第7节 用点差法解中点弦问题

且离心率 e= = ﹣2= ，由于 c=4，则 a=5，b=
=3，则椭圆方程为 + =1；
（Ⅱ）设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x2=2，y1+y2=2， + =1， + =1，
两式相减可得，
+
=0，
即有 kAB=
=﹣ ，则直线 AB 所在方程为 y﹣1=﹣ （x﹣1），由于 M 在椭圆内，则弦 AB 存在．
∴x1+x2=
，y1+y2=
，设弦 BC 中点坐标为（x，y），则 x=
=
∴
，整理得 x2﹣2x+2y2﹣2y=0
当过点 A（2，1）引的直线斜率不存在时，方程为 x=2，与椭圆无交点 ∴所求弦 BC 中点的轨迹方程为 x2﹣2x+2y2﹣2y=0（﹣ ≤x≤ ）．
，y=
=
，∴ =﹣2k 又∵k= ，
a2 b2
a2 b2
两式相减得b2 ( y1 y2 )( y1 y2 ) a2 (x1 x2 )( x1 x2 ) 0
即 b2 ( y1 y2 ) a2 (x1 x2 ) 0
y1 y2 a2 x1 x2 b2
a2 3 ┅┅② b2
联立①②解得 a2 75 ， b2 25
即
k AB
1 2
，故所求直线的方程为
y
1
1 2
(x
2)
，即 x
2y
4
0
。
源自文库
练习：已知椭圆与双曲线
的焦点相同，且它们的离心率之和等于 ．
（Ⅰ）求椭圆方程； （Ⅱ）过椭圆内一点 M（1，1）作一条弦 AB，使该弦被点 M 平分，求弦 AB 所在直线方程．
解：（Ⅰ）双曲线
的焦点为（0，4），（0，﹣4），离心率为 =2，则椭圆的方程为 + =1（a＞b＞0），
所求椭圆的方程是 y2 x2 1 75 25
例 3：已知椭圆
．
（1）求过点
且被点 P 平分的弦所在直线的方程；
（2）解求：（1斜）设率过为点 2 的平且行被点弦P的平分中的点 弦与轨椭圆迹交方与 A程（；x1，y1），B（x2，y2）点，则
=，
= ∵A，B 在椭圆上，∴
（3）过点 A（2①，1）引直线与②②椭﹣①圆得交， 于 B+、（yC2﹣两y1）点=0，，求截得的弦 B=﹣C 中点的轨迹方程．
y1 y2 3
x1 x2
2 y0
k y1 y2 3 x1 x2
3 2 y0
3 ，即 y0
1 2
点 M 的坐标为(1 , 1) 。 22
练习：已知中心在原点，一焦点为 F (0, 50 ) 的椭圆被直线l : y 3x 2 截得的弦的中点的横坐标
为 1 ，求椭圆的方程。 2
b2 a2
.
又 kMN
y2 x2
y1 , y1 y2 x1 x1 x2
2y 2x
y x . kMN
y x
b a
2 2
.
同理可证，在椭圆 x 2 b2
y2 a2
1（ a ＞ b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于 M、N 两点，点 P(x0 , y0 )
是弦 MN 的中点，弦 MN 所在的直线l 的斜率为 k MN ，则 kMN
高中数学 选修1-1
第二章
圆锥曲线
第7节 点差法解决中点弦问题
点差法在椭圆中点弦问题中的妙用
定理
在椭圆 x 2 a2
y2 b2
1（ a ＞ b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于 M、N 两点，点 P(x0 , y0 ) 是弦
MN 的中点，弦 MN 所在的直线l 的斜率为 k MN ，则
证明：设
M、N
则所求直线 AB 的方程为 25x+9y﹣34=0．
例 2：已知椭圆 y2 x2 1的一条弦的斜率为 3，它与直线 x 1 的交点恰为这条弦的中点M ，求
75 25
2
点 M 的坐标。
解：设弦端点 P(x1,
y1 )
、 Q(x2 ,
y2 )
，弦 PQ 的中点 M
(x0 ,
y0 )
，则 x0
1 2
练习：已知中心在解原：（点1）的设椭椭圆圆方，程右为焦：点（1，=01），，∵且椭过圆过（ ，0），．
（1）求椭圆的标准方程；
∴
=1，即 a2=3，
y0 x0
a2 b2
.
典例分析：
例 1：过椭圆 x2 y2 1内一点 M (2,1) 引一条弦，使弦被 M 点平分，求这条弦所在直线的方程。 16 4
解：设直线与椭圆的交点为 A(x1, y1) 、 B(x2 , y2 )
M (2,1) 为 AB 的中点 x1 x2 4
y1 y2 2
即，弦 AB 的斜率为﹣ ∴方程为 y﹣ =﹣ （x﹣ ）即
（2）设斜率为 2 的平行弦的中点坐标为（x，y），则根据中点弦的斜率公式，有﹣ =2
（3）当过点 A（2，1）引的直线斜率存在时，设方程为 y﹣1=k（x﹣2）， 代入椭圆方程，消 y，得（ +k2）x2+2（1﹣2k）kx+4k2﹣4k=0
解：设椭圆的方程为 y2 a2
x2 b2
1，则 a2
b2
50 ┅┅①
设弦端点 P(x1, y1 ) 、 Q(x2 , y2 ) ，弦 PQ 的中点 M (x0 , y0 ) ，则
x0
1 2
，
y0
3x0
2
1 2
x1 x2 2x0 1 ， y1 y2 2 y0 1
又 y12 x12 1 ， y2 2 x2 2 1
x1 x2 2x0 1 ， y1 y2 2 y0
又 y12 x12 1 ， y2 2 x2 2 1
75 25
75 25
两式相减得 25( y1 y2 )( y1 y2 ) 75(x1 x2 )( x1 x2 ) 0
即 2 y0 ( y1 y2 ) 3(x1 x2 ) 0
又 A 、 B 两点在椭圆上，则 x12 4 y12 16 ， x22 4 y22 16
两式相减得 (x12 x22 ) 4( y12 y22 ) 0
于是 (x1 x2 )( x1 x2 ) 4( y1 y2 )( y1 y2 ) 0
y1 y2 x1 x2 4 1 x1 x2 4( y1 y2 ) 4 2 2
两点的坐标分别为 ( x1 ,
y1 )
、
(x2 ,
y2
)
，则有
x12 a2 x22
a 2
kMN
y12
y0 x0
1,(1)
b2
y22 b2
1.(2)
b a
2 2
.
(1) (2) ，得 x12 x2 2 a2
y12 y2 2 b2
0. y2 x2
y1 x1
y2 x2
y1 x1