【精品】公式——广义胡克定律
材料学 胡克定律
l
b=50mm h=100mm
解: 梁为拉伸与弯曲的组合变形. A点有拉伸引起的正应力和弯曲 引起的切应力.
（拉伸） （负）
（1）A点处的主应变1， 2 ， 3
A
x = 20
x = 30
（2）A点处的线应变 x , y , z
例题14 简支梁由18号工字钢制成. 其上作用有力F= 15kN, 已知
2.三向等值应力单元体的体积应变（The volumetric strain of triaxial-equal stress element body）
三个主应力为
m
单元体的体积应变
m
m
这两个单元体的体积应变相同 单元体的三个主应变为
2
1
dy
3
dz dx
m
m
m
如果变形前单元体的三个棱边成某种比例,由于三个棱边应 变相同,则变形后的三个棱边的长度仍保持这种比例. 所以在三向
因此,该圆筒变形后的厚度并无变化,仍然为 d =10mm .
例题13 已知矩形外伸梁受力F1,F2作用. 弹性模量E=200GPa,泊
松比m= 0.3, F1=100KN,F2=100KN. 求:（1）A点处的主应变 1,2 , 3 （2）A点处的线应变 x , y , z
F1
b
F2 A
F2 z
a
例题10 边长 a = 0.1m 的铜立方块,无间隙地放入体积较大,变形
可略去不计的钢凹槽中,如图所示. 已知铜的弹性模量E=100GPa,
泊松比μ=0.34,当受到F=300kN的均布压力作用时,求该铜块的主
应力,体积应变以及最大切应力.
解:铜块横截面上的压应力
Fa
广义胡克定律
广义胡克定律 强度理论[知识回顾]1、 轴向拉（压）变形在轴向拉（压）杆件内围绕某点截取单元体，单向应力状态（我们分析过）横向变形2）纯剪切[导入新课]胡克定律反映的是应力与应变间的关系，对复杂应力状态，其应力与应变间的关系由广义胡克定律确定。
[新课教学]广义胡克定律 强度理论一、广义胡克定律（Generalized Hooke Law ） 1、主应力单元体－叠加法只在σ作用下：1方向只在2σ作用下：1方向 1方向由σ、2σ、3σ共同作用引起的应变只在3σ作用下：1方向 即同理： E11σ='1ε-=''E31σμε-='''111εεεε'''+''+'=()[]32111σσμσε+-=E()[]13221σσμσε+-=Exx E εσ=Exx y σμμεε-=-=γτG =小变形，线弹性范围内，符合叠加原理2、非主应力单元体 可以证明：对于各向同性材料，在小变形及线弹性范围内，线应变只与正应力有关，而与剪应力无关； 剪应变只与剪应力有关，而与正应力无关，满足应用叠加原理的条件。
3、体积应变 单元体，边长分别为dx 、dy 和dz 。
在三个互相垂直的面上有主应力1σ、2σ和3σ。
变形前单元体的体积为变形后，三个棱边的长度变为由于是单元体，变形后三个棱边仍互相垂直，所以，变形后的体积为dxdydz V )1)(1)(1(3211εεε+++=将上式展开，略去含二阶以上微量的各项，得 dxdydz V )1(3211εεε+++= 于是，单元体单位体积的改变为 3211εεεθ++=-=VVV θ称为体积应变（或体应变）。
它描述了构件内一点的体积变化程度。
5、体积应变与应力的关系将广义虎克定律（8-22）代入上式，得到以应力表示的体积应变()[]21331σσμσε+-=E[][][]⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+-=+-=+-=)(1)(1)(1y x z z x z y y z y x x E E E σσμσεσσμσεσσμσε⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫===zx zx yz yz xy xy G G G τγτγτγ111dxdydzV =dz dz dz dydy dy dx dx dx )1()1()1(332211εεεεεε+=++=++=+K E m σσσσμθ=++⋅-==3)21(3321)(21321321σσσμεεεθ++-=++=E式中K 称为体积弹性模量，m σ是三个主应力的平均值。
胡克定律劲度系数公式
胡克定律描述了弹性体在受到外力作用时发生的形变与施加力之间的关系。
在弹性限度内，胡克定律可以用以下公式表达：
F = kx
其中：
- F 表示施加在弹性体上的力（单位为牛顿，N）；
-k 是劲度系数，也称为弹性系数或胡克常数，它是一个表征材料弹性特性的常数（单位为牛顿每米，N/m）；
