2018届长宁、嘉定区高考数学二模(附标准答案)

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上海市长宁、嘉定区高三数学二模考试试题文(含解析)

2013年上海市长宁、嘉定区高考数学二模试卷（文科）一．填空题（本大题满分56分，共14小题，每小题4分）1．（4分）（2012•上海）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为π．考点：三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：由函数解析式找出ω的值，代入周期公式T=中，即可求出函数的最小正周期．解答：解：f（x）=sin（2x+），∵ω=2，∴T==π，则函数的最小正周期为π．故答案为：π点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键．2．（4分）（2013•嘉定区二模）若关于x的不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1），且实数f（1）＜0，则m= ．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：依题意，1是2x2﹣3x+a=0的根，将1代入可求得a=1，从而可求得m的值．解答：解：∵x的不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1），∴1是2x2﹣3x+a=0的根，∴2×1﹣3×1+a=0∴a=1，∴2x2﹣3x+1=0的解集为（，0），∵不等式2x2﹣3x+1＜0的解集为（m，1），∴m=．故答案为：．点评：本题考查一元二次不等式的解法，求得a的值是关键，属于基础题．3．（4分）（2013•嘉定区二模）（文）已知集合A={﹣1，0，a}，B={x|1＜3x＜9，x∈Z}，若A∩B≠∅，则实数a的值是 1 ．考点：指数函数单调性的应用；集合关系中的参数取值问题．专题：函数的性质及应用．分析：解指数不等式得到集合B，根据A∩B≠∅即可求得a的值．解答：解：由1＜3x＜9，得：0＜x＜2，又x∈Z，所以x=1，所以B={x|1＜3x＜9，x∈Z}={1}，再由A={﹣1，0，a}，A∩B≠∅，所以a=1．故答案为1．点评：本题考查了指数函数的单调性，考查了集合的交集运算，是基础题．4．（4分）（2013•嘉定区二模）已知复数z满足（i为参数单位），则复数z的实部与虚部之和为．考点：复数的基本概念；虚数单位i及其性质．专题：待定系数法．分析：复数z=a+bi （a、b∈R），代入已知的等式，利用两个复数代数形式的乘除法法则及两个复数相等的充要条件，解方程组求出复数的实部和虚部．解答：解：设复数z=a+bi （a、b∈R），代入已知的等式得=3，=3，=3，∴a=1，b=，∴a+b=1+=，故答案为：．点评：本题考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相等的条件及复数实部、虚部的定义．5．（4分）（2013•嘉定区二模）求值：= ﹣1 ．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：由二项式定理可知=（1﹣2）2013可求解答：解：∵=（1﹣2）2013=﹣1故答案为：﹣1点评：本题主要考查了二项式定理的逆应用，解题的关键是熟练掌握基本公式6．（4分）（2005•湖北）已知向量不超过5，则k的取值范围是[﹣6，2] ．考点：向量的模．分析：根据向量模的计算公式，列出一个关于K 不等式，解不等式，即可求出K 的取值范围．解答：解：∵≤5∴﹣6≤k≤2故答案为：[﹣6，2] 点评：求常用的方法有：①若已知，则=；②若已知表示的有向线段的两端点A 、B 坐标，则=|AB|=③构造关于的方程，解方程求．7．（4分）（2013•嘉定区二模）设a ＞0，a≠1，行列式中第3行第2列的代数余子式记作y ，函数y=f （x ）的反函数图象经过点（2，1），则a= 4 ．考点：三阶矩阵．专题：函数的性质及应用．分析：根据余子式的定义可知，在行列式中划去第3行第2列后所余下的2阶行列式为第3行第2列元素的代数余子式，求出值即可．函数y=f （x ）的反函数图象经过点（2，1），可知点点（1，2）在函数y=﹣a x+6的图象上，由此代入数值即可求得a ．解答：解：由题意得第3行第2列元素的代数余子式 M 32=﹣=﹣a x+6依题意，点（1，2）在函数y=﹣a x+6的图象上，将x=1，y=2，代入y=﹣a x+6中，得﹣a+6=2，解得a=4．故答案为：4．点评：此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义、反函数以及原函数与反函数之间的关系，会进行矩阵的运算，是一道基础题．8．（4分）（2013•嘉定区二模）已知，且，则sinα=．考点：两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：由α和β的范围求出α﹣β的范围，根据cos（α﹣β）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α﹣β）的值，再由sinβ的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosβ的值，然后将所求式子中的角α变为（α﹣β）+β，利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．解答：解：∵α∈（0，），β∈（﹣，0），∴α﹣β∈（0，π），又cos（α﹣β）=，sinβ=﹣，∴sin（α﹣β）==，cosβ==，则sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ=×+×（﹣）=．故答案为：点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，同时注意角度的范围．9．（4分）（2013•嘉定区二模）（理）如图是一个算法框图，则输出的k的值是 6 ．考点：程序框图．专题：图表型．分析：根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦满足条件就退出循环，从而到结论．解答：解：由于k2﹣6k+5＞0⇒k＜1或k＞5．第1次循环，k=1+1=2，第2次循环，k=2+1=3，第3次循环，k=3+1=4，第4次循环，k=4+1=5，第6次循环，k=5+1=6，6＞5满足k2﹣6k+5＞0，退出循环，输出的结果为6，故答案为：6．点评：本题主要考查了循环结构，是当型循环，当不满足条件，执行循环，属于基础题．10．（4分）（2013•嘉定区二模）（文）设函数的曲线绕x轴旋转一周所得几何体的表面积4π．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：函数等价于，可得曲线绕x轴旋转一周所得几何体为半径R=1的球，由球的表面积公式可得答案．解答：解：函数等价于，故其图象为单位圆在x轴上方的部分，故曲线绕x轴旋转一周所得几何体为半径R=1的球，故其表面积为S=4πR2=4π，故答案为：4π点评：本题考查几何体表面积的求解，得出几何体为球是解决问题的关键，属中档题．11．（4分）（2013•嘉定区二模）（文）从4名男生和3名女生中任选3人参加会议，则选出3人中至少有1名女生的概率是．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：利用枚举法写出从4名男生和3名女生中任选3人基本事件总数，找出选出3人中至少有1名女生的事件个数，利用古典概率计算公式求出概率．解答：解：设4名男生分别为A、B、C、D，3名女生分别为1、2、3，（AB1），（BCD），则从4名男生和3名女生中任选3人的方法种数为（ABC），（ABD），（ACD），（AB2），（AB3），（AC1），（AC2），（AC3），（AD1），（AD2），（AD3），（BC1），（BC2），（BC3），（BD1），（BD2），（BD3），（CD1），（CD2），（CD3），（123），（12A），（12B），（12C），（12D），（13A），（13B），（13C），（13D），（23A），（23B），（23C），（23D），（12D）共35种．其中仅有男生的4种，所以至少有1名女生的共31中．所以选出3人中至少有1名女生的概率是．故答案为．点评：本题考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键是枚举时做到不重不漏，此题是基础题．12．（4分）（2013•嘉定区二模）（文）函数f（x）=|x2﹣4|+x2﹣4x的单调递减区间是（﹣∞，2）．考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：对x2﹣4与0的大小比较进行分类讨论，将函数f（x）=|x2﹣4|+x2﹣4x去掉绝对值化成分段函数的形式，再结合图象写出函数的单调减区间．解答：解：函数f（x）=|x2﹣4|+x2﹣4x=，如图所示，故函数f（x）的减区间为（﹣∞，2），故答案为：（﹣∞，2）．点评：本题主要考查带有绝对值的函数的单调性，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．13．（4分）（2006•重庆）已知变量x，y满足约束条件．若目标函数z=ax+y （其中a＞0）仅在点（3，0）处取得最大值，则a的取值范围为a．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再用图象判断，求出目标函数的最大值．解答：解：画出可行域如图所示，其中B（3，0），C（1，1），D（0，1），若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）取得最大值，由图知，﹣a＜﹣解得a＞故答案为a＞点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．14．（4分）（2013•嘉定区二模）（文）设数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1=2，a3=6，若自然数n1，n2，…n k，…满足3＜n1＜n2＜…＜n k＜…，且是等比数列，则n k= 3k+1．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意a1=2，a3=6，从而a n=2n，再由题设条件知a=2•3k+1，再由a=2nk知2n k=2•3k+1，所以n k=3k+1．解答：解：由题意a1=2，a3=6，从而a n=2n，得构成以2为首项，3为公比的等比数列，即：a=2•3 k+1又a=2n k，故2n k=2•3k+1，∴n k=3k+1故答案为：3k+1点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，解题时要认真审题，仔细解答．二．选择题（本大题满分20分，共4小题，每小题5分）15．（5分）（2013•嘉定区二模）已知A（a1，b1），B（a2，b2）是坐标平面上不与原点重合的两个点，则的充要条件是（）A．B．a1a2+b1b2=0C．D．a1b2=a2b1考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：利用⇔即可得出．解答：解：⇔⇔a1a2+b1b2=0．故选B．点评：熟练掌握⇔是解题的关键．16．（5分）（2013•浙江模拟）关于直线l，m及平面α，β，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，α∩β=m，则l∥m B．若l∥α，m∥α，则l∥mC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若l∥α，m⊥l，则m⊥α考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．分析：由线面平行的性质定理和面面平行的判定定理判断A、B；再由线面和面面垂直的定理判断C、D．解答：解：A不对，由线面平行的性质定理知必须l⊂β；B不对，由面面平行的判定定理知两条直线必须相交；D不对，有条件有可能m⊂α；C正确，由l∥β知在β内有与l平行的直线，再由l⊥α和面面垂直的判定定理得α⊥β．故选C．点评：本题考查了空间中线面位置关系，主要根据线面和面面平行及垂直的定理进行判断，考查了学生对定理的运用能力和空间想象能力．17．（5分）（2013•嘉定区二模）过点P（1，1）作直线与双曲线交于A、B两点，使点P为AB中点，则这样的直线（）A．存在一条，且方程为2x﹣y﹣1=0 B．存在无数条C．存在两条，方程为2x±（y+1）=0 D．不存在考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：利用平方差法：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入双曲线方程然后作差，由中点坐标公式及斜率公式可求得直线l的斜率，再用点斜式即可求得直线方程，然后再检验直线与曲线方程联立的方程的解的存在的情况解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2，y1+y2=2，则x12﹣=1，x22﹣=1，两式相减得（x1﹣x2）（x1+x2）﹣（y1﹣y2）（y1+y2）=0，∴，即k AB=2，故所求直线方程为y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0．联立可得2x2﹣4x+3=0，但此方程没有实数解故这样的直线不存在故选D点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查直线方程的求法，涉及弦中点问题，往往考虑利用“平方差法”加以解决．但是一定要检验所求直线与椭圆的方程的解的存在情况18．（5分）（2013•嘉定区二模）已知函数f（x）=2x﹣1，g（x）=1﹣x2，构造函数F（x），定义如下：当|f（x）|≥g（x）时，F（x）=|f（x）|，当|f（x）|＜g（x）时，F（x）=﹣g（x），那么F（x）（）A．有最小值0，无最大值B．有最小值﹣1，无最大值C．有最大值1，无最小值D．无最小值，也无最大值考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．分析：在同一坐标系中先画出f（x）与g（x）的图象，然后根据定义画出F（x），就容易看出F（x）无最大值，有最小值﹣1．解答：解：在同一坐标系中先画出f（x）与g（x）的图象，然后根据定义画出F（x），就容易看出F（x）无最大值，有最小值﹣1．故选B．点评：此题考查阅读能力和函数图象的画法，必须弄懂F（x）是什么．先画出|f（x）|及g （x）与﹣g（x）的图象．再比较|f（x）|与g（x）的大小，然后确定F（x）的图象．这是一道创新性较强的试题．三．解答题（本大题满分74分，共5小题）19．（12分）（2013•嘉定区二模）如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，AB为圆O的直径，圆柱OO1的表面积为24π，OA=2，∠AOP=120°．（1）求三棱锥A1﹣APB的体积．（2）求异面直线A1B与OP所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；转化思想．分析：（1）由题意圆柱OO1的表面积为24π，OA=2，∠AOP=120°建立关于圆柱高的方程求出AA1=4，即得棱锥的高，再由，∠AOP=120°解出解出AP，进而解出BP，即可解出底面积，再棱锥的体积公式求体积即可；（2）取AA1中点Q，连接OQ，PQ，可证得∠POQ或它的补角为异面直线A1B与OP所成的角，在三角形POQ中求异面直线所成的角即可．解答：解：（1）由题意S表=2π•22+2π•2•AA1=24π，解得AA1=4．（2分）在△AOP中，OA=OP=2，∠AOP=120°，所以（3分）在△BOP中，OB=OP=2，∠BOP=60°，所以BP=2（4分）（5分）=（6分）（2）取AA1中点Q，连接OQ，PQ，则OQ∥A1B，得∠POQ或它的补角为异面直线A1B与OP所成的角．（8分）又，AQ=AO=2，得，PQ=4，（10分）由余弦定理得，（12分）得异面直线A1B与OP所成的角为．（14分）点评：本题考查了求三棱锥的体积与求两异面直线所成的角，在圆柱这一背景下，考查这两个问题方式比较新颖，解答本题关键是正确理解这些几何图形之间的位置关系的转化．20．（12分）（2013•嘉定区二模）在△ABC中，角A，B，C所对应的边a，b，c成等比数列．（1）求证：；（2）求的取值范围．考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：解三角形．分析：（1）由余弦定理求得cosB的值，利用基本不等式求得cosB的范围，即可求得B的范围．（2）根据三角恒等变换化简y的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域，求得y 的范围．解答：解：（1）由已知，b2=ac，所以由余弦定理，得由基本不等式a2+c2≥2ac，得．所以．因此，．（2），由（1），，所以，所以，所以，的取值范围是．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．21．（14分）（2013•嘉定区二模）函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且≠1）是定义域为R 的奇函数．（1）求k值；（2）若f（1）＜0，试判断函数单调性并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立的取值范围．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）根据奇函数的性质可得f（0）=0，由此求得k值．（2）由f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1），f（1）＜0，求得1＞a＞0，f（x）在R上单调递减，不等式化为f（x2+tx）＜f（x﹣4），即x2+（t﹣1）x+4＞0 恒成立，由△＜0求得t的取值范围．解答：解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，∴1﹣（k﹣1）=0，∴k=2．当k=2时，f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1），∴f（﹣x）=﹣f（x）成立∴f（x）是定义域为R的奇函数；（2）函数f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1），∵f（1）＜0，∴a﹣＜0，∵a＞0，∴1＞a＞0．由于y=a x单调递减，y=a﹣x单调递增，故f（x）在R上单调递减．不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0，可化为f（x2+tx）＜f（x﹣4）．∴x2+tx＞x﹣4，即x2+（t﹣1）x+4＞0 恒成立，∴△=（t﹣1）2﹣16＜0，解得﹣3＜t＜5．点评：本题考查指数型复合函数的性质以及应用，考查函数的奇偶性的应用，属于中档题．22．（18分）（2013•嘉定区二模）如图，已知点F（0，1），直线m：y=﹣1，P为平面上的动点，过点P作m的垂线，垂足为点Q，且．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）（文）过轨迹C的准线与y轴的交点M作方向向量为=（a，1）的直线m′与轨迹C交于不同两点A、B，问是否存在实数a使得FA⊥FB？若存在，求出a的范围；若不存在，请说明理由；（3）（文）在问题（2）中，设线段AB的垂直平分线与y轴的交点为D（0，y0），求y0的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设P（x，y），由题意，Q（x，﹣1），利用向量的运算即可得出；（2）由（1）可知：轨迹C为抛物线，准线方程为y=﹣1，即直线m，所以M（0，﹣1），当a=0时，直线m'的方程为x=0，与曲线C只有一个公共点，故a≠0．把直线m'的方程与抛物线的方程联立，利用判别式△、根与系数的关系、向量的运算FA⊥FB⇔，即可得出a；（3）由（2），得线段AB的中点为，线段AB的垂直平分线的一个法向量为，即可得到线段AB的垂直平分线的方程，利用（2）的a的取值范围即可得出．解答：解：（1）设P（x，y），由题意，Q（x，﹣1），，，，，由，得2（y+1）=x2﹣2（y﹣1），化简得x2=4y．所以，动点P的轨迹C的方程为x2=4y．（2）轨迹C为抛物线，准线方程为y=﹣1，即直线m，所以M（0，﹣1），当a=0时，直线m'的方程为x=0，与曲线C只有一个公共点，故a≠0．所以直线m'的方程为，由得a2y2+（2a2﹣4）y+a2=0，由△=4（a2﹣2）2﹣4a4＞0，得0＜a2＜1．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，y1y2=1，所以，x1x2=4，若FA⊥FB，则，即（x1，y1﹣1）•（x2，y2﹣1）=0，x1x2+y1y2﹣（y1+y2）+1=0，，解得．所以．（3）由（2），得线段AB的中点为，线段AB的垂直平分线的一个法向量为，所以线段AB的垂直平分线的方程为，令x=0，，因为0＜a2＜1，所以．所以y0的取值范围是（3，+∞）．点评：本题主要考查抛物线的方程与性质、向量的运算及其数量积、直线与抛物线的位置关系、线段的垂直平分线等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．23．（18分）（2013•嘉定区二模）（文）已知数列{a n}的前n项和为S n，且对于任意n∈N*，总有S n=2（a n﹣1）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成等差数列，当公差d满足3＜d＜4时，求n的值并求这个等差数列所有项的和T；（3）记a n=f（n），如果（n∈N*），问是否存在正实数m，使得数列{c n}是单调递减数列？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）当n=1时，可求得a1=2，当n≥2时S n﹣1=2（a n﹣1﹣1），与已知关系式相减，可求得a n=2a n﹣1，利用等比数列的概念即可求得数列{a n}的通项公式；（2）由题意，a n+1=a n+（n+1）d，可求得d=，利用3＜d＜4，可求得d=，从而可知等差数列首项为16，公差为，共有6项，利用等差数列的求和公式即可求得所有项的和T；（3）（1）知f（n）=2n，依题意可求得c n=n•m2n，由c n+1＜c n，可求得m2＜1﹣对任意n∈N*成立，构造函数g（n）=1﹣，利用g（n）在n∈N*上单调递增的性质，得m的取值范围是（0，）时，数列{c n}是单调递减数列．解答：解：（1）当n=1时，由已知a1=2（a1﹣1），得a1=2．当n≥2时，由S n=2（a n﹣1），S n﹣1=2（a n﹣1﹣1），两式相减得a n=2a n﹣2a n﹣1，即a n=2a n﹣1，所以{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．所以，a n=2n（n∈N*）．（2）由题意，a n+1=a n+（n+1）d，故d=，即d=，因为3＜d＜4，所以3＜＜4，即3n+3＜2n＜4n+4，解得n=4，所以d=．所以所得等差数列首项为16，公差为，共有6项．所以这个等差数列所有项的和T==144．所以，n=4，T=144．（3）由（1）知f（n）=2n，所以c n=n•f（n•）=n•=n•=n•=n•=n•m2n．由题意，c n+1＜c n，即（n+1）•m2n+2＜n•m2n对任意n∈N*成立，所以m2＜1﹣对任意n∈N*成立．因为g（n）=1﹣在n∈N*上是单调递增的，所以g（n）的最小值为g（1）=．所以m2＜．由m＞0得m的取值范围是（0，）．所以，当m∈（0，）时，数列{c n}是单调递减数列．点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，突出等比数列的确定与等差数列的求和，考查构造函数思想与单调性的分析应用，属于难题．。

上海市2018年嘉定(长宁)区高三年级第二次质量调研(二模)数学试卷(简答)

2019年嘉定区高三年级第二次质量调研一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1.已知集合{}1,2,3,4A =，{}25,B x x x R =<<∈，则AB =2.已知复数z 满足34zi i =+(i 是虚数单位)，则||z =3.若线性方程组的增广矩阵为2012m n ⎛⎫⎪⎝⎭，则m n +=4. 在41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项的值为5.已知一个圆锥的主视图(如右图所示)是边长分别为5，5，4的三角形，则该圆锥的侧面积为6.已知实数x ，y 满足011x y y x ≥⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最小值为7.设函数()f x =其中a 为常数)的反函数为()1f x -，若函数()1f x -的图像经过点()0,1，则方程()12f x -=的解为8.学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，则选出的2人中至少有1名女同学的概率为(结果用数值表示)9.已知直线1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数)与抛物线24y x =相交于A 、B 两点，若线段AB 中点的坐标为(m ，2)，线段AB 的长为10.在ABC 中，已知2CD DB =，P 为线段AD 上的一点，且满足12CP CA mCB =+，若△ABC的面积为3ACB π∠=，则CP 的最小值为11.已知有穷数列{}n a 共有m 项，记数列{}n a 的所有项和为S(1)，第二项及以后所有项和为S(2),… …第n （1n m ≤≤）项及以后所有项和为S(n)，若S(n)是首项为1，公差为2的等差数列的前n 项和，则当1n m ≤<时，n a =12. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当01x ≤≤时，()()2log f x x a =+，若对于x 属于[]0,1都有2211log 32()f x tx -++≥-，则实数t 的取值范围为二、选择题(本题共有4题，满分20分，每题5分)13.已知x R ∈，则“11x>”是“1x <”的（） A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既非充分又非必要条件14.产能利用率是指实际产出与生产能力的比率，工业产能利用率是衡量工业生产经营状况的重要指标，下图为国家统计局发布的2015年至2018年第2季度我国工业产能利用率的折线图 (%)在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较:环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015二季度与2015年第一季度相比较根据上述信息，下列结论中正确的是( )(A)2015年第三季度环比有所提高 (B)2016年第一季度同比有所提高(C)2017年第三季度同比有所提高 (D)2018年第一季度环比有所提高15.已知圆()2229x y -+=的圆心为C ，过点()2,0M -且与x 轴不重合的直线l 交圆A 、B 两点，点A 在点M 与点B 之间。

