专题三全等变换(旋转)相似变换的应用

合集下载

初中数学知识归纳相似变换和全等变换的性质

初中数学知识归纳相似变换和全等变换的性质相似变换和全等变换是初中数学中非常重要的概念，它们在几何图形的研究和解决问题中起着至关重要的作用。

了解它们的性质和特点，能够帮助我们更好地理解几何图形的变换过程，并能够应用于各种数学问题的解决中。

一、相似变换的性质相似变换是指在平面上进行的一种变换，通过等比例的缩放、平移、旋转或镜像等操作，将一个图形变换成另一个与之相似的图形。

相似变换的性质如下：1. 边长比例相等：在相似变换中，两个相似图形的对应边的长度之比是相等的。

即若两个图形A和B相似，对应边的长度之比为a:b，则可以表示为AB/aB = AC/aC = BC/bC。

2. 角度相等：在相似变换中，两个相似图形的对应角的度数是相等的。

即若两个图形A和B相似，对应角的度数相等，可以表示为∠A = ∠B。

3. 面积比例相等：在相似变换中，两个相似图形的面积之比等于对应边长的平方之比。

即若两个图形A和B相似，对应边长之比为a:b，则面积之比为A: B = (a^2:b^2)。

4. 直线平行：在相似变换中，图形中直线的平行性保持不变。

即如果两个图形A和B相似，那么其中的平行线段保持平行关系。

二、全等变换的性质全等变换也是一种平面上的变换，通过平移、旋转和镜像等操作，将一个图形变换成另一个与之完全重合的图形。

全等变换的性质如下：1. 边长相等：在全等变换中，两个全等图形的对应边的长度是相等的。

即若两个图形A和B全等，则它们对应边的长度是完全相等的，可以表示为AB = aB = aC = BC。

2. 角度相等：在全等变换中，两个全等图形的对应角的度数是相等的。

即若两个图形A和B全等，则对应角的度数是完全相等的，可以表示为∠A = ∠B。

3. 面积相等：在全等变换中，两个全等图形的面积是相等的。

若两个图形A和B全等，则它们的面积完全相等，可以表示为A = B。

4. 其他性质：全等变换还具有对称性、传递性和自反性等性质。

旋转变换说课-31页精品文档

• 通过作图题，请学生以小组为单位，讨论以下问题：经过旋转变换所得的图形与原图形什么“变”了，
什么“没变”？
设计目的：让学生通过两个图形的比较，探索旋转变换的性质。
这两个问题，让学生分小组展开讨论,鼓励学生从多角度来看问题，并指导学生进行归纳、总结，同时还可组织组与组之间的评比，让课堂营造一种和谐、热烈的气氛，也能培养他们的竞争意识。然后每组由一名学生代表发言，让学生锻炼自己的几何语言表达能力，让学生的个性得到充分的展示。最后教师根据学生发言情况，适时地调整教学，得出图形的旋转变换的性质。
让学生观察一组生活中常见的物体，如：时钟、风扇、方向盘等
这些物体的运动有什么共同的特点？
设计意图：从学生身边熟悉的物体引入，并提出具有启发性的问题,能够调动学生的积极思维，体会数学知识在日常生活中的应用。
• 4．2指导观察，认识新知。
引导学生观察刚才的图形，提出下列问题：物体各部分的转动方向一样吗？转动的角度一样吗？通过这一系列的问题，然后由学生讨论得出旋转及旋转中心的概念。
情感目标：通过学习让学生感受生活，体会数学知识与丰富的生活世界的紧密联系，引起学生的共鸣，激发学生的学习兴趣。
2.2 重点难点
重点：旋转变换的概念和性质。难点：作出图形旋转变换后的像；
旋转变换的性质及其应用。
三、说教法
• 3． 1 教法分析
针对本节课的特点，我准备采用“创设情境—观察探索—归纳总结—应用拓展”为主线的教学方法。在教学过程中引导学生通过观察、思考、探索、交流获得知识,形成技能,在教学过程中注意创设思维情境,坚持以学生为主体,教师为主导，让学生在老师的引导下自始至终处于一种积极思维、主动探究的学习状态。使课堂洋溢着轻松和谐、探索进取的气氛,而教师在其中当好课堂教学的组织者、管理者和参与者。同时借助多媒体进行演示,以增加课堂容量和教学的直观性。

