北京师大附中2013-2014学年上学期高二年级期中考试数学试卷(文科) 后有答案
北京师大附中2014-2015学年上学期高一年级期中考试数学试卷 后有答案
北京师大附中2014-2015学年上学期高一年级期中考试数学试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷（模块卷，100分）和第Ⅱ卷（综合卷，50分）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（模块卷）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}4,3,2,1,0=M ，{}2,0,2-=N ，则（ ）A. M N ⊆B. M N M =C. {}2=N MD. {}2,0=N M 2. 下列函数中与x x f =)(表示同一函数的是（ ）A. 2)()(x x f = B. 2)(x x f = C. 33)(x x f = D. xx x f 2)(=3. 下列函数在),0(+∞上是增函数的是（ ）A. )2ln(-=x yB. x y -=C. 12+=x yD. 32-=x y4. 设xa x f a =>)(,1，则函数)(x f 的图象大致是（ ）5. 设21lg,7.0,6.02121===c b a ，则c b a ,,之间的关系是（ ） A. b a c << B. a a b << C. a b c << D. c b a <<6. 设全集R U =，{}12)2(<=-x x x A ，{})1ln(x y x B -==，则下图中阴影部分表示的集合为（ ）A. {}1≥x xB. {}21<≤x xC. {}10≤<x xD. {}1≤x x7. 函数xx x f 2ln )(-=的零点所在的大致区间是（ ） A. ()2,1 B. ()+∞,e C. ()3,2 D. ()4,31,21和⎪⎭⎫ ⎝⎛8. 已知函数m x x f -=2)(定义在区间],3[2m m m ---上的奇函数，则下面结果成立的是（ ）A. )0()(f m f <B. )0()(f m f =C. )0()(f m f >D. )0()(f m f 与大小不确定二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
北京师大附中2013-2014学年上学期初中八年级期中考试数学试卷
北京师大附中2013-2014学年上学期初中八年级期中考试数学试卷试卷说明：本试卷满分120分，考试时间为120分钟。
一、选择题（每小题2分，共24分） 1. 在下列各式中，计算正确的是 A. ()1122+=+a aB. 532a a a =+ C. 628a a a =÷D. 12322=-a a2. 下列因式分解正确的是A. ()()()22222+-=-+-x x xB. ()22112-=-+x x xC. 24x ()21214-=+-x xD. ()()22242-+=-x x x x3. 若79,43==y x ，则yx 23-的值为A.74 B.47 C. -3D.72 4. 若分式652||2+--x x x 的值为0，则x 的值为A. 2B. -2C. 2或-2D. 2或35. 用科学记数法表示0.000096应为 A. 51096-⨯ B. 4106.9-⨯C. 41096-⨯D. 5106.9-⨯6. 计算a ba ab b a +÷⎪⎭⎫⎝⎛-的结果为 A.b ba - B.bba + C.aba - D.aba + 7. 如图，△ABC ≅△ADE 且∠ABC=∠ADE ，∠ACB=∠AED ，BC 、DE 交于点O ，则下列四个结论中，①∠1=∠2；②BC=DE ；③△BDO ≅△ECO ；④AD=AC ，一定成立的有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 下列给出四个命题：（1）面积相等的两个三角形是全等三角形； （2）三个内角分别相等的两个三角形全等； （3）全等三角形对应边上的高线一定相等；（4）全等的三角形面积一定相等，其中真命题的个数有（ ）个 A. 1B. 2C. 3D. 49. 已知：3=-b a ，则ab b a 933--的值是A. 3B. 9C. 27D. 8110. 如图，∠D 与∠B 互补，AC 平分∠BAD ，则BC 与DC 的大小关系为A. DC BC >B. DC BC <C. DC BC =D. 都有可能11. 如图，设()0>>=b a k 乙图中阴影部分面积甲图中阴影部分面积，则有A. 2>kB. 21<<kC.121<<k D. 210<<k 12. 若正整数x 、y 满足6422=-y x ，则这样的正整数对（y x ,）的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题：（每小题3分，共30分）13. 若2294y kxy x +-是完全平方式，则=k __________。
北京师大附中2013-2014学年上学期高二年级期末考试数学试卷(文科) 后有答案
北京师大附中2013-2014学年上学期高二年级期末考试数学试卷（文科）试卷说明：本试卷满分150分，考试时间为120分钟。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 已知命题：1log ,:2*=∈∃x R x p ，则p ⌝是A. 1log ,2*≠∈∀x R xB. 1log ,2*≠∉∀x R xC. 1log ,2*≠∈∃x R xD. 1log ,2*≠∉∃x R x2. 设m 、n 是两条不同直线，α、β是两个不同的平面，下列命题正确的是A. 若n m n m ∥则∥且∥∥,,βαβαB. 若n m n m ⊥⊥⊥⊥则且βαβα,C. 若βαβα⊥⊥⊂⊥则,,,n m n mD. 若βαββαα∥则∥∥,,,,n m n m ⊂⊂ 3. 已知复数z 的实部为-1，虚部为2，则=zi 5A. i --2B. i +2C. i -2D. i +-24. 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是A. 3B.25 C. 2 D.23 5. 已知椭圆1322=+ky x 的一个焦点坐标为（0，1），则其离心率等于A. 2B.21 C.332 D.23 6. 给出下列几种说法：①演绎推理的特征是：当前提为真时，结论必然为真； ②合情推理的特征是：当前提为真时，结论未必为真； ③综合法的推理方向是由已知到求证，表现为由因到果； ④分析法的推理方向是由结论到已知，表现为执果索因；⑤数学证明中的反证法就是：如果肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾。
上述说法中正确的是A. ①③⑤B. ②④C. ①②③④D. ①②③④⑤7. 已知P 为双曲线11222=-y x 上一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，若2:3||:||21=PF PF ，则△21F PF 的面积是A. 36B. 312C. 12D. 248. 如图P 为椭圆192522=+y x 上（异于顶点）的任意一点，过椭圆的右顶点A 和上顶点B 分别作与x 轴和y 轴的平行线交于C ，过P 引BC 、AC 的平行线交AC 于N ，交BC 于M ，交AB 于D 、E ，矩形PMCN 的面积是1S ，三角形PDE 的面积是2S ，则21:S S 为A. 1B. 2C.21D. 与点P 的坐标有关二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9. 抛物线x y 42=的焦点到准线的距离为__________。
北京师大附中2013-2014学年上学期高三年级期中考试数学试卷(文科) 后有答案
北京师大附中2014届上学期高三年级期中考试数学试卷（文科）本试卷150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}01|,21,1=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=mx x B A ，若B B A =⋂，则所有实数m 组成的集合是A. {}2,1,0-B. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-1,0,21C. {}2,1-D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-21,0,1 2. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，21=a ，353a a =，则=9SA. 90B. 54C. －54D. －723. 如图，正三棱柱111C B A ABC -的各棱长均为2，其正（主）视图如图所示，则此三棱柱侧（左）视图的面积为A. 22B. 4C.3 D. 324. 设向量a ()1,sin θ=，b ()3sin ,1θ=，且a //b ，则θ2cos 等于A. 31-B. 32-C.32 D.31 5. “b a =”是“直线2+=x y 与圆()()222=-+-b y a x 相切”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 抛物线ax y -=2的准线方程为2-=x ，则a 的值为A. 4B. －4C. 8D. －87. 设变量y x ,满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥2,22,x y x x y 则y x z 3-=的最小值为A. －2B. －4C. －6D. －88. 在四棱锥P －ABCD 中，侧面PAD 为正三角形，底面为正方形，侧面PAD 与底面ABCD 垂直，M 为底面所在平面内的一个动点，且满足MP=MC ，则动点M 的轨迹是 A. 椭圆B. 抛物线C. 双曲线D. 直线二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9. 直线02=+y x 被曲线0152622=---+y x y x 所截得的弦长等于__________。
北京师大附中2013-2014学年上学期高二年级期中考试物理试卷(文科) 后有答案
北京师大附中2013-2014学年上学期高二年级期中考试物理试卷（文科）本卷满分100分 考试时间60分钟一、单选题（39分）1. 下列说法错误的是（ ）A. 库仑发现了点电荷相互作用力的大小B. 奥斯特发现了电流的磁效应C. 法拉第发现了电磁感应现象D. 安培首先提出磁场对电荷有力的作用2. 某同学计算出了四个带电粒子的电量，哪几个电量是根本不可能存在的（ ）A. 19100.8-⨯库 B. 21108.4-⨯库 C. 19106.9-⨯库 D. 18104.6-⨯库3. 某试探电荷q 在电场中所受电场力为F ，则下列说法不正确的是（ ）A. 该点的场强大小为q F /B. 若移走该试探电荷，该点的场强大小为q F /C. 若在该点换上2q 的试探电荷，该点的场强大小仍为q F /D. 若在该点换上带电量为-q 的试探电荷，该点的场强变为q F /- 4. 磁感应强度方向为（ ）A. 小磁针N 极的受力方向B. 小磁针S 极的受力方向C. 通电导线在磁场中所受安培力的方向D. 运动正电荷在磁场中所受洛仑兹力的方向5. 下列表示电流I 在磁场B 中所安培力F 的各图中正确的是（ ）6. 线框abcd 位于垂直纸面向里的匀强磁场中，下列哪些措施能使线框中产生感应电流（ ）A. 向左匀速拉动线框B. 向左加速拉动线框C. 线框以ad为轴向纸面外翻转D. 线框垂直纸面运动7. 将条形磁铁N极插入螺线管中，螺线管中会产生感应电动势，若要增大螺线管内的感应电动势，可以采取的措施有（）A. 其他条件不变的情况下，减小磁铁进入螺线管的速度B. 其他条件不变的情况下，增加螺线管的匝数C. 其他条件不变的情况下，换磁性弱的磁铁D. 其他条件不变的情况下，改用磁铁的S极插入8. 电容的单位是（）A. 法拉B. 特斯拉C. 伏特D. 库仑9. 如图所示，磁场B方向、通电直导线中电流I的方向，以及通电直导线所受磁场力F 的方向，其中正确的是（）10. 某负电荷在下图所示的电场中由a点运动到b点，下列说法正确的是（）A. b点场强大B. 该电荷在a点所受电场力大C. 电场力做正功D. 若将正电荷放在该电场中，正电荷在b点所受电场力大11. 如图所示，均匀绕制的螺线管水平放置，在其正中心的上方附近用绝缘线水平吊起通电直导线A，开关S闭合后，A受到通电螺线管磁场的作用力的方向是（）A. 水平向左B. 水平向右C. 竖直向下D. 竖直向上12. 下列关于洛伦兹力的叙述正确的是（）A. 洛伦兹力对带电粒子不做功B. 运动电荷在磁感应强度不为零的地方，一定受到洛伦兹力作用C. 运动电荷在磁场中某处不受洛伦兹力，则该处的磁感应强度一定为零D. 洛伦兹力既不能改变带电粒子的动能，也不能改变带电粒子的速度13. 在地球赤道正上方，有一束电子流射向地心，在地磁场的作用下，它将（）A. 向北偏转B. 向南偏转C. 向东偏转D. 向西偏转二、多选题（9分）1. 两个点电荷相距为r，带电量都为q，为了使它们之间的作用力减半，可以采取以下哪些措施（）A. 将其中一个电荷的电量变为q/2B. 将它们的距离变为2rC. 将其中一个电荷的电量变为2q，同时将它们的距离变为2rD. 将它们的电量都变为q/2，同时将它们的距离变为r/22. 如图所示为电场中的一条电场线，A、B为其上的两点，以下说法正确的是（）A. A E 与B E 一定不等B. A E 与B E 可能相等C. A E 与B E 一定相等D. A E 与B E 可能不相等3. 如图所示，实线是一个电场中的电场线，虚线是一个负检验电荷在这个电场中的轨迹，若电荷是从a 处运动到b 处，比较a 、b 两点，以下判断正确的是：（ ）A. 电荷从a 到b 加速度减小B. b 处场强大C. b 处电荷受到的电场力大D. 电荷在b 处速度小三、填空题（22分）1. 某金属导体的某横截面上，在5s 内通过了191025.1⨯个电子，则这段时间通过该金属导体的总电量为_________C ，电流为________A 。
