2012年高考真题理科数学解析分类汇编10(圆锥曲线)

2012年高考真题理科数学解析分类汇编10 圆锥曲线

一、选择题

1.【2012高考浙江理8】如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：

2

22

2

1x y a

b

-

=（a,b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的

端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是

A.

3

B

2

C.

D.

【答案】B

【解析】由题意知直线B F 1的方程为：b x c

b y +=，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=0,b y a x b x c

b y 得点

Q ),(a c bc a c ac --，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧

=++=0

,b y a x b x c

b y 得点P ),(a

c bc a c ac ++-，所以PQ 的中点坐标为),(2

22

b c b c a ，所以PQ 的垂直平分线方程为：)(22

2

b

c

a x

b

c b c y --=-，令0=y ，得)1(2

2b

a c x +=，所以c b

a c 3)1(2

2

=+

，所以2222222a c b a -==，即2

223c a =，所以2

6=

e 。故选B

2.【2012高考新课标理8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，

C 与抛物线x y 162

=的准线交于,A B

两点，AB =C 的实轴长为（ ）

()

A ()B

()C 4 ()D 8

【答案】C

【解析】设等轴双曲线方程为)0(22>=-m m y x ，抛物线的准线为4-=x ，由34=AB ,则32=A y ,把坐标)32,4(-代入双曲线方程得

412162

2

=-=-=y x m ，所以双曲线方程为42

2

=-y x ，即

14

4

2

2

=-

y

x

，所以

2,42

==a a

，所以实轴长42=a ，选C.

3.【2012高考新课标理4】设12F F 是椭圆222

2

:1(0)x y E a b a

b

+

=>>的左、右焦点，P 为直

线32

a x =上一点，12PF F ∆是底角为30 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）

()

A 12

()B

23

()

C 34

()

D 45

【答案】C

【解析】因为12PF F ∆是底角为30

的等腰三角形，则有

P

F F F 212=,

，因为

2130

=∠F PF ，所以

260=∠D PF ,0

2

30=∠DPF

，所以21222

12

1F F PF D F =

=

，即

c c c a =⨯=

-22

12

3，

所以

c a 22

3=，即

4

3=

a

c ，所以椭圆的离心率为4

3=e ，选C.

4.【2012高考四川理8】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点

0(2,)M y 。若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（ ）

A 、

B 、

C 、4

D 、

【答案】B

【解析】设抛物线方程为2

2y px =，则点(2,M ±Q 焦点,02p ⎛⎫

⎪⎝⎭

，点M 到该抛物线

焦点的距离为3，∴ 2

2492p P ⎛

⎫-+= ⎪⎝

⎭， 解得2p =，所以O M =

=.

[点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M 为抛物线上任意一点，F 为抛物线的焦点，d

为点M 到准线的距离).

5.【2012高考山东理10】已知椭圆222

2

:

1(0)x y C a b a

b

+

=>>的离心学率为

2

.双曲线

22

1x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则

椭圆C 的方程为 （A ）

2

2

18

2

x

y

+

= （B ）

2

2

112

6

x

y

+

= （C ）

2

2

116

4

x

y

+

= （D ）

2

2

120

5

x

y

+

=

【答案】D

【解析】因为椭圆的离心率为

2

3，所以2

3=

=

a

c e ，22

4

3a c =

，2

22

2

4

3b a a

c

-==

，

所以22

4

1a b =

，即2

2

4b a

=，双曲线的渐近线为x y ±=，代入椭圆得

12

22

2=+

b

x a

x ，即

14542

22

22

2==

+

b

x b

x b

x

，所以b x b x

5

2,5

42

2

±

==

，2

2

5

4b y

=

，b y 52±

=，则第一象

限的交点坐标为)52,

5

2(

b b ，所以四边形的面积为165

165

25

242

==

⨯

⨯

b

b b ，所以

52

=b ，所以椭圆方程为

15

20

2

2

=+

y

x

，选D.

6.【2012高考湖南理5】已知双曲线C ：22

x a

-

22

y b

=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的

渐近线上，则C 的方程为 A ．

2

20

x

-

2

5

y

=1 B.

2

5

x

-

2

20

y

=1 C.

2

80

x

-

2

20

y

=1 D.

2

20

x

-

2

80

y

=1【答案】A

【解析】设双曲线C ：

22

x a

-

22

y b

=1的半焦距为c ，则210,5c c ==.

又 C 的渐近线为b y x a

=±

，点P （2,1）在C 的渐近线上，12b a

∴= ，即2a b =.

又222

c a b =+，a ∴==

，∴C 的方程为

2

20

x

-

2

5

y

=1.

【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型.