2020届江苏高考学科基地密卷(三)数学试题含附加题

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2020年6月江苏省南京市普通高中2020届高三下学期第三次高考模拟考试数学试题(含附加题)答案

1 绝密★启用前
江苏省南京市普通高中
2020届高三毕业班下学期第三次高考模拟考试
数学试题参考答案
2020年6月
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．{x |1＜x ＜4} 2．2 3．60 4．10 5．23
6． 3 7．2n ＋1－2 8．62 9．83
10．[2,4] 11．6 12． [－2,＋∞) 13．－94
14．38
二、解答题（本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．(本小题满分14分)
证明：(1)取PC 中点G ,连接DG 、FG ．
在△PBC 中,因为F ,G 分别为PB ,PC 的中点,所以GF ∥BC ,GF ＝12
BC ．因为底面ABCD 为矩形,且E 为AD 的中点,。

2020届江苏省新高考原创精准模拟考试(三)数学试卷

2020届江苏省新高考原创精准模拟考试（三）数学试卷本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.已知i为虚数单位，若复数z满足，则复数z＝_______．【答案】【解析】【分析】利用复数的乘法运算即可得到结果.【详解】z＝＝1－+2＝故答案为：3-i【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，属于基础题.2.函数的定义域为_______．【答案】【解析】【分析】由二次根式有意义，得：,然后利用指数函数的单调性即可得到结果.【详解】由二次根式有意义，得：，即，因为在R上是增函数，所以，x≤2，即定义域为：【点睛】本题主要考查函数定义域的求法以及指数不等式的解法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．3.已知x，y R，直线与直线垂直，则实数a的值为_______．【答案】【解析】【分析】利用直线与直线垂直的性质直接求解．【详解】∵x，y∈R，直线（a﹣1）x+y﹣1=0与直线x+ay+2=0垂直，∴（a﹣1）×1+1×a=0，解得a=，∴实数a的值为．故答案为：．【点睛】两直线位置关系的判断：和的平行和垂直的条件属于常考题型，如果只从斜率角度考虑很容易出错，属于易错题题型，应熟记结论：垂直：；平行：，同时还需要保证两条直线不能重合，需要检验.4.已知函数为偶函数，且x＞0时，，则＝_______．【答案】2【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（1）的值，结合函数为偶函数可得f（﹣1）=f（1），即可得答案．【详解】根据题意，函数f（x）满足x＞0时，f（x）=x3+x2，则f（1）=1+1=2，又由函数f（x）为偶函数，则f（﹣1）=f（1）=2；故答案为：2．【点睛】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．5.已知向量(1，a)，(，)，若∥，则实数a＝_______．【答案】1【解析】【分析】利用向量共线定理即可得出．【详解】∵∥，∴﹣（3a+1）=0，解得a=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，cosB＝，那么角A的大小为_______．【答案】【解析】【分析】由题意可得sinB=,再结合正弦定理即可得到结果.【详解】cosB=﹣，∴B为钝角，可得sinB=．由正弦定理可得：=，可得sinA=．A为锐角，可得：A=．故答案为：．【点睛】本题考查了正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.设实数，满足则的最大值为．【答案】3【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，则直线过点C时取最大值3考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.8.在平面直角坐标系中，若抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为__________．【答案】6.【解析】分析：抛物线的准线方程为，根据定义可求得，即为焦点到准线的距离．详解：由题意得抛物线的准线方程为，∵抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为4，∴，解得．∴该抛物线的焦点到准线的距离为6．点睛：本题考查抛物线定义的应用及方程中参数的几何意义，解题的关键是正确理解抛物线的定义，属容易题．9.已知条件p：x＞a，条件q：．若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】利用不等式的解法化简q，根据必要不充分条件即可得出范围．【详解】条件q：，化为：（x+2）（x﹣1）＜0，解得﹣2＜x＜1．∵p是q的必要不充分条件，∴a≤﹣2．则实数a的取值范围是．故答案为：．【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．10.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的一个焦点为(3，0)，则双曲线的渐近线方程为_______．【答案】【解析】【分析】利用双曲线的一个焦点为（3，0），即可求出m的值，然后求解渐近线方程．【详解】∵双曲线的一个焦点为（3，0），∴m+m+1=9，∴m=4，双曲线方程化为：，可得渐近线方程：y=±x．故答案为：y=±x．【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，是基本知识的考查．11.若函数(A＞0，＞0，)的部分图像如图所示，则函数在[，0]上的单调增区间为_______．【答案】(区间开闭皆可)【解析】【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，求得函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得函数f（x）在[﹣π，0]上的单调增区间．【详解】由图象，知A＝2，T＝＝8，所以，＝8，，函数过点（5，－2），所以，，即因为，所以，，得：，函数为：，由：，得：，令k＝0，得函数在[，0]上的单调增区间为故答案为：(区间开闭皆可)【点睛】函数的性质(1) .(2)周期(3)由求对称轴(4)由求增区间;由求减区间.12.在△ABC中，AH是边BC上的高，点G是△ABC的重心，若△ABC的面积为，AC＝，tanC＝2，则＝_______．【答案】1【解析】【分析】由题意画出图形，结合图形求出AH、HC和BC、BH的值，以BC为x轴，AH为y轴建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，计算数量积的值．【详解】如图所示，△ABC中，AH是高，AC=，tan∠ACB==2，∴AH=2，HC=1；又△ABC的面积为S=BC•AH=BC•2=+1，∴BC=+1；∴BH=，以BC为x轴，AH为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，2），B（﹣，0），C（1，0），重心G（，），则+=（0，﹣2）+（1+，0）=（1+，﹣2），+=（，﹣）+（，﹣）=（，﹣），∴（+）•（+）=（1+）×+（﹣2）×（﹣）=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了三角形的边角关系以及平面向量的数量积计算问题，建立平面直角坐标系是解题的关键，是中档题．