高中数学课时跟踪检测十二函数y=Asin(ωx+φ的图象及变换新人教A版必修0
Asin(ωx+φ)的图象课后习题 新人教A版必修4
1.5 函数y=A sin(ωx+φ)的图象一、A组1.把函数y=cos x的图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的倍,然后将图象沿x轴负方向平移个单位长度,得到的图象对应的解析式为()A.y=sin 2xB.y=-sin 2xC.y=cosD.y=cos解析:y=cos x的图象上每一点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)得到y=cos 2x的图象;再把y=cos 2x的图象沿x轴负方向平移个单位长度,就得到y=cos2=cos的图象.即y=-sin 2x的图象.答案:B2.某同学用“五点法”画函数y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的简图时,列表如下:则有()A.A=0,ω=,φ=0B.A=2,ω=3,φ=C.A=2,ω=3,φ=-D.A=1,ω=2,φ=-解析:由表格得A=2,,∴ω=3.∴ωx+φ=3x+φ.当x=时,3x+φ=+φ=0,∴φ=-.答案:C3.将函数f(x)=sin ωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度,所得图象经过点,则ω的最小值是()A. B.1 C. D.2解析:把f(x)=sin ωx的图象向右平移个单位长度得y=sin的图象.又所得图象过点,∴sin=0.∴sin=0,∴=kπ(k∈Z).∴ω=2k(k∈Z).∵ω>0,∴ω的最小值为2.答案:D4.把函数y=sin的图象向左平移个单位,再把所得的函数图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍,横坐标不变,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)为()A.最大值为的偶函数B.周期为π的偶函数C.周期为2π,且最大值为2的函数D.最大值为2的奇函数解析:y=siny=sin=sin 2xy=2sin 2x,即g(x)=2sin 2x,故g(x)的最大值为2,周期T=π,g(x)为奇函数,故选D.答案:D5.(2016·四川成都石室中学期中)为了得到函数y=3cos 2x的图象,只需把函数y=3sin的图象上所有的点()A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度解析:函数y=3cos 2x=3sin=3sin,把函数y=3sin的图象上所有的点向左平移个单位长度,可得函数y=3cos 2x的图象.答案:D6.把y=sin x的图象上所有点的横坐标和纵坐标都缩短到原来的倍,得到的图象.解析:将y=sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍得y=sin 3x的图象,纵坐标再缩短为原来的倍得到y=sin 3x的图象.答案:y=sin 3x7.已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,为了得到g(x)=sin的图象,只需将y=f(x)的图象上.解析:∵f(x)的最小正周期为π,∴=π.∴ω=2.∴f(x)=sin.又g(x)=sin=sin,∴只需将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到g(x)=sin的图象.答案:所有点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变8.设函数f(x)=cos ωx(ω>0),将y=f(x)的图象向右平移个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值等于.解析:将f(x)的图象向右平移个单位长度得g(x)=f=cos=cos的图象,则-ω=2kπ(k∈Z),∴ω=-6k(k∈Z).又ω>0,∴k<0(k∈Z),∴当k=-1时,ω有最小值6.答案:69.将函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再向左平移个单位所得的曲线是y=sin x的图象,试求y=f(x)的解析式.解:将y=sin x的图象向右平移个单位得y=sin的图象,化简得y=-cos x.再将y=-cos x 的图象上的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)得y=-cos 2x的图象,所以f(x)=-cos 2x.10.(2016·湖北武汉十一中期末)已知函数f(x)=3sin,x∈R.(1)用五点法作出y=f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图;(2)请说明函数y=f(x)的图象可以由正弦函数y=sin x的图象经过怎样的变换得到.解:(1)列表:简图如下:(2)将函数y=sin x图象上所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的3倍得到y=3sin x的图象,再将得到的图象向左平移个单位长度得到y=3sin的图象,最后将得到的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的得到y=3sin的图象.二、B组1.给出几种变换:(1)横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变;(2)横坐标缩小到原来的倍,纵坐标不变;(3)向左平移个单位长度;(4)向右平移个单位长度;(5)向左平移个单位长度;(6)向右平移个单位长度.则由函数y=sin x的图象得到y=sin的图象,可以实施的方案是()A.(1)→(3)B.(2)→(3)C.(2)→(4)D.(2)→(5)解析:由y=sin x的图象到y=sin的图象可以先平移变换再伸缩变换,即(3)→(2);也可以先伸缩变换再平移变换,即(2)→(5).答案:D2.(2016·河北唐山一中期末)把函数y=sin(4x+φ)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将图象上所有的点向右平移个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的一个可能值为()A. B. C. D.解析:函数y=sin(4x+φ)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y=sin(2x+φ)的图象,再将图象上所有的点向右平移个单位,可得函数y=sin=sin的图象,若此函数图象关于y轴对称,则-+φ=kπ+,k∈Z,所以φ=kπ+,k∈Z,当k=-1时,有φ=.故选B.答案:B3.把函数y=3sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π)的图象向左平移个单位,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的解析式为y=3sin x,则()A.ω=2,φ=B.ω=2,φ=-C.ω=,φ=D.ω=,φ=-解析:y=3sin(ωx+φ)的图象向左平移个单位,得到y=3sin=3sin的图象,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=3sin=3sin x的图象,则答案:B4.函数y=sin x的图象上所有点的横坐标和纵坐标同时扩大到原来的3倍,再将图象向右平移3个单位长度,所得图象的函数解析式为.解析:y=sin x y=3sin x y=3sin(x-3)=3sin.答案:y=3sin5.先把函数y=2sin的图象上的所有点向左平移个单位长度,再把所有点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变,得到的图象对应的函数解析式是.解析:把y=2sin的图象上的所有点向左平移个单位长度,得函数y=2sin=2sin=2cos 2x的图象,再把所有点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=2cos 4x的图象.答案:y=2cos 4x6.函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移个单位后,与函数y=sin的图象重合,则φ=.解析:函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移个单位,得平移后的图象对应的函数解析式为y=cos=cos(2x+φ-π),而函数y=sin=cos,由函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移个单位后与函数y=sin的图象重合,得2x+φ-π=2x+,解得φ=,符合-π≤φ<π,故答案为.答案:7.已知函数y=cos.求:(1)函数的周期及单调递减区间;(2)函数的图象可由y=cos x的图象经过怎样的变换得到?解:(1)∵ω=2,∴T==π.由2kπ≤2x+≤2kπ+π,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.∴函数的周期为π,单调递减区间为,k∈Z.(2)将函数y=cos x的图象上的所有点向左平移个单位长度,所得图象的函数解析式为y=cos,再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得y=cos的图象,再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变),即得y=cos的图象.8.设函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω;(2)若f,且α∈,求tan α的值;(3)完成下面列表,并画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象.列表:描点连线:解:(1)∵函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,∴=π,∴ω=2.(2)由(1)知,f(x)=sin.由f,得sin α=,∴cos α=±.又-<α<,∴cos α=,∴tan α=.(3)由y=sin知:故函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象是:。
【精品】高中数学课时跟踪检测十三函数y=Asin(ωx φ)的性质新人教A版必修4
课时跟踪检测（十三） 函数y=Asin(ωx+φ)的性质层级一 学业水平达标1．简谐运动y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －π3的相位与初相是( ) A ．5x －π3，π3B ．5x －π3，4C ．5x －π3，－π3D ．4，π3解析：选C 相位是5x －π3，当x ＝0时的相位为初相即－π3.2．最大值为12，最小正周期为2π3，初相为π6的函数表达式是( )A ．y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6B ．y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6C ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π6D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6解析：选D 由最小正周期为2π3，排除A 、B ；由初相为π6，排除C.3．函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝－π2B ．x ＝π2C ．x ＝－π6D ．x ＝π6解析：选C 由x －π3＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π＋5π6，k ∈Z ，令k ＝－1，得x ＝－π6. 4．下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 解析：选D 设y ＝A sin(ωx ＋φ)，显然A ＝1，又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ω×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝0，ω×π12＋φ＝π2.解得ω＝2，φ＝π3.所以函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.5．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )A ．关于直线x ＝π8对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称C ．关于直线x ＝π4对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0对称 解析：选 A 依题意得T ＝2πω＝π，ω＝2，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋π4＝sin 3π4＝22，因此该函数的图象关于直线x ＝π8对称，不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0和点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0对称，也不关于直线x ＝π4对称．故选A. 6．y ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3的振幅为________，周期为________，初相φ＝________.解析：∵y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π3＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2π3，∴A ＝2，ω＝3，φ＝2π3，∴T ＝2πω＝2π3.答案：22π3 2π37.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________.解析：由题意设函数周期为T ，则T 4＝2π3－π3＝π3，∴T ＝4π3. ∴ω＝2πT ＝32.答案：328．函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(A >0，ω>0)在一个周期内，当x ＝π12时，函数f (x )取得最大值2，当x ＝7π12时，函数f (x )取得最小值－2，则函数解析式为______________________．解析：由题意可知A ＝2.T 2＝7π12－π12＝π2，∴T ＝π，∴2πω＝π，即ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 答案：f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π39．求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象的对称轴、对称中心． 解：令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z)．令2x ＋π3＝k π，得x ＝k π2－π6(k ∈Z)．即对称轴为直线x ＝k π2＋π12(k ∈Z)，对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π6，0(k ∈Z)．10．如图为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一个周期内的图象．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的最小正周期、频率、振幅、初相． 解：(1)由图，知A ＝2，T ＝7－(－1)＝8， ∴ω＝2πT ＝2π8＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ.将点(－1,0)代入，得0＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ.∵|φ|＜π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.(2)由(1)，知f (x )的最小正周期为2ππ4＝8，频率为18，振幅为2，初相为π4.层级二 应试能力达标1．