盘点任意角的三角函数中的常见误区
第五章 三角函数典型易错题集(解析版)
第五章 三角函数典型易错题集易错点1．忽略顺时针旋转为负角，逆时针旋转为正角。
【典型例题1】（2022·全国·高一专题练习）将手表的分针拨快10分钟，则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是（ ） A ．6πB ．3π C ．6π-D ．3π-【错解】B将手表的分针拨快10分钟，则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是102603ππ⨯=. 点评：学生对角的理解还是局限在0360之间，把角都当成正数，容易忽视角的定义，顺时针旋转为负，逆时针旋转为正。
【正解】D 【详解】将手表的分针拨快10分钟，则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是102603ππ-⨯=-. 故选：D.易错点2．在三角函数定义中，忽略点坐标值的正负。
【典型例题2】（2022·湖北襄阳·高一期中）设α是第三象限角，(),4P x -为其终边上的一点，且1cos 5x α=，则tan α=（ ） A ．43-或43B ．34C ．43D ．34-【错解】A解：(,4)P x -为其终边上的一点，且1cos 5x α=， ∴15x，解得：3x =±，所以(3,4)P ∴--或者(3,4)P ∴-，所以44tan 33α-∴==-或者44tan 33α-∴==-点评：学生在解此类问题时往往忽略了角α15x=方程时容易造成两种错误:①293a a =⇒=,这类错误往往学生只能看到正根，没有负根。
②第二类错误，本题也解出了3x =±，但是忽视了本题α是第三象限角，此时x 是负数，要舍去其中的正根。
【答案】C 【详解】解：(,4)P x -为其终边上的一点，且1cos 5x α=， ∴15x，解得：0x =或3x =±， 又α是第三象限角，0x ∴<，3x ∴=-，(3,4)P ∴--， 44tan 33α-∴==-． 故选：C ．易错点3．分数的分子分母同乘或者同除一个数，分数的值不变（分数基本性质）【典型例题3】（2022·安徽省五河第一中学高二月考）已知tan 2θ=则22sin sin cos 2cos θθθθ+-的值为________． 【错解】4222222sin sin cos 2cos (sin sin cos 2cos )cos tan tan 24θθθθθθθθθθθ+-=+-÷=+-=点评：学生在此类问题时多数出现分式问题，习惯了分子分母同除以cos θ（或者2cos θ），但本题是一个整式，要先化成分式，才能进一步同时除以cos θ（或者2cos θ）。
三角函数题型常见的八个易错点
三角函数模块常见的八个易错点易错点1：不能正确理解三角函数的定义例题1： 角α的终边落在直线y ＝2x 上，则sin α的值为错解：在角的终边上取点P (1,2)，∴r ＝|OP |＝12＋22＝5，∴sin α＝y r ＝25＝255错因：当角的终边在一条直线上时，应注意到角的终边为两条射线，所以应分两种情况处理而错解中没有对两种情况进行讨论导致错误解析：当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P (1,2) 由r ＝|OP |＝12＋22＝5，得sin α＝25＝255当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q (－1，－2)∴r OQ ===sin α＝－25＝－255变式1： 已知角的终边过点P ,,则角的正弦值、余弦值分别为 解析：当0m <时，||,OP = 所以sin αα====当0m >时，||,OP =所以sin ,cos 55αα====总结：本题主要考查了三角函数的定义以及分类讨论思想方法，这也是高考考查的一个重点，在做题时容易遗忘0m <的情况α(,2)m m 0m ≠α易错点2 利用同角三角函数基本关系式时忽略参数取值例题2： 已知cos θ＝t ，求sin θ、tan θ的值． 错解：①当0<t <1时，θ为第一或第四象限角.θ为第一象限角时，sin θ＝1－cos 2θ＝1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝1－t 2t ；θ为第四象限角时，sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝－1－t 2t. ②当－1<t <0时，θ为第二或第三象限角. θ为第二象限角时，sin θ＝1－cos 2θ＝1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝1－t 2t； θ为第三象限角时，sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝－1－t 2t.综上，sin θθθ=⎪⎩为第一、二象限角为第三、四象限角tan t θθθ=⎨⎪⎪⎩为第一、二象限角为第三、四象限角 错因：上述解法注意到了θ的余弦值含有参数t ，根据余弦函数的取值范围对t 进行分类讨论，但上述讨论不全面，漏掉了很多情况，如t ＝－1，t ＝0，t ＝1 解析：①当t ＝－1时，sin θ＝0，tan θ＝0 ②当－1<t <0时，θ为第二或第三象限角 若θ为第二象限角，则sin θ＝1－t 2，tan θ＝1－t 2t若θ为第三象限角，则sin θ＝－1－t 2，tan θ＝－1－t2t③当t ＝0时，sin θ＝1，tan θ不存在或sin θ＝－1，tan θ不存在 ④当0<t <1时，θ为第一或第四象限角若θ为第一象限角，则sin θ＝1－t 2，tan θ＝1－t 2t若θ为第四象限角，则sin θ＝－1－t 2，tan θ＝－1－t 2t⑤当t ＝1时，sin θ＝0，tan θ＝0综上得：变式2： 如果,那么解析：()222sin801cos 801cos 801k =-=--=-sin80tan100tan80cos80k∴=-=-=-总结：要作出正确选择，需认真选择诱导公式，不能错用公式．对于nπ＋α，若n 是偶数，则角nπ＋α的三角函数值等于角α的同名三角函数值；若n 为奇数，则角nπ＋α的三角函数值等于角π＋α的同名三角函数值．cos(80)k -︒=tan100︒=易错点3 不能准确运用诱导公式进行化简求值例题3： 若sin θ＝33，求cos(π)cos(2π)3ππ3πcos [sin()1]cos(π)sin()sin()222θθθθθθθ--+--++-+的值错解：原式＝cos cos (sin 1)θθθ--＋cos θcos θsin θ＋cos θ＝－cos θcos θsin θ＋cos θ＋cos θcos θsin θ＋cos θ＝0. 错因：错解中混淆了诱导公式sin(3π2－θ)＝－cos θ，sin(3π2＋θ)＝－cos θ，cos(π－θ)＝－cos θ，cos(π＋θ)＝－cos θ. 解析：原式＝cos cos (cos 1)θθθ---＋cos θ－cos θcos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝2sin 2θ，因为sin θ＝33，所以所求三角函数式的值为6=.变式3： 若n ∈Z ，在①sin ⎝⎛⎭⎫n π＋π3；②sin ⎝⎛⎭⎫2n π±π3；③πsin[π(1)]3n n +-；④πcos[2π(1)]6n n +-中，与sin π3相等的是A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③解析：①sin ⎝⎛⎭⎫n π＋π3＝⎩⎨⎧sin π3，n 为偶数sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3，n 为奇数＝⎩⎨⎧sin π3，n 为偶数－sin π3，n 为奇数.②sin ⎝⎛⎭⎫2n π±π3＝sin(±π3)＝±sin π3. ③ππsin[(1)],sin ,π33sin[π(1)]=πππ3sin[π(1)],sin(π)sin ,333n nn n n n n n ⎧⎧-⎪⎪⎪⎪+-=⎨⎨⎪⎪+--=⎪⎪⎩⎩为偶数为偶数为奇数为奇数 . ④ππππcos[2π(1)]cos[(1)]cos sin 6663nn n +-=-⋅==. 故③④与sin π3相等，应选B ．易错点4 不能正确理解三角函数图象变换规律例题4： 为得到函数y ＝cos(2x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象 A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位错解：y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π3＋π2)＝sin2(x ＋5π12)，因此向右平移5π12个长度单位，故选B ． 错因：没有注意到变换方向导致了错解，目标是y ＝cos(2x ＋π3)的图象．解析：y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π3＋π2)＝sin(2x ＋5π6)＝sin2(x ＋5π12)，因此将函数y ＝sin2x 的图象向左平移5π12个长度单位即可．故选A ．变式4： 将函数()()ππsin 2()22f x x θθ=+-<<的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象,若()f x ,()g x的图象都经过点P ,则ϕ的值可以是 A ．53π B ．56π C ．2πD ．6π 解析：依题意()()()sin 2sin 22g x x x ϕθθϕ=-+=+-⎡⎤⎣⎦,因为()f x ,()g x的图象都经过点P ,所以()sin sin 22θθϕ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩, 又因为22θππ-<<,所以3θπ=,所以2233k ϕππ-=π+或22233k ϕππ-=π+,k ∈Z , 解得k ϕ=-π或ππ6k ϕ=--,k ∈Z , 在6k ϕπ=-π-,k ∈Z 中,取1k =-,即得56ϕ=π,故选B.易错点5 注意符号对三角函数性质的影响例题5： 已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2.（1）求f (x )的单调递增区间；（2）若x ∈[－π，π]，求f (x )的最大值和最小值．