北京师大附中2014-2015学年上学期高二年级期末考试数学试卷(理科) 后有答案
北京师大附中2014－2015学年上学期高二年级期末考试数学试卷（理科）说明：本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．设命题:,22012x p x R ∃∈>，则p ⌝为（ ）A ．,22012x x R ∀∈≤B ．,22012x x R ∀∈>C ．,22012x x R ∃∈≤D ．,22012x x R ∃∈< 2．设0a >，则椭圆2222x y a +=的离心率是（ ）A ．12 B C ．13 D ．与a 的取值有关 3．若a ，b ，c 为复数，则22()()0a b b c -+-=是a b c ==的（ ） A ．充要条件 B ．充分但不必要条件 C ．必要但不充分条件 D ．既不充分也不必要条件4．设m 、n 是两条不同直线，α、β是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n C ．若m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ，则α⊥βD ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β5．已知P 为双曲线22112y x -=上一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，若12:3:2PF PF =，则△PF 1F 2的面积是（ ）A ．B ．C ．12D ．246．如图，某三棱锥的三视图都是直角边为2的等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是（ ）A ．43 B ．83C ．4D ．8 7．已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且AK =，则△AFK 的面积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．328．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．12(,)33B ．1(,1)2C ．2(,1)3D ．111(,)(,1)322二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
北京师大附中2015届上学期高三年级期中考试数学试卷(文科) 后有答案
北京师大附中2015届上学期高三年级期中考试数学试卷（文科）试卷说明：本试卷满分150分，考试时间为120分钟。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 已知}1,0,1,2{},01|{--=>+=B x x A ，则B A C R )(＝（ ） A. }1,2{--B. }2{-C. }1,0,1{-D. }1,0{2. 已知向量),3(),1,1(m b a =-=，a ∥（b a +），则=m （ ） A. 2B. －2C. －3D. 33. 数列}{n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，已知21,577==S a ，则10S ＝（ ） A. 40B. 35C. 30D. 284. 已知)23,(ππα∈，且54cos -=α，则)4tan(απ-等于（ ） A. 7B.71C. 71-D. －75. “2<x ”是“0232<+-x x ”成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 曲线23++=x e y x 在点0P 处的切线方程为054=+-y x ，则点0P 的坐标是（ ） A. （0，1）B. )1,1(-C. （1，3）D. （0，5）7. )(x f 是定义在R 上的奇函数，函数)(x f y =的图象关于直线1=x 对称。
若)0,1(-∈x 时，512)(+=xx f ，则)20(log 2f ＝（ ） A. 1B.54 C. －1D. 54-8. 设|2|)(2x x f -=，若0<<b a ，且)()(b f a f =，则ab 的取值范围是（ ）A. )2,0(B. ]2,0(C. )2,0(D. ]4,0(二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 9. 在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为23，则AC ＝________；BC ＝________。
北京师大二附中2013—2014学年度高二年级第四学段测试题
23．化学反应 3A2(g)＋C2(g) ⇌2CA3(g)。当反应达到 平衡时不断改变条件 （不改变 A2、 C2 和 CA3 的量） ， 左图是反应速率与时间的关系图， 其中表示平衡混合 物 中 CA3 含 量 最 高 的 一 段 时 间 是
________________________。
24．某 HA 的稀溶液，其浓度为 b mol/L， 在稀释过程中的 c（H+）变化如图所示。 （1）以下判断正确的是 。
器，再达新平衡时的平衡常数为 K2，则 K2 号字母） 。 a．及时分离出 NH3 b．升高温度
（4）从化学平衡移动的角度分析，提高 H2 转化率可以采取的措施是
c．增大压强
d．使用催化剂
26．在温度 t1 和 t2 下，X2(g)和 H2 反应生成 HX 的平衡常数如下表： 化学方程式 F2+H2 Cl2+H2 Br2+H2 I2+H2 2HF 2HCl 2HBr 2HI K(t1) 1.8× 1036 9.7× 1012 5.6× 107 43 K(t2) 1.9× 1032 4.2× 1011 9.3× 106 34
14．新型的乙醇电池结构如图所示，它用磺酸类质子（H+）溶剂，在 200℃左右时供电， 其效率比甲醇电池高出 32 倍，且更安全。已知电池总反应式为：C2H5OH＋3O2＝2CO2 ＋3H2O。下列说法不正确 的是 ．．． A．a 极为电池的负极，该电极发生氧化反应 B．电池工作时电流由 b 极沿导线经灯泡再到 a 极 C． 电池正极的电极反应式为： O2＋2H2O＋4e-＝4OHD．电池工作时，1mol 乙醇被氧化转移 12 mol 电子
C．③④⑤
11．与纯水的电离相似，液氨中也存在着微弱的电离：2NH3⇌NH4++NH2-，据此判断以下 叙述中错误的是 A．液氨中含有 NH3、NH4+、NH2-等微粒 B．一定温度下液氨中 C(NH4+)· C(NH2-)是个常数 C．液氨的电离达到平衡时：C(NH3) = C(NH4+) = C(NH2-) D．只要不加入其他物质，液氨中 C(NH4+) = C(NH2-) 12．一定条件下，体积为 2 L 的密闭容器中，1 mol X 和 3 mol Y 进行反应： X(g)＋3Y(g) ⇌2Z(g)，经 12 s 达到平衡，生成 0.6 mol Z。下列说法正确的是 A．以 X 浓度变化表示的反应速率为 0.25 mol· L-1· s-1 B．12 s 后将容器体积扩大为 10 L，Z 的平衡浓度变为原来的 1/5 C．若增大 X 的浓度，则物质 Y 的转化率减小 D．若该反应的△H＜0，升高温度，平衡常数 K 减小 13．在密闭容器中发生下列反应 aA(g) ⇌cC(g)＋dD(g)，反应达平衡后，将容器体积压缩到 原来的一半，当再次达到平衡时，D 的浓度为原平衡的 1.8 倍，下列叙述正确的是 A．A 的转化率变小 C．D 的物质的量变大 B．平衡向正反应方向移动 D．a＞c＋d
北京师大附中2012-2013学年度第一学期高二年级期中考试数学试卷(理科)(有答案)AqqUMn
北京师大附中2012－2013学年度第一学期高二年级期中考试数学试卷（理科）考试时间：120分钟 共150分第I 卷（模块卷）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知过点A （－2，m ）和B （－8,4）的直线与直线01-2=+y x 平行，则m 的值为（ ）A. 0B. －8C. 2D. 10 2. 圆4)2(22=++y x 与圆91)()2(22=-+-y x 的位置关系为（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切D. 相离3. 关于直线a 、b 、l 及平面M 、N ，下列命题中正确的是（ ） A. 若M b M a //,//，则b a // B. 若a b M a ⊥,//，则M b ⊥C. 若,,a M b M ⊂⊂且,l a l b ⊥⊥，则l M ⊥D. 若N a M a //,⊥，则M N ⊥4. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）A.122ππ+ B. 144ππ+ C. 12ππ+ D. 142ππ+ 5. 若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A. []3,1--B. []1,3-C. []3,1-D. ),1[]3,(+∞--∞Y 6. 如图，在正四面体P —ABC 中，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立．．．的是（ ）A. BC//平面PDFB. DF ⊥平面PAEC. 平面PDF ⊥平面ABCD. 平面PAE ⊥平面ABC7. 已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于A.46B. 410C. 22D. 23 8. 如图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ，则以下命题中，错误．．的命题是（ ）A. 点H 是△A 1BD 的垂心B. AH 垂直平面CB 1D 1C. AH 的延长线经过点C 1D. 直线AH 和BB 1所成角为45°二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
北京师大附中2013-2014学年上学期高二年级期中考试历史试卷 后有答案
北京师大附中2013-2014学年上学期高二年级期中考试历史试卷试卷说明：1．满分为100分，考试时间为90分钟。
2．本试卷分为第I卷和第II卷两部分。
第I卷一、单项选择题（共25小题，每小题2分，共计50分）1. 对夏商周三代生产力水平的概括，最为准确的是A. 石器时代B. 金石并用时代C. 铜器时代D. 铁器时代2. “普天之下，莫非王土。
”这是对我国古代奴隶社会土地所有制井田制的形象描述。
以下表述正确的是①奴隶社会实行土地国有制②井田制实质上是一种私有制③井田制下采取集体耕作的方式④随着井田制结束，分封制消失A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④3. 有学者认为早在商代就可能出现了牛耕，对他最有利的证据是A. 商代遗址中出土了牛骨B. 《诗经》里有农耕生活的描写C. 孔子学生冉耕字伯牛，名字中有耕、牛二字D. 商代金文中有犁字（见下图）4. 以下四幅图片中，与商朝经济活动相关的有A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④5. 《周礼·考工记》载：“攻木之工七，攻金之工六，攻皮之工五，设色之工五，刮摩之工五，搏埴之工二。
”材料所反映的当时官营手工业生产的显著特点是A. 工商食官，生产不计成本B. 产品丰富，生产多样化C. 分工细致，生产专业化D. 产量庞大，生产规模化6. 春秋时齐国管仲的“相地而衰征”和鲁国的“初税亩”A. 导致社会生产力的显著提高B. 通过变法确立土地私有制C. 国家维护土地自由买卖D. 促进生产方式由旧向新转变7. 春秋时，楚相孙叔敖主持修建芍陂（音：确杯），推动了所在地区农业生产的发展。
该水利工程位于A. 成都平原B. 河北地区C. 渭河流域D. 淮河流域8. 从《战国时期生产工具出土情况表》中你能获得的相关信息有③铁制工具的类型多种多样④铁器使用的区域广阔A. ①②B. ②④C. ②③④D. ①②④9. 有利于小农经济的确立、发展的有①铁农具出现和牛耕推广②土地私有制的出现③劳动者积极性的提高④商鞅变法强制推行一夫一妻小家庭制A. ①②③④B. ①②③C. ①②④D. ①③④10. 在北京曾经发现一处战国时期的遗址，从中出土了燕韩赵魏等国铸币3876枚。
北京师大附中2013-2014学年下学期高二年级期中考试物理试卷
北京师大附中2013-2014学年下学期高二年级期中考试物理试卷试卷说明：本试卷分为A卷、B卷两部分。
其中A卷为选修3-2以及3-4模块考试，满分100分，B卷为能力测试，满分50分，全卷满分150分，考试时间100分钟．A卷一、单项选择题（每小题3分，共60分）1．如图，P是一偏振片，P的透振方向（用带有箭头的实线表示）为竖直方向。
