2011-2012高三总复习 三角函数专题
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10 π 的值． , 0 < ϕ < ，求 cos ϕ 的值． 10 2
π
（1） 互相垂直， 解： ）∵ a 与 b 互相垂直，则 a ⋅ b = sin θ − 2 cos θ = 0 ，即 sin θ = 2 cos θ ， （ 代入 sin 2 θ + cos 2 θ = 1 得 sin θ = ±
6 3 f (3β + 2π ) = 2sin( β + ) = 2 cos β = ，∴ cos β = ， 2 5 5 4 又 β ∈ [0, ] ，∴ sin β = ， 2 5 cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β = 16 65
π
π
三、稳扎稳打,强化训练 稳扎稳打,
2012届高考数学第一轮复习 三角函数
主讲人:杜浩勤 主讲人 杜浩勤 普宁市城东中学
一、解读大纲,明确考点 解读大纲,
1.理解任意角三角函数 正弦、余弦、正切 的定义 理解任意角三角函数(正弦 余弦、正切)的定义 的定义. 理解任意角三角函数 正弦、
2 2 2.理解同角三角函数的基本关系式：sin x + cos x =1,tan x = 理解同角三角函数的基本关系式： 理解同角三角函数的基本关系式
题型二： 题型二：简单三角恒等变形
π 1 cos2α 0， ，则 1.已知 sinα＝ ＋cosα，且 α∈ ，2 的值为______． 已知 ＝ ， ∈ 的值为 ． 2 π － sinα－4
π π π 1 π β 3 2.若 0<α< ，－ <β<0，cos（ ＋α）＝ ，cos（ － ）＝ ， 若 ， （ ） （ ＝ 2 2 4 3 4 2 3 β ) 则 cos（α＋2）＝( （ ＋ ＝ 3 3 5 3 6 A. B．－ C. D．－ ．－ ．－ 3 3 9 9
3 2 2 6 5 3 1 ＝ 3× 3 ＋ 3 × 3 ＝ 9 .
1．在进行三角函数化简或者求值时，如果求解目标较为复杂， ．在进行三角函数化简或者求值时，如果求解目标较为复杂， 则首先要变换这个求解目标，使之简化， 则首先要变换这个求解目标，使之简化，以便看出如何使用已 知条件． 知条件． 2．在进行三角恒等变换时，一个重要的技巧是进行角的变换， ．在进行三角恒等变换时，一个重要的技巧是进行角的变换， 把求解的角用已知角表示出来， 把求解的角用已知角表示出来，把求解的角的三角函数使用 π 已知的三角函数表示出来，常见的角的变换有， 已知的三角函数表示出来，常见的角的变换有，把 ＋2α 变换 2 π 成 2 ＋α，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)， ＝ ＋ － ＝ － ＋ ， ＝ ＋ ＋ － ， 4 α＋β α＋β ＋ ＋ β α － 2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2· ＝ ＋ － － ， ＋ ＝ ， ＝α－2－2 －β等； 2 2
．
1 − cos 2 x 1 2 π 1 − sin 2 x = − cos(2 x − ) + ， 2 2 2 4 2
2π =π 。 故函数的最小正周期 T = 2
16． （本小题满分 0 16． 本小题满分 13 分）已知函数 f ( x) = A sin( x + ϕ )( A > 0， < ϕ < π) ， （
π
12
) = 4 sin(3 ×
π
+ ϕ ) = 4, 即 sin(
π
+ ϕ ) = 1,
π
4
)
2α π π 12 2α π + ) = 4 sin 3( + )+ = (3) f ( , 3 12 4 5 3 12
π 3 π 3 3 2α π 即 sin 3( + ) + = ， sin( 2α + ) = , 即 cos 2α = , ∴ 4 5 2 5 5 3 12
所以 tan(α＋β)＝ ＋ ＝
本题主要考查三角函数的定义，根据三角函数的定义， 本题主要考查三角函数的定义，根据三角函数的定义，本题所给的两个横坐标 实际上就是α， 的余弦值 又由于这两个角都是锐角， 的余弦值， 实际上就是 ，β的余弦值，又由于这两个角都是锐角，由同角三角函数的关系 式就可以求出这两个角的正切，再代入两角和的正切公式就可以得出结果。 式就可以求出这两个角的正切，再代入两角和的正切公式就可以得出结果。
