7.4.2乘法公式-完全平方公式
整式乘法与因式分解：乘法公式(完全平方公式、平方差公式)知识点详解及强化练习
乘法公式知识点详解及强化练习一、完全平方公式利用长方形、正方形纸板（如图甲），拼成一个大正方形（如图乙），通过这样的拼图过程，能发现什么吗？先观察图，再用等式表示图中图形面积的运算。
= + +完全平方公式完全平方公式有怎样的结构特征？完全平方的左边是一个二项式的完全平方，右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项中两项乘积的2倍。
可概括为“首平方，尾平方，乘积2倍放中央，中央符号回头望”。
公式的语言叙述：两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们的积的2倍的和；两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们的积的2倍的差。
例1.用完全平方公式计算：（1）(5+3p)2（2）(-3b+2c)2（3）(-2a-5)2变式题用完全平方公式计算（1）(x+2y)2（2）(-3x-4y)2（3）(a+b)(-a-b)例2.利用完全平方公式计算：（1）1022（2）1972[总结]：完全平方公式——(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。
注意它们的结构特征和使用时的关键。
本节学习的数学方法：数形结合的思想方法和转化的思想方法。
[拓展]利用完全平方公式解决问题已知(a+b)2=7，(a-b)2=4，求a2+b2，ab的值。
变式题已知a+b=5，ab=-6，求下列各式的值。
（1）a2+b2（2）a2-ab+b2二、平方差公式如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形。
（1）请表示图（1）中阴影部分的面积。
（2）将阴影部分拼成了一个长方形，如图（2），这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？（3）比较（1）（2）的结果，能验证平方差公式吗？将图（1）沿虚线剪开，拼成如图（2）的一个长方形。
分别计算图（1）、图（2）的面积，有什么发现？[特征]公式的左边是两个数的和乘以这两个数的差，而公式的右边恰好是这两个数的平方差。
(a+b)(a-b)=a2-b2，这个公式称为平方差公式。
完全平方公式
完全平方公式在数学的奇妙世界里，有一个非常重要的公式，那就是完全平方公式。
它就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们轻松解决许多数学问题。
完全平方公式包括两个：一个是两数和的完全平方公式，即\（（a＋ b)＾2 ＝ a^2 ＋ 2ab ＋ b^2\）；另一个是两数差的完全平方公式，即\（（a b)＾2 ＝ a^2 2ab ＋ b^2\）。
咱们先来看看两数和的完全平方公式\（（a ＋ b)＾2 ＝ a^2 ＋ 2ab＋ b^2\）。
为了更好地理解它，我们可以通过一个实际的例子来感受一下。
假设小明有一个边长为\（a\）的正方形花坛，后来他在旁边又扩建了一个宽为\（b\）的长方形花坛。
那么现在整个花坛的面积是多少呢？原来正方形花坛的面积是\（a^2\），扩建的长方形花坛的面积是\（2ab\）（因为长方形的长是\（a\），宽是\（b\），面积就是\（ab\），两边都有所以是\（2ab\）），新扩建的小正方形花坛面积是\（b^2\）。
所以整个花坛的面积就是\（a^2 ＋ 2ab ＋ b^2\），而这恰好就是\（（a ＋ b)＾2\）展开后的结果。
再来说说两数差的完全平方公式\（（a b)＾2 ＝ a^2 2ab ＋ b^2\）。
比如小红有一块边长为\（a\）的正方形布料，她从中间裁掉了一个边长为\（b\）的小正方形。
那么剩下布料的面积是多少呢？原来正方形布料的面积是\（a^2\），裁掉的小正方形面积是\（b^2\），由于裁掉的部分在原来正方形的内部，所以重叠了两次，重叠部分的面积是\（2ab\）。
那么剩下布料的面积就是\（a^2 2ab ＋b^2\），这正好就是\（（a b)＾2\）展开后的式子。
掌握完全平方公式对于解决代数问题非常有帮助。
比如在进行因式分解的时候，如果我们遇到了形如\（a^2 ＋ 2ab ＋ b^2\）或者\（a^2 2ab ＋ b^2\）的式子，就可以直接利用完全平方公式将其转化为\（（a ＋ b)＾2\）或者\（（a b)＾2\）。
