2018-2019学年浙江省金华市十校高二上学期期末调研考试数学试卷及解析

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2018-2019学年浙江省金华市十校高二(上)期末数学试卷(解析版)

2018-2019学年浙江省金华市十校高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）在空间直角坐标系中，点（1，2，3）与点（﹣1，2，3）（）A．关于xOy平面对称B．关于xOz平面对称C．关于yOz平面对称D．关于x轴对称2．（5分）圆x2+y2＝2与圆x2+y2+2x﹣2y＝0的位置关系是（）A．相交B．内切C．外切D．相离3．（5分）“x＞a“是“x＞|a|“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）给定①②两个命题：①为“若a＝b，则a2＝b2”的逆否命题；②为“若x＝﹣3，则x2+x﹣6＝0”的否命题．则以下判断正确的是（）A．①为真命题，②为真命题B．①为假命题，②为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题5．（5分）设l，m是两条异面直线，下列命题中正确的是（）A．存在与l，m都垂直的直线，存在与l，m都平行的平面B．存在与l，m都垂直的直线，不存在与l，m都平行的平面C．不存在与l，m都垂直的直线，存在与l，m都平行的平面D．不存在与l，m都垂直的直线，不存在与l，m都平行的平面6．（5分）已知f（x）＝，则f′（）＝（）A．﹣2﹣ln2B．﹣2+ln2C．2﹣ln2D．2+ln27．（5分）如图，在空间四边形ABCD中，∠ABD＝∠CBD＝90°，∠ABC＝45°，BC＝BD＝1，AB＝，则异面直线AB与CD所成角的大小是（）A．90°B．60°C．45°D．30°8．（5分）经过坐标原点O的直线l与曲线y＝|sin x|相切于点P（x0，y0）．若x0∈（π，2π），则（）A．x0+cos x0＝0B．x0﹣cos x0＝0C．x0+tan x0＝0D．x0﹣tan x0＝0 9．（5分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的右焦点是F，O为坐标原点若椭圆上存在一点P，使△POF是等腰直角三角形，则椭圆的离心率不可能是（）A．B．C．D．10．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为线段A1D1、BC上的动点，设直线EF与平面AC、平面BC1所成角分别是θ、φ，则（）A．θ＞φ，（tanθ）min＝B．θ＝φ，θmax＝45°C．θ＜φ，θmax＝45°D．θ＝φ，θmin＝45°二、填空题（每题4分，满分40分，将答案填在答题纸上）11．（6分）已知直线l：m2x+my﹣5＝0，若l的倾斜角为45°，则实数m＝；若直线l与直线x﹣2y﹣1＝0垂直，则实数m＝．12．（6分）已知函数f（x）＝x3﹣3x，则f（x）在x＝0处的切线方程为；单调递减区间是．13．（6分）某空间几何体的三视图如图所示，已知俯视图是一个边长为2的正方形，侧视图是等腰直角三角形．则该几何体的最长的棱的长度为；该几何体的体积为．14．（6分）如图，已知抛物线C：y2＝8x，则其准线方程为；过抛物线C焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AF|＝3，则|BF|＝．15．（6分）若函数f（x）＝e﹣x（x2+ax﹣a）在R上单调递减，则实数a的值为．16．（6分）过曲线C1：的左焦点F1作曲线C2：x2+y2＝a2的切线，设切点为M，延长F1M交曲线C3：y2＝2px（p＞0）于点N，其中C1、C3有一个共同的焦点，若|MF1|＝|MN|，则曲线C1的离心率为．17．（4分）已知矩形ABCD，AB＝，AD＝1，现将△ACD沿对角线AC向上翻折，若翻折过程中BD的长度在|，|范围内变化，则点D的运动轨迹的长度是．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18．（12分）已知平面上有两点A（﹣1，0），B（1，0）．（Ⅰ）求过点B（1，0）的圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4的切线方程；（Ⅱ）若P在圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4上，求AP2+BP2的最小值，及此时点P的坐标．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1C⊥AB，侧面BCC1B1为菱形．（1）求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1；（2）如果点D，E分别为A1C1，BB1的中点，求证：DE∥平面ABC1．20．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB垂直于平面BCD，BC⊥CD，BC＝CD，AB ＝BD，点E，G分别为AD，BD的中点，点F为AC上一点，AF＝λAC，直线CG∥平面BEF．（Ⅰ）求λ的值；（Ⅱ）求直线FG和平面BEF所成角的正弦值．21．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），右焦点F2（2，0），点（，1）在椭图上（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设P（x0，y0）（y0＞0）为椭圆C上一点，过焦点F1，F2的弦分别为P A，PB，设＝λ1，＝λ2，若λ1＝2，求λ2的值22．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣2x|x﹣a|，其中x∈[﹣2，2]．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）的最大值和最小值；（Ⅱ）当＜a＜2时，证明：f（x）在[﹣2，2]上有且仅有一个极大值点和一个极小值点（分别记为x1，x2），且为定值．2018-2019学年浙江省金华市十校高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：在空间直角坐标系中，点（1，2，3）与点（﹣1，2，3）关于yOz平面对称．故选：C．2．【解答】解：圆心分别为（0，0），（﹣1，1），半径分别为，，圆心距为：，两圆半径之和为2所以两圆相交．故选：A．3．【解答】解：若a≥0，由x＞|a|得x＞a，若a＜0，则由x＞|a|得x＞﹣a，此时x＞﹣a＞a成立，即必要性成立，当a＜0时，不妨设a＝﹣1，则由x＞﹣1，不一定推出x＞|﹣1|，即充分性不成立，则“x＞a“是“x＞|a|“的必要不充分条件，故选：B．4．【解答】解：若a＝b，则a2＝b2为真命题，可得其逆否命题也为真命题，故①为真命题；“若x＝﹣3，则x2+x﹣6＝0”的否命题为“若x≠﹣3，则x2+x﹣6≠0”，取x＝2，可得x2+x﹣6＝0，故②为假命题．故选：C．5．【解答】解：在正方体ABCD﹣中，M，N，P，Q分别是所在棱的中点，AB和CC1是异面直线，BC⊥AB且BC⊥CC1；AB∥平面MNPQ，CC1∥平面MNPQ．∴由l，m是两条异面直线，知：存在与l，m都垂直的直线，存在与l，m都平行的平面．故选：A．6．【解答】解：f（x）＝（），则函数的导数为f′（x）＝•＝（﹣），则f′（）＝•（﹣）＝（2+ln2）＝2+ln2，故选：D．7．【解答】解：如图，在平面BCD内过B作BG∥CD，且BG＝CD，则∠ABG为异面直线AB与CD所成角，连接AC，AG，CG，在△BCD中，由∠CBD＝90°，BC＝BD＝1，可得CD＝，∴BG＝．在△ABC中，∠ABC＝45°，BC＝1，AB＝，由余弦定理可得．由∠ABD＝∠CBD＝90°，可得BD⊥平面ABC，则CG⊥平面ABC，可得∠ACG＝90°．在Rt△ACG中，可得AG＝，又AB＝，∴△ABG为等边三角形，即∠ABG＝60°．∴异面直线AB与CD所成角的大小是60°．故选：B．8．【解答】解：经过坐标原点O的直线l与曲线y＝|sin x|相切于点P（x0，y0），若x0∈（π，2π），可得直线与y＝﹣sin x相切于P，由y＝﹣sin x的导数y′＝﹣cos x，可得﹣cos x0＝，即有x0＝＝tan x0，即为x0﹣tan x0＝0，故选：D．9．【解答】解：如图，当∠OFB＝90°时，则，即b2＝a2﹣c2＝ac，∴e2+e﹣1＝0，解得e＝（舍），或e＝；当∠POF＝90°时，b＝c，则b2＝a2﹣c2＝c2，得e＝；当∠OPF＝90°时，以OF为直径的圆的方程为，联立，得c2x2﹣a2cx+a2b2＝0．由△＝a4c2﹣4a2b2c2≥0，得a2﹣4b2＝a2﹣4（a2﹣c2）≥0，即，可得，∵∉[，1），∈[，1）．∴椭圆的离心率不可能是．故选：C．10．【解答】解：过E作EM⊥平面AC，交AD于M，过E作EN⊥平面BC1，交B1C1于N，连结MF，NF，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为a，则EM＝EN＝a，MF≥a，NF≥a，∠EFM＝θ，∠EFN＝φ，∴tanθ＝≤1，∴θmax＝45°，∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，EM⊥平面AC，EN⊥平面BC1，∴四边形EMFN的四个内角都是90°，∴θ＜φ，θmax＝45°，故选：C．二、填空题（每题4分，满分40分，将答案填在答题纸上）11．【解答】解：直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率k＝tan45°＝1，即直线斜率存在，则m≠0，则直线的斜截式方程为y＝﹣mx+，即﹣m＝1，得m＝﹣1，直线x﹣2y﹣1＝0的斜截式方程为y＝x﹣，直线斜率为，直线l的斜截式方程为y＝﹣mx+，直线斜率k＝﹣m，若直线l与直线x﹣2x﹣1＝0垂直，则﹣m＝﹣1，即m＝2，故答案为：﹣1，2．12．【解答】解：函数f（x）＝x3﹣3x的导数为f′（x）＝3x2﹣3，可得f（x）在x＝0处的切线斜率为﹣3，切点为（0，0），则切线的方程为y＝﹣3x；由3x2﹣3＜0，可得﹣1＜x＜1，可得减区间为（﹣1，1）．故答案为：y＝﹣3x，（﹣1，1）．13．【解答】解：根据几何体的三视图，复原为几何体是：下底为边长为2的长方形，高为的四棱锥体，所以：最长的棱长为l＝＝几何体的体积为：V＝，故答案为：．14．【解答】解：由抛物线C：y2＝8x，得p＝4，．∴抛物线的准线方程为x＝﹣2；设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线定义知：|AF|＝，|BF|＝，且|AF|+|BF|＝|AB|，∴x1+x2＝|AB|﹣p，又，∴＝＝＝＝．由抛物线的性质可得：＝，又|AF|＝3，∴|BF|＝6．故答案为：x＝﹣2；6．15．【解答】解：f′（x）＝，若f（x）在R递减，则﹣x2+（2﹣a）x+2a≤0在R恒成立，即x2+（a﹣2）x﹣2a≥0在R恒成立，故△＝（a﹣2）2+8a≤0恒成立，故（a+2）2≤0恒成立，故a＝﹣2，故答案为：﹣2．16．【解答】解：设双曲线C1的右焦点F2，作NA⊥抛物线C2的准线于点A，则易得：丨NF1丨＝2丨MF1丨＝2b，丨NF2丨＝2丨MO丨＝2a＝丨AN丨，由Rt△F1MO～Rt△NAF1，则＝，∴，∴b2＝ac，则c2﹣a2﹣ac＝0，由e＝，则e2﹣e﹣1＝0，e＞1∴．曲线C1的离心率．故答案为：．17．【解答】解：过D作DE⊥AC，垂足为E，连接BE，D′E．∵矩形ABCD中，AB＝，AD＝1，∴DE＝，BE2＝AB2+AE2﹣2AB•AE cos30°＝3+﹣2×××＝，则BE＝．∴D点的轨迹为以E为圆心，以为半径的圆弧．∠D′ED为二面角D﹣AC﹣D′的平面角．以E为原点，以EA，ED，ED′为坐标轴建立空间直角坐标系E﹣xyz，设∠D′ED＝θ，则D（0，cosθ，sinθ），B（﹣1，﹣，0）∴BD＝＝，∴≤≤解得﹣≤cosθ≤，∴≤θ≤，∴D点轨迹的圆心角为，∴D点轨迹的长度为×＝π．故答案为：π．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4的圆心为（3，4），半径r＝2，分2种情况讨论：①，当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝1，与圆相切，符合题意，②，当直线的斜率存在时，设切线的方程为y＝k（x﹣1），则有＝2，解可得k＝，此时切线的方程为y＝（x﹣1），即3x﹣4y﹣3＝0，综合可得：切线的方程为x＝1或3x﹣4y﹣3＝0；（Ⅱ）根据题意，设P（m，n），则AP2+BP2＝（m+1）2+n2+（m﹣1）2+n2＝2（m2+n2）+2，又由OP＝，则当OP最小时，AP2+BP2取得最小值，又由P在圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4上，则OP min＝5﹣2＝3，即（m2+n2）的最小值为9，此时AP2+BP2取得最小值，且其最小值为2×9+2＝20；此时m＝3×＝，n＝3×＝，即P的坐标为（，）．