第5章-导数和微积分-5-2 求导法则
求导法则与求导公式
求导法则与求导公式求导法则是用来求导数的基本方法和公式，它是微积分的基础，被广泛应用于数学、物理等领域。
在求导过程中，有一些基本的法则和公式可以帮助我们简化计算。
一、基本求导法则1.常数法则：如果f(x)=C，其中C为常数，则f'(x)=0。
2. 变量法则：如果f(x) = x^n，其中n为常数，则f'(x) = nx^(n-1)。
3.常数倍法则：如果f(x)=Cg(x)，其中g(x)可导且C为常数，则f'(x)=Cg'(x)。
4.加减法则：如果f(x)=g(x)±h(x)，其中g(x)和h(x)可导，则f'(x)=g'(x)±h'(x)。
5.乘法法则：如果f(x)=g(x)h(x)，其中g(x)和h(x)可导，则f'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)。
6.除法法则：如果f(x)=g(x)/h(x)，其中g(x)和h(x)可导且h(x)不等于0，则f'(x)=(g'(x)h(x)-g(x)h'(x))/h(x)^27.复合函数法则：如果f(x)=g(h(x))，其中g和h都是可导函数，则f'(x)=g'(h(x))*h'(x)。
8.反函数法则：如果f和g是互为反函数，则f'(x)=1/g'(f(x))。
二、常用的求导公式1. 幂函数求导：(x^n)' = nx^(n-1)。
2.指数函数求导：(e^x)'=e^x。
3. 对数函数求导：(lnx)' = 1/x。
4. 三角函数求导：(sinx)' = cosx，(cosx)' = -sinx，(tanx)' = sec^2x。
5. 反三角函数求导：(arcsinx)' = 1/√(1-x^2)，(arccosx)' = -1/√(1-x^2)，(arctanx)' = 1/(1+x^2)。
请列举出大学微积分需要用到的所有求导公式
请列举出大学微积分需要用到的所有求导公式近年来，微积分学习成为大学数学课程中的重要组成部分。
对于每一个学习微积分的学生，求导公式是一个必须掌握的重要基础。
求导是分析函数的变化，预测函数值的变化，以及求解问题的重要方法，是微积分的核心内容之一。
首先，要正确理解求导的概念。
求导的本质是探究一个函数在某个点处的导数，也就是一个函数在某点处的斜率。
导数可以用来分析函数在某一点处的瞬时变化，从而用来求解曲线的斜率，斜率的变化趋势和方向等。
其次，大学微积分需要用到的求导公式的类别有：1、恒等式的求导公式这是求导最基础的公式，它表明当函数恒等时，导数为零。
具体为：对于y=c，其导数为02、xxxx的求导公式xxxx的求导公式是运用代数乘法规则求导的。
也就是说，它表明乘法运算中函数的导数是有关乘数的乘积。
具体公式为：对于y=u*v，其导数为u*v+v*u3、常数乘法法则求导公式常数乘法法则求导公式表明，对于任何函数y=cu，u为任意函数，对u求导，乘以常数c，即可得到y的导数。
公式为：对于y=cu，其导数为c*u4、加法和减法法则求导公式加法法则和减法法则求导公式表明，对于任意函数y=u+v和y=u-v，其求导公式为：对于y=u+v和y=u-v，其导数分别是u+v和uv5、指数函数的求导公式指数函数的求导公式表明，对于指数函数y=a^x，其导数为：对于y=a^x，其导数为a^x * ln a6、对数函数的求导公式对数函数的求导公式表明，对于任意函数 y=lnu，其求导公式为：对于y=lnu，其导数为uu7、三角函数的求导公式三角函数的求导公式，也常叫做推导法则。
它具体规定对于每一种三角函数，其求导公式为：对于y=sinu，cos u，tanu，secu，cscu，cotu，其导数分别为cosu，-sinu，sec^2u，-cscu cotu，-csc^2u，-cotu sec^2u8、复合函数的求导公式复合函数求导公式是应用链式法则求导的。
选修高等数学数学教材目录
选修高等数学数学教材目录目录第1章函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 极限的概念与性质1.3 连续与间断1.4 差分与微分1.5 函数的应用第2章导数与微分2.1 导数的概念与计算2.2 导数的几何意义与物理意义2.3 高阶导数与隐函数求导2.4 微分与线性近似2.5 微分中值定理与应用第3章积分与定积分3.1 不定积分的概念与计算3.2 定积分的概念与计算3.3 定积分的几何意义与物理意义3.4 牛顿-莱布尼茨公式与换元法3.5 定积分的应用第4章微分方程4.1 微分方程的基本概念与解法4.2 高阶微分方程与常系数线性微分方程4.3 变量可分离与齐次微分方程4.4 一阶线性微分方程4.5 微分方程的应用第5章无穷级数与幂级数5.1 数列与数列极限5.2 级数的概念与性质5.3 正项级数的审敛法5.4 幂级数的概念与性质5.5 幂级数的收敛半径与求和函数的性质第6章多元函数与偏导数6.1 多元函数的概念与性质6.2 多元函数的极限与连续6.3 偏导数与全微分6.4 多元复合函数的求导法则6.5 隐函数与参数方程的求导第7章多元函数的积分7.1 二重积分的概念与计算7.2 二重积分的坐标变换7.3 曲线与曲面积分的概念与计算7.4 散度与旋度7.5 多元积分的应用第8章空间解析几何与向量代数8.1 空间点与向量的坐标表示8.2 空间点与直线的位置关系8.3 空间曲线与曲面的位置关系8.4 空间直线与直线的位置关系8.5 空间几何的应用第9章空间平面解析几何与向量代数9.1 平面方程与曲线的位置关系9.2 平面与平面的位置关系9.3 空间平面与直线的位置关系9.4 空间角的概念与性质9.5 向量代数的应用第10章数列与数学归纳法10.1 数列的概念与性质10.2 数学归纳法的基本原理10.3 数列极限与数列收敛10.4 数列极限的计算10.5 数列与级数的应用第11章三角函数与三角恒等变换11.1 弧度与角度的转换11.2 三角函数的定义与性质11.3 三角恒等变换的基本公式11.4 三角方程与三角不等式11.5 三角函数的应用第12章概率与统计12.1 随机事件与样本空间12.2 概率的定义与性质12.3 条件概率与乘法法则12.4 离散型随机变量与概率分布12.5 正态分布与统计推断第13章矩阵与行列式13.1 矩阵与向量的基本概念与运算13.2 矩阵的求逆与转置13.3 行列式的概念与性质13.4 线性方程组与矩阵求解13.5 矩阵与行列式的应用第14章向量空间与线性变换14.1 向量空间的基本概念与性质14.2 线性相关与线性无关14.3 维数与基底14.4 矩阵与线性变换14.5 向量空间与线性变换的应用第15章曲线积分与曲面积分15.1 第一类曲线积分15.2 第二类曲线积分15.3 第一类曲面积分15.4 第二类曲面积分15.5 曲线积分与曲面积分的应用第16章傅里叶级数与傅里叶变换16.1 傅里叶级数的基本概念与性质16.2 傅里叶级数的求解与展开16.3 傅里叶变换的基本概念与性质16.4 傅里叶变换的求解与应用16.5 傅里叶级数与傅里叶变换的应用以上是选修高等数学的数学教材的目录。
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第五章定积分本章的教学与考试基本要求1.理解定积分的概念、性质、儿何意义；2.理解积分上限函数及其性质，微积分基本定理;3.会川定积分的换元法与分部积分法求定积分；4.会求积分区间为无穷区间的广义积分；5.会用微元法求有关的血积和体积.5・1定积分的概念与性质一、主要内容回顾表5. 1定积分的概念二、本节基本题型及例题题型I 用定积分的定义，求f In xdx的值.解将区间［1,可分成〃段1= X() <Xj <x2 <・・・<:x n^ <x n=ei其中Xj =e n (i= 0,1,2,•••,«)■I在每一个小区间［Vl,x,.］取右端点£=坷=宀(心0丄2,・・訂)作积分和式然后取极限得f In xdx = lim V'/(§)些=lim V' \ne n (e n - e n )1=1 /=!n ・ 丄 =lim[V'—(e n - “TOO 铝 /?n ・i界・ i H // [ H n->oo 厶^ Y\ 厶— f] 厶・ fi f=l H /=1 H /=! He- hm — / e n n->8 n 台 i=i故 - 2< te x2~x dx<e 2 -2= e-({-e) lim ---------- —ZITOO丄 n(\-e n ) 乂 lim ------ — n->oo L n(] -e n )=lim xT ()(U ) =lim ----- XT () — 故]In xdx = 1. 题型II 估计下列各积分的值：(1) px 2+l)Jx ； (2) ^e xl ~x dx .解 ⑴设 f(x) = x 2 +1 则 /r (x) = 2x>0 XG [1,4]故/⑴在［1,4］上单调增加，其最大为最小值分别为M *(4) = 17, m = /(!) = 2 于是，由估值不等式得2x (4-1)<£(X 2 + l)dx 5 17x(4 — 1)\x2~x dx = -^e x2-x dx0SM2时 ‘ 得=e- lim — •n->oo n即 6<+ l)dx<51 •即 一2, < ^e x2~x dx<-le~^ .题型III 比较下列各对积分的大小⑵ f A dx 与 f ln( 1 + x)dx .*) 1 + 兀 J o解(1)当 0 vxvl 时，X 2 >x 3 则f x 1 dx > f x 3dx .(2) 令 f (x) = (1 + x) ln( 1 + x) - x ,则广(x) = In 1 -(■ x) > 0 ( x > 0 )故当 天>0时 /U)>/(0) = 0即—<ln(14-x) 1 + x从而 f V dx < f ln( 1 + x)dx .由 1 + x *)三、习题选解1.利用定积分定义计算：(1 ) ^xdx (/>0)；(2) ^kdx (k 是常数);(3 ) e x dx ・解(1 )因为被积函数f(x) = x 在［0,/］上连续，故函数可积，将筹份，每个小区间的长 度为g 丄,分点码=厶(心1,2,・・・/)将《•取在小区间的右端点，即& =和 于是和式n n/乙心尹•—2 — = —2n —所以 fxdx = limy /(g )Ax = lim ~=—.1) z 台 皿 2n 2 (2)因为被积函数/(x) = k 在［o,切上连续，故函数可积.将［a.h ］ n 等份.每个小区间的 长度为4匸=山，分点再二山"=1,2,…/)将取在小区间的右端点.即£=坷；于 是和式工/(G 心产工釦也/=1 1=1n所以 Ckd x= lim V'/C^)-^ = lim k(b - a) = k(b - a). 乂 i 久一>()厶千 n->co(3 )因为被积函数f(x) = e x 在［0,1］上连续，可知函数可积，将［0,1］〃等份，每个小区间的长度 为纸=丄，分点召二丄(21,2,•••/)将§収在小区间的右端点，即§=看；于是和式 n n=£戶企=£声•“=立” •-;=1 1=1 /=1 1=1 n1 12 n1 — — — =—・(e n + e n H ---- e n ) n丄 丄 11 亦.［1一(湎)”］1 訂・(1一0)= - ----------- = -- ------- •n 丄 〃丄 l-e n l-e fl 所以 f e x dx = lim ，/(£ )Ax- = lim — • —一- • (1 一 w). 』) 久一>()一' H->00 fl 丄 曰 1_列令丄=f ,则n -> oo 时/ t 0 n则上式 f e x dx = lim 1 • (1 一 e) A) /T O 1 - e l=(1 一 a) • lim —-——= (l-e)- lim — t —>()w ' — ] t —o —e "=(1 — e)(—1) = e — \ .2 .利用定积分的儿何意义说明卜-列等式：(1 ) J xdx = * ；(2)( \Jk 2 - x 2dx = ~ k 2 ；(3 )「sin xdx = 0 . 解(1)由直线y = x,x = l, x 轴所围成的面积为图屮阴影部分, 而该部分的大小为丄，2故有* (xd 兀=*•(2 )由曲线y = J/_r = o,), = o 所围成的而积为图中阴影部分,£/(§)•© = £「3i=\i=\ 心)济gi.—) /=1而该部分的大小为尹 故有^yjk 2-x 2dx = ^k 2.（3 ）由曲线y = sinx 与兀轴所围成的面积为图中阴影部分,其中I 、II 两部分的大小相等,符号相反故为零.vrsin xdx = 0 •7 3.根据定积分的性质，说明卜•列侮组积分哪一个的值人:(2 ) |2 xdx 与 fsinxdx ；(4 ) ( xdx 与(11X1 + x)dx .)令 fM = x 2,g(x) = x 39h(x) = /(x)- g(x) = x 2-X 3 =x 2(\-x).因为 05x51,故力（《¥）»（）•即 /(x) n g(x),有 x 2dx > •2 )令 f (x) = x,g(x) = sin xji(x) = f(x) - g(x) = x-sinx .则h\x ） = l-cosx>0 •故力⑴单调上升・又 /?(()) =(),所以 h{x) > 0.即 fW>g(x).则有 2 xdx > 2 sin xdx ・3 )令 f(x) = e\g(x) = xji(x) = f(x)一g(x) = e x -x.则g) = e x -l>0,故h(x)单调上升.又 /?(())= (),所以 h(x ) > 0.即 /(x) > g (x).故有(e x dx > ( xdx •(4 )令 /(x) = x,g(x) = ln 1(4-x)；/?