错解：（1）由－π≤π3－x 2≤0得，2π3≤x ≤8π3，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2π3，8π3. （2）∵－1≤cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2≤1，∴[f (x )]ma x ＝2，[f (x )]min ＝－2.错因：（1）忽略了函数f (x )的周期性；（2）忽略了x ∈[－π，π]对函数f (x )的最值的影响 解析：（1）∵f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3.由2k π－π≤x 2－π3≤2k π得，4k π－4π3≤x ≤4k π＋2π3(k ∈Z )．故f (x )的单调增区间为[4k π－4π3，4k π＋2π3](k ∈Z )．（2）由－π≤x ≤π⇒－5π6≤x 2－π3≤π6.当x 2－π3＝0，即x ＝2π3时，f (x )ma x ＝2，当x 2－π3＝－5π6，即x ＝－π时，f (x )min ＝－3变式5： （1）函数tan(2)3y x π=-的单调递减区间是______（2）已知函数y ＝a sin x ＋2，x ∈R 的最大值为3，则实数a 的值是______（3）若函数y ＝tan(2x ＋θ)的图象的一个对称中心为(π3，0)，且－π2<θ<π2，则θ的值是_____解析：（1）把函数tan(2)3y x π=-变为tan(2)3y x π=--由2,232k x k k ππππ-<-<π+∈Z ，得2,66k x k k π5ππ-<<π+∈Z 即5,212212k k x k ππππ-<<+∈Z,tan(2)3y x π=-减区间为5(,)()212212k k k ππππ-+∈Z （2）若a >0时，当sin x ＝1时，函数y ＝a sin x ＋2取最大值a ＋2，∴a ＋2＝3，∴a ＝1 若a <0，当sin x ＝－1时，函数y ＝a sin x ＋2(x ∈R )取得最大值－a ＋2＝3，∴a ＝－1 综上可知，a 的值为±1（3）易知函数y ＝tan x 的图象的对称中心为(k π2，0)，其中k ∈Z所以2x ＋θ＝k π2，其中x ＝π3，即θ＝k π2－2π3，k ∈Z因为－π2<θ<π2，所以当k ＝1时，θ＝－π6；当k ＝2时，θ＝π3.即θ＝－π6或π3易错点6 三角恒等变换中忽略角的范围致误例题6： 已知α、β为三角形的两个内角，cos α＝17，sin （α＋β，则β＝错解：∵0<α<π，cos α＝17，∴sin α7=.又∵sin （α＋β）＝14，∴cos （α＋β11.14-∴sin β＝sin[（α+β）－α]＝sin （α＋β）cos α－cos （α＋β）sin α 又∵0<β<π，∴β＝233ππ或. 错因：（1）不能根据题设条件缩小α、β及α＋β取值范围，在由同角基本关系式求sin （α＋β）时不能正确判断符号，产生两角（2）结论处应由cos β的值确定β的取值，由sin β确定结论时易出现两解而造成失误解析：因为0<α<π，cos α＝17，所以sin α=，故32αππ<<又因为0<α＋β<π，sin （α＋β）＝142<，所以0<α＋β<3π或32π<α＋β<π由3π<α<2π知32π<α＋β<π，所以cos （α＋β1114∴cos β＝cos[（α＋β）－α]＝cos （α＋β）cos α＋sin （α＋β）sin α＝12.又0<β<π，∴β＝3π变式6： （1）已知△ABC 中，sin(A ＋B )＝45，cos B ＝－23，则cos A 的值为（2）已知sin α－sin β＝－23，cos α－cos β＝23，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则tan(α－β)的值为 解析：（1）在△ABC 中，∵cos B ＝－23<0，∴B 为钝角，且sin B ＝53，∴A ＋B 为钝角由sin(A ＋B )＝45，得cos(A ＋B )＝－35∴cos A ＝cos[(A ＋B )－B ]＝cos(A ＋B )cos B ＋sin(A ＋B )sin B ＝－35×⎝⎛⎭⎫－23＋45×53＝6＋4515（2）由题知sin α－sin β＝－23①， cos α－cos β＝23②由于sin α－sin β＝－23<0，所以－π2<α－β<0由①2＋②2，得cos(α－β)＝59，所以sin(α－β)＝－2149.所以tan(α－β)＝－2145易错点7 求函数y=Asin(ωx+φ)的性质时出错例题7： 函数y ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋50°)的最大值为 错解：函数的最大值为52＋42＝41.错因：形如y ＝asin x ＋bcos x 的函数的最大值为a 2＋b 2，而函数y ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋50°)不符合上述形式．解析：y ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋50°)＝5sin(x ＋20°)＋4cos[(x ＋20°)＋30°] ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋20°)cos30°－4sin(x ＋20°)sin30°＝5sin(x ＋20°)＋23cos(x ＋20°)－2sin(x ＋20°)＝3sin(x ＋20°)＋23cos(x ＋20°)，∴max y ==变式7： 已知函数2()sin 22sin f x x x =-（1）求函数()f x 的最小正周期（2）求函数()f x解析：（1）因为2()sin 22sin f x x x =-sin 2(1cos2x x =--所以函数()f x（2所以()f x [1]-易错点8 解三角形时忽略角的取值范围致误例题8： 在ABC △中，若3C B =，则c b的取值范围为 错解：由正弦定理，可得2222sin sin 3sin 2cos cos2sin =2cos cos24cos 1sin sin sin 0cos 1,14cos 13,0,0,03c C B B B B B B B B b B B BcB B b c b+===+=-≤<∴-≤-<>><<由可得错因：错解中没有考虑角B 的取值范围，误认为角B 的取值范围为()0,180︒︒ 解析：由正弦定理可得222sin sin 3sin 2cos cos2sin =2cos cos24cos 1sin sin sin 180,3,045,cos 1214cos 13,13c C B B B B B B B B b B B BA B C C B B B cB b+===+=-++=︒=∴︒<<︒<<∴<-<<<即变式8： 已知,21,21a a a -+是钝角三角形的三边，则实数a 的取值范围为解析：因为,21,21a a a -+是三角形的三边，所以01210,2210a a a a >⎧⎪->>⎨⎪+>⎩即①所以21a +是三角形的最大边，设其所对的角为θ（钝角）则222(21)(21)cos 02(21)a a a a a θ+--+=<-，化简得280a a -<，解得08②a <<要使,21,21a a a -+构成三角形，需满足21212121,2121a a a a a a a a a ++>-⎧⎪+->+⎨⎪-++>⎩即2③a >结合①②③，可得28.a <<。
高中数学三角函数图像和性质易错点梳理(附例题详解)
3π 2
；
“第五点”为ωx＋φ=2π.
题组一：三角函数的图像与性质
1．（2011 新课标）设函数 f (x) sin(2x ) cos(2x ) ，则（ ）
4
4
A． y f (x) 在 (0, ) 单调递增，其图象关于直线 x 对称
2
4
B． y f (x) 在 (0, ) 单调递增，其图象关于直线 x 对称
12
个
单位长度，得到曲线 C2
【解析】把C2 的解析式运用诱导公式变为余弦，
C2
：
y
sin(2x
2 3
)
cos[
2
(2x
2 3
)]
cos[(2x
6
)]
cos(2x
6
)
则由
C1
图象横坐标缩短为原来的
1 2
，再把得到的曲线向左平移
12
个单位长度，得到曲线
C2 ．选 D
9．（2016 全国 II）若将函数 y 2sin 2x 的图像向左平移 个单位长度，则平移后图象的对
4
D. π
【解析】解法一 f (x) cos x sin x 2 cos(x π) ，且函数 y cos x 在区间
4
[0, ]上单调递减，则由 0 ≤ x ≤ ，得 ≤ x ≤ 3 ．
4
4
4
因为
f
(x)
在[a,
a]
上是减函数，所以
aa≤≥344
，解得
a
≤
4
，
解法二 因为 f (x) cos x sin x ，所以 f (x) sin x cos x ，
2
y sin(2x ) 的图象重合，则 _________．
三角函数的概念(1)三角函数的定义(讲)高一数学同步讲练测(新教材人教A版必修第一册)
