[推荐学习]高考数学深化复习+命题热点提分专题03不等式与线性规划理

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2019-2020年高考数学二轮复习专题1 高考客观题常考知识第3讲不等式与线性规划理

2019-2020年高考数学二轮复习专题1 高考客观题常考知识第3讲不等式与线性规划理不等式的解法1.设f(x)=则不等式f(x)<2的解集为( B )(A)(,+∞) (B)(-∞,1)∪[2,)(C)(1,2]∪(,+∞) (D)(1,)解析:原不等式等价于或即或解得2≤x<或x<1.故选B.2.(xx山东卷)若函数f(x)=是奇函数,则使f(x)>3成立的x的取值范围为( C )(A)(-∞,-1) (B)(-1,0)(C)(0,1) (D)(1,+∞)解析:f(-x)==,由f(-x)=-f(x)得=-,即1-a·2x=-2x+a,化简得a·(1+2x)=1+2x,所以a=1.f(x)=.由f(x)>3,得0<x<1,故选C.3.(xx陕西西安市模拟)关于x的不等式x2-2ax-3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=12,则实数a的值等于.解析:因为关于x的不等式x2-2ax-3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2),所以x1+x2=2a,x1·x2=-3a2,又x2-x1=12,(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1·x2,所以144=4a2+12a2=16a2,解得a=±3,因为a<0,所以a=-3.答案:-3简单的线性规划问题4.(xx北京卷)若x,y满足,则z=x+2y的最大值为( D )(A)0 (B)1 (C) (D)2解析:由x,y的约束条件可画出可行域(如图所示),其中A（,）,B(0,1),易知直线x+2y-z=0经过点B(0,1)时,z取最大值2,故选D.5.(xx浙江温州市第二次适应测试)若实数x,y满足不等式组且z=y-2x的最小值等于-2,则实数m的值等于( A )(A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2解析:由z=y-2x,得y=2x+z,作出不等式对应的可行域,平移直线y=2x+z,由平移可知当直线y=2x+z经过点A时,直线y=2x+z的截距最小,此时z取得最小值为-2, 即y-2x=-2,由解得即A(1,0),点A也在直线x+y+m=0上,则m=-1.故选A.6.(xx贵州遵义市第二次联考)若则目标函数z=的取值范围是( A )(A)[2,5] (B)[1,5] (C)[,2] (D)[2,6]解析:z==1+2,可理解为求斜率的最值问题,画出可行域如图阴影部分,可知k=在(1,2)点处最大,最大为2;在(2,1)点处最小,最小为,所以z的取值范围为[2,5].故选A.7.(xx河南开封市模拟)设不等式组表示的平面区域为D,若指数函数y=a x的图象上存在区域D上的点,则a的取值范围是.解析:作出区域D的图象,联系指数函数y=a x的图象,能够看出,当图象经过区域的边界点C(2,9)时,a可以取到最大值3,而显然只要a大于1,图象必然经过区域内的点.则a的取值范围是1<a≤3.答案:(1,3]基本不等式的应用8.(xx甘肃省河西五地市高三第一次联考)函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A 在直线mx+ny-1=0(mn>0)上,则+的最小值为( B )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A(1,1),又点A在直线mx+ny-1=0(mn>0)上,所以m+n=1,所以+=(m+n)(+)=2++≥2+2=4,当且仅当m=n=时取等号.故选B.9.(xx河南郑州市第一次质量预测)某三棱锥的三视图如图所示,且三个三角形均为直角三角形,则xy的最大值为( C )(A)32 (B)32 (C)64 (D)64解析:设该三棱锥的高为h,由三视图知,两式相减并整理得x2+y2=128.又因为xy≤==64(仅当x=y时取等号).10.(xx广东深圳市第一次调研考试)已知向量a=(-1,1),b=(1,)(x>0,y>0),若a⊥b,则x+4y的最小值为.解析:由a⊥b得-1+=0,+=1,(x+4y)·(+)=5++≥2+5=9.（当且仅当=时取等号）答案:9一、选择题1.(xx四川资阳市三模)已知loa<lob,则下列不等式一定成立的是( A )(A)（）a<()b (B)>(C)ln(a-b)>0 (D)3a-b<1解析:因为y=lox是定义域上的减函数,且loa<lob,所以a>b>0.又因为y=()x是定义域R上的减函数,所以()a<()b;又因为y=x b在(0,+∞)上是增函数,所以（）b<（）b;所以（）a<（）b,选项A正确.2.(xx湖南卷)若变量x,y满足约束条件则z=3x-y的最小值为( A )(A)-7 (B)-1 (C)1 (D)2解析:画出可行域如图所示.当直线y=3x-z过点C(-2,1)时,z取最小值,故z min=3×(-2)-1=-7.故选A.3.(xx广西柳州市、北海市、钦州市1月份模拟)设变量x,y满足约束条件则z=2x×的最小值为( B )(A) (B) (C) (D)解析:可得z=2x-2y,设m=x-2y,不等式组表示的平面区域如图阴影部分,平移直线l:y=x,由图象可知直线l经过点A时,其截距最大,m最小,z最小,解方程组得A(2,2),则z最小=.4.(xx江西南昌市第一次模拟)已知实数x,y满足若目标函数z=2x+y的最大值与最小值的差为2,则实数m的值为( C )(A)4 (B)3 (C)2 (D)-解析:作出可行域如图,根据目标函数的几何意义可转化为直线y=-2x+z的截距,可知在N点z取最小值,在M点z取最大值.因为N(m-1,m),M(4-m,m),所以z M-z N=2(4-m)+m-2(m-1)-m=10-4m=2,所以m=2.5.(xx甘肃省河西五地市高三第一次联考)已知集合{(x,y)|}表示的平面区域为Ω,若在区域Ω内任取一点P(x,y),则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为( D )(A) (B) (C) (D)解析:作出不等式组对应的平面区域如图,则对应的区域为△AOB.由解得即B(4,-4).由解得即A（,）.直线2x+y-4=0与x轴的交点坐标为(2,0),则△OAB的面积S=×2×+×2×4=.点P的坐标满足不等式x2+y2≤2区域面积S=×π×()2=,由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为=.故选D.6.(xx陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( D )甲乙原料限额A(吨) 3 2 12B(吨) 1 2 8解析:设该企业每天生产甲产品x吨,乙产品y吨,每天获得的利润为z万元,则有z=3x+4y,由题意得x,y满足不等式组表示的可行域是以O(0,0),A(4,0),B(2,3),C(0,4)为顶点的四边形及其内部.根据线性规划的有关知识,知当直线3x+4y-z=0过点B(2,3)时,z取最大值18,故该企业每天可获得最大利润为18万元.故选D.7.设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(),q=f(),r=[f(a)+f(b)],则下列关系式中正确的是( C )(A)q=r<p (B)q=r>p(C)p=r<q (D)p=r>q解析:由题意得p=ln ,q=ln ,r=(ln a+ln b)=ln =p,因为0<a<b,所以>,所以ln >ln ,所以p=r<q.故选C.8.(xx四川南充市第一次高考适应性考试)若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)满足约束条件且最大值为40,则+的最小值为( B )(A) (B) (C)1 (D)4解析:不等式表示的平面区域为如图阴影部分,当直线z=ax+by(a>0,b>0)过直线x-y+2=0与直线2x-y-6=0的交点(8,10)时,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值40,即8a+10b=40,即4a+5b=20,而+=(+)=+(+)≥+1=.故选B.9.(xx山东卷)已知x,y满足约束条件当目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值2时, a2+b2的最小值为( B )(A)5 (B)4 (C) (D)2解析:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,根据目标函数的几何意义可知,目标函数在点A(2,1)处取得最小值,故2a+b=2.法一将2a+b=2两边分别平方得4a2+b2+4ab=20,而4ab=2×a×2b≤a2+4b2,当且仅当a=2b, 即a=,b=时取等号.所以20≤4a2+b2+a2+4b2=5(a2+b2),所以a2+b2≥4,即a2+b2的最小值为4.故选B.法二将2a+b=2看作平面直角坐标系aOb中的直线,则a2+b2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方,故其最小值为坐标原点到直线2a+b=2距离的平方,即()2=4.故选B.10.(xx重庆卷)若不等式组表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m的值为( B )(A)-3 (B)1 (C) (D)3解析:作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,由图可知,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则m>-1.由解得即A(1-m,1+m).由解得即B(-m,+m).因为S△ABC=S△ADC-S△BDC=(2+2m)[(1+m)-(+m)]=(m+1)2=,所以m=1或m=-3(舍去),故选B.11.(xx四川宜宾市二诊)已知集合A={x∈R|x4+mx-2=0},满足a∈A的所有点M(a,)均在直线y=x的同侧,则实数m的取值范围是( A )(A)(-∞,-)∪(,+∞)(B)(-,-1)∪(1,)(C)(-5,-)∪(,6)(D)(-∞,-6)∪(6,+∞)解析:因为集合A={x∈R|x4+mx-2=0},所以方程的根显然x≠0,原方程等价于x3+m=,原方程的实根是曲线y=x3+m与曲线y=的交点的横坐标,而曲线y=x3+m是由曲线y=x3向上或向下平移|m|个单位而得到的,若交点(x i,)(i=1,2)均在直线y=x的同侧,因直线y=x与y=交点为(-,-),(,);所以结合图象可得或解得m>或m<-.故选A.12.已知函数f(x)=x+sin x(x∈R),且f(y2-2y+3)+f(x2-4x+1)≤0,则当y≥1时,的取值范围是( A )(A)[,] (B)[0,] (C)[,] (D)[0,]解析:因为f(-x)=-x+sin(-x)=-f(x),且f′(x)=1+cos x≥0,所以函数f(x)为奇函数,且在R上是增函数.所以由f(y2-2y+3)+f(x2-4x+1)≤0,得f(y2-2y+3)≤f(-x2+4x-1),所以y2-2y+3≤-x2+4x-1,即(x-2)2+(y-1)2≤1,其表示圆(x-2)2+(y-1)2=1及其内部.表示满足的点P与定点A(-1,0)连线的斜率.结合图形分析可知,直线AC的斜率=最小,切线AB的斜率tan∠BAX=tan 2∠PAX===最大.故选A.二、填空题13.(xx江苏卷)不等式<4的解集为.解析:不等式<4可转化为<22,由指数函数y=2x为增函数知x2-x<2,解得-1<x<2,故所求解集为(-1,2).答案:(-1,2)14.(xx新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是.解析:由题意,得函数f(x)的草图如图所示.因为f(x-1)>0,所以|x-1|<2,所以-2<x-1<2,所以-1<x<3.答案:(-1,3)15.(xx合肥八中段考)若正数a,b满足a+2b=3,且使不等式+-m>0恒成立,则实数m的取值范围是.解析:不等式+-m>0恒成立,即3(+)>3m恒成立.又正数a,b满足a+2b=3,(a+2b)(+)=+++2≥,当且仅当a=b=1时取“=”,所以实数m的取值范围是(-∞,).答案:(-∞,)16.(xx浙江卷)已知函数f(x)=则f(f(-3))= ,f(x)的最小值是.解析:因为-3<1,所以f(-3)=lg[(-3)2+1]=lg 10=1,所以f(f(-3))=f(1)=1+-3=0.当x≥1时,f(x)=x+-3≥2-3(当且仅当x=时,取“=”),当x<1时,x2+1≥1,所以f(x)=lg(x2+1)≥0,又因为2-3<0,所以f(x)min=2-3.答案:0 2-3。