(x) = /(x)-g(x) = x-ln 1(+ x), 则h\x) = I -一= —>0,故7?(x)单调上升，1 + x 1 + x乂 /z(0) = 0,所以 h(x) > 0.即 fM>g(x)・故有 f xdx > (ln( 1 + x)dx •4.估计下列各积分的值n(2 ) p (1 + sin 2 x)dx ；4 故有 J (x 2 + V)dx ；(3) 俗.解（1 ）因为/（x ） = X 2 +1在［1,2］上连续,所以/（兀）在该区间上有最大值和最小值,且max f (x) = 5, min /(x) = 2 ,所以有 2-(2-l)< |2(X 2+1)J A <5-(2-1), 即 2< j 2(x 2 + l)t/x<5 ・(2) 因为/(x) = l + sin 2x 在f,◎上连续，所以/⑴在该区间上有最大值和最小值, 23且 max f (兀)=2, min f(x)=— >2工 所以有 -•(---)< P(l + sin 2x)Jx<2-(---), 2 2 4 卍 2 442 〃(l + sin~xWx< —.2兀2+3(3 )因为f(x)= 一 在10,1] ±连续，所以/(尤)在该区间上有最大值和最小值,L + 2 3 4 H. max/(x) = —,min/(x)=—, 2 3所以有 ^-(1-0)< ^^^/x<|-(l-0)5.2微积分学的基本公式一、主要内容回顾表5.2微积分学的基本公式7T 4积分上限函数及其导数(原函数存在定理)(1)/co在⑷刃上连续,则积分上限函数<D(X)= r在［&,刃上可导,且①'(X)= 4「/⑴力=fM(a <x<b).ax J"(2)若.f⑴在S，刃上连续,0(%)在［0,0］上可导,且a <(p(x) < b(x G ［a, 0］)则①(兀)=『)")/在［a,0］上可导,且①'(X)= f［(p(x)］ • (p\x) •(3)若/(x)在［d,方］上连续,0(兀),02(兀)在［a,0］上可导，且a<(p{ (x) <b,a<(p2 (x)<b .则①(x)=『⑴/⑴加在［Q,0］上可导，且①'(兀)=・/102(兀)1 •亦⑴-f\(P\⑴］•分⑴•牛顿一莱布尼兹公式若几兀)在［a,b］上连续，且F\x) = f{x),则少h1 f(x)dx = F(x) =F(b) — F(a).山a二、基本题型及例题题型I计算题1.求下列函数的导数sin uducos uduy解(1)空=・i fi=小x<iY_dx Jo X2丄<nrcos udu =cos(lnr)sin udu = 2r -sinr2dy cos(ln t)由参数方程求导法则，得—=#=— = C('s(ln ° dx dx 2z-sinr 2 2r 2sinr 2dt题型III 求卜•列定积分(1 ) ( e^dx ； 2.求由 P e l dt + 3宀o 所确定的隐函数用的导数贽 解J e'dt + J cos tdt = 0两边对x 求导 —(+ —『cosM = 0, dy k dx dx J ) e y - — 4- cos x = 0 , dx 故©… dx 一' COSX • 题型II 求卜•列极限: [cos/2J/ (1) lim -------------- x->() X (2) —r/j/ lim —— XTO sin 2x 解（I ）方法一 由屮值定理［cosz 2t/r = xcos^2,其中§在0为xZ 间 当XT0时歹TO, 则lim 邑辻=lim 竺空=lim 曲=1 . x->0 x XT O x §T 0 I 方法二 由洛必达法则，得 lim Wl = lim £2^ = 1. X->() X A->() I （2）由洛必达法则及无穷小的替代法，得 x- [e t2dt x- [e t2dt lim — = lim —— XTO x z sin 2x XTO 2X J =lim x->0上 J lim 6x 2 XTO -2xe x 1 12x ~6 (2 ) sin Ixdx •二川 dx = y^e~x dx + f e x dx =托/r ___ _________________ 托(2 ) - sin 2xdx = [^^(sinx-cosx)2Jx = f^|sinx-cosx| Jx /rn=((cosx-sinx)dx + p (sinx-cosx)^x亠4= [sinx + cosx]p + [—cosx — sinx]岸 =2 2 -2. 0 7厂三. 习题选解1 •求下列函数的导数: (1) y = [ cos tdt ； (3) y = I arctan tdt ； Jinxy f = ( I cos tdt\ = cosx •>/ =—arctan(ln x)・ X•Inx 4 ~(^2) - In x 2=4x 3 lnx 4 -2xlnx 2 = 16x 3 In x -4xln x[cos”血所确定的函数y 对x 的导数.2 .求由参数表达式x = f sin udu, y =狞一力力一力-cos udu\rsin uducost =cot r. sin/cos tdt) = 0(4) y = \ntdt.x 2arctan tdt = -(ln%y ・ arctan(ln x)y f - e y + cos x = 04 •计算下列定积分:(1)— dx = \nx e . X1 71 71=—.—=o a 3 3ddx = f (3x 4+3广 + _J_Xv = f*(3 兀 2 + _J_』)F + 1 x 2+l 』) x 2 + l-y• COSX •(7)(9)(3)1 +dx :x 2 + 17122sin 2^/x ； ) 2(4)(6)(8)(10)[ix 12 ) -2x + l)df V7(l + x/^)dx =((仮 + x)dx =丄+1兀2 -+ 1UX 2+ — 2 81 2 16、二 x27 + — x8 亠=451. 生一^rdx = arctan 粤l + F1 2 071 71 712色-x 2 32 / ] dx=arcsinx )VT771(x 3 + arctan x) = 1+-.0 4)X 2 +1(6).1 ^dx =-arctan- tT+x a a2t = ln3 - lne = ln3-l • e-l5•设k 为正整数，试证下列各题:(10) J sinxsin xdx - sin xdx = -cosx ： +cosxj = -(-1 -1) + [1 - (-1)] = 4.+ x) (1) [ cos kxdx =0 ； (2)£ sin kxdx = 0 ；L 2(3) cos kxdx = 7i:丄兀(4 ) 「sin 2 kxdx = TI •丄;T卩I证⑴ £costo/x=i d(sinkx)=丄 sinkx 7 kn=0.(2) sin kxdx =——d(coskx)=——cosd丄〃宀k7F=0.M M 1r(3) £ cos 2kxdx = ] —(1 + cos 2kx)dx =—+ 0 = 7T .-n(4) sin 2 kxdx =—(1 - cos 2kx)dx = A6•设k 及/为止整数，且k*试证下列各题:%cos 也・sin/x6庄pzr(2) cos/cx-cos/xJx = 0； 丄兀(3) f singsin/xdx = 0.丄"TT证(1) fcos h; • sin Ixdx = —「[sin 伙+/)x-sin 伙一1 cos 伙 + l)x cos 伙 一l)x = --[V k+l n]=0. -7TI y1俨cos kx-cos Ixdx = — [cos(£+ /)x + cos 仗一/)x]dr 7 2 J 一穴I 「sin 伙 +/)x sin 伙-/)x.=—1 ------------ 1 ------------ 1 2 k+l k-l =0.7 席.・Ifsinkx ・sin/xdx =—— 龙 2丄 [cos 伙 + /)% - cos 伙 一 l)x]clx1 sin 伙 + l)x sin 伙 一 l)x/r1 =0.-nP(l-2coszW = 2 - V3 + (Z ——sin 27) & 止) 2 n5.3定积分的换元法一、主要内容回顾 表5. 4定积分的换元法换元法设函数f(x)在［a b ］上连续，函数x =(p(t)满足(1) (p(a) = a , 0(0) = b ；(2) 卩⑴在［a,0］(或［0,⑵)上具有连续导数,Ra<(p(t)<b.则 ^f(x)dx= £］0(/)df •题型I 计算题xdx1(5 一(2) 求/=』)\-yJx(3)求/=［—，求「2 In 2 /7yrr(4) 已知 f= 求yje x -1 6解⑴令E"则V (5J )m=_抄当 x = -l 时/ = 3,当 X = injr = l.(一抽=訂(5一®T-y(2)令“站，则如2sig 泌，当*0时20,当“扌时心彳.则心彳 cosr )1 -sinr・ 2sinzcosrt/r = 2 6 sin tdt + 2 j ^sin 2 tdt 7T= -2cos/(f +二.基本题型及例题⑶令心，则g-討当归时日，当“3时冷⑷令 \le x -1 = f ，即 x = ln(Z 2 + 1),则1 2?,小・— ---- dt = 2 arctan t i/ 八 + [ —=¥ - 2aictan \Je a -1.~1=F 得arctanV7^=7贝 lja =ln2.题型H 证明题nn(1)证明 Psin w, xcos m xdx = 2~m Rcos w xdx ；(2)证明£ f(x 2)dx = 2^(p(x 2)dx .其中0(u)为连续函数/rn证⑴左边订莎“『2加=2廿s 『2如令2*彳"即“彳三则左边=2"nn/ cos'" t •(—丄w = 2" F cos'" tdt =右边.2(2)因为£/U 2WX =£ (p(x 2 )dx 4- £(p{x 1)dx ],0(兀2 )dx = [ ((p(-xf ]d(-x) = [ 0(/ )dx£ /(x 2 )dx = 2』(p(x 2 )dx.三.习题选解1.计算下列定积分 (1) sin(x + —；3 3dx2(11+ 2x)27T(3) psin • cos 3 &d& ；/r\~cosu 2du ；6d(t + -) 5 _______2 = = -[In(/ + — + J/? + 5/ + 1 )1z 5. 212 (T -7=ln(| + V7)-ln(y + |) = ln 上許-则/ =-5 dt Vr + 5r +1=-f(6) J yj x(x - 2)\dx ；小 ---- ⑻［~^2-y 2dy ；d dx f¥(H 1 J -2(11 + 2x)2 ~ J 2 (J ］ + 2x)27Tj^cos ii 2du =641 + cos 2u f;----- 加61 7t-arctan eo 4J J|x(x_2)|dx = J yjx(x - T)dx + J yjx(2 - x)dx .2 sin & • cos3 = - f cos 3 &d(cos 0) = -—cos 4 07Tn71 73 ?_T(15) 71J ： cos t • cos2tdt ； 一2(12) J x 2yja 2 -x 2dx : (14)；』)2 + sinx(16)『，(以+ 1)3心力；(17)”百后加(⑻［占(20) f Vl + cos 2xdx •71Lysin x + -ty/(x + —) = -co (x + *)=0.132~912 11 + 2 兀兀］ 13 —du + — 3 cos 2udu E ? 2上=arctan e x ⑼(11) (13)(19)A /COSX - cos3xdx解(1) sin x +3j = [ Jx(x-2)dx = J J (兀2 _2% + l)_ldx = [ J(x_ 1)2 _ Id (兀-1).令x — l = /，贝I 」当x = 3时/ = 2,当x = 2时/ = 1../)= J \lt 2 -\dt =_] _i n / +乂 | Jx(2 - x)dx = J \l2x-x 2 d x = J Jl-(x-l)? dx. 令 x -l = r,则当 x = 2 时 ul,当 x = l 时 z = 0. 厶=[yll-t 2dt = —[rVl+ arcsin/] 故 J J 卜(兀—2)|dx = /)+ 厶=>/3 — — ln(2 4- y[?)) + —.(7) f* 1 dx = f —|] dx.%1_(务令金"则⑴屁，当E 时2拿当“。
《微积分》上册部分课后习题答案
