高中数学 1_2 充分条件与必要条件同步精练 北师大版选修1-11

高中数学 1.2 充分条件与必要条件同步精练 北师大版选修1-1
1．设命题甲为0＜x ＜5，命题乙为|x －2|＜3，那么甲是乙的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．设集合U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m ＞0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，那么点P (2,3)∈[A ∩(U B )]的充要条件是( )
A ．m ＞－1，n ＜5
B ．m ＜－1，n ＜5
C ．m ＞－1，n ＞5
D ．m ＜－1，n ＞5 3．已知实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，下列结论中正确的是( )
①Δ＝b 2
－4ac ≥0是这个方程有实根的充分条件；
②Δ＝b 2－4ac ≥0是这个方程有实根的必要条件；
③Δ＝b 2－4ac ＝0是这个方程有实根的充分条件．
A ．③
B ．①②
C ．①②③
D ．②③ 4．下面命题中是真命题的是( )
A ．x ＞2，且y ＞3是x ＋y ＞5的充要条件
B ．A ∩B ≠是A B 的充分条件
C ．b 2－4ac ＜0是一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为R 的充要条件
D ．一个三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形
5．已知p ：x ≠3，且y ≠2，q ：x ＋y ≠5，则p 是q 的______条件．
6．已知p ：A B S ，q ：(S B ) (S A )，则p 是q 的______条件．
7．平面向量a ，b 共线的充要条件是________．(填序号)
①a ，b 方向相同；
②a ，b 两向量中至少有一个为零向量；
③存在λ∈R ，b ＝λa ；
④存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0.
8．已知条件p ：A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，条件q ：B ＝{x |x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0}，若条件p 是条件q 的充分条件，求实数a 的取值范围．
9．求证：若a 2＋b 2＝c 2，则a ，b ，c 不可能都是奇数．
10．两个数列{a n }和{b n }，满足b n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 1＋2＋…＋n
(n ∈N ＋)． 证明：{b n }为等差数列的充要条件是{a n }为等差数列．
参考答案
1. 分析：先解不等式再判断．
解析：由不等式|x－2|＜3，得－1＜x＜5.
∵0＜x＜5－1＜x＜5，但－1＜x＜50＜x＜5，
∴甲是乙的充分不必要条件．
答案：A
2. 解析：U B＝{(x，y)|x＋y－n＞0}，
∵点P(2,3)∈[A∩(U B)]，
∴(2,3)∈A，且(2,3)∈U B，即2×2－3＋m＞0，且2＋3－n＞0，
∴m＞－1，n＜5.
答案：A
3. 解析：Δ＝b2－4ac≥0是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根的充要条件．
∵当Δ＝b2－4ac＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两相异实根；
Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两相等实根，故上述结论均正确．
答案：C
4.解析：对于选项A，x＞2，且y＞3x＋y＞5，但x＋y＞5未必能推出x＞2，且y ＞3，如x＝0，且y＝6满足x＋y＞5，但不满足x＞2，故A为假命题．
对于选项B，A∩B≠未必能推出A B，如A＝{1,2}，B＝{2,3}，故B为假命题．对于选项C，例如一元二次不等式－2x2＋x－1＞0的解集为，但满足b2－4ac＜0，故C为假命题．
答案： D
5.解析：原命题等价于判断“x＋y＝5”是“x＝3或y＝2”的什么条件，所以p是q 的既不充分也不必要条件．
答案：既不充分也不必要
6.解析：利用集合的图示法，如下图，A B S (
S B) (S A)，(S B) (S A)
A B S.
∴p是q的充分条件，也是必要条件，即p是q的充要条件．
答案：充要
7.解析：对于①，a，b方向相同时，a，b共线，但a，b共线时，a，b不一定方向相
同，因此①不是充要条件．若a ，b 两向量中至少有一个为零向量，则a ，b 共线；但a ，b 共线时，a ，b 可能都是非零向量，如a ＝(1,2)，b ＝(2,4)，从而②不是充要条件．当b ＝λa 时，a ，b 一定共线；但a ， b 共线时，若b ≠0，a ＝0，则b ＝λa 就不成立，从而③也
不是充要条件．对于④，假设λ1≠0，则a ＝－λ2λ1
b ，因此a ，b 共线；反之，若a ，b 共线且为非零向量时，则存在非零实数m ，n 使a ＝n m b ，即m a －n b ＝0，令λ1＝m ，λ2＝－n ，则λ1a ＋λ2b ＝0；若a ，b 中存在零向量时，显然成立．
答案：④
8. 解：A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，B ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}．
(1)当a ≥13
时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}； (2)当a ＜13
时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}． 因为p 是q 的充分条件，所以A B ，于是有
⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥13
，a 2＋1≤3a ＋1，2a ≥2，解得1≤a ≤3. 或⎩⎪⎨⎪⎧
a <13
，a 2＋1≤2，2a ≥3a ＋1，解得a ＝－1. 所以a 的取值范围为{a |1≤a ≤3或a ＝－1}． 9. 证明：若a ，b ，c 都是奇数， 设a ＝2m －1，b ＝2n －1，c ＝2p －1，m ，n ，p ∈Z ， 则a 2＋b 2＝(2m －1)2
＋(2n －1)2
＝2(2m 2＋2n 2－2m －2n ＋1)，为偶数． 而c 2＝(2p －1)2＝4p 2－4p ＋1＝4(p 2－p )＋1，为奇数，∴a 2＋b 2≠c 2.
∴原命题的逆否命题“若a ，b ，c 都是奇数，则a 2＋b 2≠c 2”为真命题．∴原命题为真命题．
即“若a 2＋b 2＝c 2，则a ，b ，c 不可能都是奇数”成立．
10. 证明：必要性：
由已知得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝12n (n ＋1)b n ①
于是有a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝12
n (n －1)b n －1(n ≥2)．② ①－②整理得
a n ＝12(n ＋1)
b n －12(n －1)b n －1(n ≥2)．
设{b n }的公差为d ，由已知得a 1＝b 1，
所以a n ＝12(n ＋1)[a 1＋(n －1)d ]－12(n －1)[a 1＋(n －2)d ]＝12
[(n ＋1)a 1＋(n ＋1)(n －1)d －(n －1)a 1－(n －1)(n －2)d ]＝a 1＋(n －1)·3d 2，
故数列{a n }是首项为a 1，公差为3d 2的等差数列．
充分性：
由已知得12n (n ＋1)b n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n .(*)
设等差数列{a n }的公差为d ，则
a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝a 1＋2(a 1＋d )＋3(a 1＋2d )＋…＋n [a 1＋(n －1)d ] ＝a 1(1＋2＋3＋…＋n )＋d (22－2＋32－3＋…＋n 2－n ) ＝a 1·n
(n ＋1)2＋d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)(2n
＋1)6－n (n ＋1)2
＝a 1·n (n ＋1)2＋d ·n (n ＋1)2·2(n －1)3.
再结合(*)式得b n ＝a 1＋23(n －1)d .
故数列{b n }是以a 1为首项，以23d 为公差的等差数列．
综上，{b n }为等差数列的充要条件是{a n }为等差数列．。