等腰三角形练习
等腰三角形典型例题练习(含答案)
等腰三角形典型例题练习一．选择题（共2小题）1．如图，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC=5cm ，BD=3cm ， 则点D 到AB 的距离为（ ）2．如图，已知C 是线段AB 上的任意一点（端点除外），分别以AC 、BC 为边并且在AB 的同一侧作等边△ACD 和等边△BCE ，连接AE 交CD 于M ，连接BD 交CE 于N ．给出以下三个结论：①AE=BD ②CN=CM ③MN ∥AB 其中正确结论的个数是（ ）二．填空题（共1小题）3．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，FD ⊥BC ，则△DEF 的面积与△ABC 的面积之比等于_________ ． 三．解答题（共15小题）4．在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF ．5．在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作DE ∥BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E ．请说明DE=BD+EC ．6．已知：如图，D 是△ABC 的BC 边上的中点，DE ⊥AB ，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF ．请判断△ABC 是什么三角形？并说明理由．7．如图，△ABC 是等边三角形，BD 是AC 边上的高，延长BC 至E ，使CE=CD ．连接DE ． （1）∠E 等于多少度？ （2）△DBE 是什么三角形？为什么？8．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是AB 边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD ．9．如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 的延长线上，且BD=CE ，DE 与BC 相交于点F ．求证：DF=EF ．A ． 5cmB ． 3cmC ． 2cmD ． 不能确定 A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 310．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD=2CE．11（2012•牡丹江）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．（1）求证PE+PF=CH．（2）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（3）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=_________．点P到AB边的距离PE=_________．（4）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2,求CD的长（请你直接写出结果）．12．已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF于点E，点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点M．若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．13．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．（1）线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论．（2）求∠BFD的度数．14．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF，求证：AE=CF．15．已知：如图，在△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB，在△EOF中，∠EOF=90°，OE=OF，连接AE、BF．问线段AE与BF之间有什么关系？请说明理由．等腰三角形典型例题练习参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．如图，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC=5cm ，BD=3cm ，则点D 到AB 的距离为（ ）A ． 5cmB ． 3cmC ．2cm D ． 不能确定考点： 角平分线的性质．分析： 由已知条件进行思考，结合利用角平分线的性质可得点D 到AB 的距离等于D 到AC 的距离即CD 的长，问题可解．解答：解：∵∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D∴D 到AB 的距离即为CD 长CD=5﹣3=2故选C ．2．如图，已知C 是线段AB 上的任意一点（端点除外），分别以AC 、BC 为边并且在AB 的同一侧作等边△ACD 和等边△BCE ，连接AE 交CD 于M ，连接BD 交CE 于N ．给出以下三个结论：①AE=BD ②CN=CM ③MN ∥AB 其中正确结论的个数是（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3考点： 平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．分析：由△ACD 和△BCE 是等边三角形，根据SAS 易证得△ACE ≌△DCB ，即可得①正确；由△ACE ≌△DCB ，可得∠EAC=∠NDC ，又由∠ACD=∠MCN=60°，利用ASA ，可证得△ACM ≌△DCN ，即可得②正确；又可证得△CMN 是等边三角形，即可证得③正确． 解答：解：∵△ACD 和△BCE 是等边三角形，∴∠ACD=∠BCE=60°，AC=DC ，EC=BC ， ∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠ECB ，即∠ACE=∠DCB ，∴△ACE ≌△DCB （SAS ）， ∴AE=BD ，故①正确； ∴∠EAC=∠NDC ，∵∠ACD=∠BCE=60°，∴∠DCE=60°，∴∠ACD=∠MCN=60°， ∵AC=DC ，∴△ACM ≌△DCN （ASA ），∴CM=CN ，故②正确； 又∠MCN=180°﹣∠MCA ﹣∠NCB=180°﹣60°﹣60°=60°，∴△CMN 是等边三角形，∴∠NMC=∠ACD=60°，∴MN ∥AB ，故③正确．故选D ．二．填空题（共1小题）3．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，FD ⊥BC ，则△DEF 的面积与△ABC 的面积之比等于 1：3 ．考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与分析：首先根据题意求得：∠DFE=∠FED=∠EDF=60°30°所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，积比等于相似比的平方，即可求得结果．解答： 解：∵△ABC 是正三角形，∴∠B=∠C=∠A=6∵DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，FD ⊥BC ，∴∠AFE=∠C∴∠BFD=∠CDE=∠AEF=30°，∴∠DFE=∠FE∴△DEF 是正三角形，∴BD ：DF=1：①，①÷②，=，∴DF ：AB=1：，∴△DE故答案为：1：3．三．解答题（共15小题）4．在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF ． 考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的定义． 分析： 过D 作DM ⊥AB ，于M ，DN ⊥AC 于N ，根据角理和平角定义求出∠AED=∠CFD ，根据全等三解答： 证明：过D 作DM ⊥AB ，于M ，DN ⊥AC 于N即∠EMD=∠FND=90°，∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN（角平分线性质），∠DME=∠DNF=90°，∵∠EAF+∠EDF=180°，∴∠MED+∠AFD=360°﹣180°=180°，∵∠AFD+∠NFD=180°，∴∠MED=∠NFD，在△EMD和△FND中，∴△EMD≌△FND，∴DE=DF．5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC．考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．分析：根据OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，和DE∥BC，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出DB=DO，OE=EC．然后即可得出答案．解答：解：∵在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB，∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC=∠DBO，∠EOC=∠OCB=∠ECO，∴DB=DO，OE=EC，∵DE=DO+OE，∴DE=BD+EC．6．＞已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC是什么三角形？并说明理由．考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．分析：用（HL）证明△EBD≌△FCD，从而得出∠EBD=∠FCD，即可证明△ABC是等腰三角形．解答：△ABC是等腰三角形．证明：连接AD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，且DE=DF，∵D是△ABC的BC边上的中点，∴BD=DC，∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL），∴∠EBD=∠FCD7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE．（1）∠E等于多少度？（2）△DBE是什么三角形？为什么？考点：等边三角形的性质；等腰三角形的判定．分析：（1）由题意可推出∠ACB=60°，∠E=∠CDE，然后即可推出∠E的度数；（2）根据等边三角形的性质可知，BD不但为A∠DBC=30°，然后再结合（1）中求得的结论，即解答：解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60∵CD=CE，∴∠E=∠CDE，∵∠ACB=∠E+∠C（2）∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，∴∠∵∠E=30°，∴∠DBC=∠E，∴△DBE是等腰三8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD．考点：含30度角的直角三角形．分析：由△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°可以推出A解答：解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴AB=2BC，∠B又∵CD⊥AB，∴∠DCB=30°，∴BC=2BD．∴9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：DF=EF．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：过D点作DG∥AE交BC于G点，由平行线的性质得∠1=∠2，∠4=∠3，再根据等腰三角形的性质可得∠B=∠2，则∠B=∠1，于是有DB=DG，根据全等三角形的判定易得△DFG≌△EFC，即可得到结论．解答：证明：过D点作DG∥AE交BC于G点，如图，∴∠1=∠2，∠4=∠3，∵AB=AC，∴∠B=∠2，∴∠B=∠1，∴DB=DG，而BD=CE，∴DG=CE，在△DFG和△EFC中，∴△DFG≌△EFC，∴DF=EF ．10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD=2CE．考点：全等三角形的判定与性质．分析：延长CE，BA交于一点F，由已知条件可证得△BFE全≌△BEC，所以FE=EC，即CF=2CE，再通过证明△ADB≌△FAC可得FC=BD，所以BD=2CE．解答：证明：如图，分别延长CE，BA交于一点F．∵BE⊥EC，∴∠FEB=∠CEB=90°，∵BE平分∠ABC，∴∠FBE=∠CBE，又∵BE=BE，∴△BFE≌△BCE （ASA）．∴FE=CE．∴CF=2CE．∵AB=AC，∠BAC=90°，∠ABD+∠ADB=90°，∠ADB=∠EDC，∴∠ABD+∠EDC=90°．又∵∠DEC=90°，∠EDC+∠ECD=90°，∴∠FCA=∠DBC=∠ABD．∴△ADB≌△AFC．∴FC=DB，∴BD=2EC．11．（2012•牡丹江）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：如图①，连接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB•PE，S△ACP=AC•PF，S△ABC=AB•CH．又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，∴AB•PE+AC•PF=AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=7．点P到AB边的距离PE=4或10．考点：等腰三角形的性质；三角形的面积．分析：（1）连接AP．先根据三角形的面积公式分别表S△ABP=S△ACP+S△ABC即可得出PE=PF+PH；（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，再则可分两种情况进行讨论：①P为底边BC上一点时，运用结论PE=PF+CH．解答：解：（1）如图②，PE=PF+CH．证明如下：∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=A∵S△ABP=S△ACP+S△ABC，∴AB•PE=AC•PF（2）∵在△ACH 中，∠A=30°，∴AC=2CH ．∵S △ABC =AB •CH ，AB=AC ，∴×2CH •CH=49，∴CH=7．分两种情况：①P 为底边BC 上一点，如图①． ∵PE+PF=CH ，∴PE=CH ﹣PF=7﹣3=4； ②P 为BC 延长线上的点时，如图②． ∵PE=PF+CH ，∴PE=3+7=10．故答案为7；4或10．12．数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED=EC ，如图，试确定线段AE 与DB 的大小关系，并说明理由”．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论当点E 为AB 的中点时，如图1，确定线段AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结论：AE = DB （填“＞”，“＜”或“=”）．（2）特例启发，解答题目 解：题目中，AE 与DB 的大小关系是：AE = DB （填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F ．（请你完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED=EC ．若△ABC 的边长为1，AE=2，求CD 的长（请你直接写出结果）．考点： 等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质． 分析：（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D=∠ECB=30°，求出∠DEB=30°，求出BD=BE即可；（2）过E 作EF ∥BC 交AC 于F ，求出等边三角形AEF ，证△DEB 和△ECF 全等，求出BD=EF 即可；（3）当D 在CB 的延长线上，E 在AB 的延长线D 在BC 的延长线上时，求出CD=1．解答： 解：（1）故答案为：=．（2）过E 作EF ∥BC 交AC 于F ， ∵等边三角形ABC ，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∴△AEF 是等边三角形，∴AE=EF=AF ，∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，∴∠DBE=∠EF ∵DE=EC ，∴∠D=∠ECD ，∴∠BED=∠ECF ，在△DEB 和△ECF 中，∴△DEB ≌△ECF ，∴BD=E（3）解：CD=1或3，理由是：分为两种情况：①如图1过A 作AM ⊥BC 于M ，过E 作EN ⊥BC 于N ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC=AC=1，∵AM ⊥BC ，∴BM=CM=BC=，∵DE=CE ，∵AM ∥EN ，∴△AMB ∽△ENB ，∴=，∴∴BN=，∴CN=1+=，∴CD=2CN=3；②如图2，作AM ⊥BC 于M ，过E 作EN ⊥BC 则AM ∥EM ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC=AC=1， ∵AM ⊥BC ，∴BM=CM=BC=，∵DE=CE ，。
等腰三角形练习题(含答案)
等腰三角形练习题(含答案)等腰三角形第1课时：等腰三角形的性质1.已知等腰三角形的一个底角为50°，则其顶角为80°。
2.如图，△ABC中，AB=AC，BC=6cm，AD平分∠BAC，则BD=3cm。
3.如图，△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为45°。
4.已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为80°。
5.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB=AD=DC，∠BAD=40°，求∠C的度数为100°。
6.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE=AF。
证明：DE=DF。
第2课时：等腰三角形的判定1.在△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，则△ABC为钝角三角形。
2.已知△ABC中，∠B=50°，∠A=80°，AB=5cm，则AC=5cm。
3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且BD=DC，则△ABC为等腰三角形。
4.如图，已知△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD为∠ABC的平分线，则图中共有2个等腰三角形。
5.如图，D是△XXX的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E，F，且DE=DF。
证明：AB=AC。
6.如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，FG平分∠EFD交直线AB于点G。
证明：△EFG是等腰三角形。
等边三角形第1课时：等边三角形的性质与判定1.如图，a∥b，等边△ABC的顶点B，C在直线b上，则∠1的度数为60°。
2.在△ABC中，∠A=60°，现有下面三个条件：①AB=AC；②∠B=∠C；③∠A=∠B。
能判定△ABC为等边三角形的有条件①、②、③。
3.如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于D，若AB=4，则AD=2.4.如图，△ABC是等边三角形，∠CBD=90°，BD=BC，连接AD交BC于点E，求∠BAD的度数为75°。
等腰三角形经典练习题(5套)附带详细答案
练习一一、选择题1．等腰三角形的周长为26㎝，一边长为6㎝，那么腰长为（）Ａ．6㎝Ｂ．10㎝Ｃ．6㎝或10㎝Ｄ．14㎝2．已知△ABC，AB =AC，∠B=65°，∠C度数是( )A．50°B．65°C．70°D．75°3．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（）A．过顶点的直线B．底边的垂线C．顶角的平分线所在的直线D．腰上的高所在的直线二、填空题4．等腰三角形的两个_______相等（简写成“____________”）．5．已知△ABC，AB =AC，∠A=80°，∠B度数是_________．6．等腰三角形的两个内角的比是1：2，则这个等腰三角形的顶角的度数是_______________．7．等腰三角形的腰长是6，则底边长5，周长为__________．三、解答题8．如图AB=AD，AD∥BC，求证：BD平分∠ABC．（写出每步证明的重要依据）9．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数一、选择题1．B2．B3．C二、填空题4．底角，等边对等角5．50°6．36°或90°7．16或17三、解答题8．如图AB=AD，AD∥BC，求证：BD平分∠ABC．证明：∵AB=AD（已知）∴∠ABD=∠ADB（等边对等角）∵AD∥BC（已知）∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）∴∠ABD=∠CBD（等量代换）∴BD平分∠ABC．（角平分线定义）9．45练习2一、选择题1．△ABC是等边三角形，D、E、F为各边中点，则图中共．有正三角形( )A．2个B．3个C．4个D．5个2．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则BC：AB等于( ) A．2：1 B．1：2 C．1：3 D．2 ：3二、填空题3．等边三角形的周长为6㎝，则它的边长为________．4．等边三角形的两条高线相交所成钝角的度数是__________．5．在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则△ABC是_____三角形．6．△ABC中，∠AC B=90°∠B=60°，BC=3㎝，则AB=_______．三、解答题7．△ABC是等边三角形，点D在边BC上，DE∥AC，△BDE是等边三角形吗？试说明理由．8．已知：如图，P，Q是△ABC边上BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数．9．已知：△ABC中，∠ACB=90°，AD=BD，∠A=30°，求证：△BDC是等边三角形．一、选择题1．D2．B二、填空题3．2㎝4．120°5．等边6．6㎝三、解答题7．△ABC是等边三角形．理由是∵△ABC是等边三角形∴∠A=∠B=∠C=60°∵DE∥AC，∴∠BED=∠A=60°，∠BDE=∠C =60°AQ CPB∴∠B =∠BED =∠BDE ∴△ABC 是等边三角形 8．∠BAC=120°9．证明：∵△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°（已知）∴∠A +∠B=90°（直角三角形两锐角互余） ∴∠B= 90°－∠A= 90°－30°=60°∵△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°（已知） ∴BC=BD AB =21（在直角三角形中，一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半）∴△BDC 是等边三角形（有一个角是60°角的等腰三角形是等边三角形）。
等腰三角形练习题
等腰三角形练习题等腰三角形练习题等腰三角形是初中数学中的一个重要概念，也是几何学中常见的一种形状。
它具有特殊的性质和特点，因此在数学教学中，经常会出现与等腰三角形相关的练习题。
下面我将为大家介绍几道关于等腰三角形的练习题，希望能帮助大家更好地理解和掌握这一概念。
练习题一：已知等腰三角形ABC中，AB = AC，角A = 40°，求角B和角C的度数。
解析：由于等腰三角形的定义，我们知道AB = AC，因此角B和角C的两边也相等。
又已知角A = 40°，所以角B和角C的度数相等，设为x。
根据三角形内角和定理，我们可以得到40° + x + x = 180°，化简得2x = 140°，解方程可得x = 70°。
所以角B和角C的度数均为70°。
练习题二：已知等腰三角形ABC中，AB = AC = 8cm，角B = 50°，求三角形的周长和面积。
解析：由于等腰三角形的定义，我们知道AB = AC = 8cm，角B = 50°。
首先，我们可以通过余弦定理求得三角形的底边BC的长度。
根据余弦定理，我们有cosB = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2AB * AC)，代入已知条件，可以得到cos50° = (8^2 + 8^2 - BC^2) / (2 * 8 * 8)，化简可得BC^2 = 128 - 128 * cos50°，计算可得BC ≈ 9.62cm。
接下来，我们可以求三角形的周长。
由于等腰三角形的两边相等，所以周长等于AB + AC + BC = 8 + 8 + 9.62 ≈ 25.62cm。
最后，我们可以求三角形的面积。
由于等腰三角形的高线可以通过顶角的平分线构造出来，所以我们可以通过高线计算面积。
设高线的长度为h，根据三角形面积公式，我们有面积S = (1/2) * AB * h。
等腰三角形练习题(含答案)
等腰三角形第1课时等腰三角形的性质1.已知等腰三角形的一个底角为50。
，则其顶角为________ ・2.如图，HABC中…13=∕C, BC=6cm, JD 平分ZBAC.则BD= _________________ c m.第3题图3.如图，'ABC中，-lδ=FC, D为EC中点，ZBAD=35。
,则ZC的度数为（）A.35oB. 45。
C・ 55。
D・ 60o4.已知等腰三角形的一个内角为50。
，则这个等腰三角形的顶角为（）A・ 50o B. 80oC. 50。
或80。
D・ 40。
或65。
5.如图，在Z∖J5C 中，D 是BC 边上一点，^AB=.-ID=DC, ZAW=40°,求ZC 的度数.6.如图，ΔJBCΦ, .IB=AC9 D 是EC 的中点，E, F分别是.1B. JC±的点，且AE=AF. 求证：DE=DF.1. 在 ∕∖ABC 中，ZJ=40% Z5 = 70o ,则 MBC 为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形2. 已知ΔJPC 中，Z5=50% ZJ = 80c , -lδ=5cm.则 AC= _________________ ・3. 如图，在ΛABC 中，-Q 丄BC 于点Zh 请你再添加一个条件，使苴可以确定AlSC 为等腰三角形，则添加的条件是 ________ ・第3题图4. 如图，已知NlBC 中，ZJ = 36% AB=AC, BD 为ZABC 的平分线，则图中共有 _______________ 个等腰三角形.5. 如图，D 是ZXJ5C 的BC 边上的中点，DE 丄AC. DFLAB.垂足分别是E, F,且DE=DF 求证:AB=AC.6.如图，肋〃 CZ λ直线/交,松于点E,交CD 于点F, FG 平分ZEFD 交直线曲于点G 求证：ZLEFG 是等腰三角形.第4题图13・3.2等边三角形第1课时等边三角形的性质与判定1. ____________________________________________________________ 如图，a∕∕b.等边MBC的顶点D C在直线b上，则Zl的度数为_______________________第1题图第3题图2.在∕∖ABC中，ZJ=60°,现有下面三个条件：®ZB=ZC;③ZA=ZB.能判定Z∖J5C为等边三角形的有____________________________ .3・如图，在等边AABC中，BD丄AC于D∙若,松=4,则AD= ________________ ・4.如图，ΔJ J9C是等边三角形，ZCBD=90°. BD=BC.连接.10交BC于点求ZBAD 的度数.5・如图，E是等边AABC中JC边上的点，Z1 = Z2, BE=CD.求证: (I)ZUEE 竺ZUS⑵AADE为等边三角形.第2课时含30。
等腰三角形专题练习
等腰三角形专题练习一
1.等腰三角形一腰上的中线将其周长分为9和8两部分,求腰长和底边长?