上海市长宁区、青浦区、宝山区、嘉定区2017-2018学年高三数学二模试卷(文科) Word版含解析

2017-2018学年上海市长宁区、青浦区、宝山区、嘉定区高考数学二模试卷（文科）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．设集合A={x||x|＜2，x∈R}，B={x|x2﹣4x+3≥0，x∈R}，则A∩B=．2．已知i为虚数单位，复数z满足=i，则|z|= ．3．设a＞0且a≠1，若函数f（x）=a x﹣1+2的反函数的图象经过定点P，则点P的坐标是．4．计算：= ．5．在平面直角坐标系内，直线l：2x+y﹣2=0，将l与两坐标轴围成的封闭图形绕y轴旋转一周，所得几何体的体积为．6．已知sin2θ+sinθ=0，θ∈（，π），则tan2θ= ．7．定义在R上的偶函数y=f（x），当x≥0时，f（x）=2x﹣4，则不等式f（x）≤0的解集是．8．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（1，1），若OA的垂直平分线过抛物线C：y2=2px （p＞0）的焦点，则抛物线C的方程为．9．已知x、y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为．10．在（x2+）6（k为实常数）的展开式中，x3项的系数等于160，则k= ．11．从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点，则以这三点为顶点的三角形的面积等于的概率是．12．已知数列{a n}满足a1+a2+…+a n=n2+3n（n∈N+），则= ．13．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有10道选择题，每题均有4个选项，答对得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项不同，如果甲最终的得分为27分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为．14．对于函数f（x）=，其中b＞0，若f（x）的定义域与值域相同，则非零实数a 的值为．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．“sinα=0”是“cosα=1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件16．下列正确的是（）A．若直线l1∥平面α，直线l2∥平面α，则l1∥l2B．若直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l∥αC．直线l与平面α所成角的取值范围是（0，）D．若直线l1⊥平面α，直线l2⊥平面α，则l1∥l217．已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）=0，则||的最大值是（）A．1 B．2 C．D．18．已知直线l：y=2x+b与函数y=的图象交于A，B两点，记△OAB的面积为S（O为坐标原点），则函数S=f（b）是（）A．奇函数且在（0，+∞）上单调递增B．偶函数且在（0，+∞）上单调递增C．奇函数且在（0，+∞）上单调递减D．偶函数且在（0，+∞）上单调递减三、解答题（共5小题，满分60分）19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=AA1=2，D为侧棱AA1的中点；（1）求证：AC⊥平面BCC1B1；（2）求异面直线B1D与AC所成角的大小．20．已知函数f （x ）=sin2x+cos2x ﹣1（x ∈R ）；（1）写出函数f （x ）的最小正周期和单调递增区间；（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若f （B ）=0， =，且a+c=4，试求b 的值．21．定义在D 上的函数f （x ），若满足：对任意x ∈D ，存在常数M ＞0，都有|f （x ）|≤M 成立，则称f （x ）是D 上的有界函数，其中M 称为函数f （x ）的上界：（1）设f （x ）=，判断f （x ）在上是否有界函数，若是，请说明理由，并写出f （x ）的所有上界的值的集合，若不是，也请说明理由；（2）若函数g （x ）=1+a•（）x +（）x 在．【考点】交集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x||x|＜2，x ∈R}={x|﹣2＜x ＜2}， B={x|x 2﹣4x+3≥0，x ∈R}={x|x≥3或x≤1}，则A∩B={x|﹣2＜x≤1}，故答案为：（﹣2，1]．2．已知i 为虚数单位，复数z 满足=i ，则|z|= 1 ．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】设出z=a+bi ，得到1﹣a ﹣bi=﹣b+（a+1）i ，根据系数相等得到关于a ，b 的方程组，解出a ，b 的值，求出z ，从而求出z 的模．【解答】解：设z=a+bi ，则==i ，∴1﹣a ﹣bi=﹣b+（a+1）i ，∴，解得，故z=﹣i，|z|=1，故答案为：1．3．设a＞0且a≠1，若函数f（x）=a x﹣1+2的反函数的图象经过定点P，则点P的坐标是（3，1）．【考点】反函数．【分析】由于函数f（x）=a x﹣1+2经过定点（1，3），再利用反函数的性质即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=a x﹣1+2经过定点（1，3），∴函数f（x）的反函数的图象经过定点P（3，1），故答案为：（3，1）．4．计算：= ．【考点】极限及其运算．【分析】先利用排列组合公式，将原式化简成的形式，再求极限．【解答】解：===．故答案为：．5．在平面直角坐标系内，直线l：2x+y﹣2=0，将l与两坐标轴围成的封闭图形绕y轴旋转一周，所得几何体的体积为．【考点】用定积分求简单几何体的体积．【分析】由题意此几何体的体积可以看作是：V=，求出积分即得所求体积．【解答】解：由题意可知：V=，∴V=π（y3﹣），=．故答案为．6．已知sin2θ+sinθ=0，θ∈（，π），则tan2θ= ．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由已知等式化简可得sinθ（2cosθ+1）=0，结合范围θ∈（，π），解得cosθ=﹣，利用同角三角函数基本关系式可求tanθ，利用二倍角的正切函数公式可求tan2θ的值．【解答】解：∵sin2θ+sinθ=0，⇒2sinθcosθ+sinθ=0，⇒sinθ（2cosθ+1）=0，∵θ∈（，π），sinθ≠0，∴2cosθ+1=0，解得：cosθ=﹣，∴tanθ=﹣=﹣，∴tan2θ==．故答案为：．7．定义在R上的偶函数y=f（x），当x≥0时，f（x）=2x﹣4，则不等式f（x）≤0的解集是．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据条件判断函数的单调性和函数的零点，利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．【解答】解：当x≥0时，由f（x）=2x﹣4=0得x=2，且当x≥0时，函数f（x）为增函数，∵f（x）是偶函数，∴不等式f（x）≤0等价为f（|x|）≤f（2），即|x|≤2，即﹣2≤x≤2，即不等式的解集为，故答案为：．8．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（1，1），若OA的垂直平分线过抛物线C：y2=2px （p＞0）的焦点，则抛物线C的方程为y2=4x ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先求出线段OA的垂直平分线方程，然后表示出抛物线的焦点坐标并代入到所求方程中，进而可求得p的值，即可得到抛物线方程．【解答】解：∵点A（1，1），依题意我们容易求得直线的方程为x+y﹣1=0，把焦点坐标（，0）代入可求得焦参数p=2，从而得到抛物线C的方程为：y2=4x．故答案为：y2=4x．9．已知x、y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为﹣6 ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣2，﹣2），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A（﹣2，﹣2）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2×（﹣2）﹣2=﹣6．故答案为：﹣6．10．在（x2+）6（k为实常数）的展开式中，x3项的系数等于160，则k= 2 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】T r+1=k r x12﹣3r，令12﹣3r=3，解得r．即可得出．【解答】解：T r+1=（x2）6﹣r=k r x12﹣3r，令12﹣3r=3，解得r=3．∴T4=x3，∴20k3=160，解得k=2．故答案为：2．11．从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点，则以这三点为顶点的三角形的面积等于的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】从正方体的8个顶点中任意取3个构成三角形的顶点共有取法，其中以这三点为顶点的三角形的面积S=的三角形共有24个，由此能求出结果．【解答】解：从正方体的8个顶点中任意取3个构成三角形的顶点共有取法，其中以这三点为顶点的三角形的面积S=的三角形如图中的△ABC，这类三角形共有24个∴P（S=）==．故答案为：．12．已知数列{a n}满足a1+a2+…+a n=n2+3n（n∈N+），则= 2n2+6n ．【考点】数列的求和．【分析】通过a1+a2+…+a n=n2+3n与a1+a2+…+a n﹣1=（n﹣1）2+3（n﹣1）作差，进而计算可知a n=2（n+1），分别利用等差数列、等比数列的求和公式计算即得结论．【解答】解：∵a1+a2+…+a n=n2+3n，∴当n≥2时，a1+a2+…+a n﹣1=（n﹣1）2+3（n﹣1），两式相减得：a n=（n2+3n）﹣=2（n+1），又∵a1=1+3=4满足上式，∴a n=2（n+1），=4+4n，∴=4n+4•=2n2+6n，故答案为：2n2+6n．13．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有10道选择题，每题均有4个选项，答对得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项不同，如果甲最终的得分为27分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为{24，27，30} ．【考点】集合的表示法；计数原理的应用．【分析】甲最终的得分为27分，可得：甲答对了10道题目中的9道，由于甲和乙都解答了所有的试题，甲必然有一道题目答错了，不妨设为第一题．由于他们只有1道题的选项不同，如果是第一道题，则乙可能答错，也可能答对，即可得出分数．如果是第一道题以外的一个题目，则乙一定答错，而第一道题，则乙也一定答错，即可得出．【解答】解：∵甲最终的得分为27分，∴甲答对了10道题目中的9道，∵甲和乙都解答了所有的试题，∴甲必然有一道题目答错了，不妨设为第一题．∵甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项不同，如果是第一道题，则乙可能答错，也可能答对，此时乙可得30分或27分．如果是第一道题以外的一个题目，则乙一定答错，而第一道题，则乙也一定答错，此时乙可得24分．综上可得：乙的所有可能的得分值组成的集合为{24，27，30}．故答案为：{24，27，30}．14．对于函数f（x）=，其中b＞0，若f（x）的定义域与值域相同，则非零实数a的值为﹣4 ．【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】根据函数的定义域与值域相同，故可以求出参数表示的函数的定义域与值域，由两者相同，故比较二区间的端点得出参数满足的方程解方程求参数即可．【解答】解：若a＞0，由于ax2+bx≥0，即x（ax+b）≥0，∴对于正数b，f（x）的定义域为：D=（﹣∞，﹣]∪．由于此时max=f（﹣）=，故函数的值域 A=．由题意，有﹣=，由于b＞0，所以a=﹣4．故答案为：﹣4．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．“sinα=0”是“cosα=1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由sinα=0可得α=kπ（k∈Z），即可判断出结论．【解答】解：sinα=0可得α=kπ（k∈Z），∴cosα=±1，反之成立，∴“sinα=0”是“cosα=1”的必要不充分条件．故选：B16．下列正确的是（）A．若直线l1∥平面α，直线l2∥平面α，则l1∥l2B．若直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l∥αC．直线l与平面α所成角的取值范围是（0，）D．若直线l1⊥平面α，直线l2⊥平面α，则l1∥l2【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据各选项条件举出反例．【解答】解：对于A，若直线l1∥平面α，直线l2∥平面α，则l1与l2可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误．对于B，若直线l与平面α相交于O点，在交点两侧各取A，B两点使得OA=OB，则A，B到平面α的距离相等，但直线l与α不平行，故B错误．对于C，当直线l⊂α或l∥α时，直线l与平面α所成的角为0，当l⊥α时，直线l与平面α所成的角为，故C错误．对于D，由定理“垂直于同一个平面的两条直线平行“可知D正确．故选：D．17．已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）=0，则||的最大值是（）A．1 B．2 C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由向量垂直的条件可得•=0，运用向量的平方即为模的平方，可得|+|=，再化简运用向量的数量积的定义，结合余弦函数的值域，即可得到所求最大值．【解答】解：由题意可得•=0，可得|+|==，（﹣）•（﹣）=2+•﹣•（+）=||2﹣||•|+|cos＜（+，＞=0，即为||=cos＜+，＞，当cos＜+，＞=1即+，同向时，||的最大值是．故选：C．18．已知直线l：y=2x+b与函数y=的图象交于A，B两点，记△OAB的面积为S（O为坐标原点），则函数S=f（b）是（）A．奇函数且在（0，+∞）上单调递增B．偶函数且在（0，+∞）上单调递增C．奇函数且在（0，+∞）上单调递减D．偶函数且在（0，+∞）上单调递减【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】根据条件求出AB的长度以及O到AB的距离，从而求出三角形OAB的面积函数，根据函数的表达式即可得到结论．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由2x+b=，即2x2+bx﹣1=0，则，则|AB|=，圆心到直线2x﹣y+b=0的距离d=，∴△OAB的面积S==，∴S=f（b）=，则函数f（b）为偶函数，当b＞0时，y=和都为增函数，∴当b＞0时，f（b）=为增函数．故选：B．三、解答题（共5小题，满分60分）19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=AA1=2，D为侧棱AA1的中点；（1）求证：AC⊥平面BCC1B1；（2）求异面直线B1D与AC所成角的大小．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由已知推导出AC⊥BC，CC1⊥AC，由此能证明AC⊥平面BCC1B1．（2）以C为原点，直线CA、CB、CC1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线B1D与AC所成角的大小．【解答】证明：（1）∵底面△ABC是等腰直角三角形，且AC=BC，∴AC⊥BC，∵CC1⊥平面A1B1C1，∴CC1⊥AC，∵CC1∩BC=C，∴AC⊥平面BCC1B1．解：（2）以C为原点，直线CA、CB、CC1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，2），B1（0，2，2），D（2，0，1），=（2，﹣2，﹣1），=（﹣2，0，0），设异面直线B1D与AC所成角为θ，则cosθ===．∴．∴异面直线B1D与AC所成角的大小为arccos．20．已知函数f（x）=sin2x+cos2x﹣1（x∈R）；（1）写出函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f（B）=0， =，且a+c=4，试求b的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用两角和的正弦化简，由周期公式求得周期，再由相位在正弦函数的增区间内求得x的范围求得f（x）单调递增区间；（2）把f（B）=0代入函数解析式，求得B，展开数量积=，求得ac的值，结合a+c=4，利用余弦定理求得b的值．【解答】解：（1）f（x）=sin2x+cos2x﹣1=．∴T=；由，得．∴函数f（x）的单调递增区间为[]，k∈Z；（2）由f（B）==0，得．∴或，k∈Z．∵B是三角形内角，∴B=．而=ac•cosB=，∴ac=3．又a+c=4，∴a2+c2=（a+c）2﹣2ac=16﹣2×3=10．∴b2=a2+c2﹣2ac•cosB=7．则b=．21．定义在D上的函数f（x），若满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界：（1）设f（x）=，判断f（x）在上是否有界函数，若是，请说明理由，并写出f（x）的所有上界的值的集合，若不是，也请说明理由；（2）若函数g（x）=1+a•（）x+（）x在上是增函数；从而可得|f（x）|≤1，从而求得；（2）由题意知﹣3≤1+a•（）x+（）x≤3在上是增函数；故f（﹣）≤f（x）≤f（）；即﹣1≤f（x）≤，故|f（x）|≤1，故f（x）是有界函数；故f（x）的所有上界的值的集合是．22．设椭圆Г：（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），短轴的一个端点B 到F的距离等于焦距：（1）求椭圆Г的标准方程；（2）设C、D是四条直线x=±a，y=±b所围成的矩形在第一、第二象限的两个顶点，P是椭圆Г上任意一点，若，求证：m2+n2为定值；（3）过点F的直线l与椭圆Г交于不同的两点M、N，且满足于△BFM与△BFN的面积的比值为2，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的右焦点为F（1，0），短轴的一个端点B到F的距离等于焦距，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆Г的标准方程．（2）求出C（2，），D（﹣2，），设P（x0，y0），则，由已知=，得=1，由此能证明m2+n2=为定值．（3）=2等价于=2，设l：y=k（x﹣1），由，得（3+4k2）y2+6ky﹣9k2=0，由此利用韦达定理、椭圆性质，结合已知条件能求出直线l的方程．【解答】解：（1）∵椭圆Г：（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），短轴的一个端点B到F的距离等于焦距，∴，解得a=2，b=，∴椭圆Г的标准方程为．证明：（2）∵C、D是四条直线x=±a，y=±b所围成的矩形在第一、第二象限的两个顶点，∴C（2，），D（﹣2，），设P（x0，y0），则，由已知=，得，∴=1，∴m2+n2=为定值．解：（3）=2等价于=2，当直线l的斜率不存在时， =1，不合题意，故直线l的斜率存在，设l：y=k（x﹣1），由，消去x，得（3+4k2）y2+6ky﹣9k2=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，由=2，得=﹣2，则，，∴3+4k2=8，k=，∴直线l的方程为y=．23．已知数列{a n}、{b n}满足：a，a n+b n=1，b；（1）求b1、b2、b3、b4；（2）求证：数列{}是等差数列，并求{b n}的通项公式；（3）设S n=a1a2+a2a3+…+a n a n+1，若不等式4aS n＜b n对任意n∈N*恒成立，求实数a的取值范围．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；数列递推式．【分析】（1）通过已知条件代入计算即得结论；（2）通过两边同时减1并取倒数，利用a n+b n=1化简可知数列{}是等差数列，进而计算可得结论；（3）通过（2）可知b n=，进而裂项可知a n a n+1=﹣，并项相加可知S n=，进而问题转化为求的最小值，计算即得结论．【解答】（1）解：依题意，b1=1﹣a1=1﹣=，b2===，a2=1﹣b2=1﹣=，==，a3=1﹣b3=1﹣=，==；（2）证明：∵，a n+b n=1，∴b n+1﹣1=﹣1=﹣1=，两边同时取倒数，得： ==﹣1=﹣1=﹣1=﹣1，∴数列{}是等差数列，又∵==﹣4，∴=﹣4﹣（n﹣1）=﹣（n+3），∴数列{b n}的通项公式b n=1﹣=；（3）解：由（2）可知b n=，∴a n=1﹣b n=，a n a n+1==﹣，∴S n=a1a2+a2a3+…+a n a n+1=﹣+﹣+…+﹣=﹣=，∵不等式4aS n＜b n对任意n∈N*恒成立，∴不等式4a•＜对任意n∈N*恒成立，∴a＜=1+，∵随着n的增大而减小，且=0，∴a≤1．2016年6月24日。

2018高三二模汇编(精)(带参考答案)

