计算方法复习要点
计算方法复习资料
2x2 1 1 x ， （B） y ； (1 2 x)(1 x) 1 2x 1 x
2 x( x 1 1 x ) x x
， （B） y
（2）已知 x 1 ， （A） y
x
1 1 x ； x x
2sin 2 x 1 cos 2 x （3）已知 x 1 ， （A） y ， （B） y ； x x
2
敛。 （C） ( x)
1 ，由于当 x 1.3,1.6 时，有 x 1
1 1 2(1.6 1)
3 2
'( x)
2( x 1)
3 2
1.075828706 1 ，
所以对任意初值 x 1.3,1.6 （原方程的根除外） ， 迭代格式 xk 1 发散。
0
( x 0) ，
所以当 x 1.3,1.6 时，
( x) 1.3,1.6 。
2 3 x (1 x )
2 2 3
又当 x 1.3,1.6 时， '( x)
2 3
1.6 (1 1.3 )
2 2 3
0.552 1 ，
1
由迭代法收敛定理，对任意初值 x 1.3,1.6 ，迭代格式 xk 1 (1 xk ) 3 ，( k 0,1, 2,) 收
3 2
根的简单迭代法 xk 1 ( xk ) 的收敛性，其中 （A） ( x) 1 1/ x ； （B） ( x) 1 x ； （C） ( x)
2 3 2
1 x 1
解：取 1.5 附近区间 1.3,1.6 来考察。 （A） ( x) 1 减，而 (1.3) 1.59171596 ， 因此，当 x 1.3,1.6 时，
计算方法复习新详解
（1）局部收敛定理(p30)
设 f ′(x) 存在， 且 f ′(x) 在方程f(x)=0 的根x*附近不为零 ，
| f (x) f "(x) |
若| Φ ′(x) | =
[ f ' (x)2 ] <= L <1 , 则Newton迭代格式收敛
Xi(即a
in+1(i))=(a
(i) in+1
-
）/aii(i)
Gauss列主元消去法
关键步骤
第k次消元时，在系数矩阵A的第k列 元素中选取绝对值最大的元素为主元 素。
意义 对分次数n的计算
n ln(b a) ln 1
ln 2
迭代法
• 基本思想 xn1 (xn )
•收敛条件 '(x) 1 （收敛定理1）
• 收敛阶
记ek x* xk
lim
k
ek 1 ek p
C( 0)
P 阶收敛
迭代法
'(x*) 0
一阶收敛
'(x*) 0 ''(x*) 0 二阶收敛
er*
e* x*
x* x*
x
,
x
0
er*
e* x*
* r
绝对误差、相对误差、有效数字的定义
有效数字的定义 x* ( x110 1 x210 2 xn10 n ) 10 m x* x 1 10 mn
2
x* x 1 10k 2
误差同有效数字的关系
① x x* 1 10mn 2
计算方法
总复习
第一章 误差和有效数字
四则运算的意义,和计算方法,整理和复习
四则运算的意义和计算方法整理和复习复习教师：新民一、基础知识整理（一）四则运算的意义1、加法的意义：把两个数合成一个数的运算。
2、减法的意义：已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。
3、乘法的意义（1）整数乘法的意义：求几个相同加数的和的简便运算。
（2）小数乘法的意义：小数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算；小数乘小数就是求这个数的十分之几，百分之几……是多少。
（3）分数乘法的意义：分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算；一个数乘分数就是求这个数的几分之几是多少。
4、除法的意义：已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算。
（二）四则运算的计算方法1、加法的计算方法（1）整数加法的计算方法：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进1。
（2）小数加法的计算方法：先把小数点对齐（也就是相同数位对齐），再按照整数的加法法则进行计算，最后在得数里对齐横线上的小数点，点上小数点。
（3）分数加法的计算方法：同分母分数相加，只要把分子相加，分母不变；异分母分数相加，先通分，然后按照同分母分数的加法法则进行计算。
2、减法的计算方法（1）整数减法的计算方法：相同数位对齐，从低位减起，哪一位上的数不够减，就向前一位退1当十，加上本位上的数再减。
（2）小数减法的计算方法：先把小数点对齐，从低位减起，（也就是相同数位对齐），再按照整数减法法则进行计算，最后在得数里对齐横线上的小数点，点上小数点。
（3）分数减法的计算方法：同分母分数相减，只要把分子相减，分母不变；异分母分数相减，先通分，再按照同分母分数的减法法则进行计算。
3、乘法的计算方法（1）整数乘法的计算方法：从低位到高位分别用一个因数的每一位去乘另一个因数，乘到哪一位，积的末尾就和那一位对齐，然后把几次乘得的积加起来。
（2）小数乘法的计算方法：先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边向前数几位，点上小数点，位数不够时就在前面用0补足，。
数值计算方法复习要点
