9.5空间向量及其运算第一课时空间向量及其加减与数乘运算-PPT课件
空间向量及其加减、数乘和数量积运算
8． 6 空间向量及其加减、数乘和数量积运算1．空间向量的有关概念(1) ___________________________________ 空间向量：在空间，我们把具有和的量叫做空间向量．(2) _________________________ 零向量：规定的向量叫做零向量．(3) __________________ 单位向量：的向量称为单位向量．(4) ___________________________________ 相反向量：与向量a 的向量，称为a 的相反向量，记为－a.(5) _________________________ 相等向量：的向量称为相等向量．(6) 空间向量的加法运算满足交换律及结合律：a+ b=__________ ;(a + b) + c = _______________ .2．空间向量的数乘运算⑴向量的数乘：实数入与空间向量a的乘积?a仍然是一个向量，称为向量的数乘.①当X _ 0时，入a与向量a方向相同；当X __ 0时，入a与向量a方向相反.②入a的长度是向量a的长度的________ 倍.(2) 空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：①分配律：X(a＋b)= __________ ．②结合律：X宙)= _________ .(3) 共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线_____________________ ，则这些向量叫做共线向量或平行向量．⑷共线向量定理：对空间任意两个向量a, b(b z 0), a // b的充要条件是______________________ .⑸空间直线I的方向向量：和直线I _________ 的非零向量a叫做直线I的方向向量.⑹空间直线的向量表示：I为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点0,点P在直线I上的充要条件是___________________________________ ，特别地，如果 a = AB，则上式可以化为OP = 0A + tAB，或_________________ ，这也是空间三点A, B, P共线的充要条件.(7) 共面向量： _______________ 的向量叫做共面向量．(8) 空间共面向量定理：如果两个向量a, b 不共线,那么向量p 与向量a, b 共面的充要条件是推论：对空间任意一点0和不共线的三点A, B, C,满足向量关系式 _______________________________ ，其中__________ ,则点P 与点A, B, C 共面.3.空间向量的数量积运算(1) 空间向量的数量积：已知两个非零向量a, b,则 ___________________ 叫做a, b的数量积，记作a b,通常规定，0w〈a, b〉w n对于两个非零向量a, b, a丄b? ____________ .(2) 空间零向量与任何向量的数量积为.(3) a a = |a||a|cos〈 a, a>= ______ .(4) 空间向量的数量积满足如下的运算律：①(X) • b= __________ ;②ab= __________ (交换律);③ a (b+ c) = ________________ (分配律).自查自纠1. (1)大小方向⑵长度为0 (3)模为1⑷长度相等而方向相反⑸方向相同且模相等(6)b+ a a + (b+ c)2. (1)①〉v ②|入| (2)① 扫+?b ②(入卩)a(3) 互相平行或重合(4)存在实数入使a= ^bO)P= (i-t)oA+to)B (7)平行于同一个平面3. (1)|a||b|cos〈a, b> a b= 0 (2)0⑶|a|1 2 3 (4)① «a b) ② b a ③a b+ a cO 在长方体ABCD-A1BQ1D1 中，BA + Be + D D1=( )A. D1B1B.D1BD.B D1~--> —> —> —> —> —>解：BA+ BC+ DD1=CD + BC + DD1 =BD + DD1=BD1,故选D.电平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若A B = a, AD = b, A A1 =等的是()11 11A . - 2a + 2b+ c B. 2a + ?b—c1 1 1 1C. —?a+ ?b—cD. —2 a—? b+ c解：BlM = B?B + BM = —c+ 1BD = —c+ 2(b—a) = —*a + 2b—c,故选C.nOB = OC,且/ AOB = Z AOC =三贝U cos〈3⑸平行⑹存在实数t,使齐=O +1aC.(8)存在惟一的有序实数对—> —> —> —>OP = xOA + yOB +(x, y),使p= x a + y bx+ y+ z= 1C.DB1c,则下列式子中与B1M相©如图所示，已知空间四边形OABC, ,BC >的值为()o解：设0A = a , OB = b , OC = c ,由已知条件〈a , b 〉=〈 a , c 〉= n 且 |b |= |c |, OA • BC = a (c — b )= a c — a b 3 11 f f=2|a ||c |— 2|a ||b |= 0，所以 cos 〈OA , BC 〉= 0•故选 A.