高三数学上学期第三次月考试题(扫描版)
高三数学上学期第三次月考试题 理含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校昌平区新学道临川2021届高三数学上学期第三次月考试题理〔含解析〕一.选择题(一共12小题) 1.复数z =2+i ，那么z z ⋅=C.3D.5【答案】D 【解析】 【分析】题先求得z ，然后根据复数的乘法运算法那么即得. 【详解】∵z2i,z z (2i)(2i)5=+⋅=+-=应选D.【点睛】此题主要考察复数的运算法那么，一共轭复数的定义等知识，属于根底题.. 2.以下函数中，在区间〔0，+∞〕上单调递增的是 A.12y x=B.y =2x -C.12log y x =D.1y x=【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合函数的解析式考察函数的单调性即可. 【详解】函数122,log x y y x -==，1y x=在区间(0,)+∞上单调递减， 函数12y x=在区间(0,)+∞上单调递增，应选A .【点睛】此题考察简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、根底知识的考察，蕴含数形结合思想，属于容易题.3.“十二平均律〞是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的开展做出了重要奉献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于假设第一个单音的频率为f ，那么第八个单音的频率为C.D.【答案】D 【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈，又1a f=，那么7781aa q f ===应选D.点睛：此题考察等比数列的实际应用，解决此题的关键是可以判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：〔1〕定义法，假设1n n a q a +=〔*0,q n N ≠∈〕或者1n n aq a -=〔*0,2,q n n N ≠≥∈〕，数列{}n a 是等比数列；〔2〕等比中项公式法，假设数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅〔*3,n n N ≥∈〕，那么数列{}n a 是等比数列.4.设,a b 均为单位向量，那么“33a b a b -=+〞是“a b ⊥〞的〔〕 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】分析：先对模平方，将33a b a b-=+等价转化为a b ⋅=0，再根据向量垂直时数量积为零得充要关系.详解：2222223333699+6a ba b a b a b a a b b a a b b -=+⇔-=+⇔-⋅+=⋅+，因为,a b 均为单位向量，所以2222699+6=0a a b b a a b b a b -⋅+=⋅+⇔⋅⇔a ⊥b ，即“33a b a b -=+〞是“a b ⊥〞的充分必要条件.选C.点睛：充分、必要条件的三种判断方法． 1．定义法：直接判断“假设p 那么q 〞、“假设q 那么p 〞的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q 〞为真，那么p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p3．集合法：假设A ⊆B ，那么A 是B 的充分条件或者B 是A 的必要条件；假设A ＝B ，那么A 是B 的充要条件． 5.定积分()1xx e +⎰的值是()A e B.12e +C.12e -D.1e +【答案】C 【解析】 【分析】根据微积分根本定理()()()()bb aaf x F x F b F a ==-⎰，可知()112012x x x e x e ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⎰求解，即可. 【详解】()11210001111110122222xx x e x e e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=⨯+-⨯+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰应选：C【点睛】此题考察微积分根本定理，属于较易题.6.七人并排站成一行，假设甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是() A.3600种 B.1440种 C.4820种 D.4800种【答案】A 【解析】 【分析】不相邻问题用插空法，先将除甲乙外的其他5人全排列，再将甲乙2人插入6个空中，即可. 【详解】第一步，先将除甲乙外的其他5人全排列，5554321120A =⨯⨯⨯⨯=种第二步，将甲乙2人插入6个空中，266530A =⨯=种那么不同的排法种数是5256120303600A A =⨯=种应选：A【点睛】此题考察排列问题，插空法是解决此题的关键.属于较易题. 7.()()52x y x y ++的展开式中33xy 的系数为〔〕A.10B.20C.、30D.40【答案】C 【解析】 【分析】把5()x y +按照二项式定理展开，可得5(2)()x y x y ++的展开式中33x y 的系数．【详解】解：()()()()505145555522++x y x y x y C x C x y C y ++++＝，故它的展开式中含33x y 的项有的3335C x y 和23352C x y故33xy 的系数为3255230C C +=， 应选：C ．【点睛】此题主要考察二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于根底题．8.将三枚骰子各掷一次，设事件A 为“三个点数都不一样〞，事件B 为“至少出现一个6点〞，那么概率(A |B)P 的值是〔〕A.6091B.12C.518D.91216【答案】A 【解析】考点：条件概率与HY 事件．分析：此题要求条件概率，根据要求的结果等于P 〔AB 〕÷P〔B 〕，需要先求出AB 同时发生的概率，除以B 发生的概率，根据等可能事件的概率公式做出要用的概率．代入算式得到结果． 解：∵P〔A|B 〕=P 〔AB 〕÷P〔B 〕， P 〔AB 〕=3606=60216P 〔B 〕=1-P 〔B 〕=1-3356=1-125216=91216∴P〔A/B 〕=P 〔AB 〕÷P〔B 〕=6021691216=6091 应选A ． 9.幂函数()()21m f x m m x =--在()0,∞+上是减函数，那么实数m =〔〕A.-1B.2C.-1或者2D.12【答案】A 【解析】 【分析】先由幂函数求出m 的值，再根据函数的单调性确定答案. 【详解】由于函数是幂函数， 所以211,2mm m --=∴=或者1m =-.当2m =时，()2f x x =在()0,∞+上不是减函数，所以舍去. 当1m =-时，()1f x x -=在()0,∞+上是减函数.应选A【点睛】此题主要考察幂函数的定义和性质，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度.10.将函数2sin(2)6y x π=+的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为〔〕A.π2sin(2)4y x =+B.2sin(2)3y x π=+C.2sin(2)4y x π=-D.2sin(2)3y x π=-【答案】D 【解析】 【详解】函数2sin(2)6y x π=+的周期为π，将函数2sin(2)6y x π=+的图象向右平移14个周期即4π个单位，所得图象对应的函数为2sin[2())]2sin(2)463y x x πππ=-+=-，应选D.【此处有视频，请去附件查看】 11.一元二次不等式()0f x <的解集为{|2x x <-或者3}x >，那么()100x f >的解集为〔〕.A.{|2x x <-或者lg3}x >B.{|2lg3}x x -<<C.{|lg3}x x > D.{|lg3}x x <【答案】D 【解析】 【分析】 根据不等式()0f x <的解集得出2103x -<<，求出解集即可．【详解】一元二次不等式()0f x <的解集为{|2x x <-或者3}x >，那么()0f x >的解集为{|23}x x -<<，那么(10)0xf >可化为2103x -<<； 解得lg3x <，所以所求不等式的解集为{|lg3}x x <．应选D ．【点睛】此题考察一元二次不等式的解法与应用问题，考察指数不等式的解法，是根底题． 12.函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，那么a =A.12-B.13C.12D.1【答案】C 【解析】函数()f x 的零点满足()2112e e x x xx a --+-=-+，设()11eex x gx --+=+，那么()()21111111e 1eeee ex x x x x x g x ---+----=-=-='， 当()0g x '=时，1x =；当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当1x =时，函数()g x 获得最小值，为()12g =.设()22hx x x =-，当1x =时，函数()h x 获得最小值，为1-，假设0a ->，函数()hx 与函数()ag x -没有交点；假设0a -<，当()()11agh -=时，函数()h x 和()ag x -有一个交点，即21a -⨯=-，解得12a=.应选C. 【名师点睛】利用函数零点的情况求参数的值或者取值范围的方法： 〔1〕利用零点存在性定理构建不等式求解. 〔2〕别离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.〔3〕转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 二.填空题(一共4小题)13.向量a =〔－4，3〕，b =〔6，m 〕，且a b ⊥，那么m =__________. 【答案】8. 【解析】 【分析】利用a b ⊥转化得到0a b •=加以计算，得到m . 【详解】向量4,36,ab m a b =-=⊥（），（），，那么•046308a b m m =-⨯+==，，.【点睛】此题考察平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题. 14.设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，那么{}n a 的通项公式为_____.【答案】63n a n =-【解析】 【分析】 设等差数列{}n a 的公差为d ，()31n a n d =+-，根据2536a a +=列方程求解公差d ，即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，()31n a n d =+-()()253346536a a d d d +=+++=+=，解得6d =.所以()31663na n n =+-⨯=-故答案为：63na n =-【点睛】此题考察等差数列通项公式，属于较易题.15.倾斜角为3π且过点的直线方程为______．【答案】2y =-.【解析】 【分析】直接根据直线方程点斜式写出直线方程，化简后得到所求的结果.【详解】依题意得(π1tan3y x -=，化简得2y =-.【点睛】本小题主要考察直线方程点斜式，考察倾斜角和斜率的对应关系，属于根底题. 16.21()2(2019)2019ln 2f x x xf x =++'，那么(1)f '=_______. 【答案】2020- 【解析】 【分析】先对函数求导，然后求出(2019)f '，进而求出答案．【详解】由题可得()2019()2(2019)0f x x f x x'=++>'， 令2019x =，那么2019(2019)20192(2019)2019f f '+'=+，解得(2019)2020f '=-，所以()2019()40400f x x x x '=-+>，那么2019(1)1404020201f '=-+=-【点睛】此题考察导函数，解题的关键是先求出(2019)f '，属于一般题．三.解答题(一共6小题)17.函数f 〔x 〕=2sinωxcosωx+cos2ωx〔ω>0〕的最小正周期为π. 〔Ⅰ〕求ω的值；〔Ⅱ〕求f 〔x 〕的单调递增区间.【答案】〔Ⅰ〕1ω=〔Ⅱ〕3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦〔k ∈Z 〕． 【解析】试题分析：〔Ⅰ〕运用两角和的正弦公式对f 〔x 〕化简整理，由周期公式求ω的值； 〔Ⅱ〕根据函数y=sinx 的单调递增区间对应求解即可. 试题解析：〔Ⅰ〕因为()2sin cos cos2f x x x x ωωω=+24x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期22ππωωT ==．依题意，ππω=，解得1ω=．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．函数sin y x =的单调递增区间为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦〔k ∈Z 〕．由222242k x k πππππ-≤+≤+，得388k x k ππππ-≤≤+． 所以()f x 的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦〔k ∈Z 〕． 【考点】两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性.【名师点睛】三角函数的单调性：1.三角函数单调区间确实定，一般先将函数式化为根本三角函数HY 式，然后通过同解变形或者利用数形结合方法求解．关于复合函数的单调性的求法；2.利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内，不属于的，可先化至同一单调区间内．假设不是同名三角函数，那么应考虑化为同名三角函数或者用差值法〔例如与0比较，与1比较等〕求解．【此处有视频，请去附件查看】 18.数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，()()211,2,n n n S nS n n n n N *--=+-≥∈. (1)求数列{}n a 的前n 项和为n S ；(2)令2nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)22n S n n =+(2)()15252nn T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】 (1)将()()211,2,n n n S nS n n n n N *--=+-≥∈变形整理为()11,2,1n n S S n n N n n *--=≥∈-，那么数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭符合等差数列定义，首项1131S a ==，公差1d =，求解数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，即可.(2)先根据(1)中的n S ，求出n a ，从而确定n b ，再根据错位相减法求解n T ，即可. 【详解】(1)()()211,2,n n n S nS n n n n N *--=+-≥∈即()11,2,1n n S S n n N n n *--=≥∈- ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1131S a ==，公差为1d =的等差数列.那么()()3112,nS n n n N n=+-⨯=+∈*，即22n S n n =+ (2)由(1)可知22n S n n =+. 当1n =时，113a S ==当2n ≥时，()()()221212121n n n n n n S n a n S -=-⎡⎤+--+-=+⎣⎦=当1n =时，12113a =⨯+=成立.所以21n a n =+，那么()12122nn n n a b n ⎛⎫==+⨯ ⎪⎝⎭ ()()123111111357212122222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭①()()23411111113572121222222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②①-②得即()15252nn T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【点睛】此题考察定义法求数列的通项公式，以及错位相减法求前n 项和，属于中档题. 19.如图，在三棱柱ABC −111A B C 中，1CC ⊥平面ABC ，D ，E ，F ，G 分别为1AA ，AC ，11A C ，1BB 的中点，AB=BC AC =1AA =2．〔1〕求证：AC ⊥平面BEF ； 〔2〕求二面角B −CD −C 1的余弦值； 〔3〕证明：直线FG 与平面BCD 相交．【答案】(1)见解析〔2〕；〔3〕见解析． 【解析】【详解】分析：〔1〕由等腰三角形性质得AC BE ⊥，由线面垂直性质得1AC CC ⊥,由三棱柱性质可得1//EF CC ，因此EF AC ⊥，最后根据线面垂直断定定理得结论，〔2〕根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解得平面BCD 一个法向量，根据向量数量积求得两法向量夹角，再根据二面角与法向量夹角相等或者互补关系求结果，〔3〕根据平面BCD 一个法向量与直线F G 方向向量数量积不为零，可得结论.详解：〔Ⅰ〕在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中， ∵CC 1⊥平面ABC ， ∴四边形A 1ACC 1为矩形． 又E ，F 分别为AC ，A 1C 1的中点， ∴AC ⊥EF ． ∵AB =BC ． ∴AC ⊥BE ，∴AC ⊥平面BEF ．〔Ⅱ〕由〔I 〕知AC ⊥EF ，AC ⊥BE ，EF ∥CC 1． 又CC 1⊥平面ABC ，∴EF ⊥平面ABC ． ∵BE ⊂平面ABC ，∴EF ⊥BE ． 如图建立空间直角坐称系E -xyz ．由题意得B 〔0，2，0〕，C 〔-1，0，0〕，D 〔1，0，1〕，F 〔0，0，2〕，G 〔0，2，1〕． ∴()()=201=120CD CB ，，，，，， 设平面BCD 的法向量为()n a b c =，，， ∴00n CD n CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，∴2020a c ab +=⎧⎨+=⎩，令a =2，那么b =-1，c =-4， ∴平面BCD 的法向量()214n ，，=--， 又∵平面CDC 1的法向量为()=020EB ，，， ∴21cos =21n EB n EB n EB⋅⋅=-由图可得二面角B -CD -C 1为钝角，所以二面角B -CD -C 1的余弦值为21-． 