2018届高三数学二模典题库一、填空题1.集合1.设全集R U =，若集合{}2,1,0=A ，{}21|<<-=x x B ，()B C A U ⋂= . 【答案】{}2 【来源】18届宝山二模1 【难度】集合、基础题2.集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=02x xxA ，{|}B x x Z =∈，则A B ⋂等于．【答案】{}1或{}1=x x 【来源】18届奉贤二模1 【难度】集合、基础题3. 已知(,]A a =-∞，[1,2]B =，且A B ≠∅，则实数a 的范围是【答案】1a ≥ 【来源】18届虹口二模1 【难度】集合、基础题4．已知集合{}{}1,2,31,A B m ==，，若3m A -∈，则非零实数m 的数值是．【答案】2 【来源】18届黄浦二模1 【难度】集合、基础题5．已知集合},2,1{m A =，}4,2{=B ，若}4,3,2,1{=B A ，则实数=m _______．【答案】3【来源】18届长嘉二模1 【难度】集合、基础题6. 设集合1|,2xM y y x R ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，()()()1|1112,121N y y x m x x m ⎧⎫⎛⎫==+-+--≤≤⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭，若N M ⊆，则实数m 的取值范围是 .【答案】(1,0)- 【来源】18届普陀二模11 【难度】集合、中档题7．已知全集R U =，集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U . 【答案】]3,1[- 【来源】18届徐汇二模1 【难度】集合、基础题8. 已知集合{|(1)(3)0}P x x x =+-<，{|||2}Q x x =>，则P Q =【答案】(2,3) 【来源】18届金山二模3 【难度】集合、基础题9.已知集合{1,0,1,2,3}U =-，{1,0,2}A =-，则U C A =【答案】{1,3} 【来源】18届崇明二模1 【难度】集合、基础题2.命题、不等式1．不等式|1|1x ->的解集是．【答案】(,0)(2,)-∞+∞【来源】18届黄浦二模2 【难度】不等式、基础题2．已知函数2()(02)f x ax bx c a b =++<<对任意R x ∈恒有()0f x ≥成立，则代数式(1)(0)(1)f f f --的最小值是．【答案】3【来源】18届黄浦二模2 【难度】不等式、压轴题3．不等式|3|2x -<的解集为__________________．【答案】{}15x x <<或()1,5 【来源】18届青浦二模1 【难度】不等式、基础题4．若为等比数列，0n a >，且2018a =，则2017201912a a +的最小值为．{}n a【答案】4【来源】18届杨浦二模10 【难度】不等式、中档题5. 函数9y x x=+，(0,)x ∈+∞的最小值是【答案】6 【来源】18届金山二模4 【难度】不等式、基础题3.函数1.给出下列函数：①1y x x=+；②x x y +=2；③2x y =；④23y x =；⑤x y tan =；⑥()sin arccos y x =；⑦(lg lg 2y x =-．从这7个函数中任取两个函数，则其中一个是奇函数另一个是偶函数的概率是．【答案】37【来源】18届奉贤二模9 【难度】函数、中档题2.已知函数()()θ-=x x f 2sin 5，⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πθ，[]π5,0∈x ，若函数()()3-=x f x F 的所有零点依次记为n x x x x ,,,,321 ，且n n x x x x x <<<<<-1321 ，*N n ∈若π283222212321=++++++--n n n x x x x x x ，则=θ ．【答案】9π【来源】18届奉贤二模12 【难度】函数、压轴题3.已知函数20()210x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则11[(9)]f f ---=【答案】-2【来源】18届虹口二模5 【难度】函数、基础题4.若函数()f x =是偶函数，则该函数的定义域是．【答案】[2,2]- 【来源】18届黄浦二模3 【难度】函数、基础题5.已知函数)1lg()(2ax x x f ++=的定义域为R ，则实数a 的取值范围是_________．【答案】]1,1[-【来源】18届长嘉二模10 【难度】函数、中档题6.若函数1()21f x x m =-+是奇函数，则实数m =________.【答案】12【来源】18届普陀二模2 【难度】函数、基础题7.若函数()f x =()g x ，则函数()g x 的零点为________.【答案】x =【来源】18届普陀二模3 【难度】函数、基础题8.已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21xf x =-，函数 2()2g x x x m =-+. 如果对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-，使得12()()f xg x ≤，则实数m 的取值范围是 .【答案】5m ≥- 【来源】18届青浦二模10 【难度】函数、中档题9.若函数222(1)sin ()1x xf x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()sin 1g x M m x M m x =+++-⎡⎤⎣⎦图像的一个对称中心是．【答案】114⎛⎫⎪⎝⎭，【来源】18届徐汇二模11 【难度】函数、中档题10.设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，当[0,1]x ∈时，2()log (1)f x x =+，则函数()f x 在[1,2]上的解析式是【答案】2()log (3)f x x =- 【来源】18届崇明二模9 【难度】函数、中档题4.指数函数、对数函数1.方程33log (325)log (41)0x x ⋅+-+=的解x = ．【答案】2【来源】18届黄浦二模6 【难度】对数函数、基础题2.[]x 是不超过x 的最大整数，则方程271(2)[2]044x x -⋅-=满足1x <的所有实数解是【答案】12x =或1x =- 【来源】18届虹口二模11 【难度】指数函数、中档题3.若实数x 、y 满足112244+++=+y x yx，则y x S 22+=的取值范围是____________．【答案】]4,2(【来源】18届长嘉二模12 【难度】指数函数、压轴题4.函数()lg(32)x xf x =-的定义域为_____________．【答案】(0,)+∞ 【来源】18届徐汇二模3 【难度】对数函数、基础题5.定义在R 上的函数()21x f x =-的反函数为1()y f x -=，则1(3)f -=【答案】2【来源】18届松江二模4 【难度】指数函数、基础题6.若函数2()log (1)a f x x ax =-+（0a >且1a ≠）没有最小值，则a 的取值范围【答案】()[)0,12,+∞【来源】18届松江二模10 【难度】指数函数、中档题7.函数lg 1y x =-的零点是．【答案】10x = 【来源】18届杨浦二模1 【难度】对数函数、基础题8.函数lg y x =的反函数是【答案】1()10xf x -=【来源】18届金山二模2 【难度】对数函数、基础题5. 三角函数1.已知在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为AB ∠∠，，C ∠所对的边．若222b c a +-=，则A ∠= ．【答案】4π或045 【来源】18届奉贤二模5 【难度】三角函数、基础题2.已知ABC ∆的三内角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、，若2222sin a b c bc A =+-，则内角A 的大小是．【答案】4π【来源】18届黄浦二模4 【难度】三角函数、基础题3.若1sin 3α=，则cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭_______________．【答案】13【来源】18届青浦二模3 【难度】三角函数、基础题4.在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若222()tan b c a A bc +-=，则角A 的大小为________.【答案】6π 【来源】18届普陀二模5 【难度】三角函数、基础题5..函数()x x x f 4cos 4sin 2=的最小正周期为 . 【答案】4π 【来源】18届宝山二模4 【难度】三角函数、基础题6.已知22s 1(,,0)cos 1a a in M a a a a θθθ-+=∈≠-+R ，则M 的取值范围是．【答案】⎣⎦【来源】18届青浦二模12 【难度】三角函数、压轴题7. 函数3sin(2)3y x π=+的最小正周期T =【答案】π【来源】18届金山二模1 【难度】三角函数、基础题8.若53sin )cos(cos )sin(=---x y x x y x ，则y 2tan 的值为【答案】2424.77-或【来源】18届杨浦二模9 【难度】三角函数、中档题9.在ABC △中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，2a =，2sin sin A C =．若B 为钝角，412cos -=C ，则ABC ∆的面积为．【来源】18届杨浦二模11 【难度】三角函数、中档题 10. 若2018100922sin(2cos )(3cos cos )(1cos cos )αββαβα--≥---+，则sin()2βα+=【答案】-1或1【来源】18届金山二模12 【难度】三角函数、压轴题题6. 数列1.已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且2a 、4a 、3a 成等差数列，则q = 【答案】1或12-【来源】18届虹口二模7 【难度】数列、基础题2.已知数列{}n a 是共有k 个项的有限数列，且满足11(2,,1)n n nna a n k a +-=-=-，若1224,51,0k a a a ===，则k = ．【答案】50【来源】18届黄浦二模11 【难度】数列、中档题3.设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠），若m 是等比数列{}n a （*N n ∈）的公比，且2462018()7f a a a a =，则22221232018()()()()f a f a f a f a ++++的值为_________.【答案】1990-【来源】18届普陀二模9 【难度】数列、中档题4.在等比数列{}n a 中，公比2q =，前n 项和为n S ，若51S =，则10S = ．【答案】33【来源】18届青浦二模5 【难度】数列、基础题7. 向量1.如图，已知O 为矩形4321P P P P 内的一点，满足7,543131===P P OP OP ，，则24OP OP ⋅的值为 .【答案】-4 【来源】18届宝山二模11 【难度】向量、中档题2.已知向量a 在向量b 方向上的投影为2-，且3b =，则a b ⋅= ．(结果用数值表示) 【答案】-6 【来源】18届黄浦二模5 【难度】向量、基础题3.在△ABC 中，M 是BC 的中点，︒=∠120A ，21-=⋅AC AB ，则线段AM 长的最小值为____________．【答案】21 【来源】18届长嘉二模114.已知曲线29C y x =--：，直线2l y =：，若对于点(0,)A m ，存在C 上的点P 和l 上的点Q ，使得0AP AQ +=，则m 取值范围是．11、【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【来源】18届青浦二模11 【难度】向量、中档题5.已知向量a 、b 的夹角为60°，||1a =，||2b =，若(2)()a b xa b +⊥-，则实数x 的值为【答案】3【来源】18届松江二模7 【难度】向量、基础题6.点1F ，2F 分别是椭圆22:12x C y +=的左、右两焦点，点N 为椭圆C 的上顶点，若动点M 满足：2122MNMF MF =⋅，则122MF MF +的最大值为__________.【答案】6【来源】18届普陀二模12 【难度】向量、压轴题7.已知两个不同向量(1,)OA m =，(1,2)OB m =-，若OA AB ⊥，则实数m =____________．【答案】1【来源】18届青浦二模48.已知非零向量OP 、OQ 不共线，设111m OM OP OQ m m =+++，定义点集{|}||||FP FM FQ FMA F FP FQ ⋅⋅==. 若对于任意的3m ≥，当1F ，2F A ∈且不在直线PQ 上时，不等式12||||F F k PQ ≤恒成立，则实数k 的最小值为．【答案】34【来源】18届杨浦二模12 【难度】向量、压轴题9.已知向量,a b 的夹角为锐角，且满足||a =、||b =，若对任意的{}(,)(,)||1,0x y x y xa yb xy ∈+=>，都有||1x y +≤成立，则a b ⋅的最小值为 . 【答案】815【来源】18届徐汇二模12 【难度】向量、压轴题10. 在平面四边形ABCD 中，已知1AB =，4BC =，2CD =，3DA =，则AC BD ⋅的值为【答案】10【来源】18届崇明二模12 【难度】向量、压轴题8. 解析几何1.设抛物线的焦点坐标为()01，，则此抛物线的标准方程为 . 【答案】24y x = 【来源】18届宝山二模2【难度】解析几何、基础题2.抛物线2y x =的焦点坐标是．【答案】（0，14）【来源】18届奉贤二模3 【难度】解析几何、基础题3.椭圆的长轴长等于m ，短轴长等于n ，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为【答案】2mn【来源】18届虹口二模10 【难度】解析几何、中档题4.角的始边是x 轴正半轴，顶点是曲线2522=+y x 的中心，角的终边与曲线2522=+y x 的交点A 的横坐标是3-，角的终边与曲线2522=+y x 的交点是B ，则过B 点的曲线2522=+y x 的切线方程是．（用一般式表示）11、【答案】7241250x y ±+= 【来源】18届奉贤二模11 【难度】解析几何、压轴题5.直线(1)10ax a y +-+=与直线420x ay +-=互相平行，则实数a = 【答案】2 【来源】18届虹口二模2 【难度】解析几何、基础题ααα26.已知平面直角坐标系xOy 中动点),(y x P 到定点)0,1(的距离等于P 到定直线1-=x 的距离，则点P 的轨迹方程为______________．【答案】x y 42= 【来源】18届长嘉二模4 【难度】解析几何、基础题7. 抛物线212x y =的准线方程为_______. 【答案】3y =- 【来源】18届普陀二模1 【难度】解析几何、基础题8.双曲线22219x y a -=（0a >）的渐近线方程为320x y ±=，则a =【答案】2a = 【来源】18届松江二模1 【难度】解析几何、基础题9.已知直线12:0,:20l mx y l x my m -=+--=.当m 在实数范围内变化时，1l 与2l 的交点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是 . 【答案】2220x y x y +--= 【来源】18届徐汇二模10 【难度】解析几何、中档题10.已知抛物线2x ay =的准线方程是14y =-，则a = . 【答案】1【来源】18届徐汇二模4 【难度】解析几何、基础题11.若双曲线222161(0)3x y p p-=>的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p = ．【答案】4【来源】18届杨浦二模8 【难度】解析几何、中档题12.平面上三条直线210x y -+=，10x -=，0x ky +=，如果这三条直线将平面化分为六个部分，则实数k 的取值组成的集合A = 【答案】{2,1,0}-- 【来源】18届金山二模10 【难度】解析几何、中档题13.已知双曲线22:198x y C -=，左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作一直线与双曲线C 的右半支交于P 、Q 两点，使得190F PQ ∠=︒，则1F PQ ∆的内切圆的半径r = 【答案】2【来源】18届金山二模11 【难度】解析几何、中档题14.已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为（结果保留π）【答案】12π【来源】18届崇明二模6 【难度】解析几何、基础题15. 已知椭圆2221x y a +=（0a >）的焦点1F 、2F ，抛物线22y x =的焦点为F ，若123F F FF =，则a =【来源】18届崇明二模8 【难度】解析几何、中档题9. 复数1.设z 是复数，()a z 表示满足1nz =时的最小正整数n ，i 是虚数单位，则⎪⎭⎫⎝⎛-+i i a 11=______．【答案】4【来源】18届奉贤二模7 【难度】复数、基础题2.已知α是实系数一元二次方程22(21)10x m x m --++=的一个虚数根，且||2α≤，则实数m 的取值范围是．【答案】3(4- 【来源】18届黄浦二模8 【难度】复数、中档题3.已知复数z 满足i 342+=z （i 为虚数单位），则=||z ____________．【答案】5【来源】18届长嘉二模3 【难度】复数、基础题4.若复数z 满足2315i z -=+（i 是虚数单位），则=z _____________．【答案】512i -【来源】18届青浦二模2 【难度】复数、基础题5.设m ∈R ，若复数(1)(1)z mi i =++在复平面内对应的点位于实轴上，则m = 【答案】-1【来源】18届松江二模3 【难度】复数、基础题6.若复数z 满足1z =，则z i -的最大值是．【答案】2【来源】18届杨浦二模6 【难度】复数、中档题7.i 是虚数单位，若复数(12)()i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为【答案】-2【来源】18届崇明二模3 【难度】复数、基础题10. 立体几何1.已知球的俯视图面积为π，则该球的表面积为 . 【答案】4π 【来源】18届宝山二模5 【难度】立体几何、基础题2.已知半径为2R 和R 的两个球，则大球和小球的体积比为．【答案】8或1:8 【来源】18届奉贤二模2 【难度】立体几何、基础题3.长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α、β、γ，则222cos cos cos αβγ++= 4.2【答案】2【来源】18届虹口二模4 【难度】立体几何、中档题4.如图，长方体1111ABCD A B C D -的边长11AB AA ==，AD =O ，则A 、1A 这两点的球面距离等于【答案】3π 【来源】18届虹口二模9 【难度】立体几何、中档题5.将圆心角为32π，面积为π3的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为___________．【答案】π322【来源】18届长嘉二模7【难度】立体几何、中档题6.三棱锥ABCP-及其三视图中的主视图和左视图如下图所示，则棱PB的长为________．【答案】24【来源】18届长嘉二模8【难度】立体几何、中档题7.如图所示，一个圆柱的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个圆柱的体积为__________．【答案】4π【来源】18届青浦二模7【难度】立体几何、中档题8.若一个球的体积为323π，则该球的表面积为_________．【答案】16π【来源】18届徐汇二模5【难度】立体几何、基础题9.若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 .【答案】15π【来源】18届徐汇二模8【难度】立体几何、中档题10.若球的表面积为100π，平面α与球心的距离为3，则平面α截球所得的圆面面积为【答案】16π【来源】18届松江二模8 【难度】立体几何、中档题11.若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3,3,2的三角形，则该圆锥的体积是．【来源】18届杨浦二模7 【难度】立体几何、中档题12.记球1O 和2O 的半径、体积分别为1r 、1V 和2r 、2V ，若12827V V =，则12r r = 【答案】23【来源】18届金山二模6 【难度】立体几何、中档题11. 排列组合、概率统计、二项式定理1.某次体检，8位同学的身高（单位：米）分别为68.1，71.1，73.1，63.1，81.1，74.1，66.1，78.1，则这组数据的中位数是 (米）.【答案】1.72 【来源】18届宝山二模3 【难度】统计、基础题2.若B A 、满足()()()525421===AB P B P A P ，，，则()()P AB P AB -= . 【答案】310【来源】18届宝山二模9 【难度】概率、中档题3.在报名的8名男生和5名女生中，选取6人参加志愿者活动，要求男、女都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）【答案】1688 【来源】18届宝山二模7 【难度】排列组合、中档题4.从集合{1,1,2,3}-随机取一个为m ，从集合{2,1,1,2}--随机取一个为n ，则方程221x y m n+=表示双曲线的概率为【答案】12【来源】18届虹口二模6 【难度】概率、中档题5.若将函数6()f x x =表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x =+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则3a 的值等于【答案】20 【来源】18届虹口二模8 【难度】二项式、中档题6.已知某市A社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至65岁的居民有900人．为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，试问这次抽样调查抽取的人数是人．【答案】140【来源】18届黄浦二模9【难度】概率统计、中档题7.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率是．(结果用数值表示) 10．【答案】5 16【来源】18届黄浦二模10 【难度】概率统计、中档题8.nxx⎪⎭⎫⎝⎛+1的展开式中的第3项为常数项，则正整数=n___________．【答案】4【来源】18届长嘉二模2【难度】二项式、基础题9.某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0、1、2、3的四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球编号相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．则顾客抽奖中三等奖的概率为____________．9．【答案】167【难度】概率统计、中档题10.代数式2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是．（用数字作答）【答案】3【来源】18届奉贤二模10 【难度】二项式、中档题11.书架上有上、中、下三册的《白话史记》和上、下两册的《古诗文鉴赏辞典》，现将这五本书从左到右摆放在一起，则中间位置摆放中册《白话史记》的不同摆放种数为_______（结果用数值表示）. 【答案】24【来源】18届普陀二模4 【难度】二项式、基础题12.若321()nx x-的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为_________.5 【答案】5【来源】18届普陀二模6 【难度】二项式、基础题13.某单位年初有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（假设每辆车最多只获一次赔偿）.设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为120和121，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为_________（结果用最简分数表示）.【答案】221【难度】概率统计、中档题14.设1234,,,{1,0,2}x x x x ∈-，那么满足12342||||||||4x x x x ≤+++≤的所有有序数对1234(,,,)x x x x 的组数为【答案】45【来源】18届松江二模11 【难度】排列组合、压轴题15.设*n N ∈，n a 为(4)(1)n nx x +-+的展开式的各项系数之和，324c t =-，t ∈R1222[][][]555n n n na a ab =++⋅⋅⋅+（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n n t b c -++的最小值为【答案】25【来源】18届松江二模12 【难度】二项式、压轴题16.在61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项是 .【答案】20【来源】18届徐汇二模2 【难度】二项式、基础题 17.621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为______________．8、30【答案】30【来源】18届青浦二模8 【难度】二项式、中档题18.高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A +的概率分别为78、34、512，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得2个A +的概率是．【答案】151192【来源】18届青浦二模9 【难度】概率统计、中档题19.将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m ，记第二颗骰子出现的点数是n ，向量()2,2a m n =--，向量()1,1b =，则向量a b ⊥的概率．．是 . 【答案】16【来源】18届徐汇二模9 【难度】概率统计、中档题20.若的二项展开式中项的系数是，则n = ．【答案】4【来源】18届杨浦二模3 【难度】概率统计、基础题21.掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为．()13nx +2x 542【来源】18届杨浦二模4 【难度】概率统计、基础题22.若一个布袋中有大小、质地相同的三个黑球和两个白球，从中任取两个球，则取出的两球中恰是一个白球和一个黑球的概率是【答案】11322535C C C ⋅=【来源】18届金山二模8 【难度】概率统计、中档题23.(12)nx +的二项展开式中，含3x 项的系数等于含x 项的系数的8倍，则正整数n = 【答案】5【来源】18届金山二模9 【难度】二项式、中档题24.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为石（精确到小数点后一位数字）【答案】169.1【来源】18届崇明二模5 【难度】统计、基础题25. 若二项式7(2)ax x+的展开式中一次项的系数是70-，则23lim()n n a a a a →∞+++⋅⋅⋅+=3【来源】18届崇明二模7 【难度】二项式、基础题26.某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，恰有两辆车停放在相邻车位的概率是【答案】47【来源】18届崇明二模10 【难度】概率、中档题12. 行列式、矩阵、程序框图1.若某线性方程组对应的增广矩阵是421m m m ⎛⎫⎪⎝⎭，且此方程组有唯一一组解，则实数m的取值范围是【答案】0D ≠，即2m ≠±【来源】18届金山二模7 【难度】矩阵、中档题2.三阶行列式13124765x -中元素5-的代数余子式为()x f ，则方程()0f x =的解为____．【答案】2log 3x = 【来源】18届奉贤二模6 【难度】矩阵、中档题3.若二元一次方程组的增广矩阵是121234c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其解为100x y =⎧⎨=⎩，则12c c += 【答案】 40【来源】18届松江二模2 【难度】矩阵、基础题4.函数()2sin cos 1()11x x f x +-=的最小正周期是___________．【答案】π【来源】18届徐汇二模7 【难度】矩阵、基础题5.若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛210221c c 的解为⎩⎨⎧==31y x ，则=+21c c . 【答案】9【来源】18届宝山二模6 【难度】矩阵、基础题6.已知函数2sin cos 2()1cos x x f x x-=，则函数()f x 的单调递增区间是．【答案】3[,],Z 88k k k ππππ-+∈【来源】18届黄浦二模7 【难度】矩阵、基础题7.已知一个关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是111012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y +=【答案】5【来源】18届崇明二模2【难度】矩阵、基础题8.若2log 1042x -=-，则x =【答案】4【来源】18届崇明二模4 【难度】行列式、基础题13. 数学归纳法、极限1.已知数列{}n a ，其通项公式为31n a n =+，*n N ∈，{}n a 的前n 项和为n S ，则limnn nS n a →∞=⋅【答案】12【来源】18届松江二模6 【难度】极限、基础题2.计算：=+∞→142limn nn ．【答案】12【来源】18届杨浦二模2 【难度】极限、基础题14. 参数方程、线性规划1.已知实数,x y 满足20102x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数2u x y =+的最大值是．【答案】4 【来源】18届奉贤二模4 【难度】线性规划、中档题2.设变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≥,043,04,1y x y x x 则目标函数y x z -=3的最大值为_________．【答案】4 【来源】18届长嘉二模6 【难度】线性规划、基础题3.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为24x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C的参数方程为cos 1sin 2x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），则直线l 与椭圆C 的公共点坐标为__________.【答案】(24-【来源】18届普陀二模8 【难度】参数方程、中档题4.设变量x 、y 满足条件0220x y x y y x y m-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩，若该条件表示的平面区域是三角形，则实数m 的取值范围是__________. 【答案】4(0,1][,)3+∞ 【来源】18届普陀二模10 【难度】参数方程、中档题5.若,x y 满足2,10,20,x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩则2z x y =-的最小值为____________．【答案】12-【来源】18届青浦二模6 【难度】参数方程、中档题6.已知实数x y ，满足001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，．则目标函数z x y =-的最小值为___________．【答案】-1【来源】18届徐汇二模6 【难度】线性规划、基础题7.若x 、y 满足020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2f x y =+的最大值为．【答案】3【来源】18届杨浦二模5 【难度】线性规划、基础题8.直线l 的参数方程为112x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），则l 的一个法向量为【答案】()2,1- 【来源】18届松江二模5 【难度】线性规划、基础题9.若平面区域的点(,)x y 满足不等式||||14x y k +≤（0k >），且z x y =+的最小值为5-，则常数k = 【答案】5k =【来源】18届松江二模9 【难度】线性规划、中档题10.已知,x y ∈R，且满足00y y y +≤-≥≥⎪⎩，若存在θ∈R 使得cos sin 10x y θθ++=成立，则点(,)P x y 构成的区域面积为【答案】6π【来源】18届崇明二模11 【难度】线性规划、中档题15.其它1.函数()sin f x x =，对于123n x x x x <<<⋅⋅⋅<且12,,,[0,8]n x x x π⋅⋅⋅∈（10n ≥），记1223341|()()||()()||()()||()()|n n M f x f x f x f x f x f x f x f x -=-+-+-+⋅⋅⋅+-，则M的最大值等于【答案】16【来源】18届虹口二模12 【难度】其它、压轴题二、选择题1.命题、不等式)(C 充要条件． )(D 既不充分也不必要条件．【答案】 B 【来源】18届宝山二模13 【难度】命题与条件、基础题2.在给出的下列命题中，是假命题的是答( )． (A )设O A B C 、、、是同一平面上的四个不同的点，若(1)(R)OA m OB m OC m =⋅+-⋅∈，则点A B C 、、必共线(B )若向量a b 和是平面α上的两个不平行的向量，则平面α上的任一向量c 都可以表示为(R)c a b λμμλ=+∈、，且表示方法是唯一的(C )已知平面向量OA OB OC 、、满足||||(0)OA OB OC r r ==>|=|，且0OA OB OC ++=，则ABC ∆是等边三角形(D )在平面α上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量a b c d 、、、，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直【答案】D【来源】18届黄浦二模16 【难度】命题与条件、压轴题3.唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。

2018届上海市嘉定、长宁区高三一模数学试题(带答案解析)

21．已知数列满足：，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，且满足，试确定的值，使得数列为等差数列；
（3）将数列中的部分项按原来顺序构成新数列，且，求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列．
参考答案
1．
【解析】
【分析】
集合，是数集，集合的交集运算求出公共部分.
11．已知数列的前项和为，且 , （），若 ,
则数列的前项和 _______________.
12．若不等式对任意满足的实数，恒成立，则实数的最大值为__________．
13．设角的始边为轴正半轴，则“ 的终边在第一、二象限”是“ ”的…（）．
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
当n为偶数时，，当n为奇数时，，综上所述 ,故填或 .
点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误．
12．
【解析】
∴l1∥l2，l1和l2共面，这样便不符合已知的l1和l2异面；
∴该选项正确．
故选D．
考点：点、线、面的位置关系．
15．B
【解析】
，由与的夹角，知，故，因为，所以，所以，所以，故选B.
16．C
【解析】
当时，解得，
当时，解得
的1阶根的个数是2.
时，，解得；
时，，解得；
2018届上海市嘉定、长宁区高三一模
数学试题
1．已知集合，，则 ___________________.

