江苏省常州市西夏墅中学2014-2015学年高一数学(新人教A版必修四)教案第1章《三角函数》

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高中数学 1.3.4 三角函数的应用(第2课时)教案新人教版必修4

江苏省常州市西夏墅中学高中数学 1.3.4 三角函数的应用（第2课时）教案新人教版必修4教学目标：1.能正确分析收集到的数据，选择恰当的函数模型刻画数据所蕴含的规律，能根据问题的实际意义，利用模型解释有关实际问题．2.体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力．3.培养学生用已有的知识解决实际问题的能力,培养学生数学应用意识．教学重点：对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型，用函数思想解决具有周期变化的实际问题．教学难点：（1）分析、整理、利用信息，从实际问题中抽象出三角函数模型．（2）由图象求解析式时ϕ的确定．教学过程：一、复习提问1. 函数1sin 2y x =图像上每一点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移π2个单位，求所得函数图象的解析式.2．函数sin(),(0,0,||)2y A x A πωϕωϕ=+>><的最小值是－2，其图象最高点与最低点横坐标差是，且图象过点(0,1)，求函数解析式.3. 讨论：如何由图观察得到三角函数的各系数？如何确定初相？二、研探新知例1 (学生自学)一半径为3cm 的水轮如图1-3-22所示，水轮圆心O 距离水面2cm ，已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中0P 点）开始计算时间．（1）将点P 距离水面的高度()cm z 表示为时间)(s t 的函数；（2）点P 第一次到达最高点大约要多长时间？（例1是一个有关圆周运动的问题，是现实生活中的周期问题，可以运用三角函数模型来解决（具体地可以借助图形计算器或计算机来画图求解）．由此可见，三角函数是描述周期现象的重要数学模型．教师进行适当的评析.并回答下列问题：根据物理常识，应选择怎样的函数式模拟物体的运动；怎样求A，和初相位？）例 2 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常的情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深.（1）选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出在整点时的近似数值.（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？（3）若船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？【问题1】1.请同学们仔细观察表格中的数据，你能够从中得到一些什么信息？应该选择怎样的数学模型反映该实际问题？小组合作发现，代表发言，可能结果：（1）水深的最大值是7.5米，最小值是2.5米．（2）水的深度开始由5.0米增加到7.5米，后逐渐减少一直减少到2.5，又开始逐渐变深，增加到7.5米后，又开始减少．（3）水深变化并不是杂乱无章，而是呈现一种周期性变化规律．（4）学生活动：作图——更加直观明了这种周期性变化规律．（5）教师呈现作图结果，学生小组代表发言，跟我们前面所学过哪个函数类型非常的类似？2．根据正弦型函数b x A y ++=)sin(ϕω，回答下列问题．（1）图表中的最大值与三角函数的哪个量有关？（2）函数的周期为多少？（3）“吃水深度”对应函数中的哪个字母？ 3. 学生活动，求解析式A ＝7.5－2.52 ＝2.5，b ＝5，T ＝ 2π ω ＝12，ω＝π6，φ＝0 ∴y ＝2.5sin πx6＋5为了保证所选函数的精确性，通常还需要一个检验过程．教师应该点明：建模过程——选模、求模、验模、应用．【问题2】（师生一起分析）水深5.5≥米得出2.5sin 5 5.56xπ+≥，即2.06sin≥xπ，（讨论）解三角不等式2.06sin≥xπ的方法令2.06sin =xπ学生活动：操作计算器计算3848.0,2014.06≈≈x xπ，结合电脑呈现图象．发现：在范围内，方程2.06sin=xπ的解一共有4个，从小到大依次记为：x A ，x B ，x C ，x D ，那么其他三个值如何求得呢？（留给学生思考）x B ≈6－0.3848＝5.6152，x C ≈12＋0.3848＝12.3848，x D ≈12＋5.6152＝17.6152得到了4个交点的横坐标值后，结合图象说说货船应该选择什么时间进港？什么时间出港呢？（过渡语）刚才整个过程，货船在进港，在港口停留，到后来离开港口，货船的吃水深度一直没有改变，也就是说货船的安全深度一直没有改变，但是实际情况往往是货船载满货物进港，在港口卸货，在卸货的过程中，由物理学的知识我们知道，随着船身自身重量的减小，船身会上浮，这样一来当两者都在改变的时候，我们又该如何选择进出港时间呢？请看下面问题：【问题3】（学生讨论）安全即需要：实际水深≥安全水深，即： 2.5sin πx6＋5≥5.5－0.3(x －2)讨论求解方法：用代数的方法？几何的角度？（电脑作图并呈现）通过图象可以看出，当快要到P 时刻的时候，货船就要停止卸货，驶向深水区．那么P 点的坐标如何求得呢？（学生思考，讨论，交流）求P 点横坐标即解方程2.5sin πx6＋5＝5.5－0.3(x －2)（数形结合，根据函数图象求近似解）．从这个问题可以看出，如果有时候时间控制不当，货船在卸货的过程中，就会出现货还没有卸完，不得已要暂时驶离港口，进入深水区，等水位上涨后再驶回来．这样对公司来说就会造成才力、物力上的巨大浪费？那该怎么来做呢？（可以加快卸货速度，也就是加快安全深度下降速度）三、数学应用1.如图，单摆从某点给一个作用力后开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s 厘米和时间t 秒的函数关系为π6sin(2π)6s t =+.（1）单摆摆动5秒时，离开平衡位置___厘米. （2）单摆摆动时，从最右边到最左边的距离为___厘米. （3）单摆来回摆动10次所需的时间为___秒.2.如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(ϕω．（1）求这一天6～14时的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式．3.某港口水深y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，记为y ＝)(t f ，下面是某日水深数据：（i ）根据以上数据求出y ＝)(t f 的近似表达式；（ii ）船底离海底5米或者5米以上是安全的，某船的吃水深度为6.5米（船底离水面距离），如果此船在凌晨4点进港，希望在同一天安全出港，那么此船最多在港口停留多少时间？（从表中读到一些什么数据？ → 依次求各系数 → 应用模型解决问题）答案：3sin106ty π=+（0≤t ≤24）； 13（小时））. 【反思】1.如何根据b x A y ++=)sin(ϕω图象求解析式中的待定参数,,,.A b ωφ2.探索ϕ的各种求法（这是本题的关键！也是难点！）（用最大、最小值点代入不容易出现错误）四、小结三角函数知识在解决实际问题中有着十分广泛的应用，待定系数法是三角函数中确定函数解析式最重要的方法.三角函数应用模型的三种模式：一是给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题；二是给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数模型，再解决其他问题；三是搜集一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可以近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题．回顾整个探究过程，经历了：第一阶段：收集数据——画散点图；第二阶段：根据图象特征——选模、求模、验模；第三阶段：函数模型应用．。

高一数学必修四教案高一数学必修四教案人教版(优秀5篇)

高一数学必修四教案高一数学必修四教案人教版（优秀5篇）高一数学必修四教案高一数学必修四教案人教版篇一在内容安排上，一章三角函数的学习为第二章平面向量作了必要的准备，同时应用第二章平面向量的知识为第三章推导两角差的余弦公式，使第三章三角恒等变换可以独立成章。

学习完后，心中有几点体会如下：为了强调学生的主体性，把时间还给学生，有的教师上课便叫学生自己看书，教师指导性差、没有提示和具体要求，看得如何没有检查也没有反馈等等。