等式与不等式高考数学必刷真题分类大全-专题03

专题03等式与不等式考向一基本不等式的应用【母题来源】2022年新高考全国II 卷【母题题文】若x ，y 满足221+-=x y xy ，则（）A.1x y +≤B.2x y +≥- C.222x y +≤ D.221x y +≥【答案】BC【试题解析】因为22222a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭（,a b ÎR ），由221+-=x y xy 可变形为，()221332x y x y xy +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，解得22x y -≤+≤，当且仅当1x y ==-时，2x y +=-，当且仅当1x y ==时，2x y +=，所以A 错误，B 正确；由221+-=x y xy 可变形为()222212x y x y xy ++-=≤，解得222x y +≤，当且仅当1x y ==±时取等号，所以C 正确；因为221+-=x y xy 变形可得223124y x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，设cos ,sin 22y x y θθ-==，所以cos ,x y θθθ=+=，因此2222511cos sin cos 12cos 2333x y θθθθ=θ-θ+=++++42π2sin 2,23363θ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以当33,33x y ==-时满足等式，但是221x y +≥不成立，所以D 错误．故选：BC ．【命题意图】本题考查基本不等式及其应用，属于中高档题目．【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度有易有难，是历年高考的热点，考查学生的基本运算能力．常见的命题角度有：（1）利用不等式比较大小；（2）利用不等式求最值；（3）基本不等式成立的条件【得分要点】（1）对原不等式进行化简、变形；（2）符合基本不等式的条件“一正、二定、三相等”，用基本不等式求解；（3）判断等号成立的条件；（4）利用“1”的合理变换是解题.考向二线性规划【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）【母题题文】若x ，y 满足约束条件2,24,0,x y x y y +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最大值是（）A.2-B.4C.8D.12【答案】C【试题解析】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，转化目标函数2z x y =-为2y x z =-，上下平移直线2y x z =-，可得当直线过点()4,0时，直线截距最小，z 最大，所以max 2408z =⨯-=.故选：C.【命题意图】本题考查线性规划及其应用，属于比较容易题目．【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度较小，是历年高考的热点，考查学生的基本作图能力和运算能力．常见的命题角度有：（1）线性规划求最值；（2）利用线性规划求参数的值；【得分要点】1.正确画出可行域；2.确定目标函数平移的方向决定取得最大值或最小值一、单选题1．（河北省保定市2021-2022学年高二下学期期末数学试题）已知a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．22ac bc >B ．1ab>C ．22a b >D ．33a b >2．（2022·广东惠州·高三阶段练习）已知圆()()22124x y +++=关于直线10ax by ++=（0a >，0b >）对称，则12a b+的最小值为（）A ．52B ．9C ．4D ．83．（2022·四川达州·高一期末（理））已知实数x ，y 满足20,2,20x y x y +≥⎧⎪≥-⎨⎪++≤⎩，的最小值是（）A ．2B．CD ．4．（2022·江苏·宿迁中学高二期末）已知实数0,0x y >>满足x y xy +=，则4x y +的最小值为（）A ．8B ．9C ．7D ．105．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知正数m ，n 满足1m n +=，则1+m mn的最小值为（）A ．3B ．3+C．D ．3+6．（2022·江西吉安·高二期末（文））若关于x 的不等式2220ax ax --<恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[]2,0-B ．(]2,0-C ．()2,0-D ．()(),20,-∞-⋃+∞7．（2022·湖南·高二阶段练习）已知偶函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，若()()55f f =--，则满足()301f x x -≥+的x 的取值范围是（）A ．(](),18,-∞-⋃+∞B ．(],8∞-C ．(](),21,-∞-⋃-+∞D ．(](],21,8-∞-⋃-8．（2022·陕西·武功县普集高级中学一模（文））使不等式2(1)(2)0x x +->成立的一个充分不必要条件是（）A ．1x >-且2x ≠B ．13x -<<C ．1x <D ．3x >二、填空题9．（2022·四川泸州·三模（理））已知x 、y ∈R ，且224x y +=，给出下列四个结论：①2x y +≤；②1xy ≥；③23x y +≤；④448x y +≥．其中一定成立的结论是______(写出所有成立结论的编号)．10．（2022·上海市川沙中学高二期末）若关于x 的不等式223252x x m m -++<-有解，则实数m 的取值范围___________.11．（2022·浙江·镇海中学高二期末）已知实数20x y ≥>，0z >，则43223x y z xx y y z+++++的最小值为___________.12．（2020·云南德宏·高三期末（理））关于函数()()0bf x ax ab x=-≠有下列四个命题：①,a b R ∃∈，使()f x 关于y 轴对称．②,a b R ∀∈，都有()f x 关于原点对称．③,a b R ∃∈，使()f x 在⎛⎝上为减函数．④若0x <，,a b R ∃∈，使()f x 有最大值-其中真命题的序号是____________．三、解答题13．（2021·黑龙江·大庆外国语学校高二期末）设p ：实数x 满足()224300x ax a a -+≤>，q ：实数x 满足302x x -<-(1)若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．14．（2022·江西抚州·高二期中（文））已知a ，b 都是正数．(1)若1+=-a b 4+≥ab ；(2)当a b ¹时，证明：>15．（2022·四川巴中·高一期末（理））已知函数()22f x x ax =+-，()0f x >的解集为{1x x <-或}x b >．(1)求实数a 、b 的值；(2)若()0,x ∈+∞时，求函数()()4f x g x x+=的最小值．16．（2022·浙江舟山·高二期末）第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.本届奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目和自由式滑雪大跳台，延庆赛区承办雪车､雪橇及高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车､雪橇､高山滑雪和自由式滑雪大跳台之外的所有雪上项目，冬奥会的举办可以带动了我国3亿人次的冰雪产业，这为冰雪设备生产企业带来了新的发展机遇，某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产x 千件，需另投入成本()C x （万元）.经计算若年产量x 千件低于100千件，则这x 千件产品成本21()1011002C x x x =++；若年产量x 千件不低于100千件时，则这x 千件产品成本4500()120540090C x x x =+--.每千件产品售价为100万元，为了简化运算我们假设该企业生产的产品能全部售完.(1)写出年利润L （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？一、单选题1．（河北省保定市2021-2022学年高二下学期期末数学试题）已知a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．22ac bc >B ．1ab>C ．22a b >D ．33a b >【答案】D 【解析】【分析】可以利用特殊值进行排除，以及利用不等式的性质进行判断.【详解】当0c =时，22ac bc =，则A 错误；当0b <时，1ab<，则B 错误；当0a b >>时，22a b <，则C 错误；当0a b >>时，33a b >，当0a b >≥时，33330a b a b >≥⇒>，当0b a <≤时，()()3333330a b a b a b a b ≤-<-⇒-<-⇒--⇒，则D 正确.故选：D.2．（2022·广东惠州·高三阶段练习）已知圆()()22124x y +++=关于直线10ax by ++=（0a >，0b >）对称，则12a b+的最小值为（）A ．52B ．9C ．4D ．8【答案】B 【解析】【分析】由题可得()210,0a b a b +=>>，然后利用基本不等式即得.【详解】圆()()22124x y +++=的圆心为()1,2--，依题意，点()1,2--在直线10ax by ++=上，因此210a b --+=，即()210,0a b a b +=>>，∴()1212222225529b a b a a b a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当22b a a b =，即13a b ==时取“=”，所以12a b+的最小值为9.故选：B.3．（2022·四川达州·高一期末（理））已知实数x ，y 满足20,2,20x y x y +≥⎧⎪≥-⎨⎪++≤⎩()()2211x y -+-的最小值是（）A ．2B ．22C 10D ．32【答案】B 【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，根据目标函数的几何意义即可求解最小值.【详解】根据约束条件，画出可行域（如图），()()2211x y -+-可看成可行域内的点(),x y 与定点()11，的距离，由图可知：当过点()11，的直线与20x y ++=垂直时，距离最小，此时最小距离为：=222故选：B4．（2022·江苏·宿迁中学高二期末）已知实数0,0x y >>满足x y xy +=，则4x y +的最小值为（）A ．8B ．9C ．7D ．10【答案】B 【解析】【分析】利用基本不等式“1”的代换求4x y +的最值，注意等号成立条件.【详解】由题设，111x y+=，所以11444(4)(5529y x y xx y x y x y x y x y+=++=++≥+⋅=，当且仅当33,2x y ==时等号成立，所以4x y +的最小值为9.故选：B5．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知正数m ，n 满足1m n +=，则1+m mn的最小值为（）A ．3B ．322+C ．32D ．323+【答案】B 【解析】【分析】化简1212()()3m m nm n mn n m n m+=++=++，再利用基本不等式得解.【详解】解：由题得12212()33+22m m m n m n m nm n mn mn mn n m n m++++===++=++≥（当且仅当21,22m n -=.故选：B6．（2022·江西吉安·高二期末（文））若关于x 的不等式2220ax ax --<恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[]2,0-B ．(]2,0-C ．()2,0-D ．()(),20,-∞-⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】讨论0a =和0a <两种情况，即可求解.【详解】当0a =时，不等式成立；当0a ≠时，不等式2220ax ax --<恒成立，等价于()()20,2420,a a a <⎧⎪⎨∆=--⨯-<⎪⎩20a ∴-<<．综上，实数a 的取值范围为(]2,0-．故选：B ．7．（2022·湖南·高二阶段练习）已知偶函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，若()()55f f =--，则满足()301f x x -≥+的x 的取值范围是（）A ．(](),18,-∞-⋃+∞B ．(],8∞-C ．(](),21,-∞-⋃-+∞D ．(](],21,8-∞-⋃-【答案】D 【解析】【分析】先利用偶函数的性质得到()f x 在(],0-∞上单调递增，()()550f f =-=.把原不等式转化为()30,10,f x x ⎧-≥⎨+>⎩或()30,10,f x x ⎧-≤⎨+<⎩即可解得.【详解】因为偶函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，所以()f x 在(],0-∞上单调递增，且()()55f f =--，又()()55f f =-，所以()()550f f =-=.由()301f x x -≥+，得()30,10,f x x ⎧-≥⎨+>⎩或()30,10,f x x ⎧-≤⎨+<⎩所以535,10,x x -≤-≤⎧⎨+>⎩或3535,10,x x x -≤--≥⎧⎨+<⎩或解得18-<≤x 或2x -≤.故x 的取值范围是(](],21,8-∞-⋃-.故选：D.8．（2022·陕西·武功县普集高级中学一模（文））使不等式2(1)(2)0x x +->成立的一个充分不必要条件是（）A ．1x >-且2x ≠B ．13x -<<C ．1x <D ．3x >【答案】D【解析】【分析】求解已知不等式，从集合的角度，以及充分性和必要性的定义，即可选择.【详解】因为()220x -≥，故不等式2(1)(2)0x x +->的解集为{1x x -且2}x ≠，故不等式2(1)(2)0x x +->成立的一个充分不必要条件所构成的集合应是{1x x -且2}x ≠的真子集，显然，满足题意的只有{}3x x .故选：D.二、填空题9．（2022·四川泸州·三模（理））已知x 、y ∈R ，且224x y +=，给出下列四个结论：①2x y +≤；②1xy ≥；③23x y +≤；④448x y +≥．其中一定成立的结论是______(写出所有成立结论的编号)．【答案】①④【解析】【分析】利用基本不等式可判断①和④，取特殊值x ＝0、y ＝2log 3可判断②，取特殊值y ＝12可判断③．【详解】对于①，∵20,20x y >>，∴由224x y +=得，42222222x y x y x y +=+≥⋅=即422x y +≥2x y +≤(当且仅当1x y ==时取等号)，故①一定成立；对于②，当20,log x y ==3时，224x y +=成立，但1xy ≥不成立，故②不一定成立；对于③，当12y =时，由224x y +=得242x =，则132********xy +-=+-=>，即23x y +>，故③不一定成立；④将224x y +=两边平方得144216x y x y ++++=，∴144162x y x y +++=-，由①可知：131********x y x y x y x y +++++≤⇒++≤⇒≤=⇒-≥-11621688x y ++⇒-≥-=，∴448x y +≥，当且仅当1x y ==时取等号，因此④一定成立﹒故答案为：①④﹒【点睛】本题①和④利用基本不等式即可求解，需要熟练运用基本不等式求范围.对于②和③，取特殊值验算即可快速求解﹒10．（2022·上海市川沙中学高二期末）若关于x 的不等式223252x x m m -++<-有解，则实数m 的取值范围___________.【答案】()(),24,-∞-+∞ 【解析】【分析】根据题意可得()2min 23252x x m m -++<-，根据+≥-a b a b 可得()min23258x x -++=，代入求解．【详解】根据题意可得()2min 23252x x m m-++<-∵()()232523258x x x x -++≥--+=∴228m m ->，即2280m m -->，则4m >或2m <-故答案为：()(),24,-∞-+∞ ．11．（2022·浙江·镇海中学高二期末）已知实数20x y ≥>，0z >，则43223x y z xx y y z+++++的最小值为___________.【答案】1221【解析】【分析】依题意利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为20x y ≥>，0z >，所以43223x y z x x y y z +++++223223x y y z x x y y z +++=+++231223y z xx y y z +=++++23231112223223y z x y z xx y z x y z++≥++=+⋅=+++当"232,223,2223y z xx y x y z x y x y z +==⇒=+=+取等号“综上所述：43223x y z xx y y z+++++的最小值为12故答案为：1212．（2020·云南德宏·高三期末（理））关于函数()()0bf x ax ab x=-≠有下列四个命题：①,a b R ∃∈，使()f x 关于y 轴对称．②,a b R ∀∈，都有()f x 关于原点对称．③,a b R ∃∈，使()f x 在b a ⎛⎤⎝⎦上为减函数．④若0x <，,a b R ∃∈，使()f x 有最大值2ab -．其中真命题的序号是____________．【答案】②③④【解析】【分析】对①②，判断()f x 的奇偶性即可；对③④，根据对勾函数的性质判断即可；【详解】由题，因为()()bf x ax f x x-=-+=-，且0ab ≠，故()f x 为奇函数，①错②对；当0,0a b ><时，由对勾函数的性质，()b f x ax x =-在ba⎛ ⎝上为减函数，故③正确；又当0x <时，若0,0a b ><，则()f x 在b x a=2b b a ab a b a⎛=- ⎝-，故④正确；故答案为：②③④13．（2021·黑龙江·大庆外国语学校高二期末）设p ：实数x 满足()224300x ax a a -+≤>，q ：实数x 满足302x x -<-(1)若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【答案】(1)()2,3(2)[]1,2【解析】【分析】（1）根据二次不等式与分式不等式的求解方法求得命题p ，q 为真时实数x 的取值范围，再求交集即可；（2）先求得[],3A a a =，再根据p 是q 的必要不充分条件可得A B ⊇，再根据集合包含关系，根据区间端点列不等式求解即可(1)当1a =时，2430x x -+≤，解得13x ≤≤，即p 为真时，实数x 的取值范围为13x ≤≤．由302x x -<-，解得23x <<，即q 为真时，实数x 的取值范围为23x <<．若p q ∧为真，则1323x x ≤≤⎧⎨<<⎩，解得实数x 的取值范围为()2,3．(2)若p 是q 的必要不充分条件，则q p ⇒且p q ¿．设(){}A x p x =，(){}B x q x =，则A B ⊇，又()2,3B =．由22430x ax a -+≤，得()()30x a x a --≤，因为0a >，则[],3A a a =，有233a a ≤⎧⎨≤⎩，解得12a ≤≤因此a 的取值范围为[]1,2．14．（2022·江西抚州·高二期中（文））已知a ，b 都是正数．(1)若12+=-a b ab ，证明：4≥b a a b ab ；(2)当a b ¹时，证明：+>a a b b b a a b 【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】（1）根据12+=-a b ab 1a b =，再结合b a a bab化简，利用基本不等式证明即可（2）根据证明的不等式逆推即可(1)证明：由12+=-a b ab ，得21a b+=1a b (11ab b a b a a b ab ab a b+==()2224b a b a a b a b a b ab==≥+⋅=，当且仅当14a b ==时“=”成立．所以4+≥b a b ab ．(2)要证+>+a a b b b a a b )()0--->a a b b a b ，即证)0->a b a b ，即证2)0a b a b >，因为20>+>a b a b ，所以上式成立，所以>a a b b b a a b 15．（2022·四川巴中·高一期末（理））已知函数()22f x x ax =+-，()0f x >的解集为{1x x <-或}x b >．(1)求实数a 、b 的值；(2)若()0,x ∈+∞时，求函数()()4f x g x x+=的最小值．【答案】(1)1a =-，2b =(2)221【解析】【分析】（1）分析可知1-、b 是方程220x ax +-=的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系可求得a 、b 的值；（2）求得()21g x x x=+-，利用基本不等式可求得()g x 在()0,∞+上的最小值.(1)解：因为关于x 的不等式220x ax +->的解集为{1x x <-或}x b >，所以，1-、b 是方程220x ax +-=的两个根，所以，12012a b --=⎧⎨-⋅=-⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩.(2)解：由题意知()()24221f x x x g x x xx x+-+===+-，因为0x >，由基本不等式可得()22121221g x x x x x=+-≥⋅=-，当且仅当2x x=时，即2x =故函数()g x 的最小值为221.16．（2022·浙江舟山·高二期末）第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.本届奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目和自由式滑雪大跳台，延庆赛区承办雪车､雪橇及高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车､雪橇､高山滑雪和自由式滑雪大跳台之外的所有雪上项目，冬奥会的举办可以带动了我国3亿人次的冰雪产业，这为冰雪设备生产企业带来了新的发展机遇，某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产x 千件，需另投入成本()C x （万元）.经计算若年产量x千件低于100千件，则这x 千件产品成本21()1011002C x x x =++；若年产量x 千件不低于100千件时，则这x 千件产品成本4500()120540090C x x x =+--.每千件产品售价为100万元，为了简化运算我们假设该企业生产的产品能全部售完.(1)写出年利润L （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)21903100,010024500203400,10090x x x L x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--+≥⎪-⎩(2)当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元【解析】【分析】（1）年利润L 为销售收入减去生产成本，分情况讨论计算即可；（2）当0100x <<时，根据二次函数单调性求L 最大值；当100x ≥时，根据基本不等式求最大值，继而求出L 最大值.(1)当0100x <<时，2211100101100200090310022L x x x x x =----=-+-；当100x ≥时，45004500100120540020002034009090L x x x x x ⎛⎫=-+--=--+ ⎪--⎝⎭.所以21903100,010024500203400,10090x x x L x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--+≥⎪-⎩(2)当0100x <<时，2211903100(90)95022L x x x =-+-=--+.当90x =时，L 取得最大值，且最大值为950.当100x ≥时，(45002252034002090160020225160010009090L x x x x ⎛⎫=--+=--++≤-+= ⎪--⎝⎭当且仅当105x =时，等号成立.因为1000950>，所以当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元.。

