数学必修5导学案：1-2 第2课时等比数列的性质

第2课时 等比数列的性质

知能目标解读

1.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质和由来.

2.理解等比数列的性质及应用.

3.掌握等比数列的性质并能综合运用.

重点难点点拨

重点：等比数列性质的运用.

难点：等比数列与等差数列的综合应用.

学习方法指导

1.在等比数列中，我们随意取出连续三项及以上的数，把它们重新依次看成一个新的数列，则此数列仍为等比数列，这是因为随意取出连续三项及以上的数，则以取得的第一个数为首项，且仍满足从第2项起，每一项与它的前一项的比都是同一个常数，且这个常数量仍为原数列的公比，所以，新形成的数列仍为等比数列.

2.在等比数列中，我们任取下角标成等差的三项及以上的数，按原数列的先后顺序排列所构成的数列仍是等比数列，简言之：下角标成等差，项成等比.我们不妨设从等比数列{a n }中依次取出的数为a k ,a k +m ,a k +2m ,a k +3m ,…,则

k

m k a a 2+=

m

k m k a a ++2=

m

k m k a a 23++=…=q m

(q 为原等比数列的公比)，所以此数列成等比数列.

3.如果数列{a n }是等比数列，公比为q,c 是不等于零的常数，那么数列{ca n }仍是等比数列，且公比仍为q ; {|a n |} 也是等比，且公比为|q |.我们可以设数列{a n }的公比为q ,且满足

n

n a a 1+=q ,则

n

n ca ca 1+=

n

n a a 1+=q ,所以数

列{ca n }仍是等比数列，公比为q .同理，可证{|a n |}也是等比数列，公比为|q |.

4.在等比数列{a n }中，若m+n=t+s 且m,n,t,s ∈N +则a m a n =a t a s .理由如下：因为a m a n =a 1q m-1·a 1q n-1

=a 21q m+n-2,a t a s =a 1q t-1·a 1q s-1=a 21q t+s-2,又因为m+n=t+s ,所以m+n -2=t+s -2,所以a m a n =a t a s .从此性质还可得到，项数确定的等比数列，距离首末两端相等的两项之积等于首末两项之积. 5.若{a n }，{b n }均为等比数列，公比分别为q 1,q 2,则 （1）{a n b n }仍为等比数列，且公比为q 1q 2. (2) {

n

n b a }仍为等比数列，且公比为2

1q q .

理由如下：（1）

n

n n n b a b a 11++=q 1q 2,所以{a n b n }仍为等比数列，且公比为q 1q 2;(2)

n

n n n b a b a 11

++·

n

n a b =

2

1q q ,

所以｛

n

n b a }仍为等比数列，且公比为

2

1q q .

知能自主梳理

1.等比数列的项与序号的关系 （1）两项关系 通项公式的推广：

a n =a m ·

(m 、n ∈N +).

(2)多项关系

项的运算性质

若m+n=p+q (m 、n 、p 、q ∈N +)， 则a m ·a n =

.

特别地，若m+n =2p (m 、n 、p ∈N +）， 则a m ·a n ＝

.

2.等比数列的项的对称性

有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积（若有中间项则等于中间项的平方），即 a 1·a n ＝a 2·

=a k ·

=a 2

1 n 2

(n 为正奇数).

［答案］ 1.q n-m a p ·a q a 2p

2.a n-1 a n-k+1

思路方法技巧

命题方向 运用等比数列性质a n =a m ·q n-m (m 、n ∈N +)解题 ［例1］ 在等比数列{a n }中，若a 2=2,a 6=162,求a 10.

［分析］ 解答本题可充分利用等比数列的性质及通项公式，求得q ,再求a 10. ［解析］ 解法一：设公比为q ,由题意得

a 1q =2 a 1=

3

2 a 1=-

3

2

，解得 ，或 .

a 1q 5=162 q =3 q =-3 ∴a 10=a 1q 9=

3

2×39=13122或a 10=a 1q 9=-

3

2×（-3）9=13122.

解法二：∵a 6=a 2q 4, ∴q 4=

2

6a a =

2

162=81,

∴a 10=a 6q 4=162×81=13122.

解法三：在等比数列中，由a 2

6=a 2·a 10得 a 10=

2

2

6

a a =

2

1622

=13122.

［说明］ 比较上述三种解法，可看出解法二、解法三利用等比数列的性质求解，使问题变得简单、明了，因此要熟练掌握等比数列的性质，在解有关等比数列的问题时，要注意等比数列性质的应用. 变式应用1 已知数列{a n }是各项为正的等比数列，且q ≠1,试比较a 1+a 8与a 4+a 5的大小. ［解析］ 解法一：由已知条件a 1>0,q >0，且q ≠1,这时 (a 1+a 8)-(a 4+a 5)=a 1(1+q 7-q 3-q 4)=a 1(1-q 3)·（1-q 4） =a 1(1-q ) 2(1+q+q 2)(1+q+q 2+q 3)>0, 显然，a 1+a 8>a 4+a 5.