陕西省2016届高三高考全真模拟考试(五)文数试题(原卷版)

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陕西省2016届高三高考全真模拟考试(五)理数试题(解析版)

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.计算()212i i i++-等于（） A ．45i - B ．34i - C ．54i - D ．43i - 【答案】A 【解析】试题分析：()212(1)44145i i i i i i i++-=-++--=-，故选A ．考点：复数的运算．2.若()()sin cos cos sin m αβααβα---=，且β为第三象限的角，则cos β的值为（）A B ． C D ．【答案】B 【解析】试题分析：因为()()()sin cos cos sin sin[]sin m αβααβααβαβ---=--=-=，所以sin m β=-，又β为第三象限的角，所以cos β==B ．考点：1、两角差的正弦公式；2、同角三角形函数间的基本关系． 3. 已知命题:p R x ∀∈，cos 1x >，则p ⌝是（）A ．R x ∃∈，cos 1x <B ．R x ∀∈，cos 1x <C ．R x ∀∈，cos 1x ≤D ．R x ∃∈，cos 1x ≤ 【答案】D 【解析】试题分析：由全称命题的否定为特称命题，知p ⌝为x ∃∈R ，cos 1x ≤，故选D ．考点：全称命题的否定．4.已知数列{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差等于（） A ．23-B ．13-C ．13D ．23【答案】D【解析】试题分析：由题意，得1191010910702a d a d +=⎧⎪⎨⨯+⨯=⎪⎩，解得1423a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，故选D ．考点：等差数列的通项公式及前n 项和公式．【一题多解】由11010110()5(10)702a a S a +==+=，得14a =，所以101112()(106)993d a a =-=-=，故选D ．5.一个简单组合体的三视图及尺寸如右图所示（单位：mm ），则该组合体的体积为（）A ．32B ．48C ．56D ．64 【答案】D 【解析】试题分析：由三视图知，该几何体是由两个长方体叠加构成的简单组合体，且下面长方体的长、宽、高分别为6mm 、4mm 、1mm ，上面长方体的长、宽、高分别为2mm 、4mm 、5mm ，所以该组合体的体积为64124564⨯⨯+⨯⨯=，故选D ．考点：1、空间几何体的体积；2、长方体的体积．【方法点睛】由三视图还原几何体首先要观察分析确定几何体是否为组合体，如果是组合体，则要分清其组合方式：前后组合、左右组合、上下组合、内外组合，然后进行部分还原，从而达到整体还原，从而利用相关公式计算几何体的表面积或体积．6.执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出n 为（）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】B考点：程序框图7.已知直线m 、l 与平面α、β、γ满足l βγ=，//l α，m α⊂，m γ⊥，则下列命题一定正确的是（）A ．αγ⊥且l m ⊥B ．αγ⊥且//m βC ．//m β且l m ⊥D ．//αβ且αγ⊥ 【答案】A 【解析】试题分析：因为m α⊂，m γ⊥，所以αγ⊥，又l βγ=，所以l γ⊂，所以l m ⊥，所以A 一定正确，故选A ．考点：空间直线与平面的位置关系．8.海面上有A ，B ，C 三个灯塔，10n AB =mile ，从A 望C 和B 成60视角，从B 望C 和A 成75视角，则C B =（）n mile ．（n mile 表示海里，1n mile 1582=m ）．A． BC．．【答案】D 【解析】试题分析：由题意，知在ABC ∆中，||10AB =，60A ∠=︒，75B ∠=︒，所以45C ∠=︒，所以由正弦定理，得||10sin 60sin 45BC =︒︒，解得||BC =D ．考点：正弦定理．9.口袋里装有红球、白球、黑球各1个，这3个球除颜色外完全相同，有放回的连续抽取2次，每次从中任意地取出1个球，则两次取出的球颜色不同的概率是（） A ．29 B ．13 C ．23 D ．89【答案】C 【解析】试题分析：由题意，知基本事件总数11339n C C ==，能两次取出的球颜色不同包含的基本事件个数11326m C C ==，所以能两次取出的球颜色不同的概率为6293m P n ===，故选C ．考点：古典概型． 10.曲线12x y e =在点()24,e 处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（）A ．292e B ．24e C ．22e D ．2e 【答案】D 【解析】试题分析：由题意，得2'2x e y =，24'|2x e y ==，切线为22(4)2e y e x -=-，即222e y x e =-，切线与坐标轴的交点为2(0,),(2,0)e -，则所围成的三角形的面积为22122S e e =⋅=，故选D ．考点：11.已知点P 是圆：224x y +=上的动点，点A ，B ，C 是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且C 0AB⋅B =，则C PA +PB +P 的最小值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】A 【解析】试题分析：因为0AB BC ⋅=，所以AB BC ⊥，即90ABC ∠=︒，所以AC 为ABC ∆外接圆直径．建立如图所示直角坐标系，则3PA PB PC PO OA PO OB PO OC PO OB ++=+++++=+．因为P 是圆224x y +=上的动点，所以||2PO =，所以|||3|3||||5PA PB PC PO OB PO OB ++=+≥-=，当OP 与OB 共线时取得最小值5，故选A ．考点：1、向量加减运算；2、向量模的运算．【方法点睛】向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”． 12.已知函数()()()212ln f x a x x =---，()1xg x xe-=（R a ∈，e 为自然对数的底数），若对任意给定的(]00,x e ∈，在(]0,e 上总存在两个不同的i x （1i =，2），使得()()0i f x g x =成立，则a 的取值范围是（） A ．25,1e e -⎛⎤-∞ ⎥-⎝⎦ B ．22,e e -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．22,2e e -⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．2522,1e e e e --⎡⎫⎪⎢-⎣⎭【答案】A 【解析】试题分析：因为()1(1)xg x x e-'=-，所以()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,]e 上单调递减，又因为(0)0g =，(1)1g =，2()0e g e e -=>，所以()g x 在(0,]e 上的值域为(0,1]．因为()22f x a x'=--＝2(2)()2a x a x---，(]0,x e ∈，当22x a =-时，()0f x '=，()f x 在22x a =-处取得最小值2()2f a-＝22ln2a a --．由题意，知()f x 在(0,]e 上不单调，所以202e a <<-，解得22e a e-<，所以对任意给定的(]00,x e ∈，在(0,]e 上总存在两个不同的i x （1i =，2），使得()()0i f x g x =成立，当且仅当a 满足条件2()02f a ≤-且()1f e ≥．因为(1)0f =，所以2()02f a ≤-恒成立．由()1f e ≥，解得25e a e-≤．综上所述，a 的取值范围是25(,]e e--∞，故选A ．考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数极值与导数的关系．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知实数x ，y 满足2x y y x+≤⎧⎨≤⎩，z x ay =+（1a >）的最大值为3，则实数a = ．【答案】2 【解析】试题分析：作出不等式组表示的平面区域如图所示，由图知，当目标函数z x ay =+（1a >）经过点(1,1)A 时取得最大值，即max 13z a =+=，解得2a =．考点：简单的线性规划问题．【方法点睛】线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数列结合确定目标函数何时取得最值．解题要看清楚是求“最大值”还是求“最小值”，否则很容易出现错误，画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误．14.定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x =-，当1x ≠时，有()()xf x f x ''>成立；若12m <<，()2m a f =，()2b f =，()2log c f m =，则a ，b ，c 大小关系为．【答案】c b a << 【解析】试题分析：由()()2f x f x =-知函数()f x 关于直线1x =对称．令()()f x g x x=，则()()2()xf x f x g x x'-'=．因为当1x ≠时，()()xf x f x ''>成立，所以当1x ≠时，()0g x '>，所以当1x ≠时()g x 递增．因为12m <<，所以224m<<，20log 1m <<，所以c b a <<．考点：1、函数的图象；2、利用导数研究函数的单调性．【技巧点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类的问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了．15.已知抛物线C :24y x =与点()1,2M -，过C 的焦点，且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若0MA⋅MB =，则k = ．【答案】1 【解析】试题分析：由题意，知抛物线的焦点为(1,0)F ．设直线AB 的方程为(1)y k x =-，联立抛物线方程消去y ，得2222(24)0k x k x k -++=．设1122(,),(,)A x y B x y ，则212224k x x k ++=，121x x =，所以12y y +＝124(2)k x x k+-=，2212121212(1)(1)[()1]4y y k x x k x x x x =--=-++=-．因为(1,2)M -，所以MA ＝11(1,2)x y +-，22(1,2)MB x y =+-．因为0MA MB ⋅=，所以1212(1)(1)(2)(2)0x x y y +++--=，整理，得12121212()2()50x x x x y y y y +++-++=，所以2224414250k k k++--⨯+=，即2210k k -+=，所以1k =．考点：1、抛物线的几何性质；2、直线与抛物线的位置关系；3、向量的数量积．16.大学生村官王善良落实政府“精准扶贫”精神，帮助贫困户张三用9万元购进一部节能环保汽车，用于出租．假设第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该车每年的运营收入均为11万元．若该车使用了n （n *∈N ）年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于．【答案】3 【解析】试题分析：设该汽车第n 年的营运费为n a 万元，则数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等差数列，则2n a n =，则该汽车使用了n 年的营运费总和为2n T n n =+．设第n 年的盈利总额为n S ，则211()9n S n n n =-+-＝2109n n -+-，所以年平均盈利额910()104P n n =-+≤-=，当且仅当9n n=，即3n =时等号成立，所以当3n =时年平均盈利额达到最大值．考点：1、等差数列的通项公式；2、数列求和；3、基本不等式．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知函数())2sin sin 2f x x x x =+-．（1）若点)1P-在角α的终边上，求()f α的值；（2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最值．【答案】（1）3-；（2）()max 1f x =，()min 2f x =-．考点：1、三角函数的定义；2、倍角公式；3、两角差的正弦公式；4、正弦函数的图象与性质． 18.（本小题满分12分）如图，直三棱柱C C '''AB -A B 中，2C 2C 'AA =A =B ，E 为'AA 的中点，C 'E ⊥BE ．（1）求证：平面BC 'E ⊥平面C B E ；（2）求直线'AB 与平面C 'BE 所成角的大小．【答案】（1）见解析；（2）30︒．【解析】试题分析：（1）首先利用矩形的性质推出C E EC '⊥，然后结合已知条件可推出C E '⊥平面BCE ，从而使问题得证；（2）以C 为原点建立空间直角坐标系，然后求得相关点的坐标及向量，从而求得平面BEC '的法向量，进而利用空间夹角公式求解即可．试题解析：（1）证明：在矩形CC ''A A 中，E 为'AA 中点，且2C 'AA =A∴C EA =A ，C '''EA =A ，∴C C 45''∠AE =∠A E =∴C C 'E ⊥E ．…………………2分又C 'E ⊥BE ，C EBE =E∴C 'E ⊥平面C B E ，又C 'E ⊂平面C 'B E∴平面C 'B E ⊥平面C B E ．…………………6分（2）由（1）知C C 'E ⊥B 又C CC 'B ⊥，且C CC C '''E=∴C B ⊥平面CC ''A A∴C C B ⊥A …………………8分如图，以C A ，C B ，CC '分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系C xyz -．令C 1A =，则()1,0,0A ，()0,1,0B ，()0,1,2'B ，()1,0,1E ，()C 0,0,2'∴()1,1,1BE =-，()C 0,1,2'B =-，()1,1,2'AB =-设平面C 'BE 法向量(),,n x y z =，则0C 20n x y z n y z ⎧⋅BE =-+=⎪⎨'⋅B =-+=⎪⎩取()1,2,1n =…………………10分设直线'AB 与平面C 'BE 所成的角为θ，则1sin cos ,2n θ'=AB =∴30θ=，即直线'AB 与平面C 'BE 所成角为30︒．…………………12分考点：1、面面垂直的判定定理；2、直线与平面所成角；3、空间向量的应用．【易错点睛】证明线面垂直时，不要忽视面内两条线为相交线这一条件，证明直线与平面垂直的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础．19.（本小题满分12分）某设备在正常运行时，产品的质量()2,mμσN ，其中500μ=g ，21σ=．为了检验设备是否正常运行，质量检查员需要随机的抽取产品，测其质量．（1）当质量检查员随机抽检时，测得一件产品的质量为504g ，他立即要求停止生产，检查设备．请你根据所学知识，判断该质量检查员的决定是否有道理，并说明你判断的依据；进而，请你揭密质量检测员做出“要求停止生产，检查设备”的决定时他参照的质量参数标准；（2）请你根据以下数据，判断优质品与其生产季节有关吗？（3）该质量检查员从其住宅小区到公司上班的途中要经过6个有红绿灯的十字路口，假设他在每个十字路口遇到红灯或绿灯是相互独立的，并且概率均为13．求该质量检查员在上班途中遇到红灯的期望和方差．参考数据：【答案】（1）497m <或503m >；（2）没有充足的理由认为优质品与生产季节有关；（3）2EX =，4D 3X =．【解析】试题分析：（1）首先根据条件判断出5003m σ>+的事件是小概率事件，然后利用()497503m P <<＝0.997求解即可；（2）首先利用公式计算出2χ，然后临界值比较即可得出结论；（3）首先根据条件得到16,3⎛⎫XB ⎪⎝⎭，然后利用公式求解即可．试题解析：（1）()500,1mN ，且()5045003,σ∈++∞又()50030.0015m σP >+=∴5003m σ>+的事件是小概率事件∴该质量检查员的决定有道理．…………………2分()4975030.997m P <<=∴该质量检查员参照的质量参数标准为：497m <或503m >．…………………4分（2）()2250264128250.01293416481217196χ⨯⨯-⨯===⨯⨯⨯⨯⨯（或1<）…………………6分∴21 2.706χ<<．∴没有充足的理由认为优质品与生产季节有关．…………………8分（3）设该质量检查员在上班途中遇到红灯的次数为X ，则16,3⎛⎫X B ⎪⎝⎭…………………10分 ∴2np EX ==（次），∴()4D 13np p X =-=．…………………12分考点：1、正态分布；2、独立性检验思想；3、离散型随机变量的期望与方差．20.（本小题满分12分）椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的左右焦点分别为1F ，2F ，且离心率为12，点M 为椭圆上一动点，12F F ∆M 内切圆面积的最大值为3π．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为1A ，过右焦点2F 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，连结1A A ，1A B 并延长交直线4x =分别于P ，Q 两点，以Q P 为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）()1,0和()7,0．【解析】试题分析：（1）首先设c t =，然后根据离心率得到,a b 与t 的关系，再根据三角形面积取得最大值时点P 为短轴端点，由此求得t 的值，从而求得椭圆方程；（2）首先设出直线AB 的方程，并联立椭圆方程，然后利用韦达定理结合向量数量积的坐标运算求得定点坐标．试题解析：（1）已知椭圆的离心率为12，不妨设c t =，2a t =，即b =，其中0t >，……………2分又12F F ∆M 内切圆面积取最大值3π时，半径取最大值为r =1212F F F F C 2rS ∆M ∆M =⋅，由12F F C ∆M 为定值，因此12F F S ∆M 也取得最大值，即点P 为短轴端点，因此()122222rb ac ⋅⋅=⋅+，()1124222t t t ⋅=+，解得1t =，则椭圆的方程为22143x y +=．…………………6分（2）设直线AB 的方程为1x ty =+，()11,x y A ，()22,x y B ，联立221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2234690t y ty ++-=，则122634t y y t -+=+，122934y y t -=+，直线1AA 的方程为()()()1122y y x x =----，直线1BA 的方程为()()()2222y y x x =----，则1164,2y x ⎛⎫P ⎪+⎝⎭，226Q 4,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，…………………8分假设Q P 为直径的圆是否恒过定点(),m n M ，则1164,2y m n x ⎛⎫MP =-- ⎪+⎝⎭，226Q 4,2y m n x ⎛⎫M =-- ⎪+⎝⎭， ()2121266Q 4022y y m n n x x ⎛⎫⎛⎫MP ⋅M =-+--= ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，即()2121266Q 4033y y m n n ty ty ⎛⎫⎛⎫MP ⋅M =-+--=⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，即()()()()212122212123612184039nt y y n y y n m t y y t y y --+++-=+++，()()()()()()22223612918640936934nt n t n m t t t t ----++-=-+-++，…………………10分即()226940nt n m -++-=，若Q P 为直径的圆是否恒过定点(),m n M ，即不论t 为何值时，Q 0MP ⋅M =恒成立，因此，0n =，1m =或7m =，即恒过定点()1,0和()7,0．…………………12分考点：1、椭圆的几何性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、向量数量积的运算．【方法点睛】求解圆锥曲线中的定点与定值问题的方法有两种：一是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，这种方法难度大，运算量大，且思路不好寻找；另外一种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子或求值时就有了明确的方向．21.（本小题满分12分）已知函数()()2ln 12x f x mx mx =++-，其中01m <≤．（1）当1m =时，求证：10x -<≤时，()33x f x ≤；（2）试讨论函数()y f x =的零点个数．【答案】（1）见解析；（2）当01m <<时，有两个零点；当1m =时；有且仅有一个零点．（i ）当1m =时，120x x ==，由②得()21x f x x'=+……③∴当1x >-时， 10x +>，20x ≥，∴()0f x '≥，此时，函数()f x 为增函数， ∴10x -<<时，()()00f x f <=，()00f =，0x >时，()()00f x f >=，故函数()y f x =，在1x >-上有且只有一个零点0x =；…………………8分（ii ）当01m <<时，10m m -<，且11m m m-<-，由②知，当11,x m m m ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦，10mx +>，0mx <，10x m m ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，此时，()0f x '≥；同理可得，当1,0x m m ⎛⎤∈-⎥⎝⎦，()0f x '≤；当0x ≥时，()0f x '≥； ∴函数()y f x =的增区间为11,m m m ⎛⎤-- ⎥⎝⎦和()0,+∞，减区间为1,0m m ⎛⎤- ⎥⎝⎦故，当10m x m-<<时，()()00f x f >=，当0x >时，()()00f x f >= ∴函数()y f x =，1,x m m ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭有且只有一个零点0x =；又222111ln 2f m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，构造函数()11ln 2t t t t ϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，01t <<，则 ()()222111112t t t t tϕ--⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭……④，易知，对()0,1t ∀∈，()0t ϕ'≤，∴函数()y t ϕ=， 01t <<为减函数，∴()()10t ϕϕ>=由01m <<，知201m <<，∴()222111ln 02f m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……⑤ 构造函数()ln 1k x x x =-+（0x >），则()1xk x x-'=，当01x <≤时，()0k x '≥，当1x > 时，()0k x '<，∴函数()y k x =的增区间为(]0,1，减区间为()1,+∞，∴()()10k x k ≤=，∴有222111ln 11m m m≤-<+，则2112m e m --<，∴21111mem mm ---<-，当21111m e x m m ----<<时，()21ln 11mx m+<--……⑥ 而222112x mx x mx m-<-<+……⑦由⑥⑦知()()22211ln 11102x f x mx mx m m=++-<--++=……⑧又函数()y f x =在11,m mm ⎛⎤-- ⎥⎝⎦上递增，21111m e m m m ---->由⑤⑧和函数零点定理知，2011,m x m m ⎛⎫-∃∈- ⎪⎝⎭，使得()00f x =综上，当01m <<时，函数()()2ln 12x f x mx mx =++-有两个零点，综上所述：当01m <<时，函数()y f x =有两个零点，当1m =时，函数()y f x =有且仅有一个零点．…………………12分考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数零点存在性定理；3、函数最值与导数的关系．【技巧点睛】函数的单调性是使用导数研究函数问题的根本，函数的单调递增区间和单调递减区间的分界点就是函数的极值点，在含有字母参数的函数中讨论函数的单调性就是根据函数的极值点把函数的定义域区间进行分段，在各个分段上研究函数的导数的符号，确定函数的单调性，也确定了函数的极值点，这是讨论函数的单调性和极值点情况进行分类的基本原则．请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，弦AB 与CD 相交于圆O 内一点E ，过E 作C B 的平行线与D A 的延长线交于点P ，且D 2D P =A ．（1）求证：D ∆PE ∆PAE ∽；（2）若PE =，求PA 长．【答案】（1）见解析；（2）6．【解析】试题分析：（1）利用平行线的性质即可使问题得证；（2）利用相似三角形的性质可得2PE PA PD =⋅，然后由已知条件即可求解．试题解析：（1）C//B PE ，∴C D ∠=∠PE …………………2分又∠P 公用，∴D ∆PE ∆PAE ∽…………………5分（2）由（1）知D ∆PE ∆PAE ∽∴DPE P =PA PE， ∴2D PE =PA⋅P …………………7分设D x A =由D 2D P =A 得3x PA =，D 2x P =∴(226x =，∴2x =，∴6PA =为所求．…………………10分考点：相似三角形的判定与性质23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知圆E 的极坐标方程为4sin ρθ=．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中(),ρθ，0ρ≥，[)0,2θπ∈）．（1）直线l 过原点，且它的倾斜角34πα=，求l 与圆E 的交点A 的极坐标（点A 不是坐标原点）；（2）直线m 过线段OA 中点M ，且直线m 交圆E 于B ，C 两点，求C MB -M 的最大值．【答案】（1）34π⎛⎫⎪⎝⎭；（2）．【解析】试题分析：（1）首先根据条件求得直线l 上的点的极角，然后代入圆的极坐标方程即可求得点A 的极坐标；（2）首先求得M 的直角坐标和圆的直角坐标方程，然后将直线m 的参数方程代入圆的直角坐标方程中，从而利用参数的几何意义求解．试题解析：（1）直线l 的倾斜角34πα=，∴直线l 上的点的极角34πθ=或74πθ=，………………2分代入圆E 的极坐标方程为4sin ρθ=得ρ=ρ=-（舍去），∴直线l 与圆E 的交点A 的极坐标为：34π⎛⎫⎪⎝⎭．…………………5分（2）由（1）知线段OA 的中点M 的极坐标为34π⎫⎪⎭， ∴M 的直角坐标为()1,1-，又圆E 的极坐标方程为4sin ρθ=，圆E 的直角坐标方程2240x y y +-=．…………………7分设直线m 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），代入2240x y y +-=得()22sin cos 20t t αα-+-=，()24sin cos 80αα∆=++>．设B ，C 点的参数分别为1t ，2t ，则()122sin cos t t αα+=+，122t t ⋅=-，∴1212C 2sin cos 4t t t t πααα⎛⎫MB -M =-=-=+=+ ⎪⎝⎭，∴maxCMB -M =，此时直线m 的倾斜角4πα=．…………………10分考点：1、直角坐标与极坐标的互化；2、直线的参数方程． 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知()1f x x x a =-++，()22g a a a =--．（1）当3a =，解关于x 的不等式()()2f x g a >+；（2）当[),1x a ∈-时恒有()()f x g a ≤，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()(),42,-∞-+∞；（2）[)3,+∞．【解析】试题分析：（1）首先将3a =分别代入(),()f x g x 的解析式中，然后利用零点分段法求解；（2）首先求得当[),1x a ∈-时函数()f x 的解析式，然后根据()()f x g a ≤求解即可．试题解析：（1）3a =时，()13f x x x =-++，()34g =．…………………2分∴()()2f x g a >+化为136x x -++>解之得：4x <-或2x >∴所求不等式解集为：()(),42,-∞-+∞．…………5分（2）[),1x a ∈-，∴()1f x a =+．…………………7分∴()()22122303f x g a a a a a a a ≤⇔+≤--⇔--≥⇔≥或1a ≤-又1a -<，∴1a >-综上，实数a 的取值范围为：[)3,+∞．…………………10分考点：1、绝对值不等式的解法；2、不等式恒成立问题．：。