专题19三角函数的概念（1）三角函数的定义（讲）本节知识点与题型快速预览知识点课前预习与精讲精析1．任意角的三角函数的定义(1)单位圆在直角坐标系中，我们称以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．(2)三角函数的定义①如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ；x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x(x ≠0)． 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．②我们也可以利用角α终边上任意一点的坐标来定义三角函数．设α是一个任意角，α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2>0)，那么：比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝ y r； 比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝ x r； 比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝ y x． 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数(trigonometric function)．[知识点拨](1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集．(2)要明确sin α是一个整体，不是sin 与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f (x )表示自变量为x 的函数一样，离开自变量的“sin ”“cos ”“tan ”等是没有意义的．(3)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，所以三角函数可以看成是自变量为实数的函数．(3)定义域：如表所示三角函数解析式 定义域 正弦函数y ＝sin x R 余弦函数y ＝cos x R 正切函数y ＝tan x {x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }2．三角函数值的符号sin α、cos α、tan α在各个象限的符号如下：[知识点拨]正弦、余弦和正切函数在各象限的符号可用以下口诀记忆：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正．3．公式一(k∈Z)sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，tan(α＋2kπ)＝tanα．[知识点拨]该组公式说明：终边相同的角的同名三角函数值相等；如果给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(不存在者除外)，反过来，如果给定一个三角函数值，却有无数多个角与之对应．4．有向线段一条线段有两个端点，如果规定其中一个端点为起点，另一个为终点，这条线段被看做带有方向，于是把它叫做有向线段．表示有向线段时，要先写起点的字母，后写终点的字母．当有向线段与数轴平行时，我们可根据此线段的方向(从起点向终点)与数轴的方向相同或相反，分别把它的长度加上正号或负号，这样所得的数，就是此有向线段的数值，它是一个实数，如图所示，有向线段AB＝2，CD＝1，而有向线段BA＝－2，DC＝－1．5．三角函数线的作法如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于点P(角α的顶点与原点重合，角α的始边与x 轴的非负半轴重合)．过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过点A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点，这样就有sinα＝MP，cosα＝OM，tanα＝AT.单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线．[知识点拨]①三角函数线的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中正弦线和余弦线在单位圆内，正切线在单位圆外．②三角函数线的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向切线与α的终边(或反向延长线)的交点．③三角函数线的正负：三条有向线段凡与x轴正方向或y轴正方向同向的为正值，与x轴正方向或y轴正方向反向的为负值．④三角函数线的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后．⑤三角函数线的意义：三角函数线的方向表示三角函数值的符号；三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值．6．三角函数线的作用(1)用三角函数线可以比较两数的大小．在代数中，我们经常采用作差、作商、利用函数的单调性等方法比较大小，而三角函数线就表示了三角函数值的大小，所以在比较一些三角函数值的大小时，常采用比较三角函数线的方法，更加方便与直观．(2)利用三角函数线可以求角或角的范围，即解简单的三角方程或三角不等式．即由三角函数线得三角函数值，再找角的终边，进而找到角的值或取值范围．1．若点P在角的终边上，且|OP|＝2（点O为坐标原点），则点P的坐标为．【解析】解：点P在角的终边上，且|OP|＝2（点O为坐标原点），设点P的坐标为（a，b），a＜0，b＞0．则a2+b2＝4，且tan，求得a，b＝﹣1（舍去），或a，b＝1，故点P的坐标为（，1），故答案为：（，1）．2．已知角α终边落在直线上，求值：．【解析】解：当角α终边落在直线（x≥0）上，α为锐角，sinα cosα均为正值，且tanα，再结合sin2α+cos2α＝1，求得sinα，cosα，则2．当角α终边落在直线（x＜0）上，α∈（π，），sinα cosα均为负值，且tanα，再结合sin2α+cos2α＝1，求得sinα，cosα，则，故答案为：2或．3．函数的值域为．【解析】解：当角是第一象限中的角时，y＝1+1＝2，当角是第二象限的角时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，当角是第三象限的角时，y＝﹣1+1＝0，当角是第四象限的角时，y＝1﹣1＝0，可知函数的值域是{﹣2，0，2}，故答案为：{﹣2，0，2}．4．若cosα＞0，tanα＜0，则α在第象限．【解析】解：∵cosα＞0，∴α在第一象限或第四象限或x轴正半轴，∵tanα＜0，∴α在第二象限或第四象限，综上，α在第四象限．故答案为：四．5．若，则点P（tanθ，sinθ）位于第象限．【解析】解：∵，∴tanθ＜0，sinθ＞0，故点P（tanθ，sinθ）位于第二象限，故答案为：二．典型题型与解题方法重要考点一：利用三角函数的定义求三角函数值【典型例题】已知角α和角β的终边垂直，且角α终边上一点坐标P（1，2），则tanα＝，cosβ＝．【解析】解：由任意角的三角函数的定义可知tanα2，可得sinα，所以cosβ＝cos（α±）＝±sinα＝±．故答案为：2，±．【题型强化】已知a＜0，角α的终边上有一点P（3a，﹣4a），则sinα＝．【解析】解：由三角函数的定义可知sinα，当a＜0时，sinα．故答案为：．【收官验收】已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（，），则tanα＝，cos2α＝．【解析】解：∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（，），则tanα，cos2α，故答案为：；．【名师点睛】(1)已知角α的终边在直线上的问题时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上任意一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值sinα＝ba2＋b2，余弦值cosα＝aa2＋b2，正切值tanα＝ab．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．重要考点二：三角函数在各象限内符号的应用【典型例题】如果sinθ＞0，tanθ＜0，那么角θ所在象限是．【解析】解：根据题意，若sinθ＞0，θ为第一二象限的角，tanθ＜0，θ为第二四象限的角，则sinθ＞0，tanθ＜0，则θ为第二象限的角，故答案为：第二象限【题型强化】若点P（sin2θ，2sinθ）位于第三象限，那么角θ终边落在第象限．【解析】解：根据题意，点P（sin2θ，2sinθ）位于第三象限，则有，即，则有，则角θ终边落在第四象限；故答案为：四【收官验收】已知α是第三象限的角，则sin（cosα）•cos（sinα）的符号是号（填正或负）【解析】解：∵α是第三象限的角，∴﹣1＜cosα＜0，﹣1＜sinα＜0，则sin（cosα）＜0，cos（sinα）＞0，即则sin（cosα）•cos（sinα）＜0，故答案为：负．【名师点睛】(1)能准确判定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键；(2)要熟记三角函数值在各象限的符号规律．重要考点三：分类讨论思想在化简三角函数式中的应用【典型例题】已知扇形的圆心角为θ，其弧长是其半径的2倍，则．【解析】解：圆心角θ2，∵2＜π，∴sinθ＞0，cosθ＜0，tanθ＜0，∴1﹣1﹣1＝﹣1，故答案为：﹣1【题型强化】函数y的值域是．【解析】解：由题意可得：sin x≠0，cos x≠0，tan x≠0，角x的终边不在坐标轴上，当x∈（2kπ，2kπ），k∈Z时，y1+1+1＝3；当x∈（2kπ，2kπ+π），k∈Z时，y1﹣1﹣1＝﹣1；当x∈（2kπ+π，2kπ），k∈Z时，y1﹣1+1＝﹣1；当x∈（2kπ，2kπ+2π），k∈Z时，y1+1﹣1＝﹣1．可得：函数y的值域是{3，﹣1}．故答案为：{3，﹣1}．【收官验收】设α角属于第二象限，且|cos|＝﹣cos，则角属于象限．【解析】解：∵|cos|＝﹣cos，∴cos0，∵α角属于第二象限，∴属于第一或三象限，∴角属于第三象限，故答案为：三【名师点睛】对于多个三角函数符号的判断问题，要进行分类讨论．重要考点四：三角函数定义理解中的误区【典型例题】已知角α的终边经过点P（x，﹣6），且cosα，则x＝．【解析】解：由题意可得cosα，求得x＝﹣8，故答案为：﹣8．【题型强化】已知点P（cosθ，sinθ）在第三象限，则角θ的终边落在第象限．【解析】解：∵点P（cosθ，sinθ）在第三象限，∴cosθ＜0，θ可能在第三象限或者第二象限或x轴的负半轴，sinθ＜0，θ可能在第三象限或者第四象限或y轴的负半轴，所以θ在第三象限．故答案为：三．【收官验收】α，β∈{1，2，3，4，5}，那么使得sinα•cosβ＜0的数对（α，β）有个．【解析】解：∵1在第一象限，2，3在第二象限，3，4在第三象限，5在第四象限，若sinα•cosβ＜0，则若α是第一象限，则β是第三象限，此时为（1，3），（1，4），若α是第二象限，则β是第三象限，此时为（2，3），（2，4），（3，3），（3，4），若α是第三象限，则β是第一或第四象限，此时为（3，1），（4，1），（3，5），（4，5），若α是第四象限，则β是第一或第四象限，此时为（5，1），（5，3），（5，4），综上共有13个，故答案为：13重要考点五：利用三角函数线比较大小【典型例题】设a＝sin24°，b＝tan38°，c＝cos52°，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b【解析】解：a＝sin24°，b＝tan38°，c＝cos52°＝sin28°，根据单位圆的三角函数线：AB＝b，EF＝c，CD＝a，即：tan38°＞sin28°＞sin24°，即a＜c＜b，故选：D．