(典型题)高考数学二轮复习知识点总结不等式及线性规划

不等式及线性规划1．四类不等式的解法(1)一元二次不等式的解法先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法 ①变形⇒f xg x>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)； ②变形⇒f xg x≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. (3)简单指数不等式的解法 ①当a >1时，af (x )>ag (x )⇔f (x )>g (x )； ②当0<a <1时，af (x )>ag (x )⇔f (x )<g (x )．(4)简单对数不等式的解法①当a >1时，log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )>g (x )且f (x )>0，g (x )>0； ②当0<a <1时，log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )<g (x )且f (x )>0，g (x )>0. 2．五个重要不等式(1)|a |≥0，a 2≥0(a ∈R )． (2)a 2＋b 2≥2ab (a 、b ∈R )． (3)a ＋b2≥ab (a >0，b >0)．(4)ab ≤(a ＋b2)2(a ，b ∈R )． (5)a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab ≥2aba ＋b(a >0，b >0)． 3．二元一次不等式(组)和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等． (2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；③求出目标函数的最大值或者最小值． 4．两个常用结论(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.考点一一元二次不等式的解法例1 (2012·江苏)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．答案 9解析由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24.∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22.又∵f (x )<c .∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22<c ，即－a 2－c <x <－a2＋c .∴⎩⎪⎨⎪⎧－a 2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6. ②②－①，得2c ＝6，∴c ＝9.二次函数、二次不等式是高中数学的重要基础知识，也是高考的热点．本题考查了二次函数的值域及一元二次不等式的解法．突出考查将二次函数、二次方程、二次不等式三者进行相互转化的能力和转化与化归的数学思想方法．(1)已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0.若p ∧q 为真命题，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[－2,0)C ．(－2,0)D ．[0,2](2)设命题p ：{x |0≤2x －1≤1}，命题q ：{x |x 2－(2k ＋1)x ＋k (k ＋1)≤0}，若p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是__________．答案 (1)C (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12解析 (1)p ∧q 为真命题，等价于p ，q 均为真命题．命题p 为真时，m <0；命题q 为真时，Δ＝m 2－4<0，解得－2<m <2.故p ∧q 为真时，－2<m <0.(2)p ：{x |12≤x ≤1}，q ：{x |k ≤x ≤k ＋1}，由p ⇒q 且qD ⇒/p ，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≤121≤k ＋1，∴0≤k ≤12，即k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.考点二利用基本不等式求最值问题例2 (1)(2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245B.285C ．5D ．6(2)设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．答案 (1)C (2)2105解析 (1)∵x >0，y >0，由x ＋3y ＝5xy 得15⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝1.∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫3xy＋4＋9＋12y x＝135＋15⎝ ⎛⎭⎪⎫3x y＋12y x ≥135＋15×23x y ·12yx＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)， ∴3x ＋4y 的最小值为5. (2)方法一 ∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2－3xy ＝1，即(2x ＋y )2－32·2xy ＝1，∴(2x ＋y )2－32·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22≤1，解之得(2x ＋y )2≤85，即2x ＋y ≤2105.等号当且仅当2x ＝y >0，即x ＝1010，y ＝105时成立．方法二令t ＝2x ＋y ，则y ＝t －2x ，代入4x 2＋y 2＋xy ＝1，得6x 2－3tx ＋t 2－1＝0，由于x 是实数，故Δ＝9t 2－24(t 2－1)≥0，解得t 2≤85，即－2105≤t ≤2105，即t 的最大值也就是2x ＋y 的最大值为2105.方法三化已知4x 2＋y 2＋xy ＝1为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋14y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫154y 2＝1，令2x ＋14y ＝cos α，154y ＝sin α，则34y ＝155sin α，则2x ＋y ＝2x ＋14y ＋34y ＝cos α＋155sin α＝2105sin(α＋φ)≤2105.在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项，创造应用基本不等式的条件． (1)已知关于x 的不等式2x ＋2x －a ≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为( )A ．1 B.32C ．2D.52答案 B 解析 2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a＋2a ≥2·x －a2x －a＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，得a ≥32，即实数a 的最小值为32，故选B.(2)(2013·山东)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当z xy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )A ．0 B.98 C ．2D.94 答案 C解析由题意知：z ＝x 2－3xy ＋4y 2，则z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4y x－3≥1，当且仅当x ＝2y 时取等号，此时z ＝xy ＝2y 2. 所以x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ＝－2(y －1)2＋2≤2. 所以当y ＝1时，x ＋2y －z 取最大值2. 考点三简单的线性规划问题例3 (2013·湖北)某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元答案 C解析设租A 型车x 辆，B 型车y 辆时租金为z 元则z ＝1 600x ＋2 400yx 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21y －x ≤736x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x 、y ∈N画出可行域如图直线y ＝－23x ＋z2 400过点A (5,12)时纵截距最小，∴z min ＝5×1 600＋2 400×12＝36 800，故租金最少为36 800元．(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，利用数形结合找到目标函数的最优解．(3)对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域和目标函数．(1) (2013·山东)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12(2)(2013·北京)设关于x 、y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求得m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，43B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－53答案 (1)C (2)C解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0得A (3，－1)．此时线OM 的斜率最小，且为－13.(2)当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m <0. 如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m <－12m －1，解得m <－23.1．三个“二次”的关系一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，也是相应的二次函数图象与x 轴交点的横坐标，即二次函数的零点． 2．基本不等式的作用二元基本不等式具有将“积式”转化为“和式”或将“和式”转化为“积式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式或求函数的最值或解决不等式恒成立问题．解决问题的关键是弄清分式代数式、函数解析式、不等式的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点，并创设基本不等式的应用背景，如通过“代换”、“拆项”、“凑项”等技巧，改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件．利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的条件，三个条件缺一不可． 3．二元一次不等式表示平面区域的快速判断法：简记为“同上异下”，这叫B 的值判断法．解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．1．若实数x 、y 满足4x ＋4y ＝2x ＋1＋2y ＋1，则t ＝2x ＋2y的取值范围是( )A ．0<t ≤2B ．0<t ≤4C ．2<t ≤4D ．t ≥4答案 C解析依题意得，(2x ＋2y )2－2×2x ×2y ＝2(2x ＋2y)，则t 2－2t ＝2×2x ×2y≤2×(2x ＋2y 2)2＝t 22；即t 22－2t ≤0，解得0≤t ≤4；又t 2－2t ＝2×2x ×2y>0，且t >0，因此有t >2，故2<t ≤4，故选C.2．已知点A (2，－2)，点P (x ，y )在⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ＋1≥0，2x －y －1≤0所表示的平面区域内，则OP →在OA →方向上投影的取值范围是( )A ．[－22，22)B ．(－22，22) C ．(－22，22] D ．[－22，22] 答案 D解析不等式组表示的平面区域，如图所示：由向量投影的几何意义知，当点P 与点D 重合时投影最大，当点P 与点B 或点C 重合时投影最小．又C (－1,0)，D (0，－1)， ∴OC →＝(－1,0)，OD →＝(0，－1)， ∴OD →在OA →方向上的投影为OD →·OA →|OA →|＝22，OC →在OA →方向上的投影为OC →·OA →|OA →|＝－22，故OP →在OA →方向上投影的取值范围是[－22，22]．(推荐时间：60分钟)一、选择题1． (2012·福建)下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C解析应用基本不等式：x ，y ∈R ＋，x ＋y2≥xy (当且仅当x ＝y 时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件．当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确． 2．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >c b；②a c <b c；③log b (a －c )>log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③答案 D解析由不等式的基本性质可知①对；幂函数y ＝x c(c <0)在(0，＋∞)上单调递减，又a >b >1，所以②对；由对数函数的单调性可得log b (a －c )>log b (b －c )，又由对数的换底公式可知log b (b －c )>log a (b －c )，所以log b (a －c )>log a (b －c )，故选项D 正确．3．设A ＝{x |x 2－2x －3>0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4]，则a ＋b等于( )A ．7B ．－1C ．1D ．－7答案 D解析依题意，A ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，又因为A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4]，则B ＝[－1,4]．所以a ＝－(－1＋4)＝－3，b ＝－1×4＝－4，于是a ＋b ＝－7.故选D.4． (2012·陕西)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a <v <abB ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b2答案 A解析由小王从甲地往返到乙地的时速分别为a 和b ，则全程的平均时速为v ＝2ss a ＋sb＝2aba ＋b，又∵a <b ，∴2a 22a <2ab a ＋b <2ab2ab ＝ab ，∴a <v <ab ，A 成立．5． (2013·课标全国Ⅱ)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a x －，若z ＝2x ＋y的最小值为1，则a 等于( )A.14 B.12C ．1D ．2答案 B解析作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a x －，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12，故选B.6．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3≥0，x －3y ＋3≤0，y －1≤0，若目标函数z ＝y －ax 仅在点(－3,0)处取到最大值，则实数a 的取值范围为( )A ．(3,5) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．(－1,2)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1答案 B解析如图所示，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线y －ax ＝0，要使目标函数z ＝y －ax 仅在点(－3,0)处取到最大值(即直线z ＝y －ax 仅当经过该平面区域内的点(－3,0)时，在y 轴上的截距达到最大)，结合图形可知a >12.二、填空题7．已知p ：x －1x≤0，q ：4x ＋2x－m ≤0，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________．答案 [6，＋∞)解析由p 得：0<x ≤1，若p 是q 的充分条件，则有对∀x ∈(0,1]，4x ＋2x－m ≤0恒成立，即m ≥4x ＋2x恒成立，只需m ≥(4x ＋2x )max ，而(4x ＋2x)max ＝6，∴m ≥6. 8．函数y ＝a1－x(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0 (mn >0)上，则1m ＋1n的最小值为________．答案 4解析定点A (1,1)，又A 在mx ＋ny －1＝0上， ∴m ＋n ＝1.∴1m ＋1n＝(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n＝2＋n m ＋m n≥4.当且仅当m ＝n ＝12时取等号．9．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y －x ＋1≤0，y －2x ＋4≥0，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个，则a 的值为________．答案 1解析依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，如图所示．要使z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个，则直线z ＝y －ax 必平行于直线y －x ＋1＝0，于是有a ＝1.10．(2013·浙江)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________. 答案 2解析作出可行域如图阴影部分所示：由图可知当0≤－k <12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2(舍去)；当－k ≥12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点(0,2)时z 最大，此时z 的最大值为2，不合题意；当－k <0时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2，符合题意．综上可知，k ＝2.三、解答题11．求解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.解 (1)当a ＝0时，原不等式变为－x ＋1<0，此时不等式的解集为{x |x >1}．(2)当a ≠0时，原不等式可化为a (x －1)⎝⎛⎭⎪⎫x －1a <0.若a <0，则上式即为(x －1)⎝⎛⎭⎪⎫x －1a >0，又因为1a<1，所以此时不等式的解集为{x |x >1或x <1a}．若a >0，则上式即为(x －1)⎝⎛⎭⎪⎫x －1a <0.①当1a<1，即a >1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1a<x <1；②当1a ＝1，即a ＝1时，原不等式的解集为∅；③当1a>1，即0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1<x <1a .综上所述，当a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1a 或x >1；当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >1}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1<x <1a ；当a ＝1时，原不等式的解集为∅；当a >1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1a<x <1.12．某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p (万元)和宿舍与工厂的距离x (km)的关系式为p ＝k3x ＋5(0≤x ≤8)，若距离为1 km 时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元．设f (x )为建造宿舍与修路费用之和．(1)求f (x )的表达式；(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f (x )最小，并求最小值．解 (1)根据题意得100＝k3×1＋5，所以k ＝800，故f (x )＝8003x ＋5＋5＋6x,0≤x ≤8.(2)因为f (x )＝8003x ＋5＋2(3x ＋5)－5≥80－5，当且仅当8003x ＋5＝2(3x ＋5)即x ＝5时f (x )min ＝75.所以宿舍应建在离厂5 km 处，可使总费用f (x )最小，最小为75万元．13．已知函数f (x )＝13ax 3－bx 2＋(2－b )x ＋1在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，且0<x 1<1<x 2<2. (1)证明：a >0；(2)若z ＝a ＋2b ，求z 的取值范围．(1)证明求函数f (x )的导数f ′(x )＝ax 2－2bx ＋2－b . 由函数f (x )在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，知x 1、x 2是f ′(x )＝0的两个根，所以f ′(x )＝a (x －x 1)(x －x 2)．当x <x 1时，f (x )为增函数，f ′(x )>0，由x －x 1<0，x －x 2<0得a >0.(2)解在题设下，0<x 1<1<x 2<2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ f ，f，f，即⎩⎪⎨⎪⎧2－b >0，a －2b ＋2－b <0，4a －4b ＋2－b >0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧2－b >0，a －3b ＋2<0，4a －5b ＋2>0.此不等式组表示的区域为平面aOb 上的三条直线：2－b ＝0，a －3b ＋2＝0,4a －5b ＋2＝0所围成的△ABC 的内部，其三个顶点分别为：A ⎝⎛⎭⎪⎫47，67，B (2,2)，C (4,2)． z 在这三点的值依次为167，6,8.16 7，8)．所以z的取值范围为(。

高考数学中的线性规划基本概念介绍

高考数学中的线性规划基本概念介绍在高中数学中，我们接触到了许多不同的数学知识，其中很重要的一项便是线性规划。

在高考数学考试中，线性规划占据了相当重要的位置，成为众多学生备战高考的重要课程。

本文将为大家介绍一下高考数学中的线性规划基本概念。

一、线性规划的含义与基本形式所谓线性规划，就是针对一定的线性约束条件和线性目标函数，找到一个可行解，使得目标函数取得最大值或最小值。

具体来说，我们可以把线性规划形式表示为以下三个部分：第一部分：目标函数。

实际应用中，我们需要通过目标函数来描述最优解的性质。

第二部分：约束条件。

约束条件按照不同的形式可以分为等式约束和不等式约束。

等式约束通常包括一些限制条件，例如生产的成本、材料、人工等费用等；而不等式约束则包括一些限制条件，例如工艺上的限制、质量上的限制等等。

第三部分：变量范围。

变量范围是针对线性规划中的所有变量进行限制，例如生产量、工作量等等。

变量的范围通常以非负数的形式进行限制。

二、线性规划的图形解释在图形表示中，我们可以把约束条件和目标函数分别绘制在平面直角坐标系上。

具体来说，约束条件的图像形式通常为一些直线或者凸多边形，而目标函数的图像则大多为一条直线。

设二维实数集合$$S = {(x,y)\mid x,y \in R}$$为平面直角坐标系上的点集。

设集合$$P = {(x,y)\mid a_{1}x+b_{1}y\le c_{1},a_{2}x+b_{2}y\le c_{2}}$$ 其中a1,b1,c1,a2,b2,c2均为常数，为x 轴和y轴上的两条直线。

则P就是由这两个约束条件限制而成的平面直角坐标系中的点集。

同时，一元线性规划问题中最常见的约束条件就是不等式约束。

在平面直角坐标系中，这些不等式约束通常形成一个封闭凸多边形，我们将其称之为约束多边形。

因此，在二元问题中，问题的可行解便是在该多边形中的可行点，即使得目标函数取得最小值或最大值的点。

三、线性规划的解法与应用在现实生活中，线性规划具有广泛的应用范围，例如经济学、管理学等学科领域。

高考数学(理)总复习：不等式、线性规划(解析版)

