上海市青浦区东方中学2019-2020学年八年级上学期期中数学试题(教师版)

2019-2020学年青浦区东方中学八年级（上）期中数学试卷
一．选择题
1. 下列方程中，关于x 的一元二次方程是( )
A. 3(x ＋1)2＝2(x ＋1)
B. 21x ＋1x －2＝0
C. ax 2＋bx ＋c ＝0
D. x 2＋2x ＝x 2－1 【答案】A
【解析】
【分析】
依据一元二次方程的定义判断即可．
【详解】A. 3(x+1)2=2(x+1)是一元二次方程，故A 正确； B. 21x ＋1x
－2＝0是分式方程，故B 错误； C. 当a=0时,方程ax 2+bx+c=0不是一元二次方程，故C 错误；
D. x 2+2x=x 2-1，整理得2x=-1是一元一次方程，故D 错误；
故选A.
【点睛】此题考查一元二次方程的定义，解题关键在于掌握其定义.
2. 下列命题的逆命题是假命题的是
A. 等腰三角形的两个底角相等
B. 两直线平行，内错角相等
C. 全等三角形三条对应边相等
D. 全等三角形的周长相等
【答案】D
【解析】
【分析】
根据真命题和假命题的定义以及逆命题与逆定理的定义分别判断得出即可．
【详解】A 、等腰三角形的两个底角相等的逆命题是：两个角相等的三角形是等腰三角形，说法正确，是真命题；
B 、两直线平行，内错角相等的逆命题为“内错角相等，两直线平行”，逆命题为真命题，说法正确，是真命题；
C 、全等三角形三条对应边相等的逆命题是：三条对应边相等的是全等三角形，说法正确，是真命题；
D 、全等三角形的周长相等的逆命题是：周长相等的三角形是全等三角形，说法错误，是假命题； 故选D ．
【点睛】此题主要考查了命题与定理，正确根据定义得出是解题关键．
3. 如图,在△ABC中,BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于点E.如果∠BAC=60°,∠ACE=24°,那么
∠BCE的大小是()
A. 24°
B. 32°
C. 30°
D. 36°
【答案】B
【解析】
【分析】
由EF是BC的垂直平分线，得到BE=CE，根据等腰三角形的性质得到∠EBC=∠ECB，由BD是∠ABC的平分线，得到∠ABD=∠CBD，根据三角形的内角和即可得到结论．
【详解】解：∵EF是BC的垂直平分线，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠DBC=∠ECB，
∵∠BAC=60°，∠ACE=24°，
∴∠ABD=∠DBC=∠ECB=1
3
（180°﹣60°﹣24°）=32°．
故选B．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
4. 在函数y＝kx（k＞0）的图象上有三点A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3），已知x1＜x2＜0＜x3，则下列各式中正确的是（）
A. y1＜0＜y3
B. y3＜0＜y1
C. y2＜y1＜y3
D. y3＜y1＜y2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正比例函数的图象性质.
【详解】k>0,正比例函数，y随x增大而增大.
≠图象性质:
【点睛】正比例函数y=kx(k0)
k>，正比例函数图象过一、三象限和原点,y随x增大而增大；
0,
k<，正比例函数图象过二、四象限和原点,y随x增大而减小.
0,
二．填空题
5. 方程5x=x2的根是_________________________.
【答案】x1=0，x2=5
【解析】
【分析】
先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．
【详解】5x=x2，
x2-5x=0，
x（x-5）=0，
x=0或x-5=0，
x1=0，x2=5．
故答案为x1=0，x2=5．
【点睛】此题考查解一元二次方程-因式分解法，解题关键在于掌握先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了．
6. 已知m是方程x2-2x-1=0的根，则m(m-2)的值是________________.
【答案】1
【解析】
【分析】
将m代入已知方程可以求得（m2-2m）的值，然后将其整体代入所求的代数式求值即可．
【详解】∵m是方程x2-2x-1=0的根，
∴m2-2m-1=0，
∴m2-2m=1，
∵m(m-2)= m2-2m
∴m2-2m=1，．
故答案是：1.
