抛物线(高三复习笔记)

合集下载

新高考数学抛物线知识点

新高考数学抛物线知识点抛物线作为数学中的重要概念之一，广泛应用于物理、工程等领域。

在新高考数学考试中，抛物线也是一个重要的知识点。

本文将以新高考数学为背景，探讨抛物线的相关概念、性质和应用。

1. 抛物线的定义与基本方程抛物线是在平面上以某一点为焦点，与一条与焦点不重合的直线相切的点的轨迹。

在直角坐标系中，抛物线的方程是$y=ax^2+bx+c$，其中$(a\neq 0)$。

2. 抛物线的几何性质（1）焦点与准线：抛物线上的每一点到焦点的距离与该点到准线的距离相等。

准线是抛物线对称轴上的一条水平直线。

（2）对称性：抛物线关于准线对称。

（3）定点：抛物线上的顶点是准线与抛物线的交点，也是抛物线的最值点。

（4）开口方向：抛物线开口的方向取决于二次项系数$a$的正负。

当$a>0$时，抛物线开口向上；当$a<0$时，抛物线开口向下。

3. 抛物线的相关公式（1）焦距公式：焦距$f=\dfrac{1}{4|a|}$。

焦点到准线的距离等于焦点到抛物线顶点的距离。

（2）焦点坐标：焦点的坐标为$(0, \dfrac{1}{4|a|})$。

（3）顶点坐标：抛物线的顶点坐标为$(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$。

（4）准线方程：准线的方程为$y=-\dfrac{1}{4a}$。

4. 抛物线的应用抛物线作为一种强大的数学工具，在实际生活中有着广泛的应用。

（1）物理学中的应用：抛物线可以用来描述自由落体和抛体运动的轨迹。

例如，投掷物体的运动轨迹可以近似为一个抛物线。

（2）工程学中的应用：抛物线在工程设计中有着重要的应用，如天桥的设计、悬索桥的设计等。

通过抛物线的性质和公式，工程师可以合理地设计结构，使得建筑物的受力分布更加均匀并且美观。

（3）经济学中的应用：抛物线可以用来描述成本和利润之间的关系。

例如，在经济学中，经济学家经常使用抛物线来分析成本与产量之间的关系，并确定生产的最佳产量。

抛物线知识点总结_高三数学知识点总结

抛物线知识点总结_高三数学知识点总结一、抛物线的定义抛物线是平面上一个点沿着一条直线运动，同时受到一个恒定的垂直于直线的力的作用，这种轨迹叫做抛物线。

抛物线是由二次函数关系定义的曲线。

它是平面上一点到直线上一点的距离与这一点到定点的距离成比例的轨迹。

二、抛物线的标准方程1. 抛物线的标准方程为：y=ax^2+bx+c，其中a≠0。

2. 抛物线的顶点为(-b/2a, c-b^2/4a)。

三、抛物线的性质1. 抛物线的开口方向由二次项系数a的正负号决定。

若a>0，抛物线开口向上；若a<0，抛物线开口向下。

2. 抛物线的轴对称线为x=-b/2a，即抛物线的顶点为轴对称点。

3. 抛物线在顶点处的切线平行于x轴。

4. 抛物线的焦点可表示为(F, p)，其中F是焦点坐标，p=1/4a是抛物线焦点到顶点的距离。

5. 抛物线的定点到焦点的距离等于焦距。

6. 过抛物线的顶点和焦点的直线称为抛物线的焦线，焦点为该直线的对称中心。

7. 对于平行于抛物线轴的直线，其交点到焦点距离都相等。

四、抛物线的方程求解1. 已知顶点和焦点求抛物线方程：设抛物线的焦点为(F, p)，则抛物线的标准方程为：(y-p)^2=2px。

2. 已知焦点和直线求抛物线方程：设焦点为(F,p)，直线为l:x=ay+b，则抛物线的标准方程为：y^2=2px3. 已知抛物线的焦点和焦距求抛物线方程：设抛物线的焦点为(F, p)，焦距为2a，则抛物线的标准方程为：(y-p)^2=4ax。

4. 已知抛物线的焦点和顶点求抛物线方程：设抛物线的焦点为(F, p)，顶点为(V, q)，则抛物线的标准方程为：(y-q)^2=4a(x-v)。

5. 已知抛物线上3点求抛物线方程：设抛物线上3点为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，则通过抛物线的标准方程组成三元二次函数方程，再通过该方程求解。

五、抛物线的应用1. 计算机图形学中，抛物线可以用于生成曲线和图案。

抛物线的基本知识点高三

抛物线的基本知识点高三抛物线是数学中一个非常重要的曲线，广泛应用于物理学、工程学、计算机图形学等领域。

在高三数学课程中，学生需要掌握抛物线的基本知识点。

本文将对抛物线的定义、性质以及相关公式进行介绍，帮助高三学生加深对抛物线的理解。

一、抛物线的定义抛物线是由平面上一个动点P和一个不在同一平面的定点F （称为焦点）所确定的动点P到定点F的距离等于动点P到一条定直线l（称为准线）的距离的集合。

抛物线的形状如同一个碗或者一个开口朝上的弓形。

在平面直角坐标系中，抛物线可以用二次方程的形式表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c都是实数且a不等于零。