〔Ⅲ〕平面BCD 的法向量为()214n =--，，，∵G 〔0，2，1〕，F 〔0，0，2〕， ∴()=021GF -，，，∴2n GF ⋅=-，∴n 与GF 不垂直， ∴GF 与平面BCD 不平行且不在平面BCD 内，∴GF 与平面BCD 相交． 点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.20.数学竞赛培训一共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步一共四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，那么能获得参加数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格互相HY ，其合格的概率均一样，〔见下表〕，且每一门课程是否合格互相HY ，课程初等代数初等几何初等数论微积分初步合格的概率34232312〔1〕求甲同学获得参加数学竞赛复赛的资格的概率； 〔2〕记表示三位同学中获得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求ξ的分布列及期望．【答案】(1)512;(2)见解析. 【解析】 【分析】(1)先将合格事件标记，然后根据题目给出的条件求出复赛的资格的概率. (2)直接根据离散型随机变量的概率计算方法解答. 【详解】〔1〕分别记甲对这四门课程考试合格为事件,,,A B C D ,那么“甲能修得该课程学分〞的概率为()()()P ABCD P ABCD P ABCD ++,事件,,,A B C D 互相HY ，3221322132115()()()43324332433212P ABCD P ABCD P ABCD ++=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=. (2)0337(0)()12P C ξ==，12357(1)()()1212P C ξ==，22357(2)()()1212P C ξ==,3335(3)()12P C ξ==因此，ξ的分布列如下：因为ξ～53,12B ⎛⎫⎪⎝⎭所以553.124E ξ=⨯= 考点：1.离散型随机变量的分布列；2.数学期望；3.互相HY 事件的概率.21.椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A . 〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程； 〔Ⅱ〕设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，假设|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点.【答案】〔Ⅰ〕2212x y +=；〔Ⅱ〕见解析. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意确定a ,b 的值即可确定椭圆方程；(Ⅱ)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM ,ON 的表达式，结合韦达定理确定t 的值即可证明直线恒过定点.【详解】〔Ⅰ〕因为椭圆的右焦点为(1,0)，所以1225； 因为椭圆经过点(0,1)A ,所以1b =，所以2222a b c =+=，故椭圆的方程为2212x y +=.〔Ⅱ〕设1122(,),(,)P x y Q x y联立2212(1)x y y kx t t ⎧+=⎪⎨⎪=+≠⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=， 21212224220,,1212kt t x x x x k k -∆>+=-=++，121222()212t y y k x x t k +=++=+，222212121222()12t k y y k x x kt x x t k-=+++=+. 直线111:1y AP y x x --=，令0y =得111x x y -=-，即111x OM y -=-；同理可得221x ON y -=-. 因为2OM ON =,所以1212121212211()1x x x x y y y y y y --==---++；221121t t t -=-+，解之得0t =，所以直线方程为y kx =，所以直线l 恒过定点(0,0). 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算才能，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 22.函数()()ln 1af x x x a a R x=+-+-∈. 〔1〕求函数()f x 的单调区间；〔2〕假设存在1x >，使()1xf x x x-+<成立，求整数a 的最小值. 【答案】〔1〕见解析〔2〕5. 【解析】试题分析：(1)求导，分类讨论110044a a a ≤<<≥、、时三种情况的单调性(2)别离含参量ln 211x x x a x +->-，构造新函数，()ln 211x x x g x x +-=-，求导算出零点的范围，从而求出结果解析：〔1〕由题意可知，0x >，()22211a x x af x x x x-+='-=--， 方程20x x a -+-=对应的14a ∆=-，当140a ∆=-≤，即14a ≥时，当()0,x ∈+∞时，()0f x '≤， ∴()f x 在()0,+∞上单调递减；当104a<<时，方程20x x a -+-=，且0<<，此时，()f x 在上()0f x '>，函数()f x 单调递增，在11022⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭（，），上()0f x '<，函数()f x 单调递减；当0a ≤时，102<，102>，此时当(),0x f x ⎛∈> ⎝'⎭，()f x 单调递增，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；综上：当0a ≤时，10,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，()f x 单调递增，当12x ⎛⎫+∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减；当104a <<时，()f x 在上单调递增，在11022⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭（，），上单调递减； 当14a≥时，()f x 在()0,+∞上单调递减； 〔2〕原式等价于()1ln 21x a x x x ->+-，即存在1x >，使ln 211x x x ax +->-成立．设()ln 211x x x g x x +-=-，1x >，那么()()2ln 2'1x x g x x --=-，设()ln 2hx x x =--，那么()1110x h x x x='-=->，∴()h x 在()1,+∞上单调递增． 又()()33ln321ln30,44ln4222ln20hh =--=-=--=-，根据零点存在性定理，可知()h x 在()1,+∞上有唯一零点，设该零点为0x ，那么()03,4x ∈，且()000ln 20h x x x =--=，即002ln x x -=，∴()0000min 0ln 2111x x x gx x x +-==+-由题意可知01ax >+，又()03,4x ∈，a Z ∈，∴a 的最小值为5.点睛：此题考察了运用导数求函数的单调性，在求解过程中结合判别式和定义域需要进展分类讨论，在求解含有参量的恒成立问题时，可以采用别离参量的方法，不过需要注意用零点的存在定理进展判断零点范围，然后得出结果．。
2021-2022年高三上学期第三次月考数学试题
2021年高三上学期第三次月考数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合2{5,log (3)},{,},A a B a b =+=集合若AB={2},则b-a=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42.“”是方程表示椭圆的（ ）A. 充分必要条件B. 充分但不必要条件C. 必要但不充分条件D. 既不充分也不必要条件3.项数大于3的等差数列中，各项均不为零，公差为1，且则其通项公式为（ ）A ．n-3B ．nC ．n+1D ．2n-34.要得到函数的图象，只需将函数的图象 （ ）A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向右平移个单位5.已知两个单位向量的夹角为，则下列结论不正确．．．的是（ ） A ．方向上的投影为 B ．C ．D ．6.满足条件的点构成的区域的面积为（ ）A ．B ．1C ．D ．7.已知是定义在R 上的函数，对任意都有，若函数的图象关于直线对称，且，则等于（ ）A.2B.3C.-2D.-38.在平面直角坐标系中，定义为点到点的一个变换——“一中变换”．已知1222111(01)()()()n n n n n n P P x y P x y P x y +++，，，，，，，，是经过“一中变换”得到的一列点，设，数列{a n }的前n 项和为S n ，那么S 10的值为（ ）A ．B ．C ．D ．9.设函数，曲线处的切线方程为，则曲线处的切线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．10.若长度为定值的线段AB 的两端点分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上移动，O 为坐标原点，则的重心、内心、外心、垂心的轨迹不可能是 （ ）A ．点B ．线段C ．圆弧D ．抛物线的一部分第Ⅱ卷 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上11.函数的零点有 个12.在中，三内角所对边的长分别为，已知，不等式 的解集为，则 ．13.已知取最大值时，a 的最小值为 。
高三(上)第三次月考数学试卷(附答案)
***学校高三（上期）第三次月考数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）)1. 已知全集U=R，集合A={x||x−1|<1}，B={x|2x−5x−1≥1}，则A∩∁U B=( )A.{x|1<x<2}B.{x|1<x≤2}C.{x|1≤x<2}D.{x|1≤x<4}2. 设m∈R，则“m＝−3”是“直线l1:mx+3y＝2−m与l2:x+(m+2)y＝1平行”的（）A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件3. 函数f(x)=e x+1x3(e x−1)（其中e为自然对数的底数）的图象大致为（）A. B.C. D.4. 已知棱长为的正方体ABCD−A1B1C1D1的一个面A1B1C1D1在半球底面上，四个顶点A，B，C，D都在半球面上，则半球体积为（）A.4B.2C.D.5. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2acos A =3c−2bcos B，且b=√5sin B，则a＝（）A.5 3B.23C.35D.2√536. 已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x∈[0, +∞)时，f(x)+xf′(x)>0，若a ＝0.76f(0.76)，b＝(log0.76)f(log0.76)，c＝60.6⋅f(60.6)，则a，b，c的大小关系是（）A.c>a>bB.a>c>bC.b>a>cD.a>b>c7. 设F1，F2分别是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|BF1|，若cos∠AF2B=35，则椭圆E的离心率为（）A.1 2B.23C.√32D.√228. 已知函数f(x)＝cos(2x−）+2sin(x−）sin(x+）(x∈R)．给出下面四个结论：①f(x)是最小正周期为π的奇函数；②f(x)图象的一条对称轴是；③f(x)图象的一个对称中心是；④f(x)的单调递增区间为．其中正确的结论是（）A.①③B.②③C.②③④D.①②③9. 已知函数f(x)={x2+4a,x>01+log a|x−1|,x≤0(a>0，且a≠1)在R上单调递增，且关于x的方程|f(x)|＝x+3恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A.(34, 1316] B.(0, 34]∪{1316}C.[14, 34)∪{1316} D.[14, 34]∪{1316}二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）)10. 若，则z的共轭复数为________．11. 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．12. 已知圆C的圆心在直线x+y＝0上，圆C与直线x−y＝0相切，且在直线x−y−3＝0上截得的弦长为√6，则圆C的方程为________．13. 已知a∈R，设函数f(x)＝，若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立，则a的取值范围为________．14. 在直角三角形ABC中，∠ACB＝90∘，AC＝4，＝2，＝3，则＝________．15. 已知正数x，y满足x2y+4xy2+6xy＝x+4y，则xyx+4y 的最大值为________18．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）)16. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin B2=√66，b sin A=√6a sin C，c=1．（1）求a的值和△ABC的面积；（2）求sin(2A+π3)的值．17. 在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB // DC，AB⊥AD，DC＝AD＝1，AB＝2，∠PAD＝45∘，E是PA的中点，F在线段AB上，且满足＝0．(Ⅰ)求证：DE // 平面PBC；(Ⅱ)求二面角F−PC−B的余弦值；(Ⅲ)在线段PA上是否存在点Q，使得FQ与平面PFC所成角的余弦值是，若存在，求出AQ的长；若不存在，请说明理由．18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长是2．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设椭圆C的下顶点为D，过点D作两条互相垂直的直线l1，l2，这两条直线与椭圆C的另一个交点分别为M，N．设l1的斜率为k(k≠0)，△DMN的面积为S，当时，求k的取值范围．19. 已知等比数列{a n}的公比q>0，且满足a1+a2＝6a3，a4＝4a32，数列{b n}的前n项和S n＝，n∈N∗．(Ⅰ)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(Ⅱ)设c n＝，求数列{c n}的前2n项和T2n．20. 已知f(x)＝x2−4x−6ln x．(Ⅰ)求f(x)在（1, f(1)）处的切线方程以及f(x)的单调性；(Ⅱ)对∀x∈(1, +∞)，有xf′(x)−f(x)>x2+6k(1−）−12恒成立，求k的最大整数解；(Ⅲ)令g(x)＝f(x)+4x−(a−6)ln x，若g(x)有两个零点分别为x1，x2(x1<x2)且x0为g(x)的唯一的极值点，求证：x1+3x2>4x0．参考答案与试题解析**8学校高三（上）第三次月考数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】可解出集合A，B，然后进行补集、交集的运算即可．【解答】解：A={x|0<x<2}，B={x|x<1或x≥4}；∴∁U B={x|1≤x<4}，∴A∩∁U B={x|1≤x<2}．故选C.2.【答案】C【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】由直线l1:mx+3y＝2−m与l2:x+(m+2)y＝1平行，可得且，解出即可判断出．【解答】直线l1:mx+3y＝2−m与l2:x+(m+2)y＝1平行，则且，解得m＝−3，因此“m＝−3”是“直线l1:mx+3y＝2−m与l2:x+(m+2)y＝1”平行的充要条件．3.【答案】D【考点】函数的图象与图象的变换【解析】由函数为偶函数，排除AC；由x→+∞时，f(x)→0，排除B，由此得到答案．【解答】f(−x)=e−x+1(−x)3(e−x−1)=−1+e xx3(1−e x)=e x+1x3(e x−1)=f(x)，故函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除A，C；当x→+∞时，x3(e x−1)>>e x+1，f(x)→0，故排除B．4.【答案】B【考点】柱体、锥体、台体的体积计算球的表面积和体积棱柱的结构特征【解析】先求正方体的底面对角线的长，再求球的半径，然后求半球的体积．【解答】正方体的顶点A、B、C、D在半球的底面内，顶点A1、B1、C1、D1在半球球面上，底面ABCD的中心到上底面顶点的距离就是球的半径＝，半球的体积：×π×（）3＝2π．5.【答案】A【考点】正弦定理【解析】由正弦定理及两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理可得3sin C cos A＝2sin C，结合sin C≠0，可得cos A，利用同角三角函数基本关系式可求sin A，由正弦定理可求a的值．【解答】∵2acos A =3c−2bcos B，可得：2a cos B＝3c cos A−2b cos A，∴由正弦定理可得：2sin A cos B＝3sin C cos A−2sin B cos A，可得3sin C cos A＝2(sin A cos B+ sin B cos A)＝2sin C，∵sin C≠0，可得：cos A=23，∴sin A=√1−cos2A=√53，又∵b=√5sin B，∴由正弦定理asin A =bsin B，可得：√53=bsin B=√5，可得：a=53．6.【答案】A【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】D【考点】椭圆的离心率椭圆的定义余弦定理【解析】设|F1B|＝k(k>0)，则|AF1|＝3k，|AB|＝4k，由cos∠AF2B=35，利用余弦定理，可得a＝3k，从而△AF1F2是等腰直角三角形，即可求椭圆E的离心率．