【中考数学专题】三大变换之旋转（三垂直模型）

【中考数学专题】三大变换之旋转（三垂直模型）上一篇我们了解了关于手拉手模型的一些内容，同样作为模型，但“三垂直”的定位和“手拉手”并不相同，“手拉手”本身可以作为问题，而“三垂直”更多地作为一种方法来帮助解决问题，因而我们要了解的侧重点也会有所调整，依然有三点：（1）三垂直模型的构成；（2）什么条件下考虑构造三垂直；（3）构造三垂直能带来什么．01三垂直模型的构成△ABC是等腰直角三角形，一条直线过点C，分别过A、B向该直线作垂线，垂足分别为D、E，则△ADC≌△CEB．【小结】尝试用文字来描述三垂直模型：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型．（等腰、直角、作垂直）【思考】“等腰、直角、作垂直”在证明全等中所发挥的作用是什么？等腰——可得一组对应边相等；直角+作垂直——可得两组角对应相等．【弱化条件】（1）如果没有等腰？依然可以构造三垂直，只不过得到的是三垂直相似，而非三垂直全等．如图，有△ADC∽△CEB．特别地，若点C为BD中点，则△ADC∽△CEB∽△ACB．（2）如果没有直角？直角与作垂直是配套的，最终的结果是有三个直角，其价值不在于它们是特殊角，而是它们都相等，所以即便没有直角，换成三个相等的角亦可，即“一线三等角”模型举个关于一线三等角的例题：2018遵义中考-对称章节里见过看个例子就可以了，今儿不聊一线三等角的事．02什么条件下构造三垂直？根据问题一的分析已经很明显了，可以没有等腰，但需要有直角，当然如果是等腰直角那就再好不过了．那看到有直角就考虑构造三垂直？当然也不是，起码问题得和直角相关，并且这个直角是斜着的．引例1-几何图中的构造三垂直引例2-坐标系中的构造三垂直【小结】尤其是在坐标系中，构造三垂直可以帮助计算点坐标或直线解析式，并且触发条件除了直角之外，也可以是其他确定的角，比如45°角．引例3-45°角构造三垂直全等【小结】设计坐标系中构造三垂直，尽可能让直角顶点是已知点，会简便计算，如上题中的第一种作图优于第二种．除了45°之外，坐标系中出现其他的确定角，亦可构造三垂直．引例4-已知角构造三垂直相似这其实本身不应该是一个问题，而是对前文的思考．三垂直是如何帮助我们解决问题的？构造三垂直全等，一方面可以得到相等线段，在几何图形中作等量代换．另外在坐标系中构造三垂直全等，可实现“化斜为直”，用水平或竖直线段刻画图中的点与线，会更方便计算．继续来看相关中考真题：2019宜昌中考2017苏州园区模拟2019十堰中考2019无锡中考2019沈阳中考2016河南中考（居然有备用卷）【写在最后】知其然，知其所以然；知其用，知其何以用．来源：有一点数学，作者刘岳。

专题7 类比探究—图形旋转中三角形相似题型(学生版)

专题7类比探究—图形旋转中三角形相似题型知识归纳图形的类比探究常以三角形、四边形为背景，与翻折、旋转相结合，考查三角形全等或相似的性质与判定，难度较大．此类题目第一问相对简单，后面的问题需要结合第一问的方法进行类比解答．根据其特征大致可分为：几何变换类比探究问题、旋转综合问题、翻折类问题等。

本专题主要对类比探究—图形旋转中三角形相似题型进行总结，对其解法进行归纳总结，所选题型为近几年期末考试中的常考题型。

知识点睛（1）类比探究属于几何综合题，类比（类比字母，类比辅助线，类比思路）是解决此问题的主要方法，做好类比需要把握变化过程中的不变特征．（2）类比探究问题中常见结构举例①旋转结构②中点结构（类）倍长中线平行夹中点中位线方法总结（1）类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单情形到复杂情形）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主．（2）解决类比探究问题的一般方法：①根据题干条件，结合分支条件先解决第一问；②用解决第一问的方法类比解决下一问，整体框架照搬．整体框架照搬包括照搬字母，照搬辅助线，照搬思路。

