高一数学下册阶段考试试题
吉林省高一下学期阶段性测试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，集合，则（ ）{}220A x x x =∈--≤Z {B x y ==A B = A ． B ． C ． D ．[]1,2-(]1,2{}1,2{}1,1,2-【答案】C【分析】根据题意，先将集合化简，然后根据交集的运算即可得到结果.,A B 【详解】因为{}{}{}220121,0,1,2A x x x x x =∈--≤=∈-≤≤=-Z Z，则且，则可得 {B x y ==21log 0x -≥0x >{}02B x x =<≤所以 {}1,2A B = 故选:C2．已知点，向量，则（ ）(1,3),(2,7)A B (0,2)AC =- BC =A ．B ．C ．D ．(1,4)(1,4)--(1,6)(1,6)--【答案】D【分析】根据平面向量的坐标运算计算即可.【详解】，所以. ()1,4AB = ()1,6BC AC AB =-=-- 故选：D.3．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，，则216,BC AB AC AB AC =+=-= AM （ ） A ．8 B ．4 C ．2 D ．1【答案】C【分析】由可得，，结合即可得结果. ||||AB AC AB AC +=- 0AB AC ⋅= AB AC ⊥2||16BC = 【详解】因为，所以，2||16BC =||4BC = 又因为，22||||||||0AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC +=-⇒+=-⇒⋅=所以,又因为是的中点，AB AC ⊥M BC 所以,1||||22AM BC ==故选C.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算法则，属于中档题. 向量数量积的运算主要掌握两224．某正弦型函数的图像如图，则该函数的解析式可以为.A ．B ．2sin()26x y π=-52sin()212x y π=+C ． D ． 332sin()24x y π=--32sin(24x y π=-+【答案】C【详解】试题分析：由图象可得最大值为2，则A=2，周期 ，∴ 74663T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭232T πω==∴ ，32sin 2y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又，是五点法中的第一个点，∴ ，∴6x π=-30264ππϕϕ⎛⎫⨯-+=⇒= ⎪⎝⎭32sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭把A,B 排除，对于C ： ，故选C33332sin 2sin 2sin 242424y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】本题考查函数的图象和性质 ()sin y A x ωϕ=+点评：解决本题的关键是确定 的值 ,,A ωϕ5．下列说法正确的是（ ）A ．若，则a c = a c =B ．若，则存在唯一实数使得//a b λa b λ=C ．若，，则//a b //b c//a c D ．与非零向量共线的单位向量为aa a± 【答案】D【分析】对A ，向量模相等，则向量相等或相反；对B ，向量共线定理判断；对C ，利用向量平行（或共线）的性质判断，对D 利用非零向量的单位向量的求解方法求解.【详解】若，则或，所以选项A 错误；a c = a c =- a c = 若，此时 不存在，选项B 错误； 00b a =≠，λ若，由，，不一定得到，选项C 不正确；//a c由向量为非零向量，根据单位向量的定义，选项D 正确. a故选：D.6．已知非零向量 满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量,a b(2)(2)a b a b +⊥- b a 14a a与的夹角是（ ） bA ．B ．C ．D ．6π3π2π23π【答案】B【分析】由垂直关系得出，由向量在向量方向的投影向量得出，由两2a b = b a 1cos ,4b a b a =式得出，进而得出夹角.1cos ,2a b=【详解】因为，所以，即①. (2)(2)a b a b +⊥- 22(2)(2)40a b a b a b +⋅-=-= 2a b = 因为向量在向量方向的投影向量是，所以.b a14a 1cos ,4ab a b a a ⋅= 所以②，将①代入②得，，又，1cos ,4b a b a =1cos ,2a b =[],0,a b π∈ 所以.π,3a b =故选：B7．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引人对不等式的发展影响深<>远．若不相等的两个正实数满足，则下列结论正确的个数是（ ） ,a b 4a b +=①111a b+>2<<④ 228a b +>A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】妙用1可得①；直接使用基本不等式可得②；利用基本不等式先证，然后28<可得③；不等式两边同加，然后可得④. 222a b ab +>22a b +【详解】，因为，所以，①正1111111()(2)(22)1b a a b +=++=++≥+=a b ¹111+>确；，因为，②正确；4a b ≤+=2≤a b ¹2<，所以，即③正确； 2<48a b a b +<++=28<<因为，所以，所以，即，④正确. a b ¹222a b ab +>222222(2()16)a b a b ab a b +>+=+=+228a b +>故选：D8．定义在R 上的偶函数满足且在上是减函数，又是锐角三()f x ()()11f x f x +=-()f x [3,2]--,αβ角形的两个内角，则（ ） A ． B ． ()()sin cos f f αβ>()()sin cos f f αβ<C ． D ．()()sin sin f f αβ>()()cos cos f f αβ<【答案】A【解析】由定义在R 上的偶函数f （x ）满足得函数的周期为2，然后利用函数的()()11f x f x +=-周期和奇偶性进行转化，确定函数f （x ）在区间[0，1]上的单调性，即可判断得到答案． 【详解】解：∵定义在R 上的偶函数f （x ）满足， ()()11f x f x +=-∴()()11f x f x =+-∴函数f （x ）为周期函数，周期T ＝2， ∵f （x ）在[﹣3，﹣2]上为减函数， ∴f （x ）在[﹣1，0]上为减函数，∵f （x ）为偶函数，根据偶函数在对称区间上单调性相反， ∴f （x ）在[0，1]上为单调增函数． ∵在锐角三角形中，则π﹣α﹣β，2π＜∴α+β，2＞π∴αβ＞0，2π2＞π-∴sinα＞sin （β）＝cosβ，2π-∵f （x ）在[0，1]上为单调增函数． ∴f （sinα）＞f （cosβ）． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和周期性的应用，三角函数的图象和性质，综合考查了函数的奇偶性、周期性和单调性的应用，综合性较强，涉及的知识点较多．属于中档题．二、多选题9．下面叙述正确的有（ ）A ．不等式的解集为；2233(21)(1)x x --->+(0,2)B ．若函数的值域为，则； 2()lg(1)f x x ax =++R 2Δ40a =-≥C ．若函数的定义域为，则； 2()lg(1)f x x ax =++R 240a ∆=-<D ．函数在上单调递减． 2()421x x f x +=--[0,2]【答案】BC【分析】A 利用的单调性及奇偶性求解不等式；B 、C 根据对数型复合函数的值域、定义23y x -=域，结合二次函数的性质判断正误；D 应用换元法，结合二次函数的性质判断区间单调性即可. 【详解】A ，由在上递增，在上递减且为偶函数，由不等式可得23y x -=(,0)-∞(0,)+∞，解得且，故错误； |21||1|21010x x x x -<+⎧⎪-≠⎨⎪+≠⎩02x <<12x ≠B ，要使值域为，即的值域必包含，故只需，故正确； ()f x R 21y x ax =++(0,)+∞240a ∆=-≥C ，要使定义域为，即在上恒成立，故只需，故正确； ()f x R 210y x ax =++>x R ∈240a ∆=-<D ，在上，令，则，显然在上递减，[0,2]2[1,4]x t =∈22()()41(2)5f x g t t t t ==--=--()g t [1,2)上递增，即在上递减，上递增，故错误.(2,4]()f x [0,1)(1,2]故选：BC.10．下列命题正确的是（ ） A ．零向量与任意向量平行B ．是向量的必要不充分条件=a b =a bC ．向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上ABCD A B C D D ．空间中任意两个向量，，则一定成立a b ()222a b a b ⋅=⋅ 【答案】AB【分析】根据零向量及向量共线的性质直接可判断AC 选项，根据向量的定义可判断B 选项，根据向量的数量积公式可判断D 选项.【详解】A 选项：零向量的方向是任意的，所以零向量与任意向量都平行，A 选项正确；B 选项：向量是即有方向又有大小的量，若，与反向，不一定成立，若，则=a b a b =a b =a b，故B 选项正确；=a bC 选项：向量与向量是共线向量，则与方向相同或相反，点，，，可能在同AB CD ABCD A B C D 一条直线上，也可能组成平行四边形，故C 选项错误；D 选项：由，，，所以与cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅ ()2222cos ,a ba b a b ⋅⋅=⋅2222a a b b =⋅⋅ ()2a b ⋅ 不一定相等，D 选项错误； 22a b ⋅ 故选：AB.11．对于函数，给出下列选项其中正确的是（ ）()sin f x x x =A ．的图象关于点对称B ．的最小正周期为()f x π,06⎛⎫⎪⎝⎭()f x πC ．在区间上单调递增D ．时，的值域为()f x 5ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦()f x [1,2]【答案】CD【分析】由辅助角公式化简，利用正弦函数的对称中心可判断A ；由正弦函数的周期公式可()f x 判断B ；利用正弦函数的单调性可判断C ；利用正弦函数的性质可判断D ，进而可得正确选项.【详解】，()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭对于A ：令，可得，故选项A 不正确；()πππZ 63k k +=∈1Z 2k =∉对于B ：的最小正周期为，故选项B 不正确； ()f x 2π=2π1对于C ：若，则，所以在区间上单调递增，故选项C 正5ππ66x -<<πππ232x -<+<()f x 5ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭确；对于D ：当时，，所以，所以时，的值域为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ5π336x ≤+≤1πsin 123x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦()f x ，故选项D 正确； [1,2]故选：CD.12．在△ABC 中，M ，N 分别是线段，上的点，CM 与BN 交于P 点，若AB AC 3177AP AB AC =+，则（ ）C ．D ．3AN NC = 13AN NC = 【答案】AD【分析】根据平面向量的基本定理及三点共线的向量表示得解.【详解】设，，由，可得，AM mAB = AN nAC = 3177AP AB AC =+ 3177AP AM AC m =+．3177AP AB AN n =+ 因为C ，P ，M 共线，所以，解得．因为N ，P ，B 共线，所以，解得31177m +=12m =311774n +=． 14n =故，，即，．12AM AB = 14AN AC = AM MB = 13AN NC = 故选：AD ．三、填空题13．设为的边的中点，，则________． E ABC A AC BE m AB n AC =+ m n +=【答案】12-【分析】，对比系数即可得到答案.12BE BA AE AB AC =+=-+ 【详解】由已知，，所以，.12BE BA AE AB AC =+=-+ 11,2m n =-=12m n +=-故答案为：12-【点睛】本题考查平面向量的基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.14．命题:，的否定为真命题，则实数a 的最大值为__________.[1,4]x ∃∈()224140x a a x ---+<【答案】5【详解】由特称命题的否定可知： ，的否定为[1,4]x ∃∈()224140x a a x ---+<，且为真命题.[]()221,4,4140x x a a x ∀∈---+≥分离参数化简得：恒成立. []()224411,4x a a x x+--≤∈对，当且仅当时取得最小值4，[]2441,4,4x x x x x+∀∈=+≥=2x =即，∴a 的最大值为5[]24141,5a a a --≤∴∈-故答案为：515．已知A ，B (1，4)，且＝(sin α，cos β)，α，β∈，则α＋β＝________.37(,)22AB (,)22ππ-【答案】或6π2π-【分析】根据平面向量的坐标表示公式，结合特殊角的正弦值、余弦值进行求解即可.【详解】解析 由题意知＝＝(sin α，cos β)，AB 11(,22-∴sin α＝－，cos β＝， 1212又∵α，β∈， (,22ππ-∴α＝，β＝或－，6π-3π3π∴α＋β＝或－.6π2π故答案为：或6π2π-16．给出下列命题：（1）设角的始边为轴非负半轴，则“角的终边在第二､三象限”是“”的充要条件；αx αcos 0α<（2）若函数：的最小正周期为；那么实数；2sin 13y x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭2π4ω=（3）若一扇形的圆心角为2，圆心角所对的弦长为2，则此扇形的面积为：； 21sin 1（4）若，，为的三个内角，则：的最小值为：； A B C ABC A 41A B C ++9π其中正确的命题是______. 【答案】（3）（4）【解析】利用象限角的定义以及三角函数在各个象限符号的判定分析选项(1)，利用三角函数的周期公式分析选项(2)，利用扇形的弧长公式以及面积公式分析选项(3)，利用三角形的内角和公式，再运用换元法结合基本不等式求最值分析选项(4)，即可得到答案.角，所以;若，则角的终边在第二、三象限或者在x 轴的非正半轴上，故“角cos 0α<cos 0α<αα的终边在第二、三象限”是”的充分不必要条件，故(1)错误；cos 0α<因为函数：的最小正周期为；则，解得实数；故（2）错2sin 13y x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭2π2||2ππω=4ω=±误；因为扇形的圆心角为2，圆心角所对的弦长为2，所以扇形的半径为：，弧长为1sin1r =，所以此扇形的面积为，故（3）正确； 122sin1sin1⨯=212112sin1sin1sin 1⨯⨯=因为，，为的三个内角，所以，令则，有A B C ABC A A B C π++=,,a A B C β==+a βπ+=，所以1αβπ+=414141(141(A B C αβαβαβαβπ++=+⨯=⋅+++=当且仅当，即时取等号，故(4)正确.1419(5)5),αβπβαππ=++≥⋅=4αββα=2a β=故答案为：（3）（4）．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.四、解答题17．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F ，G 分别是AD ，BC 的三等分点.设，. 11,33AF AD BG BC ⎛⎫== ⎪⎝⎭AB a =AD b =(1)用，表示，.a b EF EG(2)如果，EF ，EG 有什么位置关系?用向量方法证明你的结论.3||||2b a =【答案】(1)；1132EF b a =- 1123EG a b =+【分析】（1）根据向量加减法法则和向量数乘即可求解；（2）证明即可判断EF ⊥EG .0EF EG ⋅=【详解】（1）；11113232EF AF AE AD AB b a =-=-=-.1111122323EG EB BG AB AF AB AD a b =+=+=+=+ （2）. ⊥EF EG 证明如下：由（1）知，，，1132EF b a =- 1132EG b a =+.22221111111910323294944EF EG b a b a b a a a ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-⋅+=-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，.EF EG ∴⊥EF EG ∴⊥18．已知，为两个不共线向量，，，，.a b 2a = 1b = 2c a b =- d a kb =+（1）若，求实数；//c dk （2）若，且，求与的夹角.7k =-c d ⊥ a b【答案】（1）（2）12k =-3πθ=【详解】分析：（1）向量，则存在实数使得，由此可得的方程组，从而解得//c dλc d λ= ,k λk；（2）由求得．0c d ⋅=a b ⋅ 详解：（1）∵，∴，∴，//c d c d λ= ()2a b a kb λ-=+ . 2112k k λλ=⎧⇒=-⎨-=⎩（2）∵，∴，又∵， 7k =-7d a b =- c d ⊥ ∴，∴，()()270a b a b --= 2221570a a b b -⋅+= 又∵，，∴，∴.2a = 1b = 1a b ⋅=1cos 2a b a b θ⋅==又∵，∴.[]0,θπ∈3πθ=点睛：本题考查向量的平行与垂直，解题关键是掌握它们成立的条件．向量（）存//c d 0d ≠⇔在实数使得，向量．λc d λ=c d ⊥ ⇔0c d ⋅=(1)若，且，求的值；12b e e =- a b ⊥ t (2)求的最小值．||a 【答案】(1)1t =【分析】（1）由题知，再根据，结合向量数量积的运算律求解即可； 1212e e ⋅= 0a b ⋅= （2）根据向量模的计算公式得，再结合二次式求最值即可.()222212||1a a e te t t ==+=++ 【详解】（1）解：由向量，是夹角为60°的单位向量，可得，．1e 2e 11e = 21e = 所以，． 12121cos 602e e e e ︒⋅== 因为，a b ⊥ 所以，即，解得． 0a b ⋅= ()()121211022t a b e te e e t ⋅=+⋅-=-+-= 1t =所以1t =（2）解：∵，()222212||1a a e te t t ==+=++∴，∴，当且仅当时等号成立， 22133||244a t ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭ ||a ≥ 12t =-∴||a 20．已知函数的图象经过点. 21()21x x a f x ⋅-=+11,3⎛⎫ ⎪⎝⎭（1）求的值；a （2）求函数的定义域和值域；()f x （3）证明：函数是奇函数.()f x 【答案】（1）1；（2）的定义域为；值域为；（3）证明见解析. ()f x R ()1,1-【分析】（1）将点代入即可解得的值； 11,3⎛⎫ ⎪⎝⎭21()21x x a f x ⋅-=+a （2）由（1）知，函数，定义域为，分离常数后可求值域. ()2121x x f x -=+R （3）求出，判断即可.()f x -()()f x f x -=-【详解】（1）由题意知，函数的图象过点，可得，解得. ()f x ()f x ()211133a f -==1a =（2）由（1）知，函数，∵，，即的定义域为. ()2121x x f x -=+20x >211x +>()f x R 因为， ()21212121x x x f x -==-++又∵，∴，所以的值域为． ()20,x ∈+∞()20,221x ∈+()f x ()1,1-（3）∵的定义域为，且，所以是奇函数． ()f x R ()()21122112x xx xf x f x -----===-++()f x 【点睛】本题主要考查了函数的定义域和值域，以及函数的奇偶性的判断，属于基础题. 21．中华人民共和国第十四届运动会将于2021年在陕西省举办，全运会会徽以及吉祥物已于2019年8月2日晚在西安市对外发布.某公益团队计划联系全运会组委会举办一场纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设.据市场调查，当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为元时，销售量可达到万套.为配合这个活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价x ()150.1x -格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为50元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润=售价-供货价格.（1）每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？（2）每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？【答案】（1）总利润为240万元；（2）每套会徽及吉祥物售价为140元时，单套利润最大，最大值80元.【解析】（1）根据题意直接求解即可；（2）求出单套的利润的表达式，结合基本不等式进行求解即可.【详解】（1）每套会徽及吉祥物售价为100元时，销售量为(万套)，150.11005-⨯=供货单价为(元)， 1050525+=总利润为(万元).()510052240⨯-=答：总利润为240万元；（2）销售量为，供货单价为， 150.1x -1050150.1x+-单套利润为，因为，所以 101005050150.1150x x x x --=-+--150.10x ->0150x <<所以单套利润为： ()1001005015010010080150150y x x x x ⎡⎤=--=--++≤-=⎢⎥--⎣⎦当且仅当，即时取等15010x -=140x =所以每套会徽及吉祥物售价为140元时，单套的利润最大，最大值是80元.22．已知函数.()2sin f x x =（Ⅰ）求函数的最小正周期及其单调增区间;()f x （Ⅱ）当时,对任意不等式恒成立,求实数的取值范围. 2,23x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,t R ∈()22mt mt f x -+≥m 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 2,T π=3[2,2),(2,2]().4444k k k k k ππππππππ-+-+-++∈Z 0 4.m ≤≤【详解】试题分析：（1）应用公式化简函数，注意定义域，．（2）多个变{|,}4x x k k Z ππ≠-+∈量恒成立问题，先把x 作变量，求出，，转化为关于t 的不等式恒成max ()f x 22mt mt -+≥max ()f x 立问题，对系数t 分类讨论． 试题解析：（Ⅰ）因为 222,1T πππω===函数的定义域为 ()f x {|,}4x x k k Z ππ≠-+∈2224k x k ππππ-+≤+<, 322,44k x k ππππ-+≤<-+ 22,42k x k ππππ<+≤+22,44k x k ππππ-+<≤+ ()32,2,2,2.4444k k k k k Z ππππππππ⎡⎫⎛⎤-+-+-++∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦所以的递增区间为 ()f x 2,23x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）因为,221mt mt -+≥所以当时,2x π=()max 1,f x =所以恒成立,210mt mt -+≥即恒成立,240m m ∆=-≤①当时,0m =显然成立;②当时,0m ≠若对于恒成立,t R ∈只需成立,0 4.m ≤≤所以,04m <≤综上,的取值范围是 m c 1==【点睛】对于函数化简一定要注意定义域是化简前的定义域，也就是函数做题是先求定义域，再求解．这是学生容易忽略的问题．对于多个变量的恒成立问题，一般我们先把一个当变量，其余当参量，逐步减少变量个数．。
高一数学下期试题及答案
高一数学下期试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x)=2x^2-4x+3，下列哪个值是函数的最小值？A. 0B. 1C. 3D. 42. 集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则A∩B等于：A. {1}B. {2,3}C. {3,4}D. {1,2,3,4}3. 已知等差数列的前三项依次为3，5，7，则该数列的第五项为：A. 9B. 11C. 13D. 154. 函数y=x^3-3x^2+3x+1的导数为：A. 3x^2-6x+3B. x^2-6x+3C. 3x^2-3x+1D. x^2-3x+15. 直线y=2x+1与x轴的交点坐标是：A. (0,1)B. (-1,0)C. (1,0)D. (0,-1)6. 已知复数z满足|z|=1，且z^2=i，则z的值为：A. 1B. -1C. iD. -i7. 函数y=x/(x^2+1)的值域是：A. (-1,1)B. (-∞,-1]∪[1,+∞)C. (-∞,0]∪[0,+∞)D. (-1,0)∪(0,1)8. 圆x^2+y^2=25的圆心坐标是：A. (0,0)B. (5,0)C. (-5,0)D. (0,5)9. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，若f(a)=0，则a的值为：A. 0B. 1C. 2D. 310. 函数y=|x-2|+|x+3|的最小值是：A. 1B. 2C. 5D. 6二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x)=x^2-6x+8的顶点坐标为______。
12. 已知等比数列的前三项依次为2，4，8，则该数列的公比为______。
13. 圆的方程为x^2+y^2-6x+8y-24=0，其半径为______。
14. 函数y=|x-1|+|x+2|的最小值为______。
15. 已知向量a=(3,-4)，向量b=(2,k)，若a⊥b，则k的值为______。
三、解答题（每题10分，共50分）16. 解方程：2x^2-5x+2=0。
高一数学考试试题及答案
高一数学考试试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x)=2x+1，则f(-1)的值为：A. -1B. 1C. 3D. -3答案：A2. 已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B的元素个数为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B3. 函数y=x^2-4x+3的顶点坐标为：A. (2,-1)B. (2,1)C. (-2,1)D. (-2,-1)答案：A4. 圆的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=25，则圆心坐标为：A. (2,3)B. (-2,-3)C. (-2,3)D. (2,-3)答案：A5. 直线y=2x+3与x轴的交点坐标为：A. (-3/2, 0)B. (3/2, 0)C. (0, -3/2)D. (0, 3/2)答案：B6. 函数y=|x|的图像是：A. 一条直线B. 两条直线C. 一条曲线D. 两条曲线答案：B7. 已知等差数列{an}的前三项分别为2, 5, 8，则该数列的公差为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B8. 函数y=sin(x)的周期为：B. 2πC. π/2D. 4π答案：B9. 已知向量a=(3, -4)，b=(2, 5)，则a·b的值为：A. -1B. 11C. -11D. 1答案：C10. 圆的方程为x^2+y^2-6x+8y-24=0，则该圆的半径为：A. 2B. 4C. 6D. 8答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数y=3x-2的反函数为______。
答案：y=(1/3)x+2/312. 已知等比数列{bn}的前三项分别为3, 6, 12，则该数列的公比为______。
13. 若a, b, c是三角形的三边长，且满足a^2+b^2=c^2，则该三角形为______三角形。
答案：直角14. 函数y=1/x的图像在第二象限内是______的。
答案：递减15. 已知向量a=(4, 1)，b=(2, -3)，则|a+b|的值为______。
2022-2023学年吉林省东北师范大学附属中学高一年级下册学期阶段性验收考试数学试题
