2016年湖南省长沙市长郡中学高考数学冲刺卷(文科)(一)(解析版)
湖南省长沙市长郡中学2016届高考数学模拟卷一文PDF无答案
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2016届湖南长沙长郡中学高考模拟(十一)数学(文)试题(解析版)
2016届湖南长沙长郡中学高考模拟（十一）数学（文）试题一、选择题1． 已知集合{}{}{}0,2,3,4,5,7,1,2,3,4,6,,A B C x x A x B ===∈∉，则C 的元素的个数为（ ）A ．2B ． 3C ．4D ．5 【答案】B【解析】试题分析：由题意可知{}{},0,5,7C x x A x B =∈∉=，即集合C 中有三个元素，故选B.【考点】集合的表示及运算.2．若,a b R ∈，i 是虚数单位，且()3221b a i i +-=-，则a b +的值为（ ） A ．16-B ．16C ．56D ．76- 【答案】C【解析】试题分析：由复数相等的定义可得：31221b a =⎧⎨-=-⎩,解之得11,23a b ==，所以56a b +=，故选C. 【考点】复数相等的定义.3．若函数()f x 的定义域为R ，则“函数()f x 是奇函数”是“()00f =” 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：因为函数()f x 的定义域为R ，所以当函数()f x 是奇函数时，(0)0f =，当(0)0f =时，函数()f x 不一定是奇函数，故“函数()f x 是奇函数”是“()00f =” 的充分不必要条件，故选A. 【考点】1.函数的奇偶性；2.充分条件与必要条件.4．设,,a b l 均为直线’,αβ均为平面，则下列命题判断错误的是（ ） A ．若l α ，则α内存在无数条直线与l 平行 B ．若αβ⊥，则α内存在无数条直线与β 不垂直C ．若αβ ，则α内存在直线与m ，β 内存在直线n ，使得m n ⊥D ．若,a l b l ⊥⊥，则a 与b 不可能垂直 【答案】D【解析】试题分析：由直线与平面平行的性质可知A 正确；当αβ⊥时，平面α内与两平面的交线不垂直的直线均与平面β不垂直，故B 正确；由两平面平行的性质可知，C 正确；当,a l b l ⊥⊥时，a b ⊥可以成立，例如长方体一个顶点上的三条直线就满足此条件，所以D 错，故选D.【考点】线线垂直、线面平行、面面平行、面面垂直的性质与判定. 5．根据如下样本数据：得到了回归方程 y bx a =+，则（ ）A ．0,0a b >>B ．0,0a b <>C ．0,0a b ><D ．0,0a b << 【答案】C【解析】试题分析：由表是数据可知y 与x 是负相关关系，所以0b <，且当0x =时，0y >，所以0a >，故选C.【考点】相关关系与回归方程.6．若[]x 表示不超过x 的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．3B ．5C ．7D ．10 【答案】C【解析】试题分析：模拟算法：开始，0,0S n ==；00S =+=，6n >不成立；2,01,6n S n ==+=>不成立；4,13,6n S n ==+=>不成立；6,35,6n S n ==+=>不成立；8,57,6n S n ==+=>成立，输出7S =，结束算法.故选C. 【考点】程序框图.7． 已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的—条渐近线方程为y =，则此双曲线的离心率为（ ）A ．6 B ．76 C ．2．54【答案】A【解析】试题分析：因为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的—条渐近线方程为6y x =，所以6b a =，所以可设6,a k b ==，所以c =，66c e a k ===，故选A. 【考点】双曲线的标准方程与几何性质. 8．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足12n n S a a =-，且321,1,a a a +成差数列，若21log 71n a +≤，则n 的最大值等于（ ）A ．67B ．68C ．69D ．70 【答案】D【解析】试题分析：由12n n S a a =-可得当2n ≥时，1112n n S a a --=-，两式相减得：122n n n a a a -=-，即12n n a a -=，所以数列{}n a 是以2为公比的等比数列，11112n n n a a q a --== 由321,1,a a a +成差数列得，212(1)aa a +=+即1112(21)4a a a +=+,解之得12a =，所以2n n a =，1212log log 2171n n a n ++==+≤，70n ≤，即n 的最大值等于70，故选D.【考点】1.n a 与n S 关系；2.等比数列的定义与性质；3.对数的性质.9．将函数()()()()sin 2cos 20f x x x ϕϕϕπ=++<<的图象向左平移4π个单位后，得到函数的图象关于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，则函数()()cos g x x ϕ=+在,26ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A ．12- B ．12 C ．2 D ．2- 【答案】B【解析】试题分析：()()()sin 222sin(2)3f x x x x πϕϕϕ=++=++,函数()f x 的图象向左平移4π个单位后得到的函数为2sin[2()]2cos(2)4433y f x x x ππππϕϕ⎛⎫=+=+++=++ ⎪⎝⎭，其图象关于点(,0)2π对称，所以,32k k Z ππϕπ+=+∈，即,6k k Z πϕπ=+∈，又因为0ϕπ<<，所以6πϕ=，所以()c o s 6g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，当,26x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以,633x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，1()[,1]2g x ∈，即函数()g x 的最小值为1,2故选A.【考点】1.三角恒等变换；2.诱导公式；3.三角函数的图象与性质.10．如图所示，已知1,0OA OB OA OB ==⋅=，点C 在线段AB 上，且30AOC ∠=︒，设(),OC mOA nOB m n R =+∈，则m n -等于（ ）A ．13B ．12C ．12-D ．13- 【答案】B【解析】试题分析：因为0O A O B⋅= ，所以O A O B ⊥ ，即2A OB π∠=，又1,O A O B ==所以60,30,2OAB OBA AB ∠=︒∠=︒=，又因为30AOC ∠=︒，所以11,22OC AB AC AO ⊥==，1131()4444OC OA AC OA AB OA OB OA OA OB =+=+=+-=+ ，所以311,,442m n m n ==-=，故选B.【考点】1.向量加减法的几何运算；2.向量数量积的几何意义；3.平面向量基本定理.11． —锥体的三视图如图所示，则该棱锥的最长棱的棱长为（ ）A 【答案】C【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为如下图所示的四棱锥P ABCD -，其中底面ABCD 为边长为4的正方形，PE ⊥底面ABCD ，且4PE =，所以最长的侧棱为PA，PA C.DA P【考点】三视图.【名师点睛】本题考查三视图，中档题；三视图是高考中的热门考点，解题的关键是熟悉三视图的排放规律：长对正，高平齐，宽相等.同时熟悉常见几何体的三视图，这对于解答这类问题非常有帮助，本题还应注意常见几何体的体积和表面积公式.12． 设函数()()()2,lg 41f x x g x ax x =-=-+，对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使()()12f x g x =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(],4-∞B ．(]0,4C ．(]4,0-D ．[)4,+∞ 【答案】A【解析】试题分析：设函数()f x 的值域为A ，设函数()g x 的值域为B ，对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使()()12f x g x =等价于A B ⊆，又因为{}|()(,0]A y y f x ===-∞，即(,0]B -∞⊆，所以2()41h x ax x =-+的值必能取遍区间(0,1]的所有实数，当0a <时，函数()h x 的图象开口向下，且(0)1h =,符合题意；当0a =时，上()41h x x =-+符合题意；当0a >时，函数()h x 的值要想取遍(0,1]的所有实数，当且仅当1640a ∆=-≥，即4a ≤，综上所述，a 的取值范围为(],4-∞.故选A.【考点】1.函数的值域；2.全称量词与特称量词的意义；3.对数函数的性质.【名师点睛】本题主要考查了函数的性质、值域求法以及全称量词与存在量词的意义，属于较难题；全称量词与存在量词是考试说明新增的内容，在后续复习时应予以关注，同时，“存在”，“任意”等一些抽象的用词是高等数学中经常会涉及的，也体现了从高中数学到大学高等数学的过渡，解题过程中需对函数概念的本质理解到位.二、填空题13．函数()()330f x x x x =-+<的极值点为0x ，则0x = ．【答案】1-【解析】试题分析：因为()()2330f x x x '=-+<，由()200330f x x '=-+=得01x =±，又因为0x <，所以01x =-，故应填1-.【考点】导数与函数的极值.14．高一某班有位学生第1次月考数学考了69分，他计划以后每次考试比上—次提高5分（如第2次计划达到74分），则按照他的计划该生数学以后要达到优秀（120分以上，包括120分）至少还要经过的数学月考的次数为 ． 【答案】11【解析】试题分析：设经过n 次考试后该学生的成绩为n a ，则569n a n =+，由569120n +≥，得5111055n ≥=，所以至少要经过11次考试，故应填11. 【考点】 等差数列的通项公式性质.15．已知实数,x y 满足12500x x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则4z x y =-的最小值为 ．【答案】1【解析】试题分析：约束条件所表示的平面区域为如下图所示的三角形ABC 区域，当目标函数4z x y =-经过可行域中的点(1,3)C 时，z 有最小值，即min 4131z =⨯-=，所以应填1.【考点】线性规划.【名师点睛】本题考查线性规划，属于基础题;要求依据二元一次不等式组准确画出可行域，利用线性目标函数中直线的纵截距的几何意义，在可行域内平移目标函数所表示的直线，确定何时目标函数取得最大值或最小值，找出此时相应的最优解，依据线性目标函数求出最值，这是最基础的线性规划问题.16．已知点A 是拋物线()2:20C x py p =>上一点，O 为坐标原点，若,A B 是以点()0,10M 为圆心，OA 的长为半径的圆与拋物线C 的两个公共点，且ABO ∆为等边三角形，则p 的值是 ． 【答案】56【解析】试题分析：由抛物线的性质可知，点A 与点B 关于y 轴对称，又因为ABO ∆为等边三角形，所以直线OA 与x 轴的正半轴的夹角为60︒，所以OA的方程为y =，代入抛物线方程得2x =，解之得点A的坐标为,6)p ，又因为OA MA =，所以点A 在线段OM 在中垂线上，所以565,6p p ==. 【考点】1.抛物线的几何性质；2.圆的性质.【名师点睛】本题考查抛物线及圆的几何性质，中档题；抛物线是高考命题的热点和必考内容，解题时要注意抛物线和双曲线的焦点落在哪个轴上，否则很容易出现错误．本题解题的关键是过抛物线与圆均关于y 轴对称这一性质，得到等边三角形OAB 也关于y 轴对称，从而得到边OA 的方程.三、解答题17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足12,cos ,4b C ==ABC ∆. （1）求a 的值； （2）求sin 2B 的值. 【答案】（1）3；（2【解析】试题分析：（1）在三角形中，由角C 的余弦值，先求出角C 的正弦值，利用三角形面积公式可求出边a ；（2）利用余弦定理先求出边c =，利用正弦定理sin sin c bC B=可求出sin B ，从而求出cos B 即可. 试题解析：（1）1cos 4C =，且0C π<<，sin 4C ∴=又由11sin 22244ab C a =⨯⨯=,3a ∴=. （2）由（1） 知，3,2a b ==,22212cos 94232104c a b ab C ∴=+-=+-⨯⨯⨯=,因此c =sin sin c b C B =2,sin sin B B=∴=,又,cos 4b c B <∴= ,因此sin 22sin cos B B B ==.【考点】1.正弦定理与余弦定理；2.三角恒等变换.18．已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试” 活动，为了解本次考试学生的某学科成绩情况，从中抽取部分学生的分数(满分为100分，得分取正整数，抽取学生的分数均在[]50,100之内) 作为样本(样本容量为n )进行统计，按照[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[)[]50,60,90,100的数据).（1）求样本容量为n 和频率分布直方图中的x 、y 的值；（2）在选取样本中，从成绩在80分以上(含80分) 的学生随机抽取2名学生参加“省级学科基础知识竞赛”，求所抽取的2名学生中恰有一人得分在[]90,100内的概率. 【答案】（1）50,0.034,0.004n x y ===；（2）815. 【解析】试题分析：（1）由茎叶图可知，得分在[50,60)的人数为7人，得分在[90,100]的人数为2人，由频率分布直方图可知得分在[50,60)的频率为0.014100.14⨯=，所以样本容量7500.14n ==，20.0045010y ==⨯，由各矩形的面积和为1，可求出x ；（2）由题意可知，分数在[)80,90内的学生有4人，记这4人分别为1234,,,a a a a ，分数在[]90,100内的学生有2人，记这2人分别为12,b b ,列出从这6人中抽取两人的所有基本事件，找出符合条件的基本事件，由古典概型公式计算即可. 试题解析：（1）由题意可知，样本容量7500.01410n ==⨯,20.0045010y ==⨯,0.1000.0040.0080.0140.0400.034x =----=.（2）由题意可知，分数在[)80,90内的学生有4人，记这4人分别为1234,,,a a a a ，分数在[]90,100内的学生有2人，记这2人分别为12,b b ，抽取2名学生的所有情况有15种，分别为：()()()()()()()()()121314111223242122,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a a a b a b a a a a a b a b , ()()()()()()343132414212,,,,,,,,,,a a a b a b a b a b b b .其中2名学生的分数恰有一人在[]90,100内的情况有8种，∴所抽取2名学生中恰有一人得分在[]90,100内的概率815P =.【考点】1.频率分布直方图；2.古典概型.【名师点睛】本题考查频率分布直方图与古典概型，中档题；利用频率分布直方图解题的时，注意其表达的意义，同时要理解频率是概率的估计值这一基础知识；在利用古典概型解题时，要注意列出所有的基本事件，千万不可出现重、漏的情况.19．在四棱锥P ABCD -中， 90,60,ABC ACD BAC CAD PA ∠=∠=︒∠=∠=︒⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，24PA AB ==.（1）求证：CE 平面PAB ；（2）若F 为PC 的中点，求F 到平面AEC 的距离.【答案】（1）见解析；（2【解析】试题分析：（1）取AD 中点M ，构造平面EMC ，只要证平面EMC 平面PAB 即可，由三角形的中位线定理可证EM PA ，在平面ABCD 内，通过内错角相等即60BAC ACM ∠=∠=︒，可证明//MC AB ，可证结论成立； （2） F 到平面AEC 的距离为h ，求出三棱锥E FAC -的体积和三角形AEC 的面积，通过等体积转换即E FACF AEC V V --=，即可求出距离.试题解析： （1）在Rt ABC ∆中，2,60,4AB BAC BC AC =∠=︒∴==. 取AD 中点M ，连,EM CM ，则EM PA ，EM ⊄ 平面,PAB PA ⊂平面PAB ，EM ∴ 平面PAB ,在Rt ACD ∆中，60,4,60CAD AC AM ACM ∠=︒==∴∠=︒. 而60,BAC MC AB ∠=︒∴ ，MC ⊄ 平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，MC ∴ 平面PAB ， ,EM MC M =∴ 平面EMC 平面PAB .EC ⊂ 平面,EMC EC ∴ 平面PAB .（2）PA CA = ,F 为PC 的中点,AF PC ∴⊥ ， PA ⊥ 平面ABCD ，PA CD ∴⊥.,,AC CD PA AC A CD ⊥=∴⊥ 平面PAC .又,EF CD EF ∴⊥ 平面PAC .即EF 为三棱锥E AFC -的高.CD = ，得EF =，从而1111142332222E FA CV AC AE F -⎛⎫⎫=⨯⋅⋅⨯⨯⨯⎪⎪⎝⎭⎭, 在Rt PAD ∆中，1122AE CE PD ====于是182ACES AC ∆==，设F 到平面AEC 的距离为h ，由E FAC F AEC V V --=183h =⨯，解得h =F到平面AEC【考点】1.线面平行的判定与性质；2.面面平行的判定与性质；3.多面体的体积. 【名师点睛】本题主要考查的是线面平行、面面平行和多面体体积，属于中档题．证明线面平行的关键是证明线线平行，证明线线平行常用的方法是三角形的中位线和构造平行四边形．点到平面的距离是转化为几何体的体积问题，借助等积法来解决．20．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的焦距为2， 且过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，其长轴的左右两个端点分别为A B ，，直线32y x m =+交椭圆于两点C D ，. （1）求椭圆标准的方程；（2）设直线,AD CB 的斜率分别为12,k k ，若12:2:1k k =求m 的值.【答案】（1）22143x y +=；（2）1m =. 【解析】试题分析：（1）由焦距为22c =可求c ，由点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上可得221914a b+=及222a b c =+ ，解出,a b 即可求椭圆方程；（2） 联立方程2232143y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得223330x mx m ++-=，设()()1,122,,C x y D x y ，由根与系数关系可得212123,3m x x m x x -∴+=-=，求出12,k k ，由12:2:1k k = 列出方程，解出m 即可.试题解析：（1）由题意得：22222221914a b c c a b ⎧⎪=+⎪=⎨⎪⎪+=⎩，解得2,1a b c ===，∴椭圆由题意标准方程为22143x y +=. （2）()()1,122,,C x y D x y ，联立方程2232143y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得223330x mx m ++-=， 212123,3m x x m x x -∴+=-=,由题意知，()()2112212,0,2,0,,22ADBC y yA B k k k k x x -∴====+-,12:2:1k k = ，即()()2112222y x y x -=+，得()()22212212242y x y x -=+①,又()2222111131,4434x y y x +=∴=-，同理()2222344y x =-, 代入①式，解得()()()()211222422x x x x --=++,即()1212103120x x x x +++=， ()2103120m m ∴-+-+=解得1m =或9，又212,9m m <∴= (舍去),1m ∴=.【考点】1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系，中档题；高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成,其中考查较多的圆锥曲线是椭圆,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.21．已知函数()()ln 1F x ax x a R =-++∈. （1）讨论函数()F x 的单调性；（2）定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上递减，若不等式()()()()ln 121f F x f ax x f +--≥对[]1,3x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1） 当0a ≤时，()F x 在()0,+∞上递增.当0a >时，由()F x 在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上递减，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增. （2） 12ln 3,.3e+⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】试题分析：（1）求函数()F x 的导数得()()1'0axF x x x-=>，当0a ≤时，()'0F x >恒成立，可得到函数()F x 的单调性；当0a >时，解不等式()'0F x >与()'0F x <可得函数()F x 的单调递增区间与单调递减区间；（2）由函数()f x 为偶函数，且在区间[0,)+∞上单调递减可得()()()ln 1ln 121f ax x f ax x f -+++--≥对[]1,3x ∈恒成立⇔()()2ln 121f ax x f -++≥对[]1,3x ∈恒成立⇔1ln 11ax x -≤-++≤对[]1,3x ∈恒成立⇔2ln x a x+≥且ln xa x ≤对[]1,3x ∈同时恒成立，分别构造函数()2ln x h x x +=与()ln x g x x =，求函数()ln x g x x =的最小值与函数()2ln xh x x+=的最大值即可.试题解析： （1）()()1'0axF x x x-=>,当0a ≤时，()'0F x >，则()F x 在()0,+∞上递增.当0a >时，由()'0F x >得10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；由()'0F x <得1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭. 故()F x 在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上递减，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上递增. （2） 函数()f x 为偶函数，且()f x 在()0,+∞上递减，∴()f x 在(),0-∞上递增. 又()ln 1ln 1ax x ax x --=--++,()()()ln 1ln 121f ax x f ax x f ∴-+++--≥对[]1,3x ∈恒成立等价于 ()()2ln 121f ax x f -++≥对[]1,3x ∈恒成立，则1ln 11ax x -≤-++≤对[]1,3x ∈恒成立，即2ln x a x+≥且ln xa x ≤对[]1,3x ∈同时恒成立. 设()()2ln 1ln ,'x xg x g x x x -==，则()g x 在[)1,e 上递增，在(],3e 上递减，()()max 1g x g e e∴==. 设()()22ln 1ln ,'0x xh x h x x x+--==<， 则()h x 在()1,3上递减，()()min 2ln 333h x h +∴==. 综上，12ln3,3a e+⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 【考点】1.导数与函数的单调性；2.函数与不等式；3.导数与函数的最值.22．如图，从圆O 外一点P 引圆的切线PC 及割线PAB ，C 为切点，OD BC ⊥，垂足为D .（1）求证：2AC CP AP BD ⋅=⋅；（2）若,,AP AB BC 依次成公差为1的等差数列，且PC =AC 的长.【答案】（1）见解析；（2）7. 【解析】试题分析：（1）由圆的相关性质可得PCA CBP ∠=∠，CPA CPB ∠=∠，从而可证CAP BCP ∆∆ ，由相似比相等可得AP BC AC CP ⋅=⋅，又2,2B C B D A C C PA PB D=∴⋅=⋅. （2） 设()0AP x x =>，由切割定理可得2,PA PB PC ⋅=列出方程解出x 即可求AC 的长.试题解析：（1）证明：PC 为圆O 的切线，PCA CBP ∴∠=∠， 又CPA CPB ∠=∠，故CAP BCP ∆∆ ，AC APBC PC∴=, 即AP BC AC CP ⋅=⋅,又2,2BC BD AC CP AP BD =∴⋅=⋅. （2）设()0AP x x =>，则1,2AB x BC x =+=+,由切割定理可得()2,2121,0,3,5PA PB PC x x x x BC ⋅=∴+=>∴=∴= ,由(1)知，,35,7AP BC AC CP AC ⋅=∴⨯=∴=. 【考点】1.弦切角定理；2.三角形相似；3.切割线定理. 23．已知直线l 的参数方程为45(31x t t y t =-+⎧⎨=-⎩为参数) ，在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆N 的方程为26sin 8ρρθ-=-. （1）求圆N 的直角坐标方程；（2）判断直线l 与圆N 的位置关系.【答案】（1）()2231x y +-=;（2）相交.【解析】试题分析：（1）由直角坐标与极坐标互化公式直接代入即可求得圆N 的直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程化为普通方程，由圆心到直线的距离与半径比较可得直线与圆N 的位置关系.试题解析：（1）()222226sin 86831x y y x y ρρθ-=-⇒+-=-⇒+-=，此即为圆N 的直角坐标方程. （2）直线l 的参数方程45(31x t t y t =-+⎧⎨=-⎩为参数) 化为普通方程得34110x y +-=，由（1） ，圆N 的圆心()0,3到直线l 的距离为115d =<，∴直线l 与圆N 相交. 【考点】1.极坐标与直角坐标的互化；2.参数方程与普通方程的互化；3.直线与圆的位置关系.24．设函数()f x x a =-.（1）当2a =时，解不等式()71f x x ≥--；（2）若()1f x ≤的解集为[]()110,2,0,02a m n m n+=>>，求证：43m n +≥. 【答案】（1） (][),25,-∞-+∞ ；（2）见解析.【解析】试题分析：（1） 当2a =时，不等式为217x x -+-≥,分区间讨论去掉绝对值符号，分别解不等式组即可；（2）由()1f x ≤解集是[]0,2可求得1a =，所以()1110,02m n m n +=>>，由()11444322n m m n m n m n m n ⎛⎫∴+=++=++ ⎪⎝⎭构造基本不等式求之即可.试题解析：（1）当2a =时，不等式为1217,217x x x x x <⎧-+-≥∴⎨-+-≥⎩或12217x x x ≤≤⎧⎨-+-≥⎩或 2,2217x x x x >⎧∴≤-⎨-+-≥⎩或5x ≥,∴不等式的解集为(][),25,-∞-+∞ . （2）()1f x ≤即1x a -≤，解得11a x a -≤≤+，而()1f x ≤解集是[]0,2，1012a a -=⎧∴⎨+=⎩，解得1a =，所以()1110,02m n m n +=>>, ()114443322n m m n m n m n m n ⎛⎫∴+=++=++≥ ⎪⎝⎭.(当且仅当21,4m n +=+=时取等号) 【考点】1.含绝对值的不等式的解法；2.基本不等式.。
湖南省2016届高三试卷-文数答案
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湖南省长沙市长郡中学2016届高三第六次月考文数试题 含解析
第Ⅰ卷(共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.1. 若全集U R =，集合{}124xA x =<<，{}10B x x =->，则UAB =( ）A ．{}01x x <≤B ．{}12x x <<C ．{}01x x <<D ．{}12x x ≤< 【答案】A考点：集合的交集、补集运算。
2。