19．【解答】解：（1）因三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BCC1B1为菱形，故B1C⊥BC1．…2分又B1C⊥AB，且AB，BC1为平面ABC1内的两条相交直线，故B1C⊥平面ABC1．…5分因B1C⊂平面BCC1B1，故平面ABC1⊥平面BCC1B1．…7分（2）如图，取AA1的中点F，连DF，FE．又D为A1C1的中点，故DF∥AC1，EF∥AB．因DF⊄平面ABC1，AC1⊂平面ABC1，故DF∥面ABC1．…10分同理，EF∥面ABC1．因DF，EF为平面DEF内的两条相交直线，故平面DEF∥面ABC1．…12分因DE⊂平面DEF，故DE∥面ABC1．…14分．20．【解答】解：（Ⅰ）连结AG，交BE于P，连结PF，∵CG∥平面BEF，CG⊂平面ACG，平面ACG∩平面BEF＝PF，∴CG∥PF，在△ACG中，＝，在△ACG中，点E，G分别为AD，BD的中点，∴＝＝，∴＝．（Ⅱ）如图，以B为原点，BD，BA所在直线分别为y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝2，则B（0，0，0），E（0，1，1），F（，），G（0，1，0），＝（0，1，1），＝（，），G（0，1，0），设平面BEF的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（0，1，﹣1），设直线FG和平面BEF所成角为θ，∵＝（﹣），∴sinθ＝＝＝．∴直线FG和平面BEF所成角的正弦值为．21．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得c＝2，即a2﹣b2＝4，又+＝1，解得a＝，b＝，则椭圆方程为+＝1；（Ⅱ）设直线AP：x＝my﹣2，BP：x＝ny+2，A（x1，y1），B（x2，y2），＝2，可得y0＝﹣2y1，＝λ2，可得y0＝﹣λ2y2，（λ2＞1），联立x＝my﹣2和x2+3y2＝6，可得（3+m2）y2﹣4my﹣2＝0，y0+y1＝，y0y1＝﹣，同理可得y0+y2＝﹣，y0y2＝﹣，①由y0＝﹣2y1，可得﹣y1＝，﹣2y12＝﹣，消去y1，可得m2＝，由y0＞0，可得m＝，可得P（﹣，），由y0＝﹣λ2y2，代入①可得（1﹣λ2）y2＝﹣，﹣λ2y22＝﹣，可得＝，又n＝＝＝﹣，即有8λ22﹣65λ2+8＝0，解得λ2＝8或（舍去），所以λ2＝8．22．【解答】解：（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝x3﹣2x|x|，考虑x＞0时，f（x）＝x3﹣2x2，f′（x）＝3x（x﹣），当x＞时，f′（x）＞0，当0＜x＜时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，）递减，在（，2）递增，又根据奇函数的对称性知：f（x）在（﹣，）递减，在（﹣2，﹣），（，2）递增，而f（﹣2）＝f（2）＝0，f（﹣）＝，f（）＝﹣，故f（x）的最大值是f（﹣）＝，最小值是f（）＝﹣；（Ⅱ）①当＜a＜2时，f（x）＝，当a＜x≤2时，f′（x）＝3x2﹣4x+2a＝3+2a﹣＞0，故f（x）在（a，2）递增，没有极值点，当﹣2≤x≤a时，f′（x）＝3x2+4x﹣2a，f′（﹣2）＝4﹣2a＞0，f′（0）＝﹣2a＜0，f′（a）＝3a2+2a＞0，故f′（x）在（﹣2，a）有2个根x1，x2，其中x1∈（﹣2，0），x2∈（0，a），则f（x）在（﹣2，x1）和（x2，a）递增，在（x1，x2）递减，又f（x）在（a，2）递增，故f（x）在（﹣2，x1）递增，在（x1，x2）递减，在（x2，2）递增，故f（x）在（﹣2，2）上有且只有一个极大值点x1和一个极小值点x2，②∵x1，x2是方程f′（x）＝3x2+4x﹣2a＝0的两个根，∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝﹣，f（x1）﹣f（x2）＝（+2﹣2ax1）﹣（+2﹣2ax2）＝（x1﹣x2）[（+x1•x2+）+2（x1+x2）﹣2a]＝（x1﹣x2）（+﹣﹣2a）＝（x1﹣x2）（﹣﹣），又＝﹣4x1x2＝+，∴＝﹣为定值．。

浙江省金华十校2018-2019学年高二第一学期数学期末调研试卷(扫描版详细解析)

金华十校2018-2019学年第一学期调研考试高二数学卷全解一、选择题(4×10=40分)1．C【解析】因为两点的y坐标和z坐标相等，x坐标相反，所以两点关于yOz平面对称，选C．2．A【解析】两圆的圆心分别是()-，圆心距0,0和()1,1是2，半径都是2，所以两圆相交，选A．3．B【解析】因为|a|≥a，所以x>|a|⇒ x>a，但x>a⇏x>|a|，所以选B．4. C【解析】若a=b，则a2=b2是真命题，所以逆否命题为真，①为真命题，“若x=-3，则x2+x-6=0”的否命题是“若x≠－3，则x2＋x－6≠0”是假命题，所以②为假命题，选C5．A【解析】l，m是两条异面直线，设n为与l平行且与m 相交的直线，则存在与n ，m 都垂直的直线，也存在与与n ，m 都平行的平面，从而也存在与l ，m 都垂直的直线，存在与l ，m 都平行的平面，选A ． 6．D 【解析】()()1211222ln 22x x xxf x x--⨯'=，所以112ln 2ln 222f ⎛⎫'=-=+ ⎪⎝⎭，选D ．7． B 【解析】补成正方形，如图，异面直线AB 与CD所成角为60º，所以选B ．8． D 【解析】x ∈(π,2π)时，y =|sin x |=-sin x ，∴ y ′ =-cos x ，∴00cos =-y x x ，tan x 0= x 0故选D ．9．C 【解析】（1）若OP =OF ，则e =2.2（2）若PF =OF ，则记F 1为左焦点，则15PF c =，1512=52a PF PF c c e -+=-⇒=；（3）若PF =OP ，则记F 1为左焦点，则1102,22PF c PF c ==，11021022=222a PF PF c c e -+=+⇒=．选C ．10．B 【解析】EF 在平面A 1C 上运动，而平面A 1C 平分90º二面角A 1D 1-BC -B 1C 1，∴θ=ϕ 且θ max =45º，故选B.二、填空题（9-12题每题6分，13-15题每题4分，共36分）11．-1，2．【解析】若直线l 的倾斜角为45°，则斜率为1，由已知l 的斜率为－m ，所以m ＝-1；若直线l 与直线x －2y －1＝0垂直，则实数－m·12=-1，得m ＝2．12．y =-3x ，(-1,1)．【解析】f '(x )＝3x 2－3，f ' (0)＝－3，所以f (x )在x =0处的切线方程为y =－3x ；令f ' (x )＝3x 2－3<0，得-1<x <1，所以f (x )单调递减区间是(-1,1)． 13．10，423．【解析】描述的几何体是一个直四棱锥，底面正方形边长2，棱锥高为10，最长的棱长为()()22222+=10；V =13Sh =21223⨯⨯=423．14．x =-2，6．【解析】易得准线方程为x =-2；设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，AF= x 1+2=3，得x 1=1，又因为x 1·x 2=24p =4，得x 2=4，所以BF = x 2+2=6．15．-2【解析】f (x )＝2e ()x x ax a -+-在R 上单调递减，则f ' (x )≤0在R 上恒成立，又f ' (x )=2(2)2xx a x ae -+-+，令f ' (x )≤0得2(2)2x a x a +--≥0，△=(a +2)2≤0，得a =-2． 16．512+．【解析】如图所示，由题意可知，OM ⊥F 1N ，且M 为线段F 1N 的中点，所以|AN |＝|F 2N |＝2a ，F 2N ⊥F 1N ，在Rt △F 1F 2N 中，cos ∠NF 1F 2＝b c，在Rt △F 1AN 中，cos ∠F 1NA ＝a b，又因为∠NF 1F 2＝∠F 1NA ，所以b c＝a b，即c 2－a 2＝b 2＝ac ，解得e ＝512+或e ＝152-(舍去)．17．36π．【解析】如图，已知D 在以DO （DO AC ⊥，32DO =）为半径的半圆上运动，所在面与AO 垂直，过B 作BE DO ⊥于E ，则DE 即上述圆的直径，190BED ∠=o ，290BED ∠=o （设1D ，2D 为D 两个位置点12137,22BD BD ==），因1BE =，则 1233,22ED ED ==，则1260D OD ∠=o ，所以运动的路程圆弧长为36π三. 解答题(74分)18. 解：(Ⅰ)①斜率不存在时：1x = 满足条件；……………………………………… 2分②斜率存在时，设直线:(1)l y k x =-，2343241k k k k--=⇒=+，即3430x y --=.∴切线方程为： 1x =和3430x y --=.…………………………………………6分(Ⅱ)在△ABP中，由余弦定理可知：()2222142AP BP OP AB +=+，………… 8分 EBAEBA则当OP最小时，22AP BP +取最小值. ………………………………………… 11分所以OP min =5-2=3，394129123,3,,555555x y P P P ⎛⎫=⨯==⨯= ⎪⎝⎭.…………………14分 19. 解：(Ⅰ)∵三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1为菱形，故B 1C⊥BC 1． ………………………………………………………………………2分又B 1C ⊥AB ，且AB ，BC 1为平面ABC 1内的两条相交直线，故B 1C ⊥平面ABC 1． (5)分因B 1C ⊂平面BCC 1B 1，故平面ABC 1⊥平面BCC 1B 1． ……………………………………………………… 7分(Ⅱ)如图，取AA 1的中点F ，连DF ，FE ．又D 为A 1C 1的中点，故DF ∥AC 1，EF ∥AB ．因DF ⊄平面ABC 1，AC 1⊂平面ABC 1，故DF ∥面ABC 1． ………………………………………………………………12分同理，EF∥面ABC1．因DF，EF为平面DEF内的两条相交直线，故平面DEF∥面ABC1．…………………………………………………………14分因DE⊂平面DEF，故DE∥面ABC1．…………………………………………………………………15分20. 解：(Ⅰ)连结AG交BE于点P，连结PF，因为CG∥平面BEF，又因为CG⊂平面ACG，平面ACG∩平面BEF=PF．所以CG∥PF．………………………………………………………………………4分那么在△ACG中，AFAC =AP AG在△ACG中，点E，G分别为,AD BD的中点，所以PGAP=EGAB=12，所以λ=AFAC =APAG=23．………………………………………………………7分(Ⅱ)如图，以B 为原点，BD ，BA 所在直线分别为 y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．不妨设AB =2．则B (0,0,0)，E (0,1,1)，F (23,23,23)，G (0,1,0)． …………………10分BE u u u r=(0,1,1)，BE u u u r=(23,23,23)．设平面BEF 的法向量n =(x ,y , z )，则0,0.BE BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n 即0,2()0.3y z x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩ 取y =1，得平面BEF 的一个法向量n =(0,1,-1)， ……………………………3分又FGu u u r =(-23,13,-23)，所以sin θ=FG ⋅u u u r n n=11332+=22．………………………15分21. 解：(Ⅰ)由已知条件得：22224,311,a b ab ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得：226,2,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆的方程为：22162x y +=………………………………………………… 6分(Ⅱ)设直线PA ：x =my -2，直线PB ：x =ny +2，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2). 由112PF F A=u u u r u u u r，得y 0=-2 y 1，由222PF F Bλ=u u u u r u u u u r ，得y 0=2λ-y 2．