微积分上册 一元函数微积分与无穷级数第2章 极限与连续2.1 数列的极限1.对于数列n x ,若a x k →2(∞→k ),a x k →+12(∞→k ),证明:a x n → (∞→n )． 证. 0>∀ε, a x k →2 (∞→k ), Z K ∈∃∴1, 只要122K k >, 就有ε<-a x k 2; 又因a x k →+12(∞→k ), Z K ∈∃∴2, 只要12122+>+K k , 就有ε<-+a x k 12. 取{}12,2m ax 21+=K K N , 只要N n >, 就有ε<-a x n , 因此有a x n → (∞→n ). 2．若a x n n =∞→lim ，证明||||lim a x n n =∞→，并举反例说明反之不一定成立.证明： a x n n =∞→lim ，由定义有：N ∃>∀,0ε，当N n >时恒有ε<-||a x n又 ε<-≤-||||||a x a x n n对上述同样的ε和N ，当N n >时，都有ε<-||||a x n 成立 ∴ ||||lim a x n n =∞→反之,不一定成立.如取 ,2,1,)1(=-=n x nn显然 1||lim =∞→n n x ，但n n x ∞→lim 不存在.2.2 函数的极限1. 用极限定义证明:函数()x f 当0x x →时极限存在的充要条件是左、右极限各自存在且相等．证: 必要性. 若()A x f x x =→0lim , 0>∀ε, 0>∃δ, 当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 因而, 当δ<-<00x x 时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =+→0lim ; 同时当δ<-<x x 00时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =-→0lim .充分性. 若()A x f x x =+→0lim ,()A x f x x =-→0lim . 0>∀ε, 01>∃δ, 当100δ<-<x x 时, 就有()ε<-A x f , 也02>∃δ, 当200δ<-<x x 时, 有()ε<-A x f . 取{}21,m in δδδ=,则当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 所以()A x f x x =→0lim .2．写出下列极限的精确定义：（1）A x f x x =+→)(lim 0，（2）A x f x =-∞→)(lim ，（3）+∞=+→)(lim 0x f x x ，（4）-∞=+∞→)(lim x f x ，（5）A x f x =+∞→)(lim ．解：（1）设R x U f →)(:0是一个函数，如果存在一个常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀δε，使得当δ<-<00x x 时，恒有ε<-|)(|A x f ，则称A 是)(x f 当+→0x x 时的极限，记作A x f x x =+→)(lim 0或 )()(0+→=x x A x f . （2）设R f D f →)(:是一函数，其中0,),,()(>>--∞⊃αααR f D .若存在常数R A ∈，满足关系：0)(,0>∈∃>∀R X ε，使得当X x -<时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A 是)(x f 当-∞→x 时的极限，记作：A x f x =-∞→)(lim 或 A x f =)()(-∞→x .（3）设R x U f →)(:0是任一函数，若0>∀M ，0>∃δ，使得当δ<-<00x x 时，恒有M x f >)(，则称当+→0x x 时)(x f 的极限为正无穷大，记作+∞=+→)(lim 0x f x x 或 +∞=)(x f )(0+→x x . （4）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0>∀M ，0)(>∈∃R X ，使得当X x >时，恒有M x f -<)(则称当+∞→x 时)(x f 的极限为负无穷大，记作：-∞=+∞→)(lim x f x 或 -∞=)(x f )(+∞→x .（5）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀X ε，使得当X x >时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A是)(x f 当+∞→x 时的极限，记作：A x f x =+∞→)(lim 或 A x f =)()(+∞→x .2.3 极限的运算法则1.求∑=∞→+⋯++Nn N n 1211lim． 解. ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+=+⋯++111212211211n n n n n n n⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋯++∑=1112111312121122111N N N n Nn 21112lim 211lim1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+⋯++∴∞→=∞→∑N nN Nn N 2．求xe e xxx 1arctan11lim110-+→． 解. +∞=+→x x e 10lim , 0lim 10=-→xx e,,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-++++→--→→x ee x e e x xxx xxx ,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-+---→→→x e e x e e x x xx x x x 21arctan 11lim 110π=-+∴→x e e x xx3．设)(lim 1x f x →存在，)(lim 2)(12x f x x x f x →+=，求)(x f . 解：设 )(lim 1x f x →=A ，则A x x x f ⋅+=2)(2再求极限：A A A x x x f x x =+=⋅+=→→21)2(lim )(lim 211⇒ 1-=A∴ x x xA x x f 22)(22-=+=.4．确定a ,b ,c ，使 0)1(3)1()1(lim 2221=-+-+-+-→x x c x b x a x 成立.解：依题意,所给函数极限存在且 0)1(lim 21=-→x x∴ 0]3)1()1([lim 221=+-+-+-→x c x b x a x ⇒ 2=c∴ 上式左边=])32)(1(11[lim ))1(321(lim 21221++-+--+=-+-+-+→→x x x x b a x x x b a x x])32)(1(1)32([lim 221++---+++=→x x x x b a x同理有 0]1)32([lim 21=--++→x x b x ⇒ 21=b ∴ 163)23)(1(8)1(3lim )32)(1(1)32(21lim221221=++---=++---++-=→→x x x x x x xx a x x 故 2,21,163===c b a 为所求.2.4 极限存在准则1. 设1x =10，n n x x +=+61，( ,2,1=n )．试证数列{n x }的极限存在，并求此极限． 证: 由101=x , 4612=+=x x , 知21x x >. 假设1+>k k x x , 则有21166+++=+>+=k k k k x x x x . 由数学归纳法知, 对一切正整数n , 有1+>n n x x ,即数列{n x }单调减少. 又显然, () ,2,10=>n x n , 即{n x }有界. 故n n x ∞→lim 存在.令a x n n =∞→lim , 对n n x x +=+61两边取极限得a a +=6, 从而有062=--a a ,,3=∴a 或2-=a , 但0,0≥∴>a x n , 故3lim =∞→n n x2．证明数列 nn n x x x x ++=<<+3)1(3,3011收敛，并求其极限．证明：利用准则II ，单调有界必有极限来证明.∴301<<x ，由递推公式33312131213213)1(30111112=++<++=++=++=<x x x x x x∴ 302<<x 同理可证：30<<n x 有界又 03)3)(3(333)1(311112111112>++-=+-=-++=-x x x x x x x x x x∴ 12x x > 同理 23x x > ，… ，1->n n x x ∴数列 }{n x 单调递增，由准则II n n x ∞→lim 存在，设为A ，由递推公式有：AA A ++=3)1(3 ⇒ 3±=A （舍去负数）∴ 3lim =∞→n n x .3．设}{n x 为一单调增加的数列，若它有一个子列收敛于a ，证明a x n n =∞→lim .证明：设}{k n x 为}{n x 的一子列，则}{k n x 也为一单调增加的数列，且a x k k n n =∞→lim对于1=ε，N ∃，当N n >时有1||<-a x k n 从而||1||||||||a a a x a a x x k k k n n n +<+-≤+-=取|}|1|,|,|,max {|1a x x M N n n += ，对一切k n 都有 M x k n ≤|| 有界.由子列有界，且原数列}{n x 又为一单调增加的数列，所以，对一切n 有M x n ≤||有界，由准则II ，数列}{n x 极限存在且a x n n =∞→lim .2.5 两个重要极限1. 求]cos 1[cos lim n n n -++∞→．解： 原式 =21sin 21sin2lim nn n n n -+++-+∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=-+=-+-+-+++-=+∞→n n n n n n nn nn nn n 1110212121sin21sin2lim 2. 求)1sin(lim 2++∞→n n π．解. 原式=()()n nn n n nn n -+-=-+++∞→+∞→1sin 1lim )1sin(lim 22ππππ()()()()0111sin 1lim 222=-+⋅-+-+-=+∞→n nn n nnnn πππ3. 求x x xx )1cos 1(sinlim +∞→． 解. 原式=()[]()e t t t tttt tt xt =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=→→=22sin 2sin 10212012sin 1lim cos sin lim 令4. 设 ⎩⎨⎧+-=32)cos 1(2)(x x x x f 00≥<x x 求 20)(lim x x f x →. 解： 1lim )(lim 232020=+=++→→x x x x x f x x ，1)cos 1(2lim )(lim 2020=-=--→→x x x x f x x ∴ 1)(lim2=→xx f x .2.6 函数的连续性1. 研究函数()[]x x x g -=的连续性，并指出间断点类型. 解. n x =，Z n ∈ (整数集)为第一类 (跳跃) 间断点.2. 证明方程)0(03>=++p q px x 有且只有一个实根.证. 令()()()0,0,3>∞+<∞-++=f f q px x x f , 由零点定理, 至少存在一点ξ使得()0=ξf , 其唯一性, 易由()x f 的严格单调性可得.3．设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01),1ln(0 ,)(11x x x e x f x ，求)(x f 的间断点，并说明间断点的所属类型. 解. )(x f 在()()()+∞-,1,1,0,0,1内连续, ∞=-→+111lim x x e,0lim 111=-→-x x e, ()00=f , 因此,1=x 是)(x f 的第二类无穷间断点; (),lim lim 1110--→→==++e ex f x x x()()01ln lim lim 00=+=--→→x x f x x , 因此0=x 是)(x f 的第一类跳跃间断点.4．讨论nx nxn e e x x x f ++=∞→1lim )(2的连续性．解. ⎪⎩⎪⎨⎧<=>=++=∞→0,0,00,1lim)(22x x x x x e e x x x f nxnxn , 因此)(x f 在()()+∞∞-,0,0,内连续, 又()()00lim 0==→f x f x , ()x f ∴在()+∞∞-,上连续.5.设函数),()(+∞-∞在x f 内连续，且0)(lim=∞→xx f x ，证明至少存在一点ξ，使得0)(=+ξξf .证：令x x f x F +=)()(，则01]1)([lim )(lim>=+=∞→∞→x x f x x F x x ，从而0)(>xx F .由极限保号性定理可得，存在01>x 使0)(1>x F ；存在02<x 使0)(2<x F .)(x F 在],[12x x 上满足零点定理的条件，所以至少存在一点ξ使得0)(=ξF ，即0)(=+ξξf .6．讨论函数nnx x x x f 2211lim )(+-=∞→的连续性，若有间断点，判别其类型.解： ⎪⎩⎪⎨⎧-=101)(x f 1||1||1||>=<x x x ，显然 1±=x 是第一类跳跃间断点，除此之外均为连续区间.7．证明：方程)0,0(sin >>+=b a b x a x 至少有一个正根，且不超过b a +. 证明：设b x a x x f --=sin )(，考虑区间],0[b a +0)0(<-=b f ，0))sin(1()(≥+-=+b a a b a f ，当0))sin(1()(=+-=+b a a b a f 时，b a x +=是方程的根；当0))sin(1()(>+-=+b a a b a f 时，由零点定理，至少),0(b a +∈∃ξ使0)(=ξf ，即 0sin =--b a ξξ成立,故原方程至少有一个正根且不超过b a +.2.7 无穷小与无穷大、无穷小的比较1. 当0→x 时，下面等式成立吗？(1))()(32x o x o x =⋅；(2))()(2x o xx o =；(3) )()(2x o x o =． 解. （1）()()()002232→→=⋅x xx o x x o x , ()()()032→=⋅∴x x o x o x （2） ()()()0)(,00)()(2222→=∴→→=x x o x x o x x x o xxx o（3） ()2xx o不一定趋于零, )()(2x o x o =∴不一定成立(当0→x 时) 2. 