2018年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷

2018年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，5}，则A∩B=．2．（4分）不等式的解集为．3．（4分）已知，则=．4．（4分）=．5．（4分）已知球的表面积为16π，则该球的体积为．6．（4分）已知函数f（x）=1+log a x，y=f﹣1（x）是函数y=f（x）的反函数，若y=f ﹣1（x）的图象过点（2，4），则a的值为．7．（5分）若数列{a n}为等比数列，且a5=3，则=．8．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a+b+c）（a﹣b+c）=ac，则B=．9．（5分）若的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为．10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，当x∈[2，4]时，，则的值为．11．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，2S n=a n•a n+1（n∈N*）．若b n=（﹣1）n，则数列{b n}的前n项和T n=．12．（5分）若不等式x2﹣2y2≤cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，则实数c的最大值为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）设角α的始边为x轴正半轴，则“α的终边在第一、二象限”是“sinα＞0”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件14．（5分）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交15．（5分）对任意两个非零的平面向量和，定义，其中θ为和的夹角，若两个非零的平面向量和满足：①；②和的夹角；③和的值都在集合中，则的值为（）A．B．C．1 D．16．（5分）已知函数，且f1（x）=f（x），f n（x）=f（f n﹣（x）），n=1，2，3，…．则满足方程f n（x）=x的根的个数为（）1A．2n个B．2n2个C．2n个D．2（2n﹣1）个三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，设长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4．（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与B1C所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18．（14分）已知复数z满足，z2的虚部为2．（1）求复数z；（2）设z、z2、z﹣z2在复平面上的对应点分别为A、B、C，求△ABC的面积．19．（14分）一根长为L的铁棒AB欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽AC=BD=2m．（1）设∠BOD=θ，试将L表示为θ的函数；（2）求L的最小值，并说明此最小值的实际意义．20．（16分）已知函数f（x）=2x+2﹣x．（1）求证：函数f（x）是偶函数；（2）设a∈R，求关于x的函数y=22x+2﹣2x﹣2af（x）在x∈[0，+∞）时的值域g （a）表达式；（3）若关于x的不等式mf（x）≤2﹣x+m﹣1在x∈（0，+∞）时恒成立，求实数m的取值范围．21．（18分）已知数列{a n}满足：a1=1，，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，且满足，试确定b1的值，使得数列{b n}为等差数列；（3）将数列中的部分项按原来顺序构成新数列{c n}，且c1=5，求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列{c n}．2018年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，5}，则A∩B={2，4} ．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，B={2，4，5}，∴A∩B={2，4}．故答案为：{2，4}．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．（4分）不等式的解集为（﹣1，0] ．【分析】分式不等式转化为其等价不等式组，解出即可．【解答】解：∵，∴或，解得：﹣1＜x≤0，故答案为（﹣1，0]．【点评】本题考查了分式不等式的解法，考查转化思想，是一道基础题．3．（4分）已知，则=．【分析】原式利用诱导公式化简，将sinα的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵sinα=，∴cos（+α）=﹣sinα=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．4．（4分）=．【分析】分式同时除以3n，当n→+∞时，（）n→0，即可求得答案．【解答】解：==，∴=，故答案为：．【点评】本题考查极限的运算，考查转化思想，属于基础题．5．（4分）已知球的表面积为16π，则该球的体积为．【分析】通过球的表面积求出球的半径，然后求出球的体积【解答】解：一个球的表面积是16π，所以球的半径为：2，所以这个球的体积为：=．故答案为：．【点评】本题是基础题，考查球的表面积、体积的计算，考查计算能力，公式的应用．6．（4分）已知函数f（x）=1+log a x，y=f﹣1（x）是函数y=f（x）的反函数，若y=f ﹣1（x）的图象过点（2，4），则a的值为4．【分析】由y=f﹣1（x）的图象过点（2，4）得函数y=f（x）的图象过点（4，2），把点（4，2）代入y=f（x）的解析式求得a的值．【解答】解：∵y=f﹣1（x）的图象过点（2，4），∴函数y=f（x）的图象过点（4，2），又f（x）=1+log a x，∴2=1+log a4，即a=4．故答案为：4．【点评】本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，是基础的计算题．7．（5分）若数列{a n}为等比数列，且a5=3，则=18．【分析】根据题意，由矩阵的定义可得=a2•a8﹣a3•（﹣a7）=a2•a8+a3•a7，进而由等比数列的性质可得a2•a8=a3•a7=9，计算即可得答案．【解答】解：根据题意，=a2•a8﹣a3•（﹣a7）=a2•a8+a3•a7，又由数列{a n}为等比数列，且a5=3，则有a2•a8=a3•a7=9，则=9+9=18；故答案为：18．【点评】本题考查等比数列的性质，涉及矩阵的运算，关键是掌握等比数列的性质．8．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a+b+c）（a﹣b+c）=ac，则B=．【分析】由条件利用余弦定理求得cosB的值，可得B的值．【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∵（a+b+c）（a﹣b+c）=ac，即a2+c2﹣b2=﹣ac，又cosB==﹣，∴B=，故答案为：．【点评】本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题．9．（5分）若的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为 1120 ．【分析】由已知求得n 值，写出二项展开式的通项，由x 的指数为0求得r 值，则答案可求．【解答】解：由题意可知，2n =256，解得n=8．∴=，其展开式的通项=，令8﹣2r=0，得r=4． ∴该展开式中常数项的值为．故答案为：1120．【点评】本题考查二项式系数的性质，熟练掌握二项展开式的通项是关键，是基础题．10．（5分）已知函数f （x ）是定义在R 上且周期为4的偶函数，当x ∈[2，4]时，，则的值为．【分析】由函数的奇偶性与周期性把f （）转化为求f （）的值求解．【解答】解：∵函数f （x ）是定义在R 上且周期为4的偶函数， ∴，又当x ∈[2，4]时，，∴f （）=f （）=．故答案为：．【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，考查数学转化思想方法，是基础题．11．（5分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，2S n =a n •a n +1（n ∈N *）．若b n =（﹣1）n，则数列{b n }的前n 项和T n = ﹣1+．【分析】根据数列的递推公式可得数列{a n}是以1为首项，以1为公差的等差数列，a n=n，则b n=（﹣1）n=（﹣1）n•（+），再分n为偶数和奇数两种情况求出前n项和．【解答】解：∵2S n=a n•a n+1（n∈N*）．当n≥2时，2S n﹣1=a n﹣1•a n，∴2a n=2S n﹣2S n﹣1=a n（a n+1﹣a n﹣1），∵a1=1，∴a n≠0∴a n+1﹣a n﹣1=2，∴（a n+1﹣a n）+（a n﹣a n﹣1）=2，∴a n﹣a n﹣1=1，∴数列{a n}是以1为首项，以1为公差的等差数列，∴a n=1+（n﹣1）=n，∴b n=（﹣1）n=（﹣1）n•=（﹣1）n•（+），数列{b n}的前n项和T n=﹣（1+）+（+）﹣（+）+…+（﹣1）n•（+），当n为偶数时，T n=﹣1+，当n为奇数时，T n=﹣1+﹣（+）=﹣1﹣，综上所述T n=﹣1+，故答案为：﹣1+．【点评】本题考查了数列的递推公式关系式，和数列的通项公式，以及数列的前n项和，属于中档题．12．（5分）若不等式x2﹣2y2≤cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，则实数c的最大值为2﹣4．【分析】不等式x2﹣2y2≤cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，变形为c≤=，令，可得=f（t），利用导数研究函数f（t）的单调性极值与最值即可得出．【解答】解：∵不等式x2﹣2y2≤cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，∴c≤=，令，∴=f（t），f′（t）==，当t时，f′（t）＞0，函数f（t）单调递增；当1＜t＜时，f′（t）＜0，函数f（t）单调递减．∴当t=2+时，f（t）取得最小值，=2﹣4．∴实数c的最大值为2﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）设角α的始边为x轴正半轴，则“α的终边在第一、二象限”是“sinα＞0”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【分析】“α的终边在第一、二象限”⇒“sinα＞0”，“sinα＞0”⇒“α的终边在第一、二象限或α的终边在x轴正半轴”，由此能求出结果．【解答】解：∵角α的始边为x轴正半轴，∴“α的终边在第一、二象限”⇒“sinα＞0”，“sinα＞0”⇒“α的终边在第一、二象限或α的终边在x轴正半轴”，∴“α的终边在第一、二象限”是“sinα＞0”的充分非必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查正弦函数的符号与所在象限的关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．14．（5分）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交【分析】可以画出图形来说明l与l1，l2的位置关系，从而可判断出A，B，C是错误的，而对于D，可假设不正确，这样l便和l1，l2都不相交，这样可推出和l1，l2异面矛盾，这样便说明D正确．【解答】解：A．l与l1，l2可以相交，如图：∴该选项错误；B．l可以和l1，l2中的一个平行，如上图，∴该选项错误；C．l可以和l1，l2都相交，如下图：，∴该选项错误；D．“l至少与l1，l2中的一条相交”正确，假如l和l1，l2都不相交；∵l和l1，l2都共面；∴l和l1，l2都平行；∴l1∥l2，l1和l2共面，这样便不符合已知的l1和l2异面；∴该选项正确．故选：D．【点评】考查异面直线的概念，在直接说明一个命题正确困难的时候，可说明它的反面不正确．15．（5分）对任意两个非零的平面向量和，定义，其中θ为和的夹角，若两个非零的平面向量和满足：①；②和的夹角；③和的值都在集合中，则的值为（）A．B．C．1 D．【分析】根据新定义求出=cosθ=，=cosθ=，m∈N，再根据夹角的范围求出mn=3，m，n∈N，再根据第1个条件，即可求出m，n的值，问题得以解决【解答】解：∵=cosθ=，=cosθ=，m∈N，由与的夹角θ∈（0，），知cos2θ=∈（，1），故mn=3，m，n∈N，∵，∴0＜=＜1，∴m=1，n=3，∴=，故选：B．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求得m=1，n=3，是解题的关键，属于中档题．16．（5分）已知函数，且f1（x）=f（x），f n（x）=f（f n﹣（x）），n=1，2，3，…．则满足方程f n（x）=x的根的个数为（）1A．2n个B．2n2个C．2n个D．2（2n﹣1）个【分析】本题考查的知识点是归纳推理，方法是根据已知条件和递推关系，先求出f的1阶根的个数，2阶根的个数，然后总结归纳其中的规律，f的n阶根的个数．【解答】解：当x∈[0，]时，f1（x）=f（x）=2x=x，解得x=0；当x∈（，1]时，f1（x）=f（x）=2﹣2x=x，解得x=，∴f的1阶根的个数是2．当x∈[0，]时，f1（x）=f（x）=2x，f2（x）=4x=x，解得x=0；当x∈（，]时，f1（x）=f（x）=2x，f2（x）=2﹣4x=x，解得x=；当x∈（，]时，f1（x）=2﹣2x，f2（x）=﹣2+4x=x，解得x=；当x∈（，1]时，f1（x）=2﹣2x，f2（x）=4﹣4x=x，解得x=．∴f的2阶根的个数是22．依此类推∴f的n阶根的个数是2n．故选：C．【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），属于中档题．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，设长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4．（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与B1C所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【分析】（1）A1到平面ABCD的距离d=AA1=4，S正方体ABCD=AB×BC=9，由此能求出四棱锥A1﹣ABCD的体积．（2）由A1B∥D1C，知∠D1CB1是异面直线A1B与B1C所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线A1B与B1C所成角．【解答】解：（1）∵A1到平面ABCD的距离d=AA1=4，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=3，∴S=AB×BC=3×3=9，正方体ABCD∴四棱锥A1﹣ABCD的体积V==．（2）∵A1B∥D1C，∴∠D1CB1是异面直线A1B与B1C所成角（或所成角的补角），∵B1D1==3，B1C=D1C==5，∴cos∠D1CB1===，∴∠D1CB1=arccos．∴异面直线A1B与B1C所成角为．【点评】本题考查四棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．18．（14分）已知复数z满足，z2的虚部为2．（1）求复数z；（2）设z、z2、z﹣z2在复平面上的对应点分别为A、B、C，求△ABC的面积．【分析】（1）设z=a+bi（a，b∈R），由已知列关于a，b的方程组，求解可得复数z；（2）分类求得A、B、C的坐标，再由三角形面积公式求解．【解答】解：（1）设z=a+bi（a，b∈R），由已知可得：，即，解得或．∴z=1+i或z=﹣1﹣i；（2）当z=1+i时，z2=2i，z﹣z2=1﹣i，∴A（1，1），B（0，2），C（1，﹣1），故△ABC的面积S=×2×1=1；当z=﹣1﹣i时，z2=2i，z﹣z2=﹣1﹣3i，∴A（﹣1，﹣1），B（0，2），C（﹣1，﹣3），故△ABC的面积S=×2×1=1．∴△ABC的面积为1．【点评】本题考查复数的乘方和加减运算，考查复数相等的条件和复数的几何意义，以及三角形的面积的求法，考查运算能力，属于中档题．19．（14分）一根长为L的铁棒AB欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽AC=BD=2m．（1）设∠BOD=θ，试将L表示为θ的函数；（2）求L的最小值，并说明此最小值的实际意义．【分析】（1）利用直角三角形中的边角关系，求得L的解析式．（2）求导，分析导函数的符号，进而可得L的最值，进而得到最值的含义．【解答】解：（1）∵走廊的宽AC=BD=2m．∠BOD=∠BAC=θ，∴；（2）∵∴．∵θ∈（0，），L′＜0，L为减函数；θ∈（，），L′＞0，L为增函数；∴θ=时，L取最小值4，该最小值表示：超过则无法通过．【点评】本题考查的知识点是函数解析式的求法，利用导数研究函数的最值，难度中档．20．（16分）已知函数f（x）=2x+2﹣x．（1）求证：函数f（x）是偶函数；（2）设a∈R，求关于x的函数y=22x+2﹣2x﹣2af（x）在x∈[0，+∞）时的值域g （a）表达式；（3）若关于x的不等式mf（x）≤2﹣x+m﹣1在x∈（0，+∞）时恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）利用奇偶性的定义，可得函数f（x）是偶函数；（2）令t=f（x）=2x+2﹣x．则t≥2，22x+2﹣2x=t2﹣2，y=22x+2﹣2x﹣2af（x）=t2﹣2at ﹣2，结合二次函数的性质分类讨论，可得不同情况下，函数的值域；（3）若关于x的不等式mf（x）≤2﹣x+m﹣1在x∈（0，+∞）时恒成立，即m ≤在x∈（0，+∞）时恒成立，求出的最小值，可得答案．【解答】证明：（1）∵函数f（x）=2x+2﹣x的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=2﹣x+2x=2x+2﹣x=f（x），故函数f（x）是偶函数；解：（2）令t=f（x）=2x+2﹣x．则t≥2，22x+2﹣2x=t2﹣2y=22x+2﹣2x﹣2af（x）=t2﹣2at﹣2，当a≤2时，当t=2时，函数取最小值2﹣4a，无最大值；此时函数的值域为[2﹣4a，+∞），a＞2时，当t=a时，函数取最小值﹣a2﹣2，无最大值；此时值域为[﹣a2﹣2，+∞）；（3）若关于x的不等式mf（x）≤2﹣x+m﹣1在x∈（0，+∞）时恒成立即m（2x+2﹣x）≤2﹣x+m﹣1在x∈（0，+∞）时恒成立即m≤=1﹣=1﹣在x∈（0，+∞）时恒成立当x=1时，2﹣x=，此时（2﹣x）2﹣2﹣x+1取最小值，故取最大值，故1﹣取最小值﹣故．【点评】本题考查的知识点是的奇偶性，单调性，值域，恒成立问题，是函数图象和性质的综合应用．21．（18分）已知数列{a n}满足：a1=1，，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，且满足，试确定b1的值，使得数列{b n}为等差数列；（3）将数列中的部分项按原来顺序构成新数列{c n}，且c1=5，求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列{c n}．【分析】（1）由a1=1，两边平方化简可得﹣=4，则数列{}是以1为首项，以4为公差的等差数列，根据等差数列的通项公式即可求得，即可求得数列{a n}的通项公式；（2）由（1）可得化简整理﹣=1，得利用等差数列的通项公式可得：=b1+n﹣1，即S n=（b1+n﹣1）（4n﹣3），当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1，化为b n=4b1+8n ﹣11，取n=1即可得出；（3）解法1：令等比数列{c n}的公比q=4m（m∈N*），则c n=c1q n﹣1=5×4m（n﹣1），设k=m（n﹣1），可得5×4m（n﹣1）=3[5（1+4+42+…+4k﹣1）+2]﹣1，…．因为5（1+4+42+…+4k﹣1）+2为正整数，可得数列{c n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列，进而证明结论．解法2：设c2=4k2﹣3（k2≥3），所以公比q=，由等比数列{c n}的各项为整数，则q为整数，取q=4m+1，故c n=5•（4m+1）n﹣1，利用等差数列定义可得k n 是正整数，因此以数列{c n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列，即可证明．【解答】解：（1），则﹣=4，n∈N*∴数列{}是以1为首项，以4为公差的等差数列，则=1+4（n﹣1）=4n﹣3，∴，∴数列{a n}的通项公式；（2）由（1）可得，=（4n+1）S n+16n2﹣8n﹣3，∵，∴（4n﹣3）S n+1∴﹣=1，∴数列{}是等差数列，首项为S1，公差为1．∴=b1+n﹣1，∴S n=（b1+n﹣1）（4n﹣3），当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=（b1+n﹣1）（4n﹣3）﹣（b1+n﹣2）（4n﹣7），化为b n=4b1+8n ﹣11，若数列{b n}为等差数列，则上式对于n=1时也成立，∴b1=4b1﹣3，解得b1=1．∴b n=8n﹣7为等差数列．∴b1=1，数列{b n}为等差数列；（3）证明：由（1）可得=4n﹣3．解法1：令等比数列{c n}的公比q=4m（m∈N*），则c n=c1q n﹣1=5×4m（n﹣1），设k=m（n﹣1），因为1+4+42+…+4k﹣1=，所以5×4m（n﹣1）=5×[3（1+4+42+…+4k﹣1）+1]，=3[5（1+4+42+…+4k﹣1）+2]﹣1，…（14分）因为5（1+4+42+…+4k﹣1）+2为正整数，所以数列{c n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列，因为公比q=4m（m∈N*）有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列{c n}有无数个．…（16分）解法2：设c2=4k2﹣3（k2≥3），所以公比q=．因为等比数列{b n}的各项为整数，所以q为整数，取k2=5m+2（m∈N*），则q=4m+1，故c n=5•（4m+1）n﹣1，由4k n﹣3=5•（4m+1）n﹣1得，k n=[5（4m+1）n﹣1+3]（n∈N*），=[（4m+1）n﹣1﹣（4m+1）n﹣2]=5m（4m+1）n﹣2，而当n≥2时，k n﹣k n﹣1即k n=k n﹣1+5m（4m+1）n﹣2，…（14分）又因为k1=2，5m（4m+1）n﹣2都是正整数，所以k n也都是正整数，所以数列{c n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列，因为公比q=4m+1（m∈N*）有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列{c n}有无数个．…（16分）【点评】本题考查了构造方法、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，推理能力与计算能力，属于难题．。