已知a ，R b ∈，i 是虚数单位,若a i -与2bi +互为共轭复数,则()2a bi +=（ ）A ．54i -B ．54i +C ．34i -D ．34i + 【答案】D 【解析】试题分析:由已知得,2,1a b ==,即2a bi i +=+，所以22()(2)34,a bi i i +=+=+选D 。
考点：复数的四则运算，复数的概念。
3.已知命题021xp x ∀≥≥：，；命题q ：若x y >，则22x y >．则下列命题为真命题的是（）A．p q∧B．p q⌝∨∧⌝C．p q⌝∧⌝D．p q【答案】B【解析】试题分析:命题021x>为假命题，x yp x：，为真命题，命题q：若x y>,则22∀≥≥（如03，），故q⌝为真命题，则p qx y==-∧⌝为真命题．故选：B．考点：复合命题的真假．，4。
在区间[]2,4-上随机地抽取一个实数x，若x满足2x m≤的概率为56则实数m的值为( ）A．2B．3C．4D．9【答案】D【解析】试题分析：如图区间长度是6,区间[24]-，上随机地取一个数x，若x满足2x m≤的概率为56,所以9m=．故选:D．考点：几何概型．5. 已知()+=，当()0,2f x f xx∈时，()22f x在R上是奇函数,且满足()()4=,f x x 则()7f=（）A．2B．2-C．98-D．98【答案】B考点：1.函数的奇偶性；2.周期性.6。
湖南省长沙市2016届高三模拟(一)文数试题 Word版含答案
数学（文史类）第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设i 为虚数单位，则复数3i -的虚部是（ ） A ．3 B ．i - C ．1 D ．-12.记集合{}{}|20,|sin ,A x x B y y x x R =+>==∈，则A B =（ ）A ．()2,-+∞B ．[]1,1-C ．[][)1,12,-+∞ D ．(]2,1-3.某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（ ） A ．圆柱 B ．圆锥 C ．棱锥 D ．棱柱4.已知向量()()cos ,sin ,sin ,cos a b αβαβ==，若//a b ，则,αβ的值可以是（ ） A ．,33ππαβ==- B ．2,33ππαβ==C ．7,310ππαβ==- D ．,36ππαβ==-5.已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是（ ） A ．()111n n a -=-+ B ．2,0,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数 C ．2sin 2n n a π= D ．()cos 11n a n π=-+6.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x +=-，且()1,101,01x f x x -<≤⎧=⎨-<≤⎩，则下列函数值为1的是（ ） A ．()2,5f B ．()()2.5ff C ．()()1.5f f D ．()2f7.某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：附表：经计算210K =，则下列选项正确的是：（ ） 8.函数[]1sin ,2,223y x x πππ⎛⎫=+∈-⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ）A ．52,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．52,,233ππππ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦和 C ．5,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦9.平面直角坐标系xOy 中，动点P 到圆()2221x y -+=上的点的最小距离与其到直线1x =-的距离相等，则P 点的轨迹方程是（ ）A ．28y x =B ．28x y = C ．24y x = D ．24x y =10.非负实数x y 、满足()ln 10x y +-≤，则关于x y -的最大值和最小值分别为（ ） A ．2和1 B ．2和-1 C ．1和-1 D ．2和-211.如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S 不可能是（ ）12.已知函数()(),1xf x eg x x ==+，则关于()(),f x g x 的语句为假命题的是（ ）A ．()(),x R f x g x ∀∈>B ．()()1212,,x x R f x g x ∃∈<C ．()()000,x R f x g x ∃∈=D ．0x R ∃∈，使得()()()()00,x R f x g x f x g x ∀∈-≤- 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在空间直角坐标系中，已知点()()1,0,1,1,1,2A B -，则线段AB 的长度为__________． 14.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3352,15S a S ==，则2015a = _________． 15. ABC ∆的周长等于()2sin sin sin A B C ++，则其外接圆半径等于____________．16. M N 、分别为双曲线22143x y -=左、右支上的点，设v 是平行于x 轴的单位向量，则MN v 的最小值为___________．三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分） 如图，OPQ 是半径为2，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的一动点，记COP θ∠=，四边形OPCQ 的面积为S ． （1）找出S 与θ的函数关系；（2）试探求当θ取何值时，S 最大，并求出这个最大值． 18.（本小题满分12分）空气质量指数（Air Quality Index ，简称AQI ）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，050为优；101150为轻度污染；151200为中度污染；201300为重度污染；300>为严重污染．一环保人士记录去年某地某月10天 的AQI 的茎叶图如右．（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（100AQI ≤）的天数；（按这个月总共30天计算）（2）若从样本中的空气质量不佳（100AQI >）的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求这该两天的空气质量等级恰好不同的概率． 19.（本小题满分12分）如图，矩形BDEF 垂直于正方形,ABCD GC 垂直于平面ABCD ．且22AB DE CG ===． （1）求三棱锥A FGC -的体积； （2）求证：面GEF ⊥面AEF ． 20.（本小题满分12分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的顶点到直线1:l y x =2．（1）求1C 的标准方程；（2）设平行于1l 的直线l 交1C 于A B 、两点，若以AB 为直径的圆恰过坐标原点，求直线l 的方程．21.（本小题满分12分） 已知函数()2af x x x=+（a 为常数）． （1）若()f x 在()0,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）判断是否存在直线l 与()f x 的图象有两个不同的切点，并证明你的结论．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，C D 、是以AB 为直径的半圆上两点，且AD CD =． （1）若//CD AB ，证明：直线AC 平分DAB ∠； （2）作DE AB ⊥交AC 于E ．证明：2CD AE AC =． 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为[)24cos 30,0,2ρρθθπ-+=∈．（1）求1C 的直角坐标方程；（2）曲线 2C 的参数方程为cos 6sin6x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），求1C 与2C 的公共点的极坐标．24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设,,αβγ均为实数．（1）证明：()()cos cos sin ;sin cos cos αβαβαβαβ+≤++≤+． （2）若0αβγ++=，证明：cos cos cos 1αβγ++≥．参考答案一、选择题二、填空题14. 2016 15. 1 16. 4 三、解答题 17.【解析】（1）11sin sin 22POC ODC S S S OP OC POC OQ OC QOC ∆∆=+=∠+∠．．．．．．．．．3分2sin 2sin 0,33ππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 2sin 0,33ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 因为0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,333πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 故当且仅当32ππθ+=，即6πθ=时，S 最大，且最大值为2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 12分18．【解析】（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为1，空气质量良的天数为3，．．．．． 2分故该样本中空气质量优良的频率为42105=，．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分 估计该月空气质量优良的频率25，从而估计该月空气质量优良的天数为230125⨯=．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）该样本中轻度污染共4天，分别记为1234,,,a a a a ； 中度污染1天，记为b ；重度污染1天，记为c ，从中随机抽取两天的所有可能结果表示为： 共15个．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 其中空气质量等级恰好不同的结果有()()()()()()()()()11223344,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a b a c a b a c a b a c b c 共9个．．．．．．．．．．．．．．．．．10分所以该两天的空气质量等级恰好不同的概率为93155=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19.【解析】（1）因为面BDEF ⊥面ABCD ， 面BDEF面,ABCD BD FB BD =⊥，所以FB ABCD ⊥面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 又因为CG ⊥面ABCD ，故//CG FB ，112PGC BGC S S BC GC ∆∆==⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 因数,AB FB AB BC ⊥⊥，所以AB 即三棱锥A FGC -的高， 因此三棱锥A FGC -的体积121233V =⨯⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）如图，设EF 的中点为M ，连结AM GM AG 、、． 在RT ACG ∆中可求得3AG =；在直角梯形FBCG EDCG 、中可求得5FG EG ==在RT ABF RT ADE ∆∆、中可求得22AF AE ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 从而在等腰AEF ∆，等腰GEF ∆中分别求得6,3AM GM ==，此时在AMG ∆中有222=AM GM AG +，所以AM GM ⊥，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 因为M 是等腰AEF ∆底边中点，所以AM EF ⊥， 所以AM GEF ⊥平面，因此面GEF ⊥面AEF ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20.【解析】（1）由直线1l 的方程知，直线1l 与两坐标轴的夹角均为45°， 故长轴端点到直线1l 的距离为22a ，短轴端点到直线1l 的距离为22b ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分求得2,1a b ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分所以1C 的标准方程为2214x y +=；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）依题设直线():0l y x t t =+≠，由2214y x t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：2258440x tx t ++-=，判别式()226416510t t ∆=-⨯->解得t <<．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分设()()1122,,,A x y B x y ，则1221285445t x x t x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，故()()()221212121245t y y x t x t x x x x t t -=++=+++=， 设原点为O ，以AB 为直径的圆恰过坐标原点，故OA OB ⊥，所以0OA OB =，即221212444055t t x x y y --+=+=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分解得：t =，满足t <0t ≠， 故所求直线l的方程为y x =y x =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21.【解析】（1）()32222a x af x x x x -'=-=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分因为()f x 在()0,+∞上单调递增所以320x a -≥即32a x ≤在()0,+∞恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分而32y x =在()0,+∞上单调递增，故32x 的值域为()0,+∞，所以0a ≤，即a 的取值范围为(]0,+∞；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）不存在这样的直线l ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分证明：假设存在这样的直线l ，设两切点分别为()()()()1122,,,x f x x f x ，其中12x x ≠， 依题意有()()()()211221f x f x f x f x x x -''==-，由()()12f x f x ''=得：12221222a a x x x x -=-， 即()()()21211222122a x x x x x x x x -+-=，显然12120,0x x x x +≠-≠．．．．．．．．．．．．．．8分 故2212122x x a x x =-+；而()()()2221212111211222121112122a ax x f x f x x x a a af x x x x x x x x x x x x x +---'-=-+=+--+--0≠．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 即()()()()211221f x f x f x f x x x -''=≠-，故不存在直线l 与()f x 的图象有两个不同的切点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22.【解析】（1）由题设//CD AB 可知，DCA BAC ∠=∠， 因为AD DC =，所以DAC DCA ∠=∠，从而DAC BAC ∠=∠，因此，AC 平分DAB ∠．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）连结BD ，由DE AB ⊥知，090ADE DAB ∠+∠=， 因为AB 为直径，所以090DBA DAB ∠+∠=， 从而ADE ABD ∠=∠，又因为ABD DCA ∠=∠， 所以ADE ACD ∠=∠， 因此ADEACD ∆∆，所以2AD AE AC =，而AD DC =，所以2CD AE AC =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分23.【解析】（1）将222cos x y x ρρθ⎧=+⎨=⎩代入24cos 30ρρθ-+=得：()2221x y -+=．．．．．．．．4分（2）由题设可知，2C 是过坐标原点，倾斜角为6π的直线， 因此2C 的极坐标方程为6πθ=或76πθ=，0ρ>，将6πθ=代入21:30C ρ-+=，解得：ρ=同理，将76πθ=代入1C 得：ρ=故12,C C 公共点的极坐标为6π⎫⎪⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 24.【解析】（1）()cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos sin αβαβαβαβαβαβ+=-≤+≤+；()sin sin cos cos sin sin cos cos sin cos cos αβαβαβαβαβαβ+=+≤+≤+．．．．．．．．．．．5分 （2）由（1）知，()()()coscos sin cos cos cos αβγαβγαβγ++≤++≤++，而0αβγ++=，故cos cos cos 1αβγ++≥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。
湖南省长沙市长郡中学2016届高三高考模拟卷(一)数学(文)试题 Word版含答案
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合2{|160}A x x =-<，{5,0,1}B =-，则（ ） A ．A B φ= B ．B A ⊆ C ．{0,1}A B = D ．A B ⊆2.如图，在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是A 和B ，则21z z =（ ） A ．1255i + B ．2155i + C ．2155i -- D ．1255i --3.在等差数列{}n a 中，78a =，前7项和742S =，则其公差是（ ） A ．13-B ．13C ．23D ．23- 4.若,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则1y x -的最大值为（ ）A ．2B ．12C ．3D ．1 5.已知(3,2)a =- ，(1,0)b =-，向量a b λ+ 与2a b - 垂直，则实数λ的值为（ ）A ．17 B ．17- C ．16 D ．16-6.执行如图所示的程序框图，输出的结果为98，则判断框内可填入的条件为（ ） A ．4?n > B ．5?n > C ．6?n > D ．7?n >7.函数1()sin 2f x x x =-的图象可能是（ ）8.如图所示，三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，ABC ∆为正三角形，PA AB =，E 是PC 的中点，则异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为（ ） A ．16 B ．14 C ．13 D ．129.已知函数4()|log |f x x =，正实数,m n 满足m n <，且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则,m n 的值分别为（ ）A ．1,22 B ．1,44 C ．1,24 D ．1,4210.已知一个三棱锥的三视图如图所示，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的体积为（ ） A ．323π B ．π C ．3π D ．43π11.已知椭圆：2221(02)4x y b b+=<<，左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若22||||BF AF +的最大值为5，则b 的值是（ ）A ．1BC ．32D二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某种产品的广告费支出x 与销售额y 之间有如下对应数据（单位：百万元）.根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为^6.517.5y x =+，则表中t 的值为 .14.过原点的直线与双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>交于,M N 两点，P 是双曲线上异于M ，N 的一点，若直线MP 与直线NP 的斜率都存在且乘积为54，则双曲线的离心率为 .15.已知函数3()31xx f x =+，正项等比数列{}n a 满足501a =，则12399(ln )(ln )(ln )(ln )f a f a f a f a ++++= .16. ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列命题正确的是 . ①若ABC ∆最小内角为α，则1cos 2α≥； ②若sin sin A B B A >，则B A >；③存在某钝角ABC ∆，有tan tan tan 0A B C ++>；④若20aBC bCA cAB ++= ，则ABC ∆的最小值小于6π；三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =-+. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）在ABC ∆中，若()22A f =，边1,2AC AB ==，求边BC 的长及sin B 的值. 18. （本小题满分12分）某学校高三年级学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（1）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率； （2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？19. （本小题满分12分）如图甲，圆O 的直径2AB =，圆上两点,C D 在直径AB 的两侧，使4CAB π∠=，3DAB π∠=，沿直径AB 折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F 为BC 的中点，根据图乙解答下列各题： （1）求点B 到平面ACD 的距离；（2）如图：若DOB ∠的平分线交弧BD 于一点G ，试判断FG 是否与平面ACD 平行？并说明理由.20. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(2,0)A .（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(1,0)B 且斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，直线,AE AF 分别交直线3x =于,M N 两点，线段MN 的中点为P . 记直线PB 的斜率为'k ，求证：'k k ∙为定值.21. （本小题满分12分） 已知函数1()ln ()f x x a x a R x=--∈. （1）当0a >时，讨论()f x 的单调区间；（2）设()()2ln g x f x a x =+，且()g x 有两个极值点为12,x x ，其中1(0,]x e ∈，求12()()g x g x -的最小值.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的一条切线，切点为B ，直线,,ADE CFD CGE 都是圆O 的割线，已知AC AB =.（1）若1,4CG CD ==，求DEGF的值； （2）求证：//FG AC .23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系xOy ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为)6π，曲线C的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.（1）写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程；（2）若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 中点M 到直线:cos 2sin 10l ρθρθ++=的距离的最小值.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|1|f x x =-.（1）解不等式()(4)8f x f x ++≥；（2）若||1,||1,0a b a <<≠，求证：()||()bf ab a f a>.参考答案一、选择题 CDCAB AABBD DC 1.C2.D 【解析】由图形可得：12z i =--，2z i =，再利用复数的运算法则即可得出. 解：由图形可得：12z i =--，2z i =， ∴21(2)21122(2)(2)555z i i i i i z i i i ----====----+-， 故选：D3．C 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵78a =，前7项和742S =， ∴168a d +=，1767422a d ⨯+=， 解得124,3a d ==. 故选C.4．A 【解析】对于直线型的线性约束条件，代数式的最值几乎都在这些直线的某个交点处取得（个别因为代数式在交点处无意义而不能取最值），所以先求约束条件中各直线的交点，可求得分别为(1,1),(1,3),(2,2)，1y x -在这三点处的值分别为0，2，12，所以最大值为2，本题中因代数式的值不能为零，所以如果所求交点横坐标为零，要将此点舍去，这时候就得运用图象法来求最值，本题的正确选项为A. 5．B6．A 【解析】模拟执行程序框图，可得0,1s n == 2,2s n == 10,3s n == 34,4s n == 98,5s n ==此时，由题意，满足条件，退出循环，输出s 的值为98，则判断框内可填入的条件为：4?n > 故选A. 7．A8．B 【解析】取BC 的中点F ，连接,EF AF ， 则//EF PB ，∴AEF ∠或其补角就是异面直线AE 和PB 所成角 ∵ABC ∆为正三角形，∴60BAC ∠=.设2PA AB a ==，PA ⊥平面ABC ，∴,,AF AE EF =，∴1cos 4AEF ∠==.9．B 【解析】∵函数4()|log |f x x =，正实数,m n 满足1m n <<，且()()f m f n =，∴4log 0m <，4log 0n >，且44log log m n -=，∴1,1n mn m==. 由于()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，即()f x 在区间21[,]m m上的最大值为2，∴24log 2m -=，∴4log 1m =-，∴1,44m n ==，故选B.则H 为三棱锥外接球的球心，AH 为外接球的半径.∵122AE AB ==1AH =.∴三棱锥外接球的体积344133V ππ=⨯=. 故选D11．D 【解析】如图所示，由椭圆定义，有22||||||48AB AF BF a ++==，所以当线段AB长度达最小值时，22||||BF AF +有最大值，当AB 垂直于x 轴时，222min ||222b b AB b a =⨯=⨯=，所以22||||BF AF + 的最大值为285b -=，∴23b =，即b = D.12.C 【解析】由题意得函数()y f x =的图象关于点(0,0)对称，即函数()y f x =为奇函数，因此由22(2)(2)0f x x f y y -+-≤得22(2)(2)f x x f y y -≤-+，2222x x y y -≥-+，()(2)0x y x y -+-≥.因为14x ≤≤，所以可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(1,1),(4,4),(4,2)A B C -，而2OM ON x y ∙=+，所以过点C 时取最小值0，过点B 时取最大值12，选C.