乘法公式(完全平方公式)
04 完全平方公式应用举例
一元二次方程求解
完全平方公式可以帮助我们将一 元二次方程化为完全平方的形式，
从而更容易地求解。
例如，对于方程 $x^2 + 2x - 3 = 0$，我们可以将其化为
$(x+1)^2 - 4 = 0$，进而求解 得到 $x = -3$ 或 $x = 1$。
通过完全平方公式，我们还可以 判断一元二次方程是否有实数解，
03
利用完全平方公式解二元一次方程组，如 $begin{cases} x + y = 5 xy = 6 end{cases}$ 可化为 $(x - 3)(y - 2) = 0$，解得 $begin{cases} x = 3 y = 2 end{cases}$ 或 $begin{cases} x = 2 y = 3 end{cases}$。
立方和公式
$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$。
立方差公式
$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$。
高阶乘法公式的应用
在处理涉及高次幂的代数问题时，高阶乘法公式能够提供简化的计算方法。同时，在解决一些复杂的几 何问题时，高阶乘法公式也能发挥重要作用。
完全平方公式的应用
在解决涉及一个二项式与自身相乘的问题时，可以直接套用 完全平方公式进行计算，如求解平方差、计算方差等。同时 ，在解决一些最优化问题时，完全平方公式也可以用于构造 目标函数或约束条件。
06 总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结
1 2
完全平方公式的基本形式
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 和 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$。
完全平方的规律
完全平方的规律一、完全平方公式1. 完全平方和公式- 对于(a + b)^2，根据乘法分配律展开：- (a + b)^2=(a + b)(a + b)=a(a + b)+b(a + b)- 进一步展开得到a^2+ab+ba + b^2=a^2 + 2ab+b^2。
- 例如：(x+3)^2，这里a = x，b = 3，根据公式(x + 3)^2=x^2+2× x×3+3^2=x^2 + 6x+9。
2. 完全平方差公式- 对于(a - b)^2，同样根据乘法分配律展开：- (a - b)^2=(a - b)(a - b)=a(a - b)-b(a - b)- 进一步展开得到a^2 - ab - ba+b^2=a^2-2ab + b^2。
- 例如：(x - 2)^2，这里a=x，b = 2，根据公式(x - 2)^2=x^2-2× x×2+2^2=x^2-4x + 4。
二、完全平方数的规律1. 个位数字规律- 完全平方数的个位数字只能是0、1、4、9、6、5。
- 因为0^2 = 0，个位数字是0；1^2 = 1，个位数字是1；2^2=4，个位数字是4；3^2 = 9，个位数字是9；4^2 = 16，个位数字是6；5^2 = 25，个位数字是5；6^2 = 36，个位数字是6；7^2 = 49，个位数字是9；8^2 = 64，个位数字是4；9^2 = 81，个位数字是1。
2. 十位数字规律（以两位数为例）- 设一个两位数n=10a + b（a是十位数字，b是个位数字），n^2=(10a + b)^2 = 100a^2+20ab + b^2。
- 当b = 0时，n^2的十位数字是0；当b = 1或9时，2ab的个位数字是偶数，b^2的个位数字是1，所以n^2的十位数字是偶数；当b = 2或8时，2ab的个位数字是偶数，b^2的个位数字是4，所以n^2的十位数字是偶数；当b = 3或7时，2ab的个位数字是偶数，b^2的个位数字是9，所以n^2的十位数字是偶数；当b = 4或6时，2ab的个位数字是偶数，b^2的个位数字是6，所以n^2的十位数字是奇数；当b = 5时，n^2的十位数字是2。
完全平方公式的口诀
完全平方公式的口诀完全平方公式是初中数学常见的数学公式之一，它能够帮助我们轻松地计算一些特殊的乘积。
而为了帮助学生更快更好地掌握这个公式，老师们总是会给出一些“口诀”来帮助学生记忆。
下面，我将介绍一些经典的完全平方公式口诀，希望对大家有所帮助。