一些课堂上教师片面追求小组合作这一学习形式，对小组合作学习的目的、时机及过程没有进行认真设计。

这些学习方式，学生表面上获得了自主的权利，可实际上并没有做到真正的自主。

课堂教学是开展反思性学习的主渠道。

在课堂教学中要有意识的引导学生从多方位、多角度进行反思性的学习；要引导学生自然地合理地提出问题、自然地合理地解决问题、自然地合理地拓展问题，从而提高逻辑思维能力和解决问题的能力。

由于提出问题是解决问题的逻辑前提，并且提出问题对学生的思维品质和主动性有更高的要求，因此完整的数学学习应包括学“问”与学“答”两方面。

教师应创设问题产生的情境，引导学生从解决现实问题和数学知识逻辑发展的需要中提出问题。

如对两角和与差的余弦公式，既可以由观察诱导公式提出，也可以由如何求sin75°=？，cos壹五°=？等提出，也可以由函数的图像可以由函数的图像通过平移得到进而猜想它们的表达式也有内在的联系，也可以由现实中相应的问题提出。

一节课尾声时，让学生进行一下反思，想想自己这节课都有什么收获？还有哪些疑问？当天睡前，反思一下今天自己的感受；或是一周反思一下自己的进步和不足等等。

本模块在三角函数一章减少了公式的数量，淡化了证明的技巧，尽量在探索中让学生发现新知。

在削弱证明的同时，强调发展学生联系实际、观察和利用所学知识解决现实生活中部分问题的能力。

教学中要注意控制难度，避免进行综合性强、难度较大的数学题的训练，避免在解题技巧上做文章。

人教版高中数学a必修4教案

人教版高中数学a必修4教案教学目标：1. 了解直线的概念和性质；2. 掌握直线的方程和相关定理；3. 能够应用直线的知识解决实际问题。

教学重点：1. 直线的方程；2. 直线的性质。

教学难点：1. 解决实际问题时的应用能力提升；2. 掌握直线的各种形式的方程。

教学准备：1. 教材《人教版数学A必修4》；2. 教具：黑板、粉笔、直尺、圆规等。

教学过程：一、导入（5分钟）引导学生回顾直线的概念，概括直线的性质，并提问直线在几何中的重要性。

二、讲解直线的方程（15分钟）1. 带领学生分析直线的一般方程和点斜式方程的意义和应用；2. 指导学生通过实例理解直线方程的求解过程；3. 引导学生掌握直线的各种形式的方程。

三、讲解直线的性质（15分钟）1. 讲解直线的平行和垂直关系；2. 分析平行线和垂直线的性质和定理；3. 引导学生掌握利用直线的性质解决问题的方法。

四、练习与讨论（20分钟）1. 给学生一些实际问题，让他们应用直线的知识解决；2. 引导学生用直线方程和直线性质解决实际问题；3. 鼓励学生积极参与讨论，提高解决问题的能力。

五、总结与反思（5分钟）总结本节课所学内容，检查学生对直线的理解和应用情况，指导学生如何进一步提升应用能力。

六、作业布置（5分钟）布置相应练习题目，要求学生巩固所学知识，找出解题方法和技巧，并留出时间讨论解答。

教学反思：本节课的教学目标是让学生理解直线的概念和性质，并学会应用直线的知识解决实际问题。

通过引导学生分析直线的方程和性质，让他们理解直线在数学中的重要性。

通过实际问题的练习和讨论，培养学生的解决问题能力和应用能力，提升他们的数学思维和学习兴趣。

在教学过程中，要注重引导学生思考和讨论，激发他们的学习兴趣，激励他们提高自己的学习水平。

江苏省常州市西夏墅中学高中数学教案必修四：第1章三角函数

数学（必修4）共有三章内容，第1章《三角函数》，第2章《平面向量》，第3章《三角恒等变换》．各章内容均围绕着对同一个背景进行数学研究的过程而逐层展开，全书的整体结构如下：目标定位1．第1章《三角函数》，首先从自然界广泛的周期性现象中聚焦到圆周上一点的运动，这是一个简单又基本的例子，是一个待解剖的“小麻雀”．于是问题自然地提出：用什么样的数学模型来刻画周期性运动？这就明确了任务：建构这样的数学模型，同时也指明了教学起点：对周期性现象的数学（分析）研究；即建构刻画周期性现象的数学模型的（思维）过程．本章定位为“展示建构刻画周期性现象的数学模型的数学（思维）过程”．2．本章具体的教学目标是：（1）通过“问题链”中问题的不断提出和不断解决，经历和认识“数学发生与发展”的生长过程，感受和体验“人类研究和发现数学”的思维过程．在一系列化问题的指引下，师生可以真正主动地参与建构数学的活动，进而发展学生的数学思维．背景（圆周上一点的运动）三角函数点的表示（r ,α），（x ,y ）引导出建构刻画r ,α,x ,y 之间关系的数学模型并研究和运用这一模型平面向量点的表示（r ,α）的延伸导出既有大小(r ) 又有方向(α) 的“量”，建构刻画这种“量”的数学模型并研究和运用这一模型三角恒等变换圆周运动的延伸，周期运动的叠加问题经过向量方法的解析而引导出两角和与差的三角函数点的表示（r ,α）,（r , l ）,（x , y ）（2）以“数学地研究”的主线，展示数学研究的一般程序．侧重“模型化”数学思想的运用，使学生在逐步学会研究数学的同时逐步学会学习数学．（3）充分发挥第1章“函数”的作用，在学习过程中尽可能地与“函数”一章密切联系，突出“特殊与一般”的思想方法在学习过程中的重要作用．教材解读1．教材采用了以问题链展开的呈现方式．在提出问题的环节，问题间的逻辑递进，以及问题对强化目标（建构刻画周期性现象的数学模型）的指向作用等方面进行了精心设计．例如，教材在提出：“怎样将锐角三角函数推广到任意角？”的问题之前，还安排了另一个问题：“用怎样的数学模型建立（x,y）与（r,α）之间的关系？”这就是考察锐角三角函数的“理由”．那么，为什么要研究（x,y）与（r,α）间的关系呢？这是因为用（r,α）,（x,y）都可以表示圆周上的点．那么，为什么要表示圆周上的点呢？这是为了刻画圆周上点的运动．那么为什么要刻画圆周上点的运动呢？这是因为它是周期现象的“一个简单又基本的例子”．为什么要研究周期现象呢？这就追到了最根本之处：因为我们的任务就是要“建构刻画周期性现象的数学模型．”这里的问题串，揭示了建构数学模型的思维过程，揭示了数学知识间的联系．2．教材按照数学研究的一般程序展开．数学研究的一般程序即：“问题——建立模型——研究模型——解释、应用与拓展”．特别地，建立“三角函数”的数学模型是本章的难点与重点，而研究“三角函数”则是置于“函数”的大背景之下进行，更进一步的研究将在后续各章节中（特别在第十章）逐步展开．3．教材突出了三角函数的周期性．本章的研究对象是周期性现象，建构的是“刻画周期性现象的数学模型”，教材突出了周期性，它是教材的出发点和归属．首先研究“三角函数的周期性”，为此专门列了一节．三角函数的周期性，不是由图象得到的，而是从三角函数的定义，从终边位置周而复始的出现，从诱导公式，即从以前的研究过程中得到的．相反，三角函数周期性的研究为后续图象与性质的研究起了铺垫作用．在正式研究三角函数的性质之前，教科书就从总体上作出了判断：“周而复始的基本性质必然蕴含在三角函数的性质之中”，因为三角函数就是我们为刻划周期运动而建构的数学模型．这样的判断对不对呢？这就促使我们来研究三角函数具有哪些性质？首先什么是“周而复始的基本性质？“这样就提出了本小节的问题：如何用数学语言刻划函数的周期性？这样的设计，不仅为三角函数性质的学习提供了问题背景，突出了本章“建立刻画周期性现象的数学模型”这一主题，而且充分地发挥了理性思维的作用．周期函数的定义是学习中的一个难点．同学们可以从“周而复始的重复出现”出发，如“白天黑夜、白天黑夜”，一步步地使语言精确化，通过“每隔一定时间出现”、“自变量每增加或减少一个值函数值就重复出现”等逐步抽象出函数周期性的定义．4．加强几何直观，强调形数结合的思想．三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系．在本章中，充分渗透了数形结合的思想．一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用．如在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象；通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式；借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与x 轴的交点等性质；另一方面以数助形．特别值得一提的是诱导公式的推导．首先提出问题：“由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等．除此以外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称，关于原点对称等，那么它们之间的三角函数值之间具有什么样的关系呢？”导出公式的程序如下：上述推导方式本意有三点：（1）问题是“从对三角函数的性质进行研究”这个主题中派生出来的，是对“模型”研究的一个有机的组成部分，而不是为了将任意角转化为锐角以便查表求值才来讨论诱导公式．（2）三角函数的值是由角的终边的位置决定的，因此从终边的位置关系提出问题就更为合理．（3）突出了形数结合思想．特别是教材中，在小结时，更是深刻地揭示了诱导公式的本质：“诱导公式所揭示的是终边有某种对称关系的两个角三角函数之间的关系．换句话说，诱导公式实质是将终边对称的图形关系“翻译”成三角函数之间的代数关系．教学方法与教学建议1. 要突出数学模型思想．充分利用本章引言提供的情境，利用学习《函数》的经验，自觉地参与建构刻画周期现象的数学模型的活动，在学习之初就建立起从数学模型的角度看三角函数的意识．2．以问题为中心．以“问题串”为载体，充分发挥理性思维在建构数学模型中的作用．在感悟和理解通过问题串，揭示建构数学模型的思维过程，揭示数学知识间的联系的同时，学会提出问题，注重学会发现．3．加强相关知识的联系，注意章节之间的铺垫与呼应，形与数的结合．发挥单位圆、三角函数线、图象的直观作用．4．运用和深化函数思想方法．三角函数是高中阶段系统学习的又一个基本初等函数，应当注意运用《数学（必修l）》中学到的研究函数的方法为指导来学习本章知识，即在函数观点的指导下，学习三角函数．例如：用集合与对应的函数观点看三角函数，这是一种“多对一”的函数；用函数研究中的基本问题（对应关系、定义域、值域、表示方法、图象，单调性、奇偶性等）来理解学习三角函数的进程；在讨论y=A sin(ωx+φ)的图象时，渗透函数变换与图象变换（平移、伸缩）的关系．5．恰当地使用信息技术．有条件应尽量使用计算器（机）．把计算机变成学习的好伙伴．。