（3）用铅笔做讲义第1，2题，并将计算、演草保留在讲义上，先看知识点睛，再做题，思路受阻时（某个点做了2~3分钟）重复上述动作，若仍无法解决，课堂重点听．常考题型专练一、解答题1.在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．（1）如图1，当α＝60°时，①求证：PA＝DC；②求∠DCP的度数；（2）如图2，当α＝120°时，请直接写出PA和DC的数量关系．（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP=31，请直接写出点D到CP的距离为．2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到Rt△A′B′C，A′C与AB交于点D．（1）如图1，当A′B′∥AC时，过点B作BE⊥A′C，垂足为E，连接AE．①求证：AD＝BD；②求S△ACE S△ABE的值；（2）如图2，当A′C⊥AB时，过点D作DM∥A′B′，交B′C于点N，交AC的延长线于点M，求DN NM的值．3.（1）问题发现如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空：①的值为；②∠AMB的度数为．（2）类比探究如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由；（3）拓展延伸在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB=，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．4．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．（1）观察猜想如图1，当α＝60°时，的值是，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是．（2）类比探究如图2，当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．5.已知，ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2α°，点D为BC边中点，连接AD，点E为线段AD上一动点，把线段CE 绕点E顺时针旋转2α°得到线段EF，连接FG，FD．（1）如图1，当∠BAC＝60°时，请直接写出BFAE的值；（2）如图2，当∠BAC＝90°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；（3）如图3，当点E在AD上移动时，请直接写出点E运动到什么位置时DFDC的值最小．最小值是多少？（用含α的三角函数表示）6．在ABC ∆中，CA CB =，(0180)ACB αα∠=<<．点P 是平面内不与A ，C 重合的任意一点，连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，CP 点M 是AB 的中点，点N 是AD 的中点．（1）问题发现,如图1，当60α=时，MN PC 的值是，直线MN 与直线PC 相交所成的较小角的度数是；（2）类比探究，如图2，当120α=时，请写出MN PC的值及直线MN 与直线PC 相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由；（3）解决问题，如图3，当90α=时，若点E 是CB 的中点，点P 在直线ME 上，MN =请直接写出点B ，P ，D 在同一条直线上时PD 的长．7.如图(1)，在矩形ABCD中，AD＝nAB，点M，P分别在边AB，AD上(均不与端点重合)，且AP＝nAM，以AP和AM为邻边作矩形AMNP，连接AN，CN.【问题发现】（1）如图(2)，当n＝1时，BM与PD的数量关系为，CN与PD的数量关系为.【类比探究】（2）如图(3)，当n＝2时，矩形AMNP绕点A顺时针旋转，连接PD，则CN与PD之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图(3)给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图(3)说明理由.【拓展延伸】（3）在(2)的条件下，已知AD＝4，AP＝2，当矩形AMVP旋转至C，N，M三点共线时，请直接写出线段CN的长8.(1)问题发现如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=45°，点D是线段AB上一动点，连接BE.填空:①BEAD的值为；②∠DBE的度数为.(2)类比探究如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=60°，点D是线段AB上一动点，连接BE.请判断BEAD的值及∠DBE的度数，并说明理由.(3)拓展延伸如面3，在(2)的条件下，将点D改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段DE的中点M，连接BM、CM，若AC=2，则当△CBM是直角三角形时，线段BE的长是多少?请直接写出答案.。

全等变换在证题中的应用

的是
质，
・．．
Ｂ＝ＡＢｒＣ／Ｃ全等三角形对应角相等），
故Ａ＝ＢＡＣ（等角对等边）．
２．旋转变换
旋转变换是把某个图形绕一定点旋转，从一个位置旋转到另一
个位置上的变换方法．这个定点通常是线段的端点、中点或是图形
新课标下的 “ 间与图形 ” 中的图形与变换主要有全等变换、空相似变换和等积变换．教材重点介绍了利用全等变换和相似变换的方法来画空间图形．而用图形变换的性质来解决其他有关问题的内容却涉及较少．此，本文就重点谈谈如何利用全等变换的方法来因解ｆ证）几何问题．只改变图形位置，而不改变其形状大小的图形变换，称做全等变换．等变换又分为平移变换、旋转变换和对称变换等．全
・．
‘
Ｄ、分别为、ｃＥＢ的中点，．ＥＣ・ ∥Ｂ．．Ｄ
四边形ＤＣＥＦ是平行四边形．
ＥＦ＝ＤＣ＝ＢＥ，ＥＢＣ＝／ＤＣ最
又＂Ｆ／Ｃ．／Ｄ。＇Ｅ
・．． ‘ ．．
又‘ ＝． ‘ ＢＣＣＤ＝ＥＣＢ，
‘
．．
ＡＢＤ￣ＡＥＣｆ・５ＣＢ５Ａ・），
３．对称变换弓一口口广ｍ岍订工口口广一口岍一口口ＤＬＴ．ＪＴ
Ｐ ≥ 偌、、三点共线时，，ｔＰｒ则取“ ” ）＝号．

