高中数学：三角函数章末综合 (5)

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第五章：三角函数章末测试(解析版)

第五章：三角函数章末测试一、单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2022·山东·青岛中学高二阶段练习）下列与角23π的终边一定相同的角是（）A ．53πB ．2360(3k k π+∈Z ) C ．22(3k k ππ+∈Z ) D ．2(21)(3k k ππ++∈Z ) 【答案】C【解析】与角23π终边相同角可以表示为2{|2,3k k πααπ=+∈Z } 对A ，由2{|2,3k k πααπ=+∈Z }找不到整数k 让53πα=，所以A 错误对B ，表达有误，角的表示不能同时在一个表达式中既有角度制又有弧度制，B 错误，对D 项，当0k =时，角为53π，当1k =-时，角为3π-，得不到角23π，故D 错误，故选：C.2．（2021·天津·高一期末）已知扇形AOB 的面积为8，且圆心角弧度数为2，则扇形AOB 的周长为（） A ．32 B ．24 C ．62D ．82【答案】D【解析】圆心角2α=，扇形面积212S r α=，即21822r =⨯⨯，得半径22r =所以弧长42l r α==故扇形AOB 的周长24222282L l r =+=⨯=故选：D3．（2019·江苏省新海高级中学高一期中）已知()cos305sin305,P ，则点P 在第（）象限 A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】D【解析】因为270305360<<，所以305为第四象限角，所以0cos305>，0sin305<，所以点()cos305sin305,P 位于第四象限；故选：D4．（2022·全国·高一课时练习）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为()045αα︒<<︒，且小正方形与大正方形的面积之比为1:4，则tan α=（）A 47-B 47+C 47+D 47-【答案】A【解析】设大正方形的边长为a ，则小正方形的边长为()cos sin a αα-，故()222cos sin 14a a αα-=，故112sin c 4os αα-=，即2223sin cos 3tan 3sin cos 8sin cos 8tan 18αααααααα=⇒=⇒=++23tan 8tan 30αα⇒-+=，解得47tan α-=47tan α+= 因为045α︒<<︒，则0tan 1α<<，故47tan 3α=.故选：A 5．（2020·天津市西青区杨柳青第一中学高一阶段练习）函数()sin (0,0,0)y A x A ωϕωϕπ=+>><<在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）A ．22sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．=2sin 23x y π-⎛⎫⎪⎝⎭ D ．=2sin 23y x π-⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【解析】由函数图象可得2A =，因为5212122T πππ=+=，所以T π=，所以222T ππωπ===，由函数过点,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得2sin 2+=212π-ϕ⎡⎤⎛⎫⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以262k ππϕπ-+=+，Z k ∈，即223k πϕπ=+，Z k ∈，因为0ϕπ<<，所以23ϕπ=，所以22sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.故选：A 6．（2022·安徽省宿州市苐三中学高一期中）已知π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 2+3α⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A ．79- B ．23-C ．23D ．79【答案】D【解析】因为π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2ππcos 212sin 36171299αα⎛⎫⎛⎫+=-+=-⨯ ⎪ ⎭⎝⎭=⎪⎝.故选：D. 7．（2022·天津南开·高一期末）为了得到函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，可以将函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像（）A ．向左平移π6个单位 B ．向右平移π6个单位 C ．向左平移π12个单位 D ．向右平移π12个单位【答案】D【解析】因为ππsin 2sin 236y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2ππsin 2sin 261y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且πππ61212-=，所以由πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像转化为πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭需要向右平移π12个单位.故选：D.8．（2020·安徽亳州·高一期末）已知函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于任意的)3,1a ⎡∈-⎣，方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，则m 的取值范围为（） A ．7π3π,124⎛⎤⎥⎝⎦B ．π5π,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．π5π,26⎛⎤⎥⎝⎦D ．7π3π,124⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，等价于函数()y f x =的图象与直线y a =有且仅有1个交点．当0x m <≤得：πππ2,2666x m ⎛⎤+∈+⎥⎝⎦，结合函数()y f x =的图象可知，π4π5π2,633m ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，解得：7π3π,124m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．（2022·全国·高一课时练习）已知直线π8x =是函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<图象的一条对称轴，则（）A ．π8f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数B ．3π8x =是()f x 图象的一条对称轴 C ．()f x 在ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．当π2x =时，函数()f x 取得最小值【答案】AC【解析】因为直线π8x =是函数()sin(2)(0f x x ϕϕ=+<π)<图象的一条对称轴，所以ππ2π82k ϕ⨯+=+，k ∈Z ，又0πϕ<<，所以π4ϕ=，所以()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．ππsin 2cos 282f x x x ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，是偶函数，故A 正确；令ππ2π()42x k k +=+∈Z ，解得:ππ()28k x k =+∈Z ，所以()f x 图象的对称轴方程为ππ()28k x k =+∈Z ，而3π8x =不能满足上式，故B 错误；当ππ,82x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ5π2,424x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，此时函数()f x 单调递减，故C 正确；显然函数()f x 的最小值为1-，当π2x =时，π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ππ2sin 2242⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，故D 错误．故选：AC ．10．（2022·全国·高一课时练习）在锐角三角形ABC 中，sin 2sin sin A B C =，则下列等式中正确的是（） A ．tan tan 2tan tan B C B C += B ．tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= C ．tan()2tan tan +=B C B C D ．tan tan tan 1=A B C【答案】AB【解析】由sin 2sin sin A B C =，得sin()B C +=sin cos sin cos 2sin sin B C C B B C +=等式两边同时除以cos cos B C ，所以tan tan B C +=2tan tan B C ，故选项A正确；由tan tan tan()1tan tan ++==-A BA B A Btan()tan π-=-C C ，得tan tan A B +=tan tan tan A B C tan C -，所以tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故选项B 正确．假设tan()2tan tan +=B C B C ，由选项A 得tan()tan tan ,B C B C +=+tan tan tan 0A B C ∴++=,因为ABC 是锐角三角形，所以tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>tan tan tan 0A B C ∴++>，与tan tan tan 0A B C ++=矛盾，所以选项C 错误；假设tan tan tan 1=A B C ，所以1tan tan tan B C A=，由选项A 得tan tan B C +=222(1tan tan )tan tan()(tan tan )B C A B C B C -==-+-+，化简得22tan tan 2B C +=-显然不成立，所以选项D 错误.故选：AB11．（2022·浙江·高一期中）函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><图象与y 轴交于点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，且π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭为该图像最高点，则（）A ．()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()f x 的一个对称中心为π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．函数()f x 图像向右平移π6个单位可得πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象D ．7π12x =是函数()f x 的一条对称轴【答案】AB【解析】因为π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭为该图像最高点，所以1A =，又函数()f x 的图象与y 轴交于点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()10sin 2f ϕ==-，又π2ϕ<，所以π6ϕ=-，则()π()sin 6f x x ω=-，πππsin 1336f ω⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则πππ2π,Z 362k k ω-=+∈，所以26,Z k k ω=+∈，由图可知ππ23T ω=>，所以03ω<<，所以2ω=，所以()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，因为πsin 0012f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()f x 的一个对称中心为π,012⎛⎫⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ，函数()f x 图像向右平移π6个单位可得πππsin 2sin 2666y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦图象，故C 错误；对于D ，7π7ππsin 01266f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不是最值，所以7π12x =不是函数()f x 的一条对称轴，故D 错误.故选：AB.12．（2022·江苏·吴县中学高一期中）已知m 为整数，若函数()sin cos 1sin 22m f x x x x =++--在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，则满足题意的m 可以是下列哪些数（） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6【答案】ABC【解析】因为3π5π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,设sin cos 22,04t x x x π⎛⎫⎡⎤=+=+∈- ⎪⎣⎦⎝⎭，21sin cos 2t x x -=，则()2112m t t =+--，即221922,2224m t t t ⎛⎫⎡⎤=-++=--+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，亦即22,4m ⎡⎤∈-⎣⎦．故选：ABC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（2022·天津南开·高一期末）cos66cos84sin66sin84︒︒︒︒-的值是_____. 【答案】3【解析】()cos66cos84sin66sin8cos 6684co 104s 5︒︒︒︒=︒+︒=-︒()3cos 18030cos30=︒-︒=-︒= 14．（2022·上海师大附中高一期末）设α是第三象限的角，则2α的终边在第_________ 象限. 【答案】二或四【解析】因为α是第三象限角，所以3222k k ππαππ+<<+，Z k ∈，所以3224k k παπππ+<<+，Z k ∈，当k 为偶数时，2α为第二象限角，当k 为奇数时，2α为第四象限角.15．（2022·全国·高一课时练习）若函数()tan f x x =在区间ππ,32a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，则实数a 的取值范围是______．【答案】(]0,1 【解析】因为ππ23a a >-，所以0a >，所以0ππ32ππ22a a a ⎧⎪>⎪⎪-≥-⎨⎪⎪≤⎪⎩，解得01a <≤，即(]0,1a ∈．16．（2022·上海理工大学附属中学高一期中）函数()()()33sin 3f x x x θθ=--- [],0θπ∈-是奇函数，则θ=______；【答案】3π-【解析】()()()3133sin 32[)sin(3)]2f x x x x x θθθθ---=--- 2[coscos(3)sin sin(3)]2cos(3)666x x x πππθθθ=---=-+，它是奇函数，则,Z 62k k ππθπ-+=+∈，3k πθπ=--，Z k ∈，又[,0]θπ∈-，所以3πθ=-．四、解答题：本小题共6小题，共70分。

2022高中数学第五章三角函数5

第五章 5.2.2A 组·素养自测一、选择题1．α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α等于( B ) A ．513B ．－513C ．512D ．－512[解析] ∵α是第四象限角，∴sin α<0. ∵⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝1213，sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin α＝－513.2．化简1－cos 2220°的结果为( D ) A ．sin220° B ．cos220° C ．－cos220° D ．－sin220°[解析] 1－cos 2220°＝|sin220°|，又220°为第三象限角，所以sin220°<0，故1－cos 2220°＝－sin220°.3．已知1＋sin x cos x ＝－12，则cos x sin x －1＝( A )A ．12B ．－12C ．2D ．－2[解析] 由sin 2x ＋cos 2x ＝1得cos 2x ＝1－sin 2x ，得cos 2x ＝(1－sin x )(1＋sin x )，得1＋sin xcos x＝cos x1－sin x ，所以cos x sin x －1＝－cos x1－sin x＝－⎝⎛⎭⎫－12＝12.故选A ． 4．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( B )A ．3B ．－3C ．1D ．－1[解析] ∵α为第三象限角，∴cos α<0，sin α<0，∴原式＝－cos αcos α－2sin αsin α＝－3.5．已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，那么这个三角形的形状为( B )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形[解析] (sin α＋cos α)2＝49，∴2sin αcos α＝－59<0，又∵α∈(0，π)，sin α>0.∴cos α<0，∴α为钝角．6．已知sin α－3cos α＝0，则sin 2α＋sin αcos α值为( B ) A ．95B ．65C ．3D ．4[解析] 由sin α－3cos α＝0，∴tan α＝3，又sin 2α＋sin αcos α＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋tan α1＋tan 2α＝1210＝65.二、填空题7．在△ABC 中，2sin A ＝3cos A ，则∠A ＝60°.[解析] ∵2sin 2A ＝3cos A ，∴2(1－cos 2A )＝3cos A ，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，∴cos A ＝12，cos A ＝－2(舍去)，∴A ＝60°.8．已知tan α＝cos α，那么sin α2[解析] 由于tan α＝sin αcos α＝cos α，则sin α＝cos 2α，所以sin α＝1－sin 2α，解得sin α＝－1±52.又sin α＝cos 2α≥0，所以sin α＝－1＋52.9．若2sin α＋cos α3sin α－2cos α＝1，则tan α的值为3.[解析] 2sin α＋cos α3sin α－2cos α＝1化为2tan α＋13tan α－2＝1，所以2tan α＋1＝3tan α－2，所以tan α＝3. 三、解答题10．求证：sin α(1＋tan α)＋cos α(1＋1tan α)＝1sin α＋1cos α.[证明] 左边＝sin α(1＋sin αcos α)＋cos α(1＋cos αsin α)＝sin α＋sin 2αcos α＋cos α＋cos 2αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin α＋sin 2α＋cos 2αcos α＝1sin α＋1cos α＝右边．即原等式成立．11．(2021·黑龙江大庆高一月考)(1)已知0<x <π，sin x ＋cos x ＝15，求tan x 的值；(2)已知tan x ＝2，求sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x 的值． [解析] (1)由sin x ＋cos x ＝15，①两边平方，得1＋2sin x cos x ＝125，则sin x cos x ＝－1225. ∵0<x <π，∴π2<x <π，∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝1＋2×1225＝4925，∴sin x －cos x ＝75.②由①②解得⎩⎨⎧sin x ＝45，cos x ＝－35，∴tan x ＝－43.(2)由tan x ＝2，得sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x sin 2x ＋cos 2x＝tan 2x ＋2tan x ＋3tan 2x ＋1＝22＋2×2＋322＋1＝115.B 组·素养提升一、选择题1．若π<α<3π2，1－cos α1＋cos α＋1＋cos α1－cos α的化简结果为( D )A ．2tan αB ．－2tan αC ．2sin αD ．－2sin α[解析] 原式＝(1－cos α)21－cos 2α＋(1＋cos α)21－cos 2α＝1－cos α|sin α|＋1＋cos α|sin α|＝2|sin α|， ∵π<α<3π2，∴原式＝－2sin α.2．若sin θ＋2cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θ·cos θ＝( D )A ．－417B ．45C ．±417D ．417[解析] 由sin θ＋2cos θsin θ－cos θ＝2，得tan θ＝4，sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ1＋tan 2θ＝417.3．(多选题)下列计算或化简结果正确的是( AB ) A ．2tan αcos αsin α＝2B ．若sin θ·cos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ＝2C ．若tan x ＝12，则2sin xcos x －sin x ＝1D ．若sin α＝255，则tan α＝2[解析] A 正确，2tan αcos αsin α＝2sin αcos α·cos αsin α＝2；B 正确，tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1sin θcos θ＝2；C 不正确，2sin x cos x －sin x ＝2tan x1－tan x ＝2×121－12＝2；D 不正确，∵α范围不确定，∴tan α的符号不确定．4．(多选题)若α是第二象限的角，则下列各式中成立的是( BC ) A ．tan α＝－sin αcos αB ．1－2sin αcos α＝sin α－cos αC ．cos α＝－1－sin 2αD ．1＋2sin αcos α＝sin α＋cos α[解析] 由同角三角函数的基本关系式，知tan α＝sin αcos α，所以A 错；因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α>0，sin α＋cos α的符号不确定，所以1－2sin αcos α＝(sin α－cos α)2＝sin α－cos α，所以B ，C 正确，D 错．二、填空题5．已知sin α－cos α＝2(0<α<π)，则sin α2tan α＝－1. [解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，sin α>0，解得sin α＝22，cos α＝－22，则tan α＝sin αcos α＝－1. 6．已知cos θ＝13，则sin θ(tan θ＋1tan θ)的值为3.[解析] 原式可化为sin θ(sin θcos θ＋cos θsin θ)＝sin θsin 2θ＋cos 2θsin θ·cos θ＝sin θ1sin θ·cos θ＝1cos θ＝3. 7．在△ABC 中，若tan A ＝23，则sin A 11[解析] 因为tan A ＝23>0，则∠A 是锐角，则sin A >0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin 2A ＋cos 2A ＝1，sin A cos A ＝23，得sin A ＝2211. 三、解答题8．(1)化简：tan α1sin 2α－1(其中α为第二象限角)； (2)求证：sin α1－cos α·cos α·tan α1＋cos α＝1.[解析] (1)解：因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0.原式＝tan α1sin 2α－1＝tan α1－sin 2αsin 2α＝tan αcos 2αsin 2α＝sin αcos α·|cos αsin α|＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1. (2)证明：sin α1－cos α·cos α·tan α1＋cos α＝sin α1－cos α·cos α·sin αcos α1＋cos α＝sin α1－cos α·sin α1＋cos α＝sin 2α1－cos 2α＝sin 2αsin 2α＝1. 9．已知方程8x 2＋6kx ＋2k ＋1＝0的两个实根是sin θ和cos θ. (1)求k 的值； (2)求tan θ＋1tan θ的值．[解析] (1)已知方程有两个实根sin θ，cos θ，应满足如下条件：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝36k 2－32(2k ＋1)≥0，①sin θ＋cos θ＝－34k ，②sin θ·cos θ＝2k ＋18.③∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，即(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1，④ ∴将②③代入④，得9k 216－2k ＋14＝1，即9k 2－8k －20＝0，解得k ＝－109或k ＝2(舍去)．∴k ＝－109.(2)tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1sin θ·cos θ，由(1)知sin θ·cos θ＝2k ＋18＝－1172，∴tan θ＋1tan θ＝1sin θ·cos θ＝－7211.。