江苏省常州市西夏墅中学高中数学第3章三角恒等变换教案新人教版必修4

江苏省常州市西夏墅中学高中数学第3章三角恒等变换教案新人教版必修4目标定位：1．三角函数是刻画周期性现象的重要数学模型，同时也是一种重要的数学工具．在第3章中，我们从周期性现象的原型出发，通过数学的抽象，将周期性变化的“过程”凝聚为三角函数这一新的数学“对象”，并从函数的角度初步探讨了这一数学模型的性质，从而完成了数学建构活动的第一步．我们知道，研究一个数学对象，就要研究它的运算，这是数学研究的一般程序．因此，建立了三角函数这一数学模型之后，研究它的运算就是顺理成章的事了．在本章中，我们将把三角函数这一数学模型当成是新的“对象”，重点研究三角函数的运算，这实际上是对三角函数学习的继续和深化，也是有效地发挥三角函数的工具价值的基础．2．本章具体的教学目标是：（1）通过推导两角差的余弦公式，以及两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式以及积化和差、和差化积、半角公式的过程，让学生在经历和参与数学发现活动的基础上，体验数学的发现与创造过程，体会向量与三角函数的联系、三角恒等变换公式之间的联系，理解并掌握三角变换的基本方法，发展学生的运算能力和推理能力．（2）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，能正确运用这些公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式证明．教材解读：1．在教科书中，三角变换的教学是放在对周期现象进行研究的大背景下进行的．课本对于周期性变化的研究，是按照数学研究的一般程序进行的（如图）本章就是对“对数学模型进行研究”的一部分，是第1章的继续和深入．2．为了突出三角函数是描述周期变化的数学模型这一本质，教科书为三角变换的教学提供了问题背景．首先，课本在引言中从周期运动叠加的角度提出三角变换的课题，引发了对三角变换的讨论，在得到和差角公式等具体的成果之后，又以《链接》的形式，利用这些成果，回答了引现实世界中的问题建立数学模型对数学模型进行研究利用数学模型解决问题言中的问题，给出了“任意的正（余）弦函数的叠加函数都可以表示为Asin（x + φ）的形式，且周期不变．”的结论．这样的安排不仅使本章构成了一个相对完整的数学发现和应用的案例，而且深化了学生对三角函数是刻画周期性变化的重要的数学模型的认识．这样的安排，有助于学生从总体上理解三角变换．3．本章引言起到了承上启下的作用．在第1章，我们以最基本最简单的周期性运动（圆周运动）为原型，建立了新的数学模型：三角函数，并通过对三角函数的研究，证实了三角函数具有我们希望它具有的周期性，但是严格地说，为了让学生建立起三角函数是“刻画周期性变化的重要的数学模型”这一基本的认识，还需要有更多的案例来支持！引言中提出的“周期性运动的叠加”就是这样一个典型的案例！在这个案例中，学生看到了两个周期性运动的叠加．从直觉上看，学生可以断言，运动叠加的结果应该是周期性运动！因此，如果三角函数真的是刻画周期性变化的数学模型的话，运动的过程就应该能用三角函数来表达！这就是引言中的猜想：“对于函数y＝sin x＋cos x 我们猜想它仍然表示一个简谐振动，即sin x＋cos x能够恒等变形为A sin（ωx＋φ）的形式．”正是这个猜想的指引下，三角变换的研究顺理成章地展开了！这样的安排，可以使学生体会到三角变换不仅仅是形式的变换，而是对三角函数研究的继续和深化．4．本章三角变换的公式形成了一个类似于公理体系的演绎的知识结构，而这个知识体系是借助于“运算”的方式建立的．从本源看，三角变换公式都是由三角函数定义推出的逻辑结论（因而定义可以看成“公理”），三角变换公式（可以看成是“定理”）之间又存在着紧密的逻辑联系，公式的推导过程正是揭示其联系的过程．在课本中，三角变换的公式都是由余弦的差角公式借助于三角函数的运算推导出来的，这可以让学生认识到，运算是演绎推理的重要形式，体会到运算在探索、发现数学结论，建立数学知识体系中的作用．5．注意从运算的角度看待三角变换．把三角变换看成是三角函数的运算．这样就使的三角变换和运算（包括向量的运算）发生了联系．在教科书中，三角变换的公式都是通过运算的方法推导和证明的．而在 3.3几个三角恒等式中，教科书更正面地从运算的角度提出和差化积、积化和差的研究课题．6．注意突出向量和三角函数的联系．教科书利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，并由此公式作为出发点，推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式．其中余弦公式的推导是整个推导过程的基础，也是教学的重点和难点．教科书除了在正文中用向量的方法推导出余弦的差角外，还通过思考、习题等形式，给出了多种下同的推导方法．这样做不仅有利于揭示知识间的内在联系，而且为学生的思维活动留下了足够的空间．教学方法与教学建议：1.在传统的教学中，往往把三角变换单纯地视为基本的技能训练，强调反复的练习和操作，强调三角变换的具体方法和技巧，造成了公式头绪多，练习习题难，技巧方法刁的现象．和过去相比，在教学中应该更重视公式的发现和推导过程，重视学生在三角变换中的思维过程，重视这些过程中的思维活动，和指导这些活动的思想方法．2.本章中的三角变换公式都是由余弦的差角公式推导出来的，化归思想是推导这些公式的主导思想．在教学中，不任是在推导公式时，还是在应用公式时，都应该自始至终地贯彻这一思想．。

