第03讲 有理数的乘除、乘方

第03讲 有理数的乘除、乘方
考点·方法·破译
1．理解有理数的乘法法则以及运算律，能运用乘法法则准确地进行有理数的乘法运算，会利用运算律简化乘法运算.
2．掌握倒数的概念，会运用倒数的性质简化运算.
3．了解有理数除法的意义，掌握有理数的除法法则，熟练进行有理数的除法运算. 4．掌握有理数乘除法混合运算的顺序，以及四则混合运算的步骤，熟练进行有理数的混合运算.
5．理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方运算的符号法则，进一步掌握有理数的混合运算.
经典·考题·赏析
【例１】计算
⑴
11()24⨯- ⑵1124⨯ ⑶11
()()24
-⨯- ⑷25000⨯
⑸3713()()(1)()5697
-⨯-⨯⨯-
【解法指导】掌握有理数乘法法则，正确运用法则，一是要体会并掌握乘法的符号规律，
二是细心、稳妥、层次清楚，即先确定积的符号，后计算绝对值的积.
解：⑴11111()()24248⨯-=-⨯=- ⑵11111()24248⨯=⨯= ⑶11111()()()24248-⨯-=+⨯=
⑷250000⨯=
⑸3713371031()()(1)()()569756973
-⨯-⨯⨯-=-⨯⨯⨯=-
【变式题组】
01．⑴(5)(6)-⨯- ⑵11()124
-⨯ ⑶(8)(3.76)(0.125)-⨯⨯-
⑷(3)(1)2(6)0(2)-⨯-⨯⨯-⨯⨯- ⑸111112(2111)42612
-⨯-+- 02．24(9
)5025-⨯ 3．1111(2345)()2345
⨯⨯⨯⨯---
333
【例２】已知两个有理数a 、b ，如果ab ＜0，且a ＋b ＜0，那么（ ） A ．a ＞0，b ＜0 B ．a ＜0，b ＞0
C ．a 、b 异号
D ．a 、b 异号且负数的绝对值较大 【解法指导】依有理数乘法法则，异号为负，故a 、b 异号，又依加法法则，异号相加取绝对值较大数的符号，可得出判断.
解：由ab ＜0知a 、b 异号，又由a ＋b ＜0，可知异号两数之和为负，依加法法则得负数的绝对值较大，选D ．
【变式题组】
01．若a ＋b ＋c ＝0，且b ＜c ＜0，则下列各式中，错误的是（ ）
A ．a ＋b ＞0
B ．b ＋c ＜0
C ．ab ＋ac ＞0
D ．a ＋bc ＞0 02．已知a ＋b ＞0，a －b ＜0，ab ＜0，则a___________0，b___________0，|a|___________|b|. 03．(山东烟台)如果a ＋b ＜0，
0b
a
>，则下列结论成立的是（ ） A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＜0，b ＜0 C ．a ＞0，b ＜0 D ．a ＜0，b ＞0
04．(广州)下列命题正确的是（ ）
A ．若ab ＞0，则a ＞0，b ＞0
B ．若ab ＜0，则a ＜0，b ＜0
C ．若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0
D ．若ab ＝0，则a ＝0且b ＝0 【例３】计算
⑴(72)(18)-÷- ⑵11(2)3÷- ⑶13
()()1025
-
÷ ⑷0(7)÷- 【解法指导】进行有理数除法运算时，若不能整除，应用法则1，先把除法转化成乘法，
再确定符号，然后把绝对值相乘，要注意除法与乘法互为逆运算.若能整除，应用法则2，可直接确定符号，再把绝对值相除.
解：⑴(72)(18)72184-÷-=÷=
⑵1733
1(2)1()1()3
377
÷-=÷-=⨯-=-
⑶131255()()()()10251036
-÷=-⨯=-
⑷0(7)0÷-= 【变式题组】
01．⑴(32)(8)-÷- ⑵112
(1)36÷- ⑶10(2)3÷- ⑷13()(1)78
÷- 02．⑴12933÷⨯
⑵311()(3)(1)3524-⨯-÷-÷ ⑶53
0()35
÷-⨯
245
【例４】（茂名）若实数a 、b 满足
0a b
a b
+=，则ab ab ＝___________. 【解法指导】依绝对值意义进行分类讨论，得出a 、b 的取值范围，进一步代入结论得
出结果.
