2020版高考数学大一轮复习核心素养提升练四十一9.2空间点、直线、平面之间的位置关系理(含解析)新人教A版

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高考数学一轮总复习课时规范练34空间点直线平面之间的位置关系北师大版

课时规范练34空间点、直线、平面之间的位置关系基础巩固组1.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线2.如图，E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1D1与AA1的中点，则下列判断正确的是()A.直线AC与BF是相交直线B.直线C1E与AC互相平行C.直线C1E与BF是异面直线D.直线DB与AC互相垂直3.(2020浙江，6)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A.l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B.l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C.l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D.l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面5.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是棱B1C1的中点，则平面AD1E截该正方体所得的截面面积为()A.4√2B.2√2C.4D.926.如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS不是共面直线的是()7.已知，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的任意一条直线m的位置关系是.8.如图，平面α∩平面β=l，A∈α，B∈α，AB∩l=D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是.9.如图，点A在平面α外，△BCD在平面α内，E，F，G，H分别是线段BC，AB，AD，DC的中点.(1)求证:E，F，G，H四点在同一平面上;(2)若AC=6，BD=8，异面直线AC与BD所成角为60°，求EG的长.综合提升组10.如图，ABCD-A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论不正确的是()A.A，M，O三点共线B.A，M，O，A1四点共面C.C1，O，C，M四点共面D.D，B1，O，M四点共面11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，N为底面ABCD的中心，P为线段A1D1上的动点(不包括两个端点)，M 为线段AP的中点，则下列说法中不正确的是()A.CM与PN是异面直线B.CM>PNC.平面PAN⊥平面BB1D1DD.过P，A，C三点的正方体的截面一定是等腰梯形12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有条.13.(2021湖南长沙一中月考)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1上一点，F为棱AA1的中点，且CE=2C1E，AB=2，AA1=3，BC=4，则平面BEF截该长方体所得截面为边形，截面与侧面ADD1A1，侧面CDD1C1的交线长度之和为.14.如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC ∥AD ，且BC=12AD ，BE ∥AF 且BE=12AF ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点.(1)证明:四边形BCHG 是平行四边形. (2)C ，D ，E ，F 四点是否共面?为什么? (3)证明:直线FE ，AB ，DC 相交于一点.创新应用组15.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点K在棱A1B1上运动，过A，C，K三点作正方体的截面，若K 为棱A1B1的中点，则截面面积为，若截面把正方体分成体积之比为2∶1的两部分，则A1K=.KB1课时规范练34空间点、直线、平面之间的位置关系1.C解析:由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线.若b∥c，则a∥b，与已知a，b为异面直线相矛盾.故选C.2.D解析:由题知，AC⊂平面ABCD，BF与平面ABCD交于点B，B∉AC，所以直线AC与BF是异面直线，故A错误;AC⊂平面ACC1A1，EC1与平面ACC1A1交于点C1，C1∉AC，所以直线C1E与AC是异面直线，故B错误;根据正方体性质EF∥AD1∥BC1，所以E，F，B，C1四点共面，所以直线C1E与BF不是异面直线，故C错误;正方体各个表面均为正方形，所以直线DB与AC互相垂直，故D正确.故选D.3.B解析:由条件可知，当m，n，l在同一平面内时，三条直线不一定两两相交，有可能两条直线平行;或三条直线平行;反过来，当空间中不过同一点的三条直线m，n，l两两相交时，如图，三个不同的交点确定一个平面，则m，n，l在同一平面内，所以“m，n，l”共面是“m，n，l两两相交”的必要不充分条件.故选B.4.B解析:对于A，通过常见的正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，故A错误;对于B，因为l1⊥l2，所以l1，l2所成的角是90°，又因为l2∥l3，所以l1，l3所成的角是90°，所以l1⊥l3，故B正确;对于C，如三棱柱中的三条侧棱平行，但不共面，故C错误;对于D，如三棱锥的三条侧棱共点，但不共面，故D错误.故选B.5.D解析:由题意可得，如图所示，因为E，F分别是B1C1，BB1的中点，所以BC1∥EF，在正方体中，AD1∥BC1，所以AD1∥EF，所以A，D1，E，F在同一平面内，所以平面AD1E截该正方体所得的截面为平面AD1EF.因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，所以EF=√2，AD 1=2√2，等腰梯形的高为√2，所以四边形AD 1EF 的面积S=(√2+2√2)×√22=92，故选D .6.C 解析:对于A ，连接PR ，QS ，得PR ，QS 与正方体的(竖立的)棱平行且相等，因此四边形PQSR 是平行四边形，故PQ ，RS 共面;对于B ，RS 与正方体的面对角线AB 平行，PQ 与CD 平行，又AB ∥CD ，故PQ ∥RS ，则PQ ，RS 共面;对于C ，RS ⊂平面PRS ，P ∈平面PRS ，P ∉RS ，Q ∉平面PRS ，所以QP 与RS 是异面直线，故PQ 与RS 不共面;对于D ，设QP 与BA 延长线交于点C 1，SR 与BA 延长线交于点C 2，P ，Q 是正方体棱的中点，所以EP=EQ.又∠C 1AP=∠QEP=90°，所以∠EPQ=∠EQP=45°，所以∠C 1PA=∠EPQ=45°，从而∠AC 1P=45°，所以AC 1=AP.同理AC 2=AR ，所以AC 1=AP=AR=AC 2，即C 1，C 2重合，所以PQ ，RS 相交，即PQ ，RS 共面.故选C . 7.平行或异面解析:如图，由于ABCD 是梯形，AB ∥CD ，所以AB 与CD 无公共点，又CD ⊄平面α，所以CD 与平面α无公共点.当m ∥AB 时，则m ∥DC ;当m 与AB 相交时，则m 与DC 异面.8.直线CD 解析:由题意知，D ∈l ，l ⊂β，所以D ∈β.因为D ∈AB ，所以D ∈平面ABC ，所以点D 在平面ABC 与平面β的交线上. 又因为C ∈平面ABC ，C ∈β，所以点C 在平面β与平面ABC 的交线上，所以平面ABC ∩平面β=CD.9.(1)证明因为E ，F ，G ，H 分别是线段BC ，AB ，AD ，DC 的中点.故FG ∥BD ，且FG=12BD ，同理EH ∥BD ，且EH=12BD ，故FG ∥EH ，且FG=EH.故四边形EFGH 为平行四边形.故E ，F ，G ，H 四点在同一平面上.(2)解由(1)知四边形EFGH 为平行四边形，且FG=12BD=4，FE=12AC=3.又异面直线AC 与BD 所成角为60°，故∠GFE=60°或120°.当∠GFE=60°时，EG 2=FE 2+FG 2-2FE ·FG cos60°=25-12=13. 此时EG=√13;当∠GFE=120°时，EG 2=FE 2+FG 2-2FE ·FG cos120°=25+12=37. 此时EG=√37，所以EG 的长为√13或√37.10.D 解析:平面AA 1C ∩平面AB 1D 1=AO ， ∵直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ， ∴M ∈AO ，即A ，O ，M 三点共线; 根据A ，O ，M 三点共线，知A 1A ∩AO=A ， ∴M ，O ，A 1，A 四点共面; 同理，M ，O ，C 1，C 四点共面;由图知，OM ，B 1D 是异面直线，故O ，M ，B 1，D 四点不共面. 故选D .11.A 解析:由题知，点C ，N ，A 共线，即CN ，PM 交于点A ，所以A ，N ，C ，P ，M 共面，因此CM ，PN 共面，故A 错误;记∠PAC=θ，则PN 2=AP 2+AN 2-2AP ·AN cos θ=AP 2+14AC 2-AP ·AC cos θ，CM 2=AC 2+AM 2-2AC ·AM cos θ=AC 2+14AP 2-AP ·AC cos θ，又AP<AC ，CM 2-PN 2=34(AC 2-AP 2)>0，CM 2>PN 2，即CM>PN ，故B 正确;在正方体中，AN ⊥BD ，BB 1⊥平面ABCD ，则BB 1⊥AN ，BB 1∩BD=B ，可得AN ⊥平面BB 1D 1D ，AN ⊂平面PAN ，从而可得平面PAN ⊥平面BB 1D 1D ，故C 正确;过P ，A ，C 三点的正方体的截面与C 1D 1相交于点Q ，则AC ∥PQ ，且PQ<AC ，因此一定是等腰梯形，故D 正确，故选A .12.无数解析:(方法1)在EF 上任意取一点M ，直线A 1D 1与M 确定一个平面，这个平面与CD 有且仅有1个交点N ，M 取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD 有不同的交点N ，而直线MN 与这3条异面直线都有交点.如图所示.(方法2)在A 1D 1上任取一点P ，过点P 与直线EF 作一个平面α.因为CD 与平面α不平行，所以CD 与平面α相交，设CD 与平面α交于点Q ，连接PQ (图略)，则PQ 与EF 必然相交，即PQ 为所求直线.由点P 的任意性，知有无数条直线与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交. 13.五10+9√56解析:如图，设平面BEF 与棱C 1D 1，A 1D 1分别交于G ，H ，则截面为五边形BEGHF.易知BF ∥EG ，BE ∥FH ，则∠ABF=∠EGC 1，∠CBE=∠A 1HF ， ∴C 1EC1G=AFAB =322,A 1F A 1H=CE CB =24，而C 1E=1，A 1F=32， ∴C 1G=43，A 1H=3.则FH=√9+94=3√52，GE=√169+1=53，故交线长度之和为FH+GE=3√52+53=10+9√56.14.(1)证明因为G ，H 分别为FA ，FD 的中点，AD.所以GH∥AD，且GH=12AD，又BC∥AD，且BC=12故GH∥BC，且GH=BC，所以四边形BCHG是平行四边形.(2)解C，D，E，F四点共面.理由如下:AF，G是FA的中点可知，由BE∥AF且BE=12BE∥GF且BE=GF，所以四边形EFGB是平行四边形，所以EF BG.由(1)知BG CH，所以EF∥CH，所以四边形ECHF为平行四边形，所以EC∥FH，故EC，FH共面.又点D在直线FH上，所以C，D，E，F四点共面.(3)证明由(2)可知，EC∥DF.所以四边形ECDF为梯形.所以FE，DC交于一点.设FE∩DC=M.因为M∈FE，FE⊂平面ABEF，所以M∈平面ABEF.同理M∈平面ABCD.又平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以点M在AB的延长线上，所以直线FE，AB，DC交于一点.15.98√5-12解析:(1)取B 1C 1的中点M ，连接KM ，MC ，∵KM ∥A 1C 1，而A 1C 1∥AC ， ∴KM ∥AC ，∴A ，C ，M ，K 四点共面，且AK=MC. ∴四边形ACMK 是等腰梯形，如图，KM=√22，AC=√2，AK=√12+(12) 2=√52，AH=√2-√222=√24， ∴KH=√AK 2-AH 2=√(√52)2-(√24)2=3√24， ∴S 四边形ACMK =12×√22+√2×3√24=98.(2)设B 1K=x ，取B 1C 1上的点M ，使B 1K=B 1M=x ，连接KM ，MC ，∵KM ∥A 1C 1，A 1C 1∥AC ，∴KM ∥AC ，∴A ，C ，M ，K 四点共面，∵V B 1MK -BCA =13V A 1B 1CD 1-ABCD =13，∴V B 1MK -BCA =13×12+12x 2+√12×12x 2×1=13，即x 2+x-1=0. ∵x>0， ∴解得x=-1+√52.即B 1K=-1+√52，则A 1K=1--1+√52=3−√52，故A 1KKB 1=3−√52-1+√52=√5-12.。

2020版高考数学大一轮复习第八章立体几何第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系分层演练理(含解析人教A版

第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系1．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定( ) A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行解析：选C.若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知a∥b，与a，b异面矛盾．2．(2019·赣州四校联考)若平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是( )A．AB∥CD B．AD∥CBC．AB与CD相交D．A，B，C，D四点共面解析：选D.因为平面α∥平面β，要使直线AC∥直线BD，则直线AC与BD是共面直线，即A，B，C，D四点必须共面．3.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是( )A．直线ACB．直线ABC．直线CDD．直线BC解析：选C.由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.4.如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ACB＝90°，AB＝2，BC＝1，D为AB的中点，则异面直线CD与A1C1所成的角的大小为( )A．90°B．60°C．45°D．30°解析：选D.因为AC∥A1C1，所以异面直线CD与A1C1所成的角的平面角为∠ACD .由∠ACB ＝90°，AB ＝2，BC ＝1，D 为AB 的中点，可知，∠CAD ＝∠ACD ＝30°.5.(2019·河北邯郸调研)如图，在三棱锥S ABC 中，G 1，G 2分别是△SAB和△SAC 的重心，则直线G 1G 2与BC 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．异面D ．以上都有可能解析：选B.连接SG 1并延长交AB 于M ，连接SG 2并延长交AC 于N ，连接MN .由题意知SM 为△SAB 的中线，且SG 1＝23SM ，SN 为△SAC 的中线，且SG 2＝23SN ，所以在△SMN 中，SG 1SM ＝SG 2SN，所以G 1G 2∥MN ，易知MN 是△ABC 的中位线，所以MN ∥BC ，因此可得G 1G 2∥BC ，即直线G 1G 2与BC 的位置关系是平行．故选B.6．给出下列四个命题：①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②若平面α内的一条直线a 与平面β内的一条直线b 相交，则α与β相交； ③若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面；④若三条直线两两相交，则这三条直线共面．其中真命题的序号是________．解析：①正确，因为直线在平面外即直线与平面相交或直线平行于平面，所以最多有一个公共点．②正确，a ，b 有交点，则两平面有公共点，则两平面相交．③正确，两平行直线可确定一个平面，又直线与两平行直线的两交点在这两平行直线上，所以过这两交点的直线也在平面内，即三线共面．④错误，这三条直线可以交于同一点，但不在同一平面内．答案：①②③7.如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线；②直线AM 与BN 是平行直线；③直线BN 与MB 1是异面直线；④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．解析：直线AM 与CC 1是异面直线，直线AM 与BN 也是异面直线，故①②错误．答案：③④8.如图所示，在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，AA 1∶AB ＝2∶1，则异面直线AB 1与BD 所成的角为________．解析：如图，取A 1C 1的中点D 1，连接B 1D 1，因为点D 是AC 的中点，所以B 1D 1∥BD ，所以∠AB 1D 1即为异面直线AB 1与BD 所成的角．连接AD 1，设AB ＝a ，则AA 1＝2a ，所以AB 1＝3a ，B 1D 1＝32a ，AD 1＝ 14a 2＋2a 2＝32a . 所以，在△AB 1D 1中，由余弦定理得，cos ∠AB 1D 1＝AB 21＋B 1D 21－AD 212AB 1·B 1D 1＝3a 2＋34a 2－94a 22×3a ×32a ＝12，所以∠AB 1D 1＝60°.答案：60°9．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，(1)求AC 与A 1D 所成角的大小；(2)若E ，F 分别为AB ，AD 的中点，求A 1C 1与EF 所成角的大小．解：(1)如图，连接B 1C ，AB 1，由ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体，易知A 1D ∥B 1C ，从而B 1C 与AC 所成的角就是AC 与A 1D 所成的角．因为AB 1＝AC ＝B 1C ，所以∠B 1CA ＝60°.即A 1D 与AC 所成的角为60°.(2)连接BD ，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AC ⊥BD ，AC ∥A 1C 1.因为E ，F 分别为AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD ，所以EF ⊥AC .所以EF ⊥A 1C 1.即A 1C 1与EF 所成的角为90°.10.如图，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC＝π2，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2.求： (1)三棱锥P ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．解：(1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·PA ＝13×23×2＝433.(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34. 故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.1．(2019·河南百校联盟质检)在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是DD 1和AB 的中点，平面B 1EF 交棱AD 于点P ，则PE ＝( )A.156B.233C.32D.136解析：选D.过点C 1作C 1G ∥B 1F ，交直线CD 于点G ，过点E 作HQ ∥C 1G ，交CD 、C 1D 1于点H 、Q ，连接B 1Q ，HF 交AD 于点P ，HQ ∥B 1F ，所以Q 、H 、F 、B 1四点共面，易求得HD ＝D 1Q ＝14，由△PDH ∽△PAF 可得AP PD ＝AF HD＝2，则PD ＝13，在Rt △PED 中，PE ＝19＋14＝136，故选D. 2．已知三棱锥A BCD 中，AB ＝CD ，且直线AB 与CD 所成的角为60°，点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，则直线AB 和MN 所成的角为________．解析：如图，取AC 的中点P ，连接PM ，PN ，则PM ∥AB ，且PM ＝12AB ， PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN 为AB 与CD 所成的角(或其补角)，则∠MPN＝60°或∠MPN ＝120°.因为PM ∥AB ，所以∠PMN 是AB 与MN 所成的角(或其补角)．①若∠MPN ＝60°，因为AB ＝CD ，所以PM ＝PN ，则△PMN 是等边三角形，所以∠PMN ＝60°，即AB 与MN 所成的角为60°.②若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形，所以∠PMN ＝30°，即AB 与MN 所成的角为30°.综上，直线AB 和MN 所成的角为60°或30°.答案：60°或30°3．(2017·高考全国卷Ⅲ)a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；④直线AB 与a 所成角的最大值为60°；其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号)解析：由题意知，a ，b ，AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图．不妨设图中所示正方体的棱长为1，则AC ＝1，AB ＝2，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆．以C 为坐标原点，以CD →的方向为x 轴正方向，CB →的方向为y 轴正方向，CA →的方向为z 轴正方向建立空间直角坐标系．则D (1，0，0)，A (0，0，1)，直线a 的单位方向向量a ＝(0，1，0)，|a |＝1.B 点起始坐标为(0，1，0)，直线b 的单位方向向量b ＝(1，0，0)，|b |＝1.设B 点在运动过程中的坐标B ′(cos θ，sin θ，0)，其中θ为CB ′→与CD →的夹角，θ∈[0，2π)．那么AB ′在运动过程中的向量AB ′→＝(cos θ，sin θ，－1)，|AB ′→|＝ 2.设直线AB ′与a 所成的夹角为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， cos α＝|（cos θ，sin θ，－1）·（0，1，0）||a ||AB ′→|＝22|sin θ|∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22. 故α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以③正确，④错误．设直线AB ′与b 所成的夹角为β，则β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， cos β＝|AB ′→·b ||b ||AB ′→|＝|（cos θ，sin θ，－1）·（1，0，0）||b ||AB ′→|＝22|cos θ|. 当AB ′与a 成60°角时，α＝π3， |sin θ|＝2cos α＝2cos π3＝2×12＝22. 因为cos 2θ＋sin 2θ＝1，所以|cos θ|＝22. 所以cos β＝22|cos θ|＝12. 因为β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以β＝π3，此时AB ′与b 成60°角．所以②正确，①错误．答案：②③4．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1、CC 1的中点，则在空间中与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交的直线有________条．解析：法一：如图，在EF 上任意取一点M ，直线A 1D 1与M 确定一个平面，这个平面与CD 有且仅有一个交点N ，当M 取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD 有不同的交点N ，而直线MN 与这三条异面直线都有交点，所以在空间中与这三条直线都相交的直线有无数条．法二：在A 1D 1上任取一点P ，过点P 与直线EF 作一个平面α，因为CD 与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q ，连接PQ (图略)，则PQ 与EF 必然相交，即PQ 为所求直线．由点P 的任意性，知有无数条直线与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交．答案：无数5.如图所示，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝60°，PA ＝AB＝AC ＝2，E 是PC 的中点．(1)求证：AE 与PB 是异面直线；(2)求异面直线AE 和PB 所成角的余弦值．解：(1)证明：假设AE 与PB 共面，设平面为α.因为A ∈α，B ∈α，E ∈α，所以平面α即为平面ABE ，所以P ∈平面ABE ，这与P ∉平面ABE 矛盾，所以AE 与PB 是异面直线．(2)取BC 的中点F ，连接EF 、AF ，则EF ∥PB ，所以∠AEF (或其补角)就是异面直线AE 和PB 所成的角．因为∠BAC ＝60°，PA ＝AB ＝AC ＝2，PA ⊥平面ABC ，所以AF ＝3，AE ＝2，EF ＝2，cos ∠AEF ＝AE 2＋EF 2－AF 22·AE ·EF＝2＋2－32×2×2＝14，所以异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为14.6.如图，E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 各边上的点，且AE ∶EB ＝AH ∶HD ＝m ，CF ∶FB ＝CG ∶GD ＝n .(1)证明：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)m ，n 满足什么条件时，四边形EFGH 是平行四边形？(3)在(2)的条件下，若AC ⊥BD ，试证明：EG ＝FH .解：(1)因为AE ∶EB ＝AH ∶HD ，所以EH ∥BD .又CF ∶FB ＝CG ∶GD ，所以FG ∥BD .所以EH ∥FG .所以E ，F ，G ，H 四点共面．(2)当EH ∥FG ，且EH ＝FG 时，四边形EFGH 为平行四边形．因为EH BD ＝AE AE ＋EB ＝m m ＋1，所以EH ＝m m ＋1BD . 同理可得FG ＝n n ＋1BD ，由EH ＝FG ，得m ＝n . 故当m ＝n 时，四边形EFGH 为平行四边形．(3)证明：当m ＝n 时，AE ∶EB ＝CF ∶FB ，所以EF ∥AC ，又EH ∥BD ，所以∠FEH 是AC 与BD 所成的角(或其补角)，因为AC ⊥BD ，所以∠FEH ＝90°，从而平行四边形EFGH 为矩形，所以EG ＝FH .。