【点睛】此题考查一元二次方程的根即方程的解的定义．解题关键在于注意解题中的整体代入思想． 7. 一元二次方程x 2-mx-2=0的根的情况是______________________.
【答案】有两个不相等的实根．
【解析】
【分析】
根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=m 2+8＞0，进而可得出该方程有两个不相等的实根，此题得解．
【详解】a=1，b=-m ，c=-2，
△=b 2-4ac=（-m ）2-4×1×（-2）=m 2+8．
∵m 2≥0，
∴m 2+8＞0，
∴一元二次方程x 2-mx-2=0有两个不相等的实根．
故答案为有两个不相等的实根．
【点睛】此题考查根的判别式，解题关键在于牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 8. 在实数范围内分解因式：x 2+2x-4=________________________________.
【答案】（（．
【解析】
【分析】
根据把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得因式分解．
【详解】x 2+2x-4= x 2+2x+1-1-4= =（x+1）22=（）（，
故答案为（（．
【点睛】此题考查因式分解，解题关键在于把一个多项式转化成几个整式积的形式．
9. 函数()24
f x x =-的定义域是___________． 【答案】02x x ≥≠且
【解析】
【分析】
根据分母不等于0，二次根式有意义的条件，列式进行计算即可得解．
【详解】有意义，所以0x ≥.因为分母不等于0，所以240x -≠，则2x ≠.故答案为02x x ≥≠且.
【点睛】本题考查函数自变量的取值范围，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件及分式分母不为0.
10. 已知，那么f(6)=____________.
【答案】
【解析】
【分析】
将x=6代入计算即可．
【详解】把x=6代入f（x）
故答案
【点睛】本题主要考查的是求函数值，掌握二次根式的性质是解题的关键．
11. 受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高.据统计，2016年利润为2亿元，2018年利润为2.88亿元.设平均利润增长率为x，则依题意列出方程为_________________________.
【答案】2（1+x）2=2.88
【解析】
【分析】
设平均利润增长率x，根据题意得2（1+x）2=2.88，即可解答.
【详解】设平均利润增长率为x，根据题意得
2（1+x）2=2.88，
故答案为2（1+x）2=2.88.
【点睛】此题考查一元二次方程的应用，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大．
12. 反比例函数
2
y
x
=的图像在第__________象限．
【答案】一、三
【解析】
【分析】
根据反比例函数中2＞0判断出此函数所在的象限即可. 【详解】∵此函数中k=2＞0，
∴此函数的图象在一、三象限，
故答案为一、三
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数y=k
x
（k≠0）的图象是双曲线，当k＞0，双曲线
的两支分别位于第一、第三象限．
13. 点A(-1，3)在正比例函数y=kx的图像上，则y随着x的增长而___________.
【答案】减小
【解析】
【分析】
把A（-1，3）代入y=kx求出k，根据议程函数的性质即可求出答案．
【详解】把A（-1，3）代入y=kx得：3=-k，
∴k=-3＜0，
∴y随x的增大而减小．
故答案为减小．
【点睛】此题考查解一元一次方程，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能根据一次函数的性质进行说理是解此题的关键．
14. 已知双曲线y=k
x
经过点A（a，a+4）和点B（2a，2a-1），则a的值是_________.
【答案】2
【解析】
【分析】
根据反比例函数图象上点的坐标特征得出k=a（a+4）=2a（2a-1），解方程即可求得．
【详解】根据题意得k=a（a+4）=2a（2a-1），
解得a=2，k=12．
故答案为2.