解：当ab ＞0，
2(0,0)
2(0,0)
a b a b a b a b >>⎧+=⎨
-<<⎩； 当ab ＜0，
0a b
a b
+=，∴ab ＜0，从而ab ab ＝－1. 【变式题组】
01．若k 是有理数，则(|k|＋k )÷k 的结果是（ ）
A ．正数
B ．0
C ．负数
D ．非负数
02．若A ．b 都是非零有理数，那么ab
a b a b ab
++的值是多少？
03．如果
0x y x
y
+
=，试比较x
y
-
与xy 的大小.
【例５】已知2
2
3
(2),1x y =-=- ⑴求2008
xy
的值； ⑵求3
2008x y
的值.
【解法指导】n a 表示n 个a 相乘，根据乘方的符号法则，如果a 为正数，正数的任何次幂都是正数，如果a 是负数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.
解：∵2
2
3
(2),1x y =-=- ⑴当2,1x y ==-时，2008
20082(1)2xy =-=
当2,1x y =-=-时，2008
2008(2)(1)2xy
=-⨯-=-
⑵当2,1x y ==-时，33
20082008
28(1)
x y ==-
当2,1x y =-=-时，33
20082008
(2)8(1)x y -==--
【变式题组】
01．（北京）若2(2)0m n m -+-=，则n
m 的值是___________.
02．已知x 、y 互为倒数，且绝对值相等，求()n
n
x y --的值，这里n 是正整数.
【例６】（安徽）2007年我省为135万名农村中小学生免费提供教科书，减轻了农民的负担，135万用科学记数法表示为（ ）
A ．0.135×106
B ．1.35×106
C ．0.135×107
D ．1.35×107
【解法指导】将一个数表示为科学记数法的a×10n 的形式，其中a 的整数位数是1位.故答案选B ．
【变式题组】 01．（武汉）武汉市今年约有103000名学生参加中考，103000用科学记数法表示为（ ）
A ．1.03×105
B ．0.103×105
C ．10.3×104
D ．103×103
02．（沈阳）沈阳市计划从2008年到2012年新增林地面积253万亩，253万亩用科学记数
法表示正确的是（ ）
A ．25.3×105亩
B ．2.53×106亩
C ．253×104亩
D ．2.53×107
亩 【例７】（上海竞赛）
2222
22221299110050002200500010050009999005000
k k k ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-+-+-+
【解法指导】找出2
1005000k k -+的通项公式＝2
2
(50)50k -+
原式＝
2222
22222222
1299(150)50(250)50(50)50(9950)50
k k ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-+-+-+ ＝2222
22222222199298[
][](150)50(9950)50(250)50(9850)50++++⋅⋅⋅+-+-+-+-+ 222222222
495150[](4950)50(5150)50(5050)50++-+-+-+ ＝49222+1++⋅⋅⋅+1442443个
＝99
【变式题组】
3333
+++=( )
2+4+6++10042+4+6++10062+4+6++10082+4+6++2006
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
A ．31003
B ．31004
C ．1334
D ．11000
02．（第10届希望杯试题）已知11111111
1.2581120411101640
+++++++=
求111111112581120411101640
---+--++
的值.
