高中数学新学案同步必修1人教A版全国通用版第二章基本初等函数 2.2 对数函数 2.2.1 第1课时

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新人教A版高中数学必修1第二章基本初等函数Iword学案

§对数函数2．对数与对数运算1．对数的概念一般地，如果a x＝N (a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．说明：(1)实质上，上述对数表达式，不过是指数函数y＝a x的另一种表达形式，例如：34＝81与4＝log381这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式a x＝N⇔x＝log a N，从而得对数恒等式：a log a N＝N.(2)“log”同“＋”“×”“”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面．(3)根据对数的定义，对数log a N(a>0，且a≠1)具有下列性质：①零和负数没有对数，即N>0；②1的对数为零，即log a1＝0；③底的对数等于1，即log a a＝1.2．对数的运算法则利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然．这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度．(1)基本公式①log a(MN)＝log a M＋log a N (a>0，a≠1，M>0，N>0)，即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和．②log a MN＝log a M－log a N(a>0，a≠1，M>0，N>0)，即两个正数的商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数．③log a M n＝n·log a M (a>0，a≠1，M>0，n∈R)，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．(2)对数的运算性质注意点①必须注意M>0，N>0，例如log a[(－3)×(－4)]是存在的，但是log a(－3)与log a(－4)均不存在，故不能写成log a[(－3)×(－4)]＝log a(－3)＋log a(－4)．②防止出现以下错误：log a(M±N)＝log a M±log a N，log a(M·N)＝log a M·log a N，log a M N＝log a Mlog a N，log a M n ＝(log a M )n . 3．对数换底公式在实际应用中，常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底公式：log b N ＝log c Nlog c b(b >0，且b ≠1；c >0，且c ≠1；N >0)．证明设log b N ＝x ，则b x ＝N .两边取以c 为底的对数，得x log c b ＝log c N .所以x ＝log c N log c b ，即log b N ＝log c Nlog c b.换底公式体现了对数运算中一种常用的转化，即将复杂的或未知的底数转化为已知的或需要的底数，这是数学转化思想的具体应用．由换底公式可推出下面两个常用公式：(1)log b N ＝1log N b 或log b N ·log N b ＝1 (N >0，且N ≠1；b >0，且b ≠1)；(2)log bn N m ＝mnlog b N (N >0；b >0，且b ≠1；n ≠0，m ∈R ).题型一正确理解对数运算性质对于a >0且a ≠1，下列说法中，正确的是( )①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.A ．①与③B ．②与④C ．②D ．①、②、③、④解析在①中，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M ＝log a N 不成立．在②中，当log a M ＝log a N 时，必有M >0，N >0，且M ＝N ，因此M ＝N 成立．在③中，当log a M 2＝log a N 2时，有M ≠0，N ≠0，且M 2＝N 2，即|M |＝|N |，但未必有M ＝N .例如，M ＝2，N ＝－2时，也有log a M 2＝log a N 2，但M ≠N .在④中，若M ＝N ＝0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2＝log a N 2不成立．所以，只有②成立．答案 C点评正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件，使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件．题型二对数运算性质的应用求下列各式的值：(1)2log 32－log 3329＋log 38－5log 53；(2)lg25＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(3)log 52·log 79log 513·log 734.分析利用对数的性质求值，首先要明确解题目标是化异为同，先使各项底数相同，才能使用性质，再找真数间的联系，对于复杂的真数，可以先化简再计算．解 (1)原式＝2log 32－(log 332－log 39)＋3log 32－3 ＝2log 32－5log 32＋2＋3log 32－3＝－1.(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg 102·lg(2×10)＋(lg2)2＝2lg(5×2)＋(1－lg2)·(lg2＋1)＋(lg2)2 ＝2＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝3.(3)∵log 52·log 79log 513·log 734＝12log 52·2log 73－log 53·13log 74＝－lg2lg5·lg3lg7lg3lg5·13·lg4lg7＝－32.点评对数的求值方法一般有两种：一种是将式中真数的积、商、幂、方根利用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．题型三对数换底公式的应用计算：(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)．分析由题目可获取以下主要信息：本题是一道对数化简求值题，在题目中各个对数的底数都各不相同．解答本题可先通过对数换底公式统一底数再进行化简求值．解方法一原式＝⎝⎛⎭⎫log 253＋log 225log 24＋log 25log 28⎝⎛⎭⎫log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125＝⎝⎛⎭⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22⎝⎛⎭⎫log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55 ＝⎝⎛⎭⎫3＋1＋13log 25·(3log 52) ＝13log 25·log 22log 25＝13.方法二原式＝⎝⎛⎭⎫lg125lg2＋lg25lg4＋lg5lg8⎝⎛⎭⎫lg2lg5＋lg4lg25＋lg8lg125 ＝⎝⎛⎭⎫3lg5lg2＋2lg52lg2＋lg53lg2⎝⎛⎭⎫lg2lg5＋2lg22lg5＋3lg23lg5 ＝⎝⎛⎭⎫13lg53lg2⎝⎛⎭⎫3lg2lg5＝13.点评方法一是先将括号内换底，然后再将底统一；方法二是在解题方向还不清楚的情况下，一次性地统一为常用对数(当然也可以换成其他非1的正数为底)，然后再化简．上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法．已知log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1，求实数x 的值．错解由对数的性质可得x 2＋3x ＝x ＋3. 解得x ＝1或x ＝－3.错因分析对数的底数和真数必须大于0且底数不等于1，这点在解题中忽略了．正解由对数的性质知⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ＝x ＋3，x 2＋3x >0，x ＋3>0且x ＋3≠1.解得x ＝1，故实数x 的值为1.对数的定义及其性质是高考中的重要考点之一，主要性质有：log a 1＝0，log a a ＝1，a log a N ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)．1．(上海高考)方程9x －6·3x －7＝0的解是________．解析 ∵9x －6·3x －7＝0，即32x －6·3x －7＝0 ∴(3x －7)(3x ＋1)＝0 ∴3x ＝7或3x ＝－1(舍去) ∴x ＝log 37. 答案 log 372．(辽宁高考)设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，则g ⎝⎛⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫12＝____. 解析 g ⎝⎛⎭⎫12＝ln 12<0，g ⎝⎛⎭⎫ln 12＝eln 12＝12， ∴g ⎝⎛⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫12＝12. 答案 121．对数式log (a －3)(7－a )＝b ，实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，7)B ．(3,7)C ．(3,4)∪(4,7)D ．(3，＋∞) 答案 C解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －3>0，a －3≠1，7－a >0，解得3<a <7且a ≠4.2．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是( )A ．a －2B ．3a －(1＋a )2C ．5a －2D ．－a 2＋3a －1 答案 A解析 ∵a ＝log 32，∴log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1) ＝3a －2(a ＋1)＝a －2. 3．log 56·log 67·log 78·log 89·log 910的值为( ) A ．1 B ．5 C D ．1＋lg2 答案 C解析原式＝lg6lg5·lg7lg6·lg8lg7·lg9lg8·lg10lg9＝lg10lg5＝1lg5.4．已知log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1)D ．(1，＋∞) 答案 C解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，2a >1，∵a >0，a ≠1，log a (a 2＋1)<log a 2a ，∴0<a <1.∴12<a <1.5．已知函数f (x )＝a x －1＋log a x (a >0，a ≠1)在[1,3]上最大值与最小值之和为a 2，则a 的值为( )A ．4 C ．3答案 D6．若方程(lg x )2＋(lg7＋lg5)lg x ＋lg7·lg5＝0的两根为α，β，则αβ等于( ) A ．lg7·lg5 B ．lg35 C ．35 答案 D解析 ∵lg α＋lg β＝－(lg7＋lg5)＝－lg35＝lg 135∴α·β＝135.7．已知f (log 2x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫12＝________. 答案 2解析令log 2x ＝12，则212＝x ，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝212＝ 2. 8．log (2－1)(2＋1)＝________. 答案－1解析 log 2－1(2＋1)＝log 2－1(2＋1)(2－1)2－1＝log (2－1)12－1＝－1.9．已知lg2＝ 0，lg3＝ 1，lg x ＝－2＋ 1，则x ＝________. 答案解析 ∵lg2＝ 0，lg3＝ 1，而 0＋ 1＝ 1，∴lg x ＝－2＋lg2＋lg3，即lg x ＝lg10－2＋lg6.∴lg x ＝lg(6×10－2)，即x ＝6×10－2＝.10．(1)已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，求log 2xy的值；(2)已知log 189＝a,18b ＝5，试用a ，b 表示log 365. 解 (1)lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )， ∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0. 即(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y ，又∵⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，x －2y >0，∴x >2y >0，∴x ＝y ，应舍去，取x ＝4y .则log 2x y ＝log 24y y ＝log 24＝lg4lg 2＝4.(2)∵18b ＝5，∴log 185＝b, 又∵log 189＝a ， ∴log 365＝log 185lg 1836＝blog 18(18×2)＝b 1＋log 182＝b 1＋log 18189＝b 1＋(1－log 189)＝b2－a .11．设a，b，c均为不等于1的正数，且a x＝b y＝c z，1x＋1y＋1z＝0，求abc的值．解令a x＝b y＝c z＝t (t>0且t≠1)，则有1x ＝log t a，1y＝log t b，1z＝log t c，又1 x ＋1y＋1z＝0，∴log t abc＝0，∴abc＝1.12．已知a，b，c是△ABC的三边，且关于x的方程x2－2x＋lg(c2－b2)－2lg a＋1＝0有等根，试判定△ABC的形状．解∵关于x的方程x2－2x＋lg(c2－b2)－2lg a＋1＝0有等根，∴Δ＝0，即4－4[lg(c2－b2)－2lg a＋1]＝0.即lg(c2－b2)－2lg a＝0，故c2－b2＝a2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．2．对数与对数运算(一)学习目标1．理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化．2．了解常用对数与自然对数的意义．3．理解对数恒等式并能用于有关对数的计算．自学导引1．如果a(a>0且a≠1)的b次幂等于N，就是a b＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作b＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的性质有：(1)1的对数为零；(2)底的对数为1；(3)零和负数没有对数．3．通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数叫做自然对数，log10N可简记为lg N，log e N简记为ln N.4．若a>0，且a≠1，则a b＝N等价于log a N＝b.5．对数恒等式：a log a N＝N(a>0且a≠1).一、对数式有意义的条件例1 求下列各式中x 的取值范围：(1)log 2(x －10)；(2)log (x －1)(x ＋2)；(3)log (x ＋1)(x －1)2.分析由真数大于零，底数大于零且不等于1可得到关于x 的不等式(组)，解之即可．解 (1)由题意有x －10>0，∴x >10，即为所求．(2)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2>0，x －1>0且x －1≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，x >1且x ≠2，∴x >1且x ≠2. (3)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2>0，x ＋1>0且x ＋1≠1，解得x >－1且x ≠0，x ≠1.点评在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1.变式迁移1 在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A ．a >5或a <2 B ．2<a <5 C ．2<a <3或3<a <5 D ．3<a <4 答案 C解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5－a >0a －2>0a －2≠1，∴2<a <5且a ≠3.二、对数式与指数式的互化例2 将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式：(1)54＝625； (2)log 128＝－3；(3)⎝⎛⎭⎫14－2＝16; (4)log 101 000＝3. 分析利用a x ＝N ⇔x ＝log a N 进行互化．解 (1)∵54＝625，∴log 5625＝4.(2)∵log 128＝－3，∴⎝⎛⎭⎫12－3＝8. (3)∵⎝⎛⎭⎫14－2＝16，∴log 1416＝－2. (4)∵log 101 000＝3，∴103＝1 000.点评指数和对数运算是一对互逆运算，在解题过程中，互相转化是解决相关问题的重要途径．在利用a x＝N ⇔x ＝log a N 进行互化时，要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置．变式迁移2 将下列对数式化为指数式求x 值：(1)log x 27＝32； (2)log 2x ＝－23；(3)log 5(log 2x )＝0; (4)x ＝log 2719；(5)x ＝log 1216.解 (1)由log x 27＝32，得x 32＝27，∴x ＝2723＝32＝9.(2)由log 2x ＝－23，得2－23＝x ，∴x ＝1322＝322.(3)由log 5(log 2x )＝0，得log 2x ＝1，∴x ＝21＝2.(4)由x ＝log 2719，得27x ＝19，即33x ＝3－2，∴x ＝－23.(5)由x ＝log 1216，得⎝⎛⎭⎫12x ＝16，即2－x ＝24， ∴x ＝－4.三、对数恒等式的应用例3 (1)a log a b ·log b c ·log c N 的值(a ，b ，c ∈R ＋，且不等于1，N >0)；(2)412(log 29－log 25)．解 (1)原式＝(a log a b )log b c ·log c N ＝b log b c ·log c N ＝(b log b c )log c N ＝c log c N ＝N .(2)原式＝2(log 29－log 25)＝2log 292log 25＝95.点评对数恒等式a log a N ＝N 中要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式；(3)其值为真数．变式迁移3 计算：3log 35＋(3)log 315.解原式＝5＋312log 315＝5＋(3log 315)12＝5＋15＝655.1．一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是a b ＝N ，那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．利用a b ＝N ⇔b ＝log a N (其中a >0，a ≠1，N >0)可以进行指数与对数式的互化． 3．对数恒等式：a log a N ＝N (a >0且a ≠1)．一、选择题1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A ．100＝1与lg1＝0B ．27－13＝13与log 2713＝－13C ．log 312＝9与912＝3D ．log 55＝1与51＝5 答案 C2．指数式b 6＝a (b >0，b ≠1)所对应的对数式是( )A ．log 6a ＝aB ．log 6b ＝aC ．log a b ＝6D ．log b a ＝6 答案 D3．若log x (5－2)＝－1，则x 的值为( ) －2 ＋2－2或5＋2 D ．2－ 5 答案 B4．如果f (10x )＝x ，则f (3)等于( ) A ．log 310 B ．lg3 C ．103 D ．310 答案 B解析方法一令10x ＝t ，则x ＝lg t ， ∴f (t )＝lg t ，f (3)＝lg3.方法二令10x ＝3，则x ＝lg3，∴f (3)＝lg3.5．21＋12·log 25的值等于( )A ．2＋ 5B ．2 5C ．2＋52D ．1＋52答案 B解析 21＋12log 25＝2×212log 25＝2×2log 2512＝2×512＝2 5.二、填空题6．若5lg x ＝25，则x 的值为________．答案 100解析 ∵5lg x ＝52，∴lg x ＝2，∴x ＝102＝100.7．设log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n 的值为________．答案 12解析 ∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n ＝3， ∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝(a m )2·a n ＝22×3＝12. 8．已知lg6≈ 2，则 2≈________. 答案 600解析 2≈102×10lg6＝600. 三、解答题9．求下列各式中x 的值(1)若log 3⎝⎛⎭⎫1－2x 9＝1，则求x 值； (2)若log 2 003(x 2－1)＝0，则求x 值．解 (1)∵log 3⎝⎛⎭⎪⎫1－2x 9＝1，∴1－2x 9＝3∴1－2x ＝27，即x ＝－13 (2)∵log 2 003(x 2－1)＝0 ∴x 2－1＝1，即x 2＝2 ∴x ＝±210．求x 的值：(1)x ＝log224；(2)x ＝log 93；(3)x ＝71－log 75； (4)log x 8＝－3；(5)log 12x ＝4.解 (1)由已知得：⎝⎛⎭⎫22x ＝4，∴2－12x ＝22，－x2＝2，x ＝－4.(2)由已知得：9x ＝3，即32x ＝312.∴2x ＝12，x ＝14.(3)x ＝7÷7log 75＝7÷5＝75.(4)由已知得：x －3＝8，即⎝⎛⎭⎫1x 3＝23，1x ＝2，x ＝12. (5)由已知得：x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116.2.2.1 对数与对数运算(二)学习目标1．掌握对数的运算性质及其推导．2．能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．自学导引1．对数的运算性质：如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，那么， (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a MN＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．2．对数换底公式：log a b ＝log c blog c a.一、正确理解对数运算性质例1 若a >0，a ≠1，x >0，y >0，x >y ，下列式子中正确的个数有( ) ①log a x · log a y ＝log a (x ＋y )； ②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a xy＝log a x ÷log a y ；④log a (xy )＝log a x ·log a y .A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案 A解析对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算，如log a x ≠log a ·x ，log a x 是不可分开的一个整体．四个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的．点评正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件．变式迁移1 若a >0且a ≠1，x >0，n ∈N *，则下列各式正确的是( )A ．log a x ＝－log a 1xB ．(log a x )n ＝n log a xC ．(log a x )n ＝log a x nD ．log a x ＝log a 1x答案 A二、对数运算性质的应用例2 计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－；(2)2(lg 2)2＋lg 2·lg5＋(lg 2)2－lg2＋1； (3)错误!； (4)(lg5)2＋lg2·lg50. 分析利用对数运算性质计算．解 (1)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55 ＝2log 55＝2.(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg5)＋(lg 2－1)2＝lg 2(lg2＋lg5)＋1－lg 2＝lg 2＋1－lg 2＝1.(3)原式＝32lg3＋3lg2－32lg3＋2lg2－1＝3lg3＋6lg2－32(lg3＋2lg2－1)＝32.(4)原式＝(lg5)2＋lg2·(lg2＋2lg5)＝(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝(lg5＋lg2)2＝1.点评要灵活运用有关公式．注意公式的正用、逆用及变形使用．变式迁移2 求下列各式的值：(1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514；(2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64. 解 (1)原式＝log 5(5×7)－2log 2212＋log 5(52×2)－log 5(2×7)＝1＋log 57－1＋2＋log 52－log 52－log 57＝2.(2)原式＝[log 262＋log 62·log 6(3×6)]÷log 622 ＝log 62(log 62＋log 63＋1)÷(2log 62)＝1.三、换底公式的应用例3 (1)设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值；(2)已知log 189＝a,18b＝5，求log 3645. 解 (1)由已知分别求出x 和y . ∵3x ＝36,4y ＝36， ∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式得： x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364，∴1x ＝log 363，1y ＝log 364， ∴2x ＋1y ＝2log 363＋log 364 ＝log 36(32×4)＝log 3636＝1. (2)∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b .∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－a .点评指数式化为对数式后，两对数式的底不同，但式子两端取倒数后，利用对数的换底公式可将差异消除．变式迁移3 (1)设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m ； (2)已知log 1227＝a ，求log 616的值．解 (1)利用换底公式，得lg4lg3·lg8lg4·lg mlg8＝2，∴lg m ＝2lg3，于是m ＝9.(2)由log 1227＝a ，得3lg32lg2＋lg3＝a ，∴lg3＝2a lg23－a ，∴lg3lg2＝2a3－a .∴log 616＝4lg2lg3＋lg2＝42a 3－a ＋1＝4(3－a )3＋a.1．对于同底的对数的化简常用方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．2．对于常用对数的化简要充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题． 3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．一、选择题1．lg8＋3lg5的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 答案 D解析 lg8＋3lg5＝lg8＋lg53＝lg1 000＝3. 2．已知lg2＝a ，lg3＝b ，则log 36等于( )答案 B解析 log 36＝lg6lg3＝lg2＋lg3lg3＝a ＋bb.3．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝⎛⎭⎫lg ab 2的值等于( ) A ．2 C ．4答案 A解析由根与系数的关系，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，∴⎝⎛⎭⎫lg ab 2＝(lg a －lg b )2 ＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b＝22－4×12＝2.4．若＝1 000,＝1 000，则1x －1y等于( )B ．3C ．－13D ．－3答案 A解析由指数式转化为对数式：x ＝ 000，y ＝ 000，则1x －1y ＝log 1 －log 1 ＝log 1 00010＝13. 5．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 005)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 005)的值等于( )A ．4B ．8C ．16D ．2log a 8答案 C解析因为f (x )＝log a x ，f (x 1x 2…x 2 005)＝8，所以f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 005) ＝log a x 21＋log a x 22＋…＋log a x 22 005＝2log a |x 1|＋2log a |x 2|＋…＋2log a |x 2 005| ＝2log a |x 1x 2…x 2 005|＝2f (x 1x 2…x 2 005)＝2×8＝16. 二、填空题6．设lg2＝a ，lg3＝b ，那么lg 错误!＝__________.答案 a ＋2b －12解析 lg 错误!＝错误!＝错误!lg 错误!＝错误!lg 错误! ＝12(lg2＋lg9－1)＝12(a ＋2b －1)． 7．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log abc x 的值为____．答案 1解析 log abc x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c∵log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6∴log x a ＝12，log x b ＝13，log x c ＝16，∴log abc x ＝112＋13＋16＝11＝1.8．已知log 63＝ 1，log 6x ＝ 9，则x ＝________. 答案 2解析由log 63＋log 6x ＝ 1＋ 9＝1.得log 6(3x )＝1.故3x ＝6，x ＝2. 三、解答题9．求下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2.解 (1)方法一原式＝12(5lg2－2lg7)－43·32lg2＋12(2lg7＋lg5) ＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5 ＝12lg2＋12lg5＝12(lg2＋lg5) ＝12lg10＝12. 方法二原式＝lg 427－lg4＋lg7 5＝lg 42×757×4＝lg(2·5)＝lg 10＝12.(2)方法一原式＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2＝lg10·lg 52＋lg4＝lg ⎝⎛⎭⎫52×4＝lg10＝1. 方法二原式＝(lg10－lg2)2＋2lg2－lg 22 ＝1－2lg2＋lg 22＋2lg2－lg 22＝1.10．若26a ＝33b ＝62c ，求证：1a ＋2b ＝3c .证明设26a ＝33b ＝62c ＝k (k >0)，那么 ⎩⎪⎨⎪⎧6a ＝log 2k ，3b ＝log 3k ，2c ＝log 6k ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝6log 2k＝6log k 2，1b ＝3log 3k ＝3log k3，1c ＝2log 6k ＝2log k6.∴1a ＋2b＝6·log k 2＋2×3log k 3 ＝log k (26×36)＝6log k 6＝3×2log k 6＝3c，即1a ＋2b ＝3c. 2．对数函数及其性质1．对数函数的概念形如y ＝log a x (a >0且a ≠1)的函数叫做对数函数．对于对数函数定义的理解，要注意：(1)对数函数是由指数函数变化而来的，由指数式与对数式关系知，对数函数的自变量x 恰好是指数函数的函数值y ，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)；(2)对数函数的解析式y ＝log a x 中，log a x 前面的系数为1，自变量在真数的位置，底数a 必须满足a >0，且a ≠1；(3)以10为底的对数函数为y ＝lg x ，以e 为底的对数函数为y ＝ln x . 2．对数函数的图象及性质：a>10<a<1 图象性质函数的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)函数图象恒过定点(1，0)，即恒有log a1＝0当x>1时，恒有y>0；当0<x<1时，恒有y<0当x>1时，恒有y<0；当0<x<1时，恒有y>0函数在定义域(0，＋∞)上为增函数函数在定义域(0，＋∞)上为减函数3.指数函数与对数函数的关系比较名称指数函数对数函数解析式y＝a x (a>0，且a≠1)y＝log a x(a>0，且a≠1) 定义域(－∞，＋∞)(0，＋∞)值域(0，＋∞)(－∞，＋∞)函数值变化情况a>1时，()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<==>>1111xxxa x；0<a<1时，x()()()⎪⎩⎪⎨⎧<>==><1111xxxa xa>1时，log a x()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<>==>>111xxx；0<a<1时，log a x()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<>==><111xxx图象必过定点点(0,1)点(1,0)单调性a>1时，y＝a x是增函数；0<a<1时，y＝a x是减函数a>1时，y＝log a x是增函数；0<a<1时，y＝log a x是减函数图象y＝a x的图象与y＝log a x的图象关于直线y＝x对称m(1)当(m－1)(n－1)>0，即m、n范围相同(相对于“1”而言)，则log m n>0；(2)当(m－1)(n －1)<0，即m、n范围相反(相对于“1”而言)，则log m n<0.有了这个规律，我们再判断对数值的正负就很简单了，如log 213<0，log 52>0等，一眼就看出来了！题型一求函数定义域求下列函数的定义域：(1)y ＝log 3x －12x ＋3x －1； (2)y ＝11－log a (x ＋a ) (a >0，a ≠1)．分析定义域即使函数解析式有意义的x 的范围．解 (1)要使函数有意义，必须{2x ＋3>0，x －1>0，3x －1>0，3x －1≠1同时成立，解得⎩⎨⎧x >－32，x >1，x >13，x ≠23. ∴x >1. ∴定义域为(1，＋∞)．(2)要使原函数有意义，需1－log a (x ＋a )>0，即log a (x ＋a )<1＝log a a .当a >1时，0<x ＋a <a ，∴－a <x <0. 当0<a <1时，x ＋a >a ，∴x >0.∴当a >1时，原函数定义域为{x |－a <x <0}；当0<a <1时，原函数定义域为{x |x >0}．点评求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑：真数大于零，底数大于零且不等于1，若分母中含有x ，还要考虑不能使分母为零．题型二对数单调性的应用(1)log 43，log 34，log4334的大小顺序为( )A ．log 34<log 43<log 4334B ．log 34>log 43>log 4334C ．log 34>log 4334>log 43D ．log 4334>log 34>log 43(2)若a 2>b >a >1，试比较log a a b ，log b ba ，logb a ，log a b 的大小．(1)解析 ∵log 34>1,0<log 43<1，log 4334＝log 43⎝⎛⎭⎫43－1＝－1， ∴log 34>log 43>log 4334.答案 B(2)解 ∵b >a >1，∴0<ab<1.∴log a a b <0，log b ba∈(0,1)，log b a ∈(0,1)．又a >b a >1，且b >1，∴log b ba<log b a ，故有log a a b <log b ba<log b a <log a b .点评比较对数的大小，一般遵循以下几条原则：①如果两对数的底数相同，则由对数函数的单调性(底数a >1为增；0<a <1为减)比较． ②如果两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量进行比较．③如果两对数的底数不同而真数相同，如y ＝log a 1x 与y ＝log a 2x 的比较(a 1>0，a 1≠1，a 2>0，a 2≠1)．当a 1>a 2>1时，曲线y 1比y 2的图象(在第一象限内)上升得慢．即当x >1时，y 1<y 2；当0<x <1时，y 1>y 2.而在第一象限内，图象越靠近x 轴对数函数的底数越大．当0<a 2<a 1<1时，曲线y 1比y 2的图象(在第四象限内)下降得快．即当x >1时，y 1<y 2；当0<x <1时，y 1>y 2即在第四象限内，图象越靠近x 轴的对数函数的底数越小．已知log a 12<1，那么a 的取值范围是________．分析利用函数单调性或利用数形结合求解．解析由log a 12<1＝log a a ，得当a >1时，显然符合上述不等式，∴a >1；当0<a <1时，a <12，∴0<a <12. 故a >1或0<a <12.答案 a >1或0<a <12点评解含有对数符号的不等式时，必须注意对数的底数是大于1还是小于1，然后再利用相应的对数函数的单调性进行解答．理解会用以下几个结论很有必要：(1)当a >1时，log a x >0⇔x >1，log a x <0⇔0<x <1； (2)当0<a <1时，log a x >0⇔0<x <1，log a x <0⇔x >1.题型三函数图象的应用若不等式2x －log a x <0，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时恒成立，求实数a 的取值范围．解要使不等式2x<logax 在x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0时恒成立，即函数y=logax 的图象在⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0内恒在函数y=2x 图象的上方，而y=2x 图象过点⎪⎭⎫⎝⎛2,21.由图可知，loga 21>2，显然这里0<a<1，∴函数y=logax 递减．又loga21>2=log 2a a ，∴a2>21，即a>2221⎪⎭⎫ ⎝⎛.∴所求的a 的取值范围为2221⎪⎭⎫⎝⎛<a<1.点评原问题等价于当x ∈⎪⎭⎫⎝⎛21,0时，y1=2x 的图象在y2=logax 的图象的下方，由于a的大小不确定，当a>1时，显然y2<y1，因此a 必为小于1的正数，当y2的图象通过点⎪⎭⎫⎝⎛2,21时，y2满足条件，此时a 0=2221⎪⎭⎫⎝⎛.那么a 是大于a 0还是小于a 0才满足呢？可以画图象观察，请试着画一画．这样可以对数形结合的方法有更好地掌握．设函数f (x )＝lg(ax 2＋2x ＋1)，若f (x )的值域是R ，求实数a 的取值范围．错解 ∵f (x )的值域是R ， ∴ax 2＋2x ＋1>0对x ∈R 恒成立，即{ a >0Δ<0⇔{a >04－4a <0⇔a >1.错因分析出错的原因是分不清定义域为R 与值域为R 的区别．正解函数f (x )＝lg(ax 2＋2x ＋1)的值域是R⇔真数t ＝ax 2＋2x ＋1能取到所有的正数．当a ＝0时，只要x >－12，即可使真数t 取到所有的正数，符合要求；当a ≠0时，必须有{ a >0Δ≥0⇔{a >04－4a ≥0⇔0<a ≤1. ∴f (x )的值域为R 时，实数a 的取值范围为[0,1]．本节内容在高考中考查的形式、地位与指数函数相似，着重考查对数的概念与对数函数的单调性，考查指数、对数函数的图象、性质及其应用．1．(广东高考)已知函数f (x )＝11－x的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N等于( )A ．{x |x >－1}B ．{x |x <1}C ．{x |－1<x <1}D ．∅解析由题意知M ＝{x |x <1}，N ＝{x |x >－1}．故M ∩N ＝{x |－1<x <1}．答案 C2．(湖南高考)下列不等式成立的是( ) A ．log 32<log 23<log 25 B ．log 32<log 25<log 23 C ．log 23<log 32<log 25 D ．log 23<log 25<log 32解析 ∵y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数， ∴log 25>log 23>log 22＝1.又y ＝log 3x 在(0，＋∞)上为增函数，∴log 32<log 33＝1.∴log 32<log 23<log 25. 答案 A3．(全国高考)若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( ) A ．a 0.∴a >b . c －a ＝t 3－t ＝t (t 2－1)＝t (t ＋1)(t －1)，又∵－1<t <0，∴0<t ＋1<1，－2<t －1<－1，∴c －a >0，∴c >a . ∴c >a >b . 答案 C1．已知函数f (x )＝1＋2x 的定义域为集合M ，g (x )＝ln(1－x )的定义域为集合N ，则M ∩N 等于( )A ．{x |x >－1}B ．{x |x <1} D ．∅ 答案 C2．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x，若f (a )＝12，则f (－a )等于( )B ．－12C ．－2D ．2答案 B解析 f (－a )＝lg 1＋a1－a ＝－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 1－a －1＝－lg 1－a 1＋a＝－f (a )＝－12.3．已知a ＝log 23，b ＝log 32，c ＝log 42，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c 1，b ＝log 3 2<1，所以a >b ；又因为2>3，则log 32>log 33＝12，而log 42＝log 22＝12，所以b >12，c ＝12，即b >c .从而a >b >c .4．函数f (x )＝lg|x |为( )A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上是减函数B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上是增函数C ．偶函数，在区间(－∞，0)上是增函数D ．偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数答案 D解析已知函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于坐标原点对称，且f (－x )＝lg|－x |＝lg|x |＝f (x )，所以它是偶函数．又当x >0时，|x |＝x ，即函数y ＝lg|x |在区间(0，＋∞)上是增函数．又f (x )为偶函数，所以f (x )＝lg|x |在区间(－∞，0)上是减函数．5．函数y ＝a x 与y ＝－log a x (a >0，且a ≠1)在同一坐标系中的图象只可能为( )答案 A解析方法一若0<a <1，则曲线y ＝a x 下降且过(0,1)，而曲线y ＝－log a x 上升且过(1,0)；若a >1，则曲线y ＝a x 上升且过(0,1)，而曲线y ＝－log a x 下降且过(1,0)．只有选项A 满足条件．方法二注意到y ＝－log a x 的图象关于x 轴对称的图象的表达式为y ＝log a x ，又y ＝log a x 与y ＝a x 互为反函数(图象关于直线y ＝x 对称)，则可直接选定选项A.6．设函数f (x )＝log 2a (x ＋1)，若对于区间(－1,0)内的每一个x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为( )A ．(0，＋∞)答案 D 解析已知－1<x <0，则0<x ＋1<1，又当－1<x <0时，都有f (x )>0，即0<x ＋1<1时都有f (x )>0，所以0<2a <1，即0<a <12.7．若指数函数f (x )＝a x (x ∈R )的部分对应值如下表：x －2 0 2 f (x ) 1则不等式log a (x －1)<0答案 {x |1<x <2}解析由题可知a ＝，∴(x －1)<0， ∴(x －1)<，解得x <2，又∵x －1>0，即x >1，∴1<x <2. 故原不等式的解集为{x |1<x <2}．8．函数y ＝log a x (1≤x ≤2)的值域为[－1,0]，那么a 的值为________．答案 12解析若a >1，则函数y ＝log a x 在区间[1,2]上为增函数，其值域不可能为[－1,0]；故0<a <1，此时当x ＝2时，y 取最小值－1，即log a 2＝－1，得a －1＝2，所以a ＝12.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x <1log ax ，x ≥1是实数集R 上的减函数，那么实数a 的取值范围为__________．答案 ⎣⎡⎭⎫17，13解析函数f (x )为实数集R 上的减函数，一方面，0<a <1且3a －1<0，所以0<a <13，另一方面，由于f (x )在R 上为减函数，因此应有(3a －1)×1＋4a ≥log a 1，即a ≥17.因此满足题意的实数a 的取值范围为17≤a <13.10．已知f (x )＝1＋log 2x (1≤x ≤4)，求函数g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)的最大值和最小值．解 ∵f (x )的定义域为[1,4]， ∴g (x )的定义域为[1,2]．∵g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)＝(1＋log 2x )2＋(1＋log 2x 2) ＝(log 2x ＋2)2－2，又1≤x ≤2，∴0≤log 2x ≤1. ∴当x ＝1时，g (x )min ＝2；当x ＝2时，g (x )max =7.学习目标1．掌握对数函数的概念、图象和性质．2．能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质，把握指数函数与对数函数关系的实质．自学导引1．对数函数的定义：一般地，我们把函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象与性质定义y＝log a x (a>0，且a≠1)底数a>10<a<1图象定义域(0，＋∞)值域R单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数共点性图象过点(1,0)，即log a1＝0函数值特点x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]对称性函数y＝log a x与y＝log1a x的图象关于x轴对称对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)和指数函数y＝a x_(a>0且a≠1)互为反函数．一、对数函数的图象例1 下图是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 值取3，43，35，110，则图象C 1，C 2，C 3，C 4相应的a 值依次是( )A.101,53,34,3B ．53,101,34,3 C ．101,53,3,34D ．53,101,3,34答案 A解析方法一因为对数的底数越大，函数的图象越远离y 轴的正方向，所以C1，C2，C3，C4的a 值依次由大到小，即C1，C2，C3，C4的a 值依次为101,53,34,3. 方法二过(0,1)作平行于x 轴的直线，与C1，C2，C3，C4的交点的横坐标为(a1,1)，(a2,1)，(a3,1)，(a4,1)，其中a1，a2，a3，a4分别为各对数的底，显然a1>a2>a3>a4，所以C1，C2，C3，C4的底值依次由大到小．点评函数y=logax (a>0，且a ≠1)的底数a 的变化对图象位置的影响如下：①上下比较：在直线x=1的右侧，底数大于1时，底数越大，图象越靠近x 轴；底数大于0且小于1时，底数越小，图象越靠近x 轴．②左右比较：(比较图象与y=1的交点)交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．变式迁移1 借助图象比较m ，n 的大小关系： (1)若logm5>logn5，则m n ； (2)若>，则m n. 答案 (1)< (2)>二、求函数的定义域例2 求下列函数的定义域：(1)y ＝3log 2x ； (2)y ＝4x －3)； (3)y ＝log (x ＋1)(2－x )．分析定义域即使函数解析式有意义的x 的范围．解 (1)∵该函数是奇次根式，要使函数有意义，只要对数的真数是正数即可， ∴定义域是{x |x >0}． (2)要使函数y ＝4x －3)有意义，必须(4x －3)≥0＝，∴0<4x －3≤1.解得34<x ≤1.∴定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |34<x ≤1.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0x ＋1≠12－x >0，得⎩⎨⎧x >－1x ≠0，x <2即0<x <2或－1<x <0，所求定义域为(－1,0)∪(0,2)．点评求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性的解不等式．变式迁移2 求y ＝log a (4x －3)(a >0，a ≠1)的定义域．解 log a (4x －3)≥0.(*)当a >1时，(*)可化为log a (4x －3)≥log a 1， ∴4x －3≥1，x ≥1. 当0<a <1时，(*)可化为 log a (4x －3)≥log a 1，∴0<4x －3≤1，34<x ≤1.综上所述，当a >1时，函数定义域为[1，＋∞)，当0<a <1时，函数定义域为⎝⎛⎦⎤34，1.三、对数函数单调性的应用例3 比较大小： (1)与；(2)log 35与log 64.分析从比较底数、真数是否相同入手．解 (1)考查对数函数y ＝在(0，＋∞)内是减函数，∵<2，∴和log 64的底数和真数都不相同，找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性，即可求解．∵log 35>log 33＝1＝log 66>log 64， ∴log 35>log 64.点评比较两个对数值的大小，常用方法有：①底数相同真数不同时，用函数的单调性来比较；②底数不同而真数相同时，常借助图象比较，也可用换底公式转化为同底数的对数后比较；③底数与真数都不同，需寻求中间值比较．变式迁移3 比较下列各组中两个值的大小： (1)log 0.52.7，； (2)log 34，log 65； (3)log a π，log a e (a >0且a ≠1)．解 (1)∵0<<1，∴对数函数y ＝在(0，＋∞)上是减函数．又∵<，∴log 0.52.7>在(0，＋∞)上是增函数，∴log 34>log 33＝1.∵y ＝log 6x 在(0，＋∞)上是增函数， ∴log 65<log 66＝1. ∴log 34>log 65.(3)当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数． ∵π>e ，∴log a π>log a e.当0<a <1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数． ∵π>e ，∴log a π<log a e.综上可知，当a >1时，log a π>log a e ；当0<a <1时，log a π<log a e.例4 若－1<log a 34<1，求a 的取值范围．分析此不等式为对数不等式且底数为参数．解答本题可根据对数函数的单调性转化为一般不等式求解，同时应注意分类讨论．解－1<log a 34<1⇔log a 1a <log a 34<log a a .当a >1时，1a <34<a ，∴a >43.当0<a <1时，1a >34>a ，∴0<a <34.∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，34∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞. 点评 (1)解对数不等式问题通常转化为不等式组求解，其依据是对数函数的单调性． (2)解决与对数函数相关的问题时要遵循“定义域优先”原则． (3)若含有字母，应考虑分类讨论．变式迁移4 已知log a (2a ＋1)<log a 3a <0，求a 的取值范围．解 log a (2a ＋1)<log a 3a <0(*)当a >1时，(*)可化为⎩⎨⎧0<2a ＋1<10<3a <12a ＋1<3a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧－12<a <00<a <13a >1，∴此时a 无解．当0<a <1时，(*)可化为⎩⎨⎧2a ＋1>13a >12a ＋1>3a，解得⎩⎨⎧a >0a >13a <1，∴13<a <1. 综上所述，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，1.1．求对数函数定义域要注意底数中是否含有自变量，此时底数大于0且不等于1.2．应用对数函数的图象和性质时要注意a>1还是0<a<1。