设f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的定义域为R ，周期为2π3，初相为π6，值域为[－1,3]，则函数f (x )的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋1B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6－1C ．y ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6－1D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π6＋1 解析：选A ∵－A ＋B ＝－1，A ＋B ＝3， ∴A ＝2，B ＝1， ∵T ＝2πω＝2π3，∴ω＝3，又φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋1. 2．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω＞0，φ∈[0,2π))的部分图象如图，则f (2 017)＝()A ．－1B ．1C ．12D ．－12解析：选B 由题图可知，T 4＝2，所以T ＝8，所以ω＝π4.由点(1,1)在函数图象上可得f (1)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，所以π4＋φ＝2k π(k ∈Z)，所以φ＝2k π－π4(k ∈Z)，又φ∈[0,2π)，所以φ＝7π4.故f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋7π4，f (2 017)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 017π4＋7π4＝cos506π＝cos(253×2π)＝1.3．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R ，若f (x )≥1，则x 的取值范围为( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫xk π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈ZB ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈ZC ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫xk π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z解析：选B ∵f (x )≥1，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6≥1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6≥12，∴π6＋2k π≤x －π6≤5π6＋2k π，k ∈Z. 解得π3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z.4．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ≠0，ω＞0，|φ|＜π2的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则( )A ．f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上是减函数C ．f (x )的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0D ．f (x )的最大值是A解析：选C ∵周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2.又∵f (x )的图象关于直线x ＝2π3对称，∴2×2π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，又|φ|＜π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∴f (x )图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，A 2.。
新课标A版·数学·必修④课时作业 12函数y=Asin(ωx+φ)的图象 Word版含解析
课时作业函数＝(ω＋φ)的图象基础巩固(分钟，分)一、选择题(每小题分，共分)．最大值为，最小正周期为，初相为的函数表达式是( )．＝．＝．＝．＝解析：由最小正周期为，排除、；由初相为，排除.答案：．要得到函数＝的图象，只要将函数＝的图象( )．向左平移个单位长度．向右平移个单位长度．向左平移个单位长度．向右平移个单位长度解析：因为＝＝，所以将函数＝的图象向左平移个单位长度，就可得到函数＝＝的图象．答案：．将函数＝的图象向左平移个单位，得到函数＝()的图象，则下列说法正确的是( )．＝()是奇函数．＝()的周期为π．＝()的图象关于直线＝对称．＝()的图象关于点对称解析：函数＝的图象向左平移个单位长度后，得到函数()＝＝的图象，()＝为偶函数，周期为π；又因为＝＝，所以()＝的图象不关于直线＝对称；又由＝＝，知()＝的图象关于点对称．故选.答案：．已知ω><φ<π，直线＝和＝是函数()＝(ω＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )解析：由题意得周期＝＝π，∴π＝，即ω＝，∴()＝(＋φ)，∴＝＝±.∵<φ<π，∴<φ＋<，∴φ＋＝，∴φ＝.答案：．同时具有性质“()最小正周期是π；()图象关于直线＝对称；()在上单调递增”的一个函数是( )．＝．＝．＝．＝解析：由()知＝π＝，ω＝，排除.由()()知＝时，()取最大值，验证知只有符合要求．答案：二、填空题(每小题分，共分)．函数＝的图象的横坐标和纵坐标同时扩大倍，再将图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为．解析：将函数＝的图象的横坐标和纵坐标同时扩大倍，所得函数解析式为＝再把所得图象向右平移个单位长度，所得函数解析式为＝(－)＝.答案：＝．在函数＝(ω＋φ)(ω>)的一个周期上，当＝时，有最大值，当＝时，有最小值－，则ω＝.解析：依题意知＝－＝，所以＝π，又＝＝π，得ω＝.答案：．如图所示的曲线是＝(ω＋φ)(>，ω>)的图象的一部分，则这个函数的解析式是．解析：由函数图象可知＝，＝＝π，即＝π，故ω＝.又是五点法作图的第五个点，即×＋φ＝π，则φ＝.故所求函数的解析式为＝.答案：＝三、解答题(每小题分，共分)．已知函数()＝(ω>)的最小正周期为π.()求ω的值；()用“五点法”作出函数()在一个周期内的图像．解析：()ω＝＝＝.()由()可知()＝.列表：－ππ－作图(如图所示)．。
高中数学人教A版必修4课后练习12 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
高中数学人教A 版必修4课后练习12 函数y ＝A sin(ωx +φ)的图象题组1：夯实基础1.某同学用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx +φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的简图时，列表如下:则有( )A ．A ＝0，ω＝π12，φ＝0 B ．A ＝2，ω＝3，φ＝π12 C ．A ＝2，ω＝3，φ＝－π4 D ．A ＝1，ω＝2，φ＝－π12解析：由表格得A ＝2，3π4−π12＝2ππ，∴ω＝3.∴ωx +φ＝3x +φ. 当x ＝π12时，3x +φ＝k π，k ∈Z ， 又|φ|<π2，∴φ＝－π4. 答案：C2.函数y ＝sin (2π－π3)在区间[－π2，π]上的简图是( )解析：当x ＝0时，y ＝sin (－π3)＝－√32<0，故可排除B ，D ；当x ＝π6时，sin (2×π6－π3)＝sin 0＝0，排除C ．答案：A3.要得到函数y ＝sin (π－π3)的图象，只需将函数y ＝sin (π+π6)的图象( )A ．向右平移π3个单位B ．向左平移π3个单位 C ．向右平移π2个单位D ．向左平移π6个单位解析：因为y ＝sin [(π－π2)+π6]＝sin (π－π3)，所以应将函数y ＝sin (π+π6)的图象向右平移π2个单位. 答案：C4.在同一平面直角坐标系中，函数y ＝cos π2+3π2(x ∈[0，2π])的图象和直线y ＝12的交点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 解析：作出函数y ＝cos π2+32π，x ∈[0，2π]的图象及y ＝12的图象可得，应选C ． 答案：C5.有四种变换:①向左平移π4个单位长度，再各点的横坐标缩短为原来的12； ②向左平移π8个单位长度，再各点的横坐标缩短为原来的12； ③各点横坐标缩短为原来的12，再向左平移π8个单位长度； ④各点横坐标缩短为原来的12，再向左平移π4个单位长度， 其中能使y ＝sin x 的图象变为y ＝sin (2π+π4)的图象的是( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④解析：由y ＝sin x 的图象变为y ＝sin (2π+π4)的图象有两种图象变换方式，第一种:先平移，后伸缩，向左平移π4个单位长度，再各点的横坐标缩短为原来的12；第二种:先伸缩，后平移；各点横坐标缩短为原来的12，再向左平移π8个单位长度. 答案：A6.已知函数y ＝A sin(ωx +φ)+m 的最大值是4，最小值是0，最小正周期是π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是( ) A ．y ＝4sin 4x +π6B ．y ＝2sin 2x +π3+2C ．y ＝2sin 4x +π3+2 D ．y ＝2sin 4x +π6+2解析：由题意可得，A ＝4－02＝2，m ＝4+02＝2，ω＝2ππ＝2ππ2＝4，∴φ＝k π+π2−4π3，k ∈Z ， ∴当k ＝1时，φ＝3π2−4π3＝π6， ∴符合条件的一个解析式为y ＝2sin 4x +π6+2.答案：D7.把函数f (x )＝cos (2π－π6)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，得到函数g (x )的图象，则g (x )的最小正周期是__________.解析：由已知得g (x )＝cos (4π－π6)，故最小正周期T ＝2π4＝π2. 答案：π28.(2018江苏，7)已知函数y ＝sin(2x +φ)(－π2<π<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值为__________. 解析：由题意可得sin (2π3+π)＝±1，解得2π3+φ＝π2+k π(k ∈Z )，即φ＝－π6+k π(k ∈Z ).因为－π2<φ<π2，所以k ＝0，φ＝－π6. 答案：－π69.已知函数f (x )的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，再把所得的图象沿x 轴向左平移π2个单位长度，这样得到的图象与y ＝12sin x 的图象相同，求f (x )的解析式.解y ＝12sin x 的图象y ＝12sin (π－π2)的图象y ＝12sin (2π－π2)的图象，即所求解析式为f (x )＝12sin (2π－π2).题组2：难点突破1.已知函数f (x )＝sin ωx +π4(ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度 C ．向左平移π4个单位长度 D ．向右平移π4个单位长度解析：函数f (x )的最小正周期为π，则ω＝2ππ＝2，所以f (x )＝sin 2x +π4.下面用诱导公式化同名，f (x )＝sin 2x +π4＝cos π2－2x +π4＝cosπ4－2x ＝cos 2x －π4＝cos 2x －π8.要想得到函数g (x )＝cos 2x的图象，只要把f (x )解析式中的x 换成x +π8即可，因此只需把函数f (x )的图象向左平移π8个单位长度即可.故选A ． 答案：A2.若将函数f (x )＝√3sin (ππ－π3)的图象向左移动2π3之后的图象与原图象的对称中心重合，则正实数ω的最小值是( ) A ．32 B ．12C ．23D ．13解析：将函数f (x )＝√3sin (ππ－π3)的图象向左移动2π3之后，可得y ＝√3sin [π(π+2π3)－π3]＝√3sin ωx +2ππ3−π3的图象.由于所得的图象与原图象的对称中心重合，故所得图象与原图象相差半个周期的整数倍，所以2π3＝k ·ππ(k ∈Z )，故ω＝3π2(k ∈Z )，则正实数ω的最小值为32. 答案：A3.已知函数f (x )＝sin (ππ+π4)(ω>0)的最小正周期为π，为了得到g (x )＝sin (12π+π4)的图象，只需将y ＝f (x )的图象上__.解析：∵f (x )的最小正周期为π，∴2ππ＝π.∴ω＝2.∴f (x )＝sin (2π+π4).又g (x )＝sin (12π+π4)＝sin [2×(14π)+π4]，∴只需将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到g (x )＝sin (12π+π4)的图象.答案：所有点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变4.若函数f (x )＝sin ωx +π6(ω>0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为π2，且该函数的图象关于点(x 0，0)成中心对称，x 0∈0，π2，则x 0＝________.解析：由f (x )＝sin ωx +π6(ω>0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为π2＝π2，知T ＝π，ω＝2，又图象关于点(x 0，0)成中心对称，得2x 0+π6＝k π(k ∈Z )，而x 0∈0，π2，则x 0＝512π.答案：512π5.已知函数y ＝2sin (2π+π3).(1)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(2)说明y ＝2sin (2π+π3)的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到. 解(1)令x'＝2x +π3，则y ＝2sin (2π+π3)＝2sin x'. 列表:描点连线得函数图象:(2)把y ＝sin x 的图象上所有的点先向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin (π+π3)的图象，再把y ＝sin (π+π3)的图象上的点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝sin (2π+π3)的图象，最后把y ＝sin (2π+π3)上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin (2π+π3)的图象.6.将函数f (x )＝sin(ωx +φ)ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象. (1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[0，3π]时，方程f (x )＝m 有唯一实数根，求m 的取值范围.解(1)将y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度可得y ＝sin (π+π6)的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得y ＝sin (12π+π6)的图象，故f (x )＝sin (12π+π6).(2)令2k π+π2≤12x +π6≤2k π+3π2(k ∈Z )， 则4k π+2π3≤x ≤4k π+8π3(k ∈Z ). 又x ∈[0，3π]，所以x ∈[0，2π3]，f (x )单调递增，x ∈[2π3，8π3]，f (x )单调递减，x ∈[8π3，3π]，f (x )单调递增，所以f (x )max ＝1，f (x )min ＝－1，当x ＝0时，m ＝12，当x ＝3π时，m ＝－√32.故使方程f (x )＝m 有唯一实数根的m 的取值范围为m ∈(－√32，12)∪{－1，1}.。
高中数学课时跟踪检测十二函数y=Asin(ωx+φ的图象及变换新人教A版必修0
π C．向上平移 3个单位长度
π D．向下平移 3个单位长度
π 解析：选 B 将函数 y＝ sin x 的图象向右平移 3个单位长度，所得图象对应的函数解析
π
式为
y＝sin
x－ 3
.