当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax ，则求常数c b a ,,．解. 因为当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax , 所以01lim 111lim 22=+++=++++∞→+∞→c bx ax x x c bx ax x x , 故c b a ,,0≠任意.3．写出0→x 时，无穷小量3x x +的等价无穷小量.解： 11lim 1lim lim303630=+=+=+→→→x xx xxx x x x∴ 当0→x ，3x x +～6x第3章 导数与微分3.1 导数概念1. 设函数)(x f 在0x 处可导，求下列极限值． (1)hh x f h x f h )3()2(lim000--+→；(2)000)()(lim 0x x x xf x f x x x --→．解.（1） 原式()()()000000533)3(22)2(lim x f h x f h x f h x f h x f h '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅---+⋅-+=→（2） 原式()[]()()()()00000000)(limx f x f x x x x x x f x f x f x x x -'=----=→2．设函数R f →+∞),0(:在1=x 处可导，且),0(,+∞∈∀y x 有)()()(y xf x yf xy f += 试证：函数f 在),0(+∞内可导，且)1()()(f xx f x f '+='． 解：令1==y x ，由()()()y xf x yf xy f +=有()()121f f =得()01=f ．()+∞∈∀,0x ，()()()()()()()()()()xx f f x x f xx f x x f x x f x f x x x x xf x x f x x x f x x f x x f x f x x x x +'=+∆-⎪⎭⎫⎝⎛∆+=∆-⎪⎭⎫ ⎝⎛∆++⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-∆+='→∆→∆→∆→∆111lim 11lim 1lim lim 0000 故()x f 在()+∞,0内处处可导，且()()()xx f f x f +'='1． 3.设()f x 在(,)-∞+∞内有意义，且(0)0f =，(0)1f '=， 又121221()()()()()f x x f x x f x x ϕϕ+=+，其中22()cos xx x x e ϕ-=+, 求()f x '．解： ()()()()()()()()x x f x x f x x f x x f x x f x f x x ∆-∆+∆=∆-∆+='→∆→∆ϕϕ00lim lim()()()()()()()()()001lim 0lim 00ϕϕϕϕ'+'=∆-∆+∆-∆=→∆→∆x f x f xx x f x x f x f x x ()x e x x x 22cos -+==ϕ4.设函数0)(=x x f 在处可导，且21arctan lim )(0=-→x f x e x，求)0(f '.解：由已知，必有0]1[lim )(0=-→x f x e，从而0)(lim 0=→x f x ，而0)(=x x f 在连续，故0)0(=f .于是)0(1)0()(1lim )(lim 1arctan lim200)(0f xf x f x f x e x x x x f x '=-==-=→→→. 故21)0(='f .5.设)(x f 具有二阶导数，)(,sin )()2(lim )(2x dF t xx f t x f t x F t 求⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=∞→.解： 令t h 1=，则)(2 sin )()2(lim)(0x f x hhxh x f h x f x F t '=⋅-+=→.从而)(2)(2)(x f x x f x F ''+'='，dx x f x x f dx x F x dF )]()([2)()(''+'='=.6．设f 是对任意实数y x ,满足方程 22)()()(xy y x y f x f x f +++= 的函数，又假设1)(lim=→xx f x ,求：（1）)0(f ；（2）)0(f '； （3）)(x f '. 解：（1）依题意 R y x ∈∀,，等式 22)()()(xy y x y f x f y x f +++=+ 成立令0==y x 有 )0(2)0(f f = ⇒ 0)0(=f（2）又 1)(lim=→x x f x ，即 )0(10)0()(lim 0f x f x f x '==--→，∴ 1)0(='f（3）xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0x x f x x x x x f x f x ∆-∆⋅+∆⋅+∆+=→∆)()()()(lim 220 x x x x x x f x ∆∆⋅+∆⋅+∆=→∆220)()(lim ])([lim 20x x x xx f x ∆⋅++∆∆=→∆ ]1)0(22x x f +=+'=∴ 21)(x x f +='.7．设曲线)(x f y =在原点与x y sin =相切，试求极限 )2(lim 21nf nn ∞→. 解：依题意有 1)0()0(='='f y 且0)0(=f∴ 222)0()2(lim )2(lim 2121=⋅-⋅=⋅∞→∞→n nf n f n nf n n n .8．设函数)(x f 在0=x 处可导且0)0(,0)0(='≠f f ，证明1])0()1([lim =∞→nn f n f .证：n n n n f f n f f n f ])0()0()1(1[lim ])0()1([lim -+=∞→∞→.=10)0(11)0()01(lim )0()0()1(lim ===⋅-+-∞→∞→e ee f nf n f f f n f n n n .1．计算函数baxax xb ab y )()()(= （0,0>>b a ）的导数．解. a xb bx a b a x xb a b a a x b a x a b x b x b a a x x b a b a b y )(1)()()()(ln )(121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+='-- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=x b x a a b a x x b a b b a x ln )()()( 2.引入中间变量,1)(2x x u +=计算1111ln 411arctan 21222-+++++=x x x y 的导数dx dy ．解. 引入,1)(2x x u += 得11ln 41arctan 21-++=u u u y ,于是dxdudu dy dx dy ⋅=, 又 ()()4242422111111111141121x x x u u u u du dy +-=+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++=,21xx dx du +=, 则()22242121121xx x x x x x dx dy ++-=+⋅⎪⎭⎫⎝⎛+-= 3.设y y x +=2，232)(x x u +=，求dudy． 解. dudxdx dy du dy ⋅= , 又()()1223,12212++=+=x x x dx du y dy dx ,得121+=y dx dy , ()x x x du dx ++=21232, 则得()()xx x y du dy +++=2121232 4．已知 2arctan )(),2323(x x f x x f y ='+-=，求=x dx dy ．解：22)23(12)2323arctan()2323()2323(+⋅+-='+-⋅+-'='x x x x x x x f y π43)23(12)2323arctan(02200=+⋅+-='=∴===x x x x x x y dxdy .1. 计算下列各函数的n 阶导数. (1) 6512-+=x x y ; (2) x e y xcos =． 解 （1）⎪⎭⎫⎝⎛+--=611171x x y ，()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛-=∴++1161117!1611171n n nn n n x x n x x y （2） ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-='4cos 2sin 21cos 212sin cos πx e x x e x x e y x x x()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=''42cos 24sin 4cos 22πππx ex x e y xx由此推得 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=4cos 2πn x eyxnn2. 设x x y 2sin 2=, 求()50y ．解 ()()()()()()()()()()"+'+=248250249150250502sin 2sin 2sin x x C x x C x x y⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2482sin 2249502492sin 2502502sin 24950250πππx x x x xx x x x x 2sin 212252cos 2502sin 24950250⋅+⋅+-= ()[]x x x x 2cos 1002sin 212252249+-=3. 试从y dy dx '=1, 0≠'y , 其中y 三阶可导, 导出()322y y dy x d '''-=, ()()52333y y y y dy x d '''''-''= 解 y dy dx '=1 ，()()322211y y y y y dy dx y dx d dyx d '''-='⋅'-''=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∴ ()()()()()()52623333313y y y y y y y y y y y dy dx y y dx d dy x d '''''-''='⋅'''⋅'⋅''+''''-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''-=∴ 4. 设()x f 满足()()0 312≠=⎪⎭⎫⎝⎛+x xx f x f , 求()()()()x f x f x f n ,,'．解 以x 1代x ，原方程为()x x f x f 321==⎪⎭⎫ ⎝⎛，由()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x f x f x x f x f 321 312，消去⎪⎭⎫⎝⎛x f 1，求得()x x x f 12-=，且得()212xx f +='，()()()()2!111≥-=++n x n x f n n n . 5．设()arcsin f x x =，试证明()f x 满足 （1）2(1)()()0x f x xf x '''--= （2） ,1,0,0)()()12()()1()(2)1()2(2==-+--++n x f n x xf n x f x n n n（3）求()(0)n f解 （1）()211x x f -='，()()()22221112211xx xx x x x f --=-⋅--=''， ()()()012='-''-∴x f x x f x ，（2）上式两边对x 求n 阶导数得()()[]()()[]()()()()()()()()()()()()()()()[]x f n x xf x f n n x f x n x f x x f x x f x n n n n n nn⋅⋅+-⋅-⋅---+-='-''-=+++1221211021222即 ()()()()()()()()01212122=-+--++x f nx xf n x f xn n n 。
【高中数学】第5章 5.2.2 导数的四则运算法则