高中数学章末综合测评(五)三角函数(含解析)新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学试题

章末综合测评(五) 三角函数(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合M ＝{x |x ＝45°＋k ·90°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝90°＋k ·45°，k ∈Z }，则( ) A ．M ＝N B ．M N C ．M ND ．M ∩N ＝∅C [M ＝{x |x ＝45°＋k ·90°，k ∈Z }＝{x |x ＝(2k ＋1)·45°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝90°＋k ·45°，k ∈Z }＝{x |x ＝(k ＋2)·45°，k ∈Z }．因为k ∈Z ，所以k ＋2∈Z ，且2k ＋1为奇数，所以M N ，故选C.]2．cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值等于( ) A.62B.32C.54D ．1＋34C [∵cos 75°＝sin 15°，∴原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin 15°cos 15° ＝1＋12sin 30°＝1＋12×12＝54.]3．化简cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α得()A ．sin 2αB ．－sin 2αC ．cos 2αD ．－cos 2αA [原式＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin 2α.]4．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α的值为() A ．－47B.47C.18D ．－18A [tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝tan (α＋β)＋tan (α－β)1－tan (α＋β)tan (α－β)＝3＋51－3×5＝－47.]5．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝45，且β在第三象限，则cos β2的值等于()A ．±55 B ．±255C ．－55D ．－255A [由已知，得sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝45，得sin β＝－45.∵β在第三象限，∴cos β＝－35，∴cos β2＝±1＋cos β2＝±15＝±55.] 6．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象( )A ．关于原点对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x ＝π6对称B [因为当x ＝0时，y ＝2sin π3＝3，当x ＝π6时，y ＝2sin 2π3＝3，当x ＝－π6时，y ＝2sin 0＝0.所以A 、C 、D 错误，B 正确．]7．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象(部分)如图所示，则ω和φ的取值是( )A ．ω＝1，φ＝π3B ．ω＝1，φ＝－π3C ．ω＝12，φ＝π6D ．ω＝12，φ＝－π6C [由图象知，T ＝4⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋π3＝4π＝2πω，∴ω＝12.又当x ＝2π3时，y ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2π3＋φ＝1， π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝0时，φ＝π6.] 8．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝45，－π2＜α＜0，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α等于( )A ．－435B ．－335C.335 D.435A [sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝32sin α＋32cos α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3－π2＝－3cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝－3×45＝－435.] 9．已知sin α＋cos α＝23，α∈(0，π)，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12的值为( )A.3＋226 B.3－226 C.1＋266 D.1－266A [∵sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝23，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，∵α∈(0，π)，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4，又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13， ∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－223.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π6＝13×32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－223×12＝22＋36.] 10．已知tan α和tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，则a ，b ，c 的关系是( )A ．b ＝a ＋cB ．2b ＝a ＋cC ．c ＝a ＋bD ．c ＝abC [由根与系数的关系得：tan α＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－b a ，tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝ca ，tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝tan α＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α1－tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－ba 1－c a＝1，得c ＝a ＋b .]11．函数f (x )＝A sin ωx (ω＞0)，对任意x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－a ，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫94等于()A ．aB ．2aC ．3aD ．4aA [由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，得f (x ＋1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋12 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－12＝f (x )，即1是f (x )的周期．而f (x )为奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫94＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝a .] 12．甲、乙两人从直径为2r 的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿水池做匀速圆周运动，已知甲的速度是乙的速度的两倍，乙绕水池一周停止运动，若用θ表示乙在某时刻旋转角的弧度数，l 表示甲、乙两人的直线距离，则l ＝f (θ)的大致图象是( )B [由题意知θ＝π时，两人相遇排除A ，C ，两人的直线距离大于等于零，排除D ，故选B.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知tan α＝－3，π2＜α＜π，那么cos α－sin α的值是________．－1＋32 [因为tan α＝－3，π2＜α＜π，所以α＝2π3，所以cos α＝－12，sin α＝32，cos α－sin α＝－1＋32.]14．设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上一点，且cos α＝x5，则tan 2α＝________.247[因为α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，所以x ＜0，因为cos α＝x 5＝xx 2＋16，所以x ＝－3，所以tan α＝y x ＝－43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247.] 15．已知α满足sin α＝13，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为________．718 [∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝12cos 2α＝12(1－2sin 2α)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝718.] 16．关于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，有下列说法：①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数；③y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π24，13π24上单调递减；④将函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确说法的序号是________．(把你认为正确的说法的序号都填上) ①②③ [∵f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2－π3 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12， ∴f (x )max ＝2，即①正确．T ＝2π|ω|＝2π2＝π，即②正确． f (x )的递减区间为2k π≤2x －π12≤2k π＋π(k ∈Z )，即k π＋π24≤x ≤k π＋13π24(k ∈Z )，k ＝0时，π24≤x ≤13π24，即③正确．将函数y ＝2cos 2x 向左平移π24个单位得y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π24≠f (x )，所以④不正确．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知cos(π＋α)＝－12，且角α在第四象限，计算：(1)sin(2π－α)；(2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin (π＋α)sin (π－α)·cos (α＋2n π)(n ∈Z )．[解] 因为cos(π＋α)＝－12，所以－cos α＝－12，cos α＝12.又角α在第四象限，所以sin α＝－1－cos 2α＝－32. (1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)] ＝sin(－α)＝－sin α＝32. (2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin (π＋α)sin (π－α)·cos (α＋2n π)＝sin (α＋2n π＋π)－sin αsin αcos α＝sin (π＋α)－sin αsin αcos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.18．(本小题满分12分)已知α，β为锐角，sin α＝17，cos(α＋β)＝35.(1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6的值；(2)求cos β的值．[解] (1)∵α为锐角，sin α＝17，∴cos α＝1－sin 2α＝437，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝sin αcos π6＋cos αsin π6 ＝17×32＋437×12＝5314. (2)∵α，β为锐角，∴α＋β∈(0，π)，由cos(α＋β)＝35得，sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝45，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝35×437＋45×17＝4＋12335. 19．(本小题满分12分)已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图象经过怎样的变换得到？ [解] (1)T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，知k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．所以所求函数的最小正周期为π，所求的函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)变换情况如下：y ＝sin 2x ――――――――――――→向左平移π12个单位长度y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12―――――――――――→将图象上各点向上平移32个单位长度y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值． [解] (1)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z )，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )．(2)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π8上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上为减函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π4＝－2cos π4＝－1，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最大值为2，此时x ＝π8；最小值为－1，此时x ＝π2.21．(本小题满分12分)已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，且满足sin 2(A ＋C )＝3sinB cos B ，cos(C －A )＝－2cos 2A .(1)试判断△ABC 的形状；(2)已知函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈R )，求f (A ＋45°)的值． [解] (1)∵sin 2(A ＋C )＝3sin B cos B ， ∴sin 2B ＝3sin B cos B ，∵sin B ≠0，∴sin B ＝3cos B ，∴tan B ＝3， ∵0°＜B ＜180°，∴B ＝60°，又cos(C －A )＝－2cos 2A ，得cos(120°－2A )＝－2cos 2A ，化简得sin 2A ＝－3cos 2A ，解得tan 2A ＝－3，又0°＜A ＜120°，∴0°＜2A ＜240°， ∴2A ＝120°，∴A ＝60°，∴C ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形． (2)∵f (x )＝sin x －3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x＝2(sin x cos 60°－cos x sin 60°) ＝2sin(x －60°)，∴f (A ＋45°)＝2sin 45°＝ 2.22．(本小题满分12分)如图，矩形ABCD 的长AD ＝23，宽AB ＝1，A ，D 两点分别在x ，y 轴的正半轴上移动，B ，C 两点在第一象限，求OB 2的最大值．[解] 过点B 作BH ⊥OA ，垂足为H .设∠OAD ＝θ⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2，则∠BAH ＝π2－θ，OA ＝23cos θ，BH ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝cos θ，AH ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ， ∴B (23cos θ＋sin θ，cos θ)，OB 2＝(23cos θ＋sin θ)2＋cos 2θ＝7＋6cos 2θ＋23sin 2θ＝7＋43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3. 由0＜θ＜π2，知π3＜2θ＋π3＜4π3，所以当θ＝π12时，OB 2取得最大值7＋4 3.。

2023年人教版高中数学第五章三角函数知识点梳理

(名师选题)2023年人教版高中数学第五章三角函数知识点梳理单选题1、筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为4m，筒车转轮的中心O到水面的距离为2m，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即P0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.设盛水筒M从点P0运动到点P时所经过的时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m），则点P第一次到达最高点需要的时间为（）s.A．2B．3C．5D．10答案：C分析：设点P离水面的高度为ℎ(t)=Asin(ωt+φ)+2，根据题意求出A,ω,φ，再令ℎ(t)=6可求出结果.设点P离水面的高度为ℎ(t)=Asin(ωt+φ)+2，依题意可得A=4，ω=8π60=2π15，φ=−π6，所以ℎ(t)=4sin(2π15t−π6)+2，令ℎ(t)=4sin(2π15t−π6)=6，得sin(2π15t−π6)=1，得2π15t−π6=2kπ+π2，k∈Z，得t=15k+5，k∈Z，因为点P 第一次到达最高点，所以0<t <2π2π15=15，所以k =0,t =5s . 故选：C2、若函数f(x)=sinωx (ω>0)，在区间[0,π3]上单调递增，在区间[π3,π2]上单调递减，则ω=（）． A ．1B ．32C ．2D ．3答案：B分析：根据f (π3)=1以及周期性求得ω.依题意函数f(x)=sinωx (ω>0)，在区间[0,π3]上单调递增，在区间[π3,π2]上单调递减，则{f (π3)=sin π3ω=1T 2=πω≥π3，即{π3ω=2kπ+π2,k ∈Z 0<ω≤3 ，解得ω=32.故选：B3、函数f (x )=2sin (ωx +φ)(ω>0)图像上一点P (s,t )(−2<t <2)向右平移2π个单位，得到的点Q 也在f (x )图像上，线段PQ 与函数f (x )的图像有5个交点，且满足f (π4−x)=f (x )，f (−π2)>f (0)，若y =f (x )，x ∈[0,π2]与y =a 有两个交点，则a 的取值范围为（） A ．(−2,−√2]B ．[−2,−√2]C ．[√2,2)D ．[√2,2] 答案：A分析：首先根据已知条件分析出|PQ |=2π=2T ，可得ω=2，再由f (π4−x)=f (x )可得y =f (x )对称轴为x =π8，利用f (−π2)>f (0)可以求出符合题意的一个φ的值，进而得出f (x )的解析式，再由数形结合的方法求a 的取值范围即可.如图假设P(0,0)，线段PQ与函数f(x)的图像有5个交点，则|PQ|=2π，所以由分析可得|PQ|=2π=2T，所以T=π，可得ω=2πT =2ππ=2，因为f(π4−x)=f(x)所以f[π4−(π8+x)]=f(π8+x)，即f(π8−x)=f(π8+x)，所以x=π8是f(x)的对称轴，所以2×π8+φ=π2+kπ(k∈Z)，即φ=π4+kπ(k∈Z)，f(−π2)=2sin(−π+φ)=−2sinφ>f(0)=2sinφ，所以sinφ<0，可令k=−1得φ=−3π4，所以f(x)=2sin(2x−3π4)，当x∈[0,π2]时，令2x−3π4=t∈[−3π4,π4]，则f(t)=2sint，t∈[−3π4,π4]作f(t)图象如图所示：当t=−3π4即x=0时y=−√2，当t=−π2即x=π8时，y=−2，由图知若y =f (x )，x ∈[0,π2]与y =a 有两个交点，则a 的取值范围为(−2,−√2]，故选：A小提示：关键点点睛：本题解题的关键是取特殊点P (0,0)便于分体问题，利用已知条件结合三角函数图象的特点，以及三角函数的性质求出f (x )的解析式，再利用数形结合的思想求解a 的取值范围. 4、若角α的终边上一点的坐标为(1，−1)，则cosα=( ) A ．−1B ．−√22C ．√22D ．1 答案：C分析：根据任意角三角函数的定义即可求解.∵角α的终边上一点的坐标为(1，−1)，它与原点的距离r =√12+(−1)2=√2， ∴cosα=xr =√2=√22，故选：C.5、已知sin (π+α)=35，则sin(−α)cos(π−α)sin(π2−α)=（）A ．−45B ．45C ．−35D ．35 答案：C解析：由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果. ∵sin(π+α)=35=−sinα，∴sinα=−35，则sin(−α)cos(π−α)sin(π2−α)=−sinα⋅(−cosα)cosα=sinα=−35，故选：C6、在0∘~360∘范围内，与−70∘终边相同的角是（） A ．70∘B ．110∘C ．150∘D ．290∘ 答案：D解析：根据终边相同的角的定义即可求解.与−70∘终边相同的角的为−70∘+360∘⋅k (k ∈Z )，因为在0∘~360∘范围内，所以k =1可得−70∘+360∘=290∘，故选：D.7、已知函数f(x)=a 2x−6+3（a >0且a ≠1）的图像经过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则sinθ−cosθsinθ+cosθ=（） A ．−17B ．0C ．7D ．17 答案：D分析：由题知A(3,4),进而根据三角函数定义结合齐次式求解即可. 解:令2x −6=0得x =3,故定点A 为A(3,4), 所以由三角函数定义得tanθ=43，所以sinθ−cosθsinθ+cosθ=tanθ−1tanθ+1=43−143+1=17故选：D8、f(x)=−sinx−xcosx+x 2在[−π,π]的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．答案：C分析：先由函数为奇函数可排除A ，再通过特殊值排除B 、D 即可.由f(−x)=−sin(−x)+xcosx+x2=−−sinx−xcosx+x2=−f(x)，所以f(x)为奇函数，故排除选项A.又f(π)=−sinπ−πcosπ+π2=−ππ2−1<0，则排除选项B,D故选：C9、某公园有一摩天轮，其直径为110米，逆时针匀速旋转一周所需时间约为28分钟，最高处距离地面120米，能够看到方圆40公里以内的景致.某乘客观光3分钟时看到一个与其视线水平的建筑物，试估计建筑物多高？（）（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）A．50B．38C．27D．15答案：C分析：作出简图，求出3分钟走过的角度，从而求出三分钟后距摩天轮最低点的高度，进而求出建筑物的高度. 设走了3分钟到达B（如图所示），走过的圆心角为θ=2π×328=3π14，OE=Rcos3π14=55cos3π14，因为π6<3π14<π4，所以√22<cos3π14<√32，所以38.885<55cos3π14<47.63所以AE=55−55cos3π14∈(7.73,21.145)，所以建筑物的高度：55(1−cos 3π14)+10∈(17.73,31.145)故选：C10、已知f (x )=tanωx (0<ω<1)在区间[0,π3]上的最大值为√33，则ω=（）A ．12B ．13C ．23D ．34答案：A分析：先求出0≤ωx ≤ωπ3，再根据f (x )max =tanωπ3=tan π6=√33解方程即可. 因为x ∈[0,π3]，即0≤x ≤π3，又0<ω<1，所以0≤ωx ≤ωπ3<π3，所以f (x )max =tanωπ3=tan π6=√33，所以ωπ3=π6，ω=12．故选：A ．11、若函数f (x )=sin (ωx +π3) (ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是（）A ．(0，112]∪[16，712]B ．(0，16]∪[13，23] C ．(0，712]D ．[13，23] 答案：A分析：根据题意可得函数f (x )在区间(π，2π)内单调，故可先求出函数的单调区间，再根据区间(π，2π)为单调区间的子集得到关于ω的不等式组，解不等式组可得所求．解：函数y =sin x 的单调区间为[kπ+π2，kπ+3π2]，k ∈Z ，由kπ+π2⩽ωx +π3⩽kπ+3π2，k ∈Z ，得kπ+π6ω⩽x ⩽kπ+7π6ω，k ∈Z ．∵函数f (x )=sin (ωx +π3)(ω>0) 在区间(π，2π)内没有最值，∴函数f(x)在区间(π，2π)内单调，∴(π，2π)⊆[kπ+π6ω，kπ+7π6ω]，k∈Z，∴ {kπ+π6ω⩽πkπ+7π6ω⩾2π，k∈Z，解得k+16⩽ω⩽k2+712，k∈Z.由k+16<k2+712，得k<56．当k=0时，得16⩽ω⩽712，当k=−1时，得−56⩽ω⩽112，又ω>0，故0<ω⩽112，综上得ω的取值范围是(0，112]∪[16，712]，故选A12、已知2tanθ–tan(θ+π4)=7，则tanθ=（）A．–2B．–1C．1D．2答案：D分析：利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.∵2tanθ−tan(θ+π4)=7，∴2tanθ−tanθ+11−tanθ=7，令t=tanθ,t≠1，则2t−1+t1−t=7，整理得t2−4t+4=0，解得t=2，即tanθ=2. 故选：D.小提示：本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.双空题13、已知函数y=2cos(2x−π3)−1,x∈[π3,π]，则当x=_______时，函数取得最小值为_________.答案：2π3##23π−3分析：根据x∈[π3,π]求出2x−π3的范围，根据余弦函数的图像性质即可求其最小值.∵x∈[π3,π]，∴2x−π3∈[π3,5π3]，∴当2x−π3=π，即x=2π3时，cos(2x−π3)取得最小值为−1，∴当x=2π3时，y=2cos(2x−π3)−1,x∈[π3,π]最小值为2×(−1)−1=−3.所以答案是：2π3；－3.14、如图，在海岸线TO一侧有一休闲游乐场，游乐场的其中一部分边界为曲线段TDBS，该曲线段是函数y= Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)，x∈[−4,0]的图象，图象的最高点为B(−1,2)，则曲线段TDBS对应的函数解析式为___________.若曲线段TDBS上的入口D到海岸线TO的距离为√3千米，现准备从入口D修一条笔直的景观路到O，则景观路DO的长为___________千米.答案：y=2sin(π6x+2π3)且x∈[−4,0]√7分析：根据函数图象得到T4=3，再由正弦函数最小正周期公式求得ω=π6，五点法求参数φ，即可写出解析式，注意定义域；设D(x D,√3)代入解析式，结合x D范围确定坐标，再应用两点式求距离.由题中图象知：A=2，T4=−1−(−4)=3⇒T=2πω=12⇒ω=π6.当x= -1时，y=2sin(−π6+φ)=2，所以−π6+φ=π2+2kπ，k∈Z，解得φ=2π3+2kπ，k∈Z，又0<φ<π，所以φ=2π3，则曲线段TDBS对应的函数解析式为y=2sin(π6x+2π3)，x∈[−4,0].因为D到海岸线TO的距离为√3千米，设D(x D,√3)，显然−4<x D<−1，所以2sin(π6x D+2π3)=√3，即sin(π6x D+2π3)=√32，所以π6x D+2π3=π3+2kπ，k∈Z或π6x D+2π3=2π3+2kπ，k∈Z，解得x D=−2+12k，k∈Z或x D=12k，k∈Z，又−4<x D<−1，所以x D=−2，即D(−2,√3)，而另一点D与S重合，排除，所以DO=√(−2)2+(√3)2=√7.所以答案是：y=2sin(π6x+2π3)且x∈[−4,0]，√715、已知函数f(x)=sinxcosx−√3sin2x，设α∈(π2,π)，f(α2)=14−√32，则sinα=___________，cosα=___________.答案：1+3√58√3−√158分析：先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形得f(x)=sin(2x+π3)−√32，则由已知条件可得sin(α+π3)=14，再利用同角三角函数的关系求出cos(α+π3)，则sinα=sin[(α+π3)−π3]，cosα=cos[(α+π3)−π3]展开化简计算即可.f(x)=sinxcosx−√3sin2x=12sin2x−√3×1−cos2x2=12sin2x+√32cos2x−√32=sin(2x+π3)−√32，所以f(α2)=sin(α+π3)−√32=14−√32，所以sin(α+π3)=14.因为α∈(π2,π)，所以5π6<α+π3<4π3，所以cos(α+π3)=−√154，所以sinα=sin[(α+π3)−π3]=sin(α+π3)cosπ3−cos(α+π3)sinπ3=14×12−(−√154)×√32=1+3√58，cosα=cos [(α+π3)−π3] =cos (α+π3)cos π3+sin (α+π3)sin π3=−√154×12+14×√32=√3−√158. 所以答案是：1+3√58，√3−√15816、函数f(x)=3sinx−1sinx+2的最大值是____，最小值是_________.答案： 23 −4 分析：将函数f(x)的解析式化为f(x)=3−7sinx+2，由sinx ∈[−1,1]结合不等式的性质，即可得出f(x)的最大值和最小值. f(x)=3(sinx +2)−7sinx +2=3−7sinx +2∵sinx ∈[−1,1]∴sinx +2∈[1,3]∴1sinx +2∈[13,1] ∴−7sinx +2∈[−7,−73] ∴3−7sinx +2∈[−4,23] 即f(x)max =23，f(x)min =−4所以答案是：23；−4 小提示：本题主要考查了求含正弦函数的最值，属于中档题.17、设α、β∈(0,π)，cosβ=−1213，cos α2=2√55，则cosα=____， tan (α+β)=___．答案： 35 3356分析：利用二倍角的余弦公式可求得cosα的值，求出tanα、tanβ的值，利用两角和的正切公式可求得tan (α+β)的值.由二倍角的余弦公式可得cosα=2cos 2α2−1=2×(2√55)2−1=35， ∵α、β∈(0,π)，∴sinα=√1−cos 2α=45，sinβ=√1−cos 2β=513， ∴tanα=sinαcosα=43，tanβ=sinβcosβ=−512，因此，tan (α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=43−5121−43×(−512)=3356.所以答案是：35；3356.小提示：本题考查利用二倍角的余弦公式以及两角和的正切公式求值，同时也考查了同角三角函数基本关系的应用，考查计算能力，属于中等题.解答题18、在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α－3cos α＋tan α的值.答案：－154或94.分析：当角α的终边在射线y ＝－34x (x >0)上时，取终边上一点P (4，－3)，求出sin α，cos α，tan α即得解；当角α的终边在射线y ＝－34x (x <0)上时，取终边上一点P ′(－4，3)，求出sin α，cos α，tan α即得解.综合即得解. 当角α的终边在射线y ＝－34x (x >0)上时，取终边上一点P (4，－3)，所以点P 到坐标原点的距离r ＝|OP |＝5，所以sin α＝y r ＝−35＝－35，cos α＝x r ＝45，tan α＝y x ＝－34.所以sin α－3cos α＋tan α＝－35－125－34＝－154.当角α的终边在射线y ＝－34x (x <0)上时，取终边上一点P ′(－4，3)，所以点P ′到坐标原点的距离r ＝|OP ′|＝5，所以sin α＝y r ＝35，cos α＝x r ＝－45，tan α＝y x ＝－34. 所以sin α－3cos α＋tan α＝35－3×(−45)－34＝35＋125－34＝94. 综上，sin α－3cos α＋tan α的值为－154或94.小提示：本题主要考查三角函数的坐标定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19、已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示.(1)求函数f （x ）的解析式，并求出该函数的单调递增区间；(2)若α∈(0,π2)，且f (α2+π6)=65，求f (α2−π6)的值.答案：(1)答案见解析；(2)−4√3+35.分析：（1）根据函数图象可得A ，周期T ，即可求出ω，再由图象过点(512π,2)即可求出φ，得到函数解析式，求出单调区间；（2）由f (α2+π6)=65求出sinα,cosα，再由两角差的正弦公式直接计算f(α2−π6)即可.（1）由图象可知，A =2，且T =2(1112π−512π)=π=2πω，解得 ω=2所以f(x)=2sin(2x +φ)，因为f(512π)=2sin(56π+φ)=2，所以56π+φ=2k 1π+π2(k 1∈Z) 则φ=2k 1π−π3(k 1∈Z),则仅当k 1=0时，φ=−π3符合题意，所以f(x)=2sin(2x −π3)，令2kπ−π2≤2x −π3≤2kπ+π2(k ∈Z)，解得 kπ−π12≤x ≤kπ+5π12(k ∈Z)综上，f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x −π3)，单调增区间为[kπ−π12,kπ+5π12](k ∈Z)；（2）因为f(x)=2sin(2x −π3)，所以f(α2+π6)=2sinα=65，所以sinα=35，又α∈(0,π2)，所以cosα=√1−sin 2α=45, 所以f(α2−π6)=2sin(α−2π3)=2sinαcos 2π3−2cosαsin 2π3=−4√3+35. 20、（1）已知sinα+cosα=√2，求sinα⋅cosα及sin 4α+cos 4α的值；（2）已知sinα+cosα=15(0<α<π)，求tanα的值. 答案：（1）sinα⋅cosα=12，sin 4α+cos 4α=12；（2）−43.分析：（1）把已知等式平方，结合平方关系可得sinαcosα，再把1=sin 2α+cos 2α平方可求得sin 4α+cos 2α；（2）已知等式平方求得sinαcosα确定出sinα,cosα的正负，求出sinα−cosα，与已知式联立求得sinα,cosα后可得tanα．解：（1）∵sinα+cosα=√2；1+2sinαcosα=2∴sinα⋅cosα=12 sin 4α+cos 4α=(sin 2α+cos 2α)2−2sin 2αcos 2α=1−2⋅(12)2=12（2）∵sinα+cosα=15，①∴(sinα+cosα)2+2sinαcosα=125∴2sinαcosα=−2425.∵0<α<π，∴π2<α<π，∴sinα>0,cosα<0，∴sinα−cosα>0，∴sinα−cosα=√(sinα−cosα)2=75.②由①，②得sinα=45,cosα=−35，∴tanα=−43。