……………………8分联立222,3 6.x my x y =-⎧⎨+=⎩得22(3)420m y my +--=．所以0120124,32.m y y m y y ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=同理0220224,32.n y y n y y -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=由y 0=-2 y 1，得1012210124,322.3m y y y m y y y m ⎧-=+=⎪⎪+⎨-⎪-=⋅=⎪+⎩消去m 得m 2=15．……………………… 11分由y 0>0，得m =55，代入可得P (32-,52)．又220222220224(1),32.3n y y y n y y y n λλ-⎧-=+=⎪⎪+⎨-⎪-=⋅=⎪+⎩得22222(1)83n n λλ-=+．(*) ……………………14分又21PF n k ==7252-=75-，代入(*)式可得22286580λλ-+=，解得2λ=8或2λ=18(舍去)，所以2λ=8. …………………………………………… 15分22.解：(Ⅰ)当0a =时，f (x )=x 3-2x |x |是奇函数，考虑x >0时，f ( x )=x 3-2x 2. 求导得()243433f x x x x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭，……………………………………………2分当43x >时，()0f x '>，当403x <<时，()0f x '<所以f (x )在40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增；又根据奇函数的对称性，可知f (x )在44,33⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，42,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭和4,23⎛⎫⎪⎝⎭单调递增。

2019-2020学年浙江省金华十校高二上学期期末考试数学试题(解析版)

2019-2020学年浙江省金华十校高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．已知向量()2,4,3a =-，()1,2,b x =-，若a b ⊥，则x =（）． A ．32-B ．103C ．2-D ．2【答案】B【解析】根据空间向量垂直的坐标表示得出关于x 的方程，解出即可. 【详解】由a b ⊥，可得0a b ⋅=，即2830x --+=，解得103x =，故选：B ．【点睛】本题考查利用空间向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.2．已知x 、y R ∈，则“221x y +<”是“()()110x y -->”成立的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】根据充分条件、必要条件的定义结合不等式的性质判断即可. 【详解】由221x y +<，可得11x -<<，且11y -<<，则可得到()()110x y -->，故充分性成立；反之若()()110x y -->，可取2x y ==，显然得到不等式221x y +<不成立，故必要性不成立. 故选：A ．【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也涉及了不等式基本性质的应用，考查推理能力，属于中等题.3．已知直线a 、b 和平面α，则下列命题正确的是（）C ．若//a b ，a α⊥，则b α⊥D ．若a b ⊥，b α⊥，则a α⊂【答案】C【解析】逐一分析各选项的正误，即可得出结论. 【详解】对于A 选项，若//a b ，b α⊂，则//a α或a α⊂，A 选项错误；对于B 选项，若a b ⊥，//b α，则//a α或a α⊂或a 与α相交，B 选项错误；对于C 选项，若//a b ，a α⊥，则b α⊥，C 选项正确；对于D 选项，若a b ⊥，b α⊥，则a α⊂或//a α，D 选项错误. 故选：C. 【点睛】本题考查有关线面位置关系命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.4．已知1m <且0m ≠，则二次曲线2211x y m m -=-与22143x y +=必有（）A ．不同的顶点B ．不同的焦距C ．相同的离心率D ．相同的焦点【答案】D【解析】分01m <<和0m <两种情况讨论，确定二次方程2211x y m m-=-所表示的曲线的形状，并求出焦点坐标，从而得出结论. 【详解】若01m <<，则011m <-<，此时，二次方程2211x y m m -=-所表示的曲线为焦点在x轴上的双曲线，焦距为2=，焦点坐标为()1,0±，而椭圆22143x y +=的焦点坐标为()1,0±，此时两曲线的焦点重合；若0m <，则10m m ->->，二次曲线2211x y m m+=--表示焦点在x 轴上的椭圆，且焦距为2=，焦点坐标为()1,0±，此时，两曲线的焦点重合.综上所述，二次曲线2211x y m m -=-与22143x y +=必有相同的焦点.【点睛】本题考查根据椭圆、双曲线的标准方程求焦点的坐标，解题时要对参数的取值进行分类讨论，并结合标准方程确定焦点的位置，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 5．在平面直角坐标系中，坐标原点O 到过点()cos130,sin130A ，()cos70,sin 70B 的直线距离为（）A ．12B．2CD ．1【答案】C【解析】求出直线AB 的方程，然后利用点到直线的距离公式可计算出原点到直线AB 的距离. 【详解】2sin 70sin130cos 20cos 40cos 202cos 2011cos 20cos 70cos130sin 20sin 40sin 202sin 20cos 20sin 20ABk -===--+--+=+⋅sin10cos10=，根据诱导公式可知：()sin 20,cos 20B ，所以经过A 、B 两点的直线方程为：()sin10cos 20sin 20cos10y x -=-，即sin10cos10cos10cos 20sin10sin 200x y -+-=，即()sin10cos10cos 10200x y -++=，即3sin10cos1002x y -+=，所以原点O 到直线的距离为22210cos 10d ==+，故选：C ．【点睛】本题考查点到直线距离的计算，涉及二倍角公式和两角和的余弦公式的应用，解题的关键就是求出直线的方程，考查计算能力，属于中等题.6．若()()()2311f x x f x '=-+，则()()22f f '-=（）【解析】对函数()()()2311f x x f x '=-+求导，代入1x =，可求出()1f '的值，进而可求出函数()y f x =的解析式，可计算出()2f 和()2f '的值，进而得出()()22f f '-的值.【详解】求导()()312f x f x ''=+，令1x =，则()()1312f f ''=+．解得()11f '=-，因此()()231f x x x =--+，()23f x x '=-，所以()2341f =-+=．21f，因此，()()220f f '-=，故选：B ．【点睛】本题考查导数值的计算，考查运算求解能力，属于基础题.7．如图，在菱形ABCD 中，23ABC π∠=，线段AD 、BD 的中点分别为E 、F ．现将ABD ∆沿对角线BD 翻折，当二面角A BD C --的余弦值为13时，异面直线BE 与CF 所成角的正弦值是（）A ．35 B ．16C 26D ．15【答案】A【解析】过E 作EH BD ⊥，交BD 于H 点，设二面角A BD C --的大小为α，设BE 与CF 的夹角为θ，则0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，由向量数量积的运算律得出CF BE CF HE ⋅=⋅，由题意可得出12HE BE =，利用数量积的定义可求出cos ,CF BE <>的值，即可求出cos θ的值，进而利用同角三角函数的平方关系可求出sin θ的值. 【详解】设BE 与CF 的夹角为θ，则0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，记二面角A BD C --的大小为α，()CF BE CF BH HE CF HE ⋅=⋅+=⋅，即()cos CF BE CF HE πα⋅=⋅-，即11cos ,23CF BE CF BE CF BE ⎛⎫⋅<>=⋅⋅- ⎪⎝⎭， 1cos ,6CF BE ∴<>=-，所以1cos 6θ=，即35sin 6θ=，故选：A ．【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，同时也考查了二面角的定义，涉及利用空间向量数量积的计算，考查计算能力，属于中等题.8．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，满足()()0f x f x '->，则（） A ．()()xG x e f x =是增函数，()()20202019ef f >B ．()()xG x e f x =是减函数，()()20202019ef f <C ．()()xf x F x e=是增函数，()()20202019f ef > D ．()()xf x F x e=是减函数，()()20202019f ef < 【答案】C【解析】利用导数判断函数()y G x =和函数()y F x =的单调性，再利用函数的单调性可判断出各选项中不等式的正误.构造函数()()xG x e f x =，则()()()xG x e f x f x ''=⋅+⎡⎤⎣⎦，()()f x f x '+的符号无法确定，所以，函数()y G x =的单调性不能确定，A 、B 选项错误；构造函数()()x f x F x e =，则()()()0x f x f x F x e '-'=>，所以()()xf x F x e=单调递增，所以()()20202019F F >，即()()2020201920202019f f e e>，即()()20202019f ef >，故选：C ．【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性，并利用函数的单调性来判断不等式，根据导数不等式的结构构造合适的函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9．已知中心在原点的椭圆和双曲线有共同的左、右焦点1F 、2F ，两曲线在第一象限的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形，若18PF =，椭圆和双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则1221e e +的取值范围是（） A ．()4,+∞ B ．()4,7C ．()2,4D．()4【答案】B【解析】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，焦距为2c ，则22PF c =，利用双曲线的定义和三角形三边关系求得24c <<，然后利用【详解】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，焦距为2c ，则22PF c =，由椭圆和双曲线的定义可得12822822c a c a +=⎧⎨-=⎩，解得12440a c a c =+⎧⎨=->⎩，又因为2121PF F F PF +>，即48c >，解得2>c ，即24c <<，所以()12122218241214,7a a c c e e c c c+++-+===+∈，故选：B ．本题主要考查椭圆和双曲线离心率倒数和取值范围的计算，根据题意得出半焦距的取值范围是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.10．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 、N 分别为边AB 、BC 的中点，沿DE 将ADE ∆折起，点A 折至1A 处（1A 与A 不重合），若M 、K 分别为线段1A D 、1A C 的中点，则在ADE ∆折起过程中（）A ．DE 可以与1A C 垂直B ．不能同时做到//MN 平面1A BE 且//BK 平面1A DEC ．当1MN AD ⊥时，MN ⊥平面1A DED ．直线1AE 、BK 与平面BCDE 所成角分别为1θ、2θ，1θ、2θ能够同时取得最大值【答案】D【解析】逐一分析各选项的正误，从而可得出结论. 