二、填空题13.50【解析】由题意，245685x ++++=，304060704055t ty ++++==+. ∵y 关于x 的线性回归方程为：^6.517.5y x =+， ∴40 6.5517.55t+=⨯+，∴40505t+=， ∴105t=， ∴50t =. 故答案为：50. 14．32【解析】由双曲线的对称性知，可设0011(,),(,)P x y M x y ，则11(,)N x y --. 由54PM PN k k =，可得：010*******y y y y x x x x -+∙=-+，即222201015()4y y x x -=-，即222200115544x y x y -=-， 又因为0011(,),(,)P x y M x y 均在双曲线上，所以2200221x y a b -=，2211221x y a b-=，所以2254b a =，所以双曲线的离心率为32c e a ===.15．992【解析】∵3()31x x f x =+，∴33()()13131x xxx f x f x --+-=+=++. ∵数列{}n a 是等比数列，∴21992984951501a a a a a a a ===== ，即1992984951ln ln ln ln ln ln 0a a a a a a +=+==+= ，设9912399(ln )(ln )(ln )(ln )S f a f a f a f a =++++ ，① 又999998971(ln )(ln )(ln )(ln )S f a f a f a f a =++++ ，② ①+②得：99299S =，∴99992S =. 16．①④【解析】对①，因为ABC ∆最小内角为α，所以03πα<≤，1cos 2α≥，故正确；对②，构造函数sin ()x F x x =，求导得：'2cos sin ()x x x F x x -=，当(0,)2x π∈时，tan x x >，即sin cos x x x >，则cos sin 0x x x -<，所以'2cos sin ()0x x x F x x -=<，即sin ()xF x x=在(0,)2x π∈上单减，由②sin sin A B B A >，得sin sin B A B A >，即()()F B F A >，所以B A <，故②不正确；对③，因为tan tan tan tan tan tan A BC A B C ++=，则在钝角ABC∆中，不妨设A 为钝角，有tan 0,tan 0,tan 0A B C <>>，故tan tan tan tan tan tan 0A B C A B C ++=<，③不正确；对④，由22()(2)()0aBC bCA cAB aBC bCA c AC CB a c BC b c CA ++=+++=-+-= ，即(2)()a c BC c b CA -=- ，而,B CC A不共线，则20,0a c b c -=-=，解得2,2c a b a ==，则a 是最小的边，故A 是最小的角，根据余弦定理222222447cos 22228b c a a a a A bc a a +-+-===>⨯⨯，故④正确，故①④正确. 三、解答题17.【解析】（1）()2cos 22sin(2)6f x x x x π=-=-，∴22T ππ==，所以最小正周期为π. （2）()2sin()226A f A π=-=，(0,)A π∈，∴62A ππ-=，∴23A π=.ABC ∆中，由余弦定理得，222cos 2AC AB BC A AC AB+-=∙，即21412221BC +--=⨯⨯，∴BC =由正弦定理sin sin BC AC A B =，可得sin B =. 18．【解析】（1）由已知得，抽取的100名学生中，男生60名，女生40名. 分数小于110分的学生中，男生有600.053⨯=（人），记为123,,A A A ；女生有400.052⨯=（人），记为12,B B ， 从中随机抽取2名学生，所有的可能结果共有10种，它们是：1213(,),(,)A A A A ，23(,)A A ，11(,)A B ，122122313212(,),(,),(,),(,),(,),(,)A B A B A B A B A B B B ，其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果共有6种，它们是：111221223132(,),(,),(,),(,),(,),(,)A B A B A B A B A B A B ，故所求的概率63105P ==. （2）由频率分布直方图可知，在抽取的100名学生中，男生600.2515⨯=（人），女生400.37515⨯=（人） 据此可得22⨯列联表如下：所以得222()100(15251545)25 1.79()()()()6040307014n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯，因为1.792.706<.所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”.19．【解析】（1）点B 到面ACD 的距离为7. （2）//FG 面ACD ，理由如下：连结OF ，则ABC ∆中，,F O 分别为,BC AB 的中点， ∴//FO AC ，又∵FO ⊄面ACD ，AC ⊂面ACD ， ∴//FO 面ACD ，∵OG 是DOB ∠的平分线，且OD OB =，令OG 交DB 于M ， 则M 是BD 的中点，连结MF ，则//MF CD ，又∵MF ⊄面ACD ，CD ⊂面ACD ，∴//MF 面ACD ， 且MF FO F = ，,MF FO ⊂面FOG ，∴面FOG //面ACD . 又FG ⊂面FOG ，∴//FG 面ACD .20．【解析】（1）由题设：2222a b c caa ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，解之得：2,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=， （2）设直线l 的方程为(1)y k x =-，代入椭圆方程2214x y +=得：2222(41)8440k x k x k +-+-=，设1122(,),(,)E x y F x y ，则由韦达定理得：2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+， 直线,AE AF 的方程分别为：11(2)2y y x x =--，22(2)2yy x x =--， 令3x =得：11(3,)2y M x -，22(3,)2y N x -，所以12121(3,())222yy P x x +--， 1212'12121221121()022222(1)(2)(1)(2)3144(2)(2)y y y y x x x x k x x k x x k kk k k x x +-+------+--=⨯=⨯=⨯---21212121223()442()4x x x x k x x x x -++=⨯-++22222222222882416441414416164444441k k k k k k k k k k k --++-+=⨯=⨯=---+++. 21．【解析】（1）()f x 的定义域(0,)+∞，2'2211()1a x ax f x x x x-+=+-=，令'()0f x =，得210x ax -+=， ①当02a <≤时，240a ∆=-≤，此时，'()0f x ≥恒成立，所以，()f x 在定义域(0,)+∞上单调递增；②当2a >时，240a ∆=->，解210x ax -+=的两根为12a x =，22a x =，当x ∈时，'()0f x >，()f x 单调递增；当x ∈时，'()0f x <，()f x 单调递减；当)x ∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增；综上得，当02a <≤时，()f x 的递增区间为(0,)+∞，无递减区间；当2a >时，()f x的递增区间为，)+∞，递减区间为(22a a ；（2）1()ln g x x a x x=-+，定义域为(0,)+∞， 2'2211()1a x ax g x x x x ++=++=，令'()0g x =，得210x ax ++=，其两根为12,x x ，且12121x x a x x +=-⎧⎨=⎩，所以，211x x =，111()a x x =-+，∴0a <. ∴12111111111111()()()()ln (ln )g x g x g x g x a x x a x x x x -=-=-+--+ 111111111112()ln 2()2()ln x a x x x x x x x =-+=--+. 设11()2()2()ln h x x x x x x =--+，(0,]x e ∈，则12min min (()())()g x g x h x -=.∵'22211112(1)(1)ln ()2(1)2[(1)ln ()]x x x h x x x x x x x x +-=+--++=，当(0,]x e ∈时，恒有'()0h x ≤，∴()h x 在(0,]e 上单调递减；∴min 4()()h x h e e ==-，∴12min 4(()())g x g x e-=-. 22．【解析】由题意可得：,,,G E D F 四点共圆， ∴CGF CDE ∠=∠，CFG CED ∠=∠，∴CGF ∆∽CDE ∆，∴DE CDGF CG =， 又∵1,4CG CD ==，∴4DEGF=. （2）因为AB 为切线，AE 为割线，2AB AD AE =∙，又因为AC AB =，所以2AD AE AC ∙=.所以AD ACAC AE=，又因为EAC DAC ∠=∠，所以ADC ∆∽ACE ∆， 所以ADC ACE ∠=∠，又因为ADC EGF ∠=∠，所以EGF ACE ∠=∠， 所以//FG AC .23.【解析】（1）点P的直角坐标，由2cos 2sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，得22(4x y +=，所以曲线C的直角坐标方程为22(4x y +=.（2）曲线C的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），直线l 的普通方程为210x y ++=，设(2cos ,2sin )Q θθ，则3(cos ,sin )2M θθ+，那么点M 到直线l 的距离355|cos 2sin 1||)|12d θθθϕ+++++==≥=-， 所以点M 到直线l1. 24．【解析】（1）22,3()(4)|1||3|4,3122,1x x f x f x x x x x x --<-⎧⎪++=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩，当3x <-时，由228x --≥，解得5x ≤-； 当31x -≤≤时，48≥不成立；当1x >时，由228x +≥，解得3x ≥.所以不等式()(4)8f x f x ++≥的解集为{|53}x x x ≤-≥或. （2）要证()||()b f ab a f a>，即证|1|||ab a b ->-. 因为||1,||1a b <<，所以22222222|1|||(21)(2)(1)(1)0ab a b a b ab a ab b a b ---=-+--+=-->， 所以|1|||ab a b ->-，故所证不等式成立.。
湖南省长沙市2016年高考考前冲刺30天训练(一)数学(文)试卷含解析
2016年考前冲刺30天数学（文）训练卷（1）（解析版）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.不等式x-2y+6>0表示的区域在直线x-2y+6=0的().A. 右上方B. 右下方C. 左上方D. 左下方2.已知复数z=a+b i(a,b∈R且ab≠0),且z(1-2i)为实数,则等于().A. 3B. 2C.D.3.已知cosα=,则cos2α+sin2α的值为().A. B. C. D.4.已知向量a=(-,1),b=(,λ).若a与b共线,则实数λ等于().A. -1B. 1C. -3D. 35.如图所示的程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”之值,则判断框内可以填入().(第5题)A. k≤10B. k≤16C. k≤22D. k≤346.若直线y=x+m与圆x2+y2+4x+2=0有两个不同的公共点,则实数m的取值范围是().A. (2-,2+)B. (-4,0)C. (-2-,-2+)D. (0,4)7.已知数列{a n}满足a1=0,a n+1=a n+2+1,则a13等于().A. 121B. 136C. 144D. 1698.一个三条侧棱两两互相垂直并且侧棱长都为a的三棱锥的四个顶点全部在同一个球面上,则该球的表面积为().A. πa2B. 3πa2C. 6πa2D. πa29.在Excel中产生[0,1]区间上均匀随机数的函数为“rand()”,在用计算机模拟估计函数y=sin x的图象、直线x=和x轴在区间上部分围成的图形面积时,随机点(a1,b1)与该区域内的点(a,b)的坐标变换公式为().A. a=a1+,b=b1B. a=2(a1-0.5),b=2(b1-0.5)C. a∈,b∈[0,1]D. a=,b=b110.已知抛物线y2=8x的焦点为F,直线y=k(x-2)与此抛物线相交于P,Q两点,则+等于().A. B. 1 C. 2 D. 411.某个长方体被一个平面所截,得到的几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为().(第11题)A. 4B. 2C.D. 812.若函数f(x)对任意的x∈R都有f(x+3)=-f(x+1),且f(1)=2013,则f[f(2013)+2]+1等于().A. -2013B. -2012C. 2012D. 2013二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13. 函数f(x)=lg(x2+3x-4)的定义域为.14. 若等比数列{a n}的首项是a1,公比为q,S n是其前n项和,则S n=.15. 以双曲线-y2=1的右焦点为焦点、顶点在原点的抛物线的标准方程是.16. 已知集合A=,B={(x,y)|2|x-3|+|y-4|=λ}.若A∩B≠ 则实数λ的取值范围是.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分12分)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且sin A cos C+cos A sin C=.若b=,△ABC的面积S△=,求a+c的值.ABC18. (本小题满分12分)由全国重点城市环境监测网获得2月份某五天甲城市和乙城市的空气质量指数数据用茎叶图表示如下:(第18题)(Ⅰ)试根据上面的统计数据,判断甲、乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系;(只需写出结果)(Ⅱ)试根据上面的统计数据,估计甲城市某一天空气质量等级为2级良的概率;(Ⅲ)分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个,试求这两个城市空气质量等级相同的概率.(注:s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(x n-)2],其中为数据x1,x2,…,x n的平均数)19. (本小题满分12分)如图,E是矩形ABCD中边AD上的点,F为边CD的中点,AB=AE=AD=4,现将△ABE沿边BE折至△PBE位置,且平面PBE⊥平面BCDE.(Ⅰ)求证:平面PBE⊥平面PEF;(Ⅱ)求四棱锥P-BEFC的体积.(第19题)20. (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,方向向量为d=(1,k)的直线经过椭圆+=1的右焦点F,与椭圆相交于A,B两点.(Ⅰ)若点A在x轴的上方,且||=||,求直线的方程;(Ⅱ)若k=1,P(6,0),求△PAB的面积;(Ⅲ)当k(k∈R且k≠0)变化时,试求一点C(x0,0),使得直线AC和BC的斜率之和为0.(第20题)21. (本小题满分12分)已知函数f(x)=e x sin x.(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)如果对于任意的x∈,f(x)≥kx总成立,求实数k的取值范围;(Ⅲ)是否存在正实数m,使得当x∈(0,m)时,不等式f(x)<2x+x2恒成立?请给出结论并说明理由.请考生从第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.22. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明如图,AB是☉O的直径,弦CD与AB垂直,并与AB相交于点E,点F为弦CD上异于点E的任意一点,连接BF,AF并延长交☉O于点M,N.求证:(Ⅰ)B,E,F,N四点共圆;(Ⅱ)AC2+BF·BM=AB2.(第22题)23. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t是参数,0≤α<π),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2=.(Ⅰ)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;(Ⅱ)当α=时,曲线C1和C2相交于M,N两点,求以线段MN为直径的圆的直角坐标方程.24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(Ⅰ)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;(Ⅱ)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.答案解析1. B【命题意图】本小题主要考查二元一次不等式所表示的区域位置问题.【解题思路】可先画出直线x-2y+6=0,再取原点(0,0)代入不等式x-2y+6>0检验,符合,则在原点(0,0)这边,即右下方为不等式所表示区域.故选B.2. C【命题意图】本小题主要考查复数的概念及其基本运算.【解题思路】由z·(1-2i)=(a+b i)(1-2i)=(a+2b)+(b-2a)i为实数,所以b=2a,=.故选C.3. A【命题意图】考查同角三角函数的基本解析式以及二倍角的余弦公式的应用.【解题思路】由cosα=,得cos2α+sin2α=2cos2α-1+1-cos2α=cos2α=,故选A.4. A【命题意图】考查平面向量共线的意义.【解题思路】因为a与b共线,所以-λ-=0,解得λ=-1.5. C【命题意图】考查程序框图,会按照循环结构分步写出结果.【解题思路】第1步:S=2,k=3;第2步:S=2×3,k=5;第3步:S=2×3×5,k=9;第4步:S=2×3×5×9,k=17;第4步:S=2×3×5×9×17,k=33;退出循环,符合条件的判断只有C.6. D【命题意图】考查直线与圆的方程,直线与圆的位置关系,会用点到直线的距离公式.【解题思路】圆的标准方程为(x+2)2+y2=2,所以圆心为(-2,0),半径为.由题意知<,即|m-2|<2,解得0<m<4.故选D.7. C【命题意图】本小题主要考查数列的递推问题以及等差数列的通项公式,也同时考查学生利用构造思想解决问题的能力以及学生的推理论证能力.【解题思路】由a n+1=a n+2+1,可知a n+1=(+1)2,即=+1,故{}是公差为1的等差数列,=+12=12,则a13=144.故选C.【举一反三】本题通过构造,得到数列{}是公差为1的等差数列,在数列的求解中经常用到构造思想,应多加训练.8. B【命题意图】由本小题主要考查立体几何中球与球的内接几何体的基本量的关系,以及球表面积公式的应用.【解题思路】由题可知该三棱锥为一个棱长为a的正方体的一角,则该三棱锥与该正方体有相同的外接球.又正方体的对角线长为a,则球半径为a,则S=4πr2=4π=3πa2.故选B.【举一反三】本考点是近年来高考中的热点问题,同时此类问题对学生的运算求解能力、空间想象能力也提出较高要求.9. D【命题意图】本小题主要考查均匀随机数的意义与简单应用,对于不同尺度下点与点的对应方式也做出一定要求.本题着重考查考生数据处理的能力与化归的数学思想.【解题思路】由于a∈,b∈[0,1],而a1∈[0,1],b1∈[0,1],所以坐标变换公式为a=a1,b=b1.故选D.【易错警示】本题要认真审题,弄清a与a1的取值范围及其关系,才能正确作答.10. A【命题意图】本小题是定值问题,考查抛物线的定义与基本性质及过焦点的弦的性质,考查直线恒过定点问题,会联立方程组,用韦达定理求解,对考生的计算能力、化归与转化的数学思想也有较高要求.【解题思路】直线y=k(x-2)过定点(2,0),抛物线y2=8x的焦点为(2,0),设P(x1,y1),Q(x2,y2),由题意可知,|PF|=x1+2,|QF|=x2+2,则+=+=,联立直线与抛物线方程,消去y,得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,可知x1x2=4,故+===.故选A.【易错警示】由于直线方程带字母k,求解过程中,稍不细心,结果会出现k消不去,没有答案的情况,因此,本题要求有较好计算能力.11. D【命题意图】考查空间几何体的三视图,会由三视图还原几何体,会用割补法求几何体的体积.【解题思路】由三视图可知,该几何体为如图所示的几何体,其中长方体底面为正方形,正方形的边长为2.其中HD=3,BF=1,将相同的两个几何体放在一起,构成一个高为4的长方体,所以该几何体体积为×2×2×4=8.故选D.(第11题)【举一反三】对于不规则图形,可以补图形,变成规则图形,或者将不规则图形割成几个规则图形来求解.12. B【命题意图】本小题着重考查函数的周期性问题,以及复合函数的求值问题,对于不同的解析式,函数周期性的意义也不同.【解题思路】由f(x+3)=-f(x+1)=-[f(x-1)]=f(x-1)可知函数f(x)周期T=4,当x=0时可知,f(3)=-f(1)=-2013,f(2 013)=f(1)=2 013,因此f[f(2 013)+2]+1=f(2015)+1=f(3)+1=-2012.故选B.【举一反三】此类问题是高考中常见的重要考点之一,应理解函数的周期与对称问题,提高解题过程中的推理论证能力与运算求解能力.13. (-∞,-4)∪(1,+∞)【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质与其定义域的求值问题以及一元二次不等式的解法.【解题思路】由题意可知x2+3x-4>0,解得x<-4或x>1,所以函数f(x)的定义域为(-∞,-4)∪(1,+∞).【易错警示】注意零和非负数没有对数,由于对数概念不清,容易错解为x2+3x-4≥0,多一个等号.14.S n=【命题意图】本小题主要考查等比数列的前n项和公式及公式的适应范围,分类讨论的数学思想.【解题思路】根据等比数列前n项和公式:S n=【易错警示】注意本题中q可取任何实数,而当q=1时,等比数列的前n项和公式不适用,所以要分类,容易不写q=1的情况致错.15.y2=8x【命题意图】考查双曲线、抛物线的方程及其性质.【解题思路】双曲线的右焦点为(2,0),所以抛物线的焦点为(2,0),即抛物线的方程为y2=2px,其中=2,所以p=4,所以抛物线的方程为y2=8x.16.【命题意图】本小题主要考查曲线与方程的实际应用问题,对学生数形结合与分类讨论思想的应用做出较高要求.【解题思路】由题可知,集合A表示圆(x-3)2+(y-4)2=上点的集合,集合B表示曲线2|x-3|+|y-4|=λ上点的集合,此二集合所表示的曲线的中心都在(3,4)处,集合A表示圆,集合B 则表示菱形,可以将圆与菱形的中心同时平移至原点,如图所示,可求得λ的取值范围是.(第16题)【易错警示】曲线B应分四种情况讨论,画出四条线段,容易出错.【举一反三】对于曲线与方程问题,经常要画出图形,用数形结合的方法求解,比较简捷. 17.【命题意图】本题主要考查三角形面积公式、余弦定理等知识.【解题思路】由条件可知sin(A+C)=,即sin B=.(2分)因为S△ABC=ac sin B=,所以ac=3.(6分)由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B,得b2=(a+c)2-2ac-2ac cos B,即7=(a+c)2-2×3.(10分)所以a+c=4.(12分)18.【命题意图】考查茎叶图,数据的方差,古典概型以及读图和阅读理解能力,数据处理能力.【解题思路】(Ⅰ)甲城市的空气质量指数的方差大于乙城市的空气质量指数的方差.(3分)(Ⅱ)根据上面的统计数据,可得在这五天中甲城市空气质量等级为2级良的频率为,则估计甲城市某一天的空气质量等级为2级良的概率为.(6分)(Ⅲ)设事件A:从甲城市和乙城市的上述数据中分别任取一个,这两个城市的空气质量等级相同,由题意可知,从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个,共有25个结果,分别记为: (29,43),(29,41),(29,55),(29,58)(29,78),(53,43),(53,41),(53,55),(53,58),(53,78),(57,43),(57,41),(57,55),(57,58),(57,78),(75,43),(75,41),(75,55),(75,58),(75,78),(106,43),(106,41),(106,55),(106,58),(106,78).(8分)其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为1级优的为甲29,乙41,乙43,同为2级良的为甲53,甲57,甲75,乙55,乙58,乙78.则空气质量等级相同的为:(29,41),(29,43),(53,55),(53,58),(53,78),(57,55),(57,58),(57,78),(75,55),(75,58),(75,78).共11个结果.(10分)则P(A)=.所以这两个城市空气质量等级相同的概率为.(12分)19.【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识,具体涉及到线面、面面的垂直关系、空间几何体体积的求值.本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.【解题思路】(Ⅰ)由题可知,在△DEF中,ED=DF,ED⊥DF,所以∠DEF=45°.在△ABE中,AE=AB,AE⊥AB,所以∠AEB=45°.所以EF⊥BE.(3分)因为平面PBE⊥平面BCDE,平面PBE∩平面BCDE=BE,EF⊥BE,所以EF⊥平面PBE.因为EF⊂平面PEF,所以PBE⊥平面PEF.(6分)(Ⅱ)S四边形BEFC=S四边形ABCD-S△ABE-S△DEF=6×4-×4×4-×2×2=14,(9分)则V P-BEFC=·S四边形BEFC·h=×14×2=.(12分)【举一反三】证明面面垂直,关键是在一个平面内找到一直线垂直另一个平面.求不规则图形BEFC的面积,通过用较大的规则图形减去较小的规则图形的方法求得.20.【命题意图】本题主要考查直线方程、椭圆的标准方程、直线的斜率.【解题思路】(Ⅰ)由题意a2=18,b2=9,得c=3,所以F(3,0).(1分)||=||且点A在x轴的上方,得A(0,3).所以k=-1,d=(1,-1).所以直线为=,即直线的方程为x+y-3=0.(3分)(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),当k=1时,直线:y=x-3.将直线与椭圆方程联立(5分)消去x,得y2+2y-3=0,解得y1=-3,y2=1.所以S△PAB=×|PF|×|y1-y2|=×3×4=6.(7分)(Ⅲ)假设存在这样的点C(x0,0),使得直线AC和BC的斜率之和为0.由题意得,直线:y=k(x-3)(x≠0).由消去y,得(1+2k2)x2-12k2x+18(k2-1)=0.因为Δ>0恒成立,所以(9分)k AC=,k BC=,k AC+k BC=+=+==0.所以2kx1x2-k(x0+3)(x1+x2)+6kx0=0,即-+6kx0=0,解得x0=6,(11分)所以存在一点(6,0),使得直线AC和BC的斜率之和为0.(12分)21.【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力,具体涉及到用导数来描述函数的单调性、极值以及函数零点的情况.本小题主要考查考生分类讨论思想的应用,对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.【解题思路】(Ⅰ)由于f(x)=e x sin x,所以f'(x)=e x sin x+e x cos x=e x(sin x+cos x)=e x sin.(2分)当x+∈(2kπ,2kπ+π),即x∈时,f'(x)>0;当x+∈(2kπ+π,2kπ+2π),即x∈时,f'(x)<0.所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z),单调递减区间为(k∈Z).(4分)(Ⅱ)令g(x)=f(x)-kx=e x sin x-kx,要使f(x)≥kx总成立,只需x∈时,g(x)min≥0.对g(x)求导得g'(x)=e x(sin x+cos x)-k,令h(x)=e x(sin x+cos x),则h'(x)=2e x cos x>0.所以h(x)在上为增函数,所以h(x)∈[1,].(6分)对k分类讨论:当k≤1时,g'(x)≥0恒成立,所以g(x)在上为增函数.所以g(x)min=g(0)=0,即g(x)≥0恒成立;②当1<k<时,g'(x)=0在上有实根x0,因为h(x)在上为增函数,所以当x∈(0,x0)时,g'(x)<0,所以g(x0)<g(0)=0,不符合题意;③当k≥时,g'(x)≤0恒成立,所以g(x)在上为减函数,则g(x)<g(0)=0,不符合题意.综合①②③可得,所求的实数k的取值范围是(-∞,1].(8分)(Ⅲ)存在正实数m使得当x∈(0,m)时,不等式f(x)<2x+x2恒成立.理由如下: 令g(x)=e x sin x-2x-,要使f(x)<2x+在(0,m)上恒成立,只需g(x)max<0.(10分)因为g'(x)=e x(sin x+cos x)-2-x,且g'(0)=-1<0,g'=->0,所以存在正实数x0∈,使得g'(x)=0.当x∈(0,x0)时,g'(x)<0,g(x)在(0,x0)上单调递减,即当x∈(0,x0)时,g(x)<g(0)=0,所以只需m∈(0,x0)均满足当x∈(0,m)时,f(x)<2x+x2恒成立.(12分)注:因为eπ>e3>2.73>19,<42=16,所以->0.【易错警示】分类讨论是本题的一个难点,注意分类不遗漏、不重复.22.【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明,具体涉及到四点共圆的证明、圆中三角形相似等内容.本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【解题思路】(Ⅰ)连接BN,则AN⊥BN,又CD⊥AB,则∠BEF=∠BNF=90°,即∠BEF+∠BNF=180°,则B,E,F,N四点共圆.(4分)(Ⅱ)由直角三角形的射影原理可知AC2=AE·AB,由Rt△BEF与Rt△BMA相似可知=,(6分)即BF·BM=BA·BE=BA·(BA-EA),BF·BM=AB2-AB·AE,(8分)则BF·BM=AB2-AC2,即AC2+BF·BM=AB2.(10分)23.【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识,具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系等内容.本小题考查考生的方程思想与数形结合思想,对运算求解能力有一定要求.【解题思路】(Ⅰ)对于曲线C1消去参数,得当α≠时,C1:y-1=tanα(x-2);当α=时,C1:x=2.(2分)对于曲线C2:ρ2+ρ2cos2θ=2,x2+y2+x2=2,则C2:x2+=1.(4分)(Ⅱ)当α=时,曲线C1的方程为x-y-1=0,联立C1,C2的方程消去y得2x2+(x-1)2-2=0,即3x2-2x-1=0,(6分)|MN|===·=,(8分)圆心为,即,从而所求圆方程为+=.(10分)24.【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识,具体涉及到绝对值不等式及不等式证明等内容.本小题重点考查考生的化归与转化思想.【解题思路】(Ⅰ)当a=-3时,f(x)≥3,即|x-3|+|x-2|≥3,所以或或(3分)解得x≤1或x≥4.(5分)(Ⅱ)由原命题可知f(x)≤|x-4|在[1,2]上恒成立,即|x+a|+2-x≤4-x在[1,2]上恒成立,即-2-x≤a≤2-x在[1,2]上恒成立,所以-3≤a≤0.(10分)。