已知空间四边形 OABC ，点M , N 分别是OA , BC 的中点，且OA = a , OB = b , OC = c ,用a , b , c 表示向 量 MN = ________ .解：如图所示，MN = *(MB + MC)= *[(OB — OM)+ (OC — OM)] = ^(OB + OC — 2O)M)= g(OB + OC — OA)=g(b + c —a ).故填 2(b + c — a ).(2017鞍山市育英中学月考)已知在正方体 ABCD-A i B i C i D i 中，侧面CCQ i D 的中心是F ，若A F = A D + mAB + nAA r ，贝H m = ________ , n = ________ .解：因为A F = A D + D F = A D + ^(D C + D D i )=A D +2(AB + A ^i ) = A D + ~A B + ^A X I ，所以 m = n =*.故填2； 4 5.类型一空间向量的运算GE （20i7枣阳市鹿头中学月考）如图所示，在空间几何体 ABCD-A i B i C i D i 中，各面为平行四边形， 设AA i = a , AB = b , AD = c , M , N , P 分别是AA i , BC , CQ i 的中点，试用 a , b , c 表示以下各向量：4 AP ；5 MP + NC i .解：(i)因为 P 是 C i D i 的中点，所以 AP = AA i + A i D i + D i P = a + AD + 2D i C i = a + c +?AB = a + c +^b. ⑵因为M 是AA i 的中点， 所以 IMP = MA + A P =苏》+A P =—a + a + c + 丁 b = 2a + ；b + c .-f f f i -f f i -f f又 NG = NC + CC i =尹c + AA i = 2AD + AA i方类解析1=2。
空间向量及其运算 课件
共线向量与共面向量
1.共线向量 (1) 定 义 ： 表 示 空 间 向 量 的 有 向 线 段 所 在 的 直 线 互__相__平__行__或__重__合__，则这些向量叫做_共__线__向__量___或平行向量； (2)共线向量定理：对于空间任意两个向量 a，b(b≠0)， a∥b 的充要条件是存在实数 λ 使__a_＝__λ_b____.
【思路探究】 (1)空间向量中，零向量是怎样定义的？ (2)怎样判断两个向量相等？(3)四边形 ABCD 满足什么条件
时，才有A→B＋A→D＝A→C？ 【自主解答】 ①正确；②正确，因为A→C与A→1C1的大小
和方向均相同；③|a|＝|b|，不能确定其方向，所以 a 与 b 的 方向不能确定；④中只有当四边形 ABCD 是平行四边形时，
2．共面向量 (1)定义：平行于__同__一__个__平__面___的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)， 使_p_＝__x__a_＋__y_b__.
推论 空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在有 序实数对(x，y)，使_A→_P__＝__x_A→_B_＋__y_A→_C__；或对空间任一定点 O，
才有A→B＋A→D＝A→C.
综上可知，正确命题为①②. 【答案】 ①②
1．在空间中，零向量、单位向量、向量的模、相等向 量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同．
2．由于向量是由其模和方向确定的，因此解答空间向 量有关概念问题时，通常抓住这两点来解决．
3．零向量是一个特殊向量，其方向是任意的，且与任 何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．
【思路探究】 (1)E→H与F→G共线吗？怎样证明？
人教课标版《空间向量及其运算》PPT课件1
2
2 22
又 NC 1 NC
CC
1
1 2
BC
AA 1
1 AD 2
AA
1
1c 2
a,
MP
NC
1
(1 2
a
1 2
b
c)
(a
1 c) 2
3 a 1 b 3 c. 222
探究提高 用已知向量来表示未知向量，一定要结 合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解 向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接 的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末 尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向 量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应用三 角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍 然成立.
共线
或重合 ，则称这些向量叫做共线向量或平行向量 ，
向量
a平行于b记作
a∥b
共面 向量
平行于同一 平面 的向量叫做共面向量
二、空间向量中的有关定理
定理
内容
定 理
对于空间任意两个向量a，b，a∥b的充
要条件是存在实数λ，使 a=λb (b≠0).