2.若等腰三角形一腰上的中线分周长为12cm和15cm两部分,求这个三角形的底边和腰的长?
3.等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为12和21两部分,求三角形的底边长
4.在等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线等腰三角形ABC的周长分成15和6两部分，求三角形ABC的腰长及底边长。
等腰三角形专题练习二
1.等腰三角形周长是50,一腰上的中线分得两个三角形周长是32,22,求腰长?
2.一个等腰三角形腰上的中线把三角形分成周长分别为21cm和12cm的两个三角形,求底边。
3.已知等腰三角形的周长被一腰上的中线分成为两个三角形,其周长分别为18厘米和15厘米,其中中线3厘米，求这等腰三角形的各边。
提升题型：
1.一个等腰三角形的周长是25cm,一腰上的中线将等腰三角形周长分为3∶2两部分，则此等腰三角形的底边长为__。
2.一个等腰三角形的周长15,一腰上的中线把周长分为两部分，这两部分的差为6，求腰长。
等腰三角形随堂练习
等腰三角形练习题一题型研究题型一：等腰三角形的性质+=，则∠B的1．如图，在ABC中，105∠=︒，AD BCBAC⊥，垂足为D，若AB BD CD度数为（）A．20︒B．25︒C．45︒D．50︒2．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=20，点D在边AB上，CA=CD，BD=8，则AD=（）A．2 B．3 C．4 D．63．如图，在ABC中，10==，8AB ACBC=，AD平分BAC∠交BC于点D，点E为AC的△的周长为（）中点，连接DE，则CDEA．12 B．13 C．14 D．18题型二：等腰三角形的判定4．点C、D都在线段AB上，且AD＝BC，AE＝BF，∠A＝∠B，CF与DE相交于点G．(1)求证∠E＝∠F；(2)若CF＝10，DG＝4，求EG的长．5．已知：如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点O ，且MN ∥BC ，分别交AB 、AC 于点M 、N ．求证：MN ＝BM +CN ．6．【问题提出】在ABC 中，2ACB B ∠=∠，AD 为BAC ∠的角平分线，探究线段AB ，AC ，CD 的数量关系．【问题解决】如图1，当90ACB ∠=︒，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，易得AB AC CD =+；由此，如图2，当90ACB ∠≠︒时，猜想线段AB ，AC ，CD 有怎样的数量关系？给出证明．【方法迁移】如图3，当90ACB ∠≠︒，AD 为ABC 的外角平分线时，探究线段AB ，AC ，CD 又有怎样的数量关系？直接写出结论，不证明．题型三：等边三角形的性质7．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，等边三角形ADE的顶点D在BC边上，连接CE，已知∠DCE=90°，CD=2，则AB的长为（）A．2B．31+C．22D．38．△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC 内．若BC＝5，则五边形DECHF的周长为（）A．8 B．10 C．11 D．12AD=，E是高AD上的一个动点，F是边AB 9．如图，在等边三角形ABC中，BC边上的高8的中点，在点E运动的过程中，存在EB EF+的最小值，则这个最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．8题型四：等边三角形的判定10．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD，点E在AB上，将△BCE沿CE对折得到△FCE，EF恰好过点A，FC边与AD边交于点G，且DC=DG．(1)求证：△ABC≌△CDA；(2)试判断△F AG的形状，并说明理由．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，以AB为一边向上作等边三角形ABD，点E在BC垂直平分线上，且EB⊥AB，连接CE，AE，CD．(1)判断△CBE的形状，并说明理由；(2)求证：AE=DC；(3)若CD与AE相交于点F，CD与AB相交于点G，求∠AFD的度数．12．在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，BD＝CE，BE＝CF，（1）求证：∠B＝∠DEF；（2）连接DF，当∠A的度数是多少时，△DEF是等边三角形．题型五：等腰和等边三角形的综合问题13．如图，ABC 是等边三角形，点D ，E 分别在边AB ，BC 上，AD BE =，线段AE ，CD 交于点F ．作AEH CFE ∠=∠，交CF 于点H ．(1)求证：ACD BAE ∠=∠；(2)用等式表示线段AF ，DF ，CH 之间的数量关系，并证明．14．已知在ABC 中，BAC 45∠=︒，AE ，BF 是ABC 的高，分别交BC ，AC 于点E ，F ．(1)如图1，若ABC C ∠<∠，且75BDE ∠=︒，求BAE ∠的度数；(2)如图2，若ABC C ∠=∠．①求BAE ∠的度数；②求证：ADF BCF ≌△△．15．在等边△ABC中，D为BA延长线上一点，F为BC上一点，过B作BE∥AC，连接DE，EF，且∠DEF＝60°．(1)如图1，若BE＝2，BD＝5，求BF的长．(2)如图2，若F为CB延长线上一点，试探究BD、BE、BF的关系，并说明理由．(3)如图3，若F为BC延长线上一点，且AD：BE：AC＝1：2：3，请直接写出CF：BE的值．二随堂练习一、单选题16．如图，等边△ABC 中，AD 为BC 边上的高，点M 、N 分别在AD 、AC 上，且AM ＝CN ，连BM 、BN ，当BM +BN 最小时，∠MBN 的度数为（ ）A ．15°B ．22.5°C ．30°D ．47.5°17．如图，已知ABC 是等腰三角形，AB BC =，BD 平分ABC ∠，若6AC =，则AD 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．818．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为()2,0，若点A 在第一象限内，且AB OB =，60AOB ∠=︒，则点A 到y 轴的距离为（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2 19．如图，30ABC ︒∠=，点D 是它内部一点，BD m =．点E ，F 分别是BA ，BC 上的两个动点，则DEF 周长的最小值为（ ）A ．0.5mB ．mC ．1.5mD ．2m20．如图，把一张长方形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点D 的对应点为点,F CF 与AB 交于点E ，若长方形ABCD 的周长为16，则CBE △的周长为（ ）A ．8B ．16C ．32D ．421．如图，ABC 中，AB BC =，60C ∠=°，AD 是BC 上的高，DE AC ∥，图中与BD （BD 除外）相等的线段共有（ ）条．A ．1B ．2C ．3D ．422．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于M ，交AC 于N ，若BM +CN ＝9，则线段MN 的长（ ）A ．大于9B ．等于9C ．小于9D ．不能确定23．如图，在ABC 中，AB AC =，点D ，E ，F 分别在边BC ，AC ，AB 上，且BD CE =，DC BF =，且60EDF ∠=︒．(1)求证：BDF CED △≌△；(2)判断ABC 的形状，并说明理由．24．△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，且AD ＝CE ，连接AE 、BD 交于点F ．(1)如图1，求∠BFE 的度数；(2)如图2，连接CF ，当CF ⊥BD 时，求AF BF的值； (3)如图3，点P 在线段AE 上，连接CP ，且CP ＝AF ，在图中找出与线段 AP 相等的线段，并证明．高分突破一：选择题25．如图，在ACD △中，60CAD ∠=︒，以AC 为底边向外作等腰ABC ，60BAC ADC ∠+∠=︒，在CD 上截取DE AB =，连接BE ．若30BEC ∠=︒，则BAC ∠的度数为（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．30°26．如图，将一个等腰直角三角形△ABC 按如图方式折叠，若DE =a ，DC =b ，下列四个结论：①DC ′平分∠BDE ；②BC 长为2a +b ；③△BDC ′是等腰三角形；④△CED 的周长等于BC 的长．其中，正确的是（ ）A ．①②④B ．②③④C ．②③D ．②④27．如图，过边长为4的等边ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当P A =CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（ ）A ．95B ．2C ．115D ．12528．已知：如图在ABC ∆，ADE ∆中，90BAC DAE ∠=∠=︒，AB AC =，AD AE =，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下四个结论：①BD CE =；②BD CE ⊥；③45ACE DBC ∠+∠=︒；④180BAE DAC ∠+∠=︒，其中结论正确的个数是（ ）（注:等腰三角形的两个底角相等）A ．1B ．2C ．3D ．429．如图，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ，过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；②DE =BD +CE ；③△ADE 的周长等于AB 与AC 的和；④BF =CF ．其中正确的有（ ）A ．①②③B ．①②③④C ．①②D ．①30．如图，∠EAF ＝18°，AB BC CD ==，则∠ECD 等于（ ）A ．36°B ．54°C ．72°D ．108°31．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB =90°，M 是AB 边上的中点，点D 、E 分别是AC 、BC 边上的动点，DE 与CM 相交于点F 且∠DME ＝90°．则下列5个结论：（1）图中共有两对全等三角形；（2）△DEM 是等腰三角形；（3）∠CDM ＝∠CFE ；（4）AD +BE ＝AC ；（5）四边形CDME 的面积发生改变．其中正确的结论有个（ ）A ．2B ．3C ．4D ．532．如图所示，△ABC 与△ADE 顶点A 重合，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且AB ＝AC ，AD ＝DE ，∠B ＝∠ADE ＝40°，则∠EDC 的度数为（ ）A ．20°B ．30°C ．40°D ．5033．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，把△ADE 沿DE 折叠，点A 恰好落在BC 上的点F 处，若点F 为BC 的中点，则CE AC 的值是（ ） A ．12B ．22C ．25D ．38 二、填空题 34．如图，1230∠=∠=︒，A B ∠=∠，AE BE =，点D 在边AC 上，AE 与BD 相交于点O ，则∠C 的度数为______．35．如图，在ABC 中，AE 是BC 边上的中线，过点C 作CD AE ⊥，交AE 的延长线于点D ，连结BD ．若AB BD =，BCD △的面积为10，则ABC 的面积为______．36．如图，在等腰△ABC 中，AB =AC =10，BC =16，AD 是BC 边上的中线且AD =6，F 是AD 上的动点，E 是AC 边上的动点，则CF +EF 的最小值等于______．37．如图，已知等腰△ABC ，AB =AC ，∠BAC =120°，AD ⊥BC 于点D ，点P 是BA 延长线上一点，点O 是线段AD 上一点，OP =OC ，下面结论：①∠ACO=15°；②∠APO+∠DCO=30°；③△OPC 是等边三角形；④AC=AO+AP ；其中正确的有 ______（填上所有正确结论的序号）．38．如图，在R △ABC 中，AB ＝AC ，点D 为BC 中点，点E 在AB 边上，连接DE ，过点D作DE 的垂线，交AC 于点F ．下列结论：①△AED ≌△CFD ；②EF ＝AD ；③BE +CF ＝AC ；④S 四边形AEDF ＝12AD 2，其中正确的结论是 _____（填序号）．三、解答题39．如图，在ABC 中，60ACB ∠=︒，点D 在AC 上，BC CD =，以AB 为边向左侧作等边三角形ABE ，连ED ．(1)求证：ABC EBD ≌△△；(2)过点B 作BF ED ⊥于点F ，2DF =，求BD 的长．40．如图，ABC 是等边三角形，过点B 作BD //AC ，点D 在直线AB 下方，在射线BD 上截取2BD BC =，连接AE ．(1)用无刻度的直尺和圆规按要求作图，并在图中标出相应字母（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）条件下，求证：AE AB ⊥．41．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，3AB AC ==，D 为BC 边的中点，点E 、F 分别在AB 、AC 边上运动，且始终保持BE AF =，连接DE 、DF 、EF ．(1)求证：ADE ≌CDF ；(2)判断DEF 的形状，并说明理由；(3)求四边形AEDF 的面积；(4)若2BE =，求EF 的长．42．如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD 是BC 的中线，AE BF =．(1)求证：DE DF =(2)DEF 是什么形状的三角形？请说明理由．43．在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 、E 分别在AB 、BC 上，且AD =BE ，BD =AC ，连接CD 、DE ．(1)如图1，求证：DE =CD ；(2)如图2，过E 作EF ⊥AB 于F ，求证：∠FED =∠CED ；(3)如图3，若延长ED 、CA 相交于G ，求证：D 为EG 的中点．44．如图1，在△ABC 中，AB AC =，点E 在线段BC 上，连接AE 并延长到G ，使得EG AE =，过点G 作GD BA ∥分别交BC ，AC 于点F ，D ．(1)求证：△≌△ABE GFE ；(2)若3GD =，1CD =，求AB 的长度；(3)如图2，过点D 作DH BC ⊥于H ，P 是直线DH 上的一个动点，连接AF ，AP ，FP ，若45C ∠=︒，2AF =，在（2）条件下，求△AFP 周长的最小值．45．已知△ABC ≌△ADE ，且它们都是等腰直角三角形，∠ABC =∠ADE =90°．(1)如图1，当点D在边AC上时，连接BD并延长交CE于点F，①求证：∠CBD=∠EDF；②求证：点F为线段CE的中点；(2)△ADE绕着点A顺时针旋转，如图2所示，连接BD并延长交CE于点F，点F还是线段CE的中点吗？请说明理由．。
等腰三角形专项练习30题(有答案)OK
等腰三角形专项练习30题1．已知，如图，△ABC中，AB=AC，DE是AB的中垂线，点D在AB上，点E在AC上，若△ABC的周长为25cm，△EBC的周长为16cm，则AC的长度为（）A．16cm B．9cm C．8cm D．7cm2．在△ABC中，∠ABC=120°，若DE、FG分别垂直平分AB、BC，那么∠EBF为（）A．75°B．60°C．45°D．30°3．如图，AD=BC=BA，那么∠1与∠2之间的关系是（）A．∠1=2∠2 B．2∠1+∠2=180°C．∠1+3∠2=180°D．3∠1﹣∠2=180°4．如图，已知∠AOB=40°，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，CD交OA、OB于M、N两点，则∠MPN的度数是（）A．70°B．80°C．90°D．100°5．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°．∠BAC的平分线与线段AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是（）A．45°B．50°C．55°D．60°6．如图所示，△ABC为正三角形，P是BC上的一点，PM⊥AB，PN⊥AC，设四边形AMPN，△ABC的周长分别为m、n，则有（）A．B．C．D．7．如图所示，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，则①AC平分∠BAD；②CA平分∠BCD；③AC垂直平分BD；④BD平分∠ABC，其中正确的结论有（）A．①②B．①②③C．①②③④D．②③8．下列说法正确的是（）A．两个能重合的图形一定关于某条直线对称B．若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧C．到角两边距离相等的点在这个角的平分线上D．如果三角形一边的垂直平分线经过它的一个顶点，那么这个三角形一定是等腰三角形9．用一根长为a米的线围成一个等边三角形，测知这个等边三角形的面积为b平方米．现在这个等边三角形内任取一点P，则点P到等边三角形三边距离之和为（）米．A．B．C．D．10．在等腰直角△ABC（AB=AC≠BC）所在的三角形边上有一点P，使得△PAB，△PAC都是等腰三角形，则满足此条件的点有（）A．1个B．3个C．6个D．7个11．如图所示，在△ABC中，AB=AC，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点D，BD+CD=10cm，则AB的长为_________．12．如图，若等腰△ABC的腰长AB=10cm，AB的垂直平分线交另一腰AC于D，△BCD的周长为16cm，则底边BC是_________cm．13．已知实数x，y满足|x﹣4|+（y﹣8）2=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是_________．14．如图所示，将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形有_________个．15．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=8，BC=5，则BD的长为_________．16．