π 10 6 π , f (3β + 2π ) = , 求 cos(α + β ) 的值． 的值． （2）设 α , β ∈ 0, , f (3α + ) = ） 2 13 5 2
5π 5π π π − ) = 2sin = 2 ; 解：(1) f ( ) = 2sin( 4 12 6 4 π 10 5 π 12 (2) f (3α + ) = 2sin α = ，∴ sin α = ，又 α ∈ [0, ] ，∴ cos α = ， 2 13 13 2 13
3 2 4 12 2 5 ∴ sin α = 1 − ( ) = ,sin β = 1 − ( ) = ， 5 5 13 13
2
) = cos x ；
3 12 4 5 56 f (α − β ) = cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β = × + × = 。 5 13 5 13 65
（2009年广东高考） 2009年广东高考） 年广东高考
16．(本小题满分 分） ． 本小题满分 本小题满分12分 互相垂直， 已知向量 a = (sin θ ,−2) 与 b = (1, cos θ ) 互相垂直，其中 θ ∈ (0, ) ． 2 的值； （1）求 sin θ 和 cos θ 的值； ） （2）若 sin(θ − ϕ ) = ）
（二）具体各年题型分布如下： 具体各年题型分布如下：
年广东高考） （2008年广东高考） 年广东高考
12． 12．已知函数 f ( x) = (sin x − cos x) sin x ， x ∈ R ， 则 f ( x) 的最小正周期是
解析： 解析： f ( x) = sin 2 x − sin x cos x =
．
解：由已知条件及三角函数的定义可知， 由已知条件及三角函数的定义可知， cos α＝ ＝ 2 5 2 . ，cos β＝ ＝ 10 5
因为 α 为锐角，故 sin α>0，从而 sin α＝ 为锐角， ， ＝ 同理可得 sin β＝ ＝
7 2 1－cos2α＝ － ＝ . 10
5 1 .因此 tan α＝7，tan β＝ . 因此 ＝ ， ＝ 5 2 tan α＋tan β ＋ ＝－3. ＝ ＝－ 1 1－tan αtan β － 1－7× － × 2 1 7＋ ＋ 2
2 5 5 π , cos θ = ± ，又 θ ∈ (0, ) ， 5 5 2
∴ sin θ =
2 5 5 , cos θ = . 5 5
（2）∵ 0 < ϕ < ）
π
2
，0 <θ <
π
2
，∴ −
π
2
< θ −ϕ <
π
2
，
则 cos(θ − ϕ ) = 1 − sin 2 (θ − ϕ ) =
3 10 ， 10
题型一： 题型一：三角函数定义
1．如右图在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角 α、β，它们的终边 ． 、 ， 分别与单位圆交于 ， 两点， 分别与单位圆交于 A，B 两点，已知 A、B 的横坐标分别为 、 的值； 求：tan(α＋β)的值； ＋ 的值 2 2 5 . 、 10 5
sin x cos x
3. 能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式 能利用单位圆中的三角函数线推导出± ， ± 的正弦 余弦、正切的诱导公式. 的正弦、 4.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，能利用两角差的余弦公式导出两角差的 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式， 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式 正弦、正切公式． 正弦、正切公式． 5.能画出 ＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象． 能画出y＝ 的图象． 能画出 ， ＝ ， ＝ 的图象 6.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质 如单调性、最大值和最小值以及与 轴 理解正弦函数、余弦函数在区间 上的性质(如单调性 理解正弦函数 上的性质 如单调性、最大值和最小值以及与x轴 的交点等)，理解正切函数在区间上的单调性．了解三角函数的周期性. 的交点等 ，理解正切函数在区间上的单调性．了解三角函数的周期性