【解答】设|F1B|＝k(k>0)，则|AF1|＝3k，|AB|＝4k，∴|AF2|＝2a−3k，|BF2|＝2a−k∵cos∠AF2B=35，在△ABF2中，由余弦定理得，|AB|2＝|AF2|2+|BF2|2−2|AF2|⋅|BF2|cos∠AF2B，∴(4k)2＝(2a−3k)2+(2a−k)2−65(2a−3k)(2a−k)，化简可得(a+k)(a−3k)＝0，而a+k>0，故a＝3k，∴|AF2|＝|AF1|＝3k，|BF2|＝5k，∴|BF2|2＝|AF2|2+|AB|2，∴AF1⊥AF2，∴△AF1F2是等腰直角三角形，∴c=√22a，∴椭圆的离心率e=ca =√22，8.【答案】B【考点】命题的真假判断与应用三角函数中的恒等变换应用【解析】本题考查两角和与差的三角函数及辅助角公式，同时考查函数y＝A sin(ωx+φ)的图象与性质，利用两角和与差的三角函数及辅助角公式化简f(x)，然后由正弦函数的性质，逐一分析求解即可．【解答】∵＝，∴f(x)不是奇函数，故①不正确．∵，∴直线是f(x)图象的一条对称轴，故②正确．∵，∴点是f(x)图象的一个对称中心，故③正确，令，可得，所以f(x)的单调递增区间为，故④不正确．所以正确的结论为②③．9.【答案】D【考点】分段函数的应用【解析】由题意可知f(x)在两段上均为增函数，且f(x)在(0, +∞)上的最小值大于或等于f(0)，作出|f(x)|和y＝x+3的图象，根据交点个数判断4a与3的大小关系，以及直线和抛物线相切的条件，列出不等式组解出．【解答】由1+loga |x−1|＝0，解得x＝1−1a≤−3，即x≤0时，有且只有一解．则a的范围是[14, 34]∪{1316}．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10.【答案】1−3i【考点】复数的运算【解析】利用复数的运算法则求出z，由此能求出z的共轭复数．【解答】＝，∴z的共轭复数为1−3i．11.【答案】43【考点】柱体、锥体、台体的体积计算由三视图求外接球问题【解析】本题主要考查空间几何的体积．【解答】解：正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正八面体的所有棱长都是√2，则该正八面体的体积为1 3×(√2)2×2=43．故答案为：43．12.【答案】(x−1)2+(y+1)2＝2【考点】直线与圆的位置关系【解析】设圆心为C(a, b)，半径为r，由题意可得关于a，b，r的方程组，求解可得a，b，r的值，则圆的方程可求．【解答】设圆心为C(a, b)，半径为r，由题意可得，{a+b=0 r=√2(√2)2+(√62)2=r2，解得{a=1b=−1r=√2．∴圆C的方程为(x−1)2+(y+1)2＝2．13.[0, 2e]【考点】函数恒成立问题分段函数的应用【解析】按照x≤1与x>1分类讨论，分别分离变量、求最值即可．【解答】当x<1时，f(x)≥0化为恒成立，，∵x<1，∴x−1<0，∴，∴，当且仅当即x＝0时取等号．∴a≥0(1)当x>1时，f(x)≥0化为恒成立．设，，∴当∈(1, e)时，，g(x)单调递减，当∈(e, +∞)时，，g(x)单调递增，∴g(x)≥g(e)＝e+e＝2e，∴a≤2e．综上，a∈[0, 2e]．故答案为[0, 2e]．14.【答案】【考点】数量积表示两个向量的夹角如图所示，设B(0, a)，利用向量的线性运算和数量积运算即可得出．【解答】建立如图所示的坐标系，则由题意可得A(4, 0)，C(0, 0)，设B(0, a)．又∵＝2，∴＝（，）；∵＝3，∴＝+＝+•＝(−2，），∴则＝4×−2×4＝，15.【答案】18【考点】基本不等式及其应用【解析】令x+4y＝t，则由条件可得xyx+4y =1t+6，然后根据条件出t的范围，进一步求出xyx+4y的最大值．【解答】∵正数x，y满足x2y+4xy2+6xy＝x+4y，∴xy(x+4y+6)＝x+4y，∴xy=x+4yx+4y+6．令x+4y＝t，则xy=tt+6且t>0，∵x+4y≥2√4xy=4√xy，当且仅当x＝4y时取等号，∴t≥4√tt+6，即t2+6t−16≥0，∴t≥2或t≤−8（舍），∴xyx+4y =1t+6≤18，∴xyx+4y 的最大值为18．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16.【答案】解：(1)△ABC中，sin B2=√66，∴cos B2=√1−sin2B2=√306，∴sin B=2sin B2cos B2=√53，cos B=1−2sin2B2=23，∴B为锐角．∵b sin A=√6a sin C，利用正弦定理可得sin B sin A=√6sin A sin C，∴sin C=√6=√3018<sin B，故C为锐角，cos C=√1−sin2C=7√618，∴sin A=sin(B+C)=sin B cos C+cos B sin C=√53×7√618+23×√3018=√306．再根据c=1，利用正弦定理asin A =csin C，可得√306=√3018，求得a=3，故△ABC的面积为S=12ac⋅sin B=12×3×1×√53=√52．（2）∵cos A=−cos(B+C)=sin B sin C−cos B cos C=√53×√3018−23×7√618=−√66，∴sin A=√1−cos2A=√306，cos2A=1−2sin2A=1−2×3036=−23，∴sin(2A+π3)=sin2A cosπ3+cos2A sinπ3=√306×12−23×√32=√30−4√312．【考点】求两角和与差的正弦两角和与差的余弦公式【解析】（1）△ABC中，由条件利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式求得sin B、cos B的值，再利用正弦定理求得sin C的值，可得cos C的值，可得sin A=sin(B+C)的值，再利用正弦定理求得a的值．（2）求得cos A=−cos(B+C)的值，可得sin A的值，求得sin2A、cos2A的值，再利用两角和的正弦公式求得sin(2A+π3)的值．【解答】解：(1)△ABC中，sin B2=√66，∴cos B2=√1−sin2B2=√306，∴sin B=2sin B2cos B2=√53，cos B=1−2sin2B2=23，∴B为锐角．∵b sin A=√6a sin C，利用正弦定理可得sin B sin A=√6sin A sin C，∴sin C=√6=√3018<sin B，故C为锐角，cos C=√1−sin2C=7√618，∴sin A=sin(B+C)=sin B cos C+cos B sin C=√53×7√618+23×√3018=√306．再根据c=1，利用正弦定理asin A =csin C，可得√306=√3018，求得a=3，故△ABC的面积为S=12ac⋅sin B=12×3×1×√53=√52．（2）∵cos A=−cos(B+C)=sin B sin C−cos B cos C=√53×√3018−23×7√618=−√66，∴sin A=√1−cos2A=√306，cos2A=1−2sin2A=1−2×3036=−23，∴sin(2A+π3)=sin2A cosπ3+cos2A sinπ3=√306×12−23×√32=√30−4√312．17.【答案】证明：(Ⅰ)证法一：取PB的中点M，AB的中点N，连结EM，CM，∵在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB // DC，AB⊥AD，DC＝AD＝1，AB＝2，∠PAD＝45∘，E是PA的中点，F在线段AB上，∴CD // AB，且CD＝，EM // AB，且EM＝，∴EM // CD，且EM＝CD，四边形CDEM为平行四边形，∴DE // CM，∵CM⊂平面PBC，DE⊄平面PBC，∴DE // 平面PBC．（1）证法二：由题意得DA、DC、DP两两垂直，如图，以D为原点，DA、DC、DP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A(1, 0, 0)，B(1, 2, 0)，C(0, 1, 0)，P(0, 0, 1)，E（），＝(−1, −1, 0)，＝(0, −1, 1)，设平面PBC的法向量为＝(x, y, z)，则，取y＝1，得＝(−1, 1, 1)，又＝（），∴＝0．又DE⊄平面PBC，∴DE // 平面PBC．（2）设点F(1, t, 0)，则＝(1, t−1, 0)，＝(1, 2, 0)，∵＝0，∴＝1+2(t−1)＝0．解得t＝，∴F(1，，0)，，＝(0, 1, −1)，设平面FPC的法向量＝(x, y, z)，由，得，取x＝1，得＝(1, 2, 2)，设二面角F−PC−B的平面角为θ，则cosθ＝＝，∴二面角F−PC−B的余弦值为．(Ⅲ)设＝＝(−λ, 0, λ)，λ∈[0, 1]，∴＝，∴＝λ−1，∴cos<>＝＝，∵FQ与平面PFC所成角的余弦值是，∴其正弦值为，∴||＝，解得，或（舍），∴在线段PA上是否存在点Q，使得FQ与平面PFC所成角的余弦值是，＝（-），|AQ|＝．【考点】二面角的平面角及求法直线与平面平行【解析】(Ⅰ)证法一：取PB的中点M，AB的中点N，连结EM，CM推导出四边形CDEM为平行四边形，从而DE // CM，由此能证明DE // 平面PBC．证法二：由题意得DA、DC、DP两两垂直，以D为原点，DA、DC、DP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DE // 平面PBC．(Ⅱ)设点F(1, t, 0)，求出平面FPC和平面PCB的法向量，利用向量法能求出二面角F−PC−B的余弦值．(Ⅲ)设＝＝(−λ, 0, λ)，λ∈[0, 1]，利用向量法能求出在线段PA上是否存在点Q，使得FQ与平面PFC所成角的余弦值是，|AQ|＝．【解答】证明：(Ⅰ)证法一：取PB的中点M，AB的中点N，连结EM，CM，∵在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB // DC，AB⊥AD，DC＝AD＝1，AB＝2，∠PAD＝45∘，E是PA的中点，F在线段AB上，∴CD // AB，且CD＝，EM // AB，且EM＝，∴EM // CD，且EM＝CD，四边形CDEM为平行四边形，∴DE // CM，∵CM⊂平面PBC，DE⊄平面PBC，∴DE // 平面PBC．（1）证法二：由题意得DA、DC、DP两两垂直，如图，以D为原点，DA、DC、DP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A(1, 0, 0)，B(1, 2, 0)，C(0, 1, 0)，P(0, 0, 1)，E（），＝(−1, −1, 0)，＝(0, −1, 1)，设平面PBC的法向量为＝(x, y, z)，则，取y＝1，得＝(−1, 1, 1)，又＝（），∴＝0．又DE⊄平面PBC，∴DE // 平面PBC．（2）设点F(1, t, 0)，则＝(1, t−1, 0)，＝(1, 2, 0)，∵＝0，∴＝1+2(t−1)＝0．解得t＝，∴F(1，，0)，，＝(0, 1, −1)，设平面FPC的法向量＝(x, y, z)，由，得，取x＝1，得＝(1, 2, 2)，设二面角F−PC−B的平面角为θ，则cosθ＝＝，∴二面角F−PC−B的余弦值为．(Ⅲ)设＝＝(−λ, 0, λ)，λ∈[0, 1]，∴＝，∴＝λ−1，∴cos<>＝＝，∵FQ与平面PFC所成角的余弦值是，∴其正弦值为，∴||＝，解得，或（舍），∴在线段PA上是否存在点Q，使得FQ与平面PFC所成角的余弦值是，＝（-），|AQ|＝．18.【答案】（1）设椭圆C的半焦距为c，则由题意得，又a2＝b2+c2，联立解得a＝2，b＝1．∴椭圆方程为+y2＝1，（2）由(Ⅰ)知，椭圆C的方程为+y2＝1，所以椭圆C与y轴负半轴交点为D(0, −1)．因为l1的斜率存在，所以设l1的方程为y＝kx−1，代入+y2＝1，得M（，），从而DM＝＝．用-代k得DN＝，所以△DMN的面积S＝•×＝．则＝，因为，即>，整理得4k4−k2−14<0，解得-<k2<2所以0<k2<2，即-<k<0或0<k<．从而k的取值范围为（-，0)∪(0，）．【考点】椭圆的标准方程椭圆的应用直线与椭圆的位置关系【解析】(Ⅰ)根据椭圆C的离心率为，短轴长是2，结合a2＝b2+c2，即可求出a，b的值；(Ⅱ)设l1的方程为y＝kx−1，代入入+y2＝1，求出M的坐标，可得DM，用-代k得DN＝，求出△DMN的面积，＝，可得>，从而可求k的取值范围．【解答】（1）设椭圆C的半焦距为c，则由题意得，又a2＝b2+c2，联立解得a＝2，b＝1．∴椭圆方程为+y2＝1，（2）由(Ⅰ)知，椭圆C的方程为+y2＝1，所以椭圆C与y轴负半轴交点为D(0, −1)．因为l1的斜率存在，所以设l1的方程为y＝kx−1，代入+y2＝1，得M（，），从而DM＝＝．用-代k得DN＝，所以△DMN的面积S＝•×＝．则＝，因为，即>，整理得4k4−k2−14<0，解得-<k2<2所以0<k2<2，即-<k<0或0<k<．从而k的取值范围为（-，0)∪(0，）．19.【答案】（1）依题意，由a1+a2＝8a3，a4＝2a32，可得，解得q＝，a1＝，∴a n＝•（）n−1＝（）n，n∈N∗，对于数列{b n}：当n＝1时，b3＝S1＝1，当n≥7时，b n＝S n−S n−1＝-＝n，∵当n＝6时，b1＝1也满足上式，∴b n＝n，n∈N∗．（2）由题意及(Ⅰ)，可知当n为奇数时，c n＝•a n+7＝×（）n+3＝-，当n为偶数时，c n＝a n⋅b n＝n⋅（）n，令A＝c5+c3+...+c2n−2，B＝c2+c4+...+c8n，则A＝c1+c3+...+c4n−1＝-+-+…+-＝-＝-，B＝c6+c4+c6+...+c2n＝2⋅（）2+4⋅（）4+2⋅（）8+...+2n⋅（）2n，∴（）2B＝2⋅（）4+2⋅（）2+...+(2n−2)⋅（）2n+7n⋅（）7n+2，两式相减，可得B＝2⋅（）2+2⋅（）4+3⋅（）2+...+2⋅（）2n−2n⋅（）2n+6，＝（）3+（）7+（）5+...+（）3n−1−2n⋅（）2n+2，＝−2n⋅（）2n+7，＝−(n+）•（）2n+2+，∴B＝-•（）2n−6+，∴T8n＝c1+c2+...+c5n＝(c1+c3+...+c8n−1)+(c2+c3+c6+...+c2n)＝A+B＝--•（）2n−1+＝-（+）2n−2．【考点】数列递推式数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答20.【答案】（1）f(x)＝x2−4x−6ln x的导数为f′(x)＝2x−4−，可得f′(1)＝−8，f(1)＝−3，所以f(x)在（1, f(1)）处的切线方程为y+3＝−8(x−1)即y＝−8x+5；由f′(x)＝(x+1)(x−3)，由f′(x)>0，可得x>3；由f′(x)<0，可得0<x<3，所以f(x)的单调递减区间为(0, 3)，单调递增区间为(3, +∞)；（2）xf′(x)−f(x)>x2+6k(1−）−12等价于k<（）min，可令ℎ(x)＝，ℎ′(x)＝，记m(x)＝x−2−ln x，m′(x)＝1−>0，所以m(x)为(1, +∞)上的递增函数，且m(3)＝1−ln3<0，m(4)＝2−ln4>0，所以∃x0∈(3, 4)，m(x0)＝0，即x0−2−ln x0＝0，所以ℎ(x)在(1, x0)上递减，在(x0, +∞)上递增，且ℎ(x)min＝ℎ(x0)＝＝x0∈(3, 4)，所以k的最大整数解为3；(Ⅲ)证明：g(x)＝x2−a ln x，g′(x)＝2x−＝＝0，可得x0＝，当x∈(0，），g′(x)<0，x∈（，+∞)，g′(x)>0，所以g(x)在(0，）上单调递减，（，+∞)上单调递增，而要使g(x)有两个零点，要满足g(x0)<0，即g（）＝（）2−a ln<0可得a>2e，因为0<x1<，x2>，令＝t(t>1)，由f(x1)＝f(x2)⇒x12−a ln x1＝x22−a ln x2，即x12−a ln x1＝t2x12−a ln tx1⇒x12＝，而x1+3x2>4x0⇔(3t+1)x1>2⇔(3t+1)2x12>8a，即(3t+1)2•>8a，由a>0，t>1，只需证(3t+1)2ln t−8t2+8>0，令ℎ(t)＝(3t+1)2ln t−8t2+8，则ℎ′(t)＝(18t+6)ln t−7t+6+，令n(t)＝(18t+6)ln t−7t+6+，则n′(t)＝18ln t+11+>0(t>1)，故n(t)在(1, +∞)上递增，n(t)>n(1)＝0；故ℎ(t)在(1, +∞)上递增，ℎ(t)>ℎ(1)＝0；∴x1+3x2>4x0．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性【解析】(Ⅰ)求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意定义域；(Ⅱ)xf′(x)−f(x)>x2+6k(1−）−12等价于k<（）min，可令ℎ(x)＝，求得导数，再构造函数，求得导数，判断单调性可得ℎ(x)的单调性，以及最小值，即可得到所求k的最大整数解；(Ⅲ)求得g(x)的导数和单调性，由极小值小于0，可得a>2e，再由分析法，注意构造函数，求得导数和单调性，即可得证．【解答】（1）f(x)＝x2−4x−6ln x的导数为f′(x)＝2x−4−，可得f′(1)＝−8，f(1)＝−3，所以f(x)在（1, f(1)）处的切线方程为y+3＝−8(x−1)即y＝−8x+5；由f′(x)＝(x+1)(x−3)，由f′(x)>0，可得x>3；由f′(x)<0，可得0<x<3，所以f(x)的单调递减区间为(0, 3)，单调递增区间为(3, +∞)；（2）xf′(x)−f(x)>x2+6k(1−）−12等价于k<（）min，可令ℎ(x)＝，ℎ′(x)＝，记m(x)＝x−2−ln x，m′(x)＝1−>0，所以m(x)为(1, +∞)上的递增函数，且m(3)＝1−ln3<0，m(4)＝2−ln4>0，所以∃x0∈(3, 4)，m(x0)＝0，即x0−2−ln x0＝0，所以ℎ(x)在(1, x0)上递减，在(x0, +∞)上递增，且ℎ(x)min＝ℎ(x0)＝＝x0∈(3, 4)，所以k的最大整数解为3；(Ⅲ)证明：g(x)＝x2−a ln x，g′(x)＝2x−＝＝0，可得x0＝，当x∈(0，），g′(x)<0，x∈（，+∞)，g′(x)>0，所以g(x)在(0，）上单调递减，（，+∞)上单调递增，而要使g(x)有两个零点，要满足g(x0)<0，即g（）＝（）2−a ln<0可得a>2e，因为0<x1<，x2>，令＝t(t>1)，由f(x1)＝f(x2)⇒x12−a ln x1＝x22−a ln x2，即x12−a ln x1＝t2x12−a ln tx1⇒x12＝，而x1+3x2>4x0⇔(3t+1)x1>2⇔(3t+1)2x12>8a，即(3t+1)2•>8a，由a>0，t>1，只需证(3t+1)2ln t−8t2+8>0，令ℎ(t)＝(3t+1)2ln t−8t2+8，则ℎ′(t)＝(18t+6)ln t−7t+6+，令n(t)＝(18t+6)ln t−7t+6+，则n′(t)＝18ln t+11+>0(t>1)，故n(t)在(1, +∞)上递增，n(t)>n(1)＝0；故ℎ(t)在(1, +∞)上递增，ℎ(t)>ℎ(1)＝0；∴x1+3x2>4x0．。
高三第三次月考数学试卷及答案