π
2．将函数 y＝ sin 2x 的图象向右平移 2个单位长度，所得图象对应的函数是 (
)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
的图象； π
再把 y＝ cos 2x 的图象沿 x 轴负方向平移 4个单位长度，就得到
π
y＝ cos
2
x＋ 4
＝
π cos 2x＋ 2 的图象．
π
π
4．函数
y＝ sin
2x－ 3
在区间
－
，π 2
上的简图是
(
)
π
3
解析：选 A
当 x＝ 0 时， y＝sin
－ 3
＝－
<0 ， 2
π
ππ
故可排除
B、 D ；当
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
课时跟踪检测（十二） 函数 y=Asin(ωx+ φ）的图象及变换
层级一 学业水平达标
π 1．为了得到函数 y＝ sin x－3 的图象，只需把函数 y＝ sin x 的图象 ( )
π A．向左平移 3个单位长度
π B．向右平移 3个单位长度
10．已知函数 f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的
2 倍，然后
π
1
把所得的图象沿 x 轴向左平移 个单位长度， 这样得到的图象与 y＝ sin x 的图象相同， 求 f(x)
最新人教A版高中数学必修4课时作业12函数y=Asin(ωx+φ)的图象 Word版含答案
课时作业12.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时间：45分钟..分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos2x 的图象(..)A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位解析：将函数y ＝cos2x 的图象向左平移12个单位可得函数y ＝cos(2x ＋1)的图象．故选C.答案：C2．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是(..)解析：当x ＝0时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32<0，故可排除B ，D.当x ＝π6时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－π3＝sin0＝0，排除C ，故选A.答案：A3．要得到函数y ＝sin 12x 的图象，只需将函数y ＝sin(12x －π3)的图象(..)A ．向左平移π3个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移2π3个单位D ．向右平移2π3个单位解析：可求由y ＝sin 12x 怎么得到y ＝sin(12x －π3)，再逆推回去， ∵y ＝sin(12x －π3)＝sin[12(x －23π)]的图象错误!y ＝sin 错误!x 的图象，故选C.答案：C4．把函数y ＝cos2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是(..)解析：由题意，y ＝cos2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得解析式为y ＝cos x ＋1，向左平移一个单位为y ＝cos(x ＋1)＋1，向下平移一个单位为y ＝cos(x ＋1)，显然点(π2－1,0)在函数图象上．故选A.答案：A5．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于(..)A.13 B ．3 C ．6D ．9解析：将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后得到y ＝cos[ω(x －π3)]，所得图象与原图象重合，所以cos(ωx －π3ω)＝cos ωx ，则－π3ω＝2k π， 得ω＝－6k (k ∈Z )．又ω>0， 所以ω的最小值为6，故选C. 答案：C6．(2013·福建卷)将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)(－π2<θ<π2)的图象向右平移φ(φ>1)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P (0，32)，则φ的值可以是(..)A.5π3B.5π6C.π2D.π6解析：将函数f (x )的图象向右平移φ个单位长度，得g (x )＝sin[2(x－φ)＋θ]，由题意得⎩⎨⎧sin θ＝32，sin (θ－2φ)＝32，解得θ＝π3，φ＝－k π或－π6－k π(k ∈Z )，结合选项取得φ＝5π6.答案：B二、填空题(每小题8分，共计24分)7．把函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π6个单位长度，再向下平移1个单位长度，则得到的函数的解析式是________．解析：函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π6个单位长度得函数y ＝3sin[2(x －π6)＋π3]＝3sin2x ，再向下平移1个单位长度得y ＝3sin2x －1.答案：y ＝3sin2x －18．将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，再向上平移1个单位长度得函数y ＝2sin(4x －π4)的图象，则f (x )＝________.解析：将y ＝2sin(4x －π4)的图象向左平移π3个单位长度，得函数y＝2sin[4(x ＋π3)－π4]＝2sin(4x ＋13π12)的图象，再向下平移一个单位长度，得函数y ＝2sin(4x ＋13π12)－1的图象，即f (x )＝2sin(4x ＋13π12)－1.答案：2sin(4x ＋13π12)－19．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象，只需将y ＝f (x )的图象上________．答案：各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的2倍 三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分) 10．由函数y ＝sin x 的图象如何得到y ＝2cos x 的图象？ 解：由y ＝sin x ＝cos(π2－x )＝cos(x －π2)，则由y ＝cos(x －π2)的图象得到y ＝2cos x 的图象可由以下方法得到：11．已知函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，其图象向左平移π6个单位长度后，关于y 轴对称．(1)求函数f (x )的解析式．(2)说明其图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到的． 解：(1)将函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)图象上的所有点向左平移π6个单位长度后，所得图象的函数解析式为y ＝3sin[2(x ＋π6)＋φ]＝3sin(2x ＋π3＋φ)． 因为图象平移后关于y 轴对称， 所以2×0＋π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π＋π6(k ∈Z )．因为φ∈(0，π2)，所以φ＝π6.所以f (x )＝3sin(2x ＋π6)．(2)将函数y ＝sin x 的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，所得图象的函数解析式为y ＝sin(x ＋π6)，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得函数y ＝sin(2x ＋π6)的图象，再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，即得函数y ＝3sin(2x ＋π6)的图象．12．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1.(1)求函数y ＝f (x )的周期、最大值和对称中心； (2)在直角坐标系中画出y ＝f (x )在[－π2，π2]上的图象．解：(1)周期T ＝2πω＝2π2＝π，∵－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4≤1，∴f (x )的最大值是1＋ 2.由2x －π4＝k π(k ∈Z )．得x ＝k π2＋π8(k ∈Z )，∴对称中心为(k π2＋π8，1)(k ∈Z )． (2)列表如下：函数y ＝f (x )在⎣⎢⎦⎥⎤－π2，π2上的图象如下图所示．。
2016-2017学年高中数学课时达标检测(十二)函数y=Asin(ωx+φ)的图象(一)新人教A版必修4
课时达标检测（十二）函数y ＝Asin(ωx＋φ)的图象(一)一、选择题1．为了得到y ＝cos 4x ，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有点的( ) A ．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B ．横坐标缩短到原来的14倍，纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的14倍，横坐标不变答案：B2．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象( ) A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度答案：B3．若函数y ＝sin 2x 的图象经过适当变换可以得到y ＝cos 2x 的图象，则这种变换可以是( )A ．沿x 轴向左平移π2个单位长度B ．沿x 轴向右平移π2个单位长度C ．沿x 轴向右平移π4个单位长度D ．沿x 轴向左平移π4个单位长度答案：D4．把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )答案：A5．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω＞0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是( ) A.13 B ．1 C.53D ．2答案：D 二、填空题6．函数y ＝－52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3的图象与x 轴的各个交点中，离原点最近的一点是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，07．要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3的图象，需将函数y ＝cos x 2的图象上所有的点至少向左平移________个单位长度．答案：11π38．(重庆高考)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.答案：22三、解答题9．已知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. (1)用“五点法”画出函数的草图；(2)函数图象可由y ＝sin x 的图象怎样变换得到？ 解：(1)列表：2x ＋π40 π2 π 3π2 2π x －π8π8 3π8 5π8 7π8 y1211描点，连线如图所示．将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，7π8上的图象向左、向右平移(每次π个单位长度)， 即可得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1的图象．10．已知函数y ＝3sin 2x 的图象C 1，问C 1需要经过怎样的变换得到函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π4的图象C 2，并且平移路程最短？解：法一：∵y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π4＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －7π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π4＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －5π8， ∴可将y ＝3sin 2x 的图象C 1向右平移5π8个单位长度可得C 2.法二：∵y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π4 ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π4＋2π＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3π8，∴可将y ＝3sin 2x 的图象C 1向左平移3π8个单位长度可得C 2.综上可知，平移路程最短的方法是向左平移3π8个单位长度．11．将函数y ＝lg x 的图象向左平移1个单位长度，可得函数f (x )的图象；将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π12个单位长度，可得函数g (x )的图象． (1)在同一直角坐标系中画出函数f (x )和g (x )的图象； (2)判断方程f (x )＝g (x )解的个数．解：函数y ＝lg x 的图象向左平移一个单位长度，可得函数f (x )＝lg(x ＋1)的图象，即图象C 1；函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π12个单位长度，可得函数g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12－π6＝cos 2x 的图象，即图象C 2.(1)画出图象C 1和C 2的图象如图．(2)由图象可知：两个图象共有5个交点． 即方程f (x )＝g (x )解的个数为5.。
高中数学 课时作业12 函数y=Asin(ωx+φ)的图象 新人教A版必修4
A．向左平移 个单位长度B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度D．向右平移 个单位长度
解析：因为y＝sin ＝sin2 ，所以将函数y＝sin2x的图象向左平移 个单位长度，就可得到函数y＝sin2 ＝sin 的图象．
答案：C
答案：A
5．同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x＝ 对称；(
B．y＝cos
C．y＝sin
D．y＝cos
解析：由(1)知T＝π＝ ，ω＝2，排除A.由(2)(3)知x＝ 时，f(x)取最大值，验证知只有C符合要求．
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．函数y＝sinx的图象的横坐标和纵坐标同时扩大3倍，再将图象向右平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为________．
解析：将函数y＝sinx的图象的横坐标和纵坐标同时扩大3倍，所得函数解析式为y＝3sin x再把所得图象向右平移3个单位长度，所得函数解析式为y＝3sin (x－3)＝3sin .
