全国名校高考数学优质学案,试题汇编(附详解)等差数列和等比数列小结导学案

合集下载

北师大版高中数学必修5《一章数列 2 等差数列 2.1等差数列》赛课导学案_11

性质：若，
则
推广式：
求公差：
等差数列的前项和：
通项公式：
性质1： , , , 成等差数列
性质2：由，知为等差数列
课后作业
1.等差数列{ }中，若，则．
2.等差数列{ }中，若，，则公差．
3.等差数列{ }的前项和为 ,若，则公差．
4.等差数列{ }的前项和为 ,若，则．
，二次函数开口向下，对称轴为，所以当或时，取最大值 .
思路二：由，得，
可知数列{ }为单调递减数列，令，，
当时，，当时，，
所以当或时，取最大值 .
课堂练习设计意图
课堂练习的三道题由浅入深，第1题由学生口答，第2、3题由两位学生演板，其他学生独立完成.及时点评，规范学生解题步骤，给予学生及时的肯定和鼓励.注意在点评的过程中实现如下设计意图：
课堂练习
1.等差数列{ }中，若 , ,则 .
思路：由 ,解得 ,故 .
2.等差数列{ }的前项和为 ,已知，，求 .
思路一：由 ,解得 ,
故，所以 .
思路二：由 ,解得 ,
故，，
所以 .
思路三：由 ,得 ,
由所以 .
3.等差数列{ }中， ,求通项及前项和的最大值.
思路一：由，得，
所以 .
思路三：由 , , 成等差数列,得
整理得，所以 .
巩固练习设计意图
巩固练习的三道题由浅入深，第1题由学生口答，第2、3题由两位学生演板.及时点评，规范学生解题步骤，给予学生及时的肯定和鼓励.注意在点评的过程中实现如下设计意图：
通过第1题的练习过程，使学生进一步掌握等差中项的概念和等差数列的重要性质；

高三数学章节专题基础梳理导学案42(等差数列等比数列的性质)

