2016-2017年黑龙江省绥化市肇东一中高二(上)期中数学试卷和答案(文科)

2016-2017学年黑龙江省绥化市肇东一中高二（上）期中数学试卷（文科）一．选择题（12×5分）1．（5分）命题“若a＞﹣3，则a＞﹣6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．（5分）设p：q：（x﹣a）•[x﹣（a+1）]≤0，若p是q的充分而不必要条件，则实数a的取值范围是（）A． B． C．D．3．（5分）已知p：a≠0，q：ab≠0，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是（）A．∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）B．∀x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x）C．∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）D．∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0）5．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．36．（5分）已知椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），则m=（）A．2 B．3 C．4 D．97．（5分）已知椭圆与双曲线﹣=1的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，那么椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．8．（5分）双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A．2 B．C．1 D．39．（5分）直线y=kx﹣k+1与椭圆的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定10．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱B1C1的中点，动点P在底面ABCD内，且PA1=A1E，则点P运动形成的图形是（）A．线段B．圆弧C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分11．（5分）椭圆上的点到直线的最大距离是（）A．3 B． C．D．12．（5分）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=0二．填空题（4×5分）13．（5分）设命题p：，则¬p为．14．（5分）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于．15．（5分）若椭圆的弦被点（4，2）平分，求这条弦所在的直线方程．16．（5分）过双曲线的右顶点A作斜率为﹣1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C．若，则双曲线的离心率是．三．解答题：17．（10分）求满足下列条件的椭圆的标准方程．（1）已知椭圆的焦点在X轴上，长轴长是短轴长的3倍，且过点A（3，0）．（2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，．18．（12分）如图所示，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AE⊥PB，垂足为E，AF⊥PC，垂足为F．（1）求证：PC⊥EF；（2）若PA=2，AB=，BC=1，求点E到平面PAC的距离．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E、F分别为A1C1、BC的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE；（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．20．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC且AB⊥BC．（1）求证：AC⊥A1B；（2）求三棱锥C1﹣ABA1的体积．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：过点P（2，1），且离心率e=．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线的l的斜率为，直线l与椭圆C交于A、B两点．求△PAB面积的最大值．22．（12分）设双曲线C：=1（a＞0）与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B．（Ⅰ）求双曲线C的离心率e的取值范围：（Ⅱ）设直线l与y轴的交点为P，且．求a的值．2016-2017学年黑龙江省绥化市肇东一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（12×5分）1．（5分）命题“若a＞﹣3，则a＞﹣6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：在命题的四种形式中原命题和逆否命题互为逆否命题，同真同假，否命题和逆命题互为逆否命题同真同假．∵命题“若a＞﹣3，则a＞﹣6”为真命题；逆命题是假命题，∴命题的逆否命题为真命题，故选：B．2．（5分）设p：q：（x﹣a）•[x﹣（a+1）]≤0，若p是q的充分而不必要条件，则实数a的取值范围是（）A． B． C．D．【解答】解：解不等式得：≤x≤1故满足命题p的集合P=[，1]解不等式（x﹣a）•[x﹣（a+1）]≤0得：a≤x≤a+1故满足命题q的集合Q=[a，a+1]若p是q的充分而不必要条件，则P⊊Q即解得0≤a≤故实数a的取值范围是故选：A．3．（5分）已知p：a≠0，q：ab≠0，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：p：a≠0，q：ab≠0，显然a≠0，不一定有ab≠0，但是ab≠0⇒a ≠0，所以p是q的必要不充分条件．故选：B．4．（5分）已知定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是（）A．∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）B．∀x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x）C．∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）D．∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0）【解答】解：∵定义域为R的函数f（x）不是偶函数，∴∀x∈R，f（﹣x）=f（x）为假命题；∴∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）为真命题，故选：C．5．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．3【解答】解：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面．则体积为=，解得x=．故选：C．6．（5分）已知椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），则m=（）A．2 B．3 C．4 D．9【解答】解：∵椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），∴25﹣m2=16，∵m＞0，∴m=3，故选：B．7．（5分）已知椭圆与双曲线﹣=1的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，那么椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线﹣=1的焦点为（，0），即为（±4，0），即有椭圆的c=4，由椭圆的定义可得2a=10，可得a=5，则椭圆的离心率为e==．故选：B．8．（5分）双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A．2 B．C．1 D．3【解答】解：双曲线中，焦点坐标为（，0），渐近线方程为：y=，∴双曲线的焦点到渐近线的距离：d==1．故选：C．9．