2022—2023学年高一年级（数学）科试卷下学期阶段验收考试第Ⅰ卷（选择题）单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，则（ ）1sin 3α=()sin πα-=A ．B ．C ．D 13-132．已知，，且，则实数x 的值为（ ）()1,2a = (),3b x = a b ⊥A ．-6B ．C ．D ．632-323．给出下列命题：①零向量与任何向量平行；②对于任意向量、，有恒成立；a ba b a b -≥- ③设非零向量、、，有成立；abc()()a b c a b c ⋅=⋅④向量的充要条件是存在唯一实数λ，使得．a b ∥ a b λ=其中正确命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．设向量满足，且 ）a b ⋅1a b == 3b a -= A ．B ．向量和方夹角为60°2a b += 2a bC ．D ．()1a b b -⋅= ()()a b a b+⊥- 5．2019年长春市新地标——“长春眼”在摩天活力城Mall 购物中心落成，其楼顶平台上的空中摩天轮的半径约为40m ，圆心O 距地面的高度约为60m ，摩天轮逆时针匀速转动，每15min 转一圈，摩天轮上的点P 的起始位置在最低点处，已知在时刻t （min ）时P 距离地面的高度，()()()sin 0,f t A t h ωϕωϕπ=++><当距离地面的高度在以上时可以看到长春的全貌，则在转一圈的过程中可以看到整个城市全(60m +貌的时间约为（）A ．2.0minB ．2.5minC ．2.8minD ．3.0min6．已知O 是△ABC 外接圆的圆心、若，，则（ ）3AB = 7BC = BO CA ⋅=A ．10B ．20C ．-20D ．-107．已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，点P 满足，则112663OP OB OC OA =++△ACO 与△CBP 面积比为（ ）A ．5:6B ．3:4C ．2:3D ．1:28．已知向量a ，b 满足，，为任意向量，则2a = b = 2a b ⋅=- c的最小值为（ ）()()()a cbc a b c -⋅-+-⋅A ．-4B ．-3C ．D ．72-52-二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数，则下列结论不正确的有（ ）()tan 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ．B ．的最小正周期为π()01f =()f xC ．不是的对称中心D ．在上单调递增,04π⎛⎫⎪⎝⎭()f x ()f x 0,3π⎛⎫⎪⎝⎭10．已知，，则的可能取值为（ ）7sin cos 5αα-=()0,απ∈sin cos sin 2ααα++A ．B ．C ．D ．2925-1925-1725-725-11．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形ABCDEFGH ，其中，则下列结论正确的是（）1OA =A ．B ．20HC OG CD +-=OA HO ⋅=C ．D ．在上的投影向量为BD ED -=AF DB DB12．已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，()()sin 0f x nx ωω=>()f x 12ω()g x 点A 、B 、C 是与图象三个连续相邻的交点，若△ABC 是锐角三角形，则函数的周期的可()f x ()g x ()f x 能取值为（ ）A ．B ．2C D ．1第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，且，若和的夹角为钝角，则______．()6,8a = 5b = ()3,b m = ab b = 14．已知，，则______．21sin 54x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()0,x π∈sin 10x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭15．在△ABC 中，，∠A =120°，点M 满足，λ+2μ=2，则的最26AB AC == AM AB AC λμ=+AM 小值为______．16．已知函数，若对任意的实数m ，在的值域均为，且在()22cos3f x x ω=-()f x (),5m m +[]3,1--上单调递减，则ω的范围为______．,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭四、解答题：共计40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）已知函数的部分图象如图所示．()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎭⎝（1）求函数的解析式；()y f x =（2）求函数的单调递减区间．()y f x =18．（8分）设，，．()1,2OA =- ()3,4OB = (),1OC t =（1）当t =2时，试用向量表示；OA OB ⋅ OC （2）若A ，B ，C 三点能构成三角形，求实数t 应满足的条件．19．（12分）如图1所示，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，满足，G 是线段AB 上的点，且满足13BD BC =，线段CG 与线段AD 交于点O ．25AG AB =（1）试用，表示和；AB AC AD CG（2）如图2所示，过点O 的直线与线段AB ，AC （不与端点重合）分别交于点E ，F ，设，AE x AB =，求xy 的最小值．AF y AC =20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知函数的最小正周期为π，且直线x =-()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<π/2是其图象的一条对称轴．（1）求函数的解析式：()f x（2）将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原()y f x =4π来的2倍后所得到的图象对应的函数记作．()y g x =①若动点在圆O 上运动，P 为圆O 外一点，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为(),2Q f g αα⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭M ，N ，求的最小值；PM PN ⋅②已知常数，，，，且函数在R λ∈*n N ∈()cos sin ,x x αλ=-()()cos sin ,x x g x β=+()F x αβ=⋅内恰有2023个零点，求常数λ与n 的值．()0,π答案一、选择题：123456789101112CABDBCDACDABACDBCD7．【答案】D【解析】由O 是△ABC 的重心，可得，0OA OB OC ++= 则，所以点P 为OA 中点，即点P 、点O 为BC 边中线的两个三等分点，2OP OA =所以△ACO 与△CBP 面积比为1:2．8．【答案】A【解析】由已知可得．建系令．则，设．34a b π⋅= ()2,0a =()1,1b =- (),c x y =．()()()()()22114a c b c a b c x y -⋅-+-⋅=++-- 当x =-1，y =1时，有最小值为-4．12．【答案】BCD【解析】由题意可得，()11sin sin cos 222g x f x x x x ππωπωπωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦作出函数、的图象如下图所示：()f x ()g x设点A 、B 、C 为连续相邻的三个交点，（不妨设B 在x 轴下方），D 为AC 的中点．由对称性可得△ABC 是以B 为顶角的等腰三角形，所以，222AC T CD πωπω====由，可得，sin cos x ωπωπ=-tan 1x ωπ=--有，，，14k x ωω=-+k Z ∈22C A ACAD x x ω==-=k Z ∈所以，，所以．sin x ωπ=A C B y y y ==-=2A BD y ==要使△ABC 为锐角三角形，，所以，，04ABD π<∠<tan 1AD ABD BD∠==<∵ω>0，解得BCD ．ω>2T ππω=<二、填空题：13．；14；15．3；()3,4-16．．3939,,4,4,252522ππ⎡⎫⎡⎤⎡⎤--⋃--⋃⋃⎪⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎭⎣⎦⎤⎥⎦⎣ ⎝⎦⎛15．【解析】（法一）∵，cos 4AB AC AB AC A ⋅=⋅=-∴2222222||||293618AM AB AC AB AC λμλμλμλμ=++⋅⋅=+- ，()()22292236182210810836μμμμμμ=-+--=-+则当时，，∴．12μ=2min 9AM = min 3AM = （法二），取，则12AM AB AC λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 12AB AD = 122AM AD ACλλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∴M ，D ，C 三点共线，则的最小值即为点A 到线段DC 的距离．AM16．【解析】易得，由，有，()cos 22f x x ω=-()[]3,1f x ∈--[]cos 21,1x ω∈-即对任意的实数m ，在内都满足，(),5m m +[]cos 21,1x ω∈-故，则，252m m T πω+->=5πω>由在上单调递减，则，即，()f x ,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭1342T ππ-≤06ω<≤当ω>0时，由于f （x ）在R 上的单调递减区间为，,,2k k k Z πππωωω⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦令k =0．有，则；,0,432πππω⎛⎫⎡⎤⊆⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦32ω≤令k =1，有，则；,0,432πππω⎛⎫⎡⎤⊆⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦942ω≤≤令k =2，有，无解，25,,432ππππωω⎛⎫⎡⎤⊂⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故39,4,522πω⎡⎫⎡⎤∈⋃⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦同理，当ω<0时，有39,,4252πω⎡⎫⎡⎤∈--⋃--⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦综上，3939,,4,4,252522ππω⎡⎫⎡⎤⎡⎫⎡⎤∈--⋃--⋃⋃⎪⎪⎢⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦⎣⎭⎣⎦三、解答题：17．【解析】（1）由已知A =2，，，ω=2，115112122T ππ-=2ππω=代入点，有，则．5,212π⎛⎫⎪⎝⎭5sin 16π⎛⎫+= ⎪⎝⎭52,62k k Z πππ+=+∈∵，令k =0，，有2πω<3ϕπ=-()2sin 23f x x π⎛⎫--⎪⎝⎭（2）令，3222,232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈有()511,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈所以函数的单调递减区间为 ()y f x =()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦18．【解析】（1）当t =2时，．()2,1OC =设，有．OC xOA yOB =+12x y ==∴1122OC OA OB=+ （2）由已知，()2,60AB OB OA =-=≠ ()1,3AC OC OA t =-=-若A ，B ，C 三点共线，由向量共线定理可知，存在唯一的，使得．故有，t =2．R λ∈AC AB λ= 12λ=所以当t ≠2时，A ，B ，C 三点能构成三角形．19．【解析】（1）．()11213333AD BD BA BC AB AC AB AB AB AC =-=+=-+=+25CG AG AC AB AC=-=-（2）在图1中，设()AO AD AO AB BDλλ=⋅=+111233333AO AB BC AB AC AB AB ACλλλλ⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由G ，O ，C 三点共线，存在唯一．R μ∈使得．()()2115AO AG AC AB AC μμμμ=+-=+-所以则，．1;32253λμλμ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩56μ=12λ=有．111236AO AD AB AC ==+ 在图2中，由E ，O ，F 三点共线，存在唯一，使得R m ∈()()11AO mAE m AF mxAB m y AC=+-=+-有，则，∵，．∴()13116mx m y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩11136x y +=01x <<01y <<1≥当且仅当，时，xy 有最小值为．23x =13y =2920．【解析】（1）由三角函数的周期公式可得，∴22πωπ==()()sin 2f x x ϕ=+令，得．()22x k k Z πϕπ+=+∈()422k x k Z ϕππ=-+∈由于直线为函数的一条对称轴，2x π=-()y f x =所以，得．()2422k k Z πππϕ-=-+∈()32k k Z πϕπ=+∈由于0<φ<π，∴k =-1，则2πϕ=因此，()sin 2cos 22f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭（2）将函数的图象向右平移个单位．()y f x =4π得到函数．cos 2cos 2sin 242y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦再将所得的图象上每一点的纵坐标不变．横坐标伸长为原来的2倍后．所得到的图象对应的函数为．()sin g x x =①由已知，则圆O 的半径为1，故△POM ≌△PON ，()cos ,sin Q αα设，,2PM PN θ=()()()222221||2||112||112||PM PN PM cos PO sin PO PO θθ⎛⎫⋅==--=-- ⎪⎝⎭ ∴，当且仅当时，取等号．221||233||PM PN PO PO ⋅=+-≥- PO = 故的最小值为．PM PN ⋅3-②∵．()()()22sin sin 1F x f x g x x x λλ=+=-++令，可得，()0F x =22sin sin 10x x λ--=当n =1时，不符合题意，所以，2n ≥*Nn ∈令，得，，[]sin 1,1t x =∈-2210t t λ--=280λ∆=+>则关于t 的二次方程必有两不等实根、，2210t t λ--=1t 2t 则有韦达定理，，．所以、异号．122t t λ+=12102t t ⋅=-<1t 2t （ⅰ）当且时，101||t <<201||t <<则方程和在区间均有偶数个根，1sin x t =2sin x t =()()*0,n n N π∈从而方程在也有偶数个根，不合题意；22sin sin 10x x λ--=()()*0,n n N π∈（ⅱ）当，则，此时λ=1，11t =212t =-当时，只有一根，有两根，2()0,x π∈1sin x t =2sin x t =所以，关于x 的方程在上有三个根，22sin sin 10x x λ--=()0,2π由于2023=3×674+1，则方程在上有3×674=2022个根．22sin sin 10x x λ--=()0,1348π方程在区间（1348π,1349π）上只有一个根．1sin x t =方程在区间（1348π,1349π）上无实数解，在区间（1349π,1350π）上有两个根．2sin x t =因此，关于x 的方程在区间（0,1349π）上有2023个根；22sin sin 10x x λ--=（ⅲ）当时，则，此时λ=-1，11t =-212t =当时．只有一根，有两根，()0,2x π∈1sin x t =2sin x t =所以，关于x 的方程在（0,2π）上有三个根，22sin sin 10x x λ--=由于2023=3×674+1，则方程在（0,1348π）上有3×674=2022个根．22sin sin 10x x λ--=由于方程在区间（1348π,1349π）上无实数根，在区间（1349π，1350π）上只有一个实数根，1sin x t =方程在区间（1348π,1349π）上有两个实数解，在区间（1349π，1350π）上无实数解，2sin x t =因此，关于x 的方程在区间（0,1349π）上有2024个根．不满足题意；22sin sin 10x x λ--=（ⅳ）当，则：有，1|1|t >201||t <<因此方程在有偶数个根，不合题意；22sin sin 10x x λ--=()()*0,n n N π∈综上所述，λ=1，n =1349．。
2022-2023学年上海市松江一中高一年级下册学期阶段测试1数学试题【含答案】
2022-2023学年上海市松江一中高一下学期阶段测试1数学试题一、填空题1．角是第__________象限角．2023︒【答案】三【分析】利用终边相同的角的表示判断出与的终边相同，即可判断.2023︒223︒【详解】因为，20235360223︒=⨯︒+︒所以与的终边相同，为第三象限角.2023︒223︒故答案为：三2．半径为2的扇形面积为，则扇形所对圆心角的弧度数为________．4π【答案】2π【分析】由扇形面积公式即可求解.212S r α=【详解】设扇形所对圆心角的弧度数为，半径为，αr 由扇形面积公式可得：，212S r α=214π22α=⨯解得.2πα=故答案为：2π3．若角的终边过点，则___________．α3(4,)P -sin cos αα+=【答案】##150.2【分析】由三角函数的定义求解即可.【详解】.1sin cos 5αα+=故答案为：154．已知，则___________．3π1cos 83α⎛⎫-=⎪⎝⎭5πcos 8α⎛⎫+= ⎪⎝⎭【答案】13-【分析】利用诱导公式将转化求解.5πcos()8α+5π3π3πcos()cos π()cos()888ααα⎡⎤+=--=--⎢⎥⎣⎦【详解】因为，5π3π3πcos()cos π()cos()888ααα⎡⎤+=--=--⎢⎥⎣⎦又因为，3π1cos()83α-=所以.5π1cos()83α+=-故答案为：13-5．若，则___________．（用符号表示)π2,π,sin 23x x ⎛⎫∈=⎪⎝⎭x =arcsin 【答案】2πarcsin3-【分析】根据反三角函数的定义即可求解.【详解】ππ,π,π0,22x x ⎛⎫⎛⎫∈∴-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 而2sin sin(π)3x x =-=所以，即.2πarcsin3x -=2πarcsin 3x =-故答案为：2πarcsin3-6．若为锐角，则____________.θ()2sin log 1cot θθ+=【答案】-2【分析】利用同角公式化简真数为:,再用对数运算性质可得.2(sin )θ-【详解】因为2sin log (1cot )θθ+2sin 2cos log (1sin θθθ=+sin 21log sin θθ=2sin log (sin )θθ-=.2=-故答案为:2-【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系式以及对数的运算性质,属于基础题.7．若___.10,0,cos ,cos 224342ππππβαβα⎛⎫⎛⎫<<-<<+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭【分析】首先根据同角三角函数的基本关系求出，，再根据sin 42πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭利用两角差的余弦公式计算可得；cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦【详解】解：因为，10,cos 243ππαα⎛⎫<<+= ⎪⎝⎭所以，sin 4απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为，所以，所以，因为02πβ-<<02πβ<-<4422ππβπ<-<cos 42πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 42πβ⎛⎫-==⎪⎝⎭所以cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 442442πππββαπα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13==【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式，属于中档题.8．设的内角所对的边分别为，若，则角ABC ∆,,A B C ,,a b c 2,3sin 5sin b c a A B +===__________.C 【答案】23π【分析】根据正弦定理到，，再利用余弦定理得到，得到答案.35a b =75c a =1cos 2C =-【详解】，则，，故.3sin 5sin A B =35a b =2b c a +=75c a =根据余弦定理：，故.22222294912525cos 32225a a a a b cC aba a +-+-===-⋅23C π=故答案为：.23π【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.9．在中，角所对应的边分别是，满足，则该三角形的形状ABC ∆,,A B C ,,a b c 2cos 2sin b a C c A ==是__________．【答案】等腰直角三角形【分析】根据正弦定理，可得，然后利用余弦定理可得，最后可得结果.4C π=A C =【详解】由正弦定理及， 得2cos 2sin a C c A =sin cos sin sin A C C A =，，sin 0A ≠ cos sin C C ∴=，cos 0C ≠ tan 1C ∴=，(0,)C π∈ 4C π∴=又，2cos b a C =b ∴=由余弦定理， 得，2222cos c a b ab C =+-222)2cos4c a a π=+- 即，，22,c a a c ==4A C π∴==为等腰直角三角形．ABC ∴ 故答案为：等腰直角三角形10．已知，且，则=______．sin αβ=αβ=0πα<<α【答案】或.π43π4【分析】两式平方相加从而得到角的三角函数值,然后由角的范围确定的值.ααα【详解】两式平方相加得,2222sin 3cos 2sin 2cos 2ααββ+=+=即, 则()22sin 31sin 2αα+-=sin α=因为,所以故或.0πα<<sin α=π4α=3π4故答案为：或.π43π411．在中，，则下列结论正确的是____________．ABC cos 2,B AC AB m ===①外接圆的面积为 ②若ABC 9πm =60C =︒③当时，有一解 ④ 的面积有最大值02m <≤ABC ABC 3+【答案】①④【分析】由正弦定理可判断①②，由余弦定理和基本不等式可判断④，由方程的解的情况可判断③.2240a m +-=【详解】由，由正弦定理得：，所以，cos B =1sin 3B =221sin 3b RB ==3R =所以外接圆的面积，①正确；ABC 2π9πS R ==若，解得：m =sin sin AC m B C =sin C =所以或（均符合题意），②错误；60C =︒120︒由，22222cos 22BC AB AC BC AB AC B BC AB BC AB+-⋅-=≥⋅⋅242BC AB BC AB -⋅⋅解得：，当且仅当6(3BC AB⋅≤+BC AB ==所以④正确；111sin 6(33223ABC S BC AB B =⋅≤⨯+⨯=+△，得，222244cos 22BC AB m a B BC AB a m +-+-==⋅⋅2240a m+-=当有一解时，关于方程只有一个正根ABC m 2240m a +-=2224(36)(4(4)9a a -∆=--=此方程有唯一正解等价于或，又，Δ0=2Δ040a >⎧⎨-≤⎩0a >解得：或，则③错误.02a <≤6a =故答案为：①④12．已知、是角终边与单位圆的两个不同交点，且，则()11,A x y ()22,B x y αβ、1221x y x y =的最大值为___________．121222x x y y +++【分析】由三角函数的定义设出的坐标，并根据的关系得出，再结合三角,A B 1221x y x y =πβα-=函数的性质求解最大值.【详解】可令（），（），且，11cos sin x y αα=⎧⎨=⎩[)0,2πα∈22cos sin x y ββ=⎧⎨=⎩[)2π0,β∈βα>所以、，()cos ,sin A αα()cos ,sin B ββ由可得：，1221x y x y =()cos sin sin cos sin 0αβαββα=⇒-=又因为，所以，αβ≠πβα-=所以1212s 22co cos 2sin sin 2x x y y αβαβ=++++++()()2cos cos π+2sin sin π+2cos cos 2sin sin αααααααα=+++=-+-πsin cos 4ααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭所以，当π4α=.二、单选题13．“”是“”的（ ）条件2()2x k k ππ=+∈Z sin 1x =A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】A 【分析】由，可得，分析即得解sin 1x =()2x k k ππ=+∈Z 【详解】由题意，若，则，即，故充分性成立；2()2x k k ππ=+∈Z sin 1x =sin 1x =反之，若，则，即，故必要性不成立；sin 1x =sin 1x =±()2x k k ππ=+∈Z 故“”是“”的充分不必要条件.2()2x k k ππ=+∈Z sin 1x =故选：A14．已知）0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭A B ．C D ．αααα【答案】B【分析】由倍角公式化简即可.【详解】.0,,cos sin 0π4ααα⎛⎫∈∴>> ⎪⎝⎭=sin )ααααα==-=故选：B15．小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高为m ，在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）处测得楼顶A，教堂顶)151C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）A ．20 mB ．30 mC ．D ．【答案】D【分析】根据题意结合正弦定理运算求解.【详解】()1sin15sin 4530sin 45cos30cos 45sin 302︒=︒-︒=︒︒-︒︒==由题意知：∠CAM ＝45°，∠AMC ＝105°，所以∠ACM ＝30°，在Rt △ABM中，AM ＝，sin ABAMB ∠=在△ACM 中，由正弦定理得＝，sin AMACM ∠sin CMCAM ∠所以CM ＝，·sin sin AM CAMACM ∠∠60=在Rt △DCM 中，CD ＝CM ·sin ∠AMD ＝60故选：D.16．在中，分别是角的对边，若，则的值为ABC ,,a b c ,,A B C 2222203a b c +=()2tan tan tan tan tan A B C A B ⋅+（ ）A ．2021B ．2022C ．2023D ．2024【答案】B【分析】根据，利用余弦定理得到，再利用三角恒等变换，结合2222203a b c +=22202cos 2ab C c =正弦定理求解.【详解】解：因为，2222203a b c +=由余弦定理得，222222cos 2c 3s 2o 0ab C ab C c a b c -+==-所以，22202cos 2ab C c =所以，()2sin sin 2tan tan cos cos sin sin cos sin cos tan tan tan cos cos cos ⋅⋅=++⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭A BA B A B C A B B A C A B C A B ，222sin sin cos 2cos sin ⋅⋅⋅==A B C ab C C c 2220222022c c ==故选：B.三、解答题17．（1）化简：．()()()()π3πcos πcos cos 2πsin 22sin πcos παααααα⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++-（2）已知的值．3π3ππ,π,cos 22αβαβ<<<<==αβ-【答案】（1）；（2）0π4-【分析】（1）由诱导公式化简即可；（2）由同角三角函数的基本关系得出，进而由得出的值．tan ,tan αβ()tan αβ-αβ-【详解】（1）原式.()()cos sin cos cos cos cos 0sin cos αααααααα---=+=-+=--（2）3π3ππ,π,cos 22αβαβ<<<<==sin αβ∴====1tan ,tan 32αβ⎛⎛∴==== ⎝⎝，33,22πππαβπ<<-<-<- ππ,22αβ∴-<-<()13tan tan 2tan 131tan tan 12αβαβαβ--∴-===-++即π4αβ-=-18．已知函数，.()f x x=()22sin 2x g x =(1)若是第一象限角，且，求的值；α()f α=()g α(2)求使成立的x 的取值集合.()()f xg x =【答案】(1)15(2)或.11{2π,x x k k Z=∈222π2π,}3x k k Z =+∈【分析】（1）先求出，结合所在象限求得，进而利用半角公式进行求解；（2）利3sin 5α=αcos α用半角公式，辅助角公式求得，进而求出使成立的x 的取值集合.