高考要求等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前n 项和公式的引申应用等差、等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重视高考中也一直重点考查这部分内容重难点归纳1 等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题的既快捷又方便的工具，应有意识去应用2 在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形3 “巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果典型题例示范讲解例1已知函数f (x )=412-x (x <－2)(1)求f (x )的反函数f -－1(x ); (2)设a 1=1,11+n a =－f －-1(a n )(n ∈N *),求a n ;(3)设S n =a 12+a 22+…+a n 2,b n =S n +1－S n 是否存在最小正整数m ,使得对任意n ∈N *,有b n <25m 成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由命题意图本题是一道与函数、数列有关的综合性题目，着重考查学生的逻辑分析能力知识依托本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题错解分析本题首问考查反函数，反函数的定义域是原函数的值域，这是一个易错点，(2)问以数列{21na }为桥梁求a n ,不易突破技巧与方法 (2)问由式子41121+=+nn a a 得22111nn a a -+=4,构造等差数列{21na },从而求得a n ,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧；(3)问运用了函数的思想解 (1)设y =412-x ,∵x <－2,∴x =－214y +,即y =f －-1(x )=－214y +(x >0)(2)∵411,14122121=-∴+=++nn nn a a a a ，∴{21na }是公差为4的等差数列，∵a 1=1,21na =211a +4(n －1)=4n －3,∵a n >0,∴a n =341-n(3)b n =S n +1－S n =a n +12=141+n ,由b n <25m ,得m >1425+n , 设g (n )= 1425+n ,∵g (n )= 1425+n 在n ∈N *上是减函数，∴g (n )的最大值是g (1)=5,∴m >5,存在最小正整数m =6,使对任意n ∈N *有b n <25m 成立例2设等比数列{a n }的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lg a n }的前多少项和最大？(lg2=0 3,lg3=0 4)命题意图本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则，等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力知识依托本题须利用等比数列通项公式、前n 项和公式合理转化条件，求出a n ;进而利用对数的运算性质明确数列{lg a n }为等差数列，分析该数列项的分布规律从而得解错解分析题设条件中既有和的关系，又有项的关系，条件的正确转化是关键，计算易出错；而对数的运算性质也是易混淆的地方技巧与方法突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列，而等差数列中前n 项和有最大值，一定是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数之和最大；另外，等差数列S n 是n 的二次函数，也可由函数解析式求最值解法一设公比为q ,项数为2m ,m ∈N *,依题意有⎪⎩⎪⎨⎧+=⋅--⋅=--⋅)(9)()(1)1(1)1(312131122121q a q a q a q a q q q a q q a m m 化简得⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧+==+10831 ),1(9114121a q q q a q q 解得设数列{lg a n }前n 项和为S n ,则S n =lg a 1+lg a 1q 2+…+lg a 1q n －1=lg a 1n ·q 1+2+…+(n －1) =n lg a 1+21n (n －1)·lg q =n (2lg2+lg3)－21n (n －1)lg3=(－23lg )·n 2+(2lg2+27lg3)·n可见，当n =3lg 3lg 272lg 2+时，S n 最大而4.024.073.043lg 3lg 272lg 2⨯⨯+⨯=+=5,故{lg a n }的前5项和最大解法二接前，⎪⎩⎪⎨⎧==311081q a ,于是lg a n =lg ［108(31)n －1］=lg108+(n －1)lg 31,∴数列{lg a n }是以lg108为首项，以lg 31为公差的等差数列，令lg a n ≥0,得2lg2－(n －4)lg3≥0, ∴n ≤4.04.043.023lg 3lg 42lg 2⨯+⨯=+=5 5由于n ∈N *,可见数列{lg a n }的前5项和最大例3 等差数列{a n }的前n 项的和为30，前2m 项的和为100，求它的前3m 项的和为_________解法一将S m =30,S 2m =100代入S n =na 1+2)1(-n n d ,得11(1)3022(21)21002m m ma d m m ma d -⎧+= ⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩　① ②2102)13(33,2010,4013212=-+=∴+==d m m ma S m m a m d m 解得解法二由]2)13([32)13(33113d m a m d m m ma S m -+=-+=知，要求S 3m 只需求m ［a 1+2)13(d m -］,将②－①得ma 1+ 2)13(-m m d =70,∴S 3m =210解法三由等差数列{a n }的前n 项和公式知，S n 是关于n 的二次函数，即S n =An 2+Bn (A 、B 是常数）将S m =30,S 2m =100代入，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+=+m B m A m B m A Bm Am 1020 1002)2(30222,∴S 3m =A ·(3m )2+B ·3m =210解法四S 3m =S 2m +a 2m +1+a 2m +2+…+a 3m =S 2m +(a 1+2md )+…+(a m +2md ) =S 2m +(a 1+…+a m )+m ·2md =S 2m +S m +2m 2d由解法一知d =240m,代入得S 3m =210 解法五根据等差数列性质知 S m ,S 2m －S m ,S 3m －S 2m 也成等差数列，从而有 2(S 2m －S m )=S m +(S 3m －S 2m ) ∴S 3m =3(S 2m －S m )=210 解法六 ∵S n =na 1+2)1(-n n d ,∴nS n =a 1+2)1(-n n d∴点(n , nS n )是直线y =2)1(d x -+a 1上的一串点，由三点(m ,mS m ),(2m , mS m 22),(3m , mS m 33)共线，易得S 3m =3(S 2m －S m )=210解法七令m =1得S 1=30，S 2=100，得a 1=30,a 1+a 2=100,∴a 1=30,a 2=70 ∴a 3=70+(70－30)=110 ∴S 3=a 1+a 2+a 3=210 答案 210 学生巩固练习1 等比数列{a n }的首项a 1=－1,前n 项和为S n ,若3231510=S S ，则lim ∞→n S n 等于( )32 B. 32A.