湖南省长沙市长郡中学2016届高三下学期第六次月考数学(文)试卷
长郡中学2016届高三月考试卷（六）数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若全集U R =，集合{}124x x A =<<，{}10x x B =->，则U A B = ð（ ）A ．{}01x x <≤B ．{}12x x <<C ．{}01x x <<D ．{}12x x ≤<2.已知a ，R b ∈，i 是虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则()2a bi +=（ ）A ．54i -B ．54i +C ．34i -D ．34i +4.在区间[]2,4-上随机地抽取一个实数x ，若x 满足2x m ≤的概率为56，则实数m 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．95.已知()f x 在R 上是奇函数，且满足()()4f x f x +=，当()0,2x ∈时，()22f x x =，则()7f =（ ）A ．2B ．2-C ．98-D ． 986.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为2的直角三角形，俯视图是半径为1的四分之一圆周和两条半径，则这个几何体的体积为（ ）A B C D7.下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a ，b ，i 的值分别为6，8，0，则输出a 和i 的值分别为（ ）A ． 0，4B ．0，3C ．2，4D ．2，38.设函数()()2f x g x x =+，曲线()y g x =在点()()1,1g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的斜率为为（ ）A ．4B ．14-C ．2D ．12- 9.已知3sin 5ϕ=，且,2πϕπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．35- B ．45- C ．35 D ．45。
湖南省长沙市长郡中学2016届高考模拟卷二数学(文)试题 含答案
数学（文科）第Ⅰ卷(共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1。
设集合{}{}22|20,|2,,A x x x B y y x x x A =-≤==-∈则A B ⋃=（）A ．[]0,2B ．[]1,2-C ．(],2-∞D ．[)0,+∞2. 如果复数()32bi z b R i-=∈+的实部和虚部相等，则z 等于（ ）A ．32B ．22C ．3D ．23。
下列函数既是偶函数，又在()0,+∞上单调递增的是( ）A ．2y x =- B ．3y x = C ．3xy -=-D ．2logy x =4. 已知公差不为0的等差数列{}na 满足134,,a a a 成等比数列,nS 为数列{}na 的前n 项和，则3253S S S S --的值为( )A ．2-B ．3-C ．2D ．35。
已知平面向量()()1,2,2,a b k ==-,若a 与b 共线，则3a b +=（ ） A 5 B ．25 C ．52D ．6. 函数()()sin 20,0y x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期为π,且函数图像关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称,则此函数的解析式为( )A ．2sin 43y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 43y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7。
如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S 为（ ） A ．()()130020a x ax a a x +++的值B ．()()0010230ax a x a a x +++的值C ．()()3020100ax a x a a x +++的值D ．()()2000310ax a x a a x +++的值8. 中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器_____商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸),若π取3其体积为12.6（立方寸）,则图中的x 为（ ）9. 如图,圆C 内切于扇形,3AOB AOB π∠=若向扇形AOB 内随机投掷600个点,则落入圆内的点的个数估计值为（ ） A ．100 B ．200 C ．400D ．45010。
【全国百强校】湖南省长沙市长郡中学2016届高三高考原创演练卷(十一)文数试题(解析版)
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}{}0,2,3,4,5,7,1,2,3,4,6,,A B C x x A x B ===∈∉，则C 的元素的个数为（ ）A ．2B ． 3C ．4D ．5【答案】B【解析】 试题分析：由题意可知{}{},0,5,7C x x A x B =∈∉=，即集合C 中有三个元素，故选B.考点：集合的表示及运算.2. 若,a b R ∈，i 是虚数单位，且()3221b a i i +-=-，则a b +的值为（ ）A ．16-B ．16 C ．56 D ．76- 【答案】C【解析】试题分析：由复数相等的定义可得：31221b a =⎧⎨-=-⎩,解之得11,23a b ==，所以56a b +=，故选C. 考点：复数相等的定义.3. 若函数()f x 的定义域为R ，则“函数()f x 是奇函数”是“()00f =” 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件【答案】A考点：1.函数的奇偶性；2.充分条件与必要条件.4. 设,,a b l 均为直线’,αβ均为平面，则下列命题判断错误的是（ ）A ．若l α ，则α内存在无数条直线与l 平行B ．若αβ⊥，则α内存在无数条直线与β 不垂直C ．若αβ ，则α内存在直线与m ，β 内存在直线n ，使得m n ⊥D ．若,a l b l ⊥⊥，则a 与b 不可能垂直【答案】D考点：线线垂直、线面平行、面面平行、面面垂直的性质与判定.5. 根据如下样本数据：得到了回归方程y bx a =+，则（ ） A ．0,0a b >> B ．0,0a b <>C ．0,0a b ><D ．0,0a b <<【答案】C【解析】试题分析：由表是数据可知y 与x 是负相关关系，所以0b <，且当0x =时，0y >，所以0a >，故选C. 考点：相关关系与回归方程.6. 若[]x 表示不超过x 的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为 （ ）A ．3B ．5C ．7D ．10【答案】C考点：程序框图.7. 已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的—条渐近线方程为y =，则此双曲线的离心率为（ ）A B ．76 C ．54【答案】A【解析】试题分析：因为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的—条渐近线方程为y x =，所以b a =，所以可设6,a k b ==，所以c ==，c e a ===，故选A. 考点：双曲线的标准方程与几何性质.8. 设数列{}n a 的前n 项和n S 满足12n n S a a =-，且321,1,a a a +成差数列，若21log 71n a +≤，则 n 的 最大值等于（ ）A ．67B ．68C ．69D ．70【答案】D【解析】试题分析：由12n n S a a =-可得当2n ≥时，1112n n S a a --=-，两式相减得：122n n n a a a -=-，即12n n a a -=，所以数列{}n a 是以2为公比的等比数列，11112n n n a a q a --== 由321,1,a a a +成差数列得，2132(1)a a a +=+即1112(21)4a a a +=+,解之得12a =，所以2n n a =，1212log log 2171n n a n ++==+≤，70n ≤，即n 的最大值等于70，故选D. 考点：1.n a 与n S 关系；2.等比数列的定义与性质；3.对数的性质.9. 将函数()()()()sin 220f x x x ϕϕϕπ=+++<<的图象向左平移4π个单位后，得到函数的图象关于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，则函数()()cos g x x ϕ=+在,26ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A ．12-B ．12C D ． 【答案】B考点：1.三角恒等变换；2.诱导公式；3.三角函数的图象与性质.10. 如图所示，已知1,0OA OB OA OB === ，点C 在线段AB 上，且30AOC ∠=︒，设(),OC mOA nOB m n R =+∈ ，则m n -等于（ ）A ．13B ．12C ．12-D ．13-【答案】B考点：1.向量加减法的几何运算；2.向量数量积的几何意义；3.平面向量基本定理.11. —锥体的三视图如图所示，则该棱锥的最长棱的棱长为（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为如下图所示的四棱锥P ABCD -，其中底面ABCD 为边长为4的正方形，PE ⊥底面ABCD ，且4PE =，所以最长的侧棱为PA ，PA === C.D AP考点：三视图. 【名师点睛】本题考查三视图，中档题；三视图是高考中的热门考点，解题的关键是熟悉三视图的排放规律：长对正，高平齐，宽相等.同时熟悉常见几何体的三视图，这对于解答这类问题非常有帮助，本题还应注意常见几何体的体积和表面积公式.12. 设函数()()()2,lg 41f x x g x ax x =-=-+，对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使()()12f x g x =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(],4-∞B ．(]0,4C ．(]4,0- D ．[)4,+∞【答案】A 考点：1.函数的值域；2.全称量词与特称量词的意义；3.对数函数的性质.【名师点睛】本题主要考查了函数的性质、值域求法以及全称量词与存在量词的意义，属于较难题；全称量词与存在量词是考试说明新增的内容，在后续复习时应予以关注，同时，“存在”，“任意”等一些抽象的用词是高等数学中经常会涉及的，也体现了从高中数学到大学高等数学的过渡，解题过程中需对函数概念的本质理解到位.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 函数()()330f x x x x =-+<的极值点为0x ，则0x = ． 【答案】1-【解析】试题分析：因为()()2330f x x x '=-+<，由()200330f x x '=-+=得01x =±，又因为0x <，所以01x =-，故应填1-.考点：导数与函数的极值.14. 高一某班有位学生第1次月考数学考了69分，他计划以后每次考试比上—次提高5分（如第2次计划达到74分），则按照他的计划该生数学以后要达到优秀（120分以上，包括120分）至少还要经过的 数学月考的次数为 ．【答案】11考点： 等差数列的通项公式性质.15. 已知实数,x y 满足12500x x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则4z x y =-的最小值为 ．【答案】1【解析】试题分析：约束条件所表示的平面区域为如下图所示的三角形ABC 区域，当目标函数4z x y =-经过可行域中的点(1,3)C 时，z 有最小值，即min 4131z =⨯-=，所以应填1.考点：线性规划.【名师点睛】本题考查线性规划，属于基础题;要求依据二元一次不等式组准确画出可行域，利用线性目标函数中直线的纵截距的几何意义，在可行域内平移目标函数所表示的直线，确定何时目标函数取得最大值或最小值，找出此时相应的最优解，依据线性目标函数求出最值，这是最基础的线性规划问题.16. 已知点A 是拋物线()2:20C x py p =>上一点，O 为坐标原点，若,A B 是以点()0,10M 为圆心，OA 的长为半径的圆与拋物线C 的两个公共点，且ABO ∆为等边三角形，则p 的值是 ． 【答案】56考点：1.抛物线的几何性质；2.圆的性质.【名师点睛】本题考查抛物线及圆的几何性质，中档题；抛物线是高考命题的热点和必考内容，解题时要注意抛物线和双曲线的焦点落在哪个轴上，否则很容易出现错误．本题解题的关键是过抛物线与圆均关于y 轴对称这一性质，得到等边三角形OAB 也关于y 轴对称，从而得到边OA 的方程.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足12,cos ,4b C ==ABC ∆. （1）求a 的值；（2）求sin 2B 的值.【答案】(1)3；考点：1.正弦定理与余弦定理；2.三角恒等变换.18. （本小题满分12分）已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试” 活动，为了解本次考试学生的某学科成绩情况，从中抽取部分学生的分数(满分为100分，得分取正整数，抽取学生的分数均在[]50,100之内) 作为样本(样本容量为n )进行统计，按照[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[)[]50,60,90,100的数据).（1）求样本容量为n 和频率分布直方图中的x 、y 的值；（2）在选取样本中，从成绩在80分以上(含80分) 的学生随机抽取2名学生参加“省级学科基础知识竞赛”，求所抽取的2名学生中恰有一人得分在[]90,100内的概率.【答案】(1)50,0.034,0.004n x y ===；(2)815.考点：1.频率分布直方图；2.古典概型.【名师点睛】本题考查频率分布直方图与古典概型，中档题；利用频率分布直方图解题的时，注意其表达的意义，同时要理解频率是概率的估计值这一基础知识；在利用古典概型解题时，要注意列出所有的基本事件，千万不可出现重、漏的情况.19. （本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中， 90,60,ABC ACD BAC CAD PA ∠=∠=︒∠=∠=︒⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，24PA AB ==.（1）求证：CE 平面PAB ；（2）若F 为PC 的中点，求F 到平面AEC 的距离.【答案】（1）见解析；（2.（2）PA CA = ,F 为PC 的中点,AF PC ∴⊥ ，PA ⊥ 平面ABCD ，PA CD ∴⊥.,,AC CD PA AC A CD ⊥=∴⊥ 平面PAC .考点：1.线面平行的判定与性质；2.面面平行的判定与性质；3.多面体的体积.【名师点睛】本题主要考查的是线面平行、面面平行和多面体体积，属于中档题．证明线面平行的关键是证明线线平行，证明线线平行常用的方法是三角形的中位线和构造平行四边形．点到平面的距离是转化为几何体的体积问题，借助等积法来解决．20. （本小题满分12分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦距为2， 且过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，其长轴的左右两个端点分别为,A B ，直线32y x m =+交椭圆于两点,C D .（1）求椭圆标准的方程；（2）设直线,AD CB 的斜率分别为12,k k ，若12:2:1k k =求m 的值. 【答案】(1) 22143x y +=；(2)1m =. 【解析】（2）()()1,122,,C x y D x y ，联立方程2232143y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得223330x mx m ++-=， 212123,3m x x m x x -∴+=-=, 由题意知，()()2112212,0,2,0,,22AD BC y y A B k k k k x x -∴====+-, 12:2:1k k = ，即()()2112222y x y x -=+，得()()22212212242y x y x -=+①,又()2222111131,4434x y y x +=∴=-，同理()2222344y x =-, 代入①式，解得()()()()211222422x x x x --=++,即()1212103120x x x x +++=， ()2103120m m ∴-+-+=解得1m =或9，又212,9m m <∴= (舍去),1m ∴=.考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系，中档题；高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成,其中考查较多的圆锥曲线是椭圆,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.21. （本小题满分12分）已知函数()()ln 1F x ax x a R =-++∈.（1）讨论函数()F x 的单调性；（2）定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上递减，若不等式()()()()ln 121f F x f ax x f +--≥对 []1,3x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1) 当0a ≤时，()F x 在()0,+∞上递增.当0a >时，由()F x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递减，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增. (2) 12ln 3,.3e+⎡⎤⎢⎥⎣⎦试题解析： （1）()()1'0ax F x x x-=>,当0a ≤时，()'0F x >，则()F x 在()0,+∞上递增. 当0a >时，由()'0F x >得10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；由()'0F x <得1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭. 故()F x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递减，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增.考点：1.导数与函数的单调性；2.函数与不等式；3.导数与函数的最值.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，从圆O 外一点P 引圆的切线PC 及割线PAB ，C 为切点，OD BC ⊥，垂足为D .（1）求证：2AC CP AP BD =；（2）若,,AP AB BC 依次成公差为1的等差数列，且PC =，求AC 的长.【答案】(1)见解析；【解析】试题分析：(1)由圆的相关性质可得PCA CBP ∠=∠，CPA CPB ∠=∠，从而可证CAP BCP ∆∆ ，由相似比相等可得AP BC AC CP = ，又2,2BC BD AC CP AP BD =∴= . (2) 设()0AP x x =>，由切割定理可得2,PA PB PC = 列出方程解出x 即可求AC 的长.试题解析：（1）证明：PC 为圆O 的切线，PCA CBP ∴∠=∠，又CPA CPB ∠=∠，故CAP BCP ∆∆ ，AC AP BC PC∴=, 即AP BC AC CP = ,又2,2BC BD AC CP AP BD =∴= .（2）设()0AP x x =>，则1,2AB x BC x =+=+,由切割定理可得()2,2121,0,3,5PA PB PC x x x x BC =∴+=>∴=∴= ,由(1)知，,35,AP BC AC CP AC =∴⨯=∴= . 考点：1.弦切角定理；2.三角形相似；3.切割线定理.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程方程已知直线l 的参数方程为45(31x t t y t =-+⎧⎨=-⎩为参数) ，在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆N 的方程为26sin 8ρρθ-=-.（1）求圆N 的直角坐标方程；（2）判断直线l 与圆N 的位置关系.【答案】(1)()2231x y +-=;(2)相交.考点：1.极坐标与直角坐标的互化；2.参数方程与普通方程的互化；3.直线与圆的位置关系.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()f x x a =-.（1）当2a =时，解不等式()71f x x ≥--；（2）若()1f x ≤的解集为[]()110,2,0,02a m n m n+=>>，求证：43m n +≥+. 【答案】(1) (][),25,-∞-+∞ ；(2)见解析.考点：1.含绝对值的不等式的解法；2.基本不等式.：。
2016届湖南省长沙市长郡中学高考模拟卷(一)文综试题解析
2016届湖南省长沙市长郡中学高考模拟卷（一）文综试题一、选择题：本大题共35个小题，每小题4分，共140分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
24.“周公制礼”被认为是儒家思想的渊源，唐宋以前，儒家推崇的圣人向来是“周孔”，唐宋开始，“周孔”逐渐被“孔孟”所取代，造成这一变化的原因不包括A．中国社会平民化程度加深B．“仁政”和“民本”思想更符合时代需求C．理学家对孟子思想的推崇D．周公思想存在的经济基础崩溃答案:D分值：（4分）解析：周公是传说中周礼的制定者，孔子续其踵，推崇克己复礼，代表的是贵族思想，孟子处于礼崩乐坏的战国时期，他把儒学的对人以仁发展为“仁政”“民本”思想，反映了普通平民的诉求。
唐以前，贵族政治犹存，宋以后，社会平民化程度加深，所以孟子地位提高；东汉末至隋唐一统和唐末藩镇割据以及五代十国的历史启示了“仁政”和“民本”思想的重要性；理学家例如朱熹把孟子的著作校注，列入科举考试，也提升了孟子的地位；A、B、C都是变化原因。
中国古代的经济基础进入战国以后就是小农经济，唐宋时期周公地位的让步与小农经济在近代崩溃的史实无关，故选D。
【考查方向】考查的是儒家思想的相关知识。
【易错点】未认真分析材料，易错选C【解题思路】根据材料中的信息“唐宋开始”、““周孔”逐渐被“孔孟”所取代”等，结合所学知识，得出答案。
25.海昏侯墓的发掘是近年史学考古上的重大事件。
海昏侯墓墓主刘贺，曾当过27天西汉皇帝，后被辅政大臣、博陆侯霍光率领群臣以“荒淫迷惑，失帝王礼谊，乱汉制度”为理由奏请太后废黜。
这一历史事件说明A．西汉的君主专制制度遭到破坏B．官僚集团对皇权存在一定程度制约C．霍光“废帝”的举措符合董仲舒的“天人感应”D．西汉诸侯势力严重影响中央集权答案:B分值：（4分）解析：“霍光率领群臣以‘荒淫迷惑，失帝王礼谊，乱汉制度’为理由奏请太后废黜”，说明霍光的行为程序合法，故A项错误；“天人感应”是指外界与人行为的感应，犹指自然现象之于人事的感应，霍光废刘贺与此无关，故C项错误；因为汉武帝通过推恩令强化了中央集权，所以D项与史实不符；皇帝行为不俭，可以被合法废黜，说明这一时期官僚集团对皇权存在一定程度制约，答案选B。
【全国百强校】湖南省长沙市长郡中学2016届高三第六次月考文数试题解析01(解析版)