第一章引论计算方法解决问题的主要思想计算方法的精髓：以直代曲、化繁为简1、采用“构造性”方法构造性方法是指具体地把问题的计算公式构造出来。
这种方法不但证明了问题的存在性，而且有了具体的计算公式，就便于编制程序上机计算。
2、采用“离散化”方法把连续变量问题转为求离散变量问题。
例：把定积分离散成求和，把微分方程离散成差分方程。
3、采用“递推化”方法将复杂的计算过程归结为简单过程的多次重复。
由于递推算法便于编写程序，所以数值计算中常采用“递推化”方法。
4、采用“近似代替”方法计算机运算必须在有限次停止，所以数值方法常表现为一个无穷过程的截断，把一个无限过程的数学问题，转化为满足一定误差要求的有限步来近似替代。
算法的可行性分析时间复杂度、空间复杂度分析算法的复杂性（包含时间复杂性和空间复杂性）。
时间复杂度是算法耗费时间的度量。
算法的空间复杂度是指算法需占用存储空间的量度算法的可靠性分析良态算法、病态算法一个算法若运算过程中舍入误差的积累对最后计算结果影响很大，则称该算法是不稳定的或病态算法，反之称为稳定算法或良态算法。
误差的来源1、模型误差我们所建立的数学模型是对实际问题进行抽象简化而得到的。
因而总是近似的，这就产生了误差。
这种数学模型解与实际问题的解之间出现的误差，称为模型误差。
2、观测误差观测到的数据与实际数据之差。
3、截断误差数学模型的准确解与计算方法的准确解之间的误差。
4、舍入误差由于计算机字长有限，原始数据在计算机上表示会产生误差，每次计算又会产生新的误差，这种误差称为舍入误差。
绝对误差、相对误差定义2 记x*为x的近似数，称E(x)=x-x*为近似数x*的绝对误差，|E(x)|为绝对误差限。
定义3 称Er(x)=(x-x*)/x为近似数x*的相对误差。
实际运算时也将Er*(x)=(x-x*)/x*称为近似数x*的相对误差。
“四舍五入”：即尾数是4或以下则舍去，尾数是6或以上则进1，如果尾数是5，则规定：前面一位数字是偶数则舍去，奇数则进1。
(完整)数值计算方法复习
2016计算方法复习务必通过本提纲例子和书上例子掌握如下书本内容：1. 会高斯消去法；会矩阵三角分解法；会Cholesky 分解的平方根法求解方程组2. 会用插值基函数；会求Lagrange, 会计算差商和Newton 插值多项式和余项3. 会Jacobi 迭代、Gauss —Seidel 迭代的分量形式，迭代矩阵,谱半径,收敛性4. 会写非线性方程根的Newton 迭代格式；斯蒂芬森加速5. 会用欧拉预报-校正法和经典四阶龙格—库塔法求解初值问题6. 会最小二乘法多项式拟合7. 会计算求积公式的代数精度；（复化)梯形公式和(复化)辛普生公式求积分；高斯-勒让德求积公式第1章、数值计算引论（一）考核知识点误差的来源类型;绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；误差的传播。
（二) 复习要求1。
了解数值分析的研究对象与特点。
2。
了解误差来源与分类,会求有效数字； 会简单误差估计. 3.了解误差的定性分析及避免误差危害。
（三）例题例1. 设x =0.231是精确值x *=0。
229的近似值，则x 有2位有效数字。
例2. 为了提高数值计算精度, 当正数x 充分大时, 应将)1ln(2--x x 改写为)1ln(2++-x x .例3. 3*x 的相对误差约是*x 的相对误差的1/3 倍.第2章、非线性方程的数值解法(一）考核知识点对分法;不动点迭代法及其收敛性；收敛速度； 迭代收敛的加速方法；埃特金加速收敛方法;Steffensen 斯特芬森迭代法；牛顿法；弦截法. (二） 复习要求1.了解求根问题和二分法.2。
了解不动点迭代法和迭代收敛性;了解收敛阶的概念和有关结论。
3。
理解掌握加速迭代收敛的埃特金方法和斯蒂芬森方法。
4。
掌握牛顿法及其收敛性、下山法, 了解重根情形. 5.了解弦截法. (三）例题1。
为求方程x 3―x 2―1=0在区间［1.3,1.6］内的一个根，把方程改写成下列形式,并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是（ ）(A ）11,1112-=-=+k k x x x x 迭代公式 (B ）21211,11kk x x x x +=+=+迭代公式(C ） 3/12123)1(,1k k x x x x +=+=+迭代公式 (D ）231x x =-迭代公式11221+++=+k k kk x x x x 解：在（A)中，2/32)1(21)(,11)(,11--='-=-=x x x x x x ϕϕ2/3)16.1(21->=1.076故迭代发散。
数值计算方法复习
数值计算方法复习1.数值求解数值求解是通过数值计算方法来寻找一个给定方程的数值解。
常见的数值求解方法包括二分法、牛顿法、割线法和迭代法等。
-二分法是一种用于求解单调函数方程的数值方法。
它将函数方程的解限定在一个区间内，然后通过缩小区间的方式来逼近解。
二分法的思想是通过不断将区间一分为二，并判断解是否在其中一半区间内，从而缩小解的范围。
-牛顿法是一种用于求解非线性方程的数值方法。
它利用函数方程的切线来逼近解。
牛顿法的核心思想是通过不断迭代逼近解的位置，使得迭代序列逐渐收敛到解。
-割线法是一种求解非线性方程的数值方法，类似于牛顿法。