高中数学必修第一册(人教A版)第二章2.2基本不等式

《基本不等式》教学设计一、教学对象高一三班，班级学生基础稍微薄弱，通过本节课学生能掌握基本不等式的基本应用及其变形，锻炼学生数形结合不同角度的理解能力.二、教材分析本节选自《普通高中教科书·数学必修第一册（人教A版）》的第二章2.2基本不等式，本节课主要是先利用初中学过的完全平方得到基本不等式；并通过在学习算术平均数与几何平均数的定义基础上，引导学生给出基本不等式的代数证明和几何解释；与此同时让学生学会简单应用.算术平均数与几何平均数是不等式这一章的核心，对于不等式的证明及利用基本不等式求最值等应用问题都起到工具性作用.通过本章的学习有利于学生对后面不等式的证明及函数最值、值域的进一步研究，起到铺垫的作用，因此决定了它的重要地位.三、教学目标本节课本着新高考评价体系的“立德树人、服务选才、引导教学”这一高考核心立场，提出如下教学目标：必备知识：1.知道基本不等式的几何背景，能结合具体实例解释基本不等式成立的条件，会运用所学知识证明基本不等式，并能在证明过程中分析不等式成立的条件.2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题，从中领会不等式成立时的三个限制条件（一正、二定、三相等）在求解实际问题的最值中的作用.关键能力：1.用基本不等式数学模型解决实际问题的能力.2.通过适当引导，进一步提高学生独立思考、分析问题、解决问题的能力.学科素养：1.从几何和代数两角度论证基本不等式，培养学生数形结合的思想、直观想象的学科素养.2.结合具体实例，培养学生逻辑推理的数学素养.3.通过解决实际问题，培养学生数学建模和数学抽象的数学素养.核心价值:通过适当引导，加强学生社会主义核心价值体系教育，增强学生社会责任感，形成正确核心价值观.四、教学重点、难点重点：基本不等式的定义、证明方法和几何解释，用基本不等式解决简单的最值问题.难点：基本不等式的几何解释，用基本不等式解决简单的最值问题.五、教学方法与手段教学方法：诱思探究教学法.学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结.教学手段：多媒体辅助教学.六、教学过程（一）基本不等式的定义导入以线段a ,b的和为直径作圆，过点C作垂直于直径AB的弦DE，依次连接AD、BD.问题1：你能用a ,b表示我的们的半弦CD吗？如果我们连接OD,用a ,b表示半径呢？师生活动：（思考片刻）一块回答CD=ab，2ba.问题2：显然半径大于半弦，点C在直径上运动时是否始终半径大于半弦？能否相等？(几何画板展示点C运动状态下的半径与半弦)师生活动：始终半径大于等于半弦（点C与圆心重合时相等）师生一块完善基本不等式，并指出算术平均数和几何平均数，及其基本不等式的文字表述.设计意图：不等式的几何解释是教学的重、难点，直接通过几何图形，将半径和半弦放到直角三角形中，并结合几何画板动态展示，使学生通过直观感知就得到了半径是不小于半弦，从而突破难点的同时引入了我们的基本不等式.（二）基本不等式的证明问题3：我们已经从几何图形直观感知得到了基本不等式，你能从其他角度证明我们的基本不等式吗？结合我们上节课学过的比较两个代数式大小的方法.师生活动：根据提示能迅速想到作差法，并书写证明过程，师生一块补充完善.设计意图：根据不等式的性质，用作差法证明基本不等式，让学生从数形两个角度分别论证基本不等式，培养学生的数形结合思想.（三）基本不等式的应用例1 已知x , y 都是正数，求证：(1)如果和x + y 等于定值S,那么当x=y 时，x y 有最大值214S(2)如果积x y 等于定值P ,那么当x=y 时，x + y 有最小值师生活动：师生一起分析后，由学生思考并让学生在黑板上书写证明过程，师生一块补充完善.问题4：通过本题，你能说说用基本不等式能解决什么样的问题吗？师生活动：学生思考后回答，教师总结：满足“两个正数的和为定值，积有最大值”“积为定值和有最小值”并且总结应用基本不等式求最值时应满足的三个条件.设计意图：用本例示范基本不等式可以用来求最值，并且应用时要满足的条件，为后面的应用作铺垫.12x x x 例：(1)已知>0,求+的最小值.111x x x >-+(2)已知,求+的最小值.2--x x ≤≤(3)已知11,求1的最大值. 问题5：代数式是和式形式，结合例1，是否可以利用基本不等式求它的最小值？师生活动：学生思考后回答。

高中数学新学案同步必修1人教A版全国通用版第二章基本初等函数 2.1 指数函数 2.1.1(一)

解
a－3a2－9＝ a－32a＋3＝|a－3| a＋3，
要使|a－3| a＋3＝(3－a) a＋3成立，
a－3≤0，需解得 a∈[－3,3]. a＋3≥0，
解答
反思与感悟
对于 a，当 n 为偶数时，要注意两点：(1)只有 a≥0 才有
n n n
意义；(2)只要 a有意义， a必不为负.
2
2 2 3
(3)( a－1) ＋ 1－a ＋ 1－a3.
解由题意知a－1≥0，即a≥1.
原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
解答
反思与感悟
n a ≥0 ，
n
n 为奇数时
n n＝ a
a n ＝a ， a 为任意实数均可； n 为偶数时， a 为任意实数 a 均有意义，且 an
跟踪训练 1
若 a2－2a＋1＝a－1，求 a 的取值范围.
解
∵ a －2a＋1＝|a－1|＝a－1，
2
∴a－1≥0，∴a≥1.
解答
类型二利用根式的性质化简或求值
例2
4
化简：
4
(1) 3－π ；
解
4
3－π4＝|3－π|＝π－3.
解答
(2) a－b2(a>b)；
解
a－b ＝|a－b|＝a－b.
3
解
3
1，a≤1， 3 4 a ＋ 1－a ＝a＋|1－a|＝ 2a－1，a>1.
4
解答
类型三有限制条件的根式的化简
例3
解
设－3<x<3，求 x2－2x＋1－ x2＋6x＋9的值.
原式＝ x－12－ x＋32＝|x－1|－|x＋3|，

高一数学人教版必修1 第二章《基本初等函数》同步课件2.2.1.1

其中错误说法的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
数学必修1
第二章基本初等函数(Ⅰ)
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
解析：只有符合 a>0，且 a≠1，N>0，才有 ax＝N⇔x＝logaN，故(2)错误．由定义可知(3)(4)均错误．只有(1)正确．
答案： C
数学必修1
第二章基本初等函数(Ⅰ)
教案·课堂探究
练案·学业达标
解析：因为 lg 10＝1，所以 lg(lg 10)＝lg 1＝0，①正确；因为 ln e＝1，所以 lg(ln e)＝lg 1＝0，②正确；若 10＝lg x，则 x＝1010，③错误；由 log25x＝12，得 x＝2512＝5，④错误．答案： ①②
数学必修1
提示：设ab＝N，则b＝logaN. ∴ab＝alogaN＝N.
数学必修1
第二章基本初等函数(Ⅰ)
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
1．对于下列说法：
(1)零和负数没有对数；
(2)任何一个指数式都可以化成对数式；
(3)以 10 为底的对数叫做自然对数；
(4)以 e 为底的对数叫做常用对数．
数学必修1
第二章基本初等函数(Ⅰ)
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)3－2＝19；(2)43＝64； (3)log1327＝－3；(4)log x64＝－6.
数学必修1
第二章基本初等函数(Ⅰ)
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标