2020高考数学(文数)考点测试刷题本41 空间点、直线、平面间的位置关系(含答案解析)

2020高考数学(文数)考点测试刷题本41空间点、直线、平面间的位置关系一、选择题1.已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β=c，那么直线c一定( )A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行2.若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值( )A．至多等于3 B．至多等于4C．等于5 D．大于53.已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.已知直线l和平面α，无论直线l与平面α具有怎样的位置关系，在平面α内总存在一条直线与直线l( )A．相交B．平行 C．垂直D．异面5.如图，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC∩BD=F，DC1∩CD1=E，则直线EF是平面ACD1与( )A．平面BDB1的交线B．平面BDC1的交线C．平面ACB1的交线D．平面ACC1的交线6.设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是( )A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直7.下列正方体或四面体中，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四点不共面的一个图是( )8.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为( )A ．22B ．32C ．52D ．72二、填空题9.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1 cm,过AC 作平行于对角线BD 1的截面,则截面面积为 cm 2.10.如图所示，在空间四边形A －BCD 中，点E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，点F ，G 分别是边BC ，CD 上的点，且CF CB =CG CD =23，则下列说法正确的是________．(填写所有正确说法的序号)①EF 与GH 平行；②EF 与GH 异面；③EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上；④EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上．11.如图，已知圆柱的轴截面ABB 1A 1是正方形，C 是圆柱下底面弧AB 的中点，C 1是圆柱上底面弧A 1B 1的中点，那么异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为________.12.如图，E 是正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱C 1D 1上的一点，且BD 1∥平面B 1CE ，则异面直线BD 1与CE 所成角的余弦值为________．三、解答题13.如图，△ABC中，AC=BC=22AB，四边形ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，G，F分别是EC，BD的中点．(1)求证：GF∥底面ABC；(2)求几何体ADEBC的体积．14.如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，E是PB的中点．(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；(2)若PC=2，求三棱锥CPAB的高．15.如图，四棱锥PABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB.(1)求证：CD⊥AP；(2)若CD⊥PD，求证：CD∥平面PAB.16.如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．(1)证明：AC⊥BD；(2)已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．答案解析1.答案为：C；解析：如果c与a，b都平行，那么由平行线的传递性知a，b平行，与异面矛盾．故选C．2.答案为：B；解析：首先我们知道正三角形的三个顶点满足两两距离相等，于是可以排除C，D．又注意到正四面体的四个顶点也满足两两距离相等，于是排除A，故选B．3.答案为：A；解析：因为直线a和直线b相交，所以直线a与直线b有一个公共点，而直线a，b分别在平面α，β内，所以平面α与β必有公共点，从而平面α与β相交；反之，若平面α与β相交，则直线a与直线b可能相交、平行、异面．故选A．4.答案为：C；解析：当直线l与平面α平行时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直，当直线l⊂平面α时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直，当直线l与平面α相交时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直，所以无论直线l与平面α具有怎样的位置关系，在平面α内总存在一条直线与直线l垂直．5.答案为：B；解析：连接BC1．因为E∈DC1，F∈BD，所以EF⊂平面BDC1，故平面ACD1∩平面BDC1=EF．故选B．6.答案为：B；解析：对于A，在平面α内可能有无数条直线与直线m垂直，这些直线是互相平行的，A错误；对于B，因为直线m与平面α相交但不垂直，所以过直线m必有并且也只有一个平面与平面α垂直，B正确；对于C，类似于A，在平面α外可能有无数条直线垂直于直线m并且平行于平面α，C错误；对于D，与直线m平行且与平面α垂直的平面有无数个，D错误．故选B．7.答案为：D；解析：(利用“经过两条平行直线，有且只有一个平面”判断)对选项A，易判断PR∥SQ，故点P，Q，R，S共面；对选项B，易判断QR∥SP，故点P，Q，R，S共面；对选项C，易判断PQ∥SR，故点P，Q，R，S共面；而选项D中的RS，PQ为异面直线，故选D．8.答案为：C ；解析：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，CD ∥AB ，所以异面直线AE 与CD 所成的角为∠EAB ，设正方体的棱长为2a ，则由E 为棱CC 1的中点，可得CE=a ，所以BE=5a ，则tan ∠EAB=BE AB =5a 2a =52．故选C ．一、填空题9.答案解析如图所示,截面ACE ∥BD 1,平面BDD 1∩平面ACE=EF,其中F 为AC 与BD 的交点,∴E 为DD 1的中点,计算可得AE=CE= cm,AC=cm,则EF ⊥AC,EF= cm,∴S △ACE =××=(cm 2).10.答案为：④；解析：连接EH ，FG(图略)，依题意，可得EH ∥BD ，FG ∥BD ，故EH ∥FG ，所以E ，F ，G ，H 共面．因为EH=12BD ，FG=23BD ，故EH≠FG，所以四边形EFGH 是梯形，EF 与GH 必相交，设交点为M ．因为点M 在EF 上，故点M 在平面ACB 上．同理，点M 在平面ACD 上，所以点M 是平面ACB 与平面ACD 的交点，又AC 是这两个平面的交线，所以点M 一定在直线AC 上．11.答案为：12.答案为：155；解析：不妨设正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为2，连接BC 1，设B 1C∩BC 1=O ，连接EO ，如图所示，在△BC 1D 1中，当点E 为C 1D 1的中点时，BD 1∥OE ，则BD 1∥平面B 1CE ，据此可得∠OEC 为直线BD 1与CE 所成的角．在△OEC 中，边长EC=5，OC=2，OE=3，由余弦定理可得cos ∠OEC=3＋5－223×5=155.即异面直线BD 1与CE 所成角的余弦值为155.二、解答题13.解：(1)证明：如图，取BC 的中点M ，AB 的中点N ，连接GM ，FN ，MN.∵G ，F 分别是EC ，BD 的中点，∴GM ∥BE ，且GM=12BE ， NF ∥DA ，且NF=12DA. 又四边形ABED 为正方形，∴BE ∥AD ，BE=AD ，∴GM ∥NF 且GM=NF.∴四边形MNFG 为平行四边形．∴GF ∥MN ，又MN ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ，∴GF ∥平面ABC.(2)连接CN ，∵AC=BC ，∴CN ⊥AB ，又平面ABED ⊥平面ABC ，CN ⊂平面ABC ，∴CN ⊥平面ABED.易知△ABC 是等腰直角三角形，∴CN=12AB=12， ∵CABED 是四棱锥，∴V CABED =13S 四边形ABED ·CN =13×1×12=16.14.解：(1)证明：因为PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥PC.因为AB=2，AD=CD=1，所以AC=BC=2，所以AC 2＋BC 2=AB 2，故AC ⊥BC.又BC∩PC=C，所以AC ⊥平面PBC.因为AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC.(2)由PC=2，PC ⊥CB ，得S △PBC =12×(2)2=1. 由(1)知，AC 为三棱锥APBC 的高．易知Rt △PCA ≌Rt △PCB ≌Rt △ACB ，则PA=AB=PB=2，于是S △PAB =12×22sin 60°= 3. 设三棱锥CPAB 的高为h ，则13S △PAB ·h=13S △PBC ·AC，13×3h=13×1×2，解得h=63，故三棱锥CPAB 的高等于63.15.证明：(1)因为AD ⊥平面PAB ，AP ⊂平面PAB ，所以AD ⊥AP.又AP ⊥AB ，AB∩AD=A，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以AP ⊥平面ABCD.因为CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥AP.(2)由(1)知CD ⊥AP ，因为CD ⊥PD ，PD∩AP=P，PD ⊂平面PAD ，AP ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD.①因为AD ⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以AB ⊥AD.又AP ⊥AB ，AP∩AD=A，AP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD.②由①②得CD ∥AB ，因为CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD ∥平面PAB.16.解：(1)证明：如图，取AC 的中点O ，连接DO ，BO ．因为AD=CD ，所以AC ⊥DO ．又由于△ABC 是正三角形，所以AC ⊥BO ．从而AC ⊥平面DOB ，故AC ⊥BD ．(2)连接EO ．由(1)及题设知∠ADC=90°，所以DO=AO ．在Rt △AOB 中，BO 2＋AO 2=AB 2．又AB=BD ，所以BO 2＋DO 2=BO 2＋AO 2=AB 2=BD 2，故∠DO B=90°．由题设知△AEC 为直角三角形，所以EO=12AC ．又△ABC 是正三角形，且AB=BD ，所以EO=12BD ．故E 为BD 的中点，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1∶1．。