下列四种入射光束分别照射P时，不能在P的另一侧观察到透射光的是A．太阳光B．沿竖直方向振动的光C．沿水平方向振动的光D．沿与竖直方向成45°角振动的光2．如图所示，三只完全相同的灯泡a、b、c分别与电阻R、电感L、电容C串联，再将三者并联，接在220V、50Hz的交变电压两端，三只灯泡亮度相同。
若接在220V、60Hz的交变电压两端，则A．三只灯泡亮度都不变B．三只灯泡都将变亮C．a亮度不变，b变亮，c变暗D．a亮度不变，b变暗，c变亮3．如图所示，关于有关实验过程描述正确的是A．当S接通后，通过线圈L的电流方向是a到bB．当S接通后，通过小灯泡的电流方向是a到bC．在S断开的瞬间，通过线圈L的电流方向是b到aD．在S断开的瞬间，通过小灯泡的电流方向是b到a4．位移传感器的工作原理如图所示，物体M在导轨上平移时，带动滑动变阻器的金属滑杆p，通过电压表显示的数据，来反映物体位移的大小x。
假设电压表是理想的，则说法正确的是A．物体M运动时，电源内的电流会发生变化B．物体M运动时，电压表的示数会发生变化C．物体M不动时，电路中没有电流D．物体M不动时，电压表示数为05．图（a）左侧的调压装置可视为理想变压器，负载电路中R=55Ω，A、V为理想电流表和电压表，若原线圈接入如图（b）所示的正弦交变电压，电压表的示数为110 V，下列表述正确的是A．电流表的示数B．原、副线圈匝数比为2：1C．电压表的示数为电压的最大值D．原线圈中交变电压的频率为100 Hz 6．如图所示电路中的变压器为理想变压器，S为单刀双掷开关，P是滑动变阻器R的滑动触头，原线圈两端接交变电流，输入电压不变，则A．保持P的位置不变，S由b切换到a，能使原线圈的输入功率变大B．保持P的位置不变，S由a切换到b，能使原线圈的输入功率变大C．S掷于b位置不动，P向上滑动，能使原线圈的输入功率减小D．S由a切换到b，同时将P向下滑动，一定能使原线圈的输入功率变大=V，它是由矩形线圈在匀强磁场7．我们日常生活用电的交变电压是e tπ中匀速转动产生的，①交流电的频率是50 Hz②交流电压的有效值是220 V③当t=0时，线圈平面恰好与中性面垂直④当150ts 时，e 有最大值⑤电流每秒方向改变100次，将其中正确说法全都选对的是A ．③④⑤B ．①②⑤C ．①②③D ．②③④8．如图所示，在磁感应强度B =0.5T 的匀强磁场中，让导体PQ 在U 型导轨上以速度v =10m/s 向右匀速滑动，两导轨间距离L=0.8m ，则产生的感生电动势的大小和PQ 中的电流方向分别是A ．4V ，由P 向QB ．0.4V ，由Q 向PC ．4V ，由Q 向PD ．0.4V ，由P 向Q9．有一个200匝的线圈放在匀强磁场中，磁场方向垂直于线圈平面，线圈的面积为50cm 2。
北京师大附中2013-2014学年上学期高二年级期中考试物理试卷(理科) 后有答案
北京师大附中2013-2014学年上学期高二年级期中考试物理试卷（理科）试卷说明：1. 本试卷满分120分，考试时间100分钟。
一、单项选择题（每小题3分，共36分）1. 下列关于机械波的说法，正确的是A. 干涉、衍射、多普勒效应都是波的特性B. 有机械波必定有机械振动，也就是说有机械振动必定产生机械波C. 当声源靠近观察者的时候，观察者听到的声音音调会比声源静止时低D. 纵波传播时与横波不同，媒质中的各质点将随波的传播一直向前移动2. 下图为沿x轴负向传播的一列简谐横波在某一时刻的图象。
从该时刻起，在一段很短的时间内，质点Q的速度v和加速度a大小的变化情况是A. v变大、a变大B. v变小、a变小C. v变大、a变小D. v变小、a变大3. 一列沿x轴正方向传播的简谐机械横波，波速为4m/s。
某时刻波形如图所示，下列说法正确的是A. 这列波的振幅为4cmB. 这列波的周期为8sC. 此时x=4m处质点沿y轴正方向运动D. 此时x=6m处质点的加速度最小4. 下列关于欧姆定律的说法，正确的是A. 由R U I /=可知，两个不同电阻两端加上相同电压后，电流大的电阻阻值一定大B. 由IR U =可知，对一定导体而言，通过它的电流强度越大，两端的电压也越大C. 由I U R /=可知，导体电阻跟它两端的电压成正比，跟通过它的电流强度成反比D. 欧姆定律R U I /=适用于任何导体的导电情况5. 带电荷量分别为+2Q 和-Q 的两个相同的金属小球，相距一定距离时相互作用力的大小为F 。
把它们接触一下后再放回原处，则相互作用力的大小变为A. F/8B. F/4C. 3F/8D. 06. 如图所示，MN 是电场中的一条电场线，一电子从a 点运动到b 点速度在不断地增大， 则下列结论正确的是A. 该电场肯定是匀强电场B. 该电场线的方向可能由M 指向NC. 电子在a 处的加速度肯定小于在b 处的加速度D. 电子在从a 到b 的运动过程中，电势能一定减少7. 在如图所示的四种电场中，分别标记有a 、b 两点．其中a 、b 两点的电势相等、电场 强度相同的是A. 甲图中与点电荷等距的a 、b 两点B. 乙图中两等量异种电荷连线的中垂线上与连线等距的a 、b 两点C. 丙图中两等量同种电荷连线的中垂线上与连线等距的a 、b 两点D. 丁图中匀强电场中的a 、b 两点8. 如图所示，Q 为一带正电的点电荷，p 为原来不带电的枕形金属导体，a 、b 为导体内 的两点。
北京师大附中2013-2014学年上学期高二年级期中考试语文试卷 后有答案
北京师大附中2013-2014学年上学期高二年级期中考试语文试卷试卷说明：1．本试卷分第I卷和第II卷两部分，共150分，考试时间为150分钟。
第一部分（选择题，共39分）一、本大题共7小题，每小题3分，共21分1. 下列词语中加点字的注音，没有错误的一项是（）A. 迤逦．（lì）枋檩．（lǐn）泠．然（líng）轻鸢．剪掠（luán）B. 靡．途（mǐ）髭．须（zī）矜．育（jīn）锱．铢必较（zī）C. 怏怏．．（yāng）讥诮．（qiào）逾．越（yù）不离不即．（jí）D. 簪笏．（hù）寒砧．（zhān）逋．慢（bǔ）惆怅盘桓．（huán）2. 下列各组词语中，没有错别字的一组是（）A. 酒馔璀璨孤掌难名文过是非B. 毗邻座谈既往不咎唇枪舌剑C. 泄漏敲榨鸠占雀巢自鸣得意D. 坍缩睥睨灯火斓珊未雨绸谬3. 依次填入下列各句横线处的词语，最恰当的一项是（）①新世纪以来，随着一批发展中国家的群体性崛起，国际力量对比正朝着相对均衡化和多极化的方向加速_______。
②从2013年1月1日起，驾驶证考试新规开始_______。
考试内容变为“五项必考”，并且要求一次预约，全部考完。
③农历蛇年将至，但是因为蛇鼠生肖产品______不好卖，所以蛇年挂历上几乎没有蛇，市场上更是难见蛇玩偶的踪影。
A. 演化施行一直B. 演化实行一向C. 演进施行一向D. 演进实行一直4. 下列各句中，加点的成语使用正确的一项是（）A. 演出早已开始了，马平才急匆匆赶来。
主持人着急得说：“等你半天了，你怎么才到?说你是不速之客．．．．，一点儿没错!”B. 大多数成年人都留恋童年时代的童真、童趣，据说，颐和园中的大黄鸭被国人热捧，人们待它相敬如宾．．．．，它成为吸引人们参观的亮点。
C. 校长对工作不仅负责，而且熟悉业务，工作起来得心应手，游刃有余．．．．。
北京师大附中2013-2014学年下学期高二年级期中考试化学试卷
北京师大附中2013-2014学年下学期高二年级期中考试化学试卷试卷说明：本试卷满分100分，考试时间为100分钟。
可能用到的相对原子质量：H-l C-12 O-16 Cl-35．5 Br-80一、选择题（每小题只有1个选项符合题意。
每题2分，总分40分） 1．下列各组物质中，属于同系物的是A ．软脂酸和硬脂酸B ．乙苯和间二甲苯C ．葡萄糖和蔗糖D ．丁烷和环丁烷 2．下列烷烃进行一氯取代后，只能生成两种沸点不同的产物的是3．下列各组有机物的化学式，均只能表示一种物质的是A ． C 6H 12O 6和C 12H 22O 11B ．C 6H 6和C 8H 10 C ．CH 2O 和C 2H 4O 2D ． C 3H 8和CH 2O 24．有机物分子中原子间（或原子与原子团间）的相互影响会导致物质化学性质的不同。
下列事实．．不能说明上述观点的是 A ．苯酚能跟NaOH 溶液反应，乙醇不能与NaOH 溶液反应 B ．一溴乙烷能发生消去反应反应，一溴甲烷不能发生消去反应 C ．甲烷不能使酸性高锰酸钾溶液褪色，甲苯能使酸性高锰酸钾溶液褪色D ．苯与浓硝酸和浓硫酸混合加热时发生取代反应，甲苯与浓硝酸和浓硫酸混合在常温下就能发生取代反应5．下列反应属于消去反应的是A ．HOCH 2CH 2CH 2CH 2CH 2OH∆−−−→浓硫酸+H 2OB ．—NO 2+3Fe+6HCl →—NH 2+3FeCl 2+2H 2OC ．—OH −−−−→一定条件D ．HOCH 2CH 2CH 2OH 25P OΔ−−−→H 2C=CH —CH 2OH+H 2O 6．下列说法中，不正确的是A．油脂都不能使溴水褪色B．用水就可以区分甘油、苯和溴乙烷C．将含有杂质的工业乙醇蒸馏，不能得到无水乙醇D．检验用电石制备的气体，应先通入CuSO4溶液，再通入酸性KMnO4溶液7．4.6g某化合物在氧气中完全燃烧，只生成8.8g CO2和5.4g H2O。
北京师大附中高二数学上学期期中试题文(含解析)
2015-2016学年北京师大附中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．经过（﹣1，2）且与直线x+y﹣1=0垂直的直线是（）A．x﹣y+1=0 B．x﹣y+3=0 C．x+y+1=0 D．x+y+3=02．已知两直线l1：（a﹣1）x﹣3y﹣10=0，l2：（a+1）x+y+3=0互相平行，则a=（）A．﹣B．C．1 D．﹣13．关于直线a、b、l，以及平面α、β，下列命题中正确的是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，b⊥a，则b⊥αC．若a⊂α，b⊂α，且l⊥a，l⊥b，则l⊥αD．若a⊥α，a∥β，则α⊥β4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．15．下列说法中正确的是（）A．在正三棱锥中，斜高大于侧棱B．有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱C．底面是正方形的棱锥是正四棱锥D．有一个面是多边形，其余各面均为三角形的几何体是棱锥6．长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=AD=2，AA′=1，则它的外接球的体积是（）A．B．36π C．9πD．π7．一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后经过圆（x+3）2+（y﹣2）2=1的圆心，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣8．在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．某圆锥的母线和底面半径分别为2，1，则此圆锥的体积是．10．已知某三棱锥的三视图是如图所示的三个直角三角形，那么这个三棱锥最小的一个表面的面积是．11．若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB=120°，（O为坐标原点），则r= ．12．正三棱锥的底面边长为2，则经过高的中点且平行于底面的平面截该三棱锥所得的截面面积是．13．已知圆C1：（x﹣1）2+y2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣1）2=4，它们的位置关系是．14．如图所示，E是正方形ABCD所在平面外一点，E在面ABCD上的正投影F恰在AC上，FG∥BC，AB=AE=2，∠EAB=60°．则以下结论中正确的有．（1）CD⊥面GEF．（2）AG=1．（3）以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是8．（4）∠EAD=60°．三、解答题：本大题共3小题，共30分.15．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AD，AB的中点．（1）求证：EF∥平面CB1D1；（2）求证：B1D1⊥平面CAA1C1．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．17．设P为直线l1：x﹣2y+4=0与直线l：2x﹣y﹣4=0的交点，圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+7=0，l0为过点P且斜率为k的直线，（1）若k=，l0与圆C交于A，B两点，求|AB|；（2）k为何值时，l0与圆C相切？设切点分别为M，N，求cos∠MPN．四、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．18．命题p：“存在实数m，使方程x2+mx+1=0有实数根”，则“非p”形式的命题是．19．已知p：不等式ax2+2ax+1＞0的解集为R；q：0＜a＜1．则p是q （充分，必要，充要）条件．20．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的长轴长为4．若以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切，则椭圆的离心率为．五、解答题：本大题共3小题，共38分.21．已知p：{x|x2﹣8x﹣20≤0}；q：{x|x2﹣2x﹣（m2﹣1）≤0，m＞0}，若非p是非q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．