高考数学（理）总复习：不等式、线性规划题型一不等式的解法【题型要点】解不等式的常见策略(1)解一元二次不等式，一是图象法：利用“三个二次”之间的关系，借助相应二次函数图象，确定一元二次不等式的解集；二是因式分解法：利用“同号得正，异号得负”这一符号法则，转化为一元一次不等式组求解．(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把他们等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．(3)解含“f ”的函数不等式，首先要确定f (x )的单调性，然后根据函数的单调性去掉“f ”转化为通常的不等式求解．(4)解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因，确定好分类标准，有理有据、层次清楚地求解．【例1】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <1x 3＋x ，x ≥1，则f (f (x ))<2的解集为( )A ．(1－ln 2，＋∞)B ．(－∞，1－ln 2)C ．(1－ln 2,1)D ．(1,1＋ln 2)【解析】因为当x ≥1时，f (x )＝x 3＋x ≥2，当x <1时，f (x )＝2e x －1<2，所以f (f (x ))<2等价于f (x )<1，即2e x －1<1，解得x <1－ln 2，所以f (f (x ))<2的解集为(－∞，1－ln 2)，故选B.【答案】 B【例2】．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]【解析】当x ≤0时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤0，所以|f (x )|≥ax 化简为x 2－2x ≥ax ，即x 2≥(a ＋2)x ，因为x ≤0，所以a ＋2≥x 恒成立，所以a ≥－2；当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)＞0，所以|f (x )|≥ax 化简为ln(x ＋1)≥ax 恒成立，由函数图象可知a ≤0，综上，当－2≤a ≤0时，不等式|f (x )|≥ax 恒成立．【答案】 D题组训练一不等式的解法1．若不等式ax 2－bx ＋c >0的解集是⎪⎭⎫⎝⎛-2,21，则以下结论中：①a >0；②b <0；③c >0；④a ＋b ＋c >0；⑤a －b ＋c >0，正确的是( )A ．①②⑤B ．①③⑤C ．②③⑤D ．③④⑤【解析】 ax 2－bx ＋c >0的解集是⎪⎭⎫⎝⎛-2,21，故a <0，且ax 2－bx ＋c ＝0的两根为－12，2.由根与系数的关系得2－12＝b a >0,2×⎪⎭⎫ ⎝⎛-21＝ca <0，故b <0，c >0.因此，②③正确，①错误．设f (x )＝ax 2－bx ＋c ，根据f (－1)<0，f (1)>0，可知a ＋b ＋c <0，a －b ＋c >0，故④错误，⑤正确．【答案】 C2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x －2)＝f (x ＋2)，当0＜x ＜2时，f (x )＝1－log 2(x ＋1)，则当0＜x ＜4时，不等式(x －2)f (x )＞0的解集是( )A ．(0,1)∪(2,3)B ．(0,1)∪(3,4)C ．(1,2)∪(3,4)D ．(1,2)∪(2,3)【解析】当0＜x ＜2时，x －2＜0，不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＜0，f (x )＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＜0，1－log 2(x ＋1)<0，解得1＜x ＜2，当2＜x ＜4时，x －2＞0，不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，f (x )＞0，由函数f (x )是奇函数，得f (－x )＝－f (x )，又f (x －2)＝f (x ＋2)，则f (x )＝f (x －2＋2)＝f (x －2－2)＝－f (4－x )，因为0＜4－x ＜2，不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，－1＋log 2(5－x )＞0，解得2＜x ＜3，则原不等式的解集为(1,2)∪(2,3)，故选D. 【答案】 D题型二简单的线性规划问题【题型要点】线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是知最优解情况或可行域情况确定参数的值或取值范围．解决线性规划问题应特别关注以下三点：(1)首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．(2)画可行域时应注意区域是否包含边界．(3)对目标函数z ＝Ax ＋By 中B 的符号，一定要注意B 的正负与z 的最值的对应，要结合图形分析．【例3】已知P (x ，y )为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4x －y ≤0x －a ≥0表示的平面区域M 内任意一点，若目标函数z ＝5x ＋3y 的最大值等于平面区域M 的面积，则a ＝________.【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由z ＝5x ＋3y 得y ＝－53x ＋z3，平移直线y ＝－53x ＋z3，由图象知当直线y ＝－53x ＋z3，经过点A 时，直线的截距最大，此时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4x －y ＝0，解得x ＝y ＝2，即A (2,2)，此时z ＝5×2＋3×2＝16，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4x ＝a .解得x ＝a ，y ＝4－a ，即B (a,4－a )，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0x ＝a ，解得x ＝y ＝a ，即C (a ，a )， ∴BC ＝4－a －a ＝4－2a ，△ABC 的高为2－a ， ∴S △ABC ＝12×(2－a )(4－2a )＝(2－a )2＝16，解得a ＝－2，a ＝6(舍去)，【答案】－2【例4】．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( ) A ．[1,5] B ．[2,6] C ．[3,10]D ．[3,11]【解析】根据约束条件画出可行域如图阴影部分所示．∵x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2(y ＋1)x ＋1，令k ＝y ＋1x ＋1，即为可行域中的任意点(x ，y )与点(－1，－1)连线的斜率．由图象可知，当点(x ，y )为A (0,4)时，k 最大，此时x ＋2y ＋3x ＋1的最大值为11，当点(x ，y )在线段OB 上时，k 最小，此时x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为3.故选D.【答案】 D题组训练二简单的线性规划问题1．已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x －1x ≤3x ＋5y ≥4，则x 2y的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】作出不等式组所对应的平面区域：由图象可知x ＞0，y ＞0，设z ＝x 2y ，则x 2＝zy ，对应的曲线为抛物线，由图象可知当直线y ＝x －1与抛物线相切时，此时z 取得最小值，将y ＝x －1代入抛物线x 2＝zy ，得x 2－zx ＋z ＝0，由Δ＝0⇒z ＝4，z ＝0(舍)所以选择D. 【答案】 D2．已知点P (x ，y )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0，若z ＝x ＋3y 的最大值为8，则实数k ＝________.【解析】依题意k <0且不等式组表示的平面区域如图所示．易得，B ⎪⎭⎫⎝⎛--3,3k k .目标函数z ＝x ＋3y 可看作直线y ＝－13x ＋13z 在y 轴上的截距的3倍，显然当直线过点B 时截距最大，此时z 取得最大值．所以z max ＝－k3＋3×⎪⎭⎫⎝⎛-3k ＝－4k 3＝8，解得k ＝－6.【答案】－6题型三基本不等式的应用【题型要点】利用基本不等式求函数或代数式的最值应关注的三个方面(1)形式：一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，特别适合用基本不等式求最值．(2)条件：利用基本不等式求最值需满足“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．(3)方法：使用基本不等式时，一般通过“拆、拼、凑”的技巧把求最值的函数或代数式化为ax ＋bx(ab ＞0)的形式，常用的方法是变量分离法和配凑法．【例5】已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，f ′(0)＞0，对于任意的实数x 都有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的取值范围是( )A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,23B ．[2，＋∞)C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,25D ．[3，＋∞)【解析】 ∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＞0.又∵对于任意的实数x 都有f (x )≥0，∴a ＞0且b 2－4ac ≤0，∴b 2≤4ac ，∴c ＞0，∴f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ＝a ＋c b ＋1≥2acb＋1≥2. 【答案】 B2．若正数a ，b 满足：1a ＋2b ＝1，则2a －1＋1b －2的最小值为( )A ．2B.322C.52 D ．1＋324【解析】由a ，b 为正数，且1a ＋2b ＝1，得b ＝2a a －1>0，所以a －1>0，所以2a －1＋1b －2＝2a －1＋12a a －1－2＝2a －1＋a －12≥22a －1·a －12＝2，当且仅当2a －1＝a －12和1a ＋2b ＝1同时成立，即a ＝b ＝3时等号成立，所以2a －1＋1b －2的最小值为2，故选A. 【答案】 A题组训练三基本不等式的应用1．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0(a ＞0，b ＞0)把圆C ：(x ＋4)2＋(y ＋1)2＝16分成面积相等的两部分，则当ab 取得最大值时，坐标原点到直线l 的距离是( )A ．4B ．817C ．2D.81717【解析】由题意，圆心(－4，－1)代入直线l ：ax ＋by ＋1＝0，可得4a ＋b ＝1,4a ＋b ＝1≥4ab ，∴ab ≤116，当且仅当a ＝18，b ＝12时，ab 取得最大值，坐标原点到直线l 的距离是1164＋14＝81717，故选D.【答案】 D2．设正实数x ，y 满足x >12，y >1，不等式4x 2y －1＋y 22x －1≥m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．2 2B ．4 2C ．8D ．16【解析】依题意得，2x －1>0，y －1>0，4x 2y －1＋y 22x －1＝[(2x －1)＋1]2y －1＋[(y －1)＋1]22x －1≥4(2x －1)y －1＋4(y －1)2x －1≥4×22x －1y －1×y －12x －1＝8，即4x 2y －1＋y 22x －1≥8，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝1y －1＝12x －1y －1＝y －12x －1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2时，取等号，因此4x 2y －1＋y 22x －1的最小值是8，m ≤8，m 的最大值是8，选C.【答案】 C题型四 “点”定乾坤求解与线性规划有关的问题【题型要点】线性规划求目标函数的最值时，常用方法是数形结合判定所过的定点，也可以把边界端点的坐标代入目标函数，寻找最值，研究可行域与其他函数的关系时，可用边界端点确定出答案．【例7】记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域为D ，若直线y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是________．【解析】法一：作出可行域，利用可行域的上下界，建立的不等式，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝4，x ＝0得(0,4)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得(1,1)．区域D 的上界为(0,4)，下界为(1,1)，∴y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，则有⎩⎨⎧2a ≥1a ≤4，∴12≤a ≤4. 法二：直线y ＝a (x ＋1)为经过定点P (－1,0)且斜率为a ，作出可行域后数形结合可知．不等式组所表示的平面区域D 为如图所示阴影部分(含边界)，且A (1,1)，B (0,4)，C ⎪⎭⎫ ⎝⎛34,0，直线y ＝a (x ＋1)恒过定点P (－1,0)且斜率为a ，由斜率公式可知k BP ＝4，k AP ＝12，若直线y＝a (x ＋1)知区域D 有公共点，数形结合可得12≤a ≤4.【答案】 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,21题组训练四 “点”定乾坤求解与线性规划有关的问题已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －10≥0，x ≤4，y ≤3表示区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线且切点分别为A ，B ，当∠P AB 最小时，cos ∠P AB ＝( )A.32B.12 C ．－32D ．－12【解析】作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －10≥0，x ≤4，y ≤3表示的平面区域D ，如图所示：要使∠APB 最大，则∠OPB 最大．∵sin ∠OPB ＝|OB ||OP |＝1|OP |，∴只要OP 最小即可，即点P 到圆心O 的距离最小即可．由图象可知当|OP |垂直于直线3x －4y －10＝0，此时|OP |＝|－10|32＋42＝2，|OA |＝1.设∠APB ＝α，则∠APO ＝α2，即sin α2＝OA OP ＝12，此时cos α＝1－2sin 2α2＝1－2×221⎪⎭⎫⎝⎛＝1－12＝12，即cos ∠APB ＝12，∴∠APB ＝60°，∴△P AB 为等边三角形，此时对应的∠P AB ＝60°为最小，且cos ∠P AB ＝12.故选B.【答案】 B【专题训练】一、选择题1．已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<311x x x 或，则f (e x )＞0的解集为( )A ．{x |x ＜－1或x ＞－ln 3}B ．{x |－1＜x ＜－ln 3}C ．{x |x ＞－ln 3}D ．{x |x ＜－ln 3}【解析】 f (x )＞0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-311x x则由f (e x )＞0得－1＜e x ＜13，解得x ＜－ln 3，即f (e x )＞0的解集为{x |x ＜－ln 3}．【答案】 D2．已知x ＞0，y ＞0，2x ＋1y ＝13，x ＋2y ＞m 2－2m 恒成立，则m 的取值范围是( )A ．[－6,4]B ．[－4,6]C ．(－4,6)D ．(－6,4)【解析】 ∵2x ＋1y≥22xy ，即13≥22xy，解得xy ≥72，∵2x ＋1y ＝13，∴6x ＋3y ＝1，即3x ＋6y ＝xy ，∴x ＋2y ＝13xy ≥24，∴m 2－2m ＜24恒成立，解不等式m 2－2m －24＜0 得－4＜m ＜6.故选C. 【答案】 C3．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥ax －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3【解析】根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示：可知可行域为开口向上的V 字型．在顶点处z 有最小值，顶点为⎪⎭⎫⎝⎛+-21,21a a ，则a －12＋a ⎪⎭⎫⎝⎛+21a ＝7，解得a ＝3或a ＝－5.当a ＝－5时，如图2，图2虚线向上移动时z 减小，故z →－∞，没有最小值，故只有a ＝3满足题意．选B. 【答案】 B4．已知g (x )是R 上的奇函数，当x ＜0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g (x )，x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(1,2)D ．(－2,1)【解析】设x ＞0，则－x ＜0，所以g (－x )＝－ln(1＋x )，因为g (x )是R 上的奇函数，所以g (x )＝－g (－x )＝ln(1＋x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x ＞0，易知f (x )是R 上的单调递增函数，所以原不等式等价于2－x 2＞x ，解得－2＜x ＜1.故选D.【答案】 D5．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y －5≥0，y －4≤0，若不等式a (x 2＋y 2)≥(x ＋y )2恒成立，则实数a 的最小值是________．【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部(图略)，其中A (2,4)，B (1,4)，C ⎪⎭⎫⎝⎛310,35，因此y x ∈[k OA ，k OB ]＝[2,4]，因为y x ＋x y 在[2,4]上单调递增，所以y x ＋x y ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡417,25，不等式a (x 2＋y 2)≥(x ＋y )2恒成立等价于a ≥()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++max222y x y x 95⇒a min ＝95. 【答案】 956．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0x ＋y －1≤0y ＋1≥0，z ＝mx ＋y 的最大值为3，则实数m 的值是( )A ．－2B ．3C ．8D ．2【解析】由实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0x ＋y －1≤0y ＋1≥0作出可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －2＝0y ＋1＝0，解得A ⎪⎭⎫⎝⎛-1,21，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0x ＋y －2＝0，解得B (1,0)，同理C (2，－1)化目标函数z ＝mx ＋y 为y ＝－mx ＋z ，当直线z ＝mx ＋y 经过C 点时，取得最大值3； ∴3＝2m －1，解得m ＝2.故选D. 【答案】 D7．已知函数f (x )＝cosπx (0<x <2)，若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，则1a ＋4b 的最小值为( )A.92 B ．9 C ．18D ．36【解析】函数f (x )＝cosπx (0<x <2)，轴为x ＝1，若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，所以a ＋b ＝2所以1a ＋4b ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a 41(a ＋b )×12＝12⎪⎭⎫ ⎝⎛++b a a b 45≥12(5＋4)＝92，当a ＝23，b ＝43时取等号，故1a ＋4b 的最小值为92，故选A. 【答案】 A8．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋6≥0x ＋y ≥0x ≤2，若目标函数z ＝－mx ＋y 的最大值为－2m ＋10，最小值为－2m －2，则实数m 的取值不可能是( )A ．3B ．2C ．0D ．－1【解析】由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋6≥0x ＋y ≥0x ≤2作出可行域如图，联立方程组求得A (－2,2)，B (2，－2)，C (2,10)，化目标函数z ＝－mx ＋y 为y ＝mx ＋z ，若m ≥0，则目标函数的最大值为2m ＋2，最小值为－2m －2，由⎩⎪⎨⎪⎧－2m ＋10＝2m ＋2－2m －2＝－2m －2，可知m ＝2；若m ＝0，则目标函数的最大值为10，最小值为－2，符合题意；若m ＝－1，则目标函数的最大值为－2m ＋10，最小值为－2m －2，符合题意． ∴实数m 的取值不可能是3. 故选A. 【答案】 A9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x －x ，x ＞0，－ln (－x )＋x ，x ＜0.则关于m 的不等式f ⎪⎭⎫ ⎝⎛m 1＜ln 12－2的解集为( )A.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0B ．(0,2)C.⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,21∪⎪⎭⎫⎝⎛21,0 D ．(－2,0)∪(0,2)【解析】函数f (x )的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，∵x ＞0时，－x ＜0，f (－x )＝－ln x －x ＝f (x )，同理：x <0时，f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．∵f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝－ln 2－2＝ln 12－2.∴当m ＞0时，由f ⎪⎭⎫⎝⎛m 1＜ln 12－2，得f ⎪⎭⎫⎝⎛m 1＜f (2)， ∴1m ＞2，解得0＜m ＜12.根据偶函数的性质知当m ＜0时，得－12＜m ＜0. 【答案】 C10．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ≥2，x ＋y ≤8时，z ＝x a ＋y b(a ≥b ＞0)的最大值为2，则a ＋b 的最小值为( )A ．4＋2 3B ．4－2 3C ．9D ．8【解析】由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ≥2，x ＋y ≤8作出可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝8，解得A (2,6)，化目标函数z ＝x a ＋y b 为y ＝－bax ＋bz ，由图可知，当直线y ＝－ba x ＋bz 过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为2a ＋6b ＝2，即1a ＋3b＝1. 所以a ＋b ＝(a ＋b )⎪⎭⎫⎝⎛+b a 31 ＝4＋b a ＋3ab≥4＋2b a ·3ab＝4＋2 3. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋3b ＝1，b ＝3a ，即a ＝3＋1，b ＝3＋3时取等号．【答案】 A11．若函数f (x )＝x 4＋4x 3＋ax 2－4x ＋1的图象恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(3－12，＋∞) D ．(2－12，＋∞) 【解析】 x 4＋4x 3＋ax 2－4x ＋1>0恒成立，当x ＝0时，a ∈R ，当x ≠0时，a >－x 4＋4x 3－4x ＋1x 2＝－(x 2＋4x －4x ＋1x 2)＝－(t 2＋4t ＋2)＝－(t ＋2)2＋2，其中t ＝x －1x ∈R ，因为－(t ＋2)2＋2≤2，从而a >2，因此实数a 的取值范围是(2，＋∞)，选A.【答案】 A 二、填空题12．已知点M 的坐标(x ，y )满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≥0x －y －2≤0y －3≤0，N 为直线y ＝－2x ＋2上任一点，则|MN |的最小值是( )A.55B.255C.510D. 5【解析】点M 的坐标(x ，y )满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≥0x －y －2≤0y －3≤0的可行域如图：N 为直线y ＝－2x ＋2上任一点，则|MN |的最小值，就是两条平行线y ＝－2x ＋2与2x ＋y －4＝0之间的距离：d ＝|－2＋4|12＋22＝255，故选B.【答案】 B13．设a >b >c >0，若不等式log a b 2018＋log b c 2018≥d log ac 2018对所有满足题设的a ，b ，c均成立，则实数d 的最大值为____________．【解析】 log a b 2018＋log b c 2018≥d log a c 2018⇒lg2018lg a b ＋lg2018lg b c ≥d lg2018lg ac ，因为a >b >c >0，所以lg a b >0，lg b c >0，lg a c >0，设x ＝lg a b ，y ＝lg b c ，则lg a c ＝x ＋y ，因此d ≤(1x ＋1y )(x ＋y )的最小值，而(1x ＋1y )(x ＋y )＝2＋y x ＋xy ≥2＋2y x ·xy＝4，当且仅当x ＝y 时取等号，从而d ≤4，即实数d 的最大值为4.【答案】 414．已知点O 是坐标原点，点A (－1，－2)，若点M (x ，y )是平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2，上的一个动点，OA →·(OA →－MA →)＋1m≤0恒成立，则实数m 的取值范围是________．【解析】因为OA →＝(－1，－2)，OM →＝(x ，y )，所以OA →·(OA →－MA →)＝OA →·OM →＝－x －2y .所以不等式OA →·(OA →－MA →)＋1m ≤0恒成立等价于－x －2y ＋1m ≤0，即1m≤x ＋2y 恒成立．设z ＝x ＋2y ，作出不等式组表示的可行域如图所示，当目标函数z ＝x ＋2y 表示的直线经过点D (1,1)时取得最小值，最小值为1＋2×1＝3；当目标函数z ＝x ＋2y 表示的直线经过点B (1,2)时取得最大值，最大值1＋2×2＝5.所以x ＋2y ∈[3,5]，于是要使1m≤x ＋2y 恒成立，只需1m ≤3，解得m ≥13或m ＜0，即实数m 的取值范围是(－∞，0)∪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,31【答案】 (－∞，0)∪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,31。