江苏省常州市西夏墅中学高中数学 3.3 几个三角恒等式教案新人教版必修4

江苏省常州市西夏墅中学高中数学 3.3 几个三角恒等式教案新人教版必修4教学目标：1. 能运用两角和的正弦、余弦、正切公式、二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换(包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆). 揭示知识背景，培养学生的应用意识与建模意识.2. 能够推导“和差化积”及“积化和差”公式，并对此有所了解.3. 通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．教学重点：三角恒等变形（梳理三角恒等变换公式体系，渗透观察、类比、推广、特殊化、化归等思想方法；熟练恒等变换公式，解决简单问题的应用）．教学难点:“和差化积”及“积化和差”公式的推导（公式推导，解决问题中观察、类比、推广、特殊化、化归等思想方法的渗透）．教学方法：讲练结合法．教学过程：一、问题情境请回忆两角和与差的余弦公式、正弦公式；问你能否用sin )(βα+与sin )(βα-表示sin α·cosβ和cos α·sin β？类似地能否用cos )(βα+与cos )(βα-来表示cos α·cos β和sin α·sin β？二、建构数学和差化积与积化和差公式的推导sin sin 2sin cos 333πππααα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭问题：右边的两个角如何用左边的两个角表示？引导学生观察等式两边角度之间的关系，右边的两个角分别是左边两个角的和、差的一半.问题：通过类比，对任意两个角，sin sin x y +应该等于什么？运用已知的公式加以推导验证．sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+ sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-两式相加得：sin()sin()2sin cos αβαβαβ++-= (1)设x αβ+=，y αβ-=，则2x y α+=，2x yβ-=，公式(1)可以写成： sin sin 2sin cos 22x y x yx y +-+=公式(1)实际上还可以变形成1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-两角的正弦与余弦的乘积可以转化成另两个角的正弦的和．让学生通过类比，猜测任意两个角的其它三角函数的积、和的规律并在下一步加以证明．回忆两角和与差的三角函数公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+ sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-由公式（1）的推导过程，请学生进行类比，写出所有的积化和差的公式：1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--再通过换元，请学生自行整理和差化积公式．sin sin 2sincos 22x y x yx y +-+= sin sin 2cos sin 22x y x yx y +--=cos cos 2cos cos 22x y x yx y +-+=cos cos 2sin sin 22x y x yx y +--=-这组公式称为和差化积公式，其特点是同名的正（余）弦才能使用，它与积化和差公式相辅相成，配合使用．利用四个和差化积的公式和其他三角函数关系式，我们可以把某些三角函数的和差化成积的形式．三、数学应用 1.例题．例1 证明下列各式：2tan 12tan2tan ,2tan 12tan 1cos ,2tan 12tan2sin 2222ααααααααα-=+-=+=证明：（1）2tan 12tan22cos 2sin 2cos 2sin21sin sin 222α+α=α+ααα=α=α （2）2tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 1cos cos 222222α+α-=α+αα-α=α=α （3）2tan 12tan22sin 2cos 2cos 2sin 2cos sin tan 222α-α=α-ααα=αα=α 例2 求证：)60sin()60sin(sin 43sin αααα+︒-︒=解后提出下面两个恒等式：)60cos()60cos(cos 43cos αααα+︒-︒=；)60tan()60tan(tan 43tan αααα+︒-︒=．例3 已知的值求x x x x 33cos sin ,21cos sin -=-．例4 求证：ααααα2cos cos 3cos sin 3sin 333=+证明：左边 = (sin3sin)sin2+ (cos3cos )cos2=21(cos4 cos2)sin 2 + 21(cos4 + cos2)cos 2= 21cos4sin 2 +21cos2sin 2 +21cos4cos 2+21cos2cos2= 21cos4cos2 + 21cos2 = 21cos2(cos4 + 1)= 21cos22cos 22 = cos 32 = 右边 ∴原式得证.2. 练习．（1）证明)24tan(cos sin 1xx x +=+π（2）已知cos cos = 21，sin sin = 31-，求sin( + )，tan( + )的值．四、小结1. 本节重点学习了两组公式，不要求记住这两组公式，但要学会运用这些公式进行三角函数和差与积的互化，并能够运用公式解决求值、化简和证明等问题．2. 化积的问题注意最后结果的形式要写成几个三角函数的积的形式．3. 推导公式的过程中用了换元法，这是一种很常用的方法，要注意该方法在解题中的应用．。

