四川省宜宾第三中学高三数学12月月考试题 文

高2014级高三上期12月月考数学文科试题满分：150分 时间：120分钟第I 卷一．选择题：1、设集合2{|10}A x x =->，2{|log 0}B x x =>，则A B =I （ ） A ．{|1}x x >B ．{|0}x x >C ．{|1}x x <-D ．{|11}x x x <->或2、若复数z 满足71i zi =+ (i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为 (A)1(B)-1(C)i(D)-i3、函数21()23f x x x =-+-的定义域是A.[]3,1-B.()3,1-C.(][),31,-∞-+∞UD.()(),31,-∞-+∞U 4、已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（）A ．172B ．192C ．10D ．12 5、已知命题121:≤≤x p ，命题0)1)((:≤---a x a x q ，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 A ．]21,0[B ．]1,21[C ．]21,31[D ．]1,31(6、已知x , y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，则y x z +=的最大值为A ．8B ．10C ．12D ．147、要计算2016131211+⋅⋅⋅+++的结果，下面程序框图中的判断框内可以填（） A ．2016<n B ．2016>n C ．2016≤n D ．2016≥n8、把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标缩小到原来的12（纵坐标不变），再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一条对称轴为（ ）A.2x π=-B.4x π=-C.8x π=D.4x π=9、某四棱锥的三视图如图所示（单位：cm),则该四棱锥的表面积是（）A ．2)7313(cm +B ．2)3412(cm +C ．2)7318(cm +D ．2(93235)cm ++10、已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则=⋅BC AF A ．85- B ．81 C ．41 D ．81111、已知正实数a ，b 满足321=+ba ，则()()21++b a 的最小值是（） A ．163B ．950C ．499D ．6 12、定义域为(0,)+∞的连续可导函数()f x ，若满足以下两个条件：①()f x 的导函数'()y f x =没有零点，②对(0,)x ∀∈+∞，都有12(()log )3f f x x +=.则关于x 方程()2f x x =+有（ ）个解.A ．2B ．1C ．0D ．以上答案均不正确第Ⅱ卷二．填空题：13、曲线2()3f x x x=+在点(1,(1))f 处的切线方程为____________ 14、定义在R 上的函数()f x 满足()()20f x f x ++=，(4)()f x f x -=.现有以下三种叙述：①8是函数()f x 的一个周期；②()f x 的图象关于直线2x =对称；③()f x 是偶函数.其中正确的是15、在平面直角坐标系xoy 中，过点)0,4(-M 的直线l 与圆5)1(:22=+-y x C 相交于B A ,两点．若点A 恰好是线段MB 的中点，则直线l 的方程为_________．16、已知函数1()3(3)ln f x mx m x x=--+，若对任意的(4,5)m ∈，12,[1,3]x x ∈，恒有12(ln 3)3ln 3|()()|a m f x f x -->-成立，则实数a 的取值范围是.三．解答题：17．已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，且125n n S S n +=++()n N *∈．（1）设1n n b a =+，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．18、已知函数)0(cos 2sin )(>+=m x x m x f 的最大值为2.(1)求函数()f x 在[0,]π上的单调递减区间;(2)△ABC 中,B A B f A f sin sin 64)4()4(=-+-ππ,角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c,且C=60︒,c=3,求△ABC 的面积.19、如图，已知四边形ABCD 和BCEG 均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=2π，平面ABCD⊥平面BCEG ，BC=CD=CE=2AD=2BG=2。

（Ⅰ）求证：EC⊥CD； （Ⅱ）求证：AG∥平面BDE ； （Ⅲ）求几何体EG ﹣ABCD 的体积。