高考热点剖析——不等式及线性规划问题热点问题

高考热点剖析——不等式及线性规划问题热点问题高考对本内容的考查主要有：(1)一元二次不等式是C 级要求，要求在初中所学二次函数的基础上，掌握二次函数、二次不等式、二次方程之间的联系和区别，可以单独考查，也可以与函数、方程等构成综合题；(2)线性规划的要求是A 级，理解二元一次不等式对应的平面区域，能够求线性目标函数在给定区域上的最值，同时对一次分式型函数、二次型函数的最值也要有所了解；(3)不等式作为一种重要工具，要理解不等式的性质、简单不等式的解法及含参数不等式的分类讨论等．1．一元二次不等式的求解步骤：一变、二求、三画、四结论． 2．一元二次不等式恒成立的条件设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则ax 2＋bx ＋c ＞0恒成立(解集为R )⇔y ＝f (x )图象恒在x轴上方⇔f (x )min ＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝b 2－4ac ＜0.ax 2＋bx ＋c ＜0恒成立(解集为R )⇔y ＝f (x )图象恒在x 轴下方⇔f (x )max ＜0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝b 2－4ac ＜0.3．二元一次不等式表示的平面区域直线定界，特殊点定域．注意：边界的虚实线．【应对策略】对不等式的学习要立足基础，重在理解，加强训练，学会建模，培养能力，提高素质，具体要注意以下几点：(1)学习不等式性质时，要弄清条件与结论，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数运算法则为依据解决问题；(2)解决某些不等式时，要与函数定义域、值域、单调性联系起来，注重数形结合思想，解含参数不等式时要注意分类讨论思想；(3)要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数和方程的对比与联系，充分利用函数与方程思想、数形结合处理不等式问题；(4)利用线性规划解决实际问题时，充分利用数形结合思想，会达到事半功倍的效果，因此要力求画图准确.【必备方法】1．三个“二次”的关系一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，也是相应的二次函数图象与x 轴交点的横坐标，即二次函数的零点．2．对于给定集合M 和给定含参数的不等式f (x )＞0，求不等式中的参数的取值范围问题，要看清楚题目的要求，再相应求解，不妨“对号入座”：(1)若M 是f (x )＞0的解集，则由M ＝{x |f (x )＞0}来求； (2)若f (x )＞0在M 上有解，则由M ∩{x |f (x )＞0}≠∅来求； (3)若f (x )＞0在M 上恒成立，则由M ⊆{x |f (x )＞0}来求．3．简单的线性规划问题解题步骤：一画二移三算四答，充分挖掘目标对象的几何意义！通常与直线的纵截距、斜率，圆的半径或半径的平方有关．命题角度一一元二次不等式[命题要点] ①简单一元二次不等式的解法；②含参数的一元二次不等式的解法．【例1】► 解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0.[思路分析] 不等式的左端可以先分解因式，然后根据a ＞0，a ＝0，a ＜0的情况和方程ax 2－(2a ＋1)x ＋2＝0两个根的大小进行分类求解．解不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0，即(ax －1)(x －2)＜0.(1)当a ＞0时，不等式可以化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)＜0.①若0＜a ＜12，则1a＞2，此时不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫2，1a ；②若a ＝12，则不等式为(x －2)2＜0，不等式的解集为∅；③若a ＞12，则1a ＜2，此时不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2. (2)当a ＝0时，不等式即－x ＋2＜0，此时不等式的解集为(2，＋∞)．(3)当a ＜0时，不等式可以化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)＞0.由于1a＜2，故不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1a ∪(2，＋∞)．综上所述，当a ＜0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1a ∪(2，＋∞)；当a ＝0时，不等式的解集为(2，＋∞)；当0＜a ＜12时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1a ；当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a ＞12时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2. 【方法支招】含有参数的一元二次不等式在能通过因式分解求出对应方程根的情况下，按照本题的方法求解，但如果不能根据因式分解的方法求出其根，则需要按照不等式对应方程根的判别式的情况进行分类．【突破训练1】已知关于x 的不等式ax －1x ＋1＞0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则a ＝________.解析由题意，可得a ≠0，且不等式等价于a (x ＋1)·⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0.由不等式解集的特点可得a ＞0且1a ＝12，故a ＝2.答案 2命题角度二含参不等式恒成立问题[命题要点] 一元二次不等式有解、恒成立，求参数的取值范围．【例2】► (2012·镇江质量检测)不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对任意a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________．[思路分析] 不等式中有两个变量，可以先看成关于其中一个变量的一元二次不等式恒成立，再考虑另一个变量．解析先将不等式整理为关于a 的一元二次不等式为a 2－λba ＋8b 2－λb 2≥0，对任意a ∈R 恒成立，所以λ2b 2－4(8b 2－λb 2)≤0，即(λ2＋4λ－32)b 2≤0，对任意b ∈R 恒成立，则λ2＋4λ－32≤0，解得－8≤λ≤4.答案－8≤λ≤4【方法支招】含有多变量的不等式是近年来考查热点，要将不等式逐个看成关于某一变量的不等式，其它变量先看作常数，这样可以逐步减少变量个数，同时要看清是恒成立还是有解．【突破训练2】（2012年高考（辽宁理））若[0,)x ∈+∞,则下列不等式恒成立的是（）A ．21xe x x ++…B 211124x x <-+C ．21cos 12x x -… D ．21ln(1)8x x x +-…【答案】C【解析】设2211()cos (1)cos 122f x x x x x =--=-+,则()()sin ,g x f x x x '==-+ 所以()cg x x '=-+≥，所以当[0x ∈+∞时,()()()(0)0,g x g x f x g '==为增函数，所以≥ 同理21()(0)0cos (1)02f x f x x =∴--≥，≥，即21cos 12x x -…,故选C【方法支招】本题主要考查导数公式,以及利用导数,通过函数的单调性与最值来证明不等式,考查转化思想、推理论证能力、以及运算能力,难度较大. 命题角度三线性规划问题[命题要点] 线性规划考题的新变化为：问题中的目标函数形式已不再局限为单一的、线性的，甚至有的问题隐含有线性规划知识，以上这些变化都可以通过适当的方法转化为较为基本的问题来解决．【例3】► (2012·苏锡常镇调研)设实数n ≤6，若不等式2xm ＋(2－x )n －8≥0对任意x ∈[－4,2]都成立，则m 4－n 4m 3n的最小值为________．[审题视点] 先对题干中恒成立问题进行转化，得到关于m ，n 的关系式，再利用线性规划知识解决．解析因为不等式2xm ＋(2－x )n －8≥0即为(2m －n )x ≥8－2n ，对任意x ∈[－4,2]都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧22m －n ≥8－2n－42m －n ≥8－2n，所以m ，n 满足的不等式为⎩⎪⎨⎪⎧m ≥24m －3n ＋4≤0n ≤6，所以点(m ，n )对应的平面区域如图，nm 的几何意义是可行域上的点与原点的连线的斜率，所以n m∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤127，3，而目标函数m 4－n 4m 3n ＝m n －⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 3，令n m ＝t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤127，3，则目标函数即为y ＝1t －t 3，其导数y ′＝－1t 2－3t 2＜0，所以函数y ＝1t －t 3在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤127，3上递减，故t ＝3时取得最小值－803. 答案－803【方法支招】线性规划是不等式的重要内容，与函数的综合是常见题型，一般方法是利用线性规划求出某个中间变量的取值范围，再利用换元法、导数等方法求最值．【突破训练3】（2012年高考（山东理））已知变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩,则目标函数3z x y =-的取值范围是（）A ．3[,6]2-B ．3[,1]2-- C ．[1,6]-D ．3[6,]2-【解析】做出不等式所表示的区域如图,由y x z -=3得z x y -=3,平移直线x y 3=,由图象可知当直线经过点)0,2(E 时,直线z x y -=3的截距最小,此时z 最大为63=-=y x z ,当直线经过C 点时,直线截距最大,此时z 最小,由⎩⎨⎧=+-=-4214y x y x ,解得⎪⎩⎪⎨⎧==321y x ,此时233233-=-=-=y x z ,所以y x z -=3的取值范围是]6,23[-,选A.解不等式要留意等号，画可行域要注意边界的虚实一、注意解不等式不能漏解【例1】► 不等式(x －4)x 2－3x －4≥0的解集是________．解析当x 2－3x －4＞0时，x －4≥0，解得x ≥4；当x 2－3x －4＝0，即x ＝－1或4时，原不等式也成立，所以解集是{x |x ≥4或x ＝－1}．答案 {x |x ≥4或x ＝－1}【小提示】：要考虑二次根式有意义的条件，当二次根式等于0时，则对x －4没有条件限制，所以要对根式是否为零进行讨论.否则，本题会出现下面的错误：因为\r(x2－3x －4)≥0，所以x －4≥0，解得x ≥4，造成遗漏解的情况.二、注意可行域边界的虚实【例2】► 已知函数f (x )＝ax 2＋bx －1(a ＞0)的一个零点在区间(1,2)内，则a －b 的取值范围是________．解析因为二次函数f (x )＝ax 2＋bx －1(a ＞0)开口向上，纵截距是－1，一个零点在区间(1,2)内，所以a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0f 1＝a ＋b －1＜0f 2＝4a ＋2b －1＞0，作出点(a ，b )对应的平面区域如图，由图可知，当目标函数过点(0,1)(不在区域内)时取得最小值－1(取不到)，即a －b ∈(－1，＋∞)．答案 (－1，＋∞)【小提示】：画可行域要特别注意边界能否取到，当区域不包含边界时，取值范围中等号取不到，如果忽视这一点，容易在等号上出错.三、注意目标函数的几何意义，尤其是平方、开方之类的问题【例3】► 在平面直角坐标系xOy 中，设A 、B 、C 是圆x 2＋y 2＝1上相异三点，若存在正实数λ，μ，使得OC →＝λOA →＋μOB →，则λ2＋(μ－3)2的取值范围是________．解析由OC →＝λOA →＋μOB →两边平方得OC →2＝(λOA →)2＋(μOB →)2＋2λμOA →·OB →，即为1＝λ2＋μ2＋2λμcos 〈OA →，OB →〉，所以cos 〈OA →，OB →〉＝1－λ2－μ22λμ∈(－1,1)，又λ，μ∈(0，＋∞)，所以化简即得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＞1－1＜λ－μ＜1，作出可行域如图目标函数λ2＋(μ－3)2的几何意义是区域上的点(λ，μ)到定点(0,3)的距离的平方，由点到直线的距离公式求得点(0,3)到λ－μ＋1＝0的距离为2，且取不到，故λ2＋(μ－3)2的取值范围是(2，＋∞)．答案 (2，＋∞)【小提示】对目标函数λ2＋μ－32的几何意义要理解正确，表示点0，3到λ－μ＋1＝0的距离的平方，如果忘记平方，就会出现2，＋∞的错误，所以考虑问题要细心.1．(2011·南京模拟)已知A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |x 2＋2x ＋a ≥0}，A 、B 的交集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析若A ，B 的交集是空集时，即x 2＋2x ＋a ＜0在1≤x ≤2上恒成立．令f (x )＝x 2＋2x ＋a ，因为对称轴为x ＝－1，所以y ＝f (x )在集合A 上递增，所以f (2)＜0即可，所以a ＜－8，所以A ，B 的交集不是空集时，实数a 的取值范围是a ≥－8.答案 [－8，＋∞)2．(2012·江苏，13)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24.∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22.又∵f (x )＜c ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＜c ，即－a 2－c ＜x ＜－a2＋c .∴⎩⎪⎨⎪⎧－a2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6. ②由②－①得2c ＝6，∴c ＝9.答案 93．(2012·江苏，14)已知正数a ，b ，c 满足：5c －3a ≤b ≤4c －a ，c ln b ≥a ＋c ln c ，则b a的取值范围是________．解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ≤4c ，3a ＋b ≥5c ，c ln b －a ≥c ln c ⇒b ≥c e ac.作出可行域(如图所示)．由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4c ，3a ＋b ＝5c ，得a ＝c 2，b ＝72c .此时⎝ ⎛⎭⎪⎫b a max ＝7.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4c ，b ＝c e a c ，得a ＝4c e ＋1，b ＝4c e e ＋1.此时⎝ ⎛⎭⎪⎫b a min ＝4c ee ＋14c e ＋1＝e.所以b a ∈[e,7]．答案 [e,7]4．(2010·江苏，12)设实数x ，y 满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y4的最大值是________．解析根据不等式的基本性质求解.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y 2∈[16,81]，1xy 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，13，x 3y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y 2·1xy ∈[2,27]，x 3y的最大值是27. 答案275．(2012·南京模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x －y ≤1，y ≤2.则目标函数z ＝－2x ＋y 的取值范围是________．解析约束条件对应的可行域如图，由图可知，当目标函数经过图中点(3,2)时取得最小值－4，经过点(0,2)时，取得最大值2，所以取值范围是[－4,2]．答案[－4,2]。

高考数学二轮复习专题一高考客观题常考知识第3讲不等式与线性规划课件理

因为 f(x)是奇函数,f(-1)=0,所以 f(1)=-f(-1)=0,所以 g(1)= f 1 =0,
1
所以当 x∈(0,1)时,g(x)>0,从而 f(x)>0;当 x∈(1,+∞)时,g(x)<0,从而 f(x)<0.
又因为 g(-x)= f x = f x = f x =g(x),所以 g(x)是偶函数,
x 2 y 2 0,
z=x+y 的最大值为
.
解析:作出可行域, 如图: 由 z=x+y 得 y=-x+z,当直线
y=-x+z 过点 A（1, 1 ）时,z 取得 2
最大值,zmax=1+ 1 = 3 . 22
答案: 3 2
备考指要
1.怎么考 (1)高考对不等式的解法考查主要与函数图象、性质、导数等相结合考查. 多以选择、填空题形式出现,难度中等或偏上. (2)线性规划主要考查直接求目标函数的最值(或范围)和已知目标函数最值求参数的值(或范围),常以选择、填空题形式出现,难度中等或偏下. (3)高考对基本不等式一般不单独考查,有时在其他知识(如数列、解三角形、解析几何、导数的应用等)中求最值时常用到. 2.怎么办 (1)不等式的性质是解(证)不等式的基础,要弄清条件和结论,不等式的解法“三个二次”之间的联系的综合应用要加强训练. (2)对线性规划问题要注重目标函数的几何意义的应用,准确作出可行域是正确解题的关键. (3)复习备考中应突出利用基本不等式求最值的方法,注意“拆”“拼” “凑”等技巧的强化训练及等价转化、分类讨论、逻辑推理能力的培养.
核心整合
1.不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2+bx+c>0(a≠0),再求相应一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根,最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集.