一、经典的完全平方公式口诀1. 一加二，幺躲躲，三加三，九不错，四加四，十六在，五加五，廿五来，六加六，三十六。
这是一个非常经典的完全平方公式口诀，可用于计算1到6的完全平方数。
要注意的是，口诀中的“幺躲躲”代表1的平方，“廿五来”代表5的平方。
2. 老师教你秘籍，把加数都平方，两数乘积再取一半，就是平方的值。
这是一个比较通俗易懂的口诀，建议适合初中阶段的学生使用。
它的计算方法是将两个加数都平方，然后将两个数的积除以2，得到的结果就是平方数了。
3. 相加相同，用两平方，相加相异，用差平方。
这个口诀比较精炼，但要求学生先判断两个加数是否相等，再选用不同的计算方法，因此需要一定的数学能力。
具体来说，如果两数相等，就将它们的平方相加；如果两数不等，就将它们的差平方再加上两数中较小数的平方就行了。
4. 一减二，幺躲躲，三减三，九不错，四减四，十六在，五减五，廿五来，六减六，三十六。
这个口诀与第一个口诀类似，只是将加法换成了减法。
同样需要注意的是，“幺躲躲”代表1的平方，“廿五来”代表5的平方。
二、如何运用完全平方公式口诀？掌握完全平方公式口诀后，如何运用它们呢？下面以“相加相异，用差平方”为例，介绍一下计算方法：先将两个数字相加求和，然后除以2得到平均数。
以这两个数为边长，画一个矩形，然后在矩形的对角线上找到平均数。
将这个平均数与两个数的差相乘，就可以得到两数的平方了。
例如，假设我们要计算5和8的平方，应该先将两个数相加得到13，然后除以2得到6.5。
然后画出两边长为5和8的矩形，找到它的对角线，该对角线上的长度为6.5。
最后，将6.5与5和8的差（3）相乘，得到的结果为72.25，即5和8的平方。
七年级下完全平方公式
完全平方公式讲义一．知识点拨1.完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2.此公式等号的左边是两项和或差的平方，等号右边是前一项的平方，加上或减去两项乘积的2倍，再加上后一项的平方，学习中，往往易出现（a+b）2=a2+b2，（a-b）2=a2-b2的错误，为了避免这种错误，记准记牢这个公式，可以将公式编成如下顺口溜：a平方，b平方，2倍ab夹中央，中间符号看前方。
2.公式的变形：①a2+b2=（a+b）2-2ab，a2+b2=(a-b)2+2ab例如，已知a+b=3、ab=-12求下式的值：a2+b2②（a+b）2-（a-b）2=4ab，（a+b）2+（a-b）2=2(a2+b2)例如：已知（a+b）2=7 （a-b）2=4，求ab，a2+b2的值3.二项式乘法公式：（x+a）(x+b)=x²+（a+b）x+ab例如：计算①（x+7）(x-9) ②（-2y-3）(-2y+6)二．完全平方公式的应用类型：1：直接运用公式(-x+3y)22.灵活变形运用公式已知：a+b=3，ab=-12,求a2+b2和(a-b)2的值。
3整体思想运用已知(a+b)2=7,(a-b)2=13,求a2+b2,ab的值4.非负性的运用已知：a 2+b 2+4a-2b+5=0,求a 、b 的值。
5．与几何有关的运用（科内交叉）已知：三角形a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac=0，试判断三角形的形状6.与倒数有关的变形应用①已知： x+x 1=3,求x 2+21x的值。
②已知：x 2-5x+1=0,求x 2+21x的值。
7. 运用公式使计算简便，计算：22219991998.19991997199919992+-三．课堂训练1、判断，如有错误，请改正。
（1）（a-b ）2=a 2-b 2 （ ）（2）（-a-b ）2=（a+b ）2=a 2+2ab+b 2 （ ）（3）（a-b ）2=（b-a ）2=b 2-2ab+a 2 （ ）（4）（x+21）2=x 2+21x+41 ( ) 2、计算： (1)(51x+101y)2 (2)(-cd+21)23.选择（1）代数式2xy-x 2-y 2=( )A 、（x-y ）2B 、（-x-y ）2C 、（y-x ）2D 、-（x-y ）2（2）（2y x +）2-（2y x -）2等于 （ ） A 、xy B 、2xy C 、2xy D 、04、计算（1）（a-2b ）2（a+2b ）2 （2）（a-2b+c ）（a+2b+c ）（3） （x-6）(x+8) （4） (2x-5)(2x+7)5.解答。
北师大版七年级下册数学《第一章 整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解!