13.已知正实数a，b满足，则的最小值是_______．【答案】【解析】【分析】由=2a++，代换后利用基本不等式即可求解．【详解】正实数a，b满足2a+b=3，∴2a+b+2=5，则=2a++=2a+b+2+﹣4=1+=1+（）[2a+（b+2）]=1+（4+）=，当且仅当且2a+b=3即a=，b=时取等号，即的最小值是．故答案为：【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误14.已知函数，（e为自然对数的底数，e≈2.718）．对于任意的(0，e)，在区间(0，e)上总存在两个不同的，，使得＝＝，则整数a的取值集合是_______．【答案】【解析】【分析】根据函数的单调性求出f（x）的值域，求出g（x）的单调性，问题转化为关于a的不等式组，求出a的范围即可．【详解】f′（x）=2（﹣x），令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，令f′（x）＜0，解得：＜x＜e，故f（x）在（0，）递增，在（，e）递减，而f（0）=0，f（）=2，f（e）=e（2﹣e），故f（x）在（0，e）的值域是（0，2），对于g（x）=lnx﹣ax+5，x∈（0，e），a=0时，g（x）=lnx+5，g（x）递增，在区间（0，e）上不存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2），不合题意，a≠0时，g′（x）=﹣a，令g′（x）=0，解得：x=，若在区间（0，e）上总存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2），则只需0＜＜e，故a＞，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜，令g′（x）＜0，解得：＜x＜e，故g（x）在（0，）递增，在（，e）递减，而x→0时，g（x）→﹣∞，g（）=﹣lna+4，g（e）=6﹣ae，若对于任意的x0∈（0，e），在区间（0，e）上总存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0），只需，解得：2.2≈≤a≤e2≈7.29，故满足条件的a的整数为：3，4，5，6，7，故答案为：{3，4，5，6，7}．【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.在△ABC中，已知，设∠BAC＝．（1）求tan的值；（2）若，(0，)，求cos(﹣)的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的定义，求出cosα的值，再利用同角的三角函数关系求出tanα的值；（2）利用三角恒等变换公式计算即可．【详解】（1）由，得，所以，又因为，所以．∴（2）∵，∴由（1）知：，∴．【点睛】本题考查了平面向量的数量积与三角函数求值计算问题，是基础题．16.已知，函数．（1）若对(0，2)恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a＝1时，解不等式．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）分离参数a，构造函数利用均值不等式求最值即可；（2）分类讨论去绝对值，最后取并集即可．【详解】（1）∵f（x）≤2x对x∈（0，2）恒成立，∴a≤+2x对x∈（0，2）恒成立，∵+2x≥2，当且仅当=2x，即x=时等号成立，∴a（2）当a=1时，f（x）=1﹣，∵f（x）≥2x，∴1﹣≥2x，①若x＞0，则1﹣≥2x可化为：2x2﹣x+1≤0，所以x∈∅；②若x＜0，则1﹣≥2x可化为：2x2﹣x﹣1≥0，解得：x≥1或x≤﹣，∵x＜0，∴x≤﹣，由①②可得1﹣≥2x的解集为：（﹣∞，﹣]【点睛】本题考查了不等式恒成立及分类讨论思想，属中档题．17.在平面直角坐标系xOy中，已知直线与圆O：相切．（1）直线l过点(2，1)且截圆O所得的弦长为，求直线l的方程；（2）已知直线y＝3与圆O交于A，B两点，P是圆上异于A，B的任意一点，且直线AP，BP 与y轴相交于M，N点．判断点M、N的纵坐标之积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由．【答案】（1）或；（2）见解析.【解析】【分析】（1）记圆心到直线l的距离为d，利用垂径定理求得d．当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=2，满足题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y﹣1=k（x﹣2），利用圆心到直线的距离列式求得k，则直线方程可求；（2）设P（x1，y1），由直线y=3与圆O交于A、B两点，不妨取A（1，3），B（﹣1，3），分别求出直线PA、PB的方程，进一步得到M，N的坐标，由P在圆上，整体运算可得为定值．【详解】∵直线x﹣3y﹣10=0与圆O：x2+y2=r2（r＞0）相切，∴圆心O到直线x﹣3y﹣10=0的距离为r=．（1）记圆心到直线l的距离为d，∴d=．当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=2，满足题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y﹣1=k（x﹣2），即kx﹣y+（1﹣2k）=0．∴，解得k=﹣，此时直线l的方程为3x+4y﹣10=0．综上，直线l的方程为x=2或3x+4y﹣10=0；（2）点M、N的纵坐标之积为定值10．设P（x1，y1），∵直线y=3与圆O交于A、B两点，不妨取A（1，3），B（﹣1，3），∴直线PA、PB的方程分别为y﹣3=，y﹣3=．令x=0，得M（0，），N（0，），则（*）．∵点P（x1，y1）在圆C上，∴，即，代入（*）式，得为定值．【点睛】求定值问题常见的方法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．18.江苏省园博会有一中心广场，南京园，常州园都在中心广场的南偏西45°方向上，到中心广场的距离分别为km，km；扬州园在中心广场的正东方向，到中心广场的距离为km．规划建设一条笔直的柏油路穿过中心广场，且将南京园，常州园，扬州园到柏油路的最短路径铺设成鹅卵石路（如图(1)、(2)）．已知铺设每段鹅卵石路的费用（万元）与其长度的平方成正比，比例系数为2．设柏油路与正东方向的夹角，即图(2)中∠COF为（(0，)），铺设三段鹅卵石路的总费用为y（万元）．（1）求南京园到柏油路的最短距离关于的表达式；（2）求y的最小值及此时tan的值．【答案】（1）；（2）铺设三条鹅卵石路的总费用为()万元，此时的值为.【解析】【分析】（1）由∠COF=θ，南京园在中心广场的南偏西45°方向上，且到中心广场的距离为，求出∠AOE=，由此能求出南京园到柏油路的最短距离d1关于θ的表达式．（2）分别设点B，C到直线EF的距离为d2，d3，则，求出y=2[（）2+（2）2+（）2]=20﹣10sin（2），θ∈（0，），由此能求出铺设三条鹅卵石路的总费用y的最小值及此时tanθ的值．【详解】（1）∵∠COF=θ，南京园在中心广场的南偏西45°方向上，且到中心广场的距离为∴∠AOE=，∴南京园到柏油路的最短距离d1关于θ的表达式为d1=sin（﹣θ）．（2）分别设点B，C到直线EF的距离为d2，d3．