- C 2 D －22 已知a ,b ,a +b 成等差数列，a ,b ,ab 成等比数列，且0<log m (ab )<1,则m 的取值范围是_________3 等差数列{a n }共有2n +1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为_________4 已知a 、b 、c 成等比数列，如果a 、x 、b 和b 、y 、c 都成等差数列，则ycx a +=_________ 5 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 3=12,S 12>0,S 13<0 (1)求公差d 的取值范围；(2)指出S 1、S 2、…、S 12中哪一个值最大，并说明理由6 已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0,由{a n }中的部分项组成的数列 a 1b ,a 2b ,…,a nb ,…为等比数列，其中b 1=1,b 2=5,b 3=17(1)求数列{b n }的通项公式；(2)记T n =C 1n b 1+C 2n b 2+C 3n b 3+…+C nn b n ,求nn nn bT +∞→4lim7 设{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，a 1=b 1=1,a 2+a 4=b 3,b 2·b 4=a 3,分别求出{a n }及{b n }的前n 项和S 10及T 108 {a n }为等差数列，公差d ≠0,a n ≠0,(n ∈N *),且a k x 2+2a k +1x +a k +2=0(k ∈N *) (1)求证当k 取不同自然数时，此方程有公共根； (2)若方程不同的根依次为x 1,x 2,…,x n ,…,求证数列11,,11,1121+++n x x x 为等差数列参考答案:1 解析利用等比数列和的性质依题意，3231510=S S ，而a 1=－1,故q ≠1,∴3213232315510-=-=-S S S , 根据等比数列性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10,…,也成等比数列，且它的公比为q 5,∴q 5=－321,即q =－21∴.321lim 1-=-=∞→q a S n n 答案 B2 解析解出a 、b ,解对数不等式即可答案 (－∞,8)3 解析利用S 奇/S 偶=nn 1+得解答案第11项a 11=29 4 解法一赋值法解法二 b =aq ,c =aq 2,x =21(a +b )=21a (1+q ),y =21(b +c )=21aq (1+q ),y c x a + =)1(41)1(21)1(2122222q q a q q a q q a xy cx ay ++++=+=2 答案 25 (1)解依题意有 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<⨯+=>⨯+==+=021*********1212,12211311213d a S d a S d a a 解之得公差d 的取值范围为－724＜d ＜－3(2)解法一由d ＜0可知a 1>a 2>a 3>…>a 12>a 13,因此，在S 1，S 2，…，S 12中S k 为最大值的条件为 a k ≥0且a k +1＜0,即⎩⎨⎧<-+≥-+0)2(0)3(33d k a d k a∵a 3=12,∴⎩⎨⎧-<-≥122123d kd d kd ，∵d ＜0,∴2－d 12＜k ≤3－d12∵－724＜d ＜－3,∴27＜－d12＜4,得5 5＜k ＜7因为k 是正整数，所以k =6,即在S 1，S 2，…，S 12中，S 6最大解法二由d ＜0得a 1>a 2>…>a 12>a 13，若在1≤k ≤12中有自然数k ,使得a k ≥0,且a k +1＜0, 则S k 是S 1，S 2，…，S 12中的最大值由等差数列性质得，当m 、n 、p 、q ∈N *,且m +n =p +q 时，a m +a n =a p +a q 所以有2a 7=a 1+a 13=132S 13＜0, ∴a 7＜0,a 7+a 6=a 1+a 12=61S 12>0,∴a 6≥－a 7>0, 故在S 1，S 2，…，S 12中S 6最大解法三依题意得 )(2)212()1(221n n d d n d n n na S n -+-=-+=222)]245(21[,0,)245(8)]245(21[2dn d d d d n d --∴<----=最小时，S n 最大；∵－724＜d ＜－3,∴6＜21(5－d24)＜6 5从而，在正整数中，当n =6时，［n －21 (5－d24)］2最小，所以S 6最大点评该题的第(1)问通过建立不等式组求解属基本要求，难度不高，入手容易第(2)问难度较高，为求{S n }中的最大值S k ,1≤k ≤12,思路之一是知道S k 为最大值的充要条件是a k ≥0且a k +1＜0，思路之三是可视S n 为n 的二次函数，借助配方法可求解它考查了等价转化的数学思想、逻辑思维能力和计算能力，较好地体现了高考试题注重能力考查的特点而思路之二则是通过等差数列的性质等和性探寻数列的分布规律，找出“分水岭”，从而得解6 解 (1)由题意知a 52=a 1·a 17，即(a 1+4d )2=a 1(a 1+16d )⇒a 1d =2d 2,∵d ≠0,∴a 1=2d ,数列{nb a }的公比q =11154a d a a a +==3,∴n b a =a 1·3n －1①又nb a =a 1+(b n －1)d =121a b n + ②由①②得a 1·3n －1=21+n b ·a 1 ∵a 1=2d ≠0,∴b n =2·3n －1－1(2)T n =C 1n b 1+C 2n b 2+…+C nn b n=C 1n (2·30－1)+C 2n ·(2·31－1)+…+C nn (2·3n －1－1) =32(C 1n +C 2n ·32+…+C n n ·3n )－(C 1n +C 2n +…+C n n )=32［(1+3)n －1］－(2n －1)= 32·4n －2n +31, .32)41()43(211)41(31)21(32lim 1324312432lim 4lim 11=-⋅++-=-⋅++-⋅=+∴-∞→-∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n b T 7 解 ∵{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，∴a 2+a 4=2a 3,b 2·b 4=b 32,已知a 2+a 4=b 3,b 2·b 4=a 3,∴b 3=2a 3,a 3=b 32, 得b 3=2b 32,∵b 3≠0,∴b 3=21,a 3=41由a 1=1,a 3=41，知{a n }的公差d =－83,∴S 10=10a 1+2910⨯d =－855由b 1=1,b 3=21,知{b n }的公比q =22或q =－22,).22(32311)1(,22);22(32311)1(,221011010110-=--=-=+=--==q q b T q q q b T q 时当时当8 证明 (1）∵{a n }是等差数列，∴2a k +1=a k +a k +2, 故方程a k x 2+2a k +1x +a k +2=0可变为(a k x +a k +2)(x +1)=0, ∴当k 取不同自然数时，原方程有一个公共根－1(2）原方程不同的根为x k =kk k kk a da d a a a 2122--=+-=-+1,12k k a x d∴=-+ 111111()()1122222k k k k k k a a a a d x x d d d d +++---=---===-++常数 11{}.12k x ∴-+是以为公差的等差数列。