π1sin 62x ⎛⎫+=⎪⎝⎭()()f x g x =【详解】（1），()f αα==3sin 5α=因为是第一象限角，α所以4cos 5α==；()212sin 1cos 25g ααα==-=（2），()()f xg x =，22sin 1cos 2xx x ==-，cos 1+=x x 利用辅助角公式得：，2πsin 16x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭π1sin 62x ⎛⎫+=⎪⎝⎭所以，或，11ππ2π,66x k k Z +=+∈22π5π2π,66x k k Z +=+∈解得：，或，112π,x k k Z =∈222π2π,3x k k Z =+∈故使成立的x 的取值集合为或()()f xg x =11{2π,x x k k Z=∈222π2π,}3x k k Z =+∈19．已知在中，所对边分别为，且.ABC ,,A B C ,,a b c 3,2a b c ==(1)若，求的面积；23A π=ABC (2)若，求的周长.2sin sin 1B C -=ABC【答案】(2)或.3ABC C =3ABC C =+ 【分析】（1）利用余弦定理及三角形面积公式即得；（2）利用正弦定理及条件可求.cos B C ==【详解】（1）222222149cos 224b c a c c A c bc c +-+-=⇒-=⇒=119sin 2227ABC S bc A ==⨯⨯= （2）依题意，正弦定理：，sin 2sin sin sin b c B C B C =⇒=所以代入计算：，则.14sin sin 1sin 3C C C -=⇒=2sin3B =当为锐角时，B()21sin sin sin cosC cos sin 33A BC B B C =+=+==sin sin sin ca b c AB C b ⎧=⎪⎪==⇒⎨⎪=⎪⎩所以，3ABC C = 当为钝角时，B，()21sin sin sin cos cos sin 33A B CB C B C =+=+=sin sin sinc a b c AB C b ⎧=⎪⎪==⇒⎨⎪=⎪⎩所以，3ABC C =综上：或.3ABC C =3ABC C = 20．阅读问题：已知点，将绕坐标原点逆时针旋转至，求点的坐标.12A ⎛ ⎝OA 2πOB B 解：如图，点在角的终边上，且，则，在角的终边上，A α1OA =1cos 2α=sin α=B 2πα+且，于是点的坐标满足：1OB =B，即.cos sin 2B x παα⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭1sin cos 22B y παα⎛⎫=+== ⎪⎝⎭12B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭（1）将绕原点顺时针旋转并延长至点使，求点坐标；OA 2πC 4OC OA =C （2）若将绕坐标原点旋转并延长至，使，求点的坐标（用含有、OA θON ()0ON r OA r =⋅>N r 的数学式子表示）；θ（3）定义，的中点为，将逆时针旋转角，并延长至，()11,P x y ()22,Q x y 1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭OA βOD 使，且的中点也在单位圆上，求的值.2OD OA =DA M cos β【答案】（1）；（2）；（3）.()2C -cos ,sin 33N r r ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1cos 4β=-【分析】（1）直接利用任意角的三角函数定义求解；（2）取，再由任意角的三角函数定义求解；3πα=（3）利用平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，求出，利用余弦定理，求的AD cos β值．【详解】（1）4cos()4sin 42C x παα=-===，即；14sin()4cos 4222B y παα=-=-=-⨯=-C 2)-（2），()cos cos 3N x r r παθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，sin()sin()3N y r r παθθ=+=+即；cos(),sin()33N r r ππθθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（3）由题意，，()()22222212OM AD +=+AD ∴=．4161cos 2214β+-∴==-⨯⨯【点睛】本题考查三角函数值的计算，考查余弦定理，考查学生的计算能力，利用平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，求出是关键，属于中档题．AD 21．在非直角三角形ABC 中，角的对边分别为，,,A B C ,,a b c （1）若，求角B 的最大值；2a c b +=（2）若，()1a c mb m +=>（i ）证明：；1tantan 221A C m m -=+（可能运用的公式有）sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=（ii ）是否存在函数，使得对于一切满足条件的m ，代数式恒为定值？若()m ϕ()()cos cos cos cos A C m m A Cϕϕ++存在，请给出一个满足条件的，并证明之；若不存在，请给出一个理由.()m ϕ【答案】（1）；（2）（i ）证明见解析；（ii ）存在，，证明见解析.3π22()1mm m ϕ=-+【解析】(1)由余弦定理结合基本不等式可得，从而可求出角B 的最大值.1cos 2B ≥(2)(i)由正弦定理边角互换可得，结合和差化积公式和诱导公式可得sin sin sin A C m B +=，结合两叫和、差的余弦公式和同角三角函数的基本关系可得所证式子.coscos 22A C A Cm -+=(ii)结合已知条件和半角正切公式可得，通过整理变形242(1)(cos cos )4cos cos m m A C m A C -++=-可得，从而可求出.222cos cos 112cos cos 1mA C m mA C m +-+=--+()m ϕ【详解】解：（1）因为，所以由余弦定理可得：2a c b +=222cos 2a c b B ac +-=（当且仅当时取等号），2222231()()1242cos 2222a c a c a c ac ac B ac ac ac ++-+-==≥=a c =又，，所以角B 的最大值为.(0,)B π∈(0,3B π∴∈3π（2）（i ）由及正弦定理得，a c mb +=sin sin sin a b cA B C ==sin sin sin A C m B +=所以，因为，2sincos 2sin cos2222A C A C B Bm +-=222A C B π+=-所以，()2sin cos 2sin cos 2sin cos 22222222A C B A C B A C B m m πππ-+-+⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有，由两角和、差的余弦公式可得coscos 22A C A Cm -+=整理得cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin222222222222A C A C A C A C A C A C m m m ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，故．(1)sin sin (1)cos cos2222A C A Cm m +=-1tan tan 221A C m m -=+（ii ）由及半角正切公式可得1tantan 221A C m m -=+1cos sin tan 2sin 1cos ααααα-==+，21cos sin 1cos sin 1cos 1cos (tan tan )22sin 1cos sin 1cos 1cos 1cos A C A A C C A C A A C C A C ----=⋅⋅⋅=⋅++++，展开整理得，22(1)(1)m m -=+242(1)(cos cos )4cos cos m m A C m A C -++=-即，即，()()2421cos cos 4cos cos m m A C mA C-++=-222cos cos 21cos cos 1mA C mm A C m +-+=+即，与原三角式作比较可知存在且．222cos cos 112cos cos 1mA C m mA C m +-+=--+()m ϕ22()1m m m ϕ=-+【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了同角三角函数的基本关系，考查了诱导公式，属于难题.本题的难点在于变形整理.。
高一数学下学期第一次阶段性测试试题含解析 试题
第三中学2021-2021学年高一数学下学期第一次阶段性测试试题〔含解析〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分. 在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.中，假设，，，那么A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：在中，由正弦定理可知，∴.考点：正弦定理的应用.中，以下结论错误的选项是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出图像，根据向量加法运算，对选项逐一分析判断，由此得出正确选项.【详解】画出图像如以下图所示.对于A选项，大小相等方向相反，，结论正确.对于B选项，根据向量加法的平行四边形法那么可知，，结论正确.对于C选项，由于，故结论错误.对于D选项，，大小相等方向相反，，结论正确.应选C.【点睛】本小题主要考察向量加法运算，考察平行四边形的几何性质，属于根底题.中，根据以下条件解三角形，其中有两个解的是A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，【答案】D【解析】【分析】根据全等三角形的判断方法，判断A,B两个选项有一个解.根据判断C选项有一个解.根据判断D选项有两个解.【详解】根据“有两个角两角相等，且有一边相等的两个三角形全等〞可知A选项有一个解.根据“两边对应相等，且这两边的夹角相等，那么这两个三角形全等〞可知B选项有一个解.由于为锐角，且，故C选项有一个解.对于D选项，由于，所以D选项有两个解.应选B.【点睛】本小题主要考察解三角形过程中，三角形解得个数的判断，属于中档题.是两个不一共线的向量，假设那么〔〕A. 三点一共线B. 三点一共线C. 三点一共线D. 三点一共线【答案】A【解析】因为+==2，故三点一共线.故答案为：A.与的夹角为120°，那么〔〕A. 5B. 4C. 3D. 1【答案】B【解析】即解得〔舍去〕应选B6.的三内角所对边的长分别为设向量,,假设,那么角的大小为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：因为两向量平行，所以等价于，整理为，所以，所以角考点：1．向量平行的坐标表示；2．余弦定理．7.．与为互相垂直的单位向量，，且与的夹角为锐角，那么实数的取值范围是〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意，得，，，根据向量数量积的计算公式，得，解得，又与不一共线，那么，所以正确答案为A,中，点在边上，且，，那么的值是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出图像，利用向量减法的运算，表示出，由此求得的值，进而求得的值.【详解】依题意，故，故.应选C.【点睛】本小题主要考察向量减法运算，考察平面向量根本定理，属于根底题.中，，那么的形状是A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不确定【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理和二倍角公式，求得的值，由此判断角的大小，进而判断出角的大小，从而判断出三角形的形状.【详解】由正弦定理得，由于，故,，由于，故，故，所以三角形为钝角三角形.应选C.【点睛】本小题主要考察正弦定理，考察二倍角公式，考察三角形形状的判断，属于中档题.10.是平面内两个互相垂直的单位向量，假设向量满足，那么的最大值是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】以分别为轴正方向建立平面直角坐标系，设出的坐标，代入，利用模的坐标表示出，进而求得的最大值.【详解】以分别为轴正方向建立平面直角坐标系，如以下图所示，，设，那么有得，化简得，故向量对应的点在以为圆心，半径为的圆上.由于圆过原点，故圆上的点到原点的间隔的最大值为直径，也即的最大值为.应选A.【点睛】本小题主要考察平面向量的坐标运算，考察数形结合的数学思想方法，考察运算求解才能以及化归与转化的数学思想方法，属于中档题.中,,分别为所对边,那么为A. B. 1 C. 或者1 D. 无法确定【答案】B【解析】【分析】将通分后，利用余弦定理化简，求得化简的结果.【详解】由余弦定理得.由通分得，应选B.【点睛】本小题主要考察余弦定理的运用，考察化归与转化的数学思想方法，属于中档题.12.，为三角形所在平面上的一点，且点满足：，那么点为三角形的A. 外心B. 垂心C. 重心D. 内心【答案】D【解析】【分析】在上分别取单位向量，记，那么平分，用表示出，代入条件所给等式，用表示出，那么可证明三点一共线，即平分.同理证得在其它两角的平分线上，由此求得是三角形的内心.【详解】在，上分别取点使得，那么，作菱形，那么由所以为的平分线.因为，所以，所以，所以三点一共线，即在的平分线上. .同理证得在其它两角的平分线上，由此求得是三角形的内心.，应选D.【点睛】本小题主要考察平面向量的加法运算，考察三点一共线的证明，考察数形结合的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：本大题一一共4小题,每一小题5分,一共20分.，，假设，那么_____________．【答案】【解析】【分析】先求得，然后利用两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值.【详解】依题意，由于，所以，.【点睛】本小题主要考察平面向量坐标的加法运算，考察两个向量垂直的坐标表示，属于根底题.所在的平面内有一点，假设，那么的面积与的面积之比是_____________．【答案】【解析】【分析】利用向量加法和减法运算，证得是线段上，靠近点的四等分点，由此求得两个三角形面积的比值.【详解】依题意，所以，即，所以是线段上，靠近点的四等分点，故两个三角形面积的比等于.【点睛】本小题主要考察平面向量加法和减法的运算，考察平面向量方向相反的表示，属于根底题.中,内角所对应的边分别为，假设，，那么的面积为_________.【答案】【解析】分析：由，，利用余弦定理可得，结合三角形的面积公式进展求解即可.详解：因为，，所以由余弦定理得：，即，因此的面积为，故答案为.点睛：此题主要考察余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：〔1〕；〔2〕，同时还要纯熟掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.中，内角，，的对边分别为，，，为边上的高，给出以下结论：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕．其中正确的序号是__________．【答案】〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕【解析】【分析】利用向量加法、减法和数量积的运算，结合余弦定理，对四个结论逐一分析，由此得出正确的序号.【详解】由于，故〔1〕正确.由于，故〔2〕正确.由于，且，故〔3〕正确.由于，故〔4〕正确.综上所述，正确的序号是〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕.【点睛】本小题主要考察平面向量加法、减法运算，考察平面向量数量积运算，考察两个向量垂直的表示，考察余弦定理，属于中档题.三、解答题：本大题一一共4小题，一共40分.解容许写出文字说明,证明过程或者演算步骤.中，内角的对边分别为，，，．〔1〕求的值；〔2〕假设，,求的面积．【答案】〔1〕2；〔2〕【解析】【分析】〔1〕通过将条件转化为，然后利用三角变换可得结果；〔2〕由〔1〕得，由余弦定理得，可解得，，从而解得三角形的面积。
辽宁省沈阳市高一下学期第一次阶段测试数学试题(解析版)
高一下学期第一次阶段测试数学试题一、单选题1．的值是（ ）19sin 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭A ． B ．CD ． 1212-【答案】A【分析】根据三角函数诱导公式即可求解.【详解】解：．19191sin sin sin 3sin 66662πππππ⎛⎫⎛⎫-=-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A ．2．已知，则（ ） 11cos 22cos()παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=-+2sin cos sin cos αααα-=+A ． B ．1C ．D ．51-5-【答案】D【分析】利用三角函数诱导公式和齐次式弦化切即可解答。
【详解】由题意，则． sin tan 2cos ααα-==--2sin cos 2tan 15sin cos tan 1αααααα--==++故选：D ﹒ 3．设，，则“”是“”的（ ） π02α<<02βπ<<sin2sin2αβ=αβ=A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】结合正弦函数在上图像的性质，先推出的等价关系，然后判断其和[0,π]sin2sin2αβ=的关系后进行分析.αβ=【详解】，，则，，由，结合正弦函数图像π02α<<02βπ<<02πα<<02βπ<<sin2sin2αβ=在上的性质可知，或，所以不一定推出，但可[0,π]22αβ=22παβ+=sin2sin2αβ=αβ=αβ=以推出，于是“”是“”的必要不充分条件. sin2sin2αβ=sin2sin2αβ=αβ=故选：B4．若函数是奇函数，且在区间是减函数，则的值可以是()2sin 23f x x πφ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦φA ．B ．C ．D ．3π-23π53π3π【答案】B【详解】因为函数是奇函数，所以，，则，故排()2sin 23f x x πφ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭3πφ+πk =Z k ∈ππ3k φ=-除选项D ，又因为在区间是减函数，所以，解得，即0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦π5ππ3π[,[,]3622φφ++⊆π2π63φ≤≤；故选B.2π3φ=点睛：判定三角函数的奇偶性时，往往与诱导公式进行结合，如： 若为奇函数，则； sin()y x ωϕ=+π,Z k k ϕ=∈若为偶函数，则；sin()y x ωϕ=+ππ+,Z 2k k ϕ=∈若为偶函数，则； cos()y x ωϕ=+π,Z k k ϕ=∈若为奇函数，则.cos()y x ωϕ=+ππ+,Z 2k k ϕ=∈5．已知x ∈[0，π]，f (x )＝sin(cos x )的最大值为a ，最小值为b ，g (x )＝cos(sin x )的最大值为c ，最小值为d ，则( ) A ．b <d <a <c B ．d <b <c <a C ．b <d <c <a D ．d <b <a <c【答案】A【详解】 [][][][][]0,,cos 1,1,sin 0,1,sin(cos )sin1,sin1,cos(sin )cos1,1x x x x x π∈∈-∈∈-∈，又，则 sin1,sin1,1,cos1a b c d ==-==14π>cos1sin1<<则b<d<a<c6．将函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标保持不变，得到()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12函数的图象，若，则的最小值为( )()y g x =()()()12121g x g x x x =-≠122x x+A ．B ．C ．D ．3π23π12π6π【答案】D【分析】求出g (x )解析式，作出g (x )图像，根据图像即可求解﹒【详解】由题得，，，()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()max 1g x =()min 1g x =-∵，∴＝1且＝－1或且＝1， ()()()12121g x g x x x =-≠()1g x ()2g x ()11g x =-()2g x 作的图象，()g x∴的最小值为＝， 122x x +512122ππ-＋6π故选：D ．7．如图所示的曲线为函数（，，）的部分图象，将()()cos f x A x ωϕ=-0A >0ω>2πϕ<图象上的所有点的横坐标伸长到原来的，再将所得曲线向右平移个单位长度，得到函()y f x =328π数的图象，则（ ）()y g x =A ．函数在上单调递减B ．点为图象的一个对称中心()g x 513,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ3,08π⎛⎫⎪⎝⎭()g x C ．直线为图象的一条对称轴D ．函数在上单调递增2x π=()g x ()g x 3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】先由函数的图象求出的解析式，再结合题意求出，结合正弦函数的图()f x ()2sin 2g x x =象性质即可求解【详解】由图象知，2A =又，所以的一个最低点为， 2563212πππ+=()f x 5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭而的最小正周期为， ()f x 22033T ππ=-=所以 23Tπω==又，则， 2cos 35512122f ππϕ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝= ⎪⎭⎛⎫⎝⎭2os 315c 1ϕπ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭所以,即， ()524k k Z ϕπππ-=+∈()24k k Z πϕπ=-∈又，所以，2πϕ<4πϕ=所以，()2cos 34⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x x π将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的得的图象，()y f x =322cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭再把所得曲线向右平移个单位长度得，8π2cos 22sin 22⎛⎫=-= ⎪⎝⎭y x x π即. ()2sin 2g x x =由得，()2222k x k k Z ππππ-+≤≤+∈()44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈所以在上单调递增，()g x ,44k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈在上单调递减， 3,44k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈当时，可知在递增，在递减，所以错误； 513,2424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()g x 5,244ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦13,424ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A因为 3332sin 22sin 884g p p pæöç÷=´=ç÷èø所以不是图象的一个对称中心，故B 错误；3,08π⎛⎫⎪⎝⎭()g x 因为， 2sin 22s 2i 02n g p p p æöç÷=´==ç÷èø所以直线不是图象的一条对称轴，故C 错误；2x π=()g x 因为在上单调递增，()g x 35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以函数在上单调递增，故正确；()g x 3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 故选：.D 8．如图所示，设点是单位圆上的一定点，动点从点出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点A P A 所旋转过的的长为，弦的长为，则函数的图象大致是（ ） P APl AP d ()d f l =A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】取的中点为，设，在直角三角形求出的表达式，根据弧长公式求出的AP D DOA θ∠=d l 表达式，再用表示，再根据解析式得答案. l d 【详解】取的中点为，设，AP D DOA θ∠=则，， 2sin d θ=22l R θθ==所以，即，根据正弦函数的图象知，C 中的图象符合解析式. 12l θ=⋅2sin 2ld =故选：C.【点睛】本题考查正弦函数的图象，考查弧长公式，其中表示出弦长和弧长的解析式是解题的d l 关键，属于基础题.二、多选题9．下列不等关系成立的是（ ）． A ． B ． tan1sin1cos1>>tan1cos1sin1>>C ． D ．tan 4sin 4cos 4>>tan 4cos 4sin 4>>【答案】AD【分析】.AB 选项，由，结合571602284240o o o o <<⇒<<1451o t an t an >=单调性可判断；CD 选项，由，结合单sin ,cos y x y x ==4044t an si n ,cos >>sin ,cos y x y x ==调性可判断.【详解】.571602284240o o o o <<⇒<<AB 选项，因为在上单调递增，所以.tan y x =π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭1451o t an t an >=因为在上单调递增，在上单调递减，sin y x =π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦cos y x =π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以. 145451o o si n si n cos cos >=>综上，，故A 正确，B 错误；tan1sin1cos1>>CD 选项，，则. 342ππ,⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭4044t an si n ,cos >>因为在上单调递减，在上单调递增， sin y x =32ππ,⎡⎫⎪⎢⎣⎭cos y x =32ππ,⎡⎫⎪⎢⎣⎭所以. 42252254o o si n si n cos cos <=<综上，，故D 正确，C 错误. tan 4cos 4sin 4>>故选：AD.10．给出的下列命题中正确的是（ ）． A ．函数是奇函数3πcos 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．若，是第一象限角，且，则αβαβ<tan tan αβ<C ．在区间上的最小值是 32sin 2y x =ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2-D ．是函数的一条对称轴π8x =5sin 2π4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】AD【分析】A 选项，由奇函数定义可判断选项正误；B 选项，由，即可判断选项正2361o o t an t an >误；C 选项，，则，后由单调性可判断选项正误；D 选项，将ππ,32x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦3π3π,224x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦cos y x =代入，验证其是否等于，即可判断选项正误.π8x =52π4x +2ππ,Z k k +∈【详解】A 选项，设，则，()3πcos 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()3sin 2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭由，且可知，函数是奇函数，故A 正确；()()f x f x -=-x ∈R 3πcos 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B 选项，均为第一象限角，但，故B 错误；2361o o ,2361o o t an t an >C 选项，，则，因为在上递增，在上单调递ππ,32x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦3π3π,224x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦sin y x =ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π3π,24⎡⎤⎢⎣⎦减，所以，，故C 错误； max π2sin 22y ==322224m i n ππmi n si n ,si n y ⎧⎫⎛⎫=-=-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭D 选项，由可知，是函数的一条对称轴，故D 正确.532842πππ⨯+=π8x =5sin 2π4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：AD.11．