高三数学新题型练习题

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高三数学新题型试卷优质

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且f(1) = 3，f(2) = 5，f(3) = 7，则f(4)的值为：A. 9B. 11C. 13D. 152. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a^2 + b^2 = 2c^2，则三角形ABC为：A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形3. 设函数g(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1，若g(x)在x=1处取得极值，则该极值为：A. 0B. 1C. -1D. -24. 已知数列{an}满足an = 2an-1 - 1，且a1 = 1，则数列{an}的通项公式为：A. an = 2^n - 1B. an = 2^n + 1C. an = 2^nD. an = 2^n - 25. 设平面直角坐标系中，点P(2, 3)，点Q在直线y = 2x + 1上，且PQ的中点为M，则M的坐标为：A. (2, 1)B. (1, 2)C. (3, 4)D. (4, 3)6. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z对应的点在：A. 实轴上B. 虚轴上C. 第一象限D. 第二象限7. 已知函数h(x) = log2(x - 1) - log2(x + 1)，则h(x)的定义域为：A. (1, +∞)B. (-∞, -1) ∪ (1, +∞)C. (-∞, -1) ∪ (1, +∞)D. (-∞, -1) ∪ (1, +∞)8. 若等差数列{bn}的首项为b1，公差为d，则b1 + b2 + ... + bn的和为：A. (n + 1)b1 + n(n - 1)d/2B. nb1 + n(n - 1)d/2C. (n - 1)b1 + n(n -1)d/2 D. (n + 1)b1 + (n - 1)(n - 2)d/29. 设函数f(x) = e^x - x - 1，则f'(x)的值恒大于：A. 0B. 1C. eD. e^x10. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a·b的值为：A. 7B. -1C. -7D. 1二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(x)的顶点坐标为__________。

高三数学题型练习题

高三数学题型练习题题一：函数的定义与性质1. 已知函数$f(x)=2x+3$，求函数$f(5)$的值。

解析：将$x$的值代入函数$f(x)$中，得$f(5)=2(5)+3=13$。

2. 函数$f(x)$的图像在直线$y=x$上方，$f(0)=-1$，求函数$f(x)$的解析式。

解析：由函数图像在直线$y=x$上方可知，对于任意$x$，都有$f(x)>x$。

又已知$f(0)=-1$，代入函数得$-1>f(0)=2(0)+3=3$，矛盾。

因此，不存在满足条件的解析式。

题二：函数的图像与性质1. 函数$f(x)=(x-2)^2+1$的图像在平面直角坐标系中的形状是什么？解析：函数$f(x)$是二次函数，图像为抛物线。

由$(x-2)^2$的形式可以知道顶点坐标为$(2,1)$，开口方向向上。

2. 函数$f(x)=\sqrt{x^2-3x}$的定义域是什么？解析：由于根号下的表达式必须大于等于0，即$x^2-3x\geq 0$。

对不等式进行因式分解得$x(x-3)\geq 0$，解得$x\leq 0$或$x\geq 3$。

因此，函数$f(x)$的定义域为$(-\infty, 0]\cup [3,+\infty)$。

题三：函数的求导与应用1. 已知函数$f(x)=3x^2+2x+1$，求$f'(x)$和$f''(x)$。

解析：对多项式函数$f(x)$求导，得到$f'(x)=6x+2$；再对$f'(x)$求导，得到$f''(x)=6$。

2. 函数$y=x^3-4x^2+2$在$x=2$处的切线方程是什么？解析：在$x=2$处，函数$y=x^3-4x^2+2$的导数为$y'=3x^2-8x$。

代入$x=2$得$y'=3(2)^2-8(2)=-10$，即切线的斜率为$-10$。

又因为切线经过点$(2,f(2))=(2,2)$，所以切线方程为$y-2=-10(x-2)$。

新高三数学测试题及答案

新高三数学测试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x) = x^2 - 6x + 8，则f(3)的值为：A. -1B. 1C. 9D. 11答案：B2. 已知等差数列{a_n}中，a_1 = 2，公差d = 3，求a_5的值。

A. 14B. 17C. 20D. 23答案：A3. 圆的方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9，圆心坐标为：A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (0, 0)D. (3, 2)答案：A4. 函数y = sin(x) + cos(x)的值域为：A. [-1, 1]B. [-√2, √2]C. [0, 2]D. [1, 2]答案：B5. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B =：A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3}答案：B6. 已知向量a = (3, 4)，b = (-4, 3)，则向量a与向量b的夹角θ满足：A. cosθ = 1/7B. cosθ = -1/7C. cosθ = 7/√50D. cosθ = -7/√50答案：A7. 函数y = x^3 - 3x^2 + 4x的导数y'为：A. 3x^2 - 6x + 4B. x^2 - 3x + 4C. 3x^2 - 6x + 1D. x^2 - 3x + 2答案：A8. 已知复数z = 2 + 3i，求|z|的值。

A. √13B. √19C. √7D. √17答案：A9. 已知双曲线方程为x^2/9 - y^2/16 = 1，求其渐近线方程。

A. y = ±(4/3)xB. y = ±(3/4)xC. y = ±(16/9)xD. y = ±(9/16)x答案：A10. 已知等比数列{b_n}中，b_1 = 2，公比q = 2，求b_4的值。

A. 16B. 32C. 64D. 128答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x) = _______。

新高考高三数学新题型试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 下列各式中，属于对数式的是（）A. 2^x = 8B. x^3 = 27C. log_2(4) = 2D. sin(x) = 12. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），若f(1) = 2，f'(2) = 4，则a = （）A. 1B. 2C. 3D. 43. 在平面直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点为（）A. (3,2)B. (2,3)C. (3,3)D. (2,2)4. 若复数z满足|z-1| = |z+1|，则z在复平面上的对应点位于（）A. 实轴上B. 虚轴上C. 第一象限D. 第二象限5. 下列函数中，在定义域内单调递增的是（）A. y = 2^xB. y = log_2(x)C. y = x^2D. y = -x6. 已知数列{an}满足an = 2an-1 - 1（n ≥ 2），且a1 = 1，则数列{an}的通项公式为（）A. an = 2^n - 1B. an = 2^n + 1C. an = 2^nD. an = 2^n - 27. 在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则sinC = （）A. 1/2B. √3/2C. √2/2D. 18. 下列命题中，正确的是（）A. 函数y = x^3在R上单调递增B. 等差数列{an}的公差一定为正数C. 对数函数y = log_2(x)在定义域内单调递增D. 二项式定理中，展开式中第r+1项的系数为C(n,r)9. 若复数z = a + bi（a，b∈R），且|z| = √(a^2 + b^2) = 1，则z的共轭复数是（）A. a - biB. -a - biC. a + biD. -a + bi10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f(x)的极值点为（）A. x = -1B. x = 0C. x = 1D. x = -1 或 x = 1二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。

高考数学试题2024新高考新题型考前必刷卷01(参考答案)

2024年高考考前信息必刷卷（新题型地区专用）01数学·答案及评分标准（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

12345678DDBDADAA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

91011ADABCAC第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．513．①④14．①③四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（13分）【解析】（1）当1a =时，函数31()ln 222f x x x x x =--+的定义域为(0,)+∞，求导得21()ln 212f x x x '=+-，（2分）令21()ln ,0212g x x x x =+->，求导得233111()x g x x x x-'=-=，（4分）当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，则函数()g x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g ≥=，即(0,)∀∈+∞x ，()0f x '≥，当且仅当1x =时取等号，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，即函数()f x 的递增区间为(0,)+∞.（6分）（2）依题意，5(2)2ln 204f a =->，则0a >，（7分）由（1）知，当1x ≥时，31ln 2022x x x x--+≥恒成立，当1a ≥时，[1,)x ∀∈+∞，ln 0x x ≥，则3131()ln 2ln 202222f x ax x x x x x x x=--+≥--+≥，因此1a ≥；（9分）当01a <<时，求导得231()(1ln )22f x a x x '=+-+，令231()(1ln )22h x a x x =+-+，（11分）求导得()23311a ax h x x x x -=-='，当1x <<时，()0h x '<，则函数()h x ，即()f x '在上单调递减，当x ∈时，()(1)10f x f a ''<=-<，因此函数()f x 在上单调递减，当x ∈时，()(1)0f x f <=，不符合题意，所以a 的取值范围是[1,)+∞.（13分）16．（15分）【解析】（1）由题意得584018x =-=，422220y =-=；（4分）（2）由22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，得22100(40221820) 4.625 3.84158426040χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有95%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”．（8分）（3）抽取6名育龄妇女，来自一线城市的人数为20624020⨯=+，记为1，2，来自非一线城市的人数为40644020⨯=+，（10分）记为a ，b ，c ，d ，选设事件A 为“取两名参加育儿知识讲座，求至少有一名来自一线城市”，基本事件为：(1,2),(1,),(1,),(1,),(1,),(2,),(2,),(2,),(2,),(,),(,)a b c d a b c d a b a c ，(,),(,),(,),(,)a d b c b d c d ，事件(1,2),(1,),(1,),(1,),(1,),(2,),(2,)(2,),(2,)A a b c d a b c d 共有9个，（13分）93()155P A ==或63()1155P A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（15分）17．（15分）【解析】（1）因为//AD BC ，且22BC AD AB AB BC ===⊥，可得AD AB ==2BD ==，（2分）又因为45DBC ADB ∠=∠=︒，可得2CD ==，所以222BD DC BC +=，则CD BD ⊥，（4分）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，且CD ⊂平面BCD ，所以CD ⊥平面ABD ，又因为AB ⊂平面ABD ，所以CD AB ⊥；（6分）（2）因为CD ⊥平面ABD ，且BD ⊂平面ABD ，所以CD BD ⊥，（7分）如图所示，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，可得()1,0,1A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,0,0D ，（9分）所以()0,2,0CD =- ，()1,0,1AD =--．设平面ACD 的法向量为(),,n x y z = ，则200n CD y n AD x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，令1x =，可得0,1y z ==-，所以()1,0,1n =-，（11分）假设存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60 ，（12分）设BN BC λ=uuu r uu u r，（其中01λ≤≤），则()22,2,0N λλ-，()12,2,1AN λλ=-- ，所以sin 60n ANn AN⋅︒==（13分）整理得28210λλ+-=，解得14λ=或12λ=-（舍去），所以在线段BC 上存在点N ，使得AN与平面ACD 所成角为60︒，此时14=BN BC ．（15分）18．（17分）【解析】（1）由已知得()11,0F -，22220000313434x y x y +=⇒=-（2分）则10122PF x ==+．所以当012x =时，194PF =；（5分）（2）设(),0M m ，在12F PF △中，PM 是12F PF ∠的角平分线，所以1122PF MF PF MF =，（6分）由（1）知10122PF x =+，同理20122PF x =-，（8分）即0012121122x m m x ++=--，解得014m x =，所以01,04M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过P 作PH x ⊥轴于H ．所以34PM MH PNOH ==．（10分）（3）记1F N P 面积的面积为S ，由（1）可得，(100001114423612S F M y y x x =⋅+=+=+()()02,00,2x ∈-⋃，则)20022S xx =+'-，（12分）当()()02,00,1x ∈-⋃时，0,S S '>单调递增；当)01,2x ∈时，0,S S '<单调递减．（16分）所以当01x =-时，S 最大．（17分）19．（17分）【解析】（1）由题意得124n a a a +++= ，则1124++=或134+=，故所有4的1减数列有数列1,2,1和数列3，1.（4分）（2）因为对于1i j n ≤<≤，使得i j a a >的正整数对(),i j 有k 个，且存在m 的6减数列，所以2C 6n ≥，得4n ≥.（6分）①当4n =时，因为存在m 的6减数列，所以数列中各项均不相同，所以1234106m ≥+++=>.（7分）②当5n =时，因为存在m 的6减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以6m ≥.（8分）若6m =，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，所以4k ≤，不符合题意，所以6m >.（9分）③当6n ≥时，因为存在m 的6减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以6m >.综上所述，若存在m 的6减数列，则6m >.（10分）（3）若数列中的每一项都相等，则0k =，若0k ≠，所以数列A 存在大于1的项，若末项1n a ≠，将n a 拆分成n a 个1后k 变大，所以此时k 不是最大值，所以1n a =.（12分）当1,2,,1i n =- 时，若1i i a a +<，交换1,i i a a +的顺序后k 变为1k +，所以此时k 不是最大值，所以1i i a a +≥.若{}10,1i i a a +-∉，所以12i i a a +≥+，所以将i a 改为1i a -，并在数列末尾添加一项1，所以k 变大，所以此时k 不是最大值，所以{}10,1i i a a +-∈.（14分）若数列A 中存在相邻的两项13,2i i a a +≥=，设此时A 中有x 项为2，将i a 改为2，并在数列末尾添加2i a -项1后，k 的值至少变为11k x x k ++-=+，所以此时k 不是最大值，所以数列A 的各项只能为2或1，所以数列A 为2,2,,2,1,1,,1 的形式.设其中有x 项为2，有y 项为1，因为存在2024的k 减数列，所以22024x y +=，所以()2220242220242(506)512072k xy x x x x x ==-=-+=--+，（16分）所以，当且仅当506,1012x y ==时，k 取最大值为512072.所以，若存在2024的k 减数列，k 的最大值为512072.（17分）。