π 1 x ∈ R 的最大值是 1，其图像经过点 M ， ． 3 2
的解析式； （1）求 f ( x ) 的解析式； （2）已知 α，β ∈ 0， ，且 f (α ) =
π 2
3 12 的值． ， f (β ) = ，求 f (α − β ) 的值． 5 13
（1 解： 1）依题意有 A = 1 ，则 f ( x ) = sin( x + ϕ ) ，将点 M ( （
二、身临其境,实战模拟 身临其境 实战模拟
（一）近四年（2008-2011年）广东高考三角函数考查知识点： 近四年（ 年 广东高考三角函数考查知识点：
题号 12 16 题型 填空题 解答题 考查知识点 2008 三角函数周期 三角函数的性 质及恒等变换 三角函 数求值 三角函数周期 性、三角函数 化简和求值 三角函数性质、 三角函数性质、 三角函数求值 2009 2010 2011
3 1 5 2 ∴ 1 − 2 sin α = ,∴ sin α = ∴ sin α = ± 5 5 5
2
（2011年广东高考） 2011年广东高考） 年广东高考
16. （本小题满分 12 分）
1 π 已知函数 f ( x) = 2sin( x − ), x ∈ R 3 6 5π 的值； （1）求 f ( ) 的值； ） 4
π 1 π (2)∵cos4＋α＝ ，0<α< ， ∵ 2 3 π 2 3 π β 3 π ＋α＝ － ＝ .又 cos <β<0， ∴sin 4 ， 3 又∵ 4 2 3 ，－2 π β 6 － ＝ ∴sin 4 2 3， π π β β ＋ ∴cosα＋2 ＝cos4＋α－4－2 π π β π π β ＝cos4＋αcos4－2＋sin4＋αsin4－2
)(cosα－sinα) cos2α－sin2α － (cosα＋sinα)( ＋ )( － ) cos2α 解：(1) ＝ ＝ π 2 2 α－ sin － 4 (sinα－cosα) － ) (sinα－cosα) － ) 2 2 ＝－ 2(cosα＋sinα)， ＋ ， 1 1 ∵sinα＝ ＋cosα，∴cosα－sinα＝－ ， ＝ ， － ＝－ 2 2 1 3 两边平方得 1－2sinαcosα＝ ，所以 2sinαcosα＝ . － ＝ ＝ 4 4 π 3 7 0， ，∴cosα＋sinα＝ (cosα＋sinα)2＝ 1＋ ＝ ， ∵α∈ ，2 ∈ ＋ ＝ ＋ ) ＋ 4 2 cos2α 14 . ∴ ＝－ 2 π － sinα－4
π 1
1 π 5 π sin( + ϕ ) = ，而 0 < ϕ < π ，∴ + ϕ = π ，∴ϕ = ， 3 2 3 6 2
故 f ( x ) = sin( x +
π
,Baidu Nhomakorabea) 代入得 3 2
π
3 12 π （2）依题意有 cos α = , cos β = ，而 α , β ∈ (0, ) ， 5 13 2
π
12
时取得最大值 4。
π 2 12 （3）若（ α + ）= ，求 sin α . f 3 12 5
2π ; 解 :(1)T= 3 (2)由 f ( x )的 最 大 值 是 4 知 ， A=4 ， 12 4 π π π π π 5π ,∴ + ϕ = ∴ ϕ = . Q 0 < ϕ < π ,∴ < + ϕ < 4 4 4 4 2 4 ∴ f ( x ) = 4 sin(3 x + f ( x ) max = f (
2 . ∴ cos ϕ = cos[θ − (θ − ϕ )] = cos θ cos(θ − ϕ ) + sin θ sin(θ − ϕ ) = 2
（2010年广东高考） 2010年广东高考） 年广东高考
16． （本小题满分 l4 分）