图形的相似与全等关系

图形的相似与全等关系图形是我们日常生活中常见的事物，无论是自然界中的山水、花草，还是人造物中的建筑、家具，都离不开图形的存在。

图形的相似与全等关系是几何学中的重要概念，它们帮助我们理解和描述图形之间的关系，进而解决实际问题。

本文将探讨图形的相似与全等关系，并探讨它们在几何学中的应用。

一、相似关系相似关系是指两个图形在形状上相似，但大小不一样。

具体来说，如果两个图形的对应边成比例，对应角相等，那么这两个图形就是相似的。

例如，两个三角形的对应边长比相等，对应角相等，那么这两个三角形就是相似的。

相似关系在几何学中有着广泛的应用。

首先，相似关系可以帮助我们计算图形的未知边长或角度。

通过已知边长或角度的比例关系，我们可以推导出未知边长或角度的值。

其次，相似关系还可以用于解决实际问题。

例如，在地图上测量两个城市之间的距离时，我们可以利用相似三角形的性质，通过测量已知距离和角度，计算出未知距离。

二、全等关系全等关系是指两个图形在形状和大小上完全相同。

具体来说，如果两个图形的对应边长相等，对应角度相等，那么这两个图形就是全等的。

例如，两个三角形的对应边长和角度都相等，那么这两个三角形就是全等的。

全等关系在几何学中也有着重要的应用。

首先，全等关系可以帮助我们证明两个图形的性质相同。

通过证明两个图形全等，我们可以得出它们其他性质的相等。

其次，全等关系还可以用于解决实际问题。

例如，在建筑设计中，我们需要保证两个房间的大小和形状完全相同，这就要求我们在设计和施工过程中保持全等关系。

三、相似与全等的区别相似关系和全等关系在几何学中都起着重要的作用，但它们之间有着明显的区别。

首先，相似关系只要求对应边成比例和对应角相等，而不要求对应边长相等。

而全等关系则要求对应边长和角度都相等。

其次，相似关系下的图形可以有不同的大小，而全等关系下的图形大小完全相同。

最后，相似关系可以通过缩放、旋转和翻转等变换得到，而全等关系则只能通过平移、旋转和翻转等刚性变换得到。

中考数学专题训练-旋转模型几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补

几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎩等腰三角形手拉手模型等腰直角三角形（包含正方形）等边三角形（包含费马点）特殊角旋转变换对角互补模型一般角特殊角角含半角模型一般角等线段变换（与圆相关）【练1】在ABC△中，AB AC=，BACα∠=（060α︒<<︒），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出ABD∠的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，15060BCE ABE∠=︒∠=︒，，判断ABE△的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连结DE，若45DEC∠=︒，求α的值．真题演练知识关联图专题3：手拉手模型：全等和相似包含：等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来（1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等）（2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等）（3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等）（4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似）1．等边三角形共顶点等边△ABC 与等边△DCE ，B 、C 、E 三点共线．连结BD 、AE 交于点F ，BD 交AC 于点G ，AE 交DC 于点H ，连结CF 、GH ，则：（1）△BCD ≌△ACE ；（2）AE ＝BD ；（3）∠AFB ＝∠DFE ＝60°；（4）FC 平分∠BFE ；（5）BF ＝AF ＋FC ，EF ＝DF ＋FC ；（6）△CGH 为等边三角形H GF ED CBA例题精讲2．等腰直角三角形共顶点等腰Rt △ABC 与等腰Rt △DCE 中，∠ACB ＝∠DCE ＝90°．如图1，连结BD 、AE 交于点F ，连结FC 、AD 、BE ，则：（1）△BCD ≌△ACE ；（2）AE ＝BD ；（3）AE ⊥BD ；（4）FC 平分∠BFE ；（5）AB 2＋DE 2＝AD 2＋BE 2（6）BF ＝AFFC ，EF ＝DFFC ；（7）如图2，若G 、I 分别为BE 、AD 的中点，则GC ⊥AD 、IC ⊥BE （反之亦然）；（8）S △ACD ＝S △BCE3．等腰三角形共顶点等腰△ACB 与等腰△DCE 中，AC ＝BC ，DC ＝CE ，且∠ACB ＝∠DCE ．连结BD ，AE 交于点F ，则：（1）△BCD ≌△ACE ；（2）AE ＝BD ；（3）∠AFB ＝∠ACB ；（4）FC 平分∠BFE ． 4．相似三角形共顶点 △ACB 与△ECD 中，AC BCEC DC，∠ACB ＝∠EC D ．连结BD ，AE 交于点F ，则：（1）△BCD ∽△ACE ；（2）∠AFB ＝∠AC B ．图1ABCD EFJI图2ABCD EGHFEDBAGA BC DEF进阶训练1.已知四边形和四边形都是正方形，且．（1）如图，连接、．求证：；（2）如图，如果正方形，将正方形绕着点旋转到某一位置时恰好使得，．①求的度数；②请直接写出正方形的边长的值．2．四边形ABCD 是正方形，BEF ∆是等腰直角三角形，90BEF ∠=︒，BE EF =，连接DF ，G 为DF 的中点，连接EG ，CG ，EC 。