-x 是弹性体由于受力而产生的形变量，即伸长或压缩的长度（单位为米，m）。
劲度系数k 反映了材料的硬度或柔软度：一个较大的劲度系数意味着材料较硬，形变较难；一个较小的劲度系数则意味着材料较软，形变较容易。
胡克定律仅适用于弹性变形，即当物体在去除外力后能够恢复到原始形状的情况。
一旦超出弹性极限，物体可能会产生塑性变形，胡克定律就不再适用。
材料力学广义胡克定律ppt课件ppt课件
x
1 1 ( 45 45 ) ( ) E E 1 16(1 )m E Ed 3
[例5] 壁厚 t =10mm , 外径 D=60mm 的薄壁圆筒, 在表面上 k 点
处与其轴线成 45°和135° 角即 x, y 两方向分别贴上应变片,然后在
四、应力--应变关系
E ( y z ) x 2 x 1
E ( z x ) y 2 y 1 E ( x y ) z 2 z 1
xy G xy
yz G yz
主应变2为：
联立两式可解得：
0.3 6 2 1 3 44 . 3 20 . 3 10 9 E 21010 34.3 106
其方向必与1和3垂直，沿构件表面的法线方向。
[例2]边长为a 的一立方钢块正好置于刚性槽中，钢块的弹性
uf
状态1受平均正应力m作用，因各向均匀受力，故只有 体积改变，而无形状改变，相应的比能称为体积改变比能uV。 状态2的体积应变： 1 2 ( V ) 2 [( 1 m ) ( 2 m ) ( 3 m )] 0 E 状态2无体积改变，只有形状改变，相应的比能称为形
uV
uf
[例1]边长为a 的一立方钢块正好置于刚性槽中，钢块的弹性 模量为E 、泊桑比为 ，顶面受铅直压力P 作用，求钢块的体 积应变V 和形状改变比能uf 。 P y
y x z
x
z
解： 由已知可直接求得： N P y 2 , z 0, A a
x 0,
1 y 0 [ x ( y 0)] E P x y 2 , a z P P 1 0, 2 2 , 3 2 a a 1 2 1 2 P P V ( 1 2 3 ) (0 2 2 )
公式——广义胡克定律
公式——广义胡克定律广义胡克定律是描述弹性体变形与所受力之间关系的一种数学公式。
它是由英国科学家罗伯特·胡克提出的，被广泛应用于弹簧、金属材料等弹性体的力学研究中。
广义胡克定律描述了物体中的应力（stress）与应变（strain）之间的关系，体现了物体恢复原状的能力。
广义胡克定律可以表示为：σ=Eε其中，σ是物体中的应力，E是材料的弹性模量，ε是应变。
应变也可以分为两种类型：正应变（tensile strain）和剪应变（shear strain）。
正应变是指物体长度或体积在受力后发生的相对变化，剪应变是指物体截面内的相对平移。
弹性模量E是物质的固有属性，反映了其变形能力。
E取决于材料的类型和结构。
对于大部分金属材料而言，它们在弹性变形区间表现出线性弹性行为，即广义胡克定律适用。
广义胡克定律适用于小应变情况，因为大应变时材料可能发生位移、塑性变形等非线性行为。
通常，当应变小于0.01时，广义胡克定律可以良好适用。
广义胡克定律的意义在于帮助我们理解物质在受力下产生的变形。
通过应用广义胡克定律，可以计算出物体所受力引起的应力，并据此评估物体是否会发生破裂、变形等情况。
例如，在弹簧的设计中，我们可以利用广义胡克定律来计算所需的弹簧刚度，以确保弹簧在受力下能够有效恢复原状。
需要注意的是，广义胡克定律只适用于线弹性材料，在材料的弹性极限之前。
对于塑性变形等非线性行为，需要使用其他力学模型进行描述。
总之，广义胡克定律是描述弹性体变形与所受力之间关系的重要公式。
在实际工程中，广义胡克定律的应用广泛，对于预测物体的变形和断裂行为，以及设计合适的材料和结构具有重要意义。
(完整版)广义胡克定律
广义胡克定律 强度理论[知识回顾]1、 轴向拉（压）变形在轴向拉（压）杆件内围绕某点截取单元体，单向应力状态（我们分析过）横向变形2）纯剪切[导入新课]胡克定律反映的是应力与应变间的关系，对复杂应力状态，其应力与应变间的关系由广义胡克定律确定。
[新课教学]x x E εσ=E xx y σμμεε-=-=γτG =广义胡克定律 强度理论一、广义胡克定律（Generalized Hooke Law ）1、主应力单元体－叠加法只在1σ作用下：1方向只在2σ作用下：1方向 1方向由1σ、2σ、3σ共同作用引起的应变只在3σ作用下：1方向即同理：2、非主应力单元体可以证明：对于各向同性材料，在小变形及线弹性范围内，线应变只与正应力有关，而与剪应力无关； 剪应变只与剪应力有关，而与正应力无关， 满足应用叠加原理的条件。