【详解】对于A ，连接EC ，假设1DE A C ⊥，45AED BEC ∠=∠=，90DEC ∠=，DE EC ∴⊥，1AC EC C =，DE ∴⊥平面1A EC ，1A E ⊂平面1A EC ，1DE A E ∴⊥，而145A ED ∠=，∴A 错误；对于B ，取DE 、DC 中点G 、F ，连接GM 、GN 、FK 、FB ，//BE CD ，12BE CD =，则四边形BEDC 为梯形，且BE 、CD 为底，又G 、N 分别为DE 、BC 的中点，//GN BE ∴，GN ⊄平面1A BE ，BE ⊂平面1A BE ，//GN ∴平面1A BE ， MG GN G ⋂=，∴平面//MGN 平面1A BE ，MN ⊂平面MGN ，//MN ∴平面1A BE ，同理可得//BK 平面1A DE ，B 选项错误；对于C ，连接ME 、EN ，当1MN A D ⊥时，22222224MN DN DM CD CN DM CD =-=+-==，而2254ME EN ==，222ME EN MN ∴+≠， MN ∴与ME 不垂直，即MN 不垂直平面1A DE ，C 选项错误；对于D ，1A 在以DE 为直径球面上，球心为G ，1A ∴的轨迹为1A AF ∆外接圆（1A 与F 不重合，F 为CD 的中点），连接EC ，取EC 中点T ，连接TK 、TB ，则1//TK A E ，//BT DE ，且1180KTB A ED ∠+∠=，118018045135KTB A ED ∴∠=-∠=-=，在KTB ∆中，11122KT A E ==，122BT CE ==，由余弦定理得22252cos1354BK BT KT BT KT =+-⋅=，5BK ∴=.当直线BK 与平面BCDE 所成角取得最大值时，点K 到平面BCDE 的距离最大，由于点K 为1A C 的中点，此时，点1A 到平面BCDE 的距离最大，由于11A E =，当1A E 与平面BCDE 所成角最大时，点1A 到平面BCDE 的距离最大. 所以，直线1A E 、BK 与平面BCDE 所成角能同时取到最大值. 故选：D ．【点睛】本题考查空间翻折几何体的应用，考查线线、线面位置关系的判断，考查线面角的求解，考查推理能力、空间想象能力以及运算求解能力，属于难题.二、填空题11．设两直线()11:34m x l y -+=与()2:251l x m y +-=，若12l l //，则m =______；若12l l ⊥，则m =______．【答案】7133【解析】根据两直线平行和垂直的等价条件列出关于实数m 的方程，解出即可. 【详解】12//l l ，则()()35832m m m ⎧--=⎨-≠⎩，即28701m m m ⎧-+=⎨≠⎩，解得7m =；13故答案为：7；133. 【点睛】本题考查利用两直线平行与垂直求参数，考查计算能力，属于基础题. 12．已知函数()21xf x xe =-，则函数()f x 的极小值为______，零点有______个．【答案】112e-- 1 【解析】求出函数()y f x =的导数，求出极值点，分析该函数的单调性，可求得该函数的极小值，令()0f x =，可得出21xe x=，作出函数2xy e =与函数1y x =的图象，观察两个函数图象的交点个数，可得出函数()y f x =的零点个数. 【详解】()21x f x xe =-，()()222212x x x f x e xe x e '=+=+，令()0f x '=，可得12x =-，如下表所示：所以，函数()y f x =的极小值为11122f e ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， ()210x f x e x=⇒=，则函数()y f x =的零点个数等于函数2xy e =与函数1y x =的图象的交点个数，如下图所示：两个函数的图象有且只有一个交点，即函数()y f x =只有一个零点. 故答案为：112e--；1．【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，同时也考查了函数零点个数的求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.13．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为______；外接球的体积为_________.【答案】323+823【解析】把几何体放入长方体中，根据三视图的数据可计算出该三棱锥的表面积，计算出长方体的体对角线长，可得出该三棱锥外接球的半径，利用球体体积公式可求出球的体积. 【详解】把该几何体放入长方体中，如图所示三棱锥A BCD -就是该几何体，其中长方体的长和宽都为2，高为2，所以该三棱锥的表面积为()2111122222263232222⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++. 又因为该长方体的体对角线长为()2222222+⨯=，故其外接球的半径为2，所以外接球的体积为()3482233ππ⨯=．故答案为：323++；823π.【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的表面积，同时也考查了三棱锥外接球体积的计算，解题的关键就是利用三视图将几何体还原，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题. 14．已知抛物线2y ax =的准线方程为1x =-，则a =______，若过点()4,0P 的直线与抛物线相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则124y y +的最小值为______．【答案】4 16【解析】根据抛物线的标准方程得出准线方程，可求出实数a 的值，设直线AB 的方程为4x my =+，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用基本不等式可求出124y y +的最小值. 【详解】抛物线2y ax =的准线方程为4a x =-，所以，14a-=-，解得4a =，设直线AB 的方程为4x my =+，代入抛物线方程24y x =可得，24160y my --=，所以1216y y =-，即2116y y =，所以12111164644216y y y y y y +=+≥⋅=，故当18y =，即18y =±时取到最小值，最小值为16.故答案为：4；16. 【点睛】本题考查由抛物线准线的方程求参数，同时也考查韦达定理的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 15．已知函数()2143ln 2f x x x x =-+在区间3,2t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上是单调函数，则实数t 的取值范围______．【答案】[)31,3,2⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦【解析】利用导数求出函数()2143ln 2f x x x x =-+的单调增区间为()0,1和()3,+∞，单调递减区间为()1,3，由题意可知，区间3,2t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为这三个区间的子集，从而可列出关于实数t 的不等式组，解出即可. 【详解】函数()2143ln 2f x x x x =-+的定义域为()0,∞+，()23434x x f x x x x-+'=-+=. 令()0f x '>，可得01x <<或3x >；令()0f x '<，可得13x <<.所以，函数()y f x =的单调增区间为()0,1和()3,+∞，单调递减区间为()1,3. 由于函数()y f x =在3,2t t ⎛⎫+⎪⎝⎭上单调，则3,2t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为以上三个区间的子集.①若()3,0,12t t ⎛⎫+⊆ ⎪⎝⎭，可得0312t t t ≥⎧⎪⇒∈∅⎨+≤⎪⎩； ②若()3,1,32t t ⎛⎫+⊆ ⎪⎝⎭，可得1332t t ≥⎧⎪⎨+≤⎪⎩，解得312t ≤≤；③若()3,3,2t t ⎛⎫+⊆+∞ ⎪⎝⎭，则3t ≥.因此，实数t 的取值范围是[)31,3,2⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦.故答案为：[)31,3,2⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，将问题转化为所涉及的区间为单调区间的子集是解题的关键，考查化归与转化思想以及运算求解能力，属于中等题.16．如图，菱形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，60DAB ∠=，AC 和BD 交于点O ，AB AF =，点P 为线段CE 上任意一点，直线OP 与平面FBD 所成角为α，则sin α的取值范围______．【答案】27,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】证明出平面FBD ⊥平面ACEF ，可得出FOP ∠就是OP 与平面FBD 所成角或其补角，然后找到角α取最大值和最小值时对应的点P 的位置，求出相应的sin α值，即可求出sin α的取值范围. 【详解】四边形ABCD 是菱形，可得AC BD ⊥，又平面ABCD ⊥平面ACEF ，平面ABCD平面ACEF AC =，BD ⊂平面ABCD ，BD ∴⊥平面ACEF ，BD ⊂平面FBD ，∴平面FBD ⊥平面ACEF ，故点P 在平面FBD 上的射影落在FO 上，即FOP ∠就是OP 与平面FBD 所成角或其补角，如图所示，当点P 在点H 位置，所成角为2π，即sin α最大为1； P 向两边移动，线面角变小，故只需比较FOE ∠和FOA ∠的大小就行，23tan 33AFFOA AOAB∠===<3FOA π∴∠<，故23FOE FOA ππ∠=-∠>，所以，当点P 与点C 重合时，角α最小，且2tan 27sin sin 7tan 1FOA FOA FOA α∠=∠==∠+. 因此，sin α的取值范围是27,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为：27,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查线面角正弦值取值范围的计算，解题的关键就是找出点的临界位置，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 17．已知抛物线212y x =的焦点为F ，F 是抛物线上两点，且AF BF n +=，若线段AB 的垂直平分线与y 轴的交点为()0,4C ，则n =______．【答案】7【解析】设点()2112,2A t t 、()2222,2B t t ，求出线段AB 的垂直平分线方程，由该直线过点C ，得出22123t t +=，然后利用抛物线的定义可求出n 的值.【详解】设点()2112,2A t t 、()2222,2B t t ，则12AB k t t =+，线段AB 的中点()221212,M t t t t ++，从而AB 的中垂线方程为()221212121y x t t t t t t =---+++，该直线过点()0,4，从而221214t t ++=，从而22123t t +=，从而222212121122221231722n AF BF t t t t +=+++=++=+=⨯=. 故答案为：7. 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，考查抛物线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题18．已知点()1,2P ，圆22:60C x y y +-=．（1）若直线l 过点P 且在两坐标轴上截距之和等于0，求直线l 的方程；（2）设A 是圆C 上的动点，求OA OP ⋅（O 为坐标原点）的取值范围．【答案】（1）20x y -=和10x y -+=；（2）6⎡-+⎣.【解析】（1）分两种情况讨论，①直线l 过原点，可设直线l 的方程为y kx =；②当两截距均不为零时，设直线l 的方程为1x ya a+=-.将点P 的坐标代入上述直线l 的方程，求出参数值，综合可得出直线l 的方程；（2）设点()3cos ,33sin A θθ+，利用平面向量数量积的坐标运算得出OA OP ⋅，结合辅助角公式和正弦型函数的值域可求出OA OP ⋅的取值范围. 【详解】（1）当截距均为0即直线过原点时，设直线l 的方程为y kx =．代入()1,2P ，解得2k =，直线l 的方程为20x y -=；当截距均不为0时，设直线l 的方程为1x y a a+=-，代入()1,2P ，解得1a =-，直线方程为10x y -+=.