20、某校从参加高一年级期中考试的学生中抽出60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[)50,40，[)60,50，[80,90)，[]100,90，然后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题： （1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）估计这次考试的及格率（60分及60分以上为及格）和平均分；（3）把从[80,90)分数段选取的最高分的两人组成B 组，[90,100]分数段的学生组成C 组，现从B ，C 两组中选两人参加科普知识竞赛，求这两个学生都来自C组的概率.21.设函数()()22ln ,f x x m x g x x x a =-=-+．（1）当0a =时，()()f x g x ≥在()1,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；（2）当2m =时，若函数()()()h x f x g x =-在[]1,3上恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围；（3）是否存在常数m ，使函数()f x 和函数()g x 在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．22、（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1:C cos ()sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，以平面直角坐标系xOy的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(2sin )6l cos ρθθ-=．（1）将曲线1C 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的3、2倍后得到曲线2C ，试写出直线l 的直角坐标方程和曲线2C 的参数方程；（2）在曲线2C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值．12月月考（2016年12月15日）答案1-12:AADBA BCADC BB13-16:04=+-y x ;①②③043043=+-=++y x y x 或⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,63717.解：（1）由125n n S S n +=++()n N *∈ 得 ()1215n n S S n -=+-+(,2)n N n *∈≥两式相减得 121n n a a +=+ …… 3分 ∴ ()1121n n a a ++=+ 即 n n b b 21=+(,2)n N n *∈≥ ………… 4分又1165111122=+=++=-=a S S S a ∴ 12122=+=a b ，6111=+=a b ∴ 122b b = … 6分 ∴ 数列{}n b 是首项为6，公比为2的等比数列∴ nn n b 23261⋅=⋅=- … 8分 （2）由（1）知321nn a =⋅- … 9分∴ 12n n S a a a =++⋅⋅⋅+2323232n n =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅-()221321n n -=⨯--1626326n n n n +=⋅--=⋅--．………… 12分18.解(1)由题意,()f x 的最大值为22m +,所以22=2m +. 而0m >,于是2m =...2分 π()2sin()4f x x =+.()f x 为递减函数,则x 满足ππ3π2π+2π+242k x k +≤≤()k ∈Z ...4分即π5π2π+2π+44k x k ≤≤()k ∈Z ....5分所以()f x 在[]0π，上的单调递减区间为ππ4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. ....6分(2)设△ABC 的外接圆半径为R ,由题意,得32=23sin sin 60c R C ==o...7分化简B A B f A f sin sin 64)4()4(=-+-ππ,得B A B A sin sin 62sin sin =+...8分 由正弦定理,得()226R a b ab +=,2a b ab +=. ①...10分 由余弦定理,得229a b ab +-=,即()2390a b ab +--=. ②...11分 将①式代入②,得()22390ab ab --=.解得3ab =,或 32ab =-(舍去).1sin 2ABC S ab C ∆=334=. ...12分19、解：（Ⅰ）证明：由平面ABCD⊥平面BCEG 于BC ，CE⊥BC，CE ⊂平面BCEG ，∴EC⊥平面ABCD ，…3分 又CD ⊂平面BCDA ，故EC⊥CD…4分（Ⅱ）证明：在平面BCEG 中，过G 作GN⊥CE 交BE 于M ，连DM ，则由已知知；MG=MN ，MN∥BC∥DA，且，∴MG∥AD，MG=AD ，故四边形ADMG 为平行四边形，∴AG∥DM…6分∵DM ⊂平面BDE ，AG ⊄平面BDE ，∴AG∥平面BDE…8分（Ⅲ）解：12+1117=22+121=32323---=+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯EG ABCD D BCEG G ABD V V V .....12分20、【答案】（1）0.3；（2）71；（3）310试题分析：（I ）频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，而频率的和等于1，可求出分数在[70，80）内的频率，即可求出矩形的高，补全这个频率分布直方图.（II ）累加60分及60分以上的各组频率可得到这次考试的及格率，再在同一组数据用该组区间的中点值作为代表，将中点值与每一组的频率相差再求出它们的和即可求出本次考试的平均分.