2020版高考数学理科(人教B版)一轮复习课时规范练39 空间点、直线、平面之间的位置关系含解析

课时规范练39空间点、直线、平面之间的位置关系基础巩固组1.(2018陕西师大附中期末,5)设已知A,B,C,D,E是空间五个不同的点,若点E在直线BC上,则“AC与BD是异面直线”是“AD与BE是异面直线”的()A.充分不必要条件B.充分必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件2.(2018北京西城区期末,5)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是梯形,AB∥CD,若平面PAD∩平面PBC=l,则()A.l∥CDB.l∥BCC.l与直线AB相交D.l与直线DA相交3.(2018河南洛阳一模,4)设α,β是两个不同的平面,a,b,c是三条不同的直线()A.若a⊥b,b⊥c,则a∥cB.若a∥α,b∥α,则a∥bC.若a⊥b,a⊥α,则b∥αD.若a⊥α,a⊥β,则α∥β4.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是()A.A,M,O三点共线B.A,M,O,A1不共面C.A,M,C,O不共面D.B,B1,O,M共面5.(2018广东佛山模拟,4)在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与直线A1B1,EF,BC都相交的直线()A.不存在B.有且只有两条C.有且只有三条D.有无数条6.(2018云南保山统考二,10)四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,PA=,E为PC的中点,则异面直线BE与PD所成角的余弦值为()A. B. C. D.7.(2018河北衡水一模,14)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,D是AB的中点,∠ACB=90°,AC=BC=CC1,过点D、C作截面交BB1于点E,若点E恰好是BB1的中点,则直线AC1与DE所成角的余弦值为.综合提升组8.(2018福建福州二模,7)平面α外有两条直线m和n,如果m和n在平面α内的射影分别是m1和n1,给出下列四个命题:①m1⊥n1⇒m⊥n;②m⊥n⇒m1⊥n1;③m1与n1相交⇒m与n相交或重合;④m1与n1平行⇒m与n平行或重合;其中不正确的命题个数是()A.1B.2C.3D.49.(2017福建厦门二模,11)过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作平面α,使得正方体的各棱与平面α所成的角均相等,则满足条件的平面α的个数是()A.1B.4C.6D.810.平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()A. B. C. D.11.α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号)创新应用组12.(2018山西太原三模,8)如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别是DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中:①DE与MN平行;②BD与MN为异面直线;③GH与MN成60°角;④DE与MN垂直.以上四个命题中,正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.413.(2018陕西黄陵中学6月模拟,5)我国古代《九章算术》里,记载了一个例子:“今有羡除,下广六尺,上广一丈,深三尺,末广八尺,无深,袤七尺,问积几何?”该问题中的羡除是如图所示的五面体ABCDEF,其三个侧面皆为等腰梯形,两个底面为直角三角形,其中AB=6尺,CD=10尺,EF=8尺,AB,CD间的距离为3尺,CD,EF间的距离为7尺,则异面直线DF与AB所成角的正弦值为()A. B.C. D.课时规范练39空间点、直线、平面之间的位置关系1.B若AC与BD是异面直线,则A,B,C,D四点不共面,则AD与BC是异面直线,而点E在BC上,所以AD与BE也是异面直线,若AD与BE是异面直线,而点E在直线BC上,所以AD与BC是异面直线,所以A,B,C,D四点不共面,所以AC与BD是异面直线,所以互为充分必要条件,故选B.2.D两个平面若有一个交点,那么必然有无数个交点,而且这些交点在同一条直线上.那么DA与BC 的交点必在直线l上,故选D.3.D A.垂直于同一条直线的两条直线,可能是互相垂直的,比如墙角模型.故不正确.B.平行于同一个平面的两条直线可以是平行的,垂直的,共面异面都有可能.故不正确.C.直线b有可能在平面α内.故不正确.D.垂直于同一条直线的两个平面是平行的.正确.故答案为D.4.A连接A1C1,AC,则A1C1∥AC,所以A1,C1,A,C四点共面.所以A1C⊂平面ACC1A1.因为M∈A1C,所以M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1,所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上.同理A,O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,所以A,M,O三点共线.5.D在EF上任意取一点M,直线A1B1与M确定一个平面,这个平面与BC有且仅有1个交点N,当M的位置不同时确定不同的平面,从而与BC有不同的交点N,而直线MN与A1B1,EF,BC分别有交点P,M,N,如图,故有无数条直线与直线A1B1,EF,BC都相交.6.C如图所示,取CD的中点F,连接BF,EF,∵E是PC的中点,∴EF∥PD,则∠BEF是BE与PD的夹角,EF=PD=∵PC=,∴cos∠BPC=,∴BE2=32+2-2×3-又BF=,∴cos∠BEF=-7连接AB1,且AB1∥DE,所以直线AC1与DE所成角为∠C1AB1,由CC1⊥底面ABC,所以为直三棱柱,设AC=BC=CC1=1,∠ACB=90°,所以B1C1=1,AC1=,AB1=,且B1C1⊥AC1,cos∠C1AB1=填8.D结合题意逐一分析所给的四个说法,在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中:对于说法①:若取平面α为ABCD,m1,n1分别为AC,BD,m,n分别为A1C,BD1,满足m1⊥n1,但是不满足m⊥n,该说法错误;对于说法②:若取平面α为ADD1A1,m1,n1分别为A1D1,AD1,m,n分别为A1C1,BD1,满足m⊥n,但是不满足m1⊥n1,该说法错误;对于说法③:若取平面α为ABCD,m1,n1分别为AC,BD,m,n分别为AC1,B1D1,满足m1与n1相交,但是m与n异面,该说法错误;对于说法④:若取平面α为ADD1A1,m1,n1分别为A1D1,AD,m,n分别为A1C1,BC,满足m1与n1平行,但是m与n异面,该说法错误;综上可得:不正确的命题个数是4.故选D.9.B在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与AA1,AD,AB平行的直线各有3条,AA1=AD=AB,A1-BDC1是正三棱锥,AA1,AD,AB与平面A1DB所成角相等,∴满足条件的平面有4个,故选B.10.A(方法一)∵α∥平面CB1D1,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,α∩平面ABCD=m,平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,∴m∥B1D1.∵α∥平面CB1D1,平面ABB1A1∥平面DCC1D1,α∩平面ABB1A1=n,平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1,∴n∥CD1.∴B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,即∠B1D1C等于m,n所成的角.∵△B1D1C为正三角形,∴∠B1D1C=60°,∴m,n所成的角的正弦值为(方法二)由题意画出图形如图,将正方体ABCD-A1B1C1D1平移,补形为两个全等的正方体如图,易证平面AEF∥平面CB1D1,所以平面AEF即为平面α,m即为AE,n即为AF,所以AE与AF所成的角即为m与n所成的角.因为△AEF是正三角形,所以∠EAF=60°,故m,n所成角的正弦值为11.②③④对于①,若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α,β的位置关系无法确定,故错误;对于②,因为n∥α,所以过直线n作平面γ与平面α相交于直线c,则n∥c.因为m⊥α,所以m⊥c,所以m⊥n,故②正确;对于③,由两个平面平行的性质可知正确;对于④,由线面所成角的定义和等角定理可知其正确,故正确命题的编号有②③④.12.C将正四面体的平面展开图复原为正四面体A(B、C)-DEF,如图:对于①,M、N分别为EF、AE的中点,则MN∥AF,而DE与AF异面,故DE与MN不平行,故①错误;对于②,BD与MN为异面直线,正确(假设BD与MN共面,则A、D、E、F四点共面,与ADEF为正四面体矛盾,故假设不成立,故BD与MN异面);对于③,依题意,GH∥AD,MN∥AF,∠DAF=60°,故GH与MN成60°角,故③正确;对于④,连接GF,A点在平面DEF的射影A1在GF上,∴DE⊥平面AGF,DE⊥AF,而AF∥MN,∴DE与MN垂直,故④正确.综上所述,正确命题的序号是②③④,故答案为②③④.13.B如图:根据题意AB∥CD,所以∠FDC为异面直线DF与AB所成角,又因为CD=10尺,EF=8尺且侧面为等腰梯形,过点F作FG⊥DC,则DG=9尺,CD,EF间的距离为7尺,故FG=7尺,由勾股定理得DF=尺,所以sin∠FDC=,故选B.。

2020年高考数学(文科) 历年真题模拟题高分必刷题之空间点、直线、平面之间的位置关系

[基础题组练]1．已知异面直线a ，b 分别在平面α，β内，且α∩β＝c ，那么直线c 一定( ) A ．与a ，b 都相交B ．只能与a ，b 中的一条相交C ．至少与a ，b 中的一条相交D ．与a ，b 都平行解析：选C.若c 与a ，b 都不相交，则c 与a ，b 都平行，根据公理4，知a ∥b ，与a ，b 异面矛盾．2．已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是( ) A ．空间四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形解析：选B.如图所示，易证四边形EFGH 为平行四边形．因为E ，F 分别为AB ，BC 的中点，所以EF ∥AC . 又FG ∥BD ，所以∠EFG 或其补角为AC 与BD 所成的角．而AC 与BD 所成的角为90°，所以∠EFG ＝90°，故四边形EFGH 为矩形．3．已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.若直线a ，b 相交，设交点为P ，则P ∈a ，P ∈b .又a ⊂α，b ⊂β，所以P ∈α，P ∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a ，b 可能相交，也可能异面或平行．故“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．4．(2019·广州市高中综合测试(一))在四面体ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，AB ＝CD ，AB ⊥CD ，则异面直线EF 与AB 所成角的大小为( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：选B.取BD 的中点O ，连接OE ，OF ，因为E ，F 分别为AD ，BC 的中点，AB ＝CD ，所以EO ∥AB ，OF ∥CD ，且EO ＝OF ＝12CD ，又AB ⊥CD ，所以EO ⊥OF ，∠OEF为异面直线EF 与AB 所成的角，由△EOF 为等腰直角三角形，可得∠OEF ＝π4，故选B.5．已知棱长为a 的正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，M ，N 分别为CD ，AD 的中点，则MN 与A ′C ′的位置关系是________________________________________________________．解析：如图，由题意可知MN∥AC.又因为AC∥A′C′，所以MN∥A′C′.答案：平行6．给出下列四个命题：①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交；③若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面；④若三条直线两两相交，则这三条直线共面．其中真命题的序号是________．解析：①正确，因为直线在平面外即直线与平面相交或直线平行于平面，所以最多有一个公共点．②正确，a，b有交点，则两平面有公共点，则两平面相交．③正确，两平行直线可确定一个平面，又直线与两平行直线的两交点在这两平行直线上，所以过这两交点的直线也在平面内，即三线共面．④错误，这三条直线可以交于同一点，但不在同一平面内．答案：①②③7.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1、H、O三点共线．证明：如图，连接BD，B1D1，则BD∩AC＝O，因为BB1綊DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形，又H∈B1D，B1D⊂平面BB1D1D，则H∈平面BB1D1D，因为平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，所以H∈OD1.即D1、H、O三点共线．8．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．解：(1)如图，连接B1C，AB1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．因为AB1＝AC＝B1C，所以∠B1CA＝60°.即A1D与AC所成的角为60°.(2)连接BD，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1.因为E ，F 分别为AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD ，所以EF ⊥AC . 所以EF ⊥A 1C 1.即A 1C 1与EF 所成的角为90°.[综合题组练]1．如图所示，平面α∩平面β＝l ，A ∈α，B ∈α，AB ∩l ＝D ，C ∈β，C ∉l ，则平面ABC 与平面β的交线是( )A ．直线ACB ．直线ABC ．直线CDD ．直线BC解析：选C.由题意知，D ∈l ，l ⊂β，所以D ∈β，又因为D ∈AB ，所以D ∈平面ABC ，所以点D 在平面ABC 与平面β的交线上．又因为C ∈平面ABC ，C ∈β，所以点C 在平面β与平面ABC 的交线上，所以平面ABC ∩平面β＝CD .2．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，|AB |＝2|BB 1|，则AB 1与BC 1所成角的大小为( ) A.π6 B.π3 C.5π12D.π2 解析：选D.将正三棱柱ABC -A 1B 1C 1补为四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1，连接C 1D ，BD ，则C 1D ∥B 1A ，∠BC 1D 为所求角或其补角．设|BB 1|＝2，则|BC |＝|CD |＝2，∠BCD ＝120°，|BD |＝23，又因为|BC 1|＝|C 1D |＝6，所以∠BC 1D ＝π2.3.(2019·长沙模拟)如图，在三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，点E ，F ，H ，K 分别为AC ′，CB ′，A ′B ′，B ′C ′的中点，G 为△ABC 的重心．从K ，H ，G ，B ′四点中取一点作为P ，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF 平行，则P 为________．解析：取A ′C ′的中点M ，连接EM ，MK ，KF ，EF ，则EM 綊12CC ′綊KF ，得四边形EFKM 为平行四边形，若取点K 为P ，则AA ′∥BB ′∥CC ′∥PF ，故与平面PEF 平行的棱超过2条；因为HB ′∥MK ，MK ∥EF ，所以HB ′∥EF ，若取点H 或B ′为P ，则平面PEF 与平面EFB ′A ′为同一平面，与平面EFB ′A ′平行的棱只有AB ，不符合题意；连接BC ′，则EF ∥A ′B ′∥AB ，若取点G 为P ，则AB ，A ′B ′与平面PEF 平行．答案：G4．如图，已知圆柱的轴截面ABB 1A 1是正方形，C 是圆柱下底面弧AB 的中点，C 1是圆柱上底面弧A 1B 1的中点，那么异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为________．解析：取圆柱下底面弧AB 的另一中点D ，连接C 1D ，AD ，因为C 是圆柱下底面弧AB 的中点，所以AD ∥BC ，所以直线AC 1与AD 所成角等于异面直线AC 1与BC 所成角，因为C 1是圆柱上底面弧A 1B 1的中点，所以C 1D ⊥圆柱下底面，所以C 1D ⊥AD ，因为圆柱的轴截面ABB 1A 1是正方形，所以C 1D ＝2AD ，所以直线AC 1与AD 所成角的正切值为2，所以异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为 2. 答案： 25.如图所示，A 是△BCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点．(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．解：(1)证明：假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A ，B ，C ，D 在同一平面内，这与A 是△BCD 所在平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．(2)取CD 的中点G ，连接EG ，FG ，则AC ∥FG ，EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．又因为AC ⊥BD ，则FG ⊥EG .在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.6.(综合型)如图，E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 各边上的点，且AE ∶EB ＝AH ∶HD ＝m ，CF ∶FB ＝CG ∶GD ＝n .(1)证明：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)m ，n 满足什么条件时，四边形EFGH 是平行四边形？ (3)在(2)的条件下，若AC ⊥BD ，试证明：EG ＝FH . 解：(1)证明：因为AE ∶EB ＝AH ∶HD ，所以EH ∥BD . 又CF ∶FB ＝CG ∶GD ，所以FG ∥BD .所以EH ∥FG . 所以E ，F ，G ，H 四点共面．(2)当EH ∥FG ，且EH ＝FG 时，四边形EFGH 为平行四边形．因为EH BD ＝AE AE ＋EB ＝m m ＋1，所以EH ＝m m ＋1BD .同理可得FG ＝n n ＋1BD ，由EH ＝FG ，得m ＝n .故当m ＝n 时，四边形EFGH 为平行四边形．(3)证明：当m ＝n 时，AE ∶EB ＝CF ∶FB ，所以EF ∥AC ，又EH ∥BD ，所以∠FEH 是AC 与BD 所成的角(或其补角)，因为AC ⊥BD ，所以∠FEH ＝90°，从而平行四边形EFGH 为矩形，所以EG ＝FH .。

2020版高考数学一轮复习教案第7章_第3节_空间点、直线、平面之间的位置关系(含答案解析)

第三节空间点、直线、平面之间的位置关系[考纲传真] 1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． (2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．(4)公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2．空间直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎨⎧平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2. (3)平行公理(公理4)和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)空间中直线与平面的位置关系1．异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．2．等角定理的引申(1)在等角定理中，若两角的两边平行且方向相同或相反，则这两个角相等．(2)在等角定理中，若两角的两边平行且方向一个边相同，一个边相反，则这两个角互补．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．()(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．()(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．()(4)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×2．(教材改编)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°C[连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求的角，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.]3．(教材改编)下列命题正确的是()A．经过三点确定一个平面B．经过一条直线和一个点确定一个平面C．四边形确定一个平面D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D[根据确定平面的公理和推论知选项D正确．]4．已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是() A．空间四边形B．矩形C．菱形D．正方形B[四边形的相邻两边分别平行于空间四边形的两角对角线，故选B.]5．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.]【例1】(1)以下命题中，正确命题的个数是()①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0B．1C．2D．3B[①正确，可以用反证法证明，假设任意三点共线，则四个点必共面，与不共面的四点矛盾；②中若点A，B，C在同一条直线上，则A，B，C，D，E不一定共面，故②错误；③中，直线b，c可能是异面直线，故③错误；④中，当四条线段构成空间四边形时，四条线段不共面，故④错误．](2)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：①E，C，D1，F四点共面；②CE，D1F，DA三线共点．[解]①如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．②∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈直线CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．共面的一个图是()A B C DD[根据异面直线的判定定理，选项D中PS与QR是异面直线，则四点P，Q，R，S不共面．故选D.](2)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1，H，O三点共线．[证明]如图，连接BD，B1D1，则BD∩AC＝O，因为BB1═∥DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形，又H∈B1D，B1D⊂平面BB1D1D，则H∈平面BB1D1D，因为平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，所以H∈OD1.即D1，H，O三点共线．【例2】(1)已知a，b，c为三条不同的直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β＝c，给出下列命题：①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；③若a∥b，则必有a∥c.其中真命题有________．(填序号)(2)在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN 是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．①②③④(1)①③(2)②④[(1)对于①，若c与a，b都不相交，则c∥a，c∥b，从而a∥b，这与a与b是异面直线矛盾，故①正确．对于②，a与b可能异面垂直，故②错误．对于③，由a∥b可知a∥β，又α∩β＝c，从而a∥c，故③正确．(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG(图略)，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图②④中，GH与MN异面．]b是异面直线，直线c平行于直线a，那么A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线(2)如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为________．(把你认为正确的结论的序号都填上)(1)C (2)③④ [(1)c 与b 可能相交，也可能异面，但可不能平行，故选C. (2)根据两条异面直线的判定定理知，③④正确．]【例3】 (1)(2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为( )A.22B.32C.52D.72(2)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝1，BB 1＝1，P 是AB 的中点，则异面直线BC 1与PD 所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°(1)C (2)C [(1)如图，连接BE ，因为AB ∥CD ，所以异面直线AE 与CD 所成的角等于相交直线AE 与AB 所成的角，即∠EAB .不妨设正方体的棱长为2，则CE ＝1，BC ＝2，由勾股定理得BE ＝ 5.又由AB ⊥平面BCC 1B 1可得AB ⊥BE ，所以tan ∠EAB ＝BE AB ＝52.故选C.(2)取CD的中点Q，连接BQ，C1Q∵P是AB的中点，∴BQ∥PD∴∠C1BQ是异面直线BC1与PD所成的角．在△C1BQ中，C1B＝BQ＝C1Q＝2，∴∠C1BQ＝60°，即异面直线BC1与PD所成的角等于60°，故选C.]＝BC＝4，P A＝43，则异面直线P A与MN所成角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°(2)如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．(1)A(2)2[(1)取AC的中点O，连接OM，ON，则OM ═∥12BC ，ON ═∥12P A .∴∠ONM 就是异面直线P A 与MN 所成的角．在△OMN 中，MN ＝4，OM ＝2，ON ＝23， ∴cos ∠ONM ＝ON 2＋MN 2－OM 22ON ·MN ＝12＋16－42×23×4＝32，∴∠ONM ＝30°即异面直线P A 与MN 所成角的大小为30°，故选A. (2)取圆柱下底面弧AB 的另一中点D ，连接C 1D ，AD ，因为C 是圆柱下底面弧AB 的中点，所以AD ∥BC ，所以直线AC 1与AD 所成角等于异面直线AC 1与BC 所成角，因为C 1是圆柱上底面弧A 1B 1的中点，所以C 1D ⊥圆柱下底面，所以C 1D ⊥AD .因为圆柱的轴截面ABB 1A 1是正方形，所以C 1D ＝2AD ，所以直线AC 1与AD 所成角的正切值为2，所以异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为 2.]1．(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.32 B.155C.105 D.33C[将直三棱柱ABC-A1B1C1补形为直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，如图所示，连接AD1，B1D1，BD.由题意知∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以AD1＝BC1＝2，AB1＝5，∠DAB＝60°.在△ABD中，由余弦定理知BD2＝22＋12－2×2×1×cos 60°＝3，所以BD＝3，所以B1D1＝ 3.又AB1与AD1所成的角即为AB1与BC1所成的角θ，所以cos θ＝AB21＋AD21－B1D212×AB1×AD1＝5＋2－32×5×2＝105.故选C.]2．(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为()A.32 B.22 C.33 D.13A[根据平面与平面平行的性质，将m，n所成的角转化为平面CB1D1与平面ABCD的交线及平面CB1D1与平面ABB1A1的交线所成的角．设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1.∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m.又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥m1.∴B1D1∥m.∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，同理可证CD1∥n.因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，故直线B1D1与CD1所成角为60°，其正弦值为3 2.]。