等腰△ABC的底边上高AD与底角平分线CE交于点P，EF⊥AD，F为垂足，则线段EB与线段EF的数量关系为_________．17．如图，在等腰在△ABC中，AB=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若在△BCE的周长为50，则底边BC的长为_________．18．等腰△ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分，则这个三角形的腰长为_________．19．如图，已知D为等边三角形纸片ABC的边AB上的点，过点D作DG∥BC交AC于点G，DE⊥BC于点E，过点G作GF⊥BC于点F．把三角形纸片ABC分别沿DG，DE，GF按图示方式折叠，则图中阴影部分是_________三角形．20．如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出一种情形）：_________．21．如图，已知等边△ABC边长为1，D是△ABC外一点且∠BDC=120°，BD=CD，∠MDN=60°．求证：△AMN的周长等于2．22．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，说明：BC=DE+EF成立的理由．23．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AD⊥CF；（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．24．已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数．25．如图，∠1=∠2，AB=AD，∠B=∠D=90°，请判断△AEC的形状，并说明理由．26．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，①求证：△BCE≌△ACD；②求证：CF=CH；③判断△CFH的形状并说明理由．27．如图：△ABC是等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1，求AD的长．28．如图，在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E，连接BP交AC于点F．（1）证明：∠CAE=∠CBF；（2）证明：AE=BF．29．如图，在△ABC中，已知AB=BC=CA，AE=CD，AD与BE交于点P，BQ⊥AD于点Q，求证：BP=2PQ．30．如图，△ABE和△BCD都是等边三角形，且每个角是60°，那么线段AD与EC有何数量关系？请说明理由．参考答案：1．解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∵△ABC的周长为25cm，△EBC的周长为16cm，AC=AB，∴2AC+BC=25cm，BE+CE+BC=AE+EC+BC=AC+BC=16cm，即，解得：AC=9cm，故选B2．解：∵DE、FG分别垂直平分AB、BC，∴AE=BE，BF=CF，∴∠A=∠ABE，∠C=∠CBF，∵∠A+∠C+∠ABC=180°，∠ABC=120°，∴∠A+∠C=60°，∴∠ABE+∠CBF=60°，∴∠EBF=120°﹣60°=60°，故选B3．解：∵AB=BC，∴∠1=∠BCA，∵AB=AD，∴∠B=∠2，∵∠1+∠B+∠ACB=180°，∴2∠1+∠2=180°．故选B4．解：∵P关于OA、OB的对称∴OA垂直平分PC，OB垂直平分PD∴CM=PM，PN=DN∴∠PMN=2∠C，∠PNM=2∠D，∵∠PRM=∠PTN=90°，∴在四边形OTPR中，∴∠CPD+∠O=180°，∴∠CPD=180°﹣40°=140°∴∠C+∠D=40°∴∠MPN=180°﹣40°×2=100°故选D．5．解：如图，延长AO交BC于点M，连接BO，∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣50°）÷2=65°，∵AO是∠BAC的平分线，∴∠BAO=25°，又∵OD是AB的中垂线，∴∠OBA=∠OAB=25°，∴∠OBM=∠OCM=60°﹣25°=40°，∴∠BOM=∠COM=90°﹣40°=50°，由折叠性可知，∠OCM=∠COE，∴∠MOE=∠COM﹣∠COE=50°﹣40°=10°，∴∠OEM=90°﹣10°=80°，∵由折叠性可知，∠OEF=∠CEF，∴∠CEF=（180°﹣80°）÷2=50°．故选：B6．解：设BM=x，CN=y则BP=2x，PC=2y，PM=x，PN=yAM+AN=2BC﹣（BM+CN）=3（x+y），故==≈0.7887．故选D7．解：在Rt△ABC和Rt△ADC中，AB=AD，AC=AC，所以Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）．所以∠ACB=∠ACD，∠BAC=∠DAC，即AC平分∠BAD，CA平分∠BCD．故①②正确；在△ABD中，AB=AD，∠BAO=∠DAO，所以BO=DO，AO⊥BD，即AC垂直平分BD．故③正确；不能推出∠ABO=∠CBO，故④不正确．故选B8．解：A、两个能重合的图形不一定关于某条直线对称，故错误；B、两个图形关于某条直线对称，它们的对应点有可能位于对称轴上，故错误；C、同一平面内，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，故错误；D，正确，故选D9．解：等边三角形周长为a，则边长为，设P到等边三角形的三边分别为x、y、z，则等边三角形的面积为b=××（x+y+z）解得x+y+z=，故选C10．解：∵△ABC是等腰直角三角形，（AB=AC≠BC）所在的三角形边上有一点P，使得△PAB，△PAC都是等腰三角形，∴有一个满足条件的点﹣斜边中点，∴符合条件的点有1个．故选A．11．解：∵ED是边AB边上的中垂线，∴AD=BD；又∵BD+CD=10cm，AB=AC，∴BD+CD=AD+DC=AC=AB=10cm，即AB=10cm．故答案是：10cm12．解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴BD+CD=AC，∵AB=AC=10cm，BD+CD+BC=AB+BC=16cm，∴BC=16﹣AB=16﹣10=6cm．故答案为：6cm13．解：根据题意得，x﹣4=0，y﹣8=0，解得x=4，y=8，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，∵4+4=8，∴不能组成三角形，②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长=4+8+8=20，所以，三角形的周长为20．故答案为：2014．解：∵将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上．∴EF∥DG，∠E=∠D=60°，∴∠ENM=∠D=60°，∠MGD=∠E=60°，∴EM=NM=EN，DM=GM=DG，∴△MEN，△MDG是等边三角形．∵∠A=∠B=30°，∴MA=MB，∴△ABM是等腰三角形．∴图中等腰三角形有3个15．解：延长BD与AC交于点E，∵∠A=∠ABD，∴BE=AE，∵BD⊥CD，∴BE⊥CD，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ECD，∴∠EBC=∠BEC，∴△BEC为等腰三角形，∴BC=CE，∵BE⊥CD，∴2BD=BE，∵AC=8，BC=5，∴CE=5，∴AE=AC﹣EC=8﹣5=3，∴BE=3，∴BD=1.5．故选A．16．解：延长EF交AC于点Q，∵EF⊥AD，AD⊥BC∴EQ∥BC∴∠QEC=∠ECB∵CE平分∠ACB∴∠ECB=QCE∴∠QEC=∠QCE∴QE=QC∵QE∥BC，且△ABC为等腰三角形∴△AQE为等腰三角形∴AQ=AE，QE=2EF∴BE=CQ=2EF．故答案为：BE=2EF．17．解：∵DE垂直且平分AB，∴BE=AE．由BE+CE=AC=AB=27，∴BC=50﹣27=2318．解：设AB=AC=2X，BC=Y，则AD=CD=X，∵AC上的中线BD将这个三角形的周长分成15和6两部分，∴有两种情况：1、当3X=15，且X+Y=6，解得，X=5，Y=1，∴三边长分别为10，10，1；2、当X+Y=15且3X=6时，解得，X=2，Y=13，此时腰为4，根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，而4+4=8＜13，故这种情况不存在．∴腰长只能是10．故答案为1019．解：∵三角形ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵根据题意知道点B和点C经过折叠后分别落在了点I和点H处，∴∠DIH=∠B=60°，∠GHI=∠C=60°，∴∠HJI=60°，∴∠DIH=∠GHI=∠HJI=60°，∴阴影部分是等边三角形，故答案为：等边．20．答：由①③条件可判定△ABC是等腰三角形．证明：∵∠EBO=∠DCO，∠EOB=∠DOC，（对顶角相等）BE=CD，∴△EBO≌△DCO，∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴△ABC是等腰三角形21．解：延长AC到E，使CE=BM，连接DE，（如图）∵BD=DC，∠BDC=120°，∴∠CBD=∠BCD=30°，∵∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠ACD=∠DCE=90°，∴△BMD≌△CDE，∴∠BDM=∠CDE，DM=DE，又∵∠MDN=60°，∴∠BDM+∠NDC=60°，∴∠EDC+∠NDC=∠NDE=60°=∠NDM，又∵DN=DN，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN=NE=NC+CE=NC+BM，所以△AMN周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=2．22．解：∵BD平分∠ABC，DF⊥AB，∠C是直角，∴CD=DF，∠DBC=∠DBE，∠DFB=∠C，∴△BCD≌△BFD，∴BC=BF，∵DE∥BC，∴∠DBC=∠EDB，即∠DBC=∠DBE，∴△BDE是等腰三角形，∴BE=DE，∴BF=BC=DE+EF23．（1）证明：在等腰直角三角形ABC中，∵∠ACB=90°，∴∠CBA=∠CAB=45°．又∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°．∴∠BDE=45°．又∵BF∥AC，∴∠CBF=90°．∴∠BFD=45°=∠BDE．∴BF=DB．又∵D为BC的中点，∴CD=DB．即BF=CD．在△CBF和△ACD中，，∴△CBF≌△ACD（SAS）．∴∠BCF=∠CAD．又∵∠BCF+∠GCA=90°，∴∠CAD+∠GCA=90°．即AD⊥CF．（2）△ACF是等腰三角形，理由为：连接AF，如图所示，由（1）知：CF=AD，△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线，∴BE垂直平分DF，∴AF=AD，∵CF=AD，∴CF=AF，∴△ACF是等腰三角形．24．解：∵BP=PQ=QC=AP=AQ，∴∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°，∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ．又∵∠BAP+∠ABP=∠APQ，∠C+∠CAQ=∠AQP，∴∠BAP=∠CAQ=30°．∴∠BAC=120°．故∠BAC的度数是120°25．解：△AEC是等腰三角形．理由如下：∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=∠2+∠3，即∠BAC=∠DAE，又∵AB=AD，∠B=∠D，∴△ABC≌△ADE（ASA），∴AC=AE．即△AEC是等腰三角形26．①证明：∵∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS）；②∵△BCE≌△ACD，∴∠CBF=∠CAH．∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACH=60°．∴∠BCF=∠ACH，在△BCF和△ACH中，，∴△BCF≌△ACH（ASA），∴CF=CH；③∵CF=CH，∠ACH=60°，∴△CFH是等边三角形27．解：∵△ABC为等边三角形，∴AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°；又∵AE=CD，在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD；∴BE=AD，∠CAD=∠ABE；∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°；∵BQ⊥AD，∴∠AQB=90°，则∠PBQ=90°﹣60°=30°；∵PQ=3，∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=6；又∵PE=1，∴AD=BE=BP+PE=728．（1）证明：在等腰△ABC中，∵CH是底边上的高线，∴∠ACH=∠BCH，在△ACP和△BCP中，，∴△ACP≌△BCP（SAS），∴∠CAE=∠CBF（全等三角形对应角相等）；（2）在△AEC和△BFC中，∴△AEC≌△BFC（ASA），∴AE=BF（全等三角形对应边相等）．29．证明：∵AB=BC=CA，∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，在△ABE和△CAD中∴△ABE≌△CAD（SAS），∴∠ABE=∠CAD，∵∠BPQ=∠ABE+∠BAP，∴∠BPQ=∠CAD+∠BAP=∠CAB=60°，∵BQ⊥AD∴∠BQP=90°，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ．30．解：AD=EC．证明如下：∵△ABC和△BCD都是等边三角形，每个角是60°∴AB=EB，DB=BC，∠ABE=∠DBC=60°，∴∠ABE+∠EBC=∠DBC+∠EBC即∠ABD=∠EBC在△ABD和△EBC中∴△ABD≌△EBC（SAS）∴AD=EC。
等腰三角形的练习题
等腰三角形的练习题一、选择题1. 等腰三角形的两边相等，这个性质称为（）A. 对称性B. 等边性C. 等腰性D. 等角性2. 在等腰三角形中，底角相等的原因是（）A. 三角形内角和定理B. 等腰三角形的性质C. 相似三角形的判定D. 直角三角形的性质3. 等腰三角形的底边高等于腰上的高，这是因为（）A. 直角三角形的斜边中线性质B. 等腰三角形的三线合一性质C. 勾股定理D. 相似三角形的性质4. 已知等腰三角形的顶角为60°，那么这个三角形是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定5. 如果等腰三角形的底边长为10厘米，腰长为13厘米，那么其面积是（）A. 30平方厘米B. 65平方厘米C. 100平方厘米D. 无法计算二、填空题6. 等腰三角形的两个底角相等，其大小为______。
7. 如果等腰三角形的顶角为120°，那么底角的大小为______。
8. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，如果AB边上的高为h，那么AC边上的高也是______。
9. 等腰三角形的三线合一性质指的是______、______和______在同一直线上。
10. 如果等腰三角形的腰长为x，底边长为y，且x>y，那么面积公式为S=______。
三、解答题11. 已知等腰三角形的顶角为40°，求其底角的大小。
12. 一个等腰三角形的底边长为8厘米，腰长为10厘米，求其面积。
13. 证明：等腰三角形的底边上的中线、高线和角平分线重合。
14. 如果一个三角形的两边相等，且这两边所夹的角为70°，求这个三角形的另外两个内角的大小。
15. 已知等腰三角形的周长为32厘米，底边长为10厘米，求其腰长。
四、应用题16. 一个等腰三角形的花园，其底边长为20米，腰长为13米。
如果需要在花园的周围铺设一圈围栏，问需要多少米的围栏？17. 在一个等腰三角形ABC中，AB=AC，AB边上的高为h，求证：AC边上的高也是h。
完整版)等腰三角形专项练习题
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1.在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，已知∠A=36°，求∠1的度数。
解：由BD平分∠XXX可知∠ABD=∠CBD，又因为AB=AC，所以∠BAC=2∠ABD=2∠CBD，即∠1=180°-∠BAC=108°。
2.已知等腰三角形的两边长分别为5和6，求该等腰三角形的周长。
解：设等腰三角形的底边为x，则根据勾股定理可得x²=6²-(5/2)²=31.25，即x=√31.25，所以周长为2x+5+6=2√31.25+11≈17.5.3.在一张长为18厘米，宽为16厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其它两个顶点在矩形的边上，求剪下的等腰三角形的面积。
解：如图，设剪下的等腰三角形为△ABC，其中AB=AC=10，BC=x，则根据勾股定理可得x²=16²-10²=196，即x=14.所以△ABC的面积为(1/2)×10×14=70平方厘米。
4.如图，在等腰三角形ABC中，∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，判断下列结论的正确性：①△BDF、△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④BD=CE。
解：①正确，因为∠XXX∠XXX∠XXX∠XXX∠BAC/2，所以△BDF、△CEF都是等腰三角形；②正确，因为根据相似三角形可得BD/BC=AD/AC，CE/BC=AE/AC，又因为AD=AE，所以BD=CE，即DE=2BD；③错误，因为AB+AC=2AB≠AD+DE+EA=AD+2BD；④正确，因为根据相似三角形可得BD/BC=AD/AC，CE/BC=AE/AC，又因为AD=AE，所以BD=CE。
【基础练习】《等腰三角形》(数学沪科版八上)【含答案】