高考数学新题型选编(共70个题)

高考数学新题型选编（共70个题）1、（Ⅰ）已知函数：1()2()(),([0,),)n n n f x x a x a x n N -*=+-+∈+∞∈求函数()f x 的最小值;（Ⅱ）证明:()(0,0,)22n n n a b a b a b n N *++≥>>∈；（Ⅲ）定理:若123,,k a a a a 均为正数,则有123123()n n nn nk k a a a a a a a a k k++++++++≥ 成立(其中2,,)k k N k *≥∈为常数．请你构造一个函数()g x ，证明：当1231,,,,,k k a a a a a + 均为正数时，12311231()11n n n nn k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++ ．解：（Ⅰ）令111'()2()0n n n f x nx n a x ---=-+=得11(2)()2n n x a x x a x x a --=+∴=+∴=…2分当0x a ≤≤时，2x x a <+ '()0f x ∴≤ 故()f x 在[0,]a 上递减．当,'()0x a f x >>故()f x 在(,)a +∞上递增．所以，当x a =时，()f x 的最小值为()0f a =.….4分（Ⅱ）由0b >，有()()0f b f a ≥= 即1()2()()0n n n n f b a b a b -=+-+≥故 ()(0,0,)22n n na b a b a b n N *++≥>>∈．………………………………………5分（Ⅲ）证明:要证： 12311231()11n n n nn k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++只要证：112311231(1)()()n n n n n nk k k a a a a a a a a -+++++++≥++++设()g x =1123123(1)()()n n n nn n k a a a x a a a x -+++++-++++ …………………7分则11112'()(1)()n n n k g x k nx n a a a x ---=+⋅-++++令'()0g x =得12ka a a x k+++=…………………………………………………….8分当0x ≤≤12ka a a k+++ 时，1112'()[(]()n n k g x n kx x n a a a x --=+-++++≤111212()()0n n k k n a a a x n a a a x --++++-++++=故12()[0,]k a a a g x k +++ 在上递减，类似地可证12()(,)ka a a g x k++++∞ 在递增所以12()k a a a x g x k +++=当时，的最小值为12()ka a a g k+++ ………………10分而11212121212()(1)[()]()n n n n n n k k k k k a a a a a a a a a g k a a a a a a k k k-+++++++++=+++++-++++ =1121212(1)[()()(1)()]n n n n nn n k k k nk k a a a a a a k a a a k -++++++++-++++ =11212(1)[()()]n n n n n n k k nk k a a a k a a a k -++++-+++ =1112121(1)[()()]n n n n n n k k n k k a a a a a a k---++++-+++ 由定理知: 11212()()0n n n nn k k k a a a a a a -+++-+++≥ 故12()0ka a a g k+++≥1211[0,)()()0kk k a a a a g a g k+++++∈+∞∴≥≥故112311231(1)()()n n n n n n k k k a a a a a a a a -+++++++≥++++即: 12311231()11n n n nn k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++ .…………………………..14分答案：5354321b b b b b b =∙∙∙∙3、10．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质：（i ）1*1=1，（ii ）（n +1）*1=n *1+1，则n *1等于A ．nB ．n +1C ．n -1D ．2n 答案：D4、若)(n f 为*)(12N n n ∈+的各位数字之和，如：1971142=+，17791=++，则17)14(=f ;记=∈===+)8(*,)),(()(,)),(()(),()(20081121f N k n f f n f n f f n f n f n f k k 则 ____答案：55、下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD 的侧面与底面。

高三数学试卷创新题目答案

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，求f(x)在x=1处的切线方程。

A. y = 1B. y = 3x - 2C. y = 2x - 1D. y = -3x + 2答案：B解析：首先求出f(x)在x=1处的导数f'(x) = 3x^2 - 3。

代入x=1，得f'(1) = 0。

因此，切线斜率为0，切线方程为y = f(1) = 1。

2. 已知等差数列{an}，首项a1=1，公差d=2，求第10项an。

A. 19B. 21C. 23D. 25答案：C解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d。

代入a1=1，d=2，n=10，得an = 1 + (10 - 1)×2 = 23。

3. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的对称轴方程。

A. x = 2B. x = 1C. x = -2D. x = -1答案：A解析：对称轴方程为x = -b/2a。

代入a=1，b=-4，得x = -(-4)/2×1 = 2。

4. 已知函数f(x) = 2x + 1，求f(x)在区间[0, 3]上的最大值和最小值。

A. 最大值3，最小值1B. 最大值1，最小值3C. 最大值2，最小值1D. 最大值1，最小值2答案：A解析：由于f(x)在区间[0, 3]上单调递增，所以最大值出现在x=3处，最小值出现在x=0处。

代入x=3，得f(3) = 2×3 + 1 = 7；代入x=0，得f(0) = 2×0 + 1 = 1。

5. 已知等比数列{an}，首项a1=2，公比q=3，求第n项an。

A. 2×3^(n-1)B. 2×3^nC. 2×3^(n+1)D. 2×3^(n-2)答案：A解析：等比数列的通项公式为an = a1×q^(n-1)。

73高三数学新题型练习题73

高三数学新题型练习题(附参考答案)
1. 已知函数f （x ）2
x sin x cos x +x ∈R (Ⅰ)设角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边过点P （122
，），求f （α）的值。

（Ⅱ）试讨论函数f （x ）的基本性质（直接写出过程）
2. 曲线C 是平面内与两个定点1F （-1，0）和2F （1，0）的距离的积等于常数2
a （a>1）
的点的轨迹。

给出下列三个结论：
① 曲线C 过坐标原点；
② 曲线C 关于坐标原点对称；
③ 若点P 在曲线C 上，则△1F P 2F 的面积大于12
2
a 。

其中，正确的结论的序号是_______________
3. △ABC 的三个内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，向量m =（-1，1），n =（cosBcosC ，
，且m ⊥n 。

① 求A 的大小
② 现给出下列四个条件：
Ⅰa=1；Ⅱb=2sinB ；Ⅲ2c-）b=0；ⅣB=45°
试从中再选择两个条件以确定△ABC ，求出你所确定的△ABC 的面积。

（注：只需选择一个方案答题，若用多种方案答题，则按第一种方案给分）
4.
4.。

高中数学高三新高考试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 函数f(x) = x^3 - 3x在区间[-1, 2]上的极值点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5 = 15，S10 = 45，则第15项a15的值为：A. 9B. 10C. 11D. 123. 下列命题中正确的是：A. 若函数f(x)在区间[a, b]上单调递增，则f(a) < f(b)B. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则f(a) ≤ f(x) ≤ f(b)C. 若函数f(x)在区间[a, b]上可导，则f(a) ≤ f(x) ≤ f(b)D. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则f(a) < f(x) < f(b)4. 已知复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z的取值范围是：A. 实轴上除原点外的所有点B. 实轴上所有点C. 虚轴上所有点D. 平面上所有点5. 下列不等式中，正确的是：A. x^2 + 1 ≥ 0B. x^2 - 1 ≥ 0C. x^2 + 1 ≤ 0D. x^2 - 1 ≤ 06. 已知等比数列{an}的首项a1 = 1，公比q = 2，则第n项an的表达式为：A. an = 2n - 1B. an = 2nC. an = 2n - 2D. an = 2n + 17. 函数y = (x - 1)^2 + 1的图像关于直线x = 1对称，下列说法正确的是：A. 函数在x = 1处有极大值B. 函数在x = 1处有极小值C. 函数在x = 1处无极值D. 函数在x = 1处无拐点8. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），若f(1) = 2，f(2) = 5，则f(3)的值为：A. 8B. 9C. 10D. 119. 下列数列中，不是等差数列的是：A. 1, 4, 7, 10, ...B. 2, 4, 8, 16, ...C. 1, 3, 6, 10, ...D. 1, 3, 5, 7, ...10. 函数y = log2(x - 1)的图像与直线y = x相交于点P，则点P的坐标为：A. (2, 1)B. (3, 1)C. (2, 2)D. (3, 2)11. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f(x)的对称中心为：A. (0, 0)B. (1, 0)C. (-1, 0)D. (0, -1)12. 下列函数中，不是奇函数的是：A. f(x) = x^3B. f(x) = x^2C. f(x) = x^4D. f(x) = x^5二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

高三新高考数学刷题试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$a\neq0$，且$f(1)=2$，$f(2)=5$，$f(3)=8$，则下列选项中正确的是：A. $a=1$，$b=2$，$c=1$B. $a=1$，$b=1$，$c=1$C. $a=2$，$b=1$，$c=1$D. $a=1$，$b=1$，$c=2$2. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_5=35$，$S_8=64$，则第10项$a_{10}$的值为：A. 11B. 12C. 13D. 143. 下列命题中正确的是：A. 若$A\subseteq B$，则$A\cup B=B$B. 若$A\cap B=\varnothing$，则$A\subseteq B$C. 若$A\subseteq B$，则$A\cap B=A$D. 若$A\cap B=A$，则$A\subseteq B$4. 在$\triangle ABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=5$，则$\sin A$的值为：A. $\frac{3}{5}$B. $\frac{4}{5}$C. $\frac{5}{3}$D. $\frac{5}{4}$5. 函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$的图像与$x$轴的交点个数为：B. 2C. 3D. 46. 若复数$z=a+bi$（其中$a,b\in\mathbb{R}$）满足$|z|=1$，则$\operatorname{arg}(z)$的取值范围是：A. $[0,\frac{\pi}{2}]$B. $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$C. $[0,\pi]$D. $[-\pi,0]$7. 下列不等式中恒成立的是：A. $x^2+y^2\geq2xy$B. $x^2+y^2\leq2xy$C. $x^2-y^2\geq2xy$D. $x^2-y^2\leq2xy$8. 若函数$f(x)=x^2-2ax+a^2$的图像关于直线$x=a$对称，则$a$的值为：A. 0B. 1C. 2D. $\frac{1}{2}$9. 已知向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec{b}=(1,-1)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}$的值为：A. 1B. 2D. 410. 下列选项中，函数$y=\log_2(x-1)$的定义域是：A. $x>1$B. $x\geq1$C. $x<1$D. $x\leq1$11. 若$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$\sin\alpha\cos\alpha$的值为：A. $\frac{1}{4}$B. $\frac{1}{2}$C. $\frac{3}{4}$D. $\frac{1}{3}$12. 在直角坐标系中，点$P(2,3)$关于直线$x+y=5$的对称点为$Q$，则$Q$的坐标为：A. $(1,4)$B. $(4,1)$C. $(3,2)$D. $(2,4)$二、填空题（本大题共6小题，每小题10分，共60分）13. 函数$f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-1}$的定义域为______。

新高三数学练习题及答案

新高三数学练习题及答案一、选择题1. 设集合 A = {x | x > 0}，集合 B = {x | x < 0}，则下列哪个选项是关于 A 和 B 的正确描述？A) A ∪ B = {x | x ≠ 0}B) A ∩ B = {x | x > 0}C) A - B = {x | x > 0}D) A - B = {x | x < 0}答案：C2. 若 f(x) = -2x + 5，则 f(-3) 的值为：A) -9B) -11C) 11D) 9答案：B3. 已知函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 1，求 f(-1) 的值为：A) -6B) 6C) 4D) 3答案：D二、填空题1. 设集合 A = {1, 2, 3}，集合 B = {2, 3, 4}，则 A ∪ B = ________。