高考数学刷题评估练：核心素养提升练直线、平面垂直的判定及其性质

核心素养提升练四十二直线、平面垂直的判定及其性质(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共30分)1.m是一条直线，α，β是两个不同的平面，以下命题正确的是( )A.若m∥α，α∥β，则m∥βB.若m∥α，m∥β，则α∥βC.若m∥α，α⊥β，则m⊥βD.若m∥α，m⊥β，则α⊥β【解析】选D.A.若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，A错;B，若m∥α，m∥β，则α∥β或α∩β=l，B错;C，若m∥α，α⊥β，则m与β相交或m∥β或m⊂β，C错;D，因为m∥α，存在直线n，使m∥n，n⊂α.因为m⊥β，所以n⊥β.又因为n⊂β，所以α⊥β.2.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是( )A.若m⊥n，n∥α，则m⊥αB.若m∥β，β⊥α，则m⊥αC.若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD.若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α【解析】选C.A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊥α，错误;B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误;C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确;D 中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误.3.下列三个命题中，正确命题的个数是( )①若平面α⊥平面γ，且平面β⊥平面γ，则α∥β;②平面α⊥平面β，且α∩β=l，点A∈α，A∉l，若直线AB⊥l，则AB⊥β;③直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，若m⊥n，则α⊥β.A.0B.1C.2D.3【解析】选B.①，例如墙角的三个面，则α⊥β;②，如果加入条件AB⊂α，则AB⊥β;③，从向量角度看，m与n分别是α，β的法向量，显然m⊥n，即α⊥β.所以只有③正确.4.四面体P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，PA=8，BC=4，PB=PC=AB=AC，且平面PBC⊥平面ABC，则球O的表面积为( )A.64πB.65πC.66πD.128π【解析】选B.如图，D，E分别为BC，PA的中点，易知球心点O在线段DE上，因为PB=PC=AB=AC，则PD⊥BC，AD⊥BC，PD=AD.又因为平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC=BC，所以PD⊥平面ABC，所以PD⊥AD，所以PD=AD=4.因为点E是PA的中点，所以ED⊥PA，且DE=EA=PE=4 .设球O的半径为R，OE=x，则OD=4-x.在Rt△OEA中，有R2=16+x2，在Rt△OBD中，有R2=4+(4-x)2，解得R2=，所以S=4πR2=65π.5.如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是( )A.PB⊥ACB.PD⊥平面ABCDC.AC⊥PDD.平面PBD⊥平面ABCD【解析】选B.取BP的中点O，连接OA，OC，易得BP⊥OA，BP⊥OC⇒BP⊥平面OAC⇒BP⊥AC⇒选项A正确;又AC⊥BD⇒AC⊥平面BDP⇒AC⊥PD，平面PBD⊥平面ABCD，故选项C，D正确.6.直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF相交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为( )A. B.1 C. D.2【解析】选A.设B1F=x，因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，所以AB1⊥DF.由已知可得A1B1=，设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，则DE=h.又2×=h，所以h=，DE=.在Rt△DB1E中，B1E==.由面积相等得×=x，得x=.二、填空题(每小题5分，共10分)7.α，β是两个平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β=EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF，现有下列条件:①AC⊥β;②AC与α，β所成的角相等;③AC与CD在β内的射影在同一条直线上;④AC∥EF.其中能成为增加条件的序号是________.【解析】由题意得，AB∥CD，所以A，B，C，D四点共面，①因为AC⊥β，EF⊂β，所以AC⊥EF，又因为AB⊥α，EF⊂α，所以AB⊥EF，因为AB∩AC=A，所以EF⊥平面ABDC，又因为BD⊂平面ABDC，所以BD⊥EF，故①正确;②由①可知，若BD⊥EF成立，则有EF⊥平面ABDC，则有EF⊥AC成立，而AC与α，β所成角相等是无法得到EF⊥AC的，故②错误;③由AC与CD在β内的射影在同一条直线上可知EF⊥AC，由①可知③正确;④仿照②的分析过程可知④错误.答案:①③8.如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论:①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________.【解析】由题意知PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.又AC⊥BC，且PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥AF.因为AF⊥PC，且BC∩PC=C，所以AF⊥平面PBC，所以AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF=A，所以PB⊥平面AEF，所以PB⊥EF.故①②③正确.答案:①②③三、解答题(每小题10分，共20分)9.如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.(1)求证:CD⊥平面ABD.(2)若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A-MBC的体积. 【解析】(1)因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，所以AB⊥CD.又因为CD⊥BD，AB∩BD=B，AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，所以CD⊥平面ABD.(2)由AB⊥平面BCD，得AB⊥BD.又AB=BD=1，所以S△ABD=×12=.因为M是AD的中点，所以S△ABM=S△ABD=.根据(1)知，CD⊥平面ABD，则三棱锥C-ABM的高h=CD=1，故V A-MBC=V C-ABM=S△ABM·h=.10.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是菱形，△PAD≌△BAD，平面PAD⊥平面ABCD，AB=4，PA=PD，M在棱PD上运动.(1)当M在何处时，PB∥平面MAC.(2)已知O为AD的中点，AC与OB交于点E，当PB∥平面MAC时，求三棱锥E-BCM的体积.【解析】(1)如图，设AC与BD相交于点N，当M为PD的中点时，PB∥平面MAC，证明:因为四边形ABCD是菱形，可得DN=NB，又因为M为PD的中点，可得DM=MP，所以NM为△BDP的中位线，可得NM∥PB，又因为NM⊂平面MAC，PB⊄平面MAC，所以PB∥平面MAC.(2)因为O为AD的中点，PA=PD，则OP⊥AD，又△PAD≌△BAD，所以OB⊥AD，且OB=2，又因为△AEO∽△CEB，所以==，所以BE=OB=，所以S△EBC=×4×=.又因为OP=4×=2，点M为PD的中点，所以M到平面EBC的距离为，所以V E-BCM=V M-EBC=××=.(20分钟40分)1.(5分)如图，在三棱锥D ABC中，若AB=CB，AD=CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是( )A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BCDC.平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE【解析】选C.因为AB=CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC ⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.2.(5分)下列命题中错误的是( )A.如果直线a与平面α不平行，则平面α内不存在与a平行的直线B.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么直线l⊥平面γC.如果直线l⊥平面β，那么过直线l的所有平面都垂直于平面βD.一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交【解析】选A.如果直线a与平面α不平行，则直线a可能是平面α内一条直线，所以A错误;在平面γ内作两条相交直线m，n分别垂直于平面α与平面γ的交线及平面β与平面γ的交线，则由平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，得m，n分别垂直于平面α及平面β，即m，n都垂直于直线l，因此直线l⊥平面γ，即B正确;由面面垂直的判定定理可知C正确;当一条直线与两个平行平面中的一个平面相交时，若此直线在另一个平面内，则与原平面无交点，矛盾，若此直线与另一个平面平行，则可得此直线与原平面平行或在原平面内，矛盾，因此此直线必与另一个平面相交，即D正确.3.(5分)在Rt△ABC中，AC⊥BC，BC=3，AB=5，点D，E分别在AC，AB边上，且DE∥BC，沿着DE将△ADE 折起至△A′DE的位置，使得平面A′DE⊥平面BCDE，其中点A′为点A翻折后对应的点，则当四棱锥A′-BCDE的体积取得最大值时，AD的长为________.【解析】由勾股定理易得:AC=4，设AD=x，则CD=4-x，而△AED∽△ABC，故DE=x，四棱锥A′-BCDE的体积:V(x)=×××(4-x)×x=(16x-x3)(0<x<4).求导可得:V′(x)=(16-3x2)(0<x<4)，当0<x<时，V′(x)>0，V(x)单调递增;当<x<4时，V′(x)<0，V(x)单调递减;故当x=时，V(x)取得最大值.答案:4.(12分)如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点.(1)求证:VB∥平面MOC.(2)求证:平面MOC⊥平面VAB.(3)求三棱锥V-ABC的体积.【解析】(1)因为点O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB.又因为VB⊄平面MOC，所以VB∥平面MOC.(2)因为AC=BC，点O为AB的中点，所以OC⊥AB.又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB.又因为OC⊂平面MOC，所以平面MOC⊥平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，所以AB=2，OC=1.所以等边三角形VAB的面积S△VAB=.又因为OC⊥平面VAB，所以三棱锥C-VAB的体积等于×OC×S△VAB=.又因为三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等，所以三棱锥V-ABC的体积为.5.(13分)如图M，N，P分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，BC，DD1上的点.(1)若=，求证:无论点P在D1D上如何移动，总有BP⊥MN.(2)棱DD1上是否存在这样的点P，使得平面APC1⊥平面ACC1?证明你的结论.【解析】(1)连接AC，BD，在△ABC中，因为=，所以MN∥AC.又因为AC⊥BD，DD1⊥底面ABCD.所以DD1⊥AC，因为BD∩DD1=D，所以AC⊥平面BDD1B1.所以MN⊥平面BDD1B1.因为BP⊂平面BDD1B1，所以MN⊥BP.(2)假设存在点P，使平面APC1⊥平面ACC1，过点P作PF⊥AC1，则PF⊥平面ACC1.又因为BD⊥平面ACC1，所以PF∥BD，而两平行线PF，BD所确定的平面即为两相交直线BD，DD1确定的对角面BB1D1D，所以F为AC1与对角面BB1D1D的交点，故F为AC1的中点，由PF∥BD，P∈DD1知，点P也是DD1的中点.显然，当点P为DD1的中点，点F为AC1的中点时，AP=PC1，所以PF⊥AC1又PF∥BD，BD⊥AC，所以PF⊥AC.从而PF⊥平面ACC1，则平面APC1⊥平面ACC1.故存在点P，当点P为DD1中点时，平面APC1⊥平面ACC1.关闭Word文档返回原板块。

备考2020年高考数学一轮复习：39 空间点、直线、平面之间的位置关系

备考2020年高考数学一轮复习：39 空间点、直线、平面之间的位置关系一、单选题(共12题；共24分)1．（2分）已知平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足：a⊆α，b⊆β，c⊆γ，则直线a、b、c不可能满足以下哪种关系（）A．两两垂直B．两两平行C．两两相交D．两两异面2．（2分）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）A．BM=EN，且直线BM、EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM=EN，且直线BM、EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线3．（2分）已知直线l是平面a的斜线，则a内不存在与l（）A．相交的直线B．平行的直线C．异面的直线D．垂直的直线4．（2分）下列命题中为真命题的是（）①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若a⊥α，b⊥α，则a∥b；③若a⊥α，a⊥b，则b//α；④若a∥α，a⊥b，则b⊥α.A．①②B．①②③C．②③④D．①②④5．（2分）直三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1中点为M，BC中点为N，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与MN所成角的余弦值为（）A．1B．−45C．−34D．06．（2分）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M,N分别是棱B1C1,C1C的中点，则异面直线BD1与MN所成的角的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．（2分）在正四棱锥P−ABCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成的角为C2，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角为（）A．90∘B．C2C．45∘D．30∘8．（2分）如图，正四面体A−BCD中，P是棱CD上的动点，设CP=tCD（t∈(0,1)），记AP与BC所成角为α，AP与BD所成角为β，则（）A．α≥βB．α≤βC．当t∈(0,12]时，α≥βD．当t∈(0,12]时，α≤β9．（2分）设直线l与平面α平行，直线m在平面α上，那么（）A．直线l不平行于直线m B．直线l与直线m异面C．直线l与直线m没有公共点D．直线l与直线m不垂直10．（2分）已知某四面体的六条棱长分别为3，3，2，2，2，2，则两条较长棱所在直线所成角的余弦值为（）A．0B．79C．0或79D．以上都不对11．（2分）已知a、b、c是三条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列判断正确的是（）A．若a//b，b⊥γ，则a⊥γB．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γC．若a⊥α，b⊥α，则a⊥bD．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c12．（2分）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖膈，在鳖膈A-BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，且AB=BC=CD ，M 为AD 的中点，则异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为（） A ．√23B ．√34C ．√33D ．√24二、填空题(共5题；共5分)13．（1分）如图所示，已知平面 α∩ 平面 β=l ， EA ⊥α ，垂足为 A ， EB ⊥β ，垂足为B ，直线 a ⊂β , a ⊥AB ，则直线 a 与直线 l 的位置关系是 .14．（1分）在正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中， M,N 分别为棱 AD,D 1D 的中点，则异面直线 MN与 AC 所成的角大小为．15．（1分）如图所示的几何体 ABCDEF 中， ABCD 是平行四边形且 AE//CF ，六个顶点任意两点连线能组成异面直线的对数是．16．（1分）已知直线l 1:y=3x+1,l 2:kx-2y-3=0，若l 1∥l 2,则k= ．17．（1分）若m ，n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为．①m//n m ⊥α} ⇒n ⊥α；②m ⊥αn ⊥α} ⇒m ∥n ；③m ⊥αn//α} ⇒m ⊥n ；④m//αm ⊥n} ⇒n ⊥α. 三、解答题(共4题；共25分)18．（10分）A 是 △BCD 平面外的一点，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，（1）（5分）求证：直线EF 与BD 是异面直线；（2）（5分）若 AC ⊥BD ， AC =BD ，求EF 与BD 所成的角．19．（5分）如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．20．（5分）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是B1C1和D1C1的中点，P，Q分别为EF和BD的中点，对角线A1C与平面EFDB交于H点，求证：P，H，Q三点共线.21．（5分）如图，△ABC与△A1B1C1不全等，且A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1A1∥CA.求证：AA1，BB1，CC1交于一点.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：如图1，可得a、b、c可能两两垂直；如图2，可得a、b、c可能两两相交；如图3，可得a、b、c可能两两异面；故答案为：B．【分析】利用面面垂直的性质定理结合线面之间的位置关系，用线线平行，线线垂直，线线相交，异面直线的判定方法找出直线a、b、c不可能满足的关系。