（5分）直线y=kx﹣k+1与椭圆的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定【解答】解：直线y=kx﹣k+1可化为y=k（x﹣1）+1，所以直线恒过点（1，1）∵∴（1，1）在椭圆的内部∴直线y=kx﹣k+1与椭圆的位置关系是相交故选：A．10．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱B1C1的中点，动点P在底面ABCD内，且PA1=A1E，则点P运动形成的图形是（）A．线段B．圆弧C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱B1C1的中点，动点P在底面ABCD 内，且PA1=A1E，设正方体的棱长为1，则且PA1=A1E===，∴AP==．故点P的轨迹是以A为圆心，以为半径的圆弧（圆位于底面ABCD内的部分），故选：B．11．（5分）椭圆上的点到直线的最大距离是（）A．3 B． C．D．【解答】解：设椭圆上的点P（4cosθ，2sinθ）则点P到直线的距离d=；故选：D．12．（5分）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=0【解答】解：a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，C1的离心率为：，双曲线C2的方程为﹣=1，C2的离心率为：，∵C1与C2的离心率之积为，∴，∴=，=，C2的渐近线方程为：y=，即x±y=0．故选：A．二．填空题（4×5分）13．（5分）设命题p：，则¬p为∀x∈R，x2≤1．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：，则¬p为：∀x∈R，x2≤1．故答案为：∀x∈R，x2≤1．14．（5分）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于2．【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则8﹣r+6﹣r=10，∴r=2．故答案为：2．15．（5分）若椭圆的弦被点（4，2）平分，求这条弦所在的直线方程．【解答】解：把（4，2）代入椭圆方程，可得+＜1，即有弦所在直线与椭圆相交，设弦的端点为（x1，y1），（x2，y2），即有+=1，+=1，相减可得+=0，由题意可得x1+x2=8，y1+y2=4，可得弦所在直线的斜率为k==﹣=﹣，则弦所在直线的方程为y﹣2=﹣（x﹣4），即有x+2y﹣8=0．16．（5分）过双曲线的右顶点A作斜率为﹣1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C．若，则双曲线的离心率是．【解答】解：直线l：y=﹣x+a与渐近线l1：bx﹣ay=0交于B（，），l与渐近线l2：bx+ay=0交于C（，），∵A（a，0），∴=（﹣，），=（，﹣），∵，∴﹣=，∴b=2a，∴c2﹣a2=4a2，∴e2==5，∴e=，故答案为：．三．解答题：17．（10分）求满足下列条件的椭圆的标准方程．（1）已知椭圆的焦点在X轴上，长轴长是短轴长的3倍，且过点A（3，0）．（2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，．【解答】解：（1）∵椭圆的焦点在x轴上，∴设椭圆方程为（a＞b＞0）∵椭圆经过点A（3，0），且长轴长是短轴长的3倍，∴a=3b，且a=3，可得a=3，b=1，可得椭圆方程为；（2）设椭圆方程为mx2+ny2=1（m、n是不相等的正数）∵，在椭圆上，∴点的坐标代入，得，解之得，可得椭圆方程为，即．故所求椭圆方程为．18．（12分）如图所示，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AE⊥PB，垂足为E，AF⊥PC，垂足为F．（1）求证：PC⊥EF；（2）若PA=2，AB=，BC=1，求点E到平面PAC的距离．【解答】证明：（1）∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，∵AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∵AE⊂平面PAB，∴AE⊥BC，∵AE⊥PB，PB∩BC=B，∴AE⊥平面PBC，∵PC⊂平面PBC，∴AE⊥PC，∵AF⊥PC，AE∩AF=A，∴PC⊥平面AEF，∵EF⊂平面AEF，∴PC⊥EF．解：（2）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，过B作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，P（，0，2），A（，0，0），C（0，1，0），B（0，0，0），设E（a，b，c），，则（a，b，c）=（），∴a=，b=0，c=2λ），E（），=（，0，2λ），=（﹣），∵AE⊥PB，∴=﹣3λ+3﹣4λ=0，解得，∴E（，0，），=（﹣），=（﹣，0，），=（0，0，2），设平面PAC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，），∴点E到平面PAC的距离：d===．∴点E到平面PAC的距离为．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E、F分别为A1C1、BC的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE；（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．【解答】解：（1）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∴BB1⊥AB，∵AB⊥BC，BB1∩BC=B，BB1，BC⊂平面B1BCC1，∴AB⊥平面B1BCC1，∵AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）证明：取AB中点G，连接EG，FG，则∵F是BC的中点，∴FG∥AC，FG=AC，∵E是A1C1的中点，∴FG∥EC1，FG=EC1，∴四边形FGEC1为平行四边形，∴C1F∥EG，∵C1F⊄平面ABE，EG⊂平面ABE，∴C1F∥平面ABE；（3）解：∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，∴AB=，=S△ABC•AA1=×（××1）×2=．∴V E﹣ABC20．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC且AB⊥BC．（1）求证：AC⊥A1B；（2）求三棱锥C1﹣ABA1的体积．【解答】（1）证明：取AC中点O，连A1O，BO．∵AA1=A1C，∴A1O⊥AC，…1分又AB=BC，∴BO⊥AC，…2分∵A1O∩BO=O，∴AC⊥平面A1OB，…3分又A1B⊂平面A1OB，…4分∴AC⊥A1B…5分（2）解：由条件得：…6分∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC且AB⊥BC，∴，，…9分∴=…10分=．…12分21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：过点P（2，1），且离心率e=．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线的l的斜率为，直线l与椭圆C交于A、B两点．求△PAB面积的最大值．【解答】解：（I）∵，∴a2=4b2，①又椭圆C：过点P（2，1），∴，②联立①②解得，a2=8，b2=2．故所求椭圆方程为；（II）设l的方程为y=x+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理得x2+2mx+2m2﹣4=0．∴．则=．点P到直线l的距离．因此=．当且仅当m2=2，即时取得最大值．22．（12分）设双曲线C：=1（a＞0）与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B．（Ⅰ）求双曲线C的离心率e的取值范围：（Ⅱ）设直线l与y轴的交点为P，且．求a的值．【解答】解：（Ⅰ）由C与l相交于两个不同的点，故知方程组有两个不同的实数解．消去y并整理得，（1﹣a2）x2+2a2x﹣2a2=0．①即有．解得0＜a＜且a≠1，∵双曲线的离心率e====，由于0＜a＜，且a≠1，∴e＞且e；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（0，1），由于，∴（x1，y1﹣1）=（x2，y2﹣1），即有x1=x2，由于x1，x2都是方程①的根，且1﹣a2≠0，∴x1+x2=，x1•x2=，∴x2=﹣，x22=，消去x2得：=，又∵a＞0解得a=．。