如图所示，点P在l上的充要条
共线 向量
件是：
①其中
定理 推 a叫做直线l的方向向量，t∈R，
三、向量的线性运算 1．空间向量的加法和减法 类似于平面向量，我们可以定义空间向量的加法和 减法运算(如图)：
OAOC
D
CO AO
2．空间向量的数乘
实数λ与空间向量a的乘积 λa 仍然是一个向量，
称为
数乘 ．
当λ＞0时，λa与a方向 相同
；当λ＜0时，
λa与a方向
相反 ；λa的长度是a的长度的|λ|
空间向量及其运算课件 课件
x
y
x1 y1
2
x2 y2
2
空间向量
空间向量的坐标运算：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 )
a b (x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 );
a (x1, y1, z1), R;
空间向量
空间向量的夹角：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) cos a,b a • b
| a || b |
x1x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
垂直与平行：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) a // b x1 y1 z1 (?)
(4)已知不共线的三点A、B、C，对平面 ABC外的任意一点O，若 OG 1 (OA OB OC) 则G是三角形ABC的重心 3
以上命题中，正确的是__________
已知三棱锥O—ABC中，G为△ABC的重心，OA=a，OB=b， OC=c，试用a , b , c 来表示OG.
(1)若AD是△ABC的中线，则有
平面的向量参数方程：
A, B,C是不共线的三点，P 平面ABC
存在唯一的实数对x, y，使 AP x
AB yAC
存在唯一的实数对x, y,使
OP (1 x y) OA yOC
存在唯一的实数对x, y, z
(x y z 1),使 OP x OA
yOB zOC
空间向量及其运算
• 空间向量的概念、表示、相等关系。 • 空间向量的加法、减法、数乘向量 • 加法交换律 • 加法结合律 • 数乘分配律
9.5空间向量及其运算(理科)
空间向量及其运算（1）——空间向量及其加减与数乘运算教学目标：（1）理解空间向量概念，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法。
（2）会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律。
（3）会将若干个向量的和合成为一个向量，也会将一个向量写成若干个指定向量和的形式。
教学重点：空间向量的运算和运算律 教学难点：应用向量解决立体几何问题 教学过程：一、复习引入1、向量的概念(1)向量：具有大小和方向的量叫做向量。
(2)向量的表示：AB ，a；(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜。
(4)特殊的向量：零向量a ＝0 ⇔｜a｜＝0。
单位向量0a ⇔｜0a｜＝1。
(5)相等的向量：大小相等，方向相同(6)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量。
记作a ∥b。
由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
2、平面向量的加法、减法和数乘运算向量的加法：平行四边形法则或三角形法则；a b a b +向量的减法：三角形法则； 向量的数乘：二、 讲解新课（一）空间向量的概念1、空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：⑴空间的平移就是一个向量。
⑵平面向量仅限于研究同一平面内的平移，空间向量研究的是空间的平移2、空间向量的表示：用有向线段表示。
3、空间向量的相等：同向等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。
4、空间的两个向量都是共面向量：空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 。
abaλaab α注：（1）由于空间任意两个向量都可转化为共面向量，所以凡涉及空间两个向量的问题，平面向量中的有关结论仍适用于它们（到空间向量的分解定理和坐标表示及坐标运算时才会显现它们的区别）（2）由于点O 是空间任意一点，所以a 、b 确定的平面不是一个，而是一个互相平行的的平面的集合，但研究解决问题时，一般只要在其中一个平面内考虑即可。
空间向量及其加减运算 课件
C
(2)在△ADG中，注意到三角形重心的性质，
得 AG AD DG c 2 DM
3 c 2 (1 DB 1 DC)
32 2 c 1 (AB AD AC AD)
3 c 1 (a b 2c)
3
1a b c.
3
【思考】(1)在空间中，如何使用平行四边形法则和三角形法 则? (2)交换律及结合律在空间向量的加、减法运算中有何作用?
提示：(1)在空间立体图形中，首先确定一个平面或找到一个 三角形，把问题转化到一个平面，然后再应用平面向量的有关 运算性质进行化简、变形.在空间中，常常利用三角形法则进行 向量的加、减运算.应用平行四边形法则需在立体图形中找到一 个平行四边形. (2)交换律与结合律在空间向量的加、减法运算中起到方便化 简的作用.例如， CB AB BC AB AB BC AC;
(3)根据正方体的性质可知在正方体ABCD-A1B1C1D1中， AC=A1C1，且AC∥A1CA1C，与A1C1 方向相同， ∴ AC A故1C(13，)正确; (4)正确，可以根据向量的几何表示，利用向量平移来理解; (5)两个单位向量的模都是1，但方向不一定相同，故(5)不 正确. 综上可知命题(3)(4)正确. 答案：(3)(4)
2.(1)是必要条件，不是充分条件，因为 AB 时DC有可能A， B，C，D四点共线，是假命题； (2)a与b的模相等，且方向相同时，a=b成立，当方向相反时, a=-b,是假命题; (3)零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等 的，是假命题; (4)共线向量即平行向量，只要求它们的方向相同或相反，不 一定在同一条直线上，是假命题;
或_| _A_B_|_.