人教A版高中数学必修一第二章基本初等函数(I)学案

【三维设计】高中数学第二章基本初等函数（I）学案新人教A版必修12.1指数函数2．1.1 指数与指数幂的运算第一课时根式[提出问题](1)若x2＝9，则x是9的平方根，且x＝±3；(2)若x3＝64，则x是64的立方根，且x＝4；(3)若x4＝81，则x是81的4次方根，且x＝±3；(4)若x5＝－32，则x是－32的5次方根，且x＝－2.问题1：观察(1)(3)，你认为正数的偶次方根都是两个吗？提示：是．问题2：一个数的奇次方根有几个？提示：1个．问题3：由于22＝4，小明说，2是4的平方根；小李说，4的平方根是2，你认为谁说的正确？提示：小明．[导入新知]根式及相关概念(1)a的n次方根定义：如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示：n 为偶数±na[0，＋∞)(3)根式：式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． [化解疑难]根式记号的注意点(1)根式的概念中要求n >1，且n ∈N *.(2)当n 为大于1的奇数时，a 的n 次方根表示为na (a ∈R )；当n 为大于1的偶数时，na (a ≥0)表示a 在实数范围内的一个n 次方根，另一个是－n a ，从而⎝⎛⎭⎫±n a n ＝a .根式的性质[提出问题] 问题1：⎝⎛⎭⎫323，⎝⎛⎭⎫3－23，⎝⎛⎭⎫424分别等于多少？提示：2，－2,2.问题2：3－23，323， 4－24，424分别等于多少？提示：－2,2,2,2.问题3：等式a 2＝a 及(a )2＝a 恒成立吗？提示：当a ≥0时，两式恒成立；当a <0时，a 2＝－a ，(a )2无意义． [导入新知]根式的性质(1)(na )n＝a (n 为奇数时，a ∈R ；n 为偶数时，a ≥0，且n >1)． (2)nan＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 为奇数，且n >1，|a |n 为偶数，且n >1.(3)n0＝0.(4)负数没有偶次方根． [化解疑难](na )n与na n的区别(1)当n 为奇数，且a ∈R 时，有na n＝(na )n＝a ； (2)当n 为偶数，且a ≥0时，有na n＝(na )n＝a .根式的概念[例1] (1)下列说法：①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n 为大于1的奇数时，n a 对任意a ∈R 都有意义；④当n 为大于1的偶数时，na 只有当a ≥0时才有意义．其中说法正确的序号为________．(2)若31a －3有意义，则实数a 的取值范围是________． [解析] (1)①16的4次方根应是±2；②416＝2，所以正确的应为③④.(2)要使31a －3有意义，则a －3≠0，即a ≠3. ∴a 的取值范围是{a |a ≠3}． [答案] (1)③④ (2){a |a ≠3} [类题通法]判断关于n 次方根的结论应关注两点(1)n 的奇偶性决定了n 次方根的个数；(2)n 为奇数时，a 的正负决定着n 次方根的符号． [活学活用]已知m 10＝2，则m 等于( ) A.102B ．－102 C.210D ．±102解析：选D ∵m 10＝2，∴m 是2的10次方根．又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数． ∴m ＝±102.[例2] 化简： (1)nx －πn(x <π，n ∈N *)；(2)4a 2－4a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ≤12.[解] (1)∵x <π，∴x －π<0，当n 为偶数时，n x －πn＝|x －π|＝π－x ；当n 为奇数时，nx －πn＝x －π.综上，nx －πn＝⎩⎪⎨⎪⎧π－x ， n 为偶数，n ∈N *，x －π， n 为奇数，n ∈N *.(2)∵a ≤12，∴1－2a ≥0.∴4a 2－4a ＋1＝2a －12＝|2a －1|＝1－2a .[类题通法]根式化简应注意的问题(1)⎝⎛⎭⎫n a n已暗含了n a 有意义，据n 的奇偶性不同可知a 的取值范围．(2)na n中的a 可以是全体实数，na n的值取决于n 的奇偶性． [活学活用] 求下列各式的值： (1)8x －28；(2)3－22＋(31－2)3.解：(1)8x －28＝|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≥2，2－x ，x <2.(2)因为3－22＝12－22＋(2)2＝(2－1)2，所以3－22＋(31－2)3＝2－12＋1－2＝2－1＋1－2＝0.条件根式的化简[例3] (1)若xy ≠0，则使4x 2y 2＝－2xy 成立的条件可能是( )A ．x >0，y >0B ．x >0，y <0C ．x ≥0，y ≥0D ．x <0，y <0(2)设－3<x <3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值． (1)[解析] ∵4x 2y 2＝2|xy |＝－2xy ， ∴xy ≤0.又∵xy ≠0，∴xy <0，故选B. [答案] B (2)[解] 原式＝x －12－x ＋32＝|x －1|－|x ＋3|.∵－3<x <3，∴当－3<x <1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2. 当1≤x <3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4.∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2－3<x <1，－41≤x ＜3.[类题通法]有条件根式的化简(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．[活学活用]若n <m <0，则m 2＋2mn ＋n 2－m 2－2mn ＋n 2等于( ) A ．2m B ．2n C ．－2mD ．－2n解析：选C 原式＝m ＋n2－m －n2＝|m ＋n |－|m －n |，∵n <m <0，∴m ＋n <0，m －n >0， ∴原式＝－(m ＋n )－(m －n )＝－2m .5.忽略n的范围导致式子na n a∈R化简出错[典例] 化简31＋23＋41－24＝________.[解析] 31＋23＋41－24＝(1＋2)＋|1－2|＝1＋2＋2－1＝2 2.[答案] 2 2[易错防范]1．本题易忽视41－24>0，而误认为41－24＝1－2而导致解题错误．2．对于根式na n的化简一定要注意n为正奇数还是正偶数，因为na n＝a(a∈R)成立的条件是n为正奇数，如果n为正偶数，那么na n＝|a|.[活学活用]当a，b∈R时，下列各式恒成立的是( )A．(4a－4b)4＝a－bB．(4a＋b)4＝a＋bC.4a4－4b4＝a－bD.4a＋b4＝a＋b解析：选B 当且仅当a＝b≥0时，(4a－4b)4＝a－b；当且仅当a≥0，b≥0时，4a4－4b4＝a－b；当且仅当a＋b≥0时，4a＋b4＝a＋b.由于a，b符号未知，因此选项A，C，D均不一定恒成立．选项B中，由4a＋b可知a＋b≥0，所以(4a＋b)4＝a＋b.故选B.[随堂即时演练]1．化简1－2x2⎝ ⎛⎭⎪⎫x >12的结果是( ) A ．1－2x B ．0 C ．2x －1 D ．(1－2x )2解析：选C ∵1－2x2＝|1－2x |，x >12，∴1－2x <0， ∴1－2x2＝2x －1.2．下列式子中成立的是( ) A ．a －a ＝－a 3B ．a －a ＝－a 3C ．a －a ＝－－a 3D ．a －a ＝a 3解析：选C 要使a －a 有意义，则a ≤0，故a －a ＝－(－a )－a ＝－－a2－a ＝－－a 3，故选C.3．若x >3，则x 2－6x ＋9－|2－x |＝________. 解析：x 2－6x ＋9－|2－x |＝x －32－|2－x |＝|x －3|－|2－x |＝x －3－(x －2)＝－1.答案：－1 4．化简(a －1)2＋1－a2＋31－a3＝________.解析：由根式a －1有意义可得a －1≥0，即a ≥1， ∴原式＝(a －1)＋(a －1)＋(1－a )＝a －1. 答案：a －15．已知a 1，n ∈N *，化简na －bn＋na ＋bn.解：∵a <b <0，∴a －b <0，a ＋b <0.当n 是奇数时，原式＝(a －b )＋(a ＋b )＝2a ；当n 是偶数时，原式＝|a －b |＋|a ＋b | ＝(b －a )＋(－a －b )＝－2a . ∴na －bn＋na ＋bn＝⎩⎪⎨⎪⎧2a ，n 为奇数，－2a ，n 为偶数.[课时达标检测]一、选择题1.4a －2＋(a －4)0有意义，则a 的取值范围是( ) A ．a ≠2 B ．a ≥2C ．a ≠4D ．2≤a ＜4或a ＞4解析：选D 要使原式有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥0，a －4≠0，即a ≥2且a ≠4.2.3－63＋45－44＋35－43的值为( ) A ．－6 B ．25－2 C ．2 5D ．6解析：选A 3－63＝－6，45－44＝|5－4|＝4－5， 35－43＝5－4，∴原式＝－6＋4－5＋5－4＝－6. 3．化简x ＋32－3x －33得( ) A ．6 B ．2xC ．6或－2xD ．6或2x 或－2x解析：选C 注意开偶次方根要加绝对值，x ＋32－3x －33＝|x ＋3|－(x －3)＝⎩⎪⎨⎪⎧6，x ≥－3，－2x ，x <－3，故选C.4.7＋43＋7－43等于( ) A ．－4B ．2 3C ．－2 3D ．4解析：选D7＋43＋7－43＝2＋32＋2－32＝(2＋3)＋(2－3)＝4.5.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋0.1的图象如图所示，则4a －b4的值为( )A ．a ＋bB ．－(a ＋b )C ．a －bD ．b －a解析：选D 由图象知a (－1)2＋b ×(－1)＋0.1<0，∴a 0，∴(－m )2＝－m . 答案：－m7．若x 2－8x ＋16＝x －4，则实数x 的取值范围是________．解析：∵x 2－8x ＋16＝x －42＝|x －4|又x 2－8x ＋16＝x －4， ∴|x －4|＝x －4，∴x ≥4. 答案：x ≥48．设f (x )＝x 2－4，若0＜a ≤1，则f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＝________.解析：f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2－4＝a 2＋1a2－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ，由于0＜a ≤1，所以a ≤1a，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＝1a－a .答案：1a－a9．写出使下列等式成立的x 的取值范围：(1)3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －33＝1x －3； (2)x －5x 2－25＝(5－x )x ＋5.解：(1)要使3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －33＝1x －3成立，只需x －3≠0即可，即x ≠3. (2)x －5x 2－25＝x －52x ＋5.要使x －52x ＋5＝(5－x )x ＋5成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥0，x －5≤0，即－5≤x ≤5.10．化简(a－1)2＋1－a2＋7a－17.解：由题意可知a－1有意义，∴a≥1.∴原式＝(a－1)＋|1－a|＋(a－1)＝a－1＋a－1＋a－1＝3a－3.第二课时指数幂及运算分数指数幂的意义[提出问题]问题1：判断下列运算是否正确．(1) 5a10＝5a25＝a2＝a4105(a>0)；(2)3a12＝3a43＝a4＝a123(a>0)．提示：正确．问题2：能否把4a3，3b2，4c5写成下列形式：4a3＝a 34(a>0)；3b2＝b 23(b>0)；4c5＝c 54(c>0)．提示：能．[导入新知]分数指数幂的意义(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：a mn＝na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．(2)规定正mn数的负分数指数幂的意义是：amn＝1anm)＝1na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．[化解疑难]对分数指数幂的理解(1)指数幂a m n 不可以理解为m n个a 相乘，它是根式的一种新写法．在定义的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式上不同而已，这种写法更便于指数运算，所以分数指数幂与根式可以相互转化；(2)通常规定分数指数幂的底数a >0，但要注意在像(－a )14＝4－a 中的a ，则需要a ≤0.有理指数幂的运算性质[导入新知]有理数指数幂的运算性质(1)a r a s＝ar ＋s(a >0，r ，s ∈Q )；(2)(a r )s ＝a rs(a >0，r ，s ∈Q )； (3)(ab )r＝a r·b r(a >0，b >0，r ∈Q )． [化解疑难]有理指数幂的运算性质的理解与巧记(1)有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来，可以用文字语言叙述为：①同底数幂相乘，底数不变，指数相加；②幂的幂，底数不变，指数相乘；③积的幂等于幂的积．(2)有理数指数幂的运算性质中幂指数运算法则遵循：乘相加，除相减，幂相乘．根式与分数指数幂的互化[例1] (1)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) A ．－x ＝(－x )12(x >0) B.6y 2＝y 13(y <0) C ．x34＝41x3(x >0)D ．x13－＝－3x (x ≠0)(2)用分数指数幂的形式表示下列各式． ①a 2·a (a >0)； ②a a (a >0)；③⎝⎛⎭⎪⎫4b －2323- (b >0)；④y 2xx 3y 3y 6x 3(x >0，y >0)． (1)[解析] －x ＝－x 12(x >0)； 6y 2＝[(y )2] 16＝－y 13(y <0)；x 34-＝(x －3) 14＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3(x >0)； x13-＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 13＝31x (x ≠0)． [答案] C(2)[解] ①a 2·a ＝a 2·a 12＝a 2＋12＝a 52. ② a a ＝a ·a 12＝ a 32＝⎝⎛⎭⎫a 3212＝a 32.③原式＝⎣⎡⎦⎤()b 23-1423-＝b212343⎛⎫-⨯⨯- ⎪⎝⎭＝b 19. ④法一：从外向里化为分数指数幂．y 2xx 3y 3y 6x 3＝⎝⎛⎭⎪⎫y 2xx 3y3y 6x 312＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤y 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3y 3y 6x 31212 ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y 2x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 3y ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 6x 3 1212 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2x 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3y 14·⎝ ⎛⎭⎪⎫y 6x 3112＝y x12·x 34y14·y 12x14＝x 34·y 23x 34·y14＝y 54.法二：从里向外化为分数指数幂．y 2xx 3y 3y 6x 3＝y 2xx 3y ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 6x 3 13＝y 2x x 3y ·y 2x＝y 2xx 2·y 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y2x ·xy 1212＝y 54.[类题通法]根式与分数指数幂的互化技巧(1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：amn＝na m和am n-＝1am n＝1na m，其中字母a 要使式子有意义．(2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一是由里向外化为分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂．[活学活用]将下列根式化为分数指数幂的形式： (1) 1a1a(a >0)；(2)13x ·5x 22(x >0)； (3) ab3ab 5(a >0，b >0)．解：(1)原式＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 34＝a 34-. (2)原式＝13x ·⎝⎛⎭⎫x 252＝13x ·x 45＝13x95＝1⎝⎛⎭⎫x 9513＝1x35＝x35-.(3)原式＝[ab 3(ab 5) 12]12＝[a ·a 12b 3(b 5) 12]12＝⎝⎛⎭⎫a 32b11212＝a 34b 114.指数幂的运算[例2] 计算下列各式：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫21412-－0.010.5； (2)0.06413-－⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋[(－2)3] 43-＋16－0.75； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫14 12-·4ab －130.1－2a 3b －312(a >0，b >0)．[解] (1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋16－110＝1615. (2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2716.(3)原式＝412·432100·a 32·a 32－·b 32－·b 32＝425a 0b 0＝425.[类题通法]利用指数幂的运算性质化简求值的方法(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示． [活学活用] 计算下列各式的值： (1)0.02713－－⎝ ⎛⎭⎪⎫－17－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27912－()2－10； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫8125 13－－⎝ ⎛⎭⎪⎫－350＋160.75＋0.2512； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－2＋3＋23－2－1.030×⎝ ⎛⎭⎪⎫－623. 解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫271 00013－－⎝ ⎛⎭⎪⎫17－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25912－1＝103－49＋53－1＝－45. (2)原式＝52－1＋1634＋0.5＝52－1＋8＋0.5＝10.(3)原式＝42＋3＋223－2－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫32 123＝16＋5＋26＋346＝21＋114 6.4.含附加条件的幂的求值问题[典例] (12分)已知x ＋y ＝12，xy ＝9，且x <y ，求： (1)x 12＋y 12； (2)x 12－y 12； (3)x －y . [解题流程]求x 12＋y 12，x 12－y 12，x－y 的值，应建立其与x ＋y 及xy 的关系后求解1将x12＋y12，x12－y12平方后即可建立其与x ＋y 及xy 的关系；,2可利用平方差公式将x －y 分解成x 12＋y 12x 12－y12求解x 12＋y122＝x ＋y ＋2xy↓x 12－y122＝x ＋y －2xy↓ (x －y ＝x122－y122＝x 12＋y122＝x 12＋y12x 12－y12[规范解答](1)⎝⎛⎭⎫x 12＋y 122＝x ＋y ＋2xy ＝18，(2分) ∴x 12＋y 12＝3 2.(4分)(2)⎝⎛⎭⎫x 12－y 122＝x ＋y －2xy ＝6，(6分)又x <y ，∴x 12－y 12＝－ 6.(8分)(3)x －y ＝⎝⎛⎭⎫x 122－⎝⎛⎭⎫y 122＝⎝⎛⎭⎫x 12＋y 12⎝⎛⎭⎫x 12-y 12 (10分)＝32×(－6)＝－3×212×212×312＝－6 3.(12分)[名师批注]由x 与x 12，y 与y 12都具有平方关系，故可先求⎝⎛⎭⎫x 12＋y 122，然后求x 12＋y 12的值，解题时常因找不到此关系而使问题不能得以正确求解.易忽视条件x <y ，而得出错误答案.此处巧妙利用了12的结论使问题得以解决.[活学活用]已知a ＋a －1＝5，求下列各式的值； (1)a 2＋a －2； (2)a 12－a12-.解：(1)法一：由a ＋a －1＝5两边平方得：a 2＋2aa －1＋a －2＝25，即：a 2＋a －2＝23；法二：a 2＋a －2＝a 2＋2aa －1＋a －2－2aa －1＝(a ＋a －1)2－2＝25－2＝23；(2)∵(a 12－a 12-)2＝a ＋a －1－2＝5－2＝3，∴|a 12－a12-|＝ 3.∴a 12－a 12-＝± 3.[随堂即时演练]1．若2<a <3，化简2－a2＋43－a4的结果是( )A ．5－2aB ．2a －5C ．1D ．－1解析：选C 由于2<a <3，所以2－a <0,3－a >0，所以原式＝a －2＋3－a ＝1. 2．(－2a 13b34-·(－a 12b13-)6÷(－3a 23b14-)等于( )A.23a 83b 52- B ．－23a 83C ．－23a 16b 56-D.23a 16b 52- 解析：选 A 原式＝(－2)×(－1)6÷(－3)·(a 13b34-)·(a 3·b －2)÷(a 23b14-)＝23a12+333－b312_44⎛⎫⎪⎝⎭－－=23a 83b 52-注意符号不能弄错． 3．若10x＝3,10y＝4，则102x －y＝________.解析：∵10x＝3，∴102x＝9， ∴102x －y＝102x10y ＝94. 答案：944．化简3a a 的结果是________．解析： 3a a ＝()a a 13＝⎝⎛⎭⎫a ·a 1213＝⎝⎛⎭⎫a 3213＝a 12.答案：a 125．计算(或化简)下列各式：(1)42＋1·23－22·6423－；(2)a －ba 12＋b12－a ＋b －2a 12·b12a 12－b12.解：(1)原式＝(22)2＋1·23－22·(26)23－＝222＋2·23－22·2－4＝222＋2＋3－22－4＝21＝2.(2)原式＝a 12＋b12a 12－b12a 12＋b12－a 12－b 122a 12－b12＝a 12－b 12－⎝⎛⎭⎫a 12－b 12＝0.[课时达标检测]一、选择题 1.a 3a ·5a 4(a >0)的值是( )A ．1B ．aC ．a 15D ．a 1710解析：选D 原式＝a 3·a －12·a －45＝a 3－12－45＝a 1710.2．化简[3－52]34的结果为( ) A ．5 B. 5 C ．－ 5 D ．－5解析：选B [3－52]34＝[(－5)23]34＝512＝ 5. 3.⎝ ⎛⎭⎪⎫1120－(1－0.5－2)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫27823的值为( ) A ．－13B.13C.43D.73解析：选D 原式＝1－(1－22)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1－(－3)×49＝73.故选D.4．若a >1，b >0，a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b等于( ) A. 6 B ．2或－2 C ．－2D ．2解析：选D ∵a >1，b >0，∴a b>a －b，(a b－a －b )2＝(a b ＋a －b )2－4＝(22)2－4＝4， ∴a b －a －b＝2.5．设x ，y 是正数，且x y ＝y x，y ＝9x ，则x 的值为( ) A.19 B.43 C ．1D.39解析：选B x 9x＝(9x )x，(x 9)x＝(9x )x， ∴x 9＝9x .∴x 8＝9.∴x ＝89＝43. 二、填空题6．化简a 3b 23ab 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 14b 1243b a (a >0，b >0)的结果是________．解析：原式＝a 3·b 2·a 13·b2312a ·b 2·a －13·b13＝a 32＋16－1＋13·b 1＋13－2－13＝ab.答案：ab7．已知x ＝12(51n －5－1n )，n ∈N *，则(x ＋1＋x 2)n的值为________．解析：因为1＋x 2＝14(52n ＋2＋5－2n )＝14(51n ＋5－1n )2，所以(x ＋1＋x 2)n＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1251n －5－1n ＋1251n ＋5－1n n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫51n n ＝5.答案：58．设a 2＝b 4＝m (a >0，b >0)，且a ＋b ＝6，则m 等于________．解析：∵a 2＝b 4＝m (a >0，b >0)，∴a ＝m 12，b ＝m 14，a ＝b 2.由a ＋b ＝6得b 2＋b －6＝0，解得b ＝2或b ＝－3(舍去)． ∴m 14＝2，m ＝24＝16. 答案：16 三、解答题 9．化简求值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21027－23－3π0＋3748；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－338－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0；(3)(a －2b －3)·(－4a －1b )÷(12a －4b －2c )； (4)23a ÷46a ·b ×3b 3.解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25912＋10.12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6427－23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100. (2)原式＝(－1)－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－12－105－2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23＋(500)12－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. (3)原式＝－4a－2－1b －3＋1÷(12a －4b －2c )＝－13a －3－(－4)b －2－(－2)c －1＝－13ac －1＝－a 3c .(4)原式＝2a 13÷(4a 16b 16)×(3b 32)＝12a 13－16b －16·3b 32＝32a 16b 43. 10．已知a ＝3，求11＋a 14＋11－a 14＋21＋a12＋41＋a 的值．解：11＋a 14＋11－a 14＋21＋a12＋41＋a＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 14＋21＋a 12＋41＋a＝21－a 12＋21＋a12＋41＋a ＝41－a121＋a12＋41＋a＝41－a ＋41＋a ＝81－a2＝－1. 2．1.2 指数函数及其性质第一课时指数函数及其性质指数函数的定义[提出问题]观察下列从数集A 到数集B 的对应： ①A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝2x；②A ＝R ，B ＝(0，＋∞)，f ：x →y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.问题1：这两个对应能构成函数吗？提示：能．问题2：这两个函数有什么特点？提示：底数是常数，指数是自变量． [导入新知]指数函数的定义函数y ＝a x(a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . [化解疑难]指数函数的概念中规定a >0且a ≠1的原因(1)若a ＝0，则当x >0时，a x＝0；当x ≤0时，a x无意义．(2)若a <0，则对于x 的某些数值，可使a x 无意义．如(－2)x，这时对于x ＝14，x ＝12，…，在实数范围内函数值不存在．(3)若a ＝1，则对于任何x ∈R ，a x＝1，是一个常量，没有研究的必要性．为了避免上述各种情况的发生，所以规定a>0，且a≠1.在规定以后，对于任何x∈R，a x都有意义，且a x>0.[提出问题]问题1：试作出函数y＝2x(x∈R)和y＝(12)x(x∈R)的图象．提示：问题2：两函数图象有无交点？提示：有交点，其坐标为(0,1)．问题3：两函数的定义域是什么？值域是什么？单调性如何？提示：定义域都是R；值域都是(0，＋∞)；函数y＝2x是增函数，函数y＝⎝⎛⎭⎪⎫12x是减函数．[导入新知]指数函数的图象和性质R[化解疑难]透析指数函数的图象与性质(1)当底数a 大小不确定时，必须分a >1和0<a <1两种情况讨论函数的图象和性质． (2)当a >1时，x 的值越小，函数的图象越接近x 轴；当0<a <1时，x 的值越大，函数的图象越接近x 轴．(3)指数函数的图象都经过点(0,1)，且图象都在第一、二象限．指数函数的概念[例1] (1)①y ＝2·3x；②y ＝3x ＋1；③y ＝3x ；④y ＝x 3.其中，指数函数的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3(2)函数y ＝(a －2)2a x是指数函数，则( ) A ．a ＝1或a ＝3 B ．a ＝1 C ．a ＝3D ．a >0且a ≠1[解析] (1)①中，3x的系数是2，故①不是指数函数； ②中，y ＝3x ＋1的指数是x ＋1，不是自变量x ，故②不是指数函数；③中，y ＝3x,3x的系数是1，幂的指数是自变量x ，且只有3x一项，故③是指数函数； ④中，y ＝x 3中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．所以只有③是指数函数．(2)由指数函数定义知⎩⎪⎨⎪⎧a －22＝1，a >0，且a ≠1，所以解得a ＝3.[答案] (1)B (2)C [类题通法]判断一个函数是否为指数函数的方法判断一个函数是否是指数函数，其关键是分析该函数是否具备指数函数三大特征： (1)底数a >0，且a ≠1. (2)a x的系数为1.(3)y ＝a x 中“a 是常数”，x 为自变量，自变量在指数位置上． [活学活用]下列函数中是指数函数的是________(填序号)． ①y ＝2·(2)x；②y ＝2x －1；③y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ；④y ＝x x；⑤y ＝3－1x ；⑥y ＝x 13.解析：①中指数式(2)x的系数不为1，故不是指数函数；②中y ＝2x －1＝12·2x，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；④中底数为x ，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；⑤中指数不是x ，故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．故填③.答案：③[例2] (1)xa ，b ，c ，d 与1的大小关系为( )A ．a 0，且a ≠1)的图象过定点________．[解析] (1)由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.过点(1,0)作直线x ＝1，如图所示，在第一象限内直线x ＝1与各曲线的交点的纵坐标即为各指数函数的底数，则1<d <c ，b <a <1，从而可知a ，b ，c ，d 与1的大小关系为b <a <1<d <c .(2)法一：因为指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y ＝a x －3＋3中，令x ＝3，得y ＝1＋3＝4，即函数的图象过定点(3,4)．法二：将原函数变形，得y －3＝ax －3，然后把y －3看作是(x －3)的指数函数，所以当x－3＝0时，y －3＝1，即x ＝3，y ＝4，所以原函数的图象过定点(3,4)．[答案] (1)B (2)(3,4) [类题通法]底数a 对函数图象的影响(1)底数a 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a >1时，指数函数的图象“上升”；当0<a <1时，指数函数的图象“下降”．(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a >1，还是0<a <1，在第一象限内底数越大，函数图象越靠近y 轴．当a >b >1时，①若x >0，则a x >b x>1； ②若x <0，则1>b x>a x>0. 当1>a >b >0时，①若x >0，则1>a x>b x >0； ②若x <0，则b x>a x >1. [活学活用]若函数y ＝a x＋(b －1)(a >0，且a ≠1)的图象不经过第二象限，则有( ) A ．a >1且b <1 B ．0<a <1且b ≤1 C ．0<a <1且b >0D ．a >1且b ≤0解析：选D 由指数函数图象的特征可知0<a <1时，函数y ＝a x＋(b －1)(a >0，且a ≠1)的图象必经过第二象限，故排除选项B 、C.又函数y ＝a x＋(b －1)(a >0，且a ≠1)的图象不经过第二象限，则其图象与y 轴的交点不在x 轴上方，所以当x ＝0时，y ＝a 0＋(b －1)≤0，即b ≤0，故选项D 正确.与指数函数有关的定义域、值域问题[例(1)y ＝1－3x；(2)y ＝21x －4；(3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |.[解] (1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y ＝3x在R 上是增函数，所以x ≤0，故函数y ＝1－3x的定义域为(－∞，0]．因为x ≤0，所以0<3x ≤1，所以0≤1－3x＜1，所以1－3x ∈[0,1)，即函数y ＝1－3x的值域为[0,1)． (2)要使函数式有意义，则x －4≠0，解得x ≠4，所以函数y ＝21x －4的定义域为{x ∈R |x ≠4}．因为1x －4≠0，所以21x －4≠1，即函数y ＝21x －4的值域为{y |y >0且y ≠1}． (3)要使函数式有意义，则－|x |≥0，解得x ＝0，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |的定义域为{x |x＝0}．而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝1，则函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |的值域为{y |y ＝1}．[类题通法]指数型函数的定义域、值域的求法(1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是y ＝a x 型还是y ＝a f (x )型，前者的定义域是R ，后者的定义域与f (x )的定义域一致，而求y ＝f ax型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组)．(2)求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性．[活学活用]求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3的定义域和值域．解：定义域为R .∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16.又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3>0，∴函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3的值域为(0,16]．5.利用换元法求函数的值域[典例] (12分)已知函数y ＝a 2x＋2a x－1(a >0，且a ≠1)，当x ≥0时，求函数f (x )的值域．[解题流程]求函数f x 的值域，应确定函数的类型1若令t ＝a x ，则原函数可变为y ＝t 2＋2t －1，从而可利用二次函数的有关性质解决；2应明确换元后的定义域；3由于t ＝a xa >0，a ≠1，因此应分类确定t 的取值范围令t ＝a x―→分a >1和0<a <1两种情况，讨论t 的范围―→利用二次函数的知识求值域[随堂即时演练]1．已知1>n >m >0，则指数函数①y ＝m x，②y ＝n x的图象为( )解析：选C 由于0<m <n <1，所以y ＝m x与y ＝n x都是减函数，故排除A 、B ，作直线x ＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y ＝m x 的图象，故选C.2．若函数y ＝(1－2a )x是实数集R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ B ．(－∞，0)C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12解析：选B 由题意知，此函数为指数函数，且为实数集R 上的增函数，所以底数1－2a >1，解得a <0.3．指数函数y ＝f (x )的图象过点(2,4)，那么f (2)·f (4)＝________. 解析：设f (x )＝a x(a >0且a ≠1)，又f (2)＝a 2＝4，∴f (2)·f (4)＝a 2·a 4＝4·42＝43＝64. 答案：644．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－1，x ∈[－1,2]的值域为________．解析：∵－1≤x ≤2，∴19≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x≤3.∴－89≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－1≤2.∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－89，2. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－89，2 5．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点(2，12)，其中a >0且a ≠1.(1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．解：(1)因为函数图象过点(2，12)，所以a2－1＝12，则a ＝12. (2)f (x )＝(12)x －1(x ≥0)，由x ≥0得，x －1≥－1，于是0<(12)x －1≤(12)－1＝2.所以函数的值域为(0,2]．[课时达标检测]一、选择题1．下列函数中，指数函数的个数为( )①y ＝(12)x －1；②y ＝a x (a >0，且a ≠1)；③y ＝1x；④y ＝(12)2x －1.A ．0个B ．1个C ．3个D ．4个解析：选B 由指数函数的定义可判定，只有②正确． 2．函数y ＝(3－1)x在R 上是( ) A ．增函数 B ．奇函数 C ．偶函数D ．减函数解析：选D 由于0<3－1<1，所以函数y ＝(3－1)x在R 上是减函数，f (－1)＝(3－1)－1＝3＋12，f (1)＝3－1，则f (－1)≠f (1)，且f (－1)≠－f (1)，所以函数y ＝(3－1)x 不具有奇偶性．3．当x >0时，函数f (x )＝(a 2－1)x的值总大于1，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<|a |< 2 B ．|a |<1 C ．|a |>1D ．|a |> 2解析：选D 依题意得a 2－1>1，a 2>2，∴|a |> 2.4．函数y ＝xa x|x |(0<a <1)的图象的大致形状是( )解析：选D 当x >0时，y ＝a x(0<a <1)，故去掉A 、B ，当x <0时，y ＝－a x，与y ＝a x(0<a <1，x <0)的图象关于x 轴对称，故选D.5．若a >1，－11，且－1<b <0，故其图象如图所示．二、填空题6．给出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x， x ≥3，f x ＋1， x ＜3，则f (2)＝________.解析：f (2)＝f (3)＝23＝8. 答案：87.图中的曲线C 1，C 2，C 3，C 4是指数函数y ＝a x的图象，而a ∈{23，13，5，π}，则图象C 1，C 2，C 3，C 4对应的函数的底数依次是________，________，________，________.解析：由底数变化引起指数函数图象变化的规律，在y 轴右侧，底大图高，在y 轴左侧，底大图低．则知C 2的底数<C 1的底数<1<C 4的底数<C 3的底数，而13<23<5<π，故C 1，C 2，C 3，C 4对应函数的底数依次是23，13，π， 5. 答案：23 13π 58．若x 1，x 2是方程2x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1x ＋1的两个实数解，则x 1＋x 2＝________.解析：∵2x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1x＋1，∴2x＝21x －1，∴x ＝1x－1，∴x 2＋x －1＝0. ∴x 1＋x 2＝－1. 答案：－1 三、解答题9．画出函数y ＝2|x |的图象，观察其图象有什么特征？根据图象指出其值域和单调区间．解：当x ≥0时，y ＝2|x |＝2x ；当x <0时，y ＝2|x |＝2－x ＝(12)x .∴函数y ＝2|x |的图象如图所示，由图象可知，y ＝2|x |的图象关于y 轴对称，且值域是[1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0]，单调递增区间是[0，＋∞)． 10．如果函数y ＝a 2x ＋2a x－1(a >0且a ≠1)在[－1,1]上的最大值为14，求a 的值．解：函数y ＝a 2x＋2a x －1＝(a x ＋1)2－2，x ∈[－1,1]．若a >1，则x ＝1时，函数取最大值a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3.若0<a <1，则x ＝－1时，函数取最大值a －2＋2a －1－1＝14，解得a ＝13.综上所述，a ＝3或13.第二课时指数函数及其性质的应用(习题课)1．指数函数的定义是什么？2．指数函数的定义域和值域分别是什么？3．指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)图象的位置与底数a 之间有什么关系？4．指数函数的单调性与底数之间有什么关系？利用指数函数的单调性比较大小[例1] (1)已知a ＝5－1，函数f (x )＝a x，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________．(2)比较下列各题中两个值的大小：①⎝ ⎛⎭⎪⎫57－1.8，⎝ ⎛⎭⎪⎫57－2.5；②⎝ ⎛⎭⎪⎫23－0.5，⎝ ⎛⎭⎪⎫34－0.5；③0.20.3,0.30.2. (1)[解析] 因为a ＝5－12∈(0,1)，所以函数f (x )＝a x在R 上是减函数．由f (m )>f (n )得m <n .[答案] m <n(2)[解] ①因为0<57<1，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫57x在其定义域R 上单调递减，又－1.8>－2.5，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫57－1.8<⎝ ⎛⎭⎪⎫57－2.5.②在同一平面直角坐标系中画出指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x的图象，如图所示．当x ＝－0.5时，由图象观察可得⎝ ⎛⎭⎪⎫23－0.5>⎝ ⎛⎭⎪⎫34－0.5.③因为0<0.2<0.3<1，所以指数函数y ＝0.2x 与y ＝0.3x在定义域R 上均是减函数，且在区间(0，＋∞)上函数y ＝0.2x 的图象在函数y ＝0.3x 的图象的下方，所以0.20.2<0.30.2.又根据指数函数y ＝0.2x 的性质可得0.20.3<0.20.2，所以0.20.3<0.30.2. [类题通法]三类指数式的大小比较问题(1)底数相同、指数不同：利用指数函数的单调性解决．(2)底数不同、指数相同：利用指数函数的图象解决．在同一平面直角坐标系中画出各个函数的图象，依据底数a 对指数函数图象的影响，按照逆时针方向观察，底数在逐渐增大，然后观察指数所取值对应的函数值即可．(3)底数不同、指数也不同：采用介值法(中间量法)．取中间量1，其中一个大于1，另一个小于1；或者以其中一个指数式的底数为底数，以另一个指数式的指数为指数．比如，要比较a c 与b d 的大小，可取a d 为中间量，a c 与a d 利用函数的单调性比较大小，b d 与a d利用函数的图象比较大小．[活学活用]比较下列各题中两个值的大小： (1)3－1.8,3－2.5；(2)7－0.5,8－0.5；(3)6－0.8,70.7.解：(1)因为3>1，所以函数y ＝3x在定义域R 上单调递增，又－1.8>－2.5，所以3－1.8>3－2.5.(2)依据指数函数中底数a 对函数图象的影响，画出函数y ＝7x与y ＝8x的图象(图略)，可得7－0.5>8－0.5.(3)因为1<6<7，所以指数函数y ＝6x与函数y ＝7x在定义域R 上是增函数，且6－0.8<1,70.7>1，所以6－0.8<70.7.[例2] (1)x 0.5(2)已知0.2x<25，求实数x 的取值范围．[解] (1)因为3>1，所以指数函数f (x )＝3x在R 上是增函数．由3x≥30.5，可得x ≥0.5，即x 的取值范围为[0.5，＋∞)． (2)因为0<0.2<1，所以指数函数f (x )＝0.2x在R 上是减函数．又25＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－2＝0.2－2，所以0.2x <0.2－2，则x >－2，即x 的取值范围为(－2，＋∞)． [类题通法]解指数不等式应注意的问题(1)形如a x>a b的不等式，借助于函数y ＝a x的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论；(2)形如a x>b 的不等式，注意将b 转化为以a 为底数的指数幂的形式，再借助于函数y ＝a x的单调性求解．[活学活用] 如果a－5x>ax ＋7(a >0，且a ≠1)，求x 的取值范围．解：①当a >1时，∵a －5x>ax ＋7，∴－5x >x ＋7，解得x <－76.②当0<a <1时，∵a－5x>ax ＋7，∴－5x <x ＋7解得x >－76.综上所述，当a >1时，x ∈(－∞，－76)；当0<a <1时，x ∈(－76，＋∞).指数函数性质的综合应用[例3] 已知函数f (x )＝2x＋2ax ＋b，且f (1)＝52，f (2)＝174.(1)求a ，b 的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明；(3)判断并证明函数f (x )在[0，＋∞)上的单调性，并求f (x )的值域．[解] (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧f1＝52，f2＝174，∴根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧f1＝2＋2a ＋b＝52，f2＝22＋22a ＋b＝174，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.故a ，b 的值分别为－1,0.(2)由(1)知f (x )＝2x ＋2－x，f (x )的定义域为R ，关于原点对称．因为f (－x )＝2－x＋2x＝f (x )，所以f (x )为偶函数．(3)设任意x 1<x 2，且x 1，x 2∈[0，＋∞)，则f (x 1)－f (x 2)＝(2x 1＋2－x 1)－(2x 2＋2－x 2)＝(2x 1－2x 2)＋⎝⎛⎭⎪⎫12x 1－12x 2＝(2x 1－2x 2)·2x 1＋x 2－12x 1＋x 2.因为x 1<x 2，且x 1，x 2∈[0，＋∞)，所以2x 1－2x 2<0,2x 1＋x 2>1，所以2x 1＋x 2－1>0，则f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．所以f (x )在[0，＋∞)上为增函数．当x ＝0时，函数取得最小值，为f (0)＝1＋1＝2，所以f (x )的值域为[2，＋∞)． [类题通法]解决指数函数性质的综合问题应关注两点(1)指数函数的单调性与底数有关，因此讨论指数函数的单调性时，一定要明确底数与1的大小关系．与指数函数有关的函数的单调性也往往与底数有关，其解决方法一般是利用函数单调性的定义．(2)指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质．[活学活用]已知函数f (x )＝2x－12x ＋1.(1)求证：f (x )是奇函数；(2)用单调性的定义证明：f (x )在R 上是增函数．证明：(1)f (x )的定义域是R ，对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝2－x－12－x ＋1＝2－x－1·2x2－x ＋1·2x ＝1－2x1＋2x ＝－2x－12x＋1＝－f (x )，所以f (x )是奇函数． (2)f (x )＝2x－12x ＋1＝2x＋1－22x ＋1＝1－22x ＋1(可以不分离常数，但分离常数后计算较简单)．设x 1，x 2是R 上的任意两个值，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(1－22x 1＋1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x 2＋1＝22x 2＋1－22x 1＋1＝22x 1－2x 22x 1＋12x 2＋1. 因为x 1<x 2，所以2x 1<2x 2，2x 1＋1>1,2x 2＋1>1，所以2x 1－2x 2<0，则f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在R 上是增函数．6.警惕底数a 对指数函数单调性的影响[典例] 若指数函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在区间[1,2]上的最大值是最小值的2倍，则实数a 的值为________．[解析] 当0<a <1时，f (x )＝a x为减函数，最小值为a 2，最大值为a ，故a ＝2a 2，解得a ＝12.当a >1时，f (x )＝a x为增函数，最小值为a ，最大值为a 2.故a 2＝2a ，解得a ＝2. 综上，a ＝12或a ＝2.[答案] 12或2[易错防范]1．解决上题易忽视对a 的讨论，错认为a 2＝2a ，从而导致得出a ＝2的错误答案． 2．求函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在闭区间[s ，t ]上的最值，应先根据底数的大小对指数函数进行分类．当底数大于1时，指数函数为[s ，t ]上的增函数，最小值为a s，最大值为a t .当底数大于0小于1时，指数函数为[s ，t ]上的减函数，最大值为a s ，最小值为a t .[活学活用]f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为6，则a ＝________.解析：由于a x(a >0，且a ≠1)在[1,2]上是单调函数，故其最大值与最小值之和为a 2＋a ＝6，解得a ＝－3(舍去)，或a ＝2，所以a ＝2.答案：2[随堂即时演练]1．若2x ＋1<1，则x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)解析：选D 不等式2x ＋1<1＝20，∵y ＝2x是增函数，∴x ＋1<0，即x <－1.2．已知三个数a ＝60.7，b ＝0.70.8，c ＝0.80.7，则三个数的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >aD ．a >c >b解析：选D a ＝60.7>60＝1，c ＝0.80.7>0.70.7>0.70.8＝b ，且c ＝0.80.7<0.80＝1，所以a >c >b . 3．不等式2x<22－3x的解集是________．解析：由2x <22－3x得x <2－3x ，即x <12，解集为{x |x <12}．答案：{x |x <12}4．函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值为。