5.2.2 导数的四则运算法则素养目标学科素养1.掌握导数的运算法则．(重点)2．利用导数的运算法则解决有关问题．(难点)1.数学抽象； 2．逻辑推理； 3．数学运算情境导学古希腊欧几里得在《几何原本》中所建立的几何体系，堪称“雄伟的建筑”“庄严的结构”“巍峨的阶梯”，它使得多少科学少年为之神往！数学中优美的公式就如但丁《神曲》中的诗句、黎曼几何学与肖邦的钢琴曲一样优美．导数公式及运算法则的和谐与对称具有一种崇高美，今天，让我们一起领略吧！导数的四则运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 特别地：①当g (x )＝c (c 为常数)时，[cf (x )]′＝cf ′(x )； ②当f (x )＝1时，⎣⎡⎦⎤1g (x )′＝－g ′(x )[g (x )]2.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)若f ′(x )＝2x ，则f (x )＝x 2.( ) × 提示：若f ′(x )＝2x ，则f (x )＝x 2＋c .(2)已知函数y ＝2sin x －cos x ，则y ′＝2cos x ＋sin x ．( ) √ 提示：若y ＝2sin x －cos x ，则y ′＝(2sin x )′－(cos x )′＝2cos x ＋sin x .(3)已知函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋2)，则f ′(x )＝2x ＋1.( )× 提示：因为f (x )＝(x ＋1)(x ＋2)＝x 2＋3x ＋2，所以f ′(x )＝2x ＋3.1．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( ) A ．y ′＝cos 2x ＋sin 2x B ．y ′＝cos 2x －sin 2x C ．y ′＝2cos x ·sin x D ．y ′＝cos x ·sin xB 解析：y ′＝(sin x ·cos x )′＝cos x ·cos x ＋sin x ·(－sin x )＝cos 2x －sin 2x . 2．若y ＝cos x ＋e x ，则y ′＝( ) A ．－sin x ＋e x B ．sin x ＋e xC ．－sin x ＋1xD ．sin x ＋1xA 解析：y ′＝(cos x )′＋(e x )′＝－sin x ＋e x . 3．下列求导运算正确的是( ) A ．⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2′＝1－1x 3B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(x ·ln x )′＝1xD ．(3x )′＝3x log 3eB 解析：⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2′＝1－2x 3，(x ln x )′＝ln x ＋1，(3x )′＝3x ln 3，故A ，C ，D 均错误，B 正确．4．函数y ＝x 3cos x 的导数是( ) A ．3x 2cos x ＋x 3sin x B ．3x 2cos x －x 3sin x C ．3x 2cos x D ．－x 3sin xB 解析：y ′＝(x 3)′cos x ＋x 3(cos x )′＝3x 2cos x －x 3sin x . 5．f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________. 1 解析：f (x )＝4x 2＋4ax ＋a 2，∵f ′(x )＝8x ＋4a ，∴f ′(2)＝16＋4a ＝20，∴a ＝1.【例1】求下列函数的导数． (1)y ＝2x 3＋x 2－x ＋1； (2)y ＝x 4＋cos x ； (3)y ＝e x ＋ln x .解：(1)y ′＝(2x 3)′＋(x 2)′－(x )′＋(1)′＝6x 2＋2x －1. (2)y ′＝(x 4)′＋(cos x )′＝4x 3－sin x . (3)y ′＝(e x )′＋(ln x )′＝e x ＋1x.1．两个函数和(或差)的求导法则：设函数f (x )，g (x )是可导的，则[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)．2．熟记常见基本初等函数的求导公式是进行求导运算的前提．判断所给函数解析式的结构特点，选择正确的公式和运算法则．求下列函数的导数． (1)y ＝15x 5＋23x 3；(2)y ＝5x －ln x ；解：(1)y ′＝⎝⎛⎭⎫15x 5′＋⎝⎛⎭⎫23x 3′＝x 4＋2x 2. (2)y ′＝(5x )′－(ln x )′＝5x ln 5－1x .(3)y ′＝(log 5x )′＋(sin x )′＝1x ln 5＋cos x .【例2】求下列函数的导数． (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)； (2)y ＝2x cos x －3x ln x ； (3)y ＝x ＋3x 2＋3.解：(1)(方法一)y ′＝(2x 2＋3)′(3x －2)＋(2x 2＋3)(3x －2)′＝4x (3x －2)＋(2x 2＋3)×3＝18x 2－8x ＋9.(方法二)∵y ＝(2x 2＋3)(3x －2)＝6x 3－4x 2＋9x －6，∴y ′＝18x 2－8x ＋9.(2)y ′＝(2x cos x －3x ln x )′＝(2x )′cos x ＋2x (cos x )′－3[x ′ln x ＋x (ln x )′]＝2x ln 2×cos x －2x sin x －3⎝⎛⎭⎫ln x ＋x ·1x ＝2x ln 2×cos x －2x sin x －3ln x －3. (3)y ′＝(x ＋3)′(x 2＋3)－(x ＋3)(x 2＋3)′(x 2＋3)2＝1×(x 2＋3)－(x ＋3)×2x (x 2＋3)2＝－x 2－6x ＋3(x 2＋3)2.两个函数积的求导法则：设函数f (x )，g (x )是可导的，则[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． 两个函数商的求导法则：设函数f (x )，g (x )是可导的，且g (x )≠0，则⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2.运算过程易出现失误的原因是不能正确理解求导法则，特别是商的求导法则．求导过程中符号判断不清，也是导致错误的原因．另外在求导之前观察函数是否可以化简，再进行求导，可以避免使用商的求导法则，从而减少运算量．求下列函数的导数．(2)y ＝2xsin x.解：(1)y ′＝(3x 2)′＋(x cos x )′＝6x ＋x ′cos x ＋x (cos x )′＝6x ＋cos x －x sin x . (2)y ′＝(2x )′sin x －2x (sin x )′sin 2x ＝2x ln 2×sin x －2x cos xsin 2x.探究题1 若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．(e ，e) 解析：设P (x 0，y 0)．∵y ＝x ln x ， ∴y ′＝ln x ＋x ·1x ＝1＋ln x .∴k ＝1＋ln x 0.又k ＝2， ∴1＋ln x 0＝2，∴x 0＝e. ∴y 0＝eln e ＝e.∴点P 的坐标是(e ，e)．探究题2 已知函数f (x )＝ax 2＋ln x 的导数为f ′(x )． (1)求f (1)＋f ′(1)；(2)若曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意，函数的定义域为(0，＋∞)， 由f (x )＝ax 2＋ln x ，得f ′(x )＝2ax ＋1x ，所以f (1)＋f ′(1)＝3a ＋1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x ∈(0，＋∞)内导函数f ′(x )＝2ax ＋1x 存在零点．令f ′(x )＝0，即2ax ＋1x ＝0有正实数解，即2ax 2＝－1有正实数解，故有a <0， 所以实数a 的取值范围是(－∞，0)．解决有关切线问题的关注点：(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．另外有的点虽然在切线上，但是经过该点的切线不一定只有1条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要漏解．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，其导函数f ′(x )＝2x －8. (1)求a ，b 的值；(2)设函数g (x )＝e x sin x ＋f (x )，求曲线g (x )在x ＝0处的切线方程． 解：(1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)， 所以f ′(x )＝2ax ＋b .又知f ′(x )＝2x －8，所以a ＝1，b ＝－8. (2)由(1)可知g (x )＝e x sin x ＋x 2－8x ＋3， 所以g ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ＋2x －8， 所以g ′(0)＝e 0sin0＋e 0cos0＋2×0－8＝－7. 又知g (0)＝3，所以g (x )在x ＝0处的切线方程为y －3＝－7(x －0)．即7x ＋y －3＝0.1．函数f (x )＝x 3－2x 2－3的导数为( ) A ．f ′(x )＝3x 2－4x B ．f ′(x )＝3x 2－4x －3 C ．f ′(x )＝3x 2－2x D ．f ′(x )＝3x 2－2x －3A 解析：∵f (x )＝x 3－2x 2－3, ∴f ′(x )＝3x 2－4x .故选A ． 2．已知f (x )＝sin x ＋cos x ＋π2，则f ′⎝⎛⎭⎫π2等于( ) A ．－1＋π2B ．π2＋1C ．1D ．－1D 解析：由f (x )＝sin x ＋cos x ＋π2，得f ′(x )＝cos x －sin x ，所以f ′⎝⎛⎭⎫π2＝cos π2－sin π2＝－1.故选D ．3．函数f (x )＝x 3－x 2＋x 的图象在原点的切线方程为( ) A ．x －y ＝0B ．x ＋2y ＝0C．x＋y＝0 D．x－2y＝0A解析：由函数f(x)＝x3－x2＋x，则f′(x)＝3x2－2x＋1，所以f′(0)＝1，所以函数f(x)＝x3－x2＋x的图象在原点的切线方程为y－0＝1(x－0)，即x －y＝0.故选A．4．函数y＝x2cos x＋x2的导数为()A．y′＝2x cos x－x2sin x＋2xB．y′＝2x cos x＋x2sin x＋2xC．y′＝x2cos x－2x2sin x－2xD．y′＝x cos x－x2sin x－x2A解析：∵y＝x2cos x＋x2，∴y′＝(x2)′cos x＋x2·(cos x)′＋(x2)′＝2x cos x－x2sin x＋2x，故选A．5．已知函数f(x)＝x2＋x ln x.(1)求这个函数的导数f′(x)；(2)求这个函数在x＝1处的切线方程．解：(1)因为f(x)＝x2＋x ln x，所以f′(x)＝2x＋ln x＋1.(2)由题意可知，切点的横坐标为1，所以切线的斜率是k＝f′(1)＝2＋1＝3，又f(1)＝1，所以切线方程为y－1＝3(x－1)，整理得3x－y－2＝0.1．熟练运用积、商的求导法则，不可混淆．2．函数解析式较复杂时，可以化简的要先化简再求导．课时分层作业(十五) 导数的四则运算法则 (60分钟 100分) 基础对点练基础考点 分组训练知识点1 利用导数的加法与减法法则求导 1．(5分)已知f (x )＝x 3－3x ，则f ′(x )＝( ) A ．3x 2－3x B ．3x 2－3x ln 3＋13C ．3x 2＋3x ln 3D ．3x 2－3x ln 3D 解析：∵f (x )＝x 3－3x ，∴f ′(x )＝3x 2－3x ln 3. 2．(5分)已知f (x )＝sin x －cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π3＝( ) A ．0 B ．3－12C ．3＋12D ．1C 解析：∵f ′(x )＝cos x ＋sin x ， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π3＝cos π3＋sin π3＝12＋32＝3＋12. 3．(5分)曲线f (x )＝13x 3－x 2＋5在x ＝1处的切线的倾斜角为( )A ．π6B ．3π4C ．π4D ．π3B 解析：f ′(x )＝x 2－2x ，k ＝f ′(1)＝－1，故切线的倾斜角为3π4.4．(5分)曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为( ) A ．x －y －π－1＝0 B ．2x －y －2π－1＝0 C ．2x ＋y －2π＋1＝0D ．x ＋y －π＋1＝0C 解析：由y ＝2sin x ＋cos x 可得y ′＝2cos x －sin x ，当x ＝π时，y ′＝－2，即切线的斜率为－2，所以切线方程为2x ＋y －2π＋1＝0. 5．(5分)函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数是( )A ．12(e x －e －x )B ．12(e x ＋e －x )C ．e x －e －xD ．e x ＋e －xA 解析：y ′＝⎝⎛⎭⎫12e x ′＋⎝⎛⎭⎫12e －x ′＝12e x －12e －x ＝12(e x －e －x )． 知识点2 利用导数的乘法与除法法则求导 6．(5分)下列运算正确的是( ) A ．(ax 2－bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (－x )′ B ．(sin x ＋2x 2)′＝(sin x )′＋2′(x 2)′ C ．(cos x ·sin x )′＝(sin x )′cos x ＋(cos x )′cos x D ．⎝⎛⎭⎫cos x x 2′＝(cos x )′－(x 2)′x 2A 解析：根据导数的四则运算法则易知A 正确． 7．(5分)函数y ＝cos x 1－x 的导数是( )A ．－sin x ＋x sin x (1－x )2B ．x sin x －sin x －cos x (1－x )2C ．