江苏省常州市西夏墅中学高中数学教案必修四：2.3.1 平面向量基本定理

教学目标：1．了解平面向量的基本定理及其意义；2．通过定理用两个不共线向量来表示另一向量或将一个向量分解为两个向量；3．能运用平面向量基本定理处理简单的几何问题．教学重点平面向量基本定理的应用；平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示．教学难点：平面向量基本定理的理解.教学方法：引导发现、合作探究.教学过程：一、创设情境，揭示课题问题1 研究火箭升空的某一时刻的速度．问题2 物理中的力的分解．二、学生活动1．火箭升空的某一时刻的速度可分解为在竖直向上和水平向前的分速度.2．l1→，l2→是两个不共线的向量，a是平面内的任一向量，如何将a分解到l1→，l2→方向上去？三、构建数学平面向量基本定理：探索（1）是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是惟一的？（2）对于平面上两个不共线向量1e r ，2e r，是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？教师引导学生分析设1e r ，2e r是不共线向量，a 是平面内任一向量．−→−OA =1e r −→−OM =1λ1e r −→−OC =a r =−→−OM +−→−ON =1λ1e r +2λ2e r−→−OB =2e r −→−ON =2λ2e r平面向量基本定理：如果1e r ，2e r是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a r ，有且只有一对实数1λ，2λ，使a r 1λ=1e r +2λ2e r．我们把不共线向量1e r 、2e r叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；这个定理也叫共面．．向量定理.注意：（1）1e r ,2e r均是非零向量，必须不共线．．．，则它是这一平面内所有向量的一组基底.（2）基底不唯一，当基底给定时，分解形式唯一；1λ，2λ是被a r ，1e r ，2e r 唯一确定的实数．（3）由定理可将任一向量a r 在给出基底1e r 、2e r的条件下进行分解；同一平面内任一向量．．．．都可以表示为两个不共线向量的线性组合. （4）20λ=时， a r 与1e r 共线；10λ=时，a r 与2e r 共线；120λλ==时，0a =r r．基底：我们把不共线的向量1e r ,2e r叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．正交分解：一个平面向量用一组基底1e r ,2e r 表示成a r 1λ=1e r +2λ2e r的形式，我们称它为向量a r 的分解，当1e r ,2e r 所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a r的正1e r2e ra COBAP交分解．思考平面向量基本定理与前面所学的向量共线定理，在内容和表述形式上有什么区别和联系？四、数学运用 1. 例题.例1 平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点M ，=−→−AB a r ,=−→−AD b r ,试用向量a r ,b r 表示−→−MA ,−→−MB ,−→−MC ,−→−MD ．例2 如图2-3-4，质量为m 的物体静止地放在斜面上，斜面与水平面的夹角为θ，求斜面对物体的磨擦力→f ．例3 已知向量12,e e r r，求作向量2.51e r ＋32e r作法：（1）取点O ，作−→−OA =251e r −→−OB ＝32e r ；（2）作OACB ，−→−OC 即为所求251e r ＋32e r．例4 设1e r ,2e r 是平面内的一组基底，如果−→−AB ＝31e r -22e r ，−→−BC ＝41e r ＋2e r ,−→−CD ＝81e r -92e r．求证：A ，B ，D 三点共线．变式设12,e e r r 是两个不共线的向量，已知−→−AB ＝21e r ＋k 2e r ,−→−CB ＝1e r ＋32e r ,−→−CD ＝21e r -2e r，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值．解 −→−BD ＝−→−CD=−→−CB (21e r -2e r )-(1e r ＋32e r )＝1e r -42e r,∵A ，B ，D 三点共线，∴−→−AB 与−→−BD 共线,即存在实数λ,使得−→−AB ＝λ−→−BD ，即是12122(4)e ke e e λ+=-r r r r.由向量相等的条件，得24k λλ=⎧⎨=-⎩ ，∴8k =-．例5 如图，−→−OA 、−→−OB 不共线，t AP =−→−−→−AB )(R t ∈,f －f Wθθ P用−→−OA 、−→−OB 表示−→−OP .变式1 如图,−→−OA ，−→−OB 不共线，P 点在AB 上，求证：存在实数1.=+μλμλ且使−→−−→−−→−+=OB OA OP μλ.变式2 设−→−OA ,−→−OB 不共线，点P 在O 、A 、B 所在的平面内，且−→−−→−−→−+-=OB t OA t OP )1()(R t ∈．求证：A 、B 、P 三点共线．2．巩固：教材P71练习．五、小结1．熟练掌握平面向量基本定理，平面向量基本定理的理解及注意的问题； 2．会应用平面向量基本定理.充分利用向量的加法、减法及实数与向量的积的几何表示．。

江苏省常州市西夏墅中学高中数学教案必修四：2.4 向量的数量积(1)

教学目标：1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解数量积的几何意义，掌握平面向量数量积的运算性质；2．通过知识发生、发展过程的教学，使学生感受和领悟”数学化”过程及思想；3．通过师生互动，自主探究，交流与学习，培养学生探求新知识及合作交流的学习品质．教学重点：向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；教学难点：向量数量积的含义、数量积的性质．教学方法：引导发现、合作探究．教学过程：一、问题情境问题1 向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量能否“相乘“呢？二、学生活动问题2 物理学中，物体所做的功的计算方法：θcos ||||→→=S F W （其中θ是→F 与→S三、建构数学问题3 求功的运算中可以抽象出什么样的数学运算？ 1．向量夹角．已知两个向量a r 和b r ，作−→−OA ＝a r ，−→−OB ＝b r ，则AOB θ∠=（0180θ≤≤o o ）叫SFθ做向量a r 与b r的夹角．当0θ=o时，a r 与b r同向；当180θ=o时，a r 与b r反向；当90θ=o时，a r 与b r 的夹角是90o，我们说a r 与b r 垂直，记作a r ⊥b r ．2．向量数量积的定义：已知两个非零向量a r 和b r ，它们的夹角为θ，则数量||||cos a b θ⋅⋅r r叫做a r 与b r 的数量积，记作a b ⋅r r ，即||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅r r r r．说明：①实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量，不是向量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关，符号由cos θ的符号所决定；实数与向量的积是一个向量；②两个向量的数量积称为内积，写成a b ⋅r r ；今后要学到两个向量的外积a r ×b r，书写时要严格区分．符号”·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用”×”代替；③零向量与任一向量的数量积是0；④在实数中，若a ≠0，且0=⋅b a ，则0=b ；但是在数量积中，若a r ≠0r ，且a b⋅r r＝0r ，不能推出b r ＝0r，因为其中cos θ有可能为0；3．数量积的性质：设a r 、b r 都是非零向量，θ是a r 与b r的夹角，则①cos ||||a ba b θ⋅=r rr r ；（|a r ||b r |≠0）②当a r 与b r 同向时，||||a b a b ⋅=r r r r ；当a r 与b r 反向时，||||a b a b ⋅=-r r r r ；特别地：2||a a a ⋅=r r r 或||a =r ③||||||a b a b ⋅≤r r r r ；④a b ⊥r r 0a b ⇔⋅=r r ；（a r ≠0r，b r ≠0r ）4．数量积的几何意义．（1）投影的概念：C如图，−→−OA ＝a r ，过点B 作1BB 垂直于直线OA ，垂足为1B ，则1||cos OB b θ=r．我们把||cos b θr（│a r │cos θ）叫做向量b r 在a r 方向上（a r 在b r 方向上）的投影，当θ为锐角时射影为正值；当θ为钝角时射影为负值；当θ为直角时射影为0；当θ＝0︒时射影为||b r；当θ＝180︒时射影为||b -r．（2）提出问题：数量积的几何意义是什么？期望学生回答：数量积a b ⋅r r 等于a r 的长度|a r |与b r 在a r 的方向上的投影|b r|αcos 的乘积．四、数学运用 1．例题．例1 判断正误，并简要说明理由． ①a r ·0r ＝0； ②0·a r ＝0r ； ③0r －−→−AB ＝−→−BA ； ④a b ⋅r r ＝|a r ||b r |； ⑤若a r ≠0r ，则对任一非零b r ，有a b ⋅r r≠0； ⑥a b ⋅r r ＝0，则a r 与b r 至少有一个为0r ；⑦对任意向量a r 、b r 、c r 都有(a b ⋅r r )·c r ＝a r·(b ⋅c r )；⑧a r 与b r 是两个单位向量，则a r 2＝b r 2例2 已知向量a r 与向量b r 的夹角为θ，|a r |＝2，|b r|＝3，分别在下列条件下求a b ⋅r r ：（1）0135=θ；（2）a r ∥b r ；（3）a r ⊥b r ．例3 已知正ABC ∆的边长为2，设−→−BC ＝a r ，−→−CA ＝b r ，−→−AB ＝c r ，求a b b c c a ⋅+⋅+⋅r r r r r r ．A B Ca rOAB b rθ 1B OABb ra r1 θ O A Bb r1()Bθ变式已知||3a =r ，||3b =r ，||23c =r，且0a b c ++=r r r r ，求a b b c c a ⋅+⋅+⋅r r r r r r ．2．巩固．（1）当a r 与b r 同向时，a b ⋅r r ＝___，当a r 与b r 反向时，a b ⋅r r＝___，特别地，a r ·a r __=，|a r|___=；（2）a r ⊥b r______⇔，____cos =θ；（3）已知|a r |＝10，|b r |＝12，且(3a r )·(51b r)36-=，则a r 与b r 的夹角是_____；（4）已知|a r |＝2，|b r |＝2，a r 与b r 的夹角为045，要使λb r -a r 与a r 垂直，____=λ；（5）已知|a r |＝4，|b r |＝3，①若a r 与b r 夹角为060，求(a r +2b r )·(a r -3b r )； ②若(2a r －3b r )·(2a r ＋b r )＝61，求a r 与b r 的夹角θ．五、回顾反思1．有关概念：向量的夹角、投影、向量的数量积；2．向量数量积的几何意义和物理意义； 3．向量数量积的六条性质．。