2016届陕西省高考全真模拟(五)考试数学(文)试题

2016届陕西省高考全真模拟（五）考试数学（文）试题数学（文科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数()22z i =-，则z 的共轭复数为（）A ．34i +B ．34i -C ．54i -D ．54i + 2.277sin 15168-的值为（）A ．732 B C ．716D 3.已知命题:p R x ∀∈，cos 1x >，则p ⌝是（）A ．R x ∃∈，cos 1x <B ．R x ∀∈，cos 1x <C ．R x ∀∈，cos 1x ≤D ．R x ∃∈，cos 1x ≤4.已知平面向量()1,1a = ，()1,1b =- ，则向量1322a b -=（）A ．()2,1--B ．()1,2-C ．()1,0-D ．()2,1- 5.已知数列{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差等于（） A ．23-B ．13-C ．23D ．136.一个简单组合体的三视图及尺寸如图所示（单位：mm ），则该组合体的体积为（）A ．32B ．48C ．64D ．567. 海面上有A ，B ，C 三个灯塔，10n AB =mile ，从A 望C 和B 成60 视角，从B 望C 和A 成75 视角，则C B =（）n mile ．（n mile 表示海里，1n mile 1852=m ）．A ．BC ．D ．8. 如图，一面旗帜由A ，B ，C 三块区域构成，这三块区域必须涂上不同的颜色，现有红、黄、蓝、黑四种颜色可供选择，则A 区域是红色的概率是（） A ．13 B ．14 C ．12 D ．349.在平面直角坐标系x y O 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为20x y -=，则它的离心率为（）ABCD ．2 10.执行下边的算法语句，则输出S 为（） A ．20152016 B ．40322017 C ．40302016 D ．2016201711.已知点P 是圆：224x y +=上的动点，点A ，B ，C 是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且C 0AB⋅B = ，则C PA +PB +P的最小值为（）A ．5B ．6C ．7D ．812.已知函数()31,,112111,0,6122x x x f x x x ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥+⎪⎝⎦=⎨⎡⎤⎪-+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩，函数()sin 16x g x a a π=-+（0a >），若存在1x ，[]20,1x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是（）A ．13,22⎛⎤⎥⎝⎦ B ．[)1,2 C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知实数x ，y 满足2x y y x+≤⎧⎨≤⎩，则2x y +的最大值为．14.已知l 、m 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列4个命题： ①若l β⊂，且αβ⊥，则l α⊥；②若l β⊥，且//αβ，则l α⊥； ③若l β⊥，且αβ⊥，则//l α；④若m αβ= ，且//l m ，则//l α．其中真命题的序号是．（填上你认为正确的所有命题的序号）15.定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x =-，当1x ≠时，有()()xf x f x ''>成立；若12m <<，()2m a f =，()2b f =，()2log c f m =，则a ，b ，c 大小关系为．16.已知抛物线C :24y x =与点()1,2M -，过C 的焦点，且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若0MA⋅MB =，则k = ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知函数())2sin sin 2f x x x x =+-．（1）若点)1P-在角α的终边上，求()f α的值；（2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最小值．18.（本小题满分12分）如图，直三棱柱C C '''AB -A B 中，2C 2C 'AA =A =B ，E 为'AA 的中点，C 'E ⊥BE ．（1）求证：C 'E ⊥平面C B E ；（2）若C 2A =，求三棱锥C 'B -E B 的体积．19.（本小题满分12分）班主任想对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．（1）如果按性别比例分层抽样，男、女生各抽取多少位才符合抽样要求？（2）随机抽出8位，他们的数学、地理成绩对应如下表：①若规定85分以上（包括85分）为优秀，在该班随机调查一位同学，该同学的数学和地理成绩均为优秀的概率是多少？②根据上表，用变量y 与x 的相关系数或用散点图说明地理成绩y 与数学成绩x 之间线性相关关系的强弱．如果有较强的线性相关关系，求出y 与x 的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关关系，说明理由．参考公式：相关系数r =；回归直线的方程是：ˆˆybx a =+，其中()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-，ˆy是与i x 对应的回归估计值．参考数据：77.5x =，84.9y ≈，()8211050i i x x =-=∑，()821456.9i i y y =-≈∑，()()81687.5iii x x y y =--=∑32.4≈21.4≈23.5≈20.（本小题满分12分）椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的左右焦点分别为1F ，2F ，且离心率为12，点M 为椭圆上一动点，12F F ∆M ．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为1A ，过右焦点2F 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，连结1A A ，1A B 并延长交直线4x =分别于P ，Q 两点，问22F QF P ⋅是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．21.（本小题满分12分）设函数()2ln 2x f x k x =-，R k ∈．（1）求()f x 的单调区间；（2）判断方程()0f x =在区间(上是否有解？若有解，说明解得个数及依据；若无解，说明理由．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，弦AB 与CD 相交于圆O 内一点E ，过E 作C B 的平行线与D A 的延长线交于点P ，且D 2D P =A ．（1）求证：D ∆PE ∆PAE ∽；（2）若PE =，求PA 长．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知圆E 的极坐标方程为4sin ρθ=．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中0ρ≥，[)0,2θπ∈）．（1）直线l 过原点，且它的倾斜角34πα=，求l 与圆E 的交点A 的极坐标（点A 不是坐标原点）；（2）直线m 过线段OA 中点M ，且直线m 交圆E 于B ，C 两点，求证：C MB ⋅M 为定值．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知()1f x x x a =-++，()22g a a a =--．（1）当3a =，解关于x 的不等式()()2f x g a >+；（2）当[),1x a ∈-时恒有()()f x g a ≤，求实数a 的范围．2016年陕西高考全真模拟试题（五）数学（文科）答案一、选择题1.A2.B3.C4.B5.C6.C7.D8.B9.A 10.B 11.A 12.C 二、填空题13.3 14.② 15. c b a << 16. 1 三、解答题17.解：（1）由题意，1sin 2α=-，cos α=2分2sin 216x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．…………………9分又 02x π≤≤，∴52666x πππ-≤-≤．∴1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，∴()21f x -≤≤． ∴()()min 02f x f ==-．…………………12分18.（1）证明：在矩形CC ''A A 中，E 为'AA 中点，且2C 'AA =A∴C EA =A ，C '''EA =A ，∴C C 45''∠AE =∠A E = ∴C C 'E ⊥E ．…………………2分又C 'E ⊥BE ，C E BE =E∴C 'E ⊥平面C B E ．…………………6分（2） C //C ''B B ，C ''B ⊄面C B E ，C B ⊂面C B E∴C //''B 平面C B E∴C C C V V ''B -B E -B E =．…………………8分由（1）知C 'E ⊥平面C B E ，∴C C 'E ⊥B 又C CC 'B ⊥，且C CC C '''E =∴C B ⊥平面CC ''A A ，∴C C B ⊥E ．…………………10分又C 2A =，∴C 2B =，C C 'E =E =∴C C C 1118V C C C C 3323S '-B E B E ''=⋅E =⨯⨯B ⨯E⨯E =．…………………12分19.解：（1）由题意，抽取的男生人数为81532515⨯=+（人）， ∴抽取的女生人数为835-=（人）．…………………4分（2）①设该同学数学和地理成绩均为优秀的事件为A ，则()38P A =．…………………7分 ②687.50.9932.421.4r ==≈⨯，非常接近于1，∴地理成绩y 与数学成绩x 之间有较强的线性相关关系．…………………9分或者其散点图如图∴由散点图知：地理成绩y 与数学成绩x 之间有较强的线性相关关系．又 687.50.651050b =≈，且77.5x =，84.9y ≈ ∴84.90.6577.534.53a y bx =-=-⨯≈∴y 与x 的线性回归方程为：34.530.65y x =+．…………………12分20.（1）已知椭圆的离心率为12，不妨设c t =，2a t =，即b =，其中0t >，又12F F∆MP 为短轴端点，因此122t ⋅=，解得1t =，则椭圆的方程为22143x y +=．…………………6分（2）设直线AB 的方程为1x ty =+，()11,x y A ，()22,x y B ，联立221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2234690t y ty ++-=，则122634t y y t -+=+，122934y y t-=+，直线1AA 的方程为()()()1122y y x x =----，直线1BA 的方程为()()()2222y y x x =----，则1164,2y x ⎛⎫P ⎪+⎝⎭，226Q 4,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，…………………8分从而1216F 3,2y x ⎛⎫P = ⎪+⎝⎭ ，2226F Q 3,2y x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则()12122221212126636F F Q 9902239y y y y x x t y y t y y ⎛⎫⎛⎫P ⋅=+=+= ⎪⎪+++++⎝⎭⎝⎭ ，即22F F Q P ⋅为定值0．…………………12分 21. 解：（1） ()2k x kf x x x x-'=-=…………2分∴0k ≤时，()0,x ∀∈+∞，()0f x '>，0k >时，(x ∀∈，()0f x '<)x ∀∈+∞，()0f x '>．…………4分∴当0k ≤时，()f x 的增区间为()0,+∞，此时()f x 无减区间，当0k >时，()f x的增区间为)+∞，减区间为(．…………5分（2）由（1）知，当0k ≤时，()f x在(上递增，且()1102f =>∴0k ≤时，()f x在(上无实数解．…………………8分（i ）当01k <≤1≤，此时()f x在(上递增， ∴当01k <≤时，()f x在(上也无实数解．（ii ）当1k e <<时，()f x在(的最小值为()ln 1ln 022k kf k k =-=->∴当1k e <<时，()f x在(上也无实数解．（iii ）当k e ≥时，()f x在(上递减，且ln 022e e kf k -=-=≤又()1102f => ∴当k e >时，()f x在(上有且只有一个实数解．综上所述：当k e ≤时，()f x在(上无实数解，当k e >时，()f x在(上有且只有一个实数解．…………12分22.证明：（1） C//B PE ，∴C D ∠=∠PE …………………2分又∠P 公用，∴D ∆PE ∆PAE ∽…………………5分（2）由（1）知D ∆PE ∆PAE ∽∴DPE P =PA PE， ∴2D PE =PA⋅P …………………7分设D x A =由D 2D P =A 得3x PA =，D 2x P =∴(226x =，∴2x =，∴6PA =为所求．…………………10分23.解：（1）直线l 的倾斜角34πα=，∴直线l 上的点的极角34πθ=或74πθ=…………………2分代入圆E 的极坐标方程为4sin ρθ=得ρ=ρ=-（舍去）∴直线l 与圆E 的交点A 的极坐标为：34π⎛⎫⎪⎝⎭．…………………5分（2）由（1）知线段OA 的中点M 的极坐标为34π⎫⎪⎭， ∴M 的直角坐标为()1,1-又圆E 的极坐标方程为4sin ρθ=圆E 的直角坐标方程2240x y y +-=．…………………7分设直线m 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数）代入2240x y y +-=得()22sin cos 20t t αα-+-=()24sin cos 80αα∆=++>设B ，C 点的参数分别为1t ，2t ，则122t t ⋅=-∴1212C 2t t t t MB ⋅M =⋅=⋅=．∴C MB ⋅M 为定值2．…………………10分24.（1）3a =时，()13f x x x =-++，()34g =．…………………2分∴()()2f x g a >+化为136x x -++>解之得：4x <-或2x >页 11第 ∴所求不等式解集为：()(),42,-∞-+∞ ．…………5分（2） [),1x a ∈-，∴()1f x a =+．…………………7分 ∴()()22122303f x g a a a a a a a ≤⇔+≤--⇔--≥⇔≥或1a ≤- 又 1a -<，∴1a >-综上，实数a 的取值范围为：[)3,+∞．…………………10分。