高中数学新学案同步必修1人教A版全国通用版第二章基本初等函数 2.2 对数函数 2.2.1 第2课时

log 45 log189×5 于是 log3645＝ 18 ＝ log1836 log1818×2 ＝ log189＋log185 a＋b ＝ . 2log1818－log189 2－a ∵log189＝a,18b＝5，
方法三
∴lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18， lg 9＋lg 5 lg 45 lg9×5 ∴log3645＝＝ 2 ＝ 18 lg 36 2lg 18－lg 9 lg 9 ＝ alg 18＋blg 18 a＋b ＝ . 2lg 18－alg 18 2－a 此类问题的本质是把目标分解为基本“粒子”，然后用指定字母换元．已知 log23＝a，log37＝b，用 a，b 表示 log4256.
第 2 课时
学习目标
对数的运算
1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式
及其推论.3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．
知识点一
对数运算性质
如果 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN； M (2)loga ＝logaM－logaN； N (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．知识点二思考 1 换底公式
(1)把数字化为质因数的幂、积、商的形式． (2)不同底化为同底．跟踪训练 1 计算：(1)2log63＋log64；
1
1 (2)(lg 25－lg )÷ 100 2 ; 4
(3)log43·log98； (4)log2.56.25＋ln e－ 0.064 3. 考点题点解对数的运算指数对数的混合运算 (1)原式＝log632＋log64＝log6(32×4)＝log6(62)＝2log66＝2.

人教A版高中数学必修1第二章基本初等函数(1)2.2对数函数教案(1)

给学生更加直观的感受。
3、例题讲述
例 1 求下列函数的定义域
（1） y log 0.2 (4 x);
（ 2） y loga x 1(a 0,a 1).
说明：通过例 1 要让学生明确，求解对数函数定义域问题的关键是要抓住“
真数大
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
于零”，当真数为某一代数式时，可将其看作一个整体单独提出来求其大于零的解集即该
函数的定义域
例 2 利用对数函数的性质，比较下列各组数中两个数的大小
⑴ log 23.4 , log 28.5
.
⑵ log 0.31.8 , log 0.32.7
精品文档
⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a
＞0 , a ≠1 )
例 3 比较下列各组中两个值的大小 :
⑴ log 67 , log 7 6 ;
⑵ log 3 π , log 2 0.8 .
说明：例 2 例 3 考察学生利用对数函数性质解决问题的能力，讲解时，先让学生回顾
利用指数函数比较大小时的处理方法，然后引导学生采用类似的方法解决本题。
即：如
果两个对数值同底，应构造一个同底的对数函数，利用它的单调性直接判断；如果底不
同，应构造两个对数函数，借助两个对数函数的单调性和中间值“ 1”或“ 0”进行判断。
上述问题实际上就是从 18
x 20 1.01 ,
x 30 1.01 ,
x
1.01
，...
中分别求出
x，即已知底
13
13
13
数和幂的值，求指数这是我们这节课将要学习的对数函数问题，通过我们学习的对数表示方法，咱们可以把上面的式子表示成：
.

高中数学新学案同步必修1人教A版全国通用版第二章基本初等函数习题课

习题课对数函数学习目标 1.巩固和深化对数及其运算的理解和运用.2.掌握简单的对数函数的图象变换及其应用.3.会综合应用对数函数性质与其他有关知识解决问题．知识点一对数概念及其运算1．由指数式对数式互化可得恒等式：⎭⎪⎬⎪⎫a b ＝Nlog a N ＝b ⇒log a N a ＝N (a >0，且a ≠1)． 2．对数log a N (a >0，且a ≠1)具有下列性质： (1)0和负数没有对数，即N >0； (2)log a 1＝0； (3)log a a ＝1. 3．运算公式已知a >0，且a ≠1，M ，N >0. (1)log a M ＋log a N ＝log a (MN )； (2)log a M －log a N ＝log a MN ；(3)log n m a M ＝mnlog a M ；(4)log a M ＝log c Mlog c a ＝1log Ma(c >0，且c ≠1，M ≠1)．知识点二对数函数及其图象、性质函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数．(1)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)；值域为R ； (2)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过点(1,0)； (3)当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增；当0<a <1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减；(4)直线y ＝1与函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象交点为(a,1)． (5)y ＝log a x 与y ＝a x 的图象关于y ＝x 对称． y ＝log a x 与y ＝1log ax 的图象关于x 轴对称．1．y ＝x 与y ＝log a xa是相等函数．( × )2．＝12log a b .( × )3．若a x >b ，则x >log a b .( × ) 4．y ＝log a (x ＋1)恒过定点(0,0)．( √ )类型一对数式的化简与求值例1 (1)计算：(2log (2；(2)已知2lg x －y2＝lg x ＋lg y ，求(3log .x y－考点对数的运算题点对数的运算性质解 (1)方法一利用对数定义求值：设(2log (2x ＝，则(2＋3)x ＝2－3＝12＋3＝(2＋3)－1，∴x ＝－1.方法二利用对数的运算性质求解：1(2(2(2log (2log log (2 1.-==+=-(2)由已知得lg ⎝⎛⎭⎪⎫x －y 22＝lg xy ， ∴⎝⎛⎭⎪⎫x －y 22＝xy ，即x 2－6xy ＋y 2＝0. ∴⎝⎛⎭⎫x y 2－6⎝⎛⎭⎫x y ＋1＝0. ∴xy＝3±2 2.∵⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＞0，x ＞0，y ＞0，∴x y ＞1，∴xy ＝3＋22，∴(3(3(3log log (3log 1.xy=+==-－－－反思与感悟在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底，指数与对数互化．跟踪训练1 (1)(lg 3)2－lg 9＋1(lg 27＋lg 8－lg 1 000)lg 0.3·lg 1.2＝________.(2)已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________. 考点对数的运算题点指数对数的混合运算答案 (1)－32 (2)2解析 (1)∵(lg 3)2－lg 9＋1＝(lg 3)2－2lg 3＋1＝1－lg 3，lg 27＋lg 8－lg 1 000＝32lg 3＋3lg 2－32＝32(lg 3－1)＋3lg 2＝32(lg 3＋2lg 2－1)， lg 0.3·lg 1.2＝lg310·lg 1210＝(lg 3－1)(lg 12－1) ＝(lg 3－1)(lg 3＋2lg 2－1)， ∴原式＝－32.(2)∵f (ab )＝lg(ab )＝1，∴f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝lg(a 2b 2)＝2lg(ab )＝2. 类型二对数函数图象的应用例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，0<x ≤e ，2－ln x ，x >e ，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，求abc 的取值范围．考点对数函数的图象题点指数、对数函数图象的应用解 f (x )的图象如图：设f (a )＝f (b )＝f (c )＝m ，不妨设a <b <c ，则直线y ＝m 与f (x )交点横坐标从左到右依次为a ，b ，c ，由图象易知0<a <1<b <e<c <e 2， ∴f (a )＝|ln a |＝－ln a ，f (b )＝|ln b |＝ln b .∴－ln a ＝ln b ，ln a ＋ln b ＝0，ln ab ＝ln 1，∴ab ＝1. ∴abc ＝c ∈(e ，e 2)．反思与感悟函数的图象直观形象地显示了函数的性质，因此涉及方程解的个数及不等式的解集等问题大都可以通过函数的图象解决，即利用数形结合思想，使问题简单化．跟踪训练2 已知f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈⎣⎡⎦⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围．考点对数函数的图象题点指数、对数函数图象的应用解 ∵f (x )＝log a x ，则y ＝|f (x )|的图象如图．由图知，要使x ∈⎣⎡⎦⎤13，2时恒有|f (x )|≤1，只需⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫13≤1，即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a 13≤log a a ，亦当a ＞1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3；当0＜a ＜1时，a －1≥13≥a ，得0＜a ≤13.综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，13∪[3，＋∞)．类型三对数函数的综合应用例3 已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a ＞1)，若函数y ＝g (x )图象上任意一点P 关于原点对称的点Q 在函数f (x )的图象上． (1)写出函数g (x )的解析式；(2)当x ∈[0,1)时总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围．考点对数函数的综合问题题点与最值有关的对数函数综合问题解 (1)设P (x ，y )为g (x )图象上任意一点，则Q (－x ，－y )是点P 关于原点的对称点， ∵Q (－x ，－y )在f (x )的图象上， ∴－y ＝log a (－x ＋1)，即y ＝g (x )＝－log a (1－x )． (2)f (x )＋g (x )≥m ，即log a x ＋11－x≥m .设F (x )＝log a 1＋x 1－x ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋21－x ，x ∈[0,1)，由题意知，只要F (x )min ≥m 即可．∵F (x )在[0,1)上是增函数，∴F (x )min ＝F (0)＝0. 故m ≤0即为所求．反思与感悟指数函数、对数函数图象既是直接考查的对象，又是数形结合求交点，最值，解不等式的工具，所以要能熟练画出这两类函数图象，并会进行平移、伸缩，对称、翻折等变换．跟踪训练3 已知函数f (x )的定义域是(－1,1)，对于任意的x ，y ∈(－1,1)，有f (x )＋f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ，且当x ＜0时，f (x )＞0. (1)验证函数g (x )＝ln 1－x1＋x，x ∈(－1,1)是否满足上述这些条件；(2)你发现这样的函数f (x )还具有其他什么样的性质？试将函数的奇偶性、单调性方面的结论写出来，并加以证明．考点对数函数的综合问题题点与奇偶性有关的对数函数的综合问题解 (1)因为g (x )＋g (y )＝ln 1－x 1＋x ＋ln 1－y1＋y＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ·1－y 1＋y ＝ln 1－x －y ＋xy1＋x ＋y ＋xy ， g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ＝ln 1－x ＋y1＋xy 1＋x ＋y 1＋xy＝ln 1－x －y ＋xy1＋x ＋y ＋xy ，所以g (x )＋g (y )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy 成立．又当x ＜0时，1－x ＞1＋x ＞0，所以1－x1＋x ＞1，所以g (x )＝ln 1－x1＋x ＞0成立，综上g (x )＝ln 1－x1＋x满足这些条件．(2)发现这样的函数f (x )在(－1,1)上是奇函数．将x ＝y ＝0代入条件，得f (0)＋f (0)＝f (0)，所以f (0)＝0.将y ＝－x 代入条件得f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0⇒f (－x )＝－f (x )，所以函数f (x )在(－1,1)上是奇函数．又发现这样的函数f (x )在(－1,1)上是减函数．因为f (x )－f (y )＝f (x )＋f (－y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 1－xy ，当－1＜x ＜y ＜1时，x －y1－xy ＜0，由条件知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 1－xy ＞0，即f (x )－f (y )＞0⇒f (x )＞f (y )，所以函数f (x )在(－1,1)上是减函数.1．若log x 7y ＝z ，则( ) A ．y 7＝x z B ．y ＝x 7z C ．y ＝7x zD ．y ＝z 7x考点对数式与指数式的互化题点对数式化为指数式答案 B解析由log x 7y ＝z ，得x z ＝7y ，∴⎝⎛⎭⎫7y 7＝(x z )7，即y ＝x 7z .2．当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2) 考点对数函数的图象题点同一坐标系下的指数函数与对数函数的图象答案 B解析当a >1,0<x ≤12时，log a x <0，不合题意．当0<a <1时，只需1214log 2a<，即log a a 2<log a 12，解得a >22，又a ∈(0,1)，∴a ∈⎝⎛⎭⎫22，1.3．已知函数y ＝f (2x )的定义域为[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域为( ) A ．[－1,1] B.⎣⎡⎦⎤12，2 C ．[1,2] D ．[2，4] 考点对数函数的定义域题点与对数函数有关的抽象函数的定义域答案 D解析 ∵－1≤x ≤1，∴2－1≤2x ≤2，即12≤2x ≤2.∴y ＝f (x )的定义域为⎣⎡⎦⎤12，2，即12≤log 2x ≤2， ∴2≤x ≤4.4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x －1)，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <2，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是________．考点对数不等式题点解对数不等式答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析当x 0≥2时，由log 2(x 0－1)>1，得log 2(x 0－1)>log 22，所以x 0－1>2，得x 0>3；当x 0<2时，由01112x ⎛⎫> ⎪⎝⎭－，得011122x -⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以x 0<－1，所以x 0的取值范围是(－∞，－1)∪ (3，＋∞)． 5．已知()2340,9a a >＝则23log a ＝________. 考点对数式与指数式的互化题点对数式与指数式的互化答案 3解析设23log a x ＝,则a ＝⎝⎛⎭⎫23x，又22233422,,933xa ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦即22322,33x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴23x ＝2，解得x ＝3.1．指数式a b ＝N 与对数式log a N ＝b 的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键． 2．指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算，对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公式；对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、积．3．注意对数恒等式、对数换底公式及等式log m n a b ＝n m ·log a b ，log a b ＝1log b a 在解题中的灵活应用．4．在运用性质log a M n ＝n log a M 时，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M n ＝n log a |M |(n ∈N *，且n 为偶数)．5．同底的指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．6．明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质，要记忆函数的性质可借助于函数的图象．因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象．一、选择题1．已知a ＝log 0.60.5，b ＝ln 0.5，c ＝0.60.5，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >b D ．c >b >a 考点对数值大小比较题点指数、对数值大小比较答案 B解析 ∵y ＝log 0.6x 在(0，＋∞)上为减函数， ∴log 0.60.6<log 0.60.5，即a >1. 同理，ln 0.5<ln 1＝0，即b <0.∵0<0.60.5<0.60，即0<c <1， ∴a >c >b .2．函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( )考点对数函数的图象题点同一坐标系下的对数函数与其他函数图象答案 A解析由函数解析式可知f (x )＝f (－x )，即函数为偶函数，排除C ；由函数过(0,0)点，排除B ，D.3．已知a >0，b ＞0且a ≠1，b ≠1，若log a b ＞1，则( ) A ．(a －1)(b －1)＜0 B ．(a －1)(a －b )＞0 C ．(b －1)(b －a )＜0 D ．(b －1)(b －a )＞0考点对数不等式题点解对数不等式答案 D解析由a >0，b ＞0且a ≠1，b ≠1，及log a b ＞1＝log a a 可得：当a ＞1时，b ＞a ＞1，当0＜a ＜1时，0＜b ＜a ＜1，代入验证只有D 满足题意．4．已知x ，y ，z 都是大于1的正数，m >0，且log x m ＝24，log y m ＝40，log xyz m ＝12，则log z m 的值为( )A.160 B ．60 C.2003 D.3200 考点对数的运算题点用代数式表示对数答案 B解析由已知得log m (xyz )＝log m x ＋log m y ＋log m z ＝112，而log m x ＝124，log m y ＝140，故log m z ＝112－log m x －log m y ＝112－124－140＝160，即log z m ＝60.5．函数f (x )＝log a [(a －1)x ＋1]在定义域上( ) A ．是增函数B ．是减函数C ．先增后减D ．先减后增考点对数函数的单调性题点对数型复合函数的单调区间答案 A 解析 ∵当a >1时，y ＝log a u ，u ＝(a －1)x ＋1都是增函数，当0<a <1时，y ＝log a u ，u ＝(a －1)x ＋1都是减函数，∴f (x )在定义域上为增函数．6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( ) A ．[－1,2] B ．[0,2] C ．[1，＋∞) D ．[0，＋∞)考点对数不等式题点解对数不等式答案 D解析 f (x )≤2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤1，21－x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，1－log 2x ≤2，解得0≤x ≤1或x >1.∴x 的取值范围是[0，＋∞)．7．(2017·西安模拟)已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A ．0<a －11.函数图象与y 轴的交点坐标为(0，log a b )，由函数图象可知－1<log a b <0，解得1a <b <1.综上有0<1a<b <1.8．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数： f 1(x )＝2log 2(x ＋1)，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，f 3(x )＝log 2x 2，f 4(x )＝log 2(2x )，则是“同形”函数的是( )A ．f 2(x )与f 4(x )B ．f 1(x )与f 3(x )C ．f 1(x )与f 4(x )D ．f 3(x )与f 4(x )考点对数函数的图象题点对数函数的图象答案 A解析因为f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x ，所以f 2(x )＝log 2(x ＋2)，沿着x 轴先向右平移2个单位得到y ＝log 2x 的图象，然后再沿着y 轴向上平移1个单位可得到f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x ，根据“同形”函数的定义，f 2(x )与f 4(x )为“同形”函数．f 3(x )＝log 2x 2＝2log 2|x |与f 1(x )＝2log 2(x ＋1)不“同形”，故选A.二、填空题9．函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为________．考点对数函数的图象题点指数、对数函数图象的应用答案 23解析由题意可知求b －a 的最小值即求区间[a ，b ]的长度的最小值，当f (x )＝0时，x ＝1，当f (x )＝1时，x ＝3或13，所以区间[a ，b ]的最短长度为1－13＝23，所以b －a 的最小值为23. 10．已知实数a ，b 满足log 12a ＝log 13b ，下列五个关系式：①a >b >1；②0a >1；④0<a <b <1；⑤a ＝b .其中可能成立的关系式序号为________．考点对数函数的图象题点指数、对数函数图象的应用答案 ②③⑤解析由图易知，log 12a ＝log 13b 有且仅有3种情形：00＝log b 1.∵00，x －3<1，解得3<x <4. 三、解答题12．已知函数f (x )＝2＋log 2x ，x ∈[1,4]．(1)求函数f (x )的值域；(2)设g (x )＝[f (x )]2－f (x 2)，求g (x )的最值及相应的x 的值．考点对数函数的综合问题题点与定义域、值域有关的对数函数综合问题解 (1)∵f (x )＝2＋log 2x 在[1,4]上是增函数，又f (1)＝2＋log 21＝2，f (4)＝2＋log 24＝2＋2＝4，∴函数f (x )的值域是[2,4]．(2)g (x )＝[f (x )]2－f (x 2)＝4＋4log 2x ＋(log 2x )2－(2＋log 2x 2)＝(log 2x )2＋2log 2x ＋2＝(log 2x ＋1)2＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤4，1≤x 2≤4，得1≤x ≤2， ∴g (x )的定义域是[1,2]．∴0≤log 2x ≤1.∴当log 2x ＝0，即x ＝1时，g (x )有最小值g (1)＝2；当log 2x ＝1，即x ＝2时，g (x )有最大值g (2)＝5.13．已知函数f (x )＝lg(a x －b x )(a ＞1＞b ＞0)．(1)求y ＝f (x )的定义域；(2)在函数y ＝f (x )的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x 轴；(3)当a ，b 满足什么条件时，f (x )在(1，＋∞)上恒取正值．考点对数函数的综合问题题点与单调性有关的对数函数综合问题解 (1)由a x －b x ＞0，得⎝⎛⎭⎫a b x ＞1，且a ＞1＞b ＞0，得a b＞1，所以x ＞0，即f (x )的定义域为(0，＋∞)．(2)任取x 1＞x 2＞0，a ＞1＞b ＞0，则a 1x ＞a2x ＞1,0<b 1x ＜b 2x <1，所以a 1x －b 1x ＞a2x －b 2x ＞0，即lg(a 1x －b 1x )＞lg(a2x －b 2x )．故f (x 1)＞f (x 2)．所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数．假设函数y ＝f (x )的图象上存在不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，使直线平行于x 轴，则x 1≠x 2，y 1＝y 2，这与f (x )是增函数矛盾．故函数y ＝f (x )的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x 轴．(3)因为f (x )是增函数，所以当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞f (1)，这样只需f (1)＝lg(a －b )≥0，即当a ≥b ＋1时，f (x )在(1，＋∞)上恒取正值．四、探究与拓展14．已知定义在R 上的偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调减函数，若f (1)>f ⎝⎛⎭⎫lg 1x ，求x 的取值范围．考点对数不等式题点解对数不等式解因为f (x )是定义在R 上的偶函数且在区间[0，＋∞)上是单调减函数，所以f (x )在区间(－∞，0)上是单调增函数，所以不等式f (1)>f ⎝⎛⎭⎫lg 1x 可化为 lg 1x >1或lg 1x<－1，所以lg 1x >lg 10或lg 1x <lg 110，所以1x >10或0<1x <110，所以0<x <110或x >10. 所以x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，110∪(10，＋∞)． 15．已知函数f (x )＝log 2(2x ＋1)．(1)求证：函数f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增；(2)若g (x )＝log 2(2x －1)(x >0)，且关于x 的方程g (x )＝m ＋f (x )在[1,2]上有解，求m 的取值范围．考点对数函数的综合问题题点与单调性有关的对数函数综合问题(1)证明因为函数f (x )＝log 2(2x ＋1)，任取x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝log 2(21x ＋1)－log 2(22x ＋1) ＝log 221x ＋122x ＋1，因为x 1<x 2，所以0<21x ＋122x ＋1<1，所以log 221x ＋122x ＋1<0，所以f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增．(2)解 g (x )＝m ＋f (x )，即g (x )－f (x )＝m .设h (x )＝g (x )－f (x )＝log 2(2x －1)－log 2(2x ＋1)＝log 22x －12x ＋1＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1. 设1≤x 1<x 2≤2，则3≤21x ＋1<22x ＋1≤5， 13≥121x ＋1>122x ＋1≥15，－23≤－221x ＋1<－222x ＋1≤－25，所以13≤1－221x ＋1<1－222x ＋1≤35，所以log 213≤h (x 1)<h (x 2)≤log 235，即h (x )在[1,2]上为增函数且值域为⎣⎡⎦⎤log 213，log 235. 要使g (x )－f (x )＝m 有解，需m ∈⎣⎡⎦⎤log 213，log 235.。