二、抛物线的性质1. 对称性：抛物线关于纵轴对称。

这意味着抛物线上的任意一点P(x,y)与焦点F(x',y')的横坐标之差等于准线上对称的点P'(x,-y)与焦点对应点F'(x',-y')的横坐标之差。

2. 相切与相交：若直线与抛物线相切，则其与准线的切点在一条直线上；若直线与抛物线相交，则其与准线的交点在一条直线上。

3. 焦距：抛物线焦点与准线间的距离称为焦距。

焦点到准线的距离等于焦点到抛物线上任意一点的距离。

4. 高度与开口方向：a的正负决定了抛物线的开口方向。

若a 大于零，则抛物线开口朝上；若a小于零，则抛物线开口朝下。

抛物线的最高点或最低点成为顶点，坐标为(-b/2a, -Δ/4a)，其中Δ(b^2-4ac)称为判别式。

三、抛物线经过的特殊点抛物线经过三个特殊点：焦点F、定点A及顶点V。

焦点F的纵坐标等于a的倒数（即1/a），横坐标为0。

焦点到抛物线对称轴的距离为p=1/(4a)。

定点A与焦点F的距离等于准线l的距离，即等于p。

顶点V的横坐标为-a/2，纵坐标为c-Δ/4a。

四、抛物线相关公式1. 对称方程：若抛物线关于x轴对称，则方程为x=ay^2+by+c；若抛物线关于y轴对称，则方程为y=ax^2-bx+c。

高三抛物线知识点归类

高三抛物线知识点归类抛物线是数学中的一个重要概念，也是高中数学课程中的重点内容之一。

在高三阶段，学生需要全面掌握抛物线的相关知识，因此本文将对高三抛物线知识点进行归类，以帮助学生更好地理解和应用。

一、基本概念1. 定义：抛物线是平面上到一个定点（焦点）距离等于到一条定直线（准线）距离的点的轨迹。

2. 轴线：抛物线的对称轴，垂直于准线并通过焦点。

3. 焦点：与抛物线上的任意一点距离相等的定点。

4. 准线：与抛物线上的任意一点距离相等的定直线，其中准线和抛物线的焦点不重合。

二、方程与图像1. 一般形式方程：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。

2. 顶点坐标：抛物线的最高（或最低）点，坐标为（h, k），其中h为顶点的横坐标，k为顶点的纵坐标。

3. 对称轴方程：x = h，是抛物线的对称轴，与抛物线相交于顶点。

4. 开口方向：由二次系数a决定，若a > 0，则抛物线开口朝上；若a < 0，则抛物线开口朝下。

5. 图像特征：抛物线关于对称轴对称，图像左右对称。

三、性质与特点1. 焦点与准线距离的关系：抛物线上任意一点P与焦点F的距离等于P到准线的距离。

2. 焦准焦定性质：过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于对称点P'，且P'也在这条直线上的垂线上，则P'为抛物线上该点P的对称点。