全国普通高等学校2016年高考数学五模试卷(文科)(衡水金卷) 含解析

2016年全国普通高等学校高考数学五模试卷（文科）(衡水金卷）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={(x，y）|y=x+1},B={（x,y)|y=4﹣2x｝，则A∩B=（)A．｛（1,2）｝B．（1，2) C．｛1，2｝D．｛（1，2），（﹣1，﹣2）｝2．已知复数z=（i为虚数单位），则（）A．z的实部为B．z的虚部为C．D．z的共轭复数为3．焦点在y轴上的椭圆C:=1（a＞0）的离心率是，则实数a为（)A．3 B．2 C．2或3 D．4或94．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．1 B． C． D．25．如图所示，一报刊亭根据某报纸以往的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图,但原始数据遗失，则对日销售量中位数的估计值较为合理的是（）A．100 B．113 C．117 D．1256．已知sin（+α）=，则cos2α=（）A．B． C．或 D．7．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的虚轴端点到一条渐近线的距离为，则双曲线C渐近线方程为（）A．B．y=2x C．D．8．已知函数f(x）=ln（a x+b）(a＞0且a≠1）是R上的奇函数,则不等式f（x）＞alna的解集是（）A．（a，+∞）B．（﹣∞，a）C．当a＞1时，解集是（a，+∞);当0＜a＜1时,解集是(﹣∞，a）D．当a＞1时，解集是（﹣∞，a）;当0＜a＜1时，解集是（a，+∞）9．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图均为半径是1的圆,则这个几何体的体积是（)A．B．C．π D．10．将函数f（x）=sin(2ωx+）（ω＞0）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变,再将其向左平移个单位后，所得的图象关于y轴对称，则ω的值可能是( ）A．B． C．5 D．211．在等比数列{a n}中,若a2a5=﹣，a2+a3+a4+a5=，则=（）A．1 B．C．D．12．已知函数f（x)=,（a＞0,a≠1），若x1≠x2，则f（x1)=f（x2）时，x1+x2与2的大小关系是（)A．恒小于2 B．恒大于2 C．恒等于2 D．与a相关二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量=（1，﹣3），=（2，0），=（﹣2，k），若（）⊥（），则k= ．14．设变量x，y满足不等式组,若z=x﹣y﹣4,则|z｜的取值范围是．15．某工厂实施煤改电工程防治雾霾，欲拆除高为AB 的烟囱,测绘人员取与烟囱底部B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=40米，并在点C处的正上方E处观测顶部A的仰角为30°，且CE=1米,则烟囱高AB=米．16．已知函数f（x)是周期为2的偶函数，且当x∈［0，1］时,f（x）=x2，函数g（x)=kx（k＞0),若不等式f（x）≤g（x）的解集是［0，a]∪［b，c］∪[d，+∞）（d ＞c＞b＞a＞0）,则正数k的取值范围是．三、解答题(本大题共5小题,共70分。