苏教版高中数学必修四常州西夏墅平面向量的坐标运算学案(1)

江苏省常州市西夏墅中学高一数学 2.3.2《平面向量的坐标运算（1）》学案教学目标：1．正确地用坐标表示向量，对起点不在原点的平面向量能利用与表示它的有向线段的起点坐标、终点坐标来表示；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；掌握平面向量与一对有序实数一一对应关系；2．能正确理解向量加、减法、数乘的坐标运算法则，会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；3．通过平面向量坐标表示及坐标运算法则的推导培养学生演绎、归纳、猜想的能力；通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力；借助数学图形解决问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力．教学重点：平面向量线性运算的坐标表示．教学难点：对平面向量的坐标表示的理解．教学方法：引导发现、合作探究．教学过程：一、创设情景，揭示课题复习平面向量基本定理：如果1e r ，2e r 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a r ，有且只有一对实数1λ,2λ使1212a e e λλ=+r r r其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合．二、学生活动提出问题：在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数(,)x y 表示，那么，每一个向量可否也用一对实数来表示？三、建构数学1．平面向量的坐标表示．如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量i r 、j r 作为基底．任作一个向量a r ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a r =x i r +y j r ．我们把),(y x 叫做向量a r 的（直角）坐标，记作a r ),(y x =其中x 叫做a r 在x 轴上的坐标，y 叫做a r 在y 轴上的坐标，说明：（1）对于a r ，有且只有一对实数),(y x 与之对应（2）相等向量的坐标也相同；（3）i r )0,1(=，j r )1,0(=，0r )0,0(=；（4）从原点引出的向量−→−OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标．问题：已知11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r ，你能得出a b +r r ，a b -r r ，λa r 的坐标吗？结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．2．向量的坐标计算公式：已知向量−→−AB ，且点11(,)A x y ，22(,)B x y ，求−→−AB 的坐标． −→−AB =−→−OB -−→−OA =-),(22y x ),(11y x 2121(,)x x y y =--结论：（1）一个向量的坐标等于表示它的有向线段的终点坐标减去始点坐标；（2）两个向量相等的充要条件是这二个向量的坐标相等．3．实数与向量的积的坐标：已知(,)a x y =r 和实数λ，则()(,)a xi y j xi y j x y λλλλλλ=+=+=r r r r r结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．4．由向量运算的结合律、分配律及数乘的运算律可得：（1）两个向量的和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；（2）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标；（3）一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．四、数学运用1. 例题.例1 如图，已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|=4 3 ，∠xOA =600．求向量OA →的坐标．例2 已知)4,3(),1,4(),3,1(),3,1(D C B A --，求向量−→−OA ，−→−OB ，−→−AO ，−→−CD 的坐标．例3 已知(2,1)a =r ，(3,4)b =-r ，求a b +r r ，a b -r r ，34a b +r r 的坐标．例4 用向量的坐标运算解2.3.1小节例2．例5 已知),(),,(222111y x P y x P ，P 是直线21P P 上一点，且λ=−→−P P 1−→−2PP )1(-≠λ，求点P 的坐标．例6 已知平行四边形ABCD 的三个顶点,,A B C 的坐标分别为(2,1)-，(1,3)-，(3,4)，求顶点D 的坐标．2. 巩固深化，反馈矫正.（1）已知向量2(3,34)a x x x =+--r 与−→−AB 相等，其中(1,2)A ，(3,2)B ，求x ；（2）已知),(),0,2(),3,2(),2,1(y x D C B A ---，且=−→−AC −→−BD 2，则____=+y x ；（3）已知)4,3(),1,3(),4,2(----C B A ，且3=−→−CM −→−CA ,=−→−CN −→−CB 2，求点M ,N 和−→−MN 的坐标；（4）已知点)3,2(),2,3(),1,2(),2,1(--D C B A ，请以−→−AB ,−→−AC 为一组基底来表示−→−AD +−→−BD +−→−CD ．五、小结1．正确理解平面向量的坐标意义；2．掌握平面向量的坐标运算；（向量加法运算、减法运算、实数与向量的积的坐标表示）； 3．能用平面向量的坐标及其运算解决一些实际问题．。

江苏省常州市西夏墅中学高中数学 1.1.1 任意角教案新人教版必修4

江苏省常州市西夏墅中学高中数学 1.1.1 任意角教案新人教版必修4教学目标：1．理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念；2．会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；3．掌握区间角的集合的书写．教学重点：任意角概念的理解；区间角的集合的书写；教学难点：终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写．教学方法：引导探究．教学过程：一、问题情境你的手表慢了5分钟，你是如何校准的呢？若你的手表快了1.25小时，你是如何校准的呢？当时间校准后，分针和时针分别转了多少度呢？二、学生活动1．初中角的概念是如何定义的呢?2．阅读体会：阅读教材P5前两段．3．讨论举例：请同学们举几个“大于360°的角或按不同方向旋转而成的角”的例子，说明什么问题？如何表示和区分这些角呢？三、建构数学1．引导学生用运动的观点定义角：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．2．角的分类：正角：按逆时针方向旋转形成的角．零角：射线没有任何旋转形成的角．负角：按顺时针方向旋转形成的角并引导学生注意：（1）在不引起混淆的情况下，“角α”或“∠α”可以简化成“α”；（2）零角的终边与始边重合，如果α是零角α＝0°；（3）角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角．3．象限角的概念：定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．4．介绍轴线角的概念；5．探究终边相同角之间的关系：探究：将角按照上述方法放在直角坐标系中后，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应．反之，对于直角坐标系中任意一条射线OB ，以它为终边的角是否唯一？若果不唯一，那么终边相同角有什么关系？结论：所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：{}Z k k ∈⋅+=,360|οαββ．四、数学应用1．例题．例1 在0°～360°间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．（1）120° （2）660° （3）-950°12′例2 （1）写出终边在y 轴非负半轴上的角的集合；（2）写出终边在y 轴非正半轴上的角的集合；（3）写出终边在x 轴非负半轴上的角的集合；（4）写出终边在x 轴非正半轴上的角的集合．例3 （1）用集合的形式表示终边落在第一象限的角（2）写出终边落在(0)y x x =±≥所夹区域内的角的集合2．练习．（1）钟表经过4小时，时针与分针各旋转和_______(填度数).（2）锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？直角和钝角是第几象限的角？小于90°的角是锐角吗？（3）一角为30°，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为____．若按顺时针方向旋转三周后呢？（4）在0度到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是哪个象限的角？① 650º②－150º③－990º15′五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1. 掌握正角，负角和零角的概念；2. 掌握象限角的概念，并会判断一个角是第几象限角；3. 掌握终边相同角的表示方法和判断方法．。