人教A版高中同步训练数学必修第一册精品课件第5章三角函数章末核心素养整合

=2sin(x+ + )+2sin - =-2sin - +2sin - =0.

(方法二)原式=sin xcos +cos xsin +2sin x·cos -2cos xsin

− cos cos x- sin sin x

=sin x+ cos x+sin x- cos x+ cos x-sin x=0.

D.先向左平移个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标伸长

到原来的 2 倍,纵坐标不变
答案:A
解析:由题图知 A=1,最小正周期

T= −

-
=π,

所以 ω= =2.所以 y=sin(2x+φ).

又图象过点 , ,

由“五点法”知 +φ=π,所以 φ=.所以 y=sin + .
f(α)=
.
(-)(--)
(1)化简 f(α);
(2)若 cos

=

,求

f(α)的值;
(3)若 α=-1 920°,求 f(α)的值.
解:(1)由题意,利用三角函数的诱导公式,
[-(+)]
-
化简得 f(α)=
=
=cos
-[-(+)]

所以函数 f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+] (k∈Z).

2022秋新教材高中数学第五章三角函数章末检测新人教A版必修第一册

第五章章末检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B　【解析】由tan α＜0，cos α＜0，所以角α的终边在第二象限．2．函数y＝的周期是( )A．2πB．πC． D．【答案】C　【解析】函数y＝＝＝tan 2x的周期为.故选C．3．已知tanα＝2，则＝( )A．B．C．4D．5【答案】D4．如果角θ的终边经过点，那么sin＋cos(π－θ)＋tan(2π－θ)＝( )A．－B．C．D．－【答案】B　【解析】易知sin θ＝，cos θ＝－，tan θ＝－，原式＝cos θ－cos θ－tan θ＝.5．在平面直角坐标系中，点P(sin 100°，cos 200°)位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D　【解析】因为sin 100°＞0，cos 200°＝cos(180°＋20°)＝－cos 20°＜0，所以点P(sin 100°，cos 200°)位于第四象限．故选D．6．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f(－x)，则f＝( )A．2或0B．0C．－2或0D．－2或2【答案】D　【解析】由f＝f(－x)得直线x＝＝是f(x)图象的一条对称轴，所以f＝±2.故选D．7．函数y＝sin的单调递减区间为( )A．(k∈Z)B．(k∈Z)C．(k∈Z)D．(k∈Z)【答案】D8．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象在y轴右侧的第一个最高点为P，在原点右侧与x轴的第一个交点为Q，则f的值为( )A．1B．C．D．【答案】C　【解析】由题意，得＝－，所以T＝π，所以ω＝2，则f(x)＝sin(2x＋φ)．将点P的坐标代入f(x)＝sin(2x＋φ)，得sin＝1，所以φ＝＋2kπ(k∈Z)．又|φ|<，所以φ＝，即f(x)＝sin(x∈R)，所以f＝sin＝sin＝.故选C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列计算正确的选项有( )A．sin 158°cos 48°＋cos 22°sin 48°＝1B．sin 20°cos 110°＋cos 160°sin 70°＝1C．＝D．cos 74°sin 14°－sin 74°cos 14°＝－【答案】CD　【解析】对于A，sin 158°cos 48°＋cos 22°sin 48°＝sin 22°cos 48°＋cos 22°sin 48°＝sin(22°＋48°)＝sin 70°≠1，故A错误；对于B，sin 20°cos 110°＋cos 160°sin 70°＝sin 20°(－cos 70°)＋(－cos 20°)sin 70°＝－(sin 20°cos 70°＋cos 20°sin 70°)＝－sin(20°＋70°)＝－1，故B错误；对于C，＝＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝，故C正确；对于D，cos 74°sin 14°－sin 74°cos 14°＝sin(14°－74°)＝－sin 60°＝－，故D正确．故选CD．10．已知函数f(x)＝sin x·sin－的定义域为[m，n](m＜n)，值域为，则n－m的值不可能是( )A．B．C．D．【答案】CD　【解析】f(x)＝sin x·sin－＝sin x－＝sin2x＋sin x cos x－＝·＋sin 2x－＝sin 2x－cos 2x＝sin.因为函数的值域为，所以不妨令2n－＝，则2m－的最小值为－，最大值为－，即当n＝时，m的最小值为－，最大值为－ .所以n－m的范围为.所以n－m的值不可能是C或D．故选CD．11．将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的可能取值为( )A．－B．C．0D．－【答案】AB　【解析】将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到y＝sin的图象，由于所得函数为一个偶函数，则＋φ＝kπ＋，k∈Z，故当k＝0时，φ＝；当k＝－1时，φ＝－.故选AB．12.已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0,0＜|φ|＜π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称B．函数f(x)的图象关于点对称C．函数f(x)在区间上单调递增D．函数y＝1与y＝f(x)的图象的所有交点的横坐标之和【答案】BCD　【解析】由图可知，A＝2，＝－＝，所以T＝＝π，则ω＝2.又2×＋φ＝π，所以φ＝，满足0＜|φ|＜π，则f(x)＝2sin.因为f＝－1，所以f(x)的图象不关于直线x ＝对称．因为f＝0，所以f(x)的图象关于点对称．由x∈，得2x＋∈，则f(x)在区间上单调递增．由f(x)＝2sin＝1，得sin＝，所以2x＋＝＋2kπ或2x＋＝＋2kπ，k∈Z.取k＝0，得x＝0或；取k＝1，得x＝π或.所以函数y＝1与y＝f(x)的图象的所有交点的横坐标之和为＋π＋＝.故选BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知2sin θ＋3cos θ＝0，则tan(3π＋2θ)＝________.【答案】　【解析】由同角三角函数的基本关系式，得tan θ＝－，从而tan(3π＋2θ)＝tan 2θ＝＝＝.14．已知扇形弧长为20 cm，圆心角为100°，则该扇形的面积为________cm2.【答案】　【解析】由弧长公式l＝|α|r，得r＝＝，所以S扇形＝lr＝×20×＝(cm2)．15．(2020年冀州区校级高一期中)已知θ为第二象限角，若tan＝，则sin－sin(θ－3π)＝________.【答案】　【解析】由tan＝，得＝，解得tan θ＝－.又θ为第二象限角，所以联立解得sin θ＝，cos θ＝－.所以sin－sin(θ－3π)＝－cos θ＋sin θ＝.16．(2020年洛阳高一期中)已知函数f(x)＝sin x＋2cos x在x0处取得最小值，则f(x)的最小值为________．【答案】－　【解析】f(x)＝sin x＋2cos x＝＝sin(x＋α)，其中cos α＝，sin α＝，所以当x＝2kπ－α－，k∈Z时，函数f(x)取得最小值为－.四、解答题：本题共6小题，17题10分，其余小题为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f(x)＝sin－2sin x cos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)当x∈时，求f(x)的值域．解：f(x)＝sin－2sin x cos x＝－sin 2x＝sin 2x－cos 2x－sin 2x＝sin.(1)f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)因为x∈，所以2x－∈.所以f(x)的值域为.18．已知角α是第三象限角，tan α＝.(1)求sin α，cos α的值；(2)求的值．解：(1)tan α＝＝，sin2α＋cos2α＝1，故或而角α是第三象限角，则sin α＜0，cos α＜0，故(2)＝＝＝＝＝.∵tan α＝，∴＝－3.19．已知函数f(x)＝sin2＋cos ＋sin.　(1)求f的值；(2)求函数f(x)在上的值域．解：f(x)＝sin2＋cos＋sin＝＋2sin＝－cos＋2cos＝4cos2－cos－.(1)f＝4cos2－cos－＝.(2)设t＝cos，x∈，所以t∈.则原函数化为g(t)＝4t2－t－，t∈，所以f(t)∈.20．已知函数f(x)＝sin(π－ωx)cos ωx＋cos2ωx(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数y＝f(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)在区间上的最小值．解：(1)f(x)＝sin(π－ωx)cos ωx＋cos2ωx＝sin ωx cos ωx＋＝sin 2ωx＋cos 2ωx ＋＝sin＋.因为ω＞0，依题意得＝π，所以ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝sin＋.由题意，知g(x)＝f(2x)＝sin＋.当0≤x≤时，≤4x＋≤，所以≤sin≤1，所以1≤g(x)≤.故函数y＝g(x)在区间上的最小值为1.21．已知函数f(x)＝cos2x＋sincos－(x∈R)．(1)求f(x)在区间上的最大值和最小值；(2)若f＝，求sin 2α的值．解：f(x)＝cos2x＋sincos－＝＋－＝＝＝＝sin.(1)因为x∈，所以2x＋∈，所以sin∈，则f(x)max＝，f(x)min＝－.(2)由f＝，得sin＝，所以sin＝.所以sin 2α＝cos＝1－2sin2＝1－2×＝.22．已知x0，x0＋是函数f(x)＝cos2－sin2ωx(ω>0)的两个相邻的零点．(1)求f的值；(2)若关于x的方程f(x)－m＝1在x∈上有两个不同的解，求实数m的取值范围．解：(1)f(x)＝－＝＝＝＝＝sin.由题意可知，f(x)的最小正周期T＝π，所以＝π，所以ω＝1.故f(x)＝sin.所以f＝sin＝sin＝.(2)原方程可化为×sin＝m＋1，即2sin＝m＋1.设y＝2sin，0≤x≤，当x＝0时，y＝2sin＝；当x＝时，y的最大值为2.要使方程在x∈上有两个不同的解，需使≤m＋1<2，即－1≤m<1，所以m∈[－1,1)．。