n高三第三次月考数学试卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷l 至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
参考公式：球的表面积、体积公式24S πR =，343V πR =，其中R 为球的半径． 第Ⅰ卷 (选择题60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．复数（i 为虚数单位)的实部和虚部相等，则实数b 的值为( )A. 一1B. 一2 C. 一3D. 1A.{x|x ＜-1或x ＞2}B. {x|x ≤-1或x ＞2}C.{x|x ＜-1或x ≥ 2}D. {x|x ≤-1或x ≥2}3A ．等腰梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形4．函数2sin sin cos y x x x =+的最小正周期T= （ ）5．右图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是（ ） A ．21 B ．32C ．43 D ．546．设a ，b 是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列命题：①若,,//;a b a b αα⊥⊥则 ②若//,,;a a ααββ⊥⊥则 ③若,,//;a a βαβα⊥⊥则 ④若,,,.a b a b αβαβ⊥⊥⊥⊥则 其中正确命题的个数是 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．37. 函数ax x x f +=ln )(存在与直线02=-y x 平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ）A. ]2,(-∞B. )2,(-∞C. ),2(+∞D. ),0(+∞8. 已知1010,310x x y x y x y -≤⎧⎪-+≥-⎨⎪+-≥⎩则2的取值范围是（ ）A. ]2,3[-B. ]2,3[--C. ]3,4[--D. ]2,4[- 9. 设｛a n ｝（n ∈N *）是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误．．的是 （ ）A ．d ＜0B ．a 7＝0C ．S 9＞S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值11．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角后，有下列四个结论：(1)BD AC ⊥ (2)ACD ∆是等边三角形 (3)AB 与平面BCD 的夹角成60° (4) AB 与CD 所成的角为60° 其中正确的命题有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．已知双曲线22221x y ab-=，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M 、N 两点，O是坐标原点.若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分． 13．已知函数()sin()f x x ωφ=+)2||,0,,(πφω<>∈R x 的部分图象如图所示，则)(x f 的解析式是14．设21,F F 分别是椭圆)10(1:222<<=+b by x E 的左、右焦点，过1F 的直线与E 相交于B A ,两点，且|||,||,|22BF AB AF 成等差数列，则||AB 的长为 ． 15．已知球O 的表面积为，点A ，B ，C 为球面上三点，若，且AB=2,则球心O到平面ABC 的距离等于__________________．16．在ABC ∆中，内角C B A ，，的对边分别是a b c ，，，若22a b -=，sin C B =，则A =三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：15 25 20 10 30 次数a（Ⅰ）求出表中,M p 及图中a 的值；（Ⅱ）若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[20,25)内的概率. 18. （本小题满分12分）已知函数132)(23+-=ax x x f ．（1）若1=x 为函数)(x f 的一个极值点，试确定实数a 的值，并求此时函数)(x f 的极值； （2）求函数)(x f 的单调区间．19.（本题满分12分）如图，三棱锥A —BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形.（Ⅰ）求证：DM //平面APC ； （Ⅱ）求 证：平面ABC ⊥平面APC ；（Ⅲ）若BC =4，AB =20，求三棱锥D —BCM 的体积.20.（本小题满分12分）{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=．（Ⅰ）求{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}nna b 的前n 项和n S 。
天津市和平区天津一中2024届高三上学期第三次月考数学试题
天津市和平区天津一中2024届高三上学期第三次月考数
学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
(1)求cos B ；
(2)求a ，c 的值；
(3)求()sin B C -的值．
17．如图，^AE 平面ABCD ，//CF AE ，//AD BC ，AD AB ^，1AB AD CF ===，2
AE BC ==
(1)求证：BF //平面
ADE ；(2)求直线
CE 与平面BDE 所成角的正弦值；(3)求点F 到平面BDE 的距离．
又()10f =，123x x x <<，所以12301x x x <<=<，所以131x x =，所以1231x x x =.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。
湖南省长沙市长郡中学2023届高三上学期第三次月考数学试题
又 ， ， … ，累加可得 ，故 正确，故B正确；
故选：ABD
12.已知 ，则（）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】A.先构造函数 ，通过函数的单调性确定 的大致范围，再构造
，通过函数 的单调性确定 与 的大小关系，进而得到A选项.
B.先构造函数 ，通过函数的单调性确定 的大致范围，再构造
有图可得出 ，由 可得 计算即可.
【详解】由题图可知， ，由 ，得 .
故答案为： .
【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的运算法则，属于常考题.
14.已知等边三角形 的边长为6，点P满足 ，则 _________．
【答案】
【解析】
【分析】
以BC所在的边为x轴，垂直平分线为y轴建立坐标系，用坐标表示 可求得P点坐标求得答案.
A. B.
C. 或 D. 或
4.已知平面 ，直线 、 ，若 ，则“ ”是“ ”的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.如图，边长为2 正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，将△AED，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为（）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】观察图形，分析剪掉的半圆的变化，纸板 相较于纸板 剪掉了半径为 的半圆，再分别写出 和 的递推公式，从而累加得到通项公式再逐个判断即可
【详解】根据题意可得纸板 相较于纸板 剪掉了半径为 的半圆，故 ，即 ，故 ， ， ， … ，累加可得 ，所以 ，故A正确，C错误；
高三上学期第三次月考数学(理科)试卷(3)(含答案与解析)
（ 1）求 及图中 x0 的值；
（ 2）设 g( x)
f (x)
f (x
1 ) ，求函数
g( x) 在区间 [
11 , ] 上的最大值和最小值。
3
23
16．从装有大小相同的 2 个红球和 6 个白球的袋子中，每摸出 2 个球为一次试验，直到摸出的球中有红球
（不放回） ，则实验结束。
（ 1）求第一次实验恰好摸到 1 个红球和 1 个白球的概率；
y2 b2
1(a
0, b
0) 与抛物线 y2
2 px( p
0) 的交点为 A、 B ，直线 AB 经过抛物线的
焦点 F ，且线段 AB 的长等于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率为（
）
A． 2 1
B． 3
C． 2
D．2
xlnx 2x, x 0
8．已知函数 f ( x)
x2
3 x, x
的图像上有且仅有四个不同的点关于直线 0
n2
n2
∴当 n
1 时，
n (
n
1 2 )min
2． 3
∴ k2
2 ，且 0 k 1 ，∴ 0
k
3
6． 3
综上所述，存在实数
6 k (0, )∪(1,
) 满足条件．
3
19．解：（ 1）∵ AC1 AC2 ， C1 (0, b) ， C2 (0, b) ， A(1,0) ，
∴ AC1 AC 2 1 b2 0 ，∴ b2 1．
m, n 的关系式，并证明；若
不是，请说明理由。
20．已知函数 h( x) 2ax lnx 。 （ 1）当 a 1 时，求 h( x) 在 (2, h(2)) 处的切线方程；
2021年高三(上)第三次月考数学试卷 含解析
2021年高三（上）第三次月考数学试卷含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|1＜x＜}，则A∩B=．2．若z=，其中i为虚数单位，则z的共轭复数= ．3．执行如图所示流程图，若输入x=4，则输出y的值为．4．某大型超市销售A，B，C三种品牌的牛奶，牛奶的数量分别为1xx盒、8000盒、4000盒，现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则从B种品牌的牛奶中抽取的样本个数为．5．曲线以点（1，﹣）为切点的切线的倾斜角为．6．在某招聘口试中，要从5道题中随机抽出3道进行回答，答对其中的2道题就获得优秀，答对其中的1道题就获得及格．若某应聘者只会回答5道题中的2道，则他获得及格或优秀的概率是．7．已知函数f（x）=，若f（m）+f（1）=0，则实数m的值等于．8．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题：①若m⊥n，n⊂α，则m⊥α；②若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n．其中真命题的序号为．9．在平行四边形ABCD中，已知AB=9，BC=6，=2，•=6，则与夹角的余弦值为．10．在等差数列{a n}和等比数列{b n}中，已知a1=﹣8，a2=﹣2，b1=1，b2=2，那么满足a n=b n 的n的所有取值构成的集合是．11．已知a，b为正数且a＞b，则a2+的最小值是．12．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的中心、右焦点、右顶点及右准线与x轴的交点依次为O、F、G、H，当取得最大值时椭圆的离心率为（用数字作答）．13．已知函数y=sin（ωx+）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，若存在最小正数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数，则该偶函数在[0，π]上的单调增区间为．14．已知二次函数f（x）的两个零点分别为，（0＜b＜a+1），f（0）=b2．定义card（A）：集合A中的元素个数，若“”是“f（x）＞0”的充要条件，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计70分．15．在△ABC中，已知向量=（sinA，1），=（cosA，），且∥，其中．（1）若sin（ω﹣A）=，0＜ω＜，求cosω的值；（2）若BC=2，AC+AB=4，求△ABC的面积．16．如图，矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，ED=2，M为CE的中点，N为CD中点．（1）求证：平面BMN∥平面ADEF；（2）求证：平面BCE⊥平面BDE；（3）求点D到平面BEC的距离．17．xx年8月以“分享青春，共筑未来”为口号的青奥会在江苏南京举行，为此某商店经销一种青奥会纪念徽章，每枚徽章的成本为30元，并且每卖出一枚徽章需向相关部门上缴a 元（a为常数，2≤a≤5）．设每枚徽章的售价为x元（35≤a≤41），根据市场调查，日销售量与e x（e为自然对数的底数）成反比例．已知当每枚徽章的售价为40元时，日销售量为10枚．（1）求该商店的日利润L（x）与每枚徽章的售价x的函数关系式；（2）当每枚徽章的售价为多少元时，该商店的日利润L（x）最大？并求出L（x）的最大值．18．已知圆O的方程为x2+y2=25，设点P（x1，y1），直线m：x1x+y1y=25．（1）若点P在圆O内，试判断直线m与圆O的位置关系；（2）若点P在圆O上，且x1=3，y1＞0，过点P作直线PA，PB分别交圆O于两点A，B，且直线PA，PB的斜率互为相反数．①若直线PA过点O，求tan∠APB的值；②试问：不论直线PA的斜率怎样变化，直线AB的斜率是否总为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．19．已知数列{a n}中，a1，a2，…，a k是以4为首项、﹣2为公差的等差数列，a k+1，a k+2，…，a2k是以为首项、为公比的等比数列（k≥3，k∈N*），且对任意的n∈N*，都有a n+2k=a n成立，S n是数列{a n}的前n项和．（1）当k=5时，求a48的值；（2）判断是否存在k，使a64k+3≥230成立，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．20．已知函数f（x）=（x﹣c）|x﹣c|，g（x）=alnx．（1）试判断函数f（x）与g（x）的单调性；（2）记F（x）=f（x）+g（x），a＜0，c＞0．①当c=+1时，若F（x）≥对x∈（c，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；②设函数F（x）的图象在点P（x1，F（x1）），Q（x2，F（x2））处的切线分别为l1，l2，若x1=，x2=c，且l1⊥l2，求实数c的最小值．四、（附加题共40分）【选做题】本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两题作答．若多做，则按作答的前两题评分．【选修4-1：几何证明选讲】21．如图，直线PA与圆O相切于点A，PBC是过点O的割线，∠APC的角平分线交AC 于点E，交AB于点D，点H是线段ED的中点，连接AH并延长PC交于点F．证明：A，E，F，D四点共圆．【选修4-2：矩阵与变换】22．已知=为矩阵A=属于特征值λ的一个特征向量．（Ⅰ）求实数a，λ的值；（Ⅱ）求矩阵A的逆矩阵．【选修4-4：坐标系与参数方程】xx•沈阳二模）在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ+2cosθ=0．（Ⅰ）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求圆C上的点到直线l的距离的最小值．【选修4-5：不等式选讲】xx秋•鼓楼区校级月考）已知关于x的不等式|x+1|+|x﹣1|≤4m2+对m＞0恒成立，求实数x 的取值范围．五、【必做题】第25题，第26题，每题10分，共计20分．25．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面PBC是等边三角形，平面PBC⊥平面ABCD，BC=2，AB=，∠ABC=45°．（1）求异面直线BD，PC所成角的余弦值；（2）点E在线段PC上，AE与平面PAB所成角的正切值等于，求的值．26．将（1+x）n展开式的各项依次记为a1（x），a2（x），a3（x），…，a n（x），a n+1（x），设F（x）=a1（x）+2a2（x）+3a3（x）+…+na n（x）+（n+1）a n+1（x）．（1）是否存在n∈N*，使得a1（x），a2（x），a3（x）的系数成等比数列？若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由．（2）求证：对任意x1，x2∈[0，3]，恒有|F（x1）﹣F（x2）|＜2n﹣1（n+2）．xx学年江苏省南京九中高三（上）第三次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|1＜x＜}，则A∩B={x|2＜x＜}．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．解答：解：由A中不等式变形得：x（x﹣2）＞0，解得：x＜0或x＞2，即A={x|x＜0或x＞2}，∵B={x|1＜x＜}，∴A∩B={x|2＜x＜}，故答案为：{x|2＜x＜}点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．若z=，其中i为虚数单位，则z的共轭复数=．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、共轭复数即可得出．解答：解：z====，∴=．故答案为：．点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．3．执行如图所示流程图，若输入x=4，则输出y的值为﹣．考点：循环结构．专题：计算题．分析：第一次执行：由x←4，y←，|1﹣4|≥1，满足判断框的条件，应执行“是”，把y的值输给x，x←1，可继续执行循环结构；否则跳出循环结构，执行“否”．解答：解：由x←4，y←，|1﹣4|≥1，满足判断框的条件，应执行“是”，∴把y的值输给x，x←1；由x←1，y←，，满足判断条件，应执行“是”，∴x←﹣；由x←，y←，，不满足判断框的条件，应跳出循环结构，执行“否”，输出y←．故答案为．点评：理解循环结构的功能和会使用判断框的条件是解题的关键．4．某大型超市销售A，B，C三种品牌的牛奶，牛奶的数量分别为1xx盒、8000盒、4000盒，现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则从B种品牌的牛奶中抽取的样本个数为40．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：利用分层抽样的性质求解．