15.3 《等腰三角形》基础练习第 1 课时《等腰三角形的性质定理及推论》一、选择题1．已知等腰三角形的顶角为40°，则这个等腰三角形的底角为（）A．40°B．70°C． 100 °D．140 °2．若等腰三角形中有两边长分别为 2 和5，则这个三角形的第三条边长为（）A．2 或5B． 3C． 4D． 53．如图，AB∥ CD， AD=CD，∠ 1=65 °，则∠ 2 的度数是（）A．50°B．60°C． 65°D．70°4．如图， AD，CE分别是△ ABC的中线和角均分线．若AB=AC，∠ CAD=20°，则∠ACE的度数是（）A．20°B．35°C． 40°D． 70°5．若实数 m、n 知足等式 |m ﹣ 2|+=0，且 m、 n 恰巧是等腰△ ABC 的两条边的边长，则△ ABC的周长是（）A．12B．10C．8 D．66．若等腰三角形的一个外角等于140 °，则这个等腰三角形的顶角度数为（）A．40°B．100 °C． 40°或 70°D． 40°或 100 °7．如图，已知DE∥ BC， AB=AC，∠ 1=125 °，则∠ C 的度数是（）A．55°B．45°C． 35°D． 65°8．如图，△ ABC中， AD⊥ BC， AB=AC，∠ BAD=30°，且 AD=AE，则∠ EDC等于（）A．10°B． 12.5 °C． 15°D． 20°二、填空题9．等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为．10．一个等腰三角形的两边长分别为4cm 和 9cm ，则它的周长为cm．11．已知等腰三角形的一个外角为130 °，则它的顶角的度数为．12．如图，△ ABC中．点 D 在 BC边上， BD=AD=AC， E 为 CD 的中点．若∠CAE=16°，则∠ B 为度．13．我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特点值”，记作k，若 k=，则该等腰三角形的顶角为度．三、解答题14．如图，点D、 E 在△ ABC 的 BC 边上， AB=AC，AD=AE．求证： BD=CE．15．如图，△ ABC是等边三角形，BD 是中线，延伸BC 至 E，CE=CD，（1）求证： DB=DE．（2）在图中过 D 作 DF⊥ BE交 BE于 F，若 CF=4，求△ ABC 的周长．第2课时一、选择题1．以以下各组数据为边长，能够组成等腰三角形的是（）A．1， 1， 2B． 1，1，3C． 2，2， 1D． 2，2，52．在△ABC 中，其两个内角以下，则能判断△ABC为等腰三角形的是（）A．∠ A=40°，∠ B=50B．∠ A=40°，∠ B=60°C．∠ A=40°，∠ B=70D．∠ A=40°，∠ B=80°AB 于点E，3．如图，在△ABC中，∠ A=36°，∠ C=72°，点 D 在AC 上， BC=BD， DE∥ BC交则图中等腰三角形共有（）A．3 个B．4 个C．5 个D．6 个4．如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A， B 是两格点，假如 C 也是图中C 的个数是（）的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点A．6B． 8C．9D．105．以下条件中，不可以判断△ABC 是等腰三角形的是（）A．a=3，b=3 ，c=4B． a： b： c=2： 3： 4C．∠ B=50°，∠ C=80°D．∠ A：∠ B：∠ C=1： 1：26．已知△ ABC 的三条边长分别为3，4，6，在△ ABC所在平面内画一条直线，将△ABC切割成两个三角形，使此中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．5 条B．6 条C．7 条D．8 条7．以下三角形，不必定是等边三角形的是（）A．有两个角等于60°的三角形B．有一个外角等于120 °的等腰三角形C．三个角都相等的三角形D．边上的高也是这边的中线的三角形8．如图， A、B 两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为 1 的正方形，点 C 也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则切合条件是点C共有（）个．A．8B．9C． 10D． 11二、填空题9．如图，在△ABC中，∠ ACB=90°，∠ BAC=40°，在直线 AC上找点 P，使△ ABP 是等腰三角形，则∠ APB的度数为．10．如图已知OA=a， P 是射线 ON 上一动点，∠ AON=60°，当 OP=时，△ AOP为等边三角形．11．如图，在3× 3 的网格中有A、B 两点，任取一个格点E，则知足△EAB是等腰三角形的点 E 有个．12．在△ ABC中，∠ A=80°，当∠ B= 13．如图，以下 4 个三角形中，均有这个三角形分红两个小等腰三角形的是时，△ ABC 是等腰三角形．AB=AC，则经过三角形的一个极点的一条直线不可以够将（填序号）．三、解答题14．如图， BD 是△ ABC的角均分线，DE∥ BC 交 AB 于点 E．（1）求证： BE=DE；（2）若 AB=BC=10，求 DE 的长．15．已知：如图，AB=AC，∠ ABD=∠ ACD，求证： BD=CD．第3课时一、选择题1．如图∠ AOP=∠ BOP=15°， PC∥ OA， PD⊥ OA，若 PC=10，则 PD 等于（）A．10B．C． 5D．2.52．如图，在Rt△ ABC中，∠C=90°， AB=2BC，则∠A=（）A．15°B． 30°C． 45°D． 60°3．如图，在Rt△ ABC中，∠ C=90°，∠ A=30°， BC=4cm，则 AB 等于（）A．9 cm B． 8 cm C． 7cm D． 6cm4．如图，在等边△ABC中，BD 均分∠ABC交AC于点D，过点D 作 DE⊥BC于点E，且AB=6，则 EC的长为（）A 3B 4.5C 1.5D 7.55．△ ABC中，∠A：∠ B：∠ C=1： 2： 3，最小边BC=3cm，则最长边AB 的长为（）A．9cm B． 8cm C． 7cm D． 6cm6．如图，在△ABC中，∠ ACB=90°， CD是高，∠A=30°，AB=8，则BD=（）A．2B．3C． 4D．67．某市为了美化环境，计划在以下图的三角形空地上栽种草皮，已知这类草皮每平方米售价为 a 元，则购置这类草皮起码需要（）A．450a 元B． 225a 元C．150a 元D． 300a 元8．如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB=6m，∠ A=30°，则 DE等于（）A．1.5m B． 2m C． 2.5m D． 3m二、填空题9．在 Rt△ ABC中，∠ A=30°，∠ B=90°， AC=10，则 BC=10．如图，在△A BC 中，∠ ACB=90°，∠ A=30°，以点 C 为圆心， CB 长为半径作圆弧，交AB 于点 D，若 CB=4，则 BD 的长为．11．如图，在Rt△ ABC 中，∠ C=90°，∠ ABC=60°， AB 的垂直均分线分别交AB 与 AC 于点 D 和点 E，若 CE=2，则 AB 的长为12．已知等腰三角形的底角为15°，腰长为 8cm，则腰上的高为．13．如图，在△A BC 中，∠ B=∠ C=60°，点 D 在 AB 边上， DE⊥ AB，并与 AC 边交于点E．如果 AD=1， BC=6，那么 CE等于．三、解答题14．如图，在△A BC 中， BA=BC，∠ B=120°，线段AB 的垂直均分线MN 交 AC 于点 D，且AD=8cm．求：（1）∠ ADG 的度数；（2）线段 DC的长度．15．某轮船由西向东航行，在 A 处测得小岛 P 的方向是北偏东 75°，又持续航行 7 海里后，在 B处测得小岛 P 的方向是北偏东 60°，求：（ 1）此时轮船与小岛P 的距离 BP 是多少海里．（2）小岛点 P 方圆 3 海里内有暗礁，假如轮船持续向东履行，请问轮船有没有触礁的危险？请说明原因．参照答案第1课时1．解：∵等腰三角形的顶角为50°，∴这个等腰三角形的底角为：（ 180°﹣ 40°）÷ 2=70°，应选： B．2．解：当腰为 5 时，依据三角形三边关系可知此状况建立，这个三角形的第三条边长为5；当腰长为 2 时，依据三角形三边关系可知此状况不建立；应选： D．3．解：∵ AB∥ CD，∴∠ 1=∠ ACD=65°，∵ AD=CD，∴∠ DCA=∠ CAD=65°，∴∠ 2 的度数是： 180°﹣ 65°﹣ 65°=50°．应选： A．4．解：∵ AD 是△ ABC 的中线， AB=AC，∠ CAD=20°，∴∠ CAB=2∠ CAD=40°，∠ B=∠ ACB=（180°﹣∠ CAB）=70°．∵ CE是△ ABC的角均分线，∴∠ ACE= ∠ ACB=35°．应选： B．5．解：∵ |m ﹣ 2|+=0，∴m﹣2=0， n﹣ 4=0，解得 m=2， n=4，当 m=2 作腰时，三边为 2，2， 4，不切合三边关系定理；当 n=4 作腰时，三边为2， 4， 4，切合三边关系定理，周长为：2+4+4=10．应选： B．6．解：①若顶角的外角等于140 °，那么顶角等于 40°，两个底角都等于70°；②若底角的外角等于140°，那么底角等于40°，顶角等于100°．应选： D．7．解：∵∠ 1=125 °，∴∠ ADE=180°﹣125°=55°，∵DE∥BC， AB=AC，∴AD=AE，∠ C=∠ AED，∴∠ AED=∠ ADE=55°，又∵∠ C=∠ AED，∴∠C=55°．应选：A．8．解：∵△ ABC中， AD⊥ BC， AB=AC，∠ BAD=30°，∴∠ DAC=∠BAD=30°（等腰三角形的顶角均分线、底边上的中线、底边上的高互相重合），∵AD=AE（已知），∴∠ ADE=75°∴∠ EDC=90°﹣∠ADE=15°．应选： C．9．解：∵等腰三角形底角相等，∴180°﹣50°×2=80°，∴顶角为 80°．故填 80°．10．解：①当腰是4cm ，底边是9cm 时：不知足三角形的三边关系，所以舍去．②当底边是4cm，腰长是9cm 时，能组成三角形，则其周长=4+9+9=22cm．故填 22．11．解：当50°为顶角时，其余两角都为65°、 65°，当50°为底角时，其余两角为50°、80°，所以等腰三角形的顶角为 50°或 80°．故答案为： 50°或 80°．12．解：∵ AD=AC，点 E 是 CD 中点，∴AE⊥ CD，∴∠ AEC=90°，∴∠ C=90°﹣∠CAE=74°，∵ AD=AC，∴∠ADC=∠C=74°，∵ AD=BD，∴2∠ B=∠ ADC=74°，∴∠ B=37°，故答案为 37°．13．解：∵△ ABC中， AB=AC，∴∠ B=∠ C，“特点值”，记作k，若k=，∵等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的∴∠ A：∠ B=1： 2，即 5∠ A=180°，∴∠ A=36°，故答案为： 36．14．证明：如图，过点 A 作 AP⊥ BC于 P．∵ AB=AC，∴BP=PC；∵ AD=AE，∴DP=PE，∴BP﹣ DP=PC﹣ PE，∴BD=CE．15．（ 1）证明：∵△ ABC是等边三角形，BD 是中线，∴∠ ABC=∠ ACB=60°．∠DBC=30°（等腰三角形三线合一）．又∵ CE=CD，∴∠ CDE=∠CED．又∵∠ BCD=∠ CDE+∠CED，∴∠ CDE=∠CED=∠ BCD=30°．∴∠ DBC=∠ DEC．∴ DB=DE（等角平等边）；（2）∵∠ CDE=∠ CED= ∠ BCD=30°，∴∠ CDF=30°，∵ CF=4，∴ DC=8，∵ AD=CD，∴ AC=16，∴△ ABC的周长 =3AC=48．第2课时1．解： A、∵ 1+1=2，∴本组数据不可以够组成等腰三角形；故本选项错误；B、∵ 1+1＜ 3，∴本组数据不可以够组成等腰三角形；故本选项错误；C、∵1+2＞2，且有两边相等，∴本组数据能够组成等腰三角形；故本选项正确；D、∵ 2+2＜5，∴本组数据不可以够组成等腰三角形；故本选项错误；应选： C．2．解；当顶角为∠A=40°时，∠ C=70°≠ 50°，当顶角为∠ B=50°时，∠ C=65°≠40°所以 A 选项错误．当顶角为∠ B=60°时，∠ A=60°≠40°，当∠ A=40°时，∠ B=70°≠ 60°，所以 B 选项错误．当顶角为∠ A=40°时，∠ C=70°=∠ B，所以 C 选项正确．当顶角为∠ A=40°时，∠ B=70°≠ 80°，当顶角为∠ B=80°时，∠ A=50°≠40°所以 D 选项错误．应选： C．3．解：∵在△ABC中， AB=AC，∠ A=36°，∴∠ ABC=∠ C==72°，△ ABC是等腰三角形，∵BD 均分∠ ABC，∴∠ABD=∠ DBC=36°，∵DE∥BC，∴∠ EDB=∠ DBC=36°，∴∠ ABD=∠ EDB=∠A，∴AD=BD， EB=ED，即△ ABD 和△ EBD是等腰三角形，∵∠ BDC=180°﹣∠ DBC﹣∠ C=72°，∴∠ BDC=∠ C，∴BD=BC，即△ BCD是等腰三角形，∵DE∥BC，∴∠ AED=∠ ABC，∠ ADE=∠ C，∴∠ AED=∠ ADE，∴AE=AD，即△ AED是等腰三角形．∴图中共有 5 个等腰三角形．应选： C．4．解：如图，分状况议论：① AB 为等腰△ ABC的底边时，切合条件的C点有 6 个；② AB 为等腰△ ABC此中的一条腰时，切合条件的 C 点有4 个．应选： D．5．解： A、∵ a=3， b=3，c=4，∴ a=b，∴△ ABC是等腰三角形；B、∵ a： b： c=2： 3： 4∴ a≠ b≠ c，∴△ ABC不是等腰三角形；C、∵∠ B=50°，∠ C=80°，∴∠ A=180°﹣∠ B﹣∠ C=50°，∴∠ A=∠ B，∴ AC=BC，∴△ ABC是等腰三角形；D、∵∠ A：∠ B：∠ C=1： 1： 2，∵∠ A=∠ B，∴ AC=BC，∴△ ABC是等腰三角形．应选： B．6．解：以下图：当 BC1=AC1， AC=CC2，AB=BC3， AC4=CC4， AB=AC5， AB=AC6， BC7=CC7时都能获得切合题意的等腰三角形．应选： C．7．解： A、依占有两个角等于60°的三角形是等边三角形，不合题意，故此选项错误；B、有一个外角等于120 °的等腰三角形，则内角为60°的等腰三角形，此三角形是等边三角形，不合题意，故此选项错误；C、三个角都相等的三角形，内角必定为60°是等边三角形，不合题意，故此选项错误；D、边上的高也是这边的中线的三角形，也可能是等腰三角形，故此选项正确．应选：D．8．解：①点 C 以点 A 为标准，AB 为底边，切合点 C 的有 5 个；②点 C 以点 B 为标准， AB 为等腰三角形的一条边，切合点 C 的有4 个．所以切合条件的点C共有 9 个．应选： B．9．解：∵在Rt△ ABC中，∠ C=90°，∠ A=40°，∴当 AB=BP1时，∠ BAP1=∠ BP1A=40°，当 AB=AP3 时，∠ ABP3=∠AP3B= ∠ BAC= × 40°=20°，当 AB=AP4 时，∠ ABP4=∠AP4B= ×（ 180°﹣40°）=70°，当 AP2=BP2时，∠ BAP2=∠ ABP2，∴∠ AP2B=180°﹣ 40°× 2=100°，∴∠ APB 的度数为： 20°、40°、70°、 100°．故答案为： 20°或 40°或 70°或 100°．10．解：∵ AON=60°，∴当 OA=OP=a时，△ AOP 为等边三角形．故答案是： a．11．解：如图，知足△ EAB是等腰三角形的点 E 有5 个，故答案为： 5．12．解：∵∠A=80°，∴①当∠ B=80°时，△ ABC是等腰三角形；②当∠ B=（ 180°﹣ 80°）÷ 2=50°时，△ ABC 是等腰三角形；③当∠ B=180°﹣ 80°× 2=20°时，△ ABC是等腰三角形；故答案为： 80°、 50°、20°．13．解：由题意知，要求“被一条直线分红两个小等腰三角形”，①中分红的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和 36°，72°72°，能；②不可以；③明显原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能；④中的为36°， 72， 72°和 36°， 36°， 108°，能．故答案为：②14．（ 1）证明：∵ BD 是△ ABC 的角均分线，∴∠ EBD=∠ CBD．∵DE∥BC，∴∠EDB=∠CBD．∴∠EDB=∠ EBD．∴BE=DE．（ 2）∵ AB=BC， BD 是△ ABC 的角均分线，∴ AD=DC．∵DE∥BC，∴，∴．∴DE=5．15．证明：连结BC．∵AB=AC（已知），∴∠ 1=∠ 2（等边平等角）．又∠ ABD=∠ ACD（已知），∴∠ ABD﹣∠ 1=∠ ACD﹣∠ 2（等式运算性质）．即∠ 3=∠ 4．∴ BD=DC（等角平等边）．第3课时1．解：∵ PC∥ OA，∴∠ CPO=∠ POA，∵∠ AOP=∠ BOP=15°，∴∠ AOP=∠ BOP=∠ CPO=15°，过点 P 作∠ OPE=∠CPO交于 AO 于点 E，则△ OCP≌△ OEP，∴PE=PC=10，∵∠ PEA=∠OPE+∠ POE=30°，∴PD=10× =5．应选： C．2．解：∵在Rt△ ABC中，∠ C=90°， AB=2BC，即 BC= AB，∴∠ A=30°，应选： B．3．解：∵在Rt△ ABC中，∠ C=90°，∠ A=30°， BC=4cm，∴AB=2BC=8cm，应选： B．4．解：∵△ ABC是等边三角形，∴∠ C=60°， AC=AB=BC=6，∵BD 均分∠ ABC交 AC 于点 D，∴CD= AC=3，∵ DE⊥BC，∴∠ CDE=30°，∵EC= CD=1.5．应选： C．5．解：设∠ A、∠ B、∠ C 分别为 k、2k、 3k，则 k+2k+3k=180°，解得 k=30°，2k=60 °，3k=90 °，∵最小边BC=3cm，∴最长边AB=2BC=2×3=6cm．应选： D．6．解：∴ CD 是高，∴∠ BDC=90°，∵∠ ACB=90°，∠ A=30°，∴∠ B=60°，BC= AB=× 8=4，∴∠ BCD=30°，∴BD= BC=2，应选： A．7．解：如图，作BH⊥ AC于 H，则∠ ABH=180°﹣∠ BAC=30°，在 Rt△ ABH 中， BH= AB=10，所以 S△ ABC=× 10× 30=150，所以购置这类草皮起码需要150a 元．应选： C．8．解：∵立柱BC、 DE 垂直于横梁AC，∴BC∥ DE，∵D是 AB中点，∴ AD=BD，∴ AE： CE=AD： BD，∴ AE=CE，∴ DE 是△ ABC的中位线，∴DE= BC，在 Rt△ ABC中， BC= AB=3，∴ DE=1.5．应选： A．9．解：∵∠ A=30°，∠ B=90°，∴BC= AC=5，故答案为： 5．10．解：如图，过 C 点作 BD 的垂直均分线交BD 于点 E，∵在△ ABC中，∠ ACB=90°，∠ A=30°， BC=4，∴∠ BCE=∠ A=30°， BE=BD，∴BE=2∴BD=2BE=4故答案为： 4．11．解：∵在Rt△ ABC中，∠ C=90°，∠ ABC=60°，∴∠ A=30°，∵DE 是线段 AB 的垂直均分线，∴ EA=EB， ED⊥ AB，∴∠ A=∠ EBA=30°，∴∠ EBC=∠ ABC﹣∠ EBA=30°，又∵ BC⊥ AC， ED⊥ AB，∴DE=CE=2．在直角三角形ADE 中， DE=2，∠ A=30°，∴AE=2DE=4，∴ AD==2 ，∴ AB=2AD=4．故答案为： 4．12．解：如图，过C作CD⊥AB，交BA延长线于D，∵∠ B=15°，AB=AC，∴∠ DAC=30°，∵CD 为 AB 上的高， AC=8cm，∴CD= AC=4cm．故答案为： 4cm．13．解：∵在△ABC 中，∠ B=∠ C=60°，∴∠ A=60°，∵DE⊥AB，∴∠ AED=30°，∵AD=1，∴AE=2，∵ BC=6，∴AC=BC=6，∴CE=AC﹣ AE=6﹣ 2=4，故答案为 4．14．解：（1 ）∵在△ ABC中，已知BA=BC，∴∠ A=∠ C（等边平等角）；又∵∠ B=120°，∴∠ A=（180°﹣120°）=30°（三角形内角和定理），∴∠ ADG=90°﹣30°=60°；（ 2）连结 BD．∵ AB 的垂直均分线DG 交 AC 于点 D，∴AD=BD，∠ A=∠ABD=30°，∴∠ CBD=90°；由（ 1）知∠ A=∠ C=30°，∴BD= CD（ 30°所对的直角边是斜边的一半），∴CD=2AD=2BD，∴AC=AD+CD=AD+2AD=3AD；又∵ AD=8cm，∴DC=16cm．15．解：（1 ）过 P 作 PD⊥AB 于点 D，∵∠ PBD=90°﹣ 60°=30°且∠ PBD=∠ PAB+∠ APB，∠ PAB=90﹣ 75=15°∴∠ PAB=∠ APB，∴BP=AB=7（海里）．（ 2）作 PD⊥ AB于 D，∵ A 处测得小岛 P 在北偏东 75°方向，∴∠ PAB=15°，∵在 B 处测得小岛 P 在北偏东 60°方向，∴∠ APB=15°，∴AB=PB=7海里，∵∠ PBD=30°，∴PD= PB=3.5＞ 3，∴该船持续向东航行，没有触礁的危险．。