E11σε='E21σμε-=''E 31σμε-='''111εεεε'''+''+'=()[]32111σσμσε+-=E()[]13221σσμσε+-=E()[]21331σσμσε+-=E [][][]⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+-=+-=+-=)(1)(1)(1y x z z x z y y z y x x E E E σσμσεσσμσεσσμσε⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫===zx zx yz yz xy xy G G G τγτγτγ111小变形，线弹性范围内，符合叠加原理3、体积应变单元体，边长分别为dx 、dy 和dz 。
在三个互相垂直的面上有主应力1σ、2σ和3σ。
变形前单元体的体积为 变形后，三个棱边的长度变为由于是单元体，变形后三个棱边仍互相垂直，所以，变形后的体积为dxdydz V )1)(1)(1(3211εεε+++=将上式展开，略去含二阶以上微量的各项，得dxdydz V )1(3211εεε+++= 于是，单元体单位体积的改变为 3211εεεθ++=-=VVV θ称为体积应变（或体应变）。
广义胡克定律
第四章 广义胡克定律第四章 广义胡克定律 (1)§4.1节广义胡克定律 (2)§4.2节拉梅常数与工程弹性常数 (5)§4.3节弹性应变能函数 (7)§4.1节 广义胡克定律（一）单向应力状态下胡克定律单向应力状态下，处于线弹性阶段材料，其应力与应变关系可由下式表示：x x E σε=其中E 为材料的弹性模量。
（二）三维广义胡克定律三维条件下，物体应力状态可由6个分量表示，而应变状态也由6个分量表示。
假设应力与应变的各个分量之间均相关，一般地，1111111222133314121523163122211122222333241225232631333111322233333412352336311241114222433344124523463123511152225c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c σεεεεεεσεεεεεεσεεεεεεσεεεεεεσεε=+++++=+++++=+++++=+++++=++33354125523563131611162226333641265236631c c c c c c c c c εεεεσεεεεεε⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪+++⎪=+++++⎪⎩ 或写作111213141516111121222324252622223132333435363333121241424344454623235152535455563131616263646566c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c σεσεσεσεσεσε⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎥⎥⎥⎥⎥ 其中，mn C （,1,,6m n ="）为弹性常数。
胡克定律,弹力与物体的变形成正比,而与物体的质量成反比
胡克定律,弹力与物体的变形成正比,而与物体的质量成反比胡克定律是物理学中的一个基本定律，它描述了弹性物体在受到外力作用时，其形变与外力之间的关系。
这个定律是由英国物理学家罗伯特·胡克在17世纪提出的，它对于理解弹性物体的力学行为具有重要意义。
胡克定律的内容是：在弹性限度内，弹簧的伸长或压缩量与作用在其上的外力成正比，而与物体的质量无关。
也就是说，当一个物体受到的力越大，它所发生的形变也就越大。
这个定律可以用一个简单的数学公式来表示：F=k×Δx其中，F代表作用在物体上的力，k是弹簧的劲度系数，Δx是弹簧的伸长或压缩量。
这个公式告诉我们，当外力增加时，弹簧的形变也会增加，而且这种增加是线性的，也就是说，形变和外力之间存在着一种正比关系。
这个正比关系意味着，当一个物体受到的力越大，它所发生的形变也就越大。
这是因为物体在受到外力作用时，其内部的分子或原子之间的相互作用力会发生变化，导致物体形状的改变。
而这种改变的大小与外力的大小成正比。
另外，胡克定律还告诉我们，弹簧的劲度系数k是一个常数，它与物体的质量无关。
这意味着无论物体的质量大小如何，只要它受到的力相同，它所发生的形变也是相同的。