它通过连结两个近似解点，得到一个割线，然后以割线和x轴的交点作为下一次迭代的近似解点。
-迭代法是一种通过迭代计算来逼近解的数值方法。
迭代法的核心思想是通过不断更新迭代序列的值，使得序列逐渐收敛到解。
2.插值与拟合插值与拟合是通过已知数据点来推断出未知数据点的数值计算方法。
-插值是通过已知数据点在这些点之间进行推断。
常见的插值方法包括拉格朗日插值和分段线性插值。
拉格朗日插值通过构造一个n次多项式函数来拟合已知数据点，从而推断出未知数据点的值。
分段线性插值是指将数据点之间的区间划分为若干段，然后在每段区间内使用线性插值来推断未知数据点的值。
-拟合是通过已知数据点在这些点之间进行逼近。
常见的拟合方法包括最小二乘拟合和多项式拟合。
最小二乘拟合通过使得残差的平方和最小来找到最优拟合函数。
多项式拟合是指通过构造一个n次多项式函数来拟合已知数据点，从而得到一个逼近函数。
3.数值积分数值积分是通过数值计算方法来近似计算函数的定积分。
常见的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法和龙贝格法等。
-矩形法是一种通过将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上通过函数的平均值来近似计算定积分的方法。
-梯形法是一种通过将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上通过线性插值来近似计算定积分的方法。
数值计算方法 第5章复习
第五章 常微分方程数值解法一、考核知识点：欧拉法，改进欧拉法，龙格-库塔法。
二、考核要求：1．熟练掌握用欧拉法，改进欧拉法求微分方程近似解的方法。
2．了解龙格-库塔法的基本思想；掌握用龙格-库塔法求微分方程近似解的方法。
3．了解稳定性。
三、重、难点分析例1 用欧拉法，预估——校正法求一阶微分方程初值问题⎩⎨⎧=-='1)0(y y x y ，在0=x （0.1）0，1近似解 解 （1）用1.0=h 欧拉法计算公式n n n n n n x y y x y y 1.09.0)(1.01+=-+=+，01n =，计算得 9.01=y 82.01.01.09.09.02=⨯+⨯=y（2）用预估—校正法计算公式1,0)(05.01.09.0)0(111)0(1=⎩⎨⎧-+-+=+=++++n y x y x y y x y y n n n n n n n n n计算得91.01=y ，83805.02=y例2、取0.1h =, 用改进欧拉法预测－校正公式求初值问题⎩⎨⎧=++='1)0(12y y x y 在0.10.2x =，处的近似值. 计算过程保留3位小数.解：改进欧拉法预测－校正公式为2n 12211111(,)(1)[(,)(,)](2)22n n n n n n n n n n n n n n n n n y y hf x y y h x y h h y y f x y f x y y x y x y ++++++⎧=+=+++⎪⎨=++=+++++⎪⎩，由h =0.1,x 0=0，y 0=1，x 1=0.1，有 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++++==+++=227.1)2.11.0102(21.012.1)101(1.0122121y y ， 由h =0.1,x 1=0.1，y 1=1.227，x 2=0.2，有 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++++==+++=528.1)488.12.0227.11.02(21.0227.1488.1)227.11.01(1.0227.122222y y ， 故，所求y (0.1)≈y 1=1.227 y (0.2)≈y 2=1.528。
计算方法第1章复习(05)
第1章 误差一、考核知识点：误差的来源，绝对误差、绝对误差限、相对误差，相对误差限，有效数字，准确数位，误差传播。
二、考核要求：1．知道误差的主要来源，误差传播。
2．了解绝对误差、绝对误差限、相对误差，相对误差限、掌握其判别方法。
3．掌握有效数字，准确数位的求法。
三、重、难点分析例1. 近似值0.45的误差限为（ ）。
A ． 0.5 B. 0.05C ． 0.005 D. 0.0005.解 因 210450.00.45⨯=，它为具有3位有效数字的近似数，其误差限为 1231021101021--⨯=⨯⨯=ε。
或3,2==p m ，其误差限为 132********--⨯=⨯=ε 所以 答案为B.例2.. 已知 4142135.12==*x ，求414.1=x 的误差限和相对误差限。
解：（绝对）误差限：0005.00003.00002135.0241.1<<=-=∆ x 所以（绝对）误差限为0003.0=ε，也可以取0005.0=ε。
一般地，我们取误差限为某位数的半个单位，即取 0005.0=ε。
相对误差限： rx x x x εδ=<=-=-=*0002.000015.0414.14142135.1414.1)(所以，相对误差限0002.0=r ε例3 .已知 ,1415926.3* ==πx 求近似值142.3=x 的误差限，准确数字 或有效数字。