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.若全集U R =，集合{}124xx A =<<，{}10x x B =->，则U AB =ð（ ）A ．{}01x x <≤B ．{}12x x <<C ．{}01x x <<D ．{}12x x ≤< 【答案】A考点：集合运算 【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2.已知a ，R b ∈，i 是虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则()2a bi +=（ ） A ．54i - B ．54i + C ．34i - D ．34i + 【答案】D 【解析】试题分析：由题意得：2,1a b ==，故()22(2)34a bi i i +=+=+，选D考点：共轭复数3.已知命题:p 0x ∀≥，21x≥；命题:q 若x y >，则22x y >．则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ∧⌝ C ．p q ⌝∧⌝ D ．p q ⌝∨【答案】B 【解析】试题分析：命题p 为真命题，命题q 为假命题，因此命题q ⌝为真命题，命题p ⌝为假命题，从而p q ∧为假命题，p q ∧⌝为真命题，p q ⌝∧⌝为假命题，p q ⌝∨为假命题，选B. 考点：命题真假4.在区间[]2,4-上随机地抽取一个实数x ，若x 满足2x m ≤的概率为56，则实数m 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．9 【答案】D考点：几何概型概率5.已知()f x 在R 上是奇函数，且满足()()4f x f x +=，当()0,2x ∈时，()22f x x =，则()7f = （ ）A ．2B ．2-C ．98-D ．98 【答案】B 【解析】试题分析：由()()4f x f x +=得()f x 周期为4，因此()7(1)(1)2f f f =-=-=-，选B. 考点：函数性质6.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为2的直角三角形，俯视图是半径为1的 四分之一圆周和两条半径，则这个几何体的体积为（ ）A B C D【答案】A考点：三视图7.下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图， 若输入a ，b ，i 的值分别为6，8，0，则输出a 和i 的值分别为（ ）A ．0，4B ．0，3C ．2，4D ．2，3【答案】C 【解析】试题分析：1,68,2,2;62,4,3;42,2,4;22,i b i a i a i =<==>==>===输出2,4a i ==，选C.考点：循环结构流程图8.设函数()()2f xg x x =+，曲线()y g x =在点()()1,1g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的斜率为为（ ）A ．4B ．14-C ．2D ．12- 【答案】A 【解析】试题分析：因为()()2f x g x x ''=+，所以()()112224f g ''=+=+=，因此选A. 考点：导数几何意义 9.已知3sin 5ϕ=，且,2πϕπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>）的图象的相邻两条对称轴之间的 距离等于2π，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ） A ．35- B ．45- C ．35 D ．45【答案】B考点：三角函数性质，诱导公式【方法点睛】已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的图象求解析式(1)A ＝y max －y min 2，B ＝y max ＋y min2. (2)由函数的周期T 求ω，ω＝2πT.(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求φ.10.已知C ∆AB 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为()0,1，)，()0,2-，O 为坐标原点，动点P 满足C 1P =，则OA +OB +OP 的最小值是（ ）A 1B 1-C 1+D 1 【答案】A考点：向量坐标表示11.过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若F 2F B =A ，则此双曲线的离心率为（ ）A B C ．2 D 【答案】C 【解析】试题分析：设焦点F(c,0)，渐近线为b y x a =，易得2(,)a ab c c A ，则22(2,)a abB c c c-在b y x a =-上，因此22222(2)44 2.ab b a c a c e e c a c=--⇒=⇒=⇒=选C.考点：双曲线离心率【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12.已知三棱锥C S -AB 的所有顶点都在球O 的球面上，C ∆AB 是边长为1的正三角形，C S 为球O 的直 径，且C 2S =，则此棱锥的体积为（ ）ABCD【答案】A考点：三棱锥体积【方法点睛】(1)求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法.(2)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某中学高中一年级、二年级、三年级的学生人数比为5:4:3，现要用分层抽样的方法抽取一个容量为240的样本，则所抽取的二年级学生的人数是．【答案】80【解析】试题分析：抽取的二年级学生的人数是4240=805+4+3⨯考点：分层抽样14.若实数x，y满足约束条件2202402x yx yy--≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则xy的取值范围是．【答案】13, 22⎡⎤⎢⎥⎣⎦考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15.设数列{}n a 的各项都是正数，且对任意n *∈N ，都有242n n n S a a =+，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则数列{}n a 的通项公式为n a = ． 【答案】2n 【解析】试题分析：因为242n n n S a a =+，所以211142,(2)n n n S a a n ---=+≥，作差得2211422,(2)n n n n n a a a a a n --=-+-≥，即2211220(2)n n n n a a a a n ---++=≥，因为数列{}n a 的各项都是正数，所以12(2)n n a a n --=≥，即数列{}n a 成等差数列，又21111422S a a a =+⇒=，因此2.n a n =考点：数列通项公式【方法点睛】给出S n 与a n 的递推关系求a n ，常用思路是：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n . 应用关系式a n＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2时，一定要注意分n ＝1，n ≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.16.已知以F 为焦点的抛物线24y x =上的两点A ，B 满足F 2F A =B ，则弦AB 中点到抛物线准线的距离 为 ．【答案】94考点：弦中点问题【方法点睛】弦中点问题解法一般为设而不求，解法一求弦AB 所在直线方程的关键是求出斜率k ，可把点P 是弦AB 的中点作为突破口求解；解法二是直接设出斜率k ，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.本小题满分12分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知12a =，对任意n *∈N ，都有()21n n S n a =+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列()42n n a a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为nT ，求证：112n ≤T <． 【答案】（1）2n a n =（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）先根据和项与通项关系得到数列递推关系：()21n n S n a =+与112n n S na --=对应相减得()121n n n a n a na -=+-，即()11n n n a na --=，然后利用叠乘法求通项或构造常数列求通项（2）因为()()()44111222211n n a a n n n n n n ===-++++，所以利用裂项相消法求前n 项和为n T ：1211111111223111n n n b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫T =++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再证不等式1121n n ≤<+考点：数列通项公式，裂项相消法求和【方法点睛】将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c a n a n ＋1(其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如1（n－1）（n＋1）(n≥2)或1n（n＋2）.18.（本小题满分12分）“冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的慈善公益活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动．若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响．（1）若某参与者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？（2）为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关，某调查机构进行了随机抽样调查，调查得到如下列联表：根据表中数据，能否有90%的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”？附：()()()()()22n ad bca b c d a c b d-K=++++【答案】（1）12（2）没有【解析】试题分析：（1）古典概型概率求法，一般利用枚举法，列数满足条件基本事件的个数：3个人参与该项活动的可能结果共有8种．其中，至少有2个人接受挑战的可能结果有4种．再根据古典概型的概率公式得所求的概率为4182P==．（2）代入卡方公式得：()()()()()()2221004515251560407030n ad bc a b c d a c b d -⨯-⨯K ==++++⨯⨯⨯25 1.7914=≈．对照表格1.79 2.706<，因此没有90%的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”．考点：古典概型概率，卡方公式 19.（本小题满分12分）如图甲，O 的直径2AB =，圆上两点C 、D 在直径AB 的两侧，使C 4π∠AB =，D 3π∠AB =．沿直径AB 折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F 为C B 的中点，E 为AO 的中点．根据图乙解答下列各题：（1）求证：C D B ⊥E ；（2）在D B 上是否存在一点G ，使得FG//平面CD A ？若存在，试确定点G 的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）详见解析（2）存在，G 为D B 的中点．考点：面面垂直性质定理, 线面垂直判定与性质定理, 线面平行的判定定理【方法点睛】(1)探索性问题通常用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.20.（本小题满分12分）定圆:M (2216x y ++=，动圆N 过点)F 且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E ． （1）求轨迹E 的方程；（2）设点A ，B ，C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且C C A =B ，当C ∆AB 的面积最小时，求直线AB 的方程．【答案】（1）2214x y +=（2）y x =或y x =-．（2）当AB 为长轴（或短轴）时，依题意知，点C 就是椭圆的上下顶点（或左右顶点）， 此时C 1C 22S ∆AB =⨯O ⨯AB =．…………………6分 当直线AB 的斜率存在且不为0时，设其斜率为k ，直线AB 的方程为y kx =， 联立方程2214x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得22414x k A =+，222414k y k A =+，…………………7分考点：点与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，椭圆定义，直线与椭圆位置关系21.（本小题满分12分）已知函数()2ln f x x x ax a =-+（R a ∈），其导函数为()f x '． （1）求函数()()()21g x f x a x '=+-的极值；（2）当1x >时，关于x 的不等式()0f x <恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）极大值()10g =，无极小值．（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：（1）由于()()()21ln 1g x f x a x x x '=+-=-+，所以求不含参数函数的极值，只需求出导函数在定义区间上的零点，并列表分析即可（2）不等式恒成立问题，一般利用变量分离转化为对应函数最值问题：2ln 1x x a x >-的最大值，而2ln ,(1)1x x y x x =>-最大值，可利用导数进行求解：22221(1)ln ,(1)x x x y x --+'=- 令222111(1)ln ,2(2)ln 2ln ,x t x x x t x x x x x x x x +'=--+=--=-- 则21112ln 0(1)0(1)00(1)2t x t t t t y y y x '''''=-+-<⇒<=⇒<=⇒<⇒<→（洛必达法则） 也可分类讨论求解.考点：利用导数求函数极值，利用导数研究不等式恒成立【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min≥a 即可；f(x)≤a 恒成立，只需f(x)max≤a 即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，C 90∠A B =，CD ⊥AB 于点D ，以D B 为直径的O 与C B 交于点E ．（1）求证：C C D D B ⋅E =A ⋅B ；（2）若4BE =，点N 在线段BE 上移动，F 90∠ON =，F N 与圆O 相交于点F ，求F N 的最大值．【答案】（1）详见解析（2）2考点：切割线定理，直线与圆位置关系23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线:l 112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线1C :cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（1）设l 与1C 相交于A ，B 两点，求AB ；（2）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的12倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．【答案】（1）1（2)1- 【解析】考点：直线与圆位置关系，椭圆参数方程24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知定义在R 上的函数()f x x m x =-+，m *∈N ，存在实数x 使()2f x <成立．（1）求实数m 的值；（2）若α，1β>，()()4f f αβ+=，求证：413αβ+>．【答案】（1）1（2）详见解析考点：绝对值三角不等式, 柯西不等式：。
湖南省长沙市长郡中学高三数学冲刺卷(一)文(含解析)
2016年湖南省长沙市长郡中学高考数学冲刺卷（文科）（一）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，B={y|y=lgx，x∈A}，则A∩B=（）A． B．{10}C．{1}D．∅2．已知i是虚数单位，则复数﹣i（1+i）的实部与虚部的和等于（）A．2B．0C．﹣2D．1﹣i3．函数f（x）=e x sinx的图象在点（0，f（0））处的切线的倾斜角为（）A．0B． C．1D．4．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为﹣5，则输出的y值是（）A．﹣1B．1C．2D．5．已知向量=（2，k），=（1，2），若∥，则k的值为（）A．1B．﹣1C．4D．﹣46．如图，三棱锥V﹣ABC底面为正三角形，侧面VAC与底面垂直且VA=VC，已知其主视图的面积为，则其左视图的面积为（）A． B． C． D．7．已知函数y=sinax+b（a＞0）的图象如图所示，则函数y=log a（x﹣b）的图象可能是（）A． B． C． D．8．若点O和点F分别为双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的最小值为（）A．﹣6B．﹣2C．0D．109．若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．﹣1B．0C．3D．410．已知点A n（n，a n）（n∈N*）都在函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象上，则a3+a7与2a5的大小关系是（）A．a3+a7＞2a5B．a3+a7＜2a5C．a3+a7=2a5D．a3+a7与2a5的大小与a有关11．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点，则此点到坐标原点的距离大于1的概率为（）A． B． C． D．12．设f（x）是定义在R上的函数，对x∈R都有f（﹣x）=f（x），f（2+x）=f（2﹣x），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（）A．（1，2）B．（2，+∞）C．（1，）D．（，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．一支田径队有男运动员28人，女运动员21人，现按性别用分层抽样的方法，从中抽取14位运动员进行健康检查，则男运动员应抽取人．14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，b=8，C=，则c= ．15．若函数f（x）=有两个不同的零点，则实数a的取值范围是．16．已知过抛物y2=2px（p＞0）的焦点F且斜率为的直线与抛物线交于A，B两点，且|AF|＞|BF|，则= ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设的前n项和S n．18．如图所示，已知AC⊥平面CDE，BD∥AC，△ECD为等边三角形，F为ED边上的中点，且CD=BD=2AC=2，（1）求证：CF∥面ABE；（2）求证：面ABE⊥平面BDE；（3）求该几何体ABECD的体积．19．公安部交管局修改后的酒后违法驾驶机动车的行为分为两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其判断标准是驾驶人员每100毫升血液中的酒精含量X毫克，当20≤X＜80时，认定为酒后驾车；当X≥80时，认定为醉酒驾车．重庆市公安局交通管理部门在对G42高速公路我市路段的一次随机拦查行动中，依法检测了200辆机动车驾驶员的每100毫升血液中的酒精含量，酒精含量X（单位：毫克）的统计结果如下表：X [0，20）[20，40）[40，60）[60，80）[80，100）[100，+∞）人数t 1 1 1 1 1依据上述材料回答下列问题：（1）求t的值；（2）从酒后违法驾车的司机中随机抽取2人，求这2人含有醉酒驾车司机的概率．20．如图，椭圆的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，过F2作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S，T，而与抛物线交于C，D两点，且．（1）求椭圆E的方程；（2）若过m（2，0）的直线与椭圆E相交于两点A和B，设P为椭圆E上一点，且满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围．21．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．请考生从第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连接EC、CD．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）若tan∠CED=，⊙O的半径为3，求OA的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线C1：（t为参数），圆C2：（θ为参数）（1）当α=时，求C1被C2截得的线段的长；（2）过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，当α变化时，求A点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．[选修4-5：不等式选讲]24．若存在实数x使成立，求常数a的取值范围．2016年湖南省长沙市长郡中学高考数学冲刺卷（文科）（一）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，B={y|y=lgx，x∈A}，则A∩B=（）A． B．{10}C．{1}D．∅【考点】交集及其运算．【分析】将集合A中的元素代入集合B中的函数y=lgx中，求出可对应y的值，确定出集合B，找出两集合的公共元素，即可求出两集合的交集．【解答】解：将x=1代入得：y=lg1=0；将x=10代入得：y=lg10=1；将x=代入得：y=lg=﹣1，∴集合B={0，﹣1，1}，又A={1，10， }，则A∩B={1}．故选C2．已知i是虚数单位，则复数﹣i（1+i）的实部与虚部的和等于（）A．2B．0C．﹣2D．1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘法法则，化简可得它的实部与虚部，从而求得它的实部与虚部的和．【解答】解：∵复数﹣i（1+i）=1﹣i，故它的实部为1，虚部为﹣1，故它的实部与虚部的和等于0，故选：B．3．函数f（x）=e x sinx的图象在点（0，f（0））处的切线的倾斜角为（）A．0B． C．1D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】根据求导公式和法则求出函数的导数，再求出f′（0）的值，即为所求的倾斜角正切值．【解答】解：由题意得，f′（x）=e x sinx+e x cosx=e x（sinx+cosx），∴在点（0，f（0））处的切线的斜率为k=f′（0）=1，则所求的倾斜角为，故选B．4．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为﹣5，则输出的y值是（）A．﹣1B．1C．2D．【考点】程序框图．【分析】框图输入框中首先输入x的值为﹣5，然后判断|x|与3的大小，|x|＞3，执行循环体，|x|＞3不成立时跳出循环，执行运算y=，然后输出y的值．【解答】解：输入x的值为﹣5，判断|﹣5|＞3成立，执行x=|﹣5﹣3|=8；判断|8|＞3成立，执行x=|8﹣3|=5；判断|5|＞3成立，执行x=|5﹣3|=2；判断|2|＞3不成立，执行y=．所以输出的y值是﹣1．故选A．5．已知向量=（2，k），=（1，2），若∥，则k的值为（）A．1B．﹣1C．4D．﹣4【考点】平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．【分析】根据两向量∥，它们的坐标满足x1 y2﹣x2 y1=0，进行计算即可．【解答】解：∵向量=（2，k），=（1，2），且∥，∴2×2﹣1•k=0，解得k=4．故选：C．6．如图，三棱锥V﹣ABC底面为正三角形，侧面VAC与底面垂直且VA=VC，已知其主视图的面积为，则其左视图的面积为（）A． B． C． D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由三视图的画图要求“长对正，高平齐，宽相等”可以找出左视图的宽、高与俯视图的宽、主视图的高的相等关系，进而求出答案．【解答】解：设底面正△ABC的边长为a，侧面VAC的底边AC上的高为h，可知底面正△ABC的高为，∵其主视图为△VAC，∴；∵左视图的高与主视图的高相等，∴左视图的高是h，又左视图的宽是底面△ABC的边AC上的高，∴S侧视图===．故选B．7．已知函数y=sinax+b（a＞0）的图象如图所示，则函数y=log a（x﹣b）的图象可能是（）A． B． C． D．【考点】对数函数的图象与性质；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据函数y=sinax+b（a＞0）的图象求出a、b的范围，从而得到函数y=log a（x﹣b）的单调性及图象特征，从而得出结论．【解答】解：由函数y=sinax+b（a＞0）的图象可得 0＜b＜1，，∴，故函数y=log a（x﹣b）是定义域内的减函数，且过定点（1+b，0），故选A．8．若点O和点F分别为双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的最小值为（）A．﹣6B．﹣2C．0D．10【考点】平面向量数量积的运算；双曲线的简单性质．【分析】设P（x，y）（x≥2），则先利用向量的数量积的坐标表示求出，然后利用二次函数的性质即可求解最小值【解答】解：设P（x，y）（x≥2）由题意可得，F（﹣3，0），O（0，0），∴=x2+3x+y2==（x≥2）结合二次函数的性质可知，当x=2时，f（x）有最小值10故选D9．若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．﹣1B．0C．3D．4【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的平行直线，将直线平移，由图知过（2，1）时，截距最小，此时z最大，从而求出z=2x﹣y的最大值．【解答】解：画出不等式表示的平面区域将目标函数变形为y=3x﹣z，作出目标函数对应的平行直线，将直线平移，由图知过（2，1）时，直线的纵截距最小，此时z最大，最大值为4﹣1=3故选C10．已知点A n（n，a n）（n∈N*）都在函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象上，则a3+a7与2a5的大小关系是（）A．a3+a7＞2a5B．a3+a7＜2a5C．a3+a7=2a5D．a3+a7与2a5的大小与a有关【考点】有理数指数幂的运算性质．【分析】先表示出a3+a7，再根据基本不等式直接可得答案．【解答】解：由题意可知a3+a7=a3+a7≥2=2a5又因为a＞0，a≠1，所以上式等号取不到即a3+a7＞2a5故选A．11．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点，则此点到坐标原点的距离大于1的概率为（）A． B． C． D．【考点】几何概型．【分析】本题属于几何概型，利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域和到原点的距离大于1的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可．【解答】解：其构成的区域D如图所示的边长为2的正方形，面积为S1=4，满足到原点的距离大于1所表示的平面区域是以原点为圆心，以1为半径的圆外部，面积为S2=4﹣∴在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于1的概率P==1﹣故选D．12．设f（x）是定义在R上的函数，对x∈R都有f（﹣x）=f（x），f（2+x）=f（2﹣x），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a （x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（）A．（1，2）B．（2，+∞）C．（1，）D．（，2）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】可判断f（x）是偶函数，且周期为4；作函数f（x）与y=log a（x+2）的图象，从而可得，从而解得．【解答】解：∵f（﹣x）=f（x），∴f（x）是偶函数；∵f（2+x）=f（2﹣x），∴f（x）的图象关于x=2对称，∴f（x）的周期为4；作函数f（x）与y=log a（x+2）的图象如下，结合图象可知，必须且只需，即，解得，＜a＜2，故选D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．一支田径队有男运动员28人，女运动员21人，现按性别用分层抽样的方法，从中抽取14位运动员进行健康检查，则男运动员应抽取8 人．【考点】分层抽样方法．【分析】有男运动员28人，女运动员21人，知总体个数是20+10，从全体队员中抽出一个容量为14人的样本，得到每个个体被抽到的概率是，得到男运动员应抽的人数是用概率乘以男运动员人数．【解答】解：∵有男运动员28人，女运动员21人，∴总体个数是29+21=49，∵从全体队员中抽出一个容量为14人的样本∴每个个体被抽到的概率是=∴男运动员应抽=8；故答案为：8．14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，b=8，C=，则c= 7 ．【考点】余弦定理．【分析】由a，b，cosC的值，利用余弦定理即可求出c的值．【解答】解：∵a=3，b=8，C=，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=9+64﹣24=49，则c=7．故答案为：715．若函数f（x）=有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（0，1] ．【考点】分段函数的应用．【分析】由f（x）=lnx=0，得x=1．由题意得，当x≤0时，函数f（x）=2x﹣a还有一个零点，运用指数函数的单调性，即可求出a的取值范围．【解答】解：当x＞0时，由f（x）=lnx=0，得x=1．∵函数f（x）有两个不同的零点，∴当x≤0时，函数f（x）=2x﹣a还有一个零点，令f（x）=0得a=2x，∵0＜2x≤20=1，∴0＜a≤1，∴实数a的取值范围是0＜a≤1．故答案为：（0，1]．16．已知过抛物y2=2px（p＞0）的焦点F且斜率为的直线与抛物线交于A，B两点，且|AF|＞|BF|，则= 3 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设抛物线y2=2px（p＞0）的准线为l，分别过点A，B作AM⊥l，BN⊥l，垂足为M，N．