答案：{1, 2, 3, 4}2. 若 f(x) = 4x - 3，则 f(2) 的值为 ________。

答案：53. 已知函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 2，求 f(1) 的值为 ________。

答案：1三、计算题1. 已知函数 f(x) = 3x^2 + 2x - 1，求函数的对称轴方程及顶点坐标。

解答过程：首先，对称轴的方程可以通过公式 x = -b / (2a) 来求得，其中 a、b、c 分别是二次项、一次项和常数项的系数。

对于函数 f(x) = 3x^2 + 2x - 1，a = 3，b = 2，c = -1。

代入公式可得：x = -2 / (2 * 3) = -1/3。

所以，对称轴的方程为 x = -1/3。

接下来，求顶点坐标可以将对称轴的 x 坐标代入函数中。

代入 f(-1/3) 可得：f(-1/3) = 3*(-1/3)^2 + 2*(-1/3) - 1 = 4/9 - 2/3 - 1 = -19/9。

所以，顶点坐标为 (-1/3, -19/9)。

高考新数学试卷题型及答案

1. 若函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x + 1在x = 1处的切线斜率为多少？A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C解析：首先求导数f'(x) = 6x^2 - 6x + 4，代入x = 1得f'(1) = 4，即切线斜率为4。

2. 若a、b、c为等差数列，且a + b + c = 12，b = 4，则c的值为多少？A. 2B. 4C. 6D. 8答案：D解析：由等差数列的性质，得2b = a + c，代入a + b + c = 12和b = 4，得a + c = 8，又因为b = 4，所以c = 8。

3. 若x^2 + 2x + 1 = 0，则x的值为多少？A. 1B. -1C. 0D. 无法确定答案：A解析：由完全平方公式，得(x + 1)^2 = 0，解得x = -1。

4. 若log2x + log4x + log8x = 3，则x的值为多少？A. 2B. 4C. 8D. 16答案：C解析：利用对数的换底公式，得log2x + log2x^(1/2) + log2x^(3/4) = 3，即log2x^((1 + 1/2 + 3/4)) = 3，解得x^((7/4)) = 2^3，即x = 8。

5. 若a、b、c、d为等比数列，且a + b + c + d = 32，a = 2，则d的值为多少？A. 8B. 16C. 32D. 64答案：D解析：由等比数列的性质，得a d = b c，代入a + b + c + d = 32和a = 2，得2 + b + c + d = 32，即b + c + d = 30，又因为a d = b c，所以2d = 30，解得d = 15。

二、填空题6. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3的对称轴方程为x = ________。

答案：2解析：对称轴方程为x = -b/2a，代入a = 1，b = -4，得x = 2。

高三数学新高考试卷题

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$，则$f(x)$的对称中心为（）A. $(1, -1)$B. $(-1, 0)$C. $(0, 2)$D. $(0, -1)$2. 在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1 = 3$，$a_5 = 13$，则公差$d$为（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 下列命题中，正确的是（）A. 函数$y = x^2$在$(-\infty, 0)$上单调递减B. 函数$y = \ln x$在$(0, +\infty)$上单调递增C. 函数$y = e^x$在$(-\infty, +\infty)$上单调递减D. 函数$y = \sqrt{x}$在$(0, +\infty)$上单调递增4. 已知向量$\vec{a} = (2, 3)$，$\vec{b} = (1, 2)$，则$\vec{a} \cdot\vec{b}$的值为（）A. 5B. 7C. 9D. 115. 函数$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$的定义域为（）A. $(-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$B. $(-\infty, 1] \cup [1, +\infty)$C. $(-\infty, 1) \cup [1, +\infty)$D. $(-\infty, 1] \cup (1, +\infty)$6. 在直角坐标系中，点$(2, 3)$关于直线$y = x$的对称点为（）A. $(3, 2)$B. $(2, 3)$C. $(-3, -2)$D. $(-2, -3)$7. 若等比数列$\{a_n\}$中，$a_1 = 2$，$a_4 = 16$，则公比$q$为（）A. 2B. 4C. 8D. 168. 下列函数中，在定义域内连续的是（）A. $f(x) = |x|$，$x \in \mathbb{R}$B. $f(x) = \frac{1}{x}$，$x \in \mathbb{R}$C. $f(x) = \sqrt{x}$，$x \in [0, +\infty)$D. $f(x) = \sqrt{x}$，$x \in (-\infty, 0)$9. 若$\sin \alpha = \frac{3}{5}$，则$\cos \alpha$的值为（）A. $\frac{4}{5}$B. $-\frac{4}{5}$C. $\frac{3}{5}$D. $-\frac{3}{5}$10. 已知等差数列$\{a_n\}$中，$a_1 = 1$，$a_3 + a_5 = 16$，则$a_5$的值为（）A. 8B. 9C. 10D. 11二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。

高三数学：2024年新高考新题型数学选填压轴好题汇编04(解析版)