2016年高考文科数学陕西卷试题与答案

2016年普通高等学校招生全国统一考试【陕西省】文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。

写在本试卷上无效。

3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={1,2,3},B={x|x 2<9},则A ∩B=( ) A.{-2,-1,0,1,2,3}B.{-2,-1,0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2}2.设复数z 满足z+i=3-i,则z =( ) A.-1+2iB.1-2iC.3+2iD.3-2i3.函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则( )A.y=2sin (2x -π6) B.y=2sin (2x -π3) C.y=2sin (x +π6)D.y=2sin (x +π3)4.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )A.12πB.323π C.8π D.4π5.设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=kx(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=( )A.12B.1 C.32D.26.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )A.-43B.-34C.√3D.27.下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A.20πB.24πC.28πD.32π8.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )A.7B.5C.3D.39.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s=( )A.7B.12C.17D.3410.下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是( )A.y=xB.y=lg xC.y=2xD.y=√x11.函数f(x)=cos 2x+6cos (π2-x)的最大值为( ) A.4B.5C.6D.712.已知函数f(x)(x ∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x 2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x m ,y m ),则∑i=1mx i =( )A.0B.mC.2mD.4m第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a ∥b,则m= .14.若x,y 满足约束条件{x -y +1≥0,x +y -3≥0,x -3≤0,则z=x-2y 的最小值为 .15.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b= . 16.有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是 . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)等差数列{a n }中,a 3+a 4=4,a 5+a 7=6. (Ⅰ)求{a n }的通项公式;(Ⅱ)设b n =[a n ],求数列{b n }的前10项和,其中[x]表示不超过x 的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.18.(本小题满分12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数01234≥5保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:出险次数01234≥5频数605030302010 (Ⅰ)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值;(Ⅱ)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值;(Ⅲ)求续保人本年度平均保费的估计值.19.(本小题满分12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'EF的位置.(Ⅰ)证明:AC⊥HD';(Ⅱ)若AB=5,AC=6,AE=54,OD'=2√2,求五棱锥D'-ABCFE的体积.20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).(Ⅰ)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)若当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求a的取值范围.21.(本小题满分12分)已知A是椭圆E:x24+y23=1的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.(Ⅰ)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;(Ⅱ)当2|AM|=|AN|时,证明:√3<k<2.请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,在正方形ABCD 中,E,G 分别在边DA,DC 上(不与端点重合),且DE=DG,过D 点作DF ⊥CE,垂足为F.(Ⅰ)证明:B,C,G,F 四点共圆;(Ⅱ)若AB=1,E 为DA 的中点,求四边形BCGF 的面积.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为(x+6)2+y 2=25.(Ⅰ)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程;(Ⅱ)直线l 的参数方程是{x =tcosα,y =tsinα(t 为参数),l 与C 交于A,B 两点,|AB|=√10,求l 的斜率.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x -12|+|x +12|,M 为不等式f(x)<2的解集. (Ⅰ)求M;(Ⅱ)证明:当a,b ∈M 时,|a+b|<|1+ab|.2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学答案第Ⅰ卷一. 选择题（1）【答案】D （2）【答案】C (3) 【答案】A (4) 【答案】A (5)【答案】D(6) 【答案】A(7) 【答案】C(8) 【答案】B(9)【答案】C(10) 【答案】D (11)【答案】B(12) 【答案】B二．填空题(13)【答案】6-(14)【答案】5-（15）【答案】2113（16）【答案】1和3三、解答题（17）(本小题满分12分) 【答案】（Ⅰ）235n n a +=；（Ⅱ）24. 【解析】试题分析：(Ⅰ) 根据等差数列的性质求1a ，d ，从而求得n a ；（Ⅱ）根据已知条件求n b ，再求数列{}n b 的前10项和.试题解析：(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，由题意有11254,53a d a d -=-=，解得121,5a d ==，所以{}n a 的通项公式为235n n a +=. （Ⅱ）由(Ⅰ)知235n n b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n=1,2,3时，2312,15n n b +≤<=；当n=4,5时，2323,25n n b +≤<=；当n=6,7,8时，2334,35n n b +≤<=；当n=9,10时，2345,45n n b +≤<=，所以数列{}n b 的前10项和为1322334224⨯+⨯+⨯+⨯=. 考点：等茶数列的性质，数列的求和. 【结束】（18）(本小题满分12分) 【答案】（Ⅰ）由6050200+求P(A)的估计值；（Ⅱ）由3030200+求P(B)的估计值；（III ）根据平均值得计算公式求解. 【解析】试题分析：试题解析：(Ⅰ)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内险次数小于2的频率为60500.55200+=，故P(A)的估计值为0.55.（Ⅱ）事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由是给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30300.3200+=，故P(B)的估计值为0.3. (Ⅲ)由题所求分布列为：调查200名续保人的平均保费为0.850.300.25 1.250.15 1.50.15 1.750.3020.10 1.1925a a a a a a a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，因此，续保人本年度平均保费估计值为1.1925a. 考点：样本的频率、平均值的计算. 【结束】（19）（本小题满分12分）【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）694. 【解析】试题分析：（Ⅰ）证//.AC EF 再证//.'AC HD （Ⅱ）证明.'⊥OD OH 再证'⊥OD 平面.ABC 最后呢五棱锥体积.试题解析：（I ）由已知得，,.⊥=AC BD AD CD又由=AE CF 得=AE CFAD CD，故//.AC EF由此得,'⊥⊥EF HD EF HD ，所以//.'AC HD . （II ）由//EF AC 得1.4==OH AE DO AD 由5,6==AB AC 得 4.===DO BO所以1, 3.'===OH D H DH于是2222219,''+=+==OD OH D H 故.'⊥OD OH'ABCEF D -由（I ）知'⊥AC HD ，又,'⊥=AC BD BD HD H ，所以⊥AC 平面,'BHD 于是.'⊥AC OD 又由,'⊥=OD OH AC OH O ，所以，'⊥OD 平面.ABC又由=EF DH AC DO 得9.2=EF 五边形ABCFE 的面积11969683.2224=⨯⨯-⨯⨯=S所以五棱锥体积169342=⨯⨯=V 考点：空间中的线面关系判断，几何体的体积. 【结束】（20）（本小题满分12分）【答案】（Ⅰ）220.x y +-=；（Ⅱ）(],2.-∞. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先求定义域，再求()f x '，(1)f '，(1)f ，由直线方程得点斜式可求曲线()=y f x 在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-=（Ⅱ）构造新函数(1)()ln 1-=-+a x g x x x ，对实数a 分类讨论，用导数法求解. 试题解析：（I ）()f x 的定义域为(0,)+∞.当4=a 时，1()(1)ln 4(1),()ln 3'=+--=+-f x x x x f x x x，(1)2,(1)0.'=-=f f 曲线()=y f x 在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-=（II ）当(1,)∈+∞x 时，()0>f x 等价于(1)ln 0.1-->+a x x x 令(1)()ln 1-=-+a x g x x x ，则 222122(1)1(),(1)0(1)(1)+-+'=-==++a x a x g x g x x x x ，（i ）当2≤a ，(1,)∈+∞x 时，222(1)1210+-+≥-+>x a x x x ，故()0,()'>g x g x 在(1,)∈+∞x 上单调递增，因此()0>g x ；'ABCEF D -（ii ）当2>a 时，令()0'=g x 得1211=-=-+x a x a ，由21>x 和121=x x 得11<x ，故当2(1,)∈x x 时，()0'<g x ，()g x 在2(1,)∈x x 单调递减，因此()0<g x .综上，a 的取值范围是(],2.-∞ 考点：导数的几何意义，函数的单调性. 【结束】（21）（本小题满分12分）【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）)2.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN ∆的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，，将直线AM 的方程与椭圆方程组成方程组，消去y ，用k 表示1x ，从而表示||AM ，同理用k 表示||AN ，再由2AM AN =求k . 试题解析：（Ⅰ）设11(,)M x y ，则由题意知10y >. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π，又(2,0)A -，因此直线AM 的方程为2y x =+.将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=，解得0y =或127y =，所以1127y =. 因此AMN ∆的面积11212144227749AMN S ∆=⨯⨯⨯=. （2）将直线AM 的方程(2)(0)y k x k =+>代入22143x y +=得 2222(34)1616120k x k x k +++-=.由2121612(2)34k x k -⋅-=+得2122(34)34k x k -=+，故1||2|AM x =+=.由题设，直线AN 的方程为1(2)y x k=-+，故同理可得||AN =.由2||||AM AN =得2223443kk k=++，即3246380k k k -+-=. 设32()4638f t t t t =-+-，则k 是()f t 的零点，22'()121233(21)0f t t t t =-+=-≥，所以()f t 在(0,)+∞单调递增，又260,(2)60f f =<=>，因此()f t 在(0,)+∞有唯一的零点，且零点k 在2)2k <<. 考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系. 【结束】请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）12. 【解析】试题分析：（Ⅰ）证,DGF CBF ∆~∆再证,,,B C G F 四点共圆；（Ⅱ）证明,Rt BCG Rt BFG ∆~∆四边形BCGF 的面积S 是GCB ∆面积GCB S ∆的2倍.试题解析：（I ）因为DF EC ⊥,所以,DEF CDF ∆~∆则有,,DF DE DGGDF DEF FCB CF CD CB∠=∠=∠== 所以,DGF CBF ∆~∆由此可得,DGF CBF ∠=∠ 由此0180,CGF CBF ∠+∠=所以,,,B C G F 四点共圆.（II ）由,,,B C G F 四点共圆，CG CB ⊥知FG FB ⊥，连结GB ，由G 为Rt DFC ∆斜边CD 的中点，知GF GC =,故,Rt BCG Rt BFG ∆~∆ 因此四边形BCGF 的面积S 是GCB ∆面积GCB S ∆的2倍，即111221.222GCB S S ∆==⨯⨯⨯=考点：三角形相似、全等，四点共圆【结束】（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程【答案】（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）3±. 【解析】试题分析：（I ）利用222x y ρ=+，cos x ρθ=可得C 的极坐标方程；（II ）先将直线l 的参数方程化为普通方程，再利用弦长公式可得l 的斜率．试题解析：（I ）由cos ,sin x y ρθρθ==可得C 的极坐标方程212cos 110.ρρθ++= （II ）在（I ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈ 由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110.ρρα++=于是121212cos ,11,ρραρρ+=-=12||||AB ρρ=-==由||AB =得23cos ,tan 83αα==±，所以l . 考点：圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，点到直线的距离公式. 【结束】（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲【答案】（Ⅰ）{|11}M x x =-<<；（Ⅱ）详见解析. 【解析】试题分析：（I ）先去掉绝对值，再分12x <-，1122x -≤≤和12x >三种情况解不等式，即可得M ；（II ）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当a ，b ∈M 时，1a b ab +<+．试题解析：（I ）12,,211()1,,2212,.2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩当12x ≤-时，由()2f x <得22,x -<解得1x >-；当1122x -<<时，()2f x <；当12x ≥时，由()2f x <得22,x <解得1x <. 所以()2f x <的解集{|11}M x x =-<<.（II ）由（I ）知，当,a b M ∈时，11,11a b -<<-<<，从而22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b +-+=+--=--<，因此|||1|.a b ab +<+考点：绝对值不等式，不等式的证明. 【结束】一、选择题1.D 由已知得B={x|-3<x<3},∵A={1,2,3},∴A ∩B={1,2},故选D.2.C z=3-2i,所以z =3+2i,故选C.3.A 由题图可知A=2,T 2=π3-(-π6)=π2,则T=π,所以ω=2,则y=2sin(2x+φ),因为题图经过点(π3,2),所以2sin (2×π3+φ)=2,所以2π3+φ=2kπ+π2,k ∈Z,即φ=2kπ-π6,k ∈Z,当k=0时,φ=-π6,所以y=2sin (2x -π6),故选A.4.A 设正方体的棱长为a,则a 3=8,解得a=2.设球的半径为R,则2R=√3a,即R=√3,所以球的表面积S=4πR 2=12π.故选A. 5.D 由题意得点P 的坐标为(1,2).把点P 的坐标代入y=kx (k>0)得k=1×2=2,故选D.6.A 由圆的方程可知圆心为(1,4).由点到直线的距离公式可得√2=1,解得a=-43,故选A.7.C 由三视图知圆锥的高为2√3,底面半径为2,则圆锥的母线长为4,所以圆锥的侧面积为12×4π×4=8π.圆柱的底面积为4π,圆柱的侧面积为4×4π=16π,从而该几何体的表面积为8π+16π+4π=28π,故选C. 8.B 行人在红灯亮起的25秒内到达该路口,即满足至少需要等待15秒才出现绿灯,根据几何概型的概率公式知所求事件的概率P=2540=58,故选B.9.C 执行程序框图,输入a 为2时,s=0×2+2=2,k=1,此时k>2不成立;再输入a 为2时,s=2×2+2=6,k=2,此时k>2不成立;再输入a 为5,s=6×2+5=17,k=3,此时k>2成立,结束循环,输出s 为17,故选C. 10.D 函数y=10lg x的定义域、值域均为(0,+∞),而y=x,y=2x的定义域均为R,排除A,C;y=lgx 的值域为R,排除B,故选D.11.B f(x)=1-2sin 2x+6sin x=-2(sinx -32)2+112,当sin x=1时, f(x)取得最大值5,故选B.12.B 由题意可知f(x)的图象关于直线x=1对称,而y=|x -2x-3|=|(x-1)-4|的图象也关于直线x=1对称,所以两个图象的交点关于直线x=1对称,且每对关于直线x=1对称的交点的横坐标之和为2,所以∑i=1mx i =m,故选B.二、填空题 13.答案 -6解析因为a ∥b,所以m 3=4-2,解得m=-6.14.答案 -5解析由约束条件画出可行域,如图中阴影部分所示(包括边界).当直线x-2y-z=0过点B(3,4)时,z 取得最小值,z min =3-2×4=-5.15.答案2113解析由cos C=513,0<C<π,得sin C=1213. 由cos A=45,0<A<π,得sin A=35. 所以sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C) =sin Acos C+sin Ccos A=6365,根据正弦定理得b=asinB sinA=2113.16.答案 1和3解析丙的卡片上的数字之和不是5,则丙有两种情况:①丙的卡片上的数字为1和2,此时乙的卡片上的数字为2和3,甲的卡片上的数字为1和3,满足题意;②丙的卡片上的数字为1和3,此时乙的卡片上的数字为2和3,甲的卡片上的数字为1和2,这时甲与乙的卡片上有相同的数字2,与已知矛盾,故情况②不符合,所以甲的卡片上的数字为1和3.。

2016年陕西高考文科数学试卷及答案（清晰版）陕西高考文科数学试卷及答案

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2016年陕西省高考文科数学试题与答案

2016年陕西省高考文科数学试题与答案2016年陕西省高考文科数学试题与答案第Ⅰ卷一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.已知集合A={-2,-1,1,2,3}，B={x|x^2<9}，则A）A∩B={-2,-1,1,2}B）A∩B={-2,-1,1,2,3}C）A∩B={1,2,3}D）A∩B={-1,0,1}2.设复数z满足z+i=3-i，则z=A）-1+2iB）1-2iC）3+2iD）3-2i3.函数y=Asin(ωx+φ)的部分图像如图所示，则A）y=2sin(2x-π/6)B）y=2sin(2x-π/3)C）y=-2sin(2x-π/6)D）y=-2sin(2x-π/3)4.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为A）12πB）32π/3C）8πD）4π5.设F为抛物线C：y^2=4x的焦点，曲线y=kx（k>0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=A）13B）1/2C）3/4D）2/36.圆x^2+y^2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a=A）-3B）-1C）1D）37.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A）20πB）24πC）28πD）32π8.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒。

若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为A）75/33B）88/1010C）1/2D）101/889.中国古代有计算多项式值得的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图。

执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=A）7B）12C）17D）3410.下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是A）y=xB）y=lgxC）y=2xD）y=1/x11.函数f(x)=cos^2x+6cos(-x)的最大值为A）4B）5C）6D）712.已知函数f(x（)x∈R）满足f(x)=f(2-x)，若函数y=|x^2-2x-3|与y=f(x)图像的交点为（x_1,y_1），(x_2,y_2)，…，(x_m,y_m)，则∑x_i=1+2+…+m=（m+1）m/2.A）m(m+1)/2B）m(m-1)/2C）m^2D）m第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

陕西省高三数学一模试卷文(含解析)