已知弹簧上挂的小球做上下振动，它在时间t （s ）时离开平衡位置的位移s （cm ）满足函数关系式．给出的下列说法中正确的是（ ）．π2sin 4s t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ．小球开始时在平衡位置上方2cm 处 B ．小球下降到最低点时在平衡位置下方2cm 处 C ．经过小球重复振动一次 2π s D ．小球振动的频率为 12π【答案】BCD【分析】A 选项，即判断时，s 的值是否为2； 0=t B 选项，即判断s 的最小值是否为；2-CD 选项，由周期，频率计算公式可判断选项正误.【详解】A 选项，时，cm 处，故A 错0=t π2sin 4s ⎛⎫== ⎪⎝⎭误；B 选项，由题可知s 的最小值为，即小球下降到最低点时在平衡位置下方2cm 处，故B 正确； 2-C 选项，由题可知，最小正周期为，即经过小球重复振动一次，故C 正确； 2π2π sD 选项，由C 选项分析可知周期为，则振动的频率为，故D 正确. 2π12π故选：BCD12．函数的部分图象如图所示，点P ，Q ，R 在函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭()f x 的图象上，坐标分别为，，，是以PR 为底边的等腰三角形，将函数()1,A --()1,0()0,0x PQR 的图象向右平移5个单位后，得到函数的图象，则下列关于的说法中正确的是()f x ()g x ()g x （ ）．A ．是偶函数()g x B ．在区间上是减函数 ()g x []0,4C ．的图象关于直线对称 ()g x 2x =D ．在上的最小值为()g x []1,3-【答案】ABD【分析】由函数的部分图像求出函数解析式，写出的解析式，判断选项中的命题是否正()f x ()g x 确.【详解】由函数的部分图象知，()()sin f x A x =+ωϕ，所以，解得；24T =2π8ω=π4ω=,作轴于点，4PQ QR == PH x ⊥H则，时，，，2QH =A \=1x =0x ωϕ+=π4ϕ∴=-，，()ππ44⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭f x x ()()()πππ55444⎛⎫∴=-=--= ⎪⎝⎭g x f x x x 根据余弦函数的性质可知是偶函数，A 正确； ()g x 时，，是单调减函数，B 正确； []0,4x ∈[]ππ40,∈x ()g x ∴时，，的图象不关于直线对称，C 错误； 2x =()π022==g ()g x 2x =时，，，，D 正确； []13,x ∈-ππ3π444,⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦x πc os 14⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ()⎡∈⎣∴g x故选：ABD.三、填空题13．已知，且为第四象限角，则______．()1cos 553α-=-α()sin 125α+=【分析】先求出，再求的值. ()sin 55α-= ()sin 125α+【详解】因为，且为第四象限角，()1cos 5503α-=-<α所以是第三象限角，55α- 所以()sin 55α-==所以．()()()sin 125sin 18055sin 55ααα⎡⎤+=+-=--=⎣⎦【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系和诱导公式化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．函数______． y 【答案】()πππππ+,π+π+,π+Z 4332k k k k k ⎡⎫⎛⎫⋃∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭【分析】根据函数定义域的求法进行求解即可.【详解】根据题意，得，()tan 1πtan 06πππZ 62x x x k k ⎧⎪≥⎪⎪⎛⎫+≠⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪+≠+∈⎪⎩解得，()()()ππππZ 42ππZ 6ππZ 3k x k k x k k x k k ⎧+≤<+∈⎪⎪⎪≠-+∈⎨⎪⎪≠+∈⎪⎩所以函数的定义域为.()πππππ+,π+π+,π+Z 4332k k k k k ⎡⎫⎛⎫⋃∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭故答案为：.()πππππ+,π+π+,π+Z 4332k k k k k ⎡⎫⎛⎫⋃∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭15．已知，则______．()()ππsin 24n f n n +⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N ()()()()1232023f f f f ++++= 【答案】【分析】利用正弦函数的周期性，诱导公式，求得式子的值.【详解】，()()ππsin 24+⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭ n f n n N 的周期为，()f n ∴2π4π2=， ()()()()12340+++== f f f f 则()()()()1232023f f f f ++++()()()()()()()5051234202120222023=⨯++++++⎡⎤⎣⎦f f f f f f f()()()123=++==f f f 故答案为：.16．某中学开设了剪纸艺术社团，该社团学生在庆中秋剪纸活动中剪出了三个互相外切的圆，其半，(单位：)，则三个圆之间空隙部分的面积为______.1+31cm 2cm 【答案】【分析】由已知可得,,得到，，求出，AB =2BC =4AC cm ==2B π∠,63A C ππ∠=∠=ABC S A中的小扇形的面积，中的小扇形的面积，中的小扇形的面积，然后用三角形的面积减去三BC 个扇形的面积即可得到答案. 【详解】如图，的半径为cm, 的半径为cm, 的半径为cm,A )1+B)1-C (3,,11AB ∴==132cm BC =+=, ,134AC cm =+=222=2AB BC AC B π∴+∠=，又,可得,2AC BC =,63A C ππ∠=∠=， )2112cm 22ABC S BC AB =⋅=⨯⨯= 中的小扇形的面积为，A ()2211)cm 26π⨯⨯+=中的小扇形的面积为，B ()2211)cm 22π⨯⨯-=中的小扇形的面积为，C(()221(32cm 23ππ⨯⨯=则三个圆之间空隙部分的面积为(()22cm π-=故答案为：【点睛】本题考查圆与圆相切的性质，考查扇形面积公式的应用，考查计算能力，属于中档题.四、解答题17．已知是第三象限角，且.α()()()()()sin cos 5tan 2cos tan 2f αππαπααπαπα----=⎛⎫--- ⎪⎝⎭(1)化简；()f α(2)若，求的值. ()tan 2πα-=-()f α【答案】(1) ()αcos αf =-(2)()f α【分析】（1）直接利用诱导公式可化简；()f α（2）利用同角三角函数的基本关系可求得的值，即可得出的值. cos α()f α【详解】（1）解：为第三象限角，则αQ .()()()()()sin cos tan sin cos cos sin tan sin f παπααααααααα---==-=--（2）解：，所以，，()tan tan 2παα-=-=- tan 2α=由已知可得，解得22sin tan 2cos sin cos 1cos 0αααααα⎧==⎪⎪+=⎨⎪<⎪⎩cos α=()cos f αα=-=18．已知函数，其图象中相邻的两个对称中心的距离为，再从()2cos()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭2π条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知．条件①：函数的图象关于直线()f x 对称；条件②：函数的图象关于点对称；条件③：对任意实数x ，3x π=-()f x ,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭恒成立．5()6f x f π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭(1)求出的解析式； ()f x (2)将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，若方程在上有两根()f x 12π()y g x =()g x a =2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，求的值及的取值范围．αβαβ+a 【答案】(1)；()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)，76παβ+=2a -<≤【分析】（1）通过相邻对称中心的距离可得周期，进而可得，若选条件①可得ω，则可求出，则的解析式可得；选条件②，将代入解析式，可ππ2π122k ϕ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭ϕ()f x ,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭得，解出，即得答案；选条件③，可知，解出，即得答案； π2π6k ϕ⨯+=ϕ526k πϕπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ϕ（2）先根据平移变换求出，再通过整体法，利用正弦函数的图象和性质可得的()y g x =()y g x =最小值，则实数的取值范围可求.m 【详解】（1）解：因为函数的图象相邻的对称中心之间的距离为，()2cos()f x x ωϕ=+2π所以，即周期，所以．所以． 22T π=T π=22T πω==()2cos(2)f x x ϕ=+若选择①：因为函数的图象关于直线轴对称，()f x 3x π=-所以，，即，．23k πϕπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭Z k ∈23k πϕπ=+Z k ∈因为，所以．||2ϕπ<3πϕ=-所以函数的解析式为．()y f x =()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭若选择②，函数的图象关于点对称，所以，()f x ,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭()2cos 2()01212f ππϕ⎡⎤-=⨯-+=⎢⎥⎣⎦所以，，即，．2+122k ππϕπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭Z k ∈23k πϕπ=+Z k ∈因为，所以．||2ϕπ<3πϕ=-所以函数的解析式为．()y f x =()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭若选③：对任意实数x ，恒成立，所以，，即5()6f x f π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭526k πϕπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭Z k ∈53k πϕπ=+，． Z k ∈因为，所以．||2ϕπ<3πϕ=-所以函数的解析式为．()y f x =()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）解：将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，所以， ()f x 12π()y g x =()2cos 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭当时，，2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎣⎦672,66x πππ⎡⎤⎢⎣⎦-∈当时，有最小值且关于对称，所以，26x ππ-=()g x 2-712x π=772126ππαβ+=⨯=，．6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ 23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭2a ∴-<≤19．设函数()()2cos 2103f x a x a π⎛⎫=++≠ ⎪⎝⎭．（1）求函数的对称轴方程；()f x （2）若时，的最大值为3，求a 的值．02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x 【答案】（1）；（2）或.,6x k k Z ππ=-+∈1a =-2a =【分析】（1）利用整体代入法，令，即解得对称轴的方程；22,3x k k Z ππ+=∈（2）先计算时，，再讨论和时的最大值，令其等于02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，1cos 21,32x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦0a >a<0()f x 3，解方程即得结果. 【详解】解：（1）令，解得，22,3x k k Z ππ+=∈,6x k k Z ππ=-+∈故函数的对称轴方程为；()f x ,6x k k Z ππ=-+∈（2）时，，故，02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦1cos 21,32x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故时，时，，解得，0a >1cos 232x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭()max 12132f x a =⨯+=2a =时，时，，解得， a<0cos 213x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭()max 213f x a =-+=1a =-综上可知，或.1a =-2a =20．已知定义在上单调减函数使得对一切实数x 都成立，(],3-∞()f x ()()21sin 2cos f x f a x +≤-求a 的范围． 【答案】1a ≤-【分析】由题可得对一切实数成立，则222cos 32cos 31sin 2cos 1sin 2cos a x a x x a x a x x-≤≤+⎧⎧⇒⎨⎨+≥-≤++⎩⎩.{}22312m i n cos ,si n cos a x x x ≤+++【详解】因定义在上单调减函数使得对一切实数x 都成(],3-∞()f x ()()21sin 2cos f x f a x +≤-立，则对一切实数成立.对于，当222cos 32cos 31sin 2cos 1sin 2cos a x a x x a x a x x-≤≤+⎧⎧⇒⎨⎨+≥-≤++⎩⎩23cos x +时，其有最小值，2π+π,Z x k k =∈1故要使对一切实数成立，需；23cos a x ≤+1a ≤设， ()()222122213si n cos cos cos cos g x x x x x x =++=-++=--+则当，即时，有最小值，为， cos 1x =-2π+π,Z x k k =∈()g x 1-故要使对一切实数成立，需. 21sin 2cos a x x ≤++1a ≤-综上可知，.1a ≤-21．游乐场中的摩天轮沿逆时针方向匀速旋转，其中心距离地面，半径（示意图如O 40.5m 40m 下），游客从最低点处登上摩天轮，其与地面的距离随着时间而变化，已知游客将在登上摩天轮后分钟到达最高点，自其登上摩天轮的时刻起，30(1)求出其与地面的距离与时间的函数关系的解析式；h t(2)若距离地面高度超过时，为“最佳观景时间”，那么在乘坐一圈摩天轮的过程中，该游客大205m .约有多少“最佳观景时间”？【答案】(1)；()()40sin 40.53002h t t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝≥⎭(2). 40min【分析】（1）设，根据已知条件求出、、的值，可得出()()()sin 0,0h t A t b A ωϕω=++>>A ωϕ函数的解析式；()h t （2）解不等式，即可得解.()20.5h t >【详解】（1）解：设，则，， ()()()sin 0,0h t A t b A ωϕω=++>>40A =40.5b =所以，()()()40sin 40.50h t t ωϕω=++>第一次到最高点旋转了半周期，所以 ()260min /min 30T rad T ππω=⇒==游客从最低点登上，所以，故2πϕ=-()()40sin 40.53002h t t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝≥⎭（或）.()40cos40.530h t t π=-+()0t ≥（2）解：令，则，()20.5h t >40sin 40.520.5302t ππ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭1sin 3022t ππ⎛⎫⇒->- ⎪⎝⎭（或），1cos 302t π<所以， 72263026k t k ππππππ-+<-<+()5223303k t k k πππππ⇒+<<+∈Z ，()10605060k t k k ⇒+<<+∈Z 所以，()()5060106040min k k +-+=因此，在乘坐一圈摩天轮的过程中，该游客大约有有最佳观景时间.40min 22．已知函数的图像两相邻对称轴之间的距离是.若将()()()sin 0,0πf x x b ωϕωϕ=+-><<π2的图像先向右平移为奇函()f x π6()g x 数.(1)求的解析式；()f x (2)求图像的对称轴及的单调区间；()f x ()f x(3)若对任意，恒成立，求实数m 的取值范围.0,3x π⎡⎤∈⎢⎣⎦()()()2220f x m f x m -+++≤【答案】(1)()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)对称轴为直线，，增区间为，减区间为ππ122k x =+Z k ∈()5πππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦()π7ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(3) ⎛-∞ ⎝【分析】（1）由正弦函数的周期公式求得，再根据函数是奇函数求得b ，得函数的解ω()g x ()f x 析式； （2）令，，，，ππ2π32x k +=+Z k ∈πππ2π22π232k x k -+≤+≤+Z k ∈ππ3π2π22π232k x k +≤+≤+，，分别求解可得答案；Z k ∈（3）根据正弦函数的性质求得再将问题转化为恒()11f x -≤-≤()()111m f x f x ≤+--成立.令，，由函数的单调性求得的范围，由此求得()1t f x =-1y t t =+1y t t=+()()111f x f x +--的范围.m 【详解】（1）解：因为，所以，所以. 2ππ22ω=⨯2ω=()()sin 2f x x b ϕ=+-又因为，()πsin 26g x x b ϕ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦0πϕ<<所以且，又， ()π+32k k Z πϕπ-+=∈0b -=0πϕ<<所以，， π3ϕ=b所以()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）解：令，，得；ππ2π32x k +=+Z k ∈ππ,Z 122k x k =+∈令，，得； πππ2π22π232k x k -+≤+≤+Z k ∈5ππππ,Z 1212k x k k -+≤≤+∈令，，得，. ππ3π2π22π232k x k +≤+≤+Z k ∈π7πππ1212k x k +≤≤+Z k ∈所以函数图像的对称轴为直线，. ()f x ππ122k x =+Z k ∈函数的增区间为，减区间为. ()f x ()5πππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦()π7ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（3）解：因为，所以，所以，所以π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π233x ππ≤+≤π0sin 213x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭()1f x ≤≤，所以()11f x -≤-≤要使恒成立，即恒成立.()()()2220f x m f x m -+++≤()()111m f x f x ≤+--令，，则在上单调递增， ()1t f x =-1y t t =+1y t t=+()1-∞-，又，即()11f x -≤-≤(()()1111f x f x -≤+-≤-()()111f x f x ≤+-≤-所以 m ≤即m 的取值范围是. ⎛-∞ ⎝。
高一下期数学试题及答案
高一下期数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项不是实数？A. √2B. -πC. 1/3D. i2. 函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5的图像与x轴的交点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 无穷多3. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，该数列的第5项a5等于：A. 13B. 15C. 17D. 194. 以下哪个不等式是正确的？A. |-3| > 3B. -2 < √4C. 1/2 ≤ √1/4D. -1 ≥ -25. 圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25，圆心到直线x + y - 5 = 0的距离是：A. 2B. 3C. 4D. 56. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，A∪B等于：A. {1, 2, 3}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 4}7. 若sinθ + cosθ = √2/2，那么sin2θ的值是：A. 1/2B. -1/2C. 1D. -18. 函数y = ln(x-1)的定义域是：A. (1, +∞)B. (0, +∞)C. (-∞, 1)D. (-∞, 0)9. 根据题目信息，第9题缺失。
10. 已知点A(-1, 2)和点B(2, -1)，直线AB的斜率k是：A. 1/3B. -1/3C. -3D. 3二、填空题（每题2分，共10分）11. 已知等比数列{bn}的首项b1=2，公比q=3，该数列的第3项b3等于______。
12. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2的极小值点是______。
13. 已知向量a = (3, 2)，b = (-1, 2)，向量a与b的点积是______。
14. 根据题目信息，第14题缺失。
15. 抛物线y^2 = 4x的准线方程是______。
三、解答题（共60分）16. 解不等式：|x+2| - |x-3| ≤ 5。
人教版高一数学下册第一学段考试试卷
1．已知等差数列 a n 的首项为 3，公差为 2，则 a7 的值等于
A．1
B．14
C．15
D．16
2． ABC 中，AB= 3 ， A 45 ，C=75 则 BC=
A．3 3
B． 2
3．原点到直线 x+3y+10=0 的距离为
A．1
B． 5
C．2 C． 10
D．3+ 3 D．10
4．已知等差数列 a n 中，前 n 项和为 S n ，若 a3 + a9 =6，则 S11=
D． 或 2 33
A． , 1
B． , 0 1,
C． 3,
D． , 1 3,
11．若直线 l 的方程为(m+2)x5y2m+1=0，且与 x 轴和 y 分别交于 A，B 两点，则满
足 A O B 面积为 4 的直线 l 有
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
(3)求证： 1
2 1
2 2
...
2n
1
6 b1 1 b2 1 b2 1 b3 1
b1 1 bn1 1 2
数学试卷答案
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．) 1．（C）2．（A）3．（C）4．（B）5．（B）6．（C）7．（B）8．（D）9．（D）10．（D）11．（C） 12．（D） 二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分．)
满足
x
y
0,
则 z=2x+y 的最大值是________．
x
0,
14．点 A(2，1)关于直线 xy+1=0 的对称点 A ' 的坐标为________．
2022-2023学年吉林省长春市高一年级下册学期第一学程考试数学试题【含答案】