全国名校高考数学优质试题汇编(附详解)高三数学解答题训练6

1．(本小题满分12分)(优质试题·宝鸡模拟)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)．(1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)，∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)．又a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15，∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)，∴a n ＋1＋2a n a n ＋2a n －1＝3(n ≥2)， ∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n ，则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n ，∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n )．又∵a 1－3＝2，∴a n －3n ≠0，∴{a n －3n }是以2为首项，－2为公比的等比数列．∴a n －3n ＝2×(－2)n －1，即a n ＝2×(－2)n －1＋3n (n ∈N *)．2．某商场的20件不同的商品中有34的商品是进口的，其余是国产的．在进口的商品中高端商品的比例为13，在国产的商品中高端商品的比例为35.(1)若从这20件商品中按分层(分三层：进口高端与进口非高端及国产)抽样的方法抽取4件，求抽取进口高端商品的件数；(2)在该批商品中随机抽取3件，求恰有1件是进口高端商品且国产高端商品少于2件的概率；(3)若销售1件国产高端商品获利80元，国产非高端商品获利50元，若销售3件国产商品，共获利ξ元，求ξ的分布列及数学期望Eξ. 解：(1)由题意得，进口的商品有15件，其中5件是高端商品，10件是非高端商品，国产的商品有5件，其中3件是高端商品，2件是非高端商品，若从这20件商品中按分层抽样的方法抽取4件，则抽取进口高端商品的件数为1.(2)设事件B 为“在该批商品中随机抽取3件，恰有1件是进口高端商品且国产高端商品少于2件”，事件A 1为“抽取的3件商品中，有1件进口高端商品，0件国产高端商品”，事件A 2为“抽取的3件商品中，有1件进口高端商品，1件国产高端商品”，则P (B )＝P (A 1)＋P (A 2)＝C 15C 212C 320＋C 15C 13C 112C 320＝55190＋30190＝1738，所以在该批商品中随机抽取3件，恰有1件是进口高端商品且国产高端商品少于2件的概率是1738.(3)由于这批商品中仅有5件国产商品，其中3件是高端商品，2件是非高端商品，那么，当销售3件国产商品时，可能有1件高端商品，2件非高端商品，或2件高端商品，1件非高端商品，或3件都是高端商品，于是ξ的可能取值为180,210,240.P (ξ＝180)＝C 13C 22C 35＝310，P (ξ＝210)＝C 23C 12C 35＝610＝35， P (ξ＝240)＝C 33C 35＝110. 所以ξ的分布列为故E (ξ)＝180×310＋210×35＋240×110＝204.3．在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝4，AB ＝CD ＝10.(1)证明：BD ⊥平面P AC ；(2)若二面角A -PC -D 的大小为45°，求AP 的值．解：(1)证明：设O 为AC 与BD 的交点，作DE ⊥BC 于点E .由四边形ABCD 是等腰梯形得CE ＝BC －AD 2＝1， DE ＝DC 2－CE 2＝3，所以BE ＝DE ，从而得∠DBC ＝∠BCA ＝45°.所以∠BOC ＝90°，即AC ⊥BD .由P A ⊥平面ABCD ，得P A ⊥BD ，又因为P A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面P AC .(2)法一：作OH ⊥PC 于点H ，连接DH .由(1)知DO ⊥平面P AC ，故DO ⊥PC .所以PC ⊥平面DOH ，从而得PC ⊥DH .故∠DHO 是二面角A -PC -D 的平面角，所以∠DHO ＝45°.由∠DBC ＝∠BCA ＝45°，BC ＝4，得OC ＝2 2.同理可得OA ＝2，从而得AC ＝3 2.设P A ＝x ，则PC ＝x 2＋18.在Rt △DOH 中，由DO ＝2，∠DHO ＝45°，得OH ＝ 2.在Rt △P AC 中，由P A PC ＝OH OC ，可得x x 2＋18＝222，解得x ＝6，即AP ＝ 6.法二：由(1)知AC ⊥BD .以O 为原点，OB ，OC 所在直线为x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系O -xyz ，如图所示．由题意知各点坐标如下：A (0，－2，0)，B (22，0,0)，C (0，22，0)，D (－2，0,0)．由P A ⊥平面ABCD ，得P A ∥z 轴，故设点P (0，－2，t )(t ＞0)．设向量m ＝(x ，y ，z )为平面PDC 的法向量，由CD →＝(－2，－22，0)，PD →＝(－2，2，－t )，m ·CD →＝m ·PD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －22y ＝0，－2x ＋2y －tz ＝0.令y ＝1，得m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，1，32t . 又平面P AC 的法向量n ＝(1,0,0)，于是|cos 〈m ，n 〉|＝|m·n ||m |·|n |＝25＋18t 2＝22，解得t ＝6，即AP ＝ 6.4.(优质试题·吉林省吉林市模拟)在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，半径r ＝ 3 .(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，直线l 交圆C 于A 、B 两点，求弦长|AB |的取值范围.10.解 (1)设圆上任意一点坐标(ρ，θ)，由余弦定理得：(3)2＝ρ2＋(2)2－2ρ×2×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，整理得：ρ2－2ρ(cos θ＋sin θ)－1＝0.(2)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴ x 2＋y 2－2x －2y －1＝0，将直线的参数方程代入到圆的直角坐标方程中得：(2＋t cos α)2＋(2＋t sin α)2 －2(2＋t cos α)－2(2＋t sin α)－1＝0，整理得：t 2＋(2cos α＋2sin α)t －1＝0 ，∴t 1＋t 2＝－2cos α－2sin α，t 1·t 2＝－1，∴|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2 ＝8＋4sin 2α ， ∵α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4，∴2α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，∴|AB |∈[22，23).。