3. 切线与法线关系：抛物线上任意一点P处的切线与过该点的法线垂直。

4. 焦点坐标与相关系数的关系：焦点坐标为（-b/2a, 1-Δ/4a），其中Δ为方程的判别式。

5. 最值点：抛物线的最高（或最低）点即为顶点，最值点的纵坐标等于抛物线函数的值域的下（或上）界。

四、应用1. 抛物线的平移与旋转：通过对抛物线的平移和旋转操作，可以得到不同位置和形状的抛物线函数。

2. 抛物线的最优问题：在一定约束条件下，求解抛物线上的最值点，可以用于解决最小二乘法、优化问题等。

3. 物理应用：抛物线在物理学中有广泛的应用，如炮弹的抛物线轨迹、摆锤的运动、光的反射等。

高三抛物线定理知识点

高三抛物线定理知识点抛物线是高中数学中重要且常见的曲线。

在高三阶段，学生需要掌握抛物线定理，并且能够灵活运用于解决相关问题。

本文将介绍高三抛物线定理的基本概念以及其应用。

一、抛物线的定义与特点抛物线是由平面上距离一个定点距离相等的点构成的图形。

该定点称为焦点，到直线称为准线。

1. 对称性：抛物线以准线为对称轴对称。

2. 焦距：焦点到准线的距离称为焦距，用f表示。

3. 定义域与值域：抛物线的定义域为实数集，值域为y≥d，其中d为抛物线与其准线的最低点的纵坐标。

二、顶点与对称轴在抛物线中，顶点是其中最高（或最低）的点。

对称轴是过焦点和顶点的直线。

1. 顶点：抛物线的顶点坐标为（h，k），其中h和k分别为抛物线的顶点的横坐标和纵坐标。

2. 对称轴：对称轴的方程为 x = h。

三、抛物线的一般方程抛物线的一般方程为 y = ax² + bx + c，其中a≠0。

在高三阶段，学生需要了解如何通过抛物线的顶点和焦点坐标来确定抛物线方程。

四、抛物线的焦点与准线的关系抛物线的焦点坐标为（f，0），其中焦距f的计算公式为 f = 1/4a。

准线的方程为 x = -f。

五、抛物线的平移抛物线可以通过平移进行位置上的变换。

1. 抛物线上下平移：将抛物线原方程中的常数c进行上下平移。

2. 抛物线左右平移：将抛物线原方程中的常数b进行左右平移。

六、抛物线的应用抛物线的定理在物理学、工程学等领域有广泛的应用。

1. 抛物线光学：在光学实验中，抛物线是一种能够将平行光线聚焦于焦点的曲线形状。

2. 抛物线运动：在物理学中，抛物线也描述了平抛运动的轨迹，如投掷物体的运动。

七、高三抛物线定理解题方法1. 根据已知条件绘制抛物线，并确定抛物线的顶点、焦点和准线。

2. 列出抛物线的一般方程，并代入已知条件，解出未知变量。

3. 运用抛物线定理或几何特性，解答相关问题。

八、总结高三抛物线定理是数学中重要的知识点，掌握抛物线的基本概念、性质以及应用方法对于高中数学学习具有重要意义。

高三抛物线的知识点归纳

高三抛物线的知识点归纳一、抛物线的定义及方程抛物线是二次函数的图像，它的一般方程可以表示为 y = ax^2 + bx+ c。

在这个方程中，a、b、c 是常数，其中 a 决定抛物线的开口方向和大小，b 影响抛物线沿着 x 轴的位置，而 c 则决定了抛物线与y 轴的交点。

二、抛物线的性质1. 开口方向：当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。

2. 对称性：抛物线是轴对称图形，对称轴为直线 x = -b/(2a)。

3. 顶点：抛物线的最高点或最低点称为顶点，其坐标可以通过公式(-b/(2a), -Δ/(4a)) 计算得出，其中Δ = b^2 - 4ac 称为判别式。

4. 焦点和准线：对于开口向上或向下的抛物线，可以定义一个焦点和一条准线。

焦点位于距离顶点 a/(4a) 的位置，准线则是与抛物线对称轴平行且距离顶点 a/(2a) 的直线。

三、抛物线的应用1. 物理现象：在物理学中，抛物线常用于描述物体在重力作用下的抛射运动轨迹。

2. 工程建筑：在建筑设计中，抛物线形状常用于拱桥、穹顶等结构，以实现良好的力学性能。

3. 艺术设计：在艺术领域，抛物线因其优美的曲线被广泛应用于雕塑和装饰品的设计。

四、解题技巧1. 确定方程：根据题目条件确定抛物线的一般方程 y = ax^2 + bx + c。

2. 计算顶点：通过公式 (-b/(2a), -Δ/(4a)) 快速求出抛物线的顶点坐标。

3. 判断交点：通过代入 x 值或 y 值，可以求出抛物线与 x 轴或 y轴的交点。

4. 应用对称性：利用抛物线的对称性简化计算，特别是在求解与抛物线相关的最值问题时。

五、例题分析例1：已知抛物线 y = 2x^2 - 4x + 3，求其顶点坐标和对称轴方程。

解：首先计算判别式Δ = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4*2*3 = 16 - 24= -8。

由于Δ < 0，该抛物线与 x 轴无交点。

抛物线知识点总结_高三数学知识点总结

抛物线知识点总结_高三数学知识点总结1. 抛物线的定义抛物线是平面上到定点和到定直线的距离相等的动点的轨迹，这个定直线叫做抛物线的准线，定点叫做抛物线的焦点。

2. 抛物线的标准方程一般来说，抛物线的标准方程为：y=ax^2+bx+c。

其中a、b、c为常数，a≠0。

如果a>0，则抛物线开口朝上；如果a<0，则抛物线开口朝下。

3. 抛物线的焦点和准线抛物线的焦点是平行于抛物线开口的轴与焦点的距离的一半，准线则是焦点平行的那条线。

4. 抛物线的顶点对于标准抛物线y=ax^2+bx+c，它的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。

5. 抛物线的焦半径和准半径对于抛物线的焦点F和定线的距离叫做抛物线的焦半径，而焦半径的x轴坐标叫焦半径。

同理，抛物线的顶点到准线距离称为准半径。

6. 抛物线的判别式对于一般的二次函数y=ax^2+bx+c，它的判别式Δ=b^2-4ac。

用判别式可以判断抛物线的开口方向以及与x轴交点的情况。

7. 抛物线的性质（1）焦半径相等的抛物线是轴对称的。

（2）抛物线的镜面对称轴就是准线。

（3）与y轴平行的抛物线开口方向与x轴平行的抛物线相同。

（4）若a>0，抛物线开口向上；若a<0，抛物线开口向下。

（5）抛物线的焦半径等于准半径。

8. 抛物线的平移对于标准的抛物线y=ax^2+bx+c，若把该抛物线上每个点都向左平移h个单位，则新抛物线的方程为y=a(x-h)^2+b(x-h)+c。

10. 抛物线的应用抛物线广泛应用于科学、工程等领域。

比如在物理学上，抛物线可以用来描述物体的运动轨迹；在工程上，抛物线可以用来设计拱形结构等。

学好抛物线知识对于理解和应用相关领域具有重要意义。

以上就是抛物线的知识点总结，希望能对大家有所帮助。

高三抛物线知识点归纳总结

高三抛物线知识点归纳总结抛物线是数学中的一种曲线，它在高三数学课程中占据着重要的地位。

掌握抛物线的相关知识，对于高三学生来说至关重要。

本文将对高三抛物线的知识点进行归纳总结，以帮助学生更好地理解和应用这一概念。

一、抛物线的基本定义和性质抛物线是一条平面曲线，其定义为到一个定点距离与到一条直线距离相等的点的轨迹。

抛物线具有以下基本性质：1. 对称性：抛物线关于其对称轴对称。

2. 定点和定线：抛物线上的每个点到焦点的距离与到直线（准线）的距离相等。

3. 焦距和准线：焦距是定点到准线的距离，准线是焦点垂直平分切线的直线。

4. 弧长和面积：抛物线的弧长和面积计算可以通过积分得到。

二、抛物线的标准方程和一般方程抛物线的标准方程是 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，a ≠ 0。