cos x －sin x ＋x sin x (1－x )2D ．cos x －sin x ＋x sin x 1－xC 解析：y ′＝(cos x )′(1－x )－cos x (1－x )′(1－x )2＝－sin x ·(1－x )－cos x ·(－1)(1－x )2＝cos x －sin x ＋x sin x (1－x )2.8．(5分)函数y ＝x 2＋a 2x (a >0)的导数为0，那么x 等于( )A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2B 解析：y ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)·1x 2＝x 2－a 2x2.由x 2－a 2＝0得x ＝±a .9.(5分)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．3 解析：f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3, 所以a ＝3.能力提升练能力考点 适度提升10.(5分)若函数f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)C 解析：由题意知x >0，且f ′(x )＝2x －2－4x ，若f ′(x )＝2x 2－2x －4x >0，则x 2－x －2>0，解得x <－1或x >2.又x >0，∴x >2.11．(5分)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( ) A ．a ＝e ，b ＝－1 B ．a ＝e ，b ＝1 C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－1D 解析：令f (x )＝a e x ＋x ln x ，则f ′(x )＝a e x ＋ln x ＋1，f ′(1)＝a e ＋1＝2，得a ＝1e ＝e －1.f (1)＝a e ＝2＋b, 可得b ＝－1.12．(5分)曲线y ＝x sin x 在点⎝⎛⎭⎫－π2，π2处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为 ( ) A ．π22B ．π2C ．2π2D ．12(2＋π)2A 解析：曲线y ＝x sin x 在点⎝⎛⎭⎫－π2，π2处的切线方程为y ＝－x ，所围成的三角形的顶点为O (0,0)，A(π，0)，C(π，－π)，所以三角形面积为π22.13.(5分)曲线f (x )＝x2x －1在点(1,1)处的切线为l ，则l 上的点到圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0上的点的最近距离是________．22－1 解析：f ′(x )＝－1(2x －1)2，则f ′(1)＝－1，∴切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0，圆心(－2，0)到直线的距离d ＝22，圆的半径r ＝1，∴所求最近距离为22－1.14.(5分)已知曲线y 1＝2－1x与y 2＝x 3－x 2＋2x 在x ＝x 0处切线的斜率的乘积为3，则x 0＝________.1 解析：由题知y ′1＝1x 2，y ′2＝3x 2－2x ＋2，所以两曲线在x ＝x 0处切线的斜率分别为1x 20，3x 20－2x 0＋2，所以3x 20－2x 0＋2x 20＝3，所以x 0＝1. 15.(5分)已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________． 1 解析：∵f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4×22＋22， 得f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2－1.∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x .∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝1.16.(5分)若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________.12解析：∵点(1，a )在曲线y ＝ax 2－ln x 上， ∴切线与曲线在点(1，a )处相切．又∵f ′(x )＝y ′＝2ax －1x， ∴f ′(1)＝2a －1.∴切线的斜率为2a －1.又切线平行于x 轴，∴2a －1＝0，∴a ＝12. 17.(10分)求下列函数的导数：(1)y ＝3x －x 3；(2)y ＝sin x －2x 2；(3)y ＝cos x ·ln x ；(4)y ＝e xsin x. 解：(1)y ＝3x －x 3，则y ′＝(3x )′－(x 3)′＝32x －3x 2. (2)y ′＝(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－(2x 2)′＝cos x －4x .(3)y ′＝(cos x ·ln x )′＝(cos x )′·ln x ＋cos x ·(ln x )′＝－sin x ·ln x ＋cos x x.(4)y ′＝⎝⎛⎭⎫e x sin x ′＝(e x )′·sin x －e x ·(sin x )′sin 2x ＝e x ·sin x －e x ·cos x sin 2x ＝e x (sin x －cos x )sin 2x. 18.(10分)已知f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝x 2＋cx ＋d ，又f (2x ＋1)＝4g (x )，且f ′(x )＝g ′(x )，f (5)＝30，求g (4)．解：由f (2x ＋1)＝4g (x )得4x 2＋2(a ＋2)x ＋(a ＋b ＋1)＝4x 2＋4cx ＋4d .于是有a ＋2＝2c ，①a ＋b ＋1＝4d .②由f ′(x )＝g ′(x )得2x ＋a ＝2x ＋c ，于是a ＝c .③由①与③有a ＝c ＝2.此时f (x )＝x 2＋2x ＋b ，由f (5)＝30得25＋10＋b ＝30，④于是b ＝－5，再由②得d ＝－12. 从而g (x )＝x 2＋2x －12， 故g (4)＝16＋8－12＝472.。
16个基本导数公式详解
16个基本导数公式详解在微积分中，导数是一个基本的概念。
它描述了函数在给定点的变化率。
了解导数的基本公式对于求解微积分问题是至关重要的。
在本文中，我们将详细讨论16个基本导数公式，每个公式都将包含定义、求导法则和常见的具体例子。
1.常数函数的导数：定义：如果函数$f(x)$是一个常数，则$f'(x)=0$。
求导法则：常数的导数是0。
例如：对于函数$f(x)=5$，它的导数$f'(x)=0$。
2.幂函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=x^n$，其中 $n$ 是一个正整数，则$f'(x)=nx^{n-1}$。
求导法则：对于幂函数，使用幂函数的指数作为系数，然后将指数减1例如：对于函数$f(x)=x^2$，它的导数$f'(x)=2x$。
3.指数函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=a^x$，其中 $a$ 是一个正常数且 $a \neq 1$，则 $f'(x)=a^x \ln(a)$。
求导法则：对于指数函数，使用指数和常数的乘积，并且乘以自然对数的底数。
例如：对于函数 $f(x)=2^x$，它的导数 $f'(x)=2^x \ln(2)$。
4.对数函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=\log_a(x)$，其中 $a$ 是一个正常数且 $a\neq 1$，则 $f'(x)=\frac{1}{x \ln(a)}$。
求导法则：对于对数函数，使用1除以输入的自变量乘以自然对数的底数。
例如：对于函数 $f(x)=\log_2(x)$，它的导数 $f'(x)=\frac{1}{x\ln(2)}$。
5.正弦函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=\sin(x)$，则 $f'(x)=\cos(x)$。
求导法则：正弦函数的导数是余弦函数。
例如：对于函数 $f(x)=\sin(2x)$，它的导数 $f'(x)=2\cos(2x)$。
6.余弦函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=\cos(x)$，则 $f'(x)=-\sin(x)$。
高等数学第五章微积分基本公式
F(x) = ∫a f (t)dt + ∫b f (t)
练习题答案
一、1、0； 2、
； 3、
；
4、 ； 5、(1) ； (2)0,0；
7、
8、 ；
9、1.
二、1、
；
2、
3、
三、 1、 ； 2、 ； 3、
； ； 4、 . ； 4、4.
四、1、0；
2、 .
六、 , 0.
七、
.
⎧0 , x < 0
⎪⎪1
e d π
∫dx ⎜ ∫ I1
=， cos −π
mxa⋅ cos
nxdx
,
⎝ π
sin m x ⋅ sin nxdx
（1）、 当 （2）、 当 6、设 （1）、 当 （2）、 当 7、
8、
时， =__ , =_____ ， 时， =___ , =_____ .
时， =____ , 时， =_____ .
前述变速直线运动的路程问题表明： 定积分的值等于被积函数的一个原函数 在时间区间上的增量，这个事实启发我 们去考察一般的情况，得到肯定的回答。 这就是微积分基本公式。
定理 3（微积分基本公式）
如果 是连续函数 的一个原函数，则
在区间 上 .
证
已知 是 的一个原函数，
∵ 又
也是
的一个原函x数,
Φ ( x ) = ∫ f ∴ F( x) − Φ( x) = C x ∈[a,b]
_____ . _____ .
9、
________ .
二、求导数： 1、 设函数
由方程
定，求 ；
2、 设
,求 ；
3、 4、设
；
，求
第五章定积分
第5章定积分积分（integral）思想的起源远远地先于微分，早在古希腊时期就已经萌芽. 我国魏晋时期刘徽的割圆术，也已孕育着近代积分学（integral calculus）的思想. 但是直到17 世纪后半叶，牛顿和莱布尼兹在总结诸多前辈成果的基础上才建立起比较完整的积分学理论思想体系.如今它已成为诸多科学领域的理论基础.本章主要讨论定积分的基本概念、性质、变限函数、微积分基本定理、定积分的计算、广义积分等.5.1 定积分的基本概念和性质面积这个词对于我们最熟悉不过了，买房时需计算房屋的建筑面积，加工材料时需计算物体的表面积，测量河流的流量时需计算河床断面的面积，设计船体时需计算水线面的面积……，对于规则平面图形（如三角形，梯形，矩形等），我们用初等数学的方法就可以求其面积，而对于不规则的平面图形，例如将直角梯形ABCD（见图 5.1.1）的斜边AB 换为曲边（见图5.1.2），虽然只作了少许改动，但却给我们的计算带来很大的困难，用初等数学求面积的方法已不再奏效.。
实际上，因为任何平面图形的面积均可表示成若干个如图5.1.2 所示的四边形的面积的代数和，因此求这种含一条曲边的四边形的面积是计算一般平面图形面积的关键所在，为了便于今后的讨论，我们称这种含一条曲边的四边形为曲边梯形.。
5.1.1 曲边梯形的面积如图5.1.3 所示，由连续曲线所围成一曲边梯形AabB，如何计算它的面积呢？众所周知，矩形的面积等于底乘以高，而与曲边梯形最相近且最易计算面积的平面图形就是矩形，但由于曲边梯形在底边各点处的高在区间[,] ab 上是变动的，所以不能直接按矩形的面积公式计算曲边梯形的面积.进一步分析可以发现，虽然曲边梯形的高f(x) 在区间[a,b]上是连续变化的，但在很小的区间内它的变化很小，近似于不变，因此如果将区间[a,b]分成若干个小区间（见图 5.1.4），在每个小区间上用其中一点处的高近似代替相应小曲边梯形的高，即用“以直代曲”的方法，这样小曲边梯形的面积就可以用同底的小矩形的面积近似代替，然后将这些小矩形的面积求和（图5.1.4 中阴影部分的面积），那么就得到曲边梯形面积的一个近似值. 怎样才能将误仔细分析可以发现，造成误差的主要原因在于“以直代曲”，即将小曲边梯形的面积用同底的小矩形的面积近似代替. 要减小误差，就要尽量使小曲边梯形的曲边变化进一步更小，更接近于直边. 为此，将区间[,] ab分割成更多的小区间，将原曲边梯形分割成更多的小曲边梯形（见图5.1.5），此时小曲边梯形的曲边的变化显然比前者减少了许多. 用同样的方法又可得到曲边梯形面积的近似值（见图 5.1.5 中阴影部分的面积），误差明显地减少了许多..因此，只要将[a,b]无限地细分下去，使得所有小区间的长度都无限减小，趋于0，这时所有小矩形面积的和越来越接近曲边梯形面积的精确值，其极限如果存在即为所求曲边梯形AabB的面积.将上面求曲边梯形面积的思想、方法、归纳如下：（1）化整为零.如图5.1.6 所示，在区间[a,b] 内任意插入若干分点a=x0<x1<x2<⋅⋅⋅<x n-1<x n=b,把[a,b]分成n个小区间[x0,x1], [x1,x2], [x2,x3],⋅⋅⋅, [x n-1,x n],它们的长度依次为∆x1= x1-x0, ∆x2= x2-x1,⋅⋅⋅,∆x n= x n-x n-1.经过每一个分点作平行于y轴的直线段,把曲边梯形分成n个窄曲边梯形.（2）积零为整.