高中数学新学案同步必修1人教A版全国通用版第二章基本初等函数 2.3 幂函数

§2.3 幂函数学习目标 1.了解幂函数的概念.2.掌握y ＝x α⎝⎛⎭⎫α＝－1，12，1，2，3的图象与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．知识点一幂函数的概念思考 y ＝1x ，y ＝x ，y ＝x 2三个函数有什么共同特征？答案底数为x ，指数为常数．梳理一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．知识点二五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)12y x ＝；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象如图．2．五个幂函数的性质知识点三一般幂函数的图象特征一般幂函数特征：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； (2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸； (3)当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数；(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称；(5)在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．1．y ＝－1x 是幂函数．( × )2．当x ∈(0,1)时，x 2>x 3.( √ )3．32y x =与64y x =定义域相同．( × )4．若y ＝x α在(0，＋∞)上为增函数，则α>0.( √ )类型一幂函数的概念例1 已知222(22)23m y m m x n －＝＋－＋－是幂函数，求m ，n 的值．考点幂函数的概念题点由幂函数定义求参数值解由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，2n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－3，n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝32.所以m ＝－3或1，n ＝32.反思与感悟幂函数与指数函数、对数函数的定义类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x ，指数为常数这三个条件，才是幂函数．如：y ＝3x 2，y ＝(2x )3，y ＝⎝⎛⎭⎫x 24都不是幂函数．跟踪训练1 在函数y ＝1x 2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 考点幂函数的概念题点判断函数是否为幂函数答案 B解析因为y ＝1x 2＝x －2，所以是幂函数；y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常数函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1), 所以常数函数y ＝1不是幂函数．类型二幂函数的图象及应用例2 若点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点⎝⎛⎭⎫－2，14在幂函数g (x )的图象上，问当x 为何值时，(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )．考点幂函数的图象题点幂函数的图象与性质解设f (x )＝x α，因为点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，所以，将点(2，2)代入f (x )＝x α中，得2＝(2)α，解得α＝2，则f (x )＝x 2.同理可求得g (x )＝x －2.在同一坐标系里作出函数f (x )＝x 2和g (x )＝x －2的图象(如图所示)，观察图象可得：(1)当x >1或x <－1时，f (x )>g (x )； (2)当x ＝1或x ＝－1时，f (x )＝g (x )； (3)当－1<x <1且x ≠0时，f (x )<g (x )．引申探究若对于本例中的f (x )，g (x )，定义h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤g (x )，g (x )，f (x )>g (x )，试画出h (x )的图象．解 h (x )的图象如图所示：反思与感悟由幂函数的定义确定函数解析式，掌握幂函数的图象特点，数形结合可求解关于幂函数的不等式与方程．跟踪训练2 幂函数y ＝x α(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图)．设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x α，y ＝x β的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，则αβ等于( )A ．1B ．2C ．3D ．无法确定考点幂函数的图象题点幂函数的图象与性质答案 A解析由条件知，M ⎝⎛⎭⎫13，23，N ⎝⎛⎭⎫23，13， ∴23＝⎝⎛⎭⎫13β，13＝⎝⎛⎭⎫23α， ∴⎝⎛⎭⎫13αβ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13βα＝⎝⎛⎭⎫23α＝13， ∴αβ＝1.故选A.类型三幂函数性质的应用命题角度1 比较大小例3 设212333222,,,335a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．b >c >aD ．c >b >a考点比较幂值的大小题点利用单调性比较大小答案 B解析 ∵y ＝⎝⎛⎭⎫23x 在R 上为减函数，∴21332233⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即a >c .∴b >a >c .故选B. 反思与感悟此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．跟踪训练3 比较下列各组数中两个数的大小： (1)⎝⎛⎭⎫250.3与⎝⎛⎭⎫130.3； (2)⎝⎛⎭⎫－23－1与⎝⎛⎭⎫－35－1； (3)⎝⎛⎭⎫250.3与25(0.3). 考点比较幂值的大小题点利用中间值比较大小解 (1)∵0<0.3<1，∴y ＝x 0.3在(0，＋∞)上为增函数．又25>13，∴⎝⎛⎭⎫250.3>⎝⎛⎭⎫130.3. (2)∵y ＝x －1在(－∞，0)上是减函数，又－23<－35，∴⎝⎛⎭⎫－23－1>⎝⎛⎭⎫－35－1. (3)∵y ＝x 0.3在(0，＋∞)上为增函数， ∴由25>0.3，可得⎝⎛⎭⎫250.3>0.30.3.① 又y ＝0.3x 在(－∞，＋∞)上为减函数，20.350.30.3.∴>②由①②知0.32520.3.5⎛⎫> ⎪⎝⎭命题角度2 幂函数性质的综合应用例4 已知幂函数y ＝x 3m －9 (m ∈N *)的图象关于y 轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足33(1)(32)mm a a <－－＋－的a 的取值范围．考点幂函数的性质题点利用幂函数的性质解不等式解因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m －9<0，解得m <3.又因为m ∈N *，所以m ＝1,2. 因为函数的图象关于y 轴对称，所以3m －9为偶数，故m ＝1. 则原不等式可化为1133(1)(32).a a <－－＋－因为13y x－＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1.故a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a <－1或23<a <32. 反思与感悟幂函数y ＝x α中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制α的取值．跟踪训练4 已知幂函数()21*()mmf x x m +∈N ＝．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若函数还经过(2，2)，试确定m 的值，并求满足f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．考点幂函数的性质题点利用幂函数的性质解不等式解 (1)∵m ∈N *，∴m 2＋m ＝m ×(m ＋1)为偶数．令m 2＋m ＝2k ，k ∈N *，则f (x )＝2k x ，∴定义域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上f (x )为增函数． (2)112222,mm+==∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2(舍去)， ()12f x x ∴＝，由(1)知f (x )在定义域[0，＋∞)上为增函数， ∴f (2－a )>f (a －1)等价于2－a >a －1≥0，解得1≤a <32.1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 考点幂函数的概念题点由幂函数定义求参数值答案 C解析由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝⎛⎭⎫12＝22，所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32. 2．以下结论正确的是( )A ．当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点C ．若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大D ．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限考点幂函数的综合问题题点幂函数的综合问题答案 D3．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 的所有α的值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3 考点幂函数的定义域和值域题点幂函数的定义域答案 A4．若a <0，则0.5a,5a,5－a的大小关系是( )A ．5－a <5a <0.5aB ．5a <0.5a <5－aC ．0.5a <5－a <5aD ．5a <5－a <0.5a答案 B解析 5－a ＝⎝⎛⎭⎫15a ，因为a <0时，函数y ＝x a在(0，＋∞)上单调递减，且15<0.5<5，所以5a <0.5a <5－a . 5．先分析函数23y x ＝的性质，再画出其图象．考点幂函数的图象题点幂函数的图象与性质解 23y x ＝＝3x 2，定义域为R ，在[0，＋∞)上是上凸的增函数，且是偶函数，故其图象如下：1．幂函数y ＝x α(α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准．2．幂函数y ＝x α的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)当α＞0时，图象过点(0,0)，(1,1)，在第一象限的图象上升；当α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．(2)曲线在第一象限的凹凸性，当α＞1时，曲线下凸；当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＜0时，曲线下凸．3．在具体应用时，不一定是y ＝x α，α＝－1，12，1,2,3这五个已研究熟的幂函数，这时可根据需要构造幂函数，并针对性地研究某一方面的性质.一、选择题1．下列函数中是幂函数的是( ) A ．y ＝x 4＋x 2 B ．y ＝10x C ．y ＝1x3D ．y ＝x ＋1考点幂函数的概念题点判断函数是否为幂函数答案 C解析根据幂函数的定义知，y ＝1x 3是幂函数，y ＝x 4＋x 2，y ＝10x ，y ＝x ＋1都不是幂函数．2．已知y ＝(m 2＋m －5)x m 是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则m 的值为( ) A ．－3B ．2C ．－3或2D ．3考点幂函数的性质题点幂函数的单调性答案 A解析由y ＝(m 2＋m －5)x m 是幂函数，知m 2＋m －5＝1，解得m ＝2或m ＝－3.∵该函数在第一象限内是单调递减的，∴m <0.故m ＝－3.3．已知幂函数()223(22)n nf x n n x －＝＋－ (n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( ) A ．－3 B ．1 C ．2D ．1或2考点幂函数的性质题点幂函数的单调性答案 B解析由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意，故选B.4．在同一坐标系内，函数y ＝x a (a ≠0)和y ＝ax －1a的图象可能是( )考点幂函数的图象题点幂函数有关的知图选式问题答案 C解析选项A 中，幂函数的指数a <0，则直线y ＝ax －1a 应为减函数，A 错误；选项B 中，幂函数的指数a >1，则直线y ＝ax －1a应为增函数，B 错误；选项D 中，幂函数的指数a <0，则－1a >0，直线y ＝ax －1a 在y 轴上的截距为正，D 错误．5．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1bB ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1aD ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b ) 考点比较幂值的大小题点利用单调性比较大小答案 C解析因为函数()12f x x ＝在(0，＋∞)上是增函数，又0<a c >b B ．a >b >c C ．c >a >bD ．b >c >a考点比较幂值的大小题点利用单调性比较大小答案 A解析根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来，25y x ＝在x >0时是增函数，所以a >c ，y ＝⎝⎛⎭⎫25x在x >0时是减函数，所以c >b ，所以a >c >b .7．如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图象，已知α取－2，－12，12，2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12考点幂函数的图象题点幂指数大小关系问题答案 B解析令x ＝2，由图知C 1，C 2，C 3，C 4对应纵坐标依次减小，而1122222222->>>－，故选B.8．对于幂函数f (x )＝x 45，若0<x 1<x 2，则f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，f (x 1)＋f (x 2)2的大小关系是( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22>f (x 1)＋f (x 2)2 B ．f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2 C ．f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝f (x 1)＋f (x 2)2 D ．无法确定考点幂函数的图象题点幂函数的图象与性质答案 A解析幂函数f (x )＝x 45在(0，＋∞)是增函数，大致图象如图所示．设A (x 1,0)，C (x 2,0)，其中0<x 1<x 2，则AC 的中点E 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，0，|AB |＝f (x 1)，|CD |＝f (x 2)，|EF |＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.∵|EF |>12(|AB |＋|CD |)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f (x 1)＋f (x 2)2，故选A. 二、填空题9．判断大小：5.25－1________5.26－2.(填“>”或“<”)考点比较幂值的大小题点利用中间值比较大小答案 >解析 ∵y ＝x －1在(0，＋∞)上是减函数，5.25<5.26， ∴5.25－1>5.26－1；∵y ＝5.26x 是增函数，－1>－2，∴5.26－1>5.26－2. 综上，5.25－1>5.26－1>5.26－2. 10．函数f (x )＝(x ＋3)－2的单调增区间是________．考点幂函数的性质题点幂函数的单调性答案 (－∞，－3)解析 y ＝x －2＝1x2的单调增区间为(－∞，0)，单调减区间为(0，＋∞)，y ＝(x ＋3)－2是由y ＝x－2向左平移3个单位得到的．∴y ＝(x ＋3)－2的单调增区间为(－∞，－3)．11．已知幂函数f (x )＝x 21m －(m ∈Z )的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，则函数f (x )的解析式是________．考点求幂函数的解析式题点求幂函数的解析式答案 f (x )＝x －1解析 ∵函数的图象与x 轴、y 轴都无交点， ∴m 2－1<0，解得－1<m <1. ∵图象关于原点对称，且m ∈Z ， ∴m ＝0，∴f (x )＝x －1. 三、解答题12．已知幂函数f (x )＝x 223m m －－(m ∈Z )在(0，＋∞)上单调递减，且为偶函数． (1)求f (x )的解析式；(2)讨论F (x )＝af (x )＋(a －2)x 5·f (x )的奇偶性，并说明理由．考点幂函数的综合问题题点幂函数的综合问题解 (1)由于幂函数f (x )＝x 223m m －－在(0，＋∞)上单调递减，所以m 2－2m －3<0，求得－1<m <3，因为m ∈Z ，所以m ＝0,1,2.因为f (x )是偶函数，所以m ＝1，故f (x )＝x －4. (2)F (x )＝af (x )＋(a －2)x 5·f (x ) ＝a ·x －4＋(a －2)x .当a ＝0时，F (x )＝－2x ，对于任意的x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有F (x )＝－F (－x )，所以F (x )＝－2x 是奇函数；当a ＝2时，F (x )＝2x 4，对于任意的x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有F (x )＝F (－x )，所以F (x )＝2x4是偶函数；当a ≠0且a ≠2时，F (1)＝2a －2，F (－1)＝2，因为F (1)≠F (－1)，F (1)≠－F (－1)，所以F (x )＝ax 4＋(a －2)x 是非奇非偶函数．13．已知幂函数f (x )的图象过点(25,5)． (1)求f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (2－lg x )，求g (x )的定义域、值域．考点幂函数的综合问题题点幂函数的综合问题解 (1)设f (x )＝x α，则由题意可知25α＝5， ∴α＝12，∴f (x )＝x 12.(2)∵g (x )＝f (2－lg x )＝2－lg x ，∴要使g (x )有意义，只需2－lg x ≥0，即lg x ≤2，解得0＜x ≤100. ∴g (x )的定义域为(0,100]，又2－lg x ≥0，∴g (x )的值域为[0，＋∞)．四、探究与拓展14．(2017·黄冈检测)为了保证信息的安全传输需使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y ＝x α(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是________．考点求幂函数的解析式题点求幂函数的解析式后再求值答案 9解析依题意有2＝4α，∴α＝12.∴当y ＝3时，x 12＝3，得x ＝9.15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ≤0，3a －x 12，x >0(a >0，且a ≠1)是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________．考点幂函数的性质题点幂函数的单调性答案 ⎝⎛⎦⎤0，13 解析当x ≤0时，由f (x )＝a x为减函数，知0<a <1；当x >0时，由f (x )＝3a －x 12为减函数，知a ∈R ，且要满足a 0≥3a ，解得a ≤13.综上可知，实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，13.。

【人教A版】高中数学必修一：第2章《基本初等函数(Ⅰ)》导学案设计(含答案) 2.2.2 第1课时

2.2.2对数函数及其性质第1课时对数函数的图象及性质[学习目标] 1.理解对数函数的概念.2.初步掌握对数函数的图象及性质.3.会类比指数函数，研究对数函数的性质.知识点一对数函数的概念一般地，把函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).思考根据对数函数的定义，你能总结出对数函数具有哪些特点吗？答(1)底数a>0，且a≠1.(2)自变量x在真数位置上，且x>0.(3)在解析式y＝log a x中，log a x的系数必须为1，真数必须是x.知识点二对数函数的图象与性质(0，＋∞)知识点三反函数对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)与指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)互为反函数.题型一对数函数的概念例1指出下列函数哪些是对数函数？(1)y ＝3log 2x ；(2)y ＝log 6x ； (3)y ＝log x 3；(4)y ＝log 2x ＋1.解 (1)log 2x 的系数是3，不是1，不是对数函数. (2)符合对数函数的结构形式，是对数函数. (3)自变量在底数位置上，不是对数函数. (4)对数式log 2x 后又加1，不是对数函数.反思与感悟判断一个函数是对数函数必须是形如y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的形式，即必须满足以下条件： (1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数. (3)对数的真数仅有自变量x .跟踪训练1 下列函数为对数函数的是( ) A.y ＝log 1x B.y ＝3log 2x C.y ＝log 2(x ＋1) D.y ＝log 2x答案 D题型二对数函数的图象例2 如图所示，曲线是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 取3，43，35，110，则相应于c 1，c 2，c 3，c 4的a 值依次为( ) A.3，43，35，110B.3，43，110，35C.43，3，35，110D.43，3，110，35答案 A解析在第一象限内各图象对应的对数函数的底数顺时针增大，∴c 4<c 3<c 2<c 1，故c 1，c 2，c 3，c 4各值依次为3，43，35，110，故选A.反思与感悟对数函数图象特点：(1)底数大于1，图象呈上升趋势；底数大于0小于1，图象呈下降趋势.(2)在第一象限，各图象对应的对数函数底数顺时针增大.底数越小，在第一象限图象越靠近y 轴；底数越大，在第一象限图象越靠近x 轴.跟踪训练2 如图，若C 1，C 2分别为函数y ＝log a x 和y ＝log b x 的图象，则( ) A.0<a b >1 D.b >a >1答案 B解析两图象均呈下降趋势，所以a ，b 均小于1.结合第一象限图象特征得b <a ，所以0<b <a <1. 例3 函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图象过定点( ) A.(1,2) B.(2,1) C.(－2,1) D.(－1,1) 答案 D解析令x ＋2＝1，即x ＝－1，得y ＝log a 1＋1＝1，故函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图象过定点(－1,1).反思与感悟求解对数型函数过定点问题，一般先令真数等于1，求出横坐标x ，再求出纵坐标值y ，即可得定点坐标.跟踪训练3 函数f (x )＝log a (2x ＋1)＋2(a >0，a ≠1)的图象必过定点的坐标为_______. 答案 (0,2)解析当x ＝0时，f (x )＝2，所以函数f (x )的图象必过定点(0,2). 题型三对数函数的定义域例4 (1)函数f (x )＝11－x ＋lg(1＋x )的定义域是( )A.(－∞，－1)B.(1，＋∞)C.(－1,1)∪(1，＋∞)D.(－∞，＋∞)(2)若f (x )＝121log (21)+x ，则f (x )的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，0 B.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－12，0∪(0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－12，2 答案 (1)C (2)C解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，1－x ≠0解得x ＞－1且x ≠1.(2)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＞0，2x ＋1≠1解得x ＞－12且x ≠0.反思与感悟求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式. 跟踪训练4 求下列函数的定义域： (1)f (x )＝lg(x －2)＋1x －3；(2)f (x )＝log (x ＋1)(16－4x ).解 (1)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，x －3≠0，解得x ＞2且x ≠3.∴函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞). (2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧16－4x ＞0，x ＋1＞0，x ＋1≠1，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜4. ∴函数的定义域为(－1,0)∪(0,4). 题型四对数函数与指数函数的反函数例5 (1)y ＝(12)x 的反函数为________.(2)y ＝log 7x 的反函数为________.(3)点(4,16)在函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的反函数的图象上，则a ＝________. 答案 (1)y ＝log 21x (2)y ＝7x (3)2解析 (1)∵指数函数y ＝(12)x 的底数为12，∴它的反函数为对数函数y ＝log 21x .(2)∵对数函数y ＝log 7x 的底数为7. ∴它的反函数为指数函数y ＝7x .(3)∵函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的反函数是y ＝a x (a >0，且a ≠1)，又∵点(4,16)在函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象上. ∴16＝a 4，∴a ＝2.反思与感悟 1.同底的对数函数与指数函数互为反函数. 2.互为反函数的两个函数图象关于直线y ＝x 对称.跟踪训练5 点(2,4)在函数f (x )＝log a x 的反函数的图象上，则f (12)等于( )A.－2B.2C.－1D.1 答案 C解析因为点(2,4)在函数f (x )＝log a x 的反函数图象上，所以点(4,2)在函数f (x )＝log a x 的图象上，所以2＝log a 4，即a 2＝4，得a ＝2，所以f (12)＝log 212＝－1.求解对数函数定义域考虑不全致误例6 求函数y ＝log (x ＋1)(16－4x )的定义域. 错解由16－4x >0，解得x <2， ∴函数定义域为(－∞，2). 正解由⎩⎪⎨⎪⎧16－4x>0，x ＋1>0，x ＋1≠1，得⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x >－1，x ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <2，x ≠0. ∴函数的定义域为(－1,0)∪(0,2).纠错心得求对数函数的定义域，要满足：(1)真数大于零；(2)底数大于零且不等于1.注意要同时满足这两个条件，不能漏掉其中一个. 跟踪训练6 求函数f (x )＝log (2x －4)(10－2x )的定义域. 解由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧10－2x >0，2x －4>0，2x －4≠1，解得2<x <52或52<x <5，∴函数f (x )的定义域为(2，52)∪(52，5).1.下列函数是对数函数的是( ) A.y ＝log a (2x ) B.y ＝log 22x C.y ＝log 2x ＋1 D.y ＝lg x答案 D解析选项A 、B 、C 中的函数都不具有“y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)”的形式，只有D 选项符合. 2.函数f (x )＝11－x＋lg(3x ＋1)的定义域是( ) A.(－13，＋∞)B.(－∞，－13)C.(－13，13)D.(－13，1)答案 D解析由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，3x ＋1＞0，可得－13＜x ＜1.3.函数y ＝a x 与y ＝－log a x (a ＞0，且a ≠1)在同一坐标系中的图象形状可能是( )答案A解析函数y＝－log a x恒过定点(1,0)，排除B项；当a＞1时，y＝a x是增函数，y＝－log a x 是减函数，当0<a<1时，y＝a x是减函数，y＝－log a x是增函数，排除C项和D项，A项正确.4.若a＞0且a≠1，则函数y＝log a(x－1)＋1的图象恒过定点________.答案(2,1)解析函数图象过定点，则与a无关，故log a(x－1)＝0，∴x－1＝1，x＝2，y＝1，所以y＝log a(x－1)＋1过定点(2,1).5.若函数f(x)＝a x－1的反函数的图象过点(4,2)，则a＝________.答案4解析∵f(x)的反函数图象过(4,2)，∴f(x)的图象过(2,4)，∴a2－1＝4，∴a＝4.1.判断一个函数是不是对数函数，关键是分析所给函数是否具有y＝log a x(a＞0，且a≠1)这种形式.2.在对数函数y＝log a x中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质.3.涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析.一、选择题1.函数f(x)＝lg(x－1)＋4－x的定义域为()A.(1,4]B.(1,4)C.[1,4]D.[1,4)答案A解析由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，4－x ≥0，解得1＜x ≤4.2.如图是三个对数函数的图象，则a 、b 、c 的大小关系是( )A.a ＞b ＞cB.c ＞b ＞aC.c ＞a ＞bD.a ＞c ＞b答案 D解析 y ＝log a x 的图象在(0，＋∞)上是上升的，所以底数a ＞1，函数y ＝log b x ，y ＝log c x 的图象在(0，＋∞)上都是下降的，因此b ，c ∈(0,1)，又易知c ＞b ，故a ＞c ＞b . 3.函数y ＝log a (2x －3)＋1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( ) A.(2,1) B.(2,0) C.(2，－1) D.(1,1) 答案 A解析当2x －3＝1，即x ＝2时，y ＝1，故点P 的坐标是(2,1). 4.函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1] 答案 B解析由⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0x ≥0得，函数定义域为[0,1).5.函数y ＝|lg(x ＋1)|的图象是( )答案 A6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，则f [f (14)]等于( )A.－19B.19 C.－9 D.9答案 B解析 ∵14>0，∴f (14)＝log 214＝－2，∴f [f (14)]＝f (－2)＝3－2＝19.7.已知f (x )为对数函数，f (12)＝－2，则f (34)＝________.答案 43解析设f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，则log a 12＝－2，∴1a 2＝12，即a ＝2， ∴f (x )＝， ∴f (34)＝34＝log 2(34)2＝log 2243＝43.8.函数y ＝log (2x －1)(3－4x )的定义域是________. 答案 {x |12<x <34}解析要使函数有意义，必有⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0，2x －1≠1，3－4x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >12，x ≠1，x <34，解得12<x <34.所以函数的定义域为{x |12<x <34}.9.函数y ＝log 2(x ＋k )的图象恒过(0,0)点，则函数y ＝log 21 (x －k )的图象恒过定点的坐标为________. 答案 (2,0)10.设函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 013)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 013)的值等于______. 答案 16解析 ∵f (x 21)＋f (x 22)＋f (x 23)＋…＋f (x 22 013) ＝log a x 21＋log a x 22＋log a x 23＋…＋log a x 22 013＝log a (x 1x 2x 3…x 2 013)2 ＝2log a (x 1x 2x 3…x 2 013) ＝2f (x 1x 2x 3…x 2 013)， ∴原式＝2×8＝16.11.若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的表达式，并画出大致图象.解 ∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， ∴f (－x )＝lg(1－x ).又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－lg(1－x )， ∴f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x ＋1)，x ＞0，0，x ＝0，－lg (1－x )，x ＜0，f (x )的大致图象如图所示：12.已知函数f (x )＝log a (3－ax ).(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由.解 (1)当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义，必须3－2a >0，a <32.又a 是底数，∴a ∈(0,1)∪(1，32).(2)令t ＝3－ax ，则t 在[1,2]上递减，要使f (x )在[1,2]上为减函数，必须a >1，而t 在x ∈[1,2]上必须恒大于0.∴⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，3－2a >0.∴1<a <32.∵f (1)＝log a (3－a )＝1，∴3－a ＝a . ∴a ＝32.∴不存在这样的a ，使得f (x )在[1,2]上为减函数且最大值为1. 13.已知函数f (x )＝log 21(x 2－2ax ＋3).(1)若函数f (x )的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，求实数a 的值； (2)若函数f (x )的定义域为R ，值域为(－∞，－1]，求实数a 的值； (3)若函数f (x )在(－∞，1]上为增函数，求实数a 的取值范围.解 (1)由x 2－2ax ＋3>0的解集为(－∞，1)∪(3，＋∞)，得2a ＝1＋3，所以a ＝2，即实数a 的值为2. (2)因为函数f (x )的值域为(－∞，－1]，则f (x )max ＝－1，所以y ＝x 2－2ax ＋3的最小值为y min ＝2，由y ＝x 2－2ax ＋3＝(x －a )2＋3－a 2，得3－a 2＝2，所以a 2＝1，所以a ＝±1.(3)f (x )在(－∞，1]上为增函数，则y ＝x 2－2ax ＋3在(－∞，1]上为减函数，且y >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥1，1－2a ＋3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a <2，故1≤a <2. 所以实数a 的取值范围是[1,2).。

高中数学新学案同步必修1人教A版全国通用版第二章基本初等函数 2.1 指数函数 2.1.2(二)