通过标准方程我们可以了解抛物线的开口方向、顶点坐标以及对称轴的方程。

一般方程是经过对标准方程的平移、旋转、伸缩等变换得到的，形式为 Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0。

通过一般方程可以确定抛物线的具体形状和位置。

三、抛物线的性质和应用1. 高考重点：掌握抛物线的性质对于应对高考数学考试非常重要。

在高考中，抛物线相关的题目通常包括求焦点、顶点、对称轴、切线等问题，也可能涉及到与其他图形的求交点等问题。

2. 物理应用：抛物线在物理学中有广泛的应用，描述了自由落体、抛体运动等过程。

理解抛物线的性质和应用可以帮助我们更好地理解和解决与自由落体和抛体运动相关的物理问题。

3. 工程应用：抛物线的形状具有美学上的优点，因此在建筑和设计中经常被应用。

例如，拱桥的形状和抛物线非常相似，这是因为抛物线形状具有均匀分散应力的特点，是一种力学上最优的形状。

四、抛物线的图像绘制和计算1. 使用计算机软件绘制抛物线的图像可以辅助我们更好地理解抛物线的形式和变化规律。

常用软件如Geogebra、MATLAB等都可以绘制抛物线的图像。

高三抛物线知识点大全

高三抛物线知识点大全一、定义和性质抛物线是指平面上一个动点到一个固定点的距离和到一条固定直线的距离之差等于一个常数的轨迹图形。

具体而言，抛物线由一个焦点F和一条直线（直线称为准线，不过关于准线也可以成为直轴）组成。

二、基本方程抛物线的基本方程为：y² = 2px （p≠0）其中p为焦点到准线的距离（也称为焦距），p的绝对值表示抛物线开口的方向和大小。

三、焦点与准线之间的关系1. 焦点在抛物线的顶点上方并且与准线不相交。

2. 焦点与准线的距离等于顶点到准线的距离。

四、顶点的坐标抛物线的顶点坐标为（0，0）。

五、对称轴对称轴是指过抛物线顶点且垂直于准线的直线。

对称轴的方程为x = 0。

六、焦点的坐标焦点的坐标为（p，0）。

七、准线方程准线的方程为y = -p。

八、参数变换抛物线方程y² = 4ax可以通过参数变换的方式转化为y² = 2px 的形式。

其中参数变换公式如下：x = at²y = 2at九、焦距与顶点到准线的距离的关系焦距绝对值的平方等于抛物线顶点到准线的距离。

十、焦点和顶点到准线距离的关系焦点与顶点到准线的距离之比等于1：2。

十一、切线斜率抛物线上一点处的切线斜率等于该点的横坐标除以2p。

十二、离心率离心率是一个用于衡量抛物线形状的指标，定义为焦点到准线的距离与焦距之比，即e = √(1 + (1/p^2))。

十三、焦点和准线的位置关系焦点在准线之上时，抛物线开口朝上；焦点在准线之下时，抛物线开口朝下。

十四、抛物线与直线的关系1. 抛物线与x轴交点：若y = 0时，解方程y² = 2px，可求得两个交点。

2. 抛物线与y轴交点：若x = 0时，解方程y² = 2px，可求得一个交点。

十五、抛物线与直线的切点将直线方程代入抛物线方程，解方程组可以求得抛物线与直线的切点。

十六、抛物线的焦半径焦半径是指从焦点引出一个与抛物线相切的直线段。

(完整版)抛物线知识点归纳总结

引言：抛物线是高中数学中重要的曲线之一，具有许多重要的性质和应用。

本文将对抛物线的知识点进行归纳总结，包括抛物线的定义、性质、方程、焦点、准线等。

通过深入理解抛物线的相关概念和性质，读者将能够更好地应用抛物线解决实际问题。

概述：抛物线是一种特殊的曲线，其形状呈现出两侧对称且开口向上或向下的特点。

具体而言，抛物线由一条称为准线的直线和一个称为焦点的特殊点确定。

正文内容：1.抛物线的定义：抛物线是所有到一个定点（焦点）与到一条直线（准线）的距离相等的点的集合。

抛物线也可以通过平面上点的坐标表示，而其坐标满足经典的二次方程形式。

抛物线具有一条对称轴，该对称轴是准线与焦点所在直线的垂直平分线。

2.抛物线的性质：对称性：抛物线是关于对称轴对称的，即对称轴上任意一点关于对称轴上的另一点的坐标对称。

单调性：抛物线开口朝上时，在对称轴上坐标递增；开口朝下时，在对称轴上坐标递减。

切线性质：抛物线上任意一点的切线与焦点到该点的连线垂直，这是抛物线独有的性质。

定理一：抛物线上两个焦点到准线的距离之和等于焦距的两倍。

定理二：抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。

3.抛物线的方程：标准形式：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为实常数，且a≠0。

顶点形式：y=a(xh)^2+k，其中a、h、k为实常数，且a≠0，(h,k)为抛物线的顶点坐标。

焦点形式：4a(yk)=(xh)^2，其中a、h、k为实常数，且a≠0，(h,k)为抛物线的顶点坐标。

4.抛物线的焦点和准线：焦点：抛物线的焦点是准线上一个固定的点，与抛物线的形状和方程相关。

焦距：焦距是焦点到准线的距离，等于焦点到对称轴的距离。

准线：准线是与抛物线的形状和焦点相关的一条直线，与对称轴平行且到焦点的距离等于焦距。