解 由,00041.01415926.3142.3<-= x ∆ 误差限为31021-⨯=ε因为4,3,1=--==p m p m ，所以由定义知x 是具有4位有效数字的近似值，准确到310-位的近似数。
注意：当只给出近似数x 时，则x 必为四舍五入得到的有效数，则可直接求出误差限和有效数字。
例4. 已知近似数,635.0,2864.1==b a 求b a b -,2的误差限和准确数位。
解 因41021-⨯=）（a ε，31021-⨯=）（b ε()()2310211021635.022--⨯<⨯⨯⨯<≤+=b b b b b b bb ∆∆∆∆ 所以 (),102122-⨯=b ε 2b 准确到 210-位。
计算方法复习重点2
结论：
lim
k
vk
k 1
a1x1
(vk )i lim 1 k (v （第i个分量） k 1 ) i
1. 已知一个A矩阵，可以把它看成一下形式： a11 a A1 A 21 an1 c1 (a21 , a31 , , an1 )T . a12 a1n a22 a2 n a11 c1 an 2 ann
微分方程数值解关心的问题：
（1）局部的截断误差和阶数； （2）数值解Yn的误差估计和收敛性； （3）递推公式的稳定性；
内容主要为单步法 • 一：欧拉法
y f ( x, y ) y ( x0 ) y 0
积分曲线上每一点( x, y ) 的切线的斜率 y ( x) 等
于函数 f ( x, y ) 在这点的值。因此
但必须满足一定过的条件 1 2 n 0
第9章 常微分方程初值问题数值解法
实际问题一般可以归结为一阶常微分方程的初值问题：
y f ( x, y ) y ( x0 ) y 0
解存在条件：
在a ≤ x ≤ b,-∞ ＜ y ＜ ∞ 区域内连续； 满足李普希兹(Lipschitz)条件：
第六章 解线性方程组的迭代法
A R nn 非奇异， b R n 。线性方程组 Ax b 可
以转化为 x Gx d 。可以利用迭代法求 解线性方程组。 选定初始向量 x x , x , , x ( k 1) (k ) x Gx d (k 0,1,)
数值计算方法复习知识点
数值计算方法复习知识点数值计算方法是研究计算数值解的方法和数值计算的理论。
它是计算数学的一个分支，主要用于解决无法用解析方法求解的数学模型问题。
本文将综述数值计算方法的一些重要知识点，包括插值与逼近、数值微分与数值积分、线性方程组的直接解法与迭代解法以及常微分方程的数值解法。
一、插值与逼近1.插值：插值是利用已知数据点构造一个函数，使得该函数在给定的数据点上与已知函数完全相等。
常见的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。
2. 逼近：逼近是从已知数据点构造一个函数，使得该函数在给定的数据点附近与已知函数近似相等。
逼近常用的方法有最小二乘逼近和Chebyshev逼近。
二、数值微分与数值积分1.数值微分：数值微分是通过计算差分商来近似计算函数的导数。
常见的数值微分方法有前向差分、后向差分和中心差分。
2.数值积分：数值积分是通过近似计算定积分的值。
常见的数值积分方法有中矩形法、梯形法和辛普森法。
三、线性方程组的直接解法与迭代解法1.直接解法：直接解法是通过一系列数学运算直接计算线性方程组的解。
常见的直接解法有高斯消元法和LU分解法。
2. 迭代解法：迭代解法是通过迭代计算逼近线性方程组的解的方法。
常见的迭代解法有Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法。
四、常微分方程的数值解法1.常微分方程：常微分方程是描述动力系统的数学模型，常用来描述物理系统、生物系统等。
常微分方程的数值解法主要包括初始值问题的一阶常微分方程和常微分方程组的数值解法。
2.常微分方程的数值解法：常微分方程的数值解法有欧拉方法、改进的欧拉方法、龙格-库塔方法等。
这些方法都是将微分方程转化为递推方程，通过迭代计算逼近微分方程的解。
总结：数值计算方法是求解数学模型的重要工具，在科学计算、工程设计和经济管理等领域有广泛的应用。
本文回顾了数值计算方法的一些重要知识点，包括插值与逼近、数值微分与数值积分、线性方程组的直接解法与迭代解法以及常微分方程的数值解法。
数值计算方法 第4章复习
第4章 数值积分与微分一、考核知识点：梯形公式及其余项，辛卜生公式及其余项，复合梯形公式及其余项，复合辛卜生公式，高斯求积公式，代数精度，。
二、考核要求：1．了解代数精度概念，掌握插值型求积公式代数精度的判别方法。
2．熟练掌握梯形、复化梯形公式及其余项；熟练掌握辛卜生，熟练掌握运用它们计算定积分的近似值。
三、重、难点分析例1 在区间]1,1[-上，求以1,0,1321==-=x x x 为节点的插值求积公式。
解：由系数计算公式得 ⎰⎰⎰---=++==-+-+==----=11211111031)11()1(,34)10)(10()1)(1(,31)11()1(dx x x A dx x x A dx x x A 所以求积公式为)1(31)0(34)1(31)(11f f f dx x f ++-≈⎰- 例2求积公式)2(31)1(34)0(31)(20f f f dx x f ++≈⎰的代数精确度为（ ）。
解 由于此公式为3个节点的插值求积公式，代数精度至少为2。