解答：解：∵某大型超市销售A，B，C三种品牌的牛奶，牛奶的数量分别为1xx盒、8000盒、4000盒，现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，∴从B种品牌的牛奶中抽取的样本个数为：8000×=40．故答案为：40．点评：本题考查B种品牌的牛奶中抽取的样本个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分层抽样的性质的合理运用．5．曲线以点（1，﹣）为切点的切线的倾斜角为45°．考点：导数的几何意义．专题：计算题．分析：根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，得到切线的斜率，从而求出切线的倾斜角．解答：解：y′=x2，当x=1时，y′=1，从而切线的倾斜角为45°，故答案为45°．点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．6．在某招聘口试中，要从5道题中随机抽出3道进行回答，答对其中的2道题就获得优秀，答对其中的1道题就获得及格．若某应聘者只会回答5道题中的2道，则他获得及格或优秀的概率是．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：根据等可能事件的概率，先求出他不及格的概率，在利用对立事件的概率公式即可求出解答：解：从5道题中随机抽出3道题进行回答的抽法有C53=10种，他不及格的抽法有C33=1种，则他不及格的概率为，则他获得及格他获得及格或优秀的概率等于1减去他不及格的概率，即P=1﹣=，故答案为：点评：本题考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，等可能事件的概率，所求的事件与它的对立事件概率间的关系．7．已知函数f（x）=，若f（m）+f（1）=0，则实数m的值等于﹣2．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可知f（m）+f（1）=0，从而可得f（m）=﹣3，继而可求得实数m的值．解答：解：∵f（x）=，若f（m）+f（1）=0，∴f（m）+3=0∴f（m）=﹣3，∴m﹣1=﹣3．∴m=﹣2．故答案为：﹣2点评：本题考查函数的值，理解分段函数的意义是关键，考查理解与运算能力，属于基础题．8．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题：①若m⊥n，n⊂α，则m⊥α；②若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n．其中真命题的序号为②③．考点：命题的真假判断与应用．分析：根据线面垂直、面面平行的性质来求解解答：①若m⊥a，则m要垂直a中的两条相交的直线，通过分析，m只垂直来a中的一条直线，故不能做出判断，①错②根据面和面垂直的性质：只要一个面当中能找出一条垂直于其他的平面的线，就可以推出这两个面相互垂直，故②正确③两条不同的直线逗垂直同一个平面，则这两条直线必平行，③对④相互平行的面，两个面之间的直线不相交，但可以是异面直线，还可以垂直，故④错点评：熟悉教材，清楚线面之间的关系，借助图形辅导学习更佳．9．在平行四边形ABCD中，已知AB=9，BC=6，=2，•=6，则与夹角的余弦值为．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的几何意义求出=36，在根据向量的夹角公式，求出余弦值解答：解：∵平行四边形ABCD中，AB=9，BC=6∴=，=，∵=2，•=6，∴•=（）（）=+）（﹣）=﹣﹣=36﹣﹣×81=6，∴=36，设与夹角为θ，∴cosθ===故答案为：点评：本题考查了向量的几何意义和向量的夹角公式，属于中档题10．在等差数列{a n}和等比数列{b n}中，已知a1=﹣8，a2=﹣2，b1=1，b2=2，那么满足a n=b n 的n的所有取值构成的集合是{3，5}．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得a n=﹣8+（n﹣1）×6=6n﹣14，b n=2n﹣1，从而根据a n=b n，得6n﹣14=2n﹣1，由此能求出满足a n=b n的n的所有取值构成的集合．解答：解：∵在等差数列{a n}中，a1=﹣8，a2=﹣2，∴d=a2﹣a1=﹣2+8=6，∴a n=﹣8+（n﹣1）×6=6n﹣14，∵等比数列{b n}中，b1=1，b2=2，∴=2，∴b n=2n﹣1，∵a n=b n，∴6n﹣14=2n﹣1，解得n=3或n=5，∴满足a n=b n的n的所有取值构成的集合是{3，5}．故答案为：{3，5}．点评：本题考查满足a n=b n的n的所有取值构成的集合的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．11．已知a，b为正数且a＞b，则a2+的最小值是4．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形由基本不等式可得原式=a（a﹣b）++ab+≥2+2=4，验证等号成立的条件可得．解答：解：∵a，b为正数且a＞b，∴a2+=a2﹣ab+ab+=a（a﹣b）++ab+≥2+2=4当且仅当a（a﹣b）=且ab=即a=且b=时取等号故答案为：4点评：本题考查基本不等式求最值，“凑”出能用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．12．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的中心、右焦点、右顶点及右准线与x轴的交点依次为O、F、G、H，当取得最大值时椭圆的离心率为（用数字作答）．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆的标准方程，结合焦点坐标和准线方程的公式，可得|FG|=a﹣c，|OH|=，所以==，最后根据二次函数的性质结合∈（0，1），可求出的最大值．解答：解：∵椭圆方程为+=1（a＞b＞0），∴椭圆的右焦点是F（c，0），右顶点是G（a，0），右准线方程为x=，其中c2=a2﹣b2．由此可得H（，0），|FG|=a﹣c，|OH|=，∴===﹣（）2+，∵∈（0，1），∴当且仅当=时，的最大值为．故答案为：点评：本题根据椭圆的焦点坐标和准线方程，求线段比值的最大值，着重考查了椭圆的基本概念的简单性质，属于基础题．13．已知函数y=sin（ωx+）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，若存在最小正数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数，则该偶函数在[0，π]上的单调增区间为．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：由三角函数的性质可知，函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离即为周期的T，从而可求T，然后根据周期公式可求ω，从而可得f（x），函数的图象向左平移m个单位后所对应的函数f（x+m）是偶函数，从而可求m，得平移后的函数解析式，即可求该偶函数在[0，π]上的单调增区间．解答：解：由题意知，=，∴T=，∴ω==3，∴f（x）=sin（3x+）；又f（x+m）=sin（3x+3m+）是偶函数，∴3×0+3m+=kπ+（k∈Z），即m=+（k∈Z）所以，最小的正实数m是．∴f（x+）=sin（3x+3×+）=cos3x，∴令π+2kπ≤3x≤2π+2kπ，可解得k=0时，该偶函数在[0，π]上的单调增区间为．故答案为：．点评：本题主要考查了诱导公式及两角和的余弦公式，考查了由三角函数的部分图象的性质求解函数的解析式，还考查了三角函数的性质的应用，属于中档题．14．已知二次函数f（x）的两个零点分别为，（0＜b＜a+1），f（0）=b2．定义card（A）：集合A中的元素个数，若“”是“f（x）＞0”的充要条件，则实数a的取值范围是（﹣1，0）∪（0，2）．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用．分析：由已知中“”是“f（x）＞0”的充要条件，可得f（x）＞0的解集中仅有4个整数，进而由二次函数f（x）的两个零点分别为，（0＜b＜a+1），f（0）=b2．可得∈[﹣4，﹣3），利用线性规划可求出实数a的取值范围．解答：解：∵二次函数f（x）的两个零点分别为，（0＜b＜a+1），f（0）=b2．∴函数f（x）=（1﹣a2）x2﹣2bx+b2，若“”是“f（x）＞0”的充要条件，则f（x）＞0的解集中仅有4个整数，故f（x）＞0的解集为（，），即1﹣a2＜0，又由0＜b＜a+1，可得：a＞﹣1，且∈（0，1），故a＞1，且∈[﹣4，﹣3），如下图所示：故a∈（﹣1，0）∪（0，2），故答案为：（﹣1，0）∪（0，2）点评：本题考查的知识点是充要条件，集合元素的个数，二次函数的图象和性质，线性规划，是集合，函数，不等式的综合应用，难度较大，属于难题．二、解答题：本大题共6小题，共计70分．15．在△ABC中，已知向量=（sinA，1），=（cosA，），且∥，其中．（1）若sin（ω﹣A）=，0＜ω＜，求cosω的值；（2）若BC=2，AC+AB=4，求△ABC的面积．考点：两角和与差的正弦函数；三角形的面积公式．专题：计算题；三角函数的求值；平面向量及应用．分析：（Ⅰ）由∥，得tanA=，由sin（ω﹣A）=，可得sinω=，由0＜ω＜，得sinω的值，从而有=，可解得cosω的值；（2）由余弦定理可得AB•AC=，即可求△ABC的面积．解答：解：（Ⅰ）由∥，得cosA﹣sinA=0，化为tanA=，∵．∴A=∵sin（ω﹣A）=，可得sinω=，∵0＜ω＜，∴sinω=，∴=，整理可得100cos2ω+60cosω﹣39=0，解得cosω=（舍去）或；（2）∵BC=2，AC+AB=4，A=∴由余弦定理可得：12=AB2+AC2﹣2•AB•AC•sinA==16﹣（2+）AB•AC∴可解得：AB•AC=∴S△ABC===．点评：本题主要考察了两角和与差的正弦函数，三角形的面积公式，本题计算量较大，要求解题时认真细心，属于基本知识的考查．16．如图，矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，ED=2，M为CE的中点，N为CD中点．（1）求证：平面BMN∥平面ADEF；（2）求证：平面BCE⊥平面BDE；（3）求点D到平面BEC的距离．考点：平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由MN∥ED，得MN∥平面ADEF，得平面BMN∥平面ADEF；（2）由题意得ED⊥BC，得BC⊥BD，从而得BC⊥平面BDE．进而平面BCE⊥平面BDE，（3）设点D到平面BEC的距离为h，转化为V D﹣BEC=V E﹣BCD，从而求出h的值．解答：（1）证明：在△EDC中，M，N分别为EC，DC的中点，所以MN∥ED，又DE⊂平面ADEF，且MN⊄平面ADEF，所以MN∥平面ADEF；因为N为CD中点，AB∥CD，AB=2，CD=4，所以四边形ABND为平行四边形，所以BN∥DA，又DA⊂平面ADEF，且BN⊄平面ADEF，所以BN∥平面ADEF，∵BN∩MN=N，EN，MN⊂面BMN，∴平面BMN∥平面ADEF；（2）证明：在矩形ADEF中，ED⊥AD．又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，所以ED⊥平面ABCD．所以ED⊥BC．在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，可得BC=2．在△BCD中，BD=BC=2，CD=4，因为BD2+BC2=CD2，所以BC⊥BD．因为BD∩DE=D，所以BC⊥平面BDE．因为BC⊂面BCE，所以平面BCE⊥平面BDE，（3）设点D到平面BEC的距离为h，则V D﹣BEC=V E﹣BCD，求得h=2．点评：本题考查了面面平行，面面垂直的判定，考查转化思想，是一道综合题．17．xx年8月以“分享青春，共筑未来”为口号的青奥会在江苏南京举行，为此某商店经销一种青奥会纪念徽章，每枚徽章的成本为30元，并且每卖出一枚徽章需向相关部门上缴a 元（a为常数，2≤a≤5）．设每枚徽章的售价为x元（35≤a≤41），根据市场调查，日销售量与e x（e为自然对数的底数）成反比例．已知当每枚徽章的售价为40元时，日销售量为10枚．（1）求该商店的日利润L（x）与每枚徽章的售价x的函数关系式；（2）当每枚徽章的售价为多少元时，该商店的日利润L（x）最大？并求出L（x）的最大值．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）求出比例系数，利用该商店的日利润L（x）等于销售量与每枚徽章的利润与比例系数乘积，列出函数关系式；（2）通过x的范围，利用函数的导数，判断函数的单调性，求解当每枚徽章的售价为多少元时，该商店的日利润L（x）最大，然后求出L（x）的最大值．解答：解：（1）该商店的日利润L（x）与每枚徽章的售价x，日销售量与e x（e为自然对数的底数）成反比例．已知当每枚徽章的售价为40元时，日销售量为10枚，比例系数为：10e40．该商店的日利润L（x）与每枚徽章的售价x的函数关系式：（35≤a≤41）；（2）当35≤x≤40时，，，4≤a≤6，35≤31+a≤37，因为35≤x≤40，令L′（x）=0得x=a+31当35≤x≤a+31时L'（x）＞0当a+31≤x≤40时L'（x）＜0故L max（x）=L（a+31）=10e9﹣a当40≤x≤50时，L（x）=（x﹣30﹣a）显然L（x）在40≤x≤50时，L′（x）==＞0所以L（x）在40≤x≤50时为增函数故40≤x≤50时，L max（x）=L（50）又L（a+31）=10e9﹣a≥10e3L（50）=（20﹣a）≤，故L（a+31）＞L（50）于是每件产品的售价x为a+31时才能使L（x）最大，L（x）的最大值为10e9﹣a综上，若2≤a≤4，当每枚徽章的售价为35元时，该商店的日利润L（x）最大，且；若4＜a≤5，当每枚徽章的售价为（a+31）元时，该商店的日利润L（x）最大，且．点评：本题考查函数的实际应用，对数在最值中的应用，考查分析问题解决问题的能力．难度比较大．18．已知圆O的方程为x2+y2=25，设点P（x1，y1），直线m：x1x+y1y=25．（1）若点P在圆O内，试判断直线m与圆O的位置关系；（2）若点P在圆O上，且x1=3，y1＞0，过点P作直线PA，PB分别交圆O于两点A，B，且直线PA，PB的斜率互为相反数．①若直线PA过点O，求tan∠APB的值；②试问：不论直线PA的斜率怎样变化，直线AB的斜率是否总为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．考点：直线与圆的位置关系；直线的斜率．专题：综合题；直线与圆．分析：（1）由点P在圆O内，求得圆心到直线的距离d大于半径，可得直线和圆相离．（2）①由条件求得点P（3，4），若直线PA过点O，求得PA的斜率，可得PB的斜率，再利用两条直线的夹角公式求得tan∠APB的值；②求出A，B的坐标，利用斜率公式，即可得出结论．解答：解：（1）∵点P在圆O内，∴圆心到直线l的距离d=＞5，∴直线l与圆O相离；（2）①点P在圆O上，且x1=3，y1＞0，得y1=5，即P（3，4）．由题意，AP是圆的直径，所以点P的坐标为（﹣3，﹣4），且k AP=．又直线PA，PB的斜率互为相反数，所以k PB=﹣∴tan∠APB=﹣；②记直线PA的斜率为k，则直线PA的方程为：y=kx+4﹣3k．将y=kx+4﹣3k代入圆O的方程得：x2+（kx+4﹣3k）2=25，化简得：（k2+1）x2+2k（4﹣3k）x+（4﹣3k）2﹣25=0，∵3是方程的一个根，∴3x A=，∴x A=由题意知：k PB=﹣k，同理可得，x B=∴k AB=k•=即．点评：本题主要考查点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系，直线的倾斜角和斜率，两条直线的夹角公式的应用，属于中档题．19．已知数列{a n}中，a1，a2，…，a k是以4为首项、﹣2为公差的等差数列，a k+1，a k+2，…，a2k是以为首项、为公比的等比数列（k≥3，k∈N*），且对任意的n∈N*，都有a n+2k=a n成立，S n是数列{a n}的前n项和．（1）当k=5时，求a48的值；（2）判断是否存在k，使a64k+3≥230成立，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．考点：等差数列与等比数列的综合；数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由题意分别求出等差、等比数列对应的通项公式，由k=5和a n+2k=a n成立求出数列的周期，由周期性求出a48；（2）先假设存在，利用数列的周期性进行求解判断即可．解答：解：（1）由等差数列通项公式得，a k=4+（k﹣1）（﹣2）=﹣2k+6，由等比数列通项公式得，a k+n==，∵对一切正整数n，都有a n+2k=a n成立．∴数列为周期数列，周期为2k．当k=5时，周期为10，所以a48是等比数列中的第三项，所以；（2）假设存在k，使a64k+3≥230成立，因为数列为周期数列，且周期为2k，所以a64k+3=a3=0≥230不成立，故不存在k使a64k+3≥230成立．点评：本题考查等差、等比数列的通项公式，数列表示法，数列的周期性，及数列与不等式的综合应用，解题时要认真审题，注意计算能力的培养．20．已知函数f（x）=（x﹣c）|x﹣c|，g（x）=alnx．（1）试判断函数f（x）与g（x）的单调性；（2）记F（x）=f（x）+g（x），a＜0，c＞0．①当c=+1时，若F（x）≥对x∈（c，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；②设函数F（x）的图象在点P（x1，F（x1）），Q（x2，F（x2））处的切线分别为l1，l2，若x1=，x2=c，且l1⊥l2，求实数c的最小值．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可求f（x）的单调区间；（2）①若f（x）≥对x∈（c，+∞）恒成立，则只需求出f（x）的最小值即可；②由l1⊥l2知，f′（）f′（c）=﹣1，得到f′（）=﹣，分类讨论，再由导数与单调性的关系，即可得到实数c的最小值．解答：解：（1）x≥c时，f（x）=（x﹣c）2，在（c，+∞）递增，x＜c时，f（x）=﹣（x﹣c）2，在（﹣∞，c）单调递增，∴函数f（x）在R上单调递增，a＞0时，g（x）=xlnx在（0，+∞）递增，a=0时，g（x）=0是常函数，a＜0时，g（x）=xlnx在（0，+∞）递减；（2）①当x＞c，c=+1时，f′（x）=，而c=+1＜1，所以当c＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在（c，1）上单调减；当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上单调增．