初三专题-四点共圆
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M
证∠PAB=15°
证∠BPC=30° 证PS平分∠BPM 证△PMS≌△PNS
P
N
如图，在四边形ABCD中，已知∠BAD=60°，∠ABC=90 °，∠BCD=120°，对角线AC，BD交于点S，且DS=2SB ．求证：AD=DC 证明： ∠DPB=2∠BAD=120° ∵DP=BP，PM⊥BD 1 ∴∠BPM=60°， ∠1=∠2=30° P ∵SB=2SN，DS=2SB=4SN ∴BD=6SN，DM=BM=3SN MS=BM-SB=3SN-2SN=SN ∴Rt△PMS≌Rt△PNS 1 ∴∠SPN= 2 BPM 30 PAB PBA 15 ∴AD=DC DAC 60 15 45
解析：
∠B+∠1=90° ∠2+∠1=90° ∠B=∠2 A、M、D、N四点共圆 ∠ANM=∠2 ∴∠ANM=∠B
1
2
如图，在四边形ABCD中，已知∠BAD=60°，∠A BC=90°，∠BCD=120°，对角线AC，BD交于点S ，且DS=2SB．求证：AD=DC 解析：取AC中点P，连接PD,PB 作PM⊥BD ，SN⊥BP 证∠DAC=45°
四点共圆
对角互补：四点共圆
A D D A
B
B C 若∠A+∠C=180°， 则A、B、C、D四点共圆 C
若∠B=∠D=90°，则有 AC为直径Biblioteka Baidu
同侧共底，且顶角相等的两个三角形：四点共圆
A D A D
B B C
C
若∠A=∠D=90°，则有 BC为直径
如图，△ABC中，AD⊥BC于D，DN⊥AC于N，DM⊥AB于M。 求证：∠ANM=∠B．
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证∠PAB=15°
证∠BPC=30° 证PS平分∠BPM 证△PMS≌△PNS
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如图，在四边形ABCD中，已知∠BAD=60°，∠ABC=90 °，∠BCD=120°，对角线AC，BD交于点S，且DS=2SB ．求证：AD=DC 证明： ∠DPB=2∠BAD=120° ∵DP=BP，PM⊥BD 1 ∴∠BPM=60°， ∠1=∠2=30° P ∵SB=2SN，DS=2SB=4SN ∴BD=6SN，DM=BM=3SN MS=BM-SB=3SN-2SN=SN ∴Rt△PMS≌Rt△PNS 1 ∴∠SPN= 2 BPM 30 PAB PBA 15 ∴AD=DC DAC 60 15 45
解析：
∠B+∠1=90° ∠2+∠1=90° ∠B=∠2 A、M、D、N四点共圆 ∠ANM=∠2 ∴∠ANM=∠B
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如图，在四边形ABCD中，已知∠BAD=60°，∠A BC=90°，∠BCD=120°，对角线AC，BD交于点S ，且DS=2SB．求证：AD=DC 解析：取AC中点P，连接PD,PB 作PM⊥BD ，SN⊥BP 证∠DAC=45°
四点共圆
对角互补：四点共圆
A D D A
B
B C 若∠A+∠C=180°， 则A、B、C、D四点共圆 C
若∠B=∠D=90°，则有 AC为直径Biblioteka Baidu
同侧共底，且顶角相等的两个三角形：四点共圆
A D A D
B B C
C
若∠A=∠D=90°，则有 BC为直径
如图，△ABC中，AD⊥BC于D，DN⊥AC于N，DM⊥AB于M。 求证：∠ANM=∠B．
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