高考数学必考知识点3不等式及线性规划问题

2013年高考数学必考知识点3 不等式及线性规划问题1．(2011·上海)若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式恒成立的是( )．A ．a 2＋b 2＞2abB ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b＞2abD.b a ＋ab≥2答案：D [对于A ：当a ＝b ＝1时满足ab ＞0，但a 2＋b 2＝2ab ，所以A 错；对于B 、C ：当a ＝b ＝－1时满足ab ＞0，但a ＋b ＜0，1a ＋1b＜0，而2ab ＞0，2ab＞0，显然B 、C 不对；对于D ：当ab ＞0时，由基本不等式可得b a ＋ab≥2b a ·ab＝2.]2．(2012·辽宁)若x ∈[0，＋∞)，则下列不等式恒成立的是( )．A ．e x ≤1＋x ＋x 2B.11＋x≤1－12x ＋14x 2C ．cos x ≥1－12x 2D ．ln(1＋x )≥x －18x2答案：C [正确命题要证明，错误命题只需举一个反例即可．如A ，因为e 3＞1＋3＋32，故A 不恒成立；同理，当x ＝13时，11＋x ＞1－12x ＋14x 2，故B 不恒成立；因为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋12x 2－1′＝－sin x ＋x ≥0(x ∈[0，＋∞))，且x ＝0时，y ＝cos x ＋12x 2－1＝0，所以y ＝cos x ＋12x 2－1≥0恒成立，所以C 对；当x ＝4时，ln(1＋x )＜x －18x 2，故D 不恒成立．]3．(2012·山东)设变量x ，y 满足约束条件⎝ ⎛x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )．A .⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1 C ．[－1,6]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，32答案：A [作出不等式组所表示的区域如图，由z ＝3x －y 得，y ＝3x －z ，平移直线y ＝3x ，由图象可知当直线经过点E (2，0)时，直线y ＝3x －z 的截距最小，此时z 最大为z ＝3×2－0＝6，当直线经过C 点时，直线y ＝3x －z 的截距最大，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧4x －y ＝－1，2x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝3，此时z ＝3x －y ＝32－3＝－32，所以z ＝3x －y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6.]4．(2012·安徽)若x ，y 满足约束条件⎝⎛x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则x －y 的取值范围是________．解析记z ＝x －y ，则y ＝x －z ，所以z 为直线y ＝x －z 在y 轴上的截距的相反数，画出不等式组表示的可行域如图中△ABC 区域所示．结合图形可知，当直线经过点B (1,1)时，x －y 取得最大值0，当直线经过点C (0,3)时，x －y 取得最小值－3.答案 [－3,0]本部分内容高考主要考查以下几方面：(1)考查利用基本不等式求最值、证明不等式等，利用基本不等式解决实际问题．(2)考查以线性目标函数的最值为重点，目标函数的求解常结合其代数式的几何意义(如斜率、截距、距离、面积等)来求解．(3)一元二次不等式经常与函数、导数、数列、解析几何相结合考查参数的取值范围，以考查一元二次不等式的解法为主，并兼顾二次方程的判别式、根的存在等．不等式部分重点掌握一元二次不等式的解法，特别是含有字母参数的一元二次不等式的解法，基本不等式求最值，二元一次不等式组所表示的平面区域，包括平面区域的形状判断、面积以及与平面区域有关的最值问题，简单的线性规划模型在解决实际问题中的应用．对不等式的深入复习要结合数列、解析几何、导数进行.必备知识一元二次不等式(1)一元二次不等式的解集可以由一元二次方程的解结合二次函数的图象得来，不要死记硬背，二次函数的图象是联系“二次型”的纽带．(2)对含参数的不等式，难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因，确定好分类标准(如最高次系数、判别式、根相等)，层次清楚地求解．(3)与一元二次不等式有关的恒成立问题，通常转化为根的分布问题，求解时一定要借助二次函数的图象，一般考虑四个方面：开口方向、判别式的符号、对称轴的位置、区间端点函数值的符号．基本不等式(1)基本不等式a 2＋b 2≥2ab 取等号的条件是当且仅当a ＝b ；当且仅当x ＝y 时，x ＋y2≥xy (x ＞0，y ＞0)取等号．(2)几个重要的不等式：①ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；②a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab ≥2aba ＋b(a ＞0，b ＞0)； ③a ＋1a≥2(a ＞0，当a ＝1时等号成立)；2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R ，当a ＝b 时等号成立)； |a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |. (3)最值问题：设x ，y 都为正数，则有①若x ＋y ＝s (和为定值)，则x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24；②若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p .比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点．解决线性规划问题的一般步骤 (1)确定线性约束条件； (2)确定线性目标函数； (3)画出可行域；(4)利用线性目标函数(直线)求出最优解；(5)据实际问题的需要，适当调整最优解(如整数解等)．必备方法1．解一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)或ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)，可利用一元二次方程、一元二次不等式和二次函数间的关系．2．使用基本不等式以及与之相关的不等式求一元函数或者二元函数最值时，基本的技巧是创造使用这些不等式的条件，如各变数都是正数，某些变数之积或者之和为常数等，解题中要根据这个原则对求解目标进行适当的变换，使之达到能够使用这些不等式求解最值的目的．在使用基本不等式求函数的最值、特别是求二元函数最值时一定要注意等号成立的条件，尽量避免二次使用基本不等式．3．平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集．线性目标函数z ＝ax ＋by 中的z 不是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，把目标函数化为y ＝－ab x ＋z b可知z b是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，要根据b 的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值.基本不等式的应用常考查：①直接利用基本不等式求最值；②先利用配凑法等进行恒等变形，再利用基本不等式求最值．近几年高考试题常考查实际应用题中基本不等式的应用，应引起我们的重视．【例1】► (2010·重庆)已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )．A ．3B ．4 C.92 D.112[审题视点][听课记录][审题视点] 将已知式改写成y 关于x 的表达式，再代入x ＋2y 消元，整理成应用基本不等式的形式求最值． B [∵x ＋2y ＋2xy ＝8，∴y ＝8－x2x ＋2＞0，∴－1＜x ＜8，∴x ＋2y ＝x ＋2·8－x 2x ＋2＝(x ＋1)＋9x ＋1－2≥2x ＋1·9x ＋1－2＝4，此时x ＝2，y ＝1，故选B.]当函数或代数式具有“和是定值”、“积是定值”的结构特点时，常利用基本不等式求其最大、最小值．在具体题目中，一般很少考查基本不等式的直接应用，而是需要对式子进行变形，寻求其中的内在关系，然后利用基本不等式得出结果．【突破训练1】已知a ＞0，b ＞0，且a ＋2b ＝1.则1a ＋1b的最小值为________．解析 1a ＋1b ＝a ＋2b a ＋a ＋2b b＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a b≥3＋22b a ×ab＝3＋2 2.即1a ＋1b的最小值为3＋2 2.答案 3＋2 2 线性规划问题的解法线性规划问题常考查有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是知最优解情况或可行域情况确定参数的值或取值范围．同时，这也是高考的热点，主要以选择题、填空题的形式考查．【例2】► (2012·潍坊模拟)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0.若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为12，则3a ＋2b的最小值为( )．A .256 B.83 C.113D ．4[审题视点] [听课记录][审题视点] 先由已知结合线性规划知识可以求得a ，b 的关系式，再由基本不等式求解．A [不等式表示的平面区域如图所示阴影部分．当直线ax ＋by ＝z (a ＞0，b ＞0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)取得最大值12，即4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6.所以2a ＋3b ＝⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ·2a ＋3b 6＝136＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥136＋2＝256.]线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想．需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错，比如上题中目标函数所对应直线的斜率－ab＜0；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．【突破训练2】 (2012·江西)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润((单位：亩)分别为( )．A ．50,0B ．30,20C ．20,30D ．0,50答案：B [设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x 亩，y 亩，总利润为z 万元，则目标函数为z ＝(0.55×4x －1.2x )＋(0.3×6y －0.9y )＝x ＋0.9y .线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，4x ＋3y ≤180，x ≥0，y ≥0.画出可行域，如图所示．作出直线l 0：x ＋0.9y ＝0，向上平移至过点B 时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝50，4x ＋3y ＝180，求得B (30，20)．]不等式解法的考查常考查：①含参不等式的求解；②已知含参不等式恒成立，求参数的取值范围，尤其是一元二次不等式的求解是高考重点考查的知识点之一，几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，要注意解题的灵活性．【例3】► 若不等式x 2－ax ＋1≥0对于一切x ∈(0,2]成立，求a 的取值范围． (1)若题中区间改为x ∈[－2,2]，求a 的取值范围； (2)若题中区间改为a ∈[－2,2]，求x 的取值范围． [审题视点] [听课记录][审题视点] 原题可利用分离法求解；(1)分离参数后，需分x ＝0，x ∈(0,2]，x ∈[－2,0)讨论；(2)利用变换主元法求解．解原不等式可化为a ≤x 2＋1x ，而x 2＋1x ≥2xx＝2，所以a 的取值范围是(－∞，2]．(1)因为x ∈[－2,2]，而当x ＝0时，原式为02－a ·0＋1≥0恒成立，此时a ∈R ；当x ≠0时，令f (x )＝x 2＋1x＝x＋1x，则当x ∈(0,2]时，知a ∈(－∞，2]，所以当x ∈[－2,0)时，因为a ≥x 2＋1x ，令f (x )＝x 2＋1x ＝x ＋1x，由函数的单调性可知，所以f (x )m ax ＝f (－1)＝－2，所以a ∈[－2，＋∞)，综上可知，a 的取值范围是[－2,2]．(2)因为a ∈[－2,2]，则可把原式看作关于a 的函数，即g (a )＝－xa ＋x 2＋1≥0，由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧g－2＝x 2＋2x ＋1≥0，g 2＝x 2－2x ＋1≥0，解之得x ∈R ，所以x 的取值范围是(－∞，＋∞)．本题考查了不等式恒成立问题，在给定自变量的取值范围时，解有关不等式问题时，往往采用分离变量或适当变形，或变换主元，或构造函数，再利用函数的单调性或基本不等式进行求解，在解答时，一定要注意观察所给不等式的形式和结构，选取合适的方法去解答．【突破训练3】已知f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．解设F (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，则问题的条件变为当x ∈[－1，＋∞)时，F (x )≥0恒成立．∵当Δ＝(－2a )2－4(2－a )＝4(a ＋2)·(a －1)≤0，即－2≤a ≤1时，F (x )≥0恒成立．又当Δ＞0时，F (x )≥0在[－1，＋∞)上恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，F －1≥0，－－2a 2≤－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1或a ＜－2，a ≥－3，a ≤－1⇒－3≤a ＜－2.故a 的取值范围是[－3,1]．不等式的综合应用不等式的综合应用主要体现在不等式与函数、方程、导数、数列等其它知识的综合应用．不等式作为一种工具经常与函数、方程结合在一起，用其研究函数和方程的有关题目；再就是利用函数和方程的理论研究不等式．题目难度较大．【例4】► 设函数f (x )＝x 2＋a ln(1＋x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2. (1)求a 的取值范围，并讨论f (x )的单调性； (2)证明：f (x 2)＞1－2ln 24.[审题视点] [听课记录][审题视点] 第(1)问基础常规，第(2)问要证明不等式，常规方法很难见效，转而构造函数，反复利用导数作工具研究函数的单调性，其中需要一定的探究能力．(1)解 f ′(x )＝2x ＋a1＋x ＝2x 2＋2x ＋a1＋x (x ＞－1)．令g (x )＝2x 2＋2x ＋a ，其对称轴为x ＝－12.由题意知x 1、x 2是方程g (x )＝0的两个均大于－1的不相等的实根，且x 1＝－1－1－2a 2，x 2＝－1＋1－2a2，其充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－8a ＞0，g －1＝a ＞0，得0＜a ＜12.①当x ∈(－1，x 1)时，f ′(x )＞0， ∴f (x )在(－1，x 1)内为增函数； ②当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )＜0， ∴f (x )在(x 1，x 2)内为减函数； ③当x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )＞0， ∴f (x )在(x 2，＋∞)内为增函数．(2)证明当x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )＞0， ∴－12＜x 2＜0.a ＝－(2x 22＋2x 2)．∴f (x 2)＝x 22＋a ln(1＋x 2)＝x 22－(2x 22＋2x 2)ln(1＋x 2)．设h (x )＝x 2－(2x 2＋2x )ln(1＋x )⎝⎛⎭⎪⎫x ＞－12，则h ′(x )＝2x －2(2x ＋1)ln(1＋x )－2x ＝－2(2x ＋1)ln(1＋x )．①当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0时，h ′(x )＞0， ∴h (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0上单调递增； ②当x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )＜0，h (x )在(0，＋∞)上单调递减．∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0时，h (x )＞h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1－2ln 24.故f (x 2)＝h (x 2)＞1－2ln 24.在确定函数的单调区间时，往往需要对所求出的导数中的参数进行分类讨论来解决，不等式的证明常常借助构造函数，利用函数的单调性进行证明，从而使问题的解决变得简单、明快．【突破训练4】已知函数f (x )＝x 3－3ax 2－9a 2x ＋a 3.若a ＞14，且当x ∈[1,4a ]时，|f ′(x )|≤12a 恒成立，试确定a 的取值范围．解 f ′(x )＝3x 2－6ax －9a 2的图象是一条开口向上的抛物线，关于x ＝a 对称．①若14＜a ≤1，则f ′(x )在[1,4a ]上是增函数，从而f ′(x )在[1,4a ]上的最小值是f ′(1)＝3－6a －9a 2，最大值是f ′(4a )＝15a 2.由|f ′(x )|≤12a ，得－12a ≤3x 2－6ax －9a 2≤12a ，于是有f ′(1)＝3－6a －9a 2≥－12a ，且f ′(4a )＝15a 2≤12a . 由f ′(1)≥－12a ，得－13≤a ≤1，由f ′(4a )≤12a ，得0≤a ≤45.所以a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤14，1∩⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1∩⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，45，即a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤14，45.②若a ＞1，则|f ′(a )|＝12a 2＞12a .故当x ∈[1,4a ]时，|f ′(x )|≤12a 不恒成立．所以使|f ′(x )|≤12a (x ∈[1,4a ])恒成立的a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤14，45.把握好含参二次不等式的分类标准的四个“讨论点”含参数的二次不等式的解法常常涉及到参数的讨论问题，如何选择讨论标准是学生不易掌握的地方．实际上，只要把握好下面的四个“讨论点”，一切便迎刃而解．分类标准一：二次项系数是否为零，目的是讨论不等式是否为二次不等式；分类标准二：二次项系数的正负，目的是讨论二次函数图象的开口方向；分类标准三：判别式的正负，目的是讨论二次方程是否有解；分类标准四：两根差的正负，目的是比较根的大小．【示例】► (2012·汕头调研)已知函数f (x )＝ax ＋bx＋c (a ＞0)的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝x －1. (1)用a 表示出b ，c ；(2)若f (x )≥ln x 在[1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围． [满分解答] (1)f ′(x )＝a －b x2，则有⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝a ＋b ＋c ＝0，f ′1＝a －b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a －1，c ＝1－2a .(4分)(2)由(1)知，f (x )＝ax ＋a －1x＋1－2a . 令g (x )＝f (x )－ln x ＝ax ＋a －1x＋1－2a －ln x ，x ∈[1，＋∞)，则g (1)＝0，g ′(x )＝a －a －1x 2－1x＝ax 2－x －a －1x 2＝a x －1x －1－aax2.(8分)①当0＜a ＜12时，1－aa＞1.若1＜x ＜1－aa，则g ′(x )＜0，g (x )是减函数，所以g (x )＜g (1)＝0，即f (x )＜ln x ．故f (x )≥ln x 在[1，＋∞)上不恒成立．(10分)②当a ≥12时，1－a a≤1.若x ＞1，则g ′(x )＞0，g (x )是增函数，所以g (x )＞g (1)＝0，即f (x )＞ln x ，故当x ≥1时，f (x )≥ln x . 综上所述，所求a 的取值范围为12，＋∞.(12分)老师叮咛：对不确定的根的大小关系不加区分，整体表现为不能有序地进行分类讨论，对于分类讨论的题目没有结论，这都是造成失分的原因，切记！【试一试】 (高考题改编)解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0. 解不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0，即(ax －1)(x －2)＜0.(1)当a ＞0时，不等式可以化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)＜0.①若0＜a ＜12，则1a＞2，此时不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫2，1a ；②若a ＝12，则不等式为(x －2)2＜0，不等式的解集为∅；③若a ＞12，则1a ＜2，此时不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2. (2)当a ＝0时，不等式即－x ＋2＜0，此时不等式的解集为(2，＋∞)．(3)当a ＜0时，不等式可以化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)＞0.由于1a＜2，故不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1a ∪(2，＋∞)．综上所述，当a ＜0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1a ∪(2，＋∞)；当a ＝0时，不等式的解集为(2，＋∞)；当0＜a ＜12时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1a ；当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a ＞12时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2.。

高考线性规划知识点

高考线性规划知识点高考是对学生综合能力的一次全面考查，其中数学是不可避免的一项内容。

而线性规划作为数学中的一个重要章节，也广泛出现在高考中。

本文将围绕高考线性规划知识点展开讨论。

一、线性规划的定义和基本思想线性规划是一种数学优化方法，用于在一组线性约束条件下，求解一个线性目标函数的最大值或最小值。

其基本思想是将求解问题转化为求解函数的最值问题。

二、线性规划的基本要素1. 决策变量：表示问题中需要决策的量或者参数，常用字母表示。

2. 目标函数：表示问题的优化目标，通常是一个线性函数。

3. 约束条件：表示问题的限制条件，常常是一组线性不等式或等式。

4. 可行解集：满足所有约束条件的解的集合。

5. 最优解：在可行解集中使得目标函数取得最大或最小值的解。

三、线性规划的图形解法对于线性规划问题，我们可以通过图形解法快速找到最优解。

具体步骤如下：1. 根据约束条件，将可行解集用直线或者线段表示出来；2. 根据目标函数的方向，确定最优解在可行解集中的位置；3. 在可行解集与目标函数的交点中，寻找最优解。