2018年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷

2018年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 已知集合A ={1, 2, 3, 4}，B ={2, 4, 5}，则A ∩B =________．2. 不等式xx+1≤0的解集为________．3. 已知sinα=45，则cos(α+π2)=________． 4. limn→∞3n −13n+1+1=________．5. 已知球的表面积为16π，则该球的体积为________．6. 已知函数f(x)=1+log a x ，y =f −1(x)是函数y =f(x)的反函数，若y =f −1(x)的图象过点(2, 4)，则a 的值为________．7. 若数列{a n }为等比数列，且a 5=3，则|a 2−a 7a 3a 8|=________．8. 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a +b +c)(a −b +c)=ac ，则B =________．9. 若(2x +1x )n 的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为________．10. 已知函数f(x)是定义在R 上且周期为4的偶函数，当x ∈[2, 4]时，f(x)=|log 4(x −32)|，则f (12)的值为________.11. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，2S n =a n ⋅a n+1(n ∈N ∗)．若b n =(−1)n 2n+1an ⋅a n+1，则数列{b n }的前n 项和T n =________．12. 若不等式x 2−2y 2≤cx(y −x)对任意满足x >y >0的实数x 、y 恒成立，则实数c 的最大值为________．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）设角α的始边为x 轴正半轴，则“α的终边在第一、二象限”是“sinα>0”的（） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件若直线 l 1和l 2 是异面直线，l 1在平面 α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（） A.l 与l 1，l 2都不相交 B.l 与l 1，l 2都相交C.l 至多与l 1，l 2中的一条相交D.l 至少与l 1，l 2中的一条相交对任意两个非零的平面向量α→和β→，定义α→⊗β→=|α→||β→|cosθ，其中θ为α→和β→的夹角，若两个非零的平面向量a →和b →满足：①|a →|≥|b →|；②a →和b →的夹角θ∈(0,π4)；③a →⊗b →和b →⊗a →的值都在集合{x|x =n2,n ∈N}中，则a →⊗b →的值为( )A.52B.32C.1D.12已知函数f(x)={2x,0≤x ≤122−2x,12<x ≤1 ，且f 1(x)=f(x)，f n (x)=f （f n−1(x)），n =1，2，3，…．则满足方程f n (x)=x 的根的个数为（） A.2n 个 B.2n 2个 C.2n 个 D.2(2n −1)个三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）如图，设长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =3，AA 1=4．（1）求四棱锥A 1−ABCD 的体积；（2）求异面直线A 1B 与B 1C 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）已知复数z 满足|z|=√2，z 2的虚部是2．（1）求复数z ；（2）设z ，z 2，z −z 2在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积.一根长为L 的铁棒AB 欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽AC =BD =2m ．（1）设∠BOD =θ，试将L 表示为θ的函数；（2）求L 的最小值，并说明此最小值的实际意义．已知函数f(x)=2x +2−x ．（1）求证：函数f(x)是偶函数；（2）设a ∈R ，求关于x 的函数y =22x +2−2x −2af(x)在x ∈[0, +∞)时的值域g(a)表达式；（3）若关于x 的不等式mf(x)≤2−x +m −1在x ∈(0, +∞)时恒成立，求实数m 的取值范围．已知数列{a n }满足：a 1=1，1an+1=√1a n2+4，n ∈N ∗．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列{b n }的前n 项和为S n ，且满足S n+1a n2=Sn a n+12+16n 2−8n −3，试确定b 1的值，使得数列{b n }为等差数列；（3）将数列{1a n2}中的部分项按原来顺序构成新数列{c n }，且c 1=5，求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列{c n }．参考答案与试题解析2018年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.【答案】{2, 4}【考点】交集及其运算【解析】利用交集定义直接求解．【解答】∵集合A={1, 2, 3, 4}，B={2, 4, 5}，∴A∩B={2, 4}．2.【答案】(−1, 0]【考点】其他不等式的解法【解析】分式不等式转化为其等价不等式组，解出即可．【解答】∵xx+1≤0，∴{x≤0x+1>0或{x≥0x+1<0，解得：−1<x≤0，3.【答案】−4【考点】运用诱导公式化简求值【解析】原式利用诱导公式化简，将sinα的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵sinα=45，∴cos(π2+α)=−sinα=−45．故答案为：−45.4.【答案】1【考点】极限及其运算【解析】分式同时除以3n ，当n →+∞时，(13)n →0，即可求得答案．【解答】lim n→∞3n −13n+1+1=limn→∞1−(13)n3+(13)n=13，∴ limn→∞3n −13n+1+1=13， 5.【答案】323π 【考点】球的体积和表面积【解析】通过球的表面积求出球的半径，然后求出球的体积【解答】一个球的表面积是16π，所以球的半径为：2，所以这个球的体积为：4π3×23=323π．6.【答案】 4【考点】反函数【解析】由y =f −1(x)的图象过点(2, 4)得函数y =f(x)的图象过点(4, 2)，把点(4, 2)代入y =f(x)的解析式求得a 的值．【解答】∵ y =f −1(x)的图象过点(2, 4)， ∴ 函数y =f(x)的图象过点(4, 2)，又f(x)=1+log a x ，∴ 2=1+log a 4，即a =4． 7.【答案】 18【考点】等比数列的性质【解析】根据题意，由矩阵的定义可得|a 2−a 7a 3a 8|=a 2⋅a 8−a 3⋅(−a 7)=a 2⋅a 8+a 3⋅a 7，进而由等比数列的性质可得a 2⋅a 8=a 3⋅a 7=9，计算即可得答案．【解答】a 2−a 7又由数列{a n }为等比数列，且a 5=3，则有a 2⋅a 8=a 3⋅a 7=9，则|a 2−a 7a 3a 8|=9+9=18；8.【答案】2π3【考点】余弦定理【解析】由条件利用余弦定理求得cosB 的值，可得B 的值．【解答】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∵ (a +b +c)(a −b +c)=ac ，即a 2+c 2−b 2=−ac ，又cosB =a 2+c 2−b 22ac=−12，∴ B =2π3，9.【答案】 1120 【考点】二项式定理的应用【解析】由已知求得n 值，写出二项展开式的通项，由x 的指数为0求得r 值，则答案可求．【解答】由题意可知，2n =256，解得n =8．∴ (2x +1x )n =(2x +1x )8，其展开式的通项T r+1=C 8r ∗(2x)8−r ∗(1x )r =28−r ∗C 8r ∗x 8−2r ，令8−2r =0，得r =4．∴ 该展开式中常数项的值为T 5=24∗C 84=1120．10.【答案】 12【考点】函数的周期性对数的运算性质函数的求值【解析】由函数的奇偶性与周期性把f (12)转化为求f (72)的值求解．【解答】解：∵ 函数f(x)是定义在R 上且周期为4的偶函数，又当x ∈[2,4]时，f(x)=|log 4(x −32)|， ∴ f (12)=f (72)=|log 4(72−32)|=|log 42|=lg2lg4=lg22lg2=12. 故答案为：12. 11.【答案】 −1+(−1)nn +1 【考点】数列的求和等差关系的确定【解析】根据数列的递推公式可得数列{a n }是以1为首项，以1为公差的等差数列，a n =n ，则b n =(−1)n 2n+1an ∗a n+1=(−1)n ⋅(1n +1n+1)，再分n 为偶数和奇数两种情况求出前n 项和．【解答】解：∵ 2S n =a n ⋅a n+1(n ∈N ∗)．当n ≥2时，2S n−1=a n−1⋅a n ，∴ 2a n =2S n −2S n−1=a n (a n+1−a n−1)， ∵ a 1=1， ∴ a n ≠0，∴ a n+1−a n−1=2， ∴ 公差d =1，∴ 数列{a n }是以1为首项，以1为公差的等差数列， ∴ a n =1+(n −1)=n ， ∴ b n =(−1)n ⋅2n+1an ⋅a n+1=(−1)n ⋅2n+1n(n+1)=(−1)n ⋅(1n +1n+1)，数列{b n }的前n 项和T n =−(1+12)+(12+13)−(13+14)+...+(−1)n ⋅(1n +1n+1)，当n 为偶数时，T n =−1+1n+1，当n 为奇数时，T n =−1+1n −(1n +1n+1)=−1−1n+1，综上所述T n =−1+(−1)n n+1，故答案为：−1+(−1)n n+1.【答案】2√2−4【考点】基本不等式及其应用【解析】不等式x2−2y2≤cx(y−x)对任意满足x>y>0的实数x、y恒成立，变形为c≤x2−2y2 xy−x2=(xy)2−2xy−(xy)2，令xy=t>1，可得c≤t2−2t−t2=f(t)，利用导数研究函数f(t)的单调性极值与最值即可得出．【解答】∵不等式x2−2y2≤cx(y−x)对任意满足x>y>0的实数x、y恒成立，∴c≤x2−2y2xy−x2=(xy)2−2xy−(xy)2，令xy=t>1，∴c≤t2−2t−t2=f(t)，f′(t)=t2−4t+2(t−t2)2=(t−2−√2)(t−2+√2)(t−t2)2，当t>2+√2时，f′(t)>0，函数f(t)单调递增；当1<t<2+√2时，f′(t)<0，函数f(t)单调递减．∴当t=2+√2时，f(t)取得最小值，f(2+√2)=2√2−4．∴实数c的最大值为2√2−4．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】“α的终边在第一、二象限”⇒“sinα>0”，“sinα>0”⇒“α的终边在第一、二象限或α的终边在x轴正半轴”，由此能求出结果．【解答】∵角α的始边为x轴正半轴，∴ “α的终边在第一、二象限”⇒“sinα>0”，“sinα>0”⇒“α的终边在第一、二象限或α的终边在x轴正半轴”，∴ “α的终边在第一、二象限”是“sinα>0”的充分非必要条件．【答案】D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】可以画出图形来说明l与l1，l2的位置关系，从而可判断出A，B，C是错误的，而对于D，可假设不正确，这样l便和l1，l2都不相交，这样可推出和l1，l2异面矛盾，这样便说明D正确．【解答】A．l与l1，l2可以相交，如图：∴ 该选项错误；B ．l 可以和l 1，l 2中的一个平行，如上图，∴ 该选项错误；C ．l 可以和l 1，l 2都相交，如下图：，∴ 该选项错误；D ．“l 至少与l 1，l 2中的一条相交”正确，假如l 和l 1，l 2都不相交； ∵ l 和l 1，l 2都共面； ∴ l 和l 1，l 2都平行；∴ l 1 // l 2，l 1和l 2共面，这样便不符合已知的l 1和l 2异面； ∴ 该选项正确．【答案】 B【考点】平面向量数量积的性质及其运算律数量积表示两个向量的夹角【解析】根据新定义求出a →⊗b →=|a →||b →|cosθ=n2，b →⊗a →=|b →||a →|cosθ=m2，m ∈N ，再根据夹角的范围求出mn =3，m ，n ∈N ，再根据第1个条件，即可求出m ，n 的值，问题得以解决【解答】解：∵ a →⊗b →=|a →||b →|cosθ=n2，b →⊗a →=|b →||a →|cosθ=m2，m ∈N ，由a →与b →的夹角θ∈(0, π4)，知cos 2θ=mn 4∈(12, 1)，故mn =3，m ，n ∈N ，∵ |a →|≥|b →|，∴ 0<b →⊗a →=m 2<1，∴ m =1，n =3， ∴ a →⊗b →=32，故选B .C【考点】函数迭代【解析】本题考查的知识点是归纳推理，方法是根据已知条件和递推关系，先求出f的1阶根的个数，2阶根的个数，然后总结归纳其中的规律，f的n阶根的个数．【解答】当x∈[0, 12]时，f1(x)=f(x)=2x=x，解得x=0；当x∈(12, 1]时，f1(x)=f(x)=2−2x=x，解得x=23，∴f的1阶根的个数是2．当x∈[0, 14]时，f1(x)=f(x)=2x，f2(x)=4x=x，解得x=0；当x∈(14, 12]时，f1(x)=f(x)=2x，f2(x)=2−4x=x，解得x=25；当x∈(12, 34]时，f1(x)=2−2x，f2(x)=−2+4x=x，解得x=23；当x∈(34, 1]时，f1(x)=2−2x，f2(x)=4−4x=x，解得x=45．∴f的2阶根的个数是22．依此类推∴f的n阶根的个数是2n．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）【答案】∵A1到平面ABCD的距离d=AA1=4，长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=3，∴S正方体ABCD=AB×BC=3×3=9，∴四棱锥A1−ABCD的体积V=13×AA1×S正方体ABCD=13×4×9=12．∵A1B // D1C，∴∠D1CB1是异面直线A1B与B1C所成角（或所成角的补角），∵B1D1=√9+9=3√2，B1C=D1C=√9+16=5，∴cos∠D1CB1=B1C2+D1C2−B1D122×B1C×D1C =25+25−182×5×5=1625，∴∠D1CB1=arccos1625．∴异面直线A1B与B1C所成角为arccos1625．柱体、锥体、台体的体积计算异面直线及其所成的角【解析】（1）A1到平面ABCD的距离d=AA1=4，S正方体ABCD=AB×BC=9，由此能求出四棱锥A1−ABCD的体积．（2）由A1B // D1C，知∠D1CB1是异面直线A1B与B1C所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线A1B与B1C所成角．【解答】∵A1到平面ABCD的距离d=AA1=4，长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=3，∴S正方体ABCD=AB×BC=3×3=9，∴四棱锥A1−ABCD的体积V=13×AA1×S正方体ABCD=13×4×9=12．∵A1B // D1C，∴∠D1CB1是异面直线A1B与B1C所成角（或所成角的补角），∵B1D1=√9+9=3√2，B1C=D1C=√9+16=5，∴cos∠D1CB1=B1C2+D1C2−B1D122×B1C×D1C =25+25−182×5×5=1625，∴∠D1CB1=arccos1625．∴异面直线A1B与B1C所成角为arccos1625．【答案】解：（1）设z=a+bi(a,b∈R)，则z2=a2−b2+2abi，由题意得a2+b2=2且2ab=2，解得a=b=1或a=b=−1，所以z=1+i或z=−1−i.（2）当z=1+i时，z2=2i，z−z2=1−i，所以A(1,1)，B(0,2)，C(1,−1)，所以S△ABC=1；当z=−1−i时，z2=2i，z−z2=−1−3i，所以A(−1,−1)，B(0,2)，C(−1,−3)，所以S△ABC=1．综上，△ABC的面积为1．【考点】复数的运算【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）设z=a+bi(a,b∈R)，则z2=a2−b2+2abi，由题意得a2+b2=2且2ab=2，解得a=b=1或a=b=−1，所以z=1+i或z=−1−i.（2）当z=1+i时，z2=2i，z−z2=1−i，所以A(1,1)，B(0,2)，C(1,−1)，所以S△ABC=1；当z=−1−i时，z2=2i，z−z2=−1−3i，所以A(−1,−1)，B(0,2)，C(−1,−3)，所以S△ABC=1．综上，△ABC的面积为1．【答案】∵走廊的宽AC=BD=2m．∠BOD=∠BAC=θ，∴L=2sinθ+2cosθ；∵L=2sinθ+2cosθ∴L′=−2cosθsin2θ+2sinθcos2θ．∵θ∈(0, π4)，L′<0，L为减函数；θ∈(π4, π2)，L′>0，L为增函数；∴θ=π4时，L取最小值4√2，该最小值表示：超过4√2则无法通过．【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）利用直角三角形中的边角关系，求得L的解析式．（2）求导，分析导函数的符号，进而可得L的最值，进而得到最值的含义．【解答】∵走廊的宽AC=BD=2m．∠BOD=∠BAC=θ，∴L=2sinθ+2cosθ；∵L=2sinθ+2cosθ∴L′=−2cosθsin2θ+2sinθcos2θ．∵θ∈(0, π4)，L′<0，L为减函数；θ∈(π4, π2)，L′>0，L为增函数；∴θ=π4时，L取最小值4√2，该最小值表示：超过4√2则无法通过．【答案】∵ 函数f(x)=2x +2−x 的定义域关于原点对称，且f(−x)=2−x +2x =2x +2−x =f(x)，故函数f(x)是偶函数；令t =f(x)=2x +2−x ．则t ≥2，22x +2−2x =t 2−2y =22x +2−2x −2af(x)=t 2−2at −2，当a ≤2时，当t =2时，函数取最小值2−4a ，无最大值；此时函数的值域为[2−4a, +∞)，a >2时，当t =a 时，函数取最小值−a 2−2，无最大值；此时值域为[−a 2−2, +∞)；若关于x 的不等式mf(x)≤2−x +m −1在x ∈(0, +∞)时恒成立即m(2x +2−x )≤2−x +m −1在x ∈(0, +∞)时恒成立即m ≤2−x −12x +2−x −1=1−2x2x +2−x −1=1−1(2−x )2−2−x +1在x ∈(0, +∞)时恒成立当x =1时，2−x =12，此时(2−x )2−2−x +1取最小值34，故1(2−x )2−2−x +1取最大值43，故1−1(2−x )2−2−x +1取最小值−13 故m ≤−13．【考点】函数解析式的求解及常用方法函数奇偶性的性质【解析】（1）利用奇偶性的定义，可得函数f(x)是偶函数；（2）令t =f(x)=2x +2−x ．则t ≥2，22x +2−2x =t 2−2，y =22x +2−2x −2af(x)=t 2−2at −2，结合二次函数的性质分类讨论，可得不同情况下，函数的值域；（3）若关于x 的不等式mf(x)≤2−x +m −1在x ∈(0, +∞)时恒成立，即m ≤2−x −12x +2−x −1在x ∈(0, +∞)时恒成立，求出2−x −12x +2−x −1的最小值，可得答案．【解答】∵ 函数f(x)=2x +2−x 的定义域关于原点对称，且f(−x)=2−x +2x =2x +2−x =f(x)，故函数f(x)是偶函数；令t =f(x)=2x +2−x ．则t ≥2，22x +2−2x =t 2−2y =22x +2−2x −2af(x)=t 2−2at −2，当a ≤2时，当t =2时，函数取最小值2−4a ，无最大值；此时函数的值域为[2−4a, +∞)，a >2时，当t =a 时，函数取最小值−a 2−2，无最大值；此时值域为[−a 2−2, +∞)；若关于x 的不等式mf(x)≤2−x +m −1在x ∈(0, +∞)时恒成立即m(2x +2−x )≤2−x +m −1在x ∈(0, +∞)时恒成立即m ≤2−x −12x +2−x −1=1−2x2x +2−x −1=1−1(2−x )2−2−x +1在x ∈(0, +∞)时恒成立当x =1时，2−x =12，此时(2−x )2−2−x +1取最小值34，故1(2−x )2−2−x +1取最大值43，故1−1(2−x )2−2−x +1取最小值−13 故m ≤−13．【答案】1a n+1=√1a n2+4，则1a n+12−1a n2=4，n ∈N ∗∴ 数列{1a n2}是以1为首项，以4为公差的等差数列，则1a n2=1+4(n −1)=4n −3，∴ a n =√4n−3，∴ 数列{a n }的通项公式a n =√4n−3；由（1）可得a n =√4n−3， ∵S n+1a n2=S na n+12+16n 2−8n −3，∴ (4n −3)S n+1=(4n +1)S n +16n 2−8n −3，∴ S n+14n+1−Sn4n−3=1， ∴ 数列{S n 4n−3}是等差数列，首项为S 1，公差为1．∴ Sn4n−3=b 1+n −1， ∴ S n =(b 1+n −1)(4n −3)，当n ≥2时，b n =S n −S n−1=(b 1+n −1)(4n −3)−(b 1+n −2)(4n −7)，化为b n =4b 1+8n −11，若数列{b n }为等差数列，则上式对于n =1时也成立，∴ b 1=4b 1−3，解得b 1=1．∴ b n =8n −7为等差数列． ∴ b 1=1，数列{b n }为等差数列；证明：由（1）可得1a n2=4n −3．解法1：令等比数列{c n }的公比q =4m (m ∈N ∗)，则c n =c 1q n−1=5×4m(n−1)，设k =m(n −1)，因为1+4+42+...+4k−1=4k −13，所以5×4m(n−1)=5×[3(1+4+42+...+4k−1)+1]， =3[5(1+4+42+...+4k−1)+2]−1，因为5(1+4+42+...+4k−1)+2为正整数，所以数列{c n }是数列{a n }中包含的无穷等比数列，因为公比q =4m (m ∈N ∗)有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列{c n }有无数个．解法2：设c 2=4k 2−3(k 2≥3)，所以公比q =4k 2−35．因为等比数列{b n }的各项为整数，所以q 为整数，取k 2=5m +2(m ∈N ∗)，则q =4m +1，故c n =5⋅(4m +1)n−1，由4k n −3=5⋅(4m +1)n−1得，k n =14[5(4m +1)n−1+3](n ∈N ∗)，而当n ≥2时，k n −k n−1=54[(4m +1)n−1−(4m +1)n−2]=5m(4m +1)n−2，即k n =k n−1+5m(4m +1)n−2，又因为k 1=2，5m(4m +1)n−2都是正整数，所以k n 也都是正整数，所以数列{c n }是数列{a n }中包含的无穷等比数列，因为公比q =4m +1(m ∈N ∗)有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列{c n }有无数个．【考点】数列递推式【解析】（1）由a 1=1，两边平方化简可得1a n+12−1a n2=4，则数列{1an2}是以1为首项，以4为公差的等差数列，根据等差数列的通项公式即可求得1a n2，即可求得数列{a n }的通项公式；（2）由（1）可得化简整理S n+14n+1−S n 4n−3=1，得利用等差数列的通项公式可得：Sn 4n−3=b 1+n −1，即S n =(b 1+n −1)(4n −3)，当n ≥2时，b n =S n −S n−1，化为b n =4b 1+8n −11，取n =1即可得出；（3）解法1：令等比数列{c n }的公比q =4m (m ∈N ∗)，则c n =c 1q n−1=5×4m(n−1)，设k =m(n −1)，可得5×4m(n−1)=3[5(1+4+42+...+4k−1)+2]−1，…．因为5(1+4+42+...+4k−1)+2为正整数，可得数列{c n }是数列{a n }中包含的无穷等比数列，进而证明结论．解法2：设c 2=4k 2−3(k 2≥3)，所以公比q =4k 2−35，由等比数列{c n }的各项为整数，则q 为整数，取q =4m +1，故c n =5⋅(4m +1)n−1，利用等差数列定义可得k n 是正整数，因此以数列{c n }是数列{a n }中包含的无穷等比数列，即可证明．【解答】1a n+1=√1a n2+4，则1a n+12−1a n2=4，n ∈N ∗∴ 数列{1a n2}是以1为首项，以4为公差的等差数列，则1a n2=1+4(n −1)=4n −3，∴ a n =√4n−3，∴ 数列{a n }的通项公式a n =√4n−3；由（1）可得a n =√4n−3， ∵S n+1a n2=Sn a n+12+16n 2−8n −3，∴ (4n −3)S n+1=(4n +1)S n +16n 2−8n −3，∴ S n+14n+1−Sn4n−3=1， ∴ 数列{S n 4n−3}是等差数列，首项为S 1，公差为1．∴ Sn4n−3=b 1+n −1，∴S n=(b1+n−1)(4n−3)，当n≥2时，b n=S n−S n−1=(b1+n−1)(4n−3)−(b1+n−2)(4n−7)，化为b n= 4b1+8n−11，若数列{b n}为等差数列，则上式对于n=1时也成立，∴b1=4b1−3，解得b1=1．∴b n=8n−7为等差数列．∴b1=1，数列{b n}为等差数列；证明：由（1）可得1a n2=4n−3．解法1：令等比数列{c n}的公比q=4m(m∈N∗)，则c n=c1q n−1=5×4m(n−1)，设k=m(n−1)，因为1+4+42+...+4k−1=4k−13，所以5×4m(n−1)=5×[3(1+4+42+...+4k−1)+1]，=3[5(1+4+42+...+4k−1)+2]−1，因为5(1+4+42+...+4k−1)+2为正整数，所以数列{c n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列，因为公比q=4m(m∈N∗)有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列{c n}有无数个．解法2：设c2=4k2−3(k2≥3)，所以公比q=4k2−35．因为等比数列{b n}的各项为整数，所以q为整数，取k2=5m+2(m∈N∗)，则q=4m+1，故c n=5⋅(4m+1)n−1，由4k n−3=5⋅(4m+1)n−1得，k n=14[5(4m+1)n−1+3](n∈N∗)，而当n≥2时，k n−k n−1=54[(4m+1)n−1−(4m+1)n−2]=5m(4m+1)n−2，即k n=k n−1+5m(4m+1)n−2，又因为k1=2，5m(4m+1)n−2都是正整数，所以k n也都是正整数，所以数列{c n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列，因为公比q=4m+1(m∈N∗)有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列{c n}有无数个．。

2018年长宁区高考数学二模含标准答案

20１8年长宁(嘉定)区高考数学二模含答案考生注意:1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码.２.解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写,超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分.3.本试卷共有21道试题,满分１５0分,考试时间120分钟.一.填空题(本大题共有1２题,满分54分,第1～6题每题４分，第７～１２题每题５分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.已知集合},2,1{m A =，}4,2{=B ，若}4,3,2,1{=B A ，则实数=m _______．2.n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式中的第3项为常数项,则正整数=n _________＿_. 3.已知复数z 满足i 342+=z （i 为虚数单位），则=||z __________＿_．4．已知平面直角坐标系xOy 中动点),(y x P 到定点)0,1(的距离等于P 到定直线1-=x 的距离,则点P 的轨迹方程为_＿＿__＿＿__＿＿_＿＿.5．已知数列}{n a 是首项为1,公差为2的等差数列，n S 是其前n 项和,则=∞→2lim nn n a S _＿_____. ６.设变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≥,043,04,1y x y x x 则目标函数y x z -=3的最大值为_____＿_＿_.7.将圆心角为32π，面积为π3的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为____＿______. 8.三棱锥ABC P -及其三视图中的主视图和左视图如下图所示，则棱PB 的长为＿___＿__＿.9．某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0、1、2、3的四个相同小球的抽奖箱中,每次取出一球记下编号后放回,连续取两次，若取出的两个小球编号相加之和等于6,则中一等奖，等于5中二等奖,等于4或3中三等奖.则顾客抽奖中三左视图 P A C 主视图等奖的概率为_＿______＿＿_＿.10．已知函数)1lg()(2ax x x f ++=的定义域为R ,则实数a 的取值范围是_＿__＿____．１1.在△ABC 中,M 是BC 的中点,︒=∠120A ,21-=⋅AC AB ,则线段AM 长的最小值为__＿_＿＿____＿_.12．若实数x 、y 满足112244+++=+y x y x ，则y x S 22+=的取值范围是＿＿＿_________.二．选择题（本大题共有４题，满分20分，每题５分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.1３.“2=x ”是“1≥x ”的………………………………………………………………( )．（Ａ)充分非必要条件 (B)必要非充分条件(C)充分必要条件（Ｄ）既非充分又非必要条件1４.参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=2,4322t y t x (t 为参数,且30≤≤t )所表示的曲线是………………（）. （Ａ)直线 (Ｂ）圆弧 (C ）线段（D ）双曲线的一支15．点P 在边长为1的正方形ABCD 的边上运动，M 是CD 的中点,则当P 沿M C B A ---运动时，点P 经过的路程x 与△APM 的面积y 的函数)(x f y =的图像的形状大致是下图中的……………………………………………………………( ）（A ）（B ） (C) (Ｄ)１６．在计算机语言中,有一种函数)(x INT y =叫做取整函数(也叫高斯函数)，它表示y 等于不超过x 的最大整数,如0)9.0(=INT ,3)14.3(=INT .已知⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=n n INT a 1072，11a b =，110--=n n n a a b (*N ∈n 且2≥n )，则2018b 等于………………………（）．(A ）2 (Ｂ)5 （C ）7 （D ）8（反面还有试。