2022-2023学年吉林省长春市高一下学期第一学程考试数学试题一、单选题1．已知向量，，，且，则实数为（ ）(),2a m =()1,1b =()1,3c =()2a b c-⊥ m A ．-4B ．-3C ．4D ．3【答案】A【分析】根据向量垂直列方程，化简求得的值.m 【详解】，()()()22,41,121,3a b m m -=-=-由于，()2a b c -⊥ 所以.()2219280,4a b c m m m -⋅=-+=+==-故选：A2．已知向量满足，则（ ）,a b ||1,||2|3a b a b ==-= a b ⋅= A ．B ．C ．1D ．22-1-【答案】C【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【详解】解：∵，222|2|||44-=-⋅+a b a a b b又∵||1,||2|3,==-=a b a b ∴9，1443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ∴1a b ⋅= 故选：C.3．对于任意的平面向量，，，下列说法中正确的是（ ）a b cA ．若且，则B ．若，且，则a b b c ∥a c ∥a b a c ⋅=⋅ 0a ≠ b c =C ．D ．()+⋅=⋅+⋅ a b c a c b c ()()a b c a b c⋅=⋅ 【答案】C【分析】取判断A ；取特殊值判断B ；根据向量的运算律判断C ；根据数量积的运算律判断0b =D.【详解】对于A ：当时，满足且，但不一定平行，故A 错误；0b = a b b c ∥,a c对于B ：当，且时，，但，故B 错误；()2,0b c c =≠a b ⊥ 0⋅=⋅= a b a c 2b c= 对于C ：由分配律可知，，故C 正确；()+⋅=⋅+⋅ a b c a c b c对于D ：表示一个与共线的向量，表示一个与共线的向量，而与不一定共线，()a b c ⋅ c ()a bc⋅ a c a 故D 错误；故选：C4．在中，若，，的值为（ ）ABC30A ∠=︒1b =ABCS = sinsin a bA B ++A ．B ．C D【答案】B【分析】利用三角形的面积公式、正弦定理、余弦定理进行求解.【详解】在中，设角 所对的边分别为，ABC A B C ，，ab c ，，由题知，，又，，1sin 2ABC S bc A== 30A ∠=︒1b =所以，解得，c =2222cos a b c bc A =+-a =所以由正弦定理有：，故A ，C ，D 错误.sin sin sin sin a b a b A B A B+====+故选：B.5．长江流域内某地南北两岸平行，如图所示已知游船在静水中的航行速度的大小，1v 1||10km/h v =水流的速度的大小，设和所成角为，若游船要从航行到正北方向2v2||4km/h v =1v 2v (0)θθπ<<A 上位于北岸的码头处，则等于（ ）B cos θA ．B ．C ．D ．25-35-45-【答案】B【解析】由题意知由向量数量积的定义可得选项.()2120,v v v +⋅= 【详解】由题意知有即所以，()2120,v v v +⋅= 2212||c ||os 0,v v v θ+= 2104cos 40,θ⨯+=2cos 5θ=-故选：B ．【点睛】本题考查向量的实际应用，关键在于理解向量的数量积的意义和熟练掌握向量数量积的定义，属于基础题.6．东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股 定理的证明， 后人称其为 “赵爽弦图”. 如图 1 ， 它由四个全等的直角三 角形与一个小正方形拼成的一个大正方形. 我们通过类比得到图 2， 它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形 拼成的一 个大A B C '''等边三角形， 若， 则（ ）ABC 112,cos 14A B ABB =∠='''AB =A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【分析】由同角关系求，由两角差正弦公式求，设，由正弦定理求，sin ABB '∠sin BAB '∠BB t '=t 由余弦定理求.AB 【详解】因为，，11cos 14ABB '∠=()0,πABB '∠∈所以，sin ABB '∠==而()i ,s in 120s n 60AB B BAB ABB ''∠=∠=-∠'=在 中， 设，则，ABB ' BB t '=2AB t '=+由正弦定理得 ， 解得，2sin sin t t BAB ABB +=''∠∠3t =由余弦定理 ，2222cos 49AB BB AB BB AB AB B ''''⋅'=+-∠=所以. 7AB =故选：C.7．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，若角ABC ()()()sin sin sin A B a b C b c +-=+A 的内角平分线AD 的长为3，则的最小值为（ ）b c +A ．12B ．24C ．27D ．36【答案】A【分析】先利用正弦定理化角为边，再结合余弦定理可求得，再利用等面积法结合基本不等式即A 可得解.【详解】因为，()()()sin sin sin A B a b C b c +-=+所以，即，()()()a b a b c b c +-=+222ab c bc =++所以，2221cos 22b c a A bc +-==-又因，所以，()0,πA ∈2π3A =由，ABC ABD ACD S S S =+ =所以，331b c +=则，()33336612b c b c b c b c c b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当，即时，取等号，33b c c b =6b c ==所以的最小值为.b c +12故选：A.8．在锐角中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若，且ABC sin sin cos cos 3sin B C A CA a c =+，则的取值范围是（ ）222sin sin sin sin sin A B C A B +-=⋅2c a b +A ．B ．C ．D ．(6,2)【答案】D【分析】由，结合正余弦定理求得角，继而由222sin sin sin sin sin A B C A B +-=⋅C结合正余弦定理求出，再表示出，，利用三sin sin cos cos 3sin B C A CA a c =+c =4sin a A =4sin b B =角函数的性质求得的范围，即可求得答案.a b +【详解】由，由正弦定理得,222sin sin sin sin sin A B C A B +-=⋅222a b c ab +-=即有，而，则，2221cos 22a b c C ab +-==0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3C π=又，sin sin cos cos 3sin B C A CA a c =+由正弦定理､，化简得：22222222b c a a b c bc ab ac +-+-=+c =由正弦定理有：，即，，4sin sin sin a b c A B C ===4sin a A =4sin b B =是锐角三角形且，有，，ABC 3C π=0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭20,32B A ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭解得，,62A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭因此24(sinsin )4sin sin 3⎡⎤⎛⎫+=+=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦a b A B AA π14sin sin 2⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭A A A ，6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由得：，，,62A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2,633A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭sin 6A π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎦所以.22)+c a b 故选：D二、多选题9．在中，内角，，所对的边分别为，，，根据下列条件判断三角形的情况，则ABCA B C a b c 正确的是（）A ．，，，有两解19b =45A =︒30C =︒B ．，有两解a =b =45A =︒C ．，，只有一解3a =b =45A =︒D ．，，，只有一解7a =7b =75A =︒【答案】CD【分析】利用正弦定理，逐项计算判断作答.【详解】对于A ，因为，，则，由正弦定理，45A =︒30C =︒105B =sin sin sin a c bA CB ==得，显然有唯一结果，即只有一解，A 错误；sin sin ,sin sin b A b Ca c B B ==对于B ，，，由正弦定理得，无解，B a b =45A =︒sin sin 1b A B a ===>错误；对于C ，，，，有，则，3a =b =45A =︒a b >45B A <=由正弦定理得，有唯一解，C 正确；sin 2sin 13b A B a ===<对于D ，，，，有，则，此时，有唯一解，D 正确.7a =7b =75A =︒a b =75B A == 30C =故选：CD10．在菱形中，，，点为线段的中点，和交于点，则ABCD 2AB =60DAB ∠=E CD AC BD O （ ）A ．B ．AC BD ⋅= 2AB AD ⋅=C ．D ．14OE BA ⋅=-52OE AE ⋅=【答案】ABD【分析】以为坐标原点可建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算依次验证各个选O 项即可.【详解】四边形为菱形，，ABCD AC BD ∴⊥则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，O ,OC OD,x y，，，2AB AD == 60DAB ∠= 2BD ∴=OA OC ===，，，，，()0,0O∴()A ()0,1B -()0,1D 12E ⎫⎪⎪⎭对于A ，，，A 正确；AC BD ^ 0AC BD ∴⋅=对于B ，，，，B正确；)1AB =-)AD =312AB AD ∴⋅=-=对于C ，，，，C错误；12OE ⎫=⎪⎪⎭()BA = 31122OE BA ∴⋅=-+=- 对于D ，，，，D 正确.12OE ⎫=⎪⎪⎭ 12AE ⎫=⎪⎪⎭ 915442OE AE ∴⋅=+= 故选：ABD.11．下列结论正确的是（ ）A ．若，∠ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是()()()3,4,6,3,5,3OA OB OC m m =-=-=---34m >-B ．点O 在△ABC 所在的平面内，若，则点O 为△ABC 的重心0OA OB OC ++= C ．点O 在△ABC 所在的平面内，若，，分别表示△AOC ，△ABC 的230OA OB OC ++= AOC S ABC S 面积，则:1:6AOC ABCS S=△△D ．点O 在△ABC 所在的平面内，满足且，则点O 是且△ABCAO AB AO AC AB AC⋅⋅= CO CA CO CBCA CB⋅⋅=的外心【答案】BC【分析】对于A ，由∠ABC 为锐角，可得且两向量不共线；对于B ，设边上的中点0BA BC ⋅>AB 为，证明在边的中线上即可；对于C ，由，得，D O AB 230OA OB OC ++= ()2O OCB OC OA +=-+设的中点为，的中点为，可知三点共线，且，从而可判断；对于AC D BC E ,,O D E 2OE OD= D ，证明是的角平分线，是的角平分线，即可判断.OA BAC ∠OC ACB ∠【详解】对于A ，由，()()()3,4,6,3,5,3OA OB OC m m =-=-=---得，()()3,1,1,BA OA OB BC OC OB m m =-=--=-=---因为∠ABC 为锐角，故且不共线，0BA BC ⋅>,BA BC所以，解得且，故A 错误；()()310310m m m m ⎧---+>⎪⎨+--≠⎪⎩34m >-12m ≠对于B ，设边上的中点为，则，AB D 2OA OB OD +=因为，所以，0OA OB OC ++=2OC OD =- 所以，又点为公共端点，所以三点共线，//OC ODO ,,O C D 即点在边的中线上，O AB 同理可得点也在两边的中线上，O ,AC BC 所以点O 为△ABC 的重心，故B 正确；对于C ，因为，所以，230OA OB OC ++= ()2O OCB OC OA +=-+如图，设的中点为，的中点为，AC D BC E 则，所以，2OE OD =-//OE OD 又点为公共端点，所以三点共线，且，O ,,O D E 2OE OD= 所以，13AOC ACES S = 又，12ACE ABCS S =△△所以，即，故C 正确；16AOC ABCS S =:1:6AOC ABCS S =△△对于D ，由，AO AB AO AC AB AC⋅⋅=可得，即，cos cos AO OAB AO OAC ∠=∠cos cos OAB OAC ∠=∠又因，所以，(),0,πOAB OAC ∠∠∈OAB OAC ∠=∠所以是的角平分线，OA BAC ∠由，CO CA CO CBCA CB ⋅⋅=可得，即，cos cos CO OCA CO OCB∠=∠cos cos OCA OCB ∠=∠又，所以，(),0,πOCA OCB ∠∠∈OCA OCB ∠=∠所以是的角平分线，OC ACB ∠所以点O 是且△ABC 的内心，故D 错误.故选：BC.12．记的内角，，的对边分别为，，，则下列命题正确的是（ ）ABC A B C a b c A ．若，则22cos cos A B >a b<B ．若，，的恰有一个，则的取值范围是30ABC ︒∠=6AC =BC a =ABC a 06a <≤C ．若，则sin cos 1sin2B B B +=-cos B =D ．若，()cos cos a b c A B +=+1c =【答案】ACD【分析】根据平方关系得到，即可得到，从而判断A ，根据正弦定221sin 1sin A B ->-sin sin A B <理判断B ，由条件利用二倍角公式可得①，再把①平方求得的值，即可得1cossin 0222B B -=-<sin B 到的值，即可判断C ，利用正弦定理将边化角，即可得到为直角三角形，设内切圆的半cos B ABC 径为，则，再将边化角，转化为角的三角函数，求出内切圆的半径的最大值，r 1()2r a b c =+-B 即可判断D ．【详解】对于A ：因为，所以，22cos cos A B >221sin 1sin A B ->-所以，又、，所以，所以由正弦定理可得，故A22sin sin A B <sin 0A >sin 0B >sin sin A B <a b <正确；对于B ：，，，高，30ABC =︒∠ 6AC =BC a =∴1sin 302CD BC a =︒=当，即时，只有一个．162AC CD a ===12a =ABC 当，即时，时，只有一个，AC BC ≥6a ≥06a ∴<≤ABC 故，满足条件的的取值范围是或，故B 错误；a 06a <≤12a =对于C ：因为，所以，sin cos 1sin2B B B +=-22sin cos 12sin 1sin2222B B B B+-=-所以，又，所以，22sin cos 2sin sin 2222B B B B -=-sin 02B>2cos 2sin 122B B -=-即，即，又，所以，则1cos sin 0222B B -=-<π024B ⎛⎫+< ⎪⎝⎭()0,πB ∈ππ3π,2444B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以，所以，ππ3π,2424B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ππ,242B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π,π2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以，所以，即，所以221cos sin 222B B ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32sin cos 224B B =3sin 4B =cos B =C 正确；对于D ：因为，所以，()cos cos a b c A B +=+sin sin sin (cos cos )A B C A B +=+所以，sin()sin()sin cos sin cos B C A C C A C B +++=+所以，sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos sin cos B C B C A C A C C A C B +++=+所以，所以，sin cos sin cos 0B C A C +=(sin sin )cos 0A B C +=，，，是直角三角形．sin sin 0B A +≠ cos 0C ∴=90C ∴=︒ABC ∴ 设内切圆的半径为，r 则1()2r a b c =+-1(sinsin 1)2A B=+-1πsin sin 122A A ⎡⎤⎛⎫=+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()1sin cos 12A A =+-，12A A ⎫-⎪⎪⎭π142A ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，，，π02A <<∴ππ3π444A <+<πsin 14A ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭所以，内切圆半径的取值范围是，π110422A ⎛⎫+- ⎪⎝⎭∴⎛ ⎝该三角形内切圆面积的最大值为，故D 正确．∴2πS =故选：ACD三、填空题13．已知向量，，若，则________．()2,3a =-()4,b m =22a b a b+=- m =【答案】83【分析】根据向量模的展开计算，得出，从而进一步利用向量的线性计算求解.0a b ⋅=【详解】因为，22a b a b+=- 所以，2222a b a b +=- 所以，()()2222a b a b +=- 所以，22224444a a b b a a b b +⋅+=-⋅+所以，0a b ⋅= 所以，()()2,34,830m m -⋅=-=解得，83m =故答案为：.8314．需要测量某塔的高度，选取与塔底在同一个水平面内的两个测量基点与，现测得D A B ，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为75DAB ∠= 45ABD ∠= 96AB =A C 30CD __________米【答案】【分析】根据正弦定理可得，然后利用解直角三角形即得.AD =【详解】因为在中，，，米，BAD 75DAB ∠=45ABD ∠=96AB =所以，180754560ADB ∠=︒-︒-︒=︒由正弦定理得(米)，sin sin AB ADADBABD =∠∠=AD =在中，，所以米).Rt ACD △30CAD ∠=︒tan30CD AD =︒=CD =故答案为：15．在中，角所对的边分别为，且，则的形状为ABC ,,A B C ,,a b c (cos cos )a b c B A -=⋅-ABC __________.【答案】直角三角形或等腰三角形【详解】用正弦定理对条件进行边角转化，结合诱导公式，两角和的正弦公式化简后进行求解.【点睛】根据，由正弦定理可得，，又(cos cos )a b c B A -=-sin sin sin (cos cos )A B C B A -=⋅-为三角形内角，即，于是，,,A B C πA B C ++=sin()sin(π)sin B C A A +=-=，上述等式变为：，等式左sin()sin(π)sin A C B B +=-=sin()sin()sin cos sin cos B C A C C B C A +-+=-边展开可得，于是sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos B C C B A C C A C B C A +--=-，故当得到，此时为直角三sin cos sin cos 0cos (sin sin )B C A C C B A -==⋅-()cos 00,πC C =⎧⎨∈⎩π2C =ABC 角形，或当得到，此时三角形为等腰三角形.()sin sin 0,π,(0,π)B A A B A B =⎧⎪+∈⎨⎪∈⎩A B =故答案为：直角三角形或等腰三角形16．如图，在中，，点D 在线段上，且，则面积的ABC π3ABC ∠=AC 2,4==AD DC BD ABC 最大值为___________．【答案】【分析】根据，求出的最大值即可.ABC S =△ac 【详解】在中，设，ABC ,,AB c BC a AC b ===，整理得：．222πcos32a c b ac +-=222b a c ac =+-又，整理得：，2222216cos 22c AD c b a A c AD cb +-+-==⋅22233722b a c =+-，即，222233722a c ac a c ∴+-=+-2212722a c ac ++=，，，2212222a c ac+≥ 372ac ∴≤24ac ∴≤时取等号．1πsin 23ABC S ac ∴==≤△2c a =所以面积的最大值为ABC 故答案为：【点睛】关键点点睛：根据面积公式结构选择用基本不等值求最大值，要注意不等式取等的条件，同时计算量也较大．四、解答题17．设向量，满足及a b 1a b == 3a - （Ⅰ）求，夹角的大小；a b θ（Ⅱ）求的值.3a b+【答案】（Ⅰ）；（Ⅱπ3θ=【分析】（1）设，夹角为，将a b θ3a - （2）先计算，再开方即可求解.23a b+【详解】（1）设，夹角为，因为，＝a b θ1a b == 32a b- 所以，()2222223232941291411211cos a b a b a b a b θ-=-=+-⋅=⨯+⨯-⨯⨯⨯7=解得：，1cos 2θ=因为，所以，0πθ≤≤π3θ=即夹角的大小为；,a bπ3（2）因为，，夹角为，1a b == a bπ3()22222133969116112a b a ba b a b +=+=++⋅=⨯++⨯⨯⨯=所以3a b +=18．已知挂在弹簧下方的小球上下振动，小球在时间t （单位：s ）时相对于平衡位置（即静止时的位置）的距离h （单位：cm ）由函数解析式决定，其部()()πsin 0002h t A t A ωϕωϕ=+>><<（，，）分图像如图所示(1)求小球在振动过程中的振幅、最小正周期和初相；(2)若时，小球至少有101次速度为0cm/s ，则的最小值是多少？0][0,t t ∈0t 【答案】(1)π4ϕ=(2)4018π【分析】（1）由图易得，，利用周期公式可得，将代入函数并结合3A =T π=2ω=π,38⎛⎫ ⎪⎝⎭即可求解；π02ϕ<<（2）由题意可得小球在振动过程中位于最高、最低位置时的速度为0cm/s ，即取最值的时候，所以101次速度为0cm/s 至少经过50个周期，再通过即可求解π8t =【详解】（1）由图易知小球的振幅，3A =最小正周期，所以，∴，7π3π288T π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭2π2T ω==()()3sin 2h t t ϕ=+∴代入可得，∴，即，π,38⎛⎫ ⎪⎝⎭π33sin 28ϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭ππ2Z 42k k ϕπ+=+∈，π2Z 4k k ϕπ=+∈，又，∴初相π02ϕ<<π4ϕ=（2）∵小球在振动过程中位于最高、最低位置时的速度为0cm/s ，∴小球有100次速度为0cm/s 等价于函数有100次取得最值，()h t ∵函数在一个周期内取得一次最大值、一次最小值，，()h t 100502=∴函数经过50个周期时小球有100次速度为0cm/s ，()h t ∴时，小球有100次速度为0cm/s ，[]0,50πt ∈又∵当时，小球速度为0cm/s ，π8t =∴的最小值为0t π401π50π88+=19．在中，.ABC b =(1)若，求的面积；2a =ABC (2)求的取值范围.a c +条件；条件②. cos sinB b C=22cosa cb C-=【答案】(1)(2)(【分析】（1）根据条件求出角B，再运用正弦定理和余弦定理求出c，用面积公式计算即可；（2）运用正弦定理，再做恒等变换，根据三角函数的性质求解.【详解】（1）选条件①，，，又，cos sinBb C=cos sin sinC B B C=sin0C≠，而，故；tan B∴=()0,πB∈3Bπ=选条件②，，，22cosa cb C-=22222222cos22a b c a b ca cb C bab a+-+-∴-==⨯=即，，又，故，222a cb ac+-=2221cos222a cb acBac ac+-∴===()0,πB∈3Bπ=在中，当，时，ABCb=2a=3Bπ=由余弦定理得：，2222cosb ac ac B=+-2112442c c=+-⨯即，（负值舍去），2280c c--=4c∴=所以11πsin24sin223ABCS ac B==⨯⨯=（2）由题设及（1）可知：，π3B=b=故由正弦定理得：())()sin sin sin sin4sin sinsinba c A C A C A CB+=+=+=+，π1π4sin sin4sin sin326C C C C C C⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=+⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，，故（当且仅当时等号成立），π3B=2π0,3C⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭π6C⎛⎫<+≤⎪⎝⎭π3A C==即；a c<+≤综上，的面积为的取值范围是.ABCa c+(20．在某片海域上，一艘海上护卫舰位于点A处，一艘货轮在点A东偏北15°方向的点处行驶着，B通过雷达监测，发现在点A北偏东30°方向且距离点A24海里处的点处出现一艘海盗船，此时海C盗船与货轮相距.(1)求发现海盗船时护卫舰与货轮的距离；(2)护卫舰为确保货轮的安全，护卫舰开始以/小时的速度追击海盗船，与此同时，海盗船开始以20海里/小时的速度沿着北偏西30°方向逃窜，求护卫舰能追捕到海盗船的最短时长以及最佳追击方向.【答案】(1)海里((2)护卫舰的最佳追击方向为正北方向，能迫击到海盗船的最短时长为1.2小时【分析】（1）中，由正弦定理计算可得.ABC （2）设护卫舰能追捕到海盗船的最短时长为小时，在中由余弦定理计算可得.x ACP △【详解】（1）由题意可知，()90153045BAC ∠=︒-︒+︒=︒，则24sin ABC =∠sin ABC ∠=所以或120°.若，则，，不符合题意，所以60ABC ∠=︒60ABC ∠=︒7560ACB ∠=︒>︒AB AC >，，120ABC ∠=︒15ACB ∠=︒()sin sin 4530ACB ∠=︒-︒海里，故发现海盗船时护卫舰与货轮的距离为(24sin sin AB ACB ABC =∠=∠海里.(（2）如图，设护卫舰能追捕到海盗船的最短时长为小时，且追到时位于点.x P则.由余弦定理可得，，()1803030120ACP ∠=︒-︒+︒=︒()()222242022420cos120x x =+-⨯⨯︒整理可得，解得或-0.6（舍去），此时，（海里）22515180x x --= 1.2x =AP=24CP =，则，cos CAP ∠==30CAP ∠=︒故护卫舰的最佳追击方向为正北方向，能迫击到海盗船的最短时长为1.2小时.21．如图，在直角三角形中，．点分别是线段上的点，满ABC 90,22A CB CA ∠=︒==,D E ,AB BC 足．,(0,1),A B D A C B BE λλλ==∈ (1)求的取值范围；AE BC ⋅ (2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．λAE CD ⊥λ【答案】(1)(3,1)-(2)存在，23λ=【分析】（1）由题意得，结合即可得()()AE BC AB BE BC AB BC BC λ⋅=+⋅=+⋅ 34λ=-+(0,1)λ∈解；（2）由，求解即可.()()()()AE CD AB BE AD AC AB BC AB AC λλ⋅=+⋅-=+⋅-2230λλ=-=【详解】（1）在直角三角形中，．ABC 90,22A CB CA ∠=︒==∴，30,B BA ∠=︒=2cos303BA BC ⋅=⨯︒=，2()()AE BC AB BE BC AB BC BC AB BC BC λλ⋅=+⋅=+⋅=⋅+ 234BA BC BC λλ=-⋅+=-+ ∵，∴．(0,1)λ∈(3,1)AE BC ⋅∈-（2）()()()()AE CD AB BE AD AC AB BC AB AC λλ⋅=+⋅-=+⋅- 22AB AB AC BC AB BC ACλλλ=-⋅+⋅-⋅2302cos15021cos 60λλλ=-+⨯︒-⨯⨯⨯︒2230323λλλλλ=---=-令，得或（舍）.2230λλ-=23λ=0λ=∴存在实数，使得．23λ=AE CD ⊥22．如图，在平面四边形ABCD 中，.,90,2AD BD ADB CD BC =∠===(1)若，求线段AC 的长：45BDC ∠=(2)求线段AC 长的最大值．【答案】(1)(2)6.【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求出BD ，再利用余弦定理计算作答.（2）设，在中用余弦定理求出BD ，用正弦定理表示出，再在(0π)BCD θθ∠=<<BCD △CDB ∠中，利用余弦定理列式求解作答.ADC △【详解】（1）在中，，，由余弦定理得：BCD △2CD BC ==45BDC ∠= ，即，解得，2222cos BC CD BD CD BD BDC =+-⋅∠2440BD BD -+=2BD =在中，，由余弦定理得：ADC △2,135AD BD ADC ==∠=，2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠所以AC ==（2）设，(0π)BCD θθ∠=<<在中，由余弦定理得：BCD △BD ==由正弦定理得：，sin 2sin sin BC BDC BD BD θθ∠==AD BD ==在中，由余弦定理得：ADC △222π2·cos 2AC AD CD AD CD BDC ⎛⎫=+-+∠ ⎪⎝⎭，π128sin 20cos )2016sin(364BDC θθθθ=-++∠=+-=+-≤当且仅当，即时取“=”，此时，ππ42θ-=3π4θ=6AC =所以当时，线段AC 长取最大值6.3π4θ=【点睛】方法点睛：三角形中已知两边及一边对角求第三边，可以利用余弦定理建立关于第三边的一元二次方程求解.。
高一数学下学期第一次阶段考试题含解析 试题