二年级数学学习认识几何变换

二年级数学学习认识几何变换几何变换是数学中的一个重要概念，它涉及到图形在平面上的移动、旋转、翻转等操作。

对于二年级学生来说，了解和认识几何变换是培养他们几何思维能力的一个重要环节。

本文将从几何变换的基本概念、种类和实例等方面进行探讨，旨在帮助二年级学生更好地学习数学和认识几何变换。

一、几何变换的基本概念几何变换是指对图形进行移动、旋转、翻转等操作，通过这些操作改变图形的位置、形状或方向。

常见的几何变换有平移、旋转、翻转和放缩四种。

1. 平移平移是指保持图形形状不变，只改变图形的位置。

当图形沿着任意方向移动相同的距离时，我们称之为平移。

平移可以用箭头表示，箭头的长度表示平移的距离和方向。

2. 旋转旋转是指围绕一个中心点将图形按一定角度转动。

旋转可以通过顺时针或逆时针方向进行，角度可以为正数或负数。

一般情况下，我们用"顺时针旋转"和"逆时针旋转"来表示旋转的方向。

3. 翻转翻转是指将图形关于一条直线对称，使得图形一部分沿直线翻转到另一侧。

直线可以是水平线、垂直线或斜线。

常用的翻转方法有关于水平线翻转、关于垂直线翻转和关于原点翻转。

4. 放缩放缩是指改变图形的大小，可以使图形变大也可以使图形变小。

放缩可以按比例进行，即图形的各边长都同时乘以同一个数。

二、几何变换的种类几何变换根据图形的特性和效果可以分为相似变换和全等变换两种。

1. 相似变换相似变换是指在进行变换时，保持图形的形状不变，但可能改变图形的大小和位置。

相似变换包括平移、旋转和放缩。

2. 全等变换全等变换是指进行变换后，图形的大小、形状、位置都没有改变。

全等变换通常指图形的对称和重合。

三、几何变换的实例1. 平移实例让我们以一个正方形ABCDEF为例，将其平移5个单位长度向右平移。

经过平移后，正方形每个顶点的坐标分别变为A'(5,0)、B'(5,5)、C'(10,5)、D'(10,0)、E'(5,-5)、F'(0,0)。

九年级数学：第二十七章“相似”简介

初中数学新课程标准教材数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 )学校：年级：任课教师：数学教案 / 初中数学 / 九年级数学教案编订：XX文讯教育机构第二十七章“相似”简介教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于初中九年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。

本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。

>课程教材研究所李海东在教科书前面，已经研究图形的全等，也研究了一些图形的变换，如平移、轴对称、旋转等，本章将在前面的基础上进一步研究一种变换──相似。

研究相似变换的性质，相似三角形的判定等，并进一步研究一种特殊的相似变换──位似。

结合一些图形性质的探索、证明等，进一步发展学生的探究能力，培养学生的逻辑思维能力等。

本章共安排三个小节和两个选学内容，教学时间大约需要13课时，具体安排如下（仅供参考）：27.1 图形的相似2课时27.2 相似三角形6课时27.3 位似3课时数学活动小结2课时一、教科书内容和课程学习目标（一）本章知识结构框图本章知识结构如下图所示：（二）教科书内容在前面，我们已经学过了图形的全等和全等三角形的有关知识，也研究了几种图形的全等变换，“全等”是图形间的一种关系，具有这种关系的两个图形叠合在一起，能够完全重合，也就是它们的形状、大小完全相同。

“相似”也是指图形间的一种相互关系，但它与“全等”不同，这两个图形仅仅形状相同，大小不一定相同，其中一个图形可以看成是另一个图形按一定比例放大或缩小而成的，这种变换是相似变换。

当放大或缩小的比例为1时，这两个图形就是全等的，全等是相似的一种特殊情况。

从这个意义上讲，研究相似比研究全等更具有一般性，所以这一章所研究的问题实际上是前面研究图形的全等和一些全等变换基础上的拓广和发展。

在后面，我们还要学习“锐角三角函数”和“投影与视图”的知识，学习这些内容，都要用到相似的知识。

圆的相似与全等性质

圆的相似与全等性质相似和全等是几何学中常用来描述图形之间关系的概念。

对于圆形这一特殊的图形，它们也有相似和全等性质。

本文将探讨圆的相似与全等性质，并分析它们在几何学中的应用。

一、圆的相似性质相似性是指两个图形的形状相似，它们的对应边长之比相等，对应角度相等。

对于圆来说，相似性可以通过比较半径和弧长来判断。

1. 半径比相等当两个圆的半径比相等时，它们便是相似的。

设两个圆的半径分别为r₁和r₂，若满足r₁:r₂＝k(k为常数)，则这两个圆是相似的。

2. 弧长比相等两个圆弧的弧长比相等，也可以说明它们之间是相似的。

设两个圆的弧长分别为l₁和l₂，若满足l₁:l₂＝k(k为常数)，则这两个圆是相似的。

3. 角度相等在圆上，有一个重要的性质是，对于圆心角相等的两条弧所对的圆周上的弧长也相等。

因此，当两个圆的圆心角相等时，它们是相似的。

通过上述三个性质，可以判断两个圆是否相似。

相似的圆在几何学中有广泛的应用，可以用来推导出更多的关于圆和其他几何图形的性质。

二、圆的全等性质全等是指两个图形形状相同，边长和角度都相等。

对于圆形，全等性质比较特殊，因为一个圆完全可以通过平移、旋转或者镜像等操作与另一个圆重合。

1. 圆的平移当一个圆形图形通过平移操作移动到另一个位置时，它们之间是全等的。

因为平移不改变图形的大小和形状，所以两个圆是全等的。

2. 圆的旋转如果一个圆形图形通过旋转操作绕着圆心旋转一定角度后重合，那么它们是全等的。

因为旋转操作保持圆形不变，所以这两个圆也是全等的。

3. 圆的镜像当一个圆形图形通过镜像操作沿着某个轴线对称后与另一个圆重合，那么它们也是全等的。

镜像操作保持图形的形状不变，因此这两个圆是全等的。

圆的全等性质与相似性质不同，它们更侧重于图形之间的位置关系和变换操作。

在几何学中，全等的圆形图形可以用来证明一些与圆形有关的定理，解决一些有关圆形的问题。

总结：圆的相似性质和全等性质是几何学中重要的概念。

三角形的相似与全等

三角形的相似与全等三角形是初中数学中重要的一个概念，它具有许多有趣的性质和应用，其中最重要的理论就是相似与全等。

在本文中，我们将详细讨论三角形的相似与全等的定义、性质以及应用。

一、相似三角形的定义与性质相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。

两个三角形相似的条件是它们的对应的角相等，并且对应的边成比例。

1. 相似三角形的定义两个三角形ABC和DEF相似的条件是存在一个比例因子k，使得∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，并且AB/DE = BC/EF = AC/DF = k。