初中数学：等腰三角形练习(含答案)
初中数学：等腰三角形练习（含答案）一、选择题1、等腰三角形一底角为50°,则顶角的度数为（）A、65B、70C、80D、40【答案】C【解析】试题分析：根据三角形的内角和定理求解.解：等腰三角形的顶角度数=180°-50°-50°=80°.故应选C考点：等腰三角形的性质2、如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD,CE分别为∠ABC,∠ACB的角平分线,则图中等腰三角形共有（）A． 5个B． 6个C．7个D．8个【答案】D【解析】试题分析：根据等腰三角形两底角相等和∠A=36°,求出∠ABC和∠ACB的度数,再根据角平分线的定义求出∠ABD、∠CBD、∠ACE、∠BCE的度数,利用三角形外角定理求出∠BOE、∠COD的度数,根据等角对等边进行判断.解：如下图所示,∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠ACB=72°,∵BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,∴∠ABD=∠C BD=∠ACE=∠BCE=∠A=36°,∴△ABD、△BCD、△ACE、△BCE、△OBC是等腰三角形；∴∠BEC=∠A+∠ACE=72°,∠BOE=∠BCE+∠CBD=72°,∴∠BEC=∠BOE,同理可得：∠CDO=∠COD,∴△BOE、△COD是等腰三角形；又△ABC是等腰三角形,∴共有8个等腰三角形.故应选D.考点：1.等腰三角形的性质；2.等腰三角形的判定3、下列条件中不能确定是等腰三角形的是（）A．三条边都相等的三角形B．一条中线把面积分成相等的两部分的三角形C．有一个锐角是45°的直角三角形D．一个外角的平分线平行于三角形一边的三角形【答案】D【解析】试题分析：根据等腰三角形的定义和等腰三角形的判定定理进行判断.解：A选项、三条边都相等的三角形是特殊的等腰三角形,故A选项正确；B选项、三角形任何一条边上的中线都能把三角形分成面积相等的两个三角形,故B选项错误；C选项、有一个锐角是45°的直角三角形的另一个锐角也是45°,根据等角对等边可得这是一个等腰三角形,故C选项正确；D选项、如果一个外角的平分线平行于三角形一边,利用平行线的性质可证三角形的两个角相等,根据等角对等边可证这是一个等腰三角形,故D选项正确.故应选B考点：等腰三角形的判定4、下列能断定△ABC为等腰三角形的是（）A．∠A=30°,∠B=60°B．∠A=50°,∠B=80°C． AB=AC=2,BC=4 D．AB=3,BC=7,周长为13【答案】B【解析】试题分析：根据等腰三角形的判定定理进行判断.解：A选项、若∠A=30°,∠B=60°,则∠C=90°,不能判定△ABC为等腰三角形；B选项、若∠A=50°,∠B=80°,则∠C=50°,根据等角对等边能判定△ABC为等腰三角形；C选项、若AB=AC=2,BC=4,因为2+2=4,所以不能构成三角形；D选项、若AB=3,BC=7,周长为13,则AC=3,因为3+3<7,所以不能构成三角形.故应选B.考点：等腰三角形的判定5、已知下列各组数据,可以构成等腰三角形的是（）A． 1,2,1 B．2,2,1 C． 1,3,1 D．2,2,5【答案】B【解析】试题分析：根据三角形三边的关系进行判断.解：A选项、因为1+1=2,所以不能构成三角形；B选项、因为2+1>2,能构成三角形,所以可以构成等腰三角形；C选项、因为1+1<3,所以不能构成三角形；D选项、因为2+2<5,所以不能构成三角形.故应选B.考点：三角形三边关系6、小明将两个全等且有一个角为60°的直角三角形拼成如图所示的图形,其中两条较长直角边在同一直线上,则图中等腰三角形的个数是（）Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．1【答案】B【解析】试题分析：根据直角三角形的性质求出各角的度数,根据等角对等边进行判断. 解：∵∠B=∠E=60°,∴∠A=∠D=30°,∴△MAD是等腰三角形；∵∠EMG-∠A+∠D=60°,∴△EGM是等腰三角形；同理可证△BHM是等腰三角形.∴共有三个等腰三角形.故应选B考点：1.直角三角形的性质；2.等腰三角形的判定二、填空题7、一个等腰三角形的两边分别为3cm和4cm,则它的周长为_________；【答案】10cm或11cm【解析】试题分析：根据三角形的周长公式分情况进行计算.解：当三角形三边分别是3cm、3cm、4cm时,三角形的周长是3+3+4=10cm；当三角形三边分别是3cm、4cm、4cm时,三角形的周长是3+4+4=11cm.故答案是10cm或11cm.考点：等腰三角形的性质8、在方格纸上有一个△ABC,它的顶点位置如图所示,则这个三角形是三角形.【答案】等腰【解析】试题分析：根据点A在BC的垂直平分线上,可证AB=AC,所以这个三角形是等腰三角形.解：∵点A在BC的垂直平分线上,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.故答案是等腰.考点：1.线段垂直平分线的性质；2.等腰三角形的定义9、如果一个三角形有两个角分别为80°,50°,则这个三角形是_________三角形．【答案】等腰【解析】试题分析：根据三角形内角和求出三角形的另一个内角,根据等角对等边进行判断.解：∵第三个角=180°-50°-80°=50°.∴这个三角形是等腰三角形.故答案是等腰.考点：等腰三角形的判定10、用若干根火柴（不折断）紧接着摆成一个等腰三角形,一边用了10根火柴,则至少还要用_________根火柴．【答案】11【解析】试题分析：根据用10根火柴组成的边是等腰三角形的底边和腰,分两种情况进行讨论.解：当用10根火柴组成的边是等腰三角形的底边时,则每个腰上至少用6根火柴棍,∴共需要12根火柴棍；当用10根火柴组成的边是等腰三角形的腰时,则另一个腰上需要用10根火柴棍,底边至少用1根火柴,∴共需要11根火柴棍.∴至少还要用11根火柴.故答案是11.考点：1.等腰三角形的定义；2.三角形三边关系11、如图,△ABC是等腰三角形,且AB=AC,BM,CM分别平分∠ABC,∠ACB,DE 经过点M,且DE∥BC,则图中有_________个等腰三角形．【答案】5【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB,根据平行线的性质可证∠ADE=∠AED,根据角平分线的性质可证∠DBM=∠MBC=∠DMB=∠EMC=∠ECM=∠BCM,根据等角对等边进行证明.解：∵△ABC是等腰三角形,∴∠ABC=∠ACB,∵DE∥BC,∴∠ADE=∠AED,∴△ADE是等腰三角形；∵BM平分∠ABC,∴∠DBM=∠CBM,∵BC∥DE,∴∠DMB=∠CBM,∴∠DBM=∠DMB,∴△DBM是等腰三角形,同理可得△EMC是等腰三角形；又∵∠ABC=∠ACB,∴∠MBC=∠MCB,∴△MBC是等腰三角形.∵△ABC是等腰三角形.∴共有5个等腰三角形.故答案是5.考点：1.等腰三角形的性质；2.等腰三角形的判定三、解答题12、已知：如图,OA平分∠BAC,∠1=∠2．求证：△ABC是等腰三角形．【答案】证明见解析【解析】试题分析：首先过点O作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,根据角平分线的性质可证OE=OF,根据HL可证Rt△OBE≌Rt△OCF,利用全等三角形的性质可证∠5=∠6,所以可证∠ABC=∠ACB,根据等角对等边可证结论成立.证明：如下图所示,过点O作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,∵AO平分∠BAC,∴OE=OF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．∵∠1=∠2,∴OB=OC．∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）．∴∠5=∠6．∴∠1+∠5=∠2+∠6．即∠ABC=∠ACB．∴AB=AC．∴△ABC是等腰三角形．考点：1.角平分线的性质；2.等腰三角形的判定定理；3.全等三角形的判定和性质13、如图,△ABC中,∠A=36°,AB=AC,CD平分∠ACB,试说明△BCD是等腰三角形．【答案】证明见解析【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质求出∠B=∠ACB=72°,根据角平分线的定义可以求出∠ACD=∠A=36°,根据三角形外角的性质可以求出∠ADB=72°,再根据等角对等边可证结论成立.证明：∵∠A=36°,AB=AC,∴∠B=∠ACB=72°,∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠A=36°,∴∠BDC=∠A+∠ACD,∴∠BDC=∠B=72°,∴△BCD是等腰三角形．考点：1.等腰三角形的性质；2.等腰三角形的判定14、如图,ABC△中,∠ABC、∠ACB的平分线交于点F,过点F作DE∥BC分别交AB、AC于D、E,已知△ADE的周长为20cm,且BC=12cm,求△ABC的周长【答案】32cm.【解析】试题分析：首先根据角平分线的性质可证∠DBF=∠FBC,根据平行线的性质可证∠DFB=∠DBF,所以可证BD=DF,同理可证EC=EF,所以可证AD+AE+DF+EF=20cm,再根据BC的长度求出△ABC的周长.解：∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点F,∴∠DBF=∠FBC,又∵DE∥BC,∴∠DFB=∠FBC,∴∠DFB=∠DBF,∴BD=DF,同理EC=EF,∵△ADE的周长为20cm,∴AD+AE+DF+EF=20cm,∴AD+AE+BD+EC=AB+AC=20cm又∵BC=12cm,∴AB+AC+BC=32cm即△ABC的周长为32cm.考点：1.等腰三角形的判定；2.等腰三角形的性质。
等腰三角形典型例题练习含答案
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性质：两腰相等，底边与两腰之间 的比例为固定值
应用：在几何问题和实际问题中， 利用等腰三角形的边长比例解决问 题
等腰三角形的边长计算
等腰三角形的两 腰相等，底边与 两腰之间的夹角 相等。
等腰三角形的边 长关系可以根据 勾股定理进行计 算。
等腰三角形的高、 中线和角平分线 等性质可用于计 算边长。
等腰三角形的角度关系
第四章
等腰三角形的角度性质
等腰三角形的顶角与底角互 补，即它们的角度之和为 180度。
等腰三角形的两个底角相等， 即两个角大小相等。
等腰三角形的一个角为顶角， 其余两个角为底角，且三个 角度之和为180度。
等腰三角形的一个角为底角， 其余两个角为顶角，且三个 角度之和为180度。
等腰三角形的角度计算
等腰三角形两底角相等，角度和为180度 顶角与底角的角度关系：顶角 = 180度 - 2 × 底角度数 等腰三角形的高、中线和角平分线重合 等腰三角形中的角度计算可以通过三角函数或勾股定理进行求解
等腰三角形的角度证明
等腰三角形两底角相等，证明方法 为取等腰三角形ABC，作底边BC的 中点D，连接AD，则 ∠BAD=∠CAD。
自然界：蜂巢、蜘蛛网等自然现象 中经常出现等腰三角形的形状。
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建筑学：等腰三角形在建筑设计中 有广泛的应用，如金字塔、塔楼等。
艺术创作：等腰三角形在绘画、雕 塑和图案设计中常被用作基本构图 元素。
等腰三角形在实际问题中的应用
桥梁设计：利用等腰三角形的性质，实现桥梁的稳定和平衡 建筑结构：等腰三角形在建筑设计中用于增强结构的稳定性 机械零件：等腰三角形的特殊性质使其在某些机械零件中具有特殊用途 自然界中的等腰三角形：例如蜂巢、蜘蛛网等自然现象中存在等腰三角形的实际应用
(完整版)等腰三角形基础题练习
等腰三角形基础题练习1．一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为(）2．若等腰三角形的两边长分别为5和6,则这个等腰三角形的周长为()A. 11B. 16C。
17 D. 16或173．已知一等腰三角形的两边长x，y满足方程组错误!则此等腰三角形的周长为__ __．4．如图，AC平分∠BAD，CD⊥AD，CB⊥AB，连结B D。
，图中等腰三角形有__ _ 对5．已知等腰三角形ABC的底边BC的长为8，且|AC－BC｜＝2，则腰AC的长为（）A．10或6 B．10C．6 D．8或66．若等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为20°，则顶角的度数是．7．有一个等腰三角形，三边长分别为3x－2，4x－3,6－2x,则这个等腰三角形的周长为8如图,在▱ABCD中，，,的平分线交BA的延长线于点E，则AE的长为9如图，是由绕点O顺时针旋转后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且的度数为,则的度数是A. B. C. D。
10如果一个等腰三角形的一个角为，则这个三角形的顶角为11如图，中，，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D和E，则的周长是12已知a、b、c是的三条边,且满足，则是A。
锐角三角形B。
钝角三角形C。
等腰三角形 D. 等边三角形13如图，下列条件不能推出是等腰三角形的是A.B。
，C. ，D。
，14如图,在中,,，,AD平分，交BC于点D,于E，则______ ．15如图,，OC平分，如果射线OA上的点E满足是等腰三角形，那么的度数为______．16如图，在中，，，，点P从点B开始以的速度向点C移动，当要以AB为腰的等腰三角形时,则运动的时间为______．17平行四边形ABCD中，的角平分线BE将边AD分成长度为5cm和6cm的两部分，则平行四边形ABCD 的周长为______cm．18如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12,腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F,若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则的周长的最小值为______．19如图,中，点D在边BC上，若，，则______度20如图，在中,,AB的垂直平分线MN交AC于D点若BD平分，则______21.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB，AC为边在△ABC的外侧作两个等边三角形△ABE和△ACD,且∠EDC=40°,则∠ABC的度数为°22。
等腰三角形经典练习题(5套)附带详细答案
练习一一、选择题1．等腰三角形的周长为26㎝，一边长为6㎝，那么腰长为（）Ａ．6㎝Ｂ．10㎝Ｃ．6㎝或10㎝Ｄ．14㎝2．已知△ABC，AB =AC，∠B=65°，∠C度数是( )A．50° B．65° C．70° D． 75°3．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（）A．过顶点的直线B．底边的垂线C．顶角的平分线所在的直线D．腰上的高所在的直线/二、填空题4．等腰三角形的两个_______相等（简写成“____________”）．5．已知△ABC，AB =AC，∠A=80°，∠B度数是_________．6．等腰三角形的两个内角的比是1：2，则这个等腰三角形的顶角的度数是_______________．7．等腰三角形的腰长是6，则底边长5，周长为__________．三、解答题8．如图AB=AD，AD∥BC，求证：BD平分∠ABC．（写出每步证明的重要依据）[9．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数.一、选择题1．B2．B3．C二、填空题4．底角，等边对等角~5．50°6．36°或90°7．16或17三、解答题8．如图AB=AD，AD∥BC，求证：BD平分∠ABC．证明：∵AB=AD（已知）∴∠ABD=∠ADB（等边对等角）∵AD∥BC（已知）∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）∴∠ABD=∠CBD（等量代换）|∴BD平分∠ABC．（角平分线定义）9．45练习2一、选择题1．△ABC是等边三角形，D、E、F为各@边中点，则图中共．有正三角形( )A．2个 B．3个C．4个 D．5个2．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则BC：AB等于 ( )A． 2：1 B．1：2 C．1：3 D．2 ：3二、填空题3．等边三角形的周长为6㎝，则它的边长为 ________．4．等边三角形的两条高线相交所成钝角的度数是__________．5．在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则△ABC是_____三角形．6．△ABC中，∠AC B=90°∠B=60°，BC=3㎝，则AB=_______．—三、解答题7．△ABC是等边三角形，点D在边BC上，DE∥AC，△BDE是等边三角形吗试说明理由．8．已知：如图，P，Q是△ABC边上BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数．《9．已知：△ABC中，∠ACB=90°，AD=BD，∠A=30°，求证：△BDC是等边三角形．一、选择题[AQ CPB1．D 2．B二、填空题 3．2㎝ 4．120° 5．等边 6．6㎝ 三、解答题7．△ABC 是等边三角形．理由是 ∵△ABC 是等边三角形；∴∠A =∠B =∠C=60° ∵DE ∥AC ，∴∠BED =∠A=60°，∠BDE =∠C =60° ∴∠B =∠BED =∠BDE ∴△ABC 是等边三角形 8．∠BAC=120°9．证明：∵△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°（已知）∴∠A +∠B=90°（直角三角形两锐角互余）》∴∠B= 90°－∠A= 90°－30°=60°∵△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°（已知） ∴BC=（在直角三角形中，一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半）∴△BDC 是等边三角形（有一个角是60°角的等腰三角形是等边三角形）。