由（1）知：，∴y=2[（）2+（2）2+（）2]=20[+]=20﹣10（sin2θ+cos2θ）=20﹣10sin（2），θ∈（0，），∵∴，∴当2=时，y min=20﹣10（万元）此时2，∴tan2θ==1，解得：tan，∴铺设三条鹅卵石路的总费用为（20﹣10）万元，此时tanθ的值为．【点睛】题考查函数表达式的求法，考查费用的最小值及对应的正切函数值的求法，考查三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的右准线方程为x＝2，且两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）假设直线l：与椭圆C交于A，B两点．①若A为椭圆的上顶点，M为线段AB 中点，连接OM并延长交椭圆C于N，并且，求OB的长；②若原点O到直线l的距离为1，并且，当时，求△OAB的面积S的范围．【答案】（1）；（2）①；②.【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质可得到a2，b2；（2）联立直线和椭圆，利用弦长公式可求得弦长AB，利用点到直线的距离公式求得原点到直线l的距离，从而可求得三角形面积，再用单调性求最值可得值域．【详解】（1）因为两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以，又由右准线方程为，得到，解得，所以所以，椭圆的方程为（2）①设，而，则，∵ ，∴因为点都在椭圆上，所以，将下式两边同时乘以再减去上式，解得，所以②由原点到直线的距离为，得，化简得：联立直线的方程与椭圆的方程：，得设，则，且，所以的面积，因为在为单调减函数，并且当时，，当时，，所以的面积的范围为．【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．20.已知函数，．（1）求在点P(1，)处的切线方程；（2）若关于x的不等式有且仅有三个整数解，求实数t的取值范围；（3）若存在两个正实数，满足，求证：．【答案】（1）；（2）；（3）见解析.【解析】【分析】（1）求出P（1，0），x＞0，，f′（1）=1，利用导数的几何意义能求出f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程．（2）求出，x＞0，则f′（x）=0，得x=e，列表讨论能求出实数t的取值范围．（3）h（x）=x2﹣2x+4lnx，从而（x1+x2）2﹣2（x1+x2）﹣4lnx1x2，令t=x1x2，=t2+2t﹣4lnt，（t＞0），…（11分）则=2t+2﹣=，由此利用导数性质能证明x1+x2≥3．【详解】（1），，所以点坐标为；又，，则切线方程为，所以函数在点处的切线方程为．（2）由，得；时，或，满足条件的整数解有无数个，舍；时，，得且，满足条件的整数解有无数个，舍；时，或，当时，无整数解；当时，不等式有且仅有三个整数解，又，，因为在递增，在递减；所以，即，即；所以实数的取值范围为．（3），因为，所以，即，令，，则，当时，，所以函数在上单调递减；当时，，所以函数在上单调递增．所以函数在时，取得最小值，最小值为3．因为存在两个正实数，满足，所以，即，所以或．因为为正实数，所以．【点睛】本题考查函数的切线方程的求法，考查实数取值范围的求法，考查不等式的证明，考查导数的几何意义、导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，是难题．（附加题）21.在平面直角坐标系中，直线在矩阵对应的变换下得到的直线过点P（3，2），求实数的值.【答案】.【解析】【分析】设直线y=kx+1上任意点M（x，y）在矩阵对应的变换下得到的点M′（x′，y′），列出方程代入P坐标求解k即可【详解】设直线上任意点在矩阵对应的变换下得到的点，则，即，∴代入直线方程得：，将代入上式，解得：．【点睛】本题考查矩阵与简单的变换，基本知识的考查．22.假定某人在规定区域投篮命中的概率为，现他在某个投篮游戏中，共投篮3次.（1）求连续命中2次的概率；（2）设命中的次数为X，求X的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）设A i（i=1，2，3）表示第i次投篮命中，表示第i次投篮不中，设投篮连续命中2次为事件A，则连续命中2次的概率：P（A）=P（+），由此能求出结果．（2）命中的次数X可取0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【详解】（1）设表示第次投篮命中，表示第次投篮不中；设投篮连续命中2次为事件，则=．（2）命中的次数可取0，1，2，3；，，,所以答：的数学期望为2．【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、二项分布的性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．23.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=AA1=A1C=2，平面ACC1A1⊥平面ABC.现以边AC的中点D为坐标原点，平面ABC内垂直于AC的直线为轴，直线AC为轴，直线DA1为轴建立空间直角坐标系，解决以下问题:（1）求异面直线AB与A1C所成角的余弦值；（2）求直线AB与平面A1BC所成角的正弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）以边AC的中点D为坐标原点，平面ABC内垂直于AC的直线为x轴，直线AC为y轴，直线DA1为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB与A1C所成角的余弦值．（2）求出平面A1BC的法向量，利用向量法能求出直线AB与平面A1BC所成角的正弦值．【详解】（1）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=AA1=A1C=2，平面ACC1A1⊥平面ABC．以边AC的中点D为坐标原点，平面ABC内垂直于AC的直线为x轴，直线AC为y轴，直线DA1为z轴建立空间直角坐标系，根据题中空间直角坐标系可知：A（0，﹣1，0），C（0，1，0），B（2，1，0），A1（0，0，），∴=（2，2，0），=（0，1，﹣），∴cos＜＞===，设异面直线AB与A1C的所成角为α，则，∴异面直线AB与A1C所成角的余弦值为．（2）由（1）得：=（2，1，﹣），=（﹣2，0，0），设平面A1BC的法向量为=（x，y，z），∴，取z=1，则=（0，），∴cos＜，＞===．设直线AB与平面A1BC所成角为β，β∈（0，]，则sinβ=|cos＜，＞|=．故直线AB与平面A1BC所成角的正弦值为．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值、线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．24.已知正项数列满足.（1）求证:，且当时，；（2）求证:.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由a1﹣a12=a2＞0，解得0＜a1＜1．用数学归纳法证明即可，（2）记f（x）=ln（1+x）﹣，x＞0，求导，利用导数判定单调性，再利用放缩法即可证明．【详解】证明：（1）由，解得．下用数学归纳法证明：当时，①当时，．所以不等式成立；②假设当时，不等式成立，即则当时，有,.则当时，不等式也成立．综合①②，当时，都有．（2）记当时，所以在上是增函数，则，即令，则，从而有．【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.。