2024年新高考新题型数学选填压轴好题汇编04一、单选题1(2024·广东·一模)已知集合A=-12,-13,12,13,2,3，若a,b,c∈A且互不相等，则使得指数函数y =a x，对数函数y=log b x，幂函数y=x c中至少有两个函数在(0,+∞)上单调递增的有序数对(a,b,c)的个数是()A.16B.24C.32D.48【答案】B【解析】若y=a x和y=log b x在(0,+∞)上单调递增，y=x c在(0,+∞)上单调递减，则有A22⋅C12=4个；若y=a x和y=x c在(0,+∞)上单调递增，y=log b x在(0,+∞)上单调递减，则有C12⋅C12⋅C12=8个；若y=log b x和y=x c在(0,+∞)上单调递增，y=a x在(0,+∞)上单调递减，则有C12⋅C12⋅C12=8个；若y=a x、y=log b x和y=x c在(0,+∞)上单调递增，则有A22⋅C12=4个；综上所述：共有4+8+8+4=24个.故选：B.2(2024·广东江门·一模)物理学家本·福特提出的定律：在b进制的大量随机数据中，以n开头的数出现的概率为P b n =log b n+1n.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.若80n=kP10(n)=log4811+log25k∈N*，则k的值为()A.7B.8C.9D.10【答案】C【解析】80n=k P10(n)=P10(k)+P10(k+1)+⋯+P10(80)=lg k+1k +lg k+2k+1+⋯+lg8180=lg81k，而log4811+log25=lg81lg41+lg5lg2=4lg32lg21+lg5lg2=2lg3=lg9，故k=9．故选：C．3(2024·广东·模拟预测)在正三棱锥A-BCD中，△BCD的边长为6，侧棱长为8，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为()A.33468B.3434C.21717D.1734【答案】A【解析】依题意，记BC的中点为F，连接DF，记正△BCD的中心为O，连接AO，因为在正三棱锥A-BCD中，AO⊥底面BCD，在正△BCD中，DF⊥BC，在平面BCD中过F点作z轴⊥底面BCD，则AO⎳z轴，以F点为原点，建立空间直角坐标系，如图，因为在正三棱锥A-BCD中，△BCD的边长为6，侧棱长为8，所以DF=32CD=32×6=33，2DF=23，AO=AD2-OD2=64-12=213，故B -3,0,0 ,C 3,0,0 ,D 0,33,0 ,O 0,3,0 ,A 0,3,213 ，则E -32,32,13 ，CE =-92,32,13 ，BD =3,33,0 ，所以cos CE ,BD =CE ⋅BDCE BD =-92×3+32×33-92 2+32 2+13×9+27=-33468，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为33468.故选：A .4(2024·天津滨海新·一模)已知抛物线C 1:y 2=2px p >0 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为E ，线段EF 被双曲线C 2:x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)顶点三等分，且两曲线C 1，C 2的交点连线过曲线C 1的焦点F ，则双曲线C 2的离心率为()A.2B.322C.113D.222【答案】D【解析】求得抛物线的焦点和准线，可得EF 的长度，由题意可得p =6a ，求出两曲线交点坐标，代入双曲线方程可得a ,b 的关系，利用离心率公式可求得结果.抛物线y 2=2px 的焦点为F p 2,0 ，准线方程为x =-p2，E -p2,0 ，|EF |=p ，因为线段EF 被双曲线C 2:x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)顶点三等分，所以2a =p 3，即p =6a ，因为两曲线C 1，C 2的交点连线过曲线C 1的焦点F ，所以两个交点为p 2,p 、p2,-p ，将p 2,p 代入双曲线x 2a 2-y 2b 2=1得p 24a 2-p 2b2=1，所以36a 24a 2-36a 2b 2=1，所以9-36a 2b 2=1，所以b 2a2=92，所以双曲线C 2的离心率e =c a =c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+b 2a2=1+92=222.故选：D5(2024·湖南·二模)已知函数f x =sin ωx +3cos ωx ，若沿x 轴方向平移f x 的图象，总能保证平移后的曲线与直线y =1在区间0,π 上至少有2个交点，至多有3个交点，则正实数ω的取值范围为()A.2,83B.2,103C.103,4 D.2,4【答案】A【解析】由f x =sin ωx +3cos ωx 可得：f x =2sin ωx +π3，若沿x 轴方向平移，考虑其任意性，不妨设得到的函数g x =2sin ωx +φ .令g x =1，即sin ωx +φ =12，x ∈[0,π]，取z =ωx +φ，则z ∈[φ,ωπ+φ].依题意知，sin z =12在φ,ωπ+φ 上至少有2解，至多有3解，则须使区间[φ,ωπ+φ]的长度在2π到8π3之间，即2π≤ωπ<8π3，解得2≤ω<83.6(2024·湖南·二模)过点P -1,0 的动直线与圆C :(x -a )2+(y -2)2=4(a >0)交于A ,B 两点，在线段AB 上取一点Q ，使得1PA +1PB =2PQ ，已知线段PQ 的最小值为2，则a 的值为()A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】圆心C a ,2 ，半径为2，则圆C 与x 轴相切，设切点为M a ,0 ，则PM =a +1，则|PM |2=PA PB =(a +1)2，设AB 的中点为D ，连接CD ，则CD ⊥AB ，令圆心C 到直线AB 的距离为d ，则0≤d <2,|PA |+|PB |=|PD |-|AD |+|PD |+|AD |=2|PD |，由1PA +1PB =2PQ ，得PQ =2PA PB PA +PB =(a +1)2|PC |2-d 2=(a +1)2(a +1)2+4-d 2，因此(a +1)2(a +1)2+4-0≤PQ <(a +1)2(a +1)2+4-4，而PQ 的最小值为2，所以a +12a +1 2+4=2，则a =1.故选：A7(2024·高三·浙江宁波·阶段练习)如图1，水平放置的直三棱柱容器ABC -A 1B 1C 1中，AC ⊥AB ，AB =AC =2，现往内灌进一些水，水深为2．将容器底面的一边AB 固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为三角形A 1B 1C ，如图2，则容器的高h 为()A.3B.4C.42D.6【答案】A【解析】在图1中水的体积V =12×2×2×2=4，在图2中水的体积V =VABC -A 1B 1C 1-V C -A 1B 1C 1=12×2×2×h -13×12×2×2×h =43h ，4h =4⇒h =3．8(2024·江西·高考真题)已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1 ⋅MF 2=0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是A.(0,1) B.0,12C.0,22D.22,1 【答案】C【解析】设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a ,b ,c ．因为MF 1 ·MF 2=0所以点M 的轨迹为以原点为圆心，半径为c 的圆．与因为点M 在椭圆的内部，所以c <a ,c <b ，所以c 2<b 2=a 2-c 2，所以2c 2<a 2∴e 2=c 2a2<12，所以e ∈0,22，故选C ．9(2024·高二·湖北鄂州·阶段练习)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的焦距为2c ，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点.设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1-d 2 ≤c ，则双曲线的离心率的取值范围为()A.1,233B.233,+∞ C.1,2D.2,+∞【答案】C【解析】由题意可知，直线AB 经过双曲线的右焦点，且垂直于x 轴，不妨设A c ,y 0 ，代入椭圆方程c 2a 2-y 02b2=1，又c 2=a 2+b 2，所以y 0=b 2a ，所以A c ,b 2a ，B c ,-b 2a，任取双曲线的一条渐近线为直线bx +ay =0，由点到直线的距离公式可得点A 到渐近线的距离d 1=bc +b 2a 2+b2=bc +b 2c ，点B 到渐近线的距离d 2=bc -b 2a 2+b 2=bc -b 2c ，所以d 1-d 2 =bc +b 2c -bc -b 2c =2b 2c=2b 2c，因为d 1-d 2 ≤c ，所以2b 2c≤c ，因c >0，所以2b 2≤c 2，即2c 2-a 2 ≤c 2，所以c 2≤2a 2，所以c 2a 2≤2，因为双曲线离心率c a >1，所以1<ca≤2，所以双曲线的离心率的取值范围为1,2 .故选：C .10(2024·高二·广东深圳·期末)已知抛物线C :y 2=2px p >0 的焦点为F ，斜率为k 的直线l 经过点F ，并且与抛物线C 交于A 、B 两点，与y 轴交于点M ，与抛物线的准线交于点N ，若AF =2MN，则k =()A.3B.2C.±2D.±3【答案】D【解析】当A 在第一象限时，设准线与x 轴的交点为P ，过A 作准线的垂线，垂足为A ，因为OM ∥PN ，且O 为PF 的中点，所以OM 为三角形PFN 的中位线，即FM =MN ，所以AF =2MN =FN ，又根据抛物线的定义AF =AA ，所以AN =2AF =2AA ，所以在直角三角形AA N 中，∠A AN =60°，所以∠AFx =60°，此时k =3，根据对称性，当A 在第四象限时，k =-3，故选：D .11(2024·湖北·一模)设直线l ：x +y -1=0，一束光线从原点O 出发沿射线y =kx x ≥0 向直线l 射出，经l 反射后与x 轴交于点M ，再次经x 轴反射后与y 轴交于点N ．若MN =136，则k 的值为()A.32B.23C.12D.2【答案】B【解析】如图，设点O 关于直线l 的对称点为A x 1,y 1 ，则x 12+y12-1=0y 1x 1×-1 =-1得x 1=1y 1=1 ，即A 1,1 ，由题意知y =kx x ≥0 与直线l 不平行，故k ≠-1，由y =kx x +y -1=0 ，得x =1k +1y =k k +1，即P 1k +1,k k +1 ，故直线AP 的斜率为k AP =kk +1-11k +1-1=1k ，直线AP 的直线方程为：y -1=1kx -1 ，令y =0得x =1-k ，故M 1-k ,0 ，令x =0得y =1-1k ，故由对称性可得N 0，1k-1 ，由MN =136得(1-k )2+1k -1 2=1336，即k +1k 2-2k +1k =1336，解得k +1k=136，得k =23或k =32，若k =32，则第二次反射后光线不会与y 轴相交，故不符合条件．故k =23，故选：B 12(2024·湖北·二模)能被3个半径为1的圆形纸片完全覆盖的最大的圆的半径是()A.263B.62C.233D.33+12【答案】C【解析】要求出被完全覆盖的最大的圆的半径，由圆的对称性知只需考虑三个圆的圆心构成等边三角形的情况，设三个半径为1的圆的圆心分别为O 1,O 2,O 3，设被覆盖的圆的圆心为O ，如图，设OO 1=OO 2=OO 3=x ，则O 1H =3x 2,OH =x 2，OA =OH +HA =x 2+1-32x 2=12(x +4-3x 2)，又OC =OO 3+O 3C =x +1>OA ，因此圆O 的最大半径为OA ，令f (x )=12(x +4-3x 2)，求导得f(x )=4-3x 2-3x 24-3x 2，由f (x )=0，得x =33，当0<x <33时，f (x )>0，当33<x <233时，f (x )<0，因此f (x )在0,33上单调递增，在33,233 上单调递减，f (x )max =f 33 =233，所以被完全覆盖的最大的圆的半径为233，此时O 1O 2=O 2O 3=O 3O 1=1，即圆O 1､圆O 2､圆O 3中的任一圆均经过另外两圆的圆心．故选：C13(2024·高三·浙江嘉兴·期末)已知正实数a ,b ,c 满足a 2-b =2ln ab>0，7b -2b =a +4 c ，则()A.0<c <b <1<aB.0<b <c <1<aC.0<c <b <a <1D.0<b <c <a <1【答案】A【解析】因a >0,b >0，由ln a b >0可得：ab >1，则a >b ．由a 2-b =2lnab 化简得：a 2-2ln a =b -2ln b ，分别设函数f x =x 2-2ln x ，g x =x -2ln x ．由f(x )=2x 2-1 x，(x >0)，则当0<x <1时，f (x )<0，当x >1时，f (x )>0，则f x 在0,1 上递减,在1,+∞ 上递增，故f x min =f 1 =1.又g x =x -2x,(x >0)，则当0<x <2时，g (x )<0，当x >2时，g (x )>0，则g x 在0,2 上递减；在2,+∞ 上递增，故g x min =g 2 =2-2ln2．由f x -g x =x 2-x =x x -1 ，则0<x <1时，f x <g x ；x =1时，f x =g x ；x >1时，f x >g x ．函数f x 与g x 的图象如图．令f a =f b =k ．由于a >b ，则0<b <1，1<a ，排除C ，D ；由于a >1，7b-2b=a +4c>5c，则7b -2b >5c -b ．令h x =75 x -25x，其在R 上单调递增．由于0<b <1，则0=h (0)<h b <h (1)=1，则有5c -b <1，即c -b <0得c <b ．综上，0<c <b <1<a .故选：A ．14(2024·高二·北京西城·期末)在直角坐标系xOy 内，圆C :(x -2)2+(y -2)2=1，若直线l :x +y +m =0绕原点O 顺时针旋转90°后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是()A.-2,2B.-4-2,-4+2C.-2-2,-2+2D.-2+2,2+2【答案】A【解析】连接OP ，设∠POx =θ(即以x 轴正方向为始边，OP 为终边的角)，由题意对于直线l :x +y +m =0上任意一点P x ,y ，存在a =x 2+y 2,θ∈R ，使得P a cos θ,a sin θ ，则直线l :x +y +m =0绕原点O 顺时针旋转90°后，点P a cos θ,a sin θ 对应点为P 1a cos θ-π2 ,a sin θ-π2 ，即P 1a sin θ,-a cos θ ，因为P a cos θ,a sin θ 在直线l :x +y +m =0上，所以满足a cos θ+a sin θ+m =0设x 1=a sin θ,y 1=-a cos θ，所以-y 1+x 1+m =0，即P 1a sin θ,-a cos θ 所在直线方程为l 1:x -y +m =0，而圆C :(x -2)2+(y -2)2=1的圆心，半径分别为2,2 ,r =1，若直线l :x +y +m =0绕原点O 顺时针旋转90°后与圆C 存在公共点，所以圆心C 2,2 到直线l 1:x -y +m =0的距离d =m2≤r =1，解得-2≤m ≤ 2.故选：A .15(2024·山东青岛·一模)已知A (-2,0)，B (2,0)，设点P 是圆x 2+y 2=1上的点，若动点Q 满足：QP⋅PB =0，QP =λQA |QA |+QB|QB |，则Q 的轨迹方程为()A.x 2-y 23=1B.x 23-y 2=1C.x 25+y 2=1D.x 26+y 22=1【答案】A【解析】由QP ⋅PB=0，可得QP ⊥PB ，而QP =λQA QA +QBQB，可知点P 在∠BQA 的平分线上.圆x 2+y 2=1，圆心为原点O ，半径r =1，连接AQ ，延长BP 交AQ 于点C ，连接OP ，因为∠PQB =∠PQC 且PQ ⊥BC ，所以QB =QC ，且P 为BC 中点，OP ∥AC ，OP =1AC因此，QA -QB =QA -QC =AC =2OP =2，点Q 在以A 、B 为焦点的双曲线上，设双曲线方程为x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 ，可知c =2,a 2+b 2=c 2=4，由2a =QA -QB =2，得a =1，故b 2=3，双曲线方程为x 2-y 23=1.故选：A .16(2024·山东青岛·一模)∀x ∈R ，f (x )+f (x +3)=1-f (x )f (x +3)，f (-1)=0，则f (2024)的值为()A.2B.1C.0D.