过点B作BC⊥AM交于点C．由抛物线的定义可得：|AM|=|AF|，|BN|=|BF|．由于AM∥x轴，∠BAC=∠AFx=60°．在Rt△ABC中，|AC|=|AB|，化简即可得出．【解答】解：斜率为的直线倾斜角为60°．设抛物线y2=2px（p＞0）的准线为l：x=﹣．如图所示，分别过点A，B作AM⊥l，BN⊥l，垂足为M，N．过点B作BC⊥AM交于点C．则|AM|=|AF|，|BN|=|BF|．∵AM∥x轴，∴∠BAC=∠AFx=60°．在Rt△ABC中，|AC|=|AB|又|AM|﹣|BN|=|AC|，∴|AF|﹣|BF|=（|AF|+|BF|），化为|AF|=3|BF|，则=3．故答案为：3．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设的前n项和S n．【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和．【分析】（I）根据a3+2是a2，a4的等差中项和a2+a3+a4=28，求出a3、a2+a4的值，进而得出首项和a1，即可求得通项公式；（II）先求出数列{b n}的通项公式，然后求出﹣S n﹣（﹣2S n），即可求得的前n项和S n．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q∵a3+2是a2，a4的等差中项∴2（a3+2）=a2+a4代入a2+a3+a4=28，得a3=8∴a2+a4=20∴∴或∵数列{a n}单调递增∴a n=2n（II）∵a n=2n∴b n==﹣n•2n∴﹣s n=1×2+2×22+…+n×2n①∴﹣2s n=1×22+2×23+…+（n﹣1）×2n+n2n+1②∴①﹣②得，s n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=2n+1﹣n•2n+1﹣218．如图所示，已知AC⊥平面CDE，BD∥AC，△ECD为等边三角形，F为ED边上的中点，且CD=BD=2AC=2，（1）求证：CF∥面ABE；（2）求证：面ABE⊥平面BDE；（3）求该几何体ABECD的体积．【考点】平面与平面垂直的判定；组合几何体的面积、体积问题．【分析】（1）取BE的中点G，连结FG，推导出CF∥AG，由此能证明CF∥面ABE．（2）由△ECD为等边三角形，推导出AG⊥面BDE，由此能证明面ABE⊥平面BDE．（3）几何体ABECD是四棱锥E﹣ABCD，由此能求出该几何体ABECD的体积．【解答】解：（1）取BE的中点G，连FG，∵FG∥，AC∥，∴CF∥AG，又CF不包含于面ABE，AG⊂面ABE，∴CF∥面ABE，…（2）∵△ECD为等边三角形，∴CF⊥ED又CF⊥BD，∴CF⊥面BDE，CF∥AG∴AG⊥面BDE，又AG⊂平面ABE，∴面ABE⊥平面BDE，…（3）几何体ABECD是四棱锥E﹣ABCD，EH⊥CD∴EH⊥面ABCD，∴．…19．公安部交管局修改后的酒后违法驾驶机动车的行为分为两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其判断标准是驾驶人员每100毫升血液中的酒精含量X毫克，当20≤X＜80时，认定为酒后驾车；当X≥80时，认定为醉酒驾车．重庆市公安局交通管理部门在对G42高速公路我市路段的一次随机拦查行动中，依法检测了200辆机动车驾驶员的每100毫升血液中的酒精含量，酒精含量X（单位：毫克）的统计结果如下表：X [0，20）[20，40）[40，60）[60，80）[80，100）[100，+∞）人数t 1 1 1 1 1依据上述材料回答下列问题：（1）求t的值；（2）从酒后违法驾车的司机中随机抽取2人，求这2人含有醉酒驾车司机的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）由酒精含量X（单位：毫克）的统计表能求了出t的值．（2）由题意知酒后违法驾车的司机共5人，其中有2人是醉酒驾车，由此能求出从酒后违法驾车的司机中随机抽取2人，这2人含有醉酒驾车司机的概率．【解答】解：（1）由题意知：t=200﹣1﹣1﹣1﹣1﹣1﹣1=195．（2）由题意知酒后违法驾车的司机共5人，其中有2人是醉酒驾车，∴从酒后违法驾车的司机中随机抽取2人，这2人含有醉酒驾车司机的概率：p=1﹣=．20．如图，椭圆的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，过F2作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S，T，而与抛物线交于C，D两点，且．（1）求椭圆E的方程；（2）若过m（2，0）的直线与椭圆E相交于两点A和B，设P为椭圆E上一点，且满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由焦点F2（1，0），过F2作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S，T，而与抛物线交于C，D两点，且，知|CD|=4，|ST|=，由此能求出椭圆方程．（2）设过m（2，0）的直线为y=k（x﹣2），由，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），，由此结合题设条件能求出实数t 的取值范围．【解答】解：（1）∵椭圆的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，∴焦点F2（1，0），∵过F2作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S，T，而与抛物线交于C，D两点，且．∴|CD|=4，解得|ST|=，∴a=，b=1，c=1，∴椭圆E的方程是．（2）设过m（2，0）的直线为y=k（x﹣2），由，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），，则，2=+2=，∴，∵△=（8k2）2﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）＞0，∴0≤2k2＜1，=1﹣，∴t∈（﹣2，2）．21．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）先求函数的导函数f′（x），再求所求切线的斜率即f′（0），由于切点为（0，0），故由点斜式即可得所求切线的方程；（2）先求原函数的导数得：f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna，再对a进行讨论，得到f'（x）＞0，从而函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．（3）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f （﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=a x+x2﹣xlna，∴f′（x）=a x lna+2x﹣lna，∴f′（0）=0，f（0）=1即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为0，∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（2）由于f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna＞0①当a＞1，y=2x单调递增，lna＞0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna 单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当0＜a＜1，y=2x单调递增，lna＜0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；综上，函数f（x）单调增区间（0，+∞）；（3）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，由（2）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（+1+lna）=a﹣﹣2lna，记g（t）=t﹣﹣2lnt（t＞0），因为g′（t）=1+﹣=（﹣1）2≥0（当t=1时取等号），所以g（t）=t﹣﹣2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1⇒a﹣lna≥e﹣1⇒a≥e，②当0＜a＜1时，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1⇒+lna≥e﹣1⇒0＜a≤，综上知，所求a的取值范围为a∈（0，]∪[e，+∞）．请考生从第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连接EC、CD．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）若tan∠CED=，⊙O的半径为3，求OA的长．【考点】圆的切线的性质定理的证明；直线与圆的位置关系；矩阵与矩阵的乘法的意义；简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．【分析】（1）要想证AB是⊙O的切线，只要连接OC，求证∠ACO=90°即可；（2）先由三角形判定定理可知，△BCD∽△BEC，得BD与BC的比例关系，最后由切割线定理列出方程求出OA的长．【解答】解：（1）如图，连接OC，∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥AB．∴AB是⊙O的切线；（2）∵BC是圆O切线，且BE是圆O割线，∴BC2=BD•BE，∵tan∠CED=，∴．∵△BCD∽△BEC，∴，设BD=x，BC=2x．又BC2=BD•BE，∴（2x）2=x•（x+6），解得x1=0，x2=2，∵BD=x＞0，∴BD=2，∴OA=OB=BD+OD=3+2=5．．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线C1：（t为参数），圆C2：（θ为参数）（1）当α=时，求C1被C2截得的线段的长；（2）过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，当α变化时，求A点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）联立两个解析式，得到交点，利用两点距离公式得到截得线段的长．（2）由A对应的参数，得到的参数方程，由此得到普通方程．【解答】解：（1）当a=时，C1的普通方程为y=（x﹣1），C2的普通方程为x2+y2=1．联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0）与（，﹣）．所以，C1被C2截得的线段的长为1．（2）将C1的参数方程代C2的普通方程得t2+2tcosα=0，∴A点对应的参数t==﹣cosα，∴A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα）．故当α变化时，A点轨迹的参数方程为：（α为参数）．因此，A点轨迹的普通方程为（x﹣）2+y2=．故A点轨迹是以（，0）为圆心，半径为的圆．[选修4-5：不等式选讲]24．若存在实数x使成立，求常数a的取值范围．【考点】二维形式的柯西不等式．【分析】利用柯西不等式，求出左边对应函数的最大值，即可确定常数a的取值范围．【解答】解：由题意，由柯西不等式得=≤（3+1）（x+2+14﹣x）=64所以8，当且仅当x=10时取“=”，∵存在实数x使成立∴a＜8∴常数a的取值范围是（﹣∞，8）．。
【全国百强校】湖南省长沙市长郡中学2016届高三高考模拟卷(一)文数试题(解析版)
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合2{|160}A x x =-<，{5,0,1}B =-，则（ ）A ．AB φ= B ．B A ⊆C ．{0,1}A B =D ．A B ⊆ 【答案】C考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算．2.如图，在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是A 和B ，则21z z =（ ）A ．1255i + B ．2155i + C ．2155i -- D ．1255i -- 【答案】D 【解析】试题分析：由图，得12z i =--，2z i =，所以21(2)122(2)(2)55z i i i i z i i i --===----+-，故选D ． 考点：1、复数的几何意义；2、复数的运算．3.在等差数列{}n a 中，78a =，前7项和742S =，则其公差是（ ） A ．13- B ．13 C ．23 D ．23- 【答案】C 【解析】试题分析：设等差数列{}n a 的公差为d ，则由题意，有116872142a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得124,3a d ==，故选C ．考点：等差数列的通项公式及前n 项和．4.若,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则1y x -的最大值为（ ）A ．2B ．12C ．3D ．1 【答案】A考点：简单的线性规划问题．5.已知(3,2)a =- ，(1,0)b =-，向量a b λ+ 与2a b - 垂直，则实数λ的值为（ ）A ．17 B ．17- C ．16 D ．16- 【答案】B 【解析】试题分析：因为(3,2)(1,0)(31,2)a b λλλλ+=-+-=-- ，2(3,2)2(1,0)(1,2)a b -=---=-，又向量a b λ+ 与2a b - 垂直，所以()(2)0a b a b λ+⋅-= ，即(31)40λλ---+=，解得17λ=-，故选B ．考点：1、向量的坐标运算；2、向量垂直的充要条件．6.执行如图所示的程序框图，输出的结果为98，则判断框内可填入的条件为（ ）A ．4?n >B ．5?n >C ．6?n >D ．7?n > 【答案】A考点：程序框图． 7.函数1()sin 2f x x x =-的图象可能是（ ）【答案】A 【解析】试题分析：因为11()sin (sin )()22f x x x x x f x -=-+=--=-，所以()f x 为奇函数，故排除B 、D ；当4x π=-时，1()()sin()02448f x πππ=⨯---=->，故排除C ，故选A ．考点：1、函数图象；2、函数的奇偶性．8.如图所示，三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，ABC ∆为正三角形，PA AB =，E 是PC 的中点，则异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为（ ）A ．16 B ．14 C ．13 D ．12【答案】B考点：1、异面直线所成角；2、线面垂直的性质定理；3、余弦定理．【方法点睛】求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：①利用图中已有的平行线平移；②利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；③补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．9.已知函数4()|log |f x x =，正实数,m n 满足m n <，且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则,m n 的值分别为（ ） A ．1,22 B ．1,44 C ．1,24 D ．1,42【答案】B 【解析】试题分析：由题设条件，得4log 0m <，4log 0n >，且44log log m n -=，所以1n m=，即1mn =．因为()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，即()f x 在区间21[,]m m上的最大值为2，所以24log 2m -=，所以4log 1m =-，所以1,44m n ==，故选B ． 考点：1、函数的最值；2、对数的运算．10.已知一个三棱锥的三视图如图所示，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的体积为（ ）A ．323π B ．π C ．3π D ．43π【答案】D考点：1、三棱锥的三视图；2、多面体的外接球；3、球的体积．11.已知椭圆：2221(02)4x y b b+=<<，左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若22||||BF AF +的最大值为5，则b 的值是（ ）A ．1BC ．32D 【答案】D考点：1、椭圆的定义及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系．【方法点睛】（1）涉及椭圆上的点与两焦点的距离时，要注意联想椭圆的定义，要结合图形看能否运用定义进行求解．点P 在椭圆上，则点P 一定满足椭圆的定义，同时点P 的坐标适合方程；（2）过焦点的所有弦中，垂直于长轴的弦是最短的弦，而它的长为22b a把这个弦叫作椭圆的通径．12.函数()y f x =为定义在R 上的减函数，函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称，,x y 满足不等式22(2)(2)0f x x f y y -+-≤，(1,2),(,)M N x y ，O 为坐标原点，则当14x ≤≤时，OM ON ∙的取值范围为（ ）A ．[12,)+∞B ．[0,3]C ．[0,12]D ．[3,12] 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得函数()y f x =的图象关于点(0,0)对称，即函数()y f x =为奇函数，因此由22(2)(2)0f x x f y y -+-≤得22(2)(2)f x x f y y -≤-+．又因为()y f x =为定义在R 上的减函数，所以2222x x y y -≥-+，即()(2)0x y x y -+-≥．因为14x ≤≤，所以可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(1,1),(4,4),(4,2)A B C -，而OM ON ⋅＝2x y +，所以过点C 时取最小值0，过点B 时取最大值12，故选C ．考点：1、函数的单调性与奇偶性；2、向量数量积．【方法点睛】解函数不等式的一般步骤：第一步：(定性)确定函数()f x 在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为()()f M f N <的形式；第三步：(去f )运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号，转化为一般的不等式或不等式组；第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某种产品的广告费支出x 与销售额y 之间有如下对应数据（单位：百万元）.根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为^6.517.5y x =+，则表中t 的值为 . 【答案】50考点：线性回归方程．14.过原点的直线与双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>交于,M N 两点，P 是双曲线上异于M ，N 的一点，若直线MP 与直线NP 的斜率都存在且乘积为54，则双曲线的离心率为 . 【答案】32【解析】试题分析：由双曲线的对称性知，可设0011(,),(,)P x y M x y ，则11(,)N x y --，由54PM PN k k =，得010*******y y y y x x x x -+⋅=-+，即222201015()4y y x x -=-，即222200115544x y x y -=-．又因为0011(,),(,)P x y M x y 均在双曲线上，所以2200221x y a b -=，2211221x y a b -=，所以2254b a =，所以双曲线的离心率为32c e a ===．考点：1、双曲线的几何性质；2、直线的斜率公式．【方法点睛】讨论双曲线的性质，离心率问题是重点，求双曲线的离心率e 的常用方法有两种：(1)求得a ，c 的值，直接代入ce a=求得；(2)列出关于,,a b c 的一个齐次方程(不等式)，再结合222b c a =-消去b ，转化为关于e 的方程(或不等式)再求解．15.已知函数3()31xx f x =+，正项等比数列{}n a 满足501a =，则12399(ln )(ln )(ln )(ln )f a f a f a f a ++++= .【答案】992考点：1、等比数列的性质；2、对数的运算；3、数列求和．【知识点睛】如果一个数列{}n a ，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和（都相等，为定值），可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法．如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．16.ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列命题正确的是 . ①若ABC ∆最小内角为α，则1cos 2α≥； ②若sin sin A B B A >，则B A >；③存在某钝角ABC ∆，有tan tan tan 0A B C ++>；④若20aBC bCA cAB ++= ，则ABC ∆的最小值小于6π．【答案】①④ 【解析】试题分析：对①，因为ABC ∆最小内角为α，所以03πα<≤，1cos 2α≥，故正确；对②，构造函数sin ()x F x x =，求导得：'2cos sin ()x x x F x x -=，当(0,)2x π∈时，tan x x >，即sin cos xx x>，则cos sin 0x x x -<，所以'2cos sin ()0x x x F x x -=<，即sin ()x F x x =在(0,)2x π∈上单减，由②sin sin A B B A >，得sin sin B AB A>，即()()F B F A >，所以B A <，故②不正确；对③，因为tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，则在钝角ABC ∆中，不妨设A 为钝角，有tan 0,tan 0A B <>，tan 0C >，故tan tan tan tan tan tan 0A B C A B C ++=<，③不正确；对④，由2aBC bCA cAB ++＝2()(2)()0aBC bCA c AC CB a c BC b c CA +++=-+-=，即(2)()a c BC c b CA -=- ，而,BC CA 不共线，则20,0a c b c -=-=，解得2,2c a b a ==，则a 是最小的边，故A 是最小的角，根据余弦定理222222447cos 22228b c a a a a A bc a a +-+-===>⨯⨯考点：1、命题真假的判定；2、函数的单调性三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知函数2()23sin cos 2cos 1f x x x x =-+. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）在ABC ∆中，若()22A f =，边1,2AC AB ==，求边BC 的长及sin B 的值.【答案】（1）π；（2）2114．考点：1、两角差的正弦函数；2、倍角公式；3、正弦函数的性质；4、正弦定理与余弦定理．【思路点睛】从条件出发，利用正弦定理(或余弦定理)进行代换、转化．逐步化为纯粹的边与边或角与角的关系，即考虑如下两条途径：①统一成角进行判断，常用正弦定理及三角恒等变换；②统一成边进行判断，常用余弦定理、面积公式等．18.（本小题满分12分）某学校高三年级学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（1）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；（2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？【答案】（1）35；（2）表见解析；没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”．122122313212(,),(,),(,),(,),(,),(,)A B A B A B A B A B B B ，其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果共有6种，它们是：111221223132(,),(,),(,),(,),(,),(,)A B A B A B A B A B A B ， 故所求的概率63105P ==. （2）由频率分布直方图可知，在抽取的100名学生中，男生600.2515⨯=（人），女生400.37515⨯=（人）据此可得22⨯列联表如下：所以得222()100(15251545)25 1.79()()()()6040307014n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯，因为1.79 2.706<. 所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”．考点：1、古典概型；2、独立性检验思想；3、频率分布直方图．【方法点睛】古典概型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式计算，当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举出来，要做到不重不漏，有时可借助列表，树状图列举，当基本事件总数较多时，注意去分排列与组合．19.（本小题满分12分）如图甲，圆O 的直径2AB =，圆上两点,C D 在直径AB 的两侧，使4CAB π∠=，3DAB π∠=，沿直径AB 折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F 为BC 的中点，根据图乙解答下列各题：（1）求点B 到平面ACD 的距离；（2）如图：若DOB ∠的平分线交弧BD 于一点G ，试判断FG 是否与平面ACD 平行？并说明理由.【答案】（1；（2）FG 面ACD ，理由见解析．考点：1、点到平面的距离；2、线面平行的判定定理与性质定理．20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(2,0)A .（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(1,0)B 且斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，直线,AE AF 分别交直线3x =于,M N 两点，线段MN 的中点为P . 记直线PB 的斜率为'k ，求证：'k k ∙为定值.【答案】（1）2214x y +=；（2）见解析．考点：1、椭圆的方程及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、直线的斜率．【思路点睛】解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步，根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程；第二步，联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程；第三步，求解判别式∆；第四步，写出根与系数的关系；第五步，根据题设条件求解问题中结论．21.（本小题满分12分）已知函数1()ln ()f x x a x a R x=--∈.（1）当0a >时，讨论()f x 的单调区间；（2）设()()2ln g x f x a x =+，且()g x 有两个极值点为12,x x ，其中1(0,]x e ∈，求12()()g x g x -的最小值.【答案】（1）当02a <≤时，递增区间为(0,)+∞，无递减区间；当2a >时递增区间为24(0,)2a a --，24(,)2a a +-+∞，递减区间为2244(,)22a a a a --+-；（2）4e-．（2）1()ln g x x a x x=-+，定义域为(0,)+∞， 2'2211()1a x ax g x x x x ++=++=，令'()0g x =，得210x ax ++=，其两根为12,x x ，且12121x x a x x +=-⎧⎨=⎩，所以，211x x =，111()a x x =-+，∴0a <. ∴12111111111111()()()()ln (ln )g x g x g x g x a x x a x x x x -=-=-+--+ 111111111112()ln 2()2()ln x a x x x x x x x =-+=--+. 设11()2()2()ln h x x x x x x =--+，(0,]x e ∈，则12min min (()())()g x g x h x -=. ∵'22211112(1)(1)ln ()2(1)2[(1)ln ()]x x x h x x x x x x x x +-=+--++=， 当(0,]x e ∈时，恒有'()0h x ≤，∴()h x 在(0,]e 上单调递减； ∴min 4()()h x h e e ==-，∴12min 4(()())g x g x e-=-. 考点： 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的一条切线，切点为B ，直线,,ADE CFD CGE 都是圆O 的割线，已知AC AB =.（1）若1,4CG CD ==，求DE GF的值； （2）求证：//FG AC .【答案】（1）4；（2）见解析．∴CGF ∆∽CDE ∆，∴DE CD GF CG=， 又∵1,4CG CD ==，∴4DE GF=. （2）因为AB 为切线，AE 为割线，2AB AD AE =∙，又因为AC AB =，所以2AD AE AC ∙=. 所以AD AC AC AE=，又因为EAC DAC ∠=∠，所以ADC ∆∽ACE ∆， 所以ADC ACE ∠=∠，又因为ADC EGF ∠=∠，所以EGF ACE ∠=∠，所以//FG AC .考点：1、三角形相似；2、切割线定理23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系xOy ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为)6π，曲线C的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数）. （1）写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程；（2）若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 中点M 到直线:cos 2sin 10l ρθρθ++=的距离的最小值.【答案】（1）P，22(4x y ++=；（21-．所以点M 到直线l 1-. 考点：1、极坐标和直角坐标的互化；2、参数方程和普通方程的互化；3、点到直线的距离．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|f x x =-.（1）解不等式()(4)8f x f x ++≥；（2）若||1,||1,0a b a <<≠，求证：()||()b f ab a f a>.【答案】（1）{|53}x x x ≤-≥或；（2）见解析．考点：1、绝对值不等式的解法；2、不等式恒成立；3、分析法的应用．：。