令3)(x x f =，代入插值求积公式得左边=441204203==⎰x dx x ，右边4231134)0(31333=++=， 所以 左边=右边 再令4)(x x f =，代入插值求积公式得左边=532204=⎰dx x ，右边=320231134031444=++ 所以 左边≠右边 所以此公式具有3次代数精度。
例3 用梯形公式和4=n 的复合梯形公式求积分⎰+101x dx ，并估计误差。
解 （1） 梯形公式因为 1,0==b a ，11)(+=x x f ，代入梯形公式得 则75.0]111101[21)]1()0([211110=+++=+≈+⎰f f dx x （2） 复合梯形公式 因为 414=-=a b h 和复合梯形公式得 )]1())43()21()41((2)0([811110f f f f f dx x ++++≈+⎰ 697.0]21)746454(21[81≈+++⨯+= 因为 11)(+=x x f ， 3)1(2)(x x f +='' ， 2)(max 102=''=≤≤x f M x 所以 96116122)3(12)()(23=⨯≤''-=f n a b f R 注意：在用复合梯形公式计算 积分时注意系数的排列。
数值计算方法复习要点
数值计算方法复习要点1.近似方法的概念和意义：近似方法是指通过一系列逼近计算步骤来得到问题的数值解。
在实际问题中，很多问题无法通过解析方法来求解，数值计算方法提供了一种有效的途径。
近似方法的正确性和稳定性对于数值计算方法的可靠性至关重要。
2.插值方法：插值方法是指通过已知数据点构造一个函数来逼近未知数据点的数值方法。
常见的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。
在复习插值方法时，需要掌握插值多项式的构造方法和插值误差估计的技巧。
3.数值微分与数值积分：数值微分与数值积分是数值计算方法中的核心内容。
数值微分用于求取函数的导数近似值，常见的数值微分方法有差分法和微分方程法。
数值积分则是用于求取函数的积分近似值，常见的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则和高斯积分法则。
4.非线性方程求解：非线性方程求解是数值计算方法中的重要问题之一、常见的非线性方程求解方法有二分法、牛顿法、割线法和试位法等。
在复习非线性方程求解时，要理解这些方法的基本原理和收敛性条件，并学会分析其收敛速度和稳定性。
5.线性方程组求解：线性方程组求解是数值计算方法中的另一个重要问题。
常见的线性方程组求解方法有高斯消元法、LU分解法和迭代法等。
在复习线性方程组求解时，需要理解这些方法的基本原理和收敛性条件，并学会分析其计算复杂度和稳定性。
6.数值解常微分方程：数值解常微分方程是数值计算方法的一个重要应用领域。
常见的数值解常微分方程的方法有欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法等。
在复习数值解常微分方程时，需要掌握这些方法的基本原理和实现技巧，并学会分析其精度和稳定性。
8.线性插值和非线性插值：线性插值是插值方法的一种简单形式，即通过已知的两个数据点之间的线性关系来逼近未知数据点的值。
非线性插值则是通过已知的多个数据点之间的非线性关系来逼近未知数据点的值。
理解线性插值和非线性插值的原理和应用场景对于选择合适的插值方法具有重要意义。
以上是数值计算方法复习的一些重点要点，通过理解和掌握这些要点，可以为进一步深入学习和应用数值计算方法奠定基础。
计算方法-李桂成-期末复习要点
数值分析复习要点引论1数值计算研究的对象与特点计算方法研究的对象是专门研究各种数学问题的计算机解法（数值解法）, 包括方法的构造和求解过程的理论分析及软件实现, 包括方法的收敛性、稳定性以及误差分析等.计算方法即具有纯数学的抽象性与严密性的特点, 又具有应用的广泛性与实验的技术性特点.2误差的概念2.1误差的来源模型误差：数学模型的解与实际问题的解之间出现的误差, 称为模型误差测量误差：在测量具体数据时产生的误差称为测量误差.截断误差：数学模型的准确解与数值方法的准确解之间的误差称为截断误差舍入误差：由于计算机字长的限制而产生的误差, 称为舍入误差.2.2 误差的度量..(1).(2).(3).绝对误差与绝对误差限相对误差与相对误差限有效数字2.3误差的传播和、差的误差限不超过各误差限的和.积、商的相对误差限不超过各相对误差限的和.3数值计算的若干原则避免两相近数相减和绝对值太小的除数、简化计算步骤、使用数值稳定的算法方程求根1 二分法用二分法求方程 f ( x) 0 的实根 x * 的近似值 , 其主要思想是: 将含有根x* 的隔离区间二分通过判断二分点与边界点函数值的符号, 逐步对半缩小隔离区间, 直到缩小到满足精度要求为止 , 然后取最后二分区间的中点为根x * 的近似值 .,2迭代法一般地 , 为了求一元非线性方程 f (x)0 的根 , 可以先将其转换为如下的等价形式xx 然后构造迭代公式 . x k 1x k k 0,1,23收敛性和收敛速度（收敛性基本定理）的条件和结论收敛速度的快慢可用收敛阶来衡量. （收敛阶）设序列x k k 0收敛到x*,并记误差e k | x k x*| . 