所以函数f（x）在（c，+∞）上的最小值为f（1）=，所以≥恒成立，解得a≤﹣1或a≥1，又由c=+1＞0，得a＞﹣2，所以实数a的取值范围是（﹣2，﹣1]．②由l1⊥l2知，f′（）f′（c）=﹣1，而f′（c）=，则f′（）=﹣，若≥c，则f′（）==﹣2c，所以﹣2c=﹣，解得a=，不符合题意；故＜c，则f′（）==﹣+2c=﹣，整理得，c=，由c＞0得，a＜﹣，令=t，则a=﹣，t＞2，所以c==，设g（t）=，则g′（t）=，当2＜t＜2时，g′（t）＜0，g（t）在（2，2）上单调减；当t＞2时，g′（t）＞0，g（t）在（2，+∞）上单调增．所以，函数g（t）的最小值为g（2）=，故实数c的最小值为．点评：本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及不等式恒成立问题，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键．四、（附加题共40分）【选做题】本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两题作答．若多做，则按作答的前两题评分．【选修4-1：几何证明选讲】21．如图，直线PA与圆O相切于点A，PBC是过点O的割线，∠APC的角平分线交AC 于点E，交AB于点D，点H是线段ED的中点，连接AH并延长PC交于点F．证明：A，E，F，D四点共圆．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；立体几何．分析：连接EF，证明EF∥AB，再证明∠AFE=∠ADE，即可证明A，E，F，D四点共圆．解答：证明：连接EF，则∵直线PA与圆O相切于点A，PBC是过点O的割线，∠APC的角平分线交AC于点E，∴∠PAB=∠PCA，∠APE=∠CPE，∴∠ADP=∠PEC，△PAC∽△PBA∴∠AED=∠ADE，=∵点H是线段ED的中点，∴AF平分∠CAB，∴，∵∠APC的角平分线交AC于点E，∴=∴=，∴EF∥AB，∵AB⊥AC，∴EF⊥AC，∴∠AEH=∠AFE，∴∠AFE=∠ADE，∴A，E，F，D四点共圆．点评：本小题主要考查与圆有关的比例线段、四点共圆的证明方法、三角形相似等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．【选修4-2：矩阵与变换】22．已知=为矩阵A=属于特征值λ的一个特征向量．（Ⅰ）求实数a，λ的值；（Ⅱ）求矩阵A的逆矩阵．考点：二阶行列式与逆矩阵；特征值与特征向量的计算．专题：选作题；矩阵和变换．分析：（Ⅰ）根据特征值的定义可知Aα=λα，利用待定系数法求实数a，λ的值；（Ⅱ）求出|A|，即可求矩阵A的逆矩阵．解答：解：（Ⅰ）由=λ得：，∴a=2，λ=3；…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知A=，∴|A|=6，∴A﹣1=…（7分）点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，属于基础题．【选修4-4：坐标系与参数方程】xx•沈阳二模）在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ+2cosθ=0．（Ⅰ）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求圆C上的点到直线l的距离的最小值．考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：选作题；坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）将直线l的参数方程的参数t消去即可求出直线的普通方程，利用极坐标转化成直角坐标的转换公式求出圆的直角坐标方程；（Ⅱ）求出圆心C（0，﹣2）到直线x+y﹣1=0的距离，即可得到圆C上的点到直线的距离的最小值．解答：解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t，得直线l的普通方程为x+y﹣3=0，ρ+2sinθ=0，两边同乘以ρ得ρ2+2ρcosθ=0，得⊙C的直角坐标方程为（x+1）2+y2=1；（Ⅱ）因为圆心为C（﹣1，0），所以点C到直线的距离为d==2，所以圆上的点到直线距离的最小值为2﹣1．点评：本题考查极坐标方程与直角坐标方程，参数方程与普通方程的互化，考查点线距离公式的运用，属于基础题．【选修4-5：不等式选讲】xx秋•鼓楼区校级月考）已知关于x的不等式|x+1|+|x﹣1|≤4m2+对m＞0恒成立，求实数x 的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：关于x的不等式|x+1|+|x﹣1|≤4m2+对m＞0恒成立，即为|x+1|+|x﹣1|≤（4m2+）min，运用导数判断右边函数的单调性，进而得到极小值也为最小值，再由解绝对值不等式的方法，即可解得．解答：解：关于x的不等式|x+1|+|x﹣1|≤4m2+对m＞0恒成立，即为|x+1|+|x﹣1|≤（4m2+）min，由于4m2+的导数为8m﹣，当m＞时，导数大于0，函数递增，当0＜m＜时，导数小于0，函数递减，则m=，取得极小值也为最小值，且为3，即有|x+1|+|x﹣1|≤3，当x≥1时，由2x≤3，解得，x，则有1；当x≤﹣1时，由﹣x﹣1+1﹣x≤3，解得，x，则有﹣；当﹣1＜x＜1时，由﹣x﹣1+1﹣x≤3即有0≤3成立，则有﹣1＜x＜1．故实数x的取值范围是．点评：本题考查不等式的恒成立问题转化为求函数最值问题，考查导数的运用，考查绝对值不等式的解法，属于中档题．五、【必做题】第25题，第26题，每题10分，共计20分．25．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面PBC是等边三角形，平面PBC⊥平面ABCD，BC=2，AB=，∠ABC=45°．（1）求异面直线BD，PC所成角的余弦值；（2）点E在线段PC上，AE与平面PAB所成角的正切值等于，求的值．考点：直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由余弦定理得AC=，取BC中点O，连结AO，PO，则AO，PO，BC两两垂直，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BD，PC所成角的余弦值．（2）设=λ，0≤λ≤1，由已知得E（0，﹣λ，），由已知条件利用向量法能求出的值．解答：解：（1）∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面PBC是等边三角形，平面PBC⊥平面ABCD，BC=2，AB=，∠ABC=45°，∴AC==，取BC中点O，连结AO，PO，则AO，PO，BC两两垂直，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，B（0，1，0），D（1，﹣2，0），=（1，﹣3，0），P（0，0，），C（0，﹣1，0），=（0，﹣1，﹣），设异面直线BD，PC所成角为θ，cosθ=|cos＜＞|=||=，∴异面直线BD，PC所成角的余弦值为．（2）设=λ，0≤λ≤1，E（0，b，c），，∴b=﹣λ，c=，E（0，﹣λ，），A（1，0，0），=（﹣1，﹣λ，），。
2021年高三数学上学期第三次月考试卷(含解析)
2021年高三数学上学期第三次月考试卷（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1．已知集合A={x|2x＞}，B={x|log2x＜1}，则A∩B=( )A．（﹣1，2）B．（1，2）C．（0，2）D．（﹣1，1）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：分别求出A与B中x的范围，确定出A与B，找出两集合的交集即可．解答：解：由A中不等式变形得：2x＞=2﹣1，即x＞﹣1，∴A=（﹣1，+∞）；由B中log2x＜1=log22，得到0＜x＜2，即B=（0，2），则A∩B=（0，2）．故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知a=log20.3，b=20.1，c=0.21.3，则a，b，c的大小关系是( )A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．b＜c＜a考点：对数值大小的比较．专题：计算题．分析：看清对数的底数，底数大于1，对数是一个增函数，0.3的对数小于1的对数，得到a小于0，根据指数函数的性质，得到b大于1，而c小于1，根据三个数字与0，1之间的关系，得到它们的大小关系．解答：解：由对数和指数的性质可知，∵a=log20.3＜0b=20.1＞20=1c=0.21.3 ＜ 0.20=1∴a＜c＜b故选C．点评：本题考查对数的性质，考查指数的性质，考查比较大小，在比较大小时，若所给的数字不具有相同的底数，需要找一个中间量，把要比较大小的数字用不等号连接起来．3．已知向量，，，若∥，则k=( )A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1考点：平面向量的坐标运算；平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：由向量的加减运算可得的坐标，然后由向量平行的充要条件可得关于k的方程，解之即可．解答：解：由题意可得=（3，1）﹣（k，7）=（3﹣k，﹣6），由∥可得：3（3﹣k）﹣（﹣6）×1=0，解得k=5，故选B点评：本题考查向量的平行和加减运算，熟练应用向量平行的充要条件是解决问题的关键，属基础题．4．设函数f（x）=x m+ax的导函数f′（x）=2x+1，则数列{}（n∈N*）的前n项和是( ) A．B．C．D．考点：数列的求和；导数的运算．专题：计算题．分析：函数f（x）=x m+ax的导函数f′（x）=2x+1，先求原函数的导数，两个导数进行比较即可求出m，a，然后利用裂项法求出的前n项和，即可．解答：解：f′（x）=mx m﹣1+a=2x+1，∴a=1，m=2，∴f（x）=x（x+1），==﹣，用裂项法求和得S n=．故选A点评：本题考查数列的求和运算，导数的运算法则，数列求和时注意裂项法的应用，是好题，常考题，基础题．5．若等差数列{a n}的前5项和S5=25，且a2=3，则a7=( )A．12 B．13 C．14 D．15考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：利用等差数列的通项公式和前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解出a1，d，然后代入通项公式求解即可．解答：解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得，∴a7=1+6×2=13，故选B．点评：本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，熟练应用公式是解题的关键．6．椭圆x2+my2=1的离心率为，则m的值为( )A．2 B．C．2或D．或4考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：由x2+my2=1（0＜m＜1），对a进行讨论，利用离心率求出m的值．解答：解：由x2+my2=1（0＜m＜1），如果，∵，∴，∴．如果则可知m=4故选D．点评：本题考查椭圆的简单性质，解题时要注意公式的合理运用．7．设m，n是两条不同的直线，α，β，λ是三个不同的平面，下列命题正确的是( ) A．若m∥n，m∥α，则n∥αB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m⊥α，n∥α，则m⊥n考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据题意，结合线面、面面垂直或平行的有关性质、判定定理，依次对选项进行判断，可得答案．解答：解：根据题意，分析选项可得：A、平行于同一条直线的直线和平面，不一定平行，它们也可能是直线就在此平面内，故错；B、垂直于同一个平面的两个平面相交或平行，即α与β可能相交，错误；C、平行于同一个平面的两条直线，不一定平行，它们也可能是相交或异面，故错；D、若m⊥α，n∥α，则m⊥n．符合线面垂直的性质，正确；故选D．点评：本题考查空间的线线、线面、面面的关系，注意解题与常见的空间几何体相联系，尽可能的举出反例．8．经过圆x2+（y+1）2=1的圆心C，且与直线2x+3y﹣4=0平行的直线方程为( ) A．2x+3y+3=0 B．2x+3y﹣3=0 C．2x+3y+2=0 D．3x﹣2y﹣2=0考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：：设所求直线的方程为 2x+3y+c=0，把圆心C（0，﹣1）代入求得 c的值，可得所求的直线的方程．解答：解：设所求直线的方程为 2x+3y+c=0，把圆心C（0，﹣1）代入可得 0﹣3+c=0，求得 c=3，故所求的直线的方程为 2x+3y+3=0，故选：A．点评：本题主要考查利用待定系数法求直线的方程，利用了和直线ax+by+c=0平行的直线一定是ax+by+c′=0的形式，属于基础题．9．如图是一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的全面积为( )A．2+3π+4B．2+2π+4C．8+5π+2D．6+3π+2考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱，三棱柱的是一个底面是斜边为2的等腰直角三角形，高是2，圆柱的底面半径是1，高是2，写出表面积．解答：解：由三视图知，几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱，三棱柱的是一个底面是斜边为2的等腰直角三角形，高是2，圆柱的底面半径是1，高是2，∴组合体的表面积是π+×+2××2+π×2=3π+2+4故选：A．点评：本题考查由三视图还原几何体的直观图，考查几何体体积的计算，属于基础题．10．已知a＞0且a≠1，函数f （x）=，满足对任意实数x1≠x2，都有＜0成立，则a的取值范围是( )A．（0，1）B．（1，+∞）C．（1，] D．[，2）考点：分段函数的应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意可知f（x）在R上为增函数，对各段考虑即有a﹣1＞0，即a＞1，①a＞1，②注意x=0，有（a﹣1）×0+3a﹣4≤a0，即有a≤③，求出三个的交集即可．解答：解：由于f（x）=，又对任意实数x1≠x2，都有＞0成立，则f（x）在R上为增函数．当x≤0时，函数为增，则有a﹣1＞0，即a＞1，①当x＞0时，函数为增，则有a＞1，②由在R上为增函数，则（a﹣1）×0+3a﹣4≤a0，即有a≤③，由①②③可得a的取值范围为：1＜a≤．故选C．点评：本题考查分段函数及运用，考查函数的单调性及运用，注意各段的单调性，以及分界点的情况，属于易错题和中档题．11．若曲线y=，与直线y=kx﹣1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是( ) A．（3﹣2，3+2）B．（0，3﹣2）C．（﹣∞，0）∪（0，3﹣2）D．（﹣∞，3﹣2）考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．解答：解：作出曲线y=的图象如图：直线y=kx﹣1过定点（0，﹣1），当k=0时，两个函数只有一个交点，不满足条件，当k＜0时，两个函数有2个交点，满足条件，当k＞0时，直线y=kx﹣1与y=在x＞1相切时，两个函数只有一个交点，此时=kx﹣1，即kx2+（1+k）x+2=0，判别式△=（1+k）2﹣8k=0，解得k2﹣6k+1=0，解得k==3+2或k==3﹣2（舍去），则此时满足0＜k＜3+2，综上满足条件的k的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，3﹣2），故选：C点评：本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合以及分段函数的性质是解决本题的关键．12．定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是( )A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得函数f（x）的周期为2，当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，令g （x）=log a（x+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点，画出图形，数形结合，根据g（2）＞f（2），求得a的取值范围．解答：解：∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数，令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），又f（﹣1）=f（1），可得f（1）=0 则有，f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为2的偶函数．当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2，函数f（x）的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．∵函数y=f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，令g（x）=log a（x+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点．作出函数的图象，如图所示，∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1．要使函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则有g（2）＞f（2），即 log a（2+1）＞f（2）=﹣2，∴log a3＞﹣2，∴3＜，解得﹣＜a＜．又a＞0，∴0＜a＜，故选：B．点评：本题主要考查函数周期性及其应用，解题的过程中用到了数形结合的方法，这也是xx届高考常考的热点问题，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．13．设、分别表示平面直角坐标系x、y轴上的单位向量，且|﹣|+|﹣2|=，则|+2|的取值范围是．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：设==（x，y）．B（1，0），C（0，2），D（2，0）．由于|BC|=，|﹣|+|﹣2|=，可知：点A在线段BC上，得到，（x∈[0，1]）．于是|+2|==，利用二次函数的单调性即可得出．解答：解：设==（x，y）．B（1，0），C（0，2），D（2，0）．