5.抛物线的应用：物理学中的自由落体：抛物线可以用来描述自由落体运动的轨迹，例如抛体的抛射问题。

工程学中的抛物面反射器：抛物面反射器可以将光线从一个点集中集中到另一个点上，常用于太阳能聚焦等应用。

高三抛物线的知识点归纳

高三抛物线的知识点归纳抛物线是高中数学中一个重要的几何形状，它具有很多特殊的性质和应用。

本文将对高三阶段学习抛物线时需要掌握的知识点进行归纳和总结。

一、抛物线的基本定义与性质1. 抛物线的定义：抛物线是平面上到一个定点F（焦点）和一条定直线D（准线）的距离之比为定值（离心率）的点集合。

2. 抛物线的几何特征：对称轴、焦点、准线、顶点。

3. 抛物线的方程：标准形式、一般形式。

4. 抛物线的性质：对称性、单调性、开口方向、顶点坐标计算等。

5. 抛物线的图像与实际应用：拱桥、炮弹运动路径等。

二、抛物线的顶点和焦点1. 抛物线的顶点：抛物线的顶点是抛物线曲线的最高或最低点，对称轴上的点。

2. 求抛物线的顶点：配方法、二次函数的顶点公式。

3. 抛物线的焦点：焦点是指满足抛物线定义的那个固定点，与准线和顶点构成一个等边三角形。

三、抛物线的对称性与轴线方程1. 抛物线的对称轴：对称轴是抛物线的一个特殊直线，使抛物线左右对称。

2. 对称轴的性质：过焦点、顶点的直线，与抛物线的曲线图像有对称关系。

3. 对称轴的方程：求解对称轴的方程，考虑焦点坐标、顶点坐标等信息。

四、抛物线的判定条件1. 抛物线的离心率：离心率决定了抛物线的形状和特征。

2. 离心率的计算和判定：通过焦点和顶点的距离关系计算离心率，在图像上判断抛物线的形状和方向。

五、抛物线的方程及其应用1. 抛物线的标准方程：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不为零。

2. 抛物线方程的求解：已知焦点和准线，求解抛物线的方程。

3. 抛物线方程的应用：物体的抛射运动、摄影、建筑设计等领域。

六、抛物线与其他数学概念的关系1. 抛物线与二次函数：抛物线可以看作是二次函数的一种特殊形式。

2. 抛物线与直线：抛物线与直线有着密切的联系，焦点、准线与直线的交点等。

3. 抛物线与导数：通过求解抛物线的导函数，可以得到切线的斜率和切线方程。

七、抛物线的综合应用1. 抛物线在物理学中的应用：炮弹的抛射运动、天体的运动轨迹等。

3.3抛物线笔记

3.3抛物线一、抛物线的定义：把平面内与一个定点F 和一条定直线l(不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线1.定义实质：“一动三定”:一个动点，设为点M ，一个定点F 叫做抛物线的焦点，一条定直线l 叫做抛物线的准线，一个定值，即点M 到点F 的距离和它到直线l 的距离之比等于12.定点F 不在定直线l 上，否则轨迹不是抛物线，而是过F 且垂直l 的的一条直线3.抛物线与双曲线形状上的不同双曲线上的点趋向于无穷远时，曲线上某点处的切线接近于和渐近线平行，抛物线没有渐近线，当抛物线上的点趋向于无穷远时，曲线上某点处的切线接近于和对称轴平行二、抛物线的标准方程：1. 开口向右 y 2=2px (p>0)开口向左 y 2= - 2px (p>0)开口向上 x 2=2py (p>0)开口向下 x 2= - 2py (p>0)2.抛物线标准方程的特征：等号左边是某个变量的平方，右边是另一变量的一次项3.四种不同位置的抛物线，它们的焦点都在坐标轴上，焦点和准线到原点的距离都等于一次项系数的绝对值的，即（结合图）4.焦点在一次项所对应的轴上(一次项系数的正负对应焦点坐标中不为零的坐标值的正负)5.P 的几何意义：焦点到准线的距离6.当焦点位置不确定时，也可设抛物线的标准方程为y 2=mx 或x 2=ny7.抛物线的焦半径公式(1)抛物线的焦半径定义：若点M(x 0,y 0)是抛物线上一点，抛物线的焦点为F ，准线为l ，则线段MF 叫做抛物线的焦半径 (2)公式：三．抛物线的几何性质 y 2=2px (p>0) 1、范围 x ≥0，y ∈R 2、对称轴 x 轴 3、顶点（0，0） 4. 离心率 e=1 5、焦点准线：6、焦半径公式 242p p =4102x p -02y p +02||||x p MH MF +==02y p -x y O Ｈ F M x y O Ｈ F M x y O Ｈ F M x O Ｈ F M 2p x -=)0,2p (02x p +四、设AB 为过抛物线y 2=2px (p>0) 的焦点弦，A(x 1,y 1)B(x 2,y 2),AB 倾斜角为 , 则1.|AB|=x 1+x 2+p= , 特别地，当 = 时，通径|H 1H 2|=2p , 且是焦点弦中最短的 2、x 1x 2= ,y 1y 2= -p 2 3. 以AB 为直径的圆必与准线相切五、直线与抛物线 y=kx+my 2=2px整理成形如ax 2+bx+c=01.若a ≠0,2.若a=0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于x 轴或与x 轴重合3.与抛物线有且只有一个交点的直线有两类：一类是直线与抛物线相切， △=0 ，一类是直线与抛物线的对称轴平行或重合。