（III ）分别求出从B ，C 两组中选两人的基本事件总数和这两个学生都来自C 组的基本事件个数，代入古典概型概率公式，可得答案解：（1）因为各组的频率值和等于1，故第四组的频率为()410.010.01520.0250.005100.3f =-+⨯++⨯=，...2分直方图如图所示.....4分（2）依题意60分以上的分数在第三，四，五，六组频率和为()0.0150.030.0250.005100.75+++⨯=，所以抽样学生成绩的合格率为75%......6分利用组中值估算抽样学生的平均数123456455565758595f f f f f f +++++ =450.1550.15650.15750.3850.25950.0571⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 估计这次考试的平均数是71分...8分（3）[90,100]分数段的学生人数为：0.00510603⨯⨯=人，即C 组只有3人；把从B 组抽取的2人记为1b 、2b ；C 组的3人记为1c 、2c 、3c ，则从B 、C 两组的5人中抽选2人去参加竞赛的基本事件有：（b 1,b 2）,（b 1,c 1）,（b 1,c 2）,（b 1,c 3）,（b 2,c 1）,（b 2,c 2）,（b 2,c 3）,（c 1,c 2）,（c 1,c 3）,（c 2,c 3）共10种.....10分设选中的2人都来C 组的事件为x ,则x 包含的基本事件有（c 1,c 2）,（c 1,c 3）,（c 2,c 3）共3种..11分因此103)x (P =.故选中的2人都来自C 组的概率为103.....12分21.解：（1）当0a =时，由()()0f x g x -≥得ln m x x ≤， ∵1x >，∴ln 0x >，∴有ln xm x≤在()1,+∞上恒成立，...1分 令()()2ln 1,ln ln x x h x h x x x-'==，....2分 由()0h x '=得x e =， 当()(),0,0,00x e h x x e h ''>><<<，∴()h x 在()0,e 上为减函数，在(),e +∞上为增函数，....3分∴()()min h x h e e ==，∴实数m 的取值范围为m e ≤；.....4分 （2）当2m =时，函数()()()2ln h x f x g x x x a ===--，()h x 在[]1,3上恰有两个不同的零点，即2ln x x a -=在[]1,3上恰有两个不同的零点，....5分令()2ln x x x φ=-，则()221x x x xφ-'=-=， 当12x <<，()0x φ'<；当23x <<，()0x φ'>，∴()x φ在()1,2上单减，在()2,3上单增，()()min 222ln 2x φφ==-，....6分 又()()11,332ln 3φφ==-，()()13φφ>.......7分如图所示，所以实数a 的取值范围为]3ln 23,2ln 22(--.....8分 （3）函数()f x 和函数()g x 在公共定义域为()0,+∞， ∴()2g x x x a =-+在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，...9分 函数()()222ln ,x mf x x m x f x x-'=-=，0m ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在()0,+∞上单调递增，不合题意，...10分0m >时，当20,2m x ⎛⎫∈⎪ ⎪⎝时()0f x '<，当2,2m x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎭时，()0f x '>，()f x 在20,2m ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,2m ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上为单调递增，....11分 要使()f x 与()g x 具有相同的单调性，须02122m m >⎧⎪⎨=⎪⎩，解得12m =．存在常数12m =时，使()f x 与()g x 具有相同的单调性．....12分 17（1）直线l ：260x y --=，曲线2C ：3cos ()2sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数；（2）点P （1,23-）， 此时max |46|255d +==． 试题分析：（1）由公式cos sin xy ρθρθ=⎧⎨=⎩可化直线的极坐标方程为直角坐标方程，设曲线2C 点坐标为(,)x y 与之对应的曲线1C 上的点为11(,)x y ，则1132x x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得11,x y 代入曲线1C 的方程可得2C 方程；（2）由2C 参数方程要设设点P 的坐标(3cos ,2sin )θθ，由点P 到直线l 的距离公式求得距离d ，由两角和与差的正弦公式及正弦函数的性质可得最大值．试题解析：（1）由题意知，直线l 的直角坐标方程为：260x y --=，...2分 ∵曲线2C 的直角坐标方程为：22()()123x y+=，∴曲线2C 的参数方程为：3cos ()2sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数．....4分（2）设点P 的坐标(3cos ,2sin )θθ，....5分则点P 到直线l 的距离为：0|23cos 2sin 6||4sin(60)6|55d θθθ----==，...7分 ∴当sin （600－θ）=-1时，..8分 点P （1,23-），...9分 此时max |46|255d +==．....10分 考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，相关点法求轨迹方程，点到直线的距离公式．。