小学数学等腰三角形练习题
小学数学等腰三角形练习题练习题一：等腰三角形基础知识练习1. 已知一个等腰三角形的底边长为10cm，顶角为60°，求其两边的长度。
2. 等腰三角形的两条等边边长分别为8cm，三角形的底边长为12cm，求三角形的周长。
3. 等腰三角形的两条等边边长为AB=6cm，BC=6cm，BD是等腰三角形BCD的高，求BD的长度。
4. 如果一个等腰三角形的顶角是80°，底边长为12cm，求两边的长度。
5. 若等腰三角形ABC中，角B的度数是40°，且边AC的长度为10cm，则边AB的长度是多少？练习题二：等腰三角形性质练习1. 等腰三角形的两个底角分别是 50°，求其顶角的度数。
2. 具有两个等长边的三角形一定是等腰三角形吗？为什么？3. 对于任意一个等腰三角形，它的顶角一定等于两个底角的和吗？请举例说明。
4. 若一个等腰三角形的两个底角之和为110°，求其顶角的度数。
5. 等腰三角形的两个底角分别是 x°，那么顶角的度数是多少？练习题三：等腰三角形的面积计算1. 一个等腰三角形的底边长为6cm，顶角为60°，求其面积。
2. 若等腰三角形的两边的长度为8cm，底边的长度为10cm，求其面积。
3. 已知等腰三角形的底边长为12cm，顶角为45°，求其面积。
4. 如果一个等腰三角形的两边的长度都是5cm，底边长为4cm，求其面积。
5. 若一个等腰三角形的面积为24cm²，底边长为6cm，求其两边的长度。
练习题四：等腰三角形的性质综合练习1. 一个等腰三角形的底边长为8cm，顶角为30°，求其周长。
2. 若等腰三角形的两边的长度为10cm，底边的长度为6cm，求其顶角的度数。
3. 如果一个等腰三角形的两个底角之和为120°，求其周长。
4. 已知等腰三角形的底边长为16cm，顶角为75°，求其面积。
等腰三角形练习
等腰三角形练习一1．（2012•镇江）边长为a 的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（ ） A.a )21(315⨯ B.a )31(215⨯ 3．（ C. a )21(316⨯ D. a )31(216⨯ 2．（2012•肇庆）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（ ） A ．16B ．18C ．20D ．16或203．（2012•潍坊）轮船从B 处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B 处观测灯塔A 位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C 处，在C 处观测灯塔A 位于北偏东60°方向上，则C 处与灯塔A 的距离是（ ）海里． A ．253B ．252C ．50D ．254．（2012•铜仁地区）如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于M ，交AC 于N ，若BM+CN=9，则线段MN 的长为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．95．（2012•泰安）如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，对角线AC 的垂直平分线分别交AD 、AC 于点E 、O ，连接CE ，则CE 的长为（ ） A ．3B ．3.5C ．2.5D ．2.86．（2012•深圳）如图，已知：∠MON=30°，点A 1、A 2、A 3…在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3…在射线OM 上，△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4…均为等边三角形，若OA 1=1，则△A 6B 6A 7的边长为（ ）A ．6 B ．12 C ．32 D ．647．（2012•三明）如图，在平面直角坐标系中，点A 在第一象限，点P 在x 轴上，若以P ，O ，A 为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P 共有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个8．（2012•日照）如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB 中，作内接正方形A 1B 1C 1D 1；在等腰直角三角形OA 1B 1中，作内接正方形A 2B 2C 2D 2；在等腰直角三角形OA 2B 2中，作内接正方形A 3B 3C 3D 3；…；依次作下去，则第n 个正方形A n B n C n D n 的边长是（ ）A.131-n B.n 31 C. 131+n D. 231+n10．（2012•宁波）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为（ ） A ．90B ．100C ．110D ．12111．（2012•济宁）如图，在平面直角坐标系中，点P 坐标为（-2，3），以点O 为圆心，以OP 的长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点A ，则点A 的横坐标介于（ ） A ．-4和-3之间B ．3和4之间C ．-5和-4之间D ．4和5之间12．（2012•济南）如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为（ ）A.12+ B.5 C.5145D.2513．（2012•镇江）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 的中点，连接DE 并延长交CB 的延长线于点F ，点G 在边BC 上，且∠GDF=∠ADF ．（1）求证：△ADE ≌△BFE ； （2）连接EG ，判断EG 与DF 的位置关系并说明理由．14（2012•遵义）如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，P 是AC 边上一动点，由A 向C 运动（与A 、C 不重合），Q 是CB 延长线上一点，与点P 同时以相同的速度由B 向CB 延长线方向运动（Q 不与B 重合），过P 作PE ⊥AB 于E ，连接PQ 交AB 于D ．（1）当∠BQD=30°时，求AP 的长；（2）当运动过程中线段ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED 的长；如果变化请说明理由．第1题图 第3题图 第4题图第5题图 第6题图9．（2012•攀枝花）已知实数x ，y 满足|x-4|+8-y =0，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的第7题图第8题图 第10题图第11题图等腰三角形练习二1．（2012•贵阳）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB 的垂直平分线DE 交于BC 的延长线于F ，若∠F=30°，DE=1，则EF 的长是（ ） A ．3B ．2C ．3D ．12．（2012•贵港）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=90°，AD=5，BC=9，以A 为中心将腰AB 顺时针旋转90°至AE ，连接DE ，则△ADE 的面积等于（ ） A ．10 B ．11C ．12D ．133．（2012•广州）BC 中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C 到AB 的距离是（ ） A.536 B.2512 C.49 D.4334．（2012•广安）已知等腰△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，且AD=21BC ，则△ABC 底角的度数为（ ）A ．45°B ．75°C ．45°或75°或15°D ．60° 5．（2012•长春）如图，在平面直角坐标系中，在x 轴、y 轴的正半轴上分别截取OA 、OB ，使OA=OB ；再分别以点A 、B 为圆心，以大于21AB 长为半径作弧，两弧交于点C ．若点C 的坐标为（m-1，2n ），则m 与n 的关系为（ ） A ．m+2n=1B ．m-2n=1C ．2n-m=1D ．n-2m=16．如图，在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC 、BD 平分∠ABC ．若△ABD 的周长比△BCD 的周长多1厘米，则BD 的长是（ ） A ．0.5厘米B ．1厘米C ．1.5厘米D ．2厘米7．如图，△ABC 中，AB+BC=10，AC 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 和E ，则△BCD 的周长是（ ）A ．6 B ．8 C ．10 D ．无法确定8．如图，已知等边△ABC 的周长为6，BD 是AC 边的中线，E 为BC 延长线上一点，CD=CE ，那么△BDE 的周长是（ ）A ．5+23 B ．5+3 C ．3+23 D ．3+39．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，DE ∥BC ，若AB=8，AC=6，则△ADE 的周长是（ ）A ．7 B ．10 C ．14 D ．2010．如图，点O 是△ABC 中∠ABC 与∠ACB 的平分线的交点，OD ∥AB 交BC 于D 点，OE ∥AC交BC 于E 点，若BC=20cm ，则△ODE 的周长为（ ） A ．16cm B ．18cm C ．20cm D ．22cm 11．如图所示．△ABC 中，∠B=∠C ，D 在BC 上，∠BAD=50°，AE=AD ，则∠EDC 的度数为（ ） A ．15°B ．25°C ．30°D ．50°12．如图，∠B 、∠C 的平分线相交于F ，过点F 作DE ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，那么下列结论正确的是①△BDF 、△CEF 都是等腰三角形；②DE=BD+CE ；③△ADE 的周长为AB+AC ；④BD=CE ．（ ） A ．③④B ．①②C ．①②③D ．②③④13．如图1，点B 是线段AD 上一点，△ABC 和△BDE 分别是等边三角形，连接AE 和CD ．（1）求证：AE=CD ；（2）如图2，点P 、Q 分别是AE 、CD 的中点，试判断△PBQ 的形状，并证明．14．如图，在等边△ABC 中，线段AM 为BC 边上的中线．动点D 在直线AM 上时，以CD 为一边且在CD 的下方作等边△CDE ，连接BE ．（1）填空：当点D 运动到点M 时，∠ACE= 度； （2）当点D 在线段AM 上（点D 不运动到点A ）时，求证：△ADC ≌△BEC ；（3）若AB=8，以点C 为圆心，以5为半径作⊙C 与直线BE 相交于点P 、Q 两点，在点D 运动的过程中（点D 与点A 重合除外），试求PQ 的长．第1题图 第2题图 第5题图 第7题图 第6题图第8题图 第9题图 第10题图 第11题图 第12题图等腰三角形练习三1．如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB ，BD ⊥CD ，∠A=∠ABD ，若AC=5，BC=3，则BD 的长为（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.52．已知如图等腰△ABC ，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥BC 于点D ，点P 是BA 延长线上一点，点O 是线段AD 上一点，OP=OC ，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC 是等边三角形；③AC=AO+AP ；④S △ABC =S 四边形AOCP ．其中正确的有（ ）个． A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．①②③④ 3．如图，在下列三角形中，若AB=AC ，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ） A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④4．（2006•天津）如图，P 、Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ ，则∠ABC 的大小等于 度． 5．（2006•嘉峪关）如图，△ABC 为等边三角形，D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，且AE=CD=BF ，则△DEF 为 三角形． 6．等腰三角形有一个角是60°，其中一边的长为a ，其周长为 ．7．如图所示，P 是等边三角形ABC 内一点，将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转60°，得到△CBP′，若PB=3，则PP′= ．8．△ABC 中，AB=AC ，∠A=∠C ，则∠B= 度．9．直线与1y x =-两坐标轴分别交于A 、B 两点，点C 在坐标轴上，若△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 最多有（ ）。
等腰三角形练习(含答案)
1.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=20°，AD=BC，求∠BDC。
2.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=80°，∠PBA=30°，∠PAB=10°，求∠ACP3.如图，已知∠BAD=∠DAC=9°，AD⊥AE，且AB+AC=BE，求∠B。
4.五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求AD平分∠CDE5.已知四边形ABCD是正方形，E、F分别在CB、CD的延长线上，∠EAF=135°，求证：BE+DF=EF6.已知如图(1)，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：(1)BD＝DE＋CE；(2)若直线AE绕A点旋转到(2)位置时(BD＜CE)，其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何?请予证明．(3)若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时，(BD＞CE)，其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何?请直接写出结果，不须证明．(4)归纳(1)、(2)、(3)，请用简捷语言表述BD、DE、CE的关系．7.如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD//BC，AB=BC，E是AB 的终点，CE⊥BD。
（1）求证：BE=AD；（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；（3）△DBC是等腰三角形吗？请说明理由。
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB 的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE//AC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE。
垂足为E，BF//AC，交CE的延长线于F，求证：AC=2BF10.已知等边△ABC，分别延长BA到E，BC到D，使AE=BD，求证：EC=ED11.（1）如图1，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连接AC 和BD ，相交于点E ，连接BC ．求∠AEB 的大小；（2）如图2，△OAB 固定不动，保持△OCD 的形状和大小不变，将△OCD 绕点O 旋转（△OAB 和△OCD 不能重叠），求∠AEB 的大小．11.如图1，△DEF的顶点D在三角形△的边BC上（不与B 、C 重合），且∠BAC+∠EDF=180°，AB=DF，AC=DE，点O 为EF 的中点，直线DO 交直线AB 于点P .⑴猜想∠BPD 与∠FDB 的关系,并加以证明；(需详细过程)⑵当△DEF 绕点 D 旋转,其他条件不变,⑴中的结论是否始终成立?若成立,请你写出真命题；若不成立请你在图2中画出相应的图形,并给出正确的结论（不需要证明） (可选)。
等腰三角形典型例题练习(含答案)
