02 线性规划

第二章 线性规划
2.2 二维问题的图解法 一维问题的求解 示例：一维坐标轴（直线） 目标函数：max Z=6x1 约束条件：4x1≤12 x 1≥ 0
第二章 线性规划
2.2 二维问题的图解法 二维问题的求解 示例： 目标函数：maxZ=x1+2x2 约束条件：2x1+x2≤8 x1+2x2≤6 x1, x2≥0
x1
第二章 线性规划
2.3 单纯形法 线性规划解的讨论 老子《道德经》第四十二章首句：道生一,一生二, 二生三,三生万物 数学：一生二,二生三,三生无穷 单纯形法：线性规划问题的通用解法（算法） 清华大学出版社 运筹学
2.3 单纯形法 线性规划解的基本概念 可行解 最优解 基 可行基 基变量 非基变量 基本解 基本可行解
第二章 线性规划
2.1 应用实例与数学建模 线性规划模型及其标准化 标准形式：缩写形式、矩阵形式
第二章 线性规划
2.1 应用实例与数学建模 线性规划模型及其标准化 LP模型的标准化： 为什么要标准化 为了求解的需要 各自求解算法和软件工具都需要统一的形式 单纯形法 Excel LINGO MATLAB
第二章 线性规划
2.1 应用实例与数学建模 示例2：施工机械配置问题 某施工单价有500台挖掘设备，在超负荷施工情况 下．年产值为20万元/台，但其完好率仅为0.4；正常负 荷情况下，年产值为15万元/台，完好率为0.8。在四年 内合理安排两种不同负荷下施工的挖掘设备数量，使 四年末仍有160台设备保持完好，并使产值最高。求解 四年未使其产值最高的施工方案和产值数。
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2.1 应用实例与数学建模 线性规划模型及其标准化 标准形式
维灾
维数
max Z c1 x1 c2 x2 cn xn
m与n的关系
约束之间的关系
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 a x a x a x b mn n m m1 1 m 2 2 xi 0, (i 1, n)
第二章 线性规划

本章重点 线性规划问题的建模 线性规划模型的基本概念 二维问题的图解法 单纯形法
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2.1 应用实例与数学建模 示例1：水泥调运问题
供应点 仓库1 30 T 需求点 工区1: 16 T 工区2: 43 T 工区3: 27 T 工区4: 50 T 14 km 3 21 5 仓库2 45 T 12 4 13 6 仓库3 56 T 11 5 8 11 仓库4 27 T 3 8 9 12
2.3 单纯形法 单纯形法求解的求解步骤：确定初始基可行解 “≥”及“=”约束：人造基与人工变量 大M法 max z 2x1 3x2 4x3 2x4
x1 2 x2 x4 8 3 x 4 x 5 x 9 1 3 4 4 x2 2 x3 10 x1 , x2 , x3 , x4 0
工程成本的主要组成部分 对工程进度有显著影响
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2.1 应用实例与数学建模 示例3：土石方优化调配问题 问题分析：通过开挖、填筑、转运、弃渣、开采等环 节的协调处理，使得开挖、填筑、弃渣和土石料的开 采、运输整个系统的总费用最低，达到快速经济施工 的目的。 相关因素：开挖场、填筑场、中转场、弃渣场、开采 场以及道路、开挖机械、运输机械、填筑机械等。 相互关系：时间关系、空间关系、物理性质关系
第二章 线性规划
2.1 应用实例与数学建模 建模小结 线性规划 (Linear Programming，LP ) 运筹学规划论的基础和重要组成部分 一种数学规划方法 一定数量的资源，通过规划、安排和调度，求得 最佳效果 效益最大或费用最小
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2.1 应用实例与数学建模 线性规划模型及其标准化 通常形式 目标
土木工程系统分析
Civil Engineering System Analysis
武汉大学水利水电学院
土木工程系统分析
1 系统的概念及特点 2 系统工程概述
3 系统分析与建模 5 整数规划
4 线性规划 6 非线性规划
7 动态规划 9 决策分析
8 系统模拟
10 土木工程应用案例
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2.1 应用实例与数学建模 2.2 二维问题的图解法 2.3 单纯形法 2.4 对偶问题 2.5 灵敏度分析 2.6 运输问题
max z 2x1 3x2 4 x3
2 x1 4 x2 8 4 x2 3 x3 10 x ,x ,x 0 1 2 3
1 0 B ( p1 , p2 ,..., pm ) ... 0 0 ... 0 1 ... 0 ... ... 0 ... 1
第二章 线性规划
2.1 应用实例与数学建模 示例3：土石方优化调配问题 建模过程：
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2.1 应用实例与数学建模 建模小结 自然语言、工程语言→数学语言（技术与技巧） 组成：决策变量、目标函数、约束条件 数学性质：约束条件和目标函数都是线性关系 线性方程、线性等式或不等式 每一个解（决策变量的组合）代表一种方案：可 行的、不行的、最优的
2.3 单纯形法 单纯形法求解的基本思路 一维问题 目标函数：maxZ=2x1+3x2 二维问题 约束条件：x1+2x2≤8 多维问题 4x ≤16
4x2 ≤12 x1, x2≥0
1
2.3 单纯形法 单纯形法求解的求解步骤 确定初始基可行解 最优性检验与解的判断