2020届江苏省南通市基地学校高三下学期第三次大联考数学试题(解析版)

不充分也不必要”之一）【答案】必要不充分【解析】【分析】先解出两个不等式，再根据集合间的基本关系判断即可．
【详解】解：由 x2 4 得 x 2 ，或 x 2 ，由 2x 4 得 x 2 ，
∴ x2 4 ¿ 2x 4 ， x2 4 2x 4 ， ∴“ x2 4 ”是“ 2x 4 ”的必要不充分条件，
VC A1B1C1
1 3
S△A1B1C1
CC1
13 VABC A1B1C1
1 3
V2
，∴ V1 1 ，来自V2 31故答案为：．
3
【点睛】本题主要考查棱锥和棱柱的体积的求法，属于基础题．
10.在平面直角坐标系
xOy
中，己知
A，B，F
分别为椭圆
C： x2 a2
y2 b2
1（a＞b＞0）左顶点、上顶点和左
∴矩形 ABCD 的面积 S AB AD 2 4 8，
故答案为：8．【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，属于基础题． 8.已知直线 y＝ex1 是曲线 y＝ex+a 的一条切线，则实数 a 的值为_______.
【答案】﹣1 【解析】
【分析】
求导后结合条件可求出切点的横坐标，分别代入曲线和切线方程求出切点纵坐标，从而可求出答案．
车间 A
车间 B 车间 C
女工人 20
60
a
男工人 40
30
b
现用分层抽样的方法在全厂抽取 54 名工人，则应在车间 C 抽取的工人人数为_______.
【答案】24
【解析】
【分析】
先求出车间 C 的工人数，再根据抽样比求出答案．
【详解】解：由题意得车间 C 的工人数为 270﹣60﹣90＝120，

江苏省南通基地2020届高三高考密卷(6月)数学(附加题)

高三数学模拟考试试卷数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在．．．．．．．．．答题卡．．．相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知a b ∈，R ，矩阵13a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的特征值3λ=所对应的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（1）求矩阵M ；（2）若曲线1C ：292y x x =-在矩阵M 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求曲线2C 的方程．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为112x y t ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线截得的弦长．C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知x ，y ，z 是正实数，且=5x y z ++，求证：222210≥x y z ++．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0，1），点B 在直线:1l y上，点T 满足TB ∥OA ，2AB AB TB ，T 点的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点P 00tt ，的直线交曲线C 于点M N ，，分别过M ，N 作直线l 的垂线，垂足分别为11M N ，． ① 若1190M PN ，求实数t 的值；② 点M 关于y 轴的对称点为Q （与N 不重合），求证：直线NQ 过一定点，并求出这个定点的坐标．23．(本小题满分10分)已知数列}{n a 满足：11||n n a a n n*+-∈N ≤，．（1）证明：||n k n k a a n k n*+-∈≤，，N ；（2）证明：221(1)||2m i mi m m a a m *=--∈∑≤，N ．xyA TBO（第22题）。

2020年江苏高考数学试卷及答案(含附加题)

2020年江苏高考数学试卷及答案（含附加题）一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上。

1.已知集合{}1,0,1,2A =-，{}0,2,3B =，则A B = __________。

2.已知i 是虚数单位，则复数()()12z i i =+-的实部是__________。

3.已知一组数据4，2a，3-a，5，6的平均数为4，则a 的值是__________。

4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是。

5.右图是一个算法流程图,若输出y的值为-2,则输入x的值为。

6.在平面直角坐标系xOy中22y =,若双曲线()222105x y a a -=>的一条渐近线方程为52y x =,则该双曲线的离心率是。

7．已知()y f x =是奇函数，当0x >时，23()f x x =，则(8)f -的值是。

8.已知22sin +=43πα（），则sin 2α的值是。

9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的，已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是3cm 。

10.将函数3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度，则平移后的图像与y 轴最近的对称轴方程是。

11.设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列，已知数列{}+n n a b 的前项和()221n n S n n n N *=-+-∈，则d q +的值是。

12.已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是。

13.在△ABC 中，4AB =，=3AC ，∠=90BAC °，D 在边AC 上，延长AD P 到，使得=9AP ，若32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（m 为常数），则CD 的长度是。

2020届江苏高考学科基地密卷(三)数学试题含附加题

江苏高考学科基地密卷（三）数学第I卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1,已知复数z -2- （i为虚数单位），则|z|= .1 i -------2.设集合A= {x|-1<x< 1}, B = {x|x&a}.若AI B ,则实数a的取值范围是.3.如图是甲、乙两位同学在4次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定（方差较小）的那一位同学的方差为.甲乙9 8 8 7 92 19 134.图中算法程序的运行结果为 .「—・—・・■ ■ ■ ■ ■■■■ /H - 5"—4 \\ （f E W 4 TM H \| B —A + B !\ 8JW-8 \\ EtKi \\ Print B5.关于x的不等式lg（x2 8） lg 2x的解集为6.现有3个奇数，2个偶数，若从中随机抽取2个数相乘，则积是偶数的概率为.27.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:x2 y21 （a>0）的右焦点的坐标a为（而0）,则该双曲线的两条渐近线方程为.8 .已知 (5—,L), sin(—)—,则 sin 的值为 ^ 66 6 13 -----9 .若将一个圆锥的侧面沿一条母线展开，具展开图是半径为5,面积为15冗的扇形，则与该圆锥等体积的球的半径为 .10 .如图，在平面四边形 ABCD 中，/ CBA=/CAD=90° , /ACD=30° ,uuir uuu 廿 uur uur uur /、AB=BC,点 E 在线段 BC 上，且 BC 3BE,若 AC AD AE ( , R),11 .已知正数数列｛a n ｝的前n 项和为S n,且满足a i = 1, S n a n12 .关于x 的不等式lnx+kx>0恰有三个整数解，则实数k 的取值范围是. 13 .已知圆x 2+y 2=1的圆心为。