等腰三角形典型例题练习．选择题（共 2 小题）1．如图，∠ C=90°，AD 平分∠ BAC 交 BC 于D ，若 BC=5cm ， BD=3cm ，则点 D 到 AB 的距离为（ ）2．如图，已知 C 是线段 AB 上的任意一点（端点除外） ，分别以 AC 、BC 为边并且在 AB 的同一侧作等边△ ACD 和等边 △BCE ，连接 AE 交 CD 于 M ，连接 BD 交 CE 于 N ．给出以下三个结论： ① AE=BD ② CN=CM③ MN ∥AB 其中正确结论的个数是（ ）二．填空题（共 1 小题）3．如图，在正三角形 ABC 中， D ， E ，F 分别是 BC ，AC ，AB 上的点， DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，FD ⊥BC ，则△DEF 的面积与三．解答题（共 15 小题）B ． 3cmC ． 2cmD ．不能确定B ．1C ．2D ．3A ．04．在△ ABC中，AD 是∠BAC 的平分线， E 、F 分别为 AB 、AC 上的点，且∠ EDF+∠EAF=180°，求证O ，过点 O 作 DE ∥BC ， 分别交 AB 、AC 于点 D 、E ．请说明DE=BD+E ．C6．＞已知：如图， D 是△ ABC 的 BC 边上的中点， DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为 E ，F ，且 DE=DF ．请判断△ABC 是什 么三角形并说明理由．7．如图，△ ABC 是等边三角形， BD 是 AC 边上的高，延长 BC 至 E ，使 CE=CD ．连接 DE ． 1)∠E 等于多少度2)△DBE 是什么三角形为什么8．如图，在△ ABC 中，∠ ACB=90°， CD 是 AB 边上的高，∠ A=30°．求证： AB=4BD ．DE=DF．9．如图，△ ABC 中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：DF=EF．10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B 的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，11．（2012? 牡丹江）如图①，△ ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=C．H 证明过程如下：如图①，连接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP= AB? PE，S△ACP= AC? PF，S△ABC= AB? CH．△ABP △ACP △ABC又∵ S△ABP+S△ACP=S△ABC，∴ AB? PE+ AC? PF= AB? CH．∵AB=AC，∴PE+PF=C．H（1）如图②，P 为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠ A=30°，△ ABC 的面积为49，点P 在直线BC上，且P 到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB 边上的高CH= ______ ．点P到AB边的距离PE= __________ ．12．数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形 ABC 中，点 E 在 AB 上，点 D 在 CB 的延长线上，且 ED=EC ，如图，试确定线段 AE 与 DB 的大小关系，并说明理由”．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论当点 E 为AB 的中点时，如图 1，确定线段 AE 与 DB 的大小关系， 请你直接写出结论： AE _____ DB （填“>”， “<”或“ =”）． （2）特例启发，解答题目解：题目中， AE 与 DB 的大小关系是： AE _______ DB （填“>”，“<”或“ =”） ．理由如下：如图 2，过点E 作 EF ∥BC ，交 AC 于点 F ．（请你完成以下解答过程）13．已知：如图，AF 平分∠ BAC ，BC ⊥AF 于点 E ，点D 在AF 上，ED=EA ，点P 在CF 上，连接PB 交AF 于点 M ．若∠BAC=2∠MPC ，请你判断∠F 与∠ MCD 的数量关系，并说明理由．3）拓展结论，设计新题，AE=2，求 CD 的长（请14．如图，已知△ ABC 是等边三角形，点D、E 分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．（1）线段AD与BE有什么关系试证明你的结论．（2）求∠ BFD的度数．15．如图，在△ ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF，求证：AE=CF．16．已知：如图，在△ OAB 中，∠ AOB=9°0 ，OA=O，B 在△ EOF中，∠ EOF=90°，OE=O，F连接AE、BF．问线段AE 与BF 之间有什么关系请说明理由．17．（2006? 郴州）如图，在△ ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB 边上的高．1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系并加以证明；2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗若不成立，又存在怎样的关系请说明理由．18．如图甲所示，在△ABC中，AB=AC，在底边BC上有任意一点P，则P 点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高）即PD+PE=C，F 若P 点在BC的延长线上，那么请你猜想PD、PE和CF 之间存在怎样的等式关系写出你的猜想并加以证明．等腰三角形典型例题练习参考答案与试题解析．选择题（共 2 小题）1．如图，∠ C=90°，AD平分∠ BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为（考点：角平分线的性质．分析：由已知条件进行思考，结合利用角平分线的性质可得点D到AB的距离等于D到AC的距离即CD 的长，问题可解．解答：解：∵∠ C=90°，AD平分∠ BAC交BC于D∴D到AB的距离即为CD长CD=5﹣3=2 故选C．2．如图，已知C 是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ ACD和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论：①AE=BD②CN=C③M MN∥AB 其中正确结论的个数是（）考点：平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．分析：由△ACD和△BCE是等边三角形，根据SAS易证得△ ACE≌△DCB，即可得①正确；由△ACE≌△DCB，可得∠ EAC=∠NDC，又由∠ ACD=∠MCN=6°0 ，利用ASA，可证得△ACM≌△DCN，即可得②正确；又可证得△ CMN是等边三角形，即可证得③正确．解答：解：∵△ ACD和△BCE是等边三角形，∴∠ ACD=∠BCE=60°，AC=DC，EC=BC，∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠ECB，即∠ ACE=∠DCB，∴△ ACE≌△ DCB（SAS），B．3cm C．2cm D．不能确定∴AE=BD，故①正确；∴∠EAC=∠NDC，∵∠ACD=∠BCE=60°，∴∠DCE=6°0 ，∴∠ ACD=∠MCN=6°0 ，∵AC=D，C∴△ ACM≌△ DCN（ASA），∴CM=C，N故②正确；又∠ MCN=18°0 ﹣∠ MCA﹣∠ NCB=18°0﹣60°﹣60°=60°，∴△CMN是等边三角形，∴∠ NMC∠= ACD=6°0 ，∴ MN∥AB，故③正确．故选D．．填空题（共 1 小题）3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF 的面积与考点：分析：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．首先根据题意求得：∠ DFE=∠FED=∠EDF=60°，即可证得△ DEF 是正三角形，又由直角三角形中，解答：30°所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，即可求得积比等于相似比的平方，即可求得结果．解：∵△ ABC 是正三角形，∴∠ B=∠C=∠A=60°，∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，∴∠AFE=∠CED=∠BDF=90°，∴∠BFD=∠CDE=∠AEF=30°，∴∠DF：AB=1：，又由相似三角形的面∴△DEF是正三角形，∴ BD：DF=1：①，BD：AB=1：3②，△ DEF∽△ ABC，①÷②，=，∴DF：AB=1：，∴△ DEF的面积与△ ABC的面积之比等于1：3．1：3故答案为：1：3．三．解答题（共15 小题）4．在△ ABC 中， AD 是∠BAC 的平分线， E 、F分别为 AB 、AC 上的点，且∠ EDF+∠EAF=180°，求证考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的定义．∵A D 平分∠ BAC ，DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，∴DM=D （N 角平分线性质） ，∠ DME ∠= DNF=90°，∵∠EAF+∠EDF=180°，∴∠ MED ∠+ AFD=360°﹣180°=180°，∵∠AFD+∠NFD=18°0 ，∴∠ MED ∠= NFD ， 在△EMD 和△FND 中，∴△ EMD ≌△FND ，∴DE=D ．FO ，过点 O 作 DE ∥BC ， 分别交 AB 、AC 于点 D 、E ．请说明DE=BD+E ．C考点： 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．分析：根据 OB 和 OC 分别平分∠ ABC 和∠ACB ，和 DE ∥BC ，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求 证出 DB=DO ， OE=EC ．然后即可得出答案．解答：解：∵在△ ABC 中， OB 和 OC 分别平分∠ ABC 和∠ ACB ， ∴∠DBO ∠= OBC ，∠ ECO ∠= OCB ，分析：过 D 作 DM ⊥AB ，于 M ，DN ⊥AC 于 N ，根据角平分线性质求出 DN=DM ，根据四边形的内角和定理和平 角定义求出∠∠，根据全等三角形的判定推出△≌△即可．解答：证明：过 D 作 DM ⊥AB ，于 M ，DN ⊥AC 于 N ，5．在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点DE=DF．即∠ EMD ∠=FND=90°，∵DE ∥BC ，∴∠ DOB ∠= OBC ∠= DBO ，∠EOC ∠= OCB ∠= ECO ， ∴DB=D ，O OE=EC ，∵ DE=DO+O ，E ∴ DE=BD+E ．C6．＞已知：如图， D 是△ ABC 的 BC 边上的中点， DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为 E ，F ，且 DE=DF ．请判断△ ABC 是什 么三角形并说明理由．考点： 等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．分析： 用（ HL ）证明△ EBD ≌△ FCD ，从而得出∠ EBD=∠FCD ，即可证明△ ABC 是等腰三角形．解答：△ABC 是等腰三角形．证明：连接 AD ，∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠ BED=∠CFD=90°，且 DE=DF ，∵D 是△ ABC 的 BC 边上的中点，∴ BD=D ，C∴Rt △EBD ≌Rt △FCD （ HL ），∴∠ EBD=∠FCD ，∴△ ABC 是等腰三角形．7．如图，△ ABC 是等边三角形， BD 是AC 边上的高，延长 BC 至E ，使 CE=CD ．连接 DE ．（ 1）∠E 等于多少度（ 2）△ DBE 是什么三角形为什么考点： 等边三角形的性质；等腰三角形的判定．分析：（1）由题意可推出∠ ACB=60°，∠ E=∠CDE ，然后根据三角形外角的性质可知：∠即可推出∠E 的度数；2）根据等边三角形的性质可知， BD 不但为 AC 边上的高，也是∠ ABC 的角平分线，即得：∠DBC=3°0 ，然后再结合（ 1）中求得的结论，即可推出△ DBE 是等腰三角形．解：（1）∵△ ABC 是等边三角形，∴∠ ACB=60°，∵CD=C ，E ∴∠ E=∠CDE ，∵∠ ACB=∠E+∠CDE ，2）∵△ ABC 是等边三角形， BD ⊥AC ，∴∠ ABC=60°，∵∠E=30°，∴∠ DBC=∠E ，∴△ DBE 是等腰三角形．8．如图，在△ ABC 中，∠ ACB=90°， CD 是 AB 边上的高，∠ A=30°．求证： AB=4BD ．9．如图，△ ABC 中， AB=AC ，点 D 、 E 分别在 AB 、AC 的延长线上，且 BD=CE ，DE 与 BC 相交于点 F ．求证： DF=EF ．考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：过 D 点作 DG ∥AE 交BC 于 G 点，由平行线的性质得∠ 1=∠2，∠4=∠3，再根据等腰三角形的性质可 得∠B=∠2，则∠ B=∠1，于是有 DB=DG ，根据全等三角形的判定易得△解答：证明：过 D 点作 DG ∥AE 交 BC 于 G 点，如图， ∴∠1=∠2，∠4=∠3，∵AB=AC ，∴∠B=∠2，∴∠ B=∠1，∴ DB=D ，G 而 BD=CE ，∴DG=C ，E考点： 含 30 度角的直角三角形．分析： 由△ABC 中，∠ ACB=90°，∠ A=30°可以推出 AB=2BC ，同理可得解答：解：∵∠ ACB=90°，∠ A=30°，∴ AB=2BC ，∠B=60°．又∵CD ⊥AB ，∴∠ DCB=3°0 ，∴ BC=2BD ．∴ AB=2BC=4B ．DBC=2BD ，则结论即可证明．解答：在△DFG和△EFC中，∴△ DFG≌△EFC，∴DF=EF．10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B 的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，考点：全等三角形的判定与性质．分析：延长CE，BA交于一点F，由已知条件可证得△ BFE 全≌△ BEC，所以FE=EC，即CF=2CE，再通过证明△ADB≌△ FAC 可得FC=BD，所以BD=2CE．解答：证明：如图，分别延长CE，BA交于一点F．∵BE⊥EC，∴∠ FEB=∠CEB=90°，∵ BE 平分∠ ABC，∴∠ FBE=∠CBE，又∵BE=BE，∴△BFE≌△BCE （ASA）．∴FE=CE．∴CF=2CE．∵AB=AC，∠BAC=90°，∠ ABD+∠ADB=90°，∠ ADB=∠EDC，∴∠ ABD+∠EDC=9°0 ．又∵∠DEC=9°0 ，∠ EDC+∠ECD=9°0 ，∴∠ FCA=∠DBC=∠ABD．∴△ADB≌△AFC．∴FC=DB，∴BD=2EC．11．（2012? 牡丹江）如图①，△ ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=C．H 证明过程如下：如图①，连接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S △ABP= AB? PE，S△ACP= AC? PF，S△ABC= AB? CH．又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，∴ AB? PE+ AC? PF= AB? CH．△△△∵AB=AC，∴PE+PF=C．H（1）如图②，P 为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系请写出你的猜想，并加以证明：2）填空：若∠ A=30°，△ ABC 的面积为49，点P 在直线BC上，且P 到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB考点：等腰三角形的性质；三角形的面积．分析：（1）连接AP．先根据三角形的面积公式分别表示出S△ABP，S△ACP，S△ABC，再由S△ABP=S△ACP+S△ABC即可得出PE=PF+PH；（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，再由△ ABC的面积为49，求出CH=7，由于CH>PF，则可分两种情况进行讨论：①P 为底边BC上一点，运用结论PE+PF=CH；②P 为BC延长线上的点时，运用结论PE=PF+CH．解答：解：（1）如图②，PE=PF+CH．证明如下：∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S △ABP= AB? PE，S△ACP= AC? PF，S△ABC= AB? CH，△ABP △ACP △ABC∵S△ABP=S△ACP+S△ABC，∴ AB? PE= AC? PF+ AB? CH，又∵ AB=AC，∴ PE=PF+C；H △ABP △ACP △ABC（2）∵在△A CH中，∠ A=30°，∴ AC=2C．H∵S△ABC= AB? CH，AB=AC，∴ ×2CH? CH=49，∴CH=7．分两种情况：①P为底边BC上一点，如图①．∵PE+PF=C，H∴ PE=CH﹣PF=7﹣3=4；②P为BC延长线上的点时，如图②．10．12．数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC中，点 E 在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点 E 为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE = DB（填“>”，“<” 或“=”）．（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE = DB（填“>”，“<”或“ =”）．理由如下：如图2，过点 E 作EF∥BC，交AC 于点F．（请你完成以下解答过程）3）拓展结论，设计新题，AE=2，求CD的长（请即可；（2）过 E 作 EF ∥BC 交 AC 于 F ，求出等边三角形 AEF ，证△ DEB 和△ECF 全等，求出 BD=EF 即可；（3）当 D 在 CB 的延长线上， E 在 AB 的延长线式时，由（ 2）求出 CD=3，当 E 在 BA 的延长线解答：解：（ 1）故答案为： =．（2）过 E 作 EF ∥BC 交 AC 于 F ，∵等边三角形 ABC ，∴∠ ABC=∠ACB=∠A=60°， AB=AC=B ，C ∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠ AEF=∠AFE=∠A=60°， ∴△AEF 是等边三角形，∴ AE=EF=A ，F∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=6°0 ， ∵DE=EC ，∴∠D=∠ECD ，∴∠ BED=∠ECF ， 在△DEB 和△ECF 中，∴△ DEB ≌△ECF ，∴BD=EF=A ，E 即 AE=BD ，故答案为： =．