22．已知方程x2+y2﹣6x+2y+m=0．（1）若此方程表示圆，求实数m的取值范围；（2）若已知（1）中的圆与直线x+2y﹣2=0相交于A，B两点，并且以线段AB为直径的圆经过坐标原点O，求此时m的值．23．点A、B分别是椭圆+=1长轴的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点．点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF．（1）求P点的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．2015-2016学年北京师大附中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．经过（﹣1，2）且与直线x+y﹣1=0垂直的直线是（）A．x﹣y+1=0 B．x﹣y+3=0 C．x+y+1=0 D．x+y+3=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】由题意和垂直关系可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可．【解答】解：∵直线x+y﹣1=0的斜率为﹣1，∴所求垂线的斜率为1，∴方程为y﹣2=x﹣（﹣1），∴x﹣y+3=0，故选：B．【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．2．已知两直线l1：（a﹣1）x﹣3y﹣10=0，l2：（a+1）x+y+3=0互相平行，则a=（）A．﹣B．C．1 D．﹣1【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】由直线平行可得a﹣1﹣（﹣3）（a+1）=0，解方程排除重合即可．【解答】解：∵两直线l1：（a﹣1）x﹣3y﹣10=0，l2：（a+1）x+y+3=0互相平行，∴a﹣1﹣（﹣3）（a+1）=0，解得a=，经验证当a=﹣时，两直线平行．故选：A．【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．3．关于直线a、b、l，以及平面α、β，下列命题中正确的是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，b⊥a，则b⊥αC．若a⊂α，b⊂α，且l⊥a，l⊥b，则l⊥αD．若a⊥α，a∥β，则α⊥β【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】利用正方体模型，举出A、B、C三项的反例，得出A、B、C三项均为假命题，通过排除法可得D选项为正确答案．【解答】解：以正方体为例对于A选项，设下底面ABCD为平面α，在上底面A1D1所在直线为a，B1D1所在直线为b，直线a、b都平行于平面α，但直线a、b不平行，故A项不对（如图1）对于B选项，设下底面ABCD为平面α，上底面A1C1所在直线为a，B1D1所在直线为b，直线a是平面α的平行线，直线b与a垂直，但直线b与平面α不垂直，故B选项不对（如图2）对于C选项，设下底面ABCD为平面α，直线AB、CD所在直线分别为a、b，AD1所在直线为l．可见直线a、b是平面α内的平行线，虽然直线a、b都与直线l垂直，但直线l与平面α不垂直，故C选项不对（如图3）由A、B、C都不对，得应该选择D选项．故答案为D【点评】判断空间直线与平面的位置关系时，常常借助于空间几何体如长方体、正方体、三棱锥等，结合立体几何的定理或推论解决问题．4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．1【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由三视图知几何体为直三棱柱，且三棱柱的高为，底面是直角边长分别为1，的直角三角形，代入体积公式计算可得答案．【解答】解：由三视图知几何体为直三棱柱，且三棱柱的高为，底面是直角边长分别为1，的直角三角形，∴三棱柱的体积V==1．故选：D．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．5．下列说法中正确的是（）A．在正三棱锥中，斜高大于侧棱B．有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱C．底面是正方形的棱锥是正四棱锥D．有一个面是多边形，其余各面均为三角形的几何体是棱锥【考点】命题的真假判断与应用．【专题】阅读型；对应思想；分析法；简易逻辑．【分析】由多面体的结构特征逐一核对四个选项得答案．【解答】解：在正三棱锥中，斜高为直角三角形的直角边，侧棱为同一个直角三角形的斜边，∴斜高小于侧棱，A错误；由直棱柱的定义可知，有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱，B正确；底面是正方形的棱锥是正四棱锥错误，还需满足顶点在底面的射影为底面的中心；有一个面是多边形，其余各面均为三角形的几何体是棱锥错误，还需满足三角形由公共顶点．故选：B．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了多面体的结构特征，是基础题．6．长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=AD=2，AA′=1，则它的外接球的体积是（）A．B．36π C．9πD．π【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】由已知求出外接球半径，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：∵长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=AD=2，AA′=1，∴它的外接球的半径R满足：2R==3，即R=，故它的外接球的体积V==，故选：A【点评】本题考查的知识点是球的体积，球内接多面体，计算出球的半径是解答的关键．7．一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后经过圆（x+3）2+（y﹣2）2=1的圆心，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；规律型；数形结合；直线与圆．【分析】由题意可得反射光线所在的直线经过圆心M（﹣3，2），点P（﹣2，﹣3）关于x 轴的对称点Q（2，﹣3）在反射光线所在的直线上，用斜率公式求解即可．【解答】解：由题意可得反射光线所在的直线经过圆：（x+3）2+（y﹣2）2=1的圆心M（﹣3，2），由反射定律可得点P（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点Q（2，﹣3）在反射光线所在的直线上，根据M、Q两点的坐标，所求直线的斜率为： =﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查用两点式求直线方程，判断反射光线所在的直线经过圆心M（﹣3，2），是解题的突破口．8．在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】计算题；压轴题．【分析】正四面体P﹣ABC即正三棱锥P﹣ABC，所以其四个面都是正三角形，在正三角形中，联系选项B、C、D中有证明到垂直关系，应该联想到“三线合一”．D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，由中位线定理可得BC∥DF，所以BC∥平面PDF，进而可得答案．【解答】解：由DF∥BC可得BC∥平面PDF，故A正确．若PO⊥平面ABC，垂足为O，则O在AE上，则DF⊥PO，又DF⊥AE故DF⊥平面PAE，故B正确．由DF⊥平面PAE可得，平面PAE⊥平面ABC，故D正确．故选C．【点评】本小题考查空间中的线面关系，正三角形中“三线合一”，中位线定理等基础知识，考查空间想象能力和思维能力．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．某圆锥的母线和底面半径分别为2，1，则此圆锥的体积是．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；数形结合；函数思想；空间位置关系与距离．【分析】根据圆锥的定义与性质，算出圆锥的高h，再由圆锥的体积公式即可算出此圆锥的体积．【解答】解：∵圆锥的母线长l=52，底面圆的半径r=1，∴圆锥的高h=，因此，圆锥的体积为V=πr2h=π×12×=．故答案为：．【点评】本题给出圆锥的母线长和底面圆的半径，求此圆锥的体积．着重考查了圆锥的定义与性质、圆锥的体积公式等知识，属于基础题．10．已知某三棱锥的三视图是如图所示的三个直角三角形，那么这个三棱锥最小的一个表面的面积是 6 ．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；数形结合；综合法；空间位置关系与距离．【分析】根据三视图还原成原图为四个面都是直角三角形的四面体，然后求出四个面的面积，找出最小面积【解答】解：由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形的四面体（如图所示），则S ABD=×4×5=10，S ABC=×3×5=7.5，S BCD=×4×3=6，且AD＞51，AC＞5，CD=5，∴S ACD＞S BCD，∴面积最小为6．故答案为：6．【点评】本题考查了由三视图还原成原图，要注意还原前后数量的对应关系，考查了空间想象能力，属于基本题型，难度不大11．若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB=120°，（O为坐标原点），则r= 2 ．【考点】直线与圆相交的性质．【专题】直线与圆．【分析】若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，∠AOB=120°，则△AOB为顶角为120°的等腰三角形，顶点（圆心）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=r，代入点到直线距离公式，可构造关于r的方程，解方程可得答案．【解答】解：若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，O为坐标原点，且∠AOB=120°，则圆心（0，0）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=rcos=r，即=r，解得r=2，故答案为：2．【点评】本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，其中分析出圆心（0，0）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=r是解答的关键．12．正三棱锥的底面边长为2，则经过高的中点且平行于底面的平面截该三棱锥所得的截面面积是．【考点】平面的基本性质及推论．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】先求出正三棱锥的底面面积，再由经过高的中点且平行于底面的平面与底面相似，且相似比为，能求出结果．【解答】解：∵正三棱锥的底面边长为2，∴正三棱锥的底面面积S==，∵经过高的中点且平行于底面的平面与底面相似，且相似比为，∴经过高的中点且平行于底面的平面截该三棱锥所得的截面面积S′==．故答案为：．【点评】本题考查三棱锥中截面面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意正三棱锥的结构特征的合理运用．13．已知圆C1：（x﹣1）2+y2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣1）2=4，它们的位置关系是相交．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】计算题；数形结合；直线与圆．【分析】根据两圆的圆心距大于两圆的半径之和，可得两圆的位置关系．【解答】解：由题意可得，两圆的圆心距C1C2==∈[1，3]，即两圆的圆心距大于两圆的半径之差，小于半径和，故两圆相交，故答案为：相交．【点评】本题主要考查圆的标准方程，两个圆的位置关系的判定方法，属于中档题．14．如图所示，E是正方形ABCD所在平面外一点，E在面ABCD上的正投影F恰在AC上，FG∥BC，AB=AE=2，∠EAB=60°．则以下结论中正确的有（1）（2）（4）．（1）CD⊥面GEF．（2）AG=1．（3）以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是8．（4）∠EAD=60°．【考点】直线与平面垂直的判定．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】由已知推导出FG⊥AB，CD⊥GF，EF⊥CD从而得到CD⊥平面GEF；由已知得AB=AE=BE=BC=AC=2，AF=BF=CF，从而得到AG=BG=1，以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是4，∠EAD=∠EAB=60°．