在每个小区间[x i-1,x i]上任取一点ξ i,以[x i-1,x i]为底、f (ξ i)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(i=1, 2,⋅⋅⋅,n) ,把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值,即A≈f (ξ 1)∆x1+ f (ξ 2)∆x2+⋅⋅⋅+ f (ξ n)∆x n∑=∆=niiix f1) (ξ.（3）取极限.求曲边梯形的面积的精确值:显然,分点越多、每个小曲边梯形越窄,所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值,因此,要求曲边梯形面积A的精确值,只需无限地增加分点,使每个小曲边梯形的宽度趋于零.记λ=max{∆x1,∆x2,⋅⋅⋅,∆x n},于是,上述增加分点,使每个小曲边梯形的宽度趋于零,相当于令0. 所以曲边梯形的面积为∑=→∆=ni i i x f A 10)(lim ξλ.5.1.2 定积分的定义抛开上述问题的具体意义, 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括, 就抽象出下述定积分的定义. 定义5.1.1设函数f (x )在[a , b ]上有界, 用分点a =x 0<x 1<x 2< ⋅ ⋅ ⋅<x n -1<x n =b 把[a , b ]分成n 个小区间 [x 0, x 1], [x 1, x 2], ⋅ ⋅ ⋅, [x n -1, x n ] , 记∆x i =x i -x i -1(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ). 任ξ i[x i -1, x i ] (i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ) 作和∑=∆=ni iixf S 1)(ξ.记λ=max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 如果当λ→0时 上述和式的极限存在 且极限值与区间[a , b ]的分法和ξ i 的取法无关则称这个极限为函数f (x )在区间[a , b ]上的定积分, 记作⎰badx x f )(,即∑⎰=→∆=ni i i bax f dx x f 1)(lim )(ξλ.其中f (x )叫做被积函数, f (x )dx 叫做被积表达式, x 叫做积分变量, a 叫做积分下限, b 叫做积分上限, [a , b ]叫做积分区间.根据定积分的定义, 曲边梯形的面积为⎰=ba dx x f A )(.在理解定积分的定义时，应注意以下几个方面：(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的记法无关, 即⎰⎰⎰==ba b a b a du u f dt t f dx x f )()()(.(2)和∑=∆ni i i x f 1)(ξ通常称为f (x )的积分和.(3)可积函数类；有限区间上的连续函数是可积的；有限区间上有有限个间断点的有界 函数是可积的5.1.3 定积分的几何意义 根据定积分的定义，定积分⎰badx x f )(表示如下几何意义。
人教版新教材高中数学选择性必修二 第5章 基本初等函数的导数 导数的四则运算法则优质课件
[解] (1)y′＝(x4－3x2－5x＋6)′＝(x4)′－(3x2)′－(5x)′＋6′＝4x3－6x
－5．
(2)法一：y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′ ＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′ ＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2 ＝3x2＋12x＋11．
5.2.1 基本初等函数的导数
1
2
3
4
5
5.2.2 导数的四则运算法则 情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 数学阅读·拓视野 课后素养落实
(3)y′＝xx－ ＋11′ ＝x－1′x＋1x＋－1x2－1x＋1′ ＝x＋1x＋－1x2－1＝x＋212．
5.2.1 基本初等函数的导数
5.2.1 基本初等函数的导数
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5.2.2 导数的四则运算法则 情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 数学阅读·拓视野 课后素养落实
1．(1)已知 f (x)＝π33，则 f ′(x)＝________；
(2)已知 f (x)＝ x，则 f [f ′(4)]＝________．
f ′(x)＝1x
5.2.1 基本初等函数的导数
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5.2.2 导数的四则运算法则 情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 数学阅读·拓视野 课后素养落实
函数 f (x)＝ln x 与 f (x)＝logax 的求导有什么内在联系？ [提示] f (x)＝ln x 时 f ′(x)＝1x， 而 f (x)＝logax＝llnn ax， ∴f ′(x)＝ln1aln x′＝ln1a×(ln x)′＝xln1 a．
【微积分】导数,偏导数,方向导数与梯度
【微积分】导数,偏导数,方向导数与梯度1. 引言1.1 概述微积分是数学中一个重要的分支，研究的是变化与无限小量的关系。
在微积分中，导数、偏导数和梯度是最基础的概念之一。
它们能够描述函数在某一点上的变化率以及方向性，并且在许多科学和工程领域中都有广泛应用。
1.2 文章结构本文将围绕导数、偏导数、方向导数和梯度展开讨论。
首先介绍导数的定义、性质和计算方法，接着详细讲解偏导数及其与多元函数的关系以及计算方法。
然后深入探究方向导数的定义、意义以及如何计算方向导数。
最后，将介绍梯度的概念，并探讨其在微积分中的应用。
1.3 目的本文旨在全面介绍和阐述微积分中与导数、偏导数、方向导数以及梯度相关的知识。
通过对这些概念进行详细解析，读者可以加深对它们背后原理和运用方法的理解。
同时，希望能够激发读者对微积分更深层次的思考，并提供进一步学习和研究的方向建议。
2. 导数2.1 导数的定义导数是微积分中一个重要的概念，用来描述函数在某一点上的变化率。
在数学上，给定函数y=f(x)，如果它在点x处有定义且在该点附近存在极限，那么它在点x 处的导数可以表示为f'(x)或dy/dx。
导数可以理解为函数的瞬时变化率。
2.2 导数的性质导数具有以下几个基本性质：- 可加性：若f(x)和g(x)可导，则(f+g)(x)也可导，并且其导函数为(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)。
- 常数倍性：若f(x)可导，则对于任意实常数a，af(x)也可导，并且其导函数为(a*f)'(x)=af'(x)。
- 乘积法则：若f(x)和g(x)可导，则(f*g)(x)也可导，并且其导函数为(f*g)'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
- 商法则：若f(x)和g(x)都可导且g(x)≠0，则(f/g)(x)也可导，并且其导函数为(f/g)'(x)=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/[g^2 (x)]。
高中数学(人教版)第5章导数和微积分求导法则课件
导数的四则运算
同理可得
1 2 ( cot x ) csc x. 2 sin x
1 cos x sin x (iii) (sec x ) 2 2 cos x cos x cos x
f ( x0 ) 1 . ( y0 ) (6)
证 设 Δx x x0 , Δy y y0 , 则 Δx ( y0＋ Δy ) ( y0 ), Δy f ( x0Δx ) f ( x0 ) .
由假设, f 1 在点 x0 的某邻域内连续,
0
(4)
导数的四则运算
1 证 设 g( x ) ，则 f ( x ) u( x )g( x ). 对 g( x ), 有 v( x ) 1 1 v ( x0 Δ x ) v ( x0 ) g ( x0 Δ x ) g ( x 0 ) Δx Δx v ( x0 Δ x ) v ( x 0 ) 1 . Δx v ( x0 Δ x ) v ( x 0 ) 由于 v ( x ) 在点 x0 可导, v( x0 ) 0, 因此
1
反函数 的导数
π2) 上 (ii) y arctan x 是 x tan y 在 ( π 2，
的反函数，故
1 1 1 (arctan x ) 2 2 sec x 1 tan y (tan y )
1 2, 1 x x ( ,).
同理有
1 (arccot x ) , x ( , ). 2 1 x
sec x tan x.
同理可得
(csc x ) csc x cot x .
数学微积分链式法则公式整理
数学微积分链式法则公式整理微积分的链式法则是微积分中常用的求导法则之一、链式法则用于求复合函数的导数，它将复合函数的导数与每个函数的导数相乘，并将结果相加。
链式法则的公式可以表示为：若y=f(g(x))为一个复合函数，则它的导数dy/dx可以表达为：dy/dx = dy/du * du/dx其中f(u)为一个函数，u=g(x)为另一个函数，u是x的函数。
在这个公式中，du/dx表示u对x的导数，dy/du表示y对u的导数。
下面我们来整理一下各种常见函数的链式法则的公式：1.三角函数的链式法则：若y=sin(u)，则dy/dx=du/dx * cos(u)若y=cos(u)，则dy/dx=-du/dx * sin(u)若y=tan(u)，则dy/dx=du/dx * sec2(u)2.反三角函数的链式法则：若y=sin-1(u)，则dy/dx=du/dx / √(1-u^2)若y=cos-1(u)，则dy/dx=-du/dx / √(1-u^2)若y=tan-1(u)，则dy/dx=du/dx / (1+u^2)3.指数函数和对数函数的链式法则：若y=e^u，则dy/dx=du/dx * e^u若y=ln(u)，则dy/dx=du/dx / u4.常见的多项式函数的链式法则：若y=(u^n) ，则dy/dx=n*u^(n-1) * du/dx若y=(au^b)，则dy/dx=ab*u^(b-1) * du/dx5.常见的指数与幂函数的链式法则:若y=(a^u)，则dy/dx=a^u * ln(a) * du/dx若y=loga(u)，则dy/dx=1 / (u * ln(a)) * du/dx若y=(u^a)，则dy/dx=a*u^(a-1) * du/dx这些是一些常见函数的链式法则的公式，它们在微积分中非常有用，可以帮助我们求解复合函数的导数。
需要注意的是，链式法则是一个通用的规则，并不局限于上述这些函数，我们可以根据函数的不同形式，适当地运用链式法则来求导。
微分运算法则范文
微分运算法则范文微分运算法则是微积分中的重要理论基础，它是求导运算的一些基本规则和性质的总结和推广，能够极大地简化求导的计算过程。
在微分运算法则中，常用的有四则运算法则、导数的线性运算法则、乘积法则、商法则、复合函数求导法则等。
一、四则运算法则：1.和差法则：两个函数的和（积）的导数等于这两个函数的导数之和（积的求导等于因子的导数乘积）。
即（f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)，(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)±f(x)g'(x)2.常数乘积法则：一个函数乘以一个常数的导数等于这个函数的导数乘以这个常数。
即(cf(x))' = c*f'(x)，其中c为常数。
3.积的求导法则的应用：一个函数的和的导数等于这些函数的导数相加。
即(f1(x)+f2(x)+f3(x)+...+fn(x))' = f'1(x) + f'2(x) + f'3(x) + ... + f'n(x)4.恒等式f(x)=u(x)/v(x)的导数等于分子的导数乘以分母减去分子与分母的乘积的导数除以分母的平方。
即(f(x))'=(u(x)v'(x)-v(x)u'(x))/v^2(x),［v^2(x)≠0］其中u(x)和v(x)是可导的函数，v^2(x)≠0。
二、导数的线性运算法则：1.常数导数法则：常数的导数为0。
即(a)'=0，其中a是常数。
2.常函数导数法则：常函数的导数为0。
即（C）'=0，其中C是常数。
3.恒等函数导数法则：f(x)=x的导数为1即（x）'=14.幂函数导数法则：f(x)=x^n的导数为f'(x)=n*x^(n-1)。
即（x^n) ' = nx^(n-1)5. 指数函数导数法则：f(x) = a^x（a>0, a≠1）的导数为 f'(x) = a^x *ln(a)即(a^x)' = a^x * ln(a)6. 对数函数导数法则：f(x) = ln(x)的导数为 f'(x) = 1/x即(ln(x))' = 1/x7.三角函数导数法则：正弦函数的导数：f'(x) = cos(x)余弦函数的导数：f'(x) = -sin(x)正切函数的导数：f'(x) = sec^2(x)8.反三角函数导数法则：反正弦函数的导数：f'(x)=1/√(1-x^2)反余弦函数的导数：f'(x)=-1/√(1-x^2)反正切函数的导数：f'(x)=1/(1+x^2)三、复合函数求导法则：若函数y=f(u)，且u=g(x)，则y=f(g(x))，其中f(u)和g(x)都是可导的函数。