宁化一中2021-2021学年高一数学下学期第一次阶段考试题〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共8小题，每一小题5分，一共40分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕{}n a 满足：10a >，130n n a a +-=，那么数列{}n a 是〔 〕A. 递增数列B. 递减数列C. 摆动数列D. 不确定【答案】B 【解析】 【分析】根据130n n a a +-=，得到数列{}n a 是等比数列，求出其通项公式，再利用指数型函数的单调性判断.【详解】因为130n n a a +-=，所以113n n a a +=， 所以数列{}n a 是等比数列所以1113-⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭n n a a又因为10a >所以数列{}n a 是递减数列 应选:B【点睛】此题主要考察等比数列的定义，数列的增减性，还有指数型函数的单调性，属于根底题.2.等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，那么a 12的值是( ) A. 15 B. 30 C. 31 D. 64【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列性质解得8a ，再根据等差数列性质得结果.【详解】因为79881284162168216115a a a a a a a +=∴=∴=∴=-=-= 应选:A【点睛】此题考察等差数列性质，考察根本分析求解才能，属根底题.,a b 满足1a b +=，那么〔 〕A. ab 有最大值14B.11a b+有最大值42 D. 22a b +有最小值2【答案】A 【解析】 【分析】,a b满足1a b +=，由2124a b ab +⎛⎫≤=⎪⎝⎭判断.B..由211112+=≥⎛⎫+ ⎪⎝⎭a b ab ab==()22212≥++a b a b 判断. 【详解】因为正实数,a b 满足1a b +=所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b +=，a b =，即12a b ==取等号，故A 正确. 2111142+=≥=⎛⎫+ ⎪⎝⎭a b ab a b ，当且仅当1a b +=，a b =，即12a b ==取等号，故B错误.==≤=1a b +=，a b =，即12a b ==取等号，故C 错误.()2221122=+≥+a b a b ，当且仅当1a b +=，a b =，即12a b ==取等号，故D 错误.应选:A【点睛】此题主要考察根本不等式的变形以及应用，变形灵敏，特别注意使用条件，属于中档题.x y 、满足约束条件238044010x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩那么z x y =-的最大值为〔 〕A. 3-B. 2-C. 1D. 2【答案】C 【解析】 【分析】根据实数x y 、满足约束条件238044010x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，画出可行域，将z x y =-变形为y x z =-，平移直线y x =，找到直线在y 轴上的截距最小点即可.【详解】因为实数x y 、满足约束条件238044010x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，画出可行域，如下图阴影局部：将z x y =-变形为y x z =-，平移直线y x =， 所以直线在y 轴上的截距最小点1,0A ，所以目的函数z x y =-在此获得最大值，最大值为1 应选：C【点睛】此题主要考察线性规划求最值这是截距类型，平移目的函数所在直线找到最优点是关键，还考察了数形结合的思想，属于根底题.5.ABC 的三内角,,A B C ，设向量(sin sin ,sin )p A C B =+向量(sin sin ,sin sin )q B A C A =--，假设p q ，那么角C 的大小为〔 〕A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】B 【解析】 【分析】根据//p q ，由一共线向量定理得到()()()sin sin sin sin sin sin sin -=+-B B A A C C A ，再由正弦定理，把角转化为边，222a b c ab +-= 然后利用余弦定理求解. 【详解】向量(sin sin ,sin )p A C B =+向量(sin sin ,sin sin )q B A C A =--， 因为//p q所以()()()sin sin sin sin sin sin sin -=+-B B A A C C A 由正弦定理得222a b c ab +-=由余弦定理得222cos 122a b c C ab +-==因为()0,C π∈ 所以3C π=应选：B【点睛】此题主要考察一共线向量定理，正弦定理，余弦定理的应用，还考察了运算求解的才能，属于中档题.102m <<，假设220m m k -+≥恒成立，那么k 的最小值为〔 〕 A. 1B. 12 C. 14D.18【答案】D 【解析】 【分析】 将102m <<，假设220m m k -+≥恒成立，转化为102m <<，22≥-+k m m 恒成立，令2()2=-+g m m m ，求其最大值即可.【详解】因为102m <<，假设220m m k -+≥恒成立， 所以102m <<，22≥-+k m m 恒成立， 令22111()22488⎛⎫=-=--++≤ ⎪⎝⎭g m m m m ， 所以18k ≥， 所以k 的最小值18. 应选：D【点睛】此题主要考察一元二次不等式恒成立问题，还考察了运算求解的才能，属于中档题.()4(sin 2cos2)2f ααα=-+，在锐角三角形ABC 中，()6f A =，且cos2cos2B C =，那么tan B 的值是〔 〕A. 1 1-1D.2【答案】C 【解析】 【分析】因为函数()4(sin 2cos 2)2224παααα⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭f ，根据()6f A =，有sin 242A π⎛⎫-=⎪⎝⎭，解得4A π=或者2A π=〔舍去〕，再根据cos2cos2B C =，求得38B C π==，再利用半角公式求解.【详解】因为函数()4(sin 2cos 2)2224παααα⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭f ， 又因为在锐角三角形ABC 中，()6f A =，所以()2264π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭f A A ，即sin 242A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以244A ππ-=或者 3244A ππ-=， 解得4A π=或者2A π=〔舍去〕，又因为cos2cos2B C =， 所以22B C = ， 即38B C π==，所以2sin 2sin cos sin 2tan 1cos 2cos 1cos 2⋅=====+B B B BB B B B.应选；C【点睛】此题主要考察三角函数求角以及三角恒等变换，还考察了运算求解的才能，属于中档题.8.,a b 为正实常数，实数,x y 且满足2222220x y a y b x --=，那么22xy +的最小值是〔 〕 A. +a b B. 22a b +)+a bD. 2()a b +【答案】D 【解析】 【分析】根据,a b 为正实常数，实数,x y 且满足2222220x y a y b x --=，转化为22221a b x y+=，再由()22222222a b x y x y xy ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=展开，利用根本不等式求解.【详解】因为,a b 为正实常数，实数,x y 且满足2222220x y a y b x --=，所以22221a b x y+=，所以()22222222a b x y x y xy ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=，()22222222222=+++≥++=+y a x b a b a b a b x y，当且仅当222222=y a x b x y，即22ay bx = ，取等号.所以22xy +的最小值是2()a b +.应选：D【点睛】此题主要考察根本不等式求最值，还考察了运算求解的才能，属于中档题. 二．多项选择题〔一共4小题每一小题5分一共20分，局部得分3分〕ABC 中，根据以下条件解三角形，其中恰有一解的是〔 〕A. ABC ，3c =，6C π=B. 5b =，6c =，4CπC. 6a =，b =3B π=D. 20a =，15b =，6B π=【答案】BC 【解析】 【分析】根据正弦定理求解. 【详解】A. 由正弦定理得26sin cR C==，任何三角形都有外接圆，所以有无数解，故A错误.B. 由正弦定理得sin sin b c B C = 所以sin 12B = ，因为b c <，所以B 是锐角，所以只有一解，故B 正确.C. 由正弦定理得sin sin b a B A= 所以sin 1A = ，所以2A π=，所以只有一解，故C 正确.D. 由正弦定理得sin sin b aB A = 所以2sin 3A = ，因为a b >所以A 有两解，故D 错误. 应选：BC【点睛】此题主要考察正弦定理解三角形，还考察了运算求解的才能，属于中档题.{}n a 的前n 项和是n S ，120S >，130S <，正确的选项有〔 〕A. 10a >，0d <B. 5S 与6S 均为n S 的最大值C.670a a +>D. 70a <【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等差数列的性质，()()11267121212=22++=a a a a S ，可得670a a +> ，()1137137131321322+===a a a S a 可得70a < ，60a >，再根据等差数列的单调性判断。
2023-2024学年河南省联考高一下册阶段性测试(三)数学试题(含解析)
2023-2024学年河南省联考高一下册阶段性测试（三）数学试题一、单选题1．PA BC BA +-=（）A ．PBB ．CPC ．ACD ．PC【正确答案】D【分析】根据平面向量的线性运算法则，即可求解.【详解】根据向量的线性运算法则，可得PA BC BA PA AC PC +-=+=.故选：D.2．已知向量a ，b 的夹角为π3，3a b ⋅=，2b = ，则a = （）A ．2B ．3C ．6D ．12【正确答案】B【分析】直接利用向量的数量积运算即可求解．【详解】依题意，π1cos 2332a b a b a a ⋅=⋅⋅=⋅⋅==.故选：B.3．已知向量a 与b 的方向相反，()2,3b =-r ，a =，则a = （）A ．()6,4-B ．()4,6-C ．()4,6-D ．()6,4-【正确答案】C【分析】根据共线定理，可得两向量的数乘关系，设出向量坐标，建立方程，可得答案.【详解】∵a 与b的方向相反，∴a b λ= （0λ<）．设(),a x y = ，则()(),2,3x y λ=-，于是2,3.x y λλ=-⎧⎨=⎩由a = ，得2252x y +=，即222491352λλλ+==，∴24λ=，∴2λ=-，∴()4,6a =-．故选：C.4．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =，12b =，60B =︒，则A =（）A ．30°B ．45°C ．150°D ．30°或150°【正确答案】A【分析】运用正弦定理，结合三角形大边对大角的性质进行求解即可.【详解】因为a =12b =，60B =︒，所以由正弦定理可得sin 12sin 122a B A b===，所以30A =︒或150°．因为b a >，所以B A >，所以30A =︒．故选：A5．已知在ABC 中，5AB =，4BC =，4cos 5B =，则cos A =（）A ．35B ．34C ．2D ．25【正确答案】A【分析】直接利用余弦定理可解得3AC =，由此可知ABC 为直角三角形，所以3cos 5AC A AB ==.【详解】由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅，解得3AC =，所以222AB AC BC =+，所以ABC 为直角三角形，则在Rt ABC △中，3cos 5AC A AB ==．故选：A.6．如图，在ABC 中，π3ABC ∠=，E 为AB 边的中点，F 为BC 边上的点，且34BF BC = ，2AB =，4BC =，则AC EF ⋅=（）A ．6B ．9C ．10D ．19【正确答案】B【分析】运用向量运算法则将AC EF ⋅ 转化为51224AC EF BA BC ⋅-⋅+=，再代入向量数量积公式πcos 3BA BC BA BC ⋅⋅⋅= 即可求解.【详解】依题意，()()()3142AC EF BC BA BF BE BC BA BC BA ⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅- ⎪⎝⎭223131512242424BC BA BC BA BC BA BA BC =-⋅-⋅+=-⋅+5π5114cos 142494342BA BC =-⋅⋅=-⨯⨯⨯= ．故选：B.7．如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 边上靠近点A 的三等分点，F 为AB 边上靠近点B 的四等分点，且线段EF 交AC 于点P ．若AB a=，AD b = ，则AP = （）A ．3344a b+ B ．331313a b+C ．51142a b+ D ．19416a b+ 【正确答案】B【分析】AP AC λ= ，将AP 用,AE AF表示，再根据E ，F ，P 三点共线，求得λ，从而可的答案.【详解】∵E 为AD 边上靠近点A 的三等分点，F 为AB 边上靠近点B 的四等分点，∴13AE AD = ，34AF AB = ，设()433AP AC AB AD AF AE λλλ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ ，∵E ，F ，P 三点共线，∴4313λλ+=，解得313λ=，于是()()333131313AP AB AD AB AD a b λ=+=+=+ ．故选：B.8．已知锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若()2cos cos cos A B C B +=，a =6bc =，则bc +=（）A ．9B ．8C ．5D ．4【正确答案】C【分析】利用诱导公式、两角和的余弦公式化简已知条件，求得A ，利用余弦定理求得b c +.【详解】∵()2cos cos cos A B C B +=，πA B C ++=，∴()2cos cos 2cos πA B A B B +--，()2cos cos 2cos A B A B B -+=，∴2sin sin A B B =．∵ABC 为锐角三角形，∴sin 0B ≠，∴sin A =π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴π3A =．由余弦定理可得222π2cos 3a b c bc =+-，∴2276b c =+-，∴2213b c +=，则5b c +===．故选：C二、多选题9．已知向量()()2,1,2,4a b ==-，则（）A ．aB ．1//()4a ab + C ．a b⊥ D ．a b a b+=+ 【正确答案】AC【分析】根据平面向量的坐标表示与运算，结合向量的平行坐标表示和数量积的坐标运算公式，逐项判定，即可求解.【详解】由()2,1a =r，可得a = A 正确；由()()2,1,2,4a b ==- ，可得13(,2)42a b += ，因为322102⨯-⨯≠，所以a 与14a b + 不共线，所以B 错误；由2(2)140a b ⋅=⨯-+⨯=r r ，所以a b ⊥，故C 正确；由()()2,1,2,4a b ==- ，可得241(2)0⨯-⨯-≠，可得a 与b的方向不相同，所以a b a b +≠+ ，故D 错误．故选：AC.10．下列说法中正确的有（）A ．若AB与CD 是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上B ．若向量()1,3a = ，()1,3a b -=--，则a b ∥C ．若平面上不共线的四点O ，A ，B ，C 满足320OA OB OC -+=，则2AB BC=D ．若非零向量a ，b 满足a b a b ==- ，则a 与a b + 的夹角是π3【正确答案】BC【分析】对于A ，根据向量共线的定义，可得其正误；对于B ，利用向量共线定理，可得其正误；对于C ，根据向量减法，结合共线定理，可得其正误；对于D ，根据向量模的求解以及夹角公式，可得答案.【详解】AB与CD 是共线向量，也可能是AB CD ，故A 错误；设(),b x y = ，∵()1,3a = ，()1,3a b -=--，∴11,33,x y -=-⎧⎨-=-⎩解得2,6,x y =⎧⎨=⎩∴()2,6b = ，又∵16320⨯-⨯=，∴a b∥，故B 正确；由已知得()()220OA OB OC OB BA BC -+-=+= ，∴2AB BC =，∴2AB BC= ，故C 正确；由()22a a b =- 整理可得22b a b =⋅，设a 与a b + 的夹角是θ，则()2221322cos 2a b a a a b a a b θ+⋅+====⋅+ ，∴a 与a b + 的夹角是π6，故D 错误．故选：BC.11．已知向量a ，b 的夹角为π6，3a = ，1b = ，t R ∈，则（）A ．b 在a 方向上的投影向量的模为2B ．a在a方向上的投影向量的模为2C ．ta b + 的最小值为14D ．ta b + 取得最小值时，()a ta b⊥+【正确答案】AD【分析】AB 选项，利用投影的定义求解判断；CD 选项，利用数量积的运算律求解判断.【详解】因为b 在a方向上的投影向量的模为πcos 62b = ，故A 正确；因为a在a 方向上的投影向量的模为()22π331cos 9632a a a a a a +⨯⨯⋅⋅===，故B错误；2222222129219319264ta b t a ta b b t t t t ⎛+=+⋅+=+⨯+=+=++ ⎝⎭，当t =ta b + 取得最小值12，此时()2990262a ta b ta a b t ⎛⋅+=+⋅=+=⨯-+= ⎝⎭，所以()a tab ⊥+，故C 错误，D 正确．故选：AD12．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin sin sin sin a A B c C b B -=-，则下列说法正确的是（）A ．π6C =B ．若ABCc 的最小值为2C ．若1a =，5π12B =，则ABC的面积为38D ．若3b =，c =ABC 有且仅有一个【正确答案】BC【分析】由正、余弦定理及已知得π3C =，再根据选项综合应用正、余弦定理和三角形面积公式求解．【详解】∵()sin sin sin sin a A B c C b B -=-，∴由正弦定理可得22()a a b c b -=-，即222a b c ab +-=，对于A 选项，由余弦定理可得2221cos 22a b c C ab +-==，∵0πC <<，∴π3C =，故A 错误；对于B选项，由题可知1sin 24ab C ab =4ab =，由余弦定理可得222222cos 24c a b ab C a b ab ab ab ab =+-=+-≥-==，∴2c ≥，当且仅当2a b ==时等号成立，故c 的最小值为2，故B 正确；对于C 选项，由题可知π4A =，由正弦定理得sin sin a c A C =，∴sin sin 2a C c A ==∴ABC的面积为115πππsin 1221246ac B =⨯=+=故C 正确；对于D 选项，由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，即2793a a =+-，2320a a -+=，解得1a =或2a =，故D 错误．故选：BC ．三、填空题13．已知向量()1,3a =- ，(),0b x =，()2,1c = ，若()c a b ⊥+ ，则实数x 的值为______．【正确答案】12-##0.5-【分析】利用平面向量的坐标运算，结合向量垂直的坐标表示求解作答.【详解】因为向量()1,3a =- ，(),0b x = ，则()1,3a b x +=-，又()2,1c = ，且()c a b ⊥+ ，因此2(1)30x -+=，解得12x =-，所以实数x 的值为12-.故12-14．已知14AB BC = ，且BA mAC = ，则实数m =______．【正确答案】15-##-0.2【分析】利用平面向量的线性运算求解.【详解】解：∵()1144BA AB BC BA AC =-=-=-+，∴15BA AC m AC =-= ，∴15m =-．故15-15．如图所示，向量OA 与OB 的夹角为5π6，向量OP 与OB 的夹角为π6，2OA OP == ，4OB = ，若OP mOA nOB =+ ，（m ，n R ∈），则m n +=______．【正确答案】312+【分析】建立直角坐标系，利用共线向量坐标表达公式进行求解即可.【详解】以O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，垂直于OB 且向上的方向为y 轴建立平面直角坐标系，则()4,0B ．设()11,P x y ，()22,A x y ，于是1π2cos 36x ==，1π2sin 16y ==，且25π2cos36x ==-，25π2sin 16y ==．由OP mOA nOB =+得()()()3,13,14,0m n =-+，∴334,1,m n m ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩解得1,3,2m n =⎧⎪⎨=⎪⎩∴312m n +=+．故312+16．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π4A =，22222b a c =+，则sin C =______．25【分析】综合运用正、余弦定理求解即可．【详解】由22222b a c =+得2222c a b =-，而π4A =，由余弦定理可得222222cos 2a b c bc A b c bc =+-=+，即22222c b b c -=+-，整理可得b =，所以222222952828c c a b c c =-=-=，于是a c =由正弦定理可得sinsin a A c C ==πsin sin 45C =，．四、解答题17．已知向量()1,2a =r，()1,b t = （R t ∈）．(1)若()()a b a b +-，求t 的值；(2)若1t =，a与a mb + 的夹角为锐角，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1)2t =(2)()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据平面向量共线的坐标表示即可求t 值；（2）根据平面向量夹角的定义及其坐标表示即可求m 的取值范围．【详解】（1）由题可知(1,2)(1,)(2,2)a b t t +=+=+ ，(1,2)(1,)(0,2)a b t t -=-=-∵()()a b a b +- ，∴2(2)0t -=，∴2t =．（2）若1t =，则()1,1b = ，(1,2)a mb m m +=++ ，∵a与a mb + 的夹角为锐角，∴()0a a mb ⋅+> ，且a与a mb + 不共线，∴12(2)02(1)2m m m m+++>⎧⎨+≠+⎩，解得53m >-且0m ≠，∴m 的取值范围是()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭．18．已知1e ，2e 为单位向量，且1e ，2e 的夹角为120°，向量122a e e =+ ，21b e e =-．(1)求a b ⋅ ；(2)求a 与b的夹角．【正确答案】(1)32-(2)23π【分析】（1）利用平面向量的数量积的运算律求解；（2）先求得a b ，，再利用夹角公式cos a b a bθ⋅=⋅求解.【详解】（1）解：∵1e ，2e 为单位向量，且1e ，2e的夹角为120°，∴12111cos1202e e ⋅=⨯⨯︒=- ．∴()()1221122113222112122a b e e e e e e e e ⋅=+⋅-=⋅-+-⋅=--++=-．（2）设a 与b的夹角为θ．∵a===b ==== ∴31cos 22a b a bθ⋅==-=-⋅ ．又∵[]0,θπ∈，∴23πθ=，∴a 与b 的夹角为23π．19．已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin 2sin B B =．(1)求B ；(2)若a c >，且a c +=，证明：2a c =．【正确答案】(1)π3B =(2)证明见解析【分析】（1）由正弦二倍角公式进行求解即可；（2）根据余弦定理，结合已知进行运算证明即可.【详解】（1）因为sin 2sin B B =，即2sin cos sin B B B =，所以1cos 2B =．因为()0,πB ∈，所以π3B =；（2）由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=，所以222122a c b ac +-=，即222ac a c b =+-．①因为a c +=，所以b =将②代入①，得()2222123ac a c a ac c =+-++，整理得()()220a c a c --=．因为a c >，所以2a c =．20．已知ABC 的外心为点O ，且()CO CA CB λ=+ （R λ∈），P 为边AB 的中点．(1)求证：CP AB ⊥；(2)若514λ=，求ACB ∠的余弦值．【正确答案】(1)证明见及解析(2)25【分析】（1）连接OB ，OC ，OP ，CP ，由ABC 的外心为点O ，P 为边AB 的中点，得到OP AB ⊥，再由()CO CA CB λ=+ ，得到C ，O ，P 三点共线即可；（2）由（1）知CP AB ⊥，P 为边AB 的中点，得到CA CB =，结合OB OC =，得到2POB PCB ACB ∠=∠=∠．再由cos OP OP POB OB OC∠==，514λ=求解.【详解】（1）如图，连接OB ，OC ，OP ，CP ．∵ABC 的外心为点O ，P 为边AB 的中点，∴OP AB ⊥．∵2CA CB CP += ，∴()2CO CA CB CP λλ=+= ，∴C ，O ，P 三点共线，∴CP AB ⊥．（2）由（1）知CP AB ⊥．又P 为边AB 的中点，∴CA CB =，∴PCA PCB ∠=∠．∵OB OC =，∴PCB OBC ∠=∠，∴2POB PCB ACB ∠=∠=∠．∵cos OP OP POB OB OC∠==，514λ=，∴()5577CO CP CO OP ==+ ，∴2577CO OP = ，即25CO OP = ，∴25OP OC =，即2cos 5ACB ∠=．21．已知E 为ABC 内一点，F 为AC 边的中点．(1)若30EA EB EC ++= ，求证：52BE BF = ；(2)若230EA EB EC ++= ，EBC ，ABC 的面积分别为S '，S ，求证：6S S ='．【正确答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用平面向量的加减数乘运算的几何意义，结合三角形中几何性质，可得答案；（2）利用三角形线段的比例关系，结合三角形面积的等积变换，可得答案.【详解】（1）∵30EA EB EC ++= ，∴3EA EC EB +=- ．又F 为AC 边的中点，∴233EF EB BE =-= ．∵BE EF BF += ，∴32BE BE BF += ，∴52BE BF = ．（2）如图，设BC 边的中点为P ，连接EF ，EP ．∵230EA EB EC ++= ，∴()2EA EC EB EC +=-+ ，∴24EF EP =- ，即2EF EP =- ，∴F ，E ，P 三点共线．设点E ，F 到BC 的距离分别为1d ，2d ，则12:1:3d d =．设点A 到BC 的距离为3d ．∵F 是AC 的中点，∴23:1:2d d =，∴13:1:6d d =，∴13::1:6S S d d =='，即6S S ='．22．如图，已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，222sin sin sin sin sin sin 3A CB A BC +-=-⋅．(1)求B ；(2)若2223a c c b ++=，152BA BC ⋅=- ，点D 在边AC 上，且BD 在BC 和BA 上的投影向量的模相等，求线段BD 的长．【正确答案】(1)2π3B =(2)158【分析】（1）综合运用正、余弦定理即可求解；（2）由（1）及已知可求得5c =，7b =，又由BD 在BC 和BA 上的投影向量的模相等，知BD 为ABC ∠的平分线，由角平分线定理得358AD =，再在ABC 和ABD △中应用正弦定理求解即可．【详解】（1）∵222sin sin sin sin sin sin 3A B C A C B -+-=，∴由正弦定理可222sin a c b B =+-，由余弦定理可得222cos 2a c b B ac+-=，∴2cos s 3ac B ac inB =-即tan B =，∵()0,πB ∈，∴2π3B =．（2）由（1）知2π3ABC ∠=，∴2222cos ac ABC ac a c b ∠=-=+-又2223a c c b ++=，∴2222(3)ac a c a c c -=+-++，解得3a =．∵152BA BC ⋅=- ，∴15cos 22ac ac ABC ∠=-=-，可得5c =，由2223a c c b ++=可得292515b ++=212559b ++=，解得7b =．∵BD 在BC 和BA 上的投影向量的模相等，∴BD 为ABC ∠的平分线，由角平分线的性质知AD c b AD a =-，即573AD AD =-，解得358AD =，在ABC中，由正弦定理可得sin sin a b A ABC ==∠，∴sin A =在ABD △中，π3ABD ∠=，由正弦定理可得sin sin BD AD A ABD =∠358142=158BD =．。
高一数学下考试卷
高一数学下考试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪一个是周期函数？A. y = sin(x)B. y = ln(x)C. y = x^2D. y = e^x2. 已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x - 7，求f'(x)的值。
A. 6x^2 - 6x + 5B. 6x^2 - 6x + 6C. 6x^2 - 6x + 4D. 6x^2 - 6x + 33. 以下哪个选项是方程x^2 + 4x + 4 = 0的解？A. x = -2B. x = 2C. x = 1D. 无实数解4. 函数y = √x + 1在点x = 1处的切线斜率是多少？A. 1/2B. 1C. 2D. 35. 以下哪个选项是不等式x^2 - 5x + 6 ≤ 0的解集？A. x ≤ 2 或x ≥ 3B. x ≤ 1 或x ≥ 6C. 1 ≤ x ≤ 6D. 2 ≤ x ≤ 36. 已知点A(2, 3)和点B(-1, 4)，线段AB的中点坐标是？A. (1/2, 7/2)B. (1, 3.5)C. (0, 3.5)D. (1, 7/2)7. 函数f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 2在区间[0, 2]上的值域是什么？A. [-2, 0]B. [-2, 2]C. [-4, 0]D. [-4, 2]8. 抛物线y^2 = 4x的焦点坐标是？A. (1, 0)B. (0, 1)C. (1, 1)D. (2, 0)9. 已知椭圆方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a > b > 0，当a = 3，b = 2时，椭圆的离心率是多少？A. 1/2B. 1/3C. 1/√5D. 1/√610. 已知双曲线方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中 a > 0，b > 0，当a = 2，b = 1时，双曲线的一个渐近线方程是什么？A. y = √2xB. y = √2/2xC. y = 2xD. y = x/√2二、填空题（每题2分，共20分）11. 函数y = |x|的图像关于_____轴对称。
高一下册数学试题及答案
高一下册数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x)=x^2-6x+8，其顶点坐标为（）。
A. (3, -1)B. (3, 1)C. (-3, 1)D. (-3, -1)2. 已知数列{an}是等比数列，且a1=2，a4=16，则公比q为（）。
A. 2B. 4C. 1/2D. -23. 函数y=sin(x)的周期为（）。
A. 2πB. πC. π/2D. 1/2π4. 若直线l：y=2x+b与圆x^2+y^2=4相切，则b的值为（）。
A. 0B. 2C. -2D. ±2√25. 已知向量a=(3, -2)，b=(1, 2)，则向量a与向量b的夹角θ满足（）。