，点P 是直线l: mx- 3y+3m-2= 0上的动点，若该圆上存在点Q 使得/QPO=30° ,则实数m 的最大值为14 .设△ ABC 的三个内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c,若D 是边BC 上一点，且BD=2DC, AD = BD,则cos(A B)的最小值为.sin C二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 .(本小题满分14分)如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PD 平面ABCD ,过AD 的平面分别与PB , PC 交于点E , F .(1)求证：平面PBC 平面PCD ;(2)求证：EF //平面PAD . J ■ JC /16 .(本小题满分14分)已知 ABC 中，角A , B , C 的对边分另1J 为a , b , c ,且J^acosB ccosB bcosC 0.n 2,则a 10的值则—的值为(1)求角B的大小；(2)设向量mn (cosA,cos2 A) , n (k, 1),若存在角A使得mngn 3成立，求k的取值范围.17.(本小题满分14分)因城市绿化需要，某政府要在市区一个圆形区域中建造一四边形区域绿化. 已知圆形区域中心为C ,且直径AB为2r米，点E在A B上(不与A , B两点重合)，BAE的平分线与圆C相交于点D ,连结DE , BD .政府计划在四边形ABDE内建设绿化，设BAE .(1)试用表示四边形ABDE面积S f();(2)当取何值时，四边形ABDE面积最大，并求其最大值.B D18.(本小题满分16分)2 2如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2二1(a b 0)的右焦点为a bF(c,0),下顶点为P ,过点M (0,b)的动直线l交椭圆C于A , B两点.(1)当直线l平行于x轴时，P, F , A三点共线，且PA 3E ,求椭圆C的方 2 程；(2)当椭圆C的离心率为何值时，对任意的动直线l ,总有PA PB ?19.(本小题满分16分)设函数f(x) x2 ax lnx , a R .(1)当a 1时，求函数f(x)的极值；(2)讨论函数y f(x)在[1,)上的单调性；(3)对任意x [1 , e],都有| f(x) |, e2,求实数a的取值范围.20.(本小题满分16分)已知正项数列｛，｝的前n项和为S n ,且S n a； a n 2, n N*.(1)求数列｛a。

2020届江苏省南通市高三年级第三次高考数学试题(附答案解析)

【答案】 ( ，0)
5. (本小题满分 5 分) 【答案】12
6. (本小题满分 5 分)
【答案】3
7. (本小题满分 5 分) 【答案】 x2 y2 1
5 20
8. (本小题满分 5 分)
【答案】 2 3 3
【解析】对于椭圆，显然 b 1, c a
3 2
，所以椭圆方程为
x2 4
y2
1 ，设
－f（xj）|≤f(x)max－f(x)min＝4，要使 xn 取得最小值，尽可能多让 xi（i=1，2，3，…，m）取得最高点，且 f(0)＝1，f(1)＝0，f(2)＝－3，因为 0≤x1 x2 xn ，且
字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（本小题满分 14 分）
已知函数 f (x) A sin(x ) (A＞0，0＜＜ )的最小值是﹣2，其图象经过点 M( ， 3
1)．
（1）求 f (x) 的解析式；
（2）已知， (0， )，且 f ( ) 8 ， f ( ) 24 ，求 f ( ) 的值．
2
5
13
16．（本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 P—ABCD 中，∠BAD＝90°，AD∥ BC，AD＝2BC，AB⊥PA．（1）求证：平面 PAD⊥平面 ABCD；（2）若 E 为 PD 的中点，求证：CE //平面 PAB．
2
17．（本小题满分 14 分）
有一块以点 O 为圆心，半径为 2 百米的圆形草坪，草坪内距离 O 点 2 百米的 D 点有
2
(2
4
)
sin(2
) 4
1 3
。
解析二：f(x)＝cosx(sin x＋cosx)－12＝sin xcosx＋cos2x－12＝12sin 2x＋1＋c2os 2x－12＝12sin 2x＋12

2020江苏高考数学三轮综合试卷3套(PDF版含答案及附加题)