-1【答案】B【解析】由题意知∀x ∈R ，f (x )+f (x +3)=1-f (x )f (x +3)，f (-1)=0，令x =-1，则f (-1)+f (2)=1-f (-1)f (2),∴f (2)=1显然f (x )=-1时，-1+f (x +3)=1+f (x +3)不成立，故f (x )≠-1，故f (x +3)=1-f (x )1+f (x )，则f (x +6)=1-1-f (x )1+f (x )1+1-f (x )1+f (x )=f (x )，即6为函数f (x )的周期，则f (2024)=f (337×6+2)=f (2)=1，故选：B17(2024·山东聊城·一模)已知P 是圆C :x 2+y 2=1外的动点，过点P 作圆C 的两条切线，设两切点分别为A ，B ，当PA ⋅PB的值最小时，点P 到圆心C 的距离为()A.42 B.32 C.2 D.2【答案】A【解析】设P x ,y ，则OP =x 2+y 2，则PA ⋅PB =PO +OA PO +OB =PO 2+PO ⋅OA +OB +OA ⋅OB ，OA ⋅OB =OA ⋅OBcos ∠AOB =cos ∠AOB =cos2∠POA =2cos 2∠POA -1=2×OA2OP2-1=2x 2+y 2-1，PO ⋅OA =PO ⋅OB =PO ⋅OA cos 180°-∠POA =-PO ⋅OAcos ∠POA=-PO ⋅OA ⋅OA OP=-1，故PA ⋅PB =x 2+y 2-2+2x 2+y2-1≥2x 2+y 2 ⋅2x 2+y 2-3=22-3，当且仅当x 2+y 2=2x 2+y2，即x 2+y 2=2时，等号成立，故当PA ⋅PB的值最小时，点P 到圆心C 的距离为42.故选：A .18(2024·山东聊城·一模)在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，点D 在棱BB 1上，且△ADC 1所在的平面将三棱柱ABC -A 1B 1C 1分割成体积相等的两部分，点M 在棱A 1C 1上，且A 1M =2MC 1，点N 在直线BB 1上，若MN ⎳平面ADC 1，则BB 1NB 1=()【答案】D【解析】如图，连接AB 1，则V A -A 1B 1C 1=13V ABC -A 1B 1C1，又△ADC 1所在的平面将三棱柱ABC -A 1B 1C 1分割成体积相等的两部分，所以V A -DB 1C 1=12V ABC -A 1B 1C 1-13V ABC -A 1B 1C 1=16V ABC -A 1B 1C1，即VA -DB 1C 1=12V A -A 1B 1C1，即V C 1-ADB 1=12V C 1-AA 1B1，设C 1到平面ABB 1A 1的距离为d ，则V C 1-ADB 1=13S △ADB 1⋅d ，V C 1-AA 1B 1=13S △AA 1B1⋅d ，所以S △ADB 1=12S △AA 1B 1=12S △ABB 1，所以D 为BB 1的中点，在AA 1上取点E ，使得A 1E =2AE ，连接EN 、EM ，因为A 1M =2MC 1，所以EM ⎳AC 1，又EM ⊄平面ADC 1，AC 1⊂平面ADC 1，所以EM ⎳平面ADC 1，又MN ⎳平面ADC 1，EM ∩MN =M ，EM ,MN ⊂平面EMN ，所以平面EMN ⎳平面ADC 1，又平面EMN ∩平面ABB 1A 1=EN ，平面ADC 1∩平面ABB 1A 1=AD ，所以AD ⎳EN ，又AE ⎳ND ，所以四边形ADNE 为平行四边形，所以ND =AE =13AA 1=13BB 1，所以B 1N =B 1D -ND =12BB 1-13BB 1=16BB 1，所以BB 1NB 1=6.故选：D19(2024·山东烟台·一模)在平面直角坐标系xOy 中，点A -1,0 ,B 2,3 ，向量OC =mOA +nOB，且m -n -4=0.若P 为椭圆x 2+y 27=1上一点，则PC 的最小值为()A.4510B.10C.8510D.210【答案】A 【解析】设点C (x ,y )，由A -1,0 ,B 2,3 及OC =mOA +nOB ，得(x ,y )=(-m +2n ,3n )，即x =-m +2ny =3n，而m -n -4=0，消去m ,n 得：3x -y +12=0，设椭圆x 2+y 27=1上的点P (cos θ,7sin θ),θ∈R ，则点P 到直线3x -y +12=0的距离d =|3cos θ-7sin θ+12|32+(-1)2=12-4sin (θ+φ)10，其中锐角φ由tan φ=37确定，当sin (θ+φ)=1时，d min =4510，而PC ≥d ，所以PC 的最小值为4510.故选：A 20(2024·山东济宁·一模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与y 轴相交于M 点，与双曲线C 在第一象限的交点为P ，若F 1M =2MP ，F 1P ⋅F 2P=0，则双曲线C 的离心率为()A.2B.3C.332D.3+1【答案】D【解析】设∠PF 1F 2=θ，θ为锐角，因为F 1M =2MP ，F 1P ⋅F 2P =0，所以PF 1⊥PF 2，PF 1 =32MF 1 ，∴MF 1 =c cos θ，∴|PF 1|=32|MF 1|=3c2cos θ，又|PF 2|=2c sin θ，∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2，∴9c 24cos 2θ+4c 2sin 2θ=4c 2，∴9+16sin 2θcos 2θ=16cos 2θ，∴9+16(1-cos 2θ)cos 2θ=16cos 2θ，∴9-16cos 4θ=0，∴cos 2θ=34，∴cos θ=32(负值舍去)，∴θ=30°，∴|PF 1|=32|MF 1|=3c2cos θ=3c ，|PF 2|=2c sin θ=c ，∴双曲线C 的离心率e =2c 2a =|F 1F 2||PF 1|-|PF 2|=2c3c -c=3+1．故选：D ．21(2024·山东济宁·一模)设函数f (x )定义域为R ，f (2x -1)为奇函数，f (x -2)为偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )=x 2-1，则f (2023)-f (2024)=()A.-1 B.0C.1D.2【答案】C【解析】因为函数f (x )定义域为R ，f (2x -1)为奇函数，所以f (2x -1)=-f (-2x -1)，所以函数f (x )关于点-1,0 中心对称，且f -1 =0，因为f (x -2)为偶函数，所以f (x -2)=f (-x -2)，所以函数f (x )关于直线x =-2轴对称，又因为f x =-f -2-x =-f -2+x =--f -4+x ，所以函数f (x )的周期为4，因为当x ∈[0,1]时，f (x )=x 2-1，所以f (2023)=f 4×506-1 =f -1 =0，f (2024)=f 4×506 =f 0 =-1，所以f (2023)-f (2024)=1.故选：C .22(2024·山东淄博·一模)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P ，Q 是它们的两个公共点，且P ，Q 关于原点对称，∠PF 2Q =2π3，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则e 21e 21+1+3e 22e 22+3的最小值是()A.2+33B.1+33C.233D.433【答案】A【解析】如图，设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义得：PF 1 +PF 2 =2a 1,PF 1 -PF 2 =2a 2，∴PF 1 =a 1+a 2,PF 2 =a 1-a 2，设F 1F 2 =2c ,∠PF 2Q =2π3，根据椭圆与双曲线的对称性知四边形PF 1QF 2为平行四边形，则∠F 1PF 2=π3，则在△PF 1F 2中，由余弦定理得，4c 2=a 1+a 2 2+a 1-a 2 2-2a 1+a 2 a 1-a 2 cosπ3，化简得a 21+3a 22=4c 2，即1e 21+3e 22=4，则e 21e 21+1+3e 22e 22+3=11e 21+1+33e 22+1=11e 21+1+33e 22+1 1e 21+1+3e 22+1×16=16×4+3e 22+11e 21+1+31e 21+1 3e 22+1≥16×4+23e 22+11e 21+1×31e 21+1 3e 22+1=16×4+23 =2+33，当且仅当3e 22+1 2=31e 21+121e 21+3e 22=4，即e 21=33+411<1e 22=38-33=24+9337>1时等号成立，故选：A .23(2024·广东茂名·一模)若α∈π4,3π4 ，6tan π4+α +4cos π4-α =5cos2α，则sin2α=()A.2425B.1225C.725D.15【答案】C 【解析】令t =π4+α，t ∈π2,π ，得α=t -π4，则6tan t +4cos π2-t =5cos 2t -π2，即6tan t +4sin t =5sin2t =10sin t cos t ，整理得5cos t +3 cos t -1 =0，且cos t <0，那么cos t =-35，则sin2α=sin 2t -π2 =-cos2t =1-2cos 2t =725.故选：C .二、多选题24(2024·广东江门·一模)已知曲线E :x x 4+y y8=1，则下列结论正确的是()A.y 随着x 增大而减小B.曲线E 的横坐标取值范围为-2,2C.曲线E 与直线y =-1.4x 相交，且交点在第二象限D.M x 0,y 0 是曲线E 上任意一点，则2x 0+y 0 的取值范围为0,4 【答案】AD【解析】因为曲线E :x x 4+y y8=1，当x ≥0，y ≥0时x 24+y 28=1，则曲线E 为椭圆x 24+y 28=1的一部分；当x >0，y <0时x 24-y 28=1，则曲线E 为双曲线x 24-y 28=1的一部分，且双曲线的渐近线为y =±2x ；当x <0，y >0时y 28-x 24=1，则曲线E 为双曲线y 28-x 24=1的一部分，且双曲线的渐近线为y =±2x ；可得曲线的图形如下所示：由图可知y 随着x 增大而减小，故A 正确；曲线E 的横坐标取值范围为R ，故B 错误；因为-1.4>-2，所以曲线E 与直线y =-1.4x 相交，且交点在第四象限，故C 错误；因为2x 0+y 0 =3×2x 0+y 022+12，即点M x 0,y 0 到直线2x +y =0的距离的3倍，当直线2x +y +c =0与曲线x 24+y 28=1x ≥0,y ≥0 相切时，由x 24+y 28=12x +y +c =0，消去y 整理得4x 2+22cx +c 2-8=0，则Δ=22c 2-16c 2-8 =0，解得c =4(舍去)或c =-4，又2x +y =0与2x +y -4=0的距离d =4 2 2+12=43，所以2x 0+y 0 max =3d =4，所以2x 0+y 0 的取值范围为0,4 ，故D 正确；故选：AD25(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8【答案】BCD【解析】f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3=sin2ωx cos π3+cos2ωx sin π3+sin2ωx cos π3-cos2ωx sin π3+3cos2ωx=sin2ωx +3cos2ωx =2sin 2ωx +π3，对于A ，若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则T =2×π2=π=2π2ω,故ω=1，A 错误，对于B ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3 ，当x ∈0,π2 时，2x +π3∈π3,4π3，则f x 的值域为-3,2 ，B 正确，对于C ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为f x +π6 =2sin 2x +π6 +π3 =2sin 2x +2π3 =2cos 2x +π6，C 正确，对于D ，当x ∈0,π6 时，2ωx +π3∈π3,2ωπ6+π3，若f x 在区间0,π6 上有且仅有两个零点，则2π≤2ωπ6+π3<3π，解得5≤ω<8，故D 正确，故选：BCD26(2024·广东·一模)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的各个顶点都在表面积为3π的球面上，点P 为该球面上的任意一点，则下列结论正确的是()A.有无数个点P ，使得AP ⎳平面BDC 1B.有无数个点P ，使得AP ⊥平面BDC 1C.若点P ∈平面BCC 1B 1，则四棱锥P -ABCD 的体积的最大值为2+16D.若点P ∈平面BCC 1B 1，则AP +PC 1的最大值为6【答案】ACD【解析】令正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的外接球半径为r ，4πr 2=3π，r =32，则BD 1=3,AB =1，连接AB 1,AD 1,B 1D 1，由四边形ABC 1D 1是该正方体的对角面，得四边形ABC 1D 1是矩形，即有AD 1⎳BC 1，而BC 1⊂平面BDC 1，AD 1⊄平面BDC 1，则AD 1⎳平面BDC 1，同理AB 1⎳平面BDC 1，又AB 1∩AD 1=A ,AB 1,AD 1⊂平面AB 1D 1，因此平面AB 1D 1⎳平面BDC 1，令平面ABD 1截球面所得截面小圆为圆M ，对圆M 上任意一点(除点A 外)均有AP ⎳平面BDC 1，A 正确；对于B ，过A 与平面BDC 1垂直的直线AP 仅有一条，这样的P 点至多一个，B 错误；对于C ，平面BCC 1B 1截球面为圆R ，圆R 的半径为22，则圆R 上的点到底面ABCD 的距离的最大值为2+12，因此四棱锥P -ABCD 的体积的最大值为13×1×2+12=2+16，C 正确；对于D ，显然AB ⊥平面BCC 1B 1，在平面BCC 1B 1内建立平面直角坐标系，如图，令点P 22cos θ,22sin θ，而B -12,-12 ,C 112,12，因此AP =1+22cos θ+122+22sin θ+122=2+22(sin θ+cos θ)，PC 1=22cos θ-122+22sin θ-122=1-22(sin θ+cos θ)，令22(sin θ+cos θ)=x ，AP +PC 1=2+x +1-x =2+x +1-x 2≤22+x 2+1-x 2 =6，当且仅当x =-12取等号，此时22(sin θ+cos θ)=-12，即sin θ+π4 =-12，因此AP +PC 1的最大值为6，D 正确.故选：ACD27(2024·广东·一模)已知偶函数f (x )的定义域为R ，f 12x +1 为奇函数，且f (x )在0,1 上单调递增，则下列结论正确的是()A.f -32<0 B.f 43>0 C.f (3)<0D.f 20243>0【答案】BD【解析】因为f x 为偶函数，所以f -x =f x ；因为f 12x +1 是R 上的奇函数，所以f 1 =0，且f x +22 的图象是由f x 2 的图象向左平移2个单位得到的，所以f x 2 的图象关于2,0 点对称，进一步得f x 的图象关于点1,0 中心对称，即f 1+x =-f 1-x .所以f x +2 =f 1+1+x =-f 1-1+x =-f -x =-f x ，所以f x +4 =-f x +2 =f x .所以函数f x 是周期函数，且周期为4；又f x 在0,1 上单调递增，所以在0,1 上，有f x <0.所以函数的草图如下：由图可知：f -32 >0，故A 错；f 43>0，故B 对；f 3 =0，故C 错；f 20243=f 674+23 =f 4×168+2+23 =f 2+23>0，故D 对.故选：BD 28(2024·广东·模拟预测)已知函数f x 的定义域为R ,f x -1 是奇函数，f x +1 为偶函数，当-1≤x ≤1时，f x =2x +1-13x +1，则()A.f x 的图象关于直线x =1对称B.f x 的图象关于点-1,0 对称C.f x +6 =f xD.f 2021 =-34【答案】ABD【解析】设g x =f x -1 ，因为g x 是奇函数，所以g -x =f -x -1 =-g x =-f x -1 ，即f -1+x +f -1-x =0，即f x 关于-1,0 对称，B 正确；设h x =f x +1 ，因为h x 为偶函数，所以h -x =h x ，即f -x +1 =f x +1 ，f 1+x =f 1-x ，所以f x 的关于直线x =1对称，A 正确；由f x 关于-1,0 对称可得f x +f -2-x =0，由f x 的关于直线x =1对称，可得f x =f 2-x ，两式联立得f 2-x +f -2-x =0，令x =x +2得：f -x +f -4-x =0，即f x +f x -4 =0，令x =x -4，得f x -4 +f x -8 =0，即f x =f x -8 ，故f x 的周期为8，故f x +8 =f x ，C 错误；因为T =8，所以f 2021 =f 252×8+5 =f 5 =f -3 ，又f -1+x +f -1-x =0，令x =-2得f -3 +f 1 =0，f 1 =22-131+1=34，所以f 2021 =f -3 =-f 1 =-34，故D 正确.故选：ABD29(2024·高二·福建三明·期中)如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF =12，则下列结论中正确的是()A.异面直线AE ､BF 所成角为定值B.AC ⊥BFC.△AEF 的面积与△BEF 的面积相等D.三棱锥A -BEF 的体积为定值【答案】BD【解析】则A 1,0,0 ，B 1,1,0 ，设E a ,a ,1 ，则F a +24,a +24,1，其中0≤a ≤1-24，AE =(a -1,a ,1)，BF =a +24-1,a +24-1,1 ，cos <AE ,BF >=AE ∙BF|AE |∙|BF |=(2a -1)a +24-1 +1(a -1)2+a 2+1∙2a +24-1 2+1．