【解答】解：在（1）中，∵E是正方形ABCD所在平面外一点，FG∥BC，∴BC⊥AB，∴FG⊥AB，∵AB∥CD，∴CD⊥GF，∵E在面ABCD上的正投影F恰在AC上，∴EF⊥平面ABCD，∴EF⊥CD，∵EF∩GF=F，∴CD⊥平面GEF，故（1）正确；在（2）中，∵AB=AE=2，∠EAB=60°，∴AB=AE=BE=BC=AC=2，∴AF=BF=CF，∵FG∥BC，∴AG=BG=1，故（2）正确；在（3）中，∵由（2）得AF=CF=EF=，∴=2，∴以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是4，故（3）错误；在（4）中，由（2）得∠EAD=∠EAB=60°，故（4）正确．故答案为：（1）（2）（4）．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．三、解答题：本大题共3小题，共30分.15．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AD，AB的中点．（1）求证：EF∥平面CB1D1；（2）求证：B1D1⊥平面CAA1C1．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；数形结合；分析法；空间位置关系与距离．【分析】（1）欲证EF∥平面CB1D1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面CB1D1内一直线平行，连接BD，根据中位线可知EF∥BD，则EF∥B1D1，又B1D1⊂平面CB1D1，EF⊄平面CB1D1，满足定理所需条件；（2）欲证平面CAA1C1⊥平面CB1D1，根据面面垂直的判定定理可知在平面CB1D1内一直线与平面CAA1C1垂直，而AA1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，则AA1⊥B1D1，A1C1⊥B1D1，满足线面垂直的判定定理则B1D1⊥平面CAA1C1．【解答】（本题满分为12分）证明：（1）连接BD，因为正方体，所以BB1∥DD1，所以四边形BDD1B1为平行四边形，所以BD∥B1D1，因为EF∥BD，由平行线传递性得：EF∥B1D1，因为B1D1⊄面CB1D1，EF⊂面CB1D1，所以EF∥平面CB1D1．（6分）（2）因为在正方体中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1⊂平面A1B1C1D1，所以AA1⊥B1D1．（10分）又因为在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，所以B1D1⊥平面CAA1C1．（12分）【点评】本题主要考查线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理．考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．【考点】直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，先证明出MO∥PA，进而根据线面平行的判定定理证明出PA∥平面MDB．（2）先证明出BC⊥平面PCD，进而根据线面垂直的性质证明出BC⊥PD．【解答】证明：（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，∵M为PC的中点，O为AC的中点，∴MO∥PA，∵MO⊂平面MDB，PA⊄平面MDB，∴PA∥平面MDB．（2）∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，BC⊂平面ABCD，BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD，∵PD⊂平面PCD，∴BC⊥PD．【点评】本题主要考查了线面平行的判定和线面垂直的判定．判定的关键是先找到到线线平行，线线垂直．17．设P为直线l1：x﹣2y+4=0与直线l：2x﹣y﹣4=0的交点，圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+7=0，l0为过点P且斜率为k的直线，（1）若k=，l0与圆C交于A，B两点，求|AB|；（2）k为何值时，l0与圆C相切？设切点分别为M，N，求cos∠MPN．【考点】圆的切线方程．【专题】综合题；数形结合；待定系数法；直线与圆．【分析】（1）联立直线方程可解得P（4，4）可得l0的方程，又可得圆C的圆心为（2，2），半径为1，可得圆心C到直线l0的距离d，由勾股定理可得；（2）由相切可得k的方程，解方程可得k值，由三角函数的定义可得sin∠MPC，由二倍角公式可得cos∠MPN．【解答】解：（1）联立可解得P（4，4），当k=时，l0的方程为y﹣4=（x﹣4），即3x﹣2y﹣4=0，配方可得圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+7=0的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，故圆C的圆心为（2，2），半径为1，∴圆心C到直线l0的距离d==，∴|AB|=2=；（2）l0的方程为y﹣4=k（x﹣4），即kx﹣y+4﹣4k=0，由相切可得圆心C到直线l0的距离d==1，平方并整理可得3k2﹣8k+3=0，解得k=，∵sin∠MPC===，∴cos∠MPN=cos2∠MPC=1﹣2sin2∠MPC=1﹣2×=．【点评】本题考查圆的切线方程，涉及圆的弦长和点到直线的距离以及二倍角的余弦公式，属中档题．四、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．18．命题p：“存在实数m，使方程x2+mx+1=0有实数根”，则“非p”形式的命题是对任意实数m，方程x2+mx+1=0没有实数根．【考点】复合命题的真假．【专题】规律型．【分析】根据命题的否定可知，存在的否定词为任意，再根据非p进行求解即可．【解答】解：∵p：存在实数m，使方程x2+mx+1=0有实数根，存在的否定词为任意，∴非p形式的命题是：对任意实数m，方程x2+mx+1=0没有实数根，故答案为：对任意实数m，方程x2+mx+1=0没有实数根．【点评】此题主要考查命题的否定，此题是一道基础题．19．已知p：不等式ax2+2ax+1＞0的解集为R；q：0＜a＜1．则p是q 必要（充分，必要，充要）条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】结合二次函数的性质求出a的范围，再由集合的包含关系判断即可．【解答】解：若不等式ax2+2ax+1＞0的解集为R，a=0时：1＞0，成立，a≠0时：△=4a2﹣4a＜0，解得：0＜a＜1，综上，p：0≤a＜1；q：0＜a＜1，故答案为：必要．【点评】本题考查了充分必要条件，考查二次函数的性质，是一道基础题．20．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的长轴长为4．若以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切，则椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意列式求出b，再由椭圆的长轴的长为4求得a，结合隐含条件求出c，则椭圆的离心率可求．【解答】解：由以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切，得b=．又∵2a=4，∴a=2，∴c2=a2﹣b2=2，即c=．∴e=．故答案为：．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，涉及了椭圆与直线的位置关系，以及点到直线的距离公式，是基础题．五、解答题：本大题共3小题，共38分.21．已知p：{x|x2﹣8x﹣20≤0}；q：{x|x2﹣2x﹣（m2﹣1）≤0，m＞0}，若非p是非q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】结合￢P和￢q的关系，得到不等式组，解出即可．【解答】解：解法一：非p：A={x|x＜﹣2或x＞10}，非q：B={x|x＜1﹣m或x＞1+m，m＞0}．∵非p是非q的必要不充分条件，∴非p推不出非q，非q⇒非p，，结合数轴分析知，的充要条件是：或，解得m≥9，即m的取值范围是m≥9．解法二：∵非p是非q的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件．而p：M={x|﹣2≤x≤10}，q：N={x|1﹣m≤x≤1+m，m＞0}，，结合数轴分析知，的充要条件是：或，解得m≥9，∴m的取值范围是m≥9．【点评】本题考查了充分必要条件，是一道基础题．22．已知方程x2+y2﹣6x+2y+m=0．（1）若此方程表示圆，求实数m的取值范围；（2）若已知（1）中的圆与直线x+2y﹣2=0相交于A，B两点，并且以线段AB为直径的圆经过坐标原点O，求此时m的值．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）方程表示圆的时候有D2+E2﹣4F＞0，代入计算，即可求实数m的取值范围；（2）以线段AB为直径的圆经过坐标原点O得x1x2+y1y2=0，利用根系关系，可得结论．【解答】解：（1）方程x2+y2﹣6x+2y+m=0，由圆的一般方程知识得D=﹣6，E=2，F=m当此方程表示圆的时候有D2+E2﹣4F＞0解之得m＜10．（2）联立直线和圆的方程，消去x并化简整理得5y2+6y+m﹣8=0设题中直线与圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），则在上述方程判别式△＞0的前提下，由根系关系得到y1+y2=﹣，y1y2=．再由x=2﹣2y可得x1+x2=，x1x2=由以线段AB为直径的圆经过坐标原点O得x1x2+y1y2=0即+=0，解之得m=﹣．验证此时△＞0成立．【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查根系关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23．点A、B分别是椭圆+=1长轴的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点．点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF．（1）求P点的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．【考点】椭圆的简单性质；点到直线的距离公式；椭圆的应用．【专题】计算题．【分析】（1）先求出PA、F的坐标，设出P的坐标，求出、的坐标，由题意可得，且y＞0，解方程组求得点P的坐标．（2）求出直线AP的方程，设点M的坐标，由M到直线AP的距离等于|MB|，求出点M的坐标，再求出椭圆上的点到点M的距离d的平方得解析式，配方求得最小值．【解答】解：（1）由已知可得点A（﹣6，0），F（4，0），设点P（x，y），则=（x+6，y），=（x﹣4，y）．由已知可得，2x2+9x﹣18=0，解得x=，或x=﹣6．由于y＞0，只能x=，于是y=．∴点P的坐标是（，）．（2）直线AP的方程是，即 x﹣y+6=0．设点M（m，0），则M到直线AP的距离是．于是=|6﹣m|，又﹣6≤m≤6，解得m=2，故点M（2，0）．设椭圆上的点（x，y）到点M的距离为d，有 d2=（x﹣2）2+y2 =x2﹣4x+4+20﹣x2 =（x﹣）2+15，∴当x=时，d取得最小值．【点评】本题考查椭圆的简单性质和点到直线的距离公式，两个向量垂直的性质，求出点M 的坐标，是解题的难点．。
北京师范大学附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷
北京师范大学附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α2．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0B．﹣8 C．2D．103．（5分）过点M（﹣1，5）作圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的切线，则切线方程为（）A．x=﹣1 B．5x+12y﹣55=0C．x=﹣1或5x+12y﹣55=0 D．x=﹣1或12x+5y﹣55=04．（5分）设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n5．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=16．（5分）在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．36πB．28πC．20πD．16π7．（5分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4B．3C．2D．1二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为．10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为．11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为．12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：cosβ=．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a=．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．三.解答题（公3小题，共30分）15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．四.填空题（每小题4分，共20分）18．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是．19．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为．20．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是．21．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．22．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是．五.解答题（共3题，共30分）23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．24．（10分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．25．（10分）设圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，直线l的方程为y=x+m﹣1．（Ⅰ）求C1关于l对称的圆C2的方程；（Ⅱ）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．北京师范大学附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：阅读型．分析：根据空间中直线与平面的位置关系可得答案．解答：解：根据空间中直线与平面的位置关系可得：b可能与平面α相交，也可能b与平面相交α，故选D．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握空间中点、直线以及平面之间的位置关系．2．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0B．﹣8 C．2D．10考点：斜率的计算公式．专题：计算题．分析：因为过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，所以，两直线的斜率相等．解答：解：∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，∴过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，∴=﹣2，解得，故选B．点评：本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用．3．（5分）过点M（﹣1，5）作圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的切线，则切线方程为（）A．x=﹣1 B．5x+12y﹣55=0C．x=﹣1或5x+12y﹣55=0 D．x=﹣1或12x+5y﹣55=0考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：首先讨论斜率不存在的情况，直线方程为x=﹣1满足条件．当斜率存在时，设直线方程为：y﹣5=k（x+1）．利用圆心到直线的距离等于半径解得k的值，从而确定圆的切线方程．解答：解：①斜率不存在时，过点M（﹣1，5）的直线方程为x=﹣1．此时，圆心（1，2）到直线x=﹣1的距离d=2=r．∴x=﹣1是圆的切线方程．②斜率存在时，设直线斜率为k，则直线方程为：y﹣5=k（x+1）．即kx﹣y+k+5=0．∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离．解得，．∴直线方程为5x+12y﹣55=0．∴过点M（﹣1，5）且与圆相切的直线方程为x=﹣1或5x+12y﹣55=0．故选：C．点评：本题考查直线与圆相切的性质，点到直线的距离公式等知识的运用．做题时容易忽略斜率不存在的情况．属于中档题．4．（5分）设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：充分利用线面平行和线面垂直的性质和判定定理对四个选项逐一解答．A选项用垂直于同一条直线的两个平面平行判断即可；B选项用两个平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；C选项用线面垂直的性质定理判断即可；D选项由线面平行的性质定理判断即可．解答：解：A选项中命题是真命题，m⊥α，m⊥β，可以推出α∥β；B选项中命题是真命题，m∥n，m⊥α可得出n⊥α；C选项中命题是真命题，m⊥α，n⊥α，利用线面垂直的性质得到n∥m；D选项中命题是假命题，因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行．故选D．点评：本题考查了空间线面平行和线面垂直的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练有关的定理．5．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=1考点：轨迹方程．专题：直线与圆．分析：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够轨迹方程．解答：解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．故选A．点评：本题考查点的轨迹方程，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．6．（5分）在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．36πB．28πC．20πD．16π考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，代入圆锥体积公式，可得答案．解答：解：将△ABC绕直线BC旋转一周，得到一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，故所形成的几何体的体积V=×π×42×3=16π，故选：D点评：本题考查的知识点是旋转体，其中分析出旋转得到的几何体形状及底面半径，高等几何量是解答的关键．7．（5分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：利用三视图的数据，直接求解三棱柱的表面积．解答：解：因为正三棱柱的三视图，其中正（主）视图是边长为2的正方形，棱柱的侧棱长为2，底面三角形的边长为2，所以表面积为：2×+2×3×2=12+2．故选C．点评：本题考查几何体的三视图的应用，几何体的表面积的求法，考查计算能力．8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4B．3C．2D．1考点：抛物线的应用．专题：函数的性质及应用．分析：本题可以设出点C的坐标（a，a2），求出C到直线AB的距离，得出三角形面积表达式，进而得到关于参数a的方程，转化为求解方程根的个数（不必解出这个跟），从而得到点C的个数．解答：解：设C（a，a2），由已知得直线AB的方程为，即：x+y﹣2=0点C到直线AB的距离为：d=，有三角形ABC的面积为2可得：=|a+a2﹣2|=2得：a2+a=0或a2+a﹣4=0，显然方程共有四个根，可知函数y=x2的图象上存在四个点（如上面图中四个点C1，C2，C3，C4）使得△ABC的面积为2（即图中的三角形△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4）．故应选：A点评：本题考查了截距式直线方程，点到直线的距离公式，三角形的面积的求法，就参数的值或范围，考查了数形结合的思想二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为x2+（y﹣1）2=1．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：利用点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程．解答：解：圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1，可得所求的圆的方程为x2+（y﹣1）2=1，故答案为：x2+（y﹣1）2=1．点评：本题主要考查求圆的标准方程，利用了点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），属于基础题．10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为11cm．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：利用面积之比是相似比的平方，求出截取棱锥的高，然后求出截面与底面的距离．解答：解：设截取棱锥的高为：h，则，∴h=5，所以截面与底面的距离：16﹣5=11cm 故答案为：11cm点评：本题是基础题，考查面积之比是选上比的平方，考查计算能力，空间想象能力．11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为12π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球O的表面积．解答：解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为：=．所以球O的表面积为4π×3=12π．故答案为：12π．点评：本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力、计算能力．12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：cosβ=．考点：平面与平面垂直的性质．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，利用余弦函数，即可求出cosα：cosβ．解答：解：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，∴cosα==，cosβ=，∴cosα：cosβ=，故答案为：．点评：本题考查平面与平面垂直的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a=±．考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．解答：解：圆心C（2，2），半径r=2，∵△ABC为等边三角形，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d==，解得a=±，故答案为：±．点评：本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．三.解答题（公3小题，共30分）15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将A、B、C的坐标代入，建立关于D、E、F 的方程组，解之即可得到△ABC的外接圆E的方程；（II）化圆E为标准方程，得圆心为E（1，2），半径r=1．设直线l方程为y=kx，由点到直线的距离公式和垂径定理建立关于k的方程，解之得到k=1或7，由此即可得到直线l的方程．解答：解：（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0∵A（2，2）、B（1，3）、C（1，1）都在圆E上∴，解之得因此，圆E的方程为x2+y2﹣2x﹣4y+4=0；（II）将圆E化成标准方程，可得（x﹣1）2+（y﹣2）2=1∴圆心为E（1，2），半径r=1设直线l方程为y=kx，则圆心E到直线l的距离为d=∵直线l与圆E相交所得弦的长为，∴由垂径定理，得d2+（）2=r2=1可得d2=，即=，解之得k=1或7∴直线l的方程是y=x或y=7x．点评：本题给出三角形ABC三个顶点，求它的外接圆E的方程，并求截圆所得弦长为的直线方程．着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（I）根据三角形中位线定理，证出DE∥BC，再由线面平行判定定理即可证出DE∥面PBC；（II）连结PD，由等腰三角形“三线合一”，证出PD⊥AB，结合DE⊥AB证出AB⊥平面PDE，由此可得AB⊥PE；（III）由面面垂直性质定理，证出PD⊥平面ABC，得PD是三棱锥P﹣BEC的高．结合题中数据算出PD=且S△BEC=，利用锥体体积公式求出三棱锥P﹣BEC的体积，即得三棱锥B﹣PEC的体积．