∵|BC|=，|﹣|+|﹣2|=，∴点A在线段BC上，∴，化为2x+y=2（x∈[0，1]）．∴|+2|====，令f（x）=，∵x∈[0，1]，∴当x=时，f（x）取得最小值，即|+2|取得最小值．又f（0）=，f（1）=3，．∴|+2|的最大值为3．∴|+2|的取值范围是．故答案为：．点评：本题考查了向量的运算法则、模的几何意义、二次函数的单调性，考查了转化思想方法，属于难题．14．已知△ABC中，a=，b=，B=60°，那么角A等于45°．考点：正弦定理．专题：计算题．分析：先根据正弦定理和已知条件求得sinA的值，进而求得A解答：解：由正弦定理可知∴sinA==∵0°＜A＜120°∴A=45°故答案为：45°点评：本题主要考查了正弦定理的应用．正弦定理和余弦定理是解三角形问题常用的方法，故应熟练记忆．15．如图，已知函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0）的图象（的部分），则函数的表达式为y=2sin （2x+）．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由图知A=2，T=π，从而可求得ω=2；又函数y=2sin（2x+φ）经过（，2），可求得φ，从而可得函数的表达式．解答：解：由图知，A=2，T=﹣=，ω＞0，∴T==π，解得ω=2；又函数y=2sin（2x+φ）经过（，2），∴2×+φ=+2kπ，k∈Z．∴φ=+2kπ，k∈Z．∴y=2sin（2x+）．故答案为：y=2sin（2x+）．点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，求得φ是关键，也是难点，考查识图与运算能力，属于中档题．16．已知函数，g（x）=|x﹣k|+|x﹣1|，若对任意的x1，x2∈R，都有f（x1）≤g（x2）成立，则实数k的取值范围为或．考点：分段函数的应用．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：求出函数的最大值为，g（x）=|x﹣k|+|x﹣1|的最小值为|1﹣k|，可得≤|1﹣k|，即可求出实数k的取值范围．解答：解：由题意函数的最大值为，g（x）=|x﹣k|+|x﹣1|的最小值为|1﹣k|，∵对任意的x1，x2∈R，都有f（x1）≤g（x2）成立，∴≤|1﹣k|，∴或．故答案为：或．点评：本题考查分段函数的应用，考查函数的最值，确定函数的最值是关键．17．给出下列命题：①若函数f（x）=asinx+cosx的一个对称中心是，则a的值等于；②函数f（x）=cos（2x+）在区间[0，]上单调递减；③若函数的图象向左平移a（a＞0）个单位后得到的图象与原图象关于直线对称，则a的最小值是；④已知函数f（x）=sin（2x+ϕ）（﹣π＜ϕ＜π），若﹣|f（）|≤f（x）对任意x∈R恒成立，则：φ=或﹣．其中正确结论的序号是①③④．考点：命题的真假判断与应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用三角函数的图象和性质即可判断出．解答：解：①若函数f（x）=asinx+cosx的一个对称中心是，则0=，化为，解得a=，因此正确；②函数f（x）=cos（2x+）=﹣sin2x，∵，∴2x∈[0，π]，因此函数f（x）在区间[0，]上不具有单调性，因此不正确；③若函数的图象向左平移a（a＞0）个单位后得到y==，因为此图象与原图象关于直线对称，∴=f（π﹣x）==，∴=，当k=2n﹣1（n∈Z）时，化为，当n=1时，a取得最小值．当k=2n（n∈Z）时，化为4x+2a=2nπ，此时不符合题意，应舍去．可知a的最小值是，正确；④∵﹣|f（）|≤f（x）对任意x∈R恒成立，∴==±1．∵﹣π＜ϕ＜π，∴Φ=或﹣．因此正确．综上可知：只有①③④正确．故答案为：①③④．点评：本题考查了三角函数的图象和性质，属于难题．三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求；（2）若，求△ABC面积的最大值．考点：正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：（1）根据三角函数的公式将化简，即可得到结论；（2）根据正弦定理以及三角形的面积公式即可得到结论．解答：解：（1）∵=．（2）由a2=b2+c2﹣2bccos2A得：，∴bc，∵．∴sinA=，∴△ABC的面积S=．∴△ABC面积的最大值为．点评：本题主要考查三角公式的计算以及三角形面积的计算，利用正弦定理和余弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n2+n，n∈N*，数列{b n}满足a n=4log2b n+3，n∈N*．（1）求a n，b n；（2）求数列{a n•b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差关系的确定；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由S n=2n2+n可得，当n=1时，可求a1=3，当n≥2时，由a n=s n﹣s n﹣1可求通项，进而可求b n（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，利用错位相减可求数列的和解答：解：（Ⅰ）由S n=2n2+n可得，当n=1时，a1=s1=3当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）=4n﹣1而n=1，a1=4﹣1=3适合上式，故a n=4n﹣1，又∵a n=4log2b n+3=4n﹣1∴（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2T n=3×2+7×22+…+（4n﹣5）•2n﹣1+（4n﹣1）•2n∴=（4n﹣1）•2n=（4n﹣1）•2n﹣[3+4（2n﹣2）]=（4n﹣5）•2n+5点评：本题主要考查了数列的递推公式在数列的通项公式求解中的应用，数列求和的错位相减求和方法的应用．20．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点．（1）求证：BC1∥平面CA1D；（2）求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B；（3）若底面ABC为边长为2的正三角形，BB1=，求三棱锥B1﹣A1DC的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）连接AC1交A1C于点E，连接DE，由直三棱柱的几何特征及三角形中位线定理，可得DE∥BC1，进而由线面平行的判定定理得到结论；（2）先利用面面垂直的性质定理证明直线CD⊥平面AA1B1B，再由面面垂直的判定定理证明所证结论即可（3）三棱锥B1﹣A1DC的体积=，求出棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案．解答：证明：（1）连接AC1交A1C于点E，连接DE∵四边形AA1C1C是矩形，则E为AC1的中点又∵D是AB的中点，DE∥BC1，又DE⊂面CA1D，BC1⊄面CA1D，∴BC1∥平面CA1D；（2）AC=BC，D是AB的中点，∴AB⊥CD，又∵AA1⊥面ABC，CD⊂面ABC，∴AA1⊥CD，∵AA1∩AB=A，∴CD⊥面AA1B1B，又∵CD⊂面CA1D，∴平面CA1D⊥平面AA1B1B（3）则由（2）知CD⊥面ABB1B，∴三棱锥B1﹣A1DC底面B1A1D上的高就是CD=，又∵BD=1，BB1=，∴A1D=B1D=A1B1=2，=，∴三棱锥B1﹣A1DC的体积===1点评：本题主要考查了直棱柱中的线面、面面关系，线面及面面平行、垂直的判定定理和性质定理的应用，棱锥的体积，推理论证的能力和表达能力，注意证明过程的严密性21．若椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e为，且椭圆C的一个焦点与抛物线y2=﹣12x的焦点重合．（1）求椭圆C的方程；（2）设点M（2，0），点Q是椭圆上一点，当|MQ|最小时，试求点Q的坐标；（3）设P（m，0）为椭圆C长轴（含端点）上的一个动点，过P点斜率为k的直线l交椭圆与A，B两点，若|PA|2+|PB|2的值仅依赖于k而与m无关，求k的值．考点：直线与圆锥曲线的关系；两点间距离公式的应用；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）先求出焦点的坐标，再由离心率求得半长轴的长，从而得到短半轴长，即可写出椭圆的标准方程；（2）用坐标表示出|MQ|2，利用配方法可得结论；（3）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，表示出|PA|2+|PB|2，根据|PA|2+|PB|2的值仅依赖于k而与m无关，可得等式，从而可求k的值．解答：解：（1）由题意可得：抛物线y2=﹣12x的焦点（﹣3，0），∵=，∴a=5，∴=4∴椭圆C的方程为；（2）设Q（x，y），﹣5≤x≤5∴|MQ|2=（x﹣2）2+y2=∵对称轴为x=＞5，∴x=5时，|MQ|2取得最小值∴当|MQ|最小时，点Q的坐标为（5，0）；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l：y=k（x﹣m）直线代入椭圆方程，消去y可得（25k2+16）x2﹣50mk2x+25m2k2﹣400=0∴x1+x2=，x1x2=∴y1+y2=k（x1+x2）﹣2km=﹣，y1y2=∴|PA|2+|PB|2=+=（k2+1）•∵|PA|2+|PB|2的值仅依赖于k而与m无关，∴512﹣800k2=0，解得k=．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查配方法的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．22．已知函数f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）图象与x轴异于原点的交点M 处的切线为l1，g（x﹣1）与x轴的交点N处的切线为l2，并且l1与l2平行．（1）求f（2）的值；（2）已知实数t∈R，求函数y=f[xg（x）+t]，x∈[1，e]的最小值；（3）令F（x）=g（x）+g′（x），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，对于两个大于1的正数α，β，存在实数m满足：α=mx1+（1﹣m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，并且使得不等式|F （α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|恒成立，求实数m的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：（1）利用导数的几何意义，分别求两函数在与两坐标轴的交点处的切线斜率，令其相等解方程即可得a值，从而得到f（2）的值；（2）令u=xlnx，再研究二次函数u2+（2t﹣1）u+t2﹣t图象是对称轴u=，开口向上的抛物线，结合其性质求出最值；（3）先由题意得到F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+，再利用导数工具研究所以F（x）在区间（1，+∞）上单调递增，得到当x≥1时，F（x）≥F（1）＞0，下面对m进行分类讨论：①当m∈（0，1）时，②当m≤0时，③当m≥1时，结合不等式的性质即可求出a的取值范围．解答：解：（1）y=f（x）图象与x轴异于原点的交点M（a，0），f′（x）=2x﹣ay=g（x﹣1）=ln（x﹣1）图象与x轴的交点N（2，0），g′（x﹣1）=由题意可得k=k，即a=1，…∴f（x）=x2﹣x，f（2）=22﹣2=2 …（2）y=f[xg（x）+t]=[xlnx+t]2﹣（xlnx+t）=（xlnx）2+（2t﹣1）（xlnx）+t2﹣t，…令u=xlnx，在 x∈[1，e]时，u′=lnx+1＞0，∴u=xlnx在[1，e]单调递增，0≤u≤e …u2+（2t﹣1）u+t2﹣t图象的对称轴u=，抛物线开口向上①当u=≤0即t时，y最小=t2﹣t …②当u=≥e即t时，y最小=e2+（2t﹣1）e+t2﹣t …③当0＜＜e即时，y最小=y=﹣…（3）F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+，F′（x）=所以F（x）在区间（1，+∞）上单调递增…∴当x≥1时，F（x）≥F（1）＞0①当m∈（0，1）时，有α=mx1+（1﹣m）x2＞mx1+（1﹣m）x1=x1，α=mx1+（1﹣m）x2＜mx2+（1﹣m）x2=x2，得α∈（x1，x2），同理β∈（x1，x2），…∴由f（x）的单调性知 0＜F（x1）＜F（α）、f（β）＜f（x2）从而有|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|，符合题设．…②当m≤0时，，α=mx1+（1﹣m）x2≥mx2+（1﹣m）x2=x2，β=mx2+（1﹣m）x1≤mx1+（1﹣m）x1=x1，由f（x）的单调性知，F（β）≤F（x1）＜f（x2）≤F（α）∴|F（α）﹣F（β）|≥|F（x1）﹣F（x2）|，与题设不符…③当m≥1时，同理可得α≤x1，β≥x2，得|F（α）﹣F（β）|≥|F（x1）﹣F（x2）|，与题设不符．…∴综合①、②、③得 m∈（0，1）…说明：各题如有其它解法，按照相应的步骤给分．点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．四、【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分10分）23．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=4sin（θ+）．现以点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（I）写出直线l和曲线C的普通方程；（Ⅱ）设直线l和曲线C交于A，B两点，定点P（﹣2，﹣3），求|PA|•|PB|的值．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）把直线的参数方程、曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程．（Ⅱ）把直线l的参数方程带入到圆C，利用韦达定理以及直线标准参数方程下t的几何意义求得|PA|•|PB|的值解答：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程即，所以ρ2=4ρsinθ+4ρcosθ，所以x2+y2﹣4x﹣4y=0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2=8．把直线l的参数方程为（t为参数）消去参数，化为普通方程为：．（Ⅱ）把直线l的参数方程带入到圆C：x2+y2﹣4x﹣4y=0，得，∴，∴t1t2=33．因为点P（﹣2，﹣3）显然在直线l上，由直线标准参数方程下t的几何意义知|PA||PB|=|t1t2|=33，所以|PA||PB|=33．点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，参数的几何意义，属于基础题．J26475 676B 杫33173 8195 膕36298 8DCA 跊u5'33981 84BD 蒽26922 692A 椪21841 5551 啑36214 8D76 赶31664 7BB0 箰31217 79F1 秱27199 6A3F 樿t。
高三上学期第三次月考数学试卷(附答案解析)
高三上学期第三次月考数学试卷(附答案解析)考试时间：120分钟；总分：150分学校:___________姓名：___________班级：___________第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合A={−1,0,1,2,},B={x∈Z|x−2x≤0}，则A∩B=( )A. {0,1}B. {1,2}C. {−1,1,2}D. {0,1,2}2. 若复数z=a+2i2−i(a∈R)为纯虚数，则a=( )A. −4B. −2C. −1D. 13. 已知向量a=(1,−1),b=(1,t)，若〈a,b〉=π3，则t=( )A. 2−3B. 2+3C. 2+3或2−3D. −14. 若函数f(x)=1−cosxsinx(x∈[π3,π2])，则f(x)的值域为( )A. [3,+∞)B. [33,+∞)C. [1,3]D. [33,1]5. 正四面体S−ABC内接于一个半径为R的球，则该正四面体的棱长与这个球的半径的比值为( )A. 64B. 33C. 263D. 36. 在给某小区的花园绿化时，绿化工人需要将6棵高矮不同的小树在花园中栽成前后两排，每排3棵，则后排的每棵小树都对应比它前排每棵小树高的概率是( )A. 13B. 16C. 18D. 1127. 如图，圆内接四边形ABCD中，DA⊥AB，∠D=45°，AB=2，BC=22，AD=6.现将该四边形沿AD旋转一周，则旋转形成的几何体的体积为( )A. 84π3B. 30πC. 92π3D. 40π8. 函数f(x)的定义域为R，且f(x)−f(x+4)=0，当−2≤x<0时，f(x)=(x+1)2，当0≤x<2时，f(x)=1−x，则n=12022f(n)=( )A. 1010B. 1011C. 1012D. 1013二、多选题（本大题共4小题，共20分。
高三上学期第三次月考数学试题(含答案)
高三上学期第三次月考数学试题（含答案）考生在温习中多做题是高考数学温习中最重要的局部了，为此查字典数学网整理了2021届高三上学期第三次月考数学试题，请考生及时停止练习。
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，总分值60分.在每题给出的四个选项中，只要一项为哪一项契合标题要求的.1.不等式(1+x)(1-|x|)0的解集是A. B. C. D.2.等差数列中，，，那么此数列前20项和等于A.160B.180C.200D.2203.向量，, 那么是与夹角为锐角的A.必要而不充沛条件B.充沛而不用要条件C.充沛必要条件D.既不充沛也不用要条件4.对一实在数x，不等式恒成立，那么实数a的取值范围是A.(-，-2)B.[-2，+)C.[-2,2]D.[0，+)5.命题，假定是真命题，那么实数的取值范围是A. B. C. D.6.设点是函数与的图象的一个交点，那么的值为A. 2B. 2+C. 2+D. 由于不独一，故不确定7.x、y为正实数，且x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，那么的取值范围是A.RB.C.D.8.圆C的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆C相切，那么圆C的方程为A.B.C.D.9.数列的通项公式为=，其中a、b、c均为正数，那么与的大小是A. B. C. = D. 与n的取值有关10.，是平面内两个相互垂直的单位向量，假定向量满足,那么的最大值是A.1B.2C.D.11. 函数在区间上的一切零点之和等于A. 2B. 6C. 8D. 1012.函数的周期为4，且事先，其中.假定方程恰有5个实数解，那么的取值范围为A. B. C. D.第二卷本卷包括必考题和选考题两局部.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必需做答.第22题～第24题为选考题，考生依据要求做答.二.填空题：本大题共4小题，每题5分。