2020高考数学总复习第七章立体几何课时作业41空间点、直线、平面之间的位置关系文(含解析)新人教A版

课时作业41 空间点、直线、平面之间的位置关系1．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是( D )解析：A、B、C图中四点一定共面，D中四点不共面．2．(2019·烟台质检)a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是( C ) A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c解析：若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c 相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．3．若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是( A )①若直线m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线；②若直线m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线；③已知平面α，β互相垂直，且直线m，n也互相垂直，若m⊥α，则n⊥β；④若直线m，n在平面α内的射影互相垂直，则m⊥n.A．②B．②③C．①③D．②④解析：对于①，m与n可能平行，可能相交，也可能异面，①错误；对于②，由线面垂直的性质定理可知，m与n一定平行，故②正确；对于③，还有可能n∥β或n与β相交或n在β内，③错误；对于④，把m，n放入正方体中，如图，取A1B为m，B1C为n，平面ABCD为平面α，则m与n在α内的射影分别为AB与BC，且AB⊥BC．而m与n所成的角为60°，故④错误．4．过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，这样的直线l 可以作( D )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：如图，连接体对角线AC 1，显然AC 1与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，所成角的正切值都为 2. 联想正方体的其他体对角线，如连接BD 1，则BD 1与棱BC ，BA ，BB 1所成的角都相等， ∵BB 1∥AA 1，BC ∥AD ，∴体对角线BD 1与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，同理，体对角线A 1C ，DB 1也与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，过A 点分别作BD 1，A 1C ，DB 1的平行线都满足题意，故这样的直线l 可以作4条．5．如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱DD 1上运动，点N 在正方体的底面ABCD 内运动，则MN 的中点P 的轨迹的面积是( D )A ．4πB ．πC ．2πD ．π2解析：连接DN ，则△MDN 为直角三角形，在Rt △MDN 中，MN ＝2，P 为MN 的中点，连接DP ，则DP ＝1，所以点P 在以D 为球心，半径R ＝1的球面上，又因为点P 只能落在正方体上或其内部，所以点P 的轨迹的面积等于该球面面积的18，故所求面积S ＝18×4πR 2＝π2.6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则异面直线CP 与BA 1所成的角θ的取值范围是( D )A ．0＜θ＜π2B ．0＜θ≤π2C ．0≤θ≤π3D ．0＜θ≤π3解析：连接CD 1，CA ．∵A 1B ∥D 1C ，∴异面直线CP 与A 1B 所成的角即为CP 与D 1C 所成的角． ∵△AD 1C 是正三角形，∴当P 与A 重合时，所成角最大，为π3.又∵P 不能与D 1重合(此时D 1C 与A 1B 平行，不是异面直线)，∴θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π3，故选D ．7．如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1是长方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论正确的是( A )A ．A ，M ，O 三点共线B ．A ，M ，O ，A 1不共面C ．A ，M ，C ，O 不共面D ．B ，B 1，O ，M 共面解析：连接A 1C 1，AC ，则A 1C 1∥AC ，所以A 1，C 1，C ，A 四点共面，所以A 1C ⊂平面ACC 1A 1，因为M ∈A 1C ，所以M ∈平面ACC 1A 1，又M ∈平面AB 1D 1，所以M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上，同理O 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上，所以A ，M ，O 三点共线．8．直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( C )A ．110B ．25C ．3010D ．22解析：取BC 的中点Q ，连接QN ，AQ ，易知BM ∥QN ，则∠ANQ 或其补角的余弦值即为所求，设BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AQ ＝5，AN ＝5，QN ＝6，∴cos ∠ANQ ＝AN 2＋NQ 2－AQ 22AN ·NQ ＝5＋6－525×6＝6230＝3010.9．(2019·西安模拟)如图是正四面体的平面展开图，G ，H ，M ，N 分别为DE ，BE ，EF ，EC 的中点，在这个正四面体中，①GH 与EF 平行；②BD 与MN 为异面直线；③GH 与MN 成60°角；④DE 与MN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是②③④.解析：还原成正四面体A-DEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合．如图所示．易知GH与EF异面，BD与MN异面．又△GMH为等边三角形，∴GH与MN成60°角，易证DE⊥AF，MN∥AF，∴MN⊥DE.因此正确的序号是②③④.10．如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为 2.解析：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，如图．因为C 是圆柱下底面弧AB 的中点，所以AD ∥BC ，所以直线AC 1与AD 所成的角即为异面直线AC 1与BC 所成的角，因为C 1是圆柱上底面弧A 1B 1的中点，所以C 1D ⊥圆柱下底面，所以C 1D ⊥AD ．因为圆柱的轴截面ABB 1A 1是正方形，所以C 1D ＝2AD ，所以直线AC 1与AD 所成角的正切值为2，所以异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为 2. 11．如图所示，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB＝2，AC ＝23，PA ＝2.求：(1)三棱锥P -ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．解：(1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P -ABC 的体积为 V ＝13S △ABC ·PA ＝13×23×2＝433. (2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE 是异面直线BC 与AD 所成的角(或其补角)．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2， cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34.故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.12．如图，已知二面角α-MN -β的大小为60°，菱形ABCD 在平面β内，A ，B 两点在棱MN 上，∠BAD ＝60°，E 是AB 的中点，DO ⊥平面α，垂足为O .(1)证明：AB ⊥平面ODE ；(2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值．解：(1)证明，∵DO ⊥α，AB ⊂α， ∴DO ⊥AB ．连接BD ，由题意知，△ABD 是正三角形．又E 是AB 的中点，∴DE ⊥AB ．而DO ∩DE ＝D ，∴AB ⊥平面ODE .(2)∵BC ∥AD ，∴BC 与OD 所成的角等于AD 与OD 所成的角，即∠ADO 是异面直线BC 与OD 所成的角．由(1)知，AB ⊥平面ODE ，所以AB ⊥OE .又DE ⊥AB ，∴∠DEO 是二面角α-MN -β的平面角，即∠DEO ＝60°.不妨设AB ＝2，则AD ＝2，易知DE ＝ 3. 在Rt △DOE 中，DO ＝DE ·sin60°＝32.连接AO ，在Rt △AOD 中，cos ∠ADO ＝DO AD ＝322＝34.故异面直线BC 与OD 所成角的余弦值为34.13．正四棱锥P -ABCD 中，四条侧棱长均为2，底面ABCD 是正方形，E 为PC 的中点，若异面直线PA 与BE 所成的角为45°，则该四棱锥的体积是( D )A ．4B ．2 3C ．43D ．233解析：如图所示，连接AC ，BD ．设AC ∩BD ＝O ，连接PO ，OE ， ∵O ，E 分别是AC 和PC 的中点， ∴OE ∥PA ，OE ＝12PA ＝1，则∠BEO 或其补角即为异面直线PA 与BE 所成的角． ∵底面ABCD 是正方形，∴BO ⊥AC ，又PO ⊥OB ，PO ∩AC ＝O ， ∴BO ⊥平面PAC ，则BO ⊥OE ， ∴△BOE 是等腰直角三角形， ∴OB ＝OE ＝1，PO ＝PB 2－OB 2＝3，BC ＝2，则四棱锥P -ABCD 的体积V ＝13×(2)2×3＝233，故选D ．14．如图是三棱锥D -ABC 的三视图，点O 在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO 和AB 所成角的余弦值等于( A )A ．33B ．12C ． 3D ．22解析：由三视图及题意得如图所示的直观图，从A 出发的三条线段AB ，AC ，AD 两两垂直且AB ＝AC ＝2，AD ＝1，O 是BC 的中点，取AC 中点E ，连接DE ，DO ，OE ，则OE ＝1，又可知AE ＝1，由于OE ∥AB ，故∠DOE 即为所求两异面直线所成的角或其补角．在直角三角形DAE中，DE ＝2，由于O 是BC 的中点，在直角三角形ABC 中可以求得AO ＝2，在直角三角形DAO 中可以求得DO ＝ 3.在三角形DOE 中，由余弦定理得cos ∠DOE ＝1＋3－22×1×3＝33，故所求异面直线DO 与AB 所成角的余弦值为33，故选A ． 15．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE .若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻折过程中，下列四个命题中不正确的是③.(填序号)①BM 是定值；②点M 在某个球面上运动； ③存在某个位置，使DE ⊥A 1C ； ④存在某个位置，使MB ∥平面A 1DE .解析：取DC 的中点F ，连接MF ，BF ，则MF ∥A 1D 且MF ＝12A 1D ，FB ∥ED 且FB ＝ED ，所以∠MFB ＝∠A 1DE .由余弦定理可得MB 2＝MF 2＋FB 2－2MF ·FB ·cos∠MFB 是定值，所以M 是在以B 为球心，MB 为半径的球面上，可得①②正确；由MF ∥A 1D 与FB ∥ED 可得平面MBF ∥平面A 1DE ，可得④正确；若存在某个位置，使DE ⊥A 1C ，则因为DE 2＋CE 2＝CD 2，即CE ⊥DE ，因为A 1C ∩CE ＝C ，则DE ⊥平面A 1CE ，所以DE ⊥A 1E ，与DA 1⊥A 1E 矛盾，故③不正确．16．(2019·新疆乌鲁木齐诊断)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝2，AB ＝AA 1＝2，E 是棱CC 1的中点．(1)求证：A 1B ⊥AE ；(2)求点A 1到平面ABE 的距离．解：(1)证明：如图，取A 1B 的中点F ，连接AF ，EF . ∵三棱柱ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，∴CC 1⊥A 1C 1，CC 1⊥CB ，AC ＝A 1C 1. 又∵E 是CC 1的中点，AC ＝BC ， ∴A 1E ＝BE ，∴A 1B ⊥EF . 又∵AB ＝AA 1，∴A 1B ⊥AF .又AF ∩EF ＝F ，∴A 1B ⊥平面AEF .又AE ⊂平面AEF ， ∴A 1B ⊥AE .(2)V 三棱锥A 1-ABE ＝V 三棱锥B -A 1AE ＝13×12×2×2×2＝23，设A 1到平面ABE 的距离为h ，则13S △ABE ·h ＝23，由已知得AE ＝BE ＝3，∴S △ABE ＝12×2×2＝2，∴h ＝ 2.。

2020届高考数学(理)一轮必刷题专题41 空间点、直线、平面之间的位置关系(解析版)

考点41 空间点、直线、平面之间的位置关系1．（山东省日照市2019届高三5月校际联合考试数学理）已知,m n 是两条不同直线，,αβ是两个不同平面，给出四个命题： ①若m αβ=，n α⊂，n m ⊥，则αβ⊥；②若,m m αβ⊥⊥，则αβ；③若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥；④若,,m n m n αβ，则αβ.其中正确的命题是（）A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④【答案】B 【解析】①若m αβ=，n α⊂，n m ⊥，如图，则α与β不一定垂直，故①为假命题；②若,m m αβ⊥⊥，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，则αβ；故②为真命题；③若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥，故③为真命题；④若,,m n m n αβ，如图，则α与β可能相交，故④为假命题．故选：B ．2．（四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学理）设,a b 是空间两条直线，则“,a b 不平行”是“,a b 是异面直线”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】由,a b 是异面直线⇒,a b 不平行．反之若直线,a b 不平行，也可能相交．所以“,a b 不平行”是“,a b 是异面直线”的必要不充分条件．故选：B ．3．（安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测）如图，边长为1的菱形ABCD 中，60DAB ︒∠= ，沿BD 将ABD ∆ 翻折，得到三棱锥A BCD - ，则当三棱锥A BCD -体积最大时，异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为（）A ．58B ．23C ．1316D ．14【答案】D【解析】当三棱锥A BCD -体积最大时，平面ADB ^平面BDC ，边长为1的菱形ABCD 中，60DAB ︒∠=BD 1\=取DB 中点O ，连接AO,OC ，则AO ⊥平面BDC ，OC ^平面ADB ，以O 为原点，分别OB,OC,OA 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系则11D ,0,0,A 0,0,,B ,0,0222骣骣骣琪琪琪-琪琪琪桫桫桫，C 0,,02骣琪琪桫131,0,,,2222AD BC 骣骣琪琪=--=-琪琪桫桫设异面直线AD 与BC 所成角为θ1||14cos 114||||AD BC AD BC q ×\===´×即异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为14故选D．4．（山东省泰安市教科研中心2019届高三考前密卷数学理）如图所示，边长为a的空间四边形ABCD中，∠BCD＝90°，平面ABD⊥平面BCD，则异面直线AD与BC所成角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】由题意得BC＝CD＝a，∠BCD＝90°，∴BD，∴∠BAD＝90°，取BD中点O，连结AO，CO，∵AB＝BC＝CD＝DA＝a，∴AO⊥BD，CO⊥BD，且AO＝BO＝OD＝OC＝，2又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊥BD，∴AO⊥平面BCD，延长CO至点E，使CO＝OE，连结ED，EA，EB，则四边形BCDE为正方形，即有BC∥DE，∴∠ADE（或其补角）即为异面直线AD与BC所成角，由题意得AE＝a，ED＝a，∴△AED为正三角形，∴∠ADE＝60°，∴异面直线AD与BC所成角的大小为60°．故选：C．5．（安徽省1号卷A10联盟2019届高考最后一卷数学理）已知,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（） A ．若//,//m n αα，则//m n B ．若,αγβγ⊥⊥，则//αβC ．若//,//m n αα，且,m n ββ⊂⊂，则//αβD ．若,m n αβ⊥⊥，且αβ⊥，则m n ⊥ 【答案】D 【解析】若//m α，//n α，则//m n 或m 与n 异面或m 与n 相交，故选项A 错误；若αγ⊥，βγ⊥，则α与β可能相交，故选项B 错误；若直线,m n 不相交，则平面,αβ不一定平行，故选项C 错误；αβ⊥Q ，m α⊥ //m β∴或m β⊂，又n β⊥ m n ∴⊥，故选项D 正确.本题正确选项：D6．（江西省吉安市2019届高三下学期第一次模拟考试数学理）如图，长为4，宽为2的矩形纸片ABCD 中，E 为边AB 的中点，将A ∠沿直线DE 翻转1A DE △（1A ∉平面ABCD ），若M 为线段1A C 的中点，则在ADE 翻转过程中，下列说法错误的是（）A ．//MB 平面1A DEB ．异面直线BM 与1A E 所成角是定值C ．三棱锥1A ADE -体积的最大值是3D ．一定存在某个位置，使1DE A C ⊥ 【答案】D 【解析】由题意，对于A ，延长CB ，DE 交于H ，连接1A H ，由E 为AB 的中点，可得B 为CH 的中点，又M 为1A C 的中点，可得1BM //A H ，BM ⊄平面1A DE ，1A H ⊂平面1A DE ，则BM//平面1A DE ，∴A 正确；对于B ，AB 2AD 4==，过E 作EG //BM ，G ∈平面1A DC ，则1A EG ∠是异面直线BM 与1A E 所成的角或所成角的补角，且11A EG EA H ∠∠=，在1EA H 中，1EA 2=，EH DE ==则1A H =，则1EA H ∠为定值，即1A EG ∠为定值，∴B 正确；对于C ，设O 为DE 的中点，连接OA ，由直角三角形斜边的中线长为斜边的一半，可得平面1A DE ⊥平面ADE 时，三棱锥1A ADE -的体积最大，最大体积为2Δug 1111V S A 02332=⋅=⨯⨯=，∴C 正确；对于D ，连接1A O ，可得1DE A O ⊥，若DE MO ⊥，即有DE ⊥平面1A MO ，即有1DE A C ⊥，由1A C 在平面ABCD 中的射影为AC ，可得AC 与DE 垂直，但AC 与DE 不垂直，则不存在某个位置，使DE MO ⊥，∴D 错误；故选：D ．7．（新疆乌鲁木齐市2019届高三第二次诊断性测试数学理）如图，是棱长为1的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，以下结论正确的是（）A ．点A 到EFB ．三棱锥C DMN -的体积是16C ．EF 与平面CDN 所成的角是45︒D ．EF 与MN 所成的角是60︒ 【答案】D 【解析】解：根据正方体的平面展开图，画出它的立体图形如图所示，对于A ，连接ND ，与EF 交于O 点，连接AO ，则AO 的长即点A 到EF 的距离，AO 2，故A 错误；对于B ，三棱锥C DMN -的体积是33２１１，故B 错误；对于C ，F 点到平面CDN的距离为3，∴EF 与平面CDN3，故C 错误；对于D ，EF 与MN 所成的角即MC 与MN 所成的角，显然是60°，故D 正确，故选：D8．（新疆乌鲁木齐市2019届高三第二次诊断性测试数学理）设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A ．若αβ⊥，m β⊥，则//m α B ．若//m α，n m ⊥，则n α⊥C ．若//m α，//n α，m β⊂，n β⊂，则//αβD ．若//m β，m α⊂，n αβ=，则//m n【答案】D 【解析】若αβ⊥，m β⊥，则有可能m 在面α内，故A 错误；若//m α，n m ⊥，n 有可能在面α内，故B 错误；若一平面内两相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行，故C 错误．若//m β，m α⊂，n αβ=，则由直线与平面平行的性质知//m n ，故D 正确．故选D.9．（湖北省武汉市2019年高考数学理）已知两个平面相互垂直，下列命题 ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线 ③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】由题意，对于①，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故①错误；对于②，设平面α∩平面β=m ，n ⊂α，l ⊂β，∵平面α⊥平面β， ∴当l ⊥m 时，必有l ⊥α，而n ⊂α， ∴l ⊥n ，而在平面β内与l 平行的直线有无数条，这些直线均与n 垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即②正确；对于③，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不垂直于另一个平面，故③错误；对于④，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面，这是面面垂直的性质定理，故④正确；故选：B ．10．（辽宁省辽阳市2019届高三下学期一模数学理）如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱AB 和A 1D 1的中点分别为E ，F ，AB ＝6，AD ＝8，AA 1＝7，则异面直线EF 与AA 1所成角的正切值为（）A ．57B ．75C D【解析】取A 1B 1中点G ，连接EG ，FG ，EG ⊥FG ，因为EG ∥AA 1，所以异面直线EF 与AA 1所成角为∠FEG 或其补角，在△EFG 中，FG ＝5，EG ＝7，所以tan ∠FEG 57=，故选：A ．11．（广东省湛江市2019年普通高考测试二理）已知,,αβγ是三个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，给出下列命题：①若//,m n αα⊂，则//m n ；②若,//m m n αβ⋂=，且,n n αβ⊄⊄，则//,//n n αβ； ③若,,//n m αβαβ⊥⊂，则m n ⊥； ④ ,,,m n αγβγαβγ⊥⊥⋂=⊂，则m n ⊥. 其中真命题的个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】对①若//,m n αα⊂，则//m n 或m,n 异面，故错误；对②，由线面平行的判定定理知：若,//m m n αβ⋂=，且,n n αβ⊄⊄，则//,//n n αβ，正确对③，若,//n ααβ⊥，则,m m ββ⊥⊂，则m n ⊥，正确对④，设α,?,a b γβγ==在面γ内任取点O,作OA a,⊥ OB b,⊥由,αγβγ⊥⊥，得OA ,α⊥ OB ,β⊥故OA ,m ⊥ OB ,m ⊥则m γ⊥，又n m n γ⊂⊥，则，正确综上真命题的个数是3个12．（甘肃省兰州市2019届高三实战模拟考试二诊数学（理）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，AD =1AA 11A B 与1AC 所成角的余弦值为（）A ．14B C D ．13【答案】C 【解析】因为长方体1111ABCD A B C D -所以11A B AB ∥，所以1BAC ∠即为异面直线11A B 与1AC 所成角。