取a =12时，cos <AE ,BF >=442-122，取a =1-24时，cos <AE ,BF >=29-22，∵442-122≠29-22，∴异面直线AE 、BF 所成角不是定值，故A 错误；由正方体的结构特征可知，DD 1⊥AC ，BD ⊥AC ，又BD ∩DD 1=D ，BD ,DD 1⊂平面BDD 1B 1∴AC ⊥平面BDD 1B 1，又BF ⊂平面BDD 1B 1，则AC ⊥BF ，故B 正确；B 到B 1D 1的距离为BB 1=1，A 到B 1D 1的距离大于上下底面中心的连线，则A 到B 1D 1的距离大于1，∴△AEF 的面积大于△BEF 的面积，故C 错误；∵AC ⊥平面BDD 1B 1，∴A 到平面BDD 1B 1的距离为22，△BEF 的面积为定值，∴三棱锥A -BEF 的体积为定值，故D 正确．故选：BD ．30(2024·湖南·二模)如图，点P 是棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的表面上一个动点，F 是线段A 1B 1的中点，则()A.若点P 满足AP ⊥B 1C ，则动点P 的轨迹长度为42B.三棱锥A -PB 1D 1体积的最大值为163C.当直线AP 与AB 所成的角为45°时，点P 的轨迹长度为π+42D.当P 在底面ABCD 上运动，且满足PF ⎳平面B 1CD 1时，线段PF 长度最大值为22【答案】CD【解析】对于A ，易知B 1C ⊥平面ABC 1D 1,A ∈平面ABC 1D 1，故动点P 的轨迹为矩形ABC 1D 1，动点P 的轨迹长度为矩形ABC 1D 1的周长，即为42+4，所以A 错误；对于B ，因为V A -PD 1D 1=V P -AB 1D 1，而等边△AB 1D 1的面积为定值23，要使三棱锥P -AB 1D 1的体积最大，当且仅当点P 到平面AB 1D 1的距离最大，易知点C 是正方体到平面AB 1D 1距离最大的点，所以V A -PB 1D 1max =V C -AB 1D 1，此时三棱锥C -AB 1D 1即为棱长是22的正四面体，其高为h =22 2-262=43，所以V =1×1×22×22×3×43=8，B 错误；对于C ：连接AC ，AB 1，以B 为圆心，BB 1为半径画弧B 1C，如图1所示，当点P 在线段AC ,AB 1和弧B 1C上时，直线AP 与AB 所成的角为45°，又AC =AB 2+BC 2=4+4=22,AB 1=AB 2+BB 21=4+4=22，弧B 1C 长度14×π×22=π，故点P 的轨迹长度为π+42，故C 正确；对于D ，取A 1D 1,D 1D ,DC ,CB ,BB 1,AB 的中点分别为Q ,R ,N ,M ,T ,H ，连接QR ,QF ,FT ,TM ,MN ,NR ,FH ,HN ,HM ，如图2所示，因为FT ∥D 1C ,FT ⊄平面D 1B 1C ,D 1C ⊂平面D 1B 1C ，故FT ∥平面D 1B 1C ，TM ∥B 1C ，TM ⊄平面D 1B 1C ,B 1C ⊂平面D 1B 1C ，故TM ∥平面D 1B 1C ；又FT ∩TM =T ,FT ,TM ⊂平面FTM ，故平面FTM ∥平面D 1B 1C ；又QF ∥NM ,QR ∥TM ,RN ∥FT ，故平面FTMNRQ 与平面FTM 是同一个平面.则点P 的轨迹为线段MN ：在三角形FNM 中，FN =FH 2+HN 2=4+4=22;FM =FH 2+HM 2=4+2=6;NM =2;则FM 2+MN 2=8=FN 2，故三角形FNM 是以∠FMN 为直角的直角三角形；故FP max =FN =22，故FP 长度的最大值为22，故D 正确.故选：CD .31(2024·湖南·二模)在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且c =b 2cos A +1 ，则下列结论正确的有()A.A =2BB.若a =3b ，则△ABC 为直角三角形C.若△ABC 为锐角三角形，1tan B -1tan A 的最小值为1D.若△ABC 为锐角三角形，则c a 的取值范围为22,233【答案】ABD【解析】对于A ,△ABC 中，由正弦定理得sin C =2sin B cos A +sin B ，由sin C =sin A +B ，得sin A cos B -cos A sin B =sin B ，即sin A -B =sin B ，由0<A ,B <π，则sin B >0，故0<A -B <π，所以A -B =B 或A -B +B =π，即A =2B 或A =π(舍去)，即A =2B ，A 正确；对于B ，若a =3b ，结合A =2B 和正弦定理知a sin A=3b sin2B =b sin B ,cos B =32，又0<A ,B <π，所以可得A =2B =π3,C =π2，B 正确；πππππ3<1.故1tan B -1tan A=1tan B -1-tan 2B 2tan B =1+tan 2B 2tan B >1，C 错误；对于D ，在锐角△ABC 中，由π6<B <π4,22<cos B <32，c a =sin C sin A=sin3B sin2B =sin2B cos B +cos2B sin B sin2B =2cos B -12cos B ，令cos B =t ∈22,32 ，则c a =f t=2t -12t，易知函数f t =2t -12t 单调递增，所以可得c a ∈22,233，D 正确；故选：ABD .32(2024·高二·广东江门·期末)已知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ，直线l :x =-1，过F 的直线交抛物线C 于A x 1，y 1 ，B x 2，y 2 两点，交直线l 于点M ，MA =λ1AF ，MB =λ2BF，则()A.△ABO 的面积的最大值为2 B.y 1y 2=-4C.x 1x 2=1 D.λ1+λ2=0【答案】BCD【解析】设直线AB :x =my +1，由x =my +1y 2=4x得：y 2-4my -4=0.选项A ：S △ABO =12OF ·y 1-y 2 =12y 21+y 22 -4y 1y 2=1216m 2+16≥12×4=2，应是最小值为2，故A 错误；选项B ：y 1y 2=-4，故B 正确；选项C ：x 1=y 214，x 2=y 224,则x 1x 2=(y 1y 2)216=1，故C 正确；选项D ：由MA =λ1AF ，MB =λ2BF ，M -1,-2m，得：y 1+2m =-λ1y 1，y 2+2m=-λ2y 2，∴λ1+λ2=-2-2m 1y 1+1y 2=-2-2m ⋅y 1+y 2y 1y 2=-2-2m ⋅4m-4=0，故D 正确.故选：BCD33(2024·高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习)已知函数f x =sin ωx +π4ω>0 在区间0,π 上有且仅有3条对称轴，给出下列四个结论，正确的是()A.f x 在区间0,π 上有且仅有3个不同的零点B.f x 的最小正周期可能是2π3C.ω的取值范围是94,134D.f x 在区间0,π15 上单调递增【答案】BD【解析】由函数f x =sin ωx +π4ω>0 ，令ωx +π4=π2+k π,k ∈Z ，则x =(1+4k )π4ω,k ∈Z ，函数f (x )在区间0,π 上有且仅有3条对称轴，即0≤(1+4k )π4ω≤π有3个整数k 符合，由0≤(1+4k)π4ω≤π，得0≤1+4k4ω≤1⇒0≤1+4k≤4ω，则k=0，1，2，即1+4×2≤4ω<1+4×3，∴9 4≤ω<134，故C错误；对于A，∵x∈(0,π)，∴ωx+π4∈π4,ωπ+π4，∴ωπ+π4∈5π2,7π2 ，当ωx+π4∈5π2,3π时，f(x)在区间(0,π)上有且仅有2个不同的零点；当ωx+π4∈3π,7π2时，f(x)在区间(0,π)上有且仅有3个不同的零点，故A错误；对于B，周期T=2πω，由94≤ω<134，则413<1ω≤49，∴8π13<T≤8π9，又2π3∈8π13,8π9，所以f(x)的最小正周期可能是2π3，故B正确；对于D，∵x∈0,π15，∴ωx+π4∈π4,ωπ15+π4，又94≤ω<134，∴ωπ15+π4∈2π5,7π15，又7π15<π2，所以f(x)在区间0,π15上一定单调递增，故D正确．故选：BD．34(2024·高一·辽宁丹东·期中)已知f x 是定义在R上的连续函数，且满足f x+y=f x +f y -2xy，当x>0时，f x >0，设g x =f x +x2()A.若f1 ⋅f-1=-3，则f1 =1 B.g x 是偶函数C.g x 在R上是增函数D.x-1g x >0的解集是-∞,0∪1,+∞【答案】ACD【解析】对选项A：取x=y=0得到f0 =f0 +f0 ，即f0 =0，取x=1，y=-1得到f0 =f1 +f-1+2=0，又f1 ⋅f-1=-3，f1 >0，解得f1 =1，正确；对选项B：取y=-x得到f0 =f x +f-x+2x2，即f x +f-x=-2x2，g x +g-x=f x +x2+f-x+x2=0，函数定义域为R，函数为奇函数，错误；对选项C：设x1<x2，则g x2-g x1=f x2+x22-f x1-x21=f x2-x1+x1+x22-f x1-x21=f x2-x1-2x2-x1x1+x22-x21=f x2-x1-2x2x1+x21+x22=f x2-x1+x1-x22，x>0时，f x >0，故f x2-x1>0，x1-x22>0，故g x2-g x1>0，即g x2>g x1，函数单调递增，正确；对选项D：g0 =f0 +0=0，x-1g x >0，当x>1时，g x >0，则x>0，故x>1；当x=1时，不成立；当x<1时，g x <0，则x<0，故x<0；综上所述：x∈-∞,0∪1,+∞，正确；35(2024·湖北·一模)某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数y =1x的图象是双曲线，设其焦点为M ,N ，若P 为其图象上任意一点，则()A.y =-x 是它的一条对称轴B.它的离心率为2C.点2,2 是它的一个焦点D.PM -PN =22【答案】ABD【解析】反比例函数的图象为等轴双曲线，故离心率为2，容易知道y =x 是实轴，y =-x 是虚轴，坐标原点是对称中心，联立实轴方程y =x 与反比例函数表达式y =1x得实轴顶点1,1 ,-1,-1 ，所以a =2,c =2，其中一个焦点坐标应为2,2 而不是2,2 ，由双曲线定义可知PM -PN =2a =22．故选：ABD .36(2024·湖北·一模)已知函数f x =ax 3+bx 2+cx +d 存在两个极值点x 1,x 2x 1<x 2 ，且f x 1 =-x 1，f x 2 =x 2．设f x 的零点个数为m ，方程3a f x 2+2bf x +c =0的实根个数为n ，则()A.当a >0时，n =3B.当a <0时，m +2=nC.mn 一定能被3整除D.m +n 的取值集合为4,5,6,7【答案】AB【解析】由题意可知f x =3ax 2+2bx +c 为二次函数，且x 1,x 2x 1<x 2 为f x 的零点，由f f x =3a f x 2+2bf x +c =0得f x =x 1或f x =x 2，当a >0时，令f x >0，解得x <x 1或x >x 2；令f x <0，解得x 1<x <x 2；可知：f x 在-∞,x 1 ,x 2,+∞ 内单调递增，在x 1,x 2 内单调递减，则x 1为极大值点，x 2为极小值点，若x 1≥0，则-x 1≤0<x 2，因为f x 1 >f x 2 ，即-x 1>x 2，两者相矛盾，故x 1<0，则f x =x 2有2个根，f x =x 1有1个根，可知n =3，若f x 2 =x 2>0，可知m =1，mn =3,m +n =4；若f x 2 =x 2=0，可知m =2，mn =6,m +n =5；若f x 2 =x 2<0，可知m =3，mn =9,m +n =6；故A 正确；当a <0时，令f x >0，解得x 1<x <x 2；令f x <0，解得x <x 1或x >x 2；可知：f x 在x 1,x 2 内单调递增，在内-∞,x 1 ,x 2,+∞ 单调递减，则x 2为极大值点，x 1为极小值点，若x 2≤0，则-x 1>0≥x 2，因为f x 1 <f x 2 ，即-x 1<x 2，两者相矛盾，故x 2>0，若f x =-x >0，即x <0，可知m =1，n =3，mn =3,m +n =4；若f x 1 =-x 1=0，即x 1=0，可知m =2，n =4，mn =8,m +n =6；若f x 1 =-x 1<0，即x 1>0，可知m =3，n =5，mn =15,m +n =8；此时m +2=n ，故B 正确；综上所述：mn 的取值集合为3,6,8,9,15 ，m +n 的取值集合为4,5,6,8 ，故CD 错误；故选：AB .37(2024·湖北·二模)如图，棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为棱DD 1的中点，F 为正方形C 1CDD 1内一个动点(包括边界)，且B 1F ⎳平面A 1BE ，则下列说法正确的有()A.动点F 轨迹的长度为2B.三棱锥B 1-D 1EF 体积的最小值为13C.B 1F 与A 1B 不可能垂直D.当三棱锥B 1-D 1DF 的体积最大时，其外接球的表面积为252π【答案】ABD【解析】对A ，如图，令CC 1中点为M ,CD 1中点为N ,连接MN ，又正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为棱DD 1的中点，可得B 1M ⎳A 1E ,MN ⎳CD 1⎳BA 1，∴B 1M ⎳平面BA 1E ,MN ⎳平面BA 1E ,又B 1M ∩MN =M ，且B 1M ,MN ⊂平面B 1MN ，∴平面B 1MN ⎳平面BA 1E ,又B 1F ⎳平面A 1BE ，且B 1∈平面B 1MN ，∴B 1F ⊂平面B 1MN ，又F 为正方形C 1CDD 1内一个动点(包括边界)，∴F ∈平面B 1MN ∩平面C 1CDD 1，而MN =平面B 1MN ∩平面C 1CDD 1，∴F ∈MN ，即F 的轨迹为线段MN .由棱长为2的正方体得线段MN 的长度为2，故选项A 正确；对B ，由正方体侧棱B 1C 1⊥底面C 1CDD 1，所以三棱锥B 1-D 1EF 体积为V =13B 1C 1⋅S △D 1FE =23S △D 1FE ，所以△D 1FE 面积S △D 1FE 最小时，体积最小，如图，∵F ∈MN ，易得F 在N 处时S △D 1FE 最小，此时S △D 1FE =12ND 1⋅D 1E =12,所以体积最小值为13，故选项B 正确；对C ，当F 为线段MN 中点时，由B 1M =B 1N 可得B 1F ⊥MN ,又CC 1中点为M ,CD 1中点为N ,∴MN ⎳D 1C ，而A 1B ⎳D 1C ，∴B 1F ⊥A 1B ,故选项C 不正确；对D ，如图，当F 在M 处时，三棱锥B 1-D 1DF 的体积最大时，由已知得此时FD =FD 1=FB 1=5,所以F 在底面B 1DD 1的射影为底面外心，DD 1=2,B 1D 1=22,DB 1=23,所以底面B 1DD 1为直角三角形，所以F 在底面B 1DD 1的射影为B 1D 中点，设为O 1，如图，设外接球半径为R ,由R 2=OO 12+O 1B 12=OO 12+3,R +OO 1=FO 1=2,可得外接球半径R =524，外接球的表面积为4πR 2=252π，故选项D 正确.故选：ABD .38(2024·湖北·二模)我们知道，函数y =f (x )的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y =f (x )为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数y =f (x )的图象关于点P (a ,b )成中心对称图形的充要条件是函数y =f (x +a )-b 为奇函数．已知函数f (x )=42x +2，则下列结论正确的有()A.函数f (x )的值域为(0,2]B.函数f (x )的图象关于点(1,1)成中心对称图形C.函数f (x )的导函数f (x )的图象关于直线x =1对称D.若函数g (x )满足y =g (x +1)-1为奇函数，且其图象与函数f (x )的图象有2024个交点，记为A i (x i ,y i )(i =1,2,⋯,2024)，则2024i =1(x i +y i ) =4048【答案】BCD【解析】对于A ，显然f (x )的定义域为R ，2x >0，则0<42x +2<2，即函数f (x )的值域为(0,2)，A 错误；对于B ，令h (x )=f (x +1)-1=42x +1+2-1=22x +1-1=1-2x 1+2x ，h (-x )=1-2-x 1+2-x =2x -12x+1=-h (x )，即函数y =f (x +1)-1是奇函数，因此函数f (x )的图象关于点(1,1)成中心对称图形，B 正确；对于C ，由选项B 知，f (-x +1)-1=-[f (x +1)-1]，即f (1-x )+f (1+x )=2，两边求导得-f (1-x )+f (1+x )=0，即f (1-x )=f (1+x )，因此函数f (x )的导函数f (x )的图象关于直线x =1对称，C 正确；对于D ，由函数g (x )满足y =g (x +1)-1为奇函数，得函数g (x )的图象关于点(1,1)成中心对称，由选项B 知，函数g (x )的图象与函数f (x )的图象有2024个交点关于点(1,1)对称，因此2024i =1(x i +y i ) =2024i =1x i +2024i =1y i =1012×2+1012×2=4048，D 正确.故选：BCD。