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若A B={1}⋂，则实数a 的值为．2．若复数z 满足()1234zi i +=-+（i 是虚数单位），则复数z 的实部是． 3．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为．4．如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为．5．从0、2中选一个数字，从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中无重复的个数为．6．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的一条渐近线的倾斜角为45º，且过点（3，1），则双曲线的焦距等于．7．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，记圆柱、球的表面积分别为S 1、S 2，则S 1：S 2＝． 8．已知函数221()log (1)1x a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，，，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是． 9．已知函数f （x ）＝sin （2x ＋φ）（0≤φ＜π）图象的一条对称轴是直线x ＝π6，则f （2φ）的值为． 10．已知{}n a 是首项为2，公比为()1q q >的等比数列，且{}n a 的前n 项和为n S ，若2n S +也为等比数列，则q = ．11．如图，在平面四边形ABCD 中，π2CAD ∠=，2AD =，4AB BC CA ===，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，则AE AF ⋅=u u u r u u u r．12．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：kx －y ＋5k ＝0与圆C ：x 2＋y 2－10x ＝0交于点A ，B ，M 为弦AB 的中点，则点M 的横坐标的取值范围是．13．己知△ABC 的面积为2＋1，AC ＝23，且43tan A tan B+＝1，则tanA 的值为．14．己知函数2ln 20()504x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，，的图象上有且仅有两个不同的点关于直线y ＝﹣2的对称点在kx ﹣y ﹣3＝0的图象上，则实数k 的取值范围是．AFEDCB（第11题图）7 7 9 0 8 94 8 1 0 35 甲乙（第4题图）（第3题图）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E为棱PD的中点，PA⊥平面ABCD．（1）求证：PB //平而AEC；（2）若四边形ABCD是矩形且PA＝AD，求证：AE⊥平面PCD．16．（本小题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB＝45．（1）若c＝2a，求sin Bsin C的值；（2）若C﹣B＝4，求sinA的值．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x （x∈N*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10（a－3x500)万元（a＞0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？如图，己知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>过点（1，32），离心率为12，A，B分别是椭圆C的左，右顶点，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线线l与椭圆相交于M，N两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）记△AFM，△BFN的而积分别为S1，S2，若1265SS=，求k的值；（3）己知直线AM、BN的斜率分k1，k2，求21kk的值．己知函数2()ln 2x f x a x ax =-+．（1）当a ＝1时，求()f x 在x ＝1处的切线方程：（2）当a ＞0时，讨论()f x 的单调性；（3）若()f x 有两个极值点1x ，2x （1x ≠2x ），且不等式1212()()()f x f x x x λ+<+恒成立，求实数λ的取值范围．已知无穷数列{}n a 的前n 项中的最大项为n A ，最小项为n B ，设n n n B A b +=．（1）若21n a n =-，求数列{}n b 的通项公式；（2）若nnn a 212-=，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（3）若数列{}n b 是等差数列，求证：数列{}n a 是等差数列．21．已知a b c d ∈，，，R ，矩阵20a b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的逆矩阵111c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ．若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线21y x =+，求曲线C 的方程．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标平面内，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A ，B 的极坐标分别为()π42，，()5π224，，曲线C 的方程为r ρ=（0r >）．（1）求直线AB 的直角坐标方程；（2）若直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，求r 的值． 22．（本小题满分10分）某高校的综合评价面试中，考生都要经过三个独立项目A ，B ，C 的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录取．若甲、乙、丙三人通过A ，B ，C 每个项目测试的概率都是12．（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录取的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望．23．（本小题满分10分）如图，F 是抛物线y 2＝2px （p > 0）的焦点，过点F 且与坐标轴不垂直的直线交抛物线于两点，交抛物线的准线于点H ，其中．过点H 作y 轴的垂线交抛物线于点P ，直线PF 交抛物线于点Q ．（1）求p 的值；（2）求四边形APBQ 的而积S 的最小值．盐城中学2020届高三年级第二学期阶段检测数学试题（教师版）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若A B={1}⋂，则实数a 的值为．【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意．2．若复数z 满足()1234z i i +=-+（i 是虚数单位），则复数z 的实部是．【答案】1【详解】因为复数z 满足（1+2i ）z =−3+4i ，所以（1−2i ）（1+2i ）z =（−3+4i ）（1−2i ），即5z =5+10i ，所以z =1+2i ，实部为1．故答案为：1．3．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为．【答案】8【解析】由伪代码可得3,2;5,4;7,8I S I S I S ======，因为76>，所以结束循环，输出8.S=4．如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为． 4．6.85．从0、2中选一个数字，从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中无重复的个数为．答案：30 考点：计数原理解析：若从0、2中选一个数字是0，则组成三位数有12个，若从0、2中选一个数字是2，则组成三位数有18个，故一共有30个．6．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的一条渐近线的倾斜角为45º，且过点（3，1），则双曲线的焦距等于．答案：8考点：双曲线及其性质解析：由题意知：221911ba ab ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得228a b ==，故216c =，∴焦距2c ＝8．7．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，记圆柱、球的表面积分别为S 1、S 2，则S 1：S 2＝．答案：3：2考点：圆柱、球的表面积解析：设球的半径为R ，则S 1：S 2＝2(222)RR R ππ+⋅：24R π＝3：2．8．已知函数221()log (1)1x ax f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，，，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是．【答案】2【解析】∵0(0)223f =+=，∴[(0)](3)log 2a f f f ==7 7 9 0 8 9 4 8 1 0 3 5 甲乙（第4题图）（第3题图）∵[(0)]2f f =，∴log 22a =，解得a．9．已知函数f （x ）＝sin （2x ＋φ）（0≤φ＜π）图象的一条对称轴是直线x ＝π6，则f （2φ）的值为． 9．1210．已知{}n a 是首项为2，公比为()1q q >的等比数列，且{}n a 的前n 项和为n S，若q = ．【答案】2 【详解】已知{}n a 是首项为2，公比为()1q q >的等比数列．所以()1122221111nnn na q qq Sqq q q---===+----． 222112n n q q S q=++-+--{}2n S +也为等比数列．所以2201q+=-，即2q =．故答案为：211．如图，在平面四边形ABCD 中，π2CAD ∠=，2AD =，4AB BC CA ===，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，则AE AF ⋅=u u u r u u u r．【答案】612．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：kx －y ＋5k ＝0与圆C ：x 2＋y 2－10x ＝0交于点A ，B ，M 为弦AB 的中点，则点M 的横坐标的取值范围是．12．解析：因为直线l ：kx －y ＋5k ＝0过定点P （－5，0），且CM ⊥MP ，所以点M 在以CP 为直径的圆上．设点M （x ，y ），则x 2＋y 2＝25．联立⎩⎨⎧x 2＋y 2＝25x 2＋y 2－10x ＝0，解得x ＝52．又因为点M 在圆C 内，所以点M 的横坐标的取值范围为（52，5]．13．己知△ABC的面积为＋1，AC ＝2，且43tan A tan B+＝1，则tanA 的值为．答案：1考点：三角恒等变换、正弦定理解析：∵43tan A tan B+＝1，∴4cos A 3cos B1sin A sin B+=，∴4cosAsinB ＋3cosBsinA ＝sinAsinB ，∴3sinC ＝sinB （sinA ﹣cosA ），故3cb＝sinA ﹣cosA ， ∵△ABC＋1，则1)sin A c b =，代入上式得：21)sin A cos A sin Ab =-，∵b ＝AC ＝，∴21sin A sin A cos A 2=-，即221tan A tan A 2tan A 1-=+， AFEDCB（第11题图）解得tan A 21=-．14．己知函数2ln 20()504x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，，的图象上有且仅有两个不同的点关于直线y ＝﹣2的对称点在kx ﹣y ﹣3＝0的图象上，则实数k 的取值范围是．