y＝sin ＝sin ，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，则与其对应的函数的解析式为y＝sin .
|能力提升|(20分钟，40分)
11．如果两个函数的图象经过平移后能够重合，那么这两个函数称为“和谐”函数．下列函数中与g(x)＝ sin 能构成“和谐”函数的是()
A．f(x)＝sin B．f(x)＝2sin
解析：T＝ ＝ ，故①正确；
x＝ 时，f(x)＝2sin ＝2sin ＝0，
所以图象关于点 对称，故②正确．
x＝－ 时，f(x)＝2sin ＝2sin ＝－2，
所以直线x＝－ 是其一条对称轴，故③正确．
高考数学总复习 课时跟踪练(二十三)函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 文(含解析)新人教A版
课时跟踪练(二十三)A 组 基础巩固1．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值是()A ．－3B.33C ．1 D. 3 解析：由题意可知该函数的周期为π2，所以πω＝π2，ω＝2，f (x )＝tan 2x .所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝tan π3＝ 3. 答案：D2．(2019·某某模拟)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值可能是()A.3π4B ．－π4C.π4D.7π4解析：将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＝12sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位后得到的图象对应的函数为y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ，由题意得π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝k π＋π4.取k ＝0，可得φ＝π4. 答案：C3.(2016·全国卷Ⅱ)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则()A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 解析：由图象知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图象的一个最高点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，故φ＝2k π－π6(k ∈Z)，结合选项可知y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.故选A.答案：A4．(2018·某某卷)将函数y ＝sin(2x ＋π5)的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数()A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0上单调递减C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递增D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减 解析：将函数y ＝sin (2x ＋π5)的图象向右平移π10个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x －π10）＋π5＝sin 2x 的图象．由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2，得k π－π4≤x ≤k π＋π4，所以函数y ＝sin 2x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4，k ∈Z.取k ＝0，得y ＝sin 2x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增．故选A.答案：A5．(2019·某某模拟)将函数f (x )＝3sin 2x －cos 2x 的图象向左平移t (t >0)个单位后，得到函数g (x )的图象，若g (x )＝g ⎝⎛⎭⎪⎫π12－x ，则实数t 的最小值为()A.5π24B.7π24C.5π12D.7π12解析：由题意得，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 则g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2t －π6，又g (x )＝g ⎝⎛⎭⎪⎫π12－x ，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2t －π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－x ＋2t －π6＝－2sin(2x －2t )， 又t >0，所以当2t －π6＝－2t ＋π时，t min ＝7π24.答案：B6．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为________．解析：由题意知T ＝6，且f (0)＝2sin φ＝1，所以sin φ＝12，又|φ|＜π2，所以φ＝π6.答案：6π67．(2019·某某模拟)将函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)(φ<0)的图象向左平移π3个单位长度，得到偶函数g (x )的图象，则φ的最大值是________．解析：依题设，g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋φ，由g (x )为偶函数，得2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z.所以φ＝k π－π6(k ∈Z)，则φ的最大值为－π6(φ<0)．答案：－π68．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数f (x )＝________．解析：依题意得22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫πω2＝22，则πω＝2，即ω＝π2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ，由于该函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，因此sin (π＋φ)＝－12，即sin φ＝12，又－π2≤φ≤π2，故φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6.答案：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π69．(2019·某某诊断)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋a (ω>0)图象上最高点的的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求a 和ω的值；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间． 解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋a＝4cos ωx ·⎝⎛⎭⎪⎫32sin ωx ＋12cos ωx ＋a＝23sin ωx cos x ＋2cos 2ωx －1＋1＋a ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋1＋a .当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＝1时，f (x )取得最大值2＋1＋a ＝3＋a . 又f (x )最高点的纵坐标为2，所以3＋a ＝2，即a ＝－1. 又f (x )图象上相邻两个最高点的距离为π， 所以f (x )的最小正周期为T ＝π， 所以2ω＝2πT＝2，ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z.令k ＝0，得π6≤x ≤2π3.所以函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.10．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)某某验室这一天上午8时的温度； (2)某某验室这一天的最大温差． 解：(1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎪⎫π12×8－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32＝10.故实验室上午8时的温度为10℃. (2)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3＜7π3，所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0，24)上取得最大值为12，取得最小值为8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.B 组 素养提升11.(2019·某某长郡中学、某某八中联考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，已知A ⎝⎛⎭⎪⎫5π12，1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，－1，则f (x )的图象的对称中心为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋5π6，0，k ∈ZB.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋5π6，0，k ∈ZC.⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0，k ∈Z D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，0，k ∈Z 解析：T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π＝2πω，所以ω＝2，因此f (x )＝sin(2x ＋φ)． 由五点作图法知A ⎝⎛⎭⎪⎫5π12，1是第二点，得2×5π12＋φ＝π2.所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.令2x －π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)．所以f (x )的图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0，k ∈Z.答案：C12．已知x ＝π12是函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，将函数f (x )的图象向右平移3π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为()A ．－2B ．－1C ．－2D ．－ 3解析：f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)＝2sin(2x ＋π6＋φ)．因为x ＝π12是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ图象的一条对称轴，所以π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝k π＋π6(k∈Z)．因为0<φ<π，所以φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以g (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－1. 答案：B13．(2019·某某省际名校联考)将函数f (x )＝1－23·cos 2x －(sin x －cos x )2的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则函数g (x )的单调递增区间是________．解析：因为f (x )＝1－23cos 2x －(sin x －cos x )2＝sin 2x －3cos 2x －3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－3， 所以g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π3－3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－3，令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，所以函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π1214．已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值．解：(1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋3(2sin 2ωx －1) ＝sin 2ωx －3cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3. 由最小正周期为π，得ω＝1， 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，整理得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z.(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到y ＝2sin 2x ＋1的图象，所以g (x )＝2sin 2x ＋1.令g (x )＝0，得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z)，所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可．所以b 的最小值为4π＋11π12＝59π12.。
高中数学 课时跟踪训练13 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(第二课时) 新人教A版必修4-新人教
课时跟踪训练(十三)(时间45分钟) 题型对点练(时间20分钟)题组一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中参数的物理意义1．函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6(x ∈(0，＋∞))的周期、振幅、初相分别是( )A.π4，2，π6B ．4π，2，π6C ．4π，2，－π6D ．2π，2，－π6[解析] 周期T ＝2π12＝4π，振幅为2，初相为－π6.[答案] C2．函数y ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的周期、振幅依次是( ) A ．2π，－2 B ．2π，2 C ．π，2 D ．π，－2[解析] 周期T ＝2π2＝π，振幅为2，故选C.[答案] C3．最大值为12，周期为π3，初相为π4的函数表达式可表示为( )A ．y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π4B ．y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π4C ．y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋π4D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫6x －π4[解析] A ＝12，2πω＝π3⇒ω＝6，φ＝π4，C 项正确．[答案] C题组二 由图象确定函数解析式4．下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 [解析] 由图知T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝π，∴ω＝2πT＝2.又x ＝π12时，y ＝1，经验证，可得D 项解析式符合题目要求．[答案] D5．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎪⎫7π12等于( )A.12 B ．0 C ．2 D ．－2[解析] 解法一：由图可知，32T ＝5π4－π4＝π，即T ＝2π3，∴ω＝2πT＝3.∴y ＝2sin(3x ＋φ)，将⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0代入上式得，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝0，又⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，0是图象上升的趋势的点，∴3π4＋φ＝2k π，k ∈Z ，则φ＝2k π－3π4. ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫7π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π4＋2k π－3π4＝0.解法二：由图可知，32T ＝5π4－π4＝π，即T ＝2π3.又由正弦图象性质可知，若f (x 0)＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋T 2＝0.∴f ⎝⎛⎭⎪⎫7π12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3＝0.[答案] B6．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3[解析] 34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，T ＝π，∴ω＝2，∴2×5π12＋φ＝π2，∴φ＝－π3，故选A.[答案] A题组三 三角函数图象的对称性7．函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝－π2B ．x ＝π2C ．x ＝－π6D ．