综上所述，所求直线l 的方程为20x y -=和10x y -+=；（2）将圆C 方程整理为()2239x y +-=，则有3cos 33sin x y θθ=⎧⎨-=⎩，所以可设()3cos ,33sin A θθ+，()()3cos 233sin 6sin 3cos 66OA OP θθθθθϕ⋅=++=++=++，其中cos 5ϕ=，sin 5ϕ=，由于R θ∈，所以6OA OP ⎡⋅∈-+⎣．【点睛】本题考查直线的截距式方程，同时也考查了平面向量数量积取值范围的计算，将圆上的点的坐标利用圆的参数方程表示是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是菱形，CA CB =，160BAA ∠=．（1）若G 是线段AB 的中点，求证：平面11ABB A ⊥平面1CGA ；（2）若M 、N 、Q 分别是线段11A B 、1CB 、CB 的中点，求证：直线11//C A 平面MNQ ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）证明AB ⊥平面1CGA ，然后利用面面垂直的判定定理可证明出平面11ABB A ⊥平面1CGA ；（2）连接1A C ，由中位线的性质可得出1//MN AC ，利用线面平行的判定定理可证明出直线//MN 平面11AAC C ，同理可得出//QN 平面11AAC C ，由面面平行的判定定理得出平面//MNQ 平面11AAC C ，由此可得出直线11//C A 平面MNQ . 【详解】（1）连接1A B ，在ABC ∆中，CA CB =，G 为AB 中点，所以AB CG ⊥，由于侧面11ABB A 是菱形，则1AB AA =，160BAA ∠=，所以，1ABA ∆为等边三角形，G 为AB 的中点，1A G AB ∴⊥，而1CG AG G =，所以AB ⊥平面1CGA ，而AB平面11ABB A ，所以平面11ABB A ⊥平面1CGA ；（2）如下图所示，连接1A C ，在11A B C ∆中，M 、N 分别为11A B 、1B C 的中点，所以1//MN AC ，而MN ⊄平面11AAC C ，1AC ⊂平面11AAC C ，所以//MN 平面11AAC C ．同理，1//QN BB ，在三棱柱111ABC A B C -中，11//BB AA ，1//QN AA ∴，而QN ⊄平面11AAC C ，1AA ⊂平面11AAC C ，所以//QN 平面11AAC C ．而MNQN N =，MN 、QN ⊂平面MNQ ，所以平面11//AAC C 平面MNQ ．又11C A ⊂平面11AAC C ，所以直线11//C A 平面MNQ ．【点睛】本题考查平面与平面垂直、直线与平面平行的证明，考查推理论证能力，属于中等题. 20．已知四棱锥P ABCD -，12BC CD DA ==，//BC AD ，90ADC ∠=，点P 在底面ABCD 上的射影是BD 的中点O ，2PC =．（1）求证：直线BD ⊥平面POC ；（2）若1BC =，M 、N 分别为PO 、CD 的中点，求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值；（3）当四棱锥P ABCD -的体积最大时，求二面角B PC D --的大小．【答案】（1）证明见解析（21053）23π 【解析】（1）连接OC ，由题意可得出PO ⊥平面ABCD ，可得出PO BD ⊥，由等腰三角形三线合一的思想可得出PO BD ⊥，再利用线面垂直的判定定理可得出结论；（2）以点C 为坐标原点，CD 、CB 所在直线分别为x 、y 轴建立空间直角坐标系，先由2PC =求出点P 的坐标，然后利用空间向量法可求出直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值；（3）设2BC a =，则2OC a =，222PO a =-，利用基本不等式求出三棱锥P ABCD -体积的最大值，求出a 的值，以点C 为坐标原点，CD 、CB 所在直线分别为x 、y 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求出二面角B PC D --的大小．【详解】（1）连接OC ，因为PO ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PO BD ⊥，又因为BC CD =，且O 为BD 的中点，故OC BD ⊥．又POOC O =，所以BD ⊥平面POC ；（2）以C 为原点，CD 、CB 所在直线分别为x 、y 轴建立直角坐标系如图所示，则()0,0,0C ，()0,1,0B ，()1,0,0D ，11,,22P m ⎛⎫⎪⎝⎭，于是211244PC m =++=6=m ．即116,22P ⎛ ⎝⎭．所以1,0,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，116,22M ⎛ ⎝⎭，160,2NM ⎛= ⎝⎭设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，()1,0,0CD =，116,,222CP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则0011660222n CD x x y z n CP x y z ⎧⋅===⎧⎪⎪⇒⎨⎨=-⎪⋅=++=⎩⎪⎩，令1z =-，得()0,6,1n =-，所以66024105sin cos ,351661416n NM n NM n NMθ+-⋅=<>===⋅+⋅+．故直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值为10535；（3）设2BC a =，则2OC a =，222PO a =-，所以()24212422222232P ABCD a aV a a a a -+=⨯⨯⨯-=-32222246239a a a ⎛⎫++-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2222a a =-即2633a ==时取等号，此时26BC CD ==33BD =，以C 为原点，CD 、CB 所在直线分别为x 、y 轴建立空间直角坐标系如图所示，则()0,0,0C ，263D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，260,3B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，666333P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．设平面PBC 的法向量为()1111,,n x y z =，260,,03CB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，666,333CP ⎛= ⎝⎭，则)111111112603603n CB y y x z n CP x y z ⎧⋅==⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪⋅=++=⎪⎩，令11z =-，得()11,0,1n =-，同理，可得平面PCD 的一个法向量为的()20,1,1n =-，所以1212121cos ,2⋅<>==⋅n n n n n n ，又因为二面角B PC D --为钝二面角，所以二面角B PC D --的大小为23π．【点睛】本题考查线面垂直的证明，同时也考查了线面角和二面角的计算，建立空间直角坐标系是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 21．已知函数()()2ln 1f x ax x =-+，a R ∈．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当32a <时，若对任意的()1,x ∈-+∞，均有()1ln 2f x a≥，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）13,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【解析】（1）求出函数()y f x =的定义域和导数，然后对a 分类讨论，分析导数符号的变化，可得出该函数的单调增区间和减区间；（2）由题意知0a >，由()1ln2f x a≥可得出()min 1ln 2f x a ≥，可得出122ln 20a a -+≥，令()3122ln 202h a a a a ⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭，利用导数分析函数()y h a =的单调性，结合102h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得出实数a 的取值范围.【详解】（1）函数()()2ln 1f x ax x =-+的定义域为()1,-+∞，且()121f x a x '=-+． ①当0a ≤时，对任意的1x >-，()0f x '<，则函数()y f x =在区间()1,-+∞上单调递减；②当0a >时，令()0f x '<，得1112x a -<<-；令()0f x '>，得112x a>-. 所以，函数()y f x =在区间11,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在区间11,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增．（2）由于对任意的()1,x ∈-+∞，均有()1ln2f x a≥，则0a >且()min 1ln 2f x a ≥，由（1）可知，当0a >时，函数()y f x =在区间11,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在区间11,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，()min 11112ln 2ln ln 222f x f a a a a a ⎛⎫∴=-=-+≥=- ⎪⎝⎭，即3122ln 2002a a a ⎛⎫-+≥<<⎪⎝⎭．令()122ln 2h a a a =-+，则()()2122a h a a a-'=-+=， ∴函数()y h a =在区间()0,1上单调递增，在区间31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，且32ln 3202h ⎛⎫=->⎪⎝⎭，1112ln102h ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，为使()0h a ≥，则实数a 的取值范围为13,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题考查利用导数求解含参函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.22．已知1F 、2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点23,23⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且12F AF ∆的面积为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线1y kx =+与椭圆C 交于B 、D 两点，O 为坐标原点，y 轴上是否存在点E ，使得OEB OED ∠=∠，若存在，求出E 点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设P 为椭圆C 上非长轴顶点的任意一点，Q 为线段12F F 上一点，若1PQF ∆与2PQF ∆的内切圆面积相等，求证：线段PQ 的长度为定值．【答案】（1）22143x y +=（2）存在，()0,3E ，理由见解析；（3）证明见解析. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，根据12F AF ∆的面积计算出1c =，可设椭圆C 的标准方程为222211x y a a +=-，再将点A 的坐标代入椭圆C 的标准方程，求出2a 的值由此可求出椭圆C 的方程；（2）设点()11,B x y ，()22,D x y ，()0,E m ，由OEB OED ∠=∠，可得出0BE DE k k +=，将直线BD 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，代入0BE DE k k +=，求出实数m 的值，即可求出定点E 的坐标；（3）设点()00,P x y ，()()11,0n Q n -<<，PQ t =，由题意得出()()0121111n y n y n PF tn PF t+-=+++-++，化简得出()()22203420t t x ⎡⎤-+-=⎣⎦，可求出正数t 的值，从而得出结论. 