【点睛】此题考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据坐标特征得出k=a（a+4）=2a（2a-1）是解题的关键．
15. 在ΔABC中，∠C=90°，DE是AB边上的垂直平分线，交BC于点E，若∠EAC：∠EAB=5：2，则∠B=_____°. 【答案】20
【解析】
【分析】
由垂直平分线可求出AE=EB，再利用边角关系以及角的比例求出角的大小．
【详解】∵DE垂直平分斜边AB，∴AE=BE，
∴∠EAB=∠B，
∵∠C=90°
∴∠CAB+∠B=90°．
∵∠EAC：∠EAB=5：2，
∴∠EAC=50°，∠EAB=∠B=20°，
故答案为:20°．
【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，解题关键在于熟练掌握等腰三角形的性质及判定．
16. DE.FG分别是ΔABC的AB.AC边上的垂直平分线，且∠BAC=100°，那么∠DAF的度数为______°.
【答案】20
【解析】【分析】根据三角形内角和定理得到∠B+∠C=80°，根据线段垂直平分线的性质DA=DB，得到∠DAB=∠B，结合图形计算，得到答案．
【详解】∵BAC=100°，
∴∠B+∠C=80°，
∵DE是AB边上的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B，
同理，∠FAC=∠C，
∴∠DAB+∠FAC=∠B+∠C=80°，
∴∠DAF=∠BAC-（∠DAB+∠FAC）=20°，
故答案为20.
【点睛】此题考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
是解题的关键．
17. 如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是
45cm2，AB=16cm，AC=14cm，则DE=______．
【答案】3cm
【解析】
∵AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，
∴DE=DF.
∵S △ABC =S △ABD +S △ACD =12AB ⋅DE+12AC ⋅DF=12(AB+AC)⋅DE ∴12DE(AB+AC)=45，即：1(1614)452
DE ⨯+=， 解得：DE=3（cm ）. 18. 点A 在双曲线y=
1x 上，点B 在双曲线y=3x 上，且AB ∥x 轴，过点A,B 分别向x 轴作垂线，垂足分别为D.C ，那么四边形ABCD 的
面积是__________________.
【答案】2
【解析】
【分析】
根据反比例函数系数k 的几何意义得出矩形EODA 的面积为：1，矩形BCOE 的面积是3，则矩形ABCD 的面积为：3-1=2．
【详解】过点A 作AE ⊥y 轴于点E ，
∵点A 在双曲线y=1x 上，点B 在双曲线y=3x
上， ∴矩形EODA 的面积为：1，矩形EOCB 的面积是3，
∴矩形ABCD 的面积为：3-1=2，
故答案为2． 【点睛】此题考查反比例函数关系k 的几何意义，得出矩形EODA 和矩形BCOE 的面积是解题关键．
三．解答题
19. 解方程：210x -+=
【答案】x 1，x 2
【解析】
【分析】
分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】210x -+=
21+1-10x -+=
(2
-10x =
x 1，x 2
【点睛】此题考查解一元二次方程，关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．
20. 用配方法解方程：2x 2-6x-1=0
【答案】x 1=
2，x 2=2 【解析】
【分析】
根据配方法即可求出答案．
【详解】2x 2-6x-1=0，
∴x 2-3x=
12， ∴x 2-3x+
94114=， ∴（x-32）2=114
，
∴x 1=2，x 2=2
【点睛】此题考查解一元二次方程，解题关键是熟练运用一元二次方程的解法．
21. 解方程：4(x+3)2=25(x-2)2
【答案】x 1＝
163，x 2＝47
. 【解析】
【分析】
两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】解：4(x+3)2=25(x-2)2，
开方得：2(x+3)=±5(x-2)，
解得：x1＝16
3
，x2＝
4
7
【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，难度适中．
22. 表示汽车性能的参数有很多，例如：长宽高.轴距.排量.功率.扭矩.转速.百公里油耗等等.为了了解某种车的耗油量，某专业检测人员对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成下表：
①根据上表可知，每小时耗油升；
②根据上表的数据，写出用Q与t的关系式：；
③汽车油箱中剩余油量为55L，则汽车行驶了小时.