2.几类特殊向量
特殊向量 零向量 单位向量 相反向量
空间向量及其加减运算和数乘运算
详细描述
向量减法满足交换律和结合律，即 $overset{longrightarrow}{AB} overset{longrightarrow}{CD} = overset{longrightarrow}{CD} overset{longrightarrow}{AB}$，并且 $(overset{longrightarrow}{AB} overset{longrightarrow}{CD}) overset{longrightarrow}{EF} = overset{longrightarrow}{AB} (overset{longrightarrow}{CD} + overset{longrightarrow}{EF})$。
总结词
向量加法是将两个向量首尾相接，然后由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量。
详细描述
向量加法是向量运算中的基本运算之一，其定义是将两个向量首尾相接，然后由第一个向量的起点指向第二个向 量的终点的向量。在二维空间中，向量加法可以通过平行四边形的法则进行计算；在三维空间中，向量加法可以 通过三角形法则进行计算。
向量加法的几何意义
总结词
向量加法的几何意义是表示两个向量在空间中的相对位置关系。
详细描述
向量加法的几何意义可以理解为表示两个向量在空间中的相对位置关系。具体来说，如果有一个向量 $overset{longrightarrow}{AB}$和另一个向量$overset{longrightarrow}{CD}$，那么 $overset{longrightarrow}{AB} + overset{longrightarrow}{CD}$表示向量$overset{longrightarrow}{AB}$和向 量$overset{longrightarrow}{CD}$在空间中的相对位置关系。
空间向量的数乘运算教学课件
(2)证明空间三点共线的三种思路
对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线. ①存在实数 λ，使P→A＝λP→B成立. ②对空间任一点 O，有O→P＝O→A＋tA→B(t∈R). ③对空间任一点 O，有O→P＝xO→A＋yO→B(x＋y＝1).
跟踪训练1 如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F 分别是 AB，CD 的中点，请判断向量E→F与A→D＋B→C是否共线？ 解 设AC的中点为G，连接EG，FG， ∴G→F＝12A→D，E→G＝12B→C， 又∵G→F，E→G，E→F共面， ∴E→F＝E→G＋G→F＝12B→C＋12A→D＝12(A→D＋B→C)， ∴E→F与A→D＋B→C共线.
问题导学
知识点一 空间向量的数乘运算
与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积 λa 仍然是一 定义 个 向量 ，称为向量的数乘
λ＞0
λa与向量a的方向_相__同__
几何
λ＜0
λa的长度是a的 λa与向量a的方向相__反__
定义
长度的|λ|倍
λ＝0
λa＝0，其方向是任意的
运算律
分配律 结合律
λ(a＋b)＝_λ_a_＋__λb__ λ(μa)＝_(_λ_μ_)a__
＝O→A＋18A→B＋18A→C， ∴O→P－O→A＝18A→B＋18A→C，∴A→P＝18A→B＋18A→C.
由共面的充要条件，知P，A，B，C四点共面.
12345
解析 答案
3.下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是
A.A→B＋B→C＝A→C
B.A→B－B→C＝A→C
√C.A→B＝B→C
解答
②点M是否在平面ABC内？ 解 由①知向量M-→A，M-→B，M-→C共面， 又它们有共同的起点M， 且A，B，C三点不共线， ∴M，A，B，C四点共面， 即点M在平面ABC内.