北师大版七年级下册数学《第一章整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解！1.完全平方公式：(a+b)2=a2+b2+2ab (a-b)2=a2+b2-2ab两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
2.派生公式：(a+b)2-2ab=a2+b2(a-b)2+2ab=a2+b2(a-b)2+(a+b)2=2(a2+b2) (a+b)2-(a-b)2=4ab考点解析完全平方公式是进行代数运算与变形的重要知识基础。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)。
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，叫做完全平方公式。
为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
理解公式左右边特征(一)学会推导公式(这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的)，真实体会随意“创造”的不正确性;(二)学会用文字概述公式的含义：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.都叫做完全平方公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式.(三)这两个公式的结构特征是：1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍;2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这里说项时未包括其符号在内);3、公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等数学式.(四)两个公式的统一：因为所以两个公式实际上可以看成一个公式：两数和的完全平方公式。
这样可以既可以防止公式的混淆又杜绝了运算符号的出错。
完全平方公式讲解
完全平方公式讲解完全平方公式是一种求解二次方程的方法，通常用于解决含有未知数的平方项和一次项的方程。
这个公式的公式表达形式为：$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$完全平方公式在数学中具有广泛的应用，可以用来解决一元二次方程、分解因式、证明等问题。
首先，我们可以考虑一个特殊的二次多项式：$$(x+a)^2$$这里，a 是一个常数。
根据分配律，我们可以展开该二次多项式：$$(x+a)(x+a)=x^2+ax+ax+a^2$$合并相同项得到：$$x^2+2ax+a^2$$我们可以观察到，这个二次多项式中的平方项（$x^2$）和常数项（$a^2$）是完全平方的结构。
而一次项的系数项（$2ax$）是两个a的乘积的两倍。
这就是所谓的完全平方。
根据以上的推导，我们得出了完全平方的一般形式。
接下来，我们将利用完全平方公式来解决一元二次方程的问题。
对于一元二次方程$$ax^2+bx+c=0$$其中a、b、c是已知实数常数。
我们将该方程两边移项，并利用一种变形技巧，将方程转化为完全平方的形式。
具体步骤如下：1. 将方程两边移项，使等式右边等于0，得到$$ax^2+bx=-c$$2.对于方程的左边，我们将其利用完全平方公式进行变形。
如果我们能找到一个常数k，使得左边可以变为$(x+k)^2$的形式，那么我们就可以利用完全平方公式直接求解。
3. 考虑到$(x+k)^2=x^2+2kx+k^2$，我们可以发现，当$b=2k$时，方程的左边可以写成完全平方形式。
4. 所以，我们可以得到方程$$ax^2+2kx+k^2=-c$$5.然而，我们不能直接将方程的右边变为k的平方形式，因为我们无法确切地知道k的值。
所以，我们需要做一个额外的变形。
6. 我们可以再次考虑方程的两边，得到$$ax^2+2kx+k^2+c=0$$7.现在，我们成功地将方程转化为一个完全平方的形式。
进一步观察，我们可以发现，左边的二次项是$x^2$的系数与$a$的乘积，一次项是$x$的系数与$2k$的乘积，常数项则是$k^2+c$。
巧记完全平方公式
巧记“完全平方公式”完全平方公式即(a±b)²=a²±2ab+b²两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。
难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解 )下面谈一下公式的记忆和应用：完全平方公式的巧记口诀：首平方，尾平方，乘积二倍在中央。
同号加，异号减，整体思想要健全。