【详解】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，因为12F AF ∆2，所以1A c y c ⋅=⇒=，设椭圆C 的方程为222211x y a a +=-，将A ⎝代入方程得42212242131340431a a a a a +=⇒-+=⇒=-，2213a =，易知1a c >=，所以2a =，因此，椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）存在这样的点E 为()0,3，下面证明：设()11,B x y ，()22,D x y ，()0,E m ，所以要使得OEB OED ∠=∠，即1212121211000BE DE y m y m kx m kx mk k x x x x --+-+-+=⇒+=⇒+= ()1212210x x k m x x +⇒+-⋅=①；联立()2222134880143y kx k x kx x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩，由韦达定理得122834k x x k -+=+，122834x x k -=+，代入可将①化简为()210k m k +-=，要使得式子关于k 恒成立，即此时3m =，所以点()0,3E ；（3）设点()00,P x y ，()()11,0n Q n -<<，PQ t =，因为内切圆面积相等，即圆半径相等，而内切圆半径公式为三角形面积的2倍除以周长，所以()()0121111n y n y n PF tn PF t+-=+++-++，化简得1211PF tn n PF t++=-+，故11nn+=-，因为220334x y =-，代入得0021214222x t x n n x n t t +++=⇒=-+-++．而()222220000033424x x t x n y x t ⎛⎫=-+=-+- ⎪+⎝⎭，()()22203420t t x ⎡⎤-+-=⎣⎦，而()220420t x +-≠，所以t =，即线段PQ【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中存在某点满足条件以及椭圆中的定值问题，考查计算能力，属于难题.。

金华市第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

金华市第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．函数是指数函数，则的值是（）2(44)xy a a a =-+A ．4 B ．1或3 C ．3D ．12．设为虚数单位，则（）A ．B ．C ．D ．3．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移3个单位，得到函数的图象，63sin(2)(π+=x x f 4π)(x g 则的解析式为（）)(x g A ． B ．343sin(2)(--=πx x g 3)43sin(2)(++=πx x g C ．D ．3)123sin(2)(+-=πx x g 3)123sin(2)(--=πx x g 【命题意图】本题考查三角函数的图象及其平移变换理论，突出了对函数图象变换思想的理解，属于中等难度.4．已知x ，y ∈R ，且，则存在θ∈R ，使得xcos θ+ysin θ+1=0成立的P （x ，y ）构成的区域面积为（）A ．4﹣B ．4﹣C ．D ．+5． “互联网”时代，倡导读书称为一种生活方式，调查机构为了解某小区老、中、青三个年龄阶+段的阅读情况，拟采用分层抽样的方法从该小区三个年龄阶段的人群中抽取一个容量为50的样本进行调查，已知该小区有老年人600人，中年人600人，青年人800人，则应从青年人抽取的人数为（）A ．10B ．20C ．30D ．406．给出下列结论：①平行于同一条直线的两条直线平行；②平行于同一条直线的两个平面平行；③平行于同一个平面的两条直线平行；④平行于同一个平面的两个平面平行．其中正确的个数是（）A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个7．阅读如下所示的程序框图，若运行相应的程序，则输出的的值是（）S A ．39B ．21C ．81D ．1028．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A ．y=|x|（x ∈R ）B ．y=（x ≠0）C ．y=x （x ∈R ）D ．y=﹣x 3（x ∈R ）9．若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z|z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B}中的元素的个数为( )A5B4C3D210．以下四个命题中，真命题的是（）A ．，(0,)x π∃∈sin tan x x=B ．“对任意的，”的否定是“存在，x R ∈210x x ++>0x R ∈20010x x ++<C ．，函数都不是偶函数R θ∀∈()sin(2)f x x θ=+D ．中，“”是“”的充要条件ABC ∆sin sin cos cos A B A B +=+2C π=【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力．11．椭圆=1的离心率为（）A ．B ．C ．D ．12．偶函数f （x ）的定义域为R ，若f （x+2）为奇函数，且f （1）=1，则f （89）+f （90）为（）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．1二、填空题13．已知（1+x+x 2）（x）n （n ∈N +）的展开式中没有常数项，且2≤n ≤8，则n= ．14．已知点A （2，0），点B （0，3），点C 在圆x 2+y 2=1上，当△ABC 的面积最小时，点C 的坐标为．　15．直线l ：（t 为参数）与圆C ：（θ为参数）相交所得的弦长的取值范围是．　16．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=2，AD=1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角的余弦值是．17．如图，已知，是异面直线，点，，且；点，，且.若，分m n A B m ∈6AB =C D n ∈4CD =M N别是，的中点，与所成角的余弦值是______________.AC BD MN =m n【命题意图】本题考查用空间向量知识求异面直线所成的角，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力.18．设,则三、解答题19．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】已知函数，()2ln f x ax x =+，，()21145ln 639f x x x x =++()22122f x x ax =+a R ∈（1）求证：函数在点处的切线恒过定点，并求出定点的坐标；()f x ()(),e f e （2）若在区间上恒成立，求的取值范围；()()2f x f x <()1,+∞a （3）当时，求证：在区间上，满足恒成立的函数有无穷多个．（记23a =()0,+∞()()()12f x g x f x <<()g x ）ln5 1.61,6 1.79ln ==20．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=10，a 2为整数，且S n ≤S 4。

2018-2019学年浙江省金华市十校高二(上)期末数学试卷解析版

2018-2019学年浙江省金华市十校高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.在空间直角坐标系中，点（1，2，3）与点（-1，2，3）（）A. 关于xOy平面对称B. 关于xOz平面对称C. 关于yOz平面对称D. 关于x轴对称【答案】C【解析】解：在空间直角坐标系中，点（1，2，3）与点（-1，2，3）关于yOz平面对称．故选：C．在空间直角坐标系中，点（a，b，c）与点（-a，b，c）关于yOz平面对称．本题考查空间中点的对称的求法，考查空间直角坐标系的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.圆x2+y2=2与圆x2+y2+2x-2y=0的位置关系是（）A. 相交B. 内切C. 外切D. 相离【答案】A【解析】解：圆心分别为（0，0），（-1，1），半径分别为，，圆心距为：，两圆半径之和为2所以两圆相交．故选：A．根据圆心距小于两圆半径之和可得相交．本题考查了圆与圆的位置关系及其判定，属中档题．3.“x＞a“是“x＞|a|“的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：若a≥0，由x＞|a|得x＞a，若a＜0，则由x＞|a|得x＞-a，此时x＞-a＞a成立，即必要性成立，当a＜0时，不妨设a=-1，则由x＞-1，不一定推出x＞|-1|，即充分性不成立，则“x＞a“是“x＞|a|“的必要不充分条件，故选：B．根据绝对值的意义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．4.给定①②两个命题：①为“若a=b，则a2=b2”的逆否命题；②为“若x=-3，则x2+x-6=0”的否命题．则以下判断正确的是（）A. ①为真命题，②为真命题B. ①为假命题，②为假命题C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题【答案】C【解析】解：若a=b，则a2=b2为真命题，可得其逆否命题也为真命题，故①为真命题；“若x=-3，则x2+x-6=0”的否命题为“若x≠-3，则x2+x-6≠0”，取x=2，可得x2+x-6=0，故②为假命题．故选：C．由原命题和逆否命题等价，可判断①；写出命题的否命题，取x=2，计算可判断②．本题考查四种命题的形式和真假判断，注意运用相互关系和反例法，考查推理能力，属于基础题．5.设l，m是两条异面直线，下列命题中正确的是（）A. 存在与l，m都垂直的直线，存在与l，m都平行的平面B. 存在与l，m都垂直的直线，不存在与l，m都平行的平面C. 不存在与l，m都垂直的直线，存在与l，m都平行的平面D. 不存在与l，m都垂直的直线，不存在与l，m都平行的平面【答案】A【解析】解：在正方体ABCD-中，M，N，P，Q分别是所在棱的中点，AB和CC1是异面直线，BC⊥AB且BC⊥CC1；AB∥平面MNPQ，CC1∥平面MNPQ．∴由l，m是两条异面直线，知：存在与l，m都垂直的直线，存在与l，m都平行的平面．故选：A．在正方体ABCD-中，M，N，P，Q分别是所在棱的中点，AB和CC1是异面直线，BC⊥AB且BC⊥CC1；AB∥平面MNPQ，CC1∥平面MNPQ．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．6.已知f（x）=，则f′（）=（）A. -2-ln2B. -2+ln2C. 2-ln2D. 2+ln2【答案】D【解析】解：f（x）=（），则函数的导数为f′（x）=•=（-），则f′（）=•（-）=（2+ln2）=2+ln2，故选：D．求函数的导数，令x=，代入求解即可．本题主要考查函数的导数的计算，根据导数的运算法则进行求导是解决本题的关键．7.如图，在空间四边形ABCD中，∠ABD=∠CBD=90°，∠ABC=45°，BC=BD=1，AB=，则异面直线AB与CD所成角的大小是（）A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°【答案】B【解析】解：如图，在平面BCD内过B作BG∥CD，且BG=CD，则∠ABG为异面直线AB与CD所成角，连接AC，AG，CG，在△BCD中，由∠CBD=90°，BC=BD=1，可得CD=，∴BG=．在△ABC中，∠ABC=45°，BC=1，AB=，由余弦定理可得．由∠ABD=∠CBD=90°，可得BD⊥平面ABC，则CG⊥平面ABC，可得∠ACG=90°．在Rt△ACG中，可得AG=，又AB=，∴△ABG为等边三角形，即∠ABG=60°．∴异面直线AB与CD所成角的大小是60°．故选：B．在平面BCD内过B作BG∥CD，且BG=CD，则∠ABG为异面直线AB与CD所成角，求解三角形得到BG，AG的长度，结合已知AB=，可得△ABG为等边三角形，即∠ABG=60°，即异面直线AB与CD所成角的大小是60°．本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．8.经过坐标原点O的直线l与曲线y=|sin x|相切于点P（x0，y0）．若x0∈（π，2π），则（）A. x0+cos x0=0B. x0-cos x0=0C. x0+tan x0=0D. x0-tan x0=0【答案】D【解析】解：经过坐标原点O的直线l与曲线y=|sin x|相切于点P（x0，y0），若x0∈（π，2π），可得直线与y=-sin x相切于P，由y=-sin x的导数y′=-cos x，可得-cos x0=，即有x0==tan x0，即为x0-tan x0=0，故选：D．