新高考数学试卷题型带答案

一、选择题1. 题目：已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的图像与x轴的交点坐标。

答案：将f(x) = 0，解得x = 1 或 x = 3。

因此，f(x)的图像与x轴的交点坐标为(1, 0)和(3, 0)。

2. 题目：在等差数列{an}中，a1 = 2，d = 3，求第10项an的值。

答案：根据等差数列的通项公式an = a1 + (n - 1)d，代入a1 = 2，d = 3，n = 10，得an = 2 + (10 - 1)×3 = 29。

3. 题目：已知三角形ABC中，AB = 5，AC = 8，BC = 10，求sinB的值。

答案：根据勾股定理，得AB^2 + BC^2 = AC^2，即5^2 + 10^2 = 8^2，所以sinB = BC/AC = 10/8 = 5/4。

4. 题目：若向量a = (1, 2)，向量b = (2, -3)，求向量a与向量b的点积。

答案：向量a与向量b的点积为a·b = 1×2 + 2×(-3) = 2 - 6 = -4。

5. 题目：若函数g(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2，求g'(x)的值。

答案：对g(x)求导得g'(x) = 3x^2 - 6x + 4。

二、填空题6. 题目：已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x - 1，求f'(x)的值。

答案：对f(x)求导得f'(x) = 6x^2 - 6x + 2。

7. 题目：在等比数列{bn}中，b1 = 3，q = 2，求第5项bn的值。

答案：根据等比数列的通项公式bn = b1·q^(n-1)，代入b1 = 3，q = 2，n = 5，得bn = 3×2^(5-1) = 48。

8. 题目：若函数h(x) = e^x - x，求h''(x)的值。

高中数学新题型选编(共70个题)

高中数学新题型选编（共70个题）（一）1、（Ⅰ）已知函数：1()2()(),([0,),)n n n f x x a x a x n N −∗=+−+∈+∞∈求函数()f x 的最小值;（Ⅱ）证明:()(0,0,)22n n na b a b a b n N ∗++≥>>∈；（Ⅲ）定理:若123,,k a a a a L 均为正数,则有123123()n n nn nk k a a a a a a a a k k++++++++≥L L 成立(其中2,,)k k N k ∗≥∈为常数．请你构造一个函数()g x ，证明：当1231,,,,,k k a a a a a +L 均为正数时，12311231(11n n n n nk k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++L L ．解：（Ⅰ）令111'()2()0n n n f x nx n a x −−−=−+=得11(2)()2n n x a x x a x x a −−=+∴=+∴=…2分当0x a ≤≤时，2x x a<+'()0f x ∴≤故()f x 在[0,]a 上递减．当,'()0x a f x >>故()f x 在(,)a +∞上递增．所以，当x a =时，()f x 的最小值为()0f a =.….4分（Ⅱ）由0b >，有()()0f b f a ≥=即1()2()()0n n n n f b a b a b −=+−+≥故()(0,0,)22n n na b a b a b n N ∗++≥>>∈．………………………………………5分（Ⅲ）证明:要证：12311231()11n n n n nk k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++L L 只要证：112311231(1)()()n n n nn nk k k a a a a a a a a −+++++++≥++++L L 设()g x =1123123(1)()()n n n nn n k a a a x a a a x −+++++−++++L L …………………7分则11112'()(1)()n n n k g x k nx n a a a x −−−=+⋅−++++L 令'()0g x =得12ka a a x k+++=L …………………………………………………….8分当0x ≤≤12ka a a k+++L 时，1112'()[(]()n n k g x n kx x n a a a x −−=+−++++L ≤111212()()0n n k k n a a a x n a a a x −−++++−++++=L L 故12()[0,k a a a g x k +++L 在上递减，类似地可证12()(,)ka a a g x k++++∞L 在递增所以12()k a a a x g x k +++=L 当时，的最小值为12()ka a a g k+++L ………………10分而11212121212()(1)[(](n n n n n nk k k k ka a a a a a a a a g k a a a a a a k k k−+++++++++=+++++−++++L L L L L =1121212(1)[()()(1)()]n n n n n n n k k k nk k a a a a a a k a a a k−++++++++−++++L K L=11212(1)()()]n n n n n n k k nk k a a a k a a a k −++++−+++L L =1112121(1)()()]n n n n n n k k n k k a a a a a a k−−−++++−+++L L 由定理知:11212()()0n n n nn k k k a a a a a a −+++−+++≥L L 故12()0k a a a g k+++≥L 1211[0,)()()0kk k a a a a g a g k+++++∈+∞∴≥≥L Q 故112311231(1)()()n n n nn nk k k a a a a a a a a −+++++++≥++++L L 即:12311231()11n n n n n k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++L L .…………………………..14分2、用类比推理的方法填表等差数列{}n a 中等比数列{}n b 中32a a d +＝q b b •=233425a a a a +=+5243b b b b •=•1234535a a a a a a ++++=答案：5354321b b b b b b =••••3、10．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质：（i ）1*1=1，（ii ）（n +1）*1=n *1+1，则n *1等于A ．nB ．n +1C ．n -1D ．2n 答案：D4、若)(n f 为*)(12N n n ∈+的各位数字之和，如：1971142=+，17791=++，则17)14(=f ;记=∈===+)8(*,)),(()(,)),(()(),()(20081121f N k n f f n f n f f n f n f n f kk 则K ____答案：55、下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD 的侧面与底面。

