《复变函数与积分变换》课后答案(华中科技... (1)
复变函数与积分变换习题解答
练 习 一1.求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。
(1)i ii i 524321----; 解:i iii 524321---- =i 2582516+zk k Argz z z z ∈+====π221arctan 2558258Im 2516Re(2)3)231(i + 解: 3)231(i +zk k Argz z z z e i i∈+===-=-==+=πππππ210Im 1Re 1][)3sin3(cos3332.将下列复数写成三角表示式。
1)i 31- 解:i 31-)35sin 35(cos2ππi +=(2)i i +12 解:i i +12 )4sin4(cos21ππi i +=+=3.利用复数的三角表示计算下列各式。
(1)i i2332++- 解:i i 2332++- 2sin2cosππi i +==(2)422i +-解:422i +-41)]43sin 43(cos 22[ππi +=3,2,1,0]1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 28383=+++=+++=k k i k k i k ππππππ4..设321,,z z z 三点适合条件:321z z z ++=0,,1321===z z z 321,,z z z 是内接于单位圆z =1的一个正三角形的项点。
证:因,1321===z z z 所以321,,z z z 都在圆周32z z ++=0则,321z z z -=+1321=-=+z z z ,所以21z z +也在圆周1=z 上,又,12121==-+z z z z 所以以0,211,z z z +为顶点的三角形是正三角形,所以向量211z z z +与之间的张角是3π,同理212z z z +与之间的张角也是3π,于是21z z 与之间的张角是32π,同理1z 与3z ,2z 与3z 之间的张角都是32π,所以321,,z z z 是一个正三角形的三个顶点。
华中科技大学复变函数与积分变换练习册问题详解
练 习 一1.求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。
(1)i ii i 524321----; 解:i ii i 524321---- =i 2582516+zk k Argz z z z ∈+====π221arctan 2558258Im 2516Re(2)3)231(i + 解: 3)231(i +zk k Argz z z z e i i∈+===-=-==+=πππππ210Im 1Re 1][)3sin 3(cos 3332.将下列复数写成三角表示式。
1)i 31- 解:i 31-)35sin 35(cos2ππi +=(2)i i +12解:i i+12 )4sin 4(cos21ππi i +=+=3.利用复数的三角表示计算下列各式。
(1)i i2332++- 解:i i 2332++- 2sin2cosππi i +==(2)422i +-解:422i +-41)]43sin 43(cos 22[ππi +=3,2,1,0]1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 28383=+++=+++=k ki k k i k ππππππ4..设321,,z z z 三点适合条件:321z z z ++=0,,1321===z z z 321,,z z z 是内接于单位圆z =1的一个正三角形的项点。
证:因,1321===z z z 所以321,,z z z 都在圆周,11==z z 又因321z z z ++=0则,321z z z -=+1321=-=+z z z ,所以21z z +也在圆周1=z 上,又,12121==-+z z z z 所以以0,211,z z z +为顶点的三角形是正三角形,所以向量211z z z +与之间的张角是3π,同理212z z z +与之间的张角也是3π,于是21z z 与之间的张角是32π,同理1z 与3z ,2z 与3z 之间的张角都是32π,所以321,,z z z 是一个正三角形的三个顶点。
复变函数与积分变换课后习题答案详解
…复变函数与积分变换(修订版)主编:马柏林(复旦大学出版社)/——课后习题答案习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数π/43513;;(2)(43);711i i e i i i i i-++++++.①解i 4πππ2222e cos isin i i 442222-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ②解: ()()()()35i 17i 35i 1613i7i 11+7i 17i 2525+-+==-++-③解: ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解:()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 3331313;;;.22n i i z i ⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭① :∵设z =x +iy则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y-++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++,()222Im z a xy z a x a y-⎛⎫= ⎪+⎝⎭++. ②解: 设z =x +iy ∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i33iz x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴()332Re 3z x xy =-,()323Im 3z x y y =-.③解: ∵()()()()(){}332321i 31i 3113133133288-+⎛⎫-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⋅-⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭()180i 18=+=∴1i 3Re 12⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭, 1i 3Im 02⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭. ④解:∵()()()()()2332313133133i 1i 328⎡⎤--⋅-⋅-+⋅-⋅-⎛⎫⎢⎥-+⎣⎦= ⎪ ⎪⎝⎭()180i 18=+=∴1i 3Re 12⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭, 1i 3Im 02⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭. ⑤解: ∵()()1,2i 211i,knkn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩.∴当2n k =时,()()Re i 1k n =-,()Im i 0n =; 当21n k =+时,()Re i 0n =,()()Im i 1kn =-.3.求下列复数的模和共轭复数12;3;(2)(32);.2ii i i +-+-++ ①解:2i 415-+=+=.2i 2i -+=--②解:33-=33-=-③解:()()2i 32i 2i 32i 51365++=++=⋅=.()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+⋅+=-⋅-=-④解:1i 1i 2222++== ()1i 11i222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭4、证明:当且仅当z z =时,z 才是实数.证明:若z z =,设i z x y =+,则有 i i x y x y +=-,从而有()2i 0y =,即y =0 ∴z =x 为实数.若z =x ,x ∈,则z x x ==.∴z z =.命题成立.5、设z ,w ∈,证明: z w z w ++≤证明∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++()()22222Re z z z w w z w wz zw z w w z wz w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅()2222222z w z wz w z w z w ++⋅=++⋅=+≤∴z wz w ++≤.6、设z ,w ∈,证明下列不等式. ()2222Re z w z z w w +=+⋅+ ()2222Re z w z z w w -=-⋅+()22222z w z w z w++-=+并给出最后一个等式的几何解释.证明:()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了.下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+.∵()()()()222z w z w z w z w z w z z w w z w-=-⋅-=--=-⋅-⋅+()222Re z z w w =-⋅+.从而得证.∴()22222z w z w z w++-=+几何意义:平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和.7.将下列复数表示为指数形式或三角形式 3352π2π;;1;8π(13);.cos sin 7199i i i i i +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭ ①解:()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i 17e 5025i θ⋅--==其中8πarctan 19θ=-. ②解:e i i θ⋅=其中π2θ=.π2e i i =③解:ππi i 1e e -==④解:()28π13i 16ππ3θ-==-.∴()2πi 38π13i 16πe--+=⋅⑤解:32π2πcos isin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 解:∵32π2πcos isin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∴322πi π.3i 932π2πcos isin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭8.计算:(1)i 的三次根;(2)-1的三次根;(3) 33i的平方根.⑴i 的三次根. 解:()133ππ2π2πππ22i cos sin cosisin 0,1,22233++⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭k k i k∴1ππ31cosisin i 662=+=+z .25531cos πisin πi 662=+=z39931cos πisin πi 662=+=-z⑵-1的三次根 解:()()1332π+π2ππ1cos πisin πcosisin 0,1,233k k k +-+=+=∴1ππ13cos isin 332=+=z2cos πisin π1=+=-z35513cos πisin π332=+=-z33i 的平方根.解: πi 42233i=6i 6e 22⎛⎫+⋅+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭∴()()1π12i44ππ2π2π4433i 6e 6cos isin 0,122k k k ⎛⎫++ ⎪+=⋅=⋅+= ⎪⎝⎭∴π11i 8441ππ6cos isin 6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z911πi 8442996cos πisin π6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z .9.设2πe,2inz n =≥. 证明:110n z z -+++=证明:∵2πi e nz ⋅= ∴1n z =,即10n z -=.∴()()1110n z z z --+++=又∵n ≥2. ∴z ≠1从而211+0n z z z -+++=11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令:Im 0z a L z b β⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭,其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件.解:如图所示.因为L β={z : Im z a b -⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a 且方向与b 同向的直线,要使得直线在a 处与圆相切,则CA ⊥L β.过C 作直线平行L β,则有∠BCD =β,∠ACB =90° 故α-β=90°所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°.12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形,并作出草图.(1)arg π;(2);1(3)1|2;(4)Re Im ;(5)Im 1 2.z z z z i z z z z ==-<+<>><且解:(1)、argz =π.表示负实轴.(2)、|z -1|=|z |.表示直线z =12.(3)、1<|z +i|<2解:表示以-i 为圆心,以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