已知函数f ( x ) = A sin ( 3 x + ϕ ) ( A＞0，x ∈ ( −∞, +∞ )， ϕ＜π），在x = 0＜ （1）求f (x)的最小周期 （2）求f (x)的解析式
π
（1） 互相垂直， 解： ）∵ a 与 b 互相垂直，则 a ⋅ b = sin θ − 2 cos θ = 0 ，即 sin θ = 2 cos θ ， （ 代入 sin 2 θ + cos 2 θ = 1 得 sin θ = ±
6 3 f (3β + 2π ) = 2sin( β + ) = 2 cos β = ，∴ cos β = ， 2 5 5 4 又 β ∈ [0, ] ，∴ sin β = ， 2 5 cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β = 16 65
π
π
三、稳扎稳打,强化训练 稳扎稳打,
2012届高考数学第一轮复习 三角函数
主讲人:杜浩勤 主讲人 杜浩勤 普宁市城东中学
一、解读大纲,明确考点 解读大纲,
1.理解任意角三角函数 正弦、余弦、正切 的定义 理解任意角三角函数(正弦 余弦、正切)的定义 的定义. 理解任意角三角函数 正弦、
2 2 2.理解同角三角函数的基本关系式：sin x + cos x =1,tan x = 理解同角三角函数的基本关系式： 理解同角三角函数的基本关系式
题型二： 题型二：简单三角恒等变形
π 1 cos2α 0， ，则 1.已知 sinα＝ ＋cosα，且 α∈ ，2 的值为______． 已知 ＝ ， ∈ 的值为 ． 2 π － sinα－4
π π π 1 π β 3 2.若 0<α< ，－ <β<0，cos（ ＋α）＝ ，cos（ － ）＝ ， 若 ， （ ） （ ＝ 2 2 4 3 4 2 3 β ) 则 cos（α＋2）＝( （ ＋ ＝ 3 3 5 3 6 A. B．－ C. D．－ ．－ ．－ 3 3 9 9
3 2 2 6 5 3 1 ＝ 3× 3 ＋ 3 × 3 ＝ 9 .
1．在进行三角函数化简或者求值时，如果求解目标较为复杂， ．在进行三角函数化简或者求值时，如果求解目标较为复杂， 则首先要变换这个求解目标，使之简化， 则首先要变换这个求解目标，使之简化，以便看出如何使用已 知条件． 知条件． 2．在进行三角恒等变换时，一个重要的技巧是进行角的变换， ．在进行三角恒等变换时，一个重要的技巧是进行角的变换， 把求解的角用已知角表示出来， 把求解的角用已知角表示出来，把求解的角的三角函数使用 π 已知的三角函数表示出来，常见的角的变换有， 已知的三角函数表示出来，常见的角的变换有，把 ＋2α 变换 2 π 成 2 ＋α，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)， ＝ ＋ － ＝ － ＋ ， ＝ ＋ ＋ － ， 4 α＋β α＋β ＋ ＋ β α － 2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2· ＝ ＋ － － ， ＋ ＝ ， ＝α－2－2 －β等； 2 2
．
1 − cos 2 x 1 2 π 1 − sin 2 x = − cos(2 x − ) + ， 2 2 2 4 2
2π =π 。 故函数的最小正周期 T = 2
16． （本小题满分 0 16． 本小题满分 13 分）已知函数 f ( x) = A sin( x + ϕ )( A > 0， < ϕ < π) ， （
π
12
) = 4 sin(3 ×
π
+ ϕ ) = 4, 即 sin(
π
+ ϕ ) = 1,
π
4
)
2α π π 12 2α π + ) = 4 sin 3( + )+ = (3) f ( , 3 12 4 5 3 12
π 3 π 3 3 2α π 即 sin 3( + ) + = ， sin( 2α + ) = , 即 cos 2α = , ∴ 4 5 2 5 5 3 12
所以 tan(α＋β)＝ ＋ ＝
本题主要考查三角函数的定义，根据三角函数的定义， 本题主要考查三角函数的定义，根据三角函数的定义，本题所给的两个横坐标 实际上就是α， 的余弦值 又由于这两个角都是锐角， 的余弦值， 实际上就是 ，β的余弦值，又由于这两个角都是锐角，由同角三角函数的关系 式就可以求出这两个角的正切，再代入两角和的正切公式就可以得出结果。 式就可以求出这两个角的正切，再代入两角和的正切公式就可以得出结果。