2016年陕西省高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本答题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|x2﹣3x＜0}，则∁R A∩B=（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，2）C．（0，2）D．[2.3）2．在复平面上，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第三象限C．第二象限D．第四象限3．设α为锐角，若cos=，则sin的值为（）A． B． C．﹣D．﹣4．已知数1、a、b成等差数列，而1、b、a成等比数列，若a≠b，则a的值为（）A．﹣B． C． D．﹣5．若函数f（x）=则f[f（﹣8）]=（）A．﹣2B．2C．﹣4D．46．已知向量=（1，2），=（2，﹣3），若向量满足⊥，∥（﹣），则=（）A．（﹣，）B．（，﹣）C．（﹣，﹣）D．（﹣，）7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．64﹣πB．64﹣2πC．64﹣4πD．64﹣8π8．在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P为事件“x+y≤”的概率，则P=（）A． B． C． D．9．执行右面的程序框图，如果输入的N=3，那么输出的S=（）A．1B． C． D．10．设抛物线y2=2px的焦点在直线2x+3y﹣8=0上，则该抛物线的准线方程为（）A．x=﹣4B．x=﹣3C．x=﹣2D．x=﹣111．函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间为（）A．（kπ+π，kπ+π），k∈ZB．（kπ+，kπ+），k∈ZC．（2kπ+，2kπ+π），k∈ZD．（2k+π，2k+π），k∈Z12．设函数f（x）=log2（3x﹣1），则使得2f（x）＞f（x+2）成立的x的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（，+∞）C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）D．（﹣，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2=1（a＞0）与直线y=x相交于P、Q两点，则|PQ|= ．14．若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为．15．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为3，则球O的体积为．16．已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a= ．三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，满分60分）（一）、必考题（共5小题，每小题12分，共60分）17．已知等比数列{a n}中，a1=，a4=．（1）S n为{a n}的前n项和，证明：2S n+a n=1；（2）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．18．从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？19．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点．（1）设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1；（2）证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C．20．已知椭圆L： +=1（a＞b＞0）的一个焦点于抛物线y2=8x的焦点重合，点（2，）在L 上．（Ⅰ）求L 的方程；（Ⅱ）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与L有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．21．设函数f（x）=e x﹣ax﹣2．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．[选修4-1：几何证明选讲]22．（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB 垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．[选修4-4:坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．[选修4-5:不等式选讲]24．设a，b，c，d均为正数，且a﹣c=d﹣b，证明：（Ⅰ）若ab＞cd，则+＞+；（Ⅱ）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．2016年陕西省高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本答题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|x2﹣3x＜0}，则∁R A∩B=（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，2）C．（0，2）D．[2.3）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出A的补集∁R A，再化简B，求出∁R A∩B即可．【解答】解：∵集合A={x|﹣1＜x＜2}，∴∁R A={x|x≤﹣1或x≥2}=（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），又B={x|x2﹣3x＜0}={x|0＜x＜3}=（0，3），∴∁R A∩B=[2，3）．故选：D．2．在复平面上，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第三象限C．第二象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求得复数所对应点的坐标得答案．【解答】解：∵=，∴复数对应的点的坐标为（3，1），位于第一象限．故选：A．3．设α为锐角，若cos=，则sin的值为（）A． B． C．﹣D．﹣【考点】二倍角的正弦；三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数基本关系式、倍角公式即可得出．【解答】解：∵α为锐角，cos=，∴∈，∴==．则sin===．故选：B．4．已知数1、a、b成等差数列，而1、b、a成等比数列，若a≠b，则a的值为（）A．﹣B． C． D．﹣【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．【分析】数1、a、b成等差数列，而1、b、a成等比数列，a≠b，可得2a=1+b，b2=a，解出即可得出．【解答】解：∵数1、a、b成等差数列，而1、b、a成等比数列，a≠b，∴2a=1+b，b2=a，化为：2b2﹣b﹣1=0，解得b=1或﹣，b=1时，a=1，舍去．∴a=b2==．故选：B．5．若函数f（x）=则f[f（﹣8）]=（）A．﹣2B．2C．﹣4D．4【考点】函数的值．【分析】利用分段函数的性质求解．【解答】解：∵函数f（x）=∴f（﹣8）==2，∴f[f（﹣8）]=f（2）=2+=﹣4．故选：C．6．已知向量=（1，2），=（2，﹣3），若向量满足⊥，∥（﹣），则=（）A．（﹣，）B．（，﹣）C．（﹣，﹣）D．（﹣，）【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】设出向量，利用向量的垂直于共线．列出方程求解即可．【解答】解：设向量=（a，b），向量=（1，2），=（2，﹣3），﹣=（1﹣a，2﹣b），向量满足⊥，∥（﹣），可得a+2b=0，﹣3（1﹣a）=2（2﹣b），解得a=，b=﹣．则=（，﹣）．故选：C．7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．64﹣πB．64﹣2πC．64﹣4πD．64﹣8π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是由一个正方体在中间挖去一个圆柱得到的．即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由一个正方体在中间挖去一个圆柱得到的．∴该几何体的体积=43﹣π×12×2=64﹣2π．故选：B8．在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P为事件“x+y≤”的概率，则P=（）A． B． C． D．【考点】几何概型．【分析】由题意可得总的基本事件为{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，事件P包含的基本事件为{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1，x+y≤}，数形结合可得．【解答】解：由题意可得总的基本事件为{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，事件P包含的基本事件为{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1，x+y≤}，它们所对应的区域分别为图中的正方形和阴影三角形，故所求概率P==，故选：D．9．执行右面的程序框图，如果输入的N=3，那么输出的S=（）A．1B． C． D．【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件K＞3，跳出循环，计算输出S的值．【解答】解：由程序框图知：输入N=3时，K=1，S=0，T=1第一次循环T=1，S=1，K=2；第二次循环T=，S=1+，K=3；第三次循环T=，S=1++，K=4；满足条件K＞3，跳出循环，输出S=1++=．故选：C．10．设抛物线y2=2px的焦点在直线2x+3y﹣8=0上，则该抛物线的准线方程为（）A．x=﹣4B．x=﹣3C．x=﹣2D．x=﹣1【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出直线与x轴的交点坐标，即抛物线的焦点坐标，从而得出准线方程．【解答】解：把y=0代入2x+3y﹣8=0得：2x﹣8=0，解得x=4，∴抛物线的焦点坐标为（4，0），∴抛物线的准线方程为x=﹣4．故选：A．11．函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间为（）A．（kπ+π，kπ+π），k∈ZB．（kπ+，kπ+），k∈ZC．（2kπ+，2kπ+π），k∈ZD．（2k+π，2k+π），k∈Z【考点】余弦函数的图象．【分析】根据三角函数的图象求出函数的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可．【解答】解：函数的周期T=2×（π﹣）=2π，即，得ω=1，则f（x）=cos（x+φ），则当x==π时，函数取得最小值，则π+φ=π+2kπ，即φ=+2kπ，即f（x）=cos（x+），由2kπ+π＜x+＜2kπ+2π，k∈Z，即2k+π＜x＜2k+π，k∈Z，即函数的单调递增区间为为（2k+π，2k+π），故选：D12．设函数f（x）=log2（3x﹣1），则使得2f（x）＞f（x+2）成立的x的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（，+∞）C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）D．（﹣，+∞）【考点】对数函数的图象与性质．【分析】根据对数的运算可将原不等式化为（3x﹣1）2＞3x+5，且3x﹣1＞0，解得答案．【解答】解：∵函数f（x）=log2（3x﹣1），则不等式2f（x）＞f（x+2）可化为：2log2（3x﹣1）＞log2（3x+5），即（3x﹣1）2＞3x+5，且3x﹣1＞0，解得：x＞，即使得2f（x）＞f（x+2）成立的x的取值范围是（，+∞），故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2=1（a＞0）与直线y=x相交于P、Q两点，则|PQ|=\frac{4\sqrt{6}}{5} ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆C圆心C（3，2），半径r=1，再求出圆心C（3，2）到直线y=x的距离d，由此利用勾股定理能求出|PQ|的长．【解答】解：∵圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2=1的圆心C（3，2），半径r=1，圆心C（3，2）到直线y=x的距离d==，∵圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2=1（a＞0）与直线y=x相交于P、Q两点，∴|PQ|=2=2=．故答案为：．14．若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为 3 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出平面区域，平移直线2x+y=0确定最小值即可．【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域，作出直线2x+y=0，对该直线进行平移，可以发现经过的交点B时Z取得最小值，解得：，点B（1，1）；Z取得最小值3．故答案为：3．15．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为3，则球O的体积为24π．【考点】球的体积和表面积．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为3，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB===3∴R3=18，则球O的体积为πR3=24π．故答案为：24π．16．已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a= 8 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出y=x+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a的值．【解答】解：y=x+lnx的导数为y′=1+，曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y﹣1=2x﹣2，即y=2x﹣1．由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，故y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x﹣1，得ax2+ax+2=0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有△=a2﹣8a=0，解得a=8．故答案为：8．三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，满分60分）（一）、必考题（共5小题，每小题12分，共60分）17．已知等比数列{a n}中，a1=，a4=．（1）S n为{a n}的前n项和，证明：2S n+a n=1；（2）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）设等比数列{a n}的公比为q，由a1=，a4=．可得=，解得q．再利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可证明．（2）log3a n==﹣n．可得b n=﹣1﹣2﹣…﹣n，于是=﹣2，利用“裂项求和”即可得出．【解答】（1）证明：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1=，a4=．∴=，解得q=．∴a n=，S n==，∴2S n+a n=+=1，∴2S n+a n=1．（2）解：log3a n==﹣n．b n=log3a1+log3a2+…+log3a n=﹣1﹣2﹣…﹣n=﹣，∴=﹣2，∴数列{}的前n项和=﹣2+…+=﹣2=．18．从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？【考点】极差、方差与标准差；频率分布直方图．【分析】（1）根据频率分布直方图做法画出即可；（2）用样本平均数和方差来估计总体的平均数和方差，代入公式计算即可．（3）求出质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值，再和0.8比较即可．【解答】解：（1）频率分布直方图如图所示：（2）质量指标的样本平均数为=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100，质量指标的样本的方差为S2=（﹣20）2×0.06+（﹣10）2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104，这种产品质量指标的平均数的估计值为100，方差的估计值为104．（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68，由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．19．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点．（1）设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1；（2）证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C．【考点】平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．（1）取A1B1的中点为F1，连接FF1，C1F1，要证明直线EE1∥平面FCC1，只需证明EE1∥F1C，【分析】就证明了EE1∥平面FCC1内的直线，即可推得结论；（2）要证明平面D1AC⊥平面BB1C1C，只需证明AC⊥BC，AC⊥CC1，即可．【解答】证明：（1）方法一：取A1B1的中点为F1，连接FF1，C1F1，由于FF1∥BB1∥CC1，所以F1∈平面FCC1，因此平面FCC1即为平面C1CFF1．连接A1D，F1C，由于A1F1D1C1CD，所以四边形A1DCF1为平行四边形，因此A1D∥F1C．又EE1∥A1D，得EE1∥F1C，而EE1⊄平面FCC1，F1C⊂平面FCC1，故EE1∥平面FCC1．方法二：因为F为AB的中点，CD=2，AB=4，AB∥CD，所以CD綊AF，因此四边形AFCD为平行四边形，所以AD∥FC．又CC1∥DD1，FC∩CC1=C，FC⊂平面FCC1，CC1⊂平面FCC1，所以平面ADD1A1∥平面FCC1，又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1．（2）连接AC，取F为AB的中点，在△FBC中，FC=BC=FB=2，又F为AB的中点，所以AF=FC=FB=2，因此∠ACB=90°，即AC⊥BC．又AC⊥CC1，且CC1∩BC=C，所以AC⊥平面BB1C1C，而AC⊂平面D1AC，故平面D1AC⊥平面BB1C1C．20．已知椭圆L： +=1（a＞b＞0）的一个焦点于抛物线y2=8x的焦点重合，点（2，）在L 上．（Ⅰ）求L 的方程；（Ⅱ）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与L有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）求得抛物线的焦点，可得c=2，再由点满足椭圆方程，结合a，b，c的关系，解方程可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+b（k，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得M的坐标，可得直线OM的斜率，进而得到证明．【解答】解：（Ⅰ）抛物线y2=8x的焦点为（2，0），由题意可得c=2，即a2﹣b2=4，又点（2，）在L上，可得+=1，解得a=2，b=2，即有椭圆L： +=1；（Ⅱ）证明：设直线l的方程为y=kx+b（k，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+b代入椭圆方程+=1，可得（1+2k 2）x 2+4kbx+2b 2﹣8=0， x 1+x 2=﹣，即有AB 的中点M 的横坐标为﹣，纵坐标为﹣k•+b=，直线OM 的斜率为k OM ==﹣•，即有k OM •k=﹣．则OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．21．设函数f （x ）=e x﹣ax ﹣2．（Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若a=1，k 为整数，且当x ＞0时，（x ﹣k ）f′（x ）+x+1＞0，求k 的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母a ，故应按a 的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性，给出单调区间；（II ）由题设条件结合（I ），将不等式，（x ﹣k ） f´（x ）+x+1＞0在x ＞0时成立转化为k＜（x ＞0）成立，由此问题转化为求g （x ）=在x ＞0上的最小值问题，求导，确定出函数的最小值，即可得出k 的最大值；【解答】解：（I ）函数f （x ）=e x ﹣ax ﹣2的定义域是R ，f′（x ）=e x ﹣a ，若a≤0，则f′（x ）=e x ﹣a≥0，所以函数f （x ）=e x ﹣ax ﹣2在（﹣∞，+∞）上单调递增．若a ＞0，则当x ∈（﹣∞，lna ）时，f′（x ）=e x ﹣a ＜0；当x ∈（lna ，+∞）时，f′（x ）=e x﹣a ＞0；所以，f （x ）在（﹣∞，lna ）单调递减，在（lna ，+∞）上单调递增．（II ）由于a=1，所以，（x ﹣k ） f´（x ）+x+1=（x ﹣k ）（e x ﹣1）+x+1故当x ＞0时，（x ﹣k ） f´（x ）+x+1＞0等价于k ＜（x ＞0）①令g （x ）=，则g′（x ）=由（I ）知，当a=1时，函数h （x ）=e x﹣x ﹣2在（0，+∞）上单调递增，而h （1）＜0，h （2）＞0，所以h （x ）=e x ﹣x ﹣2在（0，+∞）上存在唯一的零点，故g′（x ）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2）当x ∈（0，α）时，g′（x ）＜0；当x ∈（α，+∞）时，g′（x ）＞0；所以g （x ）在（0，+∞）上的最小值为g （α）．又由g′（α）=0，可得e α=α+2所以g （α）=α+1∈（2，3）由于①式等价于k ＜g （α），故整数k 的最大值为2．[选修4-1：几何证明选讲]22．（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB 垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=．【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G．由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．故DG是BC的垂直平分线，∴BG=．设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．∴CF⊥BF．∴Rt△BCF的外接圆的半径=．[选修4-4:坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．（2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|=即可得出．【解答】解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|==4，当时，|AB|取得最大值4．[选修4-5:不等式选讲]24．设a，b，c，d均为正数，且a﹣c=d﹣b，证明：（Ⅰ）若ab＞cd，则+＞+；（Ⅱ）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【考点】不等式的证明；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】（Ⅰ）运用两边平方，结合条件和不等式的性质，即可得证；（Ⅱ）先证若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，可得ab＞cd，由（Ⅰ）可得+＞+；再证若+＞+，两边平方，由条件结合不等式的性质，可得|a﹣b|＜|c﹣d|，即可得证．【解答】证明：（Ⅰ）由（+）2=a+b+2，（+）2=c+d+2，由a﹣c=d﹣b，可得a+b=c+d，由ab＞cd，可得（+）2＞（+）2，即为+＞+；（Ⅱ）若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，由a+b=c+d，可得ab＞cd，由（Ⅰ）可得+＞+；若+＞+，则（+）2＞（+）2，即有a+b+2＞c+d+2，由a﹣c=d﹣b，可得a+b=c+d，即有ab＞cd，（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd=（c﹣d）2，可得|a﹣b|＜|c﹣d|．即有+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．。

陕西省商洛市2016届高三数学模拟试卷(文科) 含解析

2016年陕西省商洛市高考数学模拟试卷（文科）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x≥1｝，，则A∩（∁R B)=（)A．（2,+∞）B．[1，2］C．（0，+∞）D．（﹣∞,0]∪［1，+∞）2．下列函数中,既不是奇函数，也不是偶函数的是(）A．B．C．D．3．向量与直线l：2x+3y﹣1=0的位置关系是(）A．垂直 B．相交 C．异面 D．平行4．复数，则复数2+z在复平面上对应的点位于(）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．在等腰△ABC中，BC=4,AB=AC，则=（）A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．86．已知函数则下列结论正确的是(）A．函数f(x)在上单调递增B．函数f（x）的值域是[﹣1，1］C．∃x0∈R,f（﹣x0）≠﹣f（x0) D．∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）7．已知正项等差数列｛a n}满足a1+a2017=2，则的最小值为（)A．1 B．2 C．2016 D．20188．已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为l的正方形,如图所示,则该几何体的体积为(）A．B．C．D．9．直线l经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线交于A，B两点，若AB的中点横坐标为3，则线段AB的长为（）A．5 B．6 C．7 D．810．在数列｛a n}中，已知，则a12+a22+…+a n2等于（）A．B．C．4n﹣1 D．（2n﹣1）211．已知双曲线=1(a＞0，b＞0）的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为(）A．2x±y=0 B．x±2y=0 C．4x±3y=0 D．3x±4y=012．已知f′（x)=a（x﹣1）（x﹣a）是函数f(x)的导函数,若f（x）在x=a处取得极大值，则实数a的取值范围是（)A．（0，+∞) B．（1，+∞）C．（0，1) D．(﹣∞，1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分,把答案填在答题纸的相应位置上13．执行如图所示的程序框图（其中[x］表示不超过x的最大整数)，则输出的S值为．14．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值．15．随机向边长为5，5,6的三角形中投一点P，则点P到三个顶点的距离都不小于2的概率是．16．底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥S﹣ABCD，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为．三、解答题：本大题6小题，共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上17．某校在一次高三年级“诊断性"测试后，对该年级的500名考生的成绩进行统计分析，成绩的频率分布表及频率分布直方图如图所示,规定成绩不小于125分为优秀．（1）若用分层抽样的方法从这500人中抽取4人的成绩进行分析,求其中成绩为优秀的学生人数；(2）在（1）中抽取的4名学生中，随机抽取2名学生参加分析座谈会，求恰有1人成绩为优秀的概率．区间人数[115，120）25［120，125) a[125，130）175[130，135）150［135，140) b18．已知函数．（1)求f（x）的最小正周期．（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b，c,若，AB边上的高为1，∠ABC=45°,求a的值及△ABC的面积．19．四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形,侧面SBC⊥底面ABCD，已知：∠ABC=45°,AB=2，，SB=SC,直线SA与平面ABCD所成角为45°,O为BC的中点．（1)证明:SA⊥BC(2）求四棱锥S﹣ABCD的体积．20．已知椭圆的离心率为,右焦点到直线的距离为3，圆N的方程为（x﹣c）2+y2=a2+c2(c为半焦距），（1）求椭圆M的方程和圆N的方程．（2 ）若直线l；y=kx+m是椭圆M和圆N的公切线，求直线l的方程．21．设函数f（x)=ln2x+ax2+bx﹣ln2，（a，b∈R）（1）曲线y=f（x）上一点A(1，2），若在A处的切线与直线2x﹣y﹣10=0平行，求a，b 的值；（2)设函数y=f（x）的导函数为y=f'(x）,若，且函数y=f（x）在（0，+∞）是单调函数，求证：e a＞1﹣2a．请考生在（22）。