这是因为物体的质量不会影响其内部的分子或原子之间的相互作用力，因此也不会影响其形变的大小。
这个结论在工程学和物理学中具有重要意义。
在工程设计中，工程师们经常需要使用弹性材料来制造各种机械和结构。
胡克定律可以帮助他们了解弹性材料在不同外力作用下的形变情况，从而优化设计，提高产品的稳定性和安全性。
在物理学中，胡克定律也是研究弹性物体力学行为的基础。
通过研究不同弹性材料在不同外力作用下的形变情况，物理学家们可以进一步探索弹性材料的内部结构和性质，为材料科学和工程学的发展提供重要的理论支持。
总之，胡克定律是物理学中的一个基本定律，它描述了弹性物体在受到外力作用时其形变与外力之间的关系。
这个定律告诉我们，当一个物体受到的力越大，它所发生的形变也就越大；而弹簧的劲度系数k是一个常数，它与物体的质量无关。
胡克定律的定义及公式。
胡克定律，曾译为虎克定律，是力学弹性理论中的一条基本定律，表述为：固体材料受力之后，材料中的应力与应变（单位变形量）之间成线性关係。
满足胡克定律的材料称为线弹性或胡克型（英文Hookean）材料。
从物理的角度看，胡克定律源于多数固体（或孤立分子）内部的原子在无外载作用下处于稳定平衡的状态。
许多实际材料，如一根长度为L、横截面积A的稜柱形棒，在力学上都可以用胡克定律来模拟——其单位伸长（或缩减）量（应变）在常係数E（称为弹性模量）下，与拉（或压）应力σ成正比例，即：F=-k·x或△F=-k·Δx
其中为总伸长（或缩减）量。
胡克定律用17世纪英国物理学家罗伯特·胡克的名字命名。
胡克提出该定律的过程颇有趣味，他于1676年发表了一句拉丁语字谜，谜面是：ceiiinosssttuv。
两年后他公布了谜底是：ut tensio sic vis，意思是“力如伸长（那样变化）”（见参考文献[1]），这正是胡克定律的中心内容。
胡克定律——精选推荐
胡克定律、胡克定律： F = Kx (x为伸长量或压缩量,K为倔强系数，只与弹簧的原长、粗细和材料有关)2、重⼒：G = mg (g随⾼度、纬度⽽变化)⼒矩：M=FL (L为⼒臂，是转动轴到⼒的作⽤线的垂直距离）5、摩擦⼒的公式：(1 ) 滑动摩擦⼒：f=µN说明：a、N为接触⾯间的弹⼒，可以⼤于G；也可以等于G;也可以⼩于G 为滑动摩擦系数，只与接触⾯材料和粗糙程度有关，与接触⾯µb、积⼤⼩、接触⾯相对运动快慢以及正压⼒N⽆关.(2 ) 静摩擦⼒：由物体的平衡条件或⽜顿第⼆定律求解,与正压⼒⽆关.fm (fm为最⼤静摩擦⼒，与正压⼒有关)≤ f静≤⼤⼩范围：O说明：a 、摩擦⼒可以与运动⽅向相同，也可以与运动⽅向相反，还可以与运动⽅向成⼀定夹⾓。
b、摩擦⼒可以作正功，也可以作负功，还可以不作功。
c、摩擦⼒的⽅向与物体间相对运动的⽅向或相对运动趋势的⽅向相反。
d、静⽌的物体可以受滑动摩擦⼒的作⽤，运动的物体可以受静摩擦⼒的作⽤。
Vg (注意单位）ρ6、浮⼒：F=7、万有引⼒：F=GmM/r2(1)．适⽤条件(2) ．G为万有引⼒恒量(3) ．在天体上的应⽤：（M⼀天体质量R⼀天体半径g⼀天体表⾯重⼒加速度）a 、万有引⼒=向⼼⼒Gb、在地球表⾯附近，重⼒=万有引⼒mg=GmM/r2c、第⼀宇宙速度mg = m V=8、库仑⼒：F=K (适⽤条件)9、电场⼒：F=qE (F 与电场强度的⽅向可以相同，也可以相反)10、磁场⼒：（1）洛仑兹⼒：磁场对运动电荷的作⽤⼒。
V) ⽅向⼀左⼿定⊥公式：f=BqV (B（2）安培⼒：磁场对电流的作⽤⼒。
I）⽅向⼀左⼿定则⊥公式：F= BIL （BFy = m ay∑Fx = m ax ∑11、⽜顿第⼆定律：F合= ma 或者理解：（1）⽮量性（2）瞬时性（3）独⽴性（4）同⼀性12、匀变速直线运动：基本规律：Vt = V0 + a t S = vo t + a t2⼏个重要推论：(1) Vt2 －V02 = 2as （匀加速直线运动：a为正值匀减速直线运动：a为正值）(2) A B段中间时刻的即时速度:Vt/ 2 = = A S a t B(3) AB段位移中点的即时速度:Vs/2 =匀速：Vt/2 =Vs/2 ; 匀加速或匀减速直线运动：Vt/2(4) 初速为零的匀加速直线运动,在1s 、2s、3s?……ns内的位移之⽐为12：22:32……n2；在第1s 内、第2s内、第3s内……第ns内的位移之⽐为1：3：5…… (2n-1); 在第1⽶内、第2⽶内、第3⽶内……第n⽶内的时间之⽐为1：：……((5) 初速⽆论是否为零,匀变速直线运动的质点,在连续相邻的相等的时间间隔内的位s = aT2 (a⼀匀变速直线运动的加速度T⼀每个时间间隔的时间)?移之差为⼀常数：13、竖直上抛运动：上升过程是匀减速直线运动，下落过程是匀加速直线运动。