x ＝π6[解析] ∵x －π3＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋5π6，k ∈Z ，令k ＝－1，得x ＝－π6.[答案] C8．函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是________．[解析] 令2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝k π2＋π3(k ∈Z )． 由k ＝0，得x ＝π3；由k ＝－1，得x ＝－π6.[答案] x ＝－π69．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的对称中心是______________________，对称轴方程是______________________．[解析] 函数的对称中心：12x ＋π6＝k π，k ∈Z ，∴x ＝2k π－π3，k ∈Z ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3，0(k ∈Z )，对称轴方程：12x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝2k π＋2π3，k ∈Z .[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3，0k ∈Z x ＝2k π＋2π3，(k ∈Z ) 综合提升练(时间25分钟)一、选择题1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象的一部分如图所示，则它的解析式是( )A ．y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π4B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋π4 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4x －π4 [解析] 由图象知，A ＝2，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝4，∴ω＝2πT ＝π2，∴解析式可写成y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ.将⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0看作函数图象的第一个特殊点代入上式，得π2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋φ＝2k π，k ∈Z .∵|φ|<π2，∴φ＝π4.∴解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π4，故选B.[答案] B2．上图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点( )A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变[解析] 由图象可知A ＝1，T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2.∵图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝π3＋2k π，k ∈Z .∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2k π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 故将函数y ＝sin x 先向左平移π3个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得原函数的图象．[答案] A3．同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x ＝π3对称；(3)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增”的一个函数是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6[解析] 由(1)知T ＝π＝2πω，ω＝2，排除A.由(2)(3)知x ＝π3时，f (x )取最大值，验证知只有C 符合要求．[答案] C 二、填空题4．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象在(－π，π)上有________条对称轴． [解析] ∵2x －π6＝π2＋k π，k ∈Z ，∴x ＝k π2＋π3，k ∈Z ， k ＝－2时，x ＝－2π3；k ＝－1时，x ＝－π6； k ＝0时，x ＝π3；k ＝1时，x ＝5π6. ∴在(－π，π)上有4条对称轴． [答案] 45．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数解析式为f (x )＝________.[解析] 由函数图象上相邻最高点和最低点距离为22，得⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋(1＋1)2＝2 2.解得T ＝4，∴ω＝2πT ＝π2，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 2＋φ. 又∵函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，∴f (2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2×2＋φ＝－sin φ＝－12.又∵－π2≤φ≤π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 2＋π6.[答案] sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6三、解答题6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求f (x )的解析式； (2)写出f (x )的递增区间．[解] (1)易知A ＝2，T ＝4×[2－(－2)]＝16. ∴ω＝2πT ＝π8，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ，又(－2,0)代入(－2,0)得：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝0，∴－π4＋φ＝2k π，φ＝2k π＋π4，k ∈Z .又－π2<φ<π2，∴φ＝π4令－π4＋φ＝0，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4.(2)由－π2＋2k π≤π8x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得：16k －6≤x ≤16k ＋2，k ∈Z ，∴f (x )的递增区间为[16k －6,16k ＋2]，k ∈Z .7．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6＋1(0<φ<π，ω>0)为偶函数，且函数f (x )的图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值； (2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )的单调递减区间．[解] (1)∵f (x )为偶函数， ∴φ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π＋2π3(k ∈Z )．又0<φ<π，∴φ＝2π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＋1＝2cos ωx ＋1. 又函数f (x )的图象的两相邻对称轴间的距离为π2，∴T ＝2πω＝2×π2，∴ω＝2，∴f (x )＝2cos2x ＋1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π8＋1＝2＋1.(2)将f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，得到函数f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6的图象，所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6＝2cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6＋1＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3＋1. 当2k π≤x 2－π3≤2k π＋π(k ∈Z )，即4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3(k ∈Z )时，g (x )单调递减．∴函数g (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋2π3，4k π＋8π3(k ∈Z )．。
人教A版数学必修四1.5《函数y=Asin(ωx+φ)的图像》同步测试.doc
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作1.5《函数y=Asin(ωx+φ)的图像》同步测试1、函数⎪⎭⎫⎝⎛+=321sin 2πx y 在一个周期内的三个“零点”的横坐标可能是 （ ） A. 311,35,3πππ- B. 310,34,32πππ- C. 623,611,6πππ- D. 35,32,3πππ- 2、要得到函数x y sin =的图象，只需将函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3sin πx y 的图象 （ ） A. 向左平移3π B. 向右平移3π C. 向左平移32π D. 向右平移32π 3、某函数的图象向右平移2π后得到的图象的函数式是⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin πx y ，则此函数表达式是（ ）A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=43sin πx y B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2sin πx y C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin πx y D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin πx y4、将函数y ＝sin x 的图象上所有点向左平移3π个单位，再把所得图象上各点横坐标扩大到原来的2倍，则所得图象的解析式为( )A ．y ＝sin(32π-x )B ．y ＝sin(62π+x )C ．y ＝sin(32π+x )D ．y ＝sin(2x ＋3π) 5、同时具有性质“（1）最小正周期是π；（2）图像关于直线3π=x 对称；（3）在]3,6[ππ-上是增函数”的一个函数是（ ）A )62sin(π+=x yB )32cos(π+=x yC )62sin(π-=x yD )62cos(π-=x y 6． ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin πx y 的图象是由x y sin =的图象向 平移 个单位得到的，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin πx y 的图象是由x y sin =的图象向 平移 个单位得到的， ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin πx y 的图象是由⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin πx y 的图象向 平移 个单位得到的 7．函数]0,[)(62sin(2ππ-∈+=x x y 的单调递减区间是8．函数f (x )＝5sin(2x ＋θ )的图象关于y 轴对称，θ 应满足的条件是________．9．函数y ＝sin(-x ＋3π)的单调递增区间是________．参考答案：1、B2、A3、A4、C5、C6、左4π； 右 4π； 右 2π 7、⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3,65ππ 8、Z k k ∈+=,2ππθ 9、Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,6112,652ππππ。
2021_2022学年新教材高中数学课时跟踪检测(四十五)函数y=Asin(ωx+φ)新人教A版必修
课时跟踪检测〔四十五〕 函数y=A sin(ωx +φ)A 级——学考水平达标练1．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 当x ＝0时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32x ＝π6时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－π3＝sin 0＝0，排除C ，应选A.2．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝1＋cos 2xC ．y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 D ．y ＝cos 2x －1解析：选B 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y ＝1＋cos 2x .3．如下图的图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 解析：选 D 由图知T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝π，∴ω＝2πT x ＝π12时，y ＝1，经历证，可得D 项解析式符合题目要求．4．把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位，所得图象对应的函数是( ) A ．非奇非偶函数 B ．既是奇函数又是偶函数 C ．奇函数D ．偶函数解析：选 D y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4图象向右平移π8个单位得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8－π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x 的图象，y ＝－cos 2x 是偶函数.5．要得到函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象( )A ．向左平移π2个单位长度B ．向右平移π2个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度解析：选C 因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π3，所以要得到函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向左平移π4个单位长度即可． 6．将函数y ＝sin x 的图象的横坐标和纵坐标同时伸长到原来的3倍，再将图象向右平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为________．解析：y ＝sin x ――→横坐标伸长到原来的3倍纵坐标伸长到原来的3倍y ＝3sin x 3――→向右平移3个单位长度y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13(x －3)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1. 答案：y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －17．将函数y ＝sin 4x 的图象向左平移π12个单位长度，得到函数y ＝sin(4x ＋φ)(0＜φ＜π)的图象，那么φ的值为________．解析：将函数y ＝sin 4x 的图象向左平移π12个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，所以φ的值为π3.答案：π3f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的局部图象如下图，那么f (0)＝________.解析：由图象可得A ＝2，周期为4×⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，所以ω＝2，将⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－2代入得2×7π12＋φ＝2k π＋3π2，k ∈Z ，即φ＝2k π＋π3，k ∈Z ，所以f (0)＝2sin φ＝2sinπ3＝62. 答案：629．函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，其图象向左平移π6个单位长度后，关于y轴对称．(1)求函数f (x )的解析式；(2)说明其图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到的．解：(1)将函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)图象上的所有点向左平移π6个单位长度后，所得图象的函数解析式为y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ.因为图象平移后关于y 轴对称， 所以2×0＋π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，所以φ＝k π＋π6(k ∈Z)，因为φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以φ＝π6.所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)将函数y ＝sin x 的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，所得图象的函数解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，即得函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．