答案：（-∞，34）U （1，+∞）考点：函数与方程解析：直线kx ﹣y ﹣3＝0关于直线y ＝﹣2的对称直线为y ＝﹣1﹣kx ，故可将题意转化为直线y ＝﹣1﹣kx 与函数()y f x =有且仅有两个交点，当x ＝0时，显然不符合题意，当x ≠0时，参变分离得：1()f x kx--=，即方程1ln 201504x x xk x x x ⎧--+>⎪⎪=⎨⎪---<⎪⎩，，有两个不相等的实数根，通过数形结合即可求得实数k 的取值范围是k ＞1或k ＜34，即（-∞，34）U （1，+∞）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E 为棱PD 的中点，PA ⊥平面ABCD ．（1）求证：PB //平而AEC ；（2）若四边形ABCD 是矩形且PA ＝AD ，求证：AE ⊥平面PCD ．证明：（1）连接BD 交AC 于O ，因为ABCD 是平行四边形，所以O 是BD 的中点，因为E 为PD 的中点，所以OE //PB又因为PB ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ，所以PB //平面AEC ………………6分（2）因为PA AD =且E 是PD 的中点，所以AE PD ⊥又因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥ 因为四边形ABCD 是矩形，所以CD ⊥AD ，因为,PA AD ⊂平面PAD 且PA AD A =I所以CD ⊥平面PAD 又因为AE ⊂平面PAD ，所以CD AE ⊥,PD CD ⊂平面PDC 且PD CD D =I ，所以AE ⊥平面PCD ………………14分16．（本小题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cosB ＝45．（1）若c ＝2a ，求sin Bsin C的值；（2）若C ﹣B ＝4π，求sinA 的值．解：（1）解法1：在△ABC 中，因为cos B ＝45，所以a 2＋c 2－b 22ac ＝45．………………2分因为c ＝2a ，所以(c2)2＋c 2－b 22c ×c 2＝45，即b 2c 2＝920，所以b c ＝3510．………………4分又由正弦定理得sin B sin C ＝b c ，所以sin B sin C ＝3510．………………6分解法2：因为cos B ＝45，B ∈（0，π），所以sin B ＝1－cos 2B ＝35．………………2分因为c ＝2a ，由正弦定理得sin C ＝2sin A ，所以sin C ＝2sin （B ＋C ）＝65cos C ＋85sin C ，即－sin C ＝2cos C ．………………4分又因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，sin C ＞0，解得sin C ＝255，所以sin B sin C ＝3510．………………6分（2）因为cos B ＝45，所以cos2B ＝2cos 2B －1＝725．………………8分又0＜B ＜π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝35，所以sin2B ＝2sin B cos B ＝2×35×45＝2425．………………10分因为C －B ＝π4，即C ＝B ＋π4，所以A ＝π－（B ＋C ）＝3π4－2B ，所以sin A ＝sin （3π4－2B ）＝sin 3π4cos2B －cos 3π4sin2B ＝31250．………………14分17．（本小题满分14分）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x （x ∈N *）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10（a －3x500)万元（a ＞0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0．2x %．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？17．（1）由题意得，10（1000－x ）（1＋0．2x %）≥10×1000，………………2分即x 2－500x ≤0，又x ＞0，故0＜x ≤500．………………4分即最多调整500名员工从事第三产业．………………5分（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为10（a －3x500）x 万元，从事原来产业的员工的年总利润为10（1000－x ）（1＋1500x ）万元，则10（a －3x 500）x ≤10（1000－x ）（1＋1500x ），………………8分故ax －3x 2500≤1000＋2x －x －1500x 2，故ax ≤2x 2500＋1000＋x ，即a ≤2x 500＋1000x ＋1恒成立．………………10分因2x 500＋1000x≥22x 500·1000x＝4，当且仅当2x 500＝1000x，即x ＝500时等号成立，故a ≤5，………………12分又a ＞0，故0＜a ≤5．故a 的取值范围为（0，5]．………………14分 18．（本小题满分16分）如图，己知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点（1，32），离心率为12，A ，B 分别是椭圆C 的左，右顶点，过右焦点F 且斜率为k （k ＞0）的直线线l 与椭圆相交于M ，N 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）记△AFM ，△BFN 的而积分别为S 1，S 2，若1265S S =，求k 的值；（3）己知直线AM 、BN 的斜率分k 1，k 2，求21k k 的值．解：（1）设椭圆的焦距为2c ．312Q 椭圆过点（，），离心率为12∴229141a b +=，12c a =解得2,a b == 则椭圆的方程为22143x y +=．………………4分(2) 设点1122(,),(,)M x y N x yQ 1265s s = ∴12162152AF y BF y ⨯⨯=⨯⨯，整理可得M N 3|y |6|y |5= 即2||||5M N y y =，25FM NF ∴=u u u u r u u u r代入坐标，可得121221(1)525x x y y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即1212725525x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，又Q 点,M N 在椭圆C 上22222222722()()555143143x y x y ⎧--⎪+=⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，解得2254x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线l的斜率8514k ==--………………10分（3）Q 直线l 的方程为(1)y k x =-由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(34)84120k x k x k +-+-= 221212228412,3443k k x x x x k k -∴+=⋅=++ 又22221211221111212121212(2)(1)(2)22(2)(1)(2)222y k x y x k x x x x x x y k y x k x x x x x x x -+-++--====-----++ 222222222222222222412812182()234343434128462()2434343k k k x x x k k k k k k x x x k k k ---+---++++==------+++++ 222222463()4334643k x k k x k --++==--++ 213k k ∴=………………16分 19．（本小题满分16分）己知函数2()ln 2x f x a x ax =-+．（1）当a ＝1时，求()f x 在x ＝1处的切线方程：（2）当a ＞0时，讨论()f x 的单调性；（3）若()f x 有两个极值点1x ，2x （1x ≠2x ），且不等式1212()()()f x f x x x λ+<+恒成立，求实数λ的取值范围．解：（1）当1a =时，()2ln 2x f x x x =-+，()112f =- ()1'1f x x x=-+，()'11f =所以()f x 在1x =处的切线方程为112y x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，即2230x y --= ………………2分（2）()f x 定义域为()0,+∞，()2'a x ax af x a x x x-+=-+=①若04a <<时，240a a -<，()'0f x >，所以()f x 单调递增区间为()0,+∞，无减区间；…………4分②若4a =，则()()22244'x x x f x x x--+==当02x <<时，()'0f x >；当2x >时，()'0f x >所以()f x 单调递增区间为()0,+∞，无减区间；………………6分③若4a >时，由()2'0x ax a f x x-+==，得x =x =当0x <<x >()'0f x >x <<时，()'0f x < 所以()f x单调递增区间为⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递减区间为⎝⎭………………8分（3）由（1）知，4a >，且1212x x ax x a +=⎧⎨=⎩，不等式1212()()()f x f x x x λ+<+恒成立等价于1212()()()()f x f x f x f x λ++>=恒成立又221211122211()()(ln )(ln )22f x f x a x x x a x x x +=-++-+221212121(ln ln )()()2a x x a x x x x =+-+++2121212121ln ()[()2]2a x x a x x x x x x =-+++-221ln (2)2a a a a a =-+- 21ln 2a a a a =--所以1212()()1ln 12f x f x a a x x +=--+，令1ln 12y a a =--（4a >），则11'02y a =-<，所以1ln 12y a a =--在(4,)+∞上单调递减，所以2ln 23y <-，所以2ln23λ≥-………………16分20．（本小题满分16分）已知无穷数列{}n a 的前n 项中的最大项为n A ，最小项为n B ，设n n n B A b +=．（1）若21n a n =-，求数列{}n b 的通项公式；（2）若nnn a 212-=，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（3）若数列{}n b 是等差数列，求证：数列{}n a 是等差数列．解：（1）由12-=n a n 得{}n a 是递增数列，所以,1,121==-==a B n a A n n n所以.2n B A b n n n=+=………………2分（2）由n nn a 212-=得-+=-++11212n n n n a a ,2232121+-=-n nnn 当1=n ，01>-+n n a a ，即;21a a <当2≥n ，01<-+n n a a ，即>>>432a a a ┈又,167,85,43,21141321a a a a a a <=>=== 所以,45,45,1321===b b b 当4≥n 时，,21243nn n b -+= 所以,27,49,1321===s s s当4≥n 时，令,22)1(43212431nn n n bkn b n k n b +-+-+=-+=- 则,3,2==b k 即nn n n n n n b 23221243212431+-++=-+=- 所以)232212()213211()21129()3(432715443n n n n s n n +-++⋅⋅⋅+-+-+-+=-n n n 23229)3(43273+-+-+= .23243819nn n +-+=综上所述，27,49,1321===s s s ，当4≥n 时，.23243819nn n n s +-+=…………8分（3）设数列{}n b 的公差为d ，则d B B A A b b n n n n n n =-+-=-+++111，由题意n n n n B B A A ≤≥++11,n n A A d >>+1,0，对任意*∈N n 都成立，即n n n n a A a A =>+=+11，所以{}n a 是递增数列。