胡克定律原理
胡克定律原理
胡克定律是描述弹簧伸缩行为的物理规律之一。
根据胡克定律，当施加在一个弹簧两端的力与弹簧伸长或缩短的距离成正比时，该弹簧会产生恢复力。
具体而言，胡克定律可以用以下公式表示：
F = -kx
在这个公式中，F代表弹簧的恢复力（单位为牛顿），k代表
弹簧的弹性系数（单位为牛顿每米），x代表弹簧的伸长或缩
短距离（单位为米）。
根据胡克定律，当施加的力增大时，弹簧的伸长或缩短距离也会增大。
而当弹簧的弹性系数增大时，给定的力会产生更大的伸长或缩短距离。
此外，胡克定律还可以推广到描述其他伸缩体（如橡胶带）的行为。
胡克定律的重要应用之一是弹簧的设计和使用。
根据胡克定律，设计弹簧时可以选择适当的弹性系数，以满足所需的力和伸长或缩短距离。
此外，在许多机械系统中，胡克定律也被用于计算和预测弹簧的恢复力和变形。
广义胡克定律
§10.4 空间应力状态与广义胡克定律一、空间应力状态简介当单元体上三个主应力均不为零时的应力状态称为空间应力状态,也称为三向应力状态.本节只讨论在已知主应力σ1、σ2、σ3的条件下,单元体的最大正应力和最大剪应力.先研究一个与σ1平行的斜截面上的应力情况,如图10-16<a>所示.该斜面上的应力σ、τ与σ1无关,只由主应力σ2、σ3决定.于是,可由σ2、σ3确定的应力圆周上的点来表示平行于σ1某个斜面上的正应力和剪应力.同理,在平行于σ2或σ3的斜面上的应力σ、τ,也可分别由〔σ1、σ3〕或〔σ1、σ2〕确定的应力圆来表示.这样作出的3个应力圆称作三向应力圆,如图10-16〔d〕所示.当与三个主应力均不平行的任意斜面上的正应力和剪应力必然处在三个应力圆所围成的阴影范围之内的某一点D.D点的纵横坐标值即为该斜面上的正应力和剪应力.由于D点的确定比较复杂且不常用,在此不作进一步介绍.图10-16 空间应力状态与其应力圆二、最大、最小正应力和最大剪应力从图10-16<d>看出,在三个应力圆中,由σ1、σ3所确定的应力圆是三个应力圆中最大的应力圆,又称极限应力圆.画阴影线的部分内,横坐标的极大值为Al点,而极小值为B1点,因此,单元体正应力的极值为：σmax=σ1,σmin=σ3单元体中任意斜面上的应力一定在σ1和σ3之间.而最大剪应力则等于最大应力圆上Gl点的纵坐标,即等于该应力圆半径：Gl 点在由σ1和σ3所确定的圆周上,此圆周上各点的纵横坐标就是与σ2轴平行的一组斜截面上的应力,所以单元体的最大剪应力所在的平面与σ2轴平行,且与σ1和σ3主平面交450.三、广义胡克定律在研究单向拉伸与压缩时,已经知道了在线弹性范围内,应力与应变成线性关系,满足胡克定律 E σε= 〔a 〕此外,轴向变形还将引起横向尺寸的变化,横向线应变根据材料的泊松比可得出：'E σεμεμ=-=- 〔b 〕在纯剪切的情况下,根据实验结果,在剪应力不超过剪切比例极限时,剪应力和剪应变之间的关系服从剪切胡克定律,即G τγ= 或 G τγ= 〔c 〕对于复杂受力情况,描述物体一点的应力状态,通常需要9个应力分量,如图10.1所示.根据剪应力互等定律,τxy =－τyx ,τxz =－τzx ,τyz =－τzy ,因而,在这9个应力分量中只有6个是独立的.这种情况可以看成是三组单向应力〔图10-17〕和三组纯剪切的组合.对于各向同性材料,在线弹性范围内,处于小变形时,线应变只与正应力有关,与剪应力无关；而剪应变只与剪应力有关,与正应力无关,并且剪应力只能引起与其相对应的剪应变分量的改变,而不会影响其它方向上的剪应变.因此,求线应变时,可不考虑剪应力的影响,求剪应变时不考虑正应力的影响.于是只要利用〔a 〕、〔b 〕、〔c 〕三式求出与各个应力分量对应的应变分量,然后进行叠加即可.图10-17 应力分解如在正应力σx 单独作用时<图10-17<b>>,单元体在x 方向的线应变xxx E σε=；在σy 单独作用时<图10-17<c>>,单元体在x 方向的线应变为：yxy E σεμ=-；在σz 单独作用时<图10-17 <d>>,单元体在x 方向的线应变为zxz E σεμ=-；在σx 、σy 、σz 共同作用下,单元体在x 方向的线应变为：同理,可求出单元体在y 和z 方向的线应变εy 和εz.最后得 1()y y z x E εσμσσ=-+⎡⎤⎣⎦ 〔10-9〕对于剪应变与剪应力之间,由于剪应变只与剪应力有关,并且剪应力只能引起与其相对应的剪应变分量的改变,而不会影响其它方向上的剪应变.因而仍然是〔c 〕式所表示的关系.