夏墅中学高中数学 2.3.2 平面向量的坐标运算(第1课时)教案新人教版必修4

某某省某某市西夏墅中学高中数学平面向量的坐标运算（第1课时）教案新人教版必修4教学目标：1．正确地用坐标表示向量，对起点不在原点的平面向量能利用与表示它的有向线段的起点坐标、终点坐标来表示；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；掌握平面向量与一对有序实数一一对应关系；2．能正确理解向量加、减法、数乘的坐标运算法则，会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；3．通过平面向量坐标表示及坐标运算法则的推导培养学生演绎、归纳、猜想的能力；通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力；借助数学图形解决问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力．教学重点：平面向量线性运算的坐标表示．教学难点：对平面向量的坐标表示的理解．教学方法：引导发现、合作探究．教学过程：一、创设情景，揭示课题复习平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ,2λ使1212a e e λλ=+．其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合．二、学生活动提出问题：在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数(,)x y 表示，那么，每一个向量可否也用一对实数来表示？三、建构数学1．平面向量的坐标表示．如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底．任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a ＝x i +y j ．我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作a ),(y x = 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，说明：（1）对于a ，有且只有一对实数),(y x 与之对应（2）相等向量的坐标也相同；（3）i )0,1(=，j )1,0(=，0)0,0(=；（4）从原点引出的向量−→−OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标．问题：已知11(,)a x y =，22(,)b x y =，你能得出a b +，a b -，λa 的坐标吗？结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．2．向量的坐标计算公式：已知向量−→−AB ，且点11(,)A x y ，22(,)B x y ，求−→−AB 的坐标．−→−AB ＝−→−OB －−→−OA ＝-),(22y x ),(11y x 2121(,)x x y y =--结论：（1）一个向量的坐标等于表示它的有向线段的终点坐标减去始点坐标；（2）两个向量相等的充要条件是这二个向量的坐标相等．3．实数与向量的积的坐标：已知(,)a x y =和实数λ，则()(,)a xi y j xi y j x y λλλλλλ=+=+=结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．4．由向量运算的结合律、分配律及数乘的运算律可得：（1）两个向量的和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；（2）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标；（3）一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．四、数学运用1. 例题.例1如图，已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝4 3 ，∠xOA ＝600．求向量OA →的坐标．例2已知)4,3(),1,4(),3,1(),3,1(D C B A --，求向量−→−OA ，−→−OB ，−→−AO ，−→−CD 的坐标．例3已知(2,1)a =，(3,4)b =-，求a b +，a b -，34a b +的坐标．例4用向量的坐标运算解小节例2．例5已知),(),,(222111y x P y x P ，P 是直线21P P 上一点，且λ=−→−P P 1−→−2PP )1(-≠λ，求点P 的坐标．例6 已知平行四边形ABCD 的三个顶点,,A B C 的坐标分别为(2,1)-，(1,3)-，(3,4)，求顶点D 的坐标．2. 巩固深化，反馈矫正.（1）已知向量2(3,34)a x x x =+--与−→−AB 相等，其中(1,2)A ，(3,2)B ，求x ；（2）已知),(),0,2(),3,2(),2,1(y x D C B A ---，且=−→−AC −→−BD 2，则____=+y x ；（3）已知)4,3(),1,3(),4,2(----C B A ，且3=−→−CM −→−CA ，=−→−CN −→−CB 2，求点M ，N 和−→−MN 的坐标；（4）已知点)3,2(),2,3(),1,2(),2,1(--D C B A ，请以−→−AB ，−→−AC 为一组基底来表示−→−AD ＋−→−BD ＋−→−CD ．五、小结1．正确理解平面向量的坐标意义；2．掌握平面向量的坐标运算；（向量加法运算、减法运算、实数与向量的积的坐标表示）；3．能用平面向量的坐标及其运算解决一些实际问题．。