空间向量及其运算第一课时
关于平面向量的知识：（必修4，第2章）
1.向量的加法与减法法则是什么？
2.向量的数乘是什么？
3. ⊿ABC 中，,//,41
BC DE AB AD =且与边AC 相交于点E ，⊿ABC 的中线AM 与DE
相交于点N ，设,,b AC a AB ==用b a ,分别表示DN EC DB DE BC AB ,,,,,
4.平面向量的基本定理：
6.已知任意两个非零向量,,b a 试作b a OC b a OB b a OA 3,2,+=+=+=，你能判断A,B,C 三点之间的位置关系吗？为什么？
空间向量及其运算第一课时——空间向量及其加减法
1. 举出一些不同在一个平面内的向量。
2. 说明下列概念：
空间向量：
长度或模：
3. 如何表示空间向量？
4. 介绍一些特殊向量：零向量，单位向量，相等向量，相反向量
5. 空间向量的加法减法运算时如何定义的？配合图形说明。
6. P85的探究
练习
1. 如图，向量c b a ,,互相平行，标出c b a ++。
2. P86页3题
3.如图，已知平行六面体ABCD-A "B "C "D "，化简下列各表达式，并在途中标出化简结果的向量：
（1）BC AB + （2）=++"AA AD AB
（3）"21
CC AD AB ++ （3） )"(31
AA AD AB ++。
空间向量及其线性运算(25张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
9.空间向量共面的充要条件如果两个向量a,b不共线，那么向量p与向量a,b共面→存在唯一的有序实数对(x,y), 使p=xa+yb
A 、B、P 三点共线< →AP= tA一 OP=OA+tABOP 十(x+J=1)
P与A,B,C共面一 AP=xAB+yAC一 OP=OA+xAB+yAC
λ(@+b)=Aa+Ab
a 十h 十C
三、例题精析[例1]已知平行六面体AC’, 求证：AC+AB'+AD'=2ACD
B'B
A
6.向量共线定理对任意两个空间向量a,b(b≠0),a//b一存在实数入，使a=λb。
7.直线的方向向量O是直线l 上一点，在直线上取非零向量a, 则对于直线上任意一点P, 由数乘向量的定义与向量 共线的充要条件知，存在实数λ,使OP=λa。
(x+J=1) x+y+z=1)
A 、B 、P三点共线
OP=OA+tAB
例 2J 如图，已知平行四边形ABCD,过平面AC外一点 0作射线OA 、OB 、OC 、OD,在四条射线上分别取点E、F、
求证：四点E、F、G、H 共面
G、H, 并 平行的非零向量称为直线/的方向向量，I 上任意一点都可以由直线1上的一点和它 的方向向量表示，即直线可由其上一点和它的方
向向量确定。
8.共面向量如果表示向量a的有向线段OA 所在的直线OA 与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线1,如果 直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α。平行于同一个平面的向量，叫共面向量。
(2)空间向量的数乘运算：当λ>0时，当 A<0 时 ，当λ=0时，A7=0
空间向量及其加减、数乘运算
A1C , BD1, DB1 .
D1
C1
A1C AB AD AA1
Hale Waihona Puke A1B1BD1 AA1 AD AB
DB1 AB AA1 AD
D
C
始点相同的三个不共A面向量之和，B 等于以 这三个向量为棱的平行六面体的以公共始 点为始点的对角线所示向量
向量的数乘运算
在平面上，实数 与向量 a 的乘积 a 仍然是一个向量，
(C)若 OP OA t AB ，则P、A、B不共线
(D)若 OP OA AB ，则P、A、B共线
4.已知点M在平面ABC内，并且对平面ABC外任意一点
O，OM
xOA
＋
1 3
OB ＋
1 3
OC
, 则x的值为(
1
D
)
( A)1
(B) 0
(C)3 (D)
3
已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，MC=2AM，A1N=2ND，
O
O
a a
b +c
A
CA
C
bBc
bBc
空间向量加法结合律
(a O b) c a (b c)O
a
a
b +c
A b
B
C c
A b
C Bc
D1 A1
C1 B1
a
D
C
A
B
平行六面体：平行四边形ABCD按向量a 平移到
A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体.记做ABCD-A1B1C1D1
已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，用 AB, AD, AA1 表示
在一的有序实数组x, y, z 使 p xa yb zc .
空间向量及其运算 课件
的夹角都为90度, 它们的合力的大小
为多少N?
F1
这需要进一步来认识空间中的向量
空间向量的有关概念： 空间向量：在空间中,具有大小和方向的量. 常用 a 、b 、c ……等小写字母来表示. 1.向量 a 的大小叫做向量的长度或模,记为 a .
2.可用一条有向线段 AB 来表示向量,向量 AB 的模又记为 AB 就是线段 AB 的长度.