解答：解：（I）∵△ABC中，D、E分别为AB、AC中点，∴DE∥BC∵DE⊄面PBC且BC⊂面PBC，∴DE∥面PBC；（II）连结PD∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB，又∵PD、DE是平面PDE内的相交直线，∴AB⊥平面PDE∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE；（III）∵PD⊥AB，平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB∴PD⊥平面ABC，可得PD是三棱锥P﹣BEC的高又∵PD=，S△BEC=S△ABC=∴三棱锥B﹣PEC的体积V=V P﹣BEC=S△BEC×PD=点评：本题在三棱锥中求证线面平行、线线垂直，并求锥体的体积．着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）先根据线面垂直的性质证明出BB1⊥A1C1．进而根据菱形的性质证明出A1C1⊥B1D1．最后根据线面垂直的判定定理证明出A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．先证明OC1∥AE和OC1=AE，推断出AOC1E为平行四边形，进而推断AO∥C1E，最后利用线面平行的判定定理证明出AO∥平面BC1D．（Ⅲ）先由E为BD中点，推断出BD⊥C1E，进而根据C1D=C1B，推断出ME⊥BD，进而根据OM⊥BD，推断出BD∥B1D1．直角三角形OC1E中利用射影定理求得OM．解答：解：（Ⅰ）依题意，因为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，所以BB1⊥底面A1B1C1D1．又A1C1⊂底面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1．因为A1B1C1D1为菱形，所以A1C1⊥B1D1．而BB1∩B1D1=B1，所以A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．依题意，AA1∥CC1，且AA1=CC1，AA1⊥AC，所以A1ACC1为矩形．所以OC1∥AE．又，，A1C1=AC，所以OC1=AE，所以AOC1E为平行四边形，则AO∥C1E．又AO⊄平面BC1D，C1E⊂平面BC1D，所以AO∥平面BC1D．（Ⅲ）在△BC1D内，满足OM⊥B1D1的点M的轨迹是线段C1E，包括端点．分析如下：连接OE，则BD⊥OE．由于BD∥B1D1，故欲使OM⊥B1D1，只需OM⊥BD，从而需ME⊥BD．又在△BC1D中，C1D=C1B，又E为BD中点，所以BD⊥C1E．故M点一定在线段C1E上．当OM⊥C1E时，OM取最小值．在直角三角形OC1E中，OE=1，，，所以．点评：本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用．考查了学生基础知识的综合运用．四.填空题（每小题4分，共20分）18．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是1．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：在展开式的通项公式，令x的指数为3，利用（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，即可实数a的值．解答：解：（ax+1）5的展开式的通项公式为T r+1=，则∵（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，∴=10，∴a=1．故答案为：1．点评：二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题的重要方法．19．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为4．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：根据侧面展开图求解得出，再利用直角三角形求解．解答：解：∵正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，∴侧面展开为下图连接AA得：RT△中，长度为4，∴△AEF的周长的最小值为4，故答案为：4，点评：本题考查了空间几何体中的最小距离问题，属于中档题．20．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是（0，∴AC的取值范围是（0，点评：本题考查了向量的运用求解距离，属于中档题．21．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，∴x0的取值范围是．故选：A．点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．22．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是5．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．解答：解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5点评：本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．五.解答题（共3题，共30分）23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．考点：直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）由线面垂直得A1A⊥AB，再由AB⊥AC，能证明AB⊥面A1CC1．（II）由AB∥DE，在△ABC中，E是棱BC的中点，推导出D是线段AC的中点．（III）由已知条件推导出A1C⊥AC1，AB⊥A1C，从而得到A1C⊥面ABC1，由此能证明EF⊥AC1．解答：（I）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴A1A⊥AB，（2分）∵AB⊥AC，A1A∩AC=A，∴AB⊥面A1CC1．（4分）（II）解：∵面DEF∥面ABC1，面ABC∩面DEF=DE，面ABC∩面ABC1=AB，∴AB∥DE，（7分）∵在△ABC中，E是棱BC的中点，∴D是线段AC的中点．（8分）（III）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A=AC，∴侧面A1ACC1是菱形，∴A1C⊥AC1，（9分）由（Ⅰ）得AB⊥A1C，∵AB∩AC1=A，∴A1C⊥面ABC1，（11分）∴A1C⊥BC1．（12分）又∵E，F分别为棱BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，（13分）∴EF⊥AC1．（14分）点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查点的位置的确定，考查异面直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．24．（10分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆的位置关系．专题：综合题．分析：（Ⅰ）分两种情况：当直线l的斜率存在时，设出直线l的斜率为k，由P的坐标和设出的k写出直线l的方程，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离d，让d等于1列出关于k 的方程，求出方程的解即可得到k的值，利用求出的k和P写出直线l的方程即可；当直线l的斜率不存在时，得到在线l的方程，经过验证符合题意；（Ⅱ）由利用两点间的距离公式求出圆心C到P的距离，再根据弦长|MN|的一半及半径，利用勾股定理求出弦心距d，发现|CP|与d相等，所以得到P为MN的中点，所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标，半径为|MN|的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可；（Ⅲ）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△＞0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，利用反证法证明：假设符合条件的a存在，由直线l2垂直平分弦AB得到圆心必在直线l2上，根据P与C 的坐标即可求出l2的斜率，然后根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，即可求出直线ax﹣y+1=0的斜率，进而求出a的值，经过判断求出a的值不在求出的范围中，所以假设错误，故这样的a不存在．解答：解：（Ⅰ）设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y﹣0=k（x﹣2）．又圆C的圆心为（3，﹣2），半径r=3，由，解得．所以直线方程为，即3x+4y﹣6=0；当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2也满足条件；（Ⅱ）由于，而弦心距，所以d=，所以P为MN的中点，所以所求圆的圆心坐标为（2，0），半径为|MN|=2，故以MN为直径的圆Q的方程为（x﹣2）2+y2=4；（Ⅲ）把直线ax﹣y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9=0．由于直线ax﹣y+1=0交圆C于A，B两点，故△=36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，即﹣2a＞0，解得a＜0．则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．设符合条件的实数a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在l2上．所以l2的斜率k PC=﹣2，而，所以．由于，故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB．点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式及两点间的距离公式化简求值，考查了分类讨论的数学思想，以及会利用反证法进行证明，是一道综合题．25．（10分）设圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，直线l的方程为y=x+m﹣1．（Ⅰ）求C1关于l对称的圆C2的方程；（Ⅱ）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）由圆的方程找出圆心坐标，设出圆心关于直线l的对称点的坐标，由直线l的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出直线C1C2的斜率，由圆心及对称点的坐标表示出斜率，等于求出的斜率列出一个关系式，然后利用中点坐标公式，求出两圆心的中点坐标，代入直线l的方程，得到另一个关系式，两关系式联立即可用m表示出a与b，把表示出的a与b代入圆C2的方程即可；（Ⅱ）由表示出的a与b消去m，得到a与b的关系式，进而得到圆C2的圆心在定直线上；分公切线的斜率不存在和存在两种情况考虑，当公切线斜率不存在时，容易得到公切线方程为x=0；当公切线斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，根据点到直线的距离公式表示出圆心（a，b）到直线y=kx+b的距离d，当d等于圆的半径2|m|，化简后根据多项式为0时各项的系数为0，即可求出k与b的值，从而确定出C2所表示的一系列圆的公切线方程，这样得到所有C2所表示的一系列圆的公切线方程．解答：解：（Ⅰ）∵圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，∴圆心为（2，3m），设它关于直线l：y=x+m﹣1的对称点为（a，b），则，解得a=2m+1，b=m+1，∴圆C2的圆心为（2m+1，m+1），∴圆C2的方程为：（x﹣2m﹣1）2+（y﹣m﹣1）2=4m2，∴C1关于l对称的圆C2的方程：（x﹣2m﹣1）2+（y﹣m﹣1）2=4m2．（Ⅱ）根据（Ⅰ）得圆C2的圆心为（2m+1，m+1），令，消去m得x﹣2y+1=0，它表示一条直线，故C2的圆心在一条定直线上，①当公切线的斜率不存在时，易求公切线的方程为x=0；②当公切线的斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，∴=2|m|，即：（1﹣4k）m2+2（2k﹣1）（k+b﹣1）m+（k+b﹣1）2=0∵直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m值都成立，∴所以有：，解得，∴C2所表示的一系列圆的公切线方程为：y=，∴故所求圆的公切线为x=0或y=．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及关于点与直线对称的圆的方程．此题的综合性比较强，要求学生审清题意，综合运用方程与函数的关系，掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，在作（Ⅱ）时先用消去参数的方法求定直线的方程，然后采用分类讨论的数学思想分别求出C2所表示的一系列圆的公切线方程．。
2022-2023学年北京首都师大附中高二(上)期中数学试题及答案
的
（1）求证:DE∥平面 PBC. （2）求二面角 F-PC-B 余弦值.