第五章微分的逆运算问题
第五章微分的逆运算问题——不定积分志立则学思从之，故才日益而聪明日盛，成乎富有。
——王夫之没有任何一门学问的学习，能象学习算术那样强有力地涉及到国内的经济、政治和艺术。
数学的学习，能够激励那些沉睡和不求上进的年轻人，促使他们发展智慧和增强记忆力，甚至取得超越自身天赋的进步。
——柏拉图本章简介由求运动速度、曲线的切线和极值等问题产生了导数和微分，构成微积分学的微分学部分；同时由已知速度求路程、已知切线求曲线，和已知几何图形求面积与体积等问题，产生了不定积分和定积分，构成微积分学的积分学部分。
前面已学习过已知函数求导数问题，本章考虑其反问题：已知导数求其原函数，即求一个位未知函数，使其导数恰好是某一已知函数。
这种由导数或微分求原来函数的逆运算称为不定积分。
§1 逆向思维又一例——原函数与不定积分提出问题已知曲线)(x f y =，求过任意点的切线的斜率（设斜率存在）。
显然，只要对)(x f y =求导即可。
反之，若已知曲线求过任意点的切线的斜率，如何求曲线的方程？即已知函数的导数，如何求已知函数。
学习过程1.1 原函数与不定积分的概念定义 设函数)(x F 与)(x f 在区间I 上有定义。
若在I 上()()x f x F ='则称函数在区间I 上的原函数。
研究原函数必须解决的两个重要问题：⑴ 什么条件下，一个函数存在原函数？⑵ 如果一个函数存在原函数，那么原函数有多少？定理1 若函数)(x f 在区间I 上连续，则)(x f 在I 上存在原函数)(x F .定理2 设)(x F 是)(x f 在区间I 上的一个原函数，则⑴C x F +)(也是)(x f 的一个原函数，其中C 为任意常数；⑵)(x f 的任意两个原函数之间，相差一个常数.定义2 )(x f 在区间I 上的全体原函数称为)(x f 在I 上的不定积分，记作⎰dx x f )(其中称⎰为积分号，)(x f 为被积函数，dx x f )(为被积表达式，x 为积分变量.不定积分的几何意义若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则称)(x f y =的图象为的一条积分曲线。
微积分复习参考资料(辽大版)
《微积分》复习参考资料第一章 函数一、据定义用代入法求函数值：典型例题：设函数f(x-1)=x 2,则f(x+1)=（x+2）2 ； 二、求函数的定义域：（答案只要求写成不等式的形式，可不用区间表示）对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是使这个式子有意义的自变量x 的取值范围（集合） 主要根据：①分式函数：分母≠0②偶次根式函数：被开方式≥0③对数函数式：真数式＞0④反正（余）弦函数式： 自变量 ≤1在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成不等式组解之。
例1：求y=x x 212-+的定义域。
（答案：212<≤-x ） 三、判断函数的奇偶性：奇函数：f(-x)=-f(x),偶函授：f(-x)=f(x); 四、反函数 五、初等函授1.基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
2.复合函数3.初等函数：由基本初等函数和常数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。
注：分段函数一般不是初等函数。
特例：,0,0x x y x x ≥⎧==⎨-<⎩为初等函数。
例2：设)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数，则函数)]([x g f 是（ A ）.A. 偶函数B. 奇函数C. 非奇非偶函数D.以上均不对.例3：设)(x f 的定义域为)2,1(, 则)(lg x f 的定义域为__)100,10(_____.A. )100,10(B. )2,1(C. )2lg ,0(D. ]2lg ,0[第二章 极限与连续1、极限定义：n lim n a a →∞=⇔对任给0ε>，存在,N 当n N >时，有||n a a ε-<.（等价定义）2、无穷小的定义与性质：1）若函数f(x)当x x 0→(或∞→x )时的极限为零,则称f(x)当x x 0→(或∞→x )时为无穷小量。
注：（1）无穷小量是个变量而不是个很小的数. （2）零是常数中唯一的无穷小量。
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§2 求导法则
导数的四则运算
反函数 的导数
复合函数的导数
基本求导法 则与公式
对 f ( x ) u( x ) g ( x ) 应用公式 (2) 和 (5), 得 1 1 f ( x0 ) u( x0 ) u( x0 ) , v ( x0 ) v ( x0 )
高等教育出版社
§2 求导法则
导数的四则运算
反函数 的导数
复合函数的导数
基本求导法 则与公式
例4 求下列函数的导数：
(i) arcsin x 和 arccos x ; (ii) arctan x 和 arccot x .
解 (i) y arcsin x, x ( 1, 1 ) 是 x sin y 在
( π 2， π 2 ) 上的反函数，故
1 1 , x ( 1,1). (arcsin x ) 2 1 x (sin y ) cos y 1 同理, (arccos x ) , x ( 1, 1) . 1 x2
1
数学分析 第五章 导数和微分
高等教育出版社
u( x0 ) v( x0 ) u( x0 ) 2 v ( x0 ) v ( x0 ) u( x0 )v ( x0 ) u( x0 )v( x0 ) v ( x0 )
2
,
即
u( x ) v( x )
x x 0
u( x0 )v ( x0 ) u( x0 )v( x0 ) v ( x0 )
数学分析 第五章 导数和微分
高等教育出版社
§2 求导法则
导数的四则运算
反函数 的导数
复合函数的导数
基本求导法 则与公式
故 H ( x ) 在 x0 连续，且
f ( x ) f ( x0 ) H ( x )( x x0 ), x U ( x0 ).
反之, 设存在 H ( x ) ( x U ( x0 )) 在点 x0 连续, 且
定理5.6
(1)
若函数 u( x ), v ( x ) 在点 x0 可导, 则函数 f ( x ) u( x )v ( x ) 在点 x0 也可导, 且 ( u( x )v ( x ) ) x x 0 u( x0 )v ( x0 ) u( x0 )v ( x0 ).
数学分析 第五章 导数和微分
同理有
1 (arccot x ) , x ( , ). 2 1 x
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§2 求导法则
导数的四则运算
复合函数的导数
定理5.9
反函式
设 u ( x ) 在点 x0 可导， y f (u) 在点u0 ( x0 )
1 cos x sin x (iii) (sec x ) 2 2 cos x cos x cos x
sec x tan x.
同理可得
(csc x ) csc x cot x .
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§2 求导法则
g( x0 Δx ) g ( x0 ) v ( x 0 ) g( x0 ) lim 2 , x 0 Δx v ( x0 ) 1 v( x0 ) (5) 2 . 亦即 v( x ) v ( x0 ) x x0
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§2 求导法则
导数的四则运算
反函数 的导数
复合函数的导数
基本求导法 则与公式
引理 f 在点 x0 可导的充要条件是: 在 x0 的某邻
域 U ( x0 ) 上存在一个在 x0 连续的函数 H ( x ), 使
f ( x ) f ( x0 ) H ( x )( x x0 ), 且 f ( x0 ) H ( x0 ).
定理5.5
反函数 的导数
复合函数的导数
基本求导法 则与公式
u( x ), v ( x ) 在点 x0 可导, 则函数 若函数 f ( x ) u( x ) v ( x ) 在点 x0 也可导, 且 ( u( x ) v ( x ) ) x x0 u( x0 ) v( x0 ).
可导，则复合函数 f 在点 x0 可导，且
( f )( x0 ) f ( u0 ) ( x0 ) f ( x0 ) ( x0 ) . (7)
这个定理一般用有限增量公式来证明，但为了与 今后学习向量函数相联系，这里采用另一种新的
证法, 为此需要先证明一个引理.
证 设 Δx x x0 , Δy y y0 , 则 Δx ( y0＋ Δy ) ( y0 ), Δy f ( x0Δx ) f ( x0 ) .
由假设, f 1 在点 x0 的某邻域内连续,
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§2 求导法则
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§2 求导法则
导数的四则运算
反函数 的导数
复合函数的导数
基本求导法 则与公式
u( x0 Δ x )v ( x0 Δ x ) u( x0 )v ( x0 ) f ( x0 ) lim Δ x 0 Δx
u( x0 Δ x ) v ( x0 Δ x ) u( x0 )v ( x0 Δ x ) lim Δ x 0 Δx u( x0 ) v ( x0 x ) u( x0 )v ( x0 ) . x u( x0 x ) u( x0 ) lim v ( x0 x ) 注意: , 千万不要把导数乘积公式 (2) ( uv u v x x ) 0× v ( x0 x ) v ( x0 ) 记错了. lim u( x0 ) x 0 x u( x0 ) v( x0 ) u( x0 ) v( x0 ) .
2
.
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§2 求导法则
导数的四则运算
反函数 的导数
复合函数的导数
基本求导法 则与公式
例3 求下列函数的导数：
( i ) x n , n 是正整数 ;
(iii) sec x , csc x . (ii) tan x , cot x ;
n 1 1 nx 解 (i) ( x - n ) n 2 n nx n1 . x x sin x sin x cos x sin x cos x (ii ) tan x 2 cos x cos x
na0 x n1 ( n 1)a1 x n 2 an1 .
因此, 对于多项式 f 而言, f 总是比 f 低一个幂次. 例2 求 y sin x ln x 在 x π 处的导数 .
解 由公式 (2)，得
1 y (sin x ) ln x sin x(ln x ) cos x ln x sin x x y x ln .
导数的四则运算
反函数 的导数
复合函数的导数
基本求导法 则与公式
且严格单调, 从而有
Δx 0 Δy 0;
注意到 ( y0 ) 0 , 便可证得 Δy f ( x0 ) lim x 0Δx
1 . Δx ( y0 ) lim y 0Δy 1
数学分析 第五章 导数和微分
f ( x ) f ( x0 ) H ( x )( x x0 ), x U ( x0 ) .
导数的四则运算
反函数的导数
定理5.8
反函数 的导数
复合函数的导数
基本求导法 则与公式
设 y f ( x ) 为 x ( y ) 的反函数， 在点 y0 的 某邻域内连续，严格单调, 且 ( y0 ) 0, 则 f 在点 x0 ( y0 ) 可导, 且
f ( x0 ) 1 . ( y0 ) (6)
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§2 求导法则
导数的四则运算
反函数 的导数
复合函数的导数
基本求导法 则与公式
例1 求 f ( x ) a0 x n a1 x n1 an1 x an 的导数.
解 f ( x ) (a0 x n ) (a1 x n1 ) (an1 x ) (an )
数学分析 第五章 导数和微分
§2 求导法则
一、导数的四则运算 二、反函数的导数 三、复合函数的导数 四、基本求导法则与公式
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导数很有用，但 全凭定义来计算导数是不 方便的 . 为此要建立一些 有效的求导法则 , 使导数 运算变得较为简便.
§2 求导法则
导数的四则运算
导数的四则运算
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反函数 的导数
复合函数的导数
基本求导法 则与公式
定理5.7
若函数 u( x ), v ( x ) 在点 x0 可导, v ( x0 ) 0,
u( x ) 在点 x0 也可导，且 则 f ( x) v( x )
u( x ) v( x ) u( x0 )v ( x0 ) u( x0 )v ( x0 ) . 2 v ( x0 ) x x
证 设 f (x) 在点 x0 可导, 且令
f ( x ) f ( x0 ) , x U ( x0 ) , x x0 H ( x) f ( x ), x x0 . 0
f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 ) H ( x0 ), 因 lim H ( x ) lim x x0 x x0 x x0