2020年高考文科数学空间点、直线、平面之间的位置关系专项练习题含解析

课时规范练A组基础对点练1．在空间中，可以确定一个平面的条件是()A．两两相交的三条直线B．三条直线，其中的一条与另外两条分别相交C．三个点D．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点解析：两两相交的三条直线，它们可能相交于同一点，也可能不相交于同一点，当三条直线相交于同一点时，这三条直线可能不在同一个平面内，A错；条件中另外两条直线可能共面，也可能不共面，当另外两条直线不共面时，三条直线不能确定一个平面，B错；空间三个点可能不在同一条直线上，也可能在同一条直线上．当三个点在同一条直线上时，经过这三个点的平面有无数个，C错；因为三条直线两两相交于不同的点，所以三个交点不在同一条直线上，由公理2知，这三条直线可以确定一个平面，D正确．选D.答案：D2．下列说法错误的是()A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内B．过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直C．如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直D．如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行解析：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内，A正确，排除A；过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直，B正确，排除B；如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直，C 正确，排除C；如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线不一定平行，D错误，选D.答案：D3．下列命题中，真命题的个数为()①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l.A．1B．2C．3 D．4解析：根据公理2，可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；在空间中，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故③是假命题；根据平面的性质可知④是真命题．综上，真命题的个数为2.答案：B4．在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与直线A1B1、EF、BC都相交的直线()A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条解析：在EF上任意取一点M，直线A1B1与M确定一个平面，这个平面与BC有且仅有1个交点N，当M的位置不同时确定不同的平面，从而与BC有不同的交点N，而直线MN与A1B1、EF、BC分别有交点P、M、N，如图，故有无数条直线与直线A1B1、EF、BC都相交．答案：D5．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．答案：A6．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b，又aα，bβ，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．答案：A7．在四面体ABCD中，若AB＝CD＝3，AC＝BD＝2，AD ＝BC＝5，则直线AB与CD所成角的余弦值为()A．－13B．－14C.14 D.13答案：D8．设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a平面α，b平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；aα，bβ，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错．答案：①9.如图，已知圆柱的轴截面ABB 1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．解析：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD，因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝2AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为 2.答案： 210．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱有________条．解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行的棱有AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条．答案：511.如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠F AB＝90°，BC解析：(1)证明：由题设知，FG＝GA，FH＝HD，B组能力提升练12．(2019·湘东五校联考)已知直线m，l，平α，β，且m⊥α，lβ，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β.其中正确的命题是()A．①④B．③④C．①②D．①③解析：对于①，若α∥β，m⊥α，lβ，则m⊥l，故①正确，排除B.对于④，若m∥l，m⊥α，则l⊥α，又lβ，所以α⊥β，故④正确．选A.答案：A13.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为()A.12B．－12C.32D．－32答案：A14．α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题正确的是()A．若α∩β＝m，nα，m⊥n，则α⊥βB．若α⊥β，α∩β＝m，α∩γ＝n，则m⊥nC．若m不垂直于平面α，则m不可能垂直于平面α内的无数条直线D．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β解析：对于选项A，直线n是否垂直于平面β未知，所以平面α不一定垂直于平面β，选项A错误；对于选项B，由条件只能推出直线m与n共面，不能推出m⊥n，选项B错误；对于选项C，命题“若m不垂直于平面α，则m不可能垂直于平面α内的无数条直线”的逆否命题是“若直线m垂直于平面α内的无数条直线，则m垂直平面α”，这不符合线面垂直的判定定理，选项C错误；对于选项D，因为n⊥β，m∥n，所以m⊥β，又m⊥α，所以α∥β，选项D正确．选D.答案：D15.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为P A，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面P AD.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：将展开图还原为几何体(如图)，因为E，F分别为P A，PD的中点，所以EF∥AD∥BC，即直线BE与CF共面，①错；因为B平面P AD，E∈平面P AD，E AF，所以BE与AF是异面直线，②正确；因为EF∥AD∥BC，EF平面PBC，BC平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正确；平面P AD与平面BCE不一定垂直，④错．故选B.答案：B16．若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，给出下列结论：①四面体ABCD每组对棱相互垂直；②四面体ABCD每个面的面积相等；③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°；④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)解析：对于①，如图1，AE，CF分别为BD边上的高，由三角形全等可知DE＝BF，当且仅当AD＝AB，CD＝BC时，E，F重合，此时AC⊥BD，所以当四面体ABCD为正四面体时，每组对棱相互垂直，故①错误；对于②，因为AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，所以四面体四个面全等，所以四面体ABCD每个面的面积相等，故②正确；对于③，当四面体为正四面体时，同一个顶点出发的任意两条棱的夹角均为60°，此时四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于180°，故③错误；对于④，如图2，G，H，I，J为各边中点，因为AC＝BD，所以四边形GHIJ为菱形，GI，HJ相互垂直平分，其他同理可得，所以连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分，故④正确；对于⑤，从A点出发的三条棱为AB，AC，AD，因为AC ＝BD，所以AB，AC，AD可以构成三角形，同理可得其他，所以从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长，故⑤正确．综上所述，正确的结论为②④⑤.答案：②④⑤17.如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．解析：(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所成平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD是异面直线．(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．又因为AC⊥BD，则FG⊥EG.在Rt△EGF中，由EG＝FG＝12AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.。

【高中全程复习方略(理科数学)2020版】核心素养提升练四十一 9.2

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核心素养提升练四十一空间点、直线、平面之间的位置关系(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.若直线a和直线b相交,设交点为P,因为a⊂α,所以P∈α,因为b⊂β,所以P∈β,所以P是平面α,β的公共点,所以平面α,β相交.若平面α,β相交,而直线a和直线b可能相交,可能异面,如图.所以“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件. 2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列结论不正确的是( )A.C1D1⊥B1CB.BD1⊥ACC.BD1∥B1CD.∠ACB1=60°【解析】选C.因为BD1与B1C是两条异面直线,所以不可能平行.3.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为( )A.3B.4C.5D.6【解析】选C.在平行六面体ABCD-A 1B1C1D1中,用列举法知符合要求的棱为BC,CD,C1D1,BB1,AA1,共5条.4.(2019·长春模拟)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为3,高为4,点M和N 分别是矩形ABCD和BB1C1C的中心,则过点A,M,N的平面截正方体的截面面积为( )A. B.C. 3D.【解析】选B.连接AB1,则MN是△AB1C的中位线,所以AB1∥MN,所以过点M,N,A的截面就是△AB1C,因为在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为3,高为4,所以AB1=B1C=5,AC=3,所以△AB1C的面积为.5.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,|AB|=2,|BC|=|CC1|=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )A. B. C. D.【解析】选C.补成四棱柱ABCD-A1B1C1D1,如图所示,连接BD,DC1,则所求角为∠BC1D或其补角,因为|BC1|=,|BD|==,|C1D|=|AB1|=,因此,cos∠BC1D==.6.棱长为6的正四面体A-BCD中,E,F分别是AB,BC的中点,点G在CD上,且CG=2GD,则过点E,F,G的截面面积为( )A. B. C. D.9【解析】选B.如图,延长FG,BD,交于点P,连接EP交AD于点H,连接GH,因为EF为中位线,所以EF∥AC,EF=AC=3,所以EF∥平面ACD,由题意知GH∥AC,所以EF∥GH,所以过点E,F,G的截面为梯形EFGH,因为CG=2GD,所以GH=AC=2,所以=,在△FGC中,由余弦定理得FG==,所以FP=3,同理EP=3,所以S△EFP=×3×=,所以梯形EFGH的面积为S△EFP=×=.7.(2019·太原模拟)如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别是DE,BE,EF,EC 的中点,在这个正四面体中:①DE与MN平行;②BD与MN为异面直线;③GH与MN 成60°角;④DE与MN垂直.以上四个命题中,正确命题的个数是( )A. 1B.2C.3D.4【解析】选C.将正四面体的平面展开图复原为正四面体A-DEF,如图:对于①,M,N分别为EF,AE的中点,则MN∥AF,而DE与AF异面,故DE与MN 不平行,故①错误;对于②,BD与MN为异面直线,正确(假设BD与MN共面,则A,D,E,F四点共面,与ADEF为正四面体矛盾,故假设不成立,故BD与MN异面);对于③,依题意,GH∥AD,MN∥AF,∠DAF=60°,故GH与MN成60°角,故③正确; 对于④,连接GF,A点在平面DEF的射影A1在GF上,所以DE⊥平面AGF,DE⊥AF,而AF∥MN,所以DE与MN垂直,故④正确.综上所述,正确命题的序号是②③④.二、填空题(每小题5分,共15分)8.在正方体ABCD-A′B′C′D′中,过对角线BD′的一个平面交AA′于E,交CC′于F,①四边形BFD′E一定是平行四边形②四边形BFD′E有可能是正方形③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形④四边形BFD′E有可能垂直于平面BB′D以上结论正确的为________(写出所有正确结论的编号)【解析】由正方体的性质,四边形BFD′E的两组对边分别平行,所以一定是平行四边形,所以①正确,若是正方形,则BF⊥D′F,又因为D′C′⊥BF,所以BF⊥平面CDD′C′,所以BF⊥CF,矛盾,所以②错误,因为四边形BFD′E在底面ABCD内的投影是四边形ABCD,所以一定是正方形,③正确,因为当EF平行于AC时,截面四边形是菱形,此时四边形BFD′E垂直于平面BB′D,所以④正确.答案:①③④9.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱AB,CC1的中点,△MB1P的顶点P在棱CC1与棱C1D1上运动.有以下四个命题: 世纪金榜导学号①平面MB1P⊥ND1;②平面MB1P⊥平面ND1A1;③△MB1P在底面ABCD上的射影图形的面积为定值;④△MB1P在侧面D1C1CD上的射影图形是三角形.其中正确命题的序号是________.【解析】①错,B1C1⊥ND1,显然当P落在D1,B1D1不垂直D1N,所以平面MB1P⊥ND1不恒成立.②对,因为ND1⊥MB1,且MB1⊥A1D1,所以MB1⊥平面ND1A1,又因为MB1⊂平面MB1P,所以平面MB1P⊥平面ND1A1.③对,因为B1M的射影是MB为定值,点P的射影一定在线段CD上,所构造的射影三角形均同底等高,所以面积为定值.④错,当P 点落在点C1时,△MB1P在侧面D1C1CD上的射影图形是条线段.综上所述,填②③.答案:②③10.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,点P,Q,R分别是线段B1B,AB和A1C上的动点,观察直线CP与D1Q,CP与D1R,给出下列结论:世纪金榜导学号①对于任意给定的点P,存在点Q,使得D1Q⊥CP;②对于任意给定的点Q,存在点P,使得CP⊥D1Q;③对于任意给定的点R,存在点P,使得CP⊥D1R;④对于任意给定的点P,存在点R,使得D1R⊥CP.其中正确的结论是____________.(填序号)【解析】①只有D1Q⊥平面BCC1B1,即D1Q⊥平面ADD1A1时,才能满足对于任意给定的点P,存在点Q,使得D1Q⊥CP,因为过D1点与平面DD1A1A垂直的直线只有一条D1C1,而D1C1∥AB,所以①错误;②当点P与B1重合时,CP⊥AB,且CP⊥AD1,所以CP ⊥平面ABD1,因为对于任意给定的点Q,都有D1Q⊂平面ABD1,所以对于任意给定的点Q,存在点P,使得CP⊥D1Q,所以②正确;③当R与A1重合时,在线段B1B上找不到点P,使CP⊥D1R,所以③不正确;④只有当CP⊥平面A1CD1时,④才正确,所以对于任意给定的点P不存在点R,使D1R⊥CP,故④不正确.答案:②(20分钟40分)1.(5分)已知直线l⊥平面α,直线m∥平面β,则下列命题正确的是 ( )A.若α⊥β,则l∥mB.若l⊥m,则α∥βC.若l∥β,则m⊥αD.若α∥β,则l⊥m【解析】选D.对于A,若α⊥β,直线l⊥平面α,直线m∥平面β,则l与m可能平行、相交、异面,故不正确;对于B,若l⊥m,直线l⊥平面α,直线m∥平面β,则α与β可能平行,也可能相交,故B不正确;对于C, 若l∥β,m与α的位置不确定,故C不正确;对于D,若α∥β,直线l⊥平面α,则直线l⊥平面β,又因直线m∥平面β,则l⊥m,正确.2.(5分)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为m,n,那么m+n= ( )A.8B.9C.10D.11【解析】选A.由题意可知直线CE与正方体的上底面平行,在正方体的下底面上,与正方体的四个侧面不平行,所以m=4,直线EF与正方体的左右两个侧面平行,与正方体的上下底面相交,前后侧面相交,所以n=4,所以m+n=8.3.(5分)将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,如图,∠AOC=120°,∠A1O1B1=60°,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.则异面直线B1C与AA1所成的角的大小是____________.【解析】设点B1在下底面圆周的射影为B,连接BB1,则BB1∥AA1,所以∠BB1C为直线B1C与AA1所成角(或补角),|BB1|=|AA1|=1,连接BC,BO,∠AOB=∠A1O1B1=,∠AOC=,所以∠BOC=,所以△BOC为正三角形,所以|BC|=|BO|=1,tan∠BB1C=1,所以直线B1C与AA1所成角的大小为45°.答案:45°4.(12分)已知球内接正四棱锥P-ABCD的高为3,AC,BD相交于点O,球的表面积为,若E为PC中点. 世纪金榜导学号(1)求异面直线BP和AD所成角的余弦值.(2)求点E到平面PAD的距离.【解析】(1)由球的表面积公式S=4πR2得球的半径R=,设球心为O1,在正四棱锥P-ABCD中,高为PO,则O1必在PO上,连接AO1,则O1O=,AO1=,则在Rt △O1OA中,有O+OA2=O1A2,即OA=2,可得正方形ABCD的边长为2,侧棱PA==.在正方形ABCD中,BC∥AD,所以∠PBC是异面直线BP和AD所成的角或其补角,取BC中点M,在等腰△PBC中,可得PM⊥BC,斜高PM=,则在Rt△PMB中,cos∠PBC===.所以异面直线BP和AD所成的角的余弦值为;(2)由O,E为CA,CP中点,得OE∥AP,且满足OE⊄平面PAD,AP⊂平面PAD,所以OE∥平面PAD,所以E到平面PAD的距离等于O到平面PAD的距离,又因为S△PAD=×2×=,S△AOD=×2×2=2,再设O到平面PAD的距离为h,则由V E-PAD=V O-PAD=V P-AOD,可得·S△PAD·h=·S△AOD·PO,则h=,所以点E到平面PAD的距离为.5.(13分)如图,在四面体ABCD中 ,E,G分别为BC,AB的中点,F在CD上,H在AD 上,且有DF∶FC=DH∶HA=2∶3.求证:EF,GH,BD交于一点. 世纪金榜导学号【证明】如图,连接GE,FH.因为E,G分别为BC,AB的中点,所以GE∥AC.又因为DF∶FC=DH∶HA=2∶3,所以FH∥AC.所以FH∥GE,GH,EF不平行.所以E,F,H,G四点共面.所以四边形EFHG是一个梯形.设GH和EF交于一点O.因为O在平面ABD内,又在平面BCD内,所以O在这两个平面的交线上.因为这两个平面的交线是BD,且交线只有这一条,所以点O在直线BD上. 这就证明了GH和EF的交点也在BD上,所以EF,GH,BD交于一点.关闭Word文档返回原板块。