若存在常数 p 1 和 c0 , 使得 : lim ekp1ck e k则称序列x k k 0是 p 阶收敛的 , 当 p 1 时 , 称为线性收敛 , 当 p 1 时 , 称为超线性收敛 ,当 p 2 时 , 称为二次收敛或平方收敛 .4牛顿迭代公式及其收敛性牛顿迭代公式x k 1 x k f ( x k ) k 0,1,2f (x k )牛顿法的收敛性设 x*是方程 f ( x) 0 的单根 ,并且 f (x) 在x*的邻域上连续,则牛顿迭代法（ 3.4.1）至少平方局部收敛 .解线性方程组的直接法1高斯消去法消元过程为：对 k 1,2, , n 1 逐次计算 :l ik( k ) a ij a ik(k 1)/ a kk(k 1) ,( i k1,, n)a ij( k1)l ik a kj(k1) ,( i , j k1, , n)b i( k1)l ik b k( k1) ,( i k1,,n )回代过程：逐步回代求得原方程组的解x n b n(n 1) / a nn(n 1)nx k(b k( k 1)a kj(k 1) x j ) / a kk(k 1) ,( k n 1,n 2, ,1)j k1高斯消去法的乘除法总计算量为：1 n3 1 n2 6 n 1 n2 1 n 1 n3n 2 1 n32522332高斯—约当消去法约当消去法的计算过程为：对于 k 1,2,, n 计算：a kj(k )a kj(k 1)/ a kk(k 1) ( j k1,,n1) ( k )(k 1)( k 1)( k )(i1,2,且aij aijaikakj,n i k; j k 1,k 2, , n 1)乘除法的总次数为:1 n31n2.22它比高斯消去法的计算量大,但不需要回代过程3向量和矩阵的范数、条件数向量范数 :nn211 范数x 1x i2范数x 2(x i ) 2范数xmax x ii 1i 11 i n矩阵的范数设 x 为 n 维向量 , A 为 n 阶方阵 , 则算子范数 :nAmax ij 称为矩阵 A 的行范数。
计算方法复习要点.doc
注:仅供参考引论1.基于化归策略的三种基本的算法设计技术为缩减技术、校正技术、松弛技术.缩减技术的设计思想是大事化小，小事化了, 如多项式求值的秦九韶算法;校正技术的设计思想是删繁就简，逐步求精,如求开方值的迭代公式;松弛技术的设计思想是优劣互补，化粗为精,如求倒数的迭代算法.2・由计算公式o? +亦+e + d = (((处+ b)x + c)x) + 〃知，此算法运用了缩减技术.3.设计累乘求积T=n，/,算法时，可以运用缩减技术. f=l4.由计算公式x^((((W)2)2)2知：此算法运用了缩减技术.5.开方公式是校正技术的应用.第一早1.设0(兀)为兄次的Lagrange插值基函数，兀口= 0〜Q为两两互异的节点，贝1」：= TT( ),/ = 0- n ; 03(兀2)= °；工％(兀)=1 ;/=0y=0 儿 _ Xjj若w = 则P..M为次数n的插值多项式・/=()2・=△几+厂△ X)・/=03・设p(x)、N(x)是/(x)满足同一插值条件的刃次lagrange、Newton插值多项式，则心)二Ng;若/(兀)也是次数不超过〃的代数多项式，贝Ih P（x） = f（x）・4 ・设/（x） = 3x（x -1）（% 一2）（兀-3）,则差商/TO, 1,2,3］ = _0_ ,AI0,1,2,3,41= 3 , /L0,l,2,3,4,5J = _0_ ・5.已知/（X）=6?+X2+1,则差商 /［1,2,22,231 = _6_ ・x3 , 0<%<16・S（兀） = ｛］,若S（兀）是［0,3］上以—（% —1） + d（兀一1）~+/?（兀一1） +1 ,15 兀5320,1,3为节点的三次样条函数，则3、b= 3 .7.构造插值多项式的三种基本方法是余项校正法、基函数法、待定系数法.第二章1.五个节点的G G邸求积公式具有丄阶精度；而五个节点的Newton - Cotes公式具有5阶精度.2.复化梯形求积公式具有丄阶代数精度.3・Romberg（龙贝格）算法中，S“ =吕石“ - g T n .4.已知打。
《计算方法》复习资料
二单项选择题1. 已知近似值1x ,2x ，则()12,x x ()=A. ()()2112x x x x + B 。
()()12x x +C. ()()1122x x x x + D 。
()()12x x2. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰，则A ＝（ ） A ． 16 B 。
13 C 。
12 D. 233. 已知2112A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则化为A 为对角阵的平面旋转变换角θ＝（ ) A ．6π B 。
4π C 。
3π D. 2π 4. 设求方程()0f x =的根的切线法收敛，则它具有( ）敛速。
A ． 线性 B. 超越性 C 。
平方 D 。
三次5。
改进欧拉法的局部截断误差为( ）A ． ()5O h B. ()4O h C. ()3O h D 。
()2O h填空题1。
π的近似值3.1428是准确到 近似值。
2. 满足()a a f x x =，()b b f x x =,()c c f x x =的拉格朗日插值余项为 。
3。