陕西省西安市临潼区华清中学2016届高三高考语文五模试卷(解析版)

2016年陕西省西安市临潼区华清中学高考语文五模试卷一、现代文阅读（9分，每小题9分）1．阅读文章，回答问题什么是公德与私德？关于公德，我们可以很简单地把它理解为在公共领域中的道德；私德，就是在私人生活领域中的道德。

公德和私德作为道德行为，我们往往注意的是作为道德主体的精神状态，即他是否有良好的道德操守与信念。

但是公德与私德不仅仅是伦理观念问题，还包含着公共舆论、包括着社会的公私域状态，以及相应的制度。

大约一个世纪前，梁启超提出了一个著名的判：“中国，……偏于私德，而公德殆阙如。

”在国人的伦理行为和生活中，有一个很矛盾的现象，就是在血缘亲情生活圈子当中，非常注重自己如何做人，注重自己成为人际关系很好的人。

他很注重自己的形象，而且在待人接物和进退出处当中，都很精心。

但这种对自己亲人的孝顺、甚至是舍身的道德品质，一旦脱离血亲的家庭结构、家族结构，进入一个陌生人的天地，也就是他人的环境中，它往往会产生不易察觉的另一方面：对他人的冷漠和自保。

今天与陌生人交往的国人，当发生和自己没关系的事件时，往往表现出冷漠、旁观的倾向。

另一方面，像挤车、抢位子时，则是以为不挤、不抢会吃亏，表现出自保的心理。

实际是缺乏公共道德，也就是梁漱溟所指出的缺乏公共交往生活习惯。

所以，中国传统社会的公共伦理，就是以血亲为辐射中心放大扩展开来的亲族关系伦理。

血亲伦理，因人而异，是“对人不对事”的具体权变伦理，而不是“对事不对人”的原则性伦理。

归结起来，就是私人关系的道德优先于社会公德。

中国的传统伦理实际上是把中国的关系学、私人关系学混为一体。

而超出私人关系的公共关系，一方面作为私人关系的延伸放大，另一方面，如果不能涵摄，也要把它放在其次的地位。

关于公德有必要强调三点：现代公德不是指传统意义的无私。

公德的前提是现代个体人格。

他有他的自由的信仰，自主的选择。

因而不是从集体方面对个人单方面的规定，而是个人自由的选择，因而这样一个主体和自觉选择的道德，实际上不是传统集体主义文化语境中意指的公德。

陕西省高考数学全真模拟试卷(理科)(五).docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2016年陕西省高考数学全真模拟试卷（理科）（五）一、选择题1．计算+（2﹣i）2等于（）A．4﹣5i B．3﹣4i C．5﹣4i D．4﹣3i2．若sin（α﹣β）cosα﹣cos（α﹣β）sinα=m，且β为第三象限角，则cosβ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣3．已知命题p：∀x∈R，cosx＞1，则￢p是（）A．∃x∈R，cosx＜1 B．∀x∈R，cosx＜1 C．∀x∈R，cosx≤1 D．∃x∈R，cosx≤1 4．已知{a n}是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d=（）A．B． C．D．5．一个简单组合体的三视图及尺寸如右图所示（单位：mm），则该组合体的体积为（）A．32 B．48 C．56 D．646．执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（）A．3 B．4 C．5 D．67．已知直线m、l与平面α、β、γ满足β∩γ=l，l∥α，m⊂α，m⊥γ，则下列命题一定正确的是（）A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ8．海面上有A，B，C三个灯塔，|AB|=10n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则|BC|=（）n mile．（n mile表示海里，1n mile=1582m）A．10B．C．5D．59．口袋里装有红球、白球、黑球各1个，这3个球除颜色外完全相同，有放回的连续抽取2次，每次从中任意地取出1个球，则两次取出的球颜色不同的概率是（）A．B．C．D．10．曲线y=在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．B．4e2C．2e2D．e211．已知点P是圆x2+y2=4上的动点，点A，B，C是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且=0，则||的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．712．已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x（a∈R，e为自然对数的底数），若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g（x0）成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，]C．（，2）D．[，）二、填空题13．已知实数x，y满足z=x+ay（a＞1）的最大值为3，则实数a=______．14．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），当x≠1时，有xf′（x）＞f′（x）成立；若1＜m＜2，a=f（2m），b=f（2），c=f（log2m），则a，b，c大小关系为______．15．已知抛物线C：y2=4x与点M（﹣1，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若•=0，则k=______．16．大学生村官王善良落实政府“精准扶贫”，帮助贫困户张三用9万元购进一部节能环保汽车，用于出租，假设第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该车每年的运营收入均为11万元，若该车使用了n（n∈N*）年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于______．三、解答题17．（12分）（2016•陕西模拟）已知函数f（x）=2sinx（cosx+sinx）﹣2（Ⅰ）若点P（，﹣1）在角α的终边上，求f（α）的值（Ⅱ）若x∈[0，]，求f（x）的最值．18．（12分）（2016•陕西模拟）如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AA′=2AC=2BC，E为AA′的中点，C′E⊥BE．（1）求证：C′E⊥平面BCE；（2）求直线AB′与平面BEC′所成角的大小．19．（12分）（2016•陕西模拟）某设备在正常运行时，产品的质量m～N（μ，σ2），其中μ=500g，σ2=1，为了检验设备是否正常运行，质量检查员需要随机的抽取产品，测其质量．（1）当质量检查员随机抽检时，测得一件产品的质量为504g，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质量检查员的决定是否有道理，并说明你判断的依据．进而，请你揭密质量检查员做出“要求停止生产，检查设备”的决定时他参照的质量参数标准：（2）请你根据以下数据，判断优质品与其生产季节有关吗？品质优质品数量合格品数量季节夏秋季生产26 8春冬季生产12 4（3）该质量检查员从其住宅小区到公司上班的途中要经过6个红绿灯的十字路口，假设他在每个十字路口遇到红灯或绿灯是互相对立的，并且概率均为，求该质量检查员在上班途中遇到红灯的期望和方差．B1B2A1 a bA2 c d参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.683，P（（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.954，P（（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≈0.997，X2=0.100 0.050 0.010p（x2≥k0）k0 2.706 3.841 6.63520．（12分）（2016•长春二模）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，且离心率为，点P为椭圆上一动点，△F1PF2内切圆面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为A1，过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，连结A1A，A1B并延长交直线x=4分别于P，Q两点，以PQ为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．21．（12分）（2016•陕西模拟）已知函数f（x）=ln（1+mx）+﹣mx，其中0＜m≤1．（1）当m=1时，求证：﹣1＜x≤0时，f（x）≤；（2）试讨论函数y=f（x）的零点个数．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•陕西模拟）如图，弦AB与CD相交于圆O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，且PD=2DA．（1）求证：△PED∽△PAE；（2）若PE=2，求PA长．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．（2016•陕西模拟）已知圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中（ρ，θ），ρ≥0，θ∈[0，2π）））．（1）直线l过原点，且它的倾斜角α=，求l与圆E的交点A的极坐标（点A不是坐标原点）；（2）直线m过线段OA中点M，且直线m交圆E于B、C两点，求||MB|﹣|MC||的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•陕西模拟）已知f（x）=|x﹣1|+|x+a|，g（a）=a2﹣a﹣2．（1）若a=3，解关于x的不等式f（x）＞g（a）+2；（2）当x∈[﹣a，1]时恒有f（x）≤g（a），求实数a的取值范围．2016年陕西省高考数学全真模拟试卷（理科）（五）参考答案与试题解析一、选择题1．计算+（2﹣i）2等于（）A．4﹣5i B．3﹣4i C．5﹣4i D．4﹣3i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】同乘分母共轭复数，（2﹣i）2去括号，化简即可．【解答】解： +（2﹣i）2=﹣i（1+i）+4﹣1﹣4i=4﹣5i，故选：A．【点评】本题考查了复数的四则运算．2．若sin（α﹣β）cosα﹣cos（α﹣β）sinα=m，且β为第三象限角，则cosβ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】两角和与差的正弦函数；同角三角函数基本关系的运用．【分析】由两角和与差的三角函数公式可得sinβ=﹣m，结合角β的象限，再由同角三角函数的基本关系可得．【解答】解：∵sin（α﹣β）cosα﹣cos（α﹣β）sinα=m，∴sin[（α﹣β）﹣α]=﹣sinβ=m，即sinβ=﹣m，又β为第三象限角，∴cosβ＜0，由同角三角函数的基本关系可得：cosβ=﹣=﹣故选B【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属中档题．3．已知命题p：∀x∈R，cosx＞1，则￢p是（）A．∃x∈R，cosx＜1 B．∀x∈R，cosx＜1 C．∀x∈R，cosx≤1 D．∃x∈R，cosx≤1 【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是∃x∈R，cosx≤1，故选：D．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4．已知{a n}是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d=（）A．B． C．D．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解方程即可．【解答】解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得，故选D．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，熟练应用公式是解题的关键．5．一个简单组合体的三视图及尺寸如右图所示（单位：mm），则该组合体的体积为（）A．32 B．48 C．56 D．64【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可得几何体是简单组合体，且可求出几何体的各棱长，再利用几何体的体积公式求出该组合体的体积及即可．【解答】解：由几何体的三视图知，该几何体是由两个长方体叠加构成的简单组合体，且下面的长方体长为6mm，宽为4mm，高为1mm，则体积为24（mm）3，上面长方体长为2mm，宽为4mm，高为5mm，则体积为40（mm）3，则该组合体的体积为64（mm）3，故选D．【点评】本题考查由三视图得到几何体的体积，注意三视图中的等价量：正俯一样长，正侧一样高，俯侧一样宽．6．执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：a=1，n=1满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=2，a=，n=2满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=3，a=，n=3满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=4，a=，n=4不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4．故选：B【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是中档题．7．已知直线m、l与平面α、β、γ满足β∩γ=l，l∥α，m⊂α，m⊥γ，则下列命题一定正确的是（）A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ【考点】平面的基本性质及推论．【分析】由m⊂α，m⊥γ，知α⊥γ，由β∩γ=l，知l⊂γ，故l⊥m．【解答】解：∵m⊂α，m⊥γ，∴α⊥γ，∵β∩γ=l，∴l⊂γ，∴l⊥m，故A一定正确．故选A．【点评】本题考查平面的基本性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．8．海面上有A，B，C三个灯塔，|AB|=10n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C 和A成75°视角，则|BC|=（）n mile．（n mile表示海里，1n mile=1582m）A．10B．C．5D．5【考点】解三角形的实际应用．【分析】△ABC中，|AB|=10n mile，∠A=60°，∠B=75°，∠C=45°，利用正弦定理，即可求得结论．【解答】解：由题意，△ABC中，|AB|=10n mile，∠A=60°，∠B=75°，∴∠C=45°∴由正弦定理可得=，∴|BC|=5n mile．故选：D．【点评】本题考查正弦定理的运用，确定三角形模型是关键．9．口袋里装有红球、白球、黑球各1个，这3个球除颜色外完全相同，有放回的连续抽取2次，每次从中任意地取出1个球，则两次取出的球颜色不同的概率是（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数，再求出能两次取出的球颜色不同包含的基本事件个数，由此能求出能两次取出的球颜色不同的概率．【解答】解：∵口袋里装有红球、白球、黑球各1个，这3个球除颜色外完全相同，有放回的连续抽取2次，每次从中任意地取出1个球，∴基本事件总数n==9，能两次取出的球颜色不同包含的基本事件个数m==6，∴能两次取出的球颜色不同的概率p===．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．10．曲线y=在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．B．4e2C．2e2D．e2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用导数求曲线上点切线方程，求直线与x轴，与y轴的交点，然后求切线与坐标轴所围三角形的面积．【解答】解：∵曲线y=，∴y′=×，切线过点（4，e2）∴f（x）|x=4=e2，∴切线方程为：y﹣e2=e2（x﹣4），令y=0，得x=2，与x轴的交点为：（2，0），令x=0，y=﹣e2，与y轴的交点为：（0，﹣e2），∴曲线y=在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积s=×2×|﹣e2|=e2，故选D．【点评】此题主要考查利用导数求曲线上点切线方程，解此题的关键是对曲线y=能够正确求导，此题是一道基础题．11．已知点P是圆x2+y2=4上的动点，点A，B，C是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且=0，则||的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系．【分析】由题意画出图形，把用向量与表示，然后利用向量模的运算性质求得||的最小值．【解答】解：∵=0，∴AB⊥BC，即∠ABC=90°，∴AC为△ABC外接圆直径，如图，设坐标原点为O，则==，∵P是圆x2+y2=4上的动点，∴，∴||=．当与共线时，取得最小值5．故选：B．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了直线与圆位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题．12．已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x（a∈R，e为自然对数的底数），若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g（x0）成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，]C．（，2）D．[，）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】根据若对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g（x0）成立，得到函数f（x）在区间（0，e]上不单调，从而求得a的取值范围．【解答】解：∵g'（x）=（1﹣x）e1﹣x，∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e]上单调递减，又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e2﹣e＞0，∴g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．，当时，f′（x）=0，f（x）在处取得最小值，由题意知，f（x）在（0，e]上不单调，所以，解得，所以对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g（x0）成立，当且仅当a满足条件且f（e）≥1因为f（1）=0，所以恒成立，由f（e）≥1解得综上所述，a的取值范围是．故选：A．