足为H （如图2）．当点P 从O 向C 运动时，点H 也随之运动．请直接写出点H 所经过的路长（不必写解答过程）．图1 图2解析（1）因为PC //DB ，所以1CP PM MC BD DM MB===．因此PM ＝DM ，CP ＝BD ＝2－m ．所以AD ＝4－m ．于是得到点D 的坐标为(2，4－m )．（2）在△APD 中，22(4)AD m =-，224AP m =+，222(2)44(2)PD PM m ==+-．①当AP ＝AD 时，2(4)m -24m =+．解得32m =（如图3）． ②当PA ＝PD 时，24m +244(2)m =+-．解得43m =（如图4）或4m =（不合题意，舍去）．③当DA ＝DP 时，2(4)m -244(2)m =+-．解得23m =（如图5）或2m =（不合题意，舍去）．综上所述，当△APD 为等腰三角形时，m 的值为32，43或23．图3 图4 图5（3）点H 所经过的路径长为54π．考点伸展第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单：①如图3，当AP ＝AD 时，AM 垂直平分PD ，那么△PCM ∽△MBA ．所以12PC MB CM BA ==．因此12PC =，32m =． ②如图4，当PA ＝PD 时，P 在AD 的垂直平分线上．所以DA ＝2PO ．因此42m m -=．解得43m =．第（2）题的思路是这样的：如图6，在Rt △OHM 中，斜边OM 为定值，因此以OM 为直径的⊙G 经过点H ，也就是说点H 在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图7，P 与O 重合时，是点H 运动的起点，∠COH ＝45°，∠CGH ＝90°．图6 图7例2如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x = 的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．图1解析（1）解方程组7,4,3y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩得3,4.x y =⎧⎨=⎩ 所以点A 的坐标是(3，4)．令70y x =-+=，得7x =．所以点B 的坐标是(7，0)．（2）①如图2，当P 在OC 上运动时，0≤t ＜4．由8APR ACP POR CORA S S S S =--=△△△梯形，得1113+7)44(4)(7)8222t t t t -⨯-⨯⨯--⨯-=（．整理，得28120t t -+=．解得t ＝2或t ＝6（舍去）．如图3，当P 在CA 上运动时，△APR 的最大面积为6．因此，当t ＝2时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8．图2 图3 图4②我们先讨论P 在OC 上运动时的情形，0≤t ＜4．如图1，在△AOB 中，∠B ＝45°，∠AOB ＞45°，OB ＝7，42AB =，所以OB ＞AB ．因此∠OAB ＞∠AOB ＞∠B ．如图4，点P 由O 向C 运动的过程中，OP ＝BR ＝RQ ，所以PQ //x 轴．因此∠AQP ＝45°保持不变，∠PAQ 越来越大，所以只存在∠APQ ＝∠AQP 的情况．此时点A 在PQ 的垂直平分线上，OR ＝2CA ＝6．所以BR ＝1，t ＝1．我们再来讨论P 在CA 上运动时的情形，4≤t ＜7．在△APQ 中， 3cos 5A ∠=为定值，7AP t =-，5520333AQ OA OQ OA OR t =-=-=-．如图5，当AP ＝AQ 时，解方程520733t t -=-，得418t =．如图6，当QP ＝QA 时，点Q 在PA 的垂直平分线上，AP ＝2(OR －OP )．解方程72[(7)(4)]t t t -=---，得5t =．如7，当PA ＝PQ 时，那么12cos AQ A AP∠=．因此2cos AQ AP A =⋅∠．解方程52032(7)335t t -=-⨯，得22643t =．综上所述，t ＝1或418或5或22643时，△APQ 是等腰三角形．图5 图6 图7考点伸展当P 在CA 上，QP ＝QA 时，也可以用2cos AP AQ A =⋅∠来求解．。

初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形半角模型教案有

1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。

2.掌握正方形的性质定理 1 和性质定理 2 。

3.正确运用正方形的性质解题。

4.经过四边形的隶属关系浸透会合思想。

5.经过理解四种四边形内在联系，培育学生辩证看法。

正方形的性质因为正方形是特别的平行四边形，仍是特别的矩形，特别的菱形，所以它拥有这些图形性质的综合，所以正方形有以下性质〔由学生和老师一同总结〕。

正方形性质定理 1 ：正方形的四个角都是直角，四条边相等。

正方形性质定理 2 ：正方形的两条对角线相等而且相互垂直均分，每一条对角线均分一组对角。

说明：定理 2 包含了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特色，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并不是把结论写全。