2019-2020学年高考数学一轮复习-等差及等比数列的基本问题导学案

2019-2020学年高考数学一轮复习等差及等比数列的基本问题导学案一、知识梳理教学重、难点三、作业完成情典题探究例1．在数列{}n a 中，nn n a a a 22,111+==+,设,21-=n nn a b 证明{}n b 是等差数列．例2．已知等差数列}{n a 中，1042=+a a ，95=a ，数列}{n b 中，11a b =，n n n a b b +=+1．（I ）求数列}{n a 的通项公式，写出它的前n 项和n S ；（II ）求数列}{n b 的通项公式；（III ）若12+⋅=n n n a a c ，求数列}{n c 的前n 项和n T ．例3．在等差数列115,3,2,,22----的相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列，求新数列的通项．例4.等比数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1=1, a n +1=n +2n×S n (n ÎN *)．证明：(1)数列{S nn}是等比数列；(2)S n +1=4a n . 演练方阵A 档（巩固专练）1 ．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，3420a a +=，则31S a （） A ．2B ．3C ．4D ．52 ．等比数列{}n a 中，10a >，则“13a a <”是“36a a <”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3 ．已知数列{}n a 中，12a =，120n n a a +-=，2log n n b a =，那么数列{}n b 的前10项和等于（） A ．130B ．120C ．55D ．504 ．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若19418,7a a a ，则10S （）A ．55B ．81C ．90D ．1005 ．已知数列{}n a 满足*7(13)10,6(),6--+≤⎧=∈⎨>⎩N n n a n a n a n an ，若{}n a 是递减数列，则实数a的取值范围是（）A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫58，1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，58 6 ．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（）A ．1B ．53C ．2D ．37 ．已知正项数列{}n a 中，11=a ，22=a ，222112(2)n n n a a a n +-=+≥，则6a 等于（）A ．16B ．8C ．22D ．48 ．设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则21a a 等于（） A ．1B ．2C ．3D ．49．设等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和是n S ．若23S S =，0k S =，则k =______． 10．记实数12,,,n x x x 中的最大数为12max{,,,}n x x x ，最小数为12min{,,,}n x x x .设△ABC 的三边边长分别为,,a b c ，且a b c ≤≤，定义△ABC 的倾斜度为max{,,}min{,a b c a t b c a b =⋅,}b cc a．（ⅰ）若△ABC 为等腰三角形，则t =______；（ⅱ）设1a =，则t 的取值范围是______．B 档（提升精练）1．已知等差数列b a ,,1,等比数列5,2,3++b a ,则该等差数列的公差为（）A ．3或3-B ．3或1-C ．3D ．3-2．对于函数)(x f y =,部分x 与y 的对应关系如下表:x12 3 4 5 6 7 8 9 y7 4 5 8 1 3 5 2 6数列}{n x 满足21=x ,且对任意*n ∈N ,点),(1+n n x x 都在函数)(x f y =的图象上,则201320124321x x x x x x ++++++ 的值为（）A ．9394B ．9380C ．9396D ．94003．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,3420a a +=,则31S a （） A ．2B ．3C ．4D ．54．等差数列{}n a 中,2343,9,a a a =+= 则16a a 的值为（）A ．14B ．18C ．21D ．275．在等差数列{}n a 中,7916+=a a ,41=a ,则12a 的值是（）A ．15B ．30C ．31D ．646．设等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,且10a >.若232S a >,则q 的取值范围是（）A ．1(1,0)(0,)2- B.1(,0)(0,1)2- C ．1(,1)(,)2-∞-+∞D ．1(,)(1,)2-∞-+∞7．已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和.若19418,7a a a ,则10S （）A ．55B ．81C ．90D ．1008．设集合M 是R 的子集,如果点0x ∈R 满足:00,,0a x M x x a ∀>∃∈<-<,称0x 为集合M的聚点.则下列集合中以0为聚点的有:①{|}1nn n ∈+N ; ②{|,0}x x x ∈≠R ; ③*2{|}n n ∈N ; ④Z （）A ．②③B ．②④C ．①③D ．①③④9．在数列{}n a 中，111,,)2n n a a a y x +==点（在直线上，则4a 的值为（）A ．7B ．8C ．9D ．1610．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（）A ．1B ．53C ．2D ．3C 档（跨越导练）1．在等差数列{}n a 中，13a =，42a =，则4731n a a a ++++等于．2.设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =，63k S =，则k =______．3．已知数列121,,,9a a 是等差数列，数列1231,,,,9b b b 是等比数列，则212b a a +的值为 .4．数列{}n a 满足12,a =且对任意的*,N m n ∈，都有n mn ma a a +=，则3_____;a ={}n a 的前n 项和n S =_____.5．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22a =，514a =，则4S 的值为（）A. 152B.516C.516-D.52-6．已知等差数列{a n }的公差0d ≠，该数列的前n 项和为n S ，且满足2352S a a ==．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设11b a =，*12()n an n b b n +-=∈N ，求数列{b n }的通项公式．7.在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为c 的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S ．8.设数列}{n a 的首项211-=a ，前n 项和为n S ，且对任意*,N m n ∈都有)53()53(--=m m n n S S mn ，数列}{n a 中的部分项∈k a k b }({N *）成等比数列，且.4,221==b b (Ⅰ) 求数列｝与｛n n b a }{与的通项公式;（Ⅱ）令11)(+=n b n f ，并用x 代替n 得函数)(x f ，设)(x f 的定义域为R ,记))((...)2()1()0(*N n n n f n f n f f c n ∈++++=,求∑=+ni i i c c 111.9. 数列{n a }中，18a =，42a =，且满足2120n n n a a a ++-+=(1)求数列的通项公式； (2)设12||||||n n S a a a =+++，求n S ．10．已知{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，且2n n S a =+*()n ∈N .（Ⅰ）求a 的值及数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若(21)n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .成长足迹课后检测学习（课程）顾问签字：负责人签字：教学主管签字：主管签字时间：等差及等比数列的综合问题答案典题探究例1解析： 1112211222n n n nn n n n n a a a b b ++-+===+=+，∴{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列．例2解析：（I ）设d n a a n )1(1-+=，由题意得11=a ，2=d ，所以12-=n a n ，212)1(n d n n na S n =-+=；（II ）111==a b ，121-+=+=+n b a b b n n n n ，所以112+=b b ，313123++=+=b b b ，22)1(1)32(21221+-=-+=-++++=n n n n b b n (2≥n )又1=n 时12122a n n ==+-，所以数列}{n b 的通项222+-=n n b n ；（III ）121121)12)(12(221+--=+-=⋅=+n n n n a a c n n n)121121()5131()3111(21+--++-+-=+++=n n c c c T n n1221211+=+-=n nn例3解析：原数列的公差133(5)22d =---=，所以新数列的公差13'24d d ==，其通项为：a n n n n =-+-=--534134234234()即 a =34n例4解(1)S n +1n +1S n n=nS n +1(n +1)S n =n (S n +a n +1)(n +1)S n =n (S n +n +2n S n )(n +1)S n =n (1+n +2n )n +1=2n +2n +1=2 所以数列{S nn}是等比数列．(2)由(1)得S nn=S 1×2n -1=2n -1，所以S n =n ×2n -1,所以S n +1=(n +1)×2n 又a n =n +1n -1S n -1=n +1n -1×(n -1)×2n -2=(n +1)×2n -2=14(n +1)×2n =14S n +1，所以S n +1=4a n . 演练方阵A 档（巩固专练）1 答案 B 2.答案 B 3. 答案C 4. 答案 D 5. 答案D6. 【答案】C解：因为36a =，312S =，所以13133()3(6)1222a a a S ++===，解得12a =，所使用316222a a d d ==+=+，解得2d =，选C. 7. 【答案】D【解析】由222112(2)n n n a a a n +-=+≥可知数列2{}n a 是等差数列，且以211a =为首项，公差2221413d a a =-=-=，所以数列的通项公式为213(1)32n a n n =+-=-，所以26362=16a =⨯-，即64a =。