A. cosθ=1/5B. cosθ=-1/5C. cosθ=5/13D. cosθ=-5/136. 函数f(x)=x^3-3x在区间(-∞, +∞)上是（）。
A. 增函数B. 减函数C. 先减后增D. 先增后减7. 已知双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0, b>0)的一条渐近线方程为y=√2x，则双曲线的离心率为（）。
A. √3B. √2C. 2D. 38. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，若f(x)>0，则x的取值范围为（）。
A. (-∞, 1)∪(3, +∞)B. (-∞, 1)∪(3, 7)C. (1, 3)D. (-∞, 1)∪(7, +∞)9. 已知抛物线y^2=4x的焦点为F，点P(1, 2)在抛物线上，则|PF|的值为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 410. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，若f(x)=0，则x的值为（）。
A. 1或3B. -1或3C. 1或-3D. -1或-3二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知等差数列{an}的前三项为1，2，3，则该数列的通项公式为an=________。
12. 函数f(x)=x^3-3x的导数为f'(x)=________。
高一数学下学期阶段性考试试题一 试题
宁阳一中2021级高一下学期阶段性考试一数 学 试 题一、选择题〔本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕1．假设直线340x y b +-=与圆()()22111x y -+-=相切，那么b 的值是〔 〕 A ．2-或者12B ．2或者12-C ．2或者12D ．2-或者12-2．点A (3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标是〔 〕 A ．(－3,4，－10) B ．(－3,2，－4) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，12D ．(6，－5,11)3．过点P (－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与直线l 平行，那么直线l 与m 间的间隔 为〔 〕 A ．4B ．2C ．85D ．1254．假设点P 坐标为0(cos 2114,sin 2114),那么点P 在( )5．直线l ：ax －y ＋b ＝0，圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋2by ＝0，那么l 与M 在同一坐标系中的图形可能是〔 〕6．假设 , ,sin cos θθ-=++=-m 342mm 5m 5那么m 的值是( ) A. 0B. 8C. 0或者8D. 39m <<7．α是三角形的一个内角,且2,3sin cos αα+=那么这个三角形的形状为( )8．sin cos αα-=那么tan α= ( )A. 1-B.D. 1 9．假设x 、y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，那么x 2＋y 2的最小值是〔 〕 A ．5－5B ．5－ 5C ．30－10 5D ．无法确定10．过圆x 2＋y 2－4x ＝0外一点(m ，n )作圆的两条切线，当这两条切线互相垂直时，m 、n 满足的关系式是〔 〕 A ．(m －2)2＋n 2＝4 B ．(m ＋2)2＋n 2＝4 C ．(m －2)2＋n 2＝8D ．(m ＋2)2＋n 2＝811．假设圆x 2＋y 2＝4和圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，那么直线l 的方程为〔 〕 A ．x ＋y ＝0 B ．x ＋y －2＝0 C ．x －y －2＝0D ．x －y ＋2＝012．直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且只有一个公一共点，那么b 的取值范围是〔 〕 A ．|b |＝ 2 B ．－1<b <1或者b ＝－ 2 C ．－1<b ≤1D ．－1<b ≤1或者b ＝－ 2二、填空题〔本大题一一共4个小题，每一小题5分，一共20分，把正确答案填在题中横线上〕13．角α的终边过点,3)P t （，且4cos 5α，那么t 的值是 14．假如一扇形的弧长变为原来的32倍,半径变为原来的一半,那么该扇形的面积为原扇形面积的________.15．在平面直角坐标系xoy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称，假设角α的终边与单位圆交于点3p(,)5m ，那么sin β16．圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，那么圆O 的方程是________．三、解答题〔本大题一一共6个大题，一共70分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕17．〔1002012sin 20cos 20sin1601sin 20；〔2〕=2tan α，求sin()sin()23cos()cos()2ππααπαπα的值18．扇形AOB 的周长为8cm〔1〕假设这个扇形的面积为23cm ，求圆心角的大小； 〔2〕求这个扇形的面积获得最大值时圆心角的大小和弦长AB .19．4sin 5α，且α是第二象限角 〔1〕求tan α的值； 〔2〕求cos(2)sin()5cos sin()cos()22παπααππαα的值20．动直线l ：(m ＋3)x －(m ＋2)y ＋m ＝0与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝9． 〔1〕求证：无论m 为何值，直线l 与圆C 总相交．〔2〕m 为何值时，直线l 被圆C 所截得的弦长最小？恳求出该最小值．21．关于x 的方程：250xx m 的两根为sin ,cos θθ〔1〕求22sin 1sin cos θθθ的值；〔2〕求m 的值；〔3〕假设θ为ABC ∆的一个内角，求tan θ的值，并判断ABC ∆的形状.22．圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0．〔1〕假设圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程．〔2〕从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使得|PM |获得最小值的点P 的坐标．宁阳一中2021级高一下学期阶段性考试一数学试题答案1．【答案】C 【解析】∵圆的HY 方程为22111x y -+-=（）（），∴圆心坐标为1,1（），半径为1， ∵直线340x y b +-=与圆()()22111x y -+-=相切，∴圆心1,1（）到直线340x y b +-=的间隔1，解得：2b =或者12b =．应选C ．2．【答案】A 设点A 关于点(0,1，－3)的对称点为A ′(x ，y ，z )，那么(0,1，－3)为线段AA ′的中点，即x ＋32＝0，y －22＝1，4＋z 2＝－3，∴x ＝－3，y ＝4，z ＝－10．∴A ′(－3,4，－10)．3．【答案】A 【解析】根据题意，知点P 在圆上，∴切线l 的斜率k ＝－1k OP ＝－11－42＋2＝43． ∴直线l 的方程为y －4＝43(x ＋2)．即4x －3y ＋20＝0．又直线m 与l 平行，∴直线m 的方程为4x －3y ＝0．故直线l 与m 间的间隔 为d ＝|0－20|42＋32＝4．应选A ．4．【答案】D 解析：因为角的终边在第四象限,所以点P 在第四象限,应选D.5．【答案】B 【解析】直线的斜率a 与在y 轴上的截距b 的符号，可断定圆心位置，又圆过原点．6．【答案】C 解析：由221sin cos θθ+=得22-+=1+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭m 342m m 5m 5解得0m =或者8.7．【答案】B解析：又∴α为钝角8．【答案】A 解析：将等式2sin cos αα-=两边平方,得到21sin cos αα=-,整理得120sin cos αα+=,即2220sin cos sin cos αααα++=,所以()20,sin cos αα+=所以0,sin cos αα+=由2sin cos αα-=和0,sin cos αα+=解得22,,22sin cos αα==- 故sin 1cos tan ααα==- 9．【答案】C 【解析】配方得(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，圆心坐标为(1，－2)，半径r ＝5，所以x 2＋y 2的最小值为半径减去原点到圆心的间隔 ，5－5，故可求x 2＋y 2的最小值为30－105．应选C ．10．【答案】C 【解析】由勾股定理，得(m －2)2＋n 2＝8．应选C ．11．【答案】D 【解析】l 为两圆圆心连线的垂直平分线，(0,0)与(－2,2)的中点为(－1,1)，k l ＝1，∴y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0．应选D ．12．【答案】D 【解析】如图，由数形结合知，应选D ． 13．【答案】414．【答案】34 解析：由于12S lR =,假设1,,322l l R R ''==那么111.2233242S l R l R S '''==⨯⨯=15．【答案】3516．【答案】(x ＋2)2＋y 2＝2【解析】设圆心坐标为(a,0)(a <0)，那么由圆心到直线的间隔 为2知|a |2＝2，故a ＝－2，因此圆O 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝2．17．解：〔1002012sin 20cos 20sin1601sin 200200020002000000sin 202sin 20cos =sin 20cos 2020sin 20)=cos 20cos 20sin 20sin 20cos 201〔2〕sin()sin()23cos()cos()2ππααπαπαsin cos =sin cos 1121213tan tan αααααα 18． 解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α〔1〕由题意知：28132r l lr 解得：32rl 或者16r l所以2=3l r α或者=6α 〔2〕因为28r l所以2211(82)4(2)422S lr r rr rr所以当2r时，面积max4S ，此时4l 所以2l r α所以弦长=22sin14sin1AB19．解：〔1〕因为4sin 5α，且α是第二象限角 所以23cos 1sin 5αα所以4sin 45=3cos 35tan ααα〔2〕cos(2)sin()5cos sin()cos()22παπααππααcos sin =5cos cos sin 3435553455573=4ααααα（） 20．【解析】〔1〕证明：直线l 变形为m (x －y ＋1)＋(3x －2y )＝0．令⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，3x －2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.如下图，故动直线l 恒过定点A (2,3)． 而|AC |＝()()222334-+-＝2<3(半径)．∴点A 在圆内，故无论m 取何值，直线l 与圆C 总相交．〔2〕解：由平面几何知识知，弦心距越大，弦长越小，即当AC 垂直直线l 时，弦长最小，此时k l ·k AC ＝－1，即m ＋3m ＋2·4－33－2＝－1，∴m ＝－52．最小值为2()2232-＝27．故m 为－52时，直线l 被圆C 所截得的弦长最小，最小值为27． 21． 解：〔1〕因为关于x 的方程：250x x m 的两根为sin ,cos θθ所以1sin cos =sin cos =55mθθθθ， 所以2222222sin 12sin sin cos )sin cos =sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθ（(sin cos )(sin cos )sin cos sin cos 15θθθθθθθθ〔2〕因为1sin cos =5θθ 所以221sin cos =1+2sin cos =1+525m θθθθ（），所以125m 〔3〕因为112sin cos =sin cos =525θθθθ，，θ为ABC ∆的一个内角 所以34sin =cos =55θθ，，所以sin 3cos 4tan θθθ，所以θ为钝角 所以ABC ∆为钝角三角形22． 【解析】〔1〕将圆C 整理得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2． ①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线方程为y ＝kx ，∴圆心到切线的间隔 为|－k －2|k 2＋1＝2，即k 2－4k －2＝0，解得k ＝2±6． ∴y ＝(2±6)x ；②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线方程为x ＋y －a ＝0，∴圆心到切线的间隔 为|－1＋2－a |2＝2，即|a －1|＝2，解得a ＝3或者－1．∴x ＋y ＋1＝0或者x ＋y －3＝0．综上所述，所求切线方程为y ＝(2±6)x 或者x ＋y ＋1＝0或者x ＋y －3＝0． 〔2〕∵|PO |＝|PM |，∴x 21＋y 21＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2，即2x 1－4y 1＋3＝0， 即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上．当|PM |取最小值时，即|OP |获得最小值，此时直线OP ⊥l ， ∴直线OP 的方程为：2x ＋y ＝0，解得方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，2x －4y ＋3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－310，y ＝35，∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
高一数学下学期阶段测试试题含解析 试题
2021-2021学年第二学期阶段测试卷高一数学一、选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一个选项正确.1.六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧面是矩形，侧棱长为4，那么其全面积等于〔 〕A. 12+B. 48+C. 64+D.72+【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，求解正六棱柱的外表积，分别求解侧面积和上下底面面积即可。
【详解】底面为正六边形，侧面是矩形，所以为正六棱柱，侧面面积为42648⨯⨯=，上下底面面积为2226⨯=48+B 。
【点睛】此题属于根底题，考察棱柱的外表积公式。
2.(1,2)a =，(2,3)b =-且()()a kb a b +⊥-，那么k 等于〔 〕 A. -1 B.13C.19D. 9【答案】C 【解析】 【分析】利用向量加法、减法的坐标表示得出a kb +，a b -的坐标，根据向量垂直，内积为0，计算即可。
【详解】()12,23a kb k k +=-+，()3,1a b -=-，由()()a kb a b+⊥-，那么()()0a kb a b +-=，所以()()12,233,10k k -+⨯-=，由此()312)(230k k --+=，解得1k 9=。
应选C 【点睛】此题考察了向量坐标的根本运算和向量垂直的坐标关系，属于根底题。
3.三条不同的直线,,a b c ，且a b ⊥，c b ⊥，那么a 与c 的位置关系是〔 〕 A. //a c B. a 与c 相交于一点 C. a 与c 异面 D. 前三个答案都有可能【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与直线一共面或者异面判断位置关系即可。
【详解】当直线,a c 一共面时，直线,a c 可以平行或者相交，直线,a c 异面时也可满足题目的条件，应选D.【点睛】此题考察直线与直线的位置关系，属于根底题。
4.如图，正方体1111ABCD-A B C D 的棱长均为2，那么异面直线1A B 与1B C 所成角的余弦值是〔 〕3 B.12C.14D. 0【答案】B【解析】 【分析】根据正方体的线面关系，将1B C 平移至1A D ，找到异面直线所成角，求解即可。
高一数学下学期阶段性考试试题
卜人入州八九几市潮王学校绥棱县二零二零—二零二壹高一数学下学期阶段性考试试题一、选择题:〔本大题一一共12小题,每一小题5分,一共60分.〕 1．a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是()A ．a >b >－b >－aB ．a >－b >－a >bC ．a >－b >b >－aD ．a >b >－a >－b2．数列，，，，…的第10项是()A.B.C.D. 3．等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，那么a 12的值是()A ．15B ．30C ．31D ．64 4．m 和2n 的等差中项是4,2m 和n 的等差中项是5，那么m 和n 的等差中项是()A ．2B ．3C ．6D ．95．在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,假设数列{}1n a +也是等比数列,那么n S 等于A.122n +- B.3n C.2n D.31n -ABC ∆中，0045,75AB A C ===，那么BC 等于〔〕A.3 C.2D.37．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，那么＝()A ．11B ．5C ．－8D ．－8．在△ABC 中，假设2cos b c A =，那么这个三角形一定是〔〕A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 9．函数y ＝的定义域是()A ．{x |x <－4或者x >3}B ．{x |－4<x <3}C ．{x |x ≤－4或者x ≥3}D ．{x |－4≤x ≤3}10．不等式组表示的平面区域是()(,)P x y 在不等式2010220x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域上运动，那么x y -的取值范围是()A 、[2,1]--B 、[2,1]-C 、[1,2]-D 、[1,2] 12．假设满足60=∠ABC ，12=AC ，k BC =的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是〔〕A ．38=kB ．120≤<kC ．12≥kD ．120≤<k 或者38=k二、填空题：〔本大题一一共4小题，每一小题5分,一共20分．〕 13．假设数列的通项公式是a n ＝3－2n，那么a 2n ＝________；14．等比数列的公比为2，前4项之和等于10，那么前8项之和等于________． 15.x ，y ∈R ＋，且满足＋＝1，那么xy 的最大值为________．16．在ABC △中，假设A A B C 2sin )sin(sin =-+，那么ABC △的形状是.三、解答题.：〔本大题一一共6小题，一共70分〕17．(10分)在等比数列{a n }中，a 3＝－12，前3项和S 3＝－9，求公比q . 18．(12分)设x ＞－1，求函数y ＝x ＋＋6的最小值； 19.(12分)在△ABC 中，c b a ,,分别为角A 、B 、C 的对边，58222bcb c a-=-，a =3,△ABC 的面积为6。
人教版_高一数学下期六月份阶段性测试题
t（时） 0
3
6
9
12 15
18 21 24
y（米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.1
经长期观察，y=f（t）的曲线可近似地看成函数 y A sin t b 的图象. （1）试根据以上数据，求出函数 y A sin t b 的最小正周期、振幅和表达式； （2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底距离为 5 米或 5 米以上时认为是安全的（船舶停靠 时，船底只需不碰海底即可）.某船吃水深度（船底离水面的距离）为 6.5 米.如果该船希望在同一 天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）?
3)．
22
（Ⅰ）证明：
a
b；
（Ⅱ）是否存在不同时为零的实数 k
和t
，使
x
a
(t
3)b
，
y
ka
tb
，且 x
y
．若
存在，试求 k 关于 t 的函数关系式 k f (t ) ，并求 K 的取值范围；若不存在，请说明理由．
19、(本题满分 10 分) 已知 A 、B 、C 三点的坐标分别为 A(3,0) 、B (0,3) 、C (cos , sin ) ，
A．0
B．1
C．3
D．－3
12．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联.连线标注的数
字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点 A 向结点 B 传递信息，信息
可以分开沿不同的路线同时传递.则单位时间内从结点 A 向结点 B 传递的最大信息量为
（A）26
（B）24
（C）20
2 在函数 y sin 2 x, y sin x, y cos x, y tan x 中，最小正周期为 的函数是 2
江苏省高一下学期阶段检测(一)数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，则（ ） {|ln(2)}A x y x ==-2{|430}B x x x =-+≤A B ⋃=A ． B ． C ． D ． [13]，(2]3，[1)+∞，(2)+∞，【答案】C【分析】根据对数式有意义及一元二次不等式的解法，结合并集的定义即可求解. 【详解】要使函数有意义，则，解得， ln(2)y x =-20x ->2x >所以，ln {|()}{|2}2A x y x x x ==-=>由，得，解得， 2430x x -+≤()()310x x --≤13x ≤≤所以， 2{|430}{|13}B x x x x x =-+≤=≤≤所以. {|1{|23}{|1}}A B x x x x x x ⋃=≤≤=≥>⋃故选：C.2．设，， ） 1cos662a =︒︒22tan131tan 13b ︒=+︒c A ． B ． C ． D ．a b c >>a b c <<a c b <<b<c<a 【答案】C【分析】利用辅助角公式化简，利用倍角公式化简，利用正弦函数的单调性比较大小. a ,b c【详解】， ()1cos 66sin 306sin 242a ===︒-︒︒︒︒， 2222tan132sin13cos13sin 261tan 13cos 13sin 13b ︒︒︒︒︒==︒︒=++. sin 25c ==︒因为函数在上是增函数，所以.sin y x =π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭a cb <<故选：C.3．已知向量的夹角为，且，则在上的投影向量为（ ）,a b45︒1||4,(23)122a a b a b ⎛⎫=+⋅-= ⎪⎝⎭b aA ．B ．CD ．14a 2b 【答案】A【分析】化简在上的投影向量. 1(23)122a b a b ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭b a cos45a b a︒⋅【详解】由题意得，222211312cos 31222a ab b a a b b θ+⋅-=⇒+-=.21164cos453122b b ⇒+⨯︒-=从而，b 在a 方向上的投影为.1cos454a b a a ︒⋅=故选：A.4．已知，，则的值为（ ）0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 2cos 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭cos 2αA ．0B ．C D ．12【答案】A【分析】将已知条件化简后两边平方，由此求得的值，进而求得的值.sin 2αcos 2α【详解】由于，所以，所以0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()20,πα∈sin 20α>由，sin 2cos 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin cos ααα=+两边平方得，22sin 21sin 2αα=+即，解得（负根舍去）， 22sin 2sin 210αα--=sin 21α=由于，所以. 22sin 2cos 21αα+=cos 20α=故选：A.5．如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形ABCD ，则＝（ ）AE BF ⋅A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【分析】根据平面向量的线性运算和数量积运算计算即可.【详解】解：由题意可知，()()AE BF AD DE BC CF ⋅=++ AD BC AD CF DE BC DE CF =⋅+⋅+⋅+⋅， 2AD CF DE BC =+⋅+⋅ 2CB CF DE DA =-⋅-⋅ 2114⎛⎛=⨯-= ⎝⎝故选：B ．6．已知函数的定义域为，值域为，则的最小()1sin sin 34f x x x π⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭[](),m n m n <11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦n m -值是（ ）A ．B ．C ．D ．6π4π3π23π【答案】C【分析】化简可得，画出函数图象，数形结合即可求出.()1sin 226f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【详解】()1sin sin 34f x x x π⎛⎫=⋅+-⎪⎝⎭ 11sin sin 24x x x ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭211sin cos 24x x x=- 11cos 212224x x -=⋅-， 112cos 2sin 2426x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭值域为，画出函数图象，11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦考虑一个周期内的情况，则可得或满足题意，25766m n πππ⎧=⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩52676m n πππ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，即的最小值是. 233n m ππ≤-≤n m -3π故选：C.7．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆D 均是,,ABE BEC ECD A A A 边长为4的等边三角形．设点P 为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，的最大值AB BP ⋅为（ ）A ．B ．12C ．D ．36【答案】A【分析】建立直角坐标系，将数量积最大值问题转化为线性规划问题求解.【详解】去除不必要的线条和图案，以E 为原点，直线AD 为x 轴建立直角坐标系如下图：则有 ，设 ， ，()(()4,0,2,,4,0A B D --(),P x y ((2,,2,AB BP x y ==+-，其中在圆D 上，()2228AB BP x y x =++-=+-A (),P x y 令 ，则原问题转化为线性规划问题，求目标函数z 的最大值， 28z x =+-显然当圆D 与直线 在x 轴上方相切时z 最大，280x z +--=； z =故选：A.8．若，函数的值域为，则的取值范围是0ω>π()3sin 4cos 03f x x x x ωω⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭[4,5]cos 3πω⎛⎫⎪⎝⎭（ ） A ．B ．C ．D ．71,25⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7,125⎡⎤-⎢⎥⎣⎦73,255⎡⎤⎢⎥⎣⎦74,255⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】利辅助角公式可得（其中），再利用换元()()5sin f x x ωϕ=+43πsin ,cos ,0552ϕϕϕ==<<法令，从而得到的取值范围.t x ωϕ=+πcos 3ω⎛⎫⎪⎝⎭【详解】因为（其中）．()()5sin f x x ωϕ=+43πsin ,cos ,0552ϕϕϕ==<<令，因为，所以．(),5sin t x g t t ωϕ=+=π0,03x ω>≤≤π3t ϕωϕ≤≤+因为，且，所以， ()4g ϕ=π02ϕ<<()ππ4,52g g ϕ⎛⎫-== ⎪⎝⎭故，即． πππ23ωϕϕ≤+≤-πππ223ϕωϕ-≤≤-当时，单调递减， π0π2π2x ϕϕ<-≤≤-<cos y x =因为，()22π41697cos sin ,cos π2cos2sin cos 25252525ϕϕϕϕϕϕ⎛⎫-==-=-=-=-= ⎪⎝⎭所以．