由题意可得得直线与y=-sin x相切于P，求得函数的导数，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，结合同角基本关系式，即可得到结论．本题考查导数的几何意义，考查直线的斜率公式，以及同角基本关系式，考查运算能力，属于基础题．9.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点是F，O为坐标原点若椭圆上存在一点P，使△POF是等腰直角三角形，则椭圆的离心率不可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题．由题意画出图形，然后分类求解得答案．【解答】解：如图，当∠OFP=90°时，则，即b2=a2-c2=ac，∴e2+e-1=0，解得e=（舍），或e=；当∠POF=90°时，b=c，则b2=a2-c2=c2，得e=；当∠OPF=90°时，以OF为直径的圆的方程为，联立，得c2x2-a2cx+a2b2=0．由△=a4c2-4a2b2c2≥0，得a2-4b2=a2-4（a2-c2）≥0，即，可得，∵∉[，1），∈[，1）．∴椭圆的离心率不可能是．故选C．10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为线段A1D1、BC上的动点，设直线EF与平面AC、平面BC1所成角分别是θ、φ，则（）A. θ＞φ，（tanθ）min=B. θ=φ，θmax=45°C. θ＜φ，θmax=45°D. θ=φ，θmin=45°【答案】C【解析】解：过E作EM⊥平面AC，交AD于M，过E作EN⊥平面BC1，交B1C1于N，连结MF，NF，设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为a，则EM=EN=a，MF≥a，NF≥a，∠EFM=θ，∠EFN=φ，∴tanθ=≤1，∴θmax=45°，∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，EM⊥平面AC，EN⊥平面BC1，∴四边形EMFN的四个内角都是90°，∴θ＜φ，θmax=45°，故选：C．过E作EM⊥平面AC，交AD于M，过E作EN⊥平面BC1，交B1C1于N，连结MF，NF，设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为a，则EM=EN=a，MF≥a，NF≥a，∠EFM=θ，∠EFN=φ，从而tanθ=≤1，进而θmax=45°，再由四边形EMFN的四个内角都是90°，能推导出θ＜φ．本题考查线面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题（本大题共7小题，共40.0分）11.已知直线l：m2x+my-5=0，若l的倾斜角为45°，则实数m=______；若直线l与直线x-2y-1=0垂直，则实数m=______．【答案】-1 2【解析】解：直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率k=tan45°=1，即直线斜率存在，则m≠0，则直线的斜截式方程为y=-mx+，即-m=1，得m=-1，直线x-2y-1=0的斜截式方程为y=x-，直线斜率为，直线l的斜截式方程为y=-mx+，直线斜率k=-m，若直线l与直线x-2x-1=0垂直，则-m=-1，即m=2，故答案为：-1，2．求出直线的斜截式方程，结合直线斜率和倾斜角的关系进行求解即可得m，结合直线垂直与斜率关系进行求解即可．本题主要考查直线斜率和倾斜角的关系，结合直线垂直于斜率的关系是解决本题的关键．12.已知函数f（x）=x3-3x，则f（x）在x=0处的切线方程为______；单调递减区间是______．【答案】y=-3x（-1，1）【解析】解：函数f（x）=x3-3x的导数为f′（x）=3x2-3，可得f（x）在x=0处的切线斜率为-3，切点为（0，0），则切线的方程为y=-3x；由3x2-3＜0，可得-1＜x＜1，可得减区间为（-1，1）．故答案为：y=-3x，（-1，1）．求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，可得切线方程；由导数小于0，可得减区间．本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，考查方程思想和运算能力，属于基础题．13.某空间几何体的三视图如图所示，已知俯视图是一个边长为2的正方形，侧视图是等腰直角三角形．则该几何体的最长的棱的长度为______；该几何体的体积为______．【答案】【解析】解：根据几何体的三视图，复原为几何体是：下底为边长为2的长方形，高为的四棱锥体，所以：最长的棱长为l==几何体的体积为：V=，故答案为：．首先利用几何体的三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积和勾股定理的应用公式求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，主要考察几何体的体积公式的应用和相关的运算问题的应用，属于基础题型．14.如图，已知抛物线C：y2=8x，则其准线方程为______；过抛物线C焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AF|=3，则|BF|=______．【答案】x=-2 6【解析】解：由抛物线C：y2=8x，得p=4，．∴抛物线的准线方程为x=-2；设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线定义知：|AF|=，|BF|=，且|AF|+|BF|=|AB|，∴x1+x2=|AB|-p，又，∴====．由抛物线的性质可得：=，又|AF|=3，∴|BF|=6．故答案为：x=-2；6．由抛物线方程求得p，进一步求得的值，则抛物线的准线方程可求；再由已知结合抛物线性质求解|BF|的值．本题考查抛物线的方程及其简单性质，是基础题．15.若函数f（x）=e-x（x2+ax-a）在R上单调递减，则实数a的值为______．【答案】-2【解析】解：f′（x）=，若f（x）在R递减，则-x2+（2-a）x+2a≤0在R恒成立，即x2+（a-2）x-2a≥0在R恒成立，故△=（a-2）2+8a≤0恒成立，故（a+2）2≤0恒成立，故a=-2，故答案为：-2．求出函数的导数，问题转化为x2+（a-2）x-2a≥0在R恒成立，结合二次函数的性质求出a的值即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道常规题．16.过曲线C1：的左焦点F1作曲线C2：x2+y2=a2的切线，设切点为M，延长F1M交曲线C3：y2=2px（p＞0）于点N，其中C1、C3有一个共同的焦点，若|MF1|=|MN|，则曲线C1的离心率为______．【答案】【解析】解：设双曲线C1的右焦点F2，作NA⊥抛物线C2的准线于点A，则易得：丨NF1丨=2丨MF1丨=2b，丨NF2丨=2丨MO丨=2a=丨AN丨，由Rt△F1MO～Rt△NAF1，则=，∴，∴b2=ac，则c2-a2-ac=0，由e=，则e2-e-1=0，e＞1∴．曲线C1的离心率．故答案为：．由题意可知根据根据三角形相似，求得=，即b2=ac，则c2-a2-ac=0，由双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率．本题考查双曲线的简单几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，相似三角形的性质，中位线定理，考查计算能力，属于中档题．17.已知矩形ABCD，AB=，AD=1，现将△ACD沿对角线AC向上翻折，若翻折过程中BD的长度在|，|范围内变化，则点D的运动轨迹的长度是______．【答案】π【解析】解：过D作DE⊥AC，垂足为E，连接BE，D′E．∵矩形ABCD中，AB=，AD=1，∴DE=，BE2=AB2+AE2-2AB•AE cos30°=3+-2×××=，则BE=．∴D点的轨迹为以E为圆心，以为半径的圆弧．∠D′ED为二面角D-AC-D′的平面角．以E为原点，以EA，ED，ED′为坐标轴建立空间直角坐标系E-xyz，设∠D′ED=θ，则D（0，cosθ，sinθ），B（-1，-，0）∴BD==，∴≤≤解得-≤cosθ≤，∴≤θ≤，∴D点轨迹的圆心角为，∴D点轨迹的长度为×=π．故答案为：π．过D作DE⊥AC，垂足为E，则D点的轨迹为以E为圆心，以为半径的圆弧，以E为原点建立坐标系，设二面角D-AC-D′的大小为θ，用θ表示出B和D的坐标，利用距离公式计算θ的范围，从而确定圆弧对应圆心角的大小，进而计算出圆弧长．本题考查了空间距离的计算，建立坐标系用θ表示出BD的长是解题的关键，属于难题．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.已知平面上有两点A（-1，0），B（1，0）．（Ⅰ）求过点B（1，0）的圆（x-3）2+（y-4）2=4的切线方程；（Ⅱ）若P在圆（x-3）2+（y-4）2=4上，求AP2+BP2的最小值，及此时点P的坐标．【答案】解：（Ⅰ）根据题意，圆（x-3）2+（y-4）2=4的圆心为（3，4），半径r=2，分2种情况讨论：①，当直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，与圆相切，符合题意，②，当直线的斜率存在时，设切线的方程为y=k（x-1），则有=2，解可得k=，此时切线的方程为y=（x-1），即3x-4y-3=0，综合可得：切线的方程为x=1或3x-4y-3=0；（Ⅱ）根据题意，设P（m，n），则AP2+BP2=（m+1）2+n2+（m-1）2+n2=2（m2+n2）+2，又由OP=，则当OP最小时，AP2+BP2取得最小值，又由P在圆（x-3）2+（y-4）2=4上，则OP min=5-2=3，即（m2+n2）的最小值为9，此时AP2+BP2取得最小值，且其最小值为2×9+2=20；此时m=3×=，n=3×=，即P的坐标为（，）．【解析】（Ⅰ）根据题意，分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出切线的方程，综合即可得答案；（Ⅱ）根据题意，设P（m，n），分析可得AP2+BP2=（m+1）2+n2+（m-1）2+n2=2（m2+n2）+2，分析（m2+n2）的几何意义，结合直线与圆的位置关系，分析可得答案．本题考查直线与圆的方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于基础题．19.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C⊥AB，侧面BCC1B1为菱形．（1）求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1；（2）如果点D，E分别为A1C1，BB1的中点，求证：DE∥平面ABC1．【答案】解：（1）因三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1为菱形，故B1C⊥BC1．…2分又B1C⊥AB，且AB，BC1为平面ABC1内的两条相交直线，故B1C⊥平面ABC1．…5分因B1C⊂平面BCC1B1，故平面ABC1⊥平面BCC1B1．…7分（2）如图，取AA1的中点F，连DF，FE．又D为A1C1的中点，故DF∥AC1，EF∥AB．因DF⊄平面ABC1，AC1⊂平面ABC1，故DF∥面ABC1．…10分同理，EF∥面ABC1．因DF，EF为平面DEF内的两条相交直线，故平面DEF∥面ABC1．…12分因DE⊂平面DEF，故DE∥面ABC1．…14分．【解析】（1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面ABC1⊥平面BCC1B1；（2）根据线面平行的判定定理进行证明即可．本题主要考查空间直线和平面平行以及面面垂直的判定，利用相应的判定定理是解决本题的关键．20.如图，在三棱锥A-BCD中，AB垂直于平面BCD，BC⊥CD，BC=CD，AB=BD，点E，G分别为AD，BD的中点，点F为AC上一点，AF=λAC，直线CG∥平面BEF．（Ⅰ）求λ的值；（Ⅱ）求直线FG和平面BEF所成角的正弦值．【答案】解：（Ⅰ）连结AG，交BE于P，连结PF，∵CG∥平面BEF，CG⊂平面ACG，平面ACG∩平面BEF=PF，∴CG∥PF，在△ACG中，=，在△ACG中，点E，G分别为AD，BD的中点，∴==，∴=．（Ⅱ）如图，以B为原点，BD，BA所在直线分别为y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设AB=2，则B（0，0，0），E（0，1，1），F（，），G（0，1，0），=（0，1，1），=（，），G（0，1，0），设平面BEF的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，-1），设直线FG和平面BEF所成角为θ，∵=（-），∴sinθ===．