【题型强化】sin4，cos4，tan4的大小关系是（）A．sin4＜tan4＜cos4 B．tan4＜sin4＜cos4C．cos4＜sin4＜tan4 D．sin4＜cos4＜tan4【解析】解：如图作单位圆，∵4，∴tanα＝AT＞0，sinα＝BP＜0，cosα＝OB＜0；故BP＜OB＜AT；故sin4＜cos4＜tan4；故选：D．【收官验收】已知sinθ，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的范围．【解析】解：画出三角函数线如图．由图可知角θ的范围是{θ|2kπθ≤2kπ或2kπx≤2kπ，k∈Z}【名师点睛】利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点：(1)关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线．(2)注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向．重要考点六：利用三角函数线求解不等式【典型例题】利用单位圆和三角函数线，分别求出使下列各组条件成立的x的集合．（1）；（2）tan x．【解析】解：（1）画出图形，如图所示；单位圆中的三角函数线同时满足sin x，cos x的x是，k∈z；即x的取值范围是{x|2kπx≤2kπ，k∈z}．（2）（2）如图①所示，过点（1，）和原点作直线交单位圆于P和P′，则射线OP、OP′就是满足tan x的角x的终边，∵在[0，2π）内，满足条件的∠POx＝π，∠P′Ox；∴满足条件tan x的角x的集合是{x|x kπ，k∈Z}，则满足tan x的角x的集合是{x|kπ≤x kπ，k∈Z}．【题型强化】利用三角函数线比较下列各组三角函数值的大小：（1）sin与sinπ（2）cos与cos（）（3）tan与tanπ【解析】解：（1）sin与sinπ，sin与sinπ对应的三角函数线如图①所示：即sin NB，sinπ＝MA，则有sinπ＞sin；（2）cos与cos（）cos与cos（）对应的三角函数线如图②所示：cos OM，cos（）＝ON，则有cos cos（）；（3）tan与tanπ，tan与tanπ对应的三角函数线如图③所示：即有tan AM，tanπ＝AN，则有tanπ＞tan．【收官验收】利用单位圆，求适合下列条件的角的集合．（1）cosα；（2）sinα．【解析】解：（1）在单位圆内作出cosα的三角函数线如图1所示；在[0，2π）内，cos cos，OA，OB分别为，的终边，由余弦线可知，满足cosα的角的取值集合是{α|α2kπ或α2kπ，k∈Z}；（2）在单位圆内作出sinα的三角函数线如图2所示；在[0，2π）内，sin sin，OA，OB分别为，的终边，由正弦线可知，满足sinα的角的解集为{α|2kπ≤α2kπ，k∈Z}．【名师点睛】利用三角函数线解sinα≥a，sinα≤a(|a|<1)型不等式的具体方法为：①如图所示，画出单位圆；②过y轴上一点M(0，a)作y轴的垂线，交单位圆于P，P′两点，作射线OP，OP′；③写出射线OP与OP′对应的角；④图中阴影部分(包括边界)即满足sinα≤a(|a|<1)的角α的终边所在的范围，空白部分(包括边界)即满足sinα≥a(|a|<1)的角α的终边所在的范围．重要考点七：利用三角函数线证明几何结论【典型例题】当α∈（0，）时，求证：sinα＜α＜tanα．【解析】证明：方法一：由0＜α，可得sinα、α、tanα都是正实数．设f（α）＝α﹣sinα，求导得：f′（α）＝1﹣cosα＞0，因此，f（α）＝α﹣sinα在α∈（0，）上是个增函数，则有f（α）＝α﹣sinα＞f（0）＝0，即sinα＜α．同理，令g（α）＝tanα﹣α，则g′（α）1＞0，∴，g（α）＝tanα﹣α在α∈（0，）上也是个增函数，也有g（α）＝tanα﹣α＞g（0）＝0，即tanα＞α．综上，当α∈（0，）时，sinα＜α＜tanα．方法二：如图，设角a的终边与单位圆相交于点P，单位圆与X轴正半轴的交点为A，过点A作圆的切线交OP的延长线于T，过P作PM⊥OA于M，连结AP，则sinα＝MP，，tanα＝AT，∵S△POA＜S扇形POA＜S△OAT，∴，∴MP AT，∴sinα＜α＜tanα．【题型强化】设α是锐角，利用单位圆证明下列不等式：（1）sinα+cosα＞l；（2）sinα＜α＜tanα．【解析】证明：（1）α为锐角，角α的终边落在第一象限，设角α的终边与单位圆交于点P（x，y）时，过P作PM⊥x轴于点M，作PN⊥Y轴于点N（如图），则sinα＝MP，cosα＝OM＝NP，利用三角形两边之和大于第三边有：sinα+cosα＝MP+OM＞1，得证．（2）∵如图所示：S△OP A＜S扇形OP A＜S△OAE，S△OP A•1•BP，S扇形OP A•1•，S△OAE•1•AE，∴BP AE，∴sinα＜α＜tanα．【收官验收】利用三角函数线证明：若0＜α＜β，则有β﹣α＞sinβ﹣sinα．【解析】证明：如图所示，∠AOQ＝α，∠AOP＝β，单位圆O与x轴正半轴交于点A，与角α，β的终边分别交于点Q，P，过Q，P分别作OA的垂线，设垂足分别为M，N，则由三角函数线的定义可知，sinα＝NQ，sinβ＝MP，过点Q作OH⊥MP，垂足为H，于是MH＝NQ，则HP＝MP﹣MH＝MP﹣NQ＝sinβ﹣sinα．设的长分别为m，p，q，则由图可知HP＜m＝p﹣q＝β﹣α，即β﹣α＞sinβ﹣sinα．【名师点睛】解答利用三角函数线求解不等式这类题目时，一般先根据三角函数值的范围找出角的终边所在的区域，在找角的终边所在的区域时，注意对正弦要找单位圆上的纵坐标，对余弦应在单位圆上找横坐标，根据这些坐标找出单位圆上满足要求的弧，即可找到角的终边所在的区域，再根据角的终边所在的区域写出角的范围．。
谈谈三角函数问题的几类常见错误
谈谈运用两角和差公式时几类常见错误三角函数知识公式多、内容多、知识点多，因此产生错误的地方也较多， 在解题时稍有不慎就会进入误区且不易觉察．本文将平常积累的学生易范的错误展示出来并加以评析，望同学们能引以为诫，在做题时避免错误的发生．一、忽视函数的定义域：例1、求函数4sin cos 1sin cos x x y x x=++的值域．误解：令sin cos )4x x x t π+=+=，则[t ∈，有2sinxcosx=t 2－1，于是22(1)2(1)1t y t t -==-+ ∴[2]y ∈-．简析：忽视定义域sinx+cosx ≠－1，即t ≠－1，因此[,1)(2]t ∈-- ，可求得[2,4)(2]y ∈--- ．点评：研究函数的性质，比如：求函数的值域、最值、单调区间、奇偶性、周期性等等，一定先求函数的定义域，否则极易因忽视定义域而求出错误结论．二、忽略角的范围例2：在35,sin ,cos ,cos 513ABC A B C ∆==中求的值． 误解：因为3sin ,5A =所以4cos 5A =±，又因为5cos 13B =，所以12sin 13B = 所以cos cos[()]cos()cos cos sin sinC A B A B A B A B π=-+=-+=-+45312()513513=-±⨯+⨯． 所以1656cos 6565C =或．简析512cos (,)sin 1324213B B B ππ=<∴∈= 且, 33sin ,(0,)(,)5244A A πππ=<∴⋃ ． 若33(,),(,),(,),4422A B A B πππππππ∈=+=则与A+B+C=矛盾， 34(,),(0,)cos 445A A πππ∴∉∈=故A 且cos cos[()]cos()cos cos sin sin C AB A B A B A B π∴=-+=-+=-+453121651351365=-⨯+⨯=． 点评：在三角形中求三角函数值时一定注意判断角的具体范围，否则极易产生增解．解决三角形中的求值问题，若求出正负两个值时就应该引起你的重视，需要对本题做进一步的检验与分析．三、忽视题目隐含条件：例3、设方程240x ++=的两根为x 1,x 2，记1t a n x α=，2tan x β=，0||2πα<<，0||2πβ<<，求αβ+．误解：由已知可得12x x +=-x 1x 2=4，又1tan x α=，2tan x β=，故1212tan tan tan()1tan tan 1x x x x αβαβαβ+++===--， ∴3παβ+=．简析：忽视韦达定理隐含条件，由x 1+x 2<0及x 1x 2>0知x 1<0，x 2<0，故,(,0)2παβ∈-，从而有(,0)αβπ+∈-，故23παβ+=-． 点评：已知三角函数值求角时应把握以下两点：(1) 由已知三角函数值尽量缩小已知角的范围,即找寻最小的特殊角，如1tan 3α=(α为锐角)可尽一步求得06πα<<；(2) 正确选择所求角的三角函数名称，方法是：当所求的范围为(0,)2π时，选择正弦函数与余弦函数均可；当所求角的范围为(,)22ππ-时，选择正弦函数，当所求角的范围为(0,)π时，选择余弦函数．。
三角函数题常见错误剖析
三角函数题常见错误剖析湖南省临澧县第一中学 朱传秀三角函数是高中数学的重要内容,是高考考查的重点、热点.在高考中主要是以考查三角的求值、化简与三角函数的图象和性质.在解题中,常需对角的范围及三角函数值的符号情况进行讨论,若审题不严不细,很容易出错,要三思而后行,形成审慎思维的习惯.下面就学生在解三角函数题是常出现错误的原因剖析如下:一、定义不清,混淆象限角与区间角例1 若α、β为第一象限角,且α＞β,则( )A.sin α＞sin βB. sin α＜sin βC. sin α=sin βD.以上都不对错解：因函数x y sin =在第一象限是增函数，又α＞β，所以sin α＞sin β选（A ） 错因：角的概念不清，误将第一象限角看成区间)2,0(π上的角。
若取α=ππ26+，3πβ=，可知（A ）明显不对。
用排除法，可知应选（D ）。
二、不注意挖掘题设条件，扩大了角的取值范围例2已知),,0(πα∈且21cos sin =+αα，则α2cos 的值为（ ） A ．47 B. -47 C.± 47 D.41- 错解：将21cos sin =+αα两边平方，得412sin 1=+α，432sin -=∴α 又),,0(πα∈∴)2,0(2πα∈∴α2cos =-±=α2sin 12±47 故选C. 错因：解题中忽视了条件432sin -=α中隐含了αsin ＞0，αcos ＜0，可知2π＜α＜π.又αsin ＞αcos ，2π＜α＜43π。
即π＜α＜23π，472cos -=∴α。