π74cos ,3255ω⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故选：D ．二、多选题9．已知非零向量，则下列命题正确的是（ ）,a bA ．若，则||||a b a b +=- a b ⊥B ．若，则a b a c ⋅=⋅b c = C ．向量在向量上的投影向量为b a2()||a b a a ⋅D ．向量共线的充分必要条件是存在唯一的实数，使,a b λa b λ=【答案】ACD【分析】根据数量积的定义及运算律判断A 、B ，根据投影向量的定义判断C ，根据向量共线的充要条件判断D.【详解】解：因为、为非零向量， a b对于A ：若，则，即，||||a b a b +=-()()22a ba b +=- 222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ 所以，所以，故A 正确；40a b ⋅=a b ⊥ 对于B ：若，则，即，故B 错a b a c ⋅=⋅ cos ,cos ,a b a b a c a c ⋅=⋅ cos ,cos ,b a b c a c = 误；对于C ：向量在向量上的投影向量为，故C 正确；b a2()||a b a a ⋅ 对于D ：因为、为非零向量，所以向量、共线的充分必要条件是存在唯一的实数，使a b a bλ，故D 正确；a b λ=故选：ACD10．已知函数，则（ ）()22sin sin 21f x x x =-++A ．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到()f x 2y x =8πB ．在上单调递增()f x 0,8π⎛⎫⎪⎝⎭C ．在内有2个零点 ()f x []0,πD ．在()f x ,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】BC【分析】A.根据函数的平移判断；B.求出函数的单调增区间来判断；C.求出函数的零点来判断；D.求出函数的最大值来判断；【详解】由题得，()22sin sin21cos2sin224f x x x x x x π⎛⎫=-++=+=+ ⎪⎝⎭由的图象向右平移个单位长度，得到的图象，所y x =8π284y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭以选项A 错误； 令，222,242k x k k πππππ-++∈Z ……得其增区间为， 3,,88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 所以在上单调递增，所以选项B 正确；()f x 0,8π⎛⎫⎪⎝⎭令得，()0f x =2,4x k k ππ+=∈Z 得，又． ,28k x k ππ=-∈Z []0,x π∈所以可取，即有2个零点，所以选项正确； x 37,88ππC由得， ,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π32,,sin 24444x x ππππ⎡⎡⎤⎛⎫+∈-+∈-⎢ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣所以，所以选项D 错误． ()f x ⎡⎤∈⎣⎦故选：BC ．11．对任意的锐角，下列不等关系恒成立的是（ ） αβ､A ． B ． ()sin cos cos αβαβ+<+()cos sin sin αβαβ+<+C ． D ．()sin cos cos αβαβ-<+()cos sin sin αβαβ-<+【答案】AC【分析】对于A ，C 选项，利用三角恒等变换的公式化简即可得到恒成立的不等式，对于B ，D 选项，利用特殊值排除即可.【详解】对于A ，若，则， ()sin cos cos αβαβ+<+sin cos cos sin cos cos αβαβαβ+<+整理可得：，(sin 1)cos (1sin )cos βααβ-<-对任意的锐角，恒成立，故A 正确； αβ､(sin 1)cos 0(1sin )cos βααβ-<<-对于B ，，()cos sin sin αβαβ+<+当，，，，故B 不正确； 0.0001αβ︒==()cos 1αβ+≈sin sin 0αβ+≈10∴>对于C ，若，则， ()sin cos cos αβαβ-<+sin cos cos sin cos cos αβαβαβ-<+整理可得：，(sin 1)cos (1sin )cos αββα-<+对任意的锐角，恒成立，故C 正确； αβ､(sin 1)cos 0(1sin )cos αββα-<<+对于D ，，()cos sin sin αβαβ-<+当，，，，故D 不正确. 30αβ︒==()cos 1αβ-=11sin sin 122αβ+=+=11∴=故选：AC12．已知的重心为G ，点E 是边上的动点，则下列说法正确的是（ ）ABC A BC A ．A BG CG G +=B ．若，则的面积是面积的2133AE AB AC =+ EAC A ABC A 23C ．若，，则2AB AC ==3BC =76AB AG ⋅=D ．若，，则当2AB AC ==3BC =EA EB ⋅ 【答案】BCD【分析】根据三角形重心的向量性质判断A ，由向量的线性运算求得与的关系，判断B ，由EC BC 数量积的定义计算判断C ，设，计算数量积后求最小值，从而可计算出判断D ．BE x =AE 【详解】因为的重心为G ，所以，所以，A 错；ABC A 0GA GB GC ++=AG BG CG +=- 2133AE AB AC =+ 32AE AB AC ⇒=+ 2()2AE AB AC AE BE EC ⇒-=-⇒= 23EC BC⇒=，B 正确； 23EAC BAC S S ⇒=!!，， 是等腰三角形，， 2AB AC ==3BC =ABC A 332sin 24BAG ∠==是锐角， BAG ∠cos BAG ∠==AG ==，C 正确；7cos 26AB AG AB AG BAG ⋅=∠== 设，，(03)BE x x =≤≤3cos 4B =2223()cos()2()4EA EB AE BE AB BE BE AB BE BE AB BE B x x x π⋅=⋅=+⋅=⋅+=-+=⋅-+ ， 22339()2416x x x =-=--所以时，取得最小值， 34x =EA EB ⋅ 916-此时 D 正确．BE ==故选：BCD ．三、填空题13．已知定义域为的函数同时满足以下三个条件： R ()f x ①函数的图象不过原点；②对任意，都有； x R ∈()()=f x f x -③对任意，都有.x R ∈()()f x f x π+=请写出一个符合上述条件的函数表达式为______（答案不唯一，写出一个即可）． ()f x =【答案】()cos 21f x x =+【分析】由②可知函数为偶函数，由③可知函数的周期为，结合不过原点，即()f x ()f x π()f x 可写出函数的一个解析式．()f x 【详解】由题意，根据②可知函数为偶函数，由③可知函数的周期为， ()f x ()f x π再由函数不过原点，则满足的函数如()f x ()cos21f x x =+【点睛】本题考查了三角函数的奇偶性与周期性的综合应用，开放性问题的解决方案，属于基础题．14．已知向量，则“”是“向量夹角为钝角”的____________条件．（从(1,0),(,1)a b x x =-=-0x >,a b充要，充分不必要，必要不充分，既不充分也不必要中选择） 【答案】必要不充分【分析】首先求解两向量为钝角时，的取值范围，再根据集合的包含关系，判断充分，必要条件. x 【详解】若向量夹角为钝角，则，得，,a b 0a b x ⋅=-<0x >若两向量平行，有，得， ()()110x -⋅-=1x =所以向量夹角为钝角，得且，,a b0x >1x ≠且 ，{0x x >}1x ≠{}0x x >所以“”是“向量夹角为钝角”的必要不充分条件.0x >,a b故答案为：必要不充分条件15．设，利用三角变换，估计在时的取值{}()sin cos ,2,x xf x n n k k ααα+=+∈=∈N ()f α2,4,6x =情况，猜想对x 取一般值时的取值范围是____________． ()f α【答案】11,12k -⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】分别计算 的取值范围，()()()224466sin cos ,sin cos ,sin cos f f f ααααααααα=+=+=+数学归纳，猜想对任意x 时 的取值范围.()f α【详解】当 时， ；2x =()22sin cos 1f =+=ααα当 时，4x =()()44222221sin cos sin cos 2sin cos 1sin 22f αααααααα=+=+-=- ， ； 31cos 444α=+()1,12f α⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦当 时，6x =()()()66224224sin cos sin cos sin sin cos cos f ααααααααα=+=+-+ ，23531sin 2cos 4488αα=-=- ；()1,14f α⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦由以上规律可以猜想：当 时， 的取值范围是 ；()*2N x k k =∈()f α11,12k -⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：.11,12k -⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小，现已证明：在中，若三个内角ABC A 均小于，则当点P 满足时，点P 到三角形三个顶点的距离之和120︒120APB APC BPC Ð=Ð=Ð=°最小，点P 被人们称为费马点．根据以上知识，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两ab c 个互相垂直的向量，且，则的最小值是_____________．||2,||3b c == ||||||-+++-a b a b a c【答案】3+【分析】读懂题意，建立直角坐标系，将向量求模问题转化为费马点问题.【详解】以 为x 轴， 为y 轴，建立直角坐标系如下图，设 ，bc (),a x y =则 ， ，()()2,0,0,3b c == a - 即为平面内一点 到 三点的距离之和， a c a b a b ∴-+-++(),x y ()()()0,3,2,0,2,0-由费马点知：当点 与三顶点 构成的三角形ABC 为费马点时(),P x y ()()()0,3,2,0,2,0A B C -最小，a c ab a b -+-++将三角形ABC 放在坐标系中如下图：现在先证明 的三个内角均小于 ：ABC A 120︒， ， =22211cos 0213AB AC BC BAC AB AC +-∠==>A，222cos cos 02AB BC AC ABC ACB AB BC +-∠=∠==>A 为锐角三角形，满足产生费马点的条件，又因为 是等腰三角形，ABC ∴A ABC A 点P 必定在底边BC 的对称轴上，即y 轴上， ，120,30BPC PCB ︒︒∠=∴∠=，即 ， tan 2PO OC PCB =∠==A ⎛ ⎝P 现在验证： 120BPA ︒∠=， = ， ，同理可证得 ， 2221cos 22BP AP AB BPA BP AP +-∠==-A 120BPA ︒∴∠=120CPA ︒∠=即此时点 是费马点，到三个顶点A ，B ，C 的距离之和为⎛ ⎝P，即的最小值为； 233BP CP AP ++==+a c a b a b -+-++ 3+故答案为：3+四、解答题17．已知向量． (3,1),(1,2),()a b m a kb k =-=-=+∈R (1)若向量与垂直，求实数k 的值；m 2a b - (2)若向量，且与向量平行，求实数k 的值．(1,1)c =- m kb c + 【答案】(1) 53k =(2) 13k =-【分析】（1）利用向量的线性运算与向量垂直的坐标表示即可得解；（2）利用向量的线性运算与向量平行的坐标表示即可得解；【详解】（1）因为，(3,1),(1,2)a b =-=- 所以，(3,12),2(7,4)m a kb k k a b =+=-+--=- 又与垂直，m 2a b - 所以，即，解得， (2)(3)(7)(12)40m a b k k ⋅-=-+⋅-+-⋅= 25150k -=53k =所以. 53k =（2）因为，，(1,1)c =- (3,1),(1,2)a b =-=- 因为，(1,21),(3,12)kb c k k m k k +=+--=-+- 又与向量平行，m kb c + 所以，即，解得， (3)(21)(1)(12)0k k k k -+⋅---+⋅-=620k +=13k =-所以. 13k =-18．设函数 2π()cos cos 6f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)求的最小正周期和单调递增区间；()f x (2)当时，求函数的最大值和最小值并求出对应的x ． 2ππ,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】(1)， πT =π5π,,Z 1212k k k ⎡⎤-+π+π∈⎢⎥⎣⎦(2)最大值为，此时，最小值为，此时 ()f x 125π12x =14-π12x = 【分析】（1）首先化简函数，再利用三角函数的性质公式，即可求周期和单调()1πsin 223f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭性；（2）根据求的范围，再求函数的最值. 2ππ,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π23x -【详解】（1）2()cos cos 6f x x x x π⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭)21cos sin 1cos 2x x x x ⎫=++-⎪⎪⎭21sin cos 2x x x =+1sin 224x x =， 1πsin 223x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以的最小正周期是， ()f x 2ππ2T ==由，解得， πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤-≤+∈π5πππ,Z 1212k x k k -+≤≤+∈所以函数的单调递增区间为． 5,,Z 1212k k k ππ⎡⎤-+π+π∈⎢⎥⎣⎦（2）当时，， 2ππ,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦22,363x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦πππ此时，可得， π1sin 2,132x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11(),42f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦综上，最大值为，此时，得 ()f x 12ππ232x -=5π12x =最小值为，此时此时，得． 14-ππ236x -=-π12x =19．平面内给定三个向量，且． ()()()2,2,1,4,,3a b n c k ==+= ()()2a c b a +- ∥(1)求实数k 关于n 的表达式；(2)如图，在中，G 为中线OM 上一点，且，过点G 的直线与边OA ，OB 分别交OAB A 2OG GM = 于点P ，Q （不与重合）.设向量，求的最小值．,P Q O ()3,OP k OA OQ mOB =+= 2m n +【答案】(1)23k n =-(2)43【分析】（1）由向量平行的坐标运算求解即可； （2）由向量的运算得出，再由三点共线，得出，再由基本1613OG OP Q n O m=+ ,,P G Q 11163n m +=不等式求最值.【详解】（1）因为， 2(22,8),(1,2)a c k b a n +=+-=- ()()2a c b a +- ∥所以，即.2(22)8(1)k n +=-23k n =-（2）由（1）可知，，，由题意可知2OP nOA = OQ mOB = ,0n m >因为，所以 2OG GM = 12111()33233OG OM OA OB OA OB ==⨯+=+ 又，，所以. 12OA OP n = 1OB OQ m = 1613OG OP Q n O m=+ 因为三点共线，所以. ,,P G Q 11163n m+=112222242(2)636333333m n m n m n n m n m ⎛⎫+=++=++≥=+= ⎪⎝⎭当且仅当时，取等号，即时，取最小值. 223m n ==22,33OP OA OQ OB == 2m n +4320．如图，一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，CD O ，，现要将此木块锯出一个等腰三角形，其底边，点在半圆上.2AB =1AD =EFG EF AB ⊥E（1）设，求三角形木块面积；6EOC π∠=EFG （2）设，试用表示三角形木块的面积，并求的最大值.EOC θ∠=θEFG S S【答案】（1）2）,的面积最大值为EFG S ∆=1sin cos sin cos 2S θθθθ+++=EFG ∆【分析】（1）构造垂线，将、的长度进行转化，的长度即为的值，的长EF GH EF EM MF +GH 度即为的值，从而求解出；DO OM +EFG S ∆（2）根据第（1）问的转化方法，同理可以得出的表达式，然后将看成整体进行EFG S ∆sin cos θθ+换元，进而将面积函数转化为熟悉的二次函数，从而求解出最值.【详解】解：（1）过点作交于点，设交于点，G GH EF ⊥EF H EF CD M所以, 11·cos16GH DM DO OM π==+=+=， 311·sin 62EF EM MF π=+=+=所以； 113222EFG S EF GH ∆=⨯⨯=⨯=（2）因为半圆和长方形组成的铁皮具有对称性，所以可只分析时的情况， [0,]2πθ∈，11·cos 1cos GH DM DO OM θθ==+=+=+，11·sin 1sin EF EM MF θθ=+=+=+所以 11(1cos )(1sin )22EFG S EF GH θθ∆=⨯⨯=⨯+⨯+， 1sin cos sin cos 2θθθθ+++=令，， sin cos t θθ+=[0,]2πθ∈故， 21sin cos 2t θθ-=，sin cos )4t πθθθ=+=+ [0,2πθ∈ ， 3[,]444πππθ∴+∈，sin()4πθ∴+∈，t ∴∈， 221121224EFG t t t t S ∆-++++==函数在单调递增， 2214t t y ++=所以当时，t =EFG ∆【点睛】本题考查了三角函数在实际问题中的应用，考查了三角函数的值域问题，三角函数中与的联系等等，考查了学生综合应用能力.sin cos θθ±sin cos θθA 21．在中，已知，． ABC A 4cos 5A =()cos A B -=A B >求的值；()1tan A 求证：．()22A B =【答案】（1）；（2）详见解析. 34【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求，进而可求的值．()1sinA tanA 利用同角三角函数基本关系式可求，由于在单调递减，且()2()cos A B cosB -=y cosx =()0,π，，即可证明．0A B π<-<0B π<<A 2B =【详解】（1）由题意，因为，， 4cosA 5=()A 0,π∈所以，所以 3sinA 5===sinA 3tanA .cosA 4==证明：因为，可得：，()2A B >0A B π<-<， ()sin A B ∴-=()()()43cosB cos A A B cosAcos A B sinAsin A B 55⎡⎤∴=--=-+-==⎣⎦又， ()cos A B -= ()cos A B cosB -=在单调递减，且，，y cosx =()0,π0A B π<-<0B π<<，即得证A B B ∴-=A 2B.=.【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦函数的单调性的综合应用，其中解答中熟记同角三角函数的基本关系式，以及余弦函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了运算与求解能力和转化思想，属于中档题．22．已知函数的图象如图所示， 点 为与()()()sin 00f x A x A ωϕωϕπ=+>><，，B D F ，，()f x 轴的交点， 点分别为的最高点和最低点， 而函数的相邻两条对称轴之间的距x C E ，()f x ()f x 离为， 且其在处取得最小值． 212x =-(1)求参数和的值;ωϕ(2)若，求向量 与向量夹角的余弦值;1A =2BC CD - 3BC CD + (3)若点P 为函数图象上的动点，当点在之间运动时， 恒成立，求A 的取()f x P C E ，1BP PF ⋅≥ 值范围．【答案】(1)， 2πω=4πϕ=-(2)(3)【分析】（1）由对称轴之间的距离可得周期，根据周期求出，利用在处取得最小值求出ω12x =-ϕ；（2）由函数解析式求出零点，根据向量的坐标求夹角即可；（3）设，利用向量数量积的坐标表示出，观察取最小值时点P 位置，然后根据最(,)P x y BP PF ⋅ 小值大于等于1可得A 的取值范围.【详解】（1）因为的相邻两条对称轴之间的距离为()f x 2所以4T =242T =πωωπ∴=⇒= ()sin()2g x A x πϕ∴=+又时，取最小值 12x =-g()x 则，242k ππϕπ-=-+k ∈Z ， 24k πϕπ∴=-k ∈Z 又，则||ϕπ< 04k πϕ=⇒=-（2）因为，所以， 1A =()sin 24f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则，， 1,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭3,12C ⎛⎫ ⎪⎝⎭5,02D ⎛⎫ ⎪⎝⎭则2(1,3)BC CD -=3(4,2)BC CD +=-则(2)(3)cos |2||3|BC CD BC CD BC CD BC CD θ-⋅+==-⋅+ （3）是上动点， P ()f x 2()sin 4f x A x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 1,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭902,F ⎛⎫ ⎪⎝⎭又恒成立1BP PF ⋅≥ 设 ,sin 42P x A x ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1,sin 224BP x A x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 9,sin 224PF x A x ππ⎛⎛⎫=--- ⎪ ⎝⎭⎝ 9221BP PF x x ⎛⎫⎛⎫⋅=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ sin sin 4224A x A x ππππ⎛⎫⎛⎫--⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2229sin 2454A x x x ππ=-+---⎛⎫ ⎪⎝⎭易知在或处有最小值，在2]5 4937,[,22x y x x ∈=-+-32x =72x =2237sin ,,2[]422y A x x ππ⎛⎫-∈ ⎪⎭=⎝或处有最大值 32x =72x =所以当或时，有最小值 32x =72x =BP PF ⋅ 即当在或时，有最小值，此时或 P C E BP PF ⋅ 3,2P A ⎛⎫ ⎪⎝⎭7,2P A ⎛⎫- ⎪⎝⎭为时，， P 3,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1,)BP A = (3,)PF A =-，得231BP PF A ⋅=-≥ A ≤≤又，则0A >0A <≤为时，， P 7,2A ⎛⎫-⎪⎝⎭(3,)BP A = (1,)PF A =，解得231BP PF A ∴⋅=-≥ 0A <≤综上， A ∈。
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三明一中2009－2010下学期阶段考试卷
高一数学试题（满分100分）
一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。
在每小题的4个选项中只有一个是符合要求的）
1．点），，（123-A 关于xoz 平面对称点的坐标是 （ ）
()123.
，，--A
()123.
--，，B
()123.
，，C
()123.
，，-D
2．等差数列{}n a 中，9,151==a a ，则它的前10项和为（ ）
.A 121
B .100 .
C 111 .
D 101
3．已知关于x 的不等式101ax x -<+的解集是），（2
1
1-则a 的值为 （ ） .A 2 B .—2 21.C 2
1
.
-D 4．设函数)(),0(12
)(x f x x
x x f 则>-+= （ ）
.A 有最小值122-
B .有最大值122-
.C 有最大值122--
.D 有最大值122+-
5．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x ，则目标函数y x z +=5的最大值为 （ ）
.A 2
.B 3
.C 4
.D 5
6．与直线03=++y x 平行，且它们之间的距离为23的直线方程为 （ ）
0108.=--=+-y x y x A 或 0108=-+=++y x y x B 或
0303.
=++=-+y x y x C 或 0903.=++=-+y x y x D 或
7．m m my x y x 表示圆，则实数若方程0322=++-+的取值范围为 （ ） 13.
<>m m A 或 31.<<m B 3.<m C 2
1
<
m D 8．边长为4的正三角形直观图的面积是 （ ）
64.A
63.B 62.C 6D
9．c b,a,是ABC ∆中角C B A ,,的对边，则直线0.sin =++c ay x A 与0.sin =+by x B 的位置关系是 （ ）
.A 相交
B .重合 .
C 垂直 .
D 平行
10．若直线l 过点()2,
3 且它不过第四象限，则直线l 斜率的取值范围是（ ）
A. []1,0
B.⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡32,
0 C. ⎪⎭
⎫⎢⎣⎡∞+，32
D . []2,0
二．填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分。
） 11．设等比数列{}n a 的公比q 2=，前n 项和为n S ，则
3
5
a s 的值为 12．圆心为 ()8,3C -且过点()5,1A 的圆的标准方程为
13．已知长方体过同一个顶点的三个面的面积分别为6,3,2，则它的体积是
14．将直线3:1+-=x y l 绕着它上面的一点），（12逆时针旋转︒
75得直线2l ，则直线2l 的方程
为
15．若直线)0,0(084>>=+-n m ny mx 经过圆08222=-++y x y x 的圆心，则
n
m 1
1+的最小值是
三，解答题（本大题共6个小题，共55分） 16．本小题８分
在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c
（1）若
5=a c ，且552cos =C ，求sin A （2）bc A a c b 2tan 222=-+）若（,求sin A 17．本小题８分
已知直线1l 与直线0243=-+y x 平行且与两坐标轴的正半轴围成的面积为12 （1）求直线1l 的方程
（2）若直线2l 与直线1l 垂直，且与圆042422=+++-y y x x 相切，求直线2l 的方程。
18．本小题８分
如图一线段AB 所在直线方程为1-=y ，线段AD 所在直线方程为01334=+-y x ，线段CD 所在直线方程为2=+y x ，求四边形ABCD 绕CB 所在直线旋转一周所围成的几何体的表面积和体积 19．本小题９分
如图二某单位建造一间地面面积为12m 2
的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x （)60<<x ，房屋正面的造价为400元/m 2
,房屋侧面的造价为150元/m 2
，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m ，且不计房屋背面的费用
（1）把房屋总造价y 表示成x 的函数，并写出该函数的定义域。
（2）当侧面的长度为多少时，总造价最底？最低总造价是多少？
20．本小题11分
已知数列{}n a 是等差数列，==63,5a a 11且，n S 是数列{}n a 的前n 项和。
（1）求数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S 。
（2）设正项等比数列{}n b 满足43=b ，126542=b b b ，数列{}n b 的通项公式n b （3）在（2）的条件下若n n n b a b a b a +++= 2211T ，求n T 的值。
21．本小题11分
已知圆C 的圆心坐标为
0,0),>>b a b a （，若圆C 与y 轴相切，在直线x y =上截得的弦长为14，且圆心在直线02=-y x 上。
（1）求圆C 的方程。
（2）若点),y x M （圆C 上，求
4
5
--x y 的取值范围。
（3）将圆C 向左平移一个单位得圆/
C ，若直线l 与两坐标轴正半轴的交点分别为B A ，，直线l 的方程为)0,(01>>=-+n o m ny mx 。
当B A ，在坐标轴上滑动且l 与圆/
C 相切时，求l 与两坐标轴正半轴围成面积的最小值
x
图二
三明一中2009－2010下学期阶段考试卷高一数学试题参考答案。