湖南省长沙市长郡中学2016届高三下学期考前冲刺卷(一)文科综合试题含答案
绝密★启封并使用完毕前炎德·英才大联考长郡中学2016届高考冲刺卷文科综合能力测试注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共18页。
时量150分钟，满分300分。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和本试题卷上。
2．回答第Ⅰ卷（选择题）时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试题卷和草稿纸上无效。
3．回答第Ⅱ卷（非选择题）时，用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案按题号写在答题卡上。
写在本试卷和草稿纸上无效。
4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题共140分）本卷共35小题，每小题4分，共140分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
精细农业也叫精准农业，它不同于传统农业的“精耕细作”，而是利用现代信息技术，根据作物生长、土壤肥力、水肥供应的状况和环境、气候等影响因素的时空变异，定位、定时、定量地进行农田作业和优化管理。
读图1，完成1～3题。
图11．精准农业和传统农业的“精耕细作”分别反映的主要农业投入要素是（）A．科技劳动力B．科技土地C．化肥劳动力D．化肥有机肥2．制约精准农业在我国推广使用的最主要因素是（）A．农业生产规模普遍较小B．投资回报率低C．劳动力素质低D．科学技术不发达3．精准农业主要利用的地理信息技术不包括（）A．RS（遥感）B．GIS（地理信息系统）C．GPS（全球定位系统）D．数字地球服务外包指企业将其非核心的业务外包出去，利用外部最优秀的专业化团队来承接其业表14．下列关于甲国的说法正确的是（）A．人口增长速度快B．城市化水平高C．服务业比重最高D．基础设施完善5．甲国吸引服务外包产业迁入的最大优势是（）A．消费市场广阔B．自然资源丰富C．交通便利D．劳动力丰富廉价图2为20世纪不同年代洪泽湖水位—面积—容积关系曲线。
读图2，完成6～8题。
湖南省高考数学冲刺卷(1)文(含解析)
2016年湖南省高考数学冲刺卷（文科）（1）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集A={1，3，5，7}，B={x|x＜3}，则A∩B=（）A．{1} B．{3} C．{1，3} D．{5，7}2．若复数z满足（1+i）z=（3+i）i，则|z|=（）A．B．C．D．3．若双曲线﹣=1的一条渐近线过点（2，3），则此双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．4．“x2﹣5x﹣6=0”是“x=﹣1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．即不充分也不必要件5．在1，2，4，5这4个数中一次随机地取2个数，则所取的2个数的和为6的概率为（）A．B．C．D．6．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，|φ|＜）的部分图象如图，则f（）=（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且最小正周期为2，若0≤x≤1时，f（x）=x，则f（﹣1）+f（﹣2017）=（）A．0 B．C．1 D．28．执行如图的程序框图，则输出的S的值为（）A．B．C．D．9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．10．若函数f（x）=x2﹣2（1﹣a2）x﹣a在区间（1，3）内有零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，） B．（﹣1，﹣） C．（﹣1，1）D．（﹣，1）11．设x，y满足，且z=ax﹣2y的最小值是1，则实数a=（）A．﹣4 B．1 C．﹣4或1 D．﹣1或412．把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表（每行比上一行多一个数），设a ij （i，j∈N+）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a42=8，若a ij=2010，则i，j的值的和为（）A．75 B．76 C．77 D．78二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量，均为单位向量，与夹角均为，则|﹣2|= ．14．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[2500，3000）（元）内应抽出人．15．圆C：（x﹣1）2+（y﹣）2=2截直线l：x+y﹣6=0所得弦长为．16．已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且acosB+bcosA=3a，则= ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=1﹣a n，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=4（n+1）a n，T n是数列{b n}的前n项和，n∈N*，求T n．18．如图，所有棱长都为2的正三棱柱BCD﹣B'C'D'，四边形ABCD是菱形，其中E为BD的中点．（1）求证：平面BC'D∥面AB'D'；（2）求证：平面C'CE⊥平面AB'D'．19．某学校为了研究学情，从高三年级中抽取了20名学生三次测试的数学成绩和物理成绩，计算出了他们三次成绩的平均名次如下表：学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10数学 1.3 12.3 25.7 36.7 50.3 67.7 49.0 52.0 40.0 34.3物理 2.3 9.7 31.0 22.3 40.0 58.0 39.0 60.7 63.3 42.7学生序号11 12 13 14 15 16 17 18 19 20数学78.3 50.0 65.7 66.3 68.0 95.0 90.7 87.7 103.7 86.7物理49.7 46.7 83.3 59.7 50.0 101.3 76.7 86.0 99.7 99.0学校规定平均名次小于或等于40.0者为优秀，大于40.0者为不优秀．（1）在序号为1，2，3，4，5，6这6名学生中随机抽取2名，求这两名学生数学和物理都优秀的概率．（2）根据这次抽查数据，列出2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为物理成绩和数学成绩有关？（下面的临界值表和公式可供参考：P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828K2=，其中n=a+b+c+d）20．已知函数f（x）=（ax2+x﹣1）e x，a∈R．（1）若函数f（x）在x=﹣1时取极值，求a的值；（2）讨论函数f（x）的单调性．21．设F1、F2分别为椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点D为椭圆E的左顶点，且|CD|=，椭圆的离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）对于正常数λ，如果存在过点M（x0，0）（﹣a＜x0＜a）的直线l与椭圆E交于A、B 两点，使得S△AOB=λS△AOD（其中O为原点），则称点M为椭圆E的“λ分点”．试判断点M （1，0）是否为椭圆E的“2分点”．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图所示，AB是圆O的直径，延长BA至C，使AC=BC，过C作圆O的切割线交圆O于M、N两点，且AM=MN．（1）证明：∠AOM=∠ABN；（2）若MN=2，求AN的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知圆C1的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为．（Ⅰ）将圆C1的参数方程化为普通方程，将圆C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）圆C1、C2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a+b+c=1，求证：（1）2（ab+bc+ca）+3≤1（2）a2+b2+c2．2016年湖南省高考数学冲刺卷（文科）（1）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集A={1，3，5，7}，B={x|x＜3}，则A∩B=（）A．{1} B．{3} C．{1，3} D．{5，7}【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵全集A={1，3，5，7}，B={x|x＜3}，∴A∩B={1}，故选：A．2．若复数z满足（1+i）z=（3+i）i，则|z|=（）A．B．C．D．【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵（1+i）z=（3+i）i，（1﹣i）（1+i）z=（3i﹣1）（1﹣i），∴2z=4i+2，∴z=1+2i．∴|z|=．故选：C．3．若双曲线﹣=1的一条渐近线过点（2，3），则此双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线，建立a，b的关系，结合双曲线离心率的公式进行求解即可．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，∵双曲线﹣=1的一条渐近线过点（2，3），∴（2，3）在y=x上，即2×=3，即=，则双曲线的离心率e=====，故选：D4．“x2﹣5x﹣6=0”是“x=﹣1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．即不充分也不必要件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由x2﹣5x﹣6=0，解得x=6或x=﹣1，故“x2﹣5x﹣6=0”是“x=﹣1”必要不充分条件，故选：B．5．在1，2，4，5这4个数中一次随机地取2个数，则所取的2个数的和为6的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出所取的2个数的和为6包含的基本事件个数，由此能求出所取的2个数的和为6的概率．【解答】解：在1，2，4，5这4个数中一次随机地取2个数，基本事件总数n=，所取的2个数的和为6包含的基本事件有：（1，5），（2，4），共有m=2个，∴所取的2个数的和为6的概率为p==．故选：A．6．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，|φ|＜）的部分图象如图，则f（）=（）A．B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据三角函数的图象求出A，ω和φ的值，代入进行求解即可．【解答】解：由图象得A=2， T=﹣（）=π，则T==，得ω=，则f（x）=2sin（x+φ），由五点对应法得×+φ=，即φ=﹣=，则f（x）=2sin（x+），则f（）=2sin（×+）=2sin（+）=2cos=2×=，故选：B．7．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且最小正周期为2，若0≤x≤1时，f（x）=x，则f（﹣1）+f（﹣2017）=（）A．0 B．C．1 D．2【考点】函数的值．【分析】由函数的奇偶性和周期性得f（﹣1）=f（1）=1，f（﹣2017）=f=1，由此能求出f （﹣1）+f（﹣2017）的值．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且最小正周期为2，0≤x≤1时，f（x）=x，∴f（﹣1）=f（1）=1，f（﹣2017）=f=1，∴f（﹣1）+f（﹣2017）=1+1=2．故选：D．8．执行如图的程序框图，则输出的S的值为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，S=，n=2，满足进行循环的条件，第二次执行循环体后，S=，n=3，满足进行循环的条件，第三次执行循环体后，S=，n=4，满足进行循环的条件，第四次执行循环体后，S=，n=5，满足进行循环的条件，第五次执行循环体后，S=，n=6，不满足进行循环的条件，故输出的S值为，故选：B9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为底面为长方形，长为2，宽为1，高为2的棱柱，切去一个棱台，上底面为直角三角形，直角边为1，，下底面为直角三角形，直角边为2，1，即可求出体积．【解答】解：几何体为底面为长方形，长为2，宽为1，高为2的棱柱，切去一个棱台，上底面为直角三角形，直角边为1，，下底面为直角三角形，直角边为2，1，故体积为1×2×2﹣=．故选：A．10．若函数f（x）=x2﹣2（1﹣a2）x﹣a在区间（1，3）内有零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，） B．（﹣1，﹣） C．（﹣1，1）D．（﹣，1）【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意知函数f（x）=x2﹣2（1﹣a2）x﹣a的图象的对称轴为x=1﹣a2≤1；从而可得f（1）•f（3）＜0；从而解得．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2（1﹣a2）x﹣a的图象的对称轴为x=1﹣a2≤1；故若函数f（x）=x2﹣2（1﹣a2）x﹣a在区间（1，3）内有零点，则f（1）•f（3）＜0；故（1﹣2（1﹣a2）﹣a）（9﹣2（1﹣a2）3﹣a）＜0；即（2a2﹣a﹣1）（6a2﹣a+3）＜0；即（a﹣1）（2a+1）＜0；故﹣＜a＜1；故选D．11．设x，y满足，且z=ax﹣2y的最小值是1，则实数a=（）A．﹣4 B．1 C．﹣4或1 D．﹣1或4【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：不等式则对应的平面区域为角形区域，由，解得，故最小值应该在点（，）处取得，则a•﹣2•=1，解得a=﹣4，或a=1，当a=1时，不等式组为，此时目标函数为z=x﹣2y，即y=，此时直线经过A（1，0），满足条件z=1，当a=﹣4时，则不满足条件，故选：B．12．把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表（每行比上一行多一个数），设a ij （i，j∈N+）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a42=8，若a ij=2010，则i，j的值的和为（）A．75 B．76 C．77 D．78【考点】归纳推理．【分析】由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，前31个偶数行内数的个数的和为992，前32个偶数行内数的个数的和为1056个，得到第1005个偶数2010在第32个数数行内，确定2010是第几行第几列的数字，得到结果．【解答】解：由三角形数表可以看出其奇数行中的数都是奇数，偶数行中的数都是偶数，2010=2×1005，∴2010为第1005个偶数，∵前31个偶数行内数的个数的和为992，前32个偶数行内数的个数的和为1056个，∴第1005个偶数2010在第32个数数行内，即i=64，又由1005﹣992=13得：j=13，∴i+j=64+13=77．故选C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量，均为单位向量，与夹角均为，则|﹣2|= ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的数量积公式计算即可．【解答】解：向量，均为单位向量，与夹角均为，则|﹣2|2=||2﹣4||•||cos+|4|2=1﹣4×1×1×+4×1=3，∴|﹣2|=故答案为：14．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[2500，3000）（元）内应抽出25 人．【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图．【分析】直方图中小矩形的面积表示频率，先计算出[2500，3000）内的频率，再计算所需抽取人数即可．【解答】解：由直方图可得[2500，3000）（元）月收入段共有10000×0.0005×500=2500人按分层抽样应抽出2500×=25人．故答案为：25．15．圆C：（x﹣1）2+（y﹣）2=2截直线l：x+y﹣6=0所得弦长为 2 ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式求出距离，结合弦长公式进行计算即可．【解答】解：圆心为（1，），半径为R=，圆心到直线的距离d==，则对应的弦长l=2=2=2，故答案为：2．16．已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且acosB+bcosA=3a，则= 3 ．【考点】正弦定理．【分析】先利用正弦定理把a和b的表达式代入acosB+bcosA中，利用了两角和公式化简整理，求得acosB+bcosA=2RsinC，进而把2RsinC转化成边，即可得解．【解答】解：由正弦定理得：，∴左=acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin（B+A）=2RsinC=c=右=3a，∴=3．故答案为：3．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=1﹣a n，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=4（n+1）a n，T n是数列{b n}的前n项和，n∈N*，求T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）求数列{a n}的通项公式；（2）利用错位相减法进行求解．【解答】解：（1）∵S n=1﹣a n，∴S n+1=1﹣a n+1，两式相减得S n+1﹣S n=1﹣a n+1﹣（1﹣a n）=a n﹣a n+1，即a n+1=a n﹣a n+1，则2a n+1=a n，则=，当n=1时，a1=1﹣a1，解得a1=，即数列{a n}是以a1=为首项，公比q=的等比数列，则a n=•（）n﹣1=；（2）b n=4（n+1）a n=4（n+1）；则T n=4[2×（）1+3×（）2+…+n×（）n﹣1+（n+1）（）n]，于是T n=4[2×（）2+3×（）3+…+n×（）n+（n+1）×（）n+1]，两式相减得T n=4[2×（）1+（）2+…+（）n﹣（n+1）×（）n+1]=4[1+﹣（n+1）×（）n+1]=4[]=∴T n=12﹣（n+3）（）n﹣2．18．如图，所有棱长都为2的正三棱柱BCD﹣B'C'D'，四边形ABCD是菱形，其中E为BD的中点．（1）求证：平面BC'D∥面AB'D'；（2）求证：平面C'CE⊥平面AB'D'．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）取B′D′的中点为F，连AF，C′F，由已知得AFC′E为平行四边形，通过线面平行证明平面BC′D∥面AB′D′．（2）通过证明B'D'⊥平面C'CE，利用B'D'⊂平面AB'D'，证明平面C'CE⊥平面AB'D'．【解答】证明：（1）如图，取B'D'的中点为F，连结AF，C'F，AE．则AFC'E为平行四边形，∴AF∥C'E，又AF⊂面AB'D'，C'E⊄平面AB'D'，∴C'E∥面AB'D'，∵在三棱柱中，B'D'∥BD，BD⊄平面AB'D'，B'D'⊂平面AB'D'，∴BD∥平面AB'D'，∵BD∩C'E=E，BD、C'E⊂平面BC'D，∴平面BC'D∥平面AB'D'．（2）∵在正三角形BCD中，E是BD中点，∴CE⊥BD又在正棱柱中BD∥B'D'，CC'⊥平面B'C'D'，∴B'D'⊥CE，B'D'⊥CC'，∵CC'∩CE=C，∴B'D'⊥平面C'CE，∵B'D'⊂平面AB'D'，∴平面C'CE⊥平面AB'D'．19．某学校为了研究学情，从高三年级中抽取了20名学生三次测试的数学成绩和物理成绩，计算出了他们三次成绩的平均名次如下表：学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10数学 1.3 12.3 25.7 36.7 50.3 67.7 49.0 52.0 40.0 34.3物理 2.3 9.7 31.0 22.3 40.0 58.0 39.0 60.7 63.3 42.7学生序号11 12 13 14 15 16 17 18 19 20数学78.3 50.0 65.7 66.3 68.0 95.0 90.7 87.7 103.7 86.7物理49.7 46.7 83.3 59.7 50.0 101.3 76.7 86.0 99.7 99.0学校规定平均名次小于或等于40.0者为优秀，大于40.0者为不优秀．（1）在序号为1，2，3，4，5，6这6名学生中随机抽取2名，求这两名学生数学和物理都优秀的概率．（2）根据这次抽查数据，列出2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为物理成绩和数学成绩有关？（下面的临界值表和公式可供参考：P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828K2=，其中n=a+b+c+d）【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）在序号为1，2，3，4，5，6这6名学生中随机抽取2名，共有=15种情况，两名学生数学和物理都优秀有=6种情况，故可求这两名学生数学和物理都优秀的概率；（2）根据条件列出列联表，求出K2和P（K2≥5.024）=0.025，因此根据这次抽查数据在犯错误的概率不超过0.025的前提下，可以认为物理成绩优秀与否和数学成绩优秀与否有关系．【解答】解：（1）在序号为1，2，3，4，5，6这6名学生中随机抽取2名，共有=15种情况，两名学生数学和物理都优秀有=6种情况，∴这两名学生数学和物理都优秀的概率为=；（2）根据条件列出列联表如下：物理优秀物理不优秀合计数学优秀 4 2 6数学不优秀 2 12 14合计 6 14 20所以K2=≈5.4875＞5.024．又P（K2≥5.024）=0.025，因此根据这次抽查数据在犯错误的概率不超过0.025的前提下，可以认为物理成绩优秀与否和数学成绩优秀与否有关系．20．已知函数f（x）=（ax2+x﹣1）e x，a∈R．（1）若函数f（x）在x=﹣1时取极值，求a的值；（2）讨论函数f（x）的单调性．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求导f′（x）=（2ax+1）e x+（ax2+x﹣1）e x=xe x（ax+2a+1）；令f′（﹣1）=﹣e﹣1（﹣a+2a+1）=0，从而解得；（2）由（1）知，f′（x）=（2ax+1）e x+（ax2+x﹣1）e x=xe x（ax+2a+1）；分类讨论以确定导数的正负，从而确定函数的单调性．【解答】解：（1）f′（x）=（2ax+1）e x+（ax2+x﹣1）e x=xe x（ax+2a+1）；则f′（﹣1）=﹣e﹣1（﹣a+2a+1）=0，解得，a=﹣1；故a=﹣1时，f′（x）=﹣xe x（x+1）；经检验在x=﹣1处有极小值．（2）①当a=0时，f′（x）=xe x，当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0；故f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数；②当2a+1=0，即a=﹣时，f′（x）=﹣x2e x≤0，故f（x）在R上是减函数；③当a＞0时，f′（x）=axe x（x+）；当x∈（﹣，0）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣∞，﹣），（0，+∞）时，f′（x）＞0；故f（x）在（﹣，0）上是减函数，在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上是增函数；④当﹣＜a＜0时，f′（x）=axe x（x+）；当x∈（0，﹣）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣∞，0），（﹣，+∞）时，f′（x）＜0；故f（x）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上是减函数，在（0，﹣）上是增函数；⑤当a＜﹣时，f′（x）=axe x（x+）；当x∈（﹣，0）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣∞，﹣），（0，+∞）时，f′（x）＜0；故f（x）在（﹣，0）上是增函数，在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上是减函数．21．设F1、F2分别为椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点D为椭圆E的左顶点，且|CD|=，椭圆的离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）对于正常数λ，如果存在过点M（x0，0）（﹣a＜x0＜a）的直线l与椭圆E交于A、B 两点，使得S△AOB=λS△AO D（其中O为原点），则称点M为椭圆E的“λ分点”．试判断点M （1，0）是否为椭圆E的“2分点”．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）利用已知条件，列出方程求解椭圆的几何量，即可得到结果．（2）如果点M为椭圆C的“2分点“，即有S△AOB=2S△AOD，设直线l的方程为x=my+x0，代入椭圆方程，运用韦达定理，计算即可得到所求范围．【解答】解：（1）由题意F1、F2分别为椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点D为椭圆E的左顶点，且|CD|=，椭圆的离心率为．可得：得a2=4，b2=1，椭圆E的方程为．（2）假设M是椭圆E的“2分点”，则存在过点M的直线l与椭圆E交于A、B两点，使得S△AOB=2S△AOD，显然直线l与y轴垂直，设l：x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．由，得（m2+4）y2+2my﹣3=0，所以，①．②因为S△AOB=2S△AOD，∴．由②知y1y2＜0，∴y2=﹣3y1，③将③代入①得，④将③代入②得，⑤将④代入⑤得，无解．所以点M（1，0）不是椭圆E的“2分点”．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图所示，AB是圆O的直径，延长BA至C，使AC=BC，过C作圆O的切割线交圆O于M、N两点，且AM=MN．（1）证明：∠AOM=∠ABN；（2）若MN=2，求AN的长．【考点】圆的切线的判定定理的证明．【分析】（1）连接AN，说明AN⊥BN，BN∥OM，然后证明∠AOM=∠ABN．（2）根据切割线定理得，CM×CN=CA×CB=3OA2，求出BN，在Rt△ABN中，求解AN即可．【解答】解：（1）连接AN，∵AB是圆O的直径，∴AN⊥BN，∵AM=MN，∴OM⊥AN，∴BN∥OM，∴∠AOM=∠ABN．（2）∵，∴AC=AO，∵OM∥BN，∴，∴MN=2，∴CM=4，∴CN=6，根据切割线定理得，CM×CN=CA×CB=3OA2，∴，又，∴，在Rt△ABN中，AN2=AB2﹣BN2=32﹣18=14，∴．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知圆C1的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为．（Ⅰ）将圆C1的参数方程化为普通方程，将圆C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）圆C1、C2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．【考点】圆的参数方程；圆与圆的位置关系及其判定．【分析】（Ⅰ）对于曲线C1利用三角函数的平方关系式sin2φ+cos2φ=1即可；对于曲线C2利用极坐标与直角坐标的互化公式即可化简；（Ⅱ）先求出两圆的圆心距，与两圆的半径和差进行比较即可判断出两圆的位置关系；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，利用两点间的距离公式即可．【解答】解：（I）由得x2+y2=1即为圆C1的普通方程．又∵ρ=2cos（θ+）=cosθ﹣sinθ，∴ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ．∴x2+y2﹣x+y=0，即．（II）圆心距，得两圆相交．由两圆的方程联立得，解得或即A（1，0），B，∴．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a+b+c=1，求证：（1）2（ab+bc+ca）+3≤1（2）a2+b2+c2．【考点】不等式的证明．【分析】利用条件，两边平方，利用基本不等式，即可证得结论．【解答】证明：（1）∵a+b+c=1，∴a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）=1，∴2（ab+bc+ca）+3≤1（2）∵a+b+c=1，∴1=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）≤3（a2+b2+c2），∴a2+b2+c2≥．。