四、单纯形法除了图形解法外，线性规划还可以通过单纯形法求解。

单纯形法是一种基于表格的算法，通过迭代计算不断逼近最优解。

具体步骤如下：1. 构造初始单纯形表格，包括决策变量、目标函数系数、约束条件等；2. 计算单纯形表格中的各个元素；3. 判断是否达到最优解，若未达到则进行下一次迭代；4. 重复上述步骤，直到获得最优解。

五、常见题型及解题方法在高考中，线性规划题目的形式多样，其中常见题型包括：1. 单纯形表格的构造与迭代计算；2. 最大最小值的求解；3. 边界条件下的最优解；4. 多目标线性规划等。

针对不同题型，我们需要选择合适的解题方法。

对于单纯形表格，按照步骤计算即可。

对于最大最小值的求解，可以使用图形解法或者单纯形法。

对于边界条件下的最优解，需要利用线性规划的基本性质进行推导。

对于多目标线性规划，可以通过目标函数的线性组合转化为单一目标的线性规划等。

高考数学深化复习命题热点提分专题03不等式与线性规划理

高考数学知识点：不等式一、简单的线性规划问题

高考数学知识点：不等式一、简单的线性规划问题?(1) 常规的线性规划问题，即求在线性约束条件下的最值问题;(2) 与函数、平面向量等知识结合的最值类问题;(3) 求在非线性约束条件下的最值问题;(4) 考查线性规划问题在解决实际生活、生产实际中的应用.而其中的第(2)(3)(4)点往往是命题的创新点。

【例1】设函数f(θ)=?3?sin?θ+??cos?θ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点?P(x,y)?，且0≤θ≤?π?。

(1) 若点P的坐标为12,32，求f(θ)的值;(2) 若点P(x,y)为平面区域Ω：x+y≥1,x≤1,y≤1。

上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f(θ)的最小值和最大值。

分析第(1)问只需要运用三角函数的定义即可;第(2)问中只要先画出平面区域Ω，再根据抽画出的平面区域确定角θ的取值范围，进而转化为求f(θ)=a?sin?θ+b?cos?θ型函数的最值。

解(1) 由点P的坐标和三角函数的定义可得?sin?θ=32，?cos?θ=12。

于是f(θ)=3?sin?θ+??cos?θ=?3×32+12=2。

(2) 作出平面区域Ω (即三角形区域ABC)如图所示，其中A(1,0)，B(1,1)，?C(0,1)?.于是0≤θ≤?π?2,又f(θ)=3?sin?θ+?cos?θ=2?sin?θ+?π?6，且?π?6≤θ+??π?6≤?2?π?3，故当θ+?π?6=?π?2，即θ=?π?3时，f(θ)取得最大值，且最大值等于2;当θ+?π?6=?π?6，即θ=0时，f(θ)取得最小值，且最小值等于1。

点评本题中的最大的亮点在于以解答题的形式将线性规划中的基础内容平面区域与三角函数的求值进行了的有机综合，过去历年高考对线性规划考查中并不多见。

二、基本不等式基本不等式是不等式的重要内容,也是历年高考重点考查的知识之一。

它的应用几乎涉及数学的所有的章节,高考命题的重点是大小判断、求最值、求范围等.大多为填空题，试题的难度不大，近几年的高考试题中也出现了不少考查基本不等式的实际应用问题。

高考数学专题讲义：不等式与线性规划 (2)

高考数学专题讲义：不等式与线性规划【考向解读】不等式的性质、求解、证明及应用是每年高考必考的内容,对不等式的考查一般以选择题、填空题为主.(1)主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划求最值；(2)不等式相关的知识可以渗透到高考的各个知识领域,往往作为解题工具与数列、函数、向量相结合,在知识的交汇处命题,难度中档；在解答题中,特别是在解析几何中求最值、范围或在解决导数问题时经常利用不等式进行求解,但难度偏高.【命题热点突破一】不等式的解法1．一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0),再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根,最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集．2．简单分式不等式的解法(1)f xg x>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；(2)f xg x≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.3．指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式,可利用函数的单调性求解．例1、（2018年北京卷）设集合则A. 对任意实数a,B. 对任意实数a,（2,1）C. 当且仅当a<0时,（2,1）D. 当且仅当时,（2,1）【答案】D【变式探究】【2017江苏,10】某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x的值是▲ .【答案】30【解析】总费用,当且仅当900xx=,即30x=时等号成立.【变式探究】若,则( )（A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）（D ）【答案】C【解析】用特殊值法,令3a =,2b =,12c =得112232>,选项A 错误,,选项B 错误,,选项C 正确,,选项D 错误,故选C ．【变式探究】设变量x ,y 满足约束条件则目标函数25z x y =+的最小值为（）（A ）4- （B ）6（C ）10（D ）17【答案】B【感悟提升】在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误．【变式探究】(1)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy (x ,y ∈R,xy ≠0),当x ＞0,y ＞0时,x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________.(2)函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值为________. 【答案】(1)2 (2)15【解析】(1)由题意,得x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋2y 2－x 22yx＝x 2＋2y 22xy ≥2x 2·2y 22xy ＝2,当且仅当x ＝2y 时取等号.(2)令t ＝x －1≥0,则x ＝t 2＋1,所以y ＝t t 2＋1＋3＋t ＝tt 2＋t ＋4. 当t ＝0,即x ＝1时,y ＝0；当t >0,即x >1时,y ＝1t ＋4t ＋1, 因为t ＋4t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号), 所以y ＝1t ＋4t ＋1≤15, 即y 的最大值为15(当t ＝2,即x ＝5时y 取得最大值).【点评】求条件最值问题一般有两种思路：一是利用函数单调性求最值；二是利用基本不等式.在利用基本不等式时往往都需要变形,变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件,即“和”或“积”为定值.等号能够取得.【命题热点突破三】简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域,再注意目标函数表示的几何意义,数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点),但要注意作图一定要准确,整点问题要验证解决．例3、（2018年全国I 卷）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为A. 6B. 19C. 21D. 45 【答案】C【变式探究】【2017山东,文3】已知x ,y 满足约束条件,则z =x +2y 的最大值是A.-3B.-1C.1D.3 【答案】D【解析】画出约束条件表示的可行域,如图中阴影部分所示,平移直线20x y +=,可知当其经过直线与2y =的交点()1,2-时, 2z x y =+取得最大值,为,故选D.3. （2018年浙江卷）若满足约束条件则的最小值是___________,最大值是___________．【答案】 (1). -2 (2). 84. （2018年天津卷）已知a,b∈R,且a–3b+6=0,则2a+的最小值为__________．【答案】【解析】由可知,且：,因为对于任意x,恒成立, 结合均值不等式的结论可得：.当且仅当,即时等号成立.综上可得的最小值为.5. （2018年北京卷）若x,y满足,则2y−x的最小值是_________.【答案】3【解析】不等式可转化为,即满足条件的在平面直角坐标系中的可行域如下图令,由图象可知,当过点时,取最小值,此时,的最小值为.6. （2018年江苏卷）在中,角所对的边分别为,,的平分线交于点D,且,则的最小值为________．【答案】97. （2018年全国III 卷）若变量满足约束条件则的最大值是________．【答案】3【解析】作出可行域1.【2017课标1,文7】设x,y满足约束条件33,1,0,x yx yy+≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z=x+y的最大值为A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D2.【2017课标II,文7】设,x y 满足约束条件,则2z x y =+的最小值是A.15-B.9-C.1 D 9 【答案】A【解析】x 、y 满足约束条件的可行域如图：5.【2017山东,文3】已知x ,y 满足约束条件,则z =x +2y 的最大值是A.-3B.-1C.1D.3 【答案】D6.【2017浙江,4】若x ,y 满足约束条件,则y x z 2+=的取值范围是A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6,)∞+D ．[4,)∞+【答案】D【解析】如图,可行域为一开放区域,所以直线过点(2,1)时取最小值4,无最大值,选D ．7.【2017江苏,10】某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 ▲ .【答案】30 【解析】总费用,当且仅当900x x=,即30x =时等号成立.1. 【2016高考新课标1卷】若,则( )（A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）（D ）【答案】C2.【2016高考天津文数】设变量x ,y 满足约束条件则目标函数25z x y =+的最小值为（）（A ）4- （B ）6（C ）10（D ）17【答案】B【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中,直线z 25x y =+过点xoy2x y -=02=-y x03=-+y xB 时取最小值6,选B.3.【2016高考山东文数】若变量x ,y 满足,则22x y 的最大值是（）（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12【答案】C【解析】不等式组表示的可行域是以A (0,-3),B (0,2),C (3,-1)为顶点的三角形区域,22x y +表示点（x ,y ）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为210OC =,故选C.6.【2016年高考四川文数】设p ：实数x ,y 满足,q ：实数x ,y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的( )（A ）必要不充分条件（B ）充分不必要条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】Ax y OP7.【2016高考新课标3文数】若,x y满足约束条件则z x y=+的最大值为_____________.【答案】3 2【解析】作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.由图知,当直线z x y=+经过点A时,z取得最大值.由得112xy=⎧⎪⎨=⎪⎩,即1(1,)2A,则．8.【2016高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．【答案】216000作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.将变形,得,平行直线73y x =-,当直线经过点M 时,z 取得最大值.【答案】A8.(2015·广东卷)若变量x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2，则z ＝3x ＋2y 的最小值为( )A.315B.6C.235D.4【解析】不等式组所表示的可行域如下图所示,【答案】C9.(2015·浙江卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg （x 2＋1），x ＜1，则f (f (－3))＝________,f (x )的最小值是________.【解析】f (f (－3))＝f (1)＝0,当x ≥1时,f (x )＝x ＋2x －3≥22－3,当且仅当x ＝2时,取等号；当x ＜1时,f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0,当且仅当x ＝0时,取等号,∴f (x )的最小值为22－3.【答案】0 22－3。

高考数学二轮复习第1部分专题1 必考点3 不等式、线

自我挑战
1．已知a，b，c满足c<b<a且ac<0，则下列选项中，不一定能成立的是
(C)
cb A.a<a
b－a B. c >0
b2 a2 C. c > c
a－c D. ac <0
选C.由题意可知c<0，a>0⇒1c<1a，D正确．
∴ ca<>b0⇒ca<ab，A正确. bc<<0a⇒bc>ac，B正确．故选C.
小题速解
类型一不等式性质与解不等式
(基本法) 先求出函数f(x)在R上的解析式，然后分段求解不等式 f(x)>x，即得不等式的解集．设x<0，则－x>0，于是f(－x)＝(－x)2－4(－x)＝x2＋4x，由于f(x)是R上的奇函数，所以－f(x)＝x2＋4x，即f(x)＝－x2－4x，且f(0)＝0，于是f(x)
小题速解
类型一不等式性质与解不等式
[例1] (1)若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( D )
b b＋1 A.a>a＋1
2a＋b a B.a＋2b>b
C．a－b1>b－1a
D．a＋1b>b＋a1
(基本法) 根据不等式性质直接推证
由a>b>0，
∴1b>1a>0，∴a＋1b>b＋a1. (速解法) 特例法：令a＝1，b＝2代入验证逐个排除
可得答案D.
小题速解
类型一不等式性质与解不等式
利用不等式性质逐个排除] A 不符合真分数性质；B 即为 b2>a2 与 a>b>0 矛盾； C 不符合不等式倒数及加法性质．故选 D. (2)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x>0 时，f(x)＝x2－4x，则不等式 f(x)>x 的解集用区间表示为________．

高三数学线性规划知识点

高三数学线性规划知识点线性规划是数学中的一个重要分支，广泛应用于经济、管理、工程等领域。

它通过建立数学模型，寻找一组最佳决策方案，以实现特定的目标。

在高三数学学习中，线性规划是一个重要的知识点，本文将介绍线性规划的基本概念、常见问题类型以及解题方法。

一、线性规划的基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是在一组约束条件下，最大化或最小化一个线性函数，这个线性函数就是目标函数。