三角函数-章末检测(基础过关练)-2022-2023学年高一数学课后培优分级练(原卷版)

章末检测－三角函数一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若角α的终边经过点()1,3P -，则tan a 的值为（）A ．13-B ．3-C ．10D 2．已知扇形的圆心角为34π，半径为4，则扇形的面积S 为（） A ．3π B ．4π C ．6π D ．2π3．若3cos 35πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．45- B ．35 C ．35 D ．454．要得到函数3sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，需（） A ．将函数3sin 5y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B ．将函数3sin 10y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变） C ．将函数3sin2y x =图象上所有点向左平移5π个单位． D ．将函数3sin2y x =图象上所有点向左平移10π个单位5．函数y ＝sin 522x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的一个对称中心是( ) A ．,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．3,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭6．若sin cos 1sin cos 3αααα+=-，则tan α等于（） A ．2- B ．34 C ．43- D ．27．已知sin cos αα+=ππ,42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos sin αα-=（）A ．BCD ．8．把函数4πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0ϕϕ>个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小值是（） A ．5π6 B ．2π3 C ．5π12 D ．π6二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列结论正确的是（）A ．76π-是第三象限角B ．若圆心角为3π的扇形的弧长为π，则该扇形面积为32πC ．若角α的终边过点()3,4P -，则3cos 5α=-D ．若角α为锐角，则角2α为钝角10．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的振幅为2B ．2,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭为()f x 的对称中心 C ．()f x 向右平移6π单位后得到的函数为奇函数 D ．()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[1,2]-11．已知π1sin 42α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，下列结论正确的是（）A ．π3cos 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭B ．π1cos 42α⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．5π1sin 42α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ D ．5π1cos 42α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭12．已知sin sin αβ>，那么下列命题正确的是（）A ．若角α、β是第一象限角，则cos cos αβ>B ．若角α、β是第二象限角，则tan tan βα>C ．若角α、β是第三象限角，则cos cos βα>D ．若角α、β是第四象限角，则tan tan αβ>三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13=，则α的终边所在的象限为______．14．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方步？”该问题的答案为___________平方步.15．将函数y=π3sin24x⎛⎫+⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.16．函数2()cos sin1f x x x=++在7,46ππ⎛⎤⎥⎝⎦上的值域是___________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．请完成下列小题:（1）若15tan8α=-，求sinα，cosα的值；（2）化简：3sin()cos()tan()22tan()sin()ππααπαπαπα-++-+-.18．已知23cos+4sin cos4ααα=．(1)求tanα的值；(2)求sin2cos2sin cosαααα-+的值．19．已知函数π2sin 26x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. (1)试用“五点法”画出它的图象；列表：1π26x +xy作图：(2)求它的振幅、周期和初相.20．已知函数()sin 4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）写出f (x )的最小正周期；（2）求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值．21．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.（1）当圆心角AOB ∠为23π，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积；（2）已知如图该扇形圆心角AOB ∠是α，半径为r ，若该扇形周长是一定值()0c c >当α为多少弧度时，该扇形面积最大？22．已知函数()πsin()0,0,2f x A x B A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求()f x 的解析式及对称中心坐标：(2)先把()f x 的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数()g x 的图象，若当ππ,46x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，关于x 的方程()210g x a +-=有实数根，求实数a 的取值范围.。

新高考数学复习基础知识专题讲义05 三角函数定义及同角三角函数(解析版)

新高考数学复习基础知识专题讲义知识点05 三角函数定义及同角三角函数知识理解一．任意角 (1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z)． (3)弧度制①1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr ，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③弧度与角度的换算：360°＝2π rad ；180°＝π rad ；1°＝π180 rad ；1 rad ＝180π度．二．任意角的三角函数1.定义：在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2>0)．则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0)．2.三角函数在每个象限的正负如下表：三．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(2)商数关系：sin αcos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 四．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式：sin 2α＝1－cos 2α；cos 2α＝1－sin 2α； (2)tan α＝sin αcos α的变形公式：sin α＝cos_αtan_α；cos α＝sin αtan α.考向一角度制与弧度制的转换【例1-1】（2020·全国课时练习）填表（弧度数用含π的代数式表示），并在平面直角坐标系中作出角的终边.【答案】填表见解析，作图见解析【解析】如表，如图：考向分析对应的角的终边分别为图中的射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，OG ，OH ，OI. 【例1-2】（2020·全国课时练习）把下列各弧度化为角度. （1）12π；（2）53π；（3）310π；（4）8π；（5）32π-；（6）56π-. 【答案】（1）15︒；（2）300︒；（3）54︒；（4）22.5︒；（5）270︒-；（6）150︒-.【解析】（1）1801512ππ︒︒⨯=；（2）51803003ππ︒︒⨯=；（3）18054310ππ︒︒⨯=；（4）28180 2.5ππ︒︒⨯=；（5）31802702ππ︒︒-⨯=-；（6）51801506ππ︒︒-⨯=-.【例1-3】（2019·全国高三专题练习）将－1485°改写成2k π＋α(0≤α<π，k ∈Z)的形式是( ) A ．－8π＋4πB ．－10π－4πC ．－8π＋74πD ．－10π＋74π 【答案】D【解析】﹣1485°＝﹣1800°+315°＝﹣10π+74π．故选D【举一反三】1．（2020·全国课时练习）把下列角度化成弧度：（1）36︒；（2）150︒-；（3）1095︒；（4）1440︒. 【答案】（1）5π（2）56π-（3）7312π（4）8π 【解析】（1）361805ππ︒⨯=；（2）51501806ππ-︒⨯=-；（3）73109518012ππ︒⨯=；（4）14408180ππ︒⨯=． 2．（2020·全国课时练习）将下列角度与弧度进行互化. （1）20°；（2）－15°；（3）712π（4）－115π. 【答案】（1）20°＝9π；（2）－15°＝－12π；（3）712π＝105°；（4）－115π＝－396°.【解析】（1）20°＝20180π＝9π. （2）－15°＝－15180π＝－12π.（3）712π＝712×180°＝105°. (4)－115π＝－115×180°＝－396°.3．（2020·全国高三专题练习）把−1125°化成α+2k π(0≤α<2π,k ∈Z)的形式是（） A ．−π4−6πB ．7π4−6πC ．−π4−8πD ．7π4−8π【答案】D【解析】−1125°=−1440°+315°=−8π+7π4，故选D.4．（2019·全国高三专题练习）将－1485°化成α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z)的形式是( ) A ．－4π－8πB ．74π－8πC ．4π－10πD ．74π－10π【答案】D【解析】由题意，可知－1485°＝－5×360°＋315°，又π＝180°，则315°＝74π，故－1485°化成α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z)的形式是74π－10π．考向二三角函数定义【例2】（1）（2020·云南）已知角α的终边经过点34(,)55P -，则sin α等于（） A ．45B ．35C ．43-D ．34- （2）（2020·广东）已知角θ的终边上一点(4,3)(0)P a a a ≠，则sin θ=（） A ．45B ．35C ．45±D ．35± 【答案】（1）A （2）D【解析】（1）因为角α的终边经过点34(,)55P -，所以x 34,,155y r =-==，所以4sin 5y r α==，故选：A（2）5OP a == 由三角函数的定义可得333sin 55a a OP a θ===±故选：D 【举一反三】1．（2020·北京）在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(3,4)P ，那么sin α的值是（） A ．35B ．34C ．45D ．43 【答案】C【解析】由已知5OP ==，所以4sin 5α．故选：C ． 15．（2020·商南县高级中学）角α的终边过点()3,4P a ，若3cos 5α=-，则a 的值为（） A ．1B ．1-C ．±1D ．5± 【答案】B【解析】由条件可知r OP ==，由三角函数的定义可知3cos 5x r α===-，0a <，解得：1a =-.故选：B 3．（2019·吉林高三月考（文））若点cos ,sin36ππ⎛⎫⎪⎝⎭在角α的终边上，则tan α的值是（）A ．-1B ．1C ．【答案】B【解析】据题意，得1sin62tan 11cos32παπ===.故选：B.考向三三角函数正负判断【例3】（1）（2020·山东高三专题练习）已知cos tan 0θθ⋅>，那么θ是（） A ．第一、二象限角B ．第二、三象限角C ．第三、四象限角D ．第一、四象限角（2）（2020·山东高三专题练习）若α是第二象限角，则点()sin ,cos P αα在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】（1）A （2）D【解析】（1）由cos tan 0θθ⋅>可知cos ,tan θθ同号，即cos tan =sin 0θθθ⋅>，从而θ为第一、二象限角，故选：A（2）因为α是第二象限角，所以sin 0,cos 0αα><，所以点()sin ,cos P αα在第四象限，故选D【举一反三】1．（2019·浙江高三专题练习）已知 sin 0θ>且cos 0θ<，则角的终边所在的象限是（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】依据题设及三角函数的定义可知角θ终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，所以终边在第二象限，故选B.2．（2020·全国高三专题练习）若sin tan 0αα<，且cos 0tan αα<，则角α是（） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】 C【解析】2sin sin tan 0cos αααα=<，cos 0α∴<，又2cos cos 0tan sin αααα=<，则sin 0α<. 因此，角α为第三象限角.故选：C.3．（2020·全国高三专题练习）已知sin cos 0θθ<，且cos cos θθ=，则角θ是（） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D【解析】由cos cos θθ=，可知cos 0θ≥，结合sin cos 0θθ<，得sin 0,cos 0θθ<>，所以角θ是第四象限角，故选:D4．（多选）（2020·全国高三专题练习）对于①sin 0θ>，②sin 0θ<，③cos 0θ>，④cos 0θ<，⑤tan 0θ>，⑥tan 0θ<，则θ为第二象限角的充要条件为（） A ．①③B ．①④C ．④⑥D ．②⑤ 【答案】BC【解析】若θ为第二象限角，则sin 0θ>，cos 0θ<，tan 0θ<.所以，θ为第二象限角sin 0cos 0θθ>⎧⇔⎨<⎩或sin 0tan 0θθ>⎧⎨<⎩或cos 0tan 0θθ<⎧⎨<⎩.故选：BC.考向四同角三角公式【例4】（1）（2019·全国高三专题练习）已知α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α等于（） A ．513B ．－513 C ．512D ．－512（2）（2020·江西景德镇一中）已知2tan 3α=，且2απ<<π，则cos α=（）A ．13-B ．13．13-D ．13【答案】（1）B （2）A【解析】由条件知α是第四象限角，所以sin 0α<，即sin α＝＝＝513-. 故选：B ．（2）2tan 03α=>且2απ<<π，32ππα∴<<，cos 0α∴<，由22sin 2tan cos 3sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩得：cos 13α=-故选：A .【举一反三】1．（2020·海拉尔市蒙古族中学高三学业考试）已知α为第四象限的角，且3cos 5α=，则tan α的值为（） A ．34B ．34-C ．43D ．43-【答案】D【解析】α为第四象限的角，且3cos 5α=，4sin 5α∴===-.4sin 45tan 3cos 35ααα-∴===-.故选：D .2．（2019·北京海淀·101中学高三月考）已知3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且tan α=那么sin α=（）A ．-．D【答案】B【解析】因为3(,)22ππα∈，sin tan 0cos ααα==>，故3(,)2παπ∈， sin αα=，又22sin cos 1αα+=，解得：sin α=故选：B 3.已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．【答案】见解析【解析】由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α①又sin 2α＋cos 2α＝1②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925.又α是第三象限角，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45.考向五弦的齐次【例5】（1）已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为．（2）（2020·固原市五原中学高三）已知tan 2θ=，则2sin sin cos 2θθθ+-= 【答案】（1）3（2）45-（1）原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3. （2）因为22sin +cos 1θθ=，sin tan cos θθθ=所以222sin sin cos 2sin sin cos 2cos θθθθθθθ+-=-+-222222sin sin cos 2cos tan tan 2sin +cos tan +1θθθθθθθθθ-+--+-==42244+15-+-==-故选：D.【举一反三】1．（2020·全国高三专题练习）已知1tan 3α=-，则2cos sin cos ααα-+的值为（） A ．3-B ．34-C ．43-D ．34【答案】A【解析】由1tan 3α=-，得2cos 2232sin cos 1tan 3αααα---===-++.故选：A.2．（2020·福建省武平县第一中学高三月考）已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-等于（） A ．43-B ．54C ．34-D ．45【答案】D【解析】222222sin sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin cos θθθθθθθθθθ+-+-=+22tan tan 24224tan 1415θθθ+-+-===++. 故选：D3．（2020·西藏拉萨中学高三）1tan 2α=，则sin 2α=（） A ．45-B ．35C ．45D ．35【答案】C【解析】1tan 2α=，2222122sin cos 2tan 42sin 21151()2sin cos tan ααααααα⨯∴====+++．故选：C 4．（2020·江苏南京田家炳高级中学）已知tan 2α=，求：（1）sin 2cos sin cos αααα+-；（2）221sin sin cos 2cos αααα+-.【答案】（1） 4 （2）54【解析】（1）sin 2cos tan 2224sin cos tan 121αααααα+++===--- （2）2222221sin cos sin sin cos 2cos sin sin cos 2cos αααααααααα+=+-+-2222tan 1215tan tan 22224ααα++===+-+- 考向六 sin cos sin cos α±ααα与【例6】（1）（2020·永寿县中学高三开学考试）已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（）． A ．79-B ．29-C ．29D ．79（2）（2020·广东华南师大附中高三月考）已知1sin cos 5αα+=，其中,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α=（）A ．247B ．43-或34-C ．34-D ．43- 【答案】（1）A （2）D【解析】()2sin cos 17sin 22sin cos 19ααααα--===--.所以选A.（2）由1sin cos 5αα+=，平方可得112sin cos 25αα+=，解得242sin cos 25αα=-，又由2249(sin cos )sin cos 2sin cos 25αααααα-=+-=，因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，可得sin cos 0αα->，所以7sin cos 5αα-=，联立方程组1sin cos 57sin cos 5αααα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得43sin ,cos 55αα==-，所以sin tan s 43co ααα==-.故选：D.【举一反三】1．（2020·上海市奉贤区曙光中学高三期中）已知7sin cos17αα+=，()0,απ∈，则tanα=________.【答案】158-【解析】依题意7sin cos17αα+=，两边平方得4924012sin cos,2sin cos0289289αααα+==-<，而()0,απ∈，所以sin0,cos0αα><，所以23sin cos17αα-====.由7sin cos1723sin cos17αααα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得158sin,cos1717αα==-，所以sin15tancos8ααα==-.故答案为：158-2．（2020·四川省南充高级中学高三月考（理））已知1sin cos5θθ+=，(0,)θπ∈，则tanθ=________. 【答案】43-【解析】已知1sin cos5θθ+=，平方得()2221sin cos sin cos2sin cos25θθθθθθ+=++=，得12sin cos25θθ=-，∴()222sin cos sin cos2sin cos125252449θθθθθθ-=+-=+=，(0,)θπ∈，sin0,cos0θθ><，7sin cos 5θθ∴-=，7ta sin cos 1sin cos n 571t n 51a θθθθθθ=-=-+=+，解得4tan 3θ=-. 故答案为：43-考向七三角函数线运用【例7】（2020·全国高三专题练习）已知点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限，则在[0,2]π内α的取值范围是（）．A ．35,,244ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．5,,424ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．353,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．3,,424ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【解析】由已知点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限得：sin cos 0αα->，tan 0α>，即sin cos αα>，tan 0α>，当sin cos αα>，可得52244k k πππαπ+<<+，k Z ∈．当tan 0α>，可得222k k ππαπ<<+或3222k k πππαπ+<<+，k Z ∈． ∴2242k k πππαπ+<<+或5224k k πππαπ+<<+，k Z ∈．当0k =时，42ππα<<或54ππα<<． 02απ，∴42ππα<<或54ππα<<．故选：B ．【举一反三】1．（2020·全国高三专题练习）已知点()cos ,tan P αα在第二象限，则角α在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】点()cos ,tan P αα在第二象限，则cos 0tan 0αα<⎧⎨>⎩，所以角α在第三象限.故选：C2．（2020·海伦市第一中学高三期中（文））已知点()cos sin ,sin cos P αααα+-在第三象限，则α的取值范围是（）． A ．()ππ2π,2π42k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z B ．()3π2π,2ππ4k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z C ．()3π5π2π,2π44k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z D ．()5π7π2π,2π44k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z【答案】D 【解析】()cos sin ,sin cos P αααα+-在第三象限，cos sin 0sin cos 0αααα+<⎧∴⎨-<⎩，2222sin cos sin 1sin sin 0sin 0αααααα⎧⎧>>-∴⇒⎨⎨<<⎩⎩，21sin 2sin 0αα⎧>⎪∴⎨⎪<⎩，sin α∴<，()5π7π2π,2π44k k k α⎛⎫∴∈++∈ ⎪⎝⎭Z．故选：D. 3．（2020·贵州高三其他模拟）已知点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限，则在[]0,2π内的α的取值范围是（）A ．35(,)(,)244ππππB ．5(,)(,)424ππππC ．353(,)(,)2442ππππD ．33(,)(,)244ππππ 【答案】B【解析】由已知点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限得：sin cos 0αα->，tan 0α>，即sin cos αα>，tan 0α>，当sin cos αα>，可得52244k k πππαπ+<<+，k Z ∈．当tan 0α>，可得222k k ππαπ<<+或3222k k πππαπ+<<+，k Z ∈． ∴2242k k πππαπ+<<+或5224k k πππαπ+<<+，k Z ∈．当0k =时，42ππα<<或54ππα<<．02απ≤≤，∴42ππα<<或54ππα<<．故选：B ．1．（2020·重庆西南大学附中高三月考）下列转化结果正确的是（） A ．60化成弧度是rad 6πB ．rad 12π化成角度是30 C ．1化成弧度是180rad πD ．1rad 化成角度是180π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】由180π=得，对于A 选项：60化成弧度是rad 3π，故A 不正确；对于B 选项：rad 12π化成角度是11801512⨯=，故B 不正确；对于C 选项：1化成弧度是180rad π，故C 错误；对于D 选项：1rad 化成角度是180π⎛⎫⎪⎝⎭，故D 正确，故选：D.2．（2020·天津市静海区大邱庄中学高三月考）下列转化结果错误的是（） A ．30化成弧度是6πB ．103π-化成度是600-︒ C ．6730'︒化成弧度是27πD ．85π化成度是288︒ 【答案】C【解析】30化成弧度是6π，A 正确；103π-化成度是600-︒，B 正确； 6730'︒是367.567.51808ππ︒=⨯=，C 错误；85π化成度是288︒，D 正确.故选：C. 3．（2020·江苏高三专题练习）225-化为弧度为()强化练习A ．34πB ．74π-C ．54π-D ．34π- 【答案】C【解析】225225356024ππ=-⋅-=-.故选C 4．（2019·全国高三专题练习）下列结论不正确的是( )A ．3πrad ＝60°B ．10°＝18πrad C ．36°＝5πradD ．58πrad ＝115°【答案】D 【解析】 ∵π＝180°，∴3πrad ＝60°正确，10°＝18πrad 正确，36°＝5πrad 正确，58πrad ＝＝112.5°≠115°，D 不正确．故选D ．5．（2020·浙江温州·高二期中）已知角α的终边上有一点()1,2P -，则tan α的值为（） A ．-2B ．12-C D ．【答案】A 【解析】角α的终边上有一点()1,2P -，2tan 21α-∴==-.故选：A. 6．（2020·江苏镇江·高三期中）已知点51,3tan6P π⎛⎫- ⎪⎝⎭是角θ终边上一点，则cosθ的值为（） A ．12B．12-D．【答案】C【解析】因为53tan 36π⎛=⨯= ⎝⎭(1,P -，所以1cos 2θ==-，故选：C.7．（2020·河南高三月考（文））已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴非负半轴上，终边与单位圆交于12P ⎛-⎝⎭，则sin α=（） A．B ．12-C．．2【答案】D【解析】由三角函数的定义，sin y α==.故选：D. 8．（2020·北京人大附中高三月考）已知点5π2cos,16P ⎛⎫⎪⎝⎭是角α终边上一点，则sin α=（） A ．12B．2C ．12-D．2- 【答案】A【解析】由5πcos62=-，可得点()P ，根据三角函数的定义，可得1sin 2α==.故选：A.9．（2020·浙江高二开学考试）已知角α的终边经过点(2,1)P -，则（）A ．sin αB ．sin α=C ．cos α=D ．tan 2α【答案】A【解析】角α的终边经过点(2,1)P -,所以P根据三角函数定义得到：sin 55a α====-，1tan 2α=-；故选A. 10．（2020·开鲁县第一中学高三月考（文））已知角α的终边经过点P (4，－3)，则2sin cos αα+的值等于( ) A ．25-B ．45C ．35D ．25【答案】A【解析】因为角α的终边过点()4,3,5P r OP -==，所以利用三角函数的定义，求得34,cos 55sin αα=-=，3422cos 2555sin αα∴+=-⨯+=-，故选A. 11．（2020·宁夏银川二中高三其他模拟）如果角α的终边过点(2sin30,2cos30)︒-︒，则sin α的值等于（）A ．12B ．12-C．D．-【答案】C【解析】由题意()(2sin30,2cos301,︒-︒= ，点(1,到原点的距离2r ==，由定义知sin 2y r α==-故选：C ． 12．（2020·扶风县法门高中高三月考（文））已知α的值是（）A ．3B ．3-C ．1D ．12- 【答案】Ccos 2sin cos sin cos ααααα+=+，因为α为第二象限角，所以sin 0,cos 0αα><，所以cos 2sin 2sin cos 211sin cos sin cos αααααααα-+=+=-=.故选：C. 13．（2020·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α的终边位置在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】由于点(tan ,cos )P αα在第三象限，所以tan 0,cos 0αα<<，所以α在第二象限.故选：B14．（2020·全国高三专题练习（文））已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α在第几象限（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】因为点(tan ,cos )P αα在第三象限，所以tan 0,cos 0αα<< 所以角α在第二象限故选：B15．（2020·江苏高三专题练习）若sin tan 0αα<，且cos 0tan αα<，则角α是第（）象限角. A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】C【解析】由条件知sin α与tan α异号，则α为第二或第三象限角；又cos α与tan α异号，则α为第三或第四象限角.综上可知，α为第三象限角.故选：C16．（2020·北京市第十三中学高三期中）已知()0,απ∈，且3cos 5α=-，则tan α=（） A ．43-B ．34-C ．34D ．43 【答案】A【解析】由3cos 5α=-得4sin 5α===±，因为()0,απ∈，所以sin 0α>，所以4sin 5α，所以4sin 45tan 3cos 35ααα===--，故选：A17．（2020·陕西省定边中学高三月考（文））已知tan 4α=，则21cos 28sin sin 2ααα++的值为（）A ．．654C ．4D ．3【答案】B【解析】因为tan 4α=，所以21cos 28sin sin 2ααα++，222cos 8sin 2sin cos αααα+=，228tan 2tan αα+=，228424+⨯=⨯， 654=故选：B 18．（2020·重庆南开中学高三月考）已知tan 2α=，则2221sin 2cos sin 2cos αααα++=-（）A ．32B ．52C ．4D ．5 【答案】D 【解析】22222221sin 2cos sin 2sin cos 2cos sin 2cos sin 2cos αααααααααα++++=--22tan 2tan 25tan 2ααα++==-故选:D 19．（2020·全国高三专题练习（文））已知02πα-<<，1sin cos 5αα+=，则221cos sin αα-的值为( )A ．75B ．257C ．725D ．2425【答案】B【解析】由题意，因为1sin cos 5αα+=，所以112sin cos 25αα+=，所以242sin cos 25αα=-，所以()249cos sin 12sin cos 25αααα-=-=，又因为02πα-<<，所以sin 0,cos 0αα<>，所以7cos sin 5αα-=，所以221125cos sin (cos sin )(cos sin )7αααααα==-+-，故选B.20．（2020·全国高三专题练习）（多选）下列转化结果正确的是（）A ．6730'化成弧度是38πB ．103π-化成角度是600-C ．150-化成弧度是76π-D ．12π化成角度是5 【答案】ABD【解析】对于A,3673067.51808ππ'=⨯=,正确;对于B,101018060033πππ-=-⨯=-,正确; 对于C,51501501806ππ⨯-=-=-,错误;对于D,180151212πππ=⨯=,正确.故选ABD 21．（2020·天津经济技术开发区第二中学高三期中）已知角θ的终边经过点(,3)P x （0x <）且cos 10x θ=，则x =___________. 【答案】1-【解析】由余弦函数的定义可得cos 10x θ==，解得0x =（舍去），或1x =（舍去），或1x =-， 1x ∴=-.故答案为：1-.22．（2020·湖南高二学业考试）已知角α的终边经过点(3，4)，则cos α=______________.【答案】35【解析】因为角α的终边经过点(3，4)，所以3cos 5x r α===，故答案：35 23（2020·天津经济技术开发区第二中学高三期中）已知2sin cos 0αα-=，则2sin 2sin cos ααα-=___________. 【答案】35【解析】由2sin cos 0αα-=，得1tan 2α=，则有222222sin 2sin cos sin 2sin cos tan 2tan 1sin cos tan 1ααααααααααα---==++221123225112⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭==-⎛⎫+ ⎪⎝⎭；故答案为：35. 24．（2020·万载县第二中学高三月考（理））已知角α的终边经过点(,6)P x --，且3cos 5α=-，则11sin tan αα+=________．【答案】12- 【解析】点P 的纵坐标为6-，且3cos 05α=-<．∴角α的终边落在第三象限，4sin 5α∴=-，4tan 3α= 115321sin tan 4442αα∴+=-+=-=-.故答案为：12-. 25．（2020·山东高三专题练习）已知sin 2cos 3sin 5cos αααα-+＝－5，那么tan α＝________. 【答案】－2316易知cos α≠0，由sin 2cos 3sin 5cos αααα-+＝－5，得tan 23tan 5αα-+＝－5，解得tan α＝－2316.故答案为：－2316。