全国名校高考数学优质学案,试题汇编(附详解)等差数列和等比数列小结

等差数列和等比数列小结班级：姓名：小组：【学习目标】1.理解等差数列和等比数列的概念；2.掌握等差数列和等比数列的通项公式与前n 项和公式；3.掌握等差数列和等比数列及前n 项和的性质；【学法指导】1. 等差、等比数列的基本运算是利用通项公式、求和公式求解首项a 1和公差d (公比q )，在列方程组求解时，要注意整体计算，以减少计算量．2. 给出S n 与a n 的递推关系求a n ，常用思路是：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .3.通过构造新数列求数列的通项，其过程是通过换元构造新的数列，得到b n ＋1－b n ＝n ，然后利用累加法求得数列的通项.事实上，形如b n ＋1－b n ＝f (n )，其中f (n )＝k 或多项式(一般不高于三次)的递推公式，用累加法即可求得数列的通项公式.4. 判断和证明数列是等差(比)数列的三种方法(1)定义法：对于n ≥1的任意自然数，验证a n ＋1－a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫或a n ＋1a n 为同一常数. (2)通项公式法：①若a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d 或a n ＝kn ＋b (n ∈N *)，则{a n }为等差数列；②若a n ＝a 1q n －1＝a m q n －m 或a n ＝pq kn ＋b (n ∈N *)，则{a n }为等比数列.(3)中项公式法：①若2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，则{a n }为等差数列；②若a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，则{a n }为等比数列【知识梳理】1.求通项公式的常见类型(1)观察法：利用递推关系写出前几项，根据前几项的特点观察、归纳、猜想出a n 的表达式，然后用数学归纳法证明.(2)利用前n 项和与通项的关系a n ＝⎩⎨⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1（n ≥2）.(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式.(4)累加法：在已知数列{a n }中，满足a n ＋1＝a n ＋f (n )，把原递推公式转化为a n ＋1－a n ＝f (n )，再利用累加法(逐差相加法)求解.(5)叠乘法：在已知数列{a n }中，满足a n ＋1＝f (n )a n ，把原递推公式转化为a n ＋1a n＝f (n )，再利用叠乘法(逐商相乘法)求解.(6)构造等比数列法：在已知数列{a n }中，满足a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)先用待定系数法把原递推公式转化为a n ＋1－t ＝p (a n －t )，其中t ＝q 1－p，再利用换元法转化为等比数列求解.2.等差数列(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，(2)求和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d ， (3)性质：①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； ②a n ＝a m ＋(n －m )d ；③S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，成等差数列.3.等比数列(1)通项公式：a n ＝a 1q －(q ≠0)； (2)求和公式：q ＝1，S n ＝na 1；q ≠1，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q； (3)性质：①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ； ②a n ＝a m ·q n －m ；③S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，(S m ≠0)成等比数列.【自主探究】热点一等差、等比数列的有关运算【例1】 (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则S n 的最小值为________.(2)(2015·郑州模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝5，S m ＝－11，S m ＋1＝21，则m 等于( )A.3B.4C.5D.6解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10a 1＋10×92d ＝0，S 15＝15a 1＋15×142d ＝25，解得a 1＝－3，d ＝23. ∴S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－3n ＋n （n －1）2×23＝n 23－103n ＝13(n －5)2－253. 当n ＝5时，S n 最小值为－253.(2)由已知得S m －S m －1＝a m ＝－16，S m ＋1－S m ＝a m ＋1＝32，故公比q ＝－2，又S m ＝a 1－a m q 1－q＝－11，故a 1＝－1，又a m ＝a 1q m －1＝－16，代入可求得m ＝5.答案 (1)－253 (2)C【训练1】 (1)(2015·武汉模拟)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 015，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 015的值为( )A.2 014B.2 015C.－2 014D.－2 015(2)(2015·潍坊模拟)在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前87项和S 87＝140，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 87＝________.解析 (1)根据等差数列的性质，得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，。