10．设ω＞0，假设函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位长度后与原图象重合，求ω的最小值．解：将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位长度后，所得图象的函数解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x －4π3＋π3＋2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3－4ωπ3＋2.因为平移后的图象与原图象重合，所以有4ωπ3＝2k π(k ∈Z)，即ω＝3k2(k ∈Z)，又因为ω＞0，所以k ≥1， 故ω＝3k 2≥32.故ω的最小值为32.B 级——高考水平高分练1．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω＞0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，那么ω的最小值是________． 解析：函数f (x )＝sin ωx (其中ω＞0)的图象向右平移π4个单位长度得到函数f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4(其中ω＞0)，将⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，所以ωπ2＝k π(k ∈Z)，解得ω＝2k (k ∈Z)，故得ω的最小值是2.答案：22．某同学给出了以下结论：①将y ＝sin x 的图象向右平移π个单位长度，得到y ＝－sin x 的图象； ②将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位长度，得到y ＝sin(x ＋2)的图象； ③将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位长度，得到y ＝sin(－x －2)的图象． 其中正确的结论是________(将所有正确结论的序号都填上)．解析：将y ＝sin x 的图象向右平移π个单位长度所得图象的解析式为y ＝sin(x －π)＝－sin(π－x )＝－sin x ，所以①正确；将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位长度得到图象的解析式为y ＝sin(x －2)，所以②不正确；将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位长度所得图象的解析式为y ＝sin[－(x ＋2)]＝sin(－x －2)，所以③正确．答案：①③f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一个周期内的图象．(1)求函数f (x )的解析式；(2)假设g (x )的图象与f (x )的图象关于直线x ＝2对称，求函数g (x )的解析式及g (x )的最小正周期．解：(1)由图，知A ＝2，T ＝7－(－1)＝8， ∴ω＝2πT ＝2π8＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ. 将点(－1,0)代入，得0＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ.∵|φ|＜π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.(2)作出与f (x )的图象关于直线x ＝2对称的图象(图略)，可以看出g (x )的图象相当于将f (x )的图象向右平移2个单位长度得到的，∴g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4(x －2)＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4，∴g (x )的最小正周期为2ππ4＝8.4．函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6＋1(ω＞0,0＜φ＜π) 为偶函数，且函数f (x )的图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值； (2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )的单调递减区间．解：(1)∵f (x )为偶函数，∴φ－π6＝k π＋π2(k ∈Z)，∴φ＝k π＋2π3(k ∈Z)．又0＜φ＜π，∴φ＝2π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＋1＝2cos ωx ＋1.又函数f (x )的图象的两相邻对称轴间的距离为π2，∴T ＝2πω＝2×π2，∴ω＝2，∴f (x )＝2cos 2x ＋1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π8＋1＝2＋1.(2)将f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，得到函数f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6的图象，所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6＋1 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3＋1. 当2k π≤x 2－π3≤2k π＋π(k ∈Z)，即4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3(k ∈Z)时，g (x )单调递减．∴函数g (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋2π3，4k π＋8π3(k ∈Z)．5．设m 为实常数，方程2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝m 在开区间(0,2π)内有两相异实根α，β. (1)求m 的取值范围； (2)求α＋β的值．解：作出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4在区间(0,2π)上的图象如下图．(1)假设方程2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝m 在区间(0,2π)内有两相异实根α，β，那么y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象与y ＝m 有两个相异的交点．观察图象知，当－2＜m ＜2且m ≠1时有两个相异的交点，即方程2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝m 在区间(0,2π)内有两个相异实根，故实数m 的取值范围为(－2，1)∪(1，2)．(2)当m ∈(－2，1)时，由图象易知两交点关于直线x ＝5π4对称，∴α＋β2＝5π4，α＋β＝5π2. 当m ∈(1，2)时，由图象易知两交点关于直线x ＝π4对称，∴α＋β2＝π4，α＋β＝π2， 故α＋β的值为5π2或π2.。
新教材高中数学 函数y=Asinωx+φ的图象及变换课后素养落实含解析新人教A版必修第一册
课后素养落实(五十三) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换(建议用时:40分钟)一、选择题1．下列表示函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图正确的是( )A BC DA [当x ＝π时,y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32排除B 、D. 当x ＝π6时y ＝sin 0＝0,排除C,故选A.]2．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上所有的点向左平移π4个单位长度,再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),则所得图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π12B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋5π12 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π12D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋5π24B [平移后得解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12,再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍得解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋5π12,故选B.]3．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象,只要将函数y ＝sin 2x 的图象( ) A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度C [因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6, 所以将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度,就可得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．] 4．(多选)函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象,可由函数y ＝sin x 的图象经过下列哪项变换而得到( )A ．向左平移π3个单位长度,横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标伸长到原来的3倍B ．向左平移π3个单位长度,横坐标缩短到原来的12,纵坐标伸长到原来的3倍C ．横坐标缩短到原来的12,向左平移π3个单位长度,纵坐标伸长到原来的3倍D ．横坐标缩短到原来的12,向左平移π6个单位长度,纵坐标伸长到原来的3倍BD [先平移后伸缩:先伸缩后平移:y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3―――――――――――――→纵坐标伸长为原来的3倍y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3,故BD 正确．] 5．将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象向左平移π3个单位长度,再将图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),则所得图象对应的函数解析式为( )A ．y ＝sin xB ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －2π3D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 B [将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象向左平移π3个单位长度后,得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象,再将图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3的图象,故选B.] 二、填空题6．将函数y ＝2cos 2x 的图象向右平移π2个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),得到的图象对应的函数解析式为__________．y ＝－2cos 4x [将函数y ＝2cos 2x 的图象向右平移π2个单位长度,可得函数y ＝2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＝2cos(2x －π)＝－2cos 2x 的图象,再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),得到函数y ＝－2cos 4x 的图象．] 7．将函数y ＝sin 4x 的图象向左平移π12个单位长度,得到函数y ＝sin(4x ＋φ)(0<φ<π)的图象,则φ的值为__________．π3 [将函数y ＝sin 4x 的图象向左平移π12个单位长度,得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3, 所以φ的值为π3.]8．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4图象上所有点的横坐标保持不变,纵坐标__________(填“伸长”或“缩短”)为原来的__________倍,将会得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象． 伸长 3 [A ＝3＞0,故将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4图象上所有点的横坐标保持不变,纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象．] 三、解答题9．已知函数f (x )的图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的2倍,然后把所得的图象沿x 轴向左平移π2个单位长度,这样得到的图象与y ＝12sin x 的图象相同,求f (x )的解析式．[解] 逆向思维,10．如图为一个观光缆车示意图,该观光缆车半径为4.8 m,圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈,图中OA 与地面垂直,以OA 为始边,逆时针转动θ角到OB ,设点B 与地面距离为h .(1)求h 与θ间关系的函数解析式；(2)设从OA 开始转动,经过t 秒到达OB ,求h 与t 间关系的函数解析式． [解] (1)由题意可作图如图．过点O 作地面平行线ON ,过点B 作ON 的垂线BM 交ON 于点M .当θ＞π2时,∠BOM ＝θ－π2.h ＝|OA |＋0.8＋|BM |＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2； 当0≤θ≤π2时,上述解析式也适合．则h 与θ间的函数解析式为h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2. (2)点在⊙O 上逆时针运动的角速度是2π60＝π30,∴t 秒转过的弧度数为π30t ,∴h ＝4.8sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π2＋5.6,t ∈[0,＋∞)．1．要得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象,只要将y ＝sin 2x 的图象( ) A ．向左平移π8个单位B ．向右平移π8个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π4个单位A [因为y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x －π4＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8, 所以将y ＝sin 2x 的图象向左平移π8个单位,得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象．] 2．(多选)以下结论正确的是( )A ．将y ＝sin x 的图象向右平移π个单位长度,得到y ＝－sin x 的图象B ．将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位长度,得到y ＝sin(x ＋2)的图象C ．将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位长度,得到y ＝sin(－x －2)的图象D ．将y ＝sin(－x )的图象向左平移π个单位长度,得到y ＝sin x 的图象ACD [将y ＝sin x 的图象向右平移π个单位长度所得图象的解析式为y ＝sin(x －π)＝－sin(π－x )＝－sin x ,所以A 正确；将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位长度得到图象的解析式为y ＝sin(x －2),所以B 错误；将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位长度所得图象的解析式为y ＝sin[－(x ＋2)]＝sin(－x －2),所以C 正确．将y ＝sin(－x )的图象向左平移π个单位长度,得到y ＝sin x 的图象,D 正确．]3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π,为了得到g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4的图象,只需将y ＝f (x )的图象上横坐标伸长为原来的____________倍.4 [∵f (x )的最小正周期为π,∴2πω＝π. ∴ω＝2.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 又g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4＝sin ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫14x ＋π4, ∴只需将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4的图象．]4．将函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移π6个单位长度得到y ＝A sin x 的图象,则ω＝__________,φ＝__________.12 π6 [y ＝A sin x 的图象向左平移π6个单位长度,得到y ＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象,再将每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到y ＝A sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图象即为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象,所以f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6,所以ω＝12,φ＝π6.]筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(如图1)．因其经济又环保,至今还在农业生产中得到使用(如图2)．假定在水流量稳定的情况下,筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动,因筒车上盛水筒的运动具有周期性,可以考虑利用三角函数模型刻画盛水筒(视为质点)的运动规律,将筒车抽象为一个几何图形,建立直角坐标系(如图3),设经过t 秒后,筒车上的某个盛水筒M 从点P 0运动到点P ,由筒车的工作原理可知,这个盛水筒距离水面的高度H (单位:m),由以下量所决定:简车转轮的中心O 到水面的距离h ,筒车的半径r ,筒车转动的角速度ω(单位:rad/s),盛水筒的初始位置P 0以及所经过的时间t (单位:s)．已知r ＝3 m,h ＝2 m,筒车每分钟转动(按逆时针方向)1.5圈,点P 0距离水面的高度为3.5 m,若盛水筒M 从点P 0开始计算时间,若将点P 距离水面的高度H 表示为时间t 的函数,求此函数表达式．图1 图2 图3[解] 过P 0向x 轴作垂线,垂足为A , 则P 0A ＝3.5－2＝1.5＝12r, ∴∠P 0OA ＝π6,筒车的角速度ω＝1.5×2π60＝π20,∴H ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π20t ＋π6＋2.。