3）解：CD=1或 3，理由是：分为两种情况：①如图 过 A 作 AM ⊥BC 于 M ，过 E 作 EN ⊥BC 于 N ，则 AM ∥EM ， ∵△ ABC 是等边三角形，∴ AB=BC=AC=，1∵AM ⊥BC ，∴BM=CM= BC= ，∵DE=C ，E EN ⊥BC ，∴ CD=2C ，N∴BN= ，∴ CN=1+ = ，∴ CD=2CN=；3考点： 等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性分析：1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠ D=∠ECB=30°，求出∠ DEB=30°，求出= ，∴ ==， = ，∴，∵AM ∥EN ，∴△AMB ∽△ENB ，BD=BE②如图2，作AM⊥BC 于M，过E作EN⊥BC于N，则AM∥ EM，∵△ ABC是等边三角形，∴ AB=BC=AC=，1∵AM⊥BC，∴BM=CM= BC= ，∵DE=C，E EN⊥BC，∴ CD=2C，N∵AM∥EN，∴= ，∴ = ，∴ MN=1，∴CN=1﹣= ，∴CD=2CN=113．已知：如图，AF平分∠ BAC，BC⊥AF于点E，点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点M．若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F 与∠ MCD的数量关系，并说明理由．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：根据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线性质求出AB=AC=C，D推出∠ CDA=∠CAD=∠CPM，求出∠MPF=∠CDM，∠PMF=∠BMA∠= CMD，在△ DCM 和△ PMF中根据三角形的内角和定理求出即可．解答：解：∠ F=∠MCD，理由是：∵ AF 平分∠ BAC，BC⊥AF，∴∠ CAE=∠BAE，∠AEC=∠AEB=90°，在△ACE和△ABE中，∴△ ACE≌△ABE（ASA）∴ AB=AC，∵∠CAE=∠CDE∴AM是BC的垂直平分线，∴ CM=B，M CE=BE，∴∠ CMA∠= BMA，∵AE=ED，CE⊥AD，∴AC=C，D ∴∠ CAD=∠CDA，∵∠BAC=2∠MPC，又∵∠ BAC=2∠CAD，∴∠MPC∠= CAD，∴∠ MPC∠= CDA，∴∠ MPF=∠CDM，∴∠ MPF=∠CDM（等角的补角相等），∵∠DCM∠+ CMD∠+ CDM=18°0 ，∠ F+∠MPF+∠PMF=18°0 ，又∵∠ PMF=∠BMA∠= CMD，∴∠ MCD∠= F．14．如图，已知△ ABC 是等边三角形，点D、E 分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．（1）线段AD与BE有什么关系试证明你的结论．（2）求∠ BFD的度数．考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．分析：（1）根据等边三角形的性质可知∠ BAC=∠C=60°，AB=CA，结合AE=CD，可证明△ ABE≌△ CAD，从而证得结论；（2）根据∠ BFD=∠ABE+∠BAD，∠ABE=∠CAD，可知∠ BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．解答：（1）证明：∵△ ABC 为等边三角形，∴∠ BAC=∠C=60°，AB=CA．在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD∴AD=BE．（2）解：∵∠ BFD=∠ABE+∠BAD，又∵△ ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD．∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．15．如图，在△ ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF，求证： AE=CF ．考点：全等三角形的判定与性质． 分析：根据已知利用 SAS 即可判定△ ABE ≌△ CBF ，根据全等三角形的对应边相等即可得到 AE=CF ． 解答：证明：∵∠ ABC=90°，∴∠ ABE=∠CBF=90°， 又∵AB=BC ， BE=BF ，∴△ ABE ≌△ CBF （ SAS ）．∴ AE=CF ．16．已知：如图，在△ OA B 中，∠ AOB=9°0 ， OA=O ，B 在△ EOF 中，∠ EOF=90°， OE=O ，F 连接 AE 、BF ．问线段 AE 与 BF 之间有什么关系请说明理由．考点 ：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 分析： 可以把要证明相等的线段 AE ，CF 放到△ AEO ，△ BFO 中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得AO=BO ， OE=OF ，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去∠ BOE 的结果，当然相等了，由此可以证 明△AEO ≌△ BFO ；延长 BF 交 AE 于 D ，交 OA 于 C ，可证明∠ BDA=∠AOB=9°0 ，则 AE ⊥BF ．解答： 解：AE 与 BF 相等且垂直，理由：在△ AEO 与△BFO 中，∵Rt △OAB 与 Rt △OEF 等腰直角三角形，∴ AO=O ，B OE=OF ，∠AOE=9°0 ﹣∠ BOE=∠BOF ， ∴△AEO ≌△BFO ，∴AE=BF ．延长 BF 交 AE 于 D ，交 OA 于 C ，则∠ ACD=∠BCO ，由（ 1）知∠ OAE=∠OBF ，∴∠ BDA=∠AOB=9°0 ，∴ AE ⊥BF ．17．（2006? 郴州）如图，在△ ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB 边上的高．（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系并加以证明；（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗若不成立，又存在怎样的关系请说明理由．考点：等腰三角形的性质．分析：（1）连接AD，根据三角形ABC的面积=三角形ABD的面积+三角形ACD的面积，进行分析证明；（2）类似（1）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系．即三角形ABC的面积角形ABD的面积﹣三角形ACD的面积．解答：解：（1）DE+DF=C．G证明：连接AD，则S△ABC=S△ABD+S△ACD，即AB? CG= AB? DE+ AC? DF，∵ AB=AC，∴CG=DE+D．F △ABC △ABD △ACD2）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，但有DE﹣DF=CG．理由：连接AD，则S△ABD=S△ABC+S△ACD，即AB? DE= AB? CG+ AC? DF∵AB=AC，∴ DE=CG+D，F即DE﹣DF=CG．同理当 D 点在CB的延长线上时，则有DE﹣DF=CG，说明方法同上．18．如图甲所示，在△ABC中，AB=AC，在底边BC上有任意一点P，则P 点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高）即PD+PE=C，F 若P 点在BC的延长线上，那么请你猜想PD、PE和CF 之间存在怎样的等式关系写出你的猜想并加以证明．考点：等腰三角形的性质；三角形的面积．分析：猜想：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+C．F 根据∵S△PAB= AB? PD，S△PAC= AC? PE，S△CAB= AB? CF，S△PAC= AC? PE，AB? PD= AB? CF+ AC? PE，即可求证．△PAC解答：解：我的猜想是：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+C．F 理由如下：连接AP，则S△PAC+S△CAB=S△PAB，∵S△PAB= AB? PD，S△PAC= AC? PE，S△CAB= AB? CF，△PAB △PAC △CAB又∵ AB=AC，∴S△PAC= AB? PE，∴AB? PD= AB? CF+ AB? PE，△PAC。
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EDC A B F§14．3 等腰三角形1.等腰三角形练习题(第一课时)一、选择题1．等腰三角形的对称轴是（ ）A ．顶角的平分线B ．底边上的高C ．底边上的中线D ．底边上的高所在的直线2．等腰三角形有两条边长为4cm 和9cm ，则该三角形的周长是（ ） A ．17cm B ．22cm C ．17cm 或22cm D ．18cm3．等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．30° 4．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ）A ．100°B ．100°或40°C ．40°D ．80°5．如图，C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF ，若∠A=18°，则∠GEF 的度数是（ ）A ．80°B ．90°C ．100°D ．108°ECAHFG二、填空题6．等腰△ABC 的底角是60°，则顶角是________度． 7．等腰三角形“三线合一”是指___________．8．等腰三角形的顶角是n °，则两个底角的角平分线所夹的钝角是_________． 9．如图，△ABC 中AB=AC ，EB=BD=DC=CF ，∠A=40°，则∠EDF•的度数是_____． 10．△ABC 中，AB=AC ．点D 在BC 边上（1）∵AD 平分∠BAC ，∴_______=________；________⊥_________； （2）∵AD 是中线，∴∠________=∠________；________⊥________； （3）∵AD ⊥BC ，∴∠________=∠_______；_______=_______． 三、解答题11．已知△ABC 中AB=AC ，AD ⊥BC 于D ，若△ABC 、△ABD 的周长分别是20cm 和16cm ，•求AD 的长．12．如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，CB=CD ，求证：∠ABC=∠ADC.DCAB13．已知△ABC 中AB=AC ，点P 是底边的中点，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别是D 、E ，• 求证：PD=PE.四、探究题14．如图，CD 是△ABC 的中线，且CD=12AB ，你知道∠ACB 的度数是多少吗？由此你能得到一个什么结论？请叙述出来与你的同伴交流．DCAB答案:1．D 2．B 3．A 4．C 5．B 6．607．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合8．（90+12n ）° 9．70° 10．略 11．6cm 12．连接BD ，∵AB=AD ，∴∠ABD=∠ADB ．∵CB=CD ，∴∠CBD=∠CDB ．∴∠ABC=∠ADC 13．连接AP ，证明AP 平分∠BAC ．14．∠ACB=90°．结论：若一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形练习题(第二课时)一、选择题1．如图1，已知OC 平分∠AOB ，CD ∥OB ，若OD=3cm ，则CD 等于（ ）A ．3cmB ．4cmC ．1.5cmD ．2cmD C AE D CABFEDCABH F（1） (2) (3)2．△ABC 中AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，则图中的等腰三角形有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．如图2，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ，过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；②DE=BD+CE ；•③△ADE 的周长等于AB 与AC 的和；④BF=CF ．其中正确的有（ ） A ．①②③ B ．①②③④ C ．①② D ．①4．如图3，Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，角平分线AE 交CD 于H ，EF ⊥AB 于F ，则下列结论中不正确的是（ ）A ．∠ACD=∠B B ．CH=CE=EFC ．CH=HD D ．AC=AF 二、填空题5．△ABC 中，∠A=65°，∠B=50°，则AB ：BC=_________．6．已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，要使AD•∥BC ，•则△ABC•的边一定满足________． 7．△ABC 中，∠C=∠B ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，•AE=•2cm ，•且DE•∥BC ，•则AD=________． 8．一灯塔P 在小岛A 的北偏西25°，从小岛A 沿正北方向前进30海里后到达小岛，•此时测得灯塔P 在北偏西50°方向，则P 与小岛B 相距________．A三、解答题9．如图，已知AB=AC ，E 、D 分别在AB 、AC 上，BD 与CE 交于点F ，•且∠ABD=•∠ACE ， 求证：BF=CF ．10．如图，△ABC 中BA=BC ，点D 是AB 延长线上一点，DF ⊥AC 于F 交BC 于E ，• 求证：△DBE 是等腰三角形．ED CABF四、探究题11．如图，AF 是△ABC 的角平分线，BD ⊥AF 交AF 的延长线于D ，DE ∥AC•交AB 于E ， 求证：AE=BE ．EDCABF答案:1．A 2．C 3．A 4．C 5．1 6．AB=AC 7．2cm 8．30海里9．连接BC ，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，又∵∠ABD=∠ACE ，∴∠FBC=∠FCB ，∴FB=FC 10．证明∠D=∠BED11．证明∠EAD=∠EDA ，∠EBD=∠EDB 分别得到AE=DE ，BE=DE2.等边三角形练习题一、选择题1．正△ABC 的两条角平分线BD 和CE 交于点I ，则∠BIC 等于（ ） A ．60° B ．90° C ．120° D ．150°2．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；•③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；•④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③D ．①②③④3．如图，D 、E 、F 分别是等边△ABC 各边上的点，且AD=BE=CF ，则△DEF•的形状是（ ） A ．等边三角形 B ．腰和底边不相等的等腰三角形C ．直角三角形D ．不等边三角形ED CAF21EDCA B4．Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，∠B=30°，AD=2cm ，则AB 的长度是（ ） A ．2cm B ．4cm C ．8cm D ．16cm5．如图，E 是等边△ABC 中AC 边上的点，∠1=∠2，BE=CD ，则对△ADE 的形状最准备的判断是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．不等边三角形D ．不能确定形状 二、填空题6．△ABC 中，AB=AC ，∠A=∠C ，则∠B=_______．7．已知AD 是等边△ABC 的高，BE 是AC 边的中线，AD 与BE 交于点F ，则∠AFE=______． 8．等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_____________．9．△ABC 中，∠B=∠C=15°，AB=2cm ，CD ⊥AB 交BA 的延长线于点D ，•则CD•的长度是_______．三、解答题10．已知D 、E 分别是等边△ABC 中AB 、AC 上的点，且AE=BD ，求BE 与CD•的夹角是多少度？11．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥AC 交BC•于点D ，•求证：•BC=3AD.D CAB12．如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE•都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ，①求证：△BCE ≌△ACD ；②求证：CF=CH ；③判断△CFH•的形状并说明理由．EDABHF四、探究题13．如图，点E 是等边△ABC 一点，且EA=EB ，△ABC 外一点D 满足BD=AC ，且BE 平分∠DBC ，求∠BDE 的度数．（提示：连接CE ）E DAB答案：1．C 2．D 3．A 4．C 5．B 6．60° 7．60°8．三；三边的垂直平分线 9．1cm 10．60°或120°11．∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∴在Rt△ADC中CD=•2AD，•∵∠BAC=120°，∴∠BAD=120°-90°=30°，∴∠B=∠BAD，∴AD=BD，∴BC=3AD12．①∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD．又∵BC=AC，CE=CD，∴△BCE≌△ACD；②证明△BCF≌△ACH；③△CFH是等边三角形．13．连接CE，先证明△BCE≌△ACE得到∠BCE=∠ACE=30°，再证明△BDE•≌△BCE得到∠BDE=∠BCE=30°。