“首平方，尾平方，乘积二倍在中央”介绍公式的结构，左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是首项的平方，加尾项的平方，再加上或减去这两项乘积的2倍；“同号加，异号减”左边两项符号相同时，乘积的2倍用“+”号连接；左边两项符号相反时，两项乘积的2倍前用“-”号连接（注：这里说项时包括其符号在内）.例1：运用完全平方公式计算：（1）(-4x+3y)2（2）(-a-b)2分析：（1）中两项符号相反，所以4x与3y的积的2倍前用减号连接。
(2)中两项符号相同，所以2ab加号连接。
解：(1)原式=（4x）2-2(4X)(3y)+(3y)2=16x2-24xy+9y22)原式=a2+2ab+b2“整体思想要健全”是说公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式，在遇到单项式或多项式时要将它看作一个整体。
例2 计算（a+b+c）2分析：完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾。
所以在运用公式时，可先变形为或或者，再进行计算例3计算（x-2y+1）2分析：在这里，我们将x+2y看作一个整体，则括号里可以看作（x-2y）和1两项的和，就可以利用公式进行计算了解：原式。
初二数学完全平方公式知识点
2019年初二数学完全平方公式知识点这是小编为您倾心整理的2019年初二数学完全平方公式知识点，经典实用，希望看完之后对大家能有所帮助，谢谢您的支持，更多初二数学知识点，请继续收看【初二数学知识点】栏目。
2019年初二数学完全平方公式知识点完全平方公式(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。
把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。
上面两个公式叫完全平方公式。
(2)完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。
③有一项是这两个数的积的两倍。
宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。
至元明清之县学一律循之不变。
明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。
到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。
其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。
而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。
“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。
于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。
在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。
(3)当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
(4)完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。
这里只要将多项式看成一个整体就可以了。
这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。
要求学生抽空抄录并且阅读成诵。
其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。
如此下去,除假期外,一年便可以积累40多则材料。
口诀助学完全平方公式
口诀助学完全平方公式完全平方公式是初中数学学习过程中一个应用广泛且非常重要的数学公式，但是在学习时，同学们对公式的理解不深，理解不准，导致做题时常常出现一些不应该出现的错误，下面就向同学们介绍一种学习公式的好方法-------口诀法，供学习时借鉴.一.完全平方公式：2()a b ±=2a ±2ab+2b .记住公式的口诀：前平方，后平方，前后2倍积中央，和就加，差就减，左边三项要保全.注意：前指的是右边括号里运算符号前面的项，后指的是右边括号里运算符号后面的项， 积中央：就是把乘积放在前后的中间位置上.熟记口诀，并多加练习，假以时日，相信同学们就能很好的掌握完全平方公式.二.公式的应用1.确定展开的结果例1运用乘法公式计算2(3)x +的结果是 （ ）A ．2x ＋9B ．2x －6x ＋9C ．2x ＋6x ＋9D ．2x ＋3x ＋9分析：求解时，定准三项：前---x ，后—3，运算：+,确定后，背着口诀写就是了： 前平方--2x ，后平方-23=9，前后2倍积中央-2×x ×3=6x ，和就加，差就减，左边三项要保全，所以2x ＋6x ＋9.写完后，对照口诀再核对一遍，确定无误后，对照选项作出判断. 解：选C.点评：熟记口诀，确定准三个核心要素—谁是前，谁是后，连接运算的符号，是正确解题的关键.2.