【2019-2020】高中数学课时跟踪检测十二函数y=Asin(ωx+φ的图象及变换新人教A版必修4
教学资料参考范本【2019-2020】高中数学课时跟踪检测十二函数y=Asin(ωx+φ的图象及变换新人教A版必修4撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________层级一学业水平达标1．为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin x的图象( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向上平移个单位长度D．向下平移个单位长度解析：选B 将函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y＝sin.2．将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数是( )A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数解析：选A y＝sin 2xy＝sin＝sin＝－sin(π－2x)＝－sin2x.由于－sin(－2x)＝sin 2x，所以是奇函数．3．把函数y＝cos x的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，然后将图象沿x轴负方向平移个单位长度，得到的图象对应的解析式为( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋π2C ．y ＝cosD ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋π4解析：选B y ＝cos x 的图象上每一点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)得到y ＝cos 2x 的图象；再把y ＝cos 2x 的图象沿x 轴负方向平移个单位长度，就得到y ＝cos 2＝cos 的图象．4．函数y ＝sin 在区间上的简图是( )解析：选A 当x ＝0时，y ＝sin ＝－<0，故可排除B 、D ；当x ＝时，sin ＝sin 0＝0，排除C.5．把函数y ＝sin x 的图象上所有点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到的图象所对应的函数是( )A ．y ＝sinB ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋π6 C ．y ＝sinD ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋2π3解析：选C 把函数y ＝sin x 的图象上所有点向左平行移动个单位长度后得到函数y ＝sin 的图象，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数y ＝sin 的图象．6．将函数y ＝sin 图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数__________________的图象．解析：y ＝sin 的图象y ＝sin 的图象． 答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫15x－π37．函数y ＝sin 的图象可以看作把函数y ＝sin 2x 的图象向________平移________个单位长度得到的．解析：∵y＝sin ＝sin 2，∴由y ＝sin 2x 的图象向右平移个单位长度便得到y ＝sin 的图象．答案：右 π88．将函数y ＝sin 图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y ＝3sin 的图象．解析：A ＝3＞0，故将函数y ＝sin 图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y ＝3sin 的图象．答案：伸长 39．y ＝cos 的图象如何变换得到y ＝sin x 的图象？ 解：cos ＝cos ＝sin x ，所以将y ＝cos 的图象向右平移个单位长度便可得到y ＝sin x 的图象．10．已知函数f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x 轴向左平移个单位长度，这样得到的图象与y ＝sin x 的图象相同，求f(x)的解析式．解：反过来想，y ＝sin xy ＝siny ＝sin2x －，即f(x)＝sin.层级二 应试能力达标1．设g(x)的图象是由函数f(x)＝cos 2x 的图象向左平移个单位得到的，则g 等于( )A ．1B ．－12C ．0D ．－1解析： 选D 由f(x)＝cos 2x 的图象向左平移个单位得到的是g(x)＝cos 的图象，则g ＝cos ＝cos π＝－1.故选D.2．把函数y ＝sin 的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，所得函数图象的解析式为( )A ．y ＝sinB ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫10x－7π2C ．y ＝sinD ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫10x－7π4解析：选D 将原函数图象向右平移个单位长度，得y ＝sin ＝sin 的图象，再把y ＝sin 的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍得y ＝sin 的图象．3．下列命题正确的是( )A ．y ＝cos x 的图象向右平移个单位长度得到y ＝sin x 的图象B ．y ＝sin x 的图象向右平移个单位长度得到y ＝cos x 的图象C ．当φ＜0时，y ＝sin x 的图象向左平移|φ|个单位长度得到y ＝sin(x ＋φ)的图象D．y＝sin 的图象可以由y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到解析：选A A中，y＝cos x的图象y＝cos＝sin x的图象；B中，y＝sin x的图象y＝sin＝－cos x的图象；C中，y＝sin x的图象y＝sin(x＋|φ|)＝sin(x－φ)的图象；D中，y＝sin 2x的图象y＝sin 2＝sin的图象.4．为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝cos 2x的图象( )A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度解析：选C 由于y＝sin＝cos ＝cos ＝cos＝cos ，为得到该函数的图象，只需将y＝cos 2x的图象向右平移个单位长度．5．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象，则f ＝________.解析：将y＝sin x的图象向左平移个单位长度可得y＝sin的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y＝sin的图象，故f(x)＝sin，所以f ＝sin＝sin＝.答案：226．要得到y＝sin的图象，需将函数y＝cos 的图象上所有的点至少向左平移________个单位长度．解析：cos ＝sin，将y＝sin的图象上所有的点向左平移φ(φ＞0)个单位长度得y＝sin的图象．令＋＝2kπ＋，∴φ＝4kπ－，k∈Z.∴当k＝1时，φ＝是φ的最小正值．答案：11π37．函数f(x)＝5sin－3的图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的？解：先把函数y＝sin x的图象向右平移个单位，得y＝sin的图象；再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得y＝sin的图象；然后把所得函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)得函数y＝5sin的图象，最后将所得函数图象向下平移3个单位长度，得函数y＝5sin－3的图象．8．已知函数f(x)＝3sin，x∈R.(1)利用“五点法”画出函数f(x)在一个周期上的简图．(2)先把f(x)的图象上所有点向左平移个单位长度，得到f1(x)的图象；然后把f1(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到f2(x)的图象；再把f2(x)的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变)，得到g(x)的图象，求g(x)的解析式．解：(1)列表取值：描出五个关键点并用光滑连线连接，得到一个周期的简图.(2)将f(x)＝3 sin图象上所有点向左平移个单位长度得到f1(x)＝3sin＝3sinx的图象．把f1(x)＝3sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到f2(x)＝3sinx的图象，把f2(x)＝3sinx的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变)得到g(x)＝sinx的图象．所以g(x)的解析式g(x)＝sinx.。
y=Asin(ωx+φ)的图象性质同步练习-2022-2023学年高一上学期数学人教A版
三角函数图象的平移和伸缩变换
1、函数 的图像可由函数 的图像至少向右平移（ ）个单位长度得到．
A. B． C． D．
2、函数 的图像可由函数 的图像至少向右平移（ ）单位长度得到．
A. B． C． D．
3、为得到函数 的图象，只需要将函数 的图象（ ）
A．向左平行移动 个单位B．向右平行移动 个单位
2、已知函数 .
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)将 的图像向左平移 个单位长度，再将得到的图像横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到 的图像．若函数 在区间 上的图像与直线 有三个交点，求实数 的取值范围．
3、设 ．
（ห้องสมุดไป่ตู้）求使不等式 成立的 的取值集合；
（2）先将 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；再向右平移 个单位；最后向下平移 个单位得到函数 的图象．若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
A.
B.
C.
D.
14、已知函数 的部分图像如图所示，则满足条件 的最小正整数x为________．
综合运用
1、已知函数 ，其最小正周期为 .
（1）求 的表达式；
（2）将函数 的图像向右平移 个单位长度后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 的图像，求函数 在区间 上的值域.
A. B． C． D．
7、将函数 的图象向右平移 个周期后，所得图象对应的函数为
A． B． C． D．
8、先将函数 的周期变为原来的2倍，再将所得的图象向右平移 个单位，则所得图象的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
9、已知曲线 ， ，则下面结论正确的是（ ）
课时规范练32 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用-高考一轮复习人教A版(适用于新高考新教材)
课时规范练32函数y=A sin(ωx+φ)的图象及应用基础巩固练1.(2024·山西太原模拟)将函数y=sin(x-π3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移π3个单位长度,得到的图象对应的函数解析式是()A.y=sin12xB.y=sin(12x-π6)C.y=sin(12x-π2)D.y=sin(2x-π6)2.(2024·青海西宁模拟)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标保持不变,再把所得图象向左平移π3个单位长度,得到y=cos(x-π4)的图象,则f(x)=()A.cos(2x+π12)B.cos(2x-7π12)C.cos(2x-π12)D.cos(2x+7π12)3.(2023·全国甲,理10,文12)函数y=f(x)的图象由y=cos(2x+π6)的图象向左平移π6个单位长度得到,则y=f(x)的图象与直线y=12x-12的交点个数为()A.1B.2C.3D.44.(2024·湖北武汉模拟)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,其中A>0,ω>0,-π2<φ<0.在已知21的条件下,下列选项中可以确定其值的量为()A.ωB.φC.D.A sinφ5.(多选题)(2024·湖南邵阳模拟)函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,则下列结论正确的是()A.f(x)=sin(4x-π6)B.f(x)在区间[-5π12,-π6]上单调递减C.将f(x)的图象向左平移π12个单位长度后所得图象关于原点对称D.f(x)=12在区间[0,2π]上有4个实根6.(2024·重庆高三调研)已知某弹簧振子的位移y(单位:cm)与时间t(单位:s)满足y=A sin(ωt+φ)(ω>0),初始时将弹簧振子下压至-4cm,然后松开,经过测量发现弹簧振子每10s往复振动5次,则在第45s 时,弹簧振子的位移是cm.7.某同学用“五点法”画函数f(x)=A sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:ωx+φ02π322πx356f(x)=A sin(ωx+φ)05-50(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将函数y=f(x)图象上所有点向左平移θ(θ>0)个单位长度,得到函数y=g(x)的图象.若函数y=g(x)图象的一个对称中心为(5π12,0),求θ的最小值;(3)作出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象.综合提升练8.(多选题)(2024·山东潍坊模拟)将函数f(x)=sin(ωx-π6)(0<ω<6)的图象向右平移π6个单位长度后得到函数g(x)的图象,若(0,π)是g(x)的一个单调递增区间,则()A.f(x)的最小正周期为πB.f(x)在(2π3,4π3)上单调递增C.函数F(x)=f(x)+g(x)的最大值为3D.方程f(x)=-12在[0,2π]上有5个实数根9.(2021·全国甲,理16)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则满足条件(f(x)-f(-7π4))(f(x)-f(4π3))>0的最小正整数x为.10.(2024·江苏七市模拟)将函数f(x)=sin x的图象先向右平移π4个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的1(ω>0)倍(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象.(1)若ω=2,求函数y=g(x)在区间[-π4,π4]上的最大值;(2)若函数y=g(x)在区间(π4,π2)内没有零点,求ω的取值范围.创新应用练11.(2024·江西南昌模拟)潮汐现象是地球上的海水受太阳(作用较小)和月球的万有引力作用而产生的涨落现象.某港口具体时刻t(单位:小时)与对应水深y(单位:米)的函数关系式为y=3sinπ6t+10(0≤t≤24).某艘大型货船要进港,其相应的吃水深度(船底与水面的距离)为7米,船底与海底距离不小于4.5米时就是安全的,该船于2点开始卸货(一次卸货最长时间不超过8小时),同时吃水深度以0.375米/时的速度减少,该船8小时内没有卸完货,要及时驶入深水区域,则该船第一次停止卸货的时刻为.课时规范练32函数y=A sin(ωx+φ)的图象及应用1.B解析将函数y=sin(x-3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到图象对应的函数解析式为y=sin(12x-3),将y=sin(12x-3)的图象向左平移3个单位长度,得到的图象对应的函数解析式为y=sin(12(x+3)-3)=sin(12x-6).2.B解析将y=cos(x-4)的图象向右平移3个单位长度,得到y=cos[(x-3)-4]=cos(x-712),将y=cos(x-712)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得到y=cos(2x-712),所以f(x)=cos(2x-712).3.C解析由题意知f(x)=cos[2(x+6)+6]=cos2x+sin2x.在平面直角坐标系中画出y=-sin2x 与y=12x-12的图象草图,如图所示.由图可知,两函数图象有3个交点.