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2016年湖南省长沙市长郡中学高考数学冲刺卷（文科）（一）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，B={y|y=lgx，x∈A}，则A∩B=（）A．B．{10}C．{1}D．∅2．已知i是虚数单位，则复数﹣i（1+i）的实部与虚部的和等于（）A．2B．0C．﹣2D．1﹣i3．函数f（x）=e x sinx的图象在点（0，f（0））处的切线的倾斜角为（）A．0B．C．1D．4．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为﹣5，则输出的y值是（）A．﹣1B．1C．2D．5．已知向量=（2，k），=（1，2），若∥，则k的值为（）A．1B．﹣1C．4D．﹣46．如图，三棱锥V﹣ABC底面为正三角形，侧面V AC与底面垂直且V A=VC，已知其主视图的面积为，则其左视图的面积为（）A．B．C．D．7．已知函数y=sinax+b（a＞0）的图象如图所示，则函数y=log a（x﹣b）的图象可能是（）A．B．C．D．8．若点O和点F分别为双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的最小值为（）A．﹣6B．﹣2C．0D．109．若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．﹣1B．0C．3D．410．已知点A n（n，a n）（n∈N*）都在函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象上，则a3+a7与2a5的大小关系是（）A．a3+a7＞2a5B．a3+a7＜2a5C．a3+a7=2a5D．a3+a7与2a5的大小与a有关11．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点，则此点到坐标原点的距离大于1的概率为（）A．B．C．D．12．设f（x）是定义在R上的函数，对x∈R都有f（﹣x）=f（x），f（2+x）=f（2﹣x），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（）A．（1，2）B．（2，+∞）C．（1，）D．（，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．一支田径队有男运动员28人，女运动员21人，现按性别用分层抽样的方法，从中抽取14位运动员进行健康检查，则男运动员应抽取人．14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，b=8，C=，则c=．15．若函数f（x）=有两个不同的零点，则实数a的取值范围是．16．已知过抛物y2=2px（p＞0）的焦点F且斜率为的直线与抛物线交于A，B两点，且|AF|＞|BF|，则=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设的前n项和S n．18．如图所示，已知AC⊥平面CDE，BD∥AC，△ECD为等边三角形，F为ED边上的中点，且CD=BD=2AC=2，（1）求证：CF∥面ABE；（2）求证：面ABE⊥平面BDE；（3）求该几何体ABECD的体积．19．公安部交管局修改后的酒后违法驾驶机动车的行为分为两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其判断标准是驾驶人员每100毫升血液中的酒精含量X毫克，当20≤X＜80时，认定为酒后驾车；当X≥80时，认定为醉酒驾车．重庆市公安局交通管理部门在对G42高速公路我市路段的一次随机拦查行动中，依法检200100X（1）求t的值；（2）从酒后违法驾车的司机中随机抽取2人，求这2人含有醉酒驾车司机的概率．20．如图，椭圆的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，过F2作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S，T，而与抛物线交于C，D两点，且．（1）求椭圆E的方程；（2）若过m（2，0）的直线与椭圆E相交于两点A和B，设P为椭圆E上一点，且满足（O 为坐标原点），求实数t的取值范围．21．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．请考生从第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连接EC、CD．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）若tan∠CED=，⊙O的半径为3，求OA的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线C1：（t为参数），圆C2：（θ为参数）（1）当α=时，求C1被C2截得的线段的长；（2）过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，当α变化时，求A点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．[选修4-5：不等式选讲]24．若存在实数x使成立，求常数a的取值范围．2016年湖南省长沙市长郡中学高考数学冲刺卷（文科）（一）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，B={y|y=lgx，x∈A}，则A∩B=（）A．B．{10}C．{1}D．∅【考点】交集及其运算．【分析】将集合A中的元素代入集合B中的函数y=lgx中，求出可对应y的值，确定出集合B，找出两集合的公共元素，即可求出两集合的交集．【解答】解：将x=1代入得：y=lg1=0；将x=10代入得：y=lg10=1；将x=代入得：y=lg=﹣1，∴集合B={0，﹣1，1}，又A={1，10，}，则A∩B={1}．故选C2．已知i是虚数单位，则复数﹣i（1+i）的实部与虚部的和等于（）A．2B．0C．﹣2D．1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘法法则，化简可得它的实部与虚部，从而求得它的实部与虚部的和．【解答】解：∵复数﹣i（1+i）=1﹣i，故它的实部为1，虚部为﹣1，故它的实部与虚部的和等于0，故选：B．3．函数f（x）=e x sinx的图象在点（0，f（0））处的切线的倾斜角为（）A．0B．C．1D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】根据求导公式和法则求出函数的导数，再求出f′（0）的值，即为所求的倾斜角正切值．【解答】解：由题意得，f′（x）=e x sinx+e x cosx=e x（sinx+cosx），∴在点（0，f（0））处的切线的斜率为k=f′（0）=1，则所求的倾斜角为，故选B．4．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为﹣5，则输出的y值是（）A．﹣1B．1C．2D．【考点】程序框图．【分析】框图输入框中首先输入x的值为﹣5，然后判断|x|与3的大小，|x|＞3，执行循环体，|x|＞3不成立时跳出循环，执行运算y=，然后输出y的值．【解答】解：输入x的值为﹣5，判断|﹣5|＞3成立，执行x=|﹣5﹣3|=8；判断|8|＞3成立，执行x=|8﹣3|=5；判断|5|＞3成立，执行x=|5﹣3|=2；判断|2|＞3不成立，执行y=．所以输出的y值是﹣1．故选A．5．已知向量=（2，k），=（1，2），若∥，则k的值为（）A．1B．﹣1C．4D．﹣4【考点】平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．【分析】根据两向量∥，它们的坐标满足x1 y2﹣x2 y1=0，进行计算即可．【解答】解：∵向量=（2，k），=（1，2），且∥，∴2×2﹣1•k=0，解得k=4．故选：C．6．如图，三棱锥V﹣ABC底面为正三角形，侧面V AC与底面垂直且V A=VC，已知其主视图的面积为，则其左视图的面积为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由三视图的画图要求“长对正，高平齐，宽相等”可以找出左视图的宽、高与俯视图的宽、主视图的高的相等关系，进而求出答案．【解答】解：设底面正△ABC的边长为a，侧面V AC的底边AC上的高为h，可知底面正△ABC的高为，∵其主视图为△V AC，∴；∵左视图的高与主视图的高相等，∴左视图的高是h，又左视图的宽是底面△ABC的边AC上的高，===．∴S侧视图故选B．7．已知函数y=sinax+b（a＞0）的图象如图所示，则函数y=log a（x﹣b）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】对数函数的图象与性质；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据函数y=sinax+b（a＞0）的图象求出a、b的范围，从而得到函数y=log a（x﹣b）的单调性及图象特征，从而得出结论．【解答】解：由函数y=sinax+b（a＞0）的图象可得0＜b＜1，，∴，故函数y=log a（x﹣b）是定义域内的减函数，且过定点（1+b，0），故选A．8．若点O和点F分别为双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的最小值为（）A．﹣6B．﹣2C．0D．10【考点】平面向量数量积的运算；双曲线的简单性质．【分析】设P（x，y）（x≥2），则先利用向量的数量积的坐标表示求出，然后利用二次函数的性质即可求解最小值【解答】解：设P（x，y）（x≥2）由题意可得，F（﹣3，0），O（0，0），∴=x2+3x+y2==（x≥2）结合二次函数的性质可知，当x=2时，f（x）有最小值10故选D9．若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．﹣1B．0C．3D．4【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的平行直线，将直线平移，由图知过（2，1）时，截距最小，此时z最大，从而求出z=2x﹣y的最大值．【解答】解：画出不等式表示的平面区域将目标函数变形为y=3x﹣z，作出目标函数对应的平行直线，将直线平移，由图知过（2，1）时，直线的纵截距最小，此时z最大，最大值为4﹣1=3故选C10．已知点A n（n，a n）（n∈N*）都在函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象上，则a3+a7与2a5的大小关系是（）A．a3+a7＞2a5B．a3+a7＜2a5C．a3+a7=2a5D．a3+a7与2a5的大小与a有关【考点】有理数指数幂的运算性质．【分析】先表示出a3+a7，再根据基本不等式直接可得答案．【解答】解：由题意可知a3+a7=a3+a7≥2=2a5又因为a＞0，a≠1，所以上式等号取不到即a3+a7＞2a5故选A．11．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点，则此点到坐标原点的距离大于1的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】本题属于几何概型，利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域和到原点的距离大于1的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可．【解答】解：其构成的区域D如图所示的边长为2的正方形，面积为S1=4，满足到原点的距离大于1所表示的平面区域是以原点为圆心，以1为半径的圆外部，面积为S2=4﹣∴在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于1的概率P==1﹣故选D．12．设f（x）是定义在R上的函数，对x∈R都有f（﹣x）=f（x），f（2+x）=f（2﹣x），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（）A．（1，2）B．（2，+∞）C．（1，）D．（，2）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】可判断f（x）是偶函数，且周期为4；作函数f（x）与y=log a（x+2）的图象，从而可得，从而解得．【解答】解：∵f（﹣x）=f（x），∴f（x）是偶函数；∵f（2+x）=f（2﹣x），∴f（x）的图象关于x=2对称，∴f（x）的周期为4；作函数f（x）与y=log a（x+2）的图象如下，结合图象可知，必须且只需，即，解得，＜a＜2，故选D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．一支田径队有男运动员28人，女运动员21人，现按性别用分层抽样的方法，从中抽取14位运动员进行健康检查，则男运动员应抽取8人．【考点】分层抽样方法．【分析】有男运动员28人，女运动员21人，知总体个数是20+10，从全体队员中抽出一个容量为14人的样本，得到每个个体被抽到的概率是，得到男运动员应抽的人数是用概率乘以男运动员人数．【解答】解：∵有男运动员28人，女运动员21人，∴总体个数是29+21=49，∵从全体队员中抽出一个容量为14人的样本∴每个个体被抽到的概率是=∴男运动员应抽=8；故答案为：8．14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，b=8，C=，则c=7．【考点】余弦定理．【分析】由a，b，cosC的值，利用余弦定理即可求出c的值．【解答】解：∵a=3，b=8，C=，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=9+64﹣24=49，则c=7．故答案为：715．若函数f（x）=有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（0，1]．【考点】分段函数的应用．【分析】由f（x）=lnx=0，得x=1．由题意得，当x≤0时，函数f（x）=2x﹣a还有一个零点，运用指数函数的单调性，即可求出a的取值范围．【解答】解：当x＞0时，由f（x）=lnx=0，得x=1．∵函数f（x）有两个不同的零点，∴当x≤0时，函数f（x）=2x﹣a还有一个零点，令f（x）=0得a=2x，∵0＜2x≤20=1，∴0＜a≤1，∴实数a的取值范围是0＜a≤1．故答案为：（0，1]．16．已知过抛物y2=2px（p＞0）的焦点F且斜率为的直线与抛物线交于A，B两点，且|AF|＞|BF|，则=3．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设抛物线y2=2px（p＞0）的准线为l，分别过点A，B作AM⊥l，BN⊥l，垂足为M，N．过点B 作BC⊥AM交于点C．由抛物线的定义可得：|AM|=|AF|，|BN|=|BF|．由于AM∥x轴，∠BAC=∠AFx=60°．在Rt△ABC中，|AC|=|AB|，化简即可得出．【解答】解：斜率为的直线倾斜角为60°．设抛物线y2=2px（p＞0）的准线为l：x=﹣．如图所示，分别过点A，B作AM⊥l，BN⊥l，垂足为M，N．过点B作BC⊥AM交于点C．则|AM|=|AF|，|BN|=|BF|．∵AM∥x轴，∴∠BAC=∠AFx=60°．在Rt△ABC中，|AC|=|AB|又|AM|﹣|BN|=|AC|，∴|AF|﹣|BF|=（|AF|+|BF|），化为|AF|=3|BF|，则=3．故答案为：3．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设的前n项和S n．【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和．【分析】（I）根据a3+2是a2，a4的等差中项和a2+a3+a4=28，求出a3、a2+a4的值，进而得出首项和a1，即可求得通项公式；（II）先求出数列{b n}的通项公式，然后求出﹣S n﹣（﹣2S n），即可求得的前n项和S n．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q∵a3+2是a2，a4的等差中项∴2（a3+2）=a2+a4代入a2+a3+a4=28，得a3=8∴a2+a4=20∴∴或∵数列{a n}单调递增∴a n=2n（II）∵a n=2n∴b n==﹣n•2n∴﹣s n=1×2+2×22+…+n×2n①∴﹣2s n=1×22+2×23+…+（n﹣1）×2n+n2n+1②∴①﹣②得，s n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=2n+1﹣n•2n+1﹣218．如图所示，已知AC⊥平面CDE，BD∥AC，△ECD为等边三角形，F为ED边上的中点，且CD=BD=2AC=2，（1）求证：CF∥面ABE；（2）求证：面ABE⊥平面BDE；（3）求该几何体ABECD的体积．【考点】平面与平面垂直的判定；组合几何体的面积、体积问题．【分析】（1）取BE的中点G，连结FG，推导出CF∥AG，由此能证明CF∥面ABE．（2）由△ECD为等边三角形，推导出AG⊥面BDE，由此能证明面ABE⊥平面BDE．（3）几何体ABECD是四棱锥E﹣ABCD，由此能求出该几何体ABECD的体积．【解答】解：（1）取BE的中点G，连FG，∵FG∥，AC∥，∴CF∥AG，又CF不包含于面ABE，AG⊂面ABE，∴CF∥面ABE，…（2）∵△ECD为等边三角形，∴CF⊥ED又CF⊥BD，∴CF⊥面BDE，CF∥AG∴AG⊥面BDE，又AG⊂平面ABE，∴面ABE⊥平面BDE，…（3）几何体ABECD是四棱锥E﹣ABCD，EH⊥CD∴EH⊥面ABCD，∴．…19．公安部交管局修改后的酒后违法驾驶机动车的行为分为两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其判断标准是驾驶人员每100毫升血液中的酒精含量X毫克，当20≤X＜80时，认定为酒后驾车；当X≥80时，认定为醉酒驾车．重庆市公安局交通管理部门在对G42高速公路我市路段的一次随机拦查行动中，依法检200100X（1）求t的值；（2）从酒后违法驾车的司机中随机抽取2人，求这2人含有醉酒驾车司机的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）由酒精含量X（单位：毫克）的统计表能求了出t的值．（2）由题意知酒后违法驾车的司机共5人，其中有2人是醉酒驾车，由此能求出从酒后违法驾车的司机中随机抽取2人，这2人含有醉酒驾车司机的概率．【解答】解：（1）由题意知：t=200﹣1﹣1﹣1﹣1﹣1﹣1=195．（2）由题意知酒后违法驾车的司机共5人，其中有2人是醉酒驾车，∴从酒后违法驾车的司机中随机抽取2人，这2人含有醉酒驾车司机的概率：p=1﹣=．20．如图，椭圆的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，过F2作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S，T，而与抛物线交于C，D两点，且．（1）求椭圆E的方程；（2）若过m（2，0）的直线与椭圆E相交于两点A和B，设P为椭圆E上一点，且满足（O 为坐标原点），求实数t的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由焦点F2（1，0），过F2作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S，T，而与抛物线交于C，D两点，且，知|CD|=4，|ST|=，由此能求出椭圆方程．（2）设过m（2，0）的直线为y=k（x﹣2），由，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），，由此结合题设条件能求出实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵椭圆的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，∴焦点F2（1，0），∵过F2作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S，T，而与抛物线交于C，D两点，且．∴|CD|=4，解得|ST|=，∴a=，b=1，c=1，∴椭圆E的方程是．（2）设过m（2，0）的直线为y=k（x﹣2），由，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），，则，2=+2=，∴，∵△=（8k2）2﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）＞0，∴0≤2k2＜1，=1﹣，∴t∈（﹣2，2）．21．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）先求函数的导函数f′（x），再求所求切线的斜率即f′（0），由于切点为（0，0），故由点斜式即可得所求切线的方程；（2）先求原函数的导数得：f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna，再对a进行讨论，得到f'（x）＞0，从而函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．（3）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=a x+x2﹣xlna，∴f′（x）=a x lna+2x﹣lna，∴f′（0）=0，f（0）=1即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为0，∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（2）由于f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna＞0①当a＞1，y=2x单调递增，lna＞0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当0＜a＜1，y=2x单调递增，lna＜0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；综上，函数f（x）单调增区间（0，+∞）；（3）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，由（2）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（+1+lna）=a﹣﹣2lna，记g（t）=t﹣﹣2lnt（t＞0），因为g′（t）=1+﹣=（﹣1）2≥0（当t=1时取等号），所以g（t）=t﹣﹣2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1⇒a﹣lna≥e﹣1⇒a≥e，②当0＜a＜1时，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1⇒+lna≥e﹣1⇒0＜a≤，综上知，所求a的取值范围为a∈（0，]∪[e，+∞）．请考生从第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连接EC、CD．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）若tan∠CED=，⊙O的半径为3，求OA的长．【考点】圆的切线的性质定理的证明；直线与圆的位置关系；矩阵与矩阵的乘法的意义；简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．【分析】（1）要想证AB是⊙O的切线，只要连接OC，求证∠ACO=90°即可；（2）先由三角形判定定理可知，△BCD∽△BEC，得BD与BC的比例关系，最后由切割线定理列出方程求出OA的长．【解答】解：（1）如图，连接OC，∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥AB．∴AB是⊙O的切线；（2）∵BC是圆O切线，且BE是圆O割线，∴BC2=BD•BE，∵tan∠CED=，∴．∵△BCD∽△BEC，∴，设BD=x，BC=2x．又BC2=BD•BE，∴（2x）2=x•（x+6），解得x1=0，x2=2，∵BD=x＞0，∴BD=2，∴OA=OB=BD+OD=3+2=5．．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线C1：（t为参数），圆C2：（θ为参数）（1）当α=时，求C1被C2截得的线段的长；（2）过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，当α变化时，求A点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）联立两个解析式，得到交点，利用两点距离公式得到截得线段的长．（2）由A对应的参数，得到的参数方程，由此得到普通方程．【解答】解：（1）当a=时，C1的普通方程为y=（x﹣1），C2的普通方程为x2+y2=1．联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0）与（，﹣）．所以，C1被C2截得的线段的长为1．（2）将C1的参数方程代C2的普通方程得t2+2tcosα=0，∴A点对应的参数t==﹣cosα，∴A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα）．故当α变化时，A点轨迹的参数方程为：（α为参数）．因此，A点轨迹的普通方程为（x﹣）2+y2=．故A 点轨迹是以（，0）为圆心，半径为的圆．[选修4-5：不等式选讲]24．若存在实数x 使成立，求常数a 的取值范围．【考点】二维形式的柯西不等式． 【分析】利用柯西不等式，求出左边对应函数的最大值，即可确定常数a 的取值范围．【解答】解：由题意，由柯西不等式得=≤（3+1）（x+2+14﹣x ）=64所以8，当且仅当x=10时取“=”，∵存在实数x 使成立∴a ＜8∴常数a 的取值范围是（﹣∞，8）．2016年7月19日。