用列主元法解方程组时，已知第2列主元为()142a 则()142a ＝ 。
4．乘幂法师求实方阵 的一种迭代方法。
5. 欧拉法的绝对稳定实区间为 。
计算题1. 用已知函数表求抛物插值多项式,并求1()2f 的近似值。
2. 用紧凑格式解方程组123410114130141x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦3. 已知方程组123210113110121x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（1） 证明高斯－塞德尔法收敛；（2） 写出高斯－塞德尔法迭代公式; （3） 取初始值()()00,0,0TX=,求出()1X 。
4. 用4n =复化辛卜公式计算积分1011dx x +⎰，并估计误差。
5. 用一般迭代法求方程[]0,0.5内的根。
大学计算方法复习资料
计算方法复习资料第一章 数值计算中的误差主要内容：绝对误差，相对误差，误差限，有效数字，四舍五入，减少误差的原则。
1.利用秦九韶算法计算多项式16432)(23467-+-+--=x x x x x x x p 在2=x 处的值 1 -2 0 -3 4 -1 6 -1 2 2 0 0 -6 -4 –10 -8 1 0 0 -3 -2 -5 -4 -9 9)2(-=p2.设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。
解：有效数字位数分别为：3，4，53. 下面计算y 的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x <<，（A ）11121xy x x-=-++，（B ）22(12)(1)x y x x =++； （2）已知1x >>，（A）y =，（B）y = （3）已知1x <<，（A ）22sin x y x =，（B ）1cos 2xy x-=；（4）（A）9y =-（B）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
故在设计算法时应尽量避免上述情况发生。
（1）（A ）中两个相近数相减，而（B ）中避免了这种情况。
故（B ）算得准确些。
（2）（B ）中两个相近数相减，而（A ）中避免了这种情况。
故（A ）算得准确些。
（3）（A ）中2sin x 使得误差增大，而（B ）中避免了这种情况发生。
故（B ）算得准确些。
（4）（A ）中两个相近数相减，而（B ）中避免了这种情况。
故（B ）算得准确些。
4.求3.141与22/7作为π的近似值时有效数字的个数.解：22110005.000059.0141.3-⨯=<=- π 3个。
《计算方法》期末复习
《计算方法》期末复习计算方法是计算机科学与技术专业的一门基础课程，它主要涉及计算机中的常用数值计算方法及其应用。
期末复习是为了帮助学生巩固课程知识、理解和掌握具体的计算方法，以提高数学计算和算法实现的能力。
在期末复习中，需要复习的内容主要包括数值计算方法的原理、基本原则、具体的计算方法及其常见应用等。
下面是计算方法期末复习的一个大纲，可供参考：一、计算方法基础知识回顾1.数值计算及其应用的概念和基本原理2.计算机中数的表示形式及其精度3.计算机中常用的数学运算法则4.误差的类型和度量方法二、线性方程组的数值解法1.线性方程组的矩阵表示、高斯消元法和矩阵消去法2.矩阵LU分解法和逆矩阵法3.迭代法解线性方程组（雅可比方法、高斯-赛德尔方法、逐次超松弛方法）4.带主元的高斯消元法5.矩阵的特征值和特征向量的计算（幂法、反幂法、QR分解法）三、非线性方程的求根方法1.非线性方程求根的基本概念和定理2.二分法、简单迭代法和牛顿法的原理和应用3.割线法和弦截法四、插值与逼近1.插值与逼近的基本概念和分类2.拉格朗日插值多项式及其误差估计3.牛顿插值多项式及其差商表示4.埃尔米特插值多项式与三次样条插值5.最小二乘法曲线拟合及其应用五、数值积分与数值微分1.数值积分的基本概念和定义2.梯形公式、辛普森公式和复化求积公式3.数值积分的误差估计和自适应积分方法4.复化求积公式的收敛性和数值稳定性5.数值微分的基本概念和定义6.差商和差商表及其应用六、常微分方程的数值解法1.常微分方程（ODE）的基本概念和分类2.欧拉法和改进欧拉法3.龙格-库塔法（RK4法）4.多步法（Adams-Bashforth法、Milne法）5.预测-校正法（Adams-Moulton法）6.刚体现象方程的数值解法七、矩阵特征值与特征向量的计算1.矩阵特征值与特征向量的原理和定义2.幂法和反幂法的原理和应用3.QR分解法与带位移的QR分解法4.雅可比迭代法和带位移的雅可比迭代法八、常见数值计算问题的MATLAB实现1.线性方程组的解法2.非线性方程求根的方法3.插值与逼近的应用4.数值积分与数值微分的计算5.常微分方程的数值解法6.矩阵特征值与特征向量的计算以上是《计算方法》期末复习的一个大纲。
数值计算方法复习要点
数值计算方法复习要点数值计算方法是计算机科学中常用的一类方法，主要用于在计算机上对数值进行精确的计算和近似的计算。
数值计算方法的核心是数值计算技术，它包括离散化方法、插值方法、数值微积分和数值代数等。
本文将复习数值计算方法的要点，总结为以下几个方面。