故选C.4.B解析根据图象可知,函数f(x)的图象是由y=A sinωx的图象向右平移-φω个单位长度得到的,由图可知f(x1)=f(x2)=0,又-2<φ<0,根据“五点法”可得ωx1+φ=0,ωx2+φ=π,所以x2x1=-φ-φ,若x2x1为已知,则可求得φ=1-x2x1.5.BCD解析由图可得T=2×(56−3)=π,又ω>0,所以ω=2T=2,因为f(3)=1,所以sin(2×3+φ)=1,故2×3+φ=2kπ+2,k∈Z,又|φ|<π2,所以φ=-π6,故f(x)=sin(2x-π6),所以A错误;因为x∈[-5π12,-π6],所以2x-π6∈[-π,-π2],所以f(x)=sin(2x-π6)在区间[-5π12,-π6]上单调递减,故B正确;将f(x)的图象向左平移π12个单位长度后所得图象对应的函数解析式为y=sin2x,该函数为奇函数,其图象关于原点对称,故C正确;因为x∈[0,2π],所以2x-π6∈[-π6,23π6],由sin(2x-π6)=12,得2x-π6=π6或5π6或13π6或17π6,解得x=π6或x=π2或x=7π6或x=3π2,故有4个实数根,所以D正确.故选BCD.6.4解析由题意,A=4且最小正周期T=105=2,即2π=2,故ω=π,所以y=4sin(πt+φ).又4sinφ=-4,所以φ=-π2+2kπ,k∈Z,故y=4sin(πt-π2+2kπ)=-4cosπt,t≥0.当t=45时,y=-4cos45π=4.7.解(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=-π6,数据补全如下表:ωx+φ02π322πx123712561312f(x)=A sin(ωx+φ)050-50且函数f(x)的解析式为f(x)=5sin(2x-π6).(2)由(1)知f(x)=5sin(2x-π6),则g(x)=5sin(2x+2θ-π6).函数y=sin t的图象的对称中心为(kπ,0),k∈Z,令2x+2θ-π6=kπ,k∈Z,解得x=χ2+π12-θ,k∈Z.由于函数y=g(x)的图象关于点(5π12,0)中心对称,所以令χ2+π12-θ=5π12,k∈Z,解得θ=χ2−π3,k∈Z.由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值π6.(3)由(1)中数据作出函数f(x)在区间[π12,13π12]上的图象,如图所示.8.ACD解析函数f(x)=sin(ωx-π6)(0<ω<6)的图象向右平移π6个单位长度后得到g(x)=sin[ω(x-π6)-π6]=sin(ωx-χ6−π6)的图象,所以g(x)的最小正周期为T=2π,又(0,π)是g(x)的一个单调递增区间,所以g(0)=-1,即-χ6−π6=2kπ-π2,k∈Z,解得ω=-12k+2,k∈Z,因为0<ω<6,所以ω=2,故f(x)=sin(2x-π6).f(x)的最小正周期T=2π2=π,故A正确;令2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2,k∈Z,解得kπ-π6≤x≤kπ+π3,k∈Z,即f(x)的单调递增区间为[kπ-π6,kπ+π3],k∈Z,所以f(x)在(5π6,4π3)上单调递增,故B错误;g(x)=sin(2x-2π6−π6)=sin(2x-π2)=-cos2x,所以F(x)=sin(2x-π6)-cos2x=sin2x cosπ6-cos2x sinπ6-cos22x-32cos 2x=3sin(2x-π3),所以函数F(x)的最大值为3,故C正确;当x∈[0,2π]时,2x-π6∈[-π6,23π6],令f(x)=sin(2x-π6)=-12,则2x-π6=-π6或2x-π6=7π6或2x-π6=11π6或2x-π6=19π6或2x-π6=23π6,即方程f(x)=-12在[0,2π]上有5个实数根,故D正确.故选ACD.9.2解析由图可知,f(x)的最小正周期T=43π,∴ω=2.∵2,∴+=2,∴φ=-π6+2kπ,k∈Z.∴f(x)=2cos2.∴0,f-2cos(π2−π6)=1.由(f(x)-1)(f(x)-0)>0,得f(x)<0或f(x)>1.结合图象可知,满足f(x)>1的离y轴最近的正数区间为0无整数;f(x)<0的离y最小正整数x=2.10.解函数f(x)=sin x的图象向右平移π4个单位长度后得到y=sin(x-π4)的图象,再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的1(纵坐标不变),得到g(x)=sin(ωx-π4)的图象.(1)当ω=2时,g(x)=sin(2x-π4),当-π4≤x≤π4时,-3π4≤2x-π4≤π4,因为函数y=sin t在[-3π4,-π2]上单调递减,在[-π2,π4]上单调递增,sin(-π2)=-1,sin(-3π4),sinπ4=所以-1≤sin(2x-π4)≤所以y=g(x)在区间[-π4,π4].(2)g(x)=sin(ωx-π4),当π4<x<π2时,π4−π4<ωx-π4<π2−π4,要使g(x)在(π4,π2)内无零点,π4≥χ,π4≤(+1)π,k∈Z⇒4k+1≤ω≤2k+52,k∈Z,ω>0,4k+1≤2k+52⇒k≤34,当k=0时,1≤≤52;当k=-1时,-3≤≤12⇒0<≤12,当k≤-2时,ω<0舍去.综上,ω的取值范围为(0,12]∪[1,52].11.6时解析令船底与海底距离为f(t),则f(t)=3sinπ6t+10-[7-0.375(t-2)],t∈[2,10],所以f(t)=3sinπ6t+38+94,t∈[2,10],所以f'(t)=π2cosπ6t+38,又f'(3)=38>0,f'(6)=38−π2<0,f'(9)=38>0,所以∃t1∈(2,6),t2∈(6,10),f'(t1)=f'(t2)=0,所以当2≤t<t1或t2<t≤10时,f'(t)>0,当t1<t<t2时,f'(t)<0,所以f(t)在[2,t1),(t2,10]上单调递增;f(t)在(t1,t2)内单调递减.又因为f(2)3>4.5,f(6)=4.5,f(10)=64.5,所以当2≤t≤6时,f(t)≥4.5;当6<t≤10时,f(t)<4.5,所以该船第一次停止卸货的时刻为6时。
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学 习 资 料 汇编课时跟踪检测（十二） 函数y=Asin(ωx+φ）的图象及变换层级一 学业水平达标1．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向上平移π3个单位长度D ．向下平移π3个单位长度解析：选B 将函数y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.2．将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数 解析：选A y ＝sin 2x y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin ()2x －π＝－sin(π－2x )＝－sin 2x .由于－sin(－2x )＝sin 2x ，所以是奇函数．3．把函数y ＝cos x 的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12，然后将图象沿x 轴负方向平移π4个单位长度，得到的图象对应的解析式为( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4解析：选B y ＝cos x 的图象上每一点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)得到y ＝cos2x 的图象；再把y ＝cos 2x 的图象沿x 轴负方向平移π4个单位长度，就得到y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象．4．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 当x ＝0时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32<0，故可排除B 、D ；当x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6－π3＝sin 0＝0，排除C. 5．把函数y ＝sin x 的图象上所有点向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到的图象所对应的函数是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3 解析：选C 把函数y ＝sin x 的图象上所有点向左平行移动π3个单位长度后得到函数y＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象． 6．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数__________________的图象．解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象―――――――――――→图象上各点的纵坐标不变横坐标伸长为原来的5倍y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x －π3的图象．答案：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x －π37．函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象可以看作把函数y ＝12sin 2x 的图象向________平移________个单位长度得到的．解析：∵y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝12sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π8， ∴由y ＝12sin 2x 的图象向右平移π8个单位长度便得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象．答案：右π88．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象．解析：A ＝3＞0，故将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象． 答案：伸长 39．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象如何变换得到y ＝sin x 的图象？解：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin x ， 所以将y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象向右平移5π6个单位长度便可得到y ＝sin x 的图象．10．已知函数f (x )的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x 轴向左平移π2个单位长度，这样得到的图象与y ＝12sin x 的图象相同，求f (x )的解析式．解：反过来想，y ＝12sin x y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2y ＝12sin2x －π2，即f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2.层级二 应试能力达标1．设g (x )的图象是由函数f (x )＝cos 2x 的图象向左平移π3个单位得到的，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6等于( )A ．1B ．－12C ．0D ．－1解析： 选D 由f (x )＝cos 2x 的图象向左平移π3个单位得到的是g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π3＝cos π＝－1.故选D.2．把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －π2的图象向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，所得函数图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫10x －3π4B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫10x －7π2C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫10x －3π2 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫10x －7π4 解析：选 D 将原函数图象向右平移π4个单位长度，得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤5⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －7π4的图象，再把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －7π4的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫10x －7π4的图象． 3．下列命题正确的是( )A ．y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝sin x 的图象B ．y ＝sin x 的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝cos x 的图象C ．当φ＜0时，y ＝sin x 的图象向左平移|φ|个单位长度得到y ＝sin(x ＋φ)的图象D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象可以由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位长度得到 解析：选A A 中，y ＝cos x 的图象y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin x 的图象；B 中，y ＝sin x 的图象y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x 的图象；C 中，y ＝sin x 的图象y ＝sin(x ＋|φ|)＝sin(x －φ)的图象；D 中，y ＝sin 2x 的图象y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3的图象.4．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π3个单位长度D ．向左平移π3个单位长度解析：选C 由于y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，为得到该函数的图象，只需将y ＝cos 2x 的图象向右平移π3个单位长度．5．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.解析：将y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的图象，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22.答案：226．要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3的图象，需将函数y ＝cos x 2的图象上所有的点至少向左平移________个单位长度．解析：cos x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π2，将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π2的图象上所有的点向左平移φ(φ＞0)个单位长度得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋φ2＋π2的图象．令φ2＋π2＝2k π＋π3，∴φ＝4k π－π3，k ∈Z.∴当k ＝1时，φ＝11π3是φ的最小正值．答案：11π37．函数f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－3的图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到的？ 解：先把函数y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象；再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象；然后把所得函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)得函数y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，最后将所得函数图象向下平移3个单位长度，得函数y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－3的图象．8．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，x ∈R.(1)利用“五点法”画出函数f (x )在一个周期⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，9π2上的简图．(2)先把f (x )的图象上所有点向左平移π2个单位长度，得到f 1(x )的图象；然后把f 1(x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到f 2(x )的图象；再把f 2(x )的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的13倍(横坐标不变)，得到g (x )的图象，求g (x )的解析式．解：(1)列表取值：描出五个关键点并用光滑连线连接，得到一个周期的简图.(2)将f (x )＝3 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4图象上所有点向左平移π2个单位长度得到f 1(x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2－π4＝3sin 12x 的图象．把f 1(x )＝3sin 12x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到f 2(x )＝3sin 14x 的图象，把f 2(x )＝3sin 14x 的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的13倍(横坐标不变)得到g (x )＝sin 14x 的图象．所以g (x )的解析式g (x )＝sin 14x .敬请批评指正。