【点评】此题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调性，会根据函数的增减性求出闭区间上函数的最值，掌握不等式恒成立时所满足的条件．二、填空题13．已知实数x，y满足z=x+ay（a＞1）的最大值为3，则实数a=2．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，从而求出z=a+1=3，解出即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（1，1），∵a＞1，∴﹣1＜﹣＜0，∴z=x+ay看化为：y=﹣x+，结合图象直线过A（1，1）时，z最大，z的最大值是z=a+1=3，解得：a=2，故答案为：2．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．14．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），当x≠1时，有xf′（x）＞f′（x）成立；若1＜m＜2，a=f（2m），b=f（2），c=f（log2m），则a，b，c大小关系为a＞b＞c．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】函数f（x）在定义域R内可导，f（x）=f（2﹣x），知函数f（x）的图象关于x=1对称．再根据函数的单调性比较大小即可．【解答】解：∵f（x）=f（2﹣x），令x=x+1，则f（x+1）=f[2﹣（x+1）]=f（﹣x+1），∴函数f（x）的图象关于x=1对称；令g（x）=，则g′（x）=，当x≠1时，xf′（x）＞f′（x）成立，即xf′（x）﹣f′（x）＞0成立；∴x＞1时，g′（x）＞0，g（x）递增，∵1＜m＜2，∴2＜2m＜4，0＜＜1，∴a＞b＞c，故答案为：a＞b＞c．【点评】本题考查利用导数研究函数单调性的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．15．已知抛物线C：y2=4x与点M（﹣1，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若•=0，则k=1．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设直线AB斜率为k，得出AB的方程，联立方程组，由根与系数的关系得出A，B两点的坐标的关系，令k MA•k MB=﹣1列方程解出k．【解答】解：抛物线的焦点为F（1，0），∴直线AB的方程为y=kx﹣k．联立方程组，消元得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2==2+．x1x2=1．∴y1+y2=k（x1+x2）﹣2k=，y1y2=﹣4．∵•=0，∴MA⊥MB，∴k MA•k MB=﹣1．即=﹣1，∴y1y2﹣2（y1+y2）+4+x1x2+x1+x2+1=0，∴﹣4﹣+4+1+2++1=0，解得k=1．故答案为：1．【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．16．大学生村官王善良落实政府“精准扶贫”，帮助贫困户张三用9万元购进一部节能环保汽车，用于出租，假设第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该车每年的运营收入均为11万元，若该车使用了n（n∈N*）年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于3．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】根据题意建立等差数列模型，利用等差数列的性质以及求和公式即可得到结论．【解答】解：设该汽车第n年的营运费为a n，万元，则数列{a n}是以2为首项，2为公差的等差数列，则a n=2n，则该汽车使用了n年的营运费用总和为T n=n2+n，设第n年的盈利总额为S n，则S n=11n﹣（n2+n）﹣9=﹣n2+10n﹣9，∴年平均盈利额P=10﹣（n+）当n=3时，年平均盈利额取得最大值4，故答案为：3．【点评】本题主要考查与数列有关的应用问题，根据条件利用等差数列的通项公式求出盈利总额的表达式是解决本题的关键．三、解答题17．（12分）（2016•陕西模拟）已知函数f（x）=2sinx（cosx+sinx）﹣2（Ⅰ）若点P（，﹣1）在角α的终边上，求f（α）的值（Ⅱ）若x∈[0，]，求f（x）的最值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；任意角的三角函数的定义．【分析】（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x﹣）﹣1，由三角函数定义可取α=﹣，代值计算可得f（α）；（Ⅱ）由x∈[0，]和不等式的性质以及三角函数值域可得．【解答】解：（Ⅰ）由三角函数公式化简可得：f（x）=2sinx（cosx+sinx）﹣2=2sinxcosx+2sin2x﹣2=sin2x﹣cos2x﹣1=2sin（2x﹣）﹣1，∵点P（，﹣1）在角α的终边上，∴tanα==﹣，可取α=﹣∴f（α）=2sin（﹣﹣）﹣1=﹣3；（Ⅱ）∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴2sin（2x﹣）﹣1∈[﹣2，1]，∴f（x）的最小值为﹣2，最大值为1．【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的定义和三角函数的最值，属中档题．18．（12分）（2016•陕西模拟）如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AA′=2AC=2BC，E为AA′的中点，C′E⊥BE．（1）求证：C′E⊥平面BCE；（2）求直线AB′与平面BEC′所成角的大小．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由△ACE和△A′C′E是等腰直角三角形得∠A′EC′=∠AEC=45°，于是C′E⊥CE，结合C′E⊥BE得出C′E⊥平面BCE；（2）证明BC⊥平面ACC′A′得出AC⊥BC，以C为原点建立空间直角坐标系，设AC=1，求出和平面BC′E的法向量，则直线AB′与平面BEC′所成角的正弦值为|cos＜＞|．【解答】证明：（1）在矩形ACC′A′中，∵E是AA′的中点，AA′=2AC，∴EA=AC=EA′=A′C′，∴∠A′EC′=∠AEC=45°，∴∠CEC′=90°．即C′E⊥CE．又C′E⊥BE，CE⊂平面BCE，BE⊂平面BCE，BE∩CE=E，∴C′E⊥平面BCE．（2）∵C′E⊥平面BCE，BC⊂平面BCE，∴C′E⊥BC，又CC′⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴CC′⊥BC，又C′E，CC′⊂平面ACC′A′，C′E∩CC′=C′，∴BC⊥平面ACC′A′，又AC⊂平面ACC′A′，∴BC⊥AC．以C为原点，以CA，CB，CC′为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：设AC=BC=1，则CC′=2．∴A（1，0，0，），B（0，1，0），B′（0，1，2），E（1，0，1），C′（0，0，2）．∴=（﹣1，1，2），=（1，﹣1，1），=（0，﹣1，2）．设平面BC′E的法向量为=（x，y，z）．则．∴，令z=1，得=（1，2，1）．∴=3，||=，||=，∴cos＜＞==．∴直线AB′与平面BEC′所成角的正弦值为，∴直线AB′与平面BEC′所成角为30°．【点评】本题考查了线面垂直的判定，线面角的计算，空间向量的应用，属于中档题．19．（12分）（2016•陕西模拟）某设备在正常运行时，产品的质量m～N（μ，σ2），其中μ=500g，σ2=1，为了检验设备是否正常运行，质量检查员需要随机的抽取产品，测其质量．（1）当质量检查员随机抽检时，测得一件产品的质量为504g，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质量检查员的决定是否有道理，并说明你判断的依据．进而，请你揭密质量检查员做出“要求停止生产，检查设备”的决定时他参照的质量参数标准：（2）请你根据以下数据，判断优质品与其生产季节有关吗？品质优质品数量合格品数量季节夏秋季生产26 8春冬季生产12 4（3）该质量检查员从其住宅小区到公司上班的途中要经过6个红绿灯的十字路口，假设他在每个十字路口遇到红灯或绿灯是互相对立的，并且概率均为，求该质量检查员在上班途中遇到红灯的期望和方差．B1B2A1 a bA2 c d参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.683，P（（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.954，P（（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≈0.997，X2=0.100 0.050 0.010p（x2≥k0）k0 2.706 3.841 6.635【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；独立性检验的应用．【分析】（1）P（m＞500+3σ）=0.0015，可得m＞500+3σ的事件是小概率事件，利用P（497＜m＜503）=0.997，可得质量检查员做出“要求停止生产，检查设备”的决定时他参照的质量参数标准；（2）利用公式，计算X2，可得结论；3）该质量检查员在上班途中遇到红灯的次数为Y，则X～B（6，），利用公式，即可求该质量检查员在上班途中遇到红灯的期望和方差．【解答】解：（1）∵产品的质量m～N（μ，σ2），其中μ=500g，σ2=1，504∈（500+3σ，+∞），P（m＞500+3σ）=0.0015∴m＞500+3σ的事件是小概率事件，∴该质量检查员的决定有道理．∵P（497＜m＜503）=0.997，∴质量检查员做出“要求停止生产，检查设备”的决定时他参照的质量参数标准为m＜497或m＞503；（2）X2==0.0129＜2.706，∴没有充足的理由认为优质品与其生产季节有关；（3）该质量检查员在上班途中遇到红灯的次数为Y，则X～B（6，），∴EX=6×=2，DX=6×=．【点评】本题考查正态分布，考查独立性检验，考查期望和方差，知识综合性强．20．（12分）（2016•长春二模）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，且离心率为，点P为椭圆上一动点，△F1PF2内切圆面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为A1，过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，连结A1A，A1B并延长交直线x=4分别于P，Q两点，以PQ为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设c=t，则a=2t，，推导出点P为短轴端点，从而得到t=1，由此能求出椭圆的方程．（2）设直线AB的方程为x=ty+1，联立，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，由此利用韦达定理、向量知识、直线方程、圆的性质、椭圆性质，结合已知条件能推导出以PQ为直径的圆恒过定点（1，0）和（7，0）．【解答】（本小题满分12分）解：（1）∵椭圆的离心率为，不妨设c=t，a=2t，即，其中t＞0，又△F1PF2内切圆面积取最大值时，半径取最大值为，∵，为定值，∴也取得最大值，即点P为短轴端点，∴，，解得t=1，∴椭圆的方程为．（4分）（2）设直线AB的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，则，，直线AA1的方程为，直线BA1的方程为，则，，假设PQ为直径的圆是否恒过定点M（m，n），则，，，即，即，，即6nt﹣9+n2+（4﹣m）2=0，若PQ为直径的圆是否恒过定点M（m，n），即不论t为何值时，恒成立，∴n=0，m=1或m=7．∴以PQ为直径的圆恒过定点（1，0）和（7，0）．（12分）【点评】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆方程的求法，直线与圆锥曲线的相关知识，以及恒过定点问题．本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求．21．（12分）（2016•陕西模拟）已知函数f（x）=ln（1+mx）+﹣mx，其中0＜m≤1．（1）当m=1时，求证：﹣1＜x≤0时，f（x）≤；（2）试讨论函数y=f（x）的零点个数．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）将m=1代入函数表达式，通过讨论函数的单调性证明结论即可；（2）求出f（x）的导数，通过讨论m的范围确定函数的零点即可．【解答】证明：（1）m=1时，令g（x）=f（x）﹣，（﹣1＜x≤0），则g′（x）=，当﹣1＜x≤0时，﹣x3≥0，1+x＞0，∴g′（x）≥0，g（x）递增，∴g（x）≤g（0）=0，故f（x）≤①；解：（2）f′（x）=，②，令f′（x）=0，解得：x1=0或x2=m﹣，（i）m=1时，x1=x2=0，由②得f′（x）=③，∴x＞﹣1时，1+x＞0，x2≥0，∴f′（x）≥0，f（x）递增，∴﹣1＜x＜0时，f（x）＜f（0）=0，x＞0时，f（x）＞f（0）=0，故函数y=f（x）在x＞﹣1上有且只有1个零点x=0；（ii）0＜m＜1时，m﹣＜0，且﹣＜m﹣，由②得：x∈（﹣，m﹣]时，1+mx＞0，mx＜0，x﹣（m﹣）≤0，此时，f′（x）≥0，同理得：x∈（m﹣，0]时，f′（x）≤0，x≥0时，f′（x）≥0，∴f（x）在（﹣，m﹣]，（0，+∞）递增，在（m﹣，0]递减，故m﹣＜x＜0时，f（x）＞f（0）=0，x＞0时，f（x）＞f（0）=0，∴f（x）在（m﹣，+∞）有且只有1个零点x=0，又f（m﹣）=lnm2﹣（m2﹣），构造函数ω（t）=lnt﹣（t﹣），0＜t＜1，则ω′（t）=④，易知：∀t∈（0，1），ω′（t）≤0，∴y=ω（t）在（0，1）递减，∴ω（t）＞ϖ（1）=0，由0＜m＜1得：0＜m2＜1，∴f（m﹣）﹣ln（m2）﹣（m2﹣）＞0⑤，构造函数k（x）=lnx﹣x+1（x＞0），则k′（x）=，0＜x＜≤1时，k′（x）≥0，x＞1时，k′（x）＜0，∴k（x）在（0，1]递增，在（1，+∞）递减，∴k（x）≤k（1）=0，∴ln≤﹣1＜+1，则＜m2，＜m﹣，∴﹣＜x＜时，m（1+mx）＜﹣﹣1⑥，而﹣mx＜x2﹣mx＜+1⑦，由⑥⑦得f（x）=ln（1+mx）+﹣mx＜﹣﹣1++1=0⑧，又函数f（x）在（﹣，m﹣]递增，m﹣＞，由⑤⑧和函数零点定理得：∃x0∈（﹣，），使得f（x0）=0，综上0＜x＜＜1时，函数f（x）有2个零点，m=1时，f（x）有1个零点．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查不等式的证明以及函数的零点问题，是一道综合题．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•陕西模拟）如图，弦AB与CD相交于圆O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，且PD=2DA．（1）求证：△PED∽△PAE；（2）若PE=2，求PA长．【考点】相似三角形的性质．【分析】（1）证明两组对应角相等，即可证明：△PED∽△PAE；（2）利用相似三角形的性质，结合PE=2，求PA长．【解答】（1）证明：∵BC∥PE，∴∠BCD=∠PED，∵在圆中∠BCD=∠BAD⇒∠PED=∠BAD，∴△PED∽△PAE；（2）解：∵△PED∽△PAE，∴=，∴PE2=PA•PD．设AD=x∵PD=2DA，∴PA=3x，PD=2x，∴6x2=（2）2，∴x=2∴PA=6．【点评】本题考查三角形相似的判定与性质，考查学生的计算能力，正确判断三角形相似是关键．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．（2016•陕西模拟）已知圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中（ρ，θ），ρ≥0，θ∈[0，2π）））．（1）直线l过原点，且它的倾斜角α=，求l与圆E的交点A的极坐标（点A不是坐标原点）；（2）直线m过线段OA中点M，且直线m交圆E于B、C两点，求||MB|﹣|MC||的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由直线l的倾斜角α=，可得直线l的极角θ=，或θ=．代入圆E 的极坐标方程即可得出．（2）由（1）可得：线段OA的中点M，可得直角坐标M．又圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程，设直线l的参数方向为：（t为参数），代入圆的方程可得关于t的一元二次方程，利用||MB|﹣|MC||=||t1|﹣|t2||=|t1+t2|即可得出．【解答】解：（1）∵直线l的倾斜角α=，∴直线l的极角θ=，或θ=．代入圆E的极坐标方程ρ=4sinθ可得：或ρ=﹣2（舍去）．∴l与圆E的交点A的极坐标为．（2）由（1）可得：线段OA的中点M，可得直角坐标M（﹣1，1）．又圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，可得直角坐标方程：x2+y2﹣4y=0，设直线l的参数方向为：（t为参数），代入圆的方程可得：t2﹣2t（sinα+cosα）﹣2=0，△＞0，∴t1+t2=2（sinα+cosα），t1t2=﹣2．∴||MB|﹣|MC||=||t1|﹣|t2||=|t1+t2|=2|sinα+cosα|=2||，∴||MB|﹣|MC||的最大值为2．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标、三角函数求值、参数方程化为普通方程、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•陕西模拟）已知f（x）=|x﹣1|+|x+a|，g（a）=a2﹣a﹣2．（1）若a=3，解关于x的不等式f（x）＞g（a）+2；（2）当x∈[﹣a，1]时恒有f（x）≤g（a），求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）若a=3，f（x）=|x﹣1|+|x+3|，g（3）=4，f（x）＞g（a）+2化为|x﹣1|+|x+3|＞6，即可得出结论；（2）当x∈[﹣a，1]时恒有f（x）≤g（a），1+a≤a2﹣a﹣2，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a=3时，f（x）=|x﹣1|+|x+3|，g（3）=4，f（x）＞g（a）+2化为|x﹣1|+|x+3|＞6，x＜﹣3时，﹣x+1﹣x﹣3＞6，∴x＜﹣4，﹣3≤x≤1时，﹣x+1+x+3＞6，无解，x＞1时，x﹣1+x+3＞6，∴x＞2．综上所述，x＜﹣4或x＞2，∴不等式的解集为{x|x＜﹣4或x＞2}；（2）∵x∈[﹣a，1]，∴f（x）=1+a，∴f（x）≤g（a），化为1+a≤a2﹣a﹣2，∴a2﹣2a﹣3≥0，∴a≥3或a≤﹣1，﹣a＜1，∴a＞﹣1，∴a≥3．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，正确转化是关键．。