13.直线ax+y+1=0与连结A(2,3)，B(-3,2)的线段相交，那么a的取值范围是_ _.14.过点的直线与圆交于、两点，为圆心，当最小时，直线的方程是 .15.、满足约束条件，假定目的函数的最大值为7，那么的最小值为。
高三上第三次月考数学试卷.doc
高三上第三次月考数学试卷总分150分一、选择题(本大题包括10小题，每小题5分，共50分。
每小题恰有一个选项最符合题意。
) 1、直线x=－1与直线3x+y=0的夹角为: A.6π B. 3πC. 23πD. 56π2、已知)40sin ,40(cos οορ=a ，)20cos ,20(sin οορ=b ，则b a ρρ⋅的值为A ．22 , B.21, C.23, D.1 3、将函数x y 2sin =的图象按向量)0,6(π-=a ρ平移后的图象的函数解析式为A ．)32sin(π+=x y B ．)32sin(π-=x y C.)62sin(π+=x y D.)62sin(π-=x y4、已知双曲线191622=-y x ，则双曲线上的点P 到左焦点的距离与点P 到左准线的距离之比等于 A ．54 B ．34 C ．47 D ．455、4)2(x x +的展开式中x 3的系数是A ．6B ．12C ．24D ．486、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A ．1y x =，B ．2xy -=，C ．1lg 1x y x-=+，D ．||y x =- 7、将棱长相等的正方体按右图所示的形状摆放，从上往下依次为第1层，第2层，第3 层，…，则第6层正方形的个数是A ．28B ．21C ．15D ．11．8、设α，β，γ为两两不重合的平面，,m n 为两条不重合的直线，给出下列四个命题：① 若,//αγβγ⊥则αβ⊥；②若//,//,αγβγ则//αβ； ③若//,//,m n αα则//m n ； ④若,,m αγβγαβ⊥⊥=I ,则m γ⊥。
其中真命题的个数是A ．1B ．2 C. 3 D ．4 9、若21:20,:0,|1|xp x x q x +--<>-则p 是q 的A ．充分不必要条件，B ．必要不充分条件，C ．充要条件 ，D 既不充分也不必要条件。
10、如果一条直线与一个平面平行，那么，称此直线与平面构成一个“平行线面对”。
2021-2022年高三数学上学期第三次月考试题
2021-2022年高三数学上学期第三次月考试题一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ． 【解析】试题分析：因,故,故应选C.2. 已知复数，其中为虚数单位，则复数在复平面上所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】B【解析】试题分析：，所以复数在复平面上所对应的点位于第二象限，选B ．3.若复数a i i a 为纯虚数，则实数+-1的值为A ．B ．0C ．1D ．－1 【解析】试题分析：()()()()()()2111111ia a i i i i a i i a z +--=-+--=+-=，若为纯虚数，则，所以，故选C.4. 向量，，若，则（ ）A ．2B ．C ．D ．【解析】试题分析：22()(2)()(2)02(2)0a b a b a b a b a b a b λλλλ-⊥+⇒-⋅+=⇒-+-⋅=221(2)(1)03λλλ⇒⨯-⨯+--=⇒=，选C ．5.设，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】试题分析：由题意得，根据指数函数与对数函数的性质，可知，，，所以，故选C.考点：指数函数与对数函数的性质.6.函数在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是（）A．1，-17 B．3,-17 C．1，-1 D．9，-19【解析】试题分析：由，得，当时，，当时，，当时，，故的极小值、极大值分别为，，而，，故函数在上的最大值、最小值分别是、，故选项为B.7.函数的图象的相邻两个对称中心间的距离为A． B． C． D.．【解析】试题分析：相邻两个对称中心间的距离为半个周期，所以,故选B.8.函数的一个零点落在下列哪个区间A． B． C． D．试题分析：，即，所以在上有一个零点．故选B．9.已知函数，则函数的图象（）A ．最小正周期为B ．关于点对称C ．在区间上为减函数D ．关于直线对称 【答案】D10. 如图，已知点O 是边长为1的等边三角形ABC 的中心，则(OA →＋OB →)·(OA →＋OC →)等于( )A.19 B ．－19 C.16D ．－16解析：由题意知，(OA →＋OB →)·(OA →＋OC →)＝(－OC →)·(－OB →)＝|OC →|·|OB →|cos120°＝32×23×32×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－16. 答案：D11. 函数的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】试题分析：函数的定义域为，并且，令，解得，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以当时，函数取得最小值，而()02ln 22ln 12222ln 22222>=--=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ee e e e e ef ，所以函数与x 轴没有交点，即函数零点的个数为0，故选A.12. 若函数在区间[0,1]单调递增，则的取值范围为（ ） A ． B ． C ． D ．【解析】试题分析：，因为在上单调递增，所以即在上恒成立，也即恒成立，而在上单调递增，所以，故.故选A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 已知，，且与的夹角为，则_______.【解析】139213242442=+⨯⨯⨯-⨯=⋅-=，故，故答案为.【考点】向量的模长. 14.函数()2sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的图象如图所示，则 ， .【答案】；【解析】试题分析：由题设所提供的图形信息可知,即,所以；又,故,由于,所以,应填. 15. 已知偶函数在单调递减，若f （x －2）＞ｆ（3），则的取值范围是__________.【答案】16. 已知直线y =e x +1与曲线相切，则a 的值为 ．【答案】 【解析】试题分析：1ln()'y x a y x a=+⇒=+，由，，此时，所以，． 考点：导数的几何意义．【名师点睛】求函数曲线在点处的切线方程，根据导数的几何意义，只要求出导数，则切线方程为000()'()()y f x f x x x -=-．要注意所求是在某点处的切线，还是过某点的切线，如果是求过某点的切线，一般设切线为，求出切线方程，然后把点坐标代入求出即得．三、解答题:（解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）17．(本题满分12分) 已知函数（，）的图像关于直线x＝π3对称，最大值为3，且图像上相邻两个最高点的距离为．（1）求的最小正周期；（2）求函数的解析式；（3）若,求．（3）∵7 ()2sin[2()]12sin()12cos1 2323625 fθπθπππθθ+=+-+=++=+=,考点：函数的图象和性质，同角间的三角函数关系． 18.（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，已知，. （1）求的值；（2）设为的中点，若的面积为，求的长. 【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)借助题设条件判定三角形的形状求解；(2)借助三角形的面积公式和余弦定理求解. 试题解析： （1）由，得即22()()||||0AC BC AC BC AC BC -•+=-= ∴（也可以由数量积的几何意义得出） ∴，与都是锐角 ∴∴sin sin()sin()sin 22C A B A B A π=--=+=（2）由21sin 29S ab C a === 得：∴又21cos cos(2)cos 2(12sin )9C A A A π=-=-=--= 中，由余弦定理得：2222cos BD CD BC CD BC C =+-•22136236419=+-•••=∴19.（本小题满分12分）甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a 海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的 3 倍，则甲船应沿什么方向行驶才能追上乙船？追上时甲船行驶了多少海里？解：如图所示，设到C 点甲船追上乙船，乙到C 地用的时间为t ，乙船速度为v ，则BC＝tv ，AC ＝3tv ，B ＝120°，由正弦定理知BCsin ∠CAB＝AC sin B，∴1sin ∠CAB ＝3sin120°， ∴sin ∠CAB ＝12，∴∠CAB ＝30°，∴∠ACB ＝30°，∴BC ＝AB ＝a ，∴AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos120°＝a 2＋a 2－2a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2，∴AC ＝3a ，沿北偏东30°方向行驶才能追上乙船，追上时甲行驶了3a 海里．20. （本小题满分12分）已知定义域为的单调函数是奇函数，当 时，. （1）求的解析式；（2）若对任意的，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）2,03()0,02,03xx x x f x x xx -⎧->⎪⎪==⎨⎪⎪+<⎩；（2）．（2）,为的单调函数在上单调递减.由得是奇函数又是减函数即对任意恒成立得即为所求．……………………12分21．（本小题满分12分）已知函数的图象过点，且在点处的切线方程．（1）求函数的解析式；（2）求函数与的图像有三个交点，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.（2）因为函数与的图像有三个交点2923233223++-=+--axxxxx有三个根，即有三个根令，则的图像与图像有三个交点．接下来求的极大值与极小值．∴，令，解得或，当或时，；当时，，∴的增区间是，；减区间是，的极大值为，的极小值为因此.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22 （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知曲线，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线．（1）将曲线上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线，试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程；（2）在曲线上求一点P，使点P到直线的距离最大，并求出此最大值．23．（本小题满分10分）选修4—5: 不等式选讲． 已知函数()||21().f x x a x a R =++-∈（1）当时，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求的取值范围.（2）因为的解集包含不等式可化为，………………………………………7分解得，由已知得11211aa⎧--≤⎪⎨⎪-+≥⎩，……………………………………9分解得所以的取值范围是.…………………………………10分考点：绝对值不等式．27277 6A8D 檍21473 53E1 叡34337 8621 蘡32104 7D68 絨|;32551 7F27 缧V38802 9792 鞒@30765 782D 砭o23790 5CEE 峮M。
高三数学第三次月考试题(含解析)
——————————新学期新成绩新目标新方向——————————2019届高三数学第三次月考试题（含解析）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知，故选A.2. 设集合为，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知可得，，为不能被整除的数，为整数，又分母相同，故，故选B.3. 已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. 或 D. 2或【答案】A【解析】因为焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，所以，故选A.4. 一支田径队有男运动员40人，女运动员30人，要从全体运动员中抽取一个容量为28的样本来研究一个与性别有关的指标，则抽取的男运动员人数为（）A. 20B. 18C. 16D. 12【答案】C【解析】因为田径队男运动员，女运动员人，所以这支田径队共有人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为的样本，所以每个个体被抽到的概率是，因为田径队有男运动员人，所以男运动员要抽取人，故选C.5. 等差数列中，是函数的两个零点，则的前9项和等于（）A. -18B. 9C. 18D. 36【答案】C【解析】等差数列中，是函数两个零点，的前项和，，故选C...................6. 已知，则（）A. 0B. 1C. 32D. -1【答案】A【解析】由二项展开式的通项公式，可知都小于．则．在原二项展开式中令，可得．故本题答案选．7. 下图所示中，为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，为该题的最终得分，当，，时，等于（）A. 11B. 10C. 7D. 8【答案】D【解析】当，时，不满足，，故此时输入的值，并判断，若满足条件，此时，解得，这与与条件矛盾，若不满足条件，此时，解得，此时不成立，符合题意，综上所述，，故选D.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8. 已知的面积为12，如果，则的面积为（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】设，以为邻边作平行四边形，连接则，，，，所以可得的面积为，故选C.9. 已知，，，，从这四个数中任取一个数使函数有极值点的概率为（）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】对求导得若函数有极值点，则有2个不相等的实数根，故，解得，而满足条件的有2个，分别是，故满足条件的概率故选：B．【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及对数、指数的性质，解题时准确理解题意是解题的关键．10. 已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，且满足则其外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题可知，O为△ABC的重心，△ABC外接圆的半径为，且三棱锥的高为1．故∴球＝＝，故选D考点： 三棱锥外接球的半径 球的表面积公式11. 已知为抛物线的焦点，过作两条夹角为的直线，交抛物线于两点，交抛物线于两点，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设直线的倾斜角为，则的倾斜角为，由过焦点的弦长公式，可得，，所以可得，的最大值为，故选D.12. 已知，函数对任意有成立，与的图象有个交点为，…，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】化简，的图象关于对称，由可得,可得的图象也关于对称，因此与的图象的个交点为，…，，也关于对称，所以，，设，则，两式相加可，同理可得，，故选D.【方法点睛】本题主要考函数的对称性、函数的图象与性质、倒序相加法求和以及数学的转化与划归思想. 属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.解答本题的关键是将等式与解析式转化为对称问题，将对称问题转化为倒序相加求和.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. __________．【答案】1【解析】由，故答案为.14. 在中，三顶点，，，点在内部及边界运动，则最大值为__________．【答案】【解析】画出符合题意的的平面区域如图：（阴影部分），由得，平移直线，由平移可知当直线，经过时，直线的截距最小，此时取得最大值，代入，即的最大值是，故答案为.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 若半径为1的球与的二面角的两个半平面切于两点，则两切点间的球面距离（即经过两点的大圆的劣弧长）是__________．【答案】【解析】画出图形，如图，在四边形中，是球的大圆的切线，，，两切点间的球面距离是弧，故答案为.16. 在数1和2之间插入个正数，使得这个数构成递增等比数列，将这个数的乘积记为，令，，______．【答案】【解析】设在数和之间插入个正数，使得这个数构成递增等比数列为，则，即为此等比数列的公比，，，由，又，，，，故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 不是直角三角形，它的三个角所对的边分别为，已知. （1）求证：；（2）如果，求面积的最大值.【答案】（1）见解析；（2）48【解析】试题分析：（1）由，根据正弦定理及两角和的正弦公式化简可得，因为不是直角三角形，所以，由正弦定理可得；（2）视为定点,求出满足条件下的轨迹为一个圆，圆心在直上，当上升到离直线最远时面积最大.试题解析：（1）由，根据正弦定理可得，，因为不是直角三角形，所以，由正弦定理可得；（2）方法一：b=2a.c=12，余弦定理用a表示cosC,表示出sinC,进而用a表示出,求出该函数的最大值.(最费力的做法)方法二:视A.B为定点,求出满足b=2a条件下C的轨迹为一个圆，圆心在直线AB上，当C上升到离直线AB最远时面积最大。
高三数学上学期第三次月考试题文(扫描版)(2021学年)
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