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
问题 1: C
向上
B
正北
O 正东 A
如图:已知 OA=6 米, AB=6 米,BC=3 米,
? 那么 OC=
问题 2:
F2 F3
已知F1=10N, F2=15N，F3=15N
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
加法交换律 a b b a
成立吗？ 加法结合律
数乘分配律 k(a b) ka＋kb
空间中
向量加法结合律：
( a + b )+ c = a +( b + c )
空间向量及其加减与数乘运算
（1）AB CD BC
（2） AP MN
平行六面体
平行四边形ABCD平移向量 a到 ABC D 的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记 作ABCD— ABC D ．
(1) AB1 A1 D1 C1C x AC
(2) 2 AD1 BD1 x AC1 (3) AC AB1 AD1 x AC1
A1
D1 B1 C1
D
C B
A
变式训练1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(1) AB1 A1 D1 C1C x AC 解(1) AB1 A1 D1 C1C
（四）空间向量加法运算律
⑴加法交换律： a b b a ⑵加法结合律： a b c a (b c) （ ）
a b
a c c
b
空间向量的数乘运算满足分配律及结 合律
即： (a b) a b （ ） a a a ( a) ( )a 其中、是实数。
⑴向量的加法：
b a 平行四边形法则 ⑵向量的减法 三角形法则 b a 三角形法则
a
（三）空间向量的数乘运算 与平面向量一样,实数 与空间向量 a 的乘积 a 仍然是一个向量. 其长度和方向 规定如下： (1)|λ a |＝|λ|| a | (2) 当 0 时 , a 与向 量 a 的方 向相 同; 当 0 时, a 与向量 a 的方向相反; 当 0 时, a 是零向量.
(五)典型例题
例1、给出以下命题： （ ）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同； 1 （2）若空间向量a, b, 满足 a b , 则a =b （3）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有 AC A1C1 （4）若空间向量 m, n, p, 满足 m n， p，则 m p n （5）空间中任意两个单位向量必相等。 其中不正确命题的个数是（ A.1 B2 C.3 D4 ）
空间向量及其运算
3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算教学目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教学过程：Ⅰ.复习引入［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB．［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0.［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？ ［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a ＋b ＝b ＋a加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ） 数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P 26～P 27．Ⅱ.新课讲授［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．起点与重点重合的向量叫做零向量。
空间向量及其运算说课课件
五、教学过程
复习回顾，夯实基础
教师引导，自主探究
分析例题，应用概念 归纳小结，布置作业
阅读5分钟 【活动一】提出问题：请你举出生活中不同在一个平面内的向量的例子 【活动二】填写表格，类比得到空间向量中的基本概念
平面向量空间向量源自• 概念–定义：平面内具有大小 和方向的量
–表示：字母表示(a, AB) 或用有向线段表示
二、学情分析
• 《必修4》中平面向量——有一定的向量基础 • 《必修2》中立体几何初步——有一定的空间观念 • 易于接受，注意维数增加带来的难度
三、目标分析
知识目标
理解空间向量的概念，掌握 空间向量的加减、数乘运算 及其运算律等内容，并能借 助图形理解空间向量的加 减、数乘运算及其运算律的 意义
B
D
A
C
⒉平面向量的加减运算 ⑴向量的加法：
b
a 平行四边形法则 ⑵向量的减法
a 三角形法则
三角形法则
b a
（3）数乘向量的定义
⒊平面向量的加法运算律 加法交换律： a＋b＝b＋a 加法结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
推广
A1A2 A2 A3 A3A4 An1An A1An
A1A2 A2 A3 A3A4 An A1 0
4
A
O M
E
D
B
N
C
归纳小结 布置作业
五、教学过程
提问让学生自己总结
• 课本P862，3 • P97A组第1题
补充完善小结
六、教学反思
在概念课教学中教师作用的体现
帮助学生从整体上把握知识脉络，关注这部分内容在整个数学知识体系 中的地位和作用
①以问题为教学线索 ②以学生为课堂主体 ③以类比为教学方法
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想一想： 1．空间向量的概念及表示方法 如同平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量． 与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向 量或相等的向量． 2．空间向量的加法、减法与数乘运算的定义 (1)与平面向量一样，我们定义空间向量的加法、减法与数乘向量，运算如下： OB― →＝ OA― →＋ AB― → ＝a＋b； CA― →＝ OA―→－ OC― → ＝ a－ b； OP― →＝ λa(λ∈ R)．
法二：用三角形法则求：作 MN― →＝ a， NP― →＝b，则有如图(2)所示 MP― →＝ a＋ b. 2．向量的减法运算结果仍是向量，它可以看作是加法运算即 a－ b＝a＋ (－b)，例如上 面图(2)中 MP― →－ MN― →＝ NP― →，图 (1)中 AB―→－ AD―→＝ DB― →.