应选B例3．在ABC ∆中，135cos ,53sin ==B A ，则=C cos ＿＿＿ 错解： 由135cos ,53sin ==B A 可得，1312sin ,54cos =±=B A 。
故。
或65566516cos cos sin sin )cos(cos =-=+-=B A B A B A C 错因：由.1312sin ,135cos ==B B B 为锐角，故知 由于B sin ＞A sin ，可得B ＞A ，于是A 也为锐角。
(完整版)任意角的三角函数定义、三角函数线重点、难点题型
任意角的三角函数定义、三角函数线重点、难点题型知识梳理：1．任意角三角函数的定义 任意角三角函数的定义如图所示，以任意角α的顶点O 为坐标原点，以角α的始边的方向作为x 轴的正方向，建立直角坐标系．设P (x ，y )是任意角α终边上不同于坐标原点的任意一点．其中，r ＝OP ＝x 2＋y 2>0．定义：x r 叫做角α的余弦，记作cos α，即cos α＝x r；y r 叫做角α的正弦，记作sin α，即sin α＝y r ； y x 叫做角α的正切，记作tan α，即tan α＝y x． 另外，角α的正割：sec α＝1cos α＝rx ；角α的余割：csc α＝1sin α＝ry ；角α的余切：cot α＝1tan α＝xy．2．六种三角函数值在各象限的符号3．三角函数的定义域三角函数 定义域 sin α，cos α tan α，sec αcot α，csc α题型一：三角函数定义的应用 例1. 已知角α终边上一点P (－3，y )，且sin α＝34y ，求cos α和tan α的值．思维启迪：对m 的讨论必须全面，不能遗漏m=0例2. 角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为( )A ．3B ．－3C ．±3D ．5跟踪练习：已知角α的终边上一点P (－15a,8a ) (a ∈R 且a ≠0)，求sin cos αα+感悟：1．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关．2．符号sin α、cos α、tan α是一个整体，离开“α”，“sin ”、“cos ”、“tan ”不表示任何意义，更不能把“sin α”当成“sin ”与“α”的乘积．题型二 符号规律的应用 例3.判断下列各式的符号：(1)sin α·cos α(其中α是第二象限角)； (2)sin 285°cos(－105°)；(3)sin 3·cos 4·tan(－23π4)．例4.已知α终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为________跟踪练习：1. 若sin α<0且tan α>0，则α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角2. 已知x 为终边不在坐标轴上的角，则函数f (x )＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x的值域是( )A ．{－3，－1,1,3}B ．{－3，－1}C ．{1,3}D ．{－1,3} 3.．代数式：sin 2cos 3tan 4的符号是________ 4.若θ为第一象限角，则能确定为正值的是( )A ．sin θ2B ．cos θ2C ．tan θ2D ．cos 2θ能力提升：1若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝________．2. 若角α的终边过点0(2sin 30,2cos30)-，则sin α=______3. 角α的终边过点P 43(,)55m m --，且cos 0tan αα<，求sin tan αα+的值题型三：单位圆与三角函数线的应用1．单位圆与三角函数的定义一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆．2．三角函数线三角函数线是表示三角函数值的有向线段，线段的方向表示了三角函数值的正负，线段的长度表示了三角函数值的绝对值．图 示正弦线 有向线段MP 即为正弦线 余弦线 有向线段OM 即为余弦线正切线有向线段A T 即为正切线例5在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．(1)sin α≥32； (2)cos α≤－12．能力提升: 求下列函数的定义域． f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝⎛⎭⎫sin x －22 例6.已知点P (sin cos ,tan )ααα-在第一象限，在[]0,2π内，求α的取值范围例7.若如何利用三角函数线证明下面的不等式？当α∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，求证：（1）sin α<α<tan α．（2）1sin cos 2παα<+<跟踪练习：1.已知5,44x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则sin x 与cos x 的大小关系是（ ） （A ）sin cos x x ≥（B ）sin cos x x ≤ （C ）sin cos x x >（D ）sin cos x x <2.下列四个命题中：（1）α一定时，单位圆中的正弦线一定； （2）单位圆中，有相同正弦的角相等； （3）α与απ+有相同的正弦线（4）具有相同正切线的两个角终边在同一直线上。
三角函数求值中易出现的一些问题
错题分析：三角函数求值中易出现的一些问题在三角函数这一章中，由于公式比较多，因而解题方法比较灵活，如果一不留神，就会丢三落四，错误百出，不能得出正确结果。
因此要注意挖掘题目中隐含的条件，使问题得到正确的解答。
一、忽视三角函数的有界性正弦曲线，余弦曲线是自身有界函数，值域在[-1，1]上，在求值时如果不注意，就会出现错误。
例1、已知sin α+sin β=31，求sin α-cos 2β的最值 错解：∵sin α=31-sin β∴sin α- cos 2β=31 -sin β-(1- sin 2β)=( sin β-21)2-1211 当sin β=21时，sin α- cos 2β有最小值-1211当sin β=-1时，sin α- cos 2β有最大值34错解分析：最大值求错了，错误原因是没有注意-1≤sin α≤1 -1≤sin β≤1∵sin α=31 -sin β，-1≤sin β≤1∴-1≤31-sin β≤1即-32≤sin β≤34又∵-1≤sin β≤1∴-32≤sin β≤1∴当sin β=21时，sin α- cos 2β有最小值-1211当sin β=-32时，sin α- cos 2β有最大值94二、忽视三角函数中角的范围在三角函数求值中，要注意角的范围的使用，在求值中要选择具有区分度的三角函数，否则使问题变复杂。
例2、已知α.β∈（0、2π），且sin α=55，sin β=1010，求α+β的值。
错解：∵α∈（0、2π）sin α=55∴cos α=α2sin 1-=552又∵β∈（0、2π）sin β=1010，∴cos α=β2sin 1-=10103 ∴α，β∈（0、2π），∴α+β∈（0、π） ∴α+β=4π或43π 错解分析：由于在sin(α+β)=22在（0、π）上不唯一，才造成两个解，使答案出现错误，正确答案是取余弦。
即：cos （α+β）= cos αcos β-sin αsin β=55×1010-552×10103=-22∵α+β∈（0、π） ∴α+β=43π三、忽视三角形内的约束条件在解三角形的有关问题时，要注意三角形内角和为π，每个角都大于0小于π。
《三角函数》中的几类常见错误解读
《三角函数》中的几类常见错误数学组 李秀云在教学过程中，你会发现一些“低级”错误，这些错误有时会出现在大众化的资料上，有时会出现在教科书上，它会严重影响我们的教学，误导学生，下面我就三角函数中的几类常见错误作一些分析。
第一类错误：见高一数学课本（北师大必修4）第15页。
正弦函数sin y x =的周期为()2k k z π∈，正确的结论应该是正弦函数sin y x =的周期为()20k k z k π∈≠且。
其实周期函数的定义为：对于函数()y f x =，如果存在非零常数T ，对定义域内的任意一个x 都有()()f x T f x +=，则()y f x =称为周期函数，T 称为这个函数的周期。
第二类错误：tan y x =的对称中心为(),02k k Z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，常见错误是tan y x =的对称中心为()(),0k k Z π∈。
错误原因是少了另一类对称中心为(),02k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，事实上，对任意()2x k k Z ππ≠+∈都有tan()tan tan()tan tan tan 0k x x x x x x π-+=-+=-+=，所以tan y x =的对称中心为(),02k k Z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭。
第三类错误：见高一《练习册》第39页。
已知电流I 与时间t 的关系式为sin()(0,0,)2I A t A πωϕωϕ=+>><，根据在一个周期内的图像求sin()I A t ωϕ=+的解析式。
错误解法：依题意得：111300,()2180900150T A ==--= 又21,150150T ππωπωω = ∴==即 1300sin(150),0180I t πϕ⎛⎫∴ =+ ⎪⎝⎭又因图像过， 150300sin(150)sin(+)=01806πϕπϕ∴ =⨯+，即有()5+6k k Z πϕπ∴=∈ ()56k k Z ϕππ∴=-∈，2πϕ <又116k ϕπ∴ ==当时，。
三角函数易错点剖析
三角函数易错点剖析初学三角函数，由于对某些概念或公式的理解不够彻底，对问题的思考不够严密，常常出现下列错误：一、忽视轴线角出错轴线角是指终边落在坐标轴上的角，它不属于任何象限，由于其特殊性，在解题中往往 忽视轴线角的存在而致误。
由函数值符号，如0cos ,0cos ,0sin ,0sin <><>αααα确定象限时，不仅可以得到α终边在两个相对的象限内，而且可以得到在这两个象限的交界线也就是坐标轴上，即含轴线角。
例1、若ααcos 1|cos |1=，求角α的取值范围错解：因为ααcos 1|cos |1=，所以0cos >α，所以α是第一、四象限角。