这样,在xy 、yz 、zx 三个面内的剪应变分别是12(1)yz yz yz G E μγττ+== 〔10-10〕公式〔10-9〕和〔10-10〕就是三向应力状态时的广义胡克定律.当单元体的六个面是主平面时,使x 、y 、z 的方向分别与主应力σ1、σ2、σ3的方向一致,这时有广义胡克定律化为：[]22311()E εσμσσ=-+ 〔10-11〕ε1、ε2、ε3方向分别与主应力σ1、σ2、σ3的方向一致,称为一点处的主应变.三个主应变按代数值的大小排列,ε1 ≥ ε2 ≥ε3,其中,ε1和ε3分别是该点处沿各方向线应变的最大值和最小值.四、 体积应变单位体积的改变称为体积应变〔体应变〕.图10-18所示的主单元体,边长分别是dx 、dy 和dz.在3个互相垂直的面上有主应力σ1、σ2和σ3.单元体变形前的体积为: v = dxdydz ;变形后的体积为：v 1=〔dx +ε1dx><dy +ε2dy><dz+ε3dz>则体积应变为：略去高阶微量,得 123θεεε=++ 〔10-12〕将广义胡克定律式<10-11>代入上式,得到以应力表示的体积应变图10-18 主应力单12312312()E μθεεεσσσ-=++=++ 〔10-13〕令 1231()3m σσσσ=++ 〔10-14〕则 3(12)m m E K μσσθ-== 〔10-15〕式中：3(12)E K μ=-称为体积弹性模量,σm 称为平均主应力.公式〔10-15〕表明,体积应变θ与平均主应力σm 成正比,即体积胡克定律.单位体积的体积改变只与三个主应力之和有关,至于三个主应力之间的比例对体积应变没有影响.若将图10-19〔a 〕中所示单元体分解为〔b 〕和〔c 〕两种情况的叠加,在〔c 〕图中,由于各面上的主应力为平均主应力,该单元体各边长按相同比例伸长或缩短,所以单元体只发生体积改变而不发生形状改变.在图〔b 〕中,三个主应力之和为零,由式〔10-13〕可得其体积应变θ也为零,表明该单元体只发生形状改变而不发生体积改变.由此可知,图〔a 〕所示的单元体的变形将同时包括体积改变和形状改变.五、 复杂应力状态下的弹性变形比能弹性变形比能是指物体在外力作用处于弹性状态下,在单位体积内储存的变形能.在单向应力状态下,当应力σ与应变ε满足线性关系时,根据外力功和应变能在数值上相等的关系,导出变形比能的计算公式为图10-19 单元体应力的组合在复杂应力状态下的单元体的变形比能为将将广义胡克定律<10.11>式代入上式,经过整理后得出：22212312233112()2E σσσμσσσσσσ⎡⎤=++-++⎣⎦ 〔10-16〕 式〔10-16〕就是在复杂应力状态下杆件的弹性变形比能计算公式.由于单元体的变形包括体积改变和形状改变,所以变形比能也可以看成由体积改变比能和形状改变比能这两部分的组合.式中：u θ为体积改变比能,d u 为形状改变比能.对于图〔10-19〔c 〕〕中的单元体,各面上的正应力为：1231()3m σσσσ==++,将σm 代入式〔10-16〕得体积改变比能： 212312()6E μσσσ-=++ 〔10-17〕形状改变比能：2221223311[()()()]6E μσσσσσσ+=-+-+- 〔10-18〕 例10-7 如图10-20所示钢梁,在梁的A 点处测得线应变640010,x ε-=⨯612010,y ε-=-⨯ 试求：A 点处沿x 、y 方向的正应力和z 方向的线应变.已知弹性模量E=200GPa,泊松比μ=0.3.图10-20 钢梁上某点A 的位置解：因为A 点的单元体上σz=0,该单元体处于平面应力状态,将εx 、εy 、E 、μ代入公式〔10-9〕,得解得：σx=80MPa,σy=0再由。
胡克定律定义及表达式
胡克定律定义及表达式胡克定律是描述弹性力的重要定律之一，在物理学中起着重要的作用。
它是由英国物理学家胡克（Robert Hooke）于17世纪提出的。
胡克定律描述了弹性力与物体的形变之间的关系，它表达了弹簧或弹性体受力后的形变情况。
胡克定律的定义非常简单明了，它指出：当一个物体受到外力作用时，它会产生形变，并且形变与受力成正比。
胡克定律的表达式可以写作F = kx，其中F表示物体受到的弹性力，k表示弹性系数，x 表示物体的形变。
在这个表达式中，弹性系数k是一个常量，它反映了物体抵抗形变的能力。
弹性系数越大，物体的形变就越小，说明物体越难被拉伸或压缩；而弹性系数越小，物体的形变就越大，说明物体越容易被拉伸或压缩。
胡克定律适用于各种弹性体，比如弹簧、橡胶等。
当一个弹簧受到外力拉伸或压缩时，弹性力会产生形变。