2.1.2 指数函数及其性质(二)学习目标 1.掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断.2.能借助指数函数的性质比较大小.3.会解简单的指数方程、不等式．知识点一不同底指数函数图象的相对位置思考 y ＝2x 与y ＝3x 都是增函数，都过点(0,1)，在同一坐标系内如何确定它们两个的相对位置？答案经描点观察，在y 轴右侧，2x ＜3x ，即y ＝3x 图象在y ＝2x 上方，经(0,1)点交叉，位置在y 轴左侧反转，y ＝2x 在y ＝3x 图象上方．梳理一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系：(1)在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过令x ＝1时，y ＝a 去理解，如图．(2)指数函数y ＝a x 与y ＝⎝⎛⎭⎫1a x(a ＞0且a ≠1)的图象关于y 轴对称．知识点二比较幂的大小思考若x 1＜x 2，则1x a 与2xa (a ＞0且a ≠1)的大小关系如何？答案当a ＞1时，y ＝a x 在R 上为增函数，所以12,x xa a < 当0＜a ＜1时，y ＝a x 在R 上为减函数，所以12.xxa a > 梳理一般地，比较幂大小的方法有：(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断；(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图象的变化规律来判断；(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断．知识点三解指数方程、不等式简单指数不等式的解法(1)形如a f (x )＞a g (x )的不等式，可借助y ＝a x 的单调性求解；(2)形如a f (x )＞b 的不等式，可将b 化为以a 为底数的指数幂的形式，再借助y ＝a x 的单调性求解；(3)形如a x ＞b x 的不等式，可借助两函数y ＝a x ，y ＝b x 的图象求解．知识点四与指数函数复合的函数单调性思考 112xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域与y ＝1x 的定义域是什么关系？112xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性与y ＝1x的单调性有什么关系？答案由于y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的定义域为R ，故112xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域与y ＝1x的定义域相同，故研究112xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性，只需在y ＝1x 的定义域内研究．若设0＜x 1＜x 2，则1x 1＞1x 2，121111,22x x ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不等号方向的改变与y ＝⎝⎛⎭⎫12x ，y ＝1x 的单调性均有关．梳理一般地，有形如y ＝a f (x )(a >0，且a ≠1)函数的性质 (1)函数y ＝a f (x )与函数y ＝f (x )有相同的定义域．(2)当a >1时，函数y ＝a f (x )与y ＝f (x )具有相同的单调性；当0<a <1时，函数y ＝a f (x )与函数y ＝f (x )的单调性相反．1．y ＝21－x 是R 上的增函数．( × )2．若0.1a >0.1b ，则a >b .( × )3．a ，b 均大于0且不等于1，若a x ＝b x ，则x ＝0.( × )4．由于y ＝a x (a >0且a ≠1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也组不成具有奇偶性的函数．( × )类型一解指数方程例1 解下列方程． (1)81×32x ＝⎝⎛⎭⎫19x ＋2； (2)22x ＋2＋3×2x －1＝0.考点指数方程的解法题点指数方程的解法解 (1)∵81×32x ＝⎝⎛⎭⎫19x ＋2， ∴32x ＋4＝3－2(x ＋2)， ∴2x ＋4＝－2(x ＋2)， ∴x ＝－2.(2)∵22x ＋2＋3×2x －1＝0， ∴4×(2x )2＋3×2x －1＝0.令t ＝2x (t ＞0)，则方程可化为4t 2＋3t －1＝0，解得t ＝14或t ＝－1(舍去)．∴2x ＝14，解得x ＝－2.反思与感悟 (1)a f (x )＝b 型通常化为同底来解．(2)解指数方程时常用换元法，用换元法时要特别注意“元”的范围．转化为解二次方程，用二次方程求解时，要注意二次方程根的取舍．跟踪训练1 解下列方程． (1)33x －2＝81；(2)5x ＝325； (3)52x －6×5x ＋5＝0. 考点指数方程的解法题点指数方程的解法解 (1)∵81＝34，∴33x －2＝34，∴3x －2＝4，解得x ＝2. (2)∵5x ＝325，23255,x ∴=∴x 2＝23，解得x ＝43. (3)令t ＝5x ，则t >0，原方程可化为t 2－6t ＋5＝0，解得t ＝5或t ＝1，即5x ＝5或5x ＝1， ∴x ＝1或x ＝0.类型二指数函数单调性的应用命题角度1 比较大小例2 比较下列各题中两个值的大小． (1)1.7－2.5,1.7－3；(2)1.70.3,1.50.3；(3)1.70.3,0.83.1.考点指数幂的大小比较题点比较指数幂大小解 (1)∵1.7＞1，∴y ＝1.7x 在(－∞，＋∞)上是增函数． ∵－2.5＞－3，∴1.7－2.5＞1.7－3.(2)方法一 ∵1.7＞1.5，∴在(0，＋∞)上，y ＝1.7x 的图象位于y ＝1.5x 的图象的上方．而0.3＞0，∴1.70.3＞1.50.3.方法二 ∵1.50.3＞0，且1.70.31.50.3＝⎝⎛⎭⎫1.71.50.3，又1.71.5＞1,0.3＞0，∴⎝⎛⎭⎫1.71.50.3＞1，∴1.70.3＞1.50.3. (3)∵1.70.3＞1.70＝1,0.83.1＜0.80＝1， ∴1.70.3＞0.83.1.反思与感悟当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和±1.跟踪训练2 比较下列各题中的两个值的大小． (1)0.8－0.1,1.250.2；(2)⎝⎛⎭⎫1π－π，1； (3)0.2－3，(－3)0.2.考点指数幂的大小比较题点比较指数幂大小解 (1)∵0＜0.8＜1，∴y ＝0.8x 在R 上是减函数． ∵－0.2＜－0.1，∴0.8－0.2＞0.8－0.1，即0.8－0.1＜1.250.2.(2)∵0＜1π＜1，∴函数y ＝⎝⎛⎭⎫1x 在R 上是减函数．又∵－π＜0，∴⎝⎛⎭⎫1π－π＞⎝⎛⎭⎫1π0＝1，即⎝⎛⎭⎫1π－π＞1. (3)0.2－3＝⎝⎛⎭⎫210－3＝⎝⎛⎭⎫15－3＝53，210.2105(3)(3)3,-=-=113533,5125 3.∴<==> 1330.2535,(3).-∴<>-即0.2命题角度2 解指数不等式例3 解关于x 的不等式：a 2x ＋1≤a x －5(a >0，且a ≠1)．考点指数不等式的解法题点指数不等式的解法解 ①当0<a <1时，∵a 2x ＋1≤a x －5， ∴2x ＋1≥x －5，解得x ≥－6. ②当a >1时，∵a 2x ＋1≤a x －5， ∴2x ＋1≤x －5，解得x ≤－6.综上所述，当0<a <1时，不等式的解集为{x |x ≥－6}；当a >1时，不等式的解集为{x |x ≤－6}．反思与感悟解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响．跟踪训练3 已知(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x ，则x 的取值范围是________．考点指数不等式的解法题点指数不等式的解法答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析 ∵a 2＋a ＋2＝⎝⎛⎭⎫a ＋122＋74>1， ∴(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x ⇔x >1－x ⇔x >12.∴x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 类型三求与指数函数复合的函数的单调区间例4 (1)求函数261712x x y ⎛⎫⎪⎝⎭－＋＝的单调区间；(2)求函数y ＝⎝⎛⎭⎫122x －8·⎝⎛⎭⎫12x ＋17的单调区间．考点指数函数的单调性题点指数型复合函数的单调区间解 (1)函数261712x x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋＝的定义域为R .在(－∞，3]上，y ＝x 2－6x ＋17是减函数， ∴261712x x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋＝在(－∞，3]上是增函数．在[3，＋∞)上，y ＝x 2－6x ＋17是增函数， ∴261712x x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋＝在[3，＋∞)上是减函数．∴261712x x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋＝的增区间是(－∞，3]，减区间是[3，＋∞)．(2)函数y ＝⎝⎛⎭⎫122x－8·⎝⎛⎭⎫12x ＋17的定义域为R . 设t ＝⎝⎛⎭⎫12x >0，又y ＝t 2－8t ＋17在(0,4]上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增，令⎝⎛⎭⎫12x ≤4，得x ≥－2，∴当－2≤x 1<x 2时，12114,22x x⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥即4≥t 1>t 2，∴t 21－8t 1＋17<t 22－8t 2＋17.∴y ＝⎝⎛⎭⎫122x－8·⎝⎛⎭⎫12x ＋17的单调增区间是[－2，＋∞)．同理可得减区间是(－∞，－2]．反思与感悟复合函数单调性问题归根结底是由x 1<x 2到f (x 1)与f (x 2)的大小，再到g (f (x 1))与g (f (x 2))的大小关系问题．跟踪训练4 求下列函数的单调区间．223(1);x x y a+-=(2)y ＝10.2x －1.考点指数函数的单调性题点指数型复合函数的单调区间解 (1)设y ＝a u ，u ＝x 2＋2x －3，由u ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4，得u 在(－∞，－1]上为减函数，在[－1，＋∞)上为增函数．当a >1时，y 关于u 为增函数；当0<a <1时，y 关于u 为减函数，∴当a >1时，原函数的增区间为[－1，＋∞)，减区间为(－∞，－1]；当0<a <1时，原函数的增区间为(－∞，－1]，减区间为[－1，＋∞)． (2)已知函数的定义域为{x |x ≠0}．设y ＝1u －1，u ＝0.2x ，易知u ＝0.2x 为减函数．而根据y ＝1u －1的图象可知在区间(－∞，1)和(1，＋∞)上，y 是关于u 的减函数， ∴原函数的增区间为(－∞，0)和(0，＋∞).1．下列大小关系正确的是( ) A ．0.43<30.4<π0 B ．0.43<π0<30.4 C ．30.4<0.43<π0 D ．π0<30.4<0.43考点指数幂的大小比较题点比较指数幂大小答案 B解析 0.43<0.40＝π0＝30<30.4. 2．方程42x －1＝16的解是( )A ．x ＝－32B ．x ＝32 C ．x ＝1 D ．x ＝2考点指数方程的解法题点指数方程的解法答案 B解析 ∵42x －1＝42，∴2x －1＝2，x ＝32.3．函数211()2x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为( )A ．(－∞，0]B ．[0，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．(－∞，－1)考点指数函数的单调性题点指数型复合函数的单调区间答案 A解析 ∵211()2x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0<12<1，∴f (x )的单调递增区间为u (x )＝x 2－1的单调递减区间，即(－∞，0]．4．设0＜a ＜1，则关于x 的不等式22232223x x x x a a －＋＋－＞的解集为________．考点指数不等式的解法题点指数不等式的解法答案 (1，＋∞)解析 ∵0＜a ＜1，∴y ＝a x 在R 上是减函数，又∵22232223x x x x aa－＋＋－＞，∴2x 2－3x ＋2＜2x 2＋2x －3，解得x ＞1. 5．f (x )＝2x ＋2－x 的奇偶性是________．考点与指数函数相关的函数的奇偶性题点与指数函数相关的函数的奇偶性答案偶函数解析 f (x )的定义域为R .f (－x )＝2－x ＋2－(－x )＝2x ＋2－x ＝f (x )，∴f (x )为偶函数．1．比较两个指数式值的大小的主要方法(1)比较形如a m 与a n 的大小，可运用指数函数y ＝a x 的单调性．(2)比较形如a m 与b n 的大小，一般找一个“中间值c ”，若a m <c 且c c 且c >b n ，则a m >b n .2．解简单指数不等式问题的注意点(1)形如a x >a y 的不等式，可借助y ＝a x 的单调性求解．如果a 的值不确定，需分0<a <1和a >1两种情况进行讨论．(2)形如a x >b 的不等式，注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x 的单调性求解． (3)形如a x >b x 的不等式，可借助图象求解．3．(1)研究y ＝a f (x )型单调区间时，要注意a >1还是0<a <1. 当a >1时，y ＝a f (x )与f (x )单调性相同．当0<a <1时，y ＝a f (x )与f (x )单调性相反．(2)研究y ＝f (a x )型单调区间时，要注意a x 属于f (u )的增区间还是减区间．一、选择题1．设x <0，且1a ，∴0<a <b <1.2．函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y ＝2ax －1在[0,1]上的最大值是( )A ．6B ．1C ．3 D.32考点指数函数的最值题点根据指数函数的最值求底数答案 C解析函数y ＝a x 在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1＝3，解得a ＝2，因此函数y ＝2ax －1＝4x －1在[0,1]上是单调递增函数，当x ＝1时，y max ＝3. 3．已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的关系为( ) A ．m ＋n <0 B ．m ＋n >0 C ．m >nD ．m <n考点指数不等式的解法题点指数不等式的解法答案 D解析 ∵0<5－12<1，∴f (x )＝a x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12x在R 上单调递减，又∵f (m )>f (n )，∴m <n ，故选D.4．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]考点指数函数的单调性题点指数型复合函数的单调区间答案 B解析由f (1)＝19得a 2＝19，所以a ＝13(a ＝－13舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|. 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．故选B.5．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝⎝⎛⎭⎫12－1.5，则( )A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 2考点指数幂的大小比较题点比较指数幂大小答案 D解析 40.9＝21.8,80.48＝21.44，⎝⎛⎭⎫12－1.5＝21.5，根据y ＝2x 在R 上是增函数，得21.8>21.5>21.44，即y 1>y 3>y 2，故选D.6．设f (x )＝|3x －1|，c f (a )>f (b )，则下列关系式中一定成立的是( )A ．3c ≤3bB ．3c >3bC ．3c ＋3a >2D ．3c ＋3a <2 考点指数函数性质的综合应用题点指数函数的综合问题答案 D解析 f (x )＝|3x －1|的图象如下．由c ＜b ＜a 且f (c )>f (a )>f (b )可知c ，b ，a 不在同一个单调区间上．故有c <0，a >0.∴f (c )＝1－3c ，f (a )＝3a －1.∴f (c )>f (a )，即1－3c >3a －1,3c ＋3a <2.7．已知函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )，若f (x )是偶函数，记a ＝m ，若f (x )是奇函数，记a ＝n ，则m ＋2n 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．－1考点与指数函数相关的函数的奇偶性题点与指数函数相关的函数的奇偶性答案 B解析当f (x )是偶函数时，f (x )＝f (－x )，即x (e x ＋a e －x )＝－x (e －x ＋a e x )，即(1＋a )(e x ＋e －x )x ＝0，因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1，即m ＝－1.当f (x )是奇函数时，f (x )＝－f (－x )，即x (e x ＋a e －x )＝x (e －x ＋a e x )，即(1－a )(e x －e －x )x ＝0，因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝1，即n ＝1，所以m ＋2n ＝1.8．若存在正实数x 使2x (x －a )<1，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)考点指数函数的单调性题点根据指数函数的单调性求参数的取值范围答案 D解析由2x (x －a )<1，得a >x －12x (x >0)，令f (x )＝x －12x ，即a >f (x )有解，则a >f (x )min ，又 f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴f (x )>f (0)＝－1，∴a >－1.故选D.二、填空题9．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13245x x －－的单调递减区间是________．考点指数函数的单调性题点指数型复合函数的单调区间答案 (2，＋∞)解析函数由f (t )＝⎝⎛⎭⎫13t ，t (x )＝x 2－4x －5复合而成，其中f (t )＝⎝⎛⎭⎫13t 是减函数，t (x )＝x 2－4x －5在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．由复合函数的单调性可知，函数的单调递减区间为(2，＋∞)．10．某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量f (x )(mg/mL)随时间x (h)变化的规律近似满足解析式f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5x －2，0≤x ≤1，35·⎝⎛⎭⎫13x ，x >1.规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.02 mg/mL ，据此可知，此驾驶员至少要过______ h 后才能开车．(精确到1 h)考点指数函数的实际应用题点指数函数的实际应用答案 4解析当0≤x ≤1时，125≤5x －2≤15，此时不宜开车；由35·⎝⎛⎭⎫13x ≤0.02，可得x ≥3.10.故至少要过4 h 后才能开车．11．若4x ＋2x ＋1＋m >1对一切实数x 成立，则实数m 的取值范围是__________．考点指数函数性质的综合应用题点与指数函数有关的恒成立问题答案 [1，＋∞)解析 4x ＋2x ＋1＋m >1等价于(2x )2＋2·2x ＋1>2－m ，即(2x ＋1)2>2－m .∵2x ∈(0，＋∞)， ∴2x ＋1∈(1，＋∞)，∴2－m ≤1，解得m ≥1.三、解答题12．已知函数f (x )＝2a ·4x －2x －1.(1)当a ＝1时，解不等式f (x )>0；(2)当a ＝12，x ∈[0,2]时，求f (x )的值域．考点指数函数性质的综合应用题点与指数函数有关的恒成立问题解 (1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x －2x －1.f (x )>0，即2·(2x )2－2x －1>0，解得2x >1或2x <－12(舍去)， ∴x >0，∴不等式f (x )>0的解集为{x |x >0}．(2)当a ＝12时，f (x )＝4x －2x －1，x ∈[0,2]．设t ＝2x ，∵x ∈[0,2]，∴t ∈[1,4]．令y ＝g (t )＝t 2－t －1(1≤t ≤4)，画出g (t )＝t 2－t －1(1≤t ≤4)的图象(如图)，可知g (t )min ＝g (1)＝－1，g (t )max ＝g (4)＝11，∴f (x )的值域为[－1,11]．13．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x ， (1)写出f (x )的单调区间；(2)求不等式f (x )<－12的解集．考点指数函数性质的综合应用题点与指数函数有关的恒成立问题解 (1)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.f (x )在[0，＋∞)上是增函数，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．(2)f (x )<－12＝－f (1)＝f (－1)，由(1)知f (x )在R 上是增函数，∴x <－1.即f (x )<－12的解集为(－∞，－1)．四、探究与拓展14．设f (x )满足f (x )＝f (4－x )，且当x >2时，f (x )是增函数，则a ＝f (1.10.9)，b ＝f (0.91.1)，c ＝f (2)的大小关系是________．(按由大到小排列)考点指数幂的大小比较题点比较指数幂大小答案 b >a >c解析 ∵f (x )＝f (4－x )，∴f (x )关于x ＝2对称．又∵f (x )在(2，＋∞)上是增函数，∴f (x )在(－∞，2)上是减函数．又∵1.10.9>1,0<0.91.1<1，∴0.91.1<1.10.9<2，∴f (0.91.1)>f (1.10.9)>f (2)，即b >a >c .15．已知函数f (x )＝3x ＋k ·3－x 为奇函数． (1)求实数k 的值；(2)若关于x 的不等式f (9221ax x －－)＋f (1－3ax －2)<0只有一个整数解，求实数a 的取值范围．考点指数函数性质的综合应用题点指数函数的综合问题解 (1)显然f (x )的定义域为R .∵f (x )是奇函数，∴f (x )＋f (－x )＝3x ＋k ·3－x ＋3－x ＋k ·3x＝(k ＋1)(3x ＋3－x )＝0对一切实数x 都成立，∴k ＝－1.(2)由(1)可知f (x )为R 上的增函数，又f (x )是奇函数，∴f (9221ax x －－)＋f (1－3ax －2)<0⇒9221ax x －－<3ax －2－1⇒3224ax x －<3ax －2⇒2ax 2－4x <ax －2 ⇒(ax －2)(2x －1)<0.当a ≤0时，显然不符合题意；当a >0时，由不等式只有一个整数解，可知不等式的解集为⎝⎛⎭⎫12，2a ，且1<2a≤2⇒1≤a <2， ∴实数a 的取值范围是[1,2)．。