一、离散化方法离散化是指将连续问题转化为离散问题的方法，在数值计算中广泛应用。
其基本思想是将连续问题的数学模型用离散点来逼近。
常用的离散化方法有有限差分法和有限元法。
1.有限差分法：将微分方程转化为差分方程，通过计算差分方程的数值解来近似原微分方程的解。
-常见的差分格式有向前差分、向后差分和中心差分。
-一阶导数的差分近似公式有一阶向前差分公式和一阶中心差分公式。
-二阶导数的差分近似公式有二阶中心差分公式。
2.有限元法：将连续问题的域划分为有限个子域，构建一个适当的函数空间，在每个子域上选择一个适当的试函数进行逼近。
-有限元法的基本步骤包括离散化、建立有限元方程、计算有限元解和后处理。
二、插值方法插值方法是一种用已知数据构造出逼近其中一种连续函数的近似函数的方法，它可以用于求解函数值，也可以用于构造近似函数。
1.拉格朗日插值多项式：给定n+1个互不相同的节点，可以构造出一个n次多项式，该多项式在这n+1个节点上取得实际值。
2.牛顿插值多项式：给定n+1个节点和与这些节点对应的函数值，可以通过差商构造一个n次多项式。
3.线性插值：在相邻的两个节点之间，用线性函数来逼近目标函数。
三、数值微积分数值微积分主要包括数值求导和数值积分两个方面。
1.数值求导：通过差分方法，计算函数在其中一点的导数近似值。
-前向差分法和后向差分法是一阶求导的差分方法。
-中心差分法是一阶求导的更精确的方法。
2.数值积分：通过数值方法计算函数的定积分或不定积分的近似值。
-区间分割方法是一种常见的数值积分方法，如梯形法则、辛普森法则和复化求积公式等。
-变换方法是另一种常见的数值积分方法，如换元积分法和对称性积分法等。
出版专业实务复习计算公式及章节要点
出版专业实务复习计算公式及章节要点
一、折扣计算公式及说明
1．单价折扣：原书价乘以折扣率等于实际价格。
-计算公式：实际价格=原价×折扣率
-说明：折扣率由出版社给出，折扣率越高，出版商所支付的差价越低。
2．总价折扣：原书价总和乘以折扣率等于实际价格。
-计算公式：实际价格=原价总和×折扣率
-说明：总价折扣是相对于单价折扣而言的，其折扣率要比其低。
3．定价计算：实际价格乘以定价比例等于出售价格。
-计算公式：出售价格=实际价格×定价比例
-说明：定价比例由出版社给出，在定价时，出版商所收取的价格与所支付的成本有着一定的比例关系。
二、折扣率及其说明
1．新书折扣：
-折扣率：25％-35％
-说明：新书折扣比较低，出版商需要考虑到出版成本以及书籍所受到的需求，所以新书折扣要比旧书折扣低。
2．旧书折扣：
-折扣率：35％-45％
-说明：旧书折扣比较高，出版商可以考虑打折销售，以实现出版成本的回收，而促进书籍的销售。
3．教材折扣：
-折扣率：45％-50％
-说明：教材折扣比较高。
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． 3．格式是阶的方法，其计算公式为． 4．隐式格式是阶的方法． 5．差分格式是两步法,显式公式．
第四章
1． 迭代法求方程的根时，在重根附近是线性收敛的． 2．迭代是弦截法迭代公式． 3．若迭代收敛于方程的根，且，
而则此迭代是阶收敛的． 4．迭代法求方程的根时，在单根附近是平方收敛的． 5．设迭代函数在方程的根的邻近有连续的二阶导
． 5．消去法是校正技术的应用． 6．若线性方程组按列对角占优或对称正定，则Gauss消去法无需选主元
素． 7．矩阵，为对角元为正的下三角矩阵是为对称正定
矩阵的 充要 条件．
注：仅供参考
引论
1．基于化归策略的三种基本的算法设计技术为缩减技术、校正技术、 松弛技术.缩减技术的设计思想是大事化小，小事化了，如多项式求值 的秦九韶算法；校正技术的设计思想是删繁就简，逐步求精，如求开方 值的迭代公式；松弛技术的设计思想是优劣互补，化粗为精，如求倒数 的迭代算法． 2．由计算公式知，此算法运用了
第二章
1．五个节点的求积公式具有阶精度；而五个节点的 公式具有阶精度．
2．复化梯形求积公式具有阶代数精度． 3．（龙贝格）算法中， ． 4．已知为常数，则求积
公式的代数精度为阶． 5．个节点的公式的代数精度至少为． 6． 算法设计中，运用了松弛技术． 7．复化公式与复化公式之间存在公式. 8．个节点的求积公式具有阶的代数精度．
缩减技术. 3．设计累乘求积算法时，可以运用缩减技术． 4．由计算公式知：此算法运用了缩减技术． 5．开方公式是校正技术的应用．
第一章
1．设为次的插值基函数，为两两互异的 节点，则： ；； ； 若则为次数的插值多项式．
2． ． 3．设、是满足同一插值条件的次、插
值多项式，则；若也是次数不超过的代数 多项式，则： ． 4．设，则差商， ，． 5．已知，则差商． 6． ，若是上以 为节点的三次样条函数，则. 7．构造插值多项式的三种基本方法是余项校正法、基函数法、待定系 数法．
数，且，则在附近，当时，是阶收敛的；而，时，是 阶收敛的． 6．“设，则由于， 即迭代函数不满足
压缩性条件，所以 ，迭代是发散的” 此结 论 不正确 的． 7．方程求根的迭代是 快速弦截法。
第五、六章
1．迭代的迭代矩阵为；迭代的迭代矩阵为． 2． 对角占优 方程组，其求解的迭代总是比其相应的迭代收敛得更 快． 3．对角占优线性方程组求解，相应的迭代法是收敛的． 4．求解方程组，使用列主元法时，此方程组变为