2018年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷及答案

2018年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，5}，那么A∩B= ．2．（4分）不等式的解集为．3．（4分）已知，那么= ．4．（4分）= ．5．（4分）已知球的表面积为16π，那么该球的体积为．6．（4分）已知函数f（x）=1+log a x，y=f﹣1（x）是函数y=f（x）的反函数，假设y=f﹣1（x）的图象过点（2，4），那么a的值为．7．（5分）假设数列{a n}为等比数列，且a5=3，那么= ．8．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边别离为a，b，c，（a+b+c）（a﹣b+c）=ac，那么B= ．9．（5分）假设的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，那么该展开式中常数项的值为．10．（5分）已知函数f（x）是概念在R上且周期为4的偶函数，当x∈[2，4]时，，那么的值为．11．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，2S n=a n•a n+1（n∈N*）．假设b n=（﹣1）n，那么数列{b n}的前n项和T n= ．12．（5分）假设不等式x2﹣2y2≤cx（y﹣x）对任意知足x＞y＞0的实数x、y恒成立，那么实数c的最大值为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）设角α的始边为x轴正半轴，那么“α的终边在第一、二象限”是“sinα＞0”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件14．（5分）假设直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，那么以下命题正确的选项是（）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l最多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交15．（5分）对任意两个非零的平面向量和，概念，其中θ为和的夹角，假设两个非零的平面向量和知足：①；②和的夹角；③和的值都在集合中，那么的值为（）A ．B ．C ．1D ．16．（5分）已知函数，且f 1（x ）=f （x ），f n （x ）=f （f n﹣1（x ）），n=1，2，3，…．那么知足方程f n （x ）=x 的根的个数为（）A ．2n 个B ．2n 2个C ．2n 个D ．2（2n ﹣1）个三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，设长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=3，AA 1=4．（1）求四棱锥A 1﹣ABCD 的体积；（2）求异面直线A 1B 与B 1C 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18．（14分）已知复数z 知足，z 2的虚部为2．（1）求复数z ；（2）设z 、z 2、z ﹣z 2在复平面上的对应点别离为A 、B 、C ，求△ABC 的面积． 19．（14分）一根长为L 的铁棒AB 欲通过如下图的直角走廊，已知走廊的宽AC=BD=2m ．（1）设∠BOD=θ，试将L 表示为θ的函数；（2）求L 的最小值，并说明此最小值的实际意义．20．（16分）已知函数f（x）=2x+2﹣x．（1）求证：函数f（x）是偶函数；（2）设a∈R，求关于x的函数y=22x+2﹣2x﹣2af（x）在x∈[0，+∞）时的值域g（a）表达式；（3）假设关于x的不等式mf（x）≤2﹣x+m﹣1在x∈（0，+∞）时恒成立，求实数m的取值范围．21．（18分）已知数列{an }知足：a1=1，，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn }的前n项和为Sn，且知足，试确信b1的值，使得数列{bn}为等差数列；（3）将数列中的部份项按原先顺序组成新数列{cn }，且c1=5，求证：存在无数个知足条件的无穷等比数列{cn}．2018年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，5}，那么A∩B= {2，4} ．【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，B={2，4，5}，∴A∩B={2，4}．故答案为：{2，4}．2．（4分）不等式的解集为（﹣1，0] ．【解答】解：∵，∴或，解得：﹣1＜x≤0，故答案为（﹣1，0]．3．（4分）已知，那么= ．【解答】解：∵sinα=，∴cos（+α）=﹣sinα=﹣．故答案为：﹣4．（4分）= ．【解答】解：==，∴=，故答案为：．5．（4分）已知球的表面积为16π，那么该球的体积为．【解答】解：一个球的表面积是16π，因此球的半径为：2，因此那个球的体积为：=．故答案为：．6．（4分）已知函数f（x）=1+logx，y=f﹣1（x）是函数y=f（x）的反函数，假a设y=f﹣1（x）的图象过点（2，4），那么a的值为 4 ．【解答】解：∵y=f﹣1（x）的图象过点（2，4），∴函数y=f（x）的图象过点（4，2），x，又f（x）=1+loga∴2=1+loga4，即a=4．故答案为：4．7．（5分）假设数列{an }为等比数列，且a5=3，那么= 18 ．【解答】解：依照题意，=a2•a8﹣a3•（﹣a7）=a2•a8+a3•a7，又由数列{an }为等比数列，且a5=3，那么有a2•a8=a3•a7=9，则=9+9=18；故答案为：18．8．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边别离为a，b，c，（a+b+c）（a﹣b+c）=ac，那么B= ．【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边别离为a，b，c，∵（a+b+c）（a﹣b+c）=ac，即a2+c2﹣b2=﹣ac，又cosB==﹣，∴B=，故答案为：．9．（5分）假设的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，那么该展开式中常数项的值为1120 ．【解答】解：由题意可知，2n=256，解得n=8．∴=，其展开式的通项=，令8﹣2r=0，得r=4．∴该展开式中常数项的值为．故答案为：1120．10．（5分）已知函数f（x）是概念在R上且周期为4的偶函数，当x∈[2，4]时，，那么的值为．【解答】解：∵函数f（x）是概念在R上且周期为4的偶函数，∴，又当x∈[2，4]时，，∴f（）=f（）=．故答案为：．11．（5分）已知数列{an }的前n项和为Sn，且a1=1，2Sn=an•an+1（n∈N*）．假设bn =（﹣1）n，那么数列{bn}的前n项和Tn= ﹣1+．【解答】解：∵2S n =a n •a n+1（n ∈N *）．当n ≥2时，2S n ﹣1=a n ﹣1•a n ， ∴2a n =2S n ﹣2S n ﹣1=a n （a n+1﹣a n ﹣1）， ∵a 1=1， ∴a n ≠0∴a n+1﹣a n ﹣1=2，∴（a n+1﹣a n ）+（a n ﹣a n ﹣1）=2， ∴a n ﹣a n ﹣1=1，∴数列{a n }是以1为首项，以1为公差的等差数列， ∴a n =1+（n ﹣1）=n ， ∴b n =（﹣1）n=（﹣1）n •=（﹣1）n •（+），数列{b n }的前n 项和T n =﹣（1+）+（+）﹣（+）+…+（﹣1）n •（+），当n 为偶数时，T n =﹣1+，当n 为奇数时，T n =﹣1+﹣（+）=﹣1﹣，综上所述T n =﹣1+，故答案为：﹣1+．12．（5分）假设不等式x 2﹣2y 2≤cx （y ﹣x ）对任意知足x ＞y ＞0的实数x 、y恒成立，那么实数c的最大值为2﹣4 ．【解答】解：∵不等式x2﹣2y2≤cx（y﹣x）对任意知足x＞y＞0的实数x、y恒成立，∴c≤=，令，∴=f（t），f′（t）==，当t时，f′（t）＞0，函数f（t）单调递增；当1＜t＜时，f′（t）＜0，函数f（t）单调递减．∴当t=2+时，f（t）取得最小值，=2﹣4．∴实数c的最大值为2﹣4．故答案为：﹣4．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）设角α的始边为x轴正半轴，那么“α的终边在第一、二象限”是“sinα＞0”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：∵角α的始边为x轴正半轴，∴“α的终边在第一、二象限”⇒“sinα＞0”，“sinα＞0”⇒“α的终边在第一、二象限或α的终边在x轴正半轴”，∴“α的终边在第一、二象限”是“sinα＞0”的充分非必要条件．应选：A．14．（5分）假设直线 l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，那么以下命题正确的选项是（）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l最多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交【解答】解：A．l与l1，l2能够相交，如图：∴该选项错误；B．l能够和l1，l2中的一个平行，如上图，∴该选项错误；C．l能够和l1，l2都相交，如以下图：，∴该选项错误；D．“l至少与l1，l2中的一条相交”正确，假设l和l1，l2都不相交；∵l和l1，l2都共面；∴l和l1，l2都平行；∴l1∥l2，l1和l2共面，如此便不符合已知的l1和l2异面；∴该选项正确．应选D．15．（5分）对任意两个非零的平面向量和，概念，其中θ为和的夹角，假设两个非零的平面向量和知足：①；②和的夹角；③和的值都在集合中，那么的值为（）A．B．C．1 D．【解答】解：∵=cosθ=，=cosθ=，m∈N，由与的夹角θ∈（0，），知cos2θ=∈（，1），故mn=3，m，n∈N，∵， ∴0＜=＜1，∴m=1，n=3， ∴=，应选：B ．16．（5分）已知函数，且f 1（x ）=f （x ），f n （x ）=f （f n﹣1（x ）），n=1，2，3，…．那么知足方程f n （x ）=x 的根的个数为（）A ．2n 个B ．2n 2个C ．2n 个D ．2（2n ﹣1）个【解答】解：当x ∈[0，]时，f 1（x ）=f （x ）=2x=x ，解得x=0；当x ∈（，1]时，f 1（x ）=f （x ）=2﹣2x=x ，解得x=， ∴f 的1阶根的个数是2．当x ∈[0，]时，f 1（x ）=f （x ）=2x ，f 2（x ）=4x=x ，解得x=0；当x ∈（，]时，f 1（x ）=f （x ）=2x ，f 2（x ）=2﹣4x=x ，解得x=；当x ∈（，]时，f 1（x ）=2﹣2x ，f 2（x ）=﹣2+4x=x ，解得x=；当x ∈（，1]时，f 1（x ）=2﹣2x ，f 2（x ）=4﹣4x=x ，解得x=． ∴f 的2阶根的个数是22．依此类推∴f的n阶根的个数是2n．应选C．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，设长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4．（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与B1C所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【解答】解：（1）∵A1到平面ABCD的距离d=AA1=4，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=3，∴S正方体ABCD=AB×BC=3×3=9，∴四棱锥A1﹣ABCD的体积V==．（2）∵A1B∥D1C，∴∠D1CB1是异面直线A1B与B1C所成角（或所成角的补角），∵B1D1==3，B1C=D1C==5，∴cos∠D1CB1===，∴∠D1CB1=arccos．∴异面直线A1B与B1C所成角为．18．（14分）已知复数z知足，z2的虚部为2．（1）求复数z；（2）设z、z2、z﹣z2在复平面上的对应点别离为A、B、C，求△ABC的面积．【解答】解：（1）设z=a+bi（a，b∈R），由已知可得：，即，解得或．∴z=1+i或z=﹣1﹣i；（2）当z=1+i时，z2=2i，z﹣z2=1﹣i，∴A（1，1），B（0，2），C（1，﹣1），故△ABC的面积S=×2×1=1；当z=﹣1﹣i时，z2=2i，z﹣z2=﹣1﹣3i，∴A（﹣1，﹣1），B（0，2），C（﹣1，﹣3），故△ABC的面积S=×2×1=1．∴△ABC的面积为1．19．（14分）一根长为L的铁棒AB欲通过如下图的直角走廊，已知走廊的宽AC=BD=2m．（1）设∠BOD=θ，试将L表示为θ的函数；（2）求L的最小值，并说明此最小值的实际意义．【解答】解：（1）∵走廊的宽AC=BD=2m．∠BOD=∠BAC=θ，∴；（2）∵∴．∵θ∈（0，），L′＜0，L为减函数；θ∈（，），L′＞0，L为增函数；∴θ=时，L取最小值4，该最小值表示：超过那么无法通过．20．（16分）已知函数f（x）=2x+2﹣x．（1）求证：函数f（x）是偶函数；（2）设a∈R，求关于x的函数y=22x+2﹣2x﹣2af（x）在x∈[0，+∞）时的值域g（a）表达式；（3）假设关于x的不等式mf（x）≤2﹣x+m﹣1在x∈（0，+∞）时恒成立，求实数m的取值范围．【解答】证明：（1）∵函数f（x）=2x+2﹣x的概念域关于原点对称，且f（﹣x）=2﹣x+2x=2x+2﹣x=f（x），故函数f（x）是偶函数；解：（2）令t=f（x）=2x+2﹣x．那么t≥2，22x+2﹣2x=t2﹣2y=22x+2﹣2x﹣2af（x）=t2﹣2at﹣2，当a≤2时，当t=2时，函数取最小值2﹣4a，无最大值；现在函数的值域为[2﹣4a，+∞），a＞2时，当t=a时，函数取最小值﹣a2﹣2，无最大值；现在值域为[﹣a2﹣2，+∞）；（3）假设关于x的不等式mf（x）≤2﹣x+m﹣1在x∈（0，+∞）时恒成立即m（2x+2﹣x）≤2﹣x+m﹣1在x∈（0，+∞）时恒成立即m≤=1﹣=1﹣在x∈（0，+∞）时恒成立当x=1时，2﹣x=，现在（2﹣x）2﹣2﹣x+1取最小值，故取最大值，故1﹣取最小值﹣故．21．（18分）已知数列{an }知足：a1=1，，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn }的前n项和为Sn，且知足，试确信b1的值，使得数列{bn}为等差数列；（3）将数列中的部份项按原先顺序组成新数列{cn }，且c1=5，求证：存在无数个知足条件的无穷等比数列{cn}．【解答】解：（1），那么﹣=4，n∈N*∴数列{}是以1为首项，以4为公差的等差数列，那么=1+4（n﹣1）=4n ﹣3，∴，∴数列{an}的通项公式；（2）由（1）可得，∵，∴（4n﹣3）Sn+1=（4n+1）Sn+16n2﹣8n﹣3，∴﹣=1，∴数列{}是等差数列，首项为S1，公差为1．∴=b1+n﹣1，∴Sn =（b1+n﹣1）（4n﹣3），当n≥2时，bn =Sn﹣Sn﹣1=（b1+n﹣1）（4n﹣3）﹣（b1+n﹣2）（4n﹣7），化为bn=4b1+8n﹣11，假设数列{bn}为等差数列，那么上式关于n=1时也成立，∴b1=4b1﹣3，解得b1=1．∴bn=8n﹣7为等差数列．∴b1=1，数列{bn}为等差数列；（3）证明：由（1）可得=4n﹣3．解法1：令等比数列{cn }的公比q=4m（m∈N*），那么cn=c1q n﹣1=5×4m（n﹣1），设k=m（n﹣1），因为1+4+42+…+4k﹣1=，因此5×4m（n﹣1）=5×[3（1+4+42+…+4k﹣1）+1]，=3[5（1+4+42+…+4k﹣1）+2]﹣1，…（14分）因为5（1+4+42+…+4k﹣1）+2为正整数，因此数列{cn }是数列{an}中包括的无穷等比数列，因为公比q=4m（m∈N*）有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列{cn}有无数个．…（16分）解法2：设c2=4k2﹣3（k2≥3），因此公比q=．因为等比数列{bn}的各项为整数，因此q为整数，取k2=5m+2（m∈N*），那么q=4m+1，故cn=5•（4m+1）n﹣1，由4kn ﹣3=5•（4m+1）n﹣1得，kn=[5（4m+1）n﹣1+3]（n∈N*），而当n≥2时，kn ﹣kn﹣1=[（4m+1）n﹣1﹣（4m+1）n﹣2]=5m（4m+1）n﹣2，即kn =kn﹣1+5m（4m+1）n﹣2，…（14分）又因为k1=2，5m（4m+1）n﹣2都是正整数，因此kn也都是正整数，因此数列{cn }是数列{an}中包括的无穷等比数列，因为公比q=4m+1（m∈N*）有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列{cn}有无数个．…（16分）。

2018届长宁、嘉定区高考数学二模(附答案)

2018届长宁、嘉定区高考数学二模(附答案)D（2）设,,A B C 为ABC的三个内角，若1cos ,()23Bf A ，求sin C 的值．18. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD 为直角梯形，90,//,2BADAD BC AB，1AD ，4PA BC，PA 平面ABCD ．（1）求异面直线BD 与PC 所成角的大小；（2）求二面角APC D的余弦值．19. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）某创新团队拟开发一种新产品，根据市场调查估计能获得10万元到1000万元的收益，先准备制定一个奖励方案：奖金y （单位：万元）随收益x （单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过收益的20%．（1）若建立函数()yf x 模型制定奖励方案，试用数学语言表示该团队对奖励函数()f x 模型的基本要求，并分析2150xy是否符合团队要求的奖励函数模型，并说明原因；（2）若该团队采用模型函数103()2x a f x x 作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a 的值．20. （本题满分16分，第1小题4分，第2小题5分，第3小题7分）已知椭圆2222:1(0)x y abab 的焦距为3点(0,2)P 关于直线yx的对称点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）如图，过点P 的直线l 与椭圆交于两个不同的点,C D（点C 在点D 的上方），试求COD面积的最大值；（3）若直线m 经过点(1,0)M ，且与椭圆交于两个不同的点,A B ，是否存在直线0:l xx （其中02x），使得,A B 到直线0l的距离,A Bdd 满足ABMAddMB恒成立？若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由．21. （本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知数列{}na 的各项均为正数，其前n 项和为nS ，且满足241n nS a ，若数列{}nb 满足122,4bb ，且等式211nn nbb b 对任意2n 成立．（1）求数列{}na 的通项公式；（2）将数列{}na 与{}nb 的项相间排列构成新数列1122,,,,,,,n n a b a b a b ，设该新数列为{}nc ，求数列{}nc 的通项公式和前2n 项的和2nT ；（3）对于（2）中的数列{}nc 前n 项和nT ，若λnnTc 对任意*nN 都成立，求实数λ的取值范围．参考答案一、填空题1. 3m2. 43.54.24y x5. 146. 47. 228. 429.71610. [1,1]11. 1212. (2,4]二、选择题13. A 14. C 15. A 16. D 三、解答题17、（1）T π=，值域为[]0,2；（2）23618、（1）2π；（2）1626519、（1）不符合；（2）32820、（1）2214x y +=；（2）1；（3）04x = 21、（1）21n a n =-；（2）()2,21,2,2n n n n k c k N n k*=-⎧⎪=∈⎨⎪=⎩；21222n n T n +=+-（3）1λ≤。

2018学年上海高三数学二模分类汇编——二项式定理

2（2018徐汇二模）. 在61()x x +的二项展开式中，常数项是（结果用数值表示） 2（2018长嘉二模）. 1()n x x +的展开式中的第3项为常数项，则正整数n = 3（2018杨浦二模）. 若(13)n x +的二项展开式中2x 项的系数是，则 5（2018浦东二模）. 91)x+二项展开式中的常数项为 6（2018普陀二模）. 若321()n x x-的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为 7（2018崇明二模）. 若二项式7(2)a x x+的展开式中一次项的系数是70-，则23lim()n n a a a a →∞+++⋅⋅⋅+= 8（2018虹口二模）. 若将函数6()f x x =表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x =+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则3a 的值等于 8（2018青浦二模）. 621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 9（2018金山二模）. (12)n x +的二项展开式中，含3x 项的系数等于含x 项的系数的8倍，则正整数n =10（2018奉贤二模）. 代数式2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是（用数字作答） 12（2018闵松二模）. 设*n N ∈，n a 为(4)(1)n n x x +-+的展开式的各项系数之和，324c t =-，t ∈R ，1222[][][]555n n n na a a b =++⋅⋅⋅+（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n n t b c -++的最小值为14（2018宝山二模）. 在62()x x -的二项展开式中，常数项等于（）A. 160-B. 160C. 150-D. 15014（2018黄浦二模）.二项式40的展开式中，其中是有理项的项数共有（） A. 4项 B. 7项 C. 5项 D. 6项16（2018金山二模）. 若对任意1(,1)2x ∈-，都有2012212n n x a a x a x a x x x=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-，则23a a +的值等于（）A. 3B. 2C. 1D. 1-54n =。

高三数学下学期二模试题文上海长宁、嘉定二模沪教版

上海市长宁、嘉定区高三第二次模拟数学（文）一．填空题（本大题满分56分，共14小题，每小题4分） 1．函数)32sin()(π+=x x f 的最小正周期是__________．2．若关于x 的不等式2230x x a -+<的解集为(,1)m ，则实数=m _________． 3．（文）已知集合{}{}Z x x B a A x ∈<<=-=,931,,0,1，若A B ≠∅，则实数a 的值是． 4．已知复数z 知足1iz -＝3，则复数z 的实部与虚部之和为__________． 5．求值：1220132013201320132013124(2)C C C -+-+-=___________．6．已知向量||).,5(),2,2(k +=-=若不超过7．设1,0≠>a a ，行列式34210231D -=xa 中第3第2列的代数余子式记作y ，函数()x f y =数图像通过点()1,2，则a = ．8．（文）已知135sin ,53)cos(-==-ββα，且 )0,2(),2,0(πβπα-∈∈，则=αsin _____．9．（文）如图是一个算法框图，则输出的k 的值是____________．10．（文）设函数21x y -=的曲线绕x 轴旋转一周所得几何体的表面积__________． 11．（文）从4名男生和3名女生中任选3人参加会议，则选出3人中至少出名女生的概率是__________． 12．（文）函数x x x x f 4|4|)(22-+-=的单调递减区间是___________．13.（文）已知变量x ，y 知足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-+.01,033,032y y x y x 若目标函数y ax z +=仅在点)0,3(处取到最大值，则实数a 的取值范围_______________. 14．（文）设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，6,231==a a ，若自然数,...,...,21k n n n 知足......321<<<<<k n n n ，且,......,,131k n n a a a a 是等比数列，则文第9题k n =_______________.二．选择题（本大题满分20分，共4小题，每小题5分）15. 已知),(11b a A ，),(22b a B 是坐标平面上不与原点重合的两个点，则OA OB ⊥的充要条件是（） A ．12211-=⋅a b a b B.02121=+b b a a C.2121b b a a = D.1221b a b a = 16.（文）关于直线，m 及平面α，β，下列命题中正确的是（）A ．若,,//m l =⋂βαα则m l //B ．若,//,ααm l ⊥则m l ⊥C ．若,//,//ααm l 则m l //D ．若l m l ⊥,//α，则α⊥m17. 过点(1,1)P 作直线与双曲线2212y x -=交于A 、B 两点，使点P 为AB 中点，则这样的直线（） A ．存在一条，且方程为210x y --= B ．存在无数条 C ．存在两条，方程为()210x y ±+= D ．不存在18. （文）已知函数2()21,()1,xf xg x x =-=-构造函数()F x ，概念如下：当|()|(),()|()|,|()|(),()()f x g x F x f x f x g x F x g x ≥=<=-时当时，那么()F x （）A ．有最小值0，无最大值B ．有最小值1-，无最大值C ．有最大值1，无最小值D ．无最小值，也无最大值三．解答题（本大题满分74分，共5小题）19. （文）（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，AB 为圆为24π，2OA =，120AOP ∠=︒．（1）求三棱锥1A APB -的体积；（2）求异面直线1A B 与OP 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）．20. （本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边a ，b ，c 成等比数列．A 1（1）求证：03B π<≤；（2）求1sin 2sin cos By B B+=+的取值范围．21.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分）设函数)10()1()(≠>--=-a a ak a x f xx且是概念域为R 的奇函数．（1）求k 的值；（2）（文）若0)1(<f ，试说明函数)(x f 的单调性，并求使不等式0)4()(2<-++x f tx x f 恒成立的的取值范围．22.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分）如图，已知点)1,0(F ，直线m ：1-=y ，P 为平面上的动点，过点P 作m 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）（文）过轨迹C 的准线与y 轴的交点M 作方向向量为)1,(a d =→的直线m '与轨迹C 交于不同两点A 、B ，问是不是存在实数a 使得FB FA ⊥？若存在，求出a 的范围；若不存在，请说明理由；（3）（文）在问题（2）中，设线段AB 的垂直平分线与y 轴的交点为),0(0y D ，求0y 的取值范围． 23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题6分）（文）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且对于任意*N ∈n ，总有)1(2-=n n a S ．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）在n a 与1+n a 之间插入n 个数，使这2+n 个数组成等差数列，当公差d 知足43<<d 时，求n 的值并求这个等差数列所有项的和T ；（3）记)(n f a n =，若是)log(2m n f n c n ⋅⋅=（*N ∈n ），问是不是存在正实数m ，使得数列}{n c 是单调递减数列？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．数学文（参考答案）一、填空题（每小题4分，共56分） 1．π 2。

上海市长宁、嘉定区高三数学二模考试试题理(含解析)