演练巩固·反馈提高
01．三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．1个或3个 02．两个有理数的和是负数，积也是负数，那么这两个数（ ）
A ．互为相反数
B ．其中绝对值大的数是正数，另一个是负数
C ．都是负数
D ．其中绝对值大的数是负数，另一个是正数 03．已知abc ＞0，a ＞0，ac ＜0，则下列结论正确的是（ ）
A ．b ＜0，c ＞0
B ．b ＞0，c ＜0
C ．b ＜0，c ＜0
D ．b ＞0，c ＞0 04．若|ab |＝ab ，则（ ）
A ．ab ＞0
B ．ab ≥0
C ．a ＜0，b ＜0
D ．ab ＜0 05．若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，则代数式a b
m cd m
+-+
的值为（ ）
A ．－3
B ．1
C ．±3
D ．－3或1 06．若a ＞
1
a
，则a 的取值范围（ ） A ．a ＞1 B ．0＜a ＜1 C ．a ＞－1 D ．－1＜a ＜0或a ＞1 07．已知a 、b 为有理数，给出下列条件：①a ＋b ＝0；②a －b ＝0；③ab ＜0；④
1a
b
=-，其中能判断a 、b 互为相反数的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
08．若ab≠0，则
a b
a b
+的取值不可能为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．－2 09．1110
(2)(2)-+-的值为（ ）
A ．－2
B ．(－2)21
C ．0
D ．－210
10．(安徽)2010年一季度，全国城镇新增就业人数289万人，用科学记数法表示289万正
确的是（ ）
A ．2.89×107
B ．2.89×106
C ．2.89×105
D ．2.89×104
11．已知4个不相等的整数a 、b 、c 、d ，它们的积abcd ＝9，则a ＋b ＋c ＋d ＝___________. 12．21
221(1)
(1)(1)n n n +--+-+-（n 为自然数）＝___________.
13．如果
2x y
x
y +
=，试比较x y
-与xy 的大小.
14．若a 、b 、c 为有理数且1a b c a b c ++=-，求abc
abc
的值.
15．若a 、b 、c 均为整数，且3
2
1a b c a -+-=.求a c c b b a -+-+-的值.
培优升级·奥赛检测
01．已知有理数x 、y 、z 两两不相等，则
,,x y y z z x
y z z x x y
------中负数的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个或2个 02．计算1
2
3
4
5
211,213,217,2115,2131-=-=-=-=-=⋅⋅⋅归纳各计算结果中的个位
数字规律，猜测2010
2
1-的个位数字是（ ）
A ．1
B ．3
C ．7
D ．5 03．已知2345
0ab c d e ＜，下列判断正确的是（ ）
A ．abcde ＜0
B ．ab 2
cd 4
e ＜0 C ．ab 2
cde ＜0 D ．abcd 4
e ＜0 04．若有理数x 、y 使得,,,
x
x y x y xy y
+-这四个数中的三个数相等，则|y |－|x |的值是（ ） A ．12-
B ．0
C ．12
D ．32
05．若A ＝2
4
8
16
32
64
(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)+++++++，则A －1996的末位数字
是（ ）
A ．0
B ．1
C ．7
D ．9 06．如果2001
2002()
1,()1a b a b +=--=，则20032003a b +的值是（ ）
A ．2
B ．1
C ．0
D ．－1 07．已知55
44
33
22
22,33,55,66a b c d ====，则a 、b 、c 、d 大小关系是（ ）
A ．a ＞b ＞c ＞d
B ．a ＞b ＞d ＞c
C ．b ＞a ＞c ＞d
D ．a ＞d ＞b ＞c 08．已知a 、b 、c 都不等于0，且
a b c abc a b c abc
+++
的最大值为m ，最小值为n ，则2005
()m n +＝___________. 09．（第13届“华杯赛”试题）从下面每组数中各取一个数将它们相乘，那么所有这样的乘
积的总和是___________.
第一组：1
5,3,4.25,5.75
3
- 第二组：11
2,315-
第三组：5
2.25,,412
-
10．一本书的页码从1记到n ，把所有这些页码加起来，其中有一页码被错加了两次，结果
得出了不正确的和2002，这个被加错了两次的页码是多少？ 11．（湖北省竞赛试题）观察按下列规律排成一列数：1
1，
12，21，13，22，31，14，23
，32，41，15，24，23，42，51，1
6
，…(＊)，在(＊)中左起第m 个数记为F(m)，当F(m)＝1
2001
时，求m 的值和这m 个数的积.
12．图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数：11,,1,2,4,8,16,32,6442
填入
方格中，使得所有行列及对角线上各数相乘的积相等，求x 的值.
13．(第12届“华杯赛”试题)已知m 、n 都是正整数，并且
111111
(1)(1)(1)(1)(1)(1);
2233A m m =-+-+⋅⋅⋅-+ 111111
(1)(1)(1)(1)(1)(1).2233B n n
=-+-+⋅⋅⋅-+
证明：⑴11
,;22m n A B m n ++==
⑵1
26
A B -=，求m 、n 的值.。