江苏省常州市西夏墅中学2014-2015学年高一数学(新人教A版必修四)教案第2章《平面向量》

目标定位：向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景．在本章中，学生将了解平面向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量的语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力．这部分内容的教育价值主要体现在以下几个方面．1．通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量以及向量相等的含义，理解向量的几何表示．2．掌握平面向量的加法、减法和向量数乘的运算，并理解其几何意义，理解两个向量共线的含义．3．了解平面向量基本定理及其意义，理解平面向量的正交分解及其坐标表示，掌握平面向量的坐标运算，理解用坐标表示的平面向量共线的条件．4．通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义，体会向量的数量积与投影间的关系，掌握数量积的坐标表达式，会用平面向量的数量积解决有关角度和垂直的问题．5．经历向量(及其运算)的建构的过程，以及用向量方法解决某些简单的实际问题(几何问题、力学问题等)的过程，了解向量的实际背景，理解向量及其运算的意义，并从中了解到数学和现实世界的深刻联系，体会数学研究方法的模式化特点，感受理性思维的力量，培养学生的理性思维的能力、运算能力和解决实际问题的能力．教材解读：向量既是重要的数学模型，又是重要的物理模型．是刻画和描绘现实世界的重要数学模型．数学模型是从现实原型中抽象出来的，它高于原型，可用于研究和解决包括原型在内的更加广泛的一类问题．学习数学模型的最好方法是经历数学建模过程，即“问题情景—建立模型—解释、应用与拓展”．本章立足于现实生活，根据学生的生活经验，创设丰富的情境，从大量的实际背景中抽象出向量的概念(数学模型)，然后用数学的方法研究向量及其运算的性质，再运用数学模型去解决实际问题．这样处理体现了数学知识产生和发展的过程，突出了数学的来龙去脉，有助于学生理解数学的本质，形成对数学完整的认识，达到培养学生的创新思维和理性思维的目的．力、速度、位移等在实际生活中随处可见，这些都是向量的实际背景，也可以用向量加以刻画和描述．本章突出向量的实际背景与应用，这样有助于学生认识到向量与实际生活的紧密联系，以及向量在解决实际问题中的广泛应用，从中感受数学的价值，学会用数学的思维方式去观察、分析现实世界，去解决日常生活和其他学科学习中的问题，发展数学应用意识．向量作为代数对象，可以如同数和字母一样进行运算．运算对象的不断扩展是数学发展的一条重要线索．数的运算，字母运算，向量运算，函数运算，映射、变换、矩阵运算等都是数学中的基本运算．从数的运算、字母运算到向量运算，是运算的一次飞跃，向量运算使运算对象从一元扩充到多元，对于进一步理解其它数学运算具有基础作用．本章要求学生掌握向量的线性运算(加、减、数乘)和数量积的运算，有助于学生体会数学运算的意义，感悟运算、推理在探索和发现数学结论，以及建立数学体系中的作用，发展学生的运算能力和推理能力，提高学生的数学素养．“平面向量”的主背景源于前一章“三角函数”，仍然从圆周上一点的表示(r，θ)出发，导出“既要考虑大小(r)，又要考虑方向(θ)”；而自然界广泛地存在着“既要考虑大小，又要考虑方向”的现象，如力、速度．接着提出问题：用什么样的数学模型来刻画力、速度这样的量；这就明确了任务：建构这样的数学模型，同时也指明了教学起点：对向量的数学(分析)研究．另外，本章特别注意从丰富的物理背景和几何背景中引人向量概念．本章的章头图中，矫健的银燕连同它身后的航迹，像利箭直插天穹．它使人联想到下面的问题：怎样表示运动物体的位移和速度呢？于是建构向量的思维活动就此展开了．引言(章首语)首先说明了本章的研究课题是前一章“三角函数”研究内容的拓展．三角函数可以看成是圆周上一点P绕圆周运动的数学模型，而向量则是为了刻画更一般的运动而建立的数学模型．这时，只有同时考虑点P的方向和大小才能确定点P的位置．接着引言又指出，在生活中，既有大小又有方向的量是很多的，如位移、速度、力等等都是．这样就从知识结构和现实生活两个方面为向量的研究提供了广阔的背景．在此基础上，引言提出了问题：用什么样的数学模型来刻划位移、速度、力这样的量？这个数学模型有什么性质与应用？这就是本章的中心问题，也是本章的知识增长点．与“函数”、“三角函数”类似，本章也是对一种数学模型的研究．教材是按照对数学模型研究的一般程序即“建构模型——研究模型——应用模型”的顺序展开的．这样的顺序不仅符合向量知识的发展过程，而且可以唤起学生在“函数”、“三角函数”学习中获得的经验，有助于发挥学生在学习中的主动权．本章也起到了承前启后的作用，在延伸“三角函数”的同时，为“三角恒等变换”作好铺垫．例如，教材P81就安排了这样的习题：“设向量a = (cos75︒，sin75︒)，b = (cos15︒，sin15︒)，试分别计算a⋅b=|a||b|cosθ及a⋅b=x1x2+y1y2．比较两次计算的结果，你能发现什么？”在第1章“三角函数”中，我们迈出了对周期现象研究的第一步：建立了一种描述和刻划周期现象的重要的数学模型，并初步探讨了它的性质．而在第3章“三角恒等变换”中，我们又将以向量为工具来进一步探讨三角函数的性质．因此，从整体上看，“平面向量”的学习应该放在对周期性现象的研究这一大背景下进行．这样可以更好地体现向量这工具价值．本章内容的处理，从具体的生活、实践问题入手，以问题为背景，按照“问题情境——数学活动——意义建构——数学理论——数学应用——反思”的顺序结构，激发学生开展活动，结合实验、观察、思考、归纳、抽象、概括、运用，力求使学生对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和做出判断，数学地提出、分析和解决问题(包括简单的实际应用问题)．在学习向量时或在学习向量后，要有意识地将向量与三角恒等变形、与几何、与代数之间的相应内容进行有机的联系，并通过比较和感受向量在处理三角、几何、代数等各不同数学分支问题中的独到之处和桥梁作用，认识数学的整体性．这样，有助于学生认识数学内容之间的内在联系，体验数学的发现与创造过程．教学方法与教学建议：向量既是代数的对象，又是几何的对象．作为代数对象，向量可以运算．作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线、平面、角度等几何对象；向量有大小，可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题．向量由大小和方向两个因素确定，大小反映了向量“数”的特征，方向反映了向量“形”的特征，是数学中数形结合思想的典型体现．教学中应加强几何直观，突出几何直观对理解抽象数学概念的作用．要强调向量概念的几何背景，理解向量运算(加、减、数乘、数量积)及其性质的几何意义．在教学中要突出数形结合思想，注意从形和数两个方面来理解、研究向量及其运算．教学中应强调数学建模．所谓数学模型，是指针对或参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化的数学语言，概括地或近似地表示出来的一种数学结构．教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察，分析和比较，得出抽象的数学模型，从而使数学的学术形态转化为学生易于接收的教育形态．例如，物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念都是向量概念的原型，物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型．同时，注重向量模型的运用，引导现实地解决一些物理和几何问题．这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用．在向量概念教学中，应根据学生的生活经验，创设丰富的情境．例如，物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念都是向量概念的原型，物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型．教学中要展现并让学生经历这个抽象的过程．同时，注重向量模型的运用，引导现实解决一些物理和几何问题．这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用．与数学中的概念一样，数学对象的运算也是一种数学模型，它也有一个建构的过程，它同样是从原型中抽象出来的．如向量的加法就是从位移的积累，从分力和合力的关系中抽象出来的．特别地，向量的数量积是以作功为原型抽象出来的．教学中要特别重视向量的运算．运算是向量的核心内容，要根据现实的原型，自觉地“构造”运算．虽然学生对运算并不陌生，但是，在此之前他们接触的运算只有数的运算、字母(式)的运算(还有集合的运算)．现在要学习向量的运算，这对于运算的理解有一个突破．要多注意和数的运算进行类比，这样既可以有效地利用有关数的运算的经验，而且可以发展对运算的认识．例如：在定义了运算以后，和数进行类比(对比)，研究向量的运算(加、减、数乘等等)和它们满足的运算律，探讨运算的应用，就都是很自然的了．向量的平行条件可以与直线平行条件的类比，这样可以加深学生对知识的理解．。

江苏省常州市西夏墅中学高中数学教案必修四：

肖岗自主梳理1．正弦函数（或余弦函数）的概念任意给定一个实数x ，有唯一确定的值x sin （或x cos ）与之对应，由这个对应法则所确定的函数x y sin =（或x y cos =）叫做正弦函数（或余弦函数），其定义域为。

2．正弦曲线或余弦曲线正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做和。

3．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：（1）正弦函数[]π2,0,sin ∈=x x y 的图象中，五个关键点是：，，，。

（2）余弦函数[]π2,0,cos ∈=x x y 的图象中，五个关键点是：，，，。

预习检测1、函数)3sin(π+=x y 的定义域为____________________；值域为____________________；2、函数)3cos(2π-=x y 的定义域为__________________；值域为____________________；互动课堂问题探究1：【例】作出函数x y cos 31-1=在]2,2[ππ-上的图像；【变式】)23sin(π+=x y ；问题探究2：【例】已知]23,2[ππ-∈x ，解不等式23sin -≥x【变式】已知R x ∈，解不等式23sin -≥x ；问题探究3：【例】求下列函数的值域：（1）x x y sin |sin |+=（2）]6,6[),32sin(2πππ-∈+=x x y （3）1cos 2cos --=x x y 【变式】求函数],3[,1sin 4sin 32ππ∈+-=x x x y 的值域；问题探究4：【例】（1）讨论方程x x sin lg =解的个数；（2）若函数]2,0[|,sin |2sin )(π∈+=x x x x f 与直线k y =有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围；【变式】当k 为何值时，方程k x x =+|sin |2sin 有一解、三解、四解？。

江苏省常州市西夏墅中学2014-2015学年高一数学(新人教A版必修四)教案第1章《三角函数》

高中数学 1.3.4 三角函数的应用(第2课时)教案 新人教版必修4

高一数学必修四教案 高一数学必修四教案人教版(优秀5篇)