复变函数与积分变换课后习题答案详解
复变函数与积分变换(修订版)主编:马柏林(复旦大学出版社)——课后习题答案习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数π/43513;;(2)(43);711i i e i i i i i-++++++.①解i 4πππe cos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ②解: ()()()()35i 17i 35i 1613i7i 11+7i 17i 2525+-+==-++-③解: ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解: ()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 333;;;.n z i ① :∵设z =x +iy则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y-++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++,()222Im z a xy z a x a y-⎛⎫= ⎪+⎝⎭++. ②解: 设z =x +iy ∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i33iz x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴()332Re 3z x xy =-,()323Im 3z x y y =-.③解:∵(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭. ④解:∵()()(()2332313131i 8⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭. ⑤解: ∵()()1,2i 211i,kn kn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩.∴当2n k =时,()()Re i 1k n =-,()Im i 0n =;当21n k =+时,()Re i 0n =,()()Im i 1kn =-.3.求下列复数的模和共轭复数12;3;(2)(32);.2ii i i +-+-++①解:2i -+=2i 2i -+=--②解:33-=33-=-③解:()()2i 32i 2i 32i ++=++=()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+⋅+=-⋅-=-④解:1i 1i 22++==()1i 11i222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭4、证明:当且仅当z z =时,z 才是实数.证明:若z z =,设i z x y =+,则有 i i x y x y +=-,从而有()2i 0y =,即y =0 ∴z =x 为实数.若z =x ,x ∈ ,则z x x ==. ∴z z =.命题成立.5、设z ,w ∈ ,证明: z w z w ++≤证明∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++()()22222Re z z z w w z w wz zw z w w z wz w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅()2222222z w z wz w z w z w ++⋅=++⋅=+≤∴z wz w ++≤.6、设z ,w ∈ ,证明下列不等式. ()2222Re z w z z w w +=+⋅+ ()2222Re z w z z w w -=-⋅+()22222z w z w z w++-=+并给出最后一个等式的几何解释.证明:()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了.下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+.∵()()()()222z w z w z w z w z w z z w w z w-=-⋅-=--=-⋅-⋅+()222Re z z w w =-⋅+.从而得证.∴()22222z w z w z w++-=+几何意义:平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和.7.将下列复数表示为指数形式或三角形式3352π2π;;1;8π(1);.cos sin 7199i i i i +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭ ①解:()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i e 5025i θ⋅--===其中8πarctan 19θ=-. ②解:e i i θ⋅=其中π2θ=.π2e ii =③解:ππi i 1e e -==④解:()28π116ππ3θ-==-.∴()2πi 38π116πe--+=⋅⑤解:32π2πcos isin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 解:∵32π2πcos isin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∴322πi π.3i 932π2πcos isin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭8.计算:(1)i 的三次根;(2)-1的三次根;(3)的平方根.⑴i 的三次根. 解:()13ππ2π2πππ22cos sin cosisin 0,1,22233++⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭k k i k∴1ππ1cosisin i 662=+=+z .2551cos πisin πi 662=+=+z3991cos πisin πi 662=+=-z⑵-1的三次根 解:()()132π+π2ππcos πisin πcosisin 0,1,233k k k ++=+=∴1ππ1cos isin 332=+=z35513cos πisin πi 3322=+=--z⑶33i +的平方根.