江苏省南通市基地学校2020届高三第三次大联考数学试题含附加题+答案

(I）求证：DCl_ 平面 ABC; D
(2）求证：DFII 平面 ABC.
16. （本小题满分14分）
c 己知锐角三角形 ABC 中， sd n
＝
3 －
叫A一B)=t·
(I）求证：tan A=2tanB; (2）若 AB 边上的高为2，求边 AB 的长．
B 〈第15题〉
17. （本小题满分14分）如图，某地有一块半径为R的扇形 AOB 公园，其中0为扇形所在圆的圆心，
的坐标．
且［选修44 - ：坐标系与参数方程］（本小题满分10分）在极坐标系中，己知两条曲线的极坐标方程分别为ρsin（θ＋旦3 ）＝l与ρ＝2，它们相交于 A, B 两点，求线段 AB 的中点M的极坐标．
c. ［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分〉
己知。， b, cER，且α ＋ b+c=3 ，。 2 +b2 + 2c2 = 6，求。的取值范围．
1. 己知集合A={O, 2}, B={-1.0｝，则集合AUB＝�.
2. 若复数 z =i ·（α＋ 2i）的模为4，其中i是虚数单位，则
正实数α的值为一主」·
3. 右图是一个算法流程图，则输出的n的值为一主」· 4. 某工厂有 A, B, C 三个车间，共270名工人，各车间男、女工人
人数如下表：
21.【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A. ［选修4-2：矩阵与变换］（本小题满分10分）
己知矩阵A的逆矩阵£‘1 =11I 53
21 1 ｜I ，
求点 P(l, 2）在矩阵A对应的变换作用下得到点Q

2020届江苏省南通市基地学校高三下学期第三次大联考数学试卷及解析

2020届江苏省南通市基地学校高三下学期第三次大联考
数学试卷
★祝考试顺利★
(解析版)
第I 卷（必做题,共160分）
一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上.）
1.己知集合A ＝{0,2},B ＝{﹣1,0},则集合A
B ＝_______. 【答案】{﹣1,0,2}
【解析】
直接根据并集运算的定义求解即可．
【详解】解：∵A ＝{0,2},B ＝{﹣1,0},
∴A B ＝{﹣1,0,2},
故答案为：{﹣1,0,2}．
2.若复数z ＝i ·(a ＋2i )的模为4,其中i 是虚数单位,则正实数a 的值为_______.
【答案】【解析】
先化简复数z ,再根据复数的几何意义列出方程,解方程即可求出答案．
【详解】解：∵(2)2z i a i ai =⋅+=-+,
4=,得a =或a =-,
故答案为：
3.如图是一个算法流程图,则输出的n 的值为_______.
【答案】5
【解析】
模拟程序运行即可求出答案．
【详解】解：输入2n =,赋值213n =+=,32817=<,进入循环,
重新赋值314n =+=,421617=<,进入循环,
重新赋值415n =+=,523217=≥,终止循环,
输出5n =,
故答案为：5．
4.某工厂有A ,B ,C 三个车间,共270名工人,各车间男、女工人人数如下表：
车间A 车间B 车间C 女工人
20 60 a 男工人
40 30 b。