展开式中缺项致错例2下列计算正确的是( )A.3a ＋4b=7abB.33()ab =a 6bC.2(2)a +=2a ＋4D.12x ÷6x =6x 分析：非同类项是不能合并的，所以选项A 错误；积的乘方是因数的各项都乘方，所以结果中的一个因式应是3a ，所以选项B 错，幂的乘方应是指数相乘，不是指数相加，所以另一个因式应该是9b ，而不是6b ，这是犯的第二个错误，错上加错，绝对不能选；根据口诀，前平方-2a ，对，后平方—4，对，但是这样就结束了运算是错误的，前后2倍积中央-2×a ×2=4a ， 漏了，所以本选项也是错误的.解：选D.点评：公式时，要确保结果有三项，这就有了正确的可能性.3.展开式中漏交叉项的2倍致错例3下列运算中，计算正确的是 （ ）A ．2a•3a=6a B．23(3)a =276a C ．4a ÷2a =2a D ．222()a b a ab b +=++分析：看准运算，选准运算法则，同底数幂的乘法运算不能混成合并同类项处理，所以选项A 错误；积的乘方是因数的各项都乘方，幂的乘方应是指数相乘，所以选项B 是正确的； 根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减，2应放在指数位置，而不是系数位置，所以选项C 错误，根据口诀，前平方-2a ，对，后平方—2b ，对，前后2倍积中央-2×a ×b=2ab ，不是选项中的ab ，所以本选项也是错误的.解：选B.点评：记准公式，记准运算的法则是解题的关键.4.据公式展开，巧化简例4计算：2()a b +﹣b （2a+b ）分析：根据完全平方公式和单项式乘多项式的法则计算即可.解：2()a b +﹣b （2a+b ）=222a ab b ++-2ab-2b =2a .例5 计算： 2()x y -﹣（x ﹣2y ）(x+y ）分析：根据完全平方公式,多项式乘多项式法则进行计算. 解：2()x y -﹣（x ﹣2y ）（x+y ）=2x -2xy+2y -2x -xy+2xy+22y =32y -xy.点评：正确展开完全平方公式是解题的关键，熟练进行单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，是解题的基础，正确进行合并同类项是化简的核心.5.据公式展开，巧化简，求值例6已知4x=3y ，求代数式2(2)x y -﹣（x ﹣y ）（x+y ）﹣22y 的值．分析：首先利用平方差公式和完全平方公式计算，进一步合并，最后代入求得答案即可． 解：2(2)x y -﹣（x ﹣y ）（x+y ）﹣22y =2x -4xy+42y -（2x -2y ）-22y=2x -4xy+42y -2x +2y -22y =-4xy+32y =-y(4x-3y),因为4x=3y ，所以原式=0． 点评：把完全平方公式正确的进行展开是解题的关键.6.逆用公式，巧求值例7 已知|a-4|+222a ab b ++=0,求a-b 的值.分析：逆用公式2()a b ±=2a ±2ab+2b ，可得222a ab b ++=2()a b +，然后利用实数的非负性可以化解问题.解：因为|a-4|+222a ab b ++=0,所以|a-4|+2()a b +=0,所以a-4=0,a+b=0,所以a=4,b=-4， 所以a-b=4-(-4)=8.点评：逆用公式变形为两个非负数和为0是解题的关键.。
初中数学《完全平方公式》知识点归纳
初中数学《完全平方公式》知识点归纳初中数学《完全平方公式》知识点归纳完全平方公式是初中学习当中一个比较重要的知识点，今天极客数学帮就为大家总结了完全平方公式的知识点以及练习题。
帮助同学们学习、掌握完全平方公式的知识内容。
完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
（a b）2=a 2ab b ，（a-b）2=a -2ab b 。
（1）公式中的a、b可以是单项式，也就可以是多项式。
（2）不能直接应用公式的，要善于转化变形，运用公式。
该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。
难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解）。
结构特征：1左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍；2左边两项符号相同时，右边各项全用“ ”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“ ”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）;3公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式．记忆口诀:首平方，尾平方，2倍首尾。
使用误解：①漏下了一次项；②混淆公式；③运算结果中符号错误；④变式应用难于掌握。
注意事项：1、左边是一个二项式的完全平方。
2、右边是二项平方和，加上（或减去）这两项乘积的二倍，a和b 可以是数，单项式，多项式。