解: πi 42233i=6i 6e 22⎛⎫+⋅+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭∴()()1π12i 44ππ2π2π4433i 6e6cos isin 0,122k k k ⎛⎫++ ⎪+=⋅=⋅+= ⎪⎝⎭∴π11i 8441ππ6cos isin 6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z911πi 8442996cos πisin π6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z .9.设2πe,2inz n =≥. 证明:110n z z -+++=证明:∵2πi e nz ⋅= ∴1n z =,即10n z -=.∴()()1110n z z z --+++=又∵n ≥2. ∴z ≠1从而211+0n z z z -+++=11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令:Im 0z a L z b β⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭, 其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件.解:如图所示.因为L β={z : Im z a b -⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a 且方向与b 同向的直线,要使得直线在a 处与圆相切,则CA ⊥L β.过C 作直线平行L β,则有∠BCD =β,∠ACB =90° 故α-β=90°所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°.12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形,并作出草图.(1)arg π;(2);1(3)1|2;(4)Re Im ;(5)Im 1 2.z z z z i z z z z ==-<+<>><且解:(1)、argz =π.表示负实轴.(2)、|z -1|=|z |.表示直线z =12.(3)、1<|z +i|<2 解:表示以-i 为圆心,以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
华中科技大学 复变函数与积分变换练习册答案
练 习 一1.求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。
(1)i ii i 524321----; 解:i iii 524321---- =i 2582516+zk k Argz z z z ∈+====π221arctan 2558258Im 2516Re(2)3)231(i +解: 3)231(i +zk k Argz z z z e i i∈+===-=-==+=πππππ210Im 1Re 1][)3sin 3(cos 3332.将下列复数写成三角表示式。
1)i 31- 解:i 31-)35sin 35(cos2ππi +=(2)i i+12解:i i +12 )4sin 4(cos21ππi i +=+=3.利用复数的三角表示计算下列各式。
(1)i i 2332++-解:i i 2332++- 2sin2cosππi i +==(2)422i +-解:422i +-41)]43sin 43(cos 22[ππi +=3,2,1,0]1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 28383=+++=+++=k k i k k i k ππππππ4..设321,,z z z 三点适合条件:321z z z ++=0,,1321===z z z 321,,z z z 是内接于单位圆z =1的一个正三角形的项点。
证:因,1321===z z z 所以321,,z z z 都在圆周32z z ++=0 则,321z z z -=+1321=-=+z z z ,所以21z z +也在圆周1=z 上,又,12121==-+z z z z 所以以0,211,z z z +为顶点的三角形是正三角形,所以向量211z z z +与之间的张角是3π,同理212z z z +与之间的张角也是3π,于是21z z 与之间的张角是32π,同理1z 与3z ,2z 与3z 之间的张角都是32π,所以321,,z z z 是一个正三角形的三个顶点。
华中科技大学 复变函数与积分变换练习册答案
练 习 一1.求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。
(1)i iii 524321----; 解:i ii i 524321---- =i 2582516+ zk k Argz z z z ∈+====π221arctan 2558258Im 2516Re(2)3)231(i + 解: 3)231(i +zk k Argz z z z e i i∈+===-=-==+=πππππ210Im 1Re 1][)3sin 3(cos 3332.将下列复数写成三角表示式。
1)i 31- 解:i 31-)35sin 35(cos2ππi +=(2)i i+12解:i i +12 )4sin 4(cos21ππi i +=+=3.利用复数的三角表示计算下列各式。
(1)i i 2332++-解:i i 2332++- 2sin2cosππi i +==(2)422i +-解:422i +-41)]43sin 43(cos 22[ππi += 3,2,1,0]1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 28383=+++=+++=k k i k k i k ππππππ4..设321,,z z z 三点适合条件:321z z z ++=0,,1321===z z z 321,,z z z 是内接于单位圆z =1的一个正三角形的项点。
证:因,1321===z z z 所以321,,z z z 都在圆周,11==z z 又因321z z z ++=0则,321z z z -=+1321=-=+z z z ,所以21z z +也在圆周1=z 上,又,12121==-+z z z z 所以以0,211,z z z +为顶点的三角形是正三角形,所以向量211z z z +与之间的张角是3π,同理212z z z +与之间的张角也是3π,于是21z z 与之间的张角是32π,同理1z 与3z ,2z 与3z 之间的张角都是32π,所以321,,z z z 是一个正三角形的三个顶点。