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做一做： 1．两个向量 (非零向量)的模相等是两个向量相等的 ( B (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
)
解析：两个向量相等，则其模也相等，反之，则不一定正确．应选 B.
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4．正方体 ABCDA1B1C1D1 中化简 AB― →＋BC― →＋CC1― →＝________.
解析：由向量的加法运算法则得 AB― →＋BC― →＋CC1― →＝ AC1― →.
答案：AC1― →
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(2)空间向量的加法与数乘向量运算满足如下运算律： ①加法交换律： a＋b＝b＋a. ②加法结合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c)． ③数乘分配律： λ(a＋b)＝λa＋λb. 3．平行六面体的概念 平行四边形 ABCD(包括它的内部 )平移向量 a 到 A′B′ C′D′的轨迹所形成的几何体 叫做平行六面体，并记作平行六面体 ABCDA′B′C′ D′.它的六个面都是平行四边形，每 个面的边叫做平行六面体的棱．
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知识要点二：关于向量的三角形法则和平行四边形法则 1．正确应用向量的三角形法则和平行四边形法则 (1)在掌握向量加减法的同时， 应首先掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差， 如共线、 共起点、共终点等． (2)要记住常用关系、常用数据．如在△ ABC 中， AB― →＋ BC― →＋ CA―→＝ 0；以向 量 a、 b 为邻边的平行四边形中， a± b 表示的是两条对角线所在的向量． (3)在应用向量的三角形法则和平行四边形法则时，要注意其要点：①对于向量加法，运 用平行四边形法则要求两向量共起点，运用三角形法则要求向量首尾顺次相连． ②对于向量的减法，要求两向量有共同的起点． a－b 表示的是由 b 的终点指向 a 的终点的向量，即 a－b 的方向是由减数的终点指向被 减数的终点．
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3．空间任意四个点 A、B、C、D，则 DA― →＋CD― →－CB― →等于( (A)DB―→ (B)AC― → (C)AB―→ (D)BA― →
D )
解析： DA―→＋ CD― →－CB― →＝CD― →＋ DA― →＋BC― →＝CA― →＋ BC― → ＝BC― →＋ CA― →＝ BA― → 应选 D.
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知识要点一：空间向量的加减与数乘运算 1． 向量的加法运算结果仍是向量，它的运算法则与平面向量的加法一样，有平行四边 形法则和三角形法则． 例如：已知 求 a＋ b. 解：法一：用平行四边形法则求：作 AB― →＝a，AD― →＝ b，则有如图 (1)所示 AC―→ ＝ a＋ b.
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2．空间向量和的多边形法则
有限多个空间向量 a1，a2，…，an 相加，也可以像平面向量那样，从某点 O 出发，逐一 引向量 OA1― →＝ a1， A1A2― →＝ a2， …， An－ 1An― →＝an， 如图， 于是以所得折线 OA1 A2… An 的起点 O 为起点、终点 An 为终点的向量 OAn― →，就是 a1，a2，…，an 的和，即 OAn― →＝ OA1―→＋ A1A2― →＋…＋ An－ 1An― →＝ a1＋ a2＋…＋ an. 此即为空间向量和的多边形法则． 用折线作向量的和时，有可能折线的终点恰恰重合到起点上，这时的和向量就为零向量．
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(
教师备用： 正方体 ABCDA1B1C1D1 中，化简 AB― →＋BC― →＋CC1― →正确的结果是 A ) (A)AC1― → (B)A1C― → (C)BD1― → (D)D1B―→
解析：如图 AB― →＋ BC― →＋ CC1― →＝ AC1― → 应选 A.
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2．在平行六面体 ABCDA′ B′C′D′各棱上的向量中，与向量 AA′―→相等的向量 有( B ) (A)0 个 (B)3 个 (C)6 个 (D)9 个
解析： 平 行六面体中与 向量 AA′― → 相等 的向量分别是 BB′― → 、 CC′― →、 DD′― →，一共有 3 个，选 B.
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二
空间向量
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9．5
空间向量及其运算
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第一课时
空间向量及其加减与数乘运算
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