第五章三角函数+章末总结课件-2025届高三数学一轮复习

此时，只需满足
x轴 =
π
+k4 π−φ
2
ω
π
4
− x轴 ≥
x轴 ≥
π
,
6
π
x轴 − ,
9
π π
即可使得( ， )是f
9 6
x 的一个单调区间，将
=
π
2
（【抓关键】由ωx轴 + φ = + k 4 π ，k 4 ∈ 可得）
π
π k3 π
+k
π−
+ 2
4
2
4
ω
,k 3 ,k 4 ∈
18+36k
代入上述不等式组，解得
≤ ωπ − <
7π
,解得2
3
8
3
8
3
≤ ω < ，故ω ∈ [2, ).
kπ
2
> 0，
π
3
例14 (2024·安徽省六校教育研究会测试)已知函数f x = cos(ωx − ) −
区间[0, π]上恰有三个零点，则ω

[, )
的取值范围是______.

π
3
π
3
1
2
ω>0 在
π
3
【解析】令t = ωx − ,因为x ∈ [0, π],所以t ∈ [− , ωπ − ]，于是
T，n
4
2n−1 2π
⋅ ，n
4
ω
π π
又( ， )是f
9 6
x
= k1 + k 2 ),k 3 ∈ ，
∈ + ,
∈ + ,化简得ω = 2n − 1，n ∈ + .

高一数学第5章三角函数章末重难点归纳总结(原卷版)

第5章三角函数章末重难点归纳总结重点一扇形的弧长与面积【例1-1】（2021·江苏·高一专题练习）已知扇形的周长为10cm ，面积为24cm ，则该扇形圆心角的弧度数为（） A ．4πB ．14C ．12D ．12或8【例1-2】（2023·全国·专题练习）已知扇形的圆心角是α，半径是r ，弧长为l . (1)若100,2r α=︒=，求扇形的面积；(2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．【一隅三反】1．（2022·四川）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其平面图如图2的扇形AOB ，其中120AOB ∠=︒，33OA OC ==，则扇面（曲边四边形ABDC ）的面积是______．2．（2022·安徽·亳州二中高一期末）屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图，扇环外环弧长为3.6m ，内环弧长为1.2m ，径长（外环半径与内环半径之差）为1.2m ，则该扇环形屏风的面积为__________2m ．3．（2021·陕西榆林）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田（由圆弧和其所对弦所围成）面积的计算公式：弧田面积12=（弦⨯矢+矢2）．公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于圆弧的最高点到弦的距离．如图，弧田是由圆弧AB 和其所对弦AB 围成的图形，若弧田的弧AB 长为8π3，弧所在的圆的半径为4，则利用九章算术中的弧田面积公式计算出来的面积与实际面积之差为______．4．（2022·全国·高一课时练习）已知一扇形的圆心角为α()0α>，周长为C ，面积为S ，所在圆的半径为r . （1）若90α=︒，10cm r =，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若6cm C =，22cm S =，求α的值.重点二三角函数的定义【例2-1】（2022·全国·高三专题练习）如果角α的终边过点()2sin60,2cos60P ︒-︒，则cos α=（） A ．12-B ．12C ．3D 3【例2-2】（2022·江西省铜鼓中学）已知角θ的终边经过点(,3)M m m -，且1tan 2θ=，则m =（） A ．12B ．1C ．2D ．52【一隅三反】1．（2022·全国·高一课时练习）已知()2,P y -是角θ终边上一点，且22sin θ=y 的值是（） A ．22B 22C ．434D 4342（2022·重庆）角α的终边经过点(,4)P m ，且3cos 5α=-，则tan α的值为______．3．（2023·全国·专题练习）已知角α的终边经过点(),6P x --，且5cos 13α=-，则11sin tan αα+=____．重点三三角函数值的正负【例3-1】（2022·全国·高一课时练习）在平面直角坐标系中，若角α的顶点在原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在第二象限，则下列三角函数中值大于零的是（） A ．πsin 2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．πcos 2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．tan(π)α+D ．cos(π)α+【例3-2】（2023·全国·专题练习）已知角θ在第二象限，且sin sin22θθ=-，则角2θ在（） A ．第一象限或第三象限 B ．第二象限或第四象限 C ．第三象限 D ．第四象限【一隅三反】1．（2022·全国·高一课时练习）已知α为第二象限角，则（） A ．sin 0α< B ．tan 0α> C ．cos 0α< D ．sin cos 0αα>2．（2022·全国·高一课时练习）已知sin 0θ<且tan 0θ<，则θ是（） A ．第一象限的角 B ．第二象限的角 C ．第三象限的角 D ．第四象限的角3．（2022·全国·高一课时练习）（多选）已知点(sin cos ,tan )P θθθ-在第一象限，则在[0,2]π内θ的取值范围是（） A ．5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,24ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．35,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭重难点四同角三角函数【例4-1】（2022·成都）已知1cos 3α=，且α为第四象限角，则sin α=（） A ．22B ．22C ．23±D 23【例4-2】（2022·辽宁实验中学）已知tan 3α=，则222sin sin cos 3cos αααα+-的值为（） A ．95B ．18C ．1710D ．15【例4-3】（2023·云南）已知(0,π)α∈ ，且1sin cos 5αα+= ，给出下列结论： ①ππ2α<<；①12sin cos 25αα=- ；①3cos 5α=；①7cos sin 5αα-=- . 其中所有正确结论的序号是（） A ．①①① B ．①①① C ．①①① D ．①①①【一隅三反】1．（2023·广东）已知cos 3sin 0αα-=，则2cos sin cos sin αααα-+的值为（）A ．54-B ．45-C ．54D ．452．（2022·辽宁·沈阳二十中一模）（多选）已知()0,πθ∈，1sin cos 5θθ+=，则（） A ．π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．3cos 5θ=-C ．3tan 4θ=-D ．7sin cos 5θθ-=3．（2022·安徽）已知[)0,2π,cos 3sin 10ααα∈+tan α=___________.4．（2020·河南信阳·高一期中）如果1sin cos 5x x +=，且0πx <<，那么tan x 的值是_________ .重难点五诱导公式及恒等变化【例5-1】（2022·湖北黄冈）3 ）A ．2252cos cos 1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．1tan151tan15+︒-︒C ．cos153sin15︒︒D ．16sin10cos20cos30cos40︒︒︒︒【例5-2】（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知α为第一象限角，()1cos 103α+=，则()tan 170α-=（）A ．22-B ．22C ．2-D 2【例5-3】（2022·吉林）已知π2sin 128α⎛⎫+= ⎪⎝⎭2πsin 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．116B ．23C ．12D ．1516【一隅三反】1．（2022·辽宁实验中学）（多选）下列等式成立的是（） A ．13sin40cos40sin7022+=B ．22sin 5511sin20-=C ．1sin10sin50cos208=D ．tan67.5tan22.52-=2．（贵州省2023届高三上学期联合考试数学（文）试题）若1cos 53x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则3sin 10x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭________.3．（2022·重庆）已知π4sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.重难点六三角函数性质【例6】（2022·陕西）已知函数213()sin 322x f x x =()f x 说法错误的是( )A ．()f x 的图象向右平移5π6个单位长度后所得的函数为cos y x =-B ．()f x 的图象与2π()sin 3g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称C ．()f x 的单调递减区间为π7π2π,2π()66k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ZD ．()f x 在[0,]a 上有3个零点，则实数a 的取值范围是8π11π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【一隅三反】1．（2022·成都）已知函数()32sin 2f x x x =-，下列说法正确的是（）A ．()f x 的最小正周期是2πB ．()f x 的图像关于直线π12x =对称 C ．()f x 在区间π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增D ．()f x 的图像可由2cos2y x =的图像向左平移π12个单位得到2．（2022·陕西师大附中高一期中）函数2()2sin sin 21f x x x =-++，给出下列四个命题： ①在区间π5π[,]88上是减函数；①直线π8x =是函数图像的一条对称轴；①函数()f x 的图像可由函数22y x =的图像向左平移π4个单位得到；①若[0,]2x π∈，则()f x 的值域是2]其中，正确的命题的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．43．（2022·江苏省如皋中学）（多选）函数()()sin 0,0,0πy A x A ωϕωϕ=+>><<在一个周期内的图象如图所示，则（）．A ．该函数的解析式为2π2sin 33y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．该函数图象的对称中心为ππ,03k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，Z k ∈C ．该函数的单调递增区间是5ππ3π,3π44k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Z k ∈D ．把函数π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标伸长为原来的32倍，纵坐标不变，可得到该函数图象4．（2021·福建省福州屏东中学）（多选）已知函数()()3sin 222f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像关于直线3x π=对称，则（）A ．函数12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数B ．函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数()f x 的图像向右平移()0a a >个单位长度得到的函数图像关于6x π=对称，则a 的最小值是3π D ．若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根12,x x ，则12x x -的最大值为2π。

人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)精品课件：第五章三角函数章末复习课

(2)由题意知，cos α＝xr≤0，sin α＝yr>0，即x≤0，y>0，所以3mm＋－29>≤0，0，所以－2<m≤3，即实数m的取值范围为(－2，3].
【训练 1】已知角 α 的终边过点 P(－8m，－6sin 30°)，且 cos α＝－45，则 m
的值为( )
A.－12
B.12
(3)正切曲线：
6.三角函数的性质(表中k∈Z)
y＝sin x
定义域
R
y＝cos x R
y＝tan x {x|x∈R，且 x≠π2＋kπ}
增区间：[－π2＋2kπ，π2＋2kπ]，单调性
减区间：[π2＋2kπ，32π＋2kπ]
增减区区间间：：[[2－kππ，＋π2＋kπ，2kπ2]kπ]，增区间：(－π2＋kπ，π2＋kπ)
章末复习课
[网络构建]
[核心归纳] 1.任意角与弧度制 (1)与角 α 终边相同的角的集合为 S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}. (2)角度与弧度的互化：1°＝1π80 rad，1 rad＝(1π80)°. (3)弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S＝12lr＝12|α|r2.
2.任意角的三角函数设任意角 α 的终边上任意一点 P(x，y)，r＝ x2＋y2，则 sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx(x≠0).
C.－
3 2
D.
3 2

解析由题意知 P(－8m，－3)且 cos α＝－45，∴r＝ 64m2＋9，∴cos α＝
6－4m82m＋9＝－45，且 m>0，∴m2＝14，∴m＝12.故选 B.
答案 B
要点二同角三角函数基本关系式的应用同角三角函数基本关系式的应用方法 (1)利用 sin2α＋cos2α＝1 可以实现 α 的正弦、余弦的转化，利用csoins αα＝tan α 可以实现角 α 弦切互化. (2)关系式的逆用与变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－ sin2α，(sin α＋cos α)2＝(sin α－cos α)2＋4sin αcos α. (3)sin α，cos α 的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于 sin α，cos α 的齐次式或含有 sin2α，cos2α 及 sin αcos α 的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“sin2α＋cos2α＝1”代换后转化为“切”求解.