小结：（1〕正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图（2 〕正方形的性质：①正方形对边平行。

②正方形四边相等。

③正方形四个角都是直角。

④正方形对角线相等，相互垂直均分，每条对角线均分一组对角。

例 1 ．如图，折叠正方形纸片 ABCD ，先折出折痕 BD ，再折叠使 AD 边与对角线 BD 重合，得折痕DG ，使 AD 2，求 AG ．【分析】：作GM ⊥BD ，垂足为 M ．由题意可知∠ ADG=GDM ，那么△ADG ≌△MDG ．∴DM=DA=2．AC=GM又易知： GM=BM ．而 BM=BD-DM=2 2 -2=2〔-1〕，∴AG=BM=2〔 2 -1〕．例 2 ．如图， P 为正方形 ABCD 内一点， PA PB10 ，而且 P 点到 CD 边的距离也等于 10 ，求正方形 ABCD 的面积【分析】：过 P作EF AB于F 交DC 于E．设 PF x ，那么 EF10x ， BF1(10 x) ．2由 PB2PF 2BF2．可得： 102x21(10x)2．4故 x 6 ．S ABCD162256 ．例 3.如图，E 、分别为正方形 ABCD 的边 BC 、CD 上的一点，AM EF，?垂足为，AB，F M AM那么有 EF BE DF ，为何【分析】：要说明 EF=BE+DF ，只需说明 BE=EM ，DF=FM即可，而连结AE、AF．只需能说明△ ABE≌△AME ，△ADF≌△AMF 即可．原因：连结 AE、AF．由 AB=AM ，AB ⊥BC，AM ⊥EF，AE 公用，∴△ABE≌△AME ．∴BE=ME ．同理可得，△ADF ≌△AMF ．∴DF=MF ．∴EF=ME+MF=BE+DF ．例 4 ．如以下列图 E 、 F 分别在正方形 ABCD 的边 BC 、 CD 上，且EAF 45 ，试说明EF BE DF 。

初中正方形几何压轴题

初中正方形几何压轴题一、引言在初中数学学习中，几何是一个重要的内容，而正方形是几何中最基础、最常见的图形之一。

本文将围绕初中正方形几何压轴题展开讨论，介绍正方形的定义、性质、相关定理和解题方法。

二、正方形的定义与性质1.定义：正方形是指四条边相等且四个角都为直角的四边形。

2.性质：–四条边相等：正方形的边长相等。

–四个角都为直角：每个内角都为90度。

–对角线相等且垂直平分：正方形的对角线相等且互相垂直平分。

三、相关定理1.正方形的对角线长度公式：–设正方形的边长为a，则对角线长度d可通过勾股定理求得：d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2，即d = √(2a^2) = a√2。

2.正方形内接圆和外接圆：–正方形有唯一一个内切圆，其半径r = a/2（a为边长）。

–正方形有唯一一个外接圆，其半径R = a/2（a为边长）。

3.正方形的面积和周长公式：–面积公式：S = a^2 （a为边长）–周长公式：C = 4a （a为边长）四、正方形的解题方法1.利用定义和性质判断：–如果已知四条边相等且四个角都为直角，则可以判断给定的四边形是正方形。

–如果已知对角线相等且垂直平分，则可以判断给定的四边形是正方形。

2.利用相关定理求解：–已知对角线长度d，可以通过d = a√2求得正方形的边长a。

–已知正方形的面积S，可以通过S = a^2求得正方形的边长a。

–已知正方形的周长C，可以通过C = 4a求得正方形的边长a。

3.利用内接圆和外接圆求解：–已知内切圆半径r，可以通过r = a/2求得正方形的边长a。

–已知外接圆半径R，可以通过R = a/2求得正方形的边长a。

五、例题分析例题1：已知正方形的边长为6cm，求其面积和周长。

解答：根据正方形的面积公式和周长公式，可以得到： - 面积S = a^2 = 6^2 = 36（cm^2） - 周长C = 4a = 4 × 6 = 24（cm）例题2：已知正方形的对角线长度为10cm，求其面积和周长。