2013年上海市长宁、嘉定区高考数学二模试卷（理科）一．填空题（本大题满分56分，共14小题，每小题4分）1．（4分）（2012•上海）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为π．考点：三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：由函数解析式找出ω的值，代入周期公式T=中，即可求出函数的最小正周期．解答：解：f（x）=sin（2x+），∵ω=2，∴T==π，则函数的最小正周期为π．故答案为：π点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键．2．（4分）（2013•嘉定区二模）若关于x的不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1），且实数f（1）＜0，则m= ．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：依题意，1是2x2﹣3x+a=0的根，将1代入可求得a=1，从而可求得m的值．解答：解：∵x的不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1），∴1是2x2﹣3x+a=0的根，∴2×1﹣3×1+a=0∴a=1，∴2x2﹣3x+1=0的解集为（，0），∵不等式2x2﹣3x+1＜0的解集为（m，1），∴m=．故答案为：．点评：本题考查一元二次不等式的解法，求得a的值是关键，属于基础题．3．（4分）（2013•嘉定区二模）（理）已知集合A={﹣1，0，a}，B={x|1＜3x＜3}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是（0，1）．考点：交集及其运算；其他不等式的解法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：先化简集合B，求出A∩B得具体集合，结合条件分析A∩B=∅时a取值范围，对所求得的a范围取补集即可得答案．解答：解：集合B={x|1＜3x＜3}={x|0＜x＜1}，A={﹣1，0，a}，若A∩B=∅，必有a≤0或a≥1，则当A∩B≠∅时，有a∈（0，1）．故答案为：（0，1）．点评：本题考查集合的运算，考查学生的计算能力，属于基础题．4．（4分）（2013•嘉定区二模）已知复数z满足（i为参数单位），则复数z的实部与虚部之和为．考点：复数的基本概念；虚数单位i及其性质．专题：待定系数法．分析：复数z=a+bi （a、b∈R），代入已知的等式，利用两个复数代数形式的乘除法法则及两个复数相等的充要条件，解方程组求出复数的实部和虚部．解答：解：设复数z=a+bi （a、b∈R），代入已知的等式得=3，=3，=3，∴a=1，b=，∴a+b=1+=，故答案为：．点评：本题考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相等的条件及复数实部、虚部的定义．5．（4分）（2013•嘉定区二模）求值：= ﹣1 ．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：由二项式定理可知=（1﹣2）2013可求解答：解：∵=（1﹣2）2013=﹣1故答案为：﹣1点评：本题主要考查了二项式定理的逆应用，解题的关键是熟练掌握基本公式6．（4分）（2005•湖北）已知向量不超过5，则k 的取值范围是 [﹣6，2] ．考点：向量的模．分析：根据向量模的计算公式，列出一个关于K 不等式，解不等式，即可求出K 的取值范围．解答：解：∵≤5∴﹣6≤k≤2故答案为：[﹣6，2] 点评：求常用的方法有：①若已知，则=；②若已知表示的有向线段的两端点A 、B 坐标，则=|AB|=③构造关于的方程，解方程求．7．（4分）（2013•嘉定区二模）设a ＞0，a≠1，行列式中第3行第2列的代数余子式记作y ，函数y=f （x ）的反函数图象经过点（2，1），则a= 4 ．考点：三阶矩阵．专题：函数的性质及应用．分析：根据余子式的定义可知，在行列式中划去第3行第2列后所余下的2阶行列式为第3行第2列元素的代数余子式，求出值即可．函数y=f （x ）的反函数图象经过点（2，1），可知点点（1，2）在函数y=﹣a x+6的图象上，由此代入数值即可求得a ．解答：解：由题意得第3行第2列元素的代数余子式 M 32=﹣=﹣a x+6依题意，点（1，2）在函数y=﹣a x+6的图象上，将x=1，y=2，代入y=﹣a x+6中，得﹣a+6=2，解得a=4．故答案为：4．点评：此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义、反函数以及原函数与反函数之间的关系，会进行矩阵的运算，是一道基础题．8．（4分）（2013•嘉定区二模）（理）如图是一个算法框图，则输出的k的值是 6 ．考点：程序框图．专题：图表型．分析：根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦满足条件就退出循环，从而到结论．解答：解：由于k2﹣6k+5＞0⇒k＜1或k＞5．第1次循环，k=1+1=2，第2次循环，k=2+1=3，第3次循环，k=3+1=4，第4次循环，k=4+1=5，第6次循环，k=5+1=6，6＞5满足k2﹣6k+5＞0，退出循环，输出的结果为6，故答案为：6．点评：本题主要考查了循环结构，是当型循环，当不满足条件，执行循环，属于基础题．9．（4分）（2013•嘉定区二模）已知，且，则sinα=．考点：两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：由α和β的范围求出α﹣β的范围，根据cos（α﹣β）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α﹣β）的值，再由sinβ的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosβ的值，然后将所求式子中的角α变为（α﹣β）+β，利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．解答：解：∵α∈（0，），β∈（﹣，0），∴α﹣β∈（0，π），又cos（α﹣β）=，sinβ=﹣，∴sin（α﹣β）==，cosβ==，则s inα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ=×+×（﹣）=．故答案为：点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，同时注意角度的范围．10．（4分）（2013•嘉定区二模）（理）设函数，则将y=f（x）的曲线绕x轴旋转一周所得几何体的体积为π．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据题意，这旋转一周所得旋转体是由一个半球与一个圆锥组成，求出半球的体积与圆锥的体积即可得到结果．解答：解：由题意可知函数，则将y=f（x）的曲线绕x轴旋转一周所得几何体是由一个半球与一个圆锥组成，球的半径为：1，圆锥的底面半径为1，高为1，所以所求几何体的体积为：=π．故答案为：π点评：本题考查旋转体的体积的求法，判断几何体的性质是解题的关键，注意准确利用公式进行计算．11．（4分）（2013•嘉定区二模）（理）抛掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数是偶数的事件为A，向上的点数大于2且小于或等于5的事件为B，则事件A∪B的概率P（A∪B）= ．考点：古典概型及其概率计算公式；概率的基本性质．专题：概率与统计．分析：由题意分别可得P（A），P（B），P（AB），而P（A∪B）=P（A）+P（B）﹣P（AB），代入计算可得．解答：解：由题意抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数共6种可能，其中为偶数的有2，4，6三种可能，故P（A）=，向上的点数大于2且小于或等于5有3，4，5三种可能，故P（B）=，而积事件AB只有4一种可能，故P（AB）=，故P（A∪B）=P（A）+P（B）﹣P（AB）==故答案为：点评：本题考查古典概型的求解，涉及概率的基本性质和全概率公式，属基础题．12．（4分）（2013•嘉定区二模）设定义域为R的函数，若关于x 的方程f2（x）+bf（x）+c=0有3个不同的整数解x1，x2，x3，则x12+x22+x32等于 5 ．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；数形结合；分类讨论．分析：根据已知中函数的解析式，我们可以画出函数的图象，根据图象我们可以判断出关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有3个不同的整数解x1，x2，x3时，x1，x2，x3的值，进而求出x12+x22+x32的值．解答：解：函数的图象如下图所示：由图易得函数的值域为（0，+∞）令t=f（x）则方程f2（x）+bf（x）+c=0可化为t2+bt+c+0，若此方程无正根，则方程f2（x）+bf（x）+c=0无根若此方程有一个非1的正根，则方程f2（x）+bf（x）+c=0有两根；若此方程有一个等 1的正根，则方程f2（x）+bf（x）+c=0有三根；此时t=f（x）=1，x1=0，x2=1，x3=2，x12+x22+x32=5若此方程有两个非1的正根，则方程f2（x）+bf（x）+c=0有四根；若此方程有一个非1，一个等1的正根，则方程f2（x）+bf（x）+c=0有五根；综上x12+x22+x32=5故答案为：5点评：本题考查的知识点是分段函数的解析式及其图象的作法，根的存在性及根的个数判断，其中画出函数的图象，根据图象我们可以判断出关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有3个不同的整数解x1，x2，x3时，所满足的条件是解答醒本题的关键．13．（4分）（2012•黑龙江）设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m= 2 ．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题；压轴题．分析：函数可化为f（x）==，令，则为奇函数，从而函数的最大值与最小值的和为0，由此可得函数f（x）=的最大值与最小值的和．解答：解：函数可化为f（x）==令，则为奇函数∴的最大值与最小值的和为0∴函数f（x）=的最大值与最小值的和为1+1+0=2即M+m=2故答案为：2点评：本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，解题的关键是将函数化简，转化为利用函数的奇偶性解题．14．（4分）（2013•嘉定区二模）设S n为数列{a n}的前n项之和．若不等式对任何等差数列{a n}及任何正整数n恒成立，则λ的最大值为．考点：数列的应用．专题：计算题．分析：由题意可知5×a n2+2×a1•a n+a12≥4λa12，两边除以a12，设 x=，有．由此可知答案．解答：解：∵∴可以转化为5×a n2+2×a1•a n+a12≥4λa12两边除以a12，设 x=，有，∴∴当 x=﹣时，λ 有最大值．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘隐含条件．二．选择题（本大题满分20分，共4小题，每小题5分）15．（5分）（2013•嘉定区二模）已知A（a1，b1），B（a2，b2）是坐标平面上不与原点重合的两个点，则的充要条件是（）A．B．a1a2+b1b2=0C．D．a1b2=a2b1考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：利用⇔即可得出．解答：解：⇔⇔a1a2+b1b2=0．故选B．点评：熟练掌握⇔是解题的关键．16．（5分）（2013•浙江模拟）关于直线l，m及平面α，β，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，α∩β=m，则l∥m B．若l∥α，m∥α，则l∥mC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若l∥α，m⊥l，则m⊥α考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．分析：由线面平行的性质定理和面面平行的判定定理判断A、B；再由线面和面面垂直的定理判断C、D．解答：解：A不对，由线面平行的性质定理知必须l⊂β；B不对，由面面平行的判定定理知两条直线必须相交；D不对，有条件有可能m⊂α；C正确，由l∥β知在β内有与l平行的直线，再由l⊥α和面面垂直的判定定理得α⊥β．故选C．点评：本题考查了空间中线面位置关系，主要根据线面和面面平行及垂直的定理进行判断，考查了学生对定理的运用能力和空间想象能力．17．（5分）（2013•嘉定区二模）过点P（1，1）作直线与双曲线交于A、B两点，使点P为AB中点，则这样的直线（）A．存在一条，且方程为2x﹣y﹣1=0 B．存在无数条C．存在两条，方程为2x±（y+1）=0 D．不存在考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：利用平方差法：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入双曲线方程然后作差，由中点坐标公式及斜率公式可求得直线l的斜率，再用点斜式即可求得直线方程，然后再检验直线与曲线方程联立的方程的解的存在的情况解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2，y1+y2=2，则x12﹣=1，x22﹣=1，两式相减得（x1﹣x2）（x1+x2）﹣（y1﹣y2）（y1+y2）=0，∴，即k AB=2，故所求直线方程为y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0．联立可得2x2﹣4x+3=0，但此方程没有实数解故这样的直线不存在故选D点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查直线方程的求法，涉及弦中点问题，往往考虑利用“平方差法”加以解决．但是一定要检验所求直线与椭圆的方程的解的存在情况18．（5分）（2013•嘉定区二模）已知a＞0且a≠1，函数在区间（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）=log a|x|﹣b|的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象；对数函数的单调性与特殊点．专题：数形结合．分析：根据函数是一个奇函数，函数在原点出有定义，得到函数的图象一定过原点，求出b 的值，根据函数是一个增函数，看出底数的范围，得到结果．解答：解：∵函数在区间（﹣∞，+∞）上是奇函数，∴f（0）=0∴b=1，又∵函数在区间（﹣∞，+∞）上是增函数，所以a＞1，所以g（x）=log a||x|﹣1|定义域为x≠±1，且当x＞1递增，当0＜x＜1递减，故选A点评：本题考查函数奇偶性和单调性，即对数函数的性质，本题解题的关键是看出题目中所出现的两个函数性质的应用．三．解答题（本大题满分74分，共5小题）19．（12分）（2013•嘉定区二模）（理）如图：已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD 所成的角为30°，且AB=BC=2．（1）求AD与平面ABC所成角的大小；（2）求点B到平面ACD的距离．考点：直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．专题：空间角．分析：（1）由AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，∠DAC就是AD 与平面ABC所成的角，然后直接解直角三角形即可；（2）设出点B到平面ACD的距离，直接利用等积法求距离．解答：解：（1）如图，因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，∠DAC就是AD与平面ABC所成的角．因为AB⊥平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30°，故∠ADB=30°，由AB=BC=2，得AD=4，，所以，所以AD与平面ABC所成角的大小为45°；（2）设点B到平面ACD的距离为d，由（1）可得，，则=．=．由V A﹣BCD=V B﹣ACD，得，所以．所以点B到平面ACD的距离为．点评：本题考查了直线和平面所成角的计算，考查了利用等积法求点到面的距离，变换椎体的顶点，利用其体积相等求空间中点到面的距离是较有效的方法，此题是中档题．20．（12分）（2013•嘉定区二模）在△ABC中，角A，B，C所对应的边a，b，c成等比数列．（1）求证：；（2）求的取值范围．考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：解三角形．分析：（1）由余弦定理求得cosB的值，利用基本不等式求得cosB的范围，即可求得B的范围．（2）根据三角恒等变换化简y的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域，求得y 的范围．解答：解：（1）由已知，b2=ac，所以由余弦定理，得由基本不等式a2+c2≥2ac，得．所以．因此，．（2），由（1），，所以，所以，所以，的取值范围是．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．21．（14分）（2013•嘉定区二模）设函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求k的值；（2）（理）若，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2m•f（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．（文）若f（1）＜0，试说明函数f（x）的单调性，并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立的取值范围．考点：指数函数综合题．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据奇函数的定义：对任意x∈R，f（﹣x）=﹣f（x），或性质可得f（0）=0，由此求得k值．（2）（理）利用换元法，将函数转化为二次函数，研究函数的单调性，得到函数g（x）取得最小值．利用条件，就可以求m的值．（文）由f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1），f（1）＜0，求得0＜a＜1，f（x）在R上单调递减，不等式化为f（x2+tx）＜f（x﹣4），即x2+（t﹣1）x+4＞0 恒成立，由△＜0求得t的取值范围．解答：解：（1）由题意，对任意x∈R，f（﹣x）=﹣f（x），即a﹣x﹣（k﹣1）a x=﹣a x+（k﹣1）a﹣x，即（k﹣1）（a x+a﹣x）﹣（a x+a﹣x）=0，（k﹣2）（a x+a﹣x）=0，因为x为任意实数，所以k=2．解法二：因为f（x）是定义域为R的奇函数，所以f（0）=0，即1﹣（k﹣1）=0，k=2．当k=2时，f（x）=a x﹣a﹣x，f（﹣x）=a﹣x﹣a x=﹣f（x），f（x）是奇函数．所以k的值为2．（2）（理）由（1）f（x）=a x﹣a﹣x，因为，所以，解得a=2．故f（x）=2x﹣2﹣x，g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x），令t=2x﹣2﹣x，则22x+2﹣2x=t2+2，由x∈[1，+∞），得，所以g（x）=h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2，当时，h（t）在上是增函数，则，，解得（舍去）．当时，则f（m）=﹣2，2﹣m2=﹣2，解得m=2，或m=﹣2（舍去）．综上，m的值是2．（2）（文）由（1）知f（x）=a x﹣a﹣x，由f（1）＜0，得，解得0＜a＜1．当0＜a＜1时，y=a x是减函数，y=﹣a﹣x也是减函数，所以f（x）=a x﹣a﹣x是减函数．由f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0，所以f（x2+tx）＜﹣f（4﹣x），因为f（x）是奇函数，所以f（x2+tx）＜f（x﹣4）．因为f（x）是R上的减函数，所以x2+tx＞x﹣4即x2+（t﹣1）x+4＞0对任意x∈R成立，所以△=（t﹣1）2﹣16＜0，解得﹣3＜t＜5．所以，t的取值范围是（﹣3，5）．点评：本题考查指数型复合函数的性质以及应用，考查函数的奇偶性的应用，属于中档题．22．（18分）（2013•嘉定区二模）如图，已知点F（0，1），直线m：y=﹣1，P为平面上的动点，过点P作m的垂线，垂足为点Q ，且．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）（理）过轨迹C的准线与y轴的交点M作直线m′与轨迹C交于不同两点A、B，且线段AB的垂直平分线与y轴的交点为D（0，y0），求y0的取值范围；（3）（理）对于（2）中的点A、B，在y轴上是否存在一点D，使得△ABD为等边三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设P（x，y），由题意得Q（x，﹣1），即可得到，，，，利用向量的数量积运算即可得出动点P的轨迹C的方程；（2）利用（1）的轨迹方程即可得到准线方程及点M的坐标，设直线m'的方程为y=kx ﹣1（k≠0），与抛物线方程联立得到根与系数的关系，利用中点坐标和垂直平分线的性质即可得到线段AB的垂直平分线的方程即可；（3）利用（2）的结论，点到直线的距离公式及等边三角形的判定即可得出．解答：解：（1）设P（x，y），由题意，Q（x，﹣1），，，，，由，得2（y+1）=x2﹣2（y﹣1），化简得x2=4y．所以，动点P的轨迹C的方程为x2=4y．（2）轨迹C为抛物线，准线方程为y=﹣1，即直线m，∴M（0，﹣1），设直线m'的方程为y=kx﹣1（k≠0），由得x2﹣4kx+4=0，由△=16k2﹣16＞0，得k2＞1．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k，所以线段AB的中点为（2k，2k2﹣1），所以线段AB垂直平分线的方程为（x﹣2k）+k[y﹣（2k2﹣1）]=0，令x=0，得．因为k2＞1，所以y0∈（3，+∞）．（3）由（2），x1+x2=4k，x1x2=4，∴===．假设存在点D（0，y0），使得△ABD为等边三角形，则D到直线AB 的距离．因为D（0，2k2+1），所以，所以，解得．所以，存在点，使得△ABD为等边三角形．点评：本题主要考查抛物线的方程与性质、向量的数量积、准线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式、等边三角形的定义、点到直线的距离公式、线段的垂直平分线及对称等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力．23．（18分）（2013•嘉定区二模）（理）已知三个互不相等的正数a，b，c成等比数列，公比为q．在a，b之间和b，c之间共插入n个数，使这n+3个数构成等差数列．（1）若a=1，在b，c之间插入一个数，求q的值；（2）设a＜b＜c，n=4，问在a，b之间和b，c之间各插入几个数，请说明理由；（3）若插入的n个数中，有s个位于a，b之间，t个位于b，c之间，试比较s与t的大小．考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）若a=1，设由4个数构成的等差数列的公差为d ，则，消去d，求得q的值．（2）设所构成的等差数列的公差为d，由题意，d＞0，共插入4个数．若在a，b之间插入1个数，在b，c之间插入3个数，求得q的值；若在a，b之间插入3个数，在b，c之间插入1个数，求得q的值；若a，b之间和b，c之间各插入2个数，求得q的值，综合可得结论．（3）设所构成的等差数列的公差为d，由题意可得，因为q≠1，所以，分q＞1和 0＜q＜1两种情况，分别得出结论．解答：解：（1）若a=1，因为a，b，c是互不相等的正数，所以q＞0且q≠1．由已知，a，b，c是首项为1，公比为q的等比数列，则b=q，c=q2，当插入的一个数位于b，c之间，设由4个数构成的等差数列的公差为d，则，消去d得2q2﹣3q+2=0，因为q≠1，所以q=2．（2）设所构成的等差数列的公差为d，由题意，d＞0，共插入4个数．若在a，b之间插入1个数，在b，c之间插入3个数，则，于是，2b﹣2a=c﹣b，q2﹣3q+2=0，解得q=2．若在a，b之间插入3个数，在b，c之间插入1个数，则，于是，2c﹣2b=b﹣a，解得（不合题意，舍去）．若a，b之间和b，c之间各插入2个数，则，b﹣a=c﹣b，解得q=1（不合题意，舍去），综上，a，b之间插入1个数，在b，c之间插入3个数．（3）设所构成的等差数列的公差为d，由题意可得，b=a+（s+1）d，，又c=b+（t+1）d，，所以，，即，因为q≠1，所以．所以，当q＞1，即a＜b＜c时，s＜t；当0＜q＜1，即a＞b＞c时，s＞t．点评：本题主要考查等差数列的定义、性质以及通项公式，等比数列的定义、性质以及通项公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。