【答案】（1）6 (2)Q=100-6t (3)7.5
【解析】
【分析】
①根据表中数据即可得到结论；
②由表格可知，开始油箱中的油为100L，每行驶1小时，油量减少6L，据此可得t与Q的关系式；
③求汽车油箱中剩余油量为55L，则汽车行使了多少小时即是求当Q=55时，t的值；
【详解】①据上表可知，每小时耗油100-94=6 升；
②Q=100-6t；
③当Q=55时，55=100-6t，
6t=45，
t=7.5．
答：汽车行使了7.5小时；
【点睛】此题考查常量与变量，函数的表示方法，整式的加减，解答本题的关键是列出表达式．
23. 已知y=y1+y2，并且y1与（x﹣1）成正比例，y2与x成反比例．当x=2时，y=5；当x=﹣2时，y=﹣9．求y关于x的函数解析式．
【答案】y=2（x﹣1）+6
x
．
【解析】
【分析】
可设y1=k（x-1），y2=
k
x
'
，把已知条件代入则可求得y与x的函数解析式．
【详解】由题意可设y1=k（x﹣1），y2=
k
x
'
，
∴y=y1+y2=k（x﹣1）+
k
x
'
，
把x=2，y=5；x=﹣2，y=﹣9代入可得
(21)5
2
{
(21)9
2
k
k
k
k
-+=
-
'
-+=-
-
'
，解得
2
{
6
k
k
=
'=
，
∴y关于x的函数解析式为y=2（x﹣1）+
6
x
．
【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式，设出函数解析式是解题的关键．
24. 如图，要建一个面积为140平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙长16米;在与墙平行的一边，要开一扇2米宽的门.已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米，那么这个仓库设计的长和宽应分别为多少米?
【答案】仓库的长和宽分别为14米，10米．
【解析】
分析】
设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（32-2x+2）米，根据矩形面积公式可列出方程，求出答案．
【详解】设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（32-2x+2）米，
由题意得x•（32-2x+2）=140，
整理，得x2-17x+70=0，
解得x1=10，x2=7，
当垂直于墙的边长为7米，则平行于墙的长度为32-14+2=20（米）＞16米，舍去；
当垂直于墙的边长为10米，则平行于墙的长度为32-20+2=14（米）；
答：仓库的长和宽分别为14米，10米．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解答本题的关键在于利用图形得出平行于墙的一边长为（32-2x+2）米．
25. 关于x 的一元二次方程2(31)+210mx m x m ---=，其根的判别式的值为1，求m 的值及该方程的根．
【答案】x 1=1, x 2=32. 【解析】 【详解】解：,(31),21a m b m c m ==--=-，
⊿=b 2-4ac=（3m-1）2+4m(1-2m)=1,
∴m=2或0
显然m=2．
当m=2时，
此方程的解为： x 1=1, x 2=32
. 26. 为了响应“低碳环保，绿色出行”的公益活动，小燕和妈妈决定周日骑自行车去图书馆借书.她们同时从家出发，小燕先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m 米/分钟的速度到达图书馆，而妈妈始终以120米/分钟的速度骑行，两人行驶的路程y （米）与时间x （分钟）的关系如图，请结合图像，解答下列问题：
（1）图书馆到小燕家的距离是 米；
（2）a= ，b= ，m= ；
（3）妈妈行驶的路程y （米）关于时间x （分钟）的函数解析式是 ；定义域是 .
【答案】（1）3000 (2)10 15 200 (3)y=120x ，0≤x≤25
【解析】
【分析】
（1）根据函数图象中的数据可以直接写出图书馆到小燕家的距离；
（2）根据题意和函数图象中的数据可以得到a 、b 、m 的值；
（3）根据函数图象中的数据可以得到妈妈行驶的路程y （米）关于时间x （分钟）的函数解析式以及定义域．
【详解】（1）由图象可得，
图书馆到小燕家的距离是3000米，
故答案为3000；
（2）a=1500÷
150=10， b=a+5=10+5=15，
m=（3000-1500）÷（22.5-15）=200，
故答案为10，15，200；
（3）妈妈行驶的路程y （米）关于时间x （分钟）的函数解析式是y=kx ，
当y=3000时，x=3000÷
120=25， 则3000=25k ，得k=120，
即妈妈行驶的路程y （米）关于时间x （分钟）的函数解析式是y=120x ，定义域是0≤x≤25，
故答案为y=120x ，0≤x≤25．
【点睛】此题考查一次函数的应用，解题关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 27. 已知正比例函数图象经过（﹣2，4）．
（1）如果点（a ，1）和（﹣1，b ）在函数图象上，求a ，b 的值；
（2）过图象上一点P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，S △OPQ ＝154
，求Q 的坐标．
【答案】（1）12
a =-
，2b = （2）（00， 【解析】
【分析】 （1）设正比比例函数的解析式为y ＝kx （k ≠0），再把（﹣2，4）代入求出k 的值，进而得出其解析式，把点（a ，1）和（﹣1，b ）代入求出a 、b 的值即可；
（2）设P （x ，﹣2x ），则Q （0，﹣2x ），根据三角形面积公式即可得出P 点坐标，进而求得Q 的坐标.