抛物线知识点总结高考

抛物线知识点总结高考高考数学中，抛物线是一个常见的重点考点。

在这篇文章中，我将总结抛物线的相关知识点，帮助大家更好地备考。

一、基本概念抛物线是解析几何中的一种曲线，具有一定的对称性。

其标准方程为 y=ax^2+bx+c，其中a≠0。

二、抛物线的性质1. 对称性：抛物线以其顶点为对称轴，具有对称性。

2. 方程的含义：- 当 a>0 时，抛物线开口向上，顶点是最小值点；- 当 a<0 时，抛物线开口向下，顶点是最大值点。

3. 相关特点：- 抛物线的顶点坐标为（-b/2a, c-b^2/4a）；- 抛物线的对称轴方程为 x=-b/2a。

三、抛物线的平移和伸缩1. 平移：将抛物线整体移动至不同的位置。

平移后的抛物线依然保持原来的形状和方向。

2. 伸缩：通过改变a的值来进行伸缩变化。

当a的绝对值较小时，抛物线会变得更加扁平；当a的绝对值较大时，抛物线会变得更加陡峭。

四、抛物线的焦点和准线1. 焦点：抛物线与其对称轴的交点称为焦点，记作F。

焦点与顶点具有对称性，且焦点的纵坐标为（c-b^2/4a+1/4a）。

2. 准线：与抛物线相切于焦点，且与对称轴垂直的直线称为准线。

准线的方程为 x=-b/2a+p/a，其中p为焦距的绝对值。

五、抛物线与圆的关系抛物线和圆是解析几何中常见的两种曲线。

它们之间的关系可以从以下几个方面来分析：1. 离心率：抛物线的离心率为1，而圆的离心率为0。

2. 焦点和准线：抛物线有焦点和准线，而圆没有。

3. 对称轴：抛物线和圆的对称轴都是直线，但方程不一样。

六、抛物线的应用1. 建筑设计：抛物线结构具有良好的承重性能，被广泛应用于建筑设计中。

2. 圆面镜：抛物线是圆面镜的理论基础，抛物线反射能够实现光线的聚焦。

3. 自然界中的形态：许多自然界中的现象可以通过抛物线来解释，如运动物体的轨迹、水流的流动等等。

以上就是抛物线的相关知识点总结。

希望通过这篇文章的阅读，大家能够对抛物线有一个更加深入的理解，为高考数学的备考打下坚实的基础。

数学高三抛物线知识点

数学高三抛物线知识点高中数学的抛物线是一种非常重要的曲线，它在生活中的应用广泛。

在数学高考中，抛物线相关的知识点也是必考内容之一。

本文将详细介绍高三数学中与抛物线相关的重要知识点，帮助高三学生系统地掌握这一部分内容。

一、抛物线的定义及性质抛物线是平面上一点到定直线（称为准线）和定点的距离之比（称为离心率）为常数的轨迹。

它的定义可以用数学方程表示为：y=ax^2+bx+c（a≠0），其中a、b、c为常数，a决定了抛物线的开口方向，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

1. 对称性：抛物线关于准线和对称轴对称。

2. 焦点与准线之间的关系：离心率e=焦距f/准线与焦点之间的距离。

3. 切线和法线：抛物线上任意一点的切线与过该点的准线垂直，且过该点的法线经过焦点。

二、抛物线的方程和图像1. 标准方程：当抛物线的顶点为原点时，抛物线的标准方程为y^2=4ax。

2. 顶点坐标：对于标准方程y^2=4ax，抛物线的顶点为(0,0)。

3. 对称轴和焦点坐标：对于标准方程y^2=4ax，抛物线的对称轴为x轴，焦点坐标为(F,0)，其中焦距F=a/2。

三、抛物线的平移和旋转1. 平移：抛物线的平移是指将抛物线上所有点的坐标同时增加或减少一个固定的数值。

设抛物线的标准方程为y^2=4ax，平移后的抛物线的方程为(y-k)^2=4a(x-h)，其中(h,k)为平移的距离。

2. 旋转：抛物线的旋转是指将抛物线绕原点或其他点旋转一定角度。

抛物线的旋转方程相对复杂，这里不再展开。

四、抛物线的焦点与准线问题1. 已知抛物线方程求焦点和准线：根据抛物线的标准方程或一般方程，可以求得焦点和准线的坐标。

2. 已知焦点和准线求抛物线方程：通过已知的焦点和准线的坐标，可以推导出抛物线的方程。

五、抛物线的应用抛物线在生活中有着广泛的应用，以下举几个例子：1. 投射问题：抛物线可以用来描述抛体的运动轨迹，比如抛物线的顶点表示抛体的最高点，焦点表示抛体的着地点。