2. 相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应边成比例；（3）相似三角形的内角和成比例；（4）相似三角形的面积成比例。

二、全等三角形的定义与性质全等三角形是指具有相同大小和形状的三角形。

两个三角形全等的条件是它们的对应的边和对应的角完全相等。

1. 全等三角形的定义两个三角形ABC和DEF全等的条件是AB = DE，AC = DF，BC = EF，并且∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。

2. 全等三角形的性质（1）全等三角形的对应边和对应角完全相等；（2）全等三角形的内角和完全相等；（3）全等三角形的面积相等。

三、相似与全等三角形的应用相似与全等三角形不仅仅是一个理论知识，它们在现实生活中有着广泛的应用。

1. 应用于测量和计算利用相似与全等三角形的性质，我们可以进行边长、角度的测量和计算。

例如，如果我们知道一个三角形的高度和底边长度，可以通过相似三角形发现另一个三角形的高度和底边长度。

2. 应用于建筑和工程在建筑和工程中，准确地测量和定位是非常重要的。

利用相似与全等三角形的知识，我们可以进行测量、设计以及建筑物的定位，从而确保建筑物的合理布局和稳定结构。

3. 应用于影像处理和计算机图形学相似与全等三角形的理论也被广泛应用于影像处理和计算机图形学中的图像变换和重建。

通过相似与全等的变换，可以实现图像的缩放、旋转和仿射等操作。

相似与全等的认识

相似与全等的认识相似与全等是数学中常用的概念，它们在几何学、代数学等领域都有着重要的应用。

相似与全等虽然看起来相似，但实际上在定义和性质上存在着明显的差异。

本文将详细介绍相似和全等的概念以及它们之间的区别。

1. 相似的定义和性质相似是指两个或多个事物在形状上有一定的相似性质，但大小或比例可以不同。

在数学中，我们通常用“∼”或“∽”来表示相似。

设两个图形A和B，若存在一个变换f，使得A经过f的变换后变为B，那么称A与B相似。

这里的变换可以是平移、旋转、镜像等。

相似具有以下性质：1.1 两个相似图形的对应边的比例相等。

设图形A与B相似，对应边的长度分别为a与b，则有a/b=k（比例因子），其中k为正常数。

1.2 两个相似图形的对应角度相等。

设图形A与B相似，对应角度分别为α与β，则有α=β。

通过相似的性质，我们可以进行一些有关长度、面积等方面的推导和计算。

例如，当两个三角形相似时，根据对应边的比例可以求得它们的面积比。

2. 全等的定义和性质全等是指两个图形在形状和大小上完全相同，各个部分完全重合。

在数学中，我们通常用符号“≌”来表示全等。

设两个图形A和B，若A与B的所有对应边长相等，所有对应角度相等，那么称A与B全等。

全等具有以下性质：2.1 两个全等图形的对应边的长度相等。

设图形A与B全等，对应边的长度分别为a与b，则有a=b。

2.2 两个全等图形的对应角度相等。

设图形A与B全等，对应角度分别为α与β，则有α=β。

2.3 全等图形的面积相等。

全等的概念在几何学中应用非常广泛。

例如，当两个三角形全等时，它们的三个对应边长相等，各个对应角度也相等。

3. 相似与全等的区别相似与全等在定义和性质上存在着明显的差异。

它们的区别主要体现在以下几个方面：3.1 形状与大小：相似是指形状相似，但大小可以不同；全等是形状和大小都相同。

3.2 变换要求：相似需要存在一个变换将一个图形变为另一个相似的图形；全等要求图形的所有对应边长和对应角度都相等。

全等三角形与旋转问题专题练习

全等三角形与旋转问题专题练习全等三角形与旋转问题专题练中考要求：掌握旋转变换的概念和性质，能够灵活应用旋转变换解决问题。

知识点睛：基本知识：旋转变换是指将一个图形绕平面上的一个定点旋转一个角度，得到一个新的图形，这个过程叫做旋转变换。

旋转中心是旋转的定点，旋转角是旋转的角度，原图形叫做原象，新图形叫做象。

在旋转变换下，原象和象是全等的。

旋转变换具有以下基本性质：①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等；②对应直线的交角等于旋转角。

旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，可以将分散的条件集中，便于条件的综合和推导。

重点：本节的重点是全等三角形的概念、性质及其判定。

全等三角形的性质是证明三角形问题的基础，也是学好本章的关键。

同时，全等三角形的判定也是本章的重点，特别是在直角三角形中，HL判定是整个直角三角形的重点。

难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。

为了能熟练地应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化。

例题精讲：例1】如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是哪一个？解析】选择A。

例2】如图，万花筒是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心逆时针旋转120°得到的。

则以菱形AEFG为一侧的等边三角形AKF可以看成是把以菱形ABCD的一条对角线为一边的等边三角形旋转了多少度得到的？解析】选择D。

例3】如图，C是线段BD上一点，分别以BC、CD为边在BD同侧作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD交CE于F，BE交AC于G，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有多少对？解析】选择C。

例4】已知：如图，点C为线段AB上一点，∆ACM、∆CBN是等边三角形。

三大变换之旋转（从全等到相似）

三大变换之旋转（从全等到相似）
旋转是该到完结的时候了，也编不下去了，本来考虑加一点费马点问题，考题到之前已经写过，而如果要拓展到加权费马点似乎也不会考，为了更精准对接中考，还是不让这东东打扰大家了，本文继续旋转，从全等到相似，不变的是旋转，的性质．
01
从全等到相似
模型建立
在手拉手模型中，我们可以看成是两个相似的等腰三角形作共点旋转，由等腰条件可得一组全等三角形．
若△ABC与△ADE非等腰，则可得到旋转型相似，取直角三角形为例．
如图，Rt△ABC∽Rt△ADE，连接BD、CE，
可得：△ADB∽△AEC，（利用两边对应成比例且夹角相等）
且旋转的性质，旋转角都相等依然成立，如下右图，∠BAD=∠EAC=∠EFB．
02
真题速览
2019枣庄中考-旋转全等
2019鞍山中考-从全等到相似
2019河南中考-从全等到相似
2018济南中考-从全等到相似
2019襄阳中考-旋转相似
2019东营中考-探究旋转
2019宿迁中考-旋转角的思考。