通常用Z表示目标函数的值。

2. 变量：目标函数中的每个变量都代表一个决策变量，这些变量的取值将影响目标函数的计算结果。

3. 约束条件：线性规划的一个重要特点是存在一组约束条件，这些约束条件限制了决策变量的取值范围。

约束条件通常是由一组线性不等式或等式表示。

4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。

5. 最优解：在所有可行解中，使得目标函数达到最大值或最小值的解称为最优解。

二、线性规划的问题类型1. 单纯形法：单纯形法是一种常用的线性规划求解方法。

它通过不断优化目标函数的值，逐步接近最优解。

单纯形法通过迭代计算一系列基础可行解，直到找到最优解为止。

2. 对偶性定理：线性规划中的对偶性定理是指对于一个标准型的线性规划问题，它与其对偶问题具有相同的最优解。

3. 整数线性规划：当决策变量要求为整数时，这就是一个整数线性规划问题。

整数线性规划的求解更加困难，常常需要借助于分支定界等特殊算法。

4. 网络流线性规划：网络流线性规划是线性规划与图论相结合的一种问题类型。

它通常用于解决最小费用流、最大流等网络优化问题。

三、线性规划的解题方法1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法进行求解。

首先绘制出约束条件所构成的区域，然后绘制目标函数的等高线，并找到最优解所在的点。

2. 单纯形法：对于高维的线性规划问题，可以使用单纯形法进行求解。

单纯形法通过迭代计算一系列基础可行解，直到找到最优解为止。

3. 对偶问题：通过建立原始问题与对偶问题之间的关系，可以将原始问题的求解转化为对偶问题的求解。

高考数学二轮复习专题1高考客观题常考知识第3讲不等式与线性规划理

第3讲不等式与线性规划不等式的解法1.设f(x)=则不等式f(x)<2的解集为( B )(A)(,+∞) (B)(-∞,1)∪[2,)(C)(1,2]∪(,+∞) (D)(1,)解析:原不等式等价于或即或解得2≤x<或x<1.故选B.2.(2015山东卷)若函数f(x)=是奇函数,则使f(x)>3成立的x的取值范围为( C )(A)(-∞,-1) (B)(-1,0)(C)(0,1) (D)(1,+∞)解析:f(-x)==,由f(-x)=-f(x)得=-,即1-a·2x=-2x+a,化简得a·(1+2x)=1+2x,所以a=1.f(x)=.由f(x)>3,得0<x<1,故选C.3.(2015陕西西安市模拟)关于x的不等式x2-2ax-3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=12,则实数a的值等于.解析:因为关于x的不等式x2-2ax-3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2),所以x1+x2=2a,x1·x2=-3a2,又x2-x1=12,(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1·x2,所以144=4a2+12a2=16a2,解得a=±3,因为a<0,所以a=-3.答案:-3简单的线性规划问题4.(2015北京卷)若x,y满足,则z=x+2y的最大值为( D )(A)0 (B)1 (C)(D)2解析:由x,y的约束条件可画出可行域(如图所示),其中A（,）,B(0,1),易知直线x+2y-z=0经过点B(0,1)时,z取最大值2,故选D.5.(2015浙江温州市第二次适应测试)若实数x,y满足不等式组且z=y-2x的最小值等于-2,则实数m的值等于( A )(A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2解析:由z=y-2x,得y=2x+z,作出不等式对应的可行域,平移直线y=2x+z,由平移可知当直线y=2x+z经过点A时,直线y=2x+z的截距最小,此时z取得最小值为-2, 即y-2x=-2,由解得即A(1,0),点A也在直线x+y+m=0上,则m=-1.故选A.6.(2015贵州遵义市第二次联考)若则目标函数z=的取值范围是( A )(A)[2,5] (B)[1,5] (C)[,2] (D)[2,6]解析:z==1+2,可理解为求斜率的最值问题,画出可行域如图阴影部分,可知k=在(1,2)点处最大,最大为2;在(2,1)点处最小,最小为,所以z的取值范围为[2,5].故选A.7.(2015河南开封市模拟)设不等式组表示的平面区域为D,若指数函数y=a x的图象上存在区域D上的点,则a的取值范围是.解析:作出区域D的图象,联系指数函数y=a x的图象,能够看出,当图象经过区域的边界点C(2,9)时,a可以取到最大值3,而显然只要a大于1,图象必然经过区域内的点.则a的取值范围是1<a≤3.答案:(1,3]基本不等式的应用8.(2015甘肃省河西五地市高三第一次联考)函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A 在直线mx+ny-1=0(mn>0)上,则+的最小值为( B )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A(1,1),又点A在直线mx+ny-1=0(mn>0)上,所以m+n=1,所以+=(m+n)(+)=2++≥2+2=4,当且仅当m=n=时取等号.故选B.9.(2015河南郑州市第一次质量预测)某三棱锥的三视图如图所示,且三个三角形均为直角三角形,则xy的最大值为( C )(A)32 (B)32 (C)64 (D)64解析:设该三棱锥的高为h,由三视图知,两式相减并整理得x2+y2=128.又因为xy≤==64(仅当x=y时取等号).10.(2015广东深圳市第一次调研考试)已知向量a=(-1,1),b=(1,)(x>0,y>0),若a⊥b,则x+4y的最小值为.解析:由a⊥b得-1+=0,+=1,(x+4y)·(+)=5++≥2+5=9.（当且仅当=时取等号）答案:9一、选择题1.(2015四川资阳市三模)已知lo a<lo b,则下列不等式一定成立的是( A )(A)（）a<()b(B)>(C)ln(a-b)>0 (D)3a-b<1解析:因为y=lo x是定义域上的减函数,且lo a<lo b,所以a>b>0.又因为y=()x是定义域R上的减函数,所以()a<()b;又因为y=x b在(0,+∞)上是增函数,所以（）b<（）b;所以（）a<（）b,选项A正确.2.(2015湖南卷)若变量x,y满足约束条件则z=3x-y的最小值为( A )(A)-7 (B)-1 (C)1 (D)2解析:画出可行域如图所示.当直线y=3x-z过点C(-2,1)时,z取最小值,故z min=3×(-2)-1=-7.故选A.3.(2015广西柳州市、北海市、钦州市1月份模拟)设变量x,y满足约束条件则z=2x×的最小值为( B )(A)(B)(C)(D)解析:可得z=2x-2y,设m=x-2y,不等式组表示的平面区域如图阴影部分,平移直线l:y=x,由图象可知直线l经过点A时,其截距最大,m最小,z最小,解方程组得A(2,2),则z最小=.4.(2015江西南昌市第一次模拟)已知实数x,y满足若目标函数z=2x+y的最大值与最小值的差为2,则实数m的值为( C )(A)4 (B)3 (C)2 (D)-解析:作出可行域如图,根据目标函数的几何意义可转化为直线y=-2x+z的截距,可知在N点z取最小值,在M点z取最大值.因为N(m-1,m),M(4-m,m),所以z M-z N=2(4-m)+m-2(m-1)-m=10-4m=2,所以m=2.5.(2015甘肃省河西五地市高三第一次联考)已知集合{(x,y)|}表示的平面区域为Ω,若在区域Ω内任取一点P(x,y),则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为( D )(A)(B)(C)(D)解析:作出不等式组对应的平面区域如图,则对应的区域为△AOB.由解得即B(4,-4).由解得即A（,）.直线2x+y-4=0与x轴的交点坐标为(2,0),则△OAB的面积S=×2×+×2×4=.点P的坐标满足不等式x2+y2≤2区域面积S=×π×()2=,由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为=.故选D.6.(2015陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( D )(A)12万元(B)16万元(C)17万元(D)18万元解析:设该企业每天生产甲产品x吨,乙产品y吨,每天获得的利润为z万元,则有z=3x+4y,由题意得x,y满足不等式组表示的可行域是以O(0,0),A(4,0),B(2,3),C(0,4)为顶点的四边形及其内部.根据线性规划的有关知识,知当直线3x+4y-z=0过点B(2,3)时,z取最大值18,故该企业每天可获得最大利润为18万元.故选D.7.设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(),q=f(),r=[f(a)+f(b)],则下列关系式中正确的是( C )(A)q=r<p (B)q=r>p(C)p=r<q (D)p=r>q解析:由题意得p=ln ,q=ln ,r=(ln a+ln b)=ln =p,因为0<a<b,所以>, 所以ln >ln ,所以p=r<q.故选C.8.(2015四川南充市第一次高考适应性考试)若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)满足约束条件且最大值为40,则+的最小值为( B )(A)(B)(C)1 (D)4解析:不等式表示的平面区域为如图阴影部分,当直线z=ax+by(a>0,b>0)过直线x-y+2=0与直线2x-y-6=0的交点(8,10)时,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值40,即8a+10b=40,即4a+5b=20,而+=(+)=+(+)≥+1=.故选B.9.(2014山东卷)已知x,y满足约束条件当目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值2时, a2+b2的最小值为( B )(A)5 (B)4 (C)(D)2解析:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,根据目标函数的几何意义可知,目标函数在点A(2,1)处取得最小值,故2a+b=2.法一将2a+b=2两边分别平方得4a2+b2+4ab=20,而4ab=2×a×2b≤a2+4b2,当且仅当a=2b,即a=,b=时取等号.所以20≤4a2+b2+a2+4b2=5(a2+b2),所以a2+b2≥4,即a2+b2的最小值为4.故选B.法二将2a+b=2看作平面直角坐标系aOb中的直线,则a2+b2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方,故其最小值为坐标原点到直线2a+b=2距离的平方,即()2=4.故选B.10.(2015重庆卷)若不等式组表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m 的值为( B )(A)-3 (B)1 (C)(D)3解析:作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,由图可知,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则m>-1.由解得即A(1-m,1+m).由解得即B(-m,+m).因为S△ABC=S△ADC-S△BDC=(2+2m)[(1+m)-(+m)]=(m+1)2=,所以m=1或m=-3(舍去),故选B.11.(2015四川宜宾市二诊)已知集合A={x∈R|x4+mx-2=0},满足a∈A的所有点M(a,)均在直线y=x的同侧,则实数m的取值范围是( A )(A)(-∞,-)∪(,+∞)(B)(-,-1)∪(1,)(C)(-5,-)∪(,6)(D)(-∞,-6)∪(6,+∞)解析:因为集合A={x∈R|x4+mx-2=0},所以方程的根显然x≠0,原方程等价于x3+m=,原方程的实根是曲线y=x3+m与曲线y=的交点的横坐标,而曲线y=x3+m是由曲线y=x3向上或向下平移|m|个单位而得到的,若交点(x i,)(i=1,2)均在直线y=x的同侧,因直线y=x与y=交点为(-,-),(,);所以结合图象可得或解得m>或m<-.故选A.12.已知函数f(x)=x+sin x(x∈R),且f(y2-2y+3)+f(x2-4x+1)≤0,则当y≥1时,的取值范围是( A )(A)[,] (B)[0,] (C)[,] (D)[0,]解析:因为f(-x)=-x+sin(-x)=-f(x),且f′(x)=1+cos x≥0,所以函数f(x)为奇函数,且在R上是增函数.所以由f(y2-2y+3)+f(x2-4x+1)≤0,得f(y2-2y+3)≤f(-x2+4x-1),所以y2-2y+3≤-x2+4x-1,即(x-2)2+(y-1)2≤1,其表示圆(x-2)2+(y-1)2=1及其内部.表示满足的点P与定点A(-1,0)连线的斜率.结合图形分析可知,直线AC的斜率=最小,切线AB的斜率tan∠BAX=tan 2∠PAX===最大.故选A.二、填空题13.(2015江苏卷)不等式<4的解集为.解析:不等式<4可转化为<22,由指数函数y=2x为增函数知x2-x<2,解得-1<x<2,故所求解集为(-1,2).答案:(-1,2)14.(2014新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0.若f(x-1)>0,则x 的取值范围是.解析:由题意,得函数f(x)的草图如图所示.因为f(x-1)>0,所以|x-1|<2,所以-2<x-1<2,所以-1<x<3.答案:(-1,3)15.(2015合肥八中段考)若正数a,b满足a+2b=3,且使不等式+-m>0恒成立,则实数m的取值范围是.解析:不等式+-m>0恒成立,即3(+)>3m恒成立.又正数a,b满足a+2b=3,(a+2b)(+)=+++2≥,当且仅当a=b=1时取“=”,所以实数m的取值范围是(-∞,).答案:(-∞,)16.(2015浙江卷)已知函数f(x)=则f(f(-3))= ,f(x)的最小值是.解析:因为-3<1,所以f(-3)=lg[(-3)2+1]=lg 10=1,所以f(f(-3))=f(1)=1+-3=0.当x≥1时,f(x)=x+-3≥2-3(当且仅当x=时,取“=”),当x<1时,x2+1≥1,所以f(x)=lg(x2+1)≥0,又因为2-3<0,所以f(x)min=2-3.答案:0 2-3。

【K12教育学习资料】高考数学考点解读+命题热点突破专题03不等式与线性规划理

不等式与线性规划【考向解读】不等式的性质、求解、证明及应用是每年高考必考的内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主.(1)主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划求最值；(2)不等式相关的知识可以渗透到高考的各个知识领域，往往作为解题工具与数列、函数、向量相结合，在知识的交汇处命题，难度中档；在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围或在解决导数问题时经常利用不等式进行求解，但难度偏高.【命题热点突破一】不等式的解法 1．一元二次不等式的解法先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．2．简单分式不等式的解法 (1)f xg x>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)； (2)f xg x≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. 3．指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解．例1、【2016高考新课标1卷】若101a b c >><<，,则( ) （A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c < 【答案】C【感悟提升】(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化；(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集；(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．【变式探究】(1)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝________.(2)已知f (x )是R 上的减函数，A (3，－1)，B (0,1)是其图象上两点，则不等式|f (1＋ln x )|<1的解集是________________．【答案】(1)52 (2)(1e，e 2)【命题热点突破二】基本不等式的应用 1.利用基本不等式求最值的注意点(1)在运用基本不等式求最值时，必须保证“一正，二定，三相等”，凑出定值是关键. (2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错. 2.结构调整与应用基本不等式基本不等式在解题时一般不能直接应用，而是需要根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”，即把研究对象化成适用基本不等式的形式.常见的转化方法有(1)x ＋bx －a＝x －a ＋bx －a＋a (x >a ).(2)若a x ＋b y＝1，则mx ＋ny ＝(mx ＋ny )×1＝(mx ＋ny )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ≥ma ＋nb ＋2abmn (字母均为正数).例2、【2016高考天津理数】设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数25z x y =+的最小值为（）（A ）4- （B ）6（C ）10（D ）17【答案】B【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(0,2),(3,0),(1,3)A B C ，直线z 25x y =+过点B 时取最小值6，选B.【感悟提升】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．【变式探究】(1)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________.(2)函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值为________.【答案】(1) 2 (2)15【解析】(1)由题意，得x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋y2－x22yx＝x 2＋2y 22xy ≥2x 2·2y 22xy＝2，当且仅当x ＝2y 时取等号.(2)令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2＋1，所以y ＝tt 2＋1＋3＋t ＝tt 2＋t ＋4.当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0；当t >0，即x >1时，y ＝1t ＋4t＋1，因为t ＋4t≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，所以y ＝1t ＋4t＋1≤15，即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值).【点评】求条件最值问题一般有两种思路：一是利用函数单调性求最值；二是利用基本不等式.在利用基本不等式时往往都需要变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值.等号能够取得.【命题热点突破三】简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．例3、【2016年高考北京理数】若x ，y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为（）A.0B.3C.4D.5 【答案】C【解析】作出如图可行域，则当y x z +=2经过点P 时，取最大值，而)2,1(P ，∴所求最大值为4，故选C.【感悟提升】(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．【变式探究】若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________.【答案】3【解析】画出可行域如图阴影所示，∵y x表示过点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率， ∴点(x ，y )在点A 处时y x最大.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.∴A (1,3).∴yx的最大值为3.] 【高考真题解读】1. 【2016高考新课标1卷】若101a b c >><<，,则( ) （A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c <【答案】C2.【2016高考天津理数】设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数25z x y =+的最小值为（）（A ）4- （B ）6 （C ）10 （D ）17【答案】B【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(0,2),(3,0),(1,3)A B C ，直线z 25x y =+过点B 时取最小值6，选B.3.【2016高考山东理数】若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x ì+?ïïïï-?íïï锍ïî则22x y +的最大值是（）（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12【答案】C【解析】不等式组表示的可行域是以A (0,-3),B (0,2),C (3,-1)为顶点的三角形区域,22x y +表示点（x ,y ）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为210OC=,故选C.4.【2016高考浙江理数】在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域20340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中的点在直线x +y -2=0上的投影构成的线段记为AB ，则│AB │=（） A ．．4 C ．．6 【答案】C【解析】如图∆PQR 为线性区域，区域内的点在直线20x y +-=上的投影构成了线段''R Q ，即AB ，而''=R Q PQ ，由3400-+=⎧⎨+=⎩x y x y 得(1,1)-Q ，由2=⎧⎨+=⎩x x y 得(2,2)-R，===AB QR C ．5.【2016年高考北京理数】若x ，y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为（）A.0B.3C.4D.5 【答案】C【解析】作出如图可行域，则当y x z +=2经过点P 时，取最大值，而)2,1(P ，∴所求最大值为4，故选C.6.【2016年高考四川理数】设p ：实数x ，y 满足22(1)(1)2x y -+-≤，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的( )（A ）必要不充分条件（B ）充分不必要条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】画出可行域（如图所示），可知命题q中不等式组表示的平面区域ABC∆在命题p中不等式表示的圆盘内，故选A.7.【2016高考新课标3理数】若,x y满足约束条件1020220x yx yx y-+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则z x y=+的最大值为_____________.【答案】3 28.【2016高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．【答案】216000【解析】设生产产品A、产品B分别为x、y件,利润之和为z元,那么1.50.5150,0.390,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩……………① 目标函数2100900z x y =+. 二元一次不等式组①等价于3300,103900,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩?…………② 作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.将2100900z x y =+变形,得73900z y x =-+,平行直线73y x =-,当直线73900zy x =-+经过点M 时,z 取得最大值.解方程组10390053600x y x y +=⎧⎨+=⎩,得M 的坐标(60,100).所以当60x =,100y =时,max 210060900100216000z =⨯+⨯=. 故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216000元.9.【2016高考江苏卷】已知实数,x y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则22x y +的取值范围是 ▲ .【答案】4[,13]5【解析】由图知原点到直线220x y +-=距离平方为22x y +最小值，为245=，原点到点(2,3)距离平方为22x y +最大值，为13，因此22x y +取值范围为4[,13]51.(2015·重庆卷)“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”的( )A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件解析由x ＞1x ＋2＞3 log 12 (x ＋2)＜0，log 12(x ＋2)＜0x ＋2＞1x ＞－1，故“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”成立的充分不必要条件.因此选B.答案 B2.(2015·北京卷)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A.0B.1C.32D.2解析可行域如图所示.目标函数化为y ＝－12x ＋12 z ，当直线y ＝－12x ＋12 z 过点A (0，1)时，z 取得最大值2.答案 D3.(2015·陕西卷)设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A.q ＝r ＜pB.q ＝r ＞pC.p ＝r ＜qD.p ＝r ＞q解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，故f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12＝f (ab )＝p . 故p ＝r ＜q .选C. 答案 C4.(2015·全国Ⅰ卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________.解析约束条件的可行域如图，由y x ＝y －0x －0，则最大值为3.答案 35.(2015·四川卷)如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( )A.16B.18C.25D.812解析令f ′(x )＝(m －2)x ＋n －8＝0，∴x ＝－n －8m －2，当m ＞2时，对称轴x 0＝－n －8m －2，由题意，－n －8m －2≥2，∴2m ＋n ≤12， ∵2mn ≤2m ＋n2≤6，∴mn ≤18，由2m ＋n ＝12且2m ＝n 知m ＝3，n ＝6，当m ＜2时，抛物线开口向下，由题意－n －8m －2≤12，即2n ＋m ≤18， ∵2mn ≤2n ＋m 2≤9，∴mn ≤812，由2n ＋m ＝18且2n ＝m ，得m ＝9(舍去)，∴mn 最大值为18，选B.答案 B6.(2015·山东卷)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A.3B.2C.－2D.－3答案 B7.(2015·天津卷)设x ∈R ，则“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2＞0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由|x －2|＜1得1＜x ＜3，由x 2＋x －2＞0，得x ＜－2或x ＞1，而1＜x ＜3x ＜－2或x ＞1，而x ＜－2或x ＞11＜x ＜3，所以，“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2＞0”的充分而不必要条件，选A.答案 A 8.(2015·广东卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2，则z ＝3x ＋2y 的最小值为( )A.315B.6C.235D.4解析不等式组所表示的可行域如下图所示，由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋z 2，依题意当目标函数直线l ：y ＝－32x ＋z 2经过A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，45时，z 取得最小值，即z min ＝3×1＋2×45＝235，故选C. 答案 C9.(2015·浙江卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg （x 2＋1），x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________.。