3、不论是还是，最后一项都是加号，不要因为前面的符号而理所当然的以为下一个符号。
完全平方公式例题解析：（一）、变符号例：运用完全平方公式计算：（1）(-4x 3)（2）(-a-b)分析：本例改变了公式中a、b的符号，以第二小题为例，处理该问题最简单的方法是将这个式子中的(-a)看成原公式中的a，将(-b)看成原公式中的b，即可直接套用公式计算。
巧记完全平方公式
巧记“完全平方公式”完全平方公式即(a±b)²=a²±2ab+b²两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。
难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解 )下面谈一下公式的记忆和应用：完全平方公式的巧记口诀：首平方，尾平方，乘积二倍在中央。
同号加，异号减，整体思想要健全。
“首平方，尾平方，乘积二倍在中央”介绍公式的结构，左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是首项的平方，加尾项的平方，再加上或减去这两项乘积的2倍；“同号加，异号减”左边两项符号相同时，乘积的2倍用“+”号连接；左边两项符号相反时，两项乘积的2倍前用“-”号连接（注：这里说项时包括其符号在内）.例1：运用完全平方公式计算：（1）(-4x+3y)2（2）(-a-b)2分析：（1）中两项符号相反，所以4x与3y的积的2倍前用减号连接。
(2)中两项符号相同，所以2ab加号连接。
解：(1)原式=（4x）2-2(4X)(3y)+(3y)2=16x2-24xy+9y22)原式=a2+2ab+b2“整体思想要健全”是说公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式，在遇到单项式或多项式时要将它看作一个整体。
例2 计算（a+b+c）2分析：完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾。
所以在运用公式时，可先变形为或或者，再进行计算例3计算（x-2y+1）2分析：在这里，我们将x+2y看作一个整体，则括号里可以看作（x-2y）和1两项的和，就可以利用公式进行计算了解：原式。
完全平方公式顺口溜
完全平方公式顺口溜曾经有位著名的数学家，他在生活中表现出对完全平方公式的热爱。
他经常把完全平方公式用一句很押韵的顺口溜来说：n的平方，等于减去m的和，再加上两倍的乘积。
”他说出这句话的时候，很多人都会认真地听，不仅是因为他们爱数学，还因为这句话很容易记住。
完全平方公式也被称为负差公式，它可以用来解决一元二次方程，表达式如下：ax2 + bx + c = 0，其中a 0。
根据完全平方公式，我们可以把方程分解为两个完全平方公式，表达式可以写成：x2 +(b/2a)x + (c/a) = (m/a)2 - (n/a)2，其中m = (b/2a)2 + (c/a)，n = (b/2a).完全平方公式有着悠久的历史，可以追溯到古希腊，它的本质是基于二次函数的几何解释。
古希腊的物理学家柏拉图就提出了完全平方公式，他把它描述为把一个边长为2ab的平行四边形分割成两个边长分别为a和b的正方形。
完全平方公式的实际应用也很广泛。
一般来说，如果你正在解决一元二次方程，你可以使用完全平方公式来更快地解决它。
在物理学、化学和经济学等诸多领域，都可以使用完全平方公式，来解决一些复杂的问题。
完全平方公式是一种非常有用的公式，每个数学家都应该把它牢牢记住，以备用。
在求解一元二次方程时，它能节省大量时间，因为它更容易理解和推导。
总之，完全平方公式可以用来解决一元二次方程，它也可以用在物理学、化学和经济学等相关领域，为人们提供更快更准确的答案。
它有着悠久的历史，古希腊的物理学家柏拉图就已经把它提出来了，当然，完全平方公式也出现在著名的数学家的顺口溜里面。
如今，它已成为了每个数学家学习的重要组成部分，也是求解复杂问题的重要工具。
乘法公式(二)完全平方公式
1、左边是二项式(两数和(差))的平方，右边的积为二 次三项式； 2、积中两项为两数的平方和，另一项是两数积的2倍， 且与乘式中间的符号相同。
首平方，末平方， 首末两倍中间放,符号与前一个样。
3、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式。
例1
运用完全平方公式计算：
(1)
2 102
(2)
2 99
(3)9.92 (4)1012
解:(1) 1022 = (100+2)2 =10000+400+4 =10404 (2) 992 = (100 –1)2 =10000 -200+1 =9801
例2:一花农有1块正方形茶花苗圃，边长为
a(m)。现将这块苗圃的边长都增加1.5m，求
2 2
2 2 2
(2).4 x _______ 9 (2 x 3) 12x
2
1 (3).25x 10x _____ (5 x 1)
4、运用完全平方公式计算：
(1)(x+2y)2; (3)(-2a2+b)2;
(2)(2a-5)2; (4)(-3x-4y)2.