根据胡克定律，弹簧受力与形变之间的关系是线性的，也就是说，当外力增大一倍时，形变也会增大一倍，这符合胡克定律的基本原则。
胡克定律的应用非常广泛。
在工程领域中，胡克定律被用于设计和计算各种弹性结构，比如弹簧、悬挂系统、建筑物的支撑结构等。
胡克定律还被应用于材料科学中，用于研究和分析材料的力学性质。
通过测量材料受力后的形变，可以计算出材料的弹性模量等重要参数。
胡克定律的应用还可以扩展到其他领域。
在生物学中，胡克定律被用于研究细胞的力学性质，比如细胞的变形和力学特性。
在地震学中，胡克定律可以用于研究地震的力学行为，预测地震的发生和研究地震波传播等。
总结起来，胡克定律是描述弹性力与形变之间关系的重要定律。
它的表达式F = kx清晰地表达了弹性力与形变之间的线性关系。
胡克定律的应用涵盖了工程、材料科学、生物学和地震学等多个领域。
通过研究胡克定律，我们可以更好地理解物体的弹性特性，为工程设计和科学研究提供重要的理论基础。
胡克定律
1、 胡克定律： F = Kx (x 为伸长量或压缩量,K 为倔强系数，只与弹簧的原长、粗细和材料有关)2、 重力： G = mg (g 随高度、纬度、地质结构而变化)3 、求F 1、F 2两个共点力的合力的公式：Ｆ＝θCOS F F F F 2122212++注意：(1) 力的合成和分解都均遵从平行四边行法则。
(2) 两个力的合力范围： ⎥ F 1－F 2 ⎥ ≤ F ≤ F 1 +F 2(3) 合力大小可以大于分力、也可以小于分力、也可以等于分力。
5、摩擦力的公式： (1 ) 滑动摩擦力： f= μFn说明 ： a 、Fn 为接触面间的弹力，可以大于G ；也可以等于G;也可以小于Gb 、 μ为滑动摩擦系数，只与接触面材料和粗糙程度有关，与接触面积大小、接触面相对运动快慢以及正压力N 无关.(2 ) 静摩擦力： 由物体的平衡条件或牛顿第二定律求解,与正压力无关.大小范围： O ≤ f 静≤ f m (f m 为最大静摩擦力，与正压力有关)说明： a 、摩擦力可以与运动方向相同，也可以与运动方向相反，还可以与运动方向成一 定 夹角。
b 、摩擦力可以作正功，也可以作负功，还可以不作功。
c 、摩擦力的方向与物体间相对运动的方向或相对运动趋势的方向相反。
d 、静止的物体可以受滑动摩擦力的作用，运动的物体可以受静摩擦力的作用。
12、匀变速直线运动：加速度是描述速度变化快慢的物理量，它等于速度变化量跟发生这一变化量所用时间的比值，定义式是a =Δv /Δt=（v t -v 0）/Δt ，加速度是矢量，其方向与速度变化量的方向相同，与速度的方向无关。
基本规律： V t = V 0 + a t S = v o t +12a t 2几个重要推论： (1) V t 2 － V 02 = 2as （匀加速直线运动：a 为正值 匀减速直线运动：a 为正值）(2) A B 段中间时刻的即时速度: V t/ 2 =V V t 02+=s t (3)AB 段位移中点的即时速度: V s/2 = v v o t 222+ 匀速：V t/2 =V s/2 ; 匀加速或匀减速直线运动：V t/2 <V s/2(4) 初速为零的匀加速直线运动,在1s 、2s 、3s ……ns 内的位移之比为12：22:32 ……n 2； 在第1s 内、第 2s 内、第3s 内……第ns 内的位移之比为1：3：5…… (2n-1); 在第1米内、第2米内、第3米内……第n 米内的时间之比为1：()21-： 32-)……(n n --1)(5) 初速无论是否为零,匀变速直线运动的质点,在连续相邻的相等的时间间隔内的位移之差为一常数：Xn-Xn-1 = aT 2 (a 一匀变速直线运动的加速度 T 一每个时间间隔的1时间)13、 竖直上抛运动： 上升过程是匀减速直线运动，下落过程是匀加速直线运动。
13-2广义胡克定律与变形能-材料力学
1 m 形状改变
3 m
②形状改变比能：
证明在：
' 1
1
m
,
' 2
2
m
,
' 3
3
m
作用下，体积没有变化 。
3(1
2)
1'
' 2
' 3
E
3
1 2
E
(1'
' 2
' 3
)
1 2
E
[(1
m
)
(
2
1
该单元体所储存的应变
能为：
3
U
1 2
(
1e1
2
e
2
3e
3
)dxdydz
②比能：
u
U V
1 2
(
1e1
2e2
3e
3
)
③代入虎克定律：
u
1 2E
[12
2 2
2 3
2
(1
2
2
3
31
)]
（二）、体积改变比能 ut 与形状改变比能 u x
1.有关概念：
三、复杂应力状态下的变形比能 （一）、总应变比能