抛物线高考核心知识点整理,赶紧收藏吧

A1, B1, M1 ，则有：
（1） y1 y2
p2 , x1x2
p2 4
；
（2） |
AF
|
x1
p 2
p 1 cos
，|
BF
|
x2
p 2
1
p cos
，
AB
x1
x2
p
2p sin2
(为直线AB的倾斜角) ；
（3）
SAOB
p2 2 sin
(为直线AB的倾斜角) ；
（4） 1 1 为定值 2 ；
| AF | | BF |
p
（5） AM1B 900 ，以焦点弦 AB 为直径的圆与准线 l 相切；（6） A1FB1 900 ，以准线上 A1B1 为直径的圆必与焦点弦 AB 相切；（7）以焦半径 AF 为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切，以 BF 为直径的圆与 y 轴相切；
（8）以 B 为圆心， BF 为半径的圆与准线相切；（9）直线 A1B 与 AB1 相交于顶点 O . （10）直线 AB 与 M1F 垂直.
轴垂直时，令
A(
y12 2p
,
y1),
B(
y22 2p
,
y2
)
，此时有
A1(
p 2
,
y1),
B1(
p 2
,
y2 )
.
因为 kAO
y1 x1
2p y1 , kB1O
2 y2 p
2 py2 p2
2p y1
，
所以 kAO kB1O ，即 AB1 过点 O ，同理 A1B 过点 O .
（10）令
A(x1,
y1), B(x2,

高三抛物线定理知识点归纳总结

高三抛物线定理知识点归纳总结高三学生在学习数学的过程中，会接触到抛物线这一重要的数学概念。

抛物线是数学中的一个曲线，具有许多特殊的性质和定理。

本文将对高三抛物线定理的相关知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地理解和应用抛物线定理。

一、基本概念1. 抛物线的定义：抛物线是平面上一点到定点和定直线的距离之差等于常数的轨迹。

2. 抛物线的标准方程：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。

二、顶点与对称轴1. 顶点的求解：对于标准抛物线方程y = ax^2 + bx + c，顶点坐标为(-b/(2a), f(-b/(2a)))。

2. 对称轴的方程：对于标准抛物线方程y = ax^2 + bx + c，对称轴的方程为x = -b/(2a)。

三、焦点与准线1. 焦点的求解：对于标准抛物线方程y = ax^2 + bx + c，焦点的坐标为(-b/(2a), f(-b/(4a)))。

2. 准线的方程：对于标准抛物线方程y = ax^2 + bx + c，准线的方程为y = (1 - 1/(4a))。

四、判别式与图像开口方向1. 判别式的求解：对于标准抛物线方程y = ax^2 + bx + c，判别式的值Δ = b^2 - 4ac。

a) 当Δ > 0时，抛物线开口向上。

b) 当Δ < 0时，抛物线开口向下。

c) 当Δ = 0时，抛物线开口朝上或朝下，具有最小值或最大值。

五、焦距与准线的关系1. 焦距的求解：对于标准抛物线方程y = ax^2 + bx + c，焦距的值为f = |1/(4a)|。

2. 焦距与准线的关系：焦距的值为准线到焦点的距离，即f = d(P,D)/2，其中P为焦点，D为准线。

六、渐近线1. 抛物线的渐近线：对于标准抛物线方程y = ax^2 + bx + c，纵坐标趋势无限增大时，横坐标趋势无穷大或无穷小，即y趋于∞时，如果a ≠ 0，则直线y = 0为横渐近线；如果a = 0，则不存在横渐近线。

高三抛物线的知识点

高三抛物线的知识点一、概念介绍抛物线是解析几何中的一种曲线，它具有特殊的对称性和独特的性质。

具体而言，抛物线是一种由平面上一动点P和定点F （焦点）以及定直线d（准线）所确定的曲线。

在抛物线上，任意点P到焦点F的距离等于该点到准线d的距离。

二、一般方程抛物线的一般方程可以表示为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，且a ≠ 0。

这是抛物线的标准形式，它描述了不同抛物线的形状和位置。

三、顶点坐标对于抛物线的一般方程y = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，抛物线的顶点坐标可以通过以下公式计算得到：顶点的横坐标 x = -b / (2a)顶点的纵坐标 y = (4ac - b^2) / (4a)四、对称性质抛物线具有对称性，即抛物线的焦点F关于抛物线的准线d对称，抛物线上的任意一点P与准线d之间的距离等于点P的对称点P'与准线d之间的距离。

五、焦点与准线的关系在抛物线上，焦点F的横坐标等于准线d与抛物线的顶点的横坐标的平均值。

即焦点的横坐标 x_F = (2a^2 - b) / (4a)六、抛物线的方向抛物线的开口方向由a的值所决定。

当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

七、焦距和准线长度的关系在抛物线上，焦距等于准线长度的绝对值。

即焦距的长度等于|4a|。

八、抛物线的性质总结1. 抛物线是关于y轴对称的；2. 焦点F在抛物线的对称轴上，对称轴与准线d垂直；3. 抛物线的拱度由参数a的绝对值决定，|a|越小则拱度越大，反之越小；4. 抛物线与x轴的交点称为抛物线的零点。