2020届高考数学(理)大一轮复习增分练：空间点、直线、平面之间的位置关系含解析

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2020届高考数学（理）大一轮复习增分练：空间点、直线、平面之间的位置关系
1．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有( )
A．4个B．3个
C．2个D．1个
解析：选 A.首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面．
2．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：选A.若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．
3．已知l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )
A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面
解析：选B.在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．
4．如图，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(
)。

2020届高考数学(理)一轮复习精品特训专题八：立体几何(3)空间点、直线、平面之间的位置关系

立体几何（3）空间点、直线、平面之间的位置关系1、下列说法正确的是( )A.生活中的几何体都是由平面组成的B.曲面都是有一定大小的C.直线是由无限个点组成的,而线段是由有限个点组成的D.直线平移时,若不改变方向,则一定形成不了曲面2、下列图形中不一定是平面图形的是（）A ．三角形B ．四边相等的四边形C ．梯形D ．平行四边形 3、如图,在正方体1111ABCD A B C D -中, ,,,M N P Q 分别是线段11111,,,C D A D BD BC 的中点,给出下面四个命题:①//MN 平面APC ;②1//B Q 平面11ADD A ;③,,A P M 三点共线;④平面//MNQ 平面ABCD .其中正确的序号为( )A.①②B.①④C.②③D.③④4、一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有下列结论:①AB EF ⊥;②AB 与CM 所成的角为60︒;③EF 与MN 是异面直线;④//MN CD .其中正确的是( )A.①②B.③④C.②③D.①③5、已知直线,m n 和平面α，满足m α⊂，n α⊥，则直线,m n 的关系是（）A ．平行B ．垂直C ．异面D ．平行或异面6、已知P 是ABC △所在平面外的一点,M 、N 分别是AB 、PC 的中点,若4MN BC ==,PA =则异面直线PA 与MN 所成角的大小是( )A.30︒B.45︒C.60︒D.90︒7、已知,m n 为异面直线, m ⊥平面α,n ⊥平面β,直线l 满足l m ⊥,l n ⊥,l α⊄,l β⊄,则( )A.//αβ且//l αB.αβ⊥且l β⊥C.α与β相交,且交线垂直于lD.α与相交β,且交线平行于l8、若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ,满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥,则下列结论一定正确的是( )A. 14l l ⊥B. 14//l lC. 1l 与4l 既不垂直也不平行D. 1l 与4l 的位置关系不确定9、已知123,,l l l 是空间中三条不同的直线,则下列命题正确的是( )A.若1213,l l l l ⊥⊥,则23//l lB.若1223,//l l l l ⊥,则13l l ⊥C.若1223//,//l l l l ,则123,,l l l 共面D.若123,,l l l 共点,则123,,l l l 共面10、如图,已知,,,A B C D 四点不共面,且,AB CD αα,,,,AC E AD F BD H BC G αααα⋂=⋂=⋂=⋂=,则四边形EFHG 的形状是( )A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形11、a 、b 、c 是空间中互不重合的三条直线,下面给出五个命题:①若,a b b c ,则a c ; ②若,a b b c ⊥⊥,则a c ;③若a 与b 相交, b 与c 相交,则a 与c 相交;④若a ⊂平面α,b ⊂平面β,则a ,b 一定是异面直线;⑤若a ,b 与c 成等角,则a b .上述命题中正确的是__________.(填序号)12、如图所示的几何体ABCDEF 中，ABCD 是平行四边形且//AE CF ，六个顶点任意两点连线能组成异面直线的对数是___________13、如图,在底面为正方形的四凌锥P ABCD -中, 2PA PB PC PD AB =====,点E 为棱PA 的中点,则异面直线BE 与PD 所成角的余弦值为___________.14、平面,αβ相交, ,αβ内各取两点,这四点都不在交线上,这四点能确定__________个平面.15、如图,在三棱柱111ABC A B C -中, 1BB ⊥平面ABC 1,90,,BAC AC AB AA E ∠=︒==是BC 的中点.1.求证: 1AE B C ⊥;2.求异面直线AE 与1A C 所成的角的大小答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：A 显然错误;曲面是没有大小的,B 错误;线段也是由无限个点组成的,所以C 错误.故选D.2答案及解析：答案：B解析：A 、由不共线的三点确定一个平面和图形知，三角形是平面图形，故A 不对；B 、当空间四边形的四边相等时，是空间几何体而不是平面图形，故B 对；C 、因梯形的一组对边相互平行，则由两条平行线确定一个平面知，梯形是平面图形，故C 不对；D 、因平行四边形的对边相互平行，则由两条平行线确定一个平面知，平行四边形是平面图形，故D 不对；故选：B ．3答案及解析：答案：A解析：平面APC 即为平面11ACC A ,很容易看出MN 与平面11ACC A 无公共点,即//MN 平面11ACC A ;同理1B Q 与平面11ADD A 也没有公共点,故1//B Q 平面11ADD A ;,,A P M 三点不共线;平面MNQ 与平面ABCD 是相交的.故选A.4答案及解析：答案：D解析：把正方体纸盒的平面展开图折叠成正方体纸盒,如图所示, AB EF ⊥,EF 与MN 是异面直线, //AB CM ,MN CD ⊥,只有①③正确,故选D.5答案及解析：答案：B解析：6答案及解析：答案：A解析：7答案及解析：答案：D解析：8答案及解析：答案：D解析：由1223,l l l l ⊥⊥,可知1l 与3l 的位置关系不确定,若13//l l ,则结合34l l ⊥,得14l l ⊥,所以排除选项B 、C,若13l l ⊥,则结合34l l ⊥,得1l 与4l 可能不垂直,所以排除选项A,故选D.9答案及解析：答案：B解析：两条直线都与第三条直线垂直,这两条直线不一定平行,故选项A 不正确; 一条直线垂直于两条平行直线中的一条, 则它也垂直于另一条,故B 正确;三条直线互相平行,这三条直线不一定共面,如三棱柱的三条侧棱所在的直线,故C 不正确; 三条直线相交于一点,这三条直线不一定共面,如三棱锥的三条侧棱所在的直线,故D 不正确.10答案及解析：答案：A解析：11答案及解析：答案：①解析：12答案及解析：答案：39解析：13答案及解析：解析：如图所示,取,PD BC 的中点,F G .连接,,EF FG DG则11//,,1,22EF AD EF AD BG BC ===因为AD 平行且等于BC ,EF ∴平行且等于BG ,//EB FG ∴GFD ∴∠为异面直线BE 与PD 所成的角.在FGD △中, 1,cos 6DG FG EB FD GFD ====∴∠=-14答案及解析：答案：1或4解析：若四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行,则确定1个平面,否则确定4个平面.15答案及解析：答案：1.证明:如图建立空间直角坐标系。

2020届高考数学复习夯基提能作业空间点、直线、平面之间的位置关系文科

第三节空间点、直线、平面之间的位置关系A组基础题组1.下列说法正确的是( )A.若a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线B.若a与b异面,b与c异面,则a与c异面C.若a,b不同在平面α内,则a与b异面D.若a,b不同在任何一个平面内,则a与b异面2.已知空间中有三条线段AB,BC和CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是( )A.AB∥CDB.AB与CD异面C.AB与CD相交D.AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交3.设A、B、C、D是空间中四个不同的点,下列命题中,不正确的是( )A.若AC与BD共面,则AD与BC共面B.若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线C.若AB=AC,DB=DC,则AD=BCD.若AB=AC,DB=DC,则AD⊥BC4.若空间三条直线a,b,c满足a⊥b,b⊥c,则直线a与c( )A.一定平行B.一定相交C.一定是异面直线D.平行、相交或异面5.l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( )A.l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1⊥l3B.l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3C.l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面D.l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面6.如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱有条.7.对于空间三条直线,有下列四个条件:①三条直线两两相交且不共点;②三条直线两两平行;③三条直线共点;④有两条直线平行,第三条直线和这两条直线都相交.其中使三条直线共面的充分条件是.8.空间四边形两对角线的长分别为6和8,所成的角为45°,连接各边中点所得四边形的面积是.9.如图所示,在四面体ABCD中作截面PQR,若PQ、CB的延长线交于点M,RQ、DB的延长线交于点N,RP、DC的延长线交于点K.求证:M、N、K三点共线.10.如图所示,A是△BCD所在平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点.(1)求证:直线EF与BD是异面直线;(2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角.B组提升题组11.(2015广东,6,5分)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( )A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交12.如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是( )A.A,M,O三点共线B.A,M,O,A1不共面C.A,M,C,O不共面D.B,B1,O,M共面13.如图,在三棱锥A-BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别为AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是.14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为D1C1、C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.(1)求证:D、B、F、E四点共面;(2)若A1C交平面DBFE于R点,求证:P、Q、R三点共线.15.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中点.已知∠BAC=,AB=2,AC=2,PA=2.(1)求三棱锥P-ABC的体积;(2)求异面直线BC与AD所成角的余弦值.答案全解全析A组基础题组1.D由异面直线的定义可知选D.2.D若三条线段共面,则直线AB与CD相交或平行;若三条线段不共面,则直线AB与CD是异面直线.3.C若AB=AC,DB=DC,AD不一定等于BC,C不正确.4.D当a,b,c共面时,a∥c;当a,b,c不共面时,a与c可能异面也可能相交.5.B A选项,l1⊥l2,l2⊥l3,则l1与l3的位置关系可能是相交、平行或异面;B选项正确;C选项,l1∥l2∥l3,则l1,l2,l3可能共面,也可能不共面;D选项不正确,如长方体中共顶点的三条棱所在直线,这三条直线不共面.6.答案5解析与AB和CC 1都相交的棱有BC;与AB相交且与CC1平行的棱有AA1,BB1;与AB平行且与CC1相交的棱有CD,C1D1.故符合条件的有5条.7.答案①④解析易知①中的三条直线一定共面;三棱柱三侧棱两两平行,但不共面,故②不符合;三棱锥三侧棱交于一点,但不共面,故③不符合;④中两条直线平行可确定一个平面,第三条直线和这两条直线都相交,则第三条直线也在这个平面内,故三条直线共面.8.答案6解析如图,已知空间四边形ABCD,对角线AC=6,BD=8,易证四边形EFGH为平行四边形,∠EFG或∠FGH 为AC与BD所成的45°角,故S四边形EFGH=3×4sin45°=6.9.证明∵M∈直线PQ,直线PQ⊂平面PQR,M∈直线BC,直线BC⊂平面BCD,∴M是平面PQR与平面BCD的一个公共点,即M在平面PQR与平面BCD的交线上.同理可证:N、K也在平面PQR与平面BCD的交线上.又如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线,故M、N、K三点共线.10.解析(1)证明:假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A,B,C,D在同一平面内,这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾.故直线EF与BD是异面直线. (2)取CD的中点G,连接EG,FG,则AC∥FG,EG∥BD,所以相交直线EF与EG所成的角(或其补角)即为异面直线EF与BD所成的角.又因为AC⊥BD,AC=BD,则FG⊥EG,FG=EG.所以∠FEG=45°,即异面直线EF与BD所成的角为45°.B组提升题组11.D解法一:如图1,l1与l2是异面直线,l1与l平行,l2与l相交,故A,B不正确;如图2,l1与l2是异面直线,l1,l2都与l相交,故C不正确,选D.解法二:因为l分别与l1,l2共面,故l与l1,l2要么都不相交,要么至少与l1,l2中的一条相交.若l与l1,l2都不相交,则l∥l1,l∥l2,从而l1∥l2,与l1,l2是异面直线矛盾,故l至少与l1,l2中的一条相交,选D. 12.A连接A1C1,AC,则A1C1∥AC,所以A1,C1,C,A四点共面,所以A1C⊂平面ACC1A1,因为M∈A1C,所以M∈平面ACC1A1,又M∈平面AB1D1,所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,同理,O也在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,所以A,M,O三点共线.13.答案解析如图所示,连接DN,取线段DN的中点K,连接MK,CK.∵M为AD的中点,∴MK∥AN,∴∠KMC(或其补角)为异面直线AN,CM所成的角.∵AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,N为BC的中点,∴易求得AN=DN=CM=2,∴MK=.在Rt△CKN中,CK==.在△CKM中,由余弦定理,得cos∠KMC==.14.证明(1)如图所示.因为EF是△D1B1C1的中位线,所以EF∥B1D1.又在正方体AC1中,B1D1∥BD,所以EF∥BD.所以EF与BD可确定一个平面,即D、B、F、E四点共面.(2)在正方体AC1中,设平面ACC1A1为α,平面DBFE为β.因为Q∈A1C1,所以Q∈α,又Q∈EF,所以Q∈β,则Q是α与β的公共点,同理,P也是α与β的公共点,所以α∩β=PQ.又因为A1C∩β=R,所以R∈A1C,R∈α且R∈β,则R∈PQ,故P、Q、R三点共线.15.解析(1)因为PA⊥底面ABC,所以PA是三棱锥P-ABC的高.又S △ABC=×2×2=2,所以三棱锥P-ABC的体积为V=S△ABC·PA=×2×2=.(2)如图,取PB的中点E,连接DE,AE,则ED∥BC,所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角.易知PB=2,PC=4,BC=4,则在△ADE中,DE=2,AE=,AD=2,所以cos∠ADE=-=.故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.。

2020版高考数学大一轮复习核心素养提升练四十二9.3直线、平面平行的判定及其性质理(含解析)

核心素养提升练四十二直线、平面平行的判定及其性质（30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1。

设α,β是两个不同的平面，l是直线且l⊂α,则“α∥β”是“l∥β”的( ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D。

既不充分也不必要条件【解析】选A。

由两平面平行的性质定理可知充分性满足,但必要性不满足.2。

(2017·全国卷Ⅰ)如图,在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点,M，N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是（)【解析】选A。

对于B,AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ;对于C，AB∥MQ,则直线AB∥平面MNQ；对于D,AB∥NQ，则直线AB∥平面MNQ.A不满足.3。

设a，b是空间中不同的直线，α,β是不同的平面,则下列说法正确的是（）A.a∥b，b⊂α,则a∥αB。

a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥bC。

a⊂α,b⊂α，a∥β，b∥β,则α∥βD.α∥β,a⊂α,则a∥β【解析】选D.由于可能出现a⊂α,所以A错;两平面平行，要与第三平面相交,才能推出两交线平行，B选项不符,所以B错；可能出现α与β相交，所以C错；D中,两平面平行，则一平面中的任一直线与另一平面平行,因为α∥β,a⊂α，所以直线a与平面β无公共点,所以a ∥β。

4。

已知m，n是两条不同的直线,α是平面，则下列命题中是真命题的是( ) A。

若m∥α，m∥n,则n∥αB。

若m⊥α，n⊥α，则m∥nC.若m∥α，m⊥n，则n∥αD。

若m⊥α,n⊥m，则n∥α【解析】选B。

对于选项A,有n⊂α的可能,故不是真命题；对于选项C,直线n也可以与平面α相交，不是真命题；对于选项D中的直线n,有n⊂α的可能，故不是真命题。

5。

如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E是AB的中点，F在CC1上,且CF=2FC1,点P是侧面AA1D1D(包括边界)上一动点,且PB1∥平面DEF，则tan∠ABP的取值范围是（)A。