人教版高中数学必修1--第五章章末回顾与提升

3．求值一般包括：(1)给角求值；(2)给值求值；(3)给值求角． 4．掌握三角函数中公式的正用、逆用及变形用，重点提升逻辑推理和数学运算素养．
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第五章三角函数
已知 α 为第三象限角，且
sin
32π－αcos π2 －αtan （－α＋π）
sin π2 ＋αtan （2π－α）
x－
3 2
(1＋cos
2x)＝12
sin
2x－
3 2
cos 2x－
3 2
＝sin
2x－π3
－
3 2
，
因此 f(x)的最小正周期为π，最大值为2－2 3 .
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第五章三角函数
(2)当 x∈π6 ，23π
π 时，0≤2x－ 3
≤π，从而
π 当 0≤2x－ 3
π ≤2
π ，即 6
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第五章三角函数
解析：∵函数 f(x)＝sin 2x＋π4 ＋cos 2x＋π4 ＝ 2 sin 2x＋π4 ＋π4 ＝ 2 sin 2x＋π2 ＝ 2 cos 2x，
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第五章三角函数
∴f(－x)＝ 2 cos (－2x)＝ 2 cos 2x＝f(x)，y＝f(x)为偶函数，故选项 A 正确；令 2kπ≤2x≤π＋2kπ(k∈Z)，解得 kπ≤x≤π2 ＋kπ (k∈Z)，可得函数 y＝f(x)在0，π2 单调递减，所以选项 B 正确；
第五章三角函数
[训练 1] 已知角 α 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边在射线 y＝2x(x≥0)上．

全国通用2023高中数学必修一第五章三角函数知识点总结(超全)

全国通用2023高中数学必修一第五章三角函数知识点总结(超全)单选题1、已知sinθ=45，则sin (π−θ)cos(π2+θ)cos (π+θ)sin(π2−θ)=（）A ．−169B ．169C ．−43D ．43答案：B分析：由诱导公式和同角关系sin (π−θ)cos(π2+θ)cos (π+θ)sin(π2−θ)可化为sin 2θcos 2θ，再由同角关系由sinθ求出cos 2θ，由此可得结果.∵ sinθ=45，∴ cos 2θ=1−sin 2θ=925 则sin (π−θ)cos(π2+θ)cos (π+θ)sin(π2−θ)=sinθ(−sinθ)(−cosθ)cosθ=sin 2θcos 2θ=169，故选：B.2、若函数f(x)=sinωx (ω>0)，在区间[0,π3]上单调递增，在区间[π3,π2]上单调递减，则ω=（）． A ．1B ．32C ．2D ．3答案：B分析：根据f (π3)=1以及周期性求得ω.依题意函数f(x)=sinωx (ω>0)，在区间[0,π3]上单调递增，在区间[π3,π2]上单调递减，则{f (π3)=sin π3ω=1T 2=πω≥π3，即{π3ω=2kπ+π2,k ∈Z 0<ω≤3 ，解得ω=32.故选：B3、若α∈(0,π2),tan2α=cosα2−sinα，则tanα=（） A ．√1515B ．√55C ．√53D ．√153答案：A分析：由二倍角公式可得tan2α=sin2αcos2α=2sinαcosα1−2sin 2α，再结合已知可求得sinα=14，利用同角三角函数的基本关系即可求解.∵tan2α=cosα2−sinα∴tan2α=sin2αcos2α=2sinαcosα1−2sin 2α=cosα2−sinα，∵α∈(0,π2)，∴cosα≠0，∴2sinα1−2sin 2α=12−sinα，解得sinα=14，∴cosα=√1−sin 2α=√154，∴tanα=sinαcosα=√1515. 故选：A.小提示：关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sinα.4、将函数y =2sin (x +π3)的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则m 的最小值是（）A ．π12B ．π6C ．π3D ．2π3答案：D分析：由三角函数平移变换可得平移后函数为y =2sin (x +m +π3)，根据对称性得到m +π3=kπ(k ∈Z )，结合m >0可得所求最小值.将y =2sin (x +π3)向左平移m (m >0)个单位长度得：y =2sin (x +m +π3)， ∵y =2sin (x +m +π3)图象关于原点对称，∴m +π3=kπ(k ∈Z )，解得：m =−π3+kπ(k ∈Z )，又m >0，∴当k =1时，m 取得最小值2π3. 故选：D.5、海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深值（单位：m ）记录表已知港口的水的深度随时间变化符合函数f(x)=Asin(ωx +φ)+B ，现有一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m ，安全条例规定至少要有2m 的安全间隙（船底与海底的距离），该船计划在中午12点之后按规定驶入港口，并开始卸货，卸货时，其吃水深度以每小时0．25m的速度减小，4小时卸完，则其在港口最多能停放（）A．4小时B．5小时C．6小时D．7小时答案：B分析：由已知表格中数据求得f(x)=2sinπ6x+5,根据驶入港口f(x)大于等于6,离开时f(x)大于等于5，分析即可得答案.由表格中的数据可知，f(x)max=7,f(x)min=3，则A=f(x)max−f(x)min2=7−32=2,B=f(x)max+f(x)min2=7+32=5.由T=12，∴ω=2πT =π6，故f(x)=2sin(π6x+φ)+5，当x=3时，f(x)=7，则2sin(π6x+φ)+5=7∴2cosφ=2，即cosφ=1，得φ=0.∴f(x)=2sinπ6x+5.由f(x)=2sinπ6x+5=6，得sinπ6x=12，即π6x=π6+2kπ,k∈Z或π6x=5π6+2kπ,k∈Z∴x=12k+1,k∈Z或x=12k+5,k∈Z.又该船计划在中午12点之后按规定驶入港口，∴k=1时，x=13，即该船应在13点入港并开始卸货，卸货时，其吃水深度以每小时0．25m的速度减小，4小时卸完，卸完后的吃水深度为4−0.25×4=3，所以该货船需要的安全水深为3+2=5米，由f(x)=2sinπ6x+5=5，得sinπ6x=0，即π6x=0+2kπ,k∈Z或π6x=π+2kπ,k∈Z∴x=12k,k∈Z或x=12k+6,k∈Z.所以可以停留到18点，此时水深为5米，货船需要离港，则其在港口最多能停放5小时.故选：B6、将函数f(x)=2cosx的图象先向右平移φ(0<φ<π)个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若对g(x)满足|g(x1)−g(x2)|=4，有|x1−x2|min=π4恒成立，且g(x)在区间(π6，π3)上单调递减，则φ的取值范围是（）A．[π12，π3]B．[π3，π2]C．(π3，2π3]D．[π3，2π3]答案：D分析：可得g(x)=2cos(ωx−φ)，根据题意可求出最小正周期，得出ω，求出g(x)的单调递减区间，根据包含关系可求出.由题可得g(x)=2cos(ωx−φ)，若满足|g(x1)−g(x2)|=4，则x1和x2必然一个极大值点，一个极小值点，又|x1−x2|min=π4，则T2=π4，即T=π2，所以ω=2πT=4，令2kπ≤4x−φ≤2kπ+π，可得kπ2+φ4≤x≤kπ2+π4+φ4，即g(x)的单调递减区间为[kπ2+φ4,kπ2+π4+φ4],k∈Z，因为g(x)在区间(π6，π3)上单调递减，所以(π6，π3)⊆[kπ2+φ4,kπ2+π4+φ4],k∈Z，则{kπ2+φ4≤π6kπ2+φ4+π4≥π3，解得−2kπ+π3≤φ≤−2kπ+2π3,k∈Z，因为0<φ<π，所以可得π3≤φ≤2π3.故选：D.7、函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)图像上一点P(s,t)(−2<t<2)向右平移2π个单位，得到的点Q也在f(x)图像上，线段PQ与函数f(x)的图像有5个交点，且满足f(π4−x)=f(x)，f(−π2)>f(0)，若y=f(x)，x∈[0,π2]与y=a有两个交点，则a的取值范围为（）A．(−2,−√2]B．[−2,−√2]C．[√2,2)D．[√2,2]答案：A分析：首先根据已知条件分析出|PQ|=2π=2T，可得ω=2，再由f(π4−x)=f(x)可得y=f(x)对称轴为x=π8，利用f(−π2)>f(0)可以求出符合题意的一个φ的值，进而得出f(x)的解析式，再由数形结合的方法求a的取值范围即可.如图假设P(0,0)，线段PQ与函数f(x)的图像有5个交点，则|PQ|=2π，所以由分析可得|PQ|=2π=2T，所以T=π，可得ω=2πT =2ππ=2，因为f(π4−x)=f(x)所以f[π4−(π8+x)]=f(π8+x)，即f(π8−x)=f(π8+x)，所以x=π8是f(x)的对称轴，所以2×π8+φ=π2+kπ(k∈Z)，即φ=π4+kπ(k∈Z)，f(−π2)=2sin(−π+φ)=−2sinφ>f(0)=2sinφ，所以sinφ<0，可令k=−1得φ=−3π4，所以f(x)=2sin(2x−3π4)，当x∈[0,π2]时，令2x−3π4=t∈[−3π4,π4]，则f(t)=2sint，t∈[−3π4,π4]作f(t)图象如图所示：当t=−3π4即x=0时y=−√2，当t=−π2即x=π8时，y=−2，由图知若y=f(x)，x∈[0,π2]与y=a有两个交点，则a的取值范围为(−2,−√2]，故选：A小提示：关键点点睛：本题解题的关键是取特殊点P(0,0)便于分体问题，利用已知条件结合三角函数图象的特点，以及三角函数的性质求出f(x)的解析式，再利用数形结合的思想求解a的取值范围.8、已知简谐振动f(x)=Asin(ωx+φ)(|φ|<π2)的振幅是32，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点(0,34)，则该简谐振动的频率和初相是（）A ．16，π6B ．18，π3C ．18，π6D ．16，π3答案：C分析：根据正弦型函数的图象与性质求出振幅、周期，再由过点(0,34)求出初相即可得解.由题意可知，A ＝32，32＋(T2)2＝52，则T ＝8，ω＝2π8＝π4，∴ y ＝32sin (π4x +φ).由32sin φ＝34，得sin φ＝12.∵|φ|＜π2，∴φ＝π6.因此频率是18，初相为π6.故选：C9、下列函数中为周期是π的偶函数是（） A ．y =|sinx |B ．y =sin|x| C ．y =−sinx D ．y =sinx +1 答案：A分析：根据偶函数定义可判断选项,由三角函数的图像与性质可得周期,即可得解. 对于A ，y =|sinx |为偶函数,且最小正周期为π,所以A 正确; 对于B ，y =sin |x |为偶函数,但不具有周期性,所以B 错误; 对于C ，y =−sinx 为奇函数，所以C 错误; 对于D, y =sinx +1为非奇非偶函数,所以D 错误. 综上可知,正确的为A 故选:A10、已知函数f (x )=sin (2x +π3)，为了得到函数g (x )=cos (2x +π3)的图象只需将y =f (x )的图象（）A．向左平移π4个单位B．向右平移π4个单位C．向左平移π2个单位D．向右平移π2个单位答案：A分析：利用三角函数的平移结合诱导公式即可求解. 解：因为sin(2x+π3+π2)=cos(2x+π3)所以sin(2x+π3)→sin(2x+π2+π3)，只需将f(x)的图象向左平移π4个单位，故选：A. 填空题11、若角α的终边落在直线y＝－x上，则√1−sin2α√1−cos2αcosα的值等于________.答案：0解析：先求出α＝2kπ＋34π或2kπ＋74π，k∈Z，再分类讨论得解.因为角α的终边落在直线y＝－x上，所以α＝2kπ＋34π或2kπ＋74π，k∈Z，当α＝2kπ＋34π，k∈Z,即角α的终边在第二象限时，sinα＞0，cosα＜0；所以√1−sin2α+√1−cos2αcosα=sinα|cosα|+|sinα|cosα=sinα−cosα+sinαcosα=0当α＝2kπ＋74π，k∈Z,即角α的终边在第四象限时，sinα＜0，cosα＞0.所以√1−sin2α+√1−cos2αcosα=sinα|cosα|+|sinα|cosα=sinαcosα+−sinαcosα=0综合得√1−sin2α+√1−cos2αcosα的值等于0.所以答案是：012、已知tanα＝√2，则cos4α−cos2α+sin2α＝__________.答案：49解析：将cos4α−cos2α+sin2α化简为sin2α(1−sin2α)=sin4α，然后将式子写成sin4α(sin2α+cos2α)2再转化为含tanα的式子，可求出答案.cos4α−cos2α+sin2α=cos2α(cos2α−1)+sin2α=−cos2αsin2α+sin2α=sin2α(1−sin2α)=sin4α=sin4α(sin2α+cos2α)2=tan4α(1+tan2α)2=4(2+1)2=49所以答案是：49.小提示：关键点睛：本题考查三角函数的给值求值问题，解答本题的关键是先将所求化简为sin4α，再变形为sin4α(sin2α+cos2α)2，从而转化为tan4α(1+tan2α)2，属于中档题.13、若cosθ=725,θ∈(0,π)，则sin(π2+θ2)=__________答案：45分析：首先利用二倍角公式求出cosθ2，再利用诱导公式计算可得；解：因为cosθ=725=2cos2θ2−1,所以2cos2θ2=3225，则cos2θ2=1625.因为θ∈(0,π)，所以θ2∈(0,π2)，即cosθ2>0，故cosθ2=45.所以sin(π2+θ2)=cosθ2=45.所以答案是：45.解答题14、如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，且OA⊥OB.(1)求sin(π+α)cos(π2+β)cos(π−β)sin(3π2+α)的值；(2)若点A的横坐标为35，求2sinαcosβ的值. 答案：(1)−1(2)−3225分析：（1）由诱导公式化简可得；（2）由定义可得cosα=35，即可求出.（1）∵β=π2+α，∴sinβ=sin (π2+α)=cosα，cosβ=cos (π2+α)=−sinα， ∴sin (π+α)cos(π2+β)cos (π−β)sin(3π2+α)=sinαsinβcosαcosβ=−sinαcosαsinαcosα=−1.（2）∵点A 的横坐标为35，∴cosα=35，sinα=45， cosβ=cos (π2+α)=−sinα=−45， ∴2sinαcosβ=2×45×(−45)=−3225. 15、化简下列各式：（1）√1−2cos5°sin5°cos5°−√1−cos 25°；（2）(1sinα+1tanα)(1−cosα)．答案：（1）1；（2）sinα.分析：（1）根据同角三角函数关系，化简计算，即可得答案. （2）见切化弦，根据同角三角函数关系，化简计算，即可得答案. （1）原式=√(cos5°−sin5°)2cos5°−√sin 25°=cos5°−sin5°cos5°−sin5°=1；（2）原式=(1sinα+cosαsinα)(1−cosα) =1+cosαsinα(1−cosα)=sin 2αsinα=sinα．。

高一数学第5章三角函数章末测试(提升)(解析版)