九、高三学习抛物线的重要性抛物线是高三数学课程的重要内容之一，它在解析几何、函数与方程等领域发挥着重要作用。

学习抛物线的知识点有以下几个重要的作用：1. 拓展思维：抛物线的独特形状和性质需要学生用几何的思维去理解和分析，培养了学生的空间想象能力和逻辑推理能力。

抛物线知识点归纳总结高中

一、抛物线的定义平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。

二、抛物线的标准方程1. 焦点在 x 轴正半轴上：$y^2 = 2px (p>0)$，焦点坐标$F(\frac{p}{2}, 0)$，准线方程$x = \frac{p}{2}$2. 焦点在 x 轴负半轴上：$y^2 = 2px (p>0)$，焦点坐标$F(\frac{p}{2}, 0)$，准线方程$x = \frac{p}{2}$3. 焦点在 y 轴正半轴上：$x^2 = 2py (p>0)$，焦点坐标$F(0, \frac{p}{2})$，准线方程$y = \frac{p}{2}$4. 焦点在 y 轴负半轴上：$x^2 = 2py (p>0)$，焦点坐标$F(0, \frac{p}{2})$，准线方程$y = \frac{p}{2}$三、抛物线的性质1. 范围：对于$y^2 = 2px (p>0)$，$x\geq 0$；对于$y^2 = 2px (p>0)$，$x\leq 0$；对于$x^2 = 2py (p>0)$，$y\geq 0$；对于$x^2 = 2py (p>0)$，$y\leq 0$。

2. 对称性：抛物线关于其对称轴对称。

3. 顶点：抛物线的顶点为坐标原点$(0,0)$。

4. 离心率：抛物线的离心率$e = 1$。

四、抛物线的焦半径对于抛物线$y^2 = 2px (p>0)$，抛物线上一点$P(x_0, y_0)$到焦点的距离称为焦半径，$|PF| = x_0 + \frac{p}{2}$五、抛物线的通径通过焦点且垂直于对称轴的弦叫做通径。

通径的长度为$2p$六、抛物线中的弦长问题若抛物线$y^2 = 2px (p>0)$上两点$A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$，则弦长$|AB| = x_1 + x_2 + p$七、抛物线与直线的位置关系联立抛物线方程和直线方程，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，根据判别式$\Delta$的值来判断位置关系：1. $\Delta > 0$，相交；2. $\Delta = 0$，相切；3. $\Delta 0$，相离。

高考数学必背知识点抛物线

高考数学必背知识点抛物线高考数学必背知识点抛物线抛物线：y = ax _ bx + c就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 ca >0时开口向上a< 0时开口向下c = 0时抛物线经过原点b = 0时抛物线对称轴为y轴还有顶点式y = a(x+h)_+ k就是y等于a乘以(x+h)的平方+k-h是顶点坐标的xk是顶点坐标的y一般用于求最大值与最小值抛物线标准方程:y^2=2px它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py关于圆的公式体积=4/3(pi)(r^3)面积=(pi)(r^2)周长=2(pi)r圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：(a,b)是圆心坐标圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0(一)椭圆周长计算公式椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。

(二)椭圆面积计算公式椭圆面积公式：S=πab椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。

以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。

常数为体，公式为用。

椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径_半径_AI_高考数学必背知识点就为大家介绍到这里，希望对你有所帮助。

(完整版)抛物线知识点归纳总结

抛物线知识点总结y 22 px( p 0)y 22 px( p 0)x 22 py( p 0)x 2 2 py( p0)y y y图象ylllFOxO Fx F OxOxFl定义范围对称性焦点极点离心率准线方程极点到准线的距离焦点到准线的距离焦半径A(x 1, y 1 )平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。

{ M MF =点 M 到直线 l 的距离 }x 0, y R x 0, y R x R, y 0 x R, y 0关于 x 轴对称关于 y 轴对称( p,0)(p,0)(0, p)(0,p ) 2222焦点在对称轴上O(0,0)e=1p xp p pxy2y222准线与焦点位于极点两侧且到极点的距离相等。

p 2 pAF x 1p AFx 1p AF y 1p AFy 1p2222焦点弦长( x1 x2 ) p( x1 x2 ) p( y1 y2 ) p( y1 y2 ) p AByA x1, y1o FxB x2 , y2焦点弦AB 的几条性质以 AB 为直径的圆必与准线l相切A( x1 , y1 ) 2 p 2 p若 AB 的倾斜角为若 AB 的倾斜角为，则 AB，则 ABB (x2 , y2 )sin2cos2p22x1x2y1 y2p4切线方程11AF BF AB2AF BF AF ? BF AF ?BF py0 y p( x x0 )y0 y p( x x0 )x0 x p( y y0 )x0x p( y y0 )参数方程x 2 pt 2y 2 pt( t 为参数)1.直线与抛物线的地址关系直线，抛物线，，消y得：（1）当 k=0 时，直线l与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当 k≠0 时，＞0，直线l与抛物线订交，两个不同样交点；=0，直线l与抛物线相切，一个切点；＜0，直线l与抛物线相离，无公共点。