全国名校高考数学优质学案(附详解)专题第四节数列求和

第四节数列求和[考纲传真] 1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式． 2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法． 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题.知识点数列求和的常见方法 1．公式法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和 (1)等差数列的前n 项和公式： S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d . (2)等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n)1－q ，q ≠1.2．倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法．4．裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(2)裂项时常用的三种变形： ①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；②1(2n－1)(2n＋1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n－1－12n＋1；③1n＋n＋1＝n＋1－n.5．分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．6．并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n＝(－1)n f(n)类型，可采用两项合并求解．例如，S n＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.1．必会结论常用求和公式2.(1)直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．(2)在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如a n，a n＋1的式子应进行合并．(3)在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q.( ) (2)当n ≥2时，1n 2－1＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1.( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( )(4)如果数列{a n }是周期为k (k 为大于1的正整数)的周期数列，那么S km ＝mS k .( )【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．(教材改编)数列{a n }中，a n ＝1n (n ＋1)，若{a n }的前n 项和为2 0152 016，则项数为( )A ．2 014B ．2 015C ．2 016D ．2 017【解析】 a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n n ＋1.令n n ＋1＝2 0152 016，得n ＝2 015. 【答案】 B3．(优质试题·潍坊模拟)设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A.n 2＋7n4 B.n 2＋5n 3 C.2n 2＋3n 4D ．n 2＋n【解析】设等差数列公差为d，则a1＝2. a3＝2＋2d，a6＝2＋5d.又∵a1，a3，a6成等比数列，∴a23＝a1·a6.即(2＋2d)2＝2(2＋5d)，整理得2d2－d＝0.∵d≠0，∴d＝12.∴S n＝na1＋n(n－1)2d＝n24＋74n.【答案】 A4．若S n＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S2 016＝________.【解析】S2 016＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋2 015－2 016＝(－1)×1 008＝－1 008.【答案】－1 008考向1分组转化法求和1．已知数列{a n}的前n项是3＋2－1,6＋4－1,9＋8－1,12＋16－1， (3)＋2n－1，则其前n项和S n＝________.【解析】由题意知a n＝3n＋2n－1，∴S n＝a1＋a2＋…＋a n＝3×1＋21－1＋3×2＋22－1＋…＋3n＋2n－1＝3×(1＋2＋3＋…＋n)＋21＋22＋…＋2n－n＝3×(1＋n)×n2＋2(1－2n)1－2－n＝3n2＋n2＋2n＋1－2.【答案】12(3n2＋n)＋2n＋1－22．(优质试题·福建高考)等差数列{a n}中，a2＝4，a4＋a7＝15.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝22n a-＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．【解】(1)设等差数列{a n}的公差为d，由已知得⎩⎨⎧a 1＋d ＝4，(a 1＋3d )＋(a 1＋6d )＝15，解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋2. (2)由(1)可得b n ＝2n ＋n ，所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝2(1－210)1－2＋(1＋10)×102＝(211－2)＋55＝211＋53＝2 101.分组转化法求和的常见类型1．若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．2．通项公式为a n ＝⎩⎨⎧b n ，n 为奇数，c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．考向2裂项相消法求和(1)(优质试题·江苏高考)设数列{}a n 满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为______．(2)(优质试题·全国卷Ⅰ)S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n ＞0，a 2n ＋2a n ＝4S n＋3.①求{a n }的通项公式；②设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．【解析】 (1)由题意有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)．以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝(n －1)(2＋n )2＝n 2＋n －22.又∵a 1＝1，∴a n ＝n 2＋n2(n ≥2)．∵当n ＝1时也满足此式，∴a n ＝n 2＋n2(n ∈N *)． ∴1a n ＝2n 2＋n ＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1. ∴S 10＝2×()11－12＋12－13＋…＋110－111＝2×⎝⎛⎭⎫1－111＝2011. 【答案】 2011(2)①由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，(*) 可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.(**)(**)－(*)，得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．由a n >0，得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1. ②由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12()12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则 T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12()13－15＋()15－17＋…＋()12n ＋1－12n ＋3＝n3(2n ＋3).。