第5章三角函数章末测试（提升）一、单选题(每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分) 1．（2022·江苏南通·高一期末）若π1sin 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A ．79-B ．79C 12- D 22【答案】A【解析】2ππππ27sin 2sin 2cos 212sin 1424499αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+=-++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选：A2．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）把函数4πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0ϕϕ>个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小值是（） A ．5π6B ．2π3C ．5π12 D ．π6【答案】C【解析】将函数4πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度得到函数()4πsin 23y x ϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦， ∵所得函数图象关于y 轴对称，即4π23ϕ-=()ππ,Z 2k k +∈， ∵()5ππ,Z 122k k ϕ=-∈， ∵0ϕ>，∵当0k =时，ϕ的最小值为5π.12故选：C3．（2022·辽宁）若πtan()24-=-α，则23sin sin cos 3cos αααα=+（） A ．52B ．2C ．52-D ．12-【答案】C【解析】由πtan()24-=-α可得1tan 2,tan 31tan -α=-∴α=-+α ，故232222sin sin tan sin cos 3cos cos (sin 3cos )sin 3cos ==+++ααααααααααα，而22222222sin 3cos tan 36sin 3cos sin cos tan 15+++===++αααααααα，故22tan 356sin 3cos 25-==-+ααα，即23sin 5sin cos 3cos 2=-+αααα，故选：C4．（2022·陕西）函数()()5πcos 1log (0)2f x x x x ⎡⎤=-+>⎢⎥⎣⎦的零点个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】()()55ππcos 1log sin log 22f x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭；在同一直角坐标系内画出函数()πsin 2g x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭和()5log (0)h x x x =->的图象，又55(3)log 31,(7)log 71h h =->-=-<-，()()3π7π3sin 1,7sin 122g g ⎛⎫⎛⎫==-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；所以函数()g x 和()h x 恰有3个交点，即函数()f x 有3个零点，故选：C.5．（2022·湖南）奇函数()()()cos ,(0,0,)f x x ωϕωϕπ=+>∈在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有一个最大值1和一个最小值-1，则ω的取值范围是（） A ．[)2,6 B ．92,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．39,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】由()f x 为奇函数，则2k πϕπ=+，Z k ∈，又()0,ϕπ∈，故2ϕπ=，所以()sin f x x ω=-，在,34ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦x ，则,34x ωπωπω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，0>ω，当042ωππ<<，则53232πωππ-<-≤-，故ω无解；当3242πωππ≤<，则3232πωππ-<-≤-，可得922ω≤<；当023πωπ-<-<，则35242πωππ≤<，无解.综上，ω的取值范围是92,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：B6．（2022·河南）将函数()sin f x x =的图象上各点横坐标变为原来的12，纵坐标不变，再将所得图象向左平移12π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（） A ．()1sin 212g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()1sin 224g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()sin 212g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】将()sin f x x =图象上各点横坐标变为原来的12，得sin2y x =，再向左平移12π个单位长度后得()sin 2sin 2126g x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：D.7．（2022·江西）已知函数())2π33sin sin sin 02f x x x x ωωωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为（）A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．33⎡⎢⎣⎦C ．3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3⎡-⎢⎣⎦【答案】D【解析】()2π33sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫+- ⎪⎝⎭1cos2133sin 222x x ωω--πsin 23x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为()f x 的最小正周期为π，所以2ππ2ω=，得1ω=，所以()πsin 23x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以π3sin 23x ⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，从而()π3sin 23f x x ⎡⎛⎫=-+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，故选：D ．8．（2022·广西）已知函数()cos (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间π3,π44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数ω的取值范围为（） A ．80,9⎛⎤⎥⎝⎦B ．(]1,2C ．(]0,1D ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A【解析】由题意有2ππT ω=≥，可得02ω<≤，又由πππ5π3436ω<+≤，必有3πππ43ω+≤，可得809ω<≤. 故选：A二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。

全国通用2023高中数学必修一第五章三角函数知识点归纳总结(精华版)

全国通用2023高中数学必修一第五章三角函数知识点归纳总结(精华版)单选题1、已知函数y =√2sin(x +π4)，当y 取得最小值时，tanx 等于（） A ．1B ．−1C ．√32D ．−√32答案：A分析：由正弦函数的性质，先求出当y 取得最小值时x 的取值，从而求出tanx . 函数y =√2sin(x +π4)，当y 取得最小值时，有x +π4=2kπ+3π2，故x =2kπ+5π4，k ∈Z ．∴tanx =tan (2kπ+5π4)=tan (π4)=1，k ∈Z ．故选：A ．2、中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图，是书画家唐寅（1470—1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇而的面积为（）A ．704cm 2B ．352cm 2C ．1408cm 2D ．320cm 2 答案：A解析：设∠AOB =θ，OA =OB =r ，由题意可得：{24=rθ64=(r +16)θ ，解得r ，进而根据扇形的面积公式即可求解．如图，设∠AOB =θ，OA =OB =r ，由弧长公式可得：{24=rθ64=(r +16)θ ，解得：r =485，所以，S 扇面=S 扇形OCD −S 扇形OAB =12×64×(485+16)−12×24×485=704cm 2．故选：A ．3、将x 轴正半轴绕原点逆时针旋转30°，得到角α，则下列与α终边相同的角是（） A ．330°B ．−330°C ．210°D ．−210° 答案：B分析：写出终边相同的角α的集合，进而选出正确答案. 由题意得：{α|α=30°+k ⋅360°,k ∈Z }，当k =−1时，α=−330°，B 正确，其他选项经过验证均不正确. 故选：B4、要得到函数y =sin (2x +π6)的图象，可以将函数y =cos (2x −π6)的图象（） A ．向右平移π12个单位长度B ．向左平移π12个单位长度C ．向右平移π6个单位长度D ．向左平移π6个单位长度答案：A分析：利用诱导公式将平移前的函数化简得到y =sin (2x +π3)，进而结合平移变换即可求出结果.因为y =cos (2x −π6)=sin (2x −π6+π2)=sin (2x +π3)，而y =sin [2(x −π12)+π3]，故将函数y =cos (2x −π6)的图象向右平移π12个单位长度即可，故选：A. 5、已知sinα=2√67，cos (α−β)=√105，且0<α<3π4，0<β<3π4，则sinβ=（）A ．9√1535B ．11√1035C ．√1535D ．√1035答案：A解析：易知sinβ=sin(α−(α−β))，利用角的范围和同角三角函数关系可求得cosα和sin (α−β)，分别在sin (α−β)=√155和−√155两种情况下，利用两角和差正弦公式求得sinβ，结合β的范围可确定最终结果. ∵sinα=2√67<√22且0<α<3π4，∴0<α<π4，∴cosα=√1−sin 2α=57.又0<β<3π4，∴−3π4<α−β<π4，∴sin (α−β)=±√1−cos 2(α−β)=±√155. 当sin (α−β)=√155时， sinβ=sin(α−(α−β))=sinαcos (α−β)−cosαsin (α−β) =2√67×√105−57×√155=−√1535， ∵0<β<3π4，∴sinβ>0，∴sinβ=−√1535不合题意，舍去；当sin (α−β)=−√155，同理可求得sinβ=9√1535，符合题意.综上所述：sinβ=9√1535.故选：A .小提示：易错点睛：本题中求解cosα时，易忽略sinα的值所确定的α的更小的范围，从而误认为cosα的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误.6、时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物，从开放到闭合与体内的一种时钟酶有关.研究表明，当气温上升到20°C 时，时钟酶活跃起来，花朵开始开放；当气温上升到28°C 时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天开闭一次.已知某景区一天内5~17时的气温T （单位：°C ）与时间t （单位：h ）近似满足关系式T =20−10sin (π8t −π8)，则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合约经历（）(sin 3π10≈0.8)A ．1.4hB ．2.4hC ．3.2hD ．5.6h 答案：B分析：由函数关系式T =20−10sin (π8t −π8)分别计算出花开放和闭合的时间，即可求出答案.设t 1时开始开放，t 2时开始闭合，则20−10sin (π8t 1−π8)=20,又t 1∈[5,17]，解得t 1=9，20−10sin (π8t 2−π8)=28，∴sin (π8t 2−π8)=−45,由sin 3π10≈0.8得sin 13π10≈−45，∴π8t 2−π8=13π10,∴t 2=575,∴t 2−t 1=125=2.4.故选：B.7、已知角α的终边与单位圆的交点P (45,35)，则sin (π−α)=（） A ．−35B ．−45C ．35D ．45答案：C分析：首先根据三角函数的定义求得sinα，然后根据诱导公式求得正确结果. 依题意sinα=35√(35)2+(45)2=35，sin (π−α)=sinα=35.故选：C8、已知扇形的圆心角为3π4，半径为4，则扇形的面积S 为（）A ．3πB ．4πC ．6πD ．2π 答案：C解析：利用S =12αr 2即可求得结论.由扇形面积公式得：S =12×3π4×42=6π.故选：C.9、如图，为一半径为3m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2m ，已知水轮自点A 开始1min 旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y (m )与时间x (s )满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有（）A ．ω＝2π15，A ＝3B ．ω＝152π，A ＝3C ．ω＝2π15，A ＝5D ．ω＝152π，A ＝5答案：A分析：根据最大值及半径求出A ，根据周期求出ω. 由题目可知最大值为5，∴ 5＝A ×1＋2⇒A ＝3． T =604=15，则ω=2πT=2π15．故选:A10、要得到函数y =3sin(2x +π4)的图象，只需将函数y =3sin2x 的图象（）. A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π8个单位长度D ．向右平移π8个单位长度答案：C分析：根据函数图象平移的性质：左加右减，并结合图象变化前后的解析式判断平移过程即可. 将y =3sin2x 向左移动π8个单位长度有y =3sin2(x +π8)=3sin(2x +π4)，∴只需将函数y =3sin2x 的图象向左平移π8个单位长度，即可得y =3sin(2x +π4)的图象.故选：C 填空题11、已知tanθ=2，则sinθ−cosθ2sinθ+cosθ=___．答案：15##0.2分析：分子分母同除以cosθ，弦化切，进行求解. 分子分母同除以cosθ得：sinθ−cosθ2sinθ+cosθ=tanθ−12tanθ+1=2−14+1=15所以答案是：1512、已知120°的圆心角所对的弧长为4πm ，则这个扇形的面积为_________m 2．答案：12π分析：选求出半径，再用扇形面积公式计算即可. 由题意，120°=2π3，且圆心角所对的弧长为4πm ，∴2π3R =4π，解得R =6，∴扇形的面积为S =12×4π×6=12π(m 2)．所以答案是：12π．13、若tan2α=14，则tan (α+π4)+tan (α−π4)=______．答案：12解析：将tan (α+π4)+tan (α−π4)展开代入tan2α=14即可.tan (α+π4)+tan (α−π4)=tanα+tan π41−tanα⋅tan π4+tanα−tan π41+tanα⋅tan π4=tanα+11−tanα+tanα−11+tanα=(tanα+1)2−(tanα−1)2(1−tanα)(1+tanα)=4tanα1−tan 2α=2×2tanα1−tan 2α=2tan2α因为tan2α=14，所以tan (α+π4)+tan (α−π4)=12. 所以答案是：12．解答题14、函数f (x )=Asin (2ωx +φ)(A >0,ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示.(1)求A ，ω，φ的值；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，若α∈[0,π]，且g (α)=√2，求α的值.答案：(1)A =2，ω=1，φ=π6 (2)5π24或11π24分析：（1）根据函数f (x )的部分图象即可求出A ，ω，然后代入点(5π12,0)，由|φ|<π2即可求出φ的值；（2）根据三角函数的图象变换先求出函数g (x )的解析式，然后利用g (α)=√2，结合α∈[0,π]即可确定α的值. （1）解：由图可知，A =2，34T =5π12+π3，所以T =π，即2π2ω=π，所以ω=1. 将点(5π12,0)代入f (x )=2sin (2x +φ)得5π6+φ=2k π+π，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ=π6；（2）解：由（1）知f (x )=2sin (2x +π6)，由题意有g (x )=2sin [2(x −π6)+π6]=2sin (2x −π6)，所以g (α)=2sin (2α−π6)=√2，即sin (2α−π6)=√22，因为α∈[0,π]，所以2α−π6∈[−π6,11π6]，所以2α−π6=π4或3π4，即α=5π24或α=11π24，所以α的值为5π24或11π24.15、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°. （1）若a =√3c ，b =2√7，求△ABC 的面积；（2）若sin A +√3sin C =√22，求C . 答案：（1）√3；（2）15°.分析：（1）已知角B 和b 边，结合a,c 关系，由余弦定理建立c 的方程，求解得出a,c ，利用面积公式，即可得出结论；（2）方法一：将A =30°−C 代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关C 角的三角函数值，结合C 的范围，即可求解.（1）由余弦定理可得b 2=28=a 2+c 2−2ac ⋅cos150°=7c 2， ∴c =2,a =2√3,∴△ABC 的面积S =12acsinB =√3；（2）[方法一]：多角换一角 ∵A +C =30°，∴sinA +√3sinC =sin(30°−C)+√3sinC=12cosC +√32sinC =sin(C +30°)=√22， ∵0°<C <30°,∴30°<C +30°<60°， ∴C +30°=45°,∴C =15°. [方法二]：正弦角化边由正弦定理及B =150°得2R =asinA =csinC =bsinB =2b ．故sinA =a2b ,sinC =c2b ．由sinA+√3sinC=√2，得a+√3c=√2b．2又由余弦定理得b2=a2+c2−2ac⋅cosB=a2+c2+√3ac，所以(a+√3c)2=2(a2+c2+√3ac)，解得a=c．所以C=15°．【整体点评】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.其中第二问法一主要考查三角恒等变换解三角形，法二则是通过余弦定理找到三边的关系，进而求角.。