剖析：漏掉了轴线角)(2Z k k ∈=πα，角α的取值范围应是).(2222Z k k k ∈+<<-ππαππ这样就全面了。
例2、已知,0cos ,0sin ≥≥αα试确定α终边的位置错解：由0sin ≥α知，α终边在第一象限或第二象限或x 轴上；又由,0cos ≥α知，α终边在第一象限或第四象限或y 轴上，故α终边在第一象限。
剖析：解答中由0sin ≥α和,0cos ≥α确定α终边位置时，分别遗漏了y 轴非负半轴和x 轴非负半轴的情形，造成错误。
正解：由0sin ≥α知，α终边在第一象限或第二象限或x 轴或y 轴的非负半轴上； 又由,0cos ≥α知，α终边在第一象限或第四象限或y 轴或x 轴的非负半轴上， 故α终边在第一象限或x 与y 的非负半轴上。
二、混淆有关角的概念例3、已知α是第三象限角，问3α是哪个象限角？ 错解：由α是第三象限角，得0270180<<α，0090360<<α，故3α是第一象限角。
剖析：错解混淆了象限角和区间角的概念，α是第三象限角是指属于集合},270360180360|{0000Z k k k A ∈+⋅<<+⋅=αα的解。
正解：因为α是第三象限角，所以Z k k k ∈+⋅<<+⋅,2703601803600α，所以.,901203601200000Z k k k ∈+⋅<<+⋅α（1）当k 是3的倍数，即k ＝3n 时，.,90360360360000Z n n n ∈+⋅<<+⋅α所以3α是第一象限角。
高中数学中三角函数解题错误的成因分析及解决方法
高中数学中三角函数解题错误的成因分析及解决方法高中数学中涉及到的三角函数是一个很重要的概念，在许多题目中都有应用。
学生在学习三角函数时，考试中难免会出现错误。
本文将分析高中数学中三角函数解题错误的成因，并提出解决方法。
一、成因分析1.公式记忆不牢固三角函数有很多公式需要掌握，公式记忆不牢固就容易导致答题错误。
例如，学生容易混淆诱导公式中的加减号，导致解题错误。
2.角度制和弧度制的混用角度制和弧度制是学生在学习三角函数时最容易混淆的概念。
学生需要明确题目要求使用角度制还是弧度制，否则很容易出现解题错误。
3.计算错误三角函数中经常需要进行计算，学生在计算时容易出现错误。
例如，学生计算sin30°时，可能会将30°误写成300°，导致计算错误。
4.符号处理错误三角函数中很多题目需要处理符号，学生不注意符号的处理就容易出现错误。
例如，学生计算 tan(-π/4)时，可能会误以为 tan(-π/4)=-(tan(π/4))，导致计算错误。
二、解决方法学生需要牢固掌握三角函数公式，尤其是常用的诱导公式和和差公式。
学生可通过反复练习来帮助自己记忆。
2.强制转化学生在解题时应该将角度制和弧度制强制转化为同一种形式。
例如，如果题目使用角度制，那么学生在计算时可以将弧度制转化为角度制，以避免混淆。
在计算过程中，学生需要认真仔细地计算，尤其是小数精度的计算。
为了避免出现错误，建议学生多使用计算器进行计算，以确保计算的准确性。
4.注意符号学生在解题时需要特别注意符号的处理，尤其是负号的处理。
在处理符号时，可以将符号单独拎出来进行计算，减少出现错误的概率。
总之，高中数学中三角函数解题错误的成因有很多，学生需要认真掌握各种解题方法和技巧，尤其是需要牢固掌握公式和注意计算细节，以避免出现错误。
同时，在日常学习中，要多做练习、多总结经验，以提高自己的解题能力和水平。
《任意角的三角函数》教学反思6篇
《任意角的三角函数》教学反思《任意角的三角函数》教学反思6篇作为一名人民老师，课堂教学是重要的任务之一，写教学反思可以快速提升我们的教学能力，那么你有了解过教学反思吗？以下是小编为大家收集的《任意角的三角函数》教学反思，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
《任意角的三角函数》教学反思1“任意角的三角函数”是三角函数这一章里最重要的一节课，是本章的基础，也是学生难以理解的地方。
因此，本节课的重点放在了任意角的三角函数的理解上。
在本节课的开头以学生所熟悉的直角三角形的锐角入手，引导学生尝试探究，逐步深入，引出任意三角函数的定义，以问题的形式巩固深化任意角三角函数值的`计算。
引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，让学生在活动中体验数学与社会的联系，新旧知识的内在联系。
通过任意角三角函数的定义，启发学生找到各个三角函数在每个象限的符号以及在坐标轴上的值。
并用“一全正，二正弦，三余弦，四正切”这一句话来概括了各个象限的符号。
在例题的设置上，例1是已知一个角终边上一点的坐标，求这个角的三个三角函数值。
通过这个例题的练习，让学生更好地巩固了任意三角函数的定义，会求任意一个角的三角函数。
例2和例3的设置是让学生进一步熟记各个三角函数在每个象限的范围以及坐标轴上的值。
例4是把几个三角函数组合在一起，形成一个新的函数，结合函数的表达形式求定义域，能够让学生反过来已知三角函数值的符号去判断角的大小。
但是，要想让学生真正的学会并且灵活运用所学的知识，只靠老师上课讲是远远不够的，还需要学生在课下多做练习才行，所以，在讲课的基础上，我们还需要督促学生多做练习，因为只有熟才能够生巧，在以后的教学中，我还需要多多反思，多多探索。
《任意角的三角函数》教学反思2任意角三角函数的第一节课，其中心任务应该是让学生建立起计算一个任意角的三角函数与其终边上点的坐标之间的关系，并在此基础上初步建立任意角三角函数概念的意义，《任意角的三角函数》教学反思。
三角函数学习中应注意的几个问题
03
04
周期性：最小正周期为 奇偶性：偶函数。 $2\pi$。
05
图像：一个基本的余弦 曲线是“余弦曲线”， 它是通过在每个点上绘 制余弦函数的图像来生 成的。余弦曲线通常用 于研究波的振幅和相位 等物理现象。
正切函数的性质和图像
定义域：不包括$0$和$\pm\infty$。
图像：正切曲线通常用于研究角度、三 角函数运算等数学问题。
判定方法
判断一个函数是否有极值，需要找到该函 数的导数，并找到导数为零的点。如果导 数在某一点为零，且在这一点两侧的导数 符号相反，则该点为极值点。
三角函数极值的求解方法
01
02
观察法
导数法
对于一些简单的三角函数，如正弦函 数或余弦函数，可以通过观察函数的 图像来找到极值点。
对于复杂的三角函数，需要先求导， 然后找到导数为零的点，这些点就是 极值点。导数为零的点通常被称为临 界点。
波动是指一种运动形式，其中介质中的每个质点都在重复相同的 振动，而其振动的形式（包括幅度和相位）随着位置的变化而变 化。
三角函数在波动中的应用
在描述波动时，三角函数可以用来表示波的形状、传播速度和相 位等关键参数。
具体实例
水波、光波等。
圆周运动
圆周运动的描述
01
圆周运动是指物体围绕一个中心点作圆周轨迹的旋转运动。
04 注意三角函数在 物理中的应用
简谐振动
01
简谐振动的描述
简谐振动是指物体在一定范围内 周期性地来回运动，其运动轨迹 可以用正弦或余弦函数表示。
02
三角函数与简谐振 动的关联
在描述简谐振动时，三角函数可 以准确地描述出振动的幅度和相 位变化。
03
高中数学中三角函数解题错误的成因分析及解决方法
高中数学中三角函数解题错误的成因分析及解决方法摘要：三角函数是高中数学学习中的难点，即使是在数学上面很有天赋的人学习三角函数也是有一定的难度的。
而且我们发现在高考真题中三角函数这方面本身占的分数比重也是很高的，但是学生在数学考试的时候很容易发现，三角函数的题目具有内容灵活多变的特征，学生很容易在这方面出现错误。
因此，要想在高考数学中取得高分，必须要将三角函数这个知识点理解透彻。
本文总结了学生在三角函数中容易出现解题错误的知识点，并对出现解题错误的原因进行分析，从而解决学生在三角函数学习上的难点。
关键词：高中数学;三角函数;错误成因;解决方法一、引言三角函数在高种数学中是非常重要的，其重要性主要是体现在两个方面，第一个方面，就是三角函数的实用性。
很多人觉得三角函数非常的难，认为它没有任何的使用功能，凡是有这种想法的人都没有认识到三角函数的重要性，毕竟如果大家真的能够掌握三角函数，就能够发现生活中的一个测量问题以及装修问题都是要使用到三角函数方面的知识的。
第二，在高考的过程中高中三角函数的出题量很大，一般来说，高中三角函数都是高考出题的一个重点，虽然高中的数学知识点总的来说还是很多的，但是相对而言，三角函数可能尤为重要一些，毕竟不管是在难易程度还是在整体的重要程度上面，高中三角函数都非常的受重视。
二、高中数学中三角函数的解题错误的成因（一）概念、原理、性质模糊不清在数学学习中，很多学生对数学概念的本质属性理解不到位，对概念的适用范围模糊不清，还有学生对一个概念与其他概念之间的联系和制约把握不住，因此，在解题时就会遇到很多问题。
还有很多学生对公式记忆不到位，对性质的理解不够深刻，我们都知道，在数学学习中最基础的学习就是公式与性质，要想能够快速有效地解决问题，就必须要把公式性质掌握牢固。
（二）审题不清，忽视隐含条件现在学生在三角函数学习过程中，很多学生都能够将三角函数的公式记忆清楚，也都对课本中的知识点有所掌握，但是在考试过程中却不能得到高分，这是因为很多学生在做题过程中粗心大意，没有识破题目中给出的陷阱，看到题目就有了简单的思路，却没有对题目中的隐含条件进行认真分析，这是学生审题能力的体现。
解答锐角三角函数问题容易犯的错误