【详解】（1）设正比比例函数的解析式为y ＝kx （k ≠0），
∵正比例函数图象经过（﹣2，4），
∴4＝﹣2k ，
解得k ＝﹣2，
∴正比例函数的解析式为y＝﹣2x．
∵点（a，1）和（﹣1，b）在函数图象上，∴1＝﹣2a，b＝﹣1×（﹣2），
解得
1
2
a=-，b＝2；
（2）设P（x，﹣2x），则Q（0，﹣2x），
∵S△OPQ＝15
4
，
∴﹣1
2
x（﹣2x）＝
15
4
，
解得x＝
15
2±，
∴Q（0，15）或（0，-15）.
【点睛】此题考查正比例函数图象上点的坐标特征，正比例函数的应用，运算能力，正比例函数与几何图形面积问题.
28. 已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．
（1）求证：PM＝PN；
（2）联结MN，求证：PD是MN的垂直平分线．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB＝∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可得到答案；
（2）利用“HL”证明Rt△PDM≌Rt△PDN，根据全等三角形对应边相等可得DM＝DN，然后根据线段的
垂直平分线性质定理的逆定理即可得到结论；
【详解】解：(1) ∵BD 为∠ABC 的平分线，
∴∠ABD ＝∠CBD ，
在△ABD 和△CBD 中，
AB BC ABD CBD BD BD =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩
＝ ,
∴△ABD ≌△CBD （SAS ），
∴∠ADB ＝∠CDB ，
∵点P 在BD 上，PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，
∴PM ＝PN （角平分线上的点到角两边的距离相等）；
（2）在Rt △PDM 和Rt △PDN 中，
PM PN PD PD =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △PDM ≌Rt △PDN （HL ），
∴DM ＝DN ，
∴D 在MN 的垂直平分线上，
∵PM ＝PN ，
∴P 在MN 的垂直平分线上，
∴PD 是MN 的垂直平分线．
【点睛】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB 和DM=DN 是解题的关键．
29. 已知：如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=
4x 3的图象经过A ，点A 的纵坐标为4，反比例函数y=k x
的图象也经过点A ，在第一象限内的点B 在这个反比例函数图象上，过点B 做BC ∥x 轴，交y 轴于点C ，且AC=AB ，求：
(1)这个反比例函数的解析式；
(2)ΔABC 的面积.
【答案】（1）y=12
x
(2)6
【解析】【分析】
（1）根据正比例函数y=4
x
3
的图象经过点A，点A的纵坐标为4，求出点A的坐标，根据反比例函数y=
k
x
的图象经过点A，求出k的值；
（2）根据点A的坐标和等腰三角形的性质求出点B的坐标，运用三角形的面积公式即可解答.
【详解】（1）∵正比例函数y=4
x
3
的图象经过点A，点A的纵坐标为4，
∴点A的坐标为（3，4），
∵反比例函数y=k
x
的图象经过点A，
∴k=12，
∴反比例函数的解析式为：y=12
x
；
（2）如图，连接AC、AB，作AD⊥BC于D，
∵AC=AB，AD⊥BC，
∴BC=2CD=6，
∴点B的坐标为：（6，2），
∵点A的坐标为（3，4），点B的坐标为：（6，2），
∴SΔABC=1
2
×6×2=6.
【点睛】此题考查待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和一次函数与反比例函数的交点的求法，解题关键在于注意数形结合的思想在解题中的应用．。