广西专版2024_2025学年新教材高中数学第5章三角函数5

5.2.1三角函数的概念课后·训练提升基础巩固1.sin(-315°)的值是()A.-B.-C.D.答案C解析sin(-315°)=sin(-360°+45°)=sin45°=.2.(多选题)若角α的终边过点(-3,-2),则下列结论正确的是()A.sin αtan α<0B.cos αtan α>0C.sin αcos α>0D.sin αcos α<0答案AC解析∵角α的终边过点(-3,-2),∴sinα<0,cosα<0,tanα>0,∴sinαtanα<0,cosαtanα<0,sinαcosα>0.故选AC.3.已知角α的终边与单位圆的交点P(,-),则sin α+cos α=()A. B.- C. D.-答案B解析依据三角函数在单位圆中的定义可知,sinα=-,cosα=,所以sinα+cosα=-=-.4.当α为其次象限角时,的值是()A.1B.0C.2D.-2答案C解析∵α为其次象限角,∴sinα>0,cosα<0,∴=1-(-1)=2.故选C.5.下列说法正确的个数是()①正角的三角函数值是正的,负角的三角函数值是负的,零角的三角函数值是0;②角α的终边上有一点P(x,y),则sin α的值随y的增大而增大;③对随意的角α,若α终边上一点的坐标为(x,y),则都有tan α=.A.0B.1C.2D.3答案A6.若角α的终边落在直线x+y=0上,则的值等于()A.0B.-2C.2D.-2或2答案A解析若角α的终边落在直线x+y=0上,则分别代入中可得其值为0.7.已知角α的终边经过点(-8m,-6cos 60°),且cos α=-,则m的值是()A. B.- C.- D.答案A解析由题意可知,角α的终边经过点(-8m,-3),依据三角函数的定义得cosα==-,解得m=.8.已知点P(tan α,cos α)在第三象限,则角α的终边在第象限.答案二解析因为点P(tanα,cosα)在第三象限,所以tanα<0,cosα<0,故角α的终边在其次象限.9.已知角θ的顶点与坐标原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,若点P(4,y)是角θ终边上的一点,且sin θ=-,则y=.答案-8解析|OP|=.依据随意角的三角函数的定义,得sinθ==-,解得y=-8.10.求值:cos+tan=.答案解析原式=cos+tan=cos+tan.11.sin 810°+tan 765°+tan 1 125°+cos 360°=.答案4解析原式=sin(2×360°+90°)+tan(2×360°+45°)+tan(3×360°+45°)+cos(0°+360°)=sin90°+tan45°+tan45°+cos0°=4.12.已知点M是以原点O为圆心的单位圆上的一点,以射线OM为终边的角α的正弦值为-,求cos α和tan α的值.解设点M的坐标为(x,y).由题意知,sinα=-,即y=-.∵点M在单位圆上,且圆心与原点O重合,∴x2+y2=1,即x2+=1,解得x=或x=-.当x=时,cosα=,tanα=-1;当x=-时,cosα=-,tanα=1.13.计算下列各式的值:(1)m2sin(-630°)-2mn cos(-720°);(2)sin-cos.解(1)原式=m2sin(-720°+90°)-2mn cos0°=m2sin90°-2mn cos0°=m2-2mn.(2)原式=sin-cos=sin-cos=0.14.若sin 2α>0,且cos α<0,则角α是第几象限角?解∵sin2α>0,∴2kπ<2α<2kπ+π(k∈Z).∴kπ<α<kπ+(k∈Z).当k为偶数时,设k=2m(m∈Z),则有2mπ<α<2mπ+(m∈Z);当k为奇数时,设k=2m+1(m∈Z),则有2mπ+π<α<2mπ+(m∈Z).∴α为第一或第三象限角.又cosα<0,故α是第三象限角.实力提升1.在平面直角坐标系中,以原点O为顶点,以x轴的非负半轴为角的始边,假如角α,β的终边分别与单位圆交于点()和(-),那么sin αcos β=()A.-B.-C.D.答案B解析∵角α,β的终边与单位圆分别交于点()和(-),故由三角函数的定义知sinα=,cosβ=-,∴sinαcosβ=×(-)=-.2.(多选题)下列三角函数值的符号推断正确的是()A.sin 156°<0B.cos<0C.tan(-)<0D.tan 556°<0答案BC解析因为156°在其次象限,所以sin156°>0,所以A错误;因为cos=cos(2π+)=cos在第三象限,所以cos<0,所以B正确;因为tan(-)=tan(-4π+)=tan在第四象限,所以tan(-)<0,所以C正确;因为tan556°=tan(360°+196°)=tan196°,且196°在第三象限,所以tan556°>0,所以D错误.故选BC.3.已知角α的终边落在直线y=2x上,则sin α等于()A. B. C.± D.±答案D解析因为角α的终边落在直线y=2x上,直线y=2x过第一和第三象限,所以可取终边上的点P1(1,2)和P2(-1,-2),则|OP1|=|OP2|=(其中O为坐标原点),所以sinα=±.4.已知<1,且2cos θ<1,则角θ为()A.第一象限角B.其次象限角C.第三象限角D.第四象限角答案B解析∵<1=,∴sinθ>0.又2cosθ<1=20,∴cosθ<0.∴角θ为其次象限角.5.若三角形的两内角α,β满意sin αcos β<0,则此三角形必为()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.以上三种状况都可能答案B解析因为α,β为三角形的内角,所以α,β∈(0,π),所以sinα>0,又sinαcosβ<0,所以cosβ<0,所以β∈(,π),所以β为钝角.故此三角形为钝角三角形.6.已知角θ的终边上有一点P(x,-1)(x≠0),且tan θ=-x,则sin θ+cos θ=. 答案0或-解析∵角θ的终边过点P(x,-1)(x≠0),∴tanθ=-.又tanθ=-x,∴x2=1,即x=±1.当x=1时,sinθ=-,cosθ=,则sinθ+cosθ=0.当x=-1时,sinθ=-,cosθ=-,则sinθ+cosθ=-.故sinθ+cosθ的值为0或-.7.使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第象限角.答案一或其次解析要使原式有意义,则cosαtanα>0,即cosα,tanα同号,所以α是第一或其次象限角.8.sin+cos+cos(-5π)+tan=.答案-1解析原式=sin+cos+cosπ+1=-1+0-1+1=-1.9.函数y=的值域是.答案{-4,0,2}解析由sin x≠0,cos x≠0知,x的终边不能落在坐标轴上,当x为第一象限角时,sin x>0,cos x>0,sin x cos x>0,此时y=0;当x为其次象限角时,sin x>0,cos x<0,sin x cos x<0,此时y=2;当x为第三象限角时,sin x<0,cos x<0,sin x cos x>0,此时y=-4;当x为第四象限角时,sin x<0,cos x>0,sin x cos x<0,此时y=2.故函数y=的值域为{-4,0,2}.10.若角α的终边在直线y=3x上,且sin α<0,又点P(m,n)是α终边上一点,且|OP|=(O 为坐标原点),则m-n=.答案2解析∵角α终边上的点P(m,n)在直线y=3x上,且sinα<0,∴点P位于第三象限,∴m<0,n<0,n=3m.又|OP|=,∴m=-1,n=-3,∴m-n=2.11.推断下列各式的符号:(1)sin 340°cos 265°;(2)sin 4tan;(3)(θ为其次象限角).解(1)∵340°是第四象限角,265°是第三象限角,∴sin340°<0,cos265°<0,∴sin340°cos265°>0.(2)∵π<4<,∴4是第三象限角.∵-=-6π+,∴-是第一象限角.∴sin4<0,tan>0,∴sin4tan<0.(3)∵θ为其次象限角,∴0<sinθ<1<,-<-1<cosθ<0,∴sin(cosθ)<0,cos(sinθ)>0,∴<0.12.已知P(-2,y)是角α终边上的一点,且sin α=-,求cos α与tan α的值.解因为点P到原点的距离r=,所以sinα==-,所以y2+4=5y2,所以y2=1.又易知y<0,所以y=-1,所以r=,所以cosα==-,tanα=.13.已知=-,且lg(cos α)有意义.(1)试推断角α的终边所在的象限;(2)若角α的终边与单位圆相交于点M,求m的值及sin α的值.解(1)∵=-,∴sinα<0,∵lg(cosα)有意义,∴cosα>0.故角α的终边在第四象限.(2)∵点M在单位圆上,∴+m2=1,解得m=±.又角α是第四象限角,∴m<0,∴m=-.由三角函数的定义知,sinα=-.。

2025版新教材高中数学第五章三角函数5

第2课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式❶名称公式简记符号运用条件两角和的余弦cos (α＋β)＝____________C(α＋β)α，β∈R两角和的正弦sin (α＋β)＝____________S(α＋β)α，β∈R两角差的正弦sin (α－β)＝____________S(α－β)α，β∈R两角和的正切tan (α＋β)＝____________T(α＋β)α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)两角差的正切tan (α－β)＝____________T(α－β)α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)微点拨❶(1)记忆口诀：对于公式C(α－β)，C(α＋β)，可记为“余余正正，符号异”．对于公式S(α－β)，S(α＋β)，可记为“正余余正，符号同”．对于公式T(α－β)，T(α＋β)，可记为“分子同，分母异”．(2)在应用两角和与差的正切公式时，只要tanα，tanβ，tan (α＋β)(或tan (α－β))中任一个的值不存在，就不能运用两角和(或差)的正切公式解决问题，应改用诱导公式或其他方法解题．(3)要学会顺用、逆用公式：①顺用公式，如：cos (2α＋β)＝cos [α＋(α＋β)]＝cosαcos (α＋β)－sinαsin (α＋β)；cos (2α＋β)＝cos2αcosβ－sin2αsinβ；cosα＝cos [(α＋β)－β]＝cos (α＋β)cosβ＋sin (α＋β)sinβ.②逆用公式，如：cos (α＋β)cos (α－β)－sin (α＋β)sin (α－β)＝cos [(α＋β)＋(α－β)]＝cos2α.＝＝tan (＋α)．【即时练习】1．计算sin75°的值为( )A．B．C．－D．－2．若tanα＝2，则tan (－α)的值为( )A．－B．C．－3D．33．sin80°cos40°＋cos80°sin40°＝________．第2课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式cosαcosβ－sinαsinβsinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ[即时练习]1．解析：sin75°＝sin (45°＋30°)＝×＋×＝.故选B.答案：B2．解析：∵tanα＝2，∴tan (－α)＝＝＝－.故选A.答案：A3．解析：由正弦的两角和公式逆运算可得sin80°cos40°＋cos80°sin40°＝sin (80°＋40°)＝sin120°＝.答案：。

新教材高中数学第五章三角函数5 5三角恒等变换5 5 1第3课时二倍角的正弦余弦正切公式课后篇巩固提

第3课时二倍角的正弦、余弦、正切公式课后篇巩固提升合格考达标练1.(cos π12-sin π12)(cos π12+sin π12)=( )A.-√32 B.-12C.12D.√32=cos 2π12-sin 2π12=cos π6=√32,故选D .2.若tan α=3,则sin2αcos 2α的值等于( ) B.3C.4D.6=2sinαcosαcos 2α=2tan α=2×3=6.3.(2021湖南永州高一期末)已知cos θ-π2=45,-π2<θ<π2,则sin 2θ的值等于( )A.-2425B .2425C .-1225D .1225答案B 解析因为cos θ-π2=sin θ=45,-π2<θ<π2,所以cos θ=√1-sin 2θ=35, 则sin2θ=2sin θcos θ=2×45×35=2425.故选B .4.(2021天津高一期末)已知sin(π-α)=√24,则cos 2α=( ) A.78 B .-78C .34D .-34sin(π-α)=√24=sin α,∴cos2α=1-2sin 2α=1-2×216=34,故选C . 5.若sinα+cosαsinα-cosα=12,则tan 2α=( ) A.-34 B.34C.-43D.43等式sinα+cosαsinα-cosα=12左边分子、分母同时除以cos α(显然cos α≠0),得tanα+1tanα-1=12,解得tan α=-3,∴tan2α=2tanα1-tan 2α=34.6.(2021上海虹口高一期末)已知α∈(0,π),且有1-2sin 2α=cos 2α,则cos α= .1-2sin2α=cos2α,得1-cos2α=2sin2α,即2sin 2α=4sin αcos α.又α∈(0,π),所以sin α≠0,所以sin α=2cos α>0. 由sin 2α+cos 2α=(2cos α)2+cos 2α=5cos 2α=1,解得cos α=√55.7.化简:2sin2α1+cos2α·cos 2αcos2α= .α=2sin2α2cos 2α·cos 2αcos2α=tan2α.8.求下列各式的值: (1)2cos 2α-12tan(π4-α)sin 2(π4+α);(2)2√3tan 15°+tan 215°;(3)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°.原式=cos2α2tan(π4-α)cos 2(π2-π4-α)=cos2α2tan(π4-α)cos 2(π4-α)=cos2α2sin(π4-α)cos(π4-α)=cos2αsin(2×π4-2α)=cos2αcos2α=1.(2)原式=√3tan30°(1-tan 215°)+tan 215° =√3×√33(1-tan 215°)+tan 215°=1. (3)(方法一)sin10°sin30°sin50°sin70° =12cos20°cos40°cos80°=2sin20°cos20°cos40°cos80°4sin20°=sin40°cos40°cos80°4sin20°=sin80°cos80°8sin20°=116·sin160°sin20°=116.(方法二)令x=sin10°sin50°sin70°, y=cos10°cos50°cos70°.则xy=sin10°cos10°sin50°cos50°sin70°cos70°=12sin20°·12sin100°·12sin140°=18sin20°sin80°sin40°=18cos10°cos50°cos70°=18y. ∵y ≠0,∴x=18.从而有sin10°sin30°sin50°sin70°=116.等级考提升练9.(2021甘肃天水高一期末)已知tan θ2=23,则1-cosθ+sinθ1+cosθ+sinθ的值为( )A.23B .-23C .32D .-32tan θ2=23,∴1-cosθ+sinθ1+cosθ+sinθ=2sin 2θ2+2sin θ2cosθ22cos 2θ2+2sin θ2cosθ2=2sin θ2(sin θ2+cos θ2)2cos θ2(cos θ2+sin θ2)=tan θ2=23,故选A .10.若tan (α+π4)=-3,则cos 2α+2sin 2α=( ) A.95 B.1 C.-35 D.-75tan (α+π4)=tanα+11-tanα=-3,∴tan α=2,∴cos2α+2sin2α=cos 2α-sin 2αcos 2α+sin 2α+4sinαcosαcos 2α+sin 2α=1-tan 2α1+tan 2α+4tanα1+tan 2α=-35+85=1. 11.4sin 80°-cos10°sin10°=( ) A.√3 B.-√3√2 D.2√2-3°-cos10°sin10°=4cos10°sin10°-cos10°sin10°=2sin20°-cos10°sin10°=2sin (30°-10°)-cos10°sin10°=2(sin30°cos10°-cos30°sin10°)-cos10°sin10°=-√3.12.若α∈(0,π2),且cos 2α+cos (π2+2α)=310,则tan α=( )A.12B.14C.13D.13或-72α+cos (π2+2α)=cos 2α-sin2α=cos 2α-2sin αcos α=cos 2α-2sinαcosαsin 2α+cos 2α=1-2tanαtan 2α+1=310,整理得3tan 2α+20tan α-7=0,解得tan α=13或tan α=-7.又α∈(0,π2),所以tan α=13,故选C .13.(多选题)下列各式的值为12的是( )A.tan22.5°1-tan 222.5° B .tan 15°cos 215°C .√33cos 2π12−√33sin 2π12 D .√1-cos60°2符合,原式=12×2tan22.5°1-tan 222.5°=12tan45°=12;B 不符合,原式=sin15°·cos15°=12sin30°=14;C 符合,原式=√33·cos π6=12;D 符合,原式=sin30°=12.14.(多选题)(2020山东潍坊高三检测)已知函数f (x )=|sin x||cos x|,则下列说法正确的是( ) A.f (x )的图象关于直线x=π2对称 B .f (x )的周期为π2C .(π,0)是f (x )的一个对称中心D .f (x )在区间[π4,π2]上单调递增f (x )=|sin x||cos x|=|sin x cos x|=12|sin2x|,画出函数图象,如图所示,由图可知,f (x )的对称轴是x=kπ4,k ∈Z ,所以x=π2是f (x )图象的一条对称轴,A 正确; f (x )的最小正周期是π2,所以B 正确; f (x )是偶函数,没有对称中心,C 错误;由图可知,f (x )=12|sin2x|在区间[π4,π2]上单调递减,D 错误. 15.若cos(75°+α)=13,则sin(60°+2α)= .,cos(75°+α)=13,则cos(150°+2α)=2cos 2(α+75°)-1=2×(13)2-1=-79,sin(60°+2α)=-cos(90°+60°+2α)=-cos(150°+2α)=79.16.化简:√2+√2+2cosα(2π<α<3π)= . 2sin α42π<α<3π,∴π<α2<3π2,π2<α4<3π4.∴√2+√2+2cosα=√2+√4cos 2α2 =√2-2cos α2=√4sin 2α4=2sin α4.17.(2021安徽合肥高一检测)求证:1cos2θ-tan θtan 2θ=1.tan θtan2θ=1cos2θ−sinθsin2θcosθcos2θ=cosθ-2sin 2θcosθcosθcos2θ=1-2sin 2θcos2θ=cos2θcos2θ=1.18.已知sin α+cos α=3√55,α∈(0,π4),sin (β-π4)=35,β∈(π4,π2).(1)求sin 2α和tan 2α的值;(2)求cos(α+2β)的值.由题意得(sin α+cos α)2=95,即1+sin2α=95,∴sin2α=45,又易知2α∈(0,π2), ∴cos2α=√1-sin 22α=35,∴tan2α=sin2αcos2α=43.(2)∵β∈(π4,π2),β-π4∈(0,π4),sin β-π4=35,∴cos (β-π4)=45, ∴sin2(β-π4)=2sin (β-π4)cos (β-π4)=2425. 又sin2(β-π4)=-cos2β,∴cos2β=-2425. 又易知2β∈(π2,π),∴sin2β=725.又cos 2α=1+cos2α2=45,∴cos α=2√55,∴sin α=√55, ∴cos(α+2β)=cos αcos2β-sin αsin2β=2√55×(-2425)−√55×725=-11√525. 新情境创新练19.如图所示,在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ,沿由点B 到点E 的方向前进30 m 至点C 处,测得顶角A 的仰角为2θ,再沿刚才的方向继续前进10√3 m 到点D ,测得顶点A 的仰角为4θ,求θ的大小和建筑物AE 的高.ACD=θ+∠BAC=2θ,∴∠BAC=θ,∴AC=BC=30m .又∠ADE=2θ+∠CAD=4θ,∴∠CAD=2θ,∴AD=CD=10√3m,∴在Rt △ADE 中,AE=AD ·sin4θ=10√3sin4θ, 在Rt △ACE 中,AE=AC ·sin2θ=30sin2θ, ∴10√3sin4θ=30sin2θ,即20√3sin2θcos2θ=30sin2θ, ∴cos2θ=√32.又2θ∈0,π2,∴2θ=π6,∴θ=π12,AE=30sin π6=15m,故θ的大小为π12,建筑物AE 的高为15m .。

高中数学第五章三角函数章末质量评估分层演练含解析第一册

章末质量评估(五)（时间:120分钟分值：150分）一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的）1.sin 1 110°= ( ）A 。

12B 。

-12C 。

√32D 。

-√32解析:sin 1 110°=sin(3×360°+30°)=sin 30°=12,故选A .答案:A2.若弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ )A 。

2B .2sin1C 。

2sin 1D 。

sin 2解析:如图，由题意知θ=1，BC =1，圆的半径r 满足sin θ=sin 1=1r,所以r =1sin1,AB ⏜的长为2θ·r =2sin1。

答案:B3。

若角θ的终边经过点(-√32， 12)，则tan θ= （）A .12B 。

—√32C 。

√3D 。

—√33解析：因为角θ的终边经过点（-√32，12)，所以根据正切的概念，知tan θ=y x=—√33,故选D 。

答案：D4。

函数y =1—2sin π2x 的最小值和最大值分别是 ( )A.—1，3B.—1,1 C 。

0,3 D 。

0，1 解析:因为x ∈R ，所以sin π2x ∈[-1,1］,所以当sin π2x =1时,y min =-1，当sin π2x =—1时,y max =3,故选A 。

答案：A5。

车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分。

上班高峰期某十字路口的车流量由函数F (t ）=50+4sin t 2(0≤t ≤20)给出，F （t ）的单位是辆/分，t 的单位是分,则下列时间段内,车流量是增加的为（ )A.[0，5]B.[5,10］ C 。

[10，15］ D.[15，20]解析：由2k π-π2≤t2≤2k π+π2，k ∈Z 可知函数F (t )的增区间为［4k π—π,4k π+π］,k ∈Z .当k =1时,t ∈[3π，5π],而[10,15]⊆［3π，5π］,故选C 。