数学篇数苑纵横在求解锐角三角函数问题时，有的同学由于对锐角三角函数的概念理解不清，或运用锐角三角函数定义时忽略了直角三角形这个前提条件，或在解题时考虑问题不全面，忽视了要进行分类讨论，从而走入了解题的误区.为了避免同学们也犯相同的错误，现对解三角函数问题中的常见错误进行归纳并分析.一、对锐角三角函数概念理解不清锐角三角函数是以锐角为自变量，以比值为因变量的函数.它的概念是在直角三角形中相对其锐角而定义的，其本质是两条线段长度的比.因此锐角三角函数只是一个比值(数值)，它的值与角的大小有关，与三角形边的长度无关.很多同学由于对该概念的本质没有理解透彻，误把“无关”当“有关”.例1在Rt△ABC 中，各边的长度都扩大3倍，那么锐角A 的三角函数值（）.A.都扩大3倍B.都扩大4倍C.不能确定D.没有变化错解：A.错因分析：三角函数的值是直角边与斜边或直角边与直角边的比值，三角形三边都扩大3倍后的三角形与原三角形相似，所以直角边与斜边，直角边与直角边的比值不变.产生错解的原因就在于没有真正理解三角函数的概念.正解：D.点拨：锐角三角函数反映的是直角三角形相应两边的比值的特性，当一个锐角大小不变时，其函数值是固定的.二、忽视运用锐角三角函数定义的前提解决任何问题都必须具备一定的条件背景，解答锐角三角函数问题的前提就是必须在直角三角形中.只要题目条件中没有直角条件的，要么证出直角，要么添加辅助线构造直角，然后再根据锐角三角函数的定义进行求解.有的同学没有构造直角三角形求解锐角三角函数问题的意识和习惯，直接运用三角函数的定义解题就会出错.例2在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边为a ，b ，c ，且a :b :c =3:4:5.试证明sin A +sin B =75．错解：设a =3k ，b =4k ，c =5k ，则sin A =a c =3k 5k =35，sin B =b c =4k 5k =45.所以sin A +sin B =35+45=75．错因分析：本题中没有说明∠C =90∘，而直接应用正弦、余弦函数的定义是错误的，应先说明△ABC 为直角三角形，且∠C =90∘后才能用定义解题．正解：设a =3k ，b =4k ，c =5k (k >0)，因为a 2+b 2=(3k )2+(4k )2=25k 2=c 2，所以△ABC 是以c 为斜边的直角三角形.所以sin A =a c =3k 5k =35，sin B =b c =4k 5k =45.所以sin A +sin B =35+45=75．例3在等腰三角形ABC 中，AB =AC =5，BC =6.求sin B 、cos B 、tan B .错解:∵a =6，b =5，c =5，∴sin B =b c =55=1，cos B =a c =65，tan B =b a =56.错因分析：错解忽视了用边比表示锐角的正弦、余弦和正切的前提是在直角三角形中，显然△ABC 不是直角三角形，故上述解法错误.正确解法应把∠B 放到直角三角形中求解函数值.正解：如图1，过A 作AD ⊥BC 于D ，则解答锐角三角函数问题容易犯的错误江西高安夏宇23数学篇数苑纵横BD =3，∵AB =5，∴AD =AB 2-BD 2=4,∴sin B =AD AB =45，cos B =BD AB =35，tan B =AD BD =43.点拨：锐角三角函数是在直角三角形中定义的.锐角三角函数与锐角在的直角三角形有关，而与锐角作为内角所在的三角形无关，因此必须先构造直角三角形，再求值.三、考虑问题不全面导致漏解锐角三角函数的定义揭示了直角三角形中的锐角与三边之间的关系，因此，我们会遇到一些边、角、点、形等条件不明确，存在多解情况的问题.这个时候就需要采取分类讨论的方法，以保证解题的完整性与准确性.如果同学们思考不细致，思维不严谨，就会出现漏解的情况.例4在ΔABC 中，AB =122，AC =13，cos ∠B，则BC 边长为（）.A.7 B.17 C.8或17D.7或17错解：作AD ⊥BC 于点D ，如图2，∵cos ∠B 2，∴∠B =45°，∵AB =122，∴AD =BD =12，又∵AC =13，∴CD =5，∴BC =BD +CD =12+5=17，故选B.图2错因分析：错解认为高AD 一定在三角形的内部.其实△ABC 不一定是锐角三角形，应分两种情况:(1)高AD 在△ABC 内部；(2)高AD 在△ABC 外部.错解忽视了第二种情况.正解：∵cos ∠B ，∴∠B =45°，当ΔABC 为钝角三角形时，如图3，∵AB =122，∠B =45°，∴AD =BD =12，∵AC =13，∴由勾股定理得CD =5，∴BC =BD -CD =12-5=7；当ΔABC 为锐角三角形时，如图2，BC =BD +CD =12+5=17，故选D ．例5Rt△ABC 的两条边分别是6和8，求其最小角的正弦值.错解：因为6和8是直角三角形的两边，所以斜边是10，所以最小角的正弦值是610，也就是35.错因分析：已知条件中并没有告诉6和8是两条直角边，所以本题应分两种情况：（1）6和8是两条直角边，（2）6是直角边，8是斜边.错解忽视了第二种情况.正解：当6和8是直角边时，斜边是10，所以最小角的正弦值35；当6是直角边，8是斜边时，另一直角边是82-62=2727，所以最小角的正弦值为=.综上可知，最小角的正弦值为35或.点拨：对于没有明确三角形高的位置的问题，要注意对高的位置进行分类讨论；在直角三角形中没有说明已知的边是直角边或斜边的情况下，要分这两边是直角边及所给的长边是斜边两种情况来讨论.解答锐角三角函数问题易出现的错误除了以上几种情况外，可能还会出现其他的情况.希望同学们正确理解三角函数的概念，把握运用三角形函数定义的前提条件以及可能存在的多种情况，避免出现解题错误.图1图324。
高考数学三角函数易错易混考点
2019年高考数学三角函数易错易混考点1.正角、负角、零角、象限角的概念你清楚吗?，若角的终边在坐标轴上，那它归哪个象限呢?你知道锐角与第一象限的角;终边相同的角和相等的角的区别吗?2.三角函数的定义及单位圆内的三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)的定义你知道吗?3.在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗?你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗?4.你还记得三角化简的通性通法吗?(切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角。
异角化同角，异名化同名，高次化低次)5.反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是6.你还记得某些特殊角的三角函数值吗?7.掌握正弦函数、余弦函数及正切函数的图象和性质。
你会写三角函数的单调区间吗?会写简单的三角不等式的解集吗?(要注意数形结合与书写规范，可别忘了)，你是否清楚函数的图象可以由函数经过怎样的变换得到吗?8.函数的图象的平移，方程的平移以及点的平移公式易混：(1)函数的图象的平移为“左+右-，上+下-”;如函数的图象左移2个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为，即。
(2)方程表示的图形的平移为“左+右-，上-下+”;如直线左移2个个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为，即。
(3)点的平移公式：点按向量平移到点，则。
9.在三角函数中求一个角时，注意考虑两方面了吗?(先求出某一个三角函数值，再判定角的范围)单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。
让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。
这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果。
10.形如的周期都是，但的周期为。
11.正弦定理时易忘比值还等于2R.课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。
高考数学三角函数易错易混考点
2019年高考数学三角函数易错易混考点
1.正角、负角、零角、象限角的概念你清晰吗?，若角的终边在坐标轴上，那它归哪个象限呢?你知道锐角与第一象限的角;终边相同的角和相等的角的区分吗?
2.三角函数的定义及单位圆内的三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)的定义你知道吗?
3.在解三角问题时，你留意到正切函数、余切函数的定义域了吗?你留意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗?
4.你还记得三角化简的通性通法吗?(切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特别角。
异角化同角，异名化同名，高次化低次)
5.反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是
6.你还记得某些特别角的三角函数值吗?
7.驾驭正弦函数、余弦函数及正切函数的图象和性质。
你会写三角函数的单调区间吗?会写简洁的三角不等式的解集吗?(要留意数形结合与书写规范，可别忘了)，你是否清晰函数的图象可以由函数经过怎样的变换得到吗?
8.函数的图象的平移，方程的平移以及点的平移公式易混：
(1)函数的图象的平移为“左+右-，上+下-”;如函数的图象左移2个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为，即。
(2)方程表示的图形的平移为“左+右-，上-下+”;如直线左移2个个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为，即。
(3)点的平移公式：点按向量平移到点，则。
9.在三角函数中求一个角时，留意考虑两方面了吗?(先求出某一个三角函数值，再判定角的范围)
10.形如的周期都是，但的周期为。
11.正弦定理时易忘比值还等于2R.。
高职单招单考复习用书《数学点对点精准突破》考点47：三角函数的概念
考点47 三角函数的概念【考点分析】1.考试要求理解任意角的三角函数的概念,记住三角函数在各象限的符号和特殊角的三角函数值.2.考情分析三角函数的概念为高频考点,以选择题、填空题形式为主,分值约为分,主要考查任意角三角函数的定义,各象限角的三角函数值的符号以及特殊角三角函数值.3.知识清单(1)定义:设是角终边上（除端点）的任意一点,,则, ,. (2)三角函数在各象限的符号(3)特殊角的三角函数值【精确诊断】1.已知角终边过点,求角的正弦、余弦、正切值. 【答案】;;.提示:,由定义得,，，2.(年第题)已知角为第二象限角且终边在直线上,则角的余弦值23-P （x,y)αr OP ==sin yrα=cos x r α=()tan 0yx xα=≠α()3,4A α4sin =5α3cos 5α=4tan =3α5r =4sin =5y r α=3cos =5x r α=4tan =3y x α=201020αy x =-α为 .【答案】.3.计算：.【答案】.【精准突破】题型１ 已知角终边上点的坐标求三角函数值例1（年第题）已知角终边上一点,则=（ ） A. B. C. D.【思路点拨】考查任意角三角函数的定义,应明确题目中的,根据定义先求出,再利用角的余弦定义求解.【问题解答】,,故答案为.【变式1】已知角的终边经过点,求的值. 【答案】. 提示:若,,,,； 若,,,,.【变式2】计算：（1）； （2）. 【答案】(1)；(2).题型2 已知角终边所在直线方程求三角函数值例2（年第题）若角的终边是一次函数所表示的曲线，求的值.【思路点拨】在射线上任取一点作为角的终边上的一点，再利用任意角三角函数定义求解.