5、运用完全平方公式计算
小结：
(a+b)2= a2 +2ab+b2 1、完全平方公式：
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
2、注意：项数、符号、字母及其指数； 3、解题时常用结论：
(-a-b)2 =(a+b)2
(a-b)2 =(b-a)2
课后做一做：
(1)化简: (2m+1)2 - (2m)2
(2) 简便计算： 199
观察上述1、2两题的计算结果，你发现有什么 规律？你能用你的发现来猜测第3题的结果吗？
完全平方公式
完全平方公式完全平方公式即(a±b)²=a²±2ab+b²该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。
难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解）。
1使用误解①漏下了一次项②混淆公式③运算结果中符号错误④变式应用难于掌握。
完全平方公式（两数差的平方）以上两个公式可合并成一个公式：2学习方法公式特征（一）学会推导公式：（这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的），真实体会随意“创造”的不正确性；（二）学会用文字概述公式的含义:两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
（三）这两个公式的结构特征：1. 左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍；2. 左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）.3. 公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式．（四）记忆口诀：首平方，尾平方，2倍首尾在中央公式变形变形的方法（一）、变符号：例1：运用完全平方公式计算：（1）(-4x+3y)2（2）(-a-b)2分析：本例改变了公式中a、b的符号，以第二小题为例，处理该问题最简单的方法是将这个式子中的(-a)看成原来公式中的a，将(-b)看成原来公式中的b，即可直接套用公式计算。
解答：(1)16x2-24xy+9y2(2)a2+2ab+b2（二）、变项数：例2：计算：(3a+2b+c)2分析：完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾。
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用B、Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ的面积表示Ⅲ的面积_________________。
分别得出结论：
两名学生板演，其他学生在练习本上完成，然后说出答案，得出公式．
学生在教师引导下回答问题．
教学过程
学生活动
3．探索新知，讲授新课
（1）引例：计算
教师讲解：在 中，把x看成a，把2y看成b，在 中把2x看成a，把3y看成b，则 、 ，就可用完全平方公式来计算，即
学生独立在练习本上尝试解题，3个学生板演．
教学过程
学生活动
4．尝试反馈，巩固知识
练习一
运用完全平方公式计算：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
（7） （8） （9）
（l0）
练习二
运用完全平方公式计算：
（l） （2） （3） （4）
（2）想一想， 与 相等吗？为什么？
与 相等吗？为什么？
（四）总结、扩展
2．结合图形，理解公式
根据图形完成下列问题：
如图：A、B两图均为正方形，
（1）图A中正方形的面积为____________，（用代数式表示）
图Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的面积分别为_______________________。
（2）图B中，正方形的面积为____________________，
Ⅲ的面积为______________，
综合运用平方差公式与完全平方公式进行计算
课型
新课
教法
发现法、探究法、讲练法
教具
电脑
板书设计
7.4 2完全平方公式引例
例1
课后小结
教学过程
学生活动
一．计算导入；求得公式
引例：计算 ，
或合并为：
教师引导学生用文字概括公式．
方法：由学生概括，教师给予肯定、否定或更正，同时板书．
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．
（2）例1运用完全平方公式计算：
① ② ③Байду номын сангаас
让学生先模仿公式解题，学生可能会出现一些问题，这也正是学生对公式理解、应用和熟练程度上存在的需要解决的问题，反馈后要紧扣公式，重点讲解，达到解决问题的目的，关于例题中（3）的计算，可对照公式直接计算，也可变形成 ，然后再进行计算，同时也可训练学生灵活运用学过的知识的能力．
这节课我们学习了乘法公式中的完全平方公式．
引导学生举例说明公式的结构特征，公式中字母含义和运用公式时应该注意的问题．
八、布置作业
P934，5 p94 B组5，6，7。．
学生在练习本上完成，然后同学互评，教师抽看结果，练习中存在的共性问题要集中解决．
学生分组讨论，选代表解答．
学生观察、思考后，回答问题．
课时授课计划
章节题目
7.4 2完全平方公式
授课日期
年月日
教学目标
1.会推导完全平方公式，了解公式的几何背景，并会用公式进行计算；
2．通过推导公式训练学生发现问题、探索规律的能力
3．培养学生用数形结合的方法解决问题的数学思想．
教学重点
掌握公式的结构特征和字母表示的广泛含义，正确运用公式进行计算
教学难点