教案 空间向量的运算

【教学过程】
一、 引入
今天我们要开始第十五章空间向量的学习，说到空间向量，大家首先就会想起上学期所学习的平面向量，两者之间有何共同点与不同点呢？根据名字，两者都为向量，肯定有很多相似之处，如向量是既有大小又有方向的量，而平面与空间的差别，就像一汽水广告所表现出来的，一个纸片人喝了汽水后就变成一个非常饱满的人，从原来的一个平面变成了立体空间结构。

这节课我们主要从两者的共通点来探讨空间向量的基本知识。

二、
概念分析
空间向量与平面向量一样，只考虑向量的大小与方向，不注重向量的具体位置，也就是说空间向量也是自由向量，可以在空间内自由移动，当两个向量自由移动到同一位置时完全重合，它们就可以称为同一向量，或者两向量相等。

空间向量的表示方法可表示为AB ，
CD ，…(A ，C ，…分别叫做向量的始点，B ，D ，…分别叫做向量的终点)，也可以用黑体
小写字母表示为a ，b ，…．向量在几何上则表示为一条带箭头的有向线段，箭头所指的方向就是向量的方向，线段的长短表示向量的大小，也就是向量的模|a |。

平面向量中其他的概念如单位向量、相反向量、零向量、向量平行等都可以直接推广到空间向量中．
接下来我们一起来探讨空间向量的运算 (1) 空间向量的加、减运算
a +
b 可以由平行四边形法则(如图15-2(1))或三角形法则(如图15-2(2))得到，平行四边形法则可用受力的概念来理解，物体受两个力，可看成物体仅受到一个力的作用，即两个力的合力，大小、方向都会有一定的变化；三角形法则就可以用路程的概念来理解，由教室A 到食堂B 再到宿舍C 点，从结果来看就是从教室到宿舍。

a -
b 两向量相减可看成两向量相加a +(-b )，加法运算大家都会了，那减法就看成a 与b 反向量相加，-b 为相反向量（大小相等，方向相反）。

在此我们就要强调一下向量中的负号表示的是方向而不是正负数的意思。

多个空间向量相加也与平面向量相同，如图15-4中，向量e =a +b +c +d ．
图15-2(2)
图15-2(1)
图15-3(1)
图15-3(2)
图15-4
(2)空间向量的数乘
一个非零实数λ 乘以空间向量a 仍是一个向量，记作λa ，且 |λa |=|λ|⋅|a |；
当λ>0时，λa 与a 方向相同；当λ<0时，λa 与a 方向相反．
(3)空间向量的数量积
a ⋅
b =|a |⋅|b |cos(a ^b )，定义式与平面向量相同，可看成力与位移相乘，结果是在位移方向上力所作的功。

a ^b 向量a ，b 的夹角，即把两个向量始点移到同一点后所成的角。

我们大家一起来观察数量的数量积定义式，这一式子既包含了向量的大小关系，也包含了方向，所以通常要求向量的大小与位置关系时都需要用到这么一个定义式。

向量的大小可考虑向量与其自身相乘，夹角为0°，a ⋅a =|a |2
，方向正好由夹角来表示，如与水平方向x 轴正方向夹角为多少。

三、 例题讲解
例1
底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体．如图15-5，已知平行六面体ABCD -A 'B 'C 'D '，化简下列向量表达式，并标出化简结果对应的向量．
(1)a =BC AB +； (2)b =A A AD AB '++．
解 (1) a =BC AB +=AC ；
(2) b =AB AD AA '++ =AB AA '+
=C A C C AC '='+；
向量a ，b 如图15-5所示．
例2 设例1中的平行六面体是一个长方体，且AB =4，AD =2，AA '=3， 求 (1) a ⋅b ；(2) |b |．
解 (1) a ⋅b =(BC AB +)⋅(A A AD AB '++)
=AB ⋅AB +AB ⋅AD +AB ⋅A A '+BC ⋅AB +BC ⋅AD +BC ⋅A A ' =|AB |2+0+0+0+|AD |2+0=16+4=20．
(2)|b |2
=(AB AD AA '++ )⋅(AB AD AA '++
)
+2AB ⋅AD +2AB ⋅A A '
+2AD ⋅A A '
=16+4+9=29,
图15-5
'
所以|b
四、 课堂练习
1.
设ABCDEF 为正六边形，O 是中心，则向量O A ,OB ，O C ，O D ,O E
,OF
中与向量AB ,BC ,C D ,D E ,EF ,FA
中哪些相等？哪些相反？
【小结】
课堂小结：本节课我们一起回顾了向量的基本概念，将其放在空间内仍然适用，也就是说要学习好空间向量，平面向量的知识不能丢，同学们课后仍然要好好地复习一下平面向量。