∴直线FG和平面BEF所成角的正弦值为．【解析】（Ⅰ）连结AG，交BE于P，连结PF，推导出CG∥PF，由此能求出结果．（Ⅱ）以B为原点，BD，BA所在直线分别为y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线FG和平面BEF所成角的正弦值．本题考查实数值的求法，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），右焦点F2（2，0），点（，1）在椭图上（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设P（x0，y0）（y0＞0）为椭圆C上一点，过焦点F1，F2的弦分别为PA，PB，设=λ1，=λ2，若λ1=2，求λ2的值【答案】解：（Ⅰ）由题意可得c=2，即a2-b2=4，又+=1，解得a=，b=，则椭圆方程为+=1；（Ⅱ）设直线AP：x=my-2，BP：x=ny+2，A（x1，y1），B（x2，y2），=2，可得y0=-2y1，=λ2，可得y0=-λ2y2，（λ2＞1），联立x=my-2和x2+3y2=6，可得（3+m2）y2-4my-2=0，y0+y1=，y0y1=-，同理可得y0+y2=-，y0y2=-，①由y0=-2y1，可得-y1=，-2y12=-，消去y1，可得m2=，由y0＞0，可得m=，可得P（-，），由y0=-λ2y2，代入①可得（1-λ2）y2=-，-λ2y22=-，可得=，又n===-，即有8λ22-65λ2+8=0，解得λ2=8或（舍去），所以λ2=8．【解析】（Ⅰ）由题意可得c=2，即a2-b2=4，代入已知点的坐标，可得a，b的方程组，解方程可得椭圆方程；（Ⅱ）设直线AP：x=my-2，BP：x=ny+2，A（x1，y1），B（x2，y2），联立椭圆方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，消元可得m的值，即有P的坐标，化简整理可得8λ22-65λ2+8=0，解方程可得所求值．本题考查椭圆方程的求法，以及直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题．22.已知函数f（x）=x3-2x|x-a|，其中x∈[-2，2]．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的最大值和最小值；（Ⅱ）当＜a＜2时，证明：f（x）在[-2，2]上有且仅有一个极大值点和一个极小值点（分别记为x1，x2），且为定值．【答案】解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=x3-2x|x|，考虑x＞0时，f（x）=x3-2x2，f′（x）=3x（x-），当x＞时，f′（x）＞0，当0＜x＜时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，）递减，在（，2）递增，又根据奇函数的对称性知：f（x）在（-，）递减，在（-2，-），（，2）递增，而f（-2）=f（2）=0，f（-）=，f（）=-，故f（x）的最大值是f（-）=，最小值是f（）=-；（Ⅱ）①当＜a＜2时，f（x）=，当a＜x≤2时，f′（x）=3x2-4x+2a=3+2a-＞0，故f（x）在（a，2）递增，没有极值点，当-2≤x≤a时，f′（x）=3x2+4x-2a，f′（-2）=4-2a＞0，f′（0）=-2a＜0，f′（a）=3a2+2a＞0，故f′（x）在（-2，a）有2个根x1，x2，其中x1∈（-2，0），x2∈（0，a），则f（x）在（-2，x1）和（x2，a）递增，在（x1，x2）递减，又f（x）在（a，2）递增，故f（x）在（-2，x1）递增，在（x1，x2）递减，在（x2，2）递增，故f（x）在（-2，2）上有且只有一个极大值点x1和一个极小值点x2，②∵x1，x2是方程f′（x）=3x2+4x-2a=0的两个根，∴x1+x2=-，x1•x2=-，f（x1）-f（x2）=（+2-2ax1）-（+2-2ax2）=（x1-x2）[（+x1•x2+）+2（x1+x2）-2a]=（x1-x2）（+--2a）=（x1-x2）（--），又=-4x1x2=+，∴=-为定值．【解析】（Ⅰ）代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值（Ⅱ）通过讨论a的范围，求出f（x）的分段函数的形式，根据导函数的单调性得到x1，x2是方程f′（x）=3x2+4x-2a=0的两个根，求出x1+x2=-，x1•x2=-，以及f（x1）-f（x2）=（x1-x2）（--），=+，从而求出的值．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。

2019学年浙江省金华十校高二上学期调研数学试卷【含答案及解析】

2019学年浙江省金华十校高二上学期调研数学试卷【含答案及解析】姓名_____________ 班级_______________ 分数 ____________、选择题1 .命题"若•- ，则•-::V -”的逆否命题是( )A . 若--，则…-治+--'B . 若v: - + ? = 0，则C . 若v;-砧・+ »工0，则--D.若--，则…-7 = 02. 已知直线! 在轴和轴上的截距相等，则的值是 ( )A. 1 B . -1 C . -2D. 23. 设..：•二二-二-1］是直线的方向向量，订=匚？-二：是平面•的法向量，则直线与平面-( )A .垂直_______________________________________ B.平行________________________________ C.在平面弦内________________________________ D.平行或在平面疣内4. 已知直线住+、与直线宀--心垂直，则实数 :的值为( )A . 0B . 0 或6 __________________________________ C. -4 或2D. -45. 若：…：.为两条不同的直线，.-为两个不同的平面，则以下命题正确的是( )A •若,则序B •若f J I .■- ■::，则• _ 1C •若哪―，则D •右•- /■•..,则5:6. 已知圆广、小小 1 ■：■；■ JI与直线| '相交于•■两点，则当S'W的面积为—时，实数；「的值为（）?7. 一个体积为「：-的几何体的三视图如图所示（单位：厂），其中正视图和俯视图是一个等腰直角三角形和一个正方形，侧视图是一个正方形，则这个几何体的表面积是（）A •;：：：•'； :：'-------------------B •' • •、---------------C • I .耳：H :.--------------------------------- D•8. 过双曲线——_ '. 的右焦点；向其一条渐近线作垂线，垂足n~ h~A. 2 B .j； C . - D二、填空题9. 设倾斜角为60 °的直线过点「且与圆4.. - J相交，则圆：的半径为;圆心到直线/的距离是___________ ;直线’/被圆截得的弦长为10. 边长为2的等边三角形绕其一边所在的直线旋转一周得到一个几何体，该几何体的体积是________ ，该几何体的表面积是_________ .11. 如图，四边形艰匚空和亠d均为正方形，它们所在的平面互相垂直，懣上當分别为崔m汀的中点，则直线 r 与平面曲K所成角的正切值为；异面直线尸tv与』尸所成角的余弦值是_____________________________________________ .12. 已知空间单位向量■- |' T. r ■■. .■- . I ，若空间向量- -:' 满足：宀J］二 * ,•：「；：：•.：♦，贝H ' - _________ 网=__________ .13. 在椭圆「一一」_・•：八：中，斜率为 | 「的直线交椭圆于左顶点ZJ:h~和另一点.；，，点：在轴上的射影恰好为右焦点T ，若椭圆离心率-二1则氐的值为___________ .14. 设经过抛物线［―机焦点；的直线与抛物线交于'两点，若 /,中点到抛物线准线的距离为8,则f的斜率为____________________ .15. 正方体•’」■「匚的棱长为2,是面对角线、・的中点，:'是底面ABCD上一动点，则Df-PQ的最小值为___________________ .三、解答题■%j16. 已知命题•；实数满足：方程-------------- ——-':- ||表示双曲线；命tn —2*7 m —4 门题•实数恢满足方程一: -一■-'表示焦点在|轴上的椭圆.fH —1 7 —m(1 )若命题：■.为真命题，求的取值范围；(2)若，；是.的充分不必要条件，求实数的取值范围.17. 如图，二，，：为平行四边形, 莎是边长为1的正方形，18. 已知直线与直线' -S =:'的交点为八.(1)若直线过点「，且点I 和点■ I 到直线的距离相等，求直线的方程；(2)若直线'过点丁且与，正半轴交于，.两点，汽凡尹「；的面积为4, 求直线.的方程.19. 如图，圆锥的轴截面己■订是等腰直角三角形，的中点为，：是底面圆周上异于.瓦用的任意一点，」为线段'的中点，厂为母线1上一点，且(1)证明平面;(2)若二面角，一—的大小为90求二面角，_ . _ '的余弦值.20. 已知直线.与椭圆一…一」交于两点，且椭圆过两点，为坐标原点.(1)求椭圆方程；(2)求面积的最大值，及此时直线的方程.参考答案及解析第1题【答案】【解析】试题分析：由题意得，根据逆否命题的定义可純悼命題"若"2 ,则v-3x4-2 = 0 "的逆否命题是"若3工—2盖。

浙江省金华十校2018-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试卷(扫描版)

金华十校2（川-2012学年第一学期期末考试高二数学（理科）试题卷I 寿咸廿间力1211 g 试抵势令舟I 鮒处2.仝试&仃•芥貯容一鼠人血吝案苗烦做虚飙尊耐押;um左芥感称询加荟番'的瓷非凭内堆爲牟a 皿竿叭蛙空很却处弍：八栅中4$晁不^畑価U 配h 黑叭删的白 I 伯側休祝iht1冲f 輕小槨凡们吹斛Uh 疋：-悴叫，5 W I*的体唧•:. r-jrf 1“屮執，1A . I 阿他眛槪:儿』'如低5I 艸务国倉划憲汴库铃L ・Hi 血配 ''■和W”梢命r 选择啄本烦冇州小越，梅小遐$分. 是符合蛊目要求的.1.相何;二 + Al 叮的备卜堆43共利你在邯小JK 绘出的四介选頊中，只冇一頊个WK 沟亦i 的止界川皿烛柑帛啪円1，则旳寺的剧卫噬A. SffcnfB. 1益的？G 1血帅’D. JO.tcm* h ^mii^O-ASc ■H J ■ .<■ W OA 1・ ILOW2M ・ X 沟肚叩点.剧丽・A . ia^-oz?+ l fX'B. -OA^-OB-^OC2 3 2 2 13 C.二鬲丿湖」斎D ，2加二丽」.住 3 223 3 24. mdm 士-訐t(#> > 0> ffi 个罠心6 ft 币Ef i 实轴畑 0 科超巧 W 点.ff WPF 电彳.刪w 閘线的紳厂t~A. r- t<J*rIk r - t —、「. r - tv2.<IX r ±—r3+21 kJ-, r ： •行I 讯界tf 上1勺1 - M.4也IC- -D,- 2 -4S 削这刻戲的力用呛A. lr*4rH$叩K-厂-3哑严_?争C. T=-3D. ir^-3 或6. «~3 &门堆fupi-TfT和门緩3汁(~1肝旷？Tijll不亚ft的A.施井II必疏*啊H.临mi定竹条flC,充牧举Fl D, 15110也0；必營策件7.设耐“心眠I；讪川线・m /A应VMM朋恂」-拾岀"用个命那①Tt m L«* H s 川抽丄" ^77 a//A W* ¥、mLm ^:J m '. y［：£'》；％'f g ft a>则j«"n ④苦口丄严B丄尹^la//p梵中iEflttMBftW号是A.①鞘』B.②和③G③和④D* ©fll®N. il^h『」mp s 和ur+也十产C(拎I」"悴吐呼ErR)•它啊听崔示的血线讨龍圧比血阳i阿花只装了水的矗封腿丁, H内沖;】对；底3伴衿为15和匸待为km灼曲亍閱林细成的简附儿何懺冇直化儿狗休划图(2)忒平放丹时* 港面高度为心・咒这吓几何协如图卩冰平^WB<・液曲応度为如,灯進牛简歎几沏林的总简度为 A.丹cm乩3(km10. LlUh战-则磁h 5阜卜A-i^h月M •哽足逹从八汕:公创X丨用"'刈歇反樹“阵绅虫皈林上M：含峯直).则2巒的A, <7*-曲K (0,+flcJC, (h+x) D, «+*>二填空JH：本大IIXT小恵*隔小JH4分，捷搀企IL已3UArirll>*曲2£2h点户症二執上.PWlfW■魁恵P的坐标为一鼻：12,命L「；nF.剛尸0 IIE广的辿山命世匕▲ _：I 吃扁-1-41 -试押Ct 询2 *t f r. 4 «U皿(4^5M4 5h 曲制。