π 10 6 π , f (3β + 2π ) = , 求 cos(α + β ) 的值． 的值． （2）设 α , β ∈ 0, , f (3α + ) = ） 2 13 5 2
5π 5π π π − ) = 2sin = 2 ; 解：(1) f ( ) = 2sin( 4 12 6 4 π 10 5 π 12 (2) f (3α + ) = 2sin α = ，∴ sin α = ，又 α ∈ [0, ] ，∴ cos α = ， 2 13 13 2 13
3 2 4 12 2 5 ∴ sin α = 1 − ( ) = ,sin β = 1 − ( ) = ， 5 5 13 13
2
) = cos x ；
3 12 4 5 56 f (α − β ) = cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β = × + × = 。 5 13 5 13 65
（2009年广东高考） 2009年广东高考） 年广东高考
16．(本小题满分 分） ． 本小题满分 本小题满分12分 互相垂直， 已知向量 a = (sin θ ,−2) 与 b = (1, cos θ ) 互相垂直，其中 θ ∈ (0, ) ． 2 的值； （1）求 sin θ 和 cos θ 的值； ） （2）若 sin(θ − ϕ ) = ）
（二）具体各年题型分布如下： 具体各年题型分布如下：
年广东高考） （2008年广东高考） 年广东高考
12． 12．已知函数 f ( x) = (sin x − cos x) sin x ， x ∈ R ， 则 f ( x) 的最小正周期是
解析： 解析： f ( x) = sin 2 x − sin x cos x =
．
解：由已知条件及三角函数的定义可知， 由已知条件及三角函数的定义可知， cos α＝ ＝ 2 5 2 . ，cos β＝ ＝ 10 5
因为 α 为锐角，故 sin α>0，从而 sin α＝ 为锐角， ， ＝ 同理可得 sin β＝ ＝
7 2 1－cos2α＝ － ＝ . 10
5 1 .因此 tan α＝7，tan β＝ . 因此 ＝ ， ＝ 5 2 tan α＋tan β ＋ ＝－3. ＝ ＝－ 1 1－tan αtan β － 1－7× － × 2 1 7＋ ＋ 2
2 5 5 π , cos θ = ± ，又 θ ∈ (0, ) ， 5 5 2
∴ sin θ =
2 5 5 , cos θ = . 5 5
（2）∵ 0 < ϕ < ）
π
2
，0 <θ <
π
2
，∴ −
π
2
< θ −ϕ <
π
2
，
则 cos(θ − ϕ ) = 1 − sin 2 (θ − ϕ ) =
3 10 ， 10
题型一： 题型一：三角函数定义
1．如右图在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角 α、β，它们的终边 ． 、 ， 分别与单位圆交于 ， 两点， 分别与单位圆交于 A，B 两点，已知 A、B 的横坐标分别为 、 的值； 求：tan(α＋β)的值； ＋ 的值 2 2 5 . 、 10 5
sin x cos x
3. 能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式 能利用单位圆中的三角函数线推导出± ， ± 的正弦 余弦、正切的诱导公式. 的正弦、 4.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，能利用两角差的余弦公式导出两角差的 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式， 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式 正弦、正切公式． 正弦、正切公式． 5.能画出 ＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象． 能画出y＝ 的图象． 能画出 ， ＝ ， ＝ 的图象 6.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质 如单调性、最大值和最小值以及与 轴 理解正弦函数、余弦函数在区间 上的性质(如单调性 理解正弦函数 上的性质 如单调性、最大值和最小值以及与x轴 的交点等)，理解正切函数在区间上的单调性．了解三角函数的周期性. 的交点等 ，理解正切函数在区间上的单调性．了解三角函数的周期性