高三数学(文科)一轮复习热身训练(41)《空间点、直线、平面之间的位置关系》人教B版必修2

课时作业(四十一)[第41讲空间点、直线、平面之间的位置关系][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．下面列举的图形一定是平面图形的是()A．有一个角是直角的四边形B．有两个角是直角的四边形C．有三个角是直角的四边形D．有四个角是直角的四边形2．已知直线l∥平面α，a、b是夹在直线l与平面α之间的两条线段，则a∥b是a ＝b的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．下列说法正确的是()A．如果两个不重合的平面α、β有一条公共直线a，就说平面α、β相交，并记作α∩β＝aB．两个平面α、β有一个公共点A，就说α、β相交于过A点的任意一条直线C．两个平面α、β有一个公共点A，就说α、β相交于A点，并记作α∩β＝AD．两个平面ABC与DBC相交于线段BC4．以下四个命题中，正确的命题是________(填序号)．①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．能力提升5．若A、B、C表示不同的点，a、l表示不同的直线，α、β表示不同的平面，下列推理不正确的是()A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A、B、C∈α，A、B、C∈β且A、B、C不共线⇒α与β重合6．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一条直线上”是“这四个点在同一个平面上”的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件7．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为() A．3 B．4 C．5 D．68．[2011·宿州褚兰中学三模] 正方体ABCD－A′B′C′D′中，P、Q、R分别是AB、AD、B′C′的中点，那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是() A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形9．如图K41－2所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是()图K41－2A ．直线ACB ．直线ABC ．直线CD D ．直线BC10．共点的四条直线最多能确定平面的个数是________．11．给出下列条件：①空间的任意三点；②空间的任意两条直线；③梯形的两条腰所在的直线；④空间的任意一条直线和任意一个点；⑤空间两两相交的三条直线．其中一定能独立确定一个平面的条件的序号是________．12．已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集．其中正确的是________(填序号)．13．下列命题中正确的是________(填序号)．①若△ABC 在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 三点共线；②若三条直线a 、b 、c 互相平行且分别交直线l 于A 、B 、C 三点，则这四条直线共面；③空间中不共面的五个点一定能确定10个平面．14．(10分)如图K41－3，设E ，F ，G ，H 分别是三棱锥A －BCD 的棱AB 、BC 、CD 、AD 的中点，若AC ＝BD ＝1，求EG 2＋FH 2的值．15．(13分)如图K41－4所示，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为AA 1、C 1D 1的中点，过D 、M 、N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线l .(1)画出直线l ，并说明画法的依据；(2)设A 1B 1∩l ＝P ，求线段PB 1的长．难点突破16．(12分)如图K41－5，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12FA ，G 、H 分别为FA 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？(3)证明：FE 、AB 、CD 三线共点．图K41－5课时作业(四十一)【基础热身】1．D[解析] 对于前三个，可以想象出仅有一个直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；对角为直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；在翻折的过程中，某个瞬间出现了有三个直角的空间四边形．2．A[解析] 当a∥b时，设a、b、l确定的平面与平面α的交线为l′，则a、b、l、l′构成平行四边形，可得a＝b；反之，若a＝b，则不一定有a∥b.故选A.3．A[解析] 根据平面的基本性质3可知，A对；对于B，其错误在于“任意”二字上；对于C，错误在于α∩β＝A上；对于D，应为平面ABC和平面DBC相交于直线BC.4．①[解析] ①正确，可以用反证法证明，假设有三点共线，则由直线和直线外一点确定一个平面，得这四点共面；②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上．【能力提升】5．C[解析] 由基本性质1知，A正确；由基本性质3知，B正确；由基本性质2知，D正确；l⊄α⇒l可能与α相交，C不正确，故选C.6．A[解析] 若有三点共线于l，当第四点在l上时共面，当第四点不在l上时，l与该点确定一个平面α，这四点共面于α；若四点共面，则未必有三点共线．故选A.7．C[解析] BC、CD、C1D1、BB1、AA1.8．D[解析] 如图，作RG∥BD交C′D′于G，连接的延长线交于M，连接MR交BB′于E，连接PE、RE，同理延长PQ交CD的延长线于N，连接NG交DD′于F，连接QF、FG.故截面为六边形PQFGRE.9．C[解析] 由题意知，D∈l，l⊂β，∴D∈β.又D∈AB，∴D∈平面ABC，即D在平面ABC与平面β的交线上．又C∈平面ABC，C∈β，∴点C在平面β与平面ABC的交线上．从而有平面ABC∩平面β＝CD，故选C.10．6[解析] 观察四棱锥模型，它的四个侧面，以及两个对角面，可以看成共点的四条直线最多能确定平面的个数的情形．11．③[解析] ①中三点共线时，②中两直线不平行也不相交时，④中点在直线上时，⑤中三直线交于一点时(此时可能不共面)，都不能独立确定一个平面．12．①②④[解析] 如图(1)，当直线m或直线n在平面α内且m、n所在平面与α垂直时不可能有符合题意的点；如图(2)，直线m、n到已知平面α的距离相等且两直线所在平面与已知平面α垂直，则已知平面α为符合题意的点集；如图(3)，直线m 、n 所在平面与已知平面α平行，则符合题意的点为一条直线．13．①② [解析] P 、Q ABC 上，又在平面α上，所以这三点必在平面ABC 与α的交线上，即P 、Q 、R 三点共线，故①正确；在②中，因为a ∥b ，所以a 与b 确定一个平面α，而l 上有A 、B 两点在该平面上，所以l ⊂α，即a 、b 、l 三线共面于α；同理a 、c 、l 三线也共面，不妨设为β，而α、β有两条公共的直线a 、l ，∴α与β重合，即这些直线共面，故②正确；在③中，不妨设其中有四点共面，则它们最多只能确定7个平面，故③错．14．[解答] 易知四边形EFGH 为平行四边形，由平行四边形性质知：EG 2＋FH 2＝2(EF 2＋FG 2)＝2×14(AC 2＋BD 2)＝12×(12＋12)＝1. 15．[解答] (1)延长DM 交D 1A 1的延长线于E ，连接NE ，则NE 即为所求的直线l .依据如下：∵E ∈直线DM ，直线DM ⊂平面DMN ，∴E ∈平面DMN又E ∈直线A 1D 1，直线A 1D 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，∴E ∈平面A 1B 1C 1D 1.∴E 为平面A 1B 1C 1D 1与平面DMN 的公共点．∵平面A 1B 1C 1D 1∩平面DMN ＝l ，∴E ∈l .同理可证N ∈l .∴直线EN 就是所求的直线．(2)∵M 为AA 1的中点，且AD ∥ED 1，∴AD ＝A 1E ＝A 1D 1＝a .又∵A 1P ∥D 1N ，且D 1N ＝12a ，∴A 1P ＝12D 1N ＝14a ，∴PB 1＝A 1B 1－A 1P ＝34a .即线段PB 1的长为34a . 【难点突破】16．[解答] (1)证明：由题设知，FG ＝GA ，FH ＝HD ，所以GH 綊12AD . 又BC 綊12AD ，故GH 綊BC ，所以四边形BCHG 是平行四边形．(2)C 、D 、F 、E 四点共面．理由如下：由BE 綊12AF ，G 是FA 的中点知，BE 綊GF ，所以EF ∥BG .由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH ，故EC 、FH 共面．又点D 在直线FH 上，所以C 、D 、F 、E 四点共面．(3)证明：连接EC ，∵BE 綊12AF ，BC 綊12AD ， ∴BE AF ＝BC AD ＝12，故EC ∥FD 且EC ≠FD ，∴FE 与DC 交于一点P .又AB ⊂平面ABEF ，AB ⊂平面ABCD ，∴P点在AB上，故FE、DC、AB三线共点．。

2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测三十九空间点直线平面之间的位置关系含解析

课时跟踪检测（三十九）空间点、直线、平面之间的位置关系[A 级基础题——基稳才能楼高]1．下列命题中，真命题的个数为( )①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合； ②两条直线可以确定一个平面；③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内； ④若M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，则M ∈l . A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 根据公理2，可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；在空间中，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故③是假命题；根据平面的性质可知④是真命题．综上，真命题的个数为2.2．已知异面直线a ，b 分别在平面α，β内，且α∩β＝c ，那么直线c 一定( ) A ．与a ，b 都相交B ．只能与a ，b 中的一条相交C ．至少与a ，b 中的一条相交D ．与a ，b 都平行解析：选C 如果c 与a ，b 都平行，那么由平行线的传递性知a ，b 平行，与异面矛盾．故选C. 3．已知A ，B ，C ，D 是空间四点，命题甲：A ，B ，C ，D 四点不共面，命题乙：直线AC 和BD 不相交，则甲是乙成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若A ，B ，C ，D 四点不共面，则直线AC 和BD 不共面，所以AC 和BD 不相交；若直线AC 和BD 不相交，若直线AC 和BD 平行时，A ，B ，C ，D 四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．4．(2019·银川一中模拟)已知P 是△ABC 所在平面外的一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，若MN ＝BC ＝4，PA ＝43，则异面直线PA 与MN 所成角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°DN ＝23，DM解析：选A 如图，取AC 的中点D ，连接DN ，DM ，由已知条件可得16＋12－42×4×23＝＝2.在△MND 中，∠DNM 为异面直线PA 与MN 所成的角，则cos ∠DNM ＝32，∴∠DNM ＝30°.[B 级保分题——准做快做达标]1．下列说法错误的是( )A ．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内B．过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直C．如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直D．如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行解析：选D 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内，A正确，排除A；过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直，B正确，排除B；如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直，C正确，排除C；如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线不一定平行，D错误，选D.2．(2019·长春质检)平面α，β的公共点多于两个，则①α，β平行；②α，β至少有三个公共点；③α，β至少有一条公共直线；④α，β至多有一条公共直线．以上四个判断中不成立的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选C 由条件知，当平面α，β的公共点多于两个时，若所有公共点共线，则α，β相交；若公共点不共线，则α，β重合．故①一定不成立；②成立；③成立；④不成立．3．(2019·云南大理模拟)给出下列命题，其中正确的两个命题是( )①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行；②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面；③直线m⊥平面α，直线n⊥直线m，则n∥α；④a，b是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a，b都平行且与a，b的距离相等．A．①与② B．②与③C．③与④ D．②与④解析：选D 直线上有两点到平面的距离相等，则此直线可能与平面平行，也可能和平面相交；直线m ⊥平面α，直线m⊥直线n，则直线n可能平行于平面α，也可能在平面α内，因此①③为假命题．4．(2019·成都模拟)在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中正确的命题有( )A．①② B．②③C．①③ D．①②③解析：选C 由题意画出草图如图所示，因为AA1∥平面α，平面α∩平面AA1B1B ＝EH，所以AA1∥EH.同理AA1∥GF，所以EH∥GF.又ABCA1B1C1是直三棱柱，易知EH＝GF＝AA1，所以四边形EFGH是平行四边形，故①正确；若平面α∥平面BCC1B1，由平面α∩平面A1B1C1＝GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，知GH∥B1C1，而GH∥B1C1不一定成立，故②错误；由AA1⊥平面BCFE，结合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE，又EH⊂平面α，所以平面α⊥平面BCFE，故③正确．综上可知，故选C.5.(2019·广州模拟)如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正确结论的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选B 画出该几何体，如图所示，①因为E，F分别是PA，PD的中点，所以EF∥AD，所以EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线，故①不正确；②直线BE与直线AF满足异面直线的定义，故②正确；③由E，F分别是PA，PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以直线EF∥平面PBC，故③正确；④因为BE与PA的关系不能确定，所以不能判定平面BCE⊥平面PAD，故④不正确．所以正确结论的个数是2.6．(2019·常德期末)一个正方体的展开图如图所示，A，B，C，D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中( )A．AB∥CD B．AB与CD相交C．AB⊥CD D．AB与CD所成的角为60°解析：选D 如图，把展开图中的各正方形按图①所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图②所示的直观图，可得选项A、B、C不正确．图②中，DE∥AB，∠CDE为AB与CD所成的角，△CDE为等边三角形，∴∠CDE＝60°.∴正确选项为D.7．(2019·成都检测)在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为( )A.12 B ．－12C.32D ．－32解析：选A 如图，分别取AB ，AD ，BC ，BD 的中点E ，F ，G ，O ，连接EF ，EG ，OG ，FO ，FG ，则EF ∥BD ，EG ∥AC ，所以∠FEG 为异面直线AC 与BD 所成的角．易知FO ∥AB ，因为AB ⊥平面BCD ，所以FO ⊥OG ，设AB ＝2a ，则EG ＝EF ＝2a ，FG ＝a 2＋a 212，故选A. ＝2a ，所以∠FEG ＝60°，所以异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为8．(2019·福州质检)在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点，则在空间中与直线A 1B 1，EF ，BC 都相交的直线( )A ．不存在B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有无数条解析：选D 在EF 上任意取一点M ，直线A 1B 1与M 确定一个平面，这个平面与BC 有且仅有1个交点N ，当M 的位置不同时确定不同的平面，从而与BC有不同的交点N ，而直线MN 与A 1B 1，EF ，BC 分别有交点P ，M ，N ，如图，故有无数条直线与直线A 1B 1，EF ，BC 都相交．9.如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，点F ，G 分别是边BC ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，则下列说法中正确的是________(填序号)．①EF 与GH 平行； ②EF 与GH 异面；③EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上； ④EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上．解析：连接EH ，FG (图略)，依题意，可得EH ∥BD ，FG ∥BD ，故EH ∥FG ，所以E ，F ，G ，H 共面．因为EH ＝12BD ，FG ＝23BD ，故EH ≠FG ，所以EFGH 是梯形，EF 与GH 必相交，设交点为M .因为点M 在EF 上，故点M 在平面ACB 上．同理，点M 在平面ACD 上，所以点M 是平面ACB 与平面ACD 的交点，又AC 是这两个平面的交线，所以点M 一定在直线AC 上．答案：④10．(2019·南京模拟)已知α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，则下列命题中正确的是________(填上所有正确命题的序号)．①若α∥β，m ⊂α，则m ∥β； ②若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n ；③若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m ⊥β； ④若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β.解析：由α∥β，m ⊂α，可得m ∥β，所以①正确；由m ∥α，n ⊂α，可得m ，n 平行或异面，所以②不正确；由α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，可得m 与β相交或m ⊂β，所以③不正确；由n ⊥α，n ⊥β，可得α∥β，又m ⊥α，所以m ⊥β，所以④正确．综上，正确命题的序号是①④.答案：①④11．(2019·广东百校联盟联考)如图，E 是正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱C 1D 1上的一点，且BD 1∥平面B 1CE ，则异面直线BD 1与CE 所成角的余弦值为________．解析：不妨设正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，连接BC 1，设B 1C ∩BC 1＝O ，连接EO ，如图所示，在△BC 1D 1中，当点E 为C 1D 1的中点时，BD 1∥OE ，则BD 1∥平面B 1CE ，据此可得∠OEC 为直线BD 1与CE 所成的角．在△OEC 中，边长EC ＝5，OC ＝2，OE ＝3，由余弦定理可得cos ∠OEC ＝3＋5－223×5＝155.即异面直线BD 1与CE 所成角的余弦值为155. 答案：15512．(2019·广西南宁二中、柳州高中联考)如图，在直角梯形ABCD 中，BC ⊥DC ，AE ⊥DC ，M ，N 分别是AD ，BE 的中点，将三角形ADE 沿AE 折起，下列说法正确的是________(填上所有正确的序号)．①不论D 折至何位置(不在平面内)都有MN ∥平面DEC ； ②不论D 折至何位置都有MN ⊥AE ；③不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)都有MN ∥AB .解析：如图，①易证ABCE 为矩形，连接AC ，则N 在AC 上，连接CD ，BD ，易证在△ACD 中，MN 为中位线，MN ∥DC ，又MN ⊄平面DEC ，∴MN ∥平面DEC .①正确．②由已知，AE ⊥ED ，AE ⊥EC ，ED ∩EC ＝E ， ∴AE ⊥平面CED ，又CD ⊂平面CED ，∴AE ⊥CD ，∴MN ⊥AE ，②正确．③MN 与AB 异面．假若MN ∥AB ，则MN 与AB 确定平面MNBA ，从而BE ⊂平面MNBA ，AD ⊂平面MNBA ，与BE 和AD 是异面直线矛盾．③错误．答案：①②13.在直三棱柱ABC A1B 1C 1中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，且异面直线A 1B 与B 1C 1所成的角等于60°，设AA 1＝a .(1)求a 的值；(2)求三棱锥B 1A 1BC 的体积．解：(1)∵BC ∥B 1C 1，∴∠A 1BC 就是异面直线A 1B 与B 1C 1所成的角，即∠A 1BC ＝60°.又AA 1⊥平面ABC ，AB ＝AC ，则A 1B ＝A 1C ，∴△A 1BC 为等边三角形，由AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°⇒BC ＝2，∴A 1B ＝2⇒1＋a 2＝2⇒a ＝1.(2)∵CA ⊥A 1A ，CA ⊥AB ，A 1A ∩AB ＝A ，∴CA ⊥平面A 1B 1B ，∴VB 1A 1BC ＝VC A 1B 1B ＝13×12×1＝16.14.如图所示，A 是△BCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点．(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．解：(1)证明：假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A ，B ，C ，D 在同一平面内，这与A 是△BCD 所在平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．(2)取CD 的中点G ，连接EG ，FG ，则AC ∥FG ，EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．又因为AC ⊥BD ，则FG ⊥EG .在Rt△EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.。