2016年陕西省高考一模数学试卷(文科)【解析版】

2016年陕西省高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本答题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x2﹣3x＜0}，则∁R A∩B＝（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，2）C．（0，2）D．[2.3）2．（5分）在复平面上，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第三象限C．第二象限D．第四象限3．（5分）设α为锐角，若cos＝，则sin的值为（）A．B．C．﹣D．﹣4．（5分）已知数1、a、b成等差数列，而1、b、a成等比数列，若a≠b，则a 的值为（）A．﹣B．C．D．﹣5．（5分）若函数f（x）＝则f[f（﹣8）]＝（）A．﹣2B．2C．﹣4D．46．（5分）已知向量＝（1，2），＝（2，﹣3），若向量满足⊥，∥（﹣），则＝（）A．（﹣，）B．（，﹣）C．（﹣，﹣）D．（﹣，）7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．64﹣πB．64﹣2πC．64﹣4πD．64﹣8π8．（5分）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P为事件“x+y≤”的概率，则P＝（）A．B．C．D．9．（5分）执行右面的程序框图，如果输入的N＝3，那么输出的S＝（）A．1B．C．D．10．（5分）设抛物线y2＝2px的焦点在直线2x+3y﹣8＝0上，则该抛物线的准线方程为（）A．x＝﹣4B．x＝﹣3C．x＝﹣2D．x＝﹣1 11．（5分）函数f（x）＝cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间为（）A．（kπ+π，kπ+π），k∈Z B．（kπ+，kπ+），k∈ZC．（2kπ+，2kπ+π），k∈Z D．（2k +π，2k +π），k∈Z 12．（5分）设函数f（x）＝log2（3x﹣1），则使得2f（x）＞f（x+2）成立的x 的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（，+∞）C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）D．（﹣，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1（a＞0）与直线y ＝x相交于P、Q 两点，则|PQ|＝．14．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值为．15．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为3，则球O的体积为．16．（5分）已知曲线y＝x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y＝ax2+（a+2）x+1相切，则a＝．三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，满分60分）（一）、必考题（共5小题，每小题12分，共60分）17．（12分）已知等比数列{a n}中，a1＝，a4＝．（1）S n为{a n}的前n项和，证明：2S n+a n＝1；（2）设b n＝log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．18．（12分）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？19．（12分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点．（1）设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1；（2）证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C．20．（12分）已知椭圆L：+＝1（a＞b＞0）的一个焦点于抛物线y2＝8x的焦点重合，点（2，）在L上．（Ⅰ）求L的方程；（Ⅱ）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与L有两个交点A，B，线段AB 的中点为M，证明：OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．21．（12分）设函数f（x）＝e x﹣ax﹣2．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a＝1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．[选修4-1：几何证明选讲]22．（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB＝DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC＝，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．[选修4-4:坐标系与参数方程]23．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．[选修4-5:不等式选讲]24．设a，b，c，d均为正数，且a﹣c＝d﹣b，证明：（Ⅰ）若ab＞cd，则+＞+；（Ⅱ）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．2016年陕西省高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本答题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x2﹣3x＜0}，则∁R A∩B＝（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，2）C．（0，2）D．[2.3）【解答】解：∵集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，∴∁R A＝{x|x≤﹣1或x≥2}＝（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），又B＝{x|x2﹣3x＜0}＝{x|0＜x＜3}＝（0，3），∴∁R A∩B＝[2，3）．故选：D．2．（5分）在复平面上，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第三象限C．第二象限D．第四象限【解答】解：∵＝，∴复数对应的点的坐标为（3，1），位于第一象限．故选：A．3．（5分）设α为锐角，若cos＝，则sin的值为（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：∵α为锐角，cos＝，∴∈，∴＝＝．则sin＝＝＝．故选：B．4．（5分）已知数1、a、b成等差数列，而1、b、a成等比数列，若a≠b，则a 的值为（）A．﹣B．C．D．﹣【解答】解：∵数1、a、b成等差数列，而1、b、a成等比数列，a≠b，∴2a＝1+b，b2＝a，化为：2b2﹣b﹣1＝0，解得b＝1或﹣，b＝1时，a＝1，舍去．∴a＝b2＝＝．故选：B．5．（5分）若函数f（x）＝则f[f（﹣8）]＝（）A．﹣2B．2C．﹣4D．4【解答】解：∵函数f（x）＝∴f（﹣8）＝＝2，∴f[f（﹣8）]＝f（2）＝2+＝﹣4．故选：C．6．（5分）已知向量＝（1，2），＝（2，﹣3），若向量满足⊥，∥（﹣），则＝（）A．（﹣，）B．（，﹣）C．（﹣，﹣）D．（﹣，）【解答】解：设向量＝（a，b），向量＝（1，2），＝（2，﹣3），﹣＝（1﹣a，2﹣b），向量满足⊥，∥（﹣），可得a+2b＝0，﹣3（1﹣a）＝2（2﹣b），解得a＝，b＝﹣．则＝（，﹣）．故选：B．7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．64﹣πB．64﹣2πC．64﹣4πD．64﹣8π【解答】解：由三视图可知：该几何体是由一个正方体在中间挖去一个圆柱得到的．∴该几何体的体积＝43﹣π×12×2＝64﹣2π．故选：B．8．（5分）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P为事件“x+y≤”的概率，则P＝（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得总的基本事件为{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，事件P包含的基本事件为{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1，x+y≤}，它们所对应的区域分别为图中的正方形和阴影三角形，故所求概率P＝＝，故选：D．9．（5分）执行右面的程序框图，如果输入的N＝3，那么输出的S＝（）A．1B．C．D．【解答】解：由程序框图知：输入N＝3时，K＝1，S＝0，T＝1第一次循环T＝1，S＝1，K＝2；第二次循环T＝，S＝1+，K＝3；第三次循环T＝，S＝1++，K＝4；满足条件K＞3，跳出循环，输出S＝1++＝．故选：C．10．（5分）设抛物线y2＝2px的焦点在直线2x+3y﹣8＝0上，则该抛物线的准线方程为（）A．x＝﹣4B．x＝﹣3C．x＝﹣2D．x＝﹣1【解答】解：把y＝0代入2x+3y﹣8＝0得：2x﹣8＝0，解得x＝4，∴抛物线的焦点坐标为（4，0），∴抛物线的准线方程为x＝﹣4．故选：A．11．（5分）函数f（x）＝cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间为（）A．（kπ+π，kπ+π），k∈Z B．（kπ+，kπ+），k∈ZC．（2kπ+，2kπ+π），k∈Z D．（2k+π，2k+π），k∈Z【解答】解：函数的周期T＝2×（π﹣）＝2π，即，得ω＝1，则f（x）＝cos（x+φ），则当x＝＝π时，函数取得最小值，则π+φ＝π+2kπ，即φ＝+2kπ，即f（x）＝cos（x+），由2kπ+π＜x+＜2kπ+2π，k∈Z，即2k+π＜x＜2k+π，k∈Z，即函数的单调递增区间为为（2k+π，2k+π），故选：D．12．（5分）设函数f（x）＝log2（3x﹣1），则使得2f（x）＞f（x+2）成立的x 的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（，+∞）C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）D．（﹣，+∞）【解答】解：∵函数f（x）＝log2（3x﹣1），则不等式2f（x）＞f（x+2）可化为：2log2（3x﹣1）＞log2（3x+5），即（3x﹣1）2＞3x+5，且3x﹣1＞0，解得：x＞，即使得2f（x）＞f（x+2）成立的x的取值范围是（，+∞），故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1（a＞0）与直线y＝x相交于P、Q两点，则|PQ|＝．【解答】解：∵圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1的圆心C（3，2），半径r＝1，圆心C（3，2）到直线y＝x的距离d＝＝，∵圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1（a＞0）与直线y＝x相交于P、Q两点，∴|PQ|＝2＝2＝．故答案为：．14．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值为3．【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域，作出直线2x+y＝0，对该直线进行平移，可以发现经过的交点B时Z取得最小值，解得：，点B（1，1）；Z取得最小值3．故答案为：3．15．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为3，则球O的体积为24π．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC＝V C﹣AOB＝＝＝3∴R3＝18，则球O的体积为πR3＝24π．故答案为：24π．16．（5分）已知曲线y＝x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y＝ax2+（a+2）x+1相切，则a＝8．【解答】解：y＝x+lnx的导数为y′＝1+，曲线y＝x+lnx在x＝1处的切线斜率为k＝2，则曲线y＝x+lnx在x＝1处的切线方程为y﹣1＝2x﹣2，即y＝2x﹣1．由于切线与曲线y＝ax2+（a+2）x+1相切，故y＝ax2+（a+2）x+1可联立y＝2x﹣1，得ax2+ax+2＝0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有△＝a2﹣8a＝0，解得a＝8．故答案为：8．三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，满分60分）（一）、必考题（共5小题，每小题12分，共60分）17．（12分）已知等比数列{a n}中，a1＝，a4＝．（1）S n为{a n}的前n项和，证明：2S n+a n＝1；（2）设b n＝log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．【解答】（1）证明：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1＝，a4＝．∴＝，解得q＝．∴a n＝，S n＝＝，∴2S n+a n＝+＝1，∴2S n+a n＝1．（2）解：log3a n＝＝﹣n．b n＝log3a1+log3a2+…+log3a n＝﹣1﹣2﹣…﹣n＝﹣，∴＝﹣2，∴数列{}的前n项和＝﹣2+…+＝﹣2＝．18．（12分）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？【解答】解：（1）频率分布直方图如图所示：（2）质量指标的样本平均数为＝80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08＝100，质量指标的样本的方差为S2＝（﹣20）2×0.06+（﹣10）2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08＝104，这种产品质量指标的平均数的估计值为100，方差的估计值为104．（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08＝0.68，由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．19．（12分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点．（1）设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1；（2）证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C．【解答】证明：（1）方法一：取A1B1的中点为F1，连接FF1，C1F1，由于FF1∥BB1∥CC1，所以F1∈平面FCC1，因此平面FCC1即为平面C1CFF1．连接A1D，F1C，由于A1F1D1C1CD，所以四边形A1DCF1为平行四边形，因此A1D∥F1C．又EE1∥A1D，得EE1∥F1C，而EE1⊄平面FCC1，F1C⊂平面FCC1，故EE1∥平面FCC1．方法二：因为F为AB的中点，CD＝2，AB＝4，AB∥CD，所以CD綊AF，因此四边形AFCD为平行四边形，所以AD∥FC．又CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，FC⊂平面FCC1，CC1⊂平面FCC1，所以平面ADD1A1∥平面FCC1，又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1．（2）连接AC，取F为AB的中点，在△FBC中，FC＝BC＝FB＝2，又F为AB的中点，所以AF＝FC＝FB＝2，因此∠ACB＝90°，即AC⊥BC．又AC⊥CC1，且CC1∩BC＝C，所以AC⊥平面BB1C1C，而AC⊂平面D1AC，故平面D1AC⊥平面BB1C1C．20．（12分）已知椭圆L：+＝1（a＞b＞0）的一个焦点于抛物线y2＝8x的焦点重合，点（2，）在L上．（Ⅰ）求L的方程；（Ⅱ）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与L有两个交点A，B，线段AB 的中点为M，证明：OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．【解答】解：（Ⅰ）抛物线y2＝8x的焦点为（2，0），由题意可得c＝2，即a2﹣b2＝4，又点（2，）在L上，可得+＝1，解得a＝2，b＝2，即有椭圆L：+＝1；（Ⅱ）证明：设直线l的方程为y＝kx+b（k，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y＝kx+b代入椭圆方程+＝1，可得（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣8＝0，x1+x2＝﹣，即有AB的中点M的横坐标为﹣，纵坐标为﹣k•+b＝，直线OM的斜率为k OM＝＝﹣•，即有k OM•k＝﹣．则OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．21．（12分）设函数f（x）＝e x﹣ax﹣2．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a＝1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．【解答】解：（I）函数f（x）＝e x﹣ax﹣2的定义域是R，f′（x）＝e x﹣a，若a≤0，则f′（x）＝e x﹣a≥0，所以函数f（x）＝e x﹣ax﹣2在（﹣∞，+∞）上单调递增．若a＞0，则当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＝e x﹣a＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＝e x﹣a＞0；所以，f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（II）由于a＝1，所以，（x﹣k）f′（x）+x+1＝（x﹣k）（e x﹣1）+x+1故当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0等价于k＜（x＞0）①令g（x）＝，则g′（x）＝由（I）知，当a＝1时，函数h（x）＝e x﹣x﹣2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，所以h（x）＝e x﹣x﹣2在（0，+∞）上存在唯一的零点，故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2）当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0；所以g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（α）．又由g′（α）＝0，可得eα＝α+2所以g（α）＝α+1∈（2，3）由于①式等价于k＜g（α），故整数k的最大值为2．[选修4-1：几何证明选讲]22．（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB＝DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC＝，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G．由弦切角定理可得∠ABE＝∠BCE，而∠ABE＝∠CBE，∴∠CBE＝∠BCE，BE＝CE．又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE＝90°．∴△DBE≌△DCE，∴DC＝DB．（II）由（I）可知：∠CDE＝∠BDE，DB＝DC．故DG是BC的垂直平分线，∴BG＝．设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG＝60°．从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°．∴CF⊥BF．∴Rt△BCF的外接圆的半径＝．[选修4-4:坐标系与参数方程]23．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．【解答】解：（I）由曲线C2：ρ＝2sinθ，化为ρ2＝2ρsinθ，∴x2+y2＝2y．同理由C3：ρ＝2cosθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y＝x tanα，其中0≤α≤π，α≠；α＝时，为x＝0（y≠0）．其极坐标方程为：θ＝α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|＝＝4，当时，|AB|取得最大值4．[选修4-5:不等式选讲]24．设a，b，c，d均为正数，且a﹣c＝d﹣b，证明：（Ⅰ）若ab＞cd，则+＞+；（Ⅱ）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【解答】证明：（Ⅰ）由（+）2＝a+b+2，（+）2＝c+d+2，由a﹣c＝d﹣b，可得a+b＝c+d，由ab＞cd，可得（+）2＞（+）2，即为+＞+；（Ⅱ）若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，由a+b＝c+d，可得ab＞cd，由（Ⅰ）可得+＞+；若+＞+，则（+）2＞（+）2，即有a+b+2＞c+d+2，由a﹣c＝d﹣b，可得a+b＝c+d，即有ab＞cd，（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd＝（c﹣d）2，可得|a﹣b|＜|c﹣d|．即有+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．。