【问题解答】在射线上任取一点,则,3sin 4tan 5cos043πππ-+12-201410α(4,3)P -cos α35-4534-54,,x y r x α245r =+4cos =5x r α∴=B α()()4,30P a a a -≠2sin cos αα+25±0a >5r a =3sin 5α∴=-4cos 5α=22sin cos 5αα∴+=-0a <5r a =-3sin 5α∴=4cos 5α=-22sin cos 5αα∴+=2sin 905cos 07tan180︒︒︒-+32sin3cos 4sin5tan 224ππππ+-+3-8201330α()20y x x =≥2sin cos αα()20y x x =≥()12P ，α()20y x x =≥()12P，r =,,故.【变式1】已知角终边上一点M 在射线上,则=__________..【变式2】直线是角的终边,求角的正弦、余弦、正切值. 【答案】当时,角的正弦、余弦、正切值分别是；当时,角. 题型3 已知角判断三角函数值的符号例3 不求值,确定下列各三角函数值的符号：①； ②； ③； ④.【思路点拨】先确定角所在象限,再根据各象限角三角函数值的符号法则进行判断. 【问题解答】①因是第四象限角,故；②因是第二象限角,故；③因与同终边，是第三象限角,故；④因与终边相同,是第三象限角，故. 【变式1】下列各式的结果是正值的是（ ）A. B. C. D.【答案】.【变式2】（年题）乘积的最后结果为（ ） A.正数 B.负数 C.正数或负数 D.零 【答案】.题型4 已知三角函数值符号确定角的位置例4 在平面直角坐标系中,已知点在第四象限,则角是第 __ 象限角.【思路点拔】点是第四象限的点,故横坐标,纵坐标,结合象限角的sin α==cos α=42sin cos 5αα=α()0y x <tan sin αα-y x =-ββ0x >β1-0x <β1-sin()3π-cos135︒tan 570︒21cos 4π3π-sin()03π-<135︒cos1350︒<570=210+360︒︒︒210︒tan 5700︒>21=(+)+444ππππ+4ππ21cos 04π<cos3sin 320︒tan 320︒()tan 179︒-D 201313()()sin 110cos320tan 700︒︒︒-⋅⋅-B ()sin ,cos P αααP sin 0α>cos 0α<三角函数符号可得.【问题解答】在第四象限,,角是第二象限角.【变式1】在平面直角坐标系中,点在第________象限. 【答案】三.【变式2】根据下列条件，判定角所在象限：(1)； (2) 且； (3).【答案】（1）由,得角终边在第三或第四象限或在轴负半轴上；（2）由且,得为第四象限角；（3）由,得为第二或第四象限角. 【反思提升】1.思想方法（1）利用定义求三角函数值的一般步骤:取点,确定的值,求出的值,根据定义求的值.（2）三角函数值的符号判定方法：第一象限角的正弦、余弦、正切都为正;第二象限角,只有正弦正,其余都为负;第三象限角,只有正切正,其余都为负；第四象限角,只有余弦正,其余都为负.2.误区指津（1）已知角的终边如果是直线方程,那么要看是否对象限有限制条件.若有,可直接根据条件取点求值;若没有,要对象限进行分类讨论;（2）由三角函数值符号确定角的位置时,要注意界限角的可能性.如,则角终边可能在第一象限、第二象限,还可能在轴正半轴上.()sin ,cos P ααsin 0cos 0αα>⎧∴⎨<⎩∴α()sin 240,cos120P ︒︒αsin 0α<cos 0α>tan 0α<sin cos 0αα⋅<sin 0α<αy cos 0α>tan 0α<αsin cos 0αα⋅<α,x y r sin ,cos ,tan ααααsin 0α>αy考点47 三角函数的概念【精细训练】A 基础训练一、选择题1.（年第题）已知角终边上一点,则=（ ） A.B. C. D. 【答案】. 提示:由得,故选. 2. 若点在第二象限,则角所在象限是（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 【答案】.3. 已知为角终边上一点,,且,则=（ ） A. B. C. D.【答案】.提示：由得,又由得,故4.若,则角为（ ）A.第一或第二象限B.第一或第三象限C.第二或第三象限D.第二或第四象限 【答案】.提示:必须同号5.已知角的终边在直线上,则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】. 二、填空题1.点是角终边上的一点，且,则的值是_________.201116β(5,12)P -sin cos tan βββ++471312165-4713-12165B 5,12,13x y r =-==12512121sin cos tan =+1313565βββ⎛⎫⎛⎫++-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ()2sin ,3cos P αα-αA (4,)P y -α5OP =tan 0α<sin α35-453545-C 40tan 0x α=-<⎧⎨<⎩0y >5OP =3y =3sin 5α=sin cos 0αα⋅>αB sin ,cos ααα2y x =cos α2±12±C ()3M y -，α3sin 5α=-y【答案】.提示：由,得.2.角终边上有一点,则________..提示： 3.判定的符号_________.（填“正”，“负”，“零”）【答案】正. 三、解答题1.已知点为第四象限角终边上一点,且横坐标,,求角的正弦、余弦、正切值. 【答案】,,.2. 计算：（1）； （2）.【答案】（1）；（2.B 提升训练1.若角终边过点,且,求的值. 【答案】.2.求函数的值域. 【答案】.3.已知角终边上一点,求的取值范围.【答案】.提示:时,,当时,,综上所述的取值范围为.94y =-3sin 5α-94y =-θ()(),20M a a a -<cos θ=r =sin1cos 2tan 3(),P x y α5x ==13OP α12sin 13α=-5cos 13α=12tan 5α=-21costan 0tan cos 23πππ-++sin costan+sincos4462πππππ+--1-θ()()0M m m ≠sin θ=cos θsin tan cos sin cos tan x xx y xx x=++{}1,3y ∈-α()()2,10P t t t +≠tan αR 0t >[)tan 2,α∈+∞0t <(]tan ,2α∈-∞tan α-,-2]U[2,+)∞∞（。
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盘点任意角的三角函数中的常见误区
224100 江苏省大丰市南阳中学 潘锦明
利用任意角的三角函数定义求解三角问题时，初学者会因为对其定义的本质理解不透彻，或不能正确判断各种三角函数的符号等而会产生各种错解，下面就此问题略举几例进行分析.
误区一﹑利用定义表述解题过程时，对三角函数定义理解不透而致错
例1已知α＝－π2
，求tan α. 错解：∵当α＝－π2时，x ＝0，y ＝－r ，∴tan α＝y x ＝－r 0
，即tan α不存在. 剖析：“0”不能作分母，tan α与“不存在”间无等量关系可言，故其解题过程的表述错误.
正解：∵当α＝－π2
时，x ＝0，y ＝－r ，∴tan α不存在. 特别提醒：任意角的三角函数定义有六种形式，必须要记住各种形式的适用条件，方能做到解题正确.
误区二﹑利用定义求三角函数值时，对角的终边考虑不周而致错
例2已知α的终边在直线y ＝x 上，求sin α.
错解：在α的终边上取一点P(1，1)，则x ＝1，y ＝1，r ＝2，∴sin α＝y r ＝12＝22
，即sin α＝22
. 剖析：由条件得角α的终边可能在第一象限或第三象限，上述解答错在只考虑了一种情形，忽视了角α的终边在第三象限的情形.
正解：α的终边在第一象限或第三象限，
当α的终边在第一象限时，同上得sin α＝22
， 当α的终边在第三象限时，在α的终边取一点P(－1,－1)，则x ＝－1，y ＝－1，r ＝2，
∴sin α＝y r ＝－12
＝－22. 特别提醒：角的终边是一条射线，不是直线，因此终边落在上线上包括两种情况，要注意分类说明.
误区三、利用三角函数值符号判断角的位置时，忽视轴上角而致错
例3已知sin α≥0，cos α≥0，试确定α终边的位置.
错解1：由sin α≥0知，α终边在第一象限，或第二象限，或y 轴的非负半轴上，
又由cos α≥0知，α终边在第一象限，或第四象限，x 轴的非负半轴上，
故α终边在第一象限.
错解2：由sin α≥0知，α终边在第一象限，或第二象限，或x 轴上，
又由cos α≥0知，α终边在第一象限，或第四象限，y 轴轴上，
故α终边在第一象限.
剖析：错解1的解答中由sin α≥0和cos α≥0确定α终边位置时，分别遗漏了x 轴和y 轴的情形，造成错误.错解2的解答中由sin α≥0和cos α≥0确定α终边位置时，分别遗漏了y 轴非负半轴和x 轴非负半轴的情形，
正解：由sin α≥0知，α终边在第一象限或第二象限，或x 轴或y 轴的非负半轴上， 由cos α≥0知，α终边在第一象限或第四象限，或y 轴，或x 轴的非负半轴上， 故α终边在第一象限，或x 轴，或y 轴的非负半轴上.
特别提醒：由于受定势思维的影响，在讨论角的位置时往往只注意象限角，而忽视轴上角的存在.
误区四、利用任意角的三角函数定义求值，忽视对参数的讨论而致错
例4已知角α的终边上有一点P(24k ，7k)，k ≠0，求sin α、cos α、tan α的值.
错解：令x ＝24k ，y ＝7k ，则有r ＝(24k)2＋(7k)2＝25k ，
∴sin α＝y r ＝725，cos α＝x r ＝2425，tan α＝y x ＝724
. 剖析：条件中点P(24k ，7k)中参数k 只告诉了k ≠0，但没有告诉k 的符号，须分k ＞0与k ＜0讨论，而上述解法错在默认为k ＞0.
正解：当k ＞0时，令x ＝24k ，y ＝7k ，则有r ＝(24k)2＋(7k)2＝25k ，
∴sin α＝y r ＝725，cos α＝x r ＝2425，tan α＝y x ＝724
. 当k ＜0时，令x ＝24k ，y ＝7k ，则有r ＝－25k ，∴sin α＝y r ＝－725，cos α＝x r ＝－2425
，tan α＝y x ＝724
. 特点提醒：已知终边上的一点，求三角函数值时，如果点的坐标含有字母参数，则需要注意要对字母进行分类讨论.。