1.有关概念： ①应变能(变形能)：伴随弹性体的变 形而储存在弹性体的能量。用U表示；
第四章广义胡克定律
式中共有 36 个常数。
（三）弹性常数矩阵的对称性
上述 36 个常数并不都是独立的，从§4.3 节能量角度考虑，弹性常数矩阵是对称的，即极端
2
弹性力学讲义（2013 版），山东大学岩土中心 王者超
各向异性的弹性体其独立弹性常数只有 21 个。 根据材料本身性质的对称性，独立的弹性常数个数将发生变化。 若材料具有一个对称面，则弹性常数减少至 13 个； 若材料具有三个正交的对称面，即材料具有正交各向异性，则弹性常数减少至 9 个； 若材料是横观各向同性的，则弹性常数减少至 5 个； 最后，若材料是各向同性的，则弹性常数只有 2 个。
+
c24ε
′
12
+
c25ε
′
23
+
c26ε
′
31
⎪⎪σ ⎨
′
33
=
c31ε
′
11
+
c32ε
′
22
+
c33ε
′
33
+
c34ε
′
12
+
c35ε
′
23
+
c36ε
′
31
⎪σ ⎪
′
12
=
c41ε
′
11
+
c42ε
′
22
+
c43ε
′
33
+
c44ε12′
+
c45ε
′
23
+
c46ε
′
31
⎪σ ⎪
′
23
=
c51ε11′
1
弹性力学讲义（2013 版），山东大学岩土中心 王者超
胡克定律公式
胡克定律公式胡克定律是一个有力的概念，它可以用来描述一种材料或物质的物理性质。
该定律由于其简洁的表达形式而闻名，被称为“胡克定律”，是由美国物理学家弗雷德里克胡克（Frederick Kuhl）于1859年发现的。
胡克定律提供了一个简单有效的办法来描述物质性质，并为理解物理过程提供了基础。
在本文中，我们将重点讨论胡克定律公式，它描述了材料物理性质与温度之间的关系。
胡克定律公式可以用来比较物质在不同温度下的性质。
它采用常数k，K是根据温度来调整的。
如果物质的性质随着温度的变化而发生变化，则K值会发生变化，而K值也会影响物质的性质。
另外，K 值也可以用来计算物质温度上的变化率，从而可以推断出物质热量的变化率，以及物质的物理性质是如何随着温度变化而发生变化的。
胡克定律公式是一个三元非线性方程，即：F = KT其中F表示物质物理性质，K是常数，T表示物质温度。
由于K 值不同，其中F的变化幅度也不同，而且K值也可以有不同的符号，可以用来表示物质性质的正或负变化，以及物质温度上的变化率。
胡克定律非常重要，可以用来描述物质性质随温度变化的趋势，同时也可以应用于实际工程中，比如可以用来计算物质的热容和温度变化率，也可以帮助科学家们更好地理解物质的物理性质和特性，同时还可以用于物质过程中的能量平衡和热量交换。
此外，胡克定律还可以用于物理学中热力学领域，它可以用来计算物体内部和外部状态之间的能量差。
在工程设计中，它也可以用来计算材料的温度变化率，以便制定出最佳的温度控制策略。
总之，胡克定律是一个非常重要的定律，在物理和工程领域都有很多的应用，而且它简洁的表达形式也让它成为了一种重要的工具，用来计算物质性质随温度变化的趋势。
加上物理学中的量子力学和热力学原理，科学家们就可以更好地理解物质物理性质，以及物质在室温，高温或低温下的表现。
此外，胡克定律还可以应用于工程设计中，帮助工程师更好地控制物质的温度和物理性质，以及计算物质的热容和温度变化率。
§7-4各向同性材料的应力、应变关系一、广义胡克定律
σy
解： （1）求应变εx, εy ,εz 根据广义胡克定律：
σx
O
= ε x
1 E
(σ
x
−
µσ
y
)
=
1 200 ×
109
(160
×
106
+
0.25
×
40
×
106
)
=
8.5 ×10−4
εy
=1 E
(σ
y
−
µσ x )
= 200
1 ×
109
(−40 × 106
−
0.25×160×106 )
=−4 × 10−4
例: 刚性块D=5.001cm凹座，内放d=5cm刚性
圆柱体，F=300kN, E=200GPa, µ = 0.3,无摩擦，
求圆柱体主应力。
解：
σ3
=− F A
=− π30×05×012043
=−153MPa
F
设圆柱体胀满凹座
ε2 = (5.001− 5) 5= 0.0002
由对称性，可设 σ1 = σ2 = −q
(2) 坐标系转动30o，求 ε γ 30, 30/120
解：（ii）由应力转轴公式
σ= 30
σx
+σ y
2
+
σx
−σ
2
y
cos 2 × 30
−τ x
sin 2 × 30
= 160 − 40 + 160 + 40 cos 60 = 110MPa
2
2
（应力单位：MPa）
τ 30
σ
x
−σ
2
y