π 1 x ∈ R 的最大值是 1，其图像经过点 M ， ． 3 2
的解析式； （1）求 f ( x ) 的解析式； （2）已知 α，β ∈ 0， ，且 f (α ) =
π 2
3 12 的值． ， f (β ) = ，求 f (α − β ) 的值． 5 13
（1 解： 1）依题意有 A = 1 ，则 f ( x ) = sin( x + ϕ ) ，将点 M ( （
二、身临其境,实战模拟 身临其境 实战模拟
（一）近四年（2008-2011年）广东高考三角函数考查知识点： 近四年（ 年 广东高考三角函数考查知识点：
题号 12 16 题型 填空题 解答题 考查知识点 2008 三角函数周期 三角函数的性 质及恒等变换 三角函 数求值 三角函数周期 性、三角函数 化简和求值 三角函数性质、 三角函数性质、 三角函数求值 2009 2010 2011
3 1 5 2 ∴ 1 − 2 sin α = ,∴ sin α = ∴ sin α = ± 5 5 5
2
（2011年广东高考） 2011年广东高考） 年广东高考
16. （本小题满分 12 分）
1 π 已知函数 f ( x) = 2sin( x − ), x ∈ R 3 6 5π 的值； （1）求 f ( ) 的值； ） 4
π 1 π (2)∵cos4＋α＝ ，0<α< ， ∵ 2 3 π 2 3 π β 3 π ＋α＝ － ＝ .又 cos <β<0， ∴sin 4 ， 3 又∵ 4 2 3 ，－2 π β 6 － ＝ ∴sin 4 2 3， π π β β ＋ ∴cosα＋2 ＝cos4＋α－4－2 π π β π π β ＝cos4＋αcos4－2＋sin4＋αsin4－2
)(cosα－sinα) cos2α－sin2α － (cosα＋sinα)( ＋ )( － ) cos2α 解：(1) ＝ ＝ π 2 2 α－ sin － 4 (sinα－cosα) － ) (sinα－cosα) － ) 2 2 ＝－ 2(cosα＋sinα)， ＋ ， 1 1 ∵sinα＝ ＋cosα，∴cosα－sinα＝－ ， ＝ ， － ＝－ 2 2 1 3 两边平方得 1－2sinαcosα＝ ，所以 2sinαcosα＝ . － ＝ ＝ 4 4 π 3 7 0， ，∴cosα＋sinα＝ (cosα＋sinα)2＝ 1＋ ＝ ， ∵α∈ ，2 ∈ ＋ ＝ ＋ ) ＋ 4 2 cos2α 14 . ∴ ＝－ 2 π － sinα－4
π 1
1 π 5 π sin( + ϕ ) = ，而 0 < ϕ < π ，∴ + ϕ = π ，∴ϕ = ， 3 2 3 6 2
故 f ( x ) = sin( x +
π
,Baidu Nhomakorabea) 代入得 3 2
π
3 12 π （2）依题意有 cos α = , cos β = ，而 α , β ∈ (0, ) ， 5 13 2
π
12
时取得最大值 4。
π 2 12 （3）若（ α + ）= ，求 sin α . f 3 12 5
2π ; 解 :(1)T= 3 (2)由 f ( x )的 最 大 值 是 4 知 ， A=4 ， 12 4 π π π π π 5π ,∴ + ϕ = ∴ ϕ = . Q 0 < ϕ < π ,∴ < + ϕ < 4 4 4 4 2 4 ∴ f ( x ) = 4 sin(3 x + f ( x ) max = f (
2 . ∴ cos ϕ = cos[θ − (θ − ϕ )] = cos θ cos(θ − ϕ ) + sin θ sin(θ − ϕ ) = 2
（2010年广东高考） 2010年广东高考） 年广东高考
16． （本小题满分 l4 分）
已知函数f ( x ) = A sin ( 3 x + ϕ ) ( A＞0，x ∈ ( −∞, +∞ )， ϕ＜π），在x = 0＜ （1）求f (x)的最小周期 （2）求f (x)的解析式