高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数2.1.2指数函数及其性质教学设计新人教A版必修1

2.1.2 指数函数及其性质整体设计教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学(1)》(人教A版)第二章第一节第二课(2.1.2)《指数函数及其性质》．根据实际情况，将《指数函数及其性质》划分为三节课〔指数函数的图象及其性质，指数函数及其性质的应用(1)，指数函数及其性质的应用(2)〕，这是第一节课“指数函数的图象及其性质”．指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究．学生学习情况分析指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用．教材在之前的学习中给出了两个实际例子(GDP的增长问题和碳14的衰减问题)，已经让学生感受到了指数函数的实际背景，但这两个例子的背景对于学生来说有些陌生．本节课先设计一个看似简单的问题，通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望．设计思想1．函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置．如何突破这个既重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机地结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望——持久的好奇心．我们知道，函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，以往的函数的学习大多只关注到图象的作用，这其实只是借助了图象的直观性，只是从一个角度看函数，是片面的．本节课力图让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中去．2．在本节课的教学中我努力实践以下两点：(1)在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式．(2)在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法．3．通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法．教学目标根据学生的实际情况，本节课的教学目标是：理解指数函数的概念，能画出具体指数函数的图象；在理解指数函数概念、性质的基础上，能应用所学知识解决简单的数学问题；在教学过程中通过类比，回顾归纳从图象和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法，加深对指数函数的认识，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识．重点难点教学重点：指数函数的概念、图象和性质．教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质.教学过程一、创设情境、提出问题(约3分钟)师：如果让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备6粒米，4号同学准备8粒米，5号同学准备10粒米，……，按这样的规律，51号同学该准备多少粒米？学生回答后教师公布事先估算的数据：51号同学该准备102粒米，大约5克重．师：如果改成让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备8粒米，4号同学准备16粒米，5号同学准备32粒米，……，按这样的规律，51号同学该准备多少粒米？学情预设学生可能说出很多或能算出具体数目．师：大家能否估计一下51号同学该准备的米有多重吗？教师公布事先估算的数据：51号同学所需准备的大米约重1.2亿吨．师：1.2亿吨是一个什么概念？根据2007年9月13日美国农业部发布的最新数据显示，2007～2008年度我国大米产量预计为1.27亿吨．这就是说51号同学所需准备的大米相当于2007～2008年度我国全年的大米产量！设计意图用一个看似简单的实例，为引出指数函数的概念做准备；同时通过与一次函数的对比让学生感受指数函数的爆炸增长，激发学生学习新知的兴趣和欲望．在以上两个问题中，每位同学所需准备的米粒数用y表示，每位同学的座号数用x表示，y与x之间的关系分别是什么？学生很容易得出y＝2x(x∈N*)和y＝2x(x∈N*)．学情预设学生可能会漏掉x的取值范围，教师要引导学生思考具体问题中x的取值范围．二、师生互动、探究新知1．指数函数的定义师：其实，在本章开头的问题中，也有一个与y＝2x类似的关系式y＝1.073x(x∈N*，x≤20)．(1)让学生思考讨论以下问题(问题逐个给出，约3分钟)：①y＝2x(x∈N*)和y＝1.073x(x∈N*，x≤20)这两个解析式有什么共同特征？②它们能否构成函数？③是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？设计意图引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学模型．学生对比已经学过的一次函数、反比例函数、二次函数，发现y ＝2x ，y ＝1.073x 是一个新的函数模型，再让学生给这个新的函数命名，由此激发学生的学习兴趣．引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量．师：如果可以用字母a 代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成y ＝a x 的形式．自变量在指数位置，所以我们把它称作指数函数．(2)让学生讨论并给出指数函数的定义(约6分钟)．对于底数的分类，可将问题分解为：①若a ＜0，会有什么问题？(如a ＝－2，x ＝12，则在实数范围内相应的函数值不存在) ②若a ＝0，会有什么问题？(对于x ≤0，a x 都无意义)③若a ＝1又会怎么样？(1x 无论x 取何值，它总是1，对它没有研究的必要)师：为了避免上述各种情况的发生，所以规定a ＞0且a ≠1.在这里要注意生生之间、师生之间的对话．①若学生从教科书中已经看到指数函数的定义，教师可以问，为什么要求a ＞0，且a ≠1；a ＝1为什么不行？②若学生只给出y ＝a x ，教师可以引导学生通过类比一次函数(y ＝kx ＋b ，k ≠0)、反比例函数(y ＝k x ，k ≠0)、二次函数(y ＝ax 2＋bx ＋c ，a ≠0)中的限制条件，思考指数函数中底数的限制条件．学情预设设计意图①对指数函数中底数限制条件的讨论可以引导学生研究一个函数应注意它的实际意义和研究价值；②讨论出a ＞0，且a ≠1，也为下面研究性质时对底数的分类做准备．接下来教师可以问学生是否明确了指数函数的定义，能否写出一两个指数函数？教师也在黑板上写出一些解析式让学生判断，如y ＝2×3x ，y ＝32x ，y ＝－2x.学情预设学生可能只是关注指数是否是变量，而不考虑其他的．设计意图加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解．2．指数函数的性质(1)提出两个问题(约3分钟)①目前研究函数一般可以包括哪些方面？设计意图让学生在研究指数函数时有明确的目标：函数三要素(对应法则、定义域、值域)和函数的基本性质(单调性、奇偶性)．②研究函数(比如今天的指数函数)可以怎么研究？用什么方法、从什么角度研究？可以从图象和解析式这两个不同的角度进行研究；可以从具体的函数入手(即底数取一些数值)；当然也可以用列表法研究函数，只是今天我们所学的函数用列表法不易得出此函数的性质，可见具体问题要选择适当的方法来研究才能事半功倍！还可以借助一些数学思想方法来思考．设计意图①让学生知道图象法不是研究函数的唯一方法，由此引导学生可以从图象和解析式(包括列表)两个不同的角度对函数进行研究；②对学生进行数学思想方法(从一般到特殊再到一般、数形结合、分类讨论)的有机渗透．(2)分组活动，合作学习(约8分钟)师：下面我们就从图象和解析式这两个不同的角度对指数函数进行研究．①让学生分为两大组，一组从解析式的角度入手(不画图)研究指数函数，一组借助电脑通过几何画板的操作从图象的角度入手研究指数函数；②每一大组再分为若干合作小组(建议4人一小组)；③每组都将研究所得到的结论或成果写出来以便交流．学情预设考虑到各组的水平可能有所不同，教师应巡视，对个别组可做适当的指导．通过自主探索、合作学习，不仅让学生充当学习的主人更可加深对所得到结论的理解．设计意图(3)交流、总结(约10～12分钟)师：下面我们开一个成果展示会！教师在巡视过程中应关注各组的研究情况，此时可选一些有代表性的小组上台展示研究成果，并对比从两个角度入手研究的结果．教师可根据上课的实际情况对学生发现、得出的结论进行适当的点评或要求学生分析．这里除了研究定义域、值域、单调性、奇偶性外，再引导学生注意是否还有其他性质？师：各组在研究过程中除了定义域、值域、单调性、奇偶性外是否还得到一些有价值的副产品呢？〔〕如过定点(0，1)，y ＝a x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 的图象关于y 轴对称学情预设①首先选一个从解析式的角度研究的小组上台汇报；②对于从图象的角度研究的，可先选没对底数进行分类的小组上台汇报；③问其他小组有没有不同的看法，上台补充，让学生对底数进行分类，引导学生思考哪个量决定着指数函数的单调性，以什么为分界，教师可以马上通过电脑操作看函数图象的变化．设计意图①函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，通过这个活动，让学生知道研究一个具体的函数可以从多个角度入手，从图象角度研究只是能直观的看出函数的一些性质，而具体的性质还是要通过对解析式的论证；特别是定义域、值域更是可以直接从解析式中得到的．②让学生上台汇报研究成果，使学生有种成就感，同时还可训练其对数学问题的分析和表达能力，培养其数学素养；③对指数函数的底数进行分类是本课的一个难点，让学生在讨论中自己解决分类问题，使该难点的突破显得自然．师：从图象入手我们很容易看出函数的单调性、奇偶性，以及过定点(0,1)，但定义域、值域却不可确定；从解析式(结合列表)可以很容易得出函数的定义域、值域，但对底数的分类却很难想到．教师通过几何画板中改变参数a的值，追踪y＝a x的图象，在变化过程中，让全体学生进一步观察指数函数的变化规律．师生共同总结指数函数的图象和性质，教师可以边总结边板书．0＜a＜1a＞1(0，＋∞)过定点(0,1)1．例：已知指数函数f(x)＝a x(a＞0，且a≠1)的图象经过点(3，π)，求f(0)，f(1)，f(－3)的值．解：因为f(x)＝a x的图象经过点(3，π)，所以f(3)＝π，即a 3＝π.解得13πa =，于是f (x )＝3πx . 所以f (0)＝1，f (1)＝3π，f (－3)＝1π. 设计意图通过本题加深学生对指数函数的理解．师：根据本题，你能说出确定一个指数函数需要什么条件吗？师：从方程思想来看，求指数函数就是确定底数，因此只要一个条件，即布列一个方程就可以了．设计意图让学生明确底数是确定指数函数的要素，同时向学生渗透方程的思想．2．练习：(1)在同一平面直角坐标系中画出y ＝3x 和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的大致图象，并说出这两个函数的性质；(2)求下列函数的定义域：①y =112xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 3．师：通过本节课的学习，你对指数函数有什么认识？你有什么收获？学情预设学生可能只是把指数函数的性质总结一下，教师要引导学生谈谈对函数研究的学习，即怎么研究一个函数．设计意图①让学生再一次复习对函数的研究方法(可以从多个角度进行)，让学生体会本节课的研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中去．②总结本节课中所用到的数学思想方法．③强调各种研究数学的方法之间有区别又有联系，相互作用，才能融会贯通．4．作业：课本习题2.1A 组 5.教学反思1．本节课改变了以往常见的函数研究方法，让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，不仅仅是通过对比总结得到指数函数的性质，更重要的是让学生体会到对函数的研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中去，教师可以真正做到“授之以渔”而非“授之以鱼”．2．教学中借助信息技术可以弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面的不足，可以很容易的化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率，本节课使用几何画板可以动态地演示出指数函数的底数的变化过程，让学生直观地观察底数对指数函数单调性的影响．3．在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法，让学生在活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要，部分学生还能自觉地运用这些数学思想方法去分析、思考问题．指数函数及其性质的应用整体设计三维目标1．知识与技能理解指数函数的图象和性质，会利用性质来解决问题．2．过程与方法能利用指数函数的图象和性质来比较两个值的大小，图象间的平移，去探索利用指数函数的单调性来求未知字母的取值范围．3．情感、态度与价值观在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型，激发学生学习数学的兴趣，努力培养学生的创新意识．重点难点教学重点：指数函数的图象和性质．教学难点：指数函数的性质应用．教学过程第2课时指数函数及其性质的应用(1)作者：王建波导入新课思路1．复习导入：我们前一节课学习了指数函数的概念和性质，下面我们一起回顾一下指数函数的概念、图象和性质．如何利用指数函数的图象和性质来解决一些问题，这就是本堂课要讲的主要内容．教师板书课题．思路2．我们在学习指数函数的性质时，利用了指数函数的图象的特点，并且是用类比和归纳的方法得出，在理论上，我们能否严格的证明(特别是指数函数的单调性)，以便于我们在解题时应用这些性质，本堂课我们要解决这个问题．教师板书课题：指数函数及其性质的应用(1)．应用示例例1 比较下列各题中的两个值的大小：(1)1.72.5与1.73；(2)0.8－0.1与0.8－0.2；(3)1.70.3与0.93.1.活动：学生自己思考或讨论，回忆比较数的大小的方法，结合题目实际，选择合理的方法，再写出答案(最好用实物投影仪展示写得正确的答案)．比较数的大小，一是作差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大；图1二是作商，但必须是同号数，看商与1的大小，再决定两个数的大小；三是计算出每个数的值，再比较大小；四是利用图象；五是利用函数的单调性．教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正并评价．解法一：用数形结合的方法，如第(1)小题，用图形计算器或计算机画出y＝1.7x的图象，如图1.在图象上找出横坐标分别为2.5,3的点，显然，图象上横坐标为3的点在横坐标为2.5的点的上方，所以1.72.5＜1.73，同理0.8－0.1＜0.8－0.2,1.70.3＞0.93.1.解法二：用计算器直接计算：1.72.5≈3.77,1.73≈4.91，所以1.72.5＜1.73.同理0.8－0.1＜0.8－0.2,1.70.3＞0.93.1.解法三：利用函数单调性，(1)1.72.5与1.73的底数是1.7，它们可以看成函数y＝1.7x，当x＝2.5和3时的函数值；因为1.7＞1，所以函数y＝1.7x在R上是增函数，而2.5＜3，所以1.72.5＜1.73；(2)0.8－0.1与0.8－0.2的底数是0.8，它们可以看成函数y＝0.8x，当x＝－0.1和－0.2时的函数值；因为0＜0.8＜1，所以函数y＝0.8x在R上是减函数，而－0.1＞－0.2，所以0.8－0.1＜0.8－0.2；(3)因为1.70.3＞1.70＝1,0.93.1＜0.90＝1，所以1.70.3＞0.93.1.点评：在第(3)小题中，可以用解法一、解法二解决，但解法三不适合．由于1.70.3与0.93.1不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找到1，把这两数值分别与1比较大小，进而比较1.70.3与0.93.1的大小，这里的1是中间值．思考在上面的解法中，你认为哪种方法更实用？活动：学生对上面的三种解法作比较，解题有法但无定法，我们要采取多种解法，在多种解法中选择最优解法，这要通过反复练习强化来实现．例活动：教师点拨提示定义法判断函数单调性的步骤，单调性的定义证明函数的单调性，要按规定的格式书写．证法一：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则y 2－y 1＝21121(1)x x x x a a a a x -=--．因为a ＞1，x 2－x 1＞0，所以21>1x x a-，即21x x a -－1＞0. 又因为1x a ＞0，所以y 2－y 1＞0，即y 1＜y 2.所以当a ＞1时，y ＝a x，x ∈R 是增函数．同理可证，当0＜a ＜1时，y ＝a x 是减函数．证法二：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则y 2与y 1都大于0，则y 2y 1＝2211x x x x a a a -=. 因为a ＞1，x 2－x 1＞0，所以21>1x x a-＞1，即y 2y 1＞1，y 1＜y 2. 所以当a ＞1时，y ＝a x ，x ∈R 是增函数．同理可证，当0＜a ＜1时，y ＝a x是减函数．例1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少(精确到亿)?活动：师生共同讨论，将实际问题转化为数学表达式，建立目标函数，常采用特殊到一般的方式，教师引导学生注意题目中自变量的取值范围，可以先考虑一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题：1999年底人口约为13亿；经过1年人口约为13(1＋1%)亿；经过2年人口约为13(1＋1%)(1＋1%)＝13(1＋1%)2亿；经过3年人口约为13(1＋1%)2(1＋1%)＝13(1＋1%)3亿；……经过x 年人口约为13(1＋1%)x亿；经过20年人口约为13(1＋1%)20亿．解：设今后人口年平均增长率为1%，经过x 年后，我国人口数为y 亿，则 y ＝13(1＋1%)x ，当x ＝20时，y ＝13(1＋1%)20≈16(亿)．答：经过20年后，我国人口数最多为16亿．点评：类似此题，设原值为N ，平均增长率为p ，则对于经过时间x 后总量y ＝N (1＋p )x (x ∈N )，像y ＝N (1＋p )x 等形如y ＝ka x (k ∈R ，且k ≠0；a ＞0，且a ≠1)的函数称为指数型函数．知能训练1．函数y ＝a |x |(a ＞1)的图象是( )图2解析：当x ≥0时，y ＝a |x |＝a x 的图象过(0,1)点，在第一象限，图象下凸，是增函数．答案：B2．下列关系中正确的是( )A ．221333111252⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．122333111225⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．212333111522⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．221333111522⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭答案：D3．已知函数f (x )的定义域是(0,1)，那么f (2x)的定义域是( )A ．(0,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(－∞，0) D ．(0，＋∞) 解析：由题意得0＜2x ＜1，即0＜2x ＜20，所以x ＜0，即x ∈(－∞，0)．答案：C4．若集合A ＝{y |y ＝2x，x ∈R }，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则( ) A ．AB B ．AB C ．A ＝B D ．A ∩B ＝∅解析：A ＝{y |y ＞0}，B ＝{y |y ≥0}，所以A B .答案：A5．对于函数f (x )定义域中的任意的x 1、x 2(x 1≠x 2)，有如下的结论： ①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)；②f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)； ③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0；④f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f (x 1)＋f (x 2)2.当f (x )＝10x时，上述结论中正确的是__________．解析：因为f (x )＝10x，且x 1≠x 2，所以f (x 1＋x 2)＝1212101010x x xx +=⋅＝f (x 1)·f (x 2)，所以①正确；因为f (x 1·x 2)＝1212101010x x xx ⋅≠+＝f (x 1)＋f (x 2)，②不正确；因为f (x )＝10x是增函数，所以f (x 1)－f (x 2)与x 1－x 2同号，所以f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，所以③正确．因为函数f (x )＝10x图象如图3所示是上凹下凸的，可解得④正确．图3答案：①③④另解：④.∵10x 1＞0,10x 2＞0，x 1≠x 2，∴1210102xx +>1210102xx +>即121221010102x x x x ++>.∴f (x 1)＋f (x 2)2＞f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.拓展提升在同一坐标系中作出下列函数的图象，讨论它们之间的联系． (1)①y ＝3x，②y ＝3x ＋1，③y ＝3x －1；(2)①y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，②y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，③y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1.活动：学生动手画函数图象，教师点拨，学生没有思路，教师可以提示．学生回忆函数作图的方法与步骤，按规定作出图象，特别是关键点．解：如图4及图5.观察图4可以看出，y ＝3x，y ＝3x ＋1，y ＝3x －1的图象间有如下关系：y ＝3x ＋1的图象由y ＝3x 的图象左移1个单位得到； y ＝3x －1的图象由y ＝3x 的图象右移1个单位得到； y ＝3x －1的图象由y ＝3x ＋1的图象向右移动2个单位得到．观察图5可以看出，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的图象间有如下关系：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的图象由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象左移1个单位得到；y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图象由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象右移1个单位得到； y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图象由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的图象向右移动2个单位得到．你能推广到一般的情形吗？同学们留作思考．课堂小结思考本节课我们主要学习了哪些知识，你有什么收获？把你的收获写在笔记本上.活动：教师用多媒体显示以下内容，学生互相交流学习心得，看是否与多媒体显示的内容一致．本节课，在复习旧知识的基础上学习了数形结合的思想、函数与方程的思想，加深了对问题的分析能力，形成了一定的能力与方法．作业课本习题2.1 B组1,3,4.设计感想本节课主要是复习巩固指数函数及其性质，涉及的内容较多，要首先组织学生回顾指数函数的性质，为此，必须利用函数图象，数形结合，通过数与形的相互转化，借助形的直观性解决问题，本节课要训练学生能够恰当地构造函数，根据函数的单调性比较大小，有时要分a＞1,0＜a＜1，这是分类讨论的思想，因此加大了习题和练习的量，目的是让学生在较短的时间内，掌握学习的方法，提高分析问题和解决问题的能力，要加快速度，多运用现代化的教学手段．第3课时指数函数及其性质的应用(2)作者：刘玉亭导入新课思路1．我们在学习指数函数的性质时，利用了指数函数的图象的特点，并且是用类比和归纳的方法得出，在上节课的探究中我们知道，函数①y＝3x，②y＝3x＋1，③y＝3x－1的图象之间的关系，由其中的一个可得到另外两个的图象，那么，对y＝a x与y＝a x＋m(a＞0，m∈R)有着怎样的关系呢？在理论上，含有指数函数的复合函数是否具有奇偶性呢？这是我们本堂课研究的内容．教师点出课题：指数函数及其性质的应用(2)．思路2．我们在第一章中，已学习了函数的性质，特别是单调性和奇偶性是某些函数的重要特点，我们刚刚学习的指数函数，严格地证明了指数函数的单调性，便于我们在解题时应用这些性质，在实际生活中，往往遇到的不单单是指数函数，还有其他形式的函数，有的是指数函数的复合函数，我们需要研究它的单调性和奇偶性，这是我们面临的问题，也是我们本节课要解决的问题——指数函数及其性质的应用(2)．推进新课新知探究提出问题(1)指数函数有哪些性质？(2)利用单调性的定义证明函数单调性的步骤有哪些？(3)对复合函数，如何证明函数的单调性？(4)如何判断函数的奇偶性，有哪些方法？活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容．讨论结果：(1)指数函数的图象和性质一般地，指数函数y＝a x在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：图象分布在一、二象限，与轴相交，落在x轴的上方都过点(0,1)第一象限的点的纵坐标都大于1第二象限的点的纵坐标都大于第一象限的点的纵坐标都大于0且小于1；第二象限的点①取值．即设x1，x2是该区间内的任意两个值且x1＜x2.②作差变形．即求f(x2)－f(x1)，通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．③定号．根据给定的区间和x2－x1的符号确定f(x2)－f(x1)的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论．④判断．根据单调性定义作出结论．(3)对于复合函数y＝f(g(x))可以总结为：当函数f(x)和g(x)的单调性相同时，复合函数y＝f(g(x))是增函数；当函数f(x)和g(x)的单调性相异即不同时，复合函数y＝f(g(x))是减函数；又简称为口诀“同增异减”．(4)判断函数的奇偶性：一是利用定义法，即首先是定义域关于原点对称，再次是考查式子f(x)与f(－x)的关系，最后确定函数的奇偶性；二是作出函数图象或从已知图象观察，若图象关于原点或y轴对称，则函数具有奇偶性．应用示例例 1 在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y＝2x的图象的关系．(1)y＝2x＋1与y＝2x＋2；(2)y＝2x－1与y＝2x－2.活动：教师适当时候点拨，学生回想作图的方法和步骤，特别是指数函数图象的作法，学生回答并到黑板上作图，教师指点学生，列出对应值表，抓住关键点，特别是(0,1)点，或用计算机作图．解：(1)列出函数数据表作出图象如图6.图6比较可知函数y＝2x＋1、y＝2x＋2与y＝2x的图象的关系为：将指数函数y＝2x的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y＝2x＋1的图象；将指数函数y＝2x的图象向左平行移动2个单位长度，就得到函数y＝2x＋2的图象．(2)列出函数数据表作出图象如图7.图7比较可知函数y ＝2x －1、y ＝2x －2与y ＝2x的图象的关系为：将指数函数y ＝2x的图象向右平行移动1个单位长度，就得到函数y ＝2x －1的图象；将指数函数y ＝2x的图象向右平行移动2个单位长度，就得到函数y ＝2x －2的图象．点评：类似地，我们得到y ＝a x与y ＝ax ＋m(a ＞0，a ≠1，m ∈R )之间的关系：y ＝a x ＋m (a ＞0，m ∈R )的图象可以由y ＝a x 的图象变化而来．当m ＞0时，y ＝a x的图象向左移动m 个单位得到y ＝ax ＋m的图象；当m ＜0时，y ＝a x 的图象向右移动|m |个单位得到y ＝a x ＋m的图象．上述规律也简称为“左加右减”．例2 已知定义域为R 的函数f (x )＝2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求k 的取值范围．活动：学生审题，考虑解题思路．求值一般是构建方程，求取值范围一般要转化为不等式，如果有困难，教师可以提示，(1)从条件出发，充分利用奇函数的性质，由于定义域为R ，所以f (0)＝0，f (－1)＝－f (1)，(2)在(1)的基础上求出f (x )，转化为关于k 的不等式，利用恒成立问题再转化．(1)解：因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，即b －1a ＋2＝0⇒b ＝1.所以f (x )＝1－2xa ＋2x ＋1；。

高中数学新学案同步必修1人教A版全国通用版第二章基本初等函数 2.2 对数函数 2.2.2(一)

知识点二
对数函数的图象与性质
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：定义底数 a>1 y＝logax (a>0，且a≠1) 0<
(0，＋∞) _________ R ___
单调性共点性函数值特点
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
图象过定点 (1,0) ，即x＝1时，y＝0
x∈(0,1)时，y∈ (－∞，0) ；
x∈[1，＋∞)时，
x∈(0,1)时，y∈ (0，＋∞) ； (－∞，0] x∈[1，＋∞)时，y∈_________
[0，＋∞) y∈__________
对称性
函数y＝logax与y＝ log 1 x 的图象关于 x轴对称
a
[思考辨析判断正误] 1.由y＝logax，得x＝ay，所以x>0.( √ ) 2.y＝2log2x是对数函数.( × ) 3.y＝ax与y＝logax的单调区间相同.( × ) 4.由loga1＝0，可得y＝logax恒过定点(1,0).( √ )
题型探究
类型一对数函数的定义域的应用
例1 求下列函数的定义域. (1)y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)；
第二章 §2.2
对数函数
2.2.2 对数函数及其性质(一)
学习目标
1.理解对数函数的概念.
2.掌握对数函数的性质.
3.了解对数函数在生产实际中的简单应用.
内容索引
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一
对数函数的概念
思考已知函数y＝2x，那么反过来，x是否为关于y的函数？答案由于y＝2x是单调函数，所以对于任意y∈(0，＋∞)都有唯一确定