2.3 单纯形法 单纯形法的求解步骤：确定初始基可行解 直接得到：系数矩阵直接观察得到
求解过程： 从一维到二维的思路转变 求解过程
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2.2 二维问题的图解法 线性规划解的讨论
实际问题
目标函数：maxZ=x1+x2 约束条件：2x1+x2≤8 x1+2x2≤6 x1, x2≥0
x2
可行点、可行域、可行解、不可行解 最优解 最优解个数：0个、1个、无穷多个、无界解 在顶点上实现最优解（可行域边界上）
2.3 单纯形法 线性规划解的基本概念 可行解 最优解 基、基变量、非基变量 基可行解 可行基ຫໍສະໝຸດ Baidu
a11 B ... a m1 a12 ... am 2 ... a1m ... ... ( P 1, P 2 ,..., P m) ... amm
阶数
第二章 线性规划
2.1 应用实例与数学建模 线性规划模型及其标准化 标准形式 目标函数：max Z=6x1+4x2
约束条件：4x1+2x2≤120
m与n的关系
约束之间的关系 冗余约束 线性代数 线性方程
20x1+30x2≤100 x 1, x2≥ 0 目标函数：max Z=6x1+4x2 约束条件：4x1+2x2≤120 20x1+10x2≤600 x 1, x2≥ 0
第二章 线性规划
2.1 应用实例与数学建模 示例3：土石方优化调配问题 调配流向：
中转场
开挖场 弃渣场
填筑场 开采场
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2.1 应用实例与数学建模 示例3：土石方优化调配问题 匹配关系：
① 土石方在物理性质上的一致性，即土石方从一处转移到另一 处必须保证物理性质上的一致性。土石方弃渣料除外。 ② 不同部位之间的运距及单位数量的运输费用，与道路特征、 使用的机械有关。 ③ 土石方的开采和存储费用，可分摊到单位数量土石方上。 ④ 如果不同位置土石方的物理性质一致，并且存在可行的道路， 则存在一个匹配数据。若两者有一个不满足，从理论上讲匹配 数据为无穷大。
函数
决策 变量
费用 系数
限制 条件
max( 或者min)Z c1x1 c2 x2 cn xn
结构 系数 约束 条件
a11 x1 a12 x2 a1n xn (or" ", or" " )b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn (or" ", or" " )b2 a x a x a x (or" ", or" " )b m2 2 mn n m m1 1 xi 0, (i 1, n)
第二章 线性规划
2.1 应用实例与数学建模 示例3：水布垭面板堆石坝土石方优化调配问题 盖重区（IB） 主堆石区（IIIB） 粉细砂铺盖区（IA） 次堆石区（IIIC） 垫层区（IIA） 下游堆石区（IIID） 过渡区（IIIA）
第二章 线性规划
2.1 应用实例与数学建模 示例3：水布垭面板堆石坝土石方优化调配问题 工程规模 总填筑量：1568万方 总开挖量：148.9万方 总调配运输量：5000万方
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2.1 应用实例与数学建模 示例3：土石方优化调配问题 系统的组成要素主要包括：
① 开挖场：是指因施工需要而进行开挖的部位，如溢洪道、坝 基、坝肩等。 ② 填筑场：是指施工中所有需要进行填筑的项目，如大坝、上 下游围堰等。 ③ 中转场：是指因开挖进度与填筑进度在时间上不一致，而用 于临时存放能满足设计参数要求的开挖料备用场所。 ④ 弃渣场：即开挖料弃料的场所，存放不能满足填筑场要求的 开挖料，或存放虽能满足要求，但因暂时无处需要填筑且无中 转场存放而弃渣。 ⑤ 开采场：是指专门用于开采填筑用土石方的场所，即料场。
第二章 线性规划
2.1 应用实例与数学建模 线性规划模型及其标准化 标准化方法： 目标函数的标准化： 不等式约束：
自由变量
第二章 线性规划
2.1 应用实例与数学建模 线性规划模型及其标准化 示例：
min f 7 x1 5 x2 12x3 9 x1 4 x2 2 x3 36 4 x 5 x 7 x 20 1 2 3 3 x1 10x2 30 x1 , x2 0，x3无正负限制
2.3 单纯形法 单纯形法求解的求解步骤：确定初始基可行解 “≤”约束：标准化后即可得到，存在单位矩阵
max z 2x1 3x2 4 x3
x1 2 x2 x3 8 3 x1 4 x2 5 x3 9 x ,x ,x 0 1 2 3
1 0 B ( p1 , p2 ,..., pm ) ... 0 0 ... 0 1 ... 0 ... ... 0 ... 1
第二章 线性规划
2.1 应用实例与数学建模 示例3：土石方优化调配问题 调配流向：土石方在系统中不同要素之间的转移
① 开挖料直接利用：从开挖部位到填筑部位，意指将开挖所得 能被利用的土石方，直接运输至填筑部位利用。 ② 开挖料中转：从开挖部位到中转场，意指暂时未被利用的开 挖所得土石方转运到中转场备用。 ③ 开挖料弃渣：从开挖部位到弃渣场，意指将不能使用或无处 中转的土石方丢弃。 ④ 中转料利用：从中转场到填筑部位，意指将存放于中转场的 土石方运至填筑部位利用。 ⑤ 开采场开采：从开采场到填筑部位，意指将开采场开采的土 石方直接运至填筑部位。
2.3 单纯形法 单纯形法求解的求解步骤：最优性检验
2.3 单纯形法 单纯形法求解的求解步骤：最优性检验
2.3 单纯形法 单纯形法求解的求解步骤：最优性检验
2.3 单纯形法 单纯形法求解的求解步骤：最优性检验
2.3 单纯形法 单纯形法求解的求解步骤：最优性检验
2.3 单纯形法 单纯形法求解的求解步骤:(1)模型标准化