上海市嘉定区高考数学二模试卷Word版含解析

一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～ 12 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应地址直接填写结果．．函数 y=2sin 2（ 2x ）﹣ 1 的最小正周期是． 1 2．设 i 为虚数单位，复数，则 | z| =．3．设 f ﹣ 1（ x ）为的反函数，则 f ﹣ 1（1） =．4．=．5．若圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，则其母线与轴所成角的大小是．6．设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若= ，则=．7．直线（t 为参数）与曲线（ θ为参数）的公共点的个数是．8．已知双曲线 C 1 与双曲线 C 2 的焦点重合， C 1 的方程为，若 C 2 的一条渐近线的倾斜角是 C 1 的一条渐近线的倾斜角的 2 倍，则 C 2 的方程为．9．若，则满足 f （x ）＞ 0 的 x 的取值范围是．10．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品 A ，乙组研发新产品 B ，设甲、乙两组的研发相互独立，则最少有一种新产品研发成功的概率为．．设等差数列 n } 的各项都是正数，前 n 项和为 S n ，公差为 d ．若数列 11 { a 也是公差为 d 的等差数列，则 { a n } 的通项公式为 a n =．12．设 x ∈R ，用[ x] 表示不高出 x 的最大整数（如 [ 2.32] =2，[ ﹣ 4.76] =﹣5），对于给定的n ∈ N * ，定义C=，其中 x ∈[ 1， +∞），则当时，函数 f （ x ） =C的值域是．二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应地址，将代表正确选项的小方格涂黑．13．命题“若 x=12﹣3x 2=0”的逆否命题是（），则 x+A．若 x≠1，则 x2﹣3x+2≠0B．若 x2﹣3x+2=0，则 x=1C．若 x2﹣ 3x+2=0，则 x≠1 D．若 x2﹣ 3x+2≠ 0，则 x≠1．如图，在正方体1 1 1 1 中，M、E是AB的三均分点，G、N是14ABCD ﹣A B C DCD 的三均分点， F、H 分别是 BC、 MN 的中点，则四棱锥 A 1﹣ EFGH 的左视图是（）A．B．C．D．15．已知△ ABC 是边长为 4 的等边三角形， D、P 是△ ABC 内部两点，且满足，，则△ ADP的面积为（）A． B ．C．D．16．已知 f（ x）是偶函数，且 f（ x）在 [ 0， +∞）上是增函数，若 f （ax+1）≤ f （ x﹣ 2）在上恒建立，则实数 a 的取值范围是（）A．﹣2，1]B．﹣2，0C．﹣1，1D．﹣1，0[[][][]三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答以下各题必定在答题纸的相应地址写出必要的步骤．17．在△ ABC 中，内角 A ， B， C 的对边分别为a，b，c，已知 a﹣b=2，c=4，sinA=2sinB ．（Ⅰ）求△ ABC 的面积；（Ⅱ）求 sin（ 2A﹣ B）．18．如图，在长方体 ABCD ﹣A 1B1C1D1中，AB=8 ，BC=5，AA 1=4，平面α截长方体获取一个矩形EFGH，且 A1E=D1F=2，AH=DG=5 ．（1）求截面 EFGH 把该长方体分成的两部分体积之比；（2）求直线 AF 与平面α所成角的正弦值．19．如图，已知椭圆C：（a＞b＞0）过点，两个焦点为F1（﹣ 1，0）和 F2（1，0）．圆 O 的方程为 x2+y2=a2．（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）过 F1且斜率为 k（k＞0）的动直线 l 与椭圆 C 交于 A 、B 两点，与圆 O 交于P、Q 两点（点 A 、P 在 x 轴上方），当 | AF2| ， | BF2| ，| AB | 成等差数列时，求弦 PQ 的长．20．若是函数 y=f（ x）的定义域为 R，且存在实常数 a，使得关于定义域内任意x，都有 f （x+a）=f（﹣ x）建立，则称此函数 f（ x）拥有“P（ a）性质”．（ 1）判断函数 y=cosx 可否拥有“P（a）性质”，若拥有“P（a）性质”，求出所有 a 的值的会集；若不拥有“P（a）性质”，请说明原由；（ 2）已知函数 y=f （x）拥有“P（0）性质”，且当 x≤0 时， f （x ）=（x+m）2，求函数 y=f（ x）在区间 [ 0，1] 上的值域；（ 3）已知函数y=g（x ）既拥有“P（0）性质”，又拥有“P（ 2）性质”，且当﹣ 1≤x≤ 1 时，g（x ）=| x| ，若函数 y=g（x）的图象与直线 y=px 有 2017 个公共点，求实数 p 的值．21．给定数列 { a n } ，若满足 a1=a（a＞ 0 且 a≠1），关于任意的n，m∈N*，都有a n+m=a n?a m，则称数列 { a n} 为指数数列．（ 1）已知数列 { a n} ，{ b n} 的通项公式分别为，，试判断{ a n}，{ b n} 可否是指数数列（需说明原由）；（ 2）若数列 { a n} 满足： a1=2， a2=4，a n+2=3a n+1﹣2a n，证明： { a n} 是指数数列；（ 3）若数列 { a n} 是指数数列，（t∈N*），证明：数列{ a n}中任意三项都不能够构成等差数列．2017 年上海市嘉定区高考数学二模试卷参照答案与试题分析一、填空题（本大题共有12 题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～ 12 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应地址直接填写结果．．函数y=2sin 2（ 2x）﹣ 1 的最小正周期是．1【考点】 H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用二倍角公式基本公式将函数化为y=Acos（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，2【解答】解：函数 y=2sin （2x）﹣ 1，∴最小正周期 T=．故答案为2．设 i 为虚数单位，复数，则| z| =1．【考点】 A8：复数求模．【分析】利用复数的运算法规、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数===﹣ i，则 | z| =1．故答案为： 1．．设f ﹣1（ x）为的反函数，则 f﹣1（1） = 1 ．3【考点】 4R：反函数．【分析】依照反函数的性质，原函数的值域是反函数的定义域即可求解【解答】解：的反函数，其反函数 f﹣1（ x），反函数的性质，反函数的定义域是原函数的值域，即．可得： x=1，∴ f ﹣ 1（x ）=1．故答案为 1．4．= 3 ．【考点】 8J ：数列的极限．【分析】经过分子分母同除 3n +1，利用数列极限的运算法规求解即可．【解答】解：= = =3．故答案为： 3．5．若圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，则其母线与轴所成角的大小是30° ．【考点】 MI ：直线与平面所成的角．【分析】依照圆锥的底面积公式和侧面积公式，结合已知可得l=2R ，进而解母线与底面所成角，尔后求解母线与轴所成角即可．【解答】解：设圆锥的底面半径为 R ，母线长为 l ，则：2其底面积： S底面积 =πR，其侧面积： S 侧面积 = 2π Rl= π，Rl∵圆锥的侧面积是其底面积的2 倍，∴ l=2R ，故该圆锥的母线与底面所成的角 θ有，cos θ== ，∴ θ=60，°母线与轴所成角的大小是：30°．故答案为： 30°．6．设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n，若=，则=．【考点】 85：等差数列的前 n 项和．【分析】=，可得 3（ a14d）=5（ a12d），化为： a1=d．再利用等差数列的++求和公式即可得出．【解答】解：∵=，∴ 3（a1+4d）=5（a1+2d），化为：a1=d．则==．故答案为：．7．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点的个数是1．【考点】 QK：圆的参数方程； QJ：直线的参数方程．【分析】依照题意，将直线的参数方程变形为一般方程，再将曲线的参数方程变形为一般方程，分析可得该曲线为圆，且圆心坐标为（3， 5），半径 r=，求出圆心到直线的俄距离，分析可得直线与圆相切，即可得直线与圆有 1 个公共点，即可得答案．【解答】解：依照题意，直线的参数方程为，则其一般方程为x+y﹣6=0，曲线的参数方程为，则其一般方程为（x﹣3）2+（ y﹣ 5）2=2，该曲线为圆，且圆心坐标为（3，5），半径 r=，圆心到直线 x+y﹣6=0 的距离 d== =r，则圆（x﹣3）2+（y﹣5）2=2 与直线x+y﹣6=0 相切，有1 个公共点；故答案为： 1．8．已知双曲线C1与双曲线 C2的焦点重合， C1的方程为，若C2的一条渐近线的倾斜角是C1的一条渐近线的倾斜角的 2 倍，则C2的方程为．【考点】 KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的焦点坐标，利用渐近线的倾斜角的关系，列出方程，尔后求解即可．【解答】解：双曲线 C1与双曲线 C2的焦点重合， C1的方程为，焦点坐标（± 2， 0）．双曲线 C1的一条渐近线为： y=，倾斜角为30°，C2的一条渐近线的倾斜角是C1的一条渐近线的倾斜角的 2 倍，可得 C2的渐近线y=．可得， c=2，解得 a=1，b=，所求双曲线方程为：．故答案为：．9．若，则满足f（x）＞0的x的取值范围是（1，+∞）．【考点】 7E：其他不等式的解法．【分析】由已知获取关于x 的不等式，化为根式不等式，尔后化为整式不等式解之．【解答】解：由 f（x ）＞0 获取即，因此，解得x＞1；故x 的取值范围为（1，+∞）；故答案为：（ 1， +∞）；10．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品 A ，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立，则最少有一种新产品研发成功的概率为．【考点】 C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】利用对峙事件的概率公式，计算即可，【解答】解：设最少有一种新产品研发成功的事件为事件 A 且事件 B 为事件 A 的对峙事件，则事件 B 为一种新产品都没有成功，由于甲乙研发新产品成功的概率分别为和．则 P（B）=（1﹣）（1﹣）= ，再依照对峙事件的概率之间的公式可得 P（A ）=1﹣P（B）= ，故最少有一种新产品研发成功的概率．故答案为．n}的各项都是正数，前n项和为S n，公差为d．若数列11．设等差数列 { a也是公差为 d 的等差数列，则 { a n} 的通项公式为 a n=．【考点】 84：等差数列的通项公式．【分析】由题意可得： S n=na1d．a n＞0.=+（n﹣1）d，化简 n+≠1时可得： a1 2 2d﹣d．分别令 n=2，3，解出即可得出．=（n﹣1）d +【解答】解：由题意可得：S n1d． a n＞0．=na +n 1n﹣1）2 22（n﹣1） d．=+（ n﹣ 1） d，可得： S =a +（ d +∴na1+d=a1+（ n﹣ 1）2d2+2（n﹣1）d．22d dn≠1 时可得： a1=（ n﹣ 1）d +﹣．分别令 n=2，3，可得： a122d﹣d，a12 2d﹣ d．=d +=2d +解得a1，d= ．=∴ a n=+（﹣）．n 1 =故答案为：．12．设 x ∈R，用x表示不高出 x 的最大整数（如[=2，﹣ 4.76 =﹣5），对[]][]于给定的 n∈ N*，定义 C =，其中 x ∈1，∞），则当[+时，函数 f（ x） =C的值域是．【考点】57：函数与方程的综合运用．【分析】分类谈论，依照定义化简C x n，求出 C x10 的表达式，再利用函数的单调性求出 C x10 的值域．【解答】解：当 x∈ [ ， 2）时， [ x] =1，∴ f （x）=C= ，当 x∈[，2）时， f （x）是减函数，∴ f（ x）∈（ 5，）；当 x∈[ 2， 3）时， [ x] =2，∴ f （x） =C=，当 x∈[ 2， 3）时， f （x）是减函数，∴ f（x）∈（ 15， 45] ；∴当时，函数 f （x）=C的值域是，故答案为：．二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应地址，将代表正确选项的小方格涂黑．．命题“若x=1，则 x 2﹣3x+2=0”的逆否命题是（）13A．若 x ≠ ，则x2﹣3x+2≠0 B．若 x2﹣3x+2=0，则 x=1 1C．若 x2﹣ 3x+2=0，则 x≠1 D．若 x2﹣ 3x+2≠ 0，则 x≠1【考点】 25：四种命题间的逆否关系．【分析】依照逆否命题的定义，我们易求出命题的逆否命题【解答】解：将命题的条件与结论交换，并且否定可得逆否命题：若x2﹣3x 2+≠0，则 x≠1应选： D14．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B1C1D1中， M 、E 是 AB 的三均分点， G、N 是CD 的三均分点， F、H 分别是 BC、 MN 的中点，则四棱锥 A 1﹣ EFGH 的左视图是（）A．B．C．D．【考点】 L7：简单空间图形的三视图．【分析】确定 5 个极点在面 DCC1D1上的投影，即可得出结论．【解答】解： A1在面 DCC1D1上的投影为点 D1，E 在面 DCC1D1的投影为点 G，F 在面 DCC1D1上的投影为点 C， H 在面 DCC1D1上的投影为点 N，因此侧视图为选项 C 的图形．应选 C15．已知△ ABC是边长为 4 的等边三角形，D、P 是△ ABC内部两点，且满足，，则△ ADP的面积为（）A． B ．C．D．【考点】 9V：向量在几何中的应用．【分析】以 A 为原点，以 BC 的垂直均分线为y 轴，建立直角坐标系．由于等边三角形△的边长为4，可得 B，C 的坐标，再利用向量的坐标运算和数乘运算可得，，利用△ APD的面积公式即可得出．【解答】解：以 A 为原点，以 BC 的垂直均分线为y 轴，建立直角坐标系．∵等边三角形△的边长为4，∴B（﹣ 2，﹣2），C（2，﹣2），由足=[（﹣ 2，﹣2）（2，﹣2）=（ 0，﹣），+]=（0，﹣）+ （4，0）=（，﹣），∴△ ADP 的面积为 S= ||?| |=×× = ，应选： A．16．已知 f（ x）是偶函数，且f（ x）在 [ 0， +∞）上是增函数，若 f （ax+1）≤ f （ x﹣ 2）在上恒建立，则实数 a 的取值范围是（）A．[ ﹣2，1]B．[ ﹣2，0]C．[ ﹣1，1]D．[ ﹣1，0]【考点】 3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】由于偶函数在对称区间上单调性相反，依照已知中f（x）是偶函数，且f（x ）在（ 0， +∞）上是增函数，易得f（ x）在（﹣∞， 0）上为减函数，又由若时，不等式 f（ax 1）≤f（ x﹣ 2）恒建立，结合函数恒建立的条+件，求出时 f （x﹣2）的最小值，进而能够构造一个关于 a 的不等式，解不等式即可获取实数 a 的取值范围．【解答】解：∵ f（ x）是偶函数，且 f （x）在（ 0， +∞）上是增函数，∴ f（x ）在（﹣∞， 0）上为减函数，当时， x﹣2∈[ ﹣，﹣1]，故 f（ x﹣ 2）≥ f（﹣ 1）=f（1），若时，不等式 f （ax+1）≤ f （x﹣2）恒建立，则当时， | ax+1| ≤ 1 恒建立，∴﹣ 1≤ax+1≤ 1，∴≤a≤0，∴﹣ 2≤a≤ 0，应选 B．三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答以下各题必定在答题纸的相应地址写出必要的步骤．17．在△ ABC 中，内角 A ， B， C 的对边分别为a，b，c，已知 a﹣b=2，c=4，sinA=2sinB ．（Ⅰ）求△ ABC 的面积；（Ⅱ）求 sin（ 2A﹣ B）．【考点】 GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】解法一：（I）由已知及正弦定理可求 a，b 的值，由余弦定理可求 cosB，进而可求 sinB，即可由三角形面积公式求解．（II）由余弦定理可得 cosA，进而可求 sinA，sin2A，cos2A，由两角差的正弦公式即可求 sin（ 2A﹣ B）的值．解法二：（I）由已知及正弦定理可求 a，b 的值，又 c=4，可知△ ABC 为等腰三角形，作 BD ⊥AC 于 D，可求 BD==，即可求三角形面积．（II）由余弦定理可得 cosB，即可求 sinB，由（ I）知 A=C ? 2A ﹣ B=π﹣ 2B．进而 sin（ 2A﹣ B）=sin（π﹣2B）=sin2B，代入即可求值．【解答】解：解法一：（I）由 sinA=2sinB? a=2b．又∵ a﹣ b=2，∴ a=4，b=2．cosB===．sinB===．∴ S△ABC = acsinB==．（ II） cosA===．sinA===．sin2A=2sinAcosA=2 ×．cos2A=cos2 A ﹣sin2A=﹣．∴sin（2A ﹣B） =sin2AcosB﹣cos2AsinB==．解法二：（I）由 sinA=2sinB? a=2b．又∵ a﹣ b=2，∴a=4，b=2．又 c=4，可知△ ABC 为等腰三角形．作 BD⊥AC于 D，则BD===．∴S△ABC==．（ II） cosB===．sinB===．由（ I）知 A=C ? 2A ﹣B=π﹣ 2B．∴sin（2A ﹣B） =sin（π﹣2B）=sin2B =2sinBcosB=2××=．18．如图，在长方体 ABCD ﹣A 1B1C1D1中，AB=8 ，BC=5，AA 1=4，平面α截长方体获取一个矩形EFGH，且 A1E=D1F=2，AH=DG=5 ．（1）求截面 EFGH 把该长方体分成的两部分体积之比；（2）求直线 AF 与平面α所成角的正弦值．【考点】 MI ：直与平面所成的角；LF：棱柱、棱、棱台的体．【分析】（1）由意，平面α把方体分成两个高 5 的直四棱柱，化求解体推出果即可．（2）解法一：作 AM ⊥EH，垂足 M ，明 HG⊥AM ，推出 AM ⊥平面 EFGH．通算求出 AM=4 ．AF ，直 AF 与平面α所成角θ，求解即可．解法二：以 DA 、DC、 DD1所在直分 x 、 y 、 z 建立空直角坐系，求出平面α一个法向量，利用直 AF 与平面α所成角θ，通空向量的数量求解即可．【解答】（本分，第 1 小分，第 2 小分 8 分）解：（ 1）由意，平面α把方体分成两个高 5 的直四棱柱，，⋯，⋯因此，．⋯（ 2）解法一：作 AM ⊥EH，垂足 M ，由意， HG⊥平面 ABB 1A 1，故 HG⊥AM ，因此AM ⊥平面EFGH．⋯因，，因此S△AEH =10，）因 EH=5，因此 AM=4 ．⋯又，⋯直 AF 与平面α所成角θ，因此，直 AF 与平面α所成角的正弦．．⋯⋯解法二：以DA 、DC、 DD1所在直分x 、 y、 z 建立空直角坐系，A（5，0，0），H（5，5，0），E（5，2，4），F（0，2，4），⋯故，，⋯α，即平面一个法向量因此可取．⋯直 AF 与平面α所成角θ，．⋯因此，直 AF 与平面α所成角的正弦．⋯19．如，已知 C：（ a＞ b＞ 0）点，两个焦点 F1（1，0）和 F2（1，0）． O 的方程 x2 y22．+=a（1）求 C 的准方程；（2） F1且斜率 k（k＞0）的直 l 与 C 交于 A 、B 两点，与 O 交于 P、Q 两点（点 A 、P 在 x 上方），当 | AF2| ， | BF2| ，| AB | 成等差数列，求弦 PQ 的．【考点】 KH ：直与曲的合；K3：的准方程； KL ：直与的地址关系．【分析】（1）求出 c=1， C 的方程，将点代入，解得 a2=4，尔后求解 C 的方程．（2）由定， | AF1|+| AF2| =4，| BF1|+| BF2 | =4，通 | AF 2| ，| BF2| ，| AB |成等差数列，推出．B（x0，y0），通解得 B，尔后求解直方程，推出弦 PQ 的即可．【解答】（本分，第 1 小分，第 2 小分 8 分）解：（ 1）由意，c=1，⋯C 的方程，将点代入，解得 a2=4（舍去），⋯因此， C 的方程．⋯（2）由定，|AF1|+| AF2|=4，|BF1|+| BF2|=4，两式相加，得 | AB|+| AF2|+| BF2| =8，因 | AF2| ，| BF2| ，| AB| 成等差数列，因此 | AB|+| AF2| =2| BF2| ，于是 3| BF2| =8，即．⋯B（x0， y0），由解得，⋯（或，，解得，，因此）．因此，，直 l 的方程，即，⋯O 的方程 x2+y2，心O 到直l的距离，⋯=4此，弦 PQ 的．⋯20．若是函数 y=f（ x）的定域 R，且存在常数 a，使得于定域内任意x，都有 f （x+a）=f（ x）建立，称此函数 f（ x）拥有“P（ a）性”．（ 1）判断函数 y=cosx 可否拥有“P（a）性”，若拥有“P（a）性”，求出所有a 的的会集；若不拥有“P（a）性”，明原由；（2）已知函数 y=f （x）拥有“P（0）性”，且当 x≤0 ， f （x ）=（x +m）2，求函数 y=f（ x）在区 [ 0，1] 上的域；（3）已知函数 y=g（x ）既拥有“P（0）性”，又拥有“P（ 2）性”，且当 1≤x≤ 1 ，g（x ）=| x| ，若函数 y=g（x）的象与直 y=px 有 2017 个公共点，求数 p 的．【考点】 57：函数与方程的合运用．【分析】（1）依照意可知 cos（x+a） =cos（ x） =cosx，故而 a=2kπ， k∈ Z；（ 2）由新定可推出 f （x）偶函数，进而求出 f（ x）在 [ 0， 1] 上的分析式， m 与[ 0， 1] 的关系判断 f （x）的性得出 f（x）的最；（ 3）依照新定可知 g（x）周期 2 的偶函数，作出 g（ x）的函数象，依照函数象得出 p 的．【解答】解：（1）假 y=cosx 拥有“P（a）性”， cos（ x+a）=cos（ x）=cosx恒建立，∵cos（ x+2kπ）=cosx，∴函数 y=cosx 拥有“P（a）性”，且所有 a 的的会集 { a| a=2kπ，k∈Z} ．（ 2）由于函数 y=f （x）拥有“P（0）性质”，因此 f（ x） =f（﹣ x）恒建立，∴ y=f（ x）是偶函数．设 0≤x≤1，则﹣ x≤0，∴ f（x）=f （﹣ x）=（﹣ x+m）2=（ x﹣ m）2．①当m≤ 0 时，函数 y=f （x）在 [ 0，1] 上递加，值域为 [ m2，（ 1﹣ m）2] ．②当时，函数y=f（ x）在 [ 0， m] 上递减，在[ m，1] 上递加，y min=f（ m）=0，，值域为 [ 0，（1﹣m）2]．③当时， y min =f（m） =0，，值域为[ 0，m2 ] ．④ m＞1 时，函数 y=f（ x）在 [ 0， 1] 上递减，值域为 [ （1﹣m）2，m2] ．（3）∵ y=g（x ）既拥有“P（ 0）性质”，即 g（x ）=g（﹣ x），∴函数 y=g （ x）偶函数，又 y=g（x）既拥有“P（ 2）性质”，即 g（x+2）=g（﹣ x）=g（x），∴函数 y=g（x）是以 2 为周期的函数．作出函数 y=g（x）的图象以下列图：由图象可知，当 p=0 时，函数 y=g（x）与直线 y=px 交于点（ 2k，0）（k∈Z），即有无数个交点，不合题意．当 p＞0 时，在区间 [ 0，2016] 上，函数 y=g（x）有 1008 个周期，要使函数 y=g （ x）的图象与直线 y=px 有 2017 个交点，则直线在每个周期内都有 2 个交点，且第2017 个交点恰好为，因此．同理，当 p＜0 时，．综上，．21．定数列 { a n } ，若足 a1=a（a＞ 0 且 a≠1），于任意的n，m∈N*，都有a n+m=a n?a m，称数列 { a n} 指数数列．（ 1）已知数列 { a n} ，{ b n} 的通公式分，，判断{ a n}，{ b n} 可否是指数数列（需明原由）；（ 2）若数列 { a n} 足： a1=2， a2=4，a n+2=3a n+12a n，明： { a n} 是指数数列；（ 3）若数列 { a n} 是指数数列，（t∈N*），明：数列{ a n}中任意三都不能够构成等差数列．【考点】 8B：数列的用．【分析】（1）利用指数数列的定，判断即可；（ 2）求出 { a n } 的通公式，即可明：{ a n} 是指数数列；（ 3）利用反法行明即可．【解答】（ 1）解：于数列{ a n} ，因a3 =a1+2≠a1?a2，因此 { a n} 不是指数数列．⋯于数列 { b n} ，任意n，m∈ N*，因，因此 { b n} 是指数数列．⋯（ 2）明：由意， a n+2 a n+1（ n+1 a n），=2a因此数列 { a n+1 a n} 是首 a2 a1，公比2的等比数列．⋯=2所以．所以，=，即 { a n} 的通公式（n∈N*）．⋯因此，故 {a n是指数数列．⋯}（ 3）明：因数列{a n是指数数列，故于任意的n，m∈N*，有 a n+m n m，}=a ?a令 m=1，，因此 { a n} 是首，公比的等比数列，因此，．⋯假数列 { a n} 中存在三 a u，a v，a w构成等差数列，不如u＜v＜w，由2a v=a u+a w，得，因此 2（t+4）w﹣v（ t+3）v﹣u=（ t+4）w﹣u+（t +3）w﹣u，⋯当 t 偶数， 2（t+4）w﹣v（t+3）v﹣u是偶数，而（ t+4）w﹣u是偶数，（t+3）w﹣u是奇数，故 2（t+4）w﹣v（t+3）v﹣u=（t+4）w﹣u+（t+3）w﹣u不能够建立；⋯当 t 奇数， 2（t+4）w﹣v（t+3）v﹣u是偶数，而（ t+4）w﹣u是奇数，（t+3）w﹣u是偶数，故 2（t+4）w﹣v（t+3）v﹣u=（t+4）w﹣u+（t +3）w﹣u也不能够建立．⋯因此，任意 t∈N*，2（t+4）w﹣v（ t+3）v﹣u=（t+4）w﹣u+（t+3）w﹣u不能够建立，即数列 { a n } 的任意三都不行构成等差数列．⋯2017年 5月 22日。

上海长宁、嘉定区2019年高三下学期二模-数学(文)

上海长宁、嘉定区2019年高三下学期二模-数学（文）上海市长宁、嘉定区2018届高三下学期二模数学〔文〕试题一、填空题〔本大题总分值56分，共14小题，每题4分〕1、函数)32sin()(π+=x x f 的最小正周期是__________、2、假设关于x 的不等式2230x x a -+<的解集为(,1)m ，那么实数=m _________、3、〔文〕集合{}{}Z x x B a A x ∈<<=-=,931,,0,1，假设AB ≠∅，那么实数a 的值是、4、复数z 满足1i z -＝3，那么复数z 的实部与虚部之和为__________、5、求值：1220132013201320132013124(2)C C C -+-+-=___________、6、向量||).,5(),2,2(k +=-=若不超过57、设1,0≠>a a ，行列式34210231D -=xa 中第3第2列的代数余子式记作y ，函数()x f y =数图像经过点()1,2，那么a = 、8、〔文〕135sin ,53)cos(-==-ββα，且 )0,2(),2,0(πβπα-∈∈，那么=αsin _____、9、〔文〕如图是一个算法框图，那么输出的k 的值是____________、 10、〔文〕设函数21x y -=的曲线绕x 轴旋转一周所得几何体的表面积__________、11、〔文〕从4名男生和3名女生中任选3人参加会议，那么选出3人中至少有名女生的概率是__________、12、〔文〕函数x x x x f 4|4|)(22-+-=的单调递减区间是___________、 13.〔文〕变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-+.01,033,032y y x y x 假设目标函数y ax z +=仅在点)0,3(处取到最大值，那么实数a 的取值范围_______________.14、〔文〕设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，6,231==a a ，假设自然数,...,...,21k n n n 文第9题满足......321<<<<<k n n n ，且,......,,131k n n a a a a 是等比数列，那么k n =_______________.二、选择题〔本大题总分值20分，共4小题，每题5分〕15. ),(11b a A ，),(22b a B 是坐标平面上不与原点重合的两个点，那么OA OB ⊥的充要条件是〔〕A 、12211-=⋅a b a b B.02121=+b b a a C.2121b b a a = D.1221b a b a = A 、假设,,//m l =⋂βαα那么m l //B 、假设,//,ααm l ⊥那么m l ⊥C 、假设,//,//ααm l 那么m l //D 、假设l m l ⊥,//α，那么α⊥m17.过点(1,1)P 作直线与双曲线2212y x -=交于A 、B 两点，使点P 为AB 中点，那么这样的直线〔〕A 、存在一条，且方程为210x y --=B 、存在无数条C 、存在两条，方程为()210x y ±+=D 、不存在18.〔文〕函数2()21,()1,x f x g x x =-=-构造函数()F x ，定义如下：当|()|(),()|()|,|()|(),()()f x g x F x f x f x g x F x g x ≥=<=-时当时，那么()F x 〔〕A 、有最小值0，无最大值B 、有最小值1-，无最大值C 、有最大值1，无最小值D 、无最小值，也无最大值三、解答题〔本大题总分值74分，共5小题〕19.〔文〕〔此题总分值12分，第1小题总分值6分，第2小题总分值6分〕如图，点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，AB 为圆O 的直径，圆柱1OO 的表面积为24π，2OA =，120AOP ∠=︒、〔1〕求三棱锥1A APB -的体积；〔2〕求异面直线1A B 与OP 所成角的大小、〔结果用反三角函数值表示〕、20.〔此题总分值12分，第1小题总分值6分，第2小题总分值6分〕在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边a ，b ，c 成等比数列、〔1〕求证：03B π<≤；〔2〕求1sin 2sin cos B y B B+=+的取值范围、 21.〔此题总分值14分，第1小题总分值4分，第2小题总分值10分〕设函数)10()1()(≠>--=-a a a k a x f x x 且是定义域为R 的奇函数、1A 1A〔1〕求k 的值；〔2〕〔文〕假设0)1(<f ，试说明函数)(x f 的单调性，并求使不等式0)4()(2<-++x f tx x f 恒成立的的取值范围、22.〔此题总分值18分，第1小题总分值4分，第2小题总分值8分，第3小题总分值6分〕如图，点)1,0(F ，直线m ：1-=y ，P 为平面上的动点，过点P 作m 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅、〔1〕求动点P 的轨迹C 的方程；〔2〕〔文〕过轨迹C 的准线与y 轴的交点M 作方向向量为)1,(a d =→的直线m '与轨迹C 交于不同两点A 、B ，问是否存在实数a 使得FB FA ⊥？假设存在，求出a 的范围；假设不存在，请说明理由；〔3〕〔文〕在问题〔2〕中，设线段AB 的垂直平分线与y 轴的交点为),0(0y D ，求0y 的取值范围、23、〔此题总分值18分，第1小题总分值4分，第2小题总分值8分，第3小题6分〕〔文〕数列}{n a 的前n 项和为n S ，且对于任意*N ∈n ，总有)1(2-=n n a S 、〔1〕求数列}{n a 的通项公式；〔2〕在n a 与1+n a 之间插入n 个数，使这2+n 个数组成等差数列，当公差d 满足43<<d 时，求n 的值并求这个等差数列所有项的和T ；〔3〕记)(n f a n =，如果)log (2m n f n c n ⋅⋅=〔*N ∈n 〕，问是否存在正实数m ，使得数列}{n c 是单调递减数列？假设存在，求出m 的取值范围；假设不存在，请说明理由、参考答案【一】填空题〔每题4分，共56分〕1、π2。

2018届长宁、嘉定区高考数学二模(附标准答案)

上海市长宁、嘉定区高三数学二模考试试题 文(含解析)

上海市2018年嘉定(长宁)区高三年级第二次质量调研(二模)数学试卷(简答)

上海市长宁区、青浦区、宝山区、嘉定区2017-2018学年高三数学二模试卷(文科) Word版含解析

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