人教A版高中数学必修一第二章基本初等函数学案

第1讲 §2.1.1 指数与指数幂运算※知识要点 1．n 次方根(1)定义：若x n ＝a (n >1且n ∈N *)，则x 叫做，式子n a 叫做________，这里n 叫做________，a 叫做____________． (2)几个规定①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个，负数的n 次方根是一个，这时，a 的n 次方根用符号________表示． ②当n 为偶数时，正数的n 次方根有个，它们互为相反数，这时，这个数的n 次方根可以合写成________(a >0)． ③ 没有偶次方根，零的任何次方根都是． 2．根式的性质(1)(na )n ＝ (n ∈N *，且n >1)； (2)(na n )＝ (n 为大于1的奇数)；(3)(na n )＝＝ (n 为大于1的偶数)． 3．分数指数幂一般的，我们规定：(1) ＝________(a >0，m ，n ∈N *，n >1)； (2) ＝________(a >0，m ，n ∈N *，n >1)． (3)有理指数幂的运算(m ，n ∈Q )①a m a n ＝________； ②(a m )n ＝________；③(ab )m ＝________； ④a m ÷a n ＝________( )； ⑤a 0＝______( )； ⑥a －p ＝________( )；※题型讲练【例1】(1)81的4次方根是，－32的5次方根是； (2)2017的6次方根是，2018的7次方根是．变式训练1：1．求下列各式的值：(4)()88b a - (a b <)2．化简：(a －1)2＋(1－a )2＋3(1－a )3【例2】把下列根式化为分数指数幂，分数指数幂化为根式： (1)35＝________；(2)322＝________；(3)1523＝________；(4) ＝________；(5) ＝________；(6) ＝________.变式训练2：1．把下列根式化为分数指数幂： (1)3·a a (2)【例3】化简与计算下列各式：(1)(2)变式训练3：1．化简：＝________. 2．计算：【例4】已知11223a a--=，求下列各式的值：(1)1-+a a ; (2)1122a a -+;变式训练4： 1．已知1x x -+＝3，求的值．12113321()4(0.1)()a b ---⋅⋅m na nm a -86a 53-m2333·1aa 3421413223)(a b b a ab b a ()21103227()0.0022).8--－－＋－＋1103437()()826-⨯-＋222121--++x x x x※课堂反馈1．以下说法正确的是(其中n ＞1且n ∈N *)( )A ．正数的n 次方根是正数；B ．负数的n 次方根是负数；C ．0的n 次方根是0D ．a 的n 次方根是n a . 2．下列各式正确的是( ) A ．(－3)2＝－3 B ．4a 4＝a C ．22＝2 D ．3(－2)3＝2 3．把根式32m m 化成分数指数幂是________．4．计算： =________．5．已知3a ＝2，3b ＝15，则32a －b＝________.6．计算：※基础夯实 1．下列运算结果中，正确的是( ) A ．a 2a 3＝a 5 B ．(－a 2)3＝(－a 3)2C ．(a －1)0＝1D ．(－a 2)3＝a 6 2．若2<a <3，化简(2－a )2＋4(3－a )4的结果是( ) A．5－2a B ．2a －5 C ．1D ．－13．下列根式中，分数指数幂的互化，正确的是( ) A ．12()(0)x x -> B 13(0)y y < C ．340)xx -=> D ．130)xx -=≠4．若()4321--x 有意义，则x 的取值范围是( ) A ．x ∈R B ．x >0.5 C ．x ≠0.5 D ．x <0.55．化简()()615312233··ab b a b a -的结果是( ) A ．a B ．(ab )－1 C ．ab －1 D ．a －16．将分数指数幂34m 化成根式形式是________．7．若n 是偶数，n(x －1)n ＝x －1，则x 的取值范围为______． 8．若代数式2x －1＋2－x 有意义，化简下列式子： 4x 2－4x ＋1＋24(x －2)4.9．化简与计算： (1)(2)(3)※能力提升 1．设＝m ，则a 2＋1a ＝( )A ．m 2－2B ．2－m 2C ．m 2＋2D ．m 22．设a x ＝3，a y＝5，则22yx a +＝________.3．设a 2＝b 4＝m (a >0，b >0)，且a ＋b ＝6，则m ＝______. 4．计算：23×31.5×6125．已知1122a a -+＝5，求下列各式的值： (1)a 2＋a －2； (2)a 2－a －2.()()[]75.0525031161287064.0⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛----32833-⎪⎭⎫ ⎝⎛2110332464()( 5.6)()0.125927--+--+=()662132313ba ab b a -∙442121--a a第2讲 §2.1.2 指数函数图像及性质※知识要点1．指数函数的概念一般的，形如函数 ( )叫做指数函数，其中自变量是，定义域是； 2．指数函数的图像及性质※题型讲练【例1】下列函数中，是指数函数的为________．(填序号)(1)y ＝2x ＋2； (2)y ＝(－2)x ； (3)y ＝－2x ； (4)y ＝πx ；(5)y ＝x 2； (6)y ＝(a －1)x (a >1，且a ≠2)．变式训练1：1．若f (x )＝(a 2－7a ＋7)a x 是指数函数，则实数a 的值为． 2．已知f (x )＝(2a －1)x 是指数函数，则a 的取值范围是_____．3．若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝16，则f (－32)＝_____.【例2】(1)已知0＜a ＜1，b ＜－1，则函数y ＝a x ＋b 的图象必定不经过第________象限．(2)函数f (x )＝2a x ＋1－3(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点________．变式训练2：1．函数f (x )＝a x －12(a >1)的图象必过定点________，其图象必不过第_____象限.【例3】解下列不等式：(1)2x ＋2－1≤0； (2)4x －1＞22； (3)(13)x ＜39．变式训练3：1．分别求下列函数的定义域：(1)f (x )＝110x －1； (2)f (x )＝4－12x ．【例4】分别求下列函数的值域：(1)f (x )＝10x－1； (2)f (x )＝(23)x －1，x ∈[0，＋∞)；(3)f (x )＝4－12x ； (4)y ＝4x ＋2x ＋1＋2．变式训练4：1．函数y ＝8－23－x在区间x ∈[0,＋∞)上的值域是________．2．若f (x )＝a x－1(a >0，且a ≠1)的定义域、值域都是[0，2]，则实数a 的值为．3．已知0≤x ≤2，求f (x )＝9x －2·3x＋5的最大值．※课堂反馈1．若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝()A．(2)x B．2x C．(12)x D．(22)x2．当x∈[－2,2)时，y＝3－x－1的值域是()A．(－89，8] B．[－89，8] C．(19，9] D．[19，9]3．函数y＝a x－5＋1(a≠0)的图象必经过点________．4．若f(x)＝(a2－1)a x是指数函数，则实数a的值为．5．已知指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________.6．已知函数f(x)＝4－2x，求f(x)的定义域和值域．※基础夯实1．函数y＝(a2－4a＋4)a x是指数函数，则a的值是() A．4 B．1或3 C．3 D．12．下列各函数中，是指数函数的是()A．y＝(－3)x B．y＝－3x C．y＝3x－1D．y＝13x 3．函数f(x)＝2|x|－1在区间[－1，2]上的值域是()A．[1,4] B ．[12,2] C．[1,2] D．[12,1] 4．函数y＝a|x|(a>1)的图象是()5．如图是指数函数①y＝a x，②y＝b x，③y＝c x，④y＝d x的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是()A．a＜b＜1＜c＜dB．b＜a＜1＜d＜cC．1＜a＜b＜c＜dD．a＜b＜1＜d＜c6．指数函数f(x)＝5+a x＋1的图象恒过定点________．7．若f(x)＝a x(a>0，且a≠1)在[0，1]上最大值与最小值和为3，则实数a的值为．8．函数y＝8－24－x(x≥0)的值域是________．9．已知函数f(x)＝a x2－2x(a>0且a≠1)的图象经过点(1，2)，(1)求a的值；(2)求函数y＝f(x)在R上的值域．10．已知f(x)＝9x－2×3x＋4，x∈[－1,2]．(1)设t＝3x，x∈[－1,2]，求t的最大值与最小值；(2)求f(x)的最大值与最小值.※能力提升1．若a>1，－1<b<0，则函数y＝a x＋b的图象一定在() A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限D．第一、二、四象限2．函数y＝xa x|x|(0<a<1)的图象的大致形状是()3．已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f (x)＝1－2－x，则不等式f (x)<－12的解集是________．4．定义运算a※b＝⎩⎨⎧b(a≥b)，a(a＜b)，则函数f (x)＝3－x※3x的值域为________．5．用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗________次.6．若函数f(x)＝2ax2－a x+1－1的定义域为R，求实数a的取值范围．第3讲 §2.1.3 指数函数性质及应用※知识要点1．复合函数单调性一般的，在某一区间D 上，若内外函数单调性，则复合函数在区间D 上单调递增；若内外函数单调性，则复合函数在区间D 上单调递减．注：复合函数单调性结论可简记为：． 2．指数幂大小比较(1)同底数幂比较：； (2)同指数幂比较：； (3)不同底不同指幂比较：．※题型讲练【例1】比较下列各组数的大小．(1)2.30.6和2.31.2； (2)(35)0..5和(35)0..8；(3)1.9＋1.5和3＋1.5； (4)3.10.6和0.63.1；变式训练1：1．比较大小：a ＝1.50.6，b ＝0.60.2，c ＝0.61.5．2．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则y 1，y 2，y 3的大小关系为________．【例2】已知函数f (x )＝(12)x 2－2x，求f (x )的值域和单调区间．变式训练2：1．已知函数y ＝2－x 2＋4x －1，求其单调区间及值域．2．若函数f (x )＝(13)ax 2－(a ＋2)x ＋3在区间[－1,＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是____________．3．函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋3a ，x <0，a x ， x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是________．【例3】已知函数f (x )＝2x－b2x ＋a是定义在R 上的奇函数．(1)求a 、b 的值；(2)判断并证明函数f (x )的单调性； (3)求函数f (x )在R 上的值域．变式训练3：1．已知函数f (x )＝12x +1+a 是奇函数，则a =_____．2．已知函数f (x )＝2x －12x ．(1)判断函数f (x )的奇偶性； (2)证明：f (x )为R 上的增函数；(3)若对于任意m ∈[－2，2]，不等式f (m 2－3m )＋f (m －k )<0恒成立，求k 的取值范围．※课堂反馈 1．若2x ＋1<1，则x 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－1，＋∞) C ．(0,1)∪(1，＋∞) D ．(－∞，－1) 2．下列判断正确的是( ) A ．1.72.5＞1.73 B ．0.82＜0.83C ．0.9－0.3＜1D ．1.90.3＞0.92.53．函数y ＝2x 2+4x +2的值域为，增区间为．4．已知函数f (x )＝13x ＋1＋a 为奇函数，则常数a ＝______.5．已知函数指数f (x )＝(2a －1)x 是R 上的减函数，则实数a的取值范围是．6．设函数f (x )＝1－22x +1， (1)证明：f (x )为奇函数． (2)求f (x )的值域．※基础夯实1．已知f (x )＝3x －b(2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域是( )A ．[9,81]B ．[3,9]C ．[1,9]D ．[1，＋∞)2．函数y ＝(12)1－x的单调递增区间为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)3．若函数f (x )＝12x ＋1，则该函数在(－∞，＋∞)上( )A ．单调递减且无最小值B ．单调递减且有最小值C ．单调递增且无最大值D ．单调递增且有最大值4．若1>n >m >0，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x的图象为()5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧a x，(x <0)(a －3)x ＋4a ，(x ≥0)，满足对任意的x 1≠x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0成立，则a 的取值范围是( )A ．(0，14]B ．(0,1)C ． [14，1) D ．(0,3)6．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则a ，b ，c 的大小关系是____________．7．不等式0.52x>4x －1的解集为____________．(用区间表示)8．求函数f (x )＝4－2x2+2x －2的值域和单调区间．9．已知函数f (x )＝3x，f (a ＋2)＝81，g (x )＝1－a x 1＋a x . (1)求g (x )的解析式并判断g (x )的奇偶性； (2)用定义证明：函数g (x )在R 上是单调递减函数； (3)求函数g (x )的值域.※能力提升1．函数f (x )＝4x ＋12x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称2．已知函数f (x )＝(a －2)a x(a ＞0，且a ≠1)，若对任意x 1，x 2∈R ，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，则a 的取值范围是______________．3．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x＋2(a >0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)＝________. 4．已知函数f (x )＝(13)ax 2－4x +3.．(1)若f (x )有最大值3，求a 的值；(2)若f (x )在(－∞，1)上单调递增，求a 的取值范围．5．已知函数y ＝a 2x ＋2a x－1(a >0且a ≠1)在[－1，1]上有最大值14，试求a 的值．第4讲 §2.2.1 对数及对数运算※知识要点 1．对数的概念一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么就称b 是以为底的对数，记作：＝b ，其中a 叫做对数的，N 叫做．注：常用对数log 10N ＝；自然对数log e N ＝ (e 是无理数，e ≈ )．2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质(a >0且a ≠1)①特殊对数值：log a 1＝，log a a ＝； ②对数恒等式：a log a N ＝；③ 没有对数；(2)对数的运算法则(a >0且a ≠1，M >0，N >0)①log a (MN )＝；②log a MN ＝；③log a M n＝； 3．换底公式(1)内容：log a N ＝，(其中a >0，a ≠1，N >0，c >0，c ≠1)； (2)推广：①log a b ·log b a ＝ (a ，b >0且a ，b ≠1)； ②n a b g m lo ＝ (a ，b >0且a ，b ≠1，m ≠0)．③log a b ·log b c ·log c d ＝．※题型讲练【例1】将下列的对数式化为指数式或将指数式化为对数式：(1) (12)－1＝2 (2)log 381=4 (3)e 0=1(4)ln a =b (5)lg0.001=－3 (6)3－3＝127变式训练1：1．求解下列各式中x 的值：(1)log 8x =－23 (2)log 422 =x (3)log x 25=－22．设log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m +n＝．3．若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝0，则x ＋y ＝．【例2】求下列对数式中x 的取值范围：(1)lg(2x －1)； (2)log (x －2)(x ＋2)．变式训练2：1．使log a (3a －2)有意义的a 的取值范围是________．2．解方程：log (x +1)(x ＋3)－2=0【例3】计算下列各题：(1)2ln e －52log 52+12log 3 3 3 (2)12lg 3249－43lg 8＋lg 245(3)lg 25＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2变式训练3：1．计算下列各题：(1)2log 3 2－log 3 329＋log 3 8－π 2log π3 (2)lg 25＋lg 2·lg 50【例4】(1)计算：log 29·log 34＝________；(2)设3a ＝5b ＝c ，且1a ＋1b＝2，则c 的值为．变式训练4：1．求值：log 225·log 3116·log 519＝________.2．已知log 147＝a ，log 145＝b ，试用a 、b 表示log 3528．※课堂反馈1．已知log x 8＝3，则x 的值为( )A ．12B ．2C ．3D ．42．化简lg 2516－2lg 59＋lg 3281=( )A ．lg 2B ．lg 3C ．lg 4D ．lg 53．对数式log (10－b )(b －2)中，实数b 的取值范围是________．4．已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m －n＝_______，用m ，n 表示对数log a 18＝________．5．已知2m ＝5n ＝10，则1m ＋1n＝________.6．计算：12lg16＋lg 25－2log 23－log 2 27·log 3 4※基础夯实1．方程2log 3x ＝14的解是( )A ．9B ．33C ． 3D ．192．若log 5(log 3(log 2x ))＝0，则x 等于( )A.36 B ．39 C ．24 D ．233．计算21+log 25＝( )A ．7B ．10C ．6D ．924．已知a ＝log 32，则log 38－2log 36＝( )A ．a －2B ．5a －2C ．3a －(1＋a )2D ．3a －a 2－1 5．使log (x －1)(x ＋2)有意义的x 的取值范围是________．6．设g(x )＝⎩⎨⎧e x，x ≤0ln x ，x >0，则g (g (12))＝________.7．设7a ＝8b ＝k ，且1a ＋1b＝1，则k ＝________.8．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0； ②ln(ln e)＝0； ③若10＝lg x ，则x ＝10；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2，其中正确的是________．(填序号) 9．计算下列各式． (1) (lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25 (2) log 4 9·log 3 10·lg 8(3) log 5 35＋2log 122－log 5 150－log 5 14；10．已知2x=3，log 483＝y ，求x ＋2y 的值．※能力提升1．设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a (bc )＝log a b ·log a c D ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c2．若log 5 14·log 4 6·log 6 x ＝2，则x ＝________.3．若lg 2＝a ，lg 3＝b ，则用a ，b 的表示log 5 12=_______． 4．计算下列各式：(1)100(lg 3－lg 2)－log 98·log 433+(2+3)lg 1(2)lg 27＋lg 8－lg 1 000lg 1.2；5．已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z ，2x ＝py .(1)求p ； (2)证明：1z －1x ＝12y.第5讲 §2.2.2 对数函数图像及性质21-※知识要点1．对数函数我们把函数( )叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域为．2．对数函数的图像及性质3．反函数(1)指数函数与对数函数y＝log a x互为反函数；(2)互为反函数的两个函数的图象关于直线____对称．※题型讲练【例1】下列函数表达式中，是对数函数的个数有()①y＝log x2；②y＝log a x(a∈R)；③y＝log8x；④y＝l n x；⑤y＝log x(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1)．A．1个B．2个C．3个D．4个变式训练1：1．若f(x)＝log(a+1)x＋(a2－2a－8)是对数函数，则a＝______. 2．若对数函数f(x)的图象过点(4，－2)，则f(8)＝________. 【例2】已知函数f(x)＝log a(x－1)＋1(a>0，且a≠1)．(1)函数f(x)图像恒过定点________；(2)若a>1，则函数f(x)图像经过________象限．变式训练2：1．函数y＝3log a(x+2)－1(a>0且a≠1)的图像恒过定点．2．若g(x)与函数f(x)＝e x互为反函数，则g(x)＝________．【例3】解下列对数不等各式：(1)log2(2x－1)＜1 (2)log9(x+2)≥log3x变式训练3：1．分别求下列函数的定义域：(1) f(x)＝ln(x＋1)2－x(2) f(x)＝2－log2(x－1)(3)f(x)＝4－xlg(x－1)(4)f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8)【例4】分别求下列函数的值域：(1) f(x)＝log12(x－1)，x∈[2,5] (2) f(x)＝log2(x2－2x)(3) f(x)＝log2(－x2－2x+3)变式训练4：1．设函数f(x)＝log12(－x2+4x)，则f(x)的定义域为，值域为．2．已知函数f(x)＝lg(ax2+2x+1)的值域为R，求a的取值范围．※课堂反馈1．已知函数f (x )＝11－x的定义域为M ，g(x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N ＝( ) A ．{x |x >－1} B ．{x |x <1} C ．{x |－1<x <1} D ．∅2．同一坐标系中，y ＝a －x与y ＝log a x 的图象可能是( )3．若f (x )是对数函数，且f (2)＝2，则f (12)＝________.4．函数y ＝log a (2x ＋1)＋2(a ＞0且a ≠1)必过定点________． 5．已知f (x )与g (x )＝log 3x (x ＞0)互为反函数，则f (－2)＝____. 6．求函数f (x )＝log 12(x 2－2x +5)的定义域和值域．※基础夯实1．已知下列函数：①y ＝log 12(－x )(x <0)；②y ＝2log 4(x －1)(x >1)；③y ＝ln x (x >0)；④y ＝log a x (x >0，a 是常数)．其中为对数函数的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 2．函数y ＝1＋log 12(x －1)的图象一定经过点( )A ．(1,1)B ．(1,0)C ．(2,1)D ．(2,0)3．函数y ＝1log 2(x －2)的定义域为( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞) 4．函数f (x )＝log a (x ＋2)(0<a <1)的图象必不过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( )A ．log 2xB ．12xC ．log 12x D ．2x －26．函数y ＝(a 2－4a ＋4)log a x 是对数函数，则a ＝________.7．函数y ＝lg (x ＋1)2x －1的定义域为____________．8．已知函数y ＝log a (2x －3)＋1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是________．9．函数y ＝x ＋a 与y ＝log a x 的示意图在同一坐标系中正确的是下列图象中的________．(填序号)10．已知对数函数f (x )的图象过点(8，－3)，(1)求f (22)； (2)设g (x )=f (－x 2－x )，求g (x )的值域．※能力提升1．满足“对定义域内任意实数x ，y ，f (x ·y )＝f (x )＋f (y )”的函数可以是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝2xC ．f (x )＝log 2xD ．f (x )＝e l n x2．已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝ax与函数g(x )＝－log b x 的图象可能是( )3．设f (x )＝log 2 x 的反函数为g (x )，且g (a )＝14，则a ＝_____.4．若f (ln x )＝3x +4，则f (x )的解析式为____________．5．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2017)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22017)的值等于________． 6．已知函数f (x )＝lg(ax 2－ax +1)，(1)若该函数的定义域是R ，求a 的取值范围； (2)若该函数的值域是R ，求a 的取值范围．第6讲 §2.2.3 对数函数性质及应用※知识要点1．对数大小比较(1)同底对数比较：； (2)同真对数比较：； (3)不同底不同真对数比较：．※题型讲练【例1】比较下列各组对数的大小：(1) log12π与log12e；(2)log2 2.7与log1.8 2.7；(3) log3 23与log565；(4) log3π与logπ3；变式训练1：1．设a＝log3 2，b＝log5 2，c＝log2 3，则a，b，c的大小关系为________．2．已知a＝log2 0.6，b＝log0.5 0.8，c＝0.3－0.2，则a，b，c的大小关系为________．【例2】求函数f (x)＝log2(x2－4x)的单调区间．变式训练2：1．求函数f (x)＝log12(－x2－4x＋12)的值域和单调递增区间．2．已知函数f(x)＝ln(ax2+2x+3)在区间[－1,＋∞)单调递增，则实数a的取值范围是____________．【例3】已知函数f(x)＝log a(x＋1)－log a(1－x)，a>0且a≠1.(1)求f(x)定义域；(2)判断f(x)奇偶性；(3)解不等式f(x)>0．变式训练3：1．已知f(x)＝lg(x2＋1＋x)，且f(a)＝3，则f(－a)＝_____．2．已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f (log2a)＋f (log12a)≤2f (1)，则a 的取值范围是________.【例4】当x∈[3,27]时，求函数f (x)＝log3x3·log3x9的值域．变式训练4：1．若函数f (x)＝a x＋log a(x＋1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为________．2．当0<x≤12时，4x<logax，则a的取值范围是___________．※课堂反馈1．设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则()A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a 2．函数f(x)＝2+log2x (x≥1)的值域为( )A．(2，＋∞) B．(－∞，2)C．[2，＋∞) D．[3，＋∞)3．函数f (x)＝log12(2x＋1)的单调减区间是________．4．已知函数f (x )＝lg1－x1＋x，若f (a )＝4，则f (－a )＝________. 5．函数f (x )＝log 13(9－x 2)的单调增区间为________________，值域为______________．6．已知f (x )＝log a (x －1)，g(x )＝log a (6－2x )(a ＞0，且a ≠1)． (1)求函数φ(x )＝f (x )＋g(x )的定义域；(2)试确定不等式f (x )≤g(x )中x 的取值范围．※基础夯实1．若lg(2x －4)≤1，则x 的取值范围是( )A ．(－∞，7]B ．(2,7]C ．[7，＋∞)D ．(2，＋∞)2．已知log a 13>log b 13>0，则下列关系正确的是( )A ．00，a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( )A ．12B ．14C ．2D ．45．已知函数y ＝log a (2－ax )是[0，1]上的减函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0,2)D ．[2，＋∞) 6．函数f (x )＝log 12(x 2＋2x ＋3)的单调减区间为____________，值域为___________．7．如果函数f (x )＝(3－a )x ，g (x )＝log a x 的增减性相同，则a 的取值范围是________．8．已知函数f (x )＝m ＋log 2x 2的定义域是[1,2]，且f (x )≤4恒成立，则实数m 的取值范围是________.9．若log a 23＜1，求实数a 的取值范围．10．已知函数y ＝(log 2x －2)(log 4 x －12)，2≤x ≤8.(1)令t ＝log 2x ，求y 关于t 的函数关系式，并写出t 的范围； (2)求该函数的值域．※能力提升1．函数f (x )＝⎩⎨⎧2x 2－8ax ＋3(x <1)log a x (x ≥1)在x ∈R 内单调递减，则a的范围是( )A ．(0，12]B ．[12，58]C ．[12，1)D ．[58，1)2．若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为________．3．已知f (2x)的定义域为[－1，2]，则函数f (log 2 x )的定义域为________．4．已知定义域为R 的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (12)＝0，则不等式f (log 4 x )<0的解集是________． 5．已知函数f (x )＝log 121－axx －1的图象关于原点对称，其中a 为常数．(1)求a 的值；(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋log 12(x －1)＜m 恒成立，求实数m 的取值范围．5．已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)，其中0<a <1. (1)求函数f (x )的定义域及单调区间；(2)若函数f (x )的最小值为－4，求a 的值．第7讲 §2.3.1 幂函数的图像及性质※知识要点1．幂函数及其图像性质(1)定义：形如 (α∈R )的函数称为幂函数，其中，是自变量，是常数．注：如图，牢记常见五大幂函数图像与性质； (2)幂函数的图象及性质①位置：幂函数图像必过第象限，必不过第象限，当幂函数为偶函数时，图像过第象限；当幂函数为奇函数时，图像过第象限．②定点：α>0时，幂函数图像过定点，α<0时，幂函数图像过定点；③第一象限单调性：α>0时，幂函数在(0，＋∞)上单调，α<0时，幂函数在(0，＋∞)上单调； ④凹凸性：第一象限内，当α<0或时，幂函数图像是的；当0<α<1时，幂函数图像是的；注：从x 轴正方向按逆时针，幂指数α由变．※题型讲练【例1】(1)下列函数：①y ＝x 3；②y ＝2x ；③y ＝4x 2；④y ＝x5＋1；⑤y ＝(x －1)2；⑥y ＝x ；⑦y ＝a x (a >1)．其中幂函数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(4, 8)，①求f (x )的解析式； ②画出f (x )的草图．变式训练1：1．若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f (12)=________. 2．请把相应的幂函数图象代号填入表格． ① 23y x =； ② 2y x -=； ③ 12y x =； ④ 1y x -=； ⑤ 13y x =； ⑥ 43y x =； ⑦ 12y x -=； ⑧ 53y x =.3．函数f (x )＝(m 2－m －1)x m m 23＋－是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式．【例2】(1)如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( ) A ．－1<n <0<m <1 B ．n <－1,0<m <1 C ．－1<n <0，m >1 D ．n <－1，m >1(2)比较下列各组中幂值的大小： (1)30.8和30.7； (2)(2)0.60.3和1.20.3； (3) 和；变式训练2： 1．如图是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2 C ．－12，－2,2，12 D ．2，12，－2，－12 2．比较幂的大小：a ＝1.30.7，b ＝0.71.3，c ＝0.81.3；【例3】已知幂函数y ＝x 23－－2m m (－1<m <3，m ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数， (1)求函数f (x )的关系式； (2)若(a ＋1)-3m <(3－2a )-3m，求a 的取值范围．变式训练3：1．解下列不等式：(1)()()2121231x x -<+； (2)()()323231--->+x x ；※课堂反馈 1．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2，2)，则f (log 216)＝( )A ．2B ．22C ． 2D ．122．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( ) A ．13y x = B ．y ＝C ．y ＝D ．y ＝ 3．函数f (x )＝(m 2－m ＋1)223＋－m m x 是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)时是减函数，则实数m ＝________.212318.121-x 35x 32x4．若(3－2m )12>(m ＋1)12，则实数m 的取值范围为________． 5．比较下列各题中两个幂的值的大小：(1) 和； (2) 和； (3) 和；※基础夯实一、选择题1．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(12，22)，则log 2f (2)=( )A ．12B ．－12C ．2D ．－22．已知幂函数f (x )＝x a，当x ＞1时，恒有f (x )＜x ，则a 的取值范围是( )A ．0＜a ＜1B ．a ＜1C ．a ＞0D ．a ＜0 3．如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是()A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1D ．①y ＝x 3，②y ＝x 12，③y ＝x 2，④y ＝x －14．已知幂函数f (x )的图象经过点(4,2)，则f (x )的增区间为( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－∞，0) C ．[0，＋∞) D ．(1，＋∞)5．设，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a 二、填空题6．若幂函数y ＝(m 2－2m －2)x－4m －2在x ∈(0，＋∞)上为减函数，则实数m 的值是________．7．从小到大依次是________． 8．已知n ∈{－2，－1,0,1,2,3}，若(－12)n ＞(－13)n ，则n ＝_____.三、解答题9．比较下列各组数的大小：10．已知幂函数y ＝f (x )经过点(2，18).(1)试求函数解析式；(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．[能力提升] 1．如图，函数y ＝的图象是( )2．三个数60.7,0.76，log 0.76的大小顺序是( ) A ．0.76＜60.7＜log 0.76 B ．0.76＜log 0.76＜60.7 C ．log 0.76＜60.7＜0.76 D ．log 0.76＜0.76＜60.73．解不等式：()()5353231---<+x x4．已知幂函数f (x )＝x 21m +m(m ∈N *)．(1)求该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性； (2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围．521.1525352)53()52()52(===c b a ，，41412125.625.016.0，，--529.01.1)52(9.0)52(9.01.11.19.032x。

【人教A版】高中数学必修一：第2章《基本初等函数(Ⅰ)》导学案设计(含答案) 2.2.1 第2课时

第2课时对数的运算[学习目标] 1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算.2.了解换底公式，能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数.知识点一对数的运算性质如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0.那么： (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ； (2)log a MN ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R ).思考当M >0，N >0时，log a (M ＋N )＝log a M ＋log a N ，log a (MN )＝log a M ·log a N 是否成立？答不一定成立. 知识点二换底公式log a b ＝log c blog c a (a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b >0).知识点三常用结论由换底公式可以得到以下常用结论： (1)log a b ＝1log b a ；(2)log a b ·log b c ·log c a ＝1； (3)log n a b n ＝log a b ； (4)log n a b m ＝mn log a b ；(5)log 1ab ＝－log a b .题型一利用对数的运算性质化简、求值例1 计算下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 25＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.解 (1)方法一原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12lg 10＝12. 方法二原式＝lg 427－lg 4＋lg 75＝lg 42×757×4＝lg(2·5)＝lg 10＝12.(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2 ＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. 反思与感悟 1.对于同底的对数的化简，常用方法是 (1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数. (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差).2.对数式的化简，求值一般是正用或逆用公式.要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式. 跟踪训练1 计算下列各式的值： (1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； (2)lg 3＋25lg 9＋35lg 27－lg 3lg 81－lg 27.解 (1)原式＝(lg 5)2＋lg 2(2－lg 2) ＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2 ＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2 ＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝1.(2)原式＝lg 3＋45lg 3＋910lg 3－12lg 34lg 3－3lg 3＝⎝⎛⎭⎫1＋45＋910－12lg 3(4－3)lg 3＝115.题型二利用换底公式化简、求值例2 计算： (1)lg 20＋log 10025；(2)(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 1258＋log 254＋log 52). 解 (1)lg 20＋log 10025＝1＋lg 2＋lg 25lg 100＝1＋lg 2＋lg 5＝2.(2)(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 1258＋log 254＋log 52) ＝(log 253＋log 2252＋log 325)·(log 3523＋log 2522＋log 52) ＝(3＋1＋13)log 25·(1＋1＋1)log 52＝133·3＝13.反思与感悟 1.在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公式. 2.常用的公式有：log a b ·log b a ＝1，log n a b m ＝m n log a b ，log a b ＝1log b a 等.跟踪训练2 (1)(log 29)·(log 34)等于( ) A.14 B.12C.2D.4 (2)log 2125·log 318·log 519＝________.答案 (1)D (2)－12解析 (1)(log 29)·(log 34)＝(log 232)·(log 322) ＝2log 23·(2log 32)＝4log 23·log 32＝4.(2)原式＝lg 125lg 2·lg 18lg 3·lg19lg 5＝(－2lg 5)·(－3lg 2)·(－2lg 3)lg 2lg 3lg 5＝－12.题型三换底公式、对数运算性质的综合运用例3 已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645. 解方法一 ∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b . 于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(5×9)log 18(18×2)＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b2－a.方法二 ∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b . 于是log 3645＝log 18(9×5)log 181829＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b2－a .方法三 ∵log 189＝a,18b ＝5，∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18， ∴log 3645＝lg (9×5)lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b2－a .反思与感悟 1.这类问题一般利用换底公式、对数的运算性质求解.2.解题时应观察要求值与已知式子中底数与真数的关系，如log 182＝log 18189＝1－log 189.跟踪训练3 已知log 147＝a ，log 145＝b ，则log 3528＝________.答案2－aa ＋b解析 log 3528＝log 1428log 1435＝log 147＋log 144log 147＋log 145＝a ＋2log 142a ＋b＝a ＋2log 14147a ＋b ＝a ＋2(1－log 147)a ＋b ＝a ＋2(1－a )a ＋b ＝2－aa ＋b .题型四利用对数式与指数式的互化解题例4 (1)设3a ＝4b ＝36，求2a ＋1b 的值；(2)已知2x ＝3y ＝5z ，且1x ＋1y ＋1z ＝1，求x ，y ，z .解 (1)方法一由3a ＝4b ＝36，得a ＝log 336，b ＝log 436，由换底公式得1a ＝log 363，1b ＝log 364，∴2a ＋1b ＝2log 363＋log 364＝log 3636＝1. 方法二由3a ＝4b ＝36，两边取以6为底数的对数，得 a log 63＝b log 64＝log 636＝2， ∴2a ＝log 63，1b ＝12log 64＝log 62， ∴2a ＋1b ＝log 63＋log 62＝log 66＝1. (2)令2x ＝3y ＝5z ＝k (k >0)， ∴x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 5k ， ∴1x ＝log k 2，1y ＝log k 3，1z＝log k 5，由1x ＋1y ＋1z ＝1，得log k 2＋log k 3＋log k 5＝log k 30＝1， ∴k ＝30，∴x ＝log 230＝1＋log 215，y ＝log 330＝1＋log 310，z ＝log 530＝1＋log 56.反思与感悟 1.在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化.2.对于这类连等式可令其等于k (k >0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式就可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.跟踪训练4 已知3a ＝5b ＝M ，且1a ＋1b＝2，则M ＝____.答案 15解析由3a ＝5b ＝M ，得a ＝log 3M ，b ＝log 5M ，故1a ＋1b ＝log M 3＋log M 5＝log M 15＝2， ∴M ＝15.忽视对数的限制条件致误例5 若lg(x －y )＋lg(x ＋2y )＝lg 2＋lg x ＋lg y ，求xy 的值.错解因为lg(x －y )＋lg(x ＋2y )＝lg [(x －y )(x ＋2y )]＝lg(2xy )，所以(x －y )(x ＋2y )＝2xy ，即x 2－xy －2y 2＝0，所以(x －2y )(x ＋y )＝0，所以x y ＝2或xy＝－1.正解前同错解，得x y ＝2或xy ＝－1.因为x >0，y >0，所以x y >0，故舍去xy ＝－1，所以xy ＝2.易错警示错误原因纠错心得对数等式中，若含字母参数，要注意隐含条件，此题应有x －y >0，x ＋2y >0，x >0，y >0，由此可得x >y >0，得x y >0，故xy＝－1应舍去.多个变量出现在同一个关系式中时，变量的取值范围会受到相互限制，因此应特别注意变量之间的相关性.跟踪训练5 已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，求2y的值. 解由lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，得xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0，化为(x y )2－5xy ＋4＝0，解得x y ＝1或xy＝4.又x >0，y >0，x －2y >0，∴x y >2，∴xy＝4，∴xy＝4＝log 216＝4.1.若a >0，a ≠1，x >0，y >0，x >y ，下列式子正确的个数为( )①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a xy ＝log a x ÷log a y ；④log a (xy )＝log a x ·log a y .A.0B.1C.2D.3 答案 A解析根据对数的运算性质知，这四个式子都不正确.故选A. 2.lg 8＋3lg 5的值为( ) A.－3 B.－1 C.1 D.3 答案 D解析 lg 8＋3lg 5＝lg 8＋lg 53＝lg 8＋lg 125 ＝lg (8×125)＝lg 1 000＝3.3.已知lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两根，则(lg ab )2的值是( )A.4B.3C.2D.1 答案 C解析 lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，(lg a b )2＝(lg a －lg b )2＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b ＝22－4×12＝2.4.若log a b ·log 3a ＝4，则b 的值为________. 答案 81解析 log a b ·log 3a ＝lg b lg a ·lg a lg 3＝lg blg 3＝4，所以lg b ＝4lg 3＝lg 34，所以b ＝34＝81. 5.已知2m ＝5n ＝10，则1m ＋1n ＝________.答案 1解析因为m ＝log 210，n ＝log 510，所以1m ＋1n＝log 102＋log 105＝lg 10＝1.1.换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简. 2.运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质. (2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用. (3)在运算过程中避免出现以下错误：①log a N n ＝(log a N )n ，②log a (MN )＝log a M ·log a N ， ③log a M ±log a N ＝log a (M ±N ).一、选择题 1.log 2716log 34的值为( ) A.2 B.32 C.1 D.23答案 D解析原式＝3233log 4log 4＝23log 34log 34＝23，故选D.2.化简12log 612－2log 62的结果为( )A.6 2B.12 2C.log 6 3D.12答案 C解析原式＝log 612－log 62＝log 6122＝log 6 3. 3.11451111log log 93等于( )A.lg 3B.－lg 3C.1lg 3D.－1lg 3答案 C解析原式＝log 9114＋log 3115＝log 94＋log 35＝log 32＋log 35＝log 310＝1lg 3，故选C.4.已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 312等于( ) A.2a ＋b b B.2a ＋b a C.a 2a ＋b D.b2a ＋b答案 A解析 log 312＝lg 12lg 3＝2lg 2＋lg 3lg 3＝2a ＋bb .5.已知x ，y 为正实数，则( ) A.2lg x＋lg y＝2lg x ＋2lg y B.2lg(x＋y )＝2lg x ·2lg yC.2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg yD.2lg(xy )＝2lg x ·2lg y答案 D解析 2lg x ·2lg y ＝2lg x ＋lg y＝2lg(xy ).故选D.6.如果方程(lg x )2－(lg 2＋lg 3)lg x ＋lg 2lg 3＝0的两根为x 1，x 2，那么x 1x 2的值为( ) A.5 B.6 C.lg 2lg 3 D.lg 2＋lg 3答案 B解析由题意得lg x 1＋lg x 2＝lg 2＋lg 3＝lg 6， ∴x 1x 2＝6. 二、填空题7.lg 5＋lg 20的值是________. 答案 1解析 lg 5＋lg 20＝lg 100＝lg 10＝1. 8.化简(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)＝________. 答案 54解析原式＝(log 23log 24＋log 23log 28)(1log 23＋1log 232)＝56log 23·32log 23＝54. 9.若lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 512等于________. 答案b ＋2a1－a解析 log 512＝lg 12lg 5＝lg 3＋2lg 21－lg 2＝b ＋2a1－a.10.已知函数f (x )＝a log 2x ＋b log 3x ＋2，且f (12 016)＝4，则f (2 016)＝________.答案 0解析由f (12 016)＝a log 212 016＋b log 312 016＋2＝4，得－a log 22 016－b log 32 016＝2. ∴a log 22 016＋b log 32 016＝－2.∴f (2 016)＝a log 22 016＋b log 32 016＋2＝－2＋2＝0. 三、解答题11.计算下列各式的值： (1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 5－lg 4；(2)lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋(lg 2 3)2＋lg 16＋lg 0.06.解 (1)原式＝1－3lg 2lg 5－2lg 2＝1－3lg 21－3lg 2＝1.(2)原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2－lg 6＋lg 6－2 ＝3·lg 5·lg 2＋3lg 5＋3lg 22－2＝3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2＝3lg 2＋3lg 5－2 ＝3(lg 2＋lg 5)－2＝3－2＝1.12.(1)求2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(lg 2)2－lg 2＋1的值； (2)若log 2[log 3(log 4x )]＝0，log 3[log 4(log 2y )]＝0，求x ＋y 的值.解 (1)原式＝lg 2(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2－1)2 ＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2 ＝lg 2＋1－lg 2＝1. (2)因为log 2[log 3(log 4x )]＝0，所以log 3(log 4x )＝1，所以log 4x ＝3，所以x ＝43＝64.又因为log 3[l og 4(log 2y )]＝0，所以log 4(log 2y )＝1，所以log 2y ＝4，所以y ＝24＝16，所以x ＋y ＝80.13.已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z ，且2x ＝py . (1)求p ； (2)求证1z －1x ＝12y.(1)解设3x ＝4y ＝6z ＝k (显然k ＞0，且k ≠1)，则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k . 由2x ＝py ，得2log 3k ＝p log 4k ＝p ·log 3klog 34.∵log 3k ≠0，∴p ＝2log 34.(2)证明 1z －1x ＝1log 6k －1log 3k ＝log k 6－log k 3＝log k 2，又12y ＝12log k 4＝log k 2， ∴1z －1x ＝12y .。