高中数学【新高考新题型】专题练习

高中数学【新高考新题型】专题练习新题型一多选题多选题常对多个对象(知识点)进行考查，也可对同一对象从不同角度进行考查，解法灵活，如直推法、验证法、反例法、数形结合法等均可使用，但必须对每个选项作出正确判断，才能得出正确答案.【例1】 (1)有一组样本数据x 1，x 2，…，x n ，由这组数据得到新样本数据y 1，y 2，…，y n ，其中y i ＝x i ＋c (i ＝1，2，…，n )，c 为非零常数，则( ) A.两组样本数据的样本平均数相同 B.两组样本数据的样本中位数相同 C.两组样本数据的样本标准差相同 D.两组样本数据的样本极差相同(2)如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点，则满足MN ⊥OP 的是( )(3)已知O 为坐标原点，点P 1(cos α，sin α)，P 2(cos β，－sin β)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A (1，0)，则( ) A.|OP 1→|＝|OP 2→| B.|AP 1→|＝|AP 2→|C.OA →·OP 3→＝OP 1→·OP 2→D.OA →·OP 1→＝OP 2→·OP 3→答案 (1)CD (2)BC (3)AC解析 (1)∵y －＝1n (y 1＋y 2＋…＋y n ) ＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )＋c ，∴y －＝x －＋c 且c ≠0，因此A 错误；显然第一组数据与第二组数据的中位数相差c ，B 错误；因为D (y )＝12·D (x )＝D (x )，故两组样本数据的方差相同，C 项正确；由极差的定义知：若第一组的极差为x max －x min ，则第二组的极差为y max －y min ＝x max －x min ，故两组样本数据的极差相同，D 项正确. (2)设正方体的棱长为2.对于A ，如图(1)所示，连接AC ，则MN ∥AC ，故∠POC (或其补角)为异面直线OP ，MN 所成的角.在直角三角形OPC 中，∠POC 为锐角，故MN ⊥OP 不成立，故A 错误；图(1)对于B ，如图(2)所示，取MT 的中点为Q ，连接PQ ，OQ ，则OQ ⊥MT ，PQ ⊥MN .由正方体SBCN-MADT 可得SM ⊥平面MADT ，而OQ ⊂平面MADT ，故SM ⊥OQ ，又SM ∩MT ＝M ，SM ，MT ⊂平面SNTM ，故OQ ⊥平面SNTM ，又MN ⊂平面SNTM ，所以OQ ⊥MN ，又OQ ∩PQ ＝Q ，OQ ，PQ ⊂平面OPQ ，所以MN ⊥平面OPQ ，又OP ⊂平面OPQ ，故MN ⊥OP ，故B 正确；图(2) 图(3)对于C ，如图(3)，连接BD ，则BD ∥MN ，由B 的判断可得OP ⊥BD ，故OP ⊥MN ，故C 正确；对于D ，如图(4)，取AD 的中点Q ，AB 的中点K ，连接AC ，PQ ，OQ ，PK ，OK ，则AC ∥MN .因为DP ＝PC ，故PQ ∥AC ，故PQ ∥MN ，所以∠QPO (或其补角)为异面直线PO ，MN 所成的角，图(4)因为正方体的棱长为2，故PQ ＝12AC ＝2，OQ ＝AO 2＋AQ 2＝1＋2＝3，PO ＝PK 2＋OK 2＝4＋1＝5，QO 2<PQ 2＋OP 2，故∠QPO 不是直角，故PO ，MN 不垂直，故D 错误.故选BC. (3)由题意可知，|OP 1→|＝cos 2α＋sin 2α＝1，|OP 2→|＝cos 2β＋（－sin β）2＝1，所以|OP 1→|＝|OP 2→|，故A 正确；取α＝π4，则P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，取β＝5π4，则P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，则|AP 1→|≠|AP 2→|，故B 错误；因为OA →·OP 3→＝cos(α＋β)，OP 1→·OP 2→＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)，所以OA →·OP 3→＝OP 1→·OP 2→，故C 正确；因为OA →·OP 1→＝cos α，OP 2→·OP 3→＝cos βcos(α＋β)－sin βsin(α＋β)＝cos(α＋2β)，取α＝π4，β＝π4，则OA →·OP 1→＝22，OP 2→·OP 3→＝cos 3π4＝－22，所以OA →·OP 1→≠OP 2→·OP 3→，故D 错误.故选AC. 新题型二多空题与开放型填空题 1.多空题分为三类：(1)并列式(两空相连).根据题设条件，利用同一解题思路和过程，可以一次性得出两个空的答案，两空并答，题目比较简单.会便全会，这类题目在高考中一般涉及较少，常考查一些基本量的求解；(2)分列式(一空一答).两空的设问相当于一个题目背景下的两道小填空题，两问之间没什么具体联系，各自成题，是对于多个知识点或某知识点的多个角度的考查；两问之间互不干扰，不会其中一问，照样可以答出另一问；(3)递进式(逐空解答).两空之间有着一定联系，一般是第二空需要借助第一空的结果再进行作答，第一空是解题的关键，也是解答第二空的基础. 2.开放型填空题的特点是正确的答案不唯一，一般可分为： (1)探索型(一是条件探索型，二是结论探索型)； (2)信息迁移型； (3)组合型等类型.【例2】 (1)已知a ＝(2，1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0，1)，则(a ＋b )·c ＝________；a ·b ＝________.(2)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20 dm ×12 dm 的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm ×12 dm ，20 dm ×6 dm 两种规格的图形，它们的面积之和S 1＝240 dm 2，对折2次共可以得到5 dm ×12 dm ，10 dm ×6 dm ，20 dm ×3 dm 三种规格的图形，它们的面积之和S 2＝180 dm 2，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为________；如果对折n 次，那么∑nk ＝1S k ＝________ dm 2.答案 (1)0 3 (2)5 240⎝⎛⎭⎪⎫3－n ＋32n解析 (1)计算可得(a ＋b )·c ＝(4，0)·(0，1)＝0，a ·b ＝4－1＝3.(2)依题意得，S 1＝120×2＝240(dm 2)； S 2＝60×3＝180(dm 2)；当n ＝3时，共可以得到5 dm ×6 dm ，52 dm ×12 dm ，10 dm ×3 dm ，20 dm ×32 dm 四种规格的图形，且5×6＝30，52×12＝30，10×3＝30，20×32＝30，所以S 3＝30×4＝120(dm 2)；当n ＝4时，共可以得到5 dm ×3 dm ，52 dm ×6 dm ，54 dm ×12 dm ，10 dm ×32 dm ，20 dm ×34 dm 五种规格的图形，所以对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5，且5×3＝15，52×6＝15，54×12＝15，10×32＝15，20×34＝15，所以S 4＝15×5＝75(dm 2)； ……所以可归纳S k ＝2402k ·(k ＋1)＝240（k ＋1）2k(dm 2). 所以∑nk ＝1S k ＝240⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋322＋423＋…＋n 2n －1＋n ＋12n ，① 所以12×∑nk ＝1S k＝240×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫222＋323＋424＋…＋n 2n ＋n ＋12n ＋1，② 由①－②得，12·∑nk ＝1S k＝240⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋122＋123＋124＋…＋12n －n ＋12n ＋1 ＝240⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122－12n ×121－12－n ＋12n ＋1＝240⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32－n ＋32n ＋1，所以∑nk ＝1S k ＝240⎝⎛⎭⎪⎫3－n ＋32n dm 2.【例3】 (1)若P (cos θ，sin θ)与Q ⎝ ⎛cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ值________.(2)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f (x )：________. ①f (x 1x 2)＝f (x 1)f (x 2)；②当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0；③f ′(x )是奇函数. 答案 (1)5π12⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＝5π12＋k π，k ∈Z ，答案不唯一(2)f (x )＝x 4(答案不唯一，f (x )＝x 2n (n ∈N *)均满足)解析 (1)由题意知，点P ，Q 都在单位圆上，且θ＋θ＋π6＝π＋2k π，k ∈Z ，所以θ＝5π12＋k π，k ∈Z . (2)取f (x )＝x 4，则f (x 1x 2)＝(x 1x 2)4＝x 41x 42＝f (x 1)f (x 2)，满足①；f ′(x )＝4x 3，x >0时有f ′(x )>0，满足②； f ′(x )＝4x 3的定义域为R ，又f ′(－x )＝－4x 3＝－f ′(x )，故f ′(x )是奇函数，满足③. 新题型三结构不良型解答题(1)结构不良型解答题多出现在三角函数和解三角形、数列两部分内容，但有时也出现在其他章节，有三选一和三选二两种类型.(2)解答此类题型，要注意仔细审视条件，切忌浅尝辄止，反复变更条件解答. 【例4】在①ac ＝3，②c sin A ＝3，③c ＝3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ＝ 3sin B ，C ＝π6，________？(注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.)解方案一：选条件①.由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab ＝32. 由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b . 于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32，由此可得b ＝c . 由①ac ＝3，解得a ＝3，b ＝c ＝1.因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c ＝1. 方案二：选条件②.由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab ＝32. 由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b . 于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32，由此可得b ＝c ，B ＝C ＝π6，A ＝2π3. 由②c sin A ＝3，解得c ＝b ＝23，a ＝6.因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c ＝2 3. 方案三：选条件③.由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab ＝32. 由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b . 于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32，由此可得b ＝c . 由③c ＝3b ，与b ＝c 矛盾.因此，选条件③时问题中的三角形不存在. 【例5】已知在△ABC 中，c ＝2b cos B ，C ＝2π3. (1)求B 的大小；(2)在三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一确定，并求BC 边上的中线的长度.①c＝2b；②周长为4＋23；③面积为S△ABC ＝334.(注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.)解(1)由正弦定理bsin B＝csin C，得sin C＝c sin Bb，又c＝2b cos B，所以sin C＝2sin B cos B＝sin 2B，又A，B，C为△ABC的内角，C＝2π3，故C＝2B(舍)或C＋2B＝π，即B＝π6.(2)由(1)知，c＝3b，故不能选①.选②，由(1)知A＝π－2π3－π6＝π6，设BC＝AC＝2x，则AB＝23x，故周长为(4＋23)x＝4＋23，解得x＝1.从而BC＝AC＝2，AB＝2 3.设BC中点为D，则在△ABD中，由余弦定理，得cos B＝AB2＋BD2－AD22·AB·BD＝12＋1－AD243＝32，解得AD＝7.故BC边上的中线长为7. 选③，设BC＝AC＝2x，则AB＝23x，故S△ABC ＝12·2x·2x·sin2π3＝3x2＝334，解得x＝32，从而BC＝AC＝3，AB＝3.设BC中点为D，则在△ABD中，由余弦定理，得cos B＝AB2＋BD2－AD22·AB·BD＝9＋⎝⎛⎭⎪⎫322－AD233＝32，解得AD＝212.故BC边上的中线长为212.。

新高考高三数学专题试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且对称轴为x = -1，则a的取值范围是（）A. a > 0B. a < 0C. a ≥ 0D. a ≤ 02. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5 = 50，S9 = 90，则第10项a10的值为（）A. 10B. 15C. 20D. 253. 若复数z满足|z - 3| = |z + 1|，则复数z对应的点在（）A. x轴上B. y轴上C. 第一象限D. 第二象限4. 函数f(x) = log2(x - 1) + 3x - 2的值域为（）A. (2, +∞)B. (-∞, 2]C. (-∞, +∞)D. [2, +∞)5. 若直线y = kx + b与圆(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 1相切，则k和b的关系是（）A. k^2 + b^2 = 1B. k^2 + b^2 = 2C. k^2 + b^2 = 3D. k^2 + b^2 = 46. 若函数g(x) = |x - 2| + |x + 3|，则g(x)的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 6在区间[1, 2]上单调递增，则f(x)在区间[0, 1]上的单调性是（）A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增8. 若等比数列{an}的首项a1 = 1，公比q = 2，则数列的前n项和Sn = （）A. 2n - 1B. 2^n - 1C. 2n - 2D. 2^n - 29. 若函数h(x) = x^2 - 4x + 4在区间[0, 2]上的图像关于x = 1对称，则h(x)在区间[0, 2]上的最大值为（）A. 0B. 2C. 4D. 610. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z对应的点在（）A. x轴上B. y轴上C. 第一象限D. 第二象限二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向下，且顶点坐标为(1, -2)，则a = ，b = ，c = 。

江苏省四校联合2024届高三新题型适应性考试数学试题+答案

江苏省四校联合2024届高三新题型适应性考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．使用斜二测画法作一个五边形的直观图，则直观图的面积是原来五边形面积的A ．12倍 B C ．14倍 D 倍 2．已知a ，b 是两个不共线的单位向量，向量 (,)c a b λµλµ=+∈R，则“0λ>且0µ>”是“()0c a b ⋅+>”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，41S =，84S =，则17181920a a a a +++=A ．7B ．8C ．9D ．104．设i a = A ．1−B ．1C ．0D ．25．甲、乙、丙、丁四人参加书法比赛，四人对于成绩排名的说法如下．甲说：“乙在丙之前”，乙说：“我在第三名”，丙说：“丁不在第二名，也不在第四名”，丁说：“乙在第四名”．若四人中只有一个人的说法是错误的，则甲的成绩排名为 A ．第一名B ．第二名C ．第三名D ．第四名6．已知P 为抛物线24x y =上一点，过P 作圆22(3)1x y +−=的两条切线，切点分别为A ，B ，则cos APB ∠的最小值为 A ．12B ．23C ．34D ．787．若全集为U ，定义集合A 与B 的运算：{|}A B x x A B x A B ⊗=∈∉ 且，则()A B B ⊗⊗= A ．A B ．BC ．U A BD ．U B A8．设14a =，112ln(sin cos )88b +，55ln 44c =，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b a c <<二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

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