的 （3）在线段 PA 上是否存在点 Q，使得 FQ 与平面 PFC 所成角的余弦值是 6 ? 若存在，求出 AQ 的长;若 3
不存在，请说明理由.
21. 如图， ABC 的边 AB 边所在直线的方程为 x − 3y − 6 = 0 ， M (2, 0) 满足 2BM = BC ，点 T (−1,1) 在 AC 边所在直线上且满足 AT AB = 0 ．
圆心坐标为 (2, −1) ，半径为 3 ． 故答案为： (2, −1) ； 3 ． 12.【答案】 2x + y − 3 = 0 【解析】【分析】根据直线的方向向量求出直线斜率，然后利用点斜式求出直线方程.
【详解】 直线方程方向向量为 v = (1，− 2) 直线的斜率为 k = −2
直线过点 (1，1) ，直线方程为 y −1 = −2( x −1) ，即 2x + y − 3 = 0
故答案为： 2x + y − 3 = 0
13.【答案】 − 13 3
【解析】【分析】利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出 m 的值．
【详解】当 5 + m = 0 时，不满足 l1 ⊥ l2 ，舍去；
当5+
m
0
时，直线 l1 的斜率 k1
=
−
3+m 4
， l2 的斜率
k2
=
−
2 5+ m
∵ l1 ⊥ l2 ，
的 A. 4
B. 3
C. 1
D. 1
2
5. 三棱锥 O − ABC 中， M 、 N 分别是 AB 、 OC 的中点，且OA = a ，OB = b ， OC = c ，用 a 、 b 、 c
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北京师大附中2013-2014学年上学期高二年级期中考试数学试卷（文科）
试卷说明：本试卷满分150分，考试时间为120分钟。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1. 已知1l 、2l 、3l 是空间三条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）
A. 如果21l l ⊥，32//l l ，则31l l ⊥
B. 如果21//l l ，32//l l ，则1l 、2l 、3l 共面
C. 如果21l l ⊥，32l l ⊥，则31l l ⊥
D. 如果1l 、2l 、3l 共点，则1l 、2l 、3l 共面
2. 已知直线⊥l 平面α，直线⊂m 平面β，给出下列命题
①m l ⊥=βα// ②m l //⇒⊥βα ③βα⊥⇒m l //
④βα//⇒⊥m l
其中正确命题的序号是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③ D. ②④
3. 已知命题R x p ∈∀:，1sin ≤x ，则（ ）
A. 1sin ,:≥∈∃⌝x R x p
B. 1sin ,:>∈∃⌝x R x p
C. 1sin ,:≥∈∀⌝x R x p
D. 1sin ,:>∈∀⌝x R x p
4. 将2
2
2
)(2b a ab b a +=++改写成全称命题是（ ）
A. 222)(2,,b a ab b a R b a +=++∈∃
B. 2
22)(2,0,0b a ab b a b a +=++><∃
C. 0>∀a ，0>b ，2
22)(2b a ab b a +=++
D. 2
22)(2,,b a ab b a R b a +=++∈∀
5. 若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件
D. 既非充分又非必要条件
6. 对于原命题：“已知a 、b 、R c ∈，若a>b ，则2
2
bc ac >”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为（ ） A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 4个
7. 如图是长和宽分别相等的两个矩形，给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正视图、俯视图，如下图：②存在四棱柱，其正视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正视图、俯视图如下图，其中真命题的个数是（ ）
A. 3个
B. 2个
C. 1个
D. 0个
8. 已知命题032:2
>--x x p ，06
51
:
2
>--x x q ，则命题p ⌝是q ⌝的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
9. 长方体1111D C B A ABCD -中，交于顶点A 的三条棱长分别为AD=3，41=AA ，AB=5，则从A 点沿表面到1C 的最短距离为（ ）
A. 25
B.
74
C. 54
D. 103
10. 下列命题中为真命题的是（ ）
A. 命题“若y x >，则||y x >”的逆命题
B. 命题“1>x ，则12
>x ”的否命题
C. 命题“若1=x ，则022=-+x x ”的否命题
D. 命题“若02
>x ，则1>x ”的逆否命题
11. 如图，三棱锥A-BCD 的底面为正三角形，侧面ABC 与底面垂直且AB=AC ，已知其主视图的面积为2，则其左视图的面积为（ ）
A.
2
3 B.
2
3
3 C.
4
3
3 D.
3
12. 点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，2==BC AB ，AC=2，若四面体ABCD 体积的最大值为
3
2
，则这个球的表面积为（ ） A. 6125π
B. π8
C.
4
25π
D.
16
25π
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆直径为2，则该几何体的体积为________。
14. 正三角形ABO 的边长为a ，在画它的水平放置的直观图时，建立如图所示的直角坐标系xOy ，则它的直观图的面积是__________。
15. 已知命题R x p ∈∃0:，02
1
02
0≤++x ax 是假命题，则实数a 的取值范围是____________。
16. 三棱锥ABC S -中，E 、F 、G 、H 分别为SA 、AC 、BC 、SB 的中点，则截面EFGH 将三棱锥S-ABC 分成两部分的体积之比为_____________。
三、解答题（本大题共5个小题，共70分，解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （本小题13分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PA 垂直于底面，E 、F 分别是AB ，PC 的中点，PA=AD=2。
求证：（1）EF//平面PAD ；（2）求三棱锥D-PAC 的体积。
18. （本小题13分）在直三棱柱111C B A ABC -中，BC AC ⊥，1AA BC AC ==。
求证：（1）⊥BC 平面11ACC A ； （2）B A AC 11⊥。
19. （本小题14分）已知命题p:方程012
=++mx x 有两个不等的负根，q ：方程
01)2(442=+-+x m x 无实根，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求m 的取值范围。
20. （本小题15分）如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，⊥SD 底面ABCD ，
2=AD ，DC=SD=2。
（1）求四棱锥S-ABCD 的侧面积；
（2）设点E 是侧棱SC 的中点，求ABE ∠大小
（3）如果该四棱锥过A 、B 、E 三点的截面面积为1S ，三角形ABE 的面积为2S ，求1
S 与2S 的比值。
21. （本小题15分）如图1，在直角梯形ABCD 中，
︒=∠=∠90DAB ABC ，︒=∠30CAB ，BC=2，AD=4，把DAC ∆沿对角线AC 折起到PAC ∆的位置，如图2所示，使得点P 在平面ABC 上的正投影H 恰好落在线段AC 上，连接PB ，点E ，F 分别为线段PA ，AB 的中点。
（1）求证：平面EFH//平面PBC ； （2）求三棱锥A-EFH 的体积；
（3）在棱PA 上是否存在一点M ，使得M 到点P ，H ，A ，F 四点的距离相等？请说明理由。
【试题答案】
一、选择题（每小题5分，本题共60分） 1. A 2. C 3. B 4. D 5. A 6. C
7. A 8. A
9. B
10. A
11. D
12. C
二、填空题（每小题5分，本题共20分） 13. 2
324π-
14.
216
6a 15. ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞,21 16. 1:1
三、解答题（本大题共5个小题，共70分，解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）证明略（2）3
4 18. 证明略
19. 解：若方程012
=++mx x 有两不等的负根，则⎩⎨⎧>>-=∆0
42m m
解得2>m ，即2:>m p
若方程01)2(442
=+-+x m x 无实根， 则0)34(1616)2(1622<+-=--=∆m m m 解得：31<<m 即31:<<m q
因“p 或q ”为真，所以p 、q 至少有一为真，又“p 且q ”为假，所以p 、q 至少有一为假，因此，p 、q 两命题应一真一假，即p 为真，q 为假或p 为假，q 为真。
⎩⎨
⎧<<≤⎩
⎨⎧≥≤>∴312
312m m m m m 或或 解得：3≥m 或21≤<m 20. （1）624++（2）︒60
（3）
2
3
21. 解：（1）因为点P 在平面ABC 上的正投影H 恰好落在线段AC 上
所以⊥PH 平面ABC ，所以AC PH ⊥
因为在直角梯形ABCD 中，︒=∠=∠90DAB ABC
︒=∠30CAB ，BC=2，AD=4
所以AC=4，︒=∠60CAB ，所以ADC ∆是等边三角形， 所以H 是AC 中点，所以HE//PC 同理可证EF//PB
又E EF HE = ，P PB CP = 所以PBC EFH //平面PBC （2）
2
1
（过程略） （3）存在，事实上记点E 为M 即可
因为在直角三角形PHA 中，22
1
====PA EA PE EH ， 在直角三角形PHB 中，点PB=4，22
1
==
PB EF 所以点E 到四个点P ，O ，C ，F 的距离相等。