空间几何体的相似与全等变换

空间几何体的相似与全等变换几何学是研究空间形体的学科，其中相似与全等变换是其中重要的概念。

本文将围绕空间几何体的相似与全等变换展开讨论，探讨其定义、特点以及应用。

一、相似变换相似变换是指在空间中对一个几何体进行拉伸、缩放或旋转等操作，在保持比例和形状不变的前提下得到的新几何体。

其本质上是一种比例变换，具体表现为原几何体中的任意两条相交线在变换后仍然相交，并且两几何体之间的对应边的比例不变。

以正方体为例，假设有一个正方体ABCDA'B'C'D'，经过相似变换后得到的几何体为A''B''C''D''A'''B'''C'''D'''。

在相似变换中，正方体上的每个顶点在变换后仍然保持在同一个平面上，并且各对应边长之间的比值也保持不变。

相似变换在实际生活中有着广泛的应用，例如建筑设计中的放大缩小、地图的缩放、模型的制作等。

其通过调整几何体的尺寸和形状，使得原始对象与目标对象相似，从而方便了实际应用过程中的计算和观察。

二、全等变换全等变换是指在空间中对一个几何体进行平移、旋转或镜像等操作，使得变换后的几何体与原几何体完全重合的变换方式。

在全等变换中，原几何体上的任意一对对应点之间的距离、夹角和形状都保持不变。

以三角形为例，假设有一个三角形ABC，经过全等变换后得到的几何体为A'B'C'。

在全等变换中，变换后的几何体A'B'C'与原始三角形ABC的对应点之间的距离、夹角和形状完全相同。

全等变换的应用十分广泛，例如在实际测量中，通过全等变换可以得到两个物体之间的距离和角度的关系，从而进行准确的测量。

此外，在计算机图形学中，全等变换用于模型的构建和变换，实现图像的准确呈现。

三、相似变换与全等变换的关系相似变换与全等变换是几何学中两个重要的变换概念，它们之间存在一定的关系。

数学中的几何变换与变形

数学中的几何变换与变形几何学是数学的一个重要分支，它研究空间形状和大小之间的关系。

而在几何学中，几何变换和几何变形是两个重要的概念。

本文将详细介绍数学中的几何变换与变形，并探讨它们在实际应用中的意义。

一、几何变换几何变换是指通过某种规则和方法，改变几何图形的形态、位置或大小。

常见的几何变换包括平移、旋转、镜像和缩放等。

1. 平移平移是指通过固定向量来改变几何图形的位置，使其在平面上或空间中整体移动。

平移不改变图形的形状和大小，只改变了它的位置。

2. 旋转旋转是指围绕某一点或某条轴线，使几何图形按照一定的角度旋转。

旋转可以是顺时针方向或逆时针方向，并且可以是围绕原点旋转或围绕其他点旋转。

3. 镜像镜像是指以一条直线或一个平面作为镜子，使几何图形对称地映射到另一侧。

镜像可以是关于一条直线的对称，也可以是关于一个平面的对称。

4. 缩放缩放是指通过改变几何图形的大小，使其变大或变小。

缩放可以按比例进行，也可以按照给定的倍数进行。

二、几何变形几何变形是指改变几何图形的形状，使其在保持面积或体积不变的前提下，变为另一种形状。

常见的几何变形包括相似变形和全等变形。

1. 相似变形相似变形是指通过等比例放缩、旋转和镜像等操作，使几何图形变为相似形状。

相似变形不改变几何图形的角度，只改变它们的尺寸和位置。

2. 全等变形全等变形是指通过平移、旋转和镜像等操作，使几何图形完全重合。

全等变形保持了几何图形的所有尺寸和角度不变。

三、几何变换与变形在实际应用中的意义几何变换与变形在实际应用中具有广泛的意义和应用价值。

以下是几个例子：1. 图像处理在计算机图形学和图像处理中，几何变换和变形常用于图像的平移、旋转、缩放和变形等操作，以便实现对图像的处理和编辑。

2. 计算机动画在计算机动画制作中，几何变换和变形用于控制和改变动画中物体的形状和位置，实现生动逼真的动画效果。

3. 建筑设计在建筑设计中，几何变换和变形可以帮助设计师快速调整和修改建筑物的形状和结构，提高设计效率和灵活性。

巧解旋转变换

旋转变换，巧妙解题图形与变换是新课程标准明确规定的重要内容之一,有利于培养实践与操作能力,形成空间观念和运动变化意识.本文试就旋转变换思想在数学试题中的应用加以说明。

关于旋转变换知识归纳：1．定义:在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度形成新的图形，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，图形转动的角叫做旋转角。

旋转变换分为全等变换和相似变换。

2．旋转的三个基本要素：旋转中心，旋转方向，旋转角.3．基本特征：（1）图形上的每个点同时都按相同方式转动相同的角度，即任意一对对应点与旋转中心连线所成的夹角都是旋转角，图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；（2）旋转中心在旋转过程中始终保持不动，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等；（3）旋转不改变图形的大小和形状（即旋转前后的两个图形是全等图形），只是位置发生了变化.★应用情况常见的题型有填空、选择、作图、综合题等。

常结合平移、轴对称、三角形相似（全等）、勾股定理、方程、函数等知识进行综合应用。

解这类题要求考生具备扎实数学的基本功,较强的观察力,丰富的想象力及综合分析问题的能力,解题时要切实把握几何图形运动过程,并注意运动过程中特殊位置,在"动"中求"静",在"静"中探求"动"的一般规律.抓住图形旋转前后哪些是不变的量，哪些是变化的量。

现就07年全国各省市中考试题中出现的一些典型试题加以说明。

一、四边形作旋转（一）正方形作旋转例1．（07年台州市）把正方形绕着点，按顺时针方向旋转得到正方形，边与交于点（如图1）．试问线段与线段相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．分析：（1）由已知正方形绕着点，按顺时针方向旋转得到正方形，所以可得；（2）要证明线段与线段相等只需证明这两条线段所在的两个三角形是否全等即可；或证明⊿GHB是否为等腰三角形也可以。

旋转背景下三角形全等的相关问题

旋转背景下三角形全等的相关问题全等三角形是两个三角形最简单、最常见的关系。

它不仅是学习相似三角形、平行四边形、圆等知识的基础，并且是证明线段相等、角相等的常用方法，也是证明两线互相垂直、平行的重要依据。

平移、旋转、翻折是图形运动中的全等变换，经过全等变换后的图形与原图形是全等的，经过旋转得到的图形与原图形全等。

因此我们可以借助全等变换的方法帮助我们在复杂的图形中找到全等的三角形，同时还可以利用全等变换将分散的条件集中，从而寻求利用三角形全等解决问题的方法。

1、线的旋转例1、如图1（1），在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，AN 是过点A 的任一直线，BD ⊥AN 于D ，CE ⊥AN 于E.求证：BD=AE（2）若将直线AN 绕点A 沿顺时针方向旋转，使它经过△ABC 内部，再作BD ⊥AN D ，CE ⊥AN 于E ，如图1（2）、图1（3），原结论是否不变，请说明理由。

分析：本题为图形旋转证明三角形全等的基本题型，在直线AN 旋转的过程中，∠BAD=∠ACE 与∠ABD=∠CAE 的结论始终是成立的，由同角的余角相等及三角形内角和等于180°的定理可证明（证明方法不唯一）。

由已知条件AB=AC ，可证明△ABD ≌△CAE(A.A.S)，从而证明BD=AE 。

该结论对图（2）、图（3）仍然成立。

说明：此题为直线旋转，条件不变得到全等，△ABD ≌△CAE 始终成立，求证线段BD=AE 与线段AD=CE 方法相同，是需要掌握的基本题型。

图1（1）NEDCBA图1（2）NEDCBAA图1（3）NEDCB拓展：条件不变，求证线段DE 、BD 、CE 之间的等量关系，说明：结论虽然会因为直线AN 位置的不同而不同，但证明方法都是由证△ABD ≌△CAE 入手。

2、图形的旋转例2、如2（1）中，△AOB 与△COD 均是等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°.（1）在图2（1）中，AC 与BD 相等吗，有怎样的位置关系？请说明理由。