全国名校高考数学优质学案(附详解)专题第三节等比数列及其前n项和

第三节等比数列及其前n 项和[考纲传真] 1.理解等比数列的概念． 2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题． 4.了解等比数列与指数函数的关系.知识点1 等比数列的有关概念 1．定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，公比的表达式为a n ＋1a n＝q .2．5等比中项如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .知识点2 等比数列的有关公式 1．通项公式：a n ＝a 1q n －1＝a m q n －m .2．前n 项和公式：S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q ，q ≠1.1．必会结论等比数列的性质(1)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .(2)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，{|a n |}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n (λ≠0)仍然是等比数列．(3)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .(4)公比不为－1的等比数列{a n}的前n项和为S n，则S n，S2n－S n，S3n－S2n 仍成等比数列，其公比为q n，当公比为－1时，S n，S2n－S n，S3n－S2n不一定构成等比数列．(5)若等比数列{a n}共2k(k∈N*)项，则S偶S奇＝q.2．必清误区(1)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，与等差数列不同．(2)由a n＋1＝qa n(q≠0)并不能断言{a n}是等比数列，还要验证a1≠0.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列a，a，a，…(a∈R)必为等比数列．()(2)当q＜0时，等比数列{a n}为递减数列．()(3)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.()(4)满足a n＋1＝qa n(n∈N*，q为常数)的数列{a n}是等比数列．()【解析】(1)错误．a＝0时不能构成等比数列．(2)错误．当q＜0时，{a n}为摆动数列．(3)错误．G2＝abD⇒/G为a，b的等比中项．(4)错误．若a1＝0，则{a n}不是等比数列．【答案】(1)×(2)×(3)×(4)×2．(教材改编)已知{a n}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则公比q等于()A．－12B．－2C．2 D.1 2【解析】由题意知q3＝a5a2＝18，∴q＝12.【答案】 D3．(优质试题·广东高考)若三个正数a，b，c成等比数列，其中a＝5＋26，c＝5－26，则b＝________.【解析】∵a，b，c成等比数列，∴b2＝a·c＝(5＋26)(5－26)＝1.又b>0，∴b＝1.【答案】 14．设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S5S2＝________.【解析】设等比数列{a n}的公比为q，因为8a2＋a5＝0，所以8a1q＋a1q4＝0.∴q3＋8＝0，∴q＝－2，∴S5S2＝a1(1－q5)1－q·1－qa1(1－q2)＝1－q51－q2＝1－(－2)51－4＝－11.【答案】－11考向1等比数列的基本运算1．(优质试题·全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝()A．21 B．42C．63 D．84【解析】∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21.∴1＋q2＋q4＝7.解得q2＝2或q2＝－3(舍去)．∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.故选B.【答案】 B2．(优质试题·青岛模拟)已知等比数列{a n}中，a2＝2，a5＝128.(1)求通项a n；(2)若b n＝log2a n，数列{b n}的前n项和为S n，且S n＝360，求n的值．【解】(1)设{a n}的公比为q，由a2＝2，a5＝128，及a5＝a2q3，得128＝2q3，所以q＝4，所以a n＝a2q n－2＝2·4n－2＝22n－3.(2)因为b n＝log222n－3＝2n－3，所以数列{b n}是以－1为首项，2为公差的等差数列，所以S n＝n×(－1)＋n(n－1)2×2＝n2－2n，令n2－2n＝360，得n1＝20，n 2＝－18(舍)，故n ＝20为所求．解决等比数列有关问题的常见思想方法1．方程的思想等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q ，问题可迎刃而解．2．数形结合的思想通项a n ＝a 1q n －1可化为a n ＝()a 1q q n ，因此a n 是关于n 的函数，点(n ，a n )是曲线y ＝()a 1q q x 上一群孤立的点．3．分类讨论的思想当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q .等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，此处是常考点，也是易错点．考向2等比数列的判定与证明(1)(优质试题·重庆高考)对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( )A ．a 1，a 3，a 9成等比数列B ．a 2，a 3，a 6成等比数列C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列(2)(优质试题·全国卷Ⅱ)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.①证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式； ②证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.【解析】 (1)设等比数列的公比为q ，因为a 6a 3＝a 9a 6＝q 3，即a 26＝a 3a 9，所以a 3，a 6，a 9成等比数列．故选D.【答案】 D(2)①由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋12.又a 1＋12＝32，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列．a n ＋12＝3n2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n －12. ②由①知1a n ＝23n －1.因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n <32.所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n<32.等比数列的判定方法1．定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．2．等比中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．3．通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n －1(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．4．前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．[变式训练](优质试题·唐山模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．【解】 (1)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)·S n ＋2n (n ∈N *)， ∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2；当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4，∴a 2＝4；当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6，∴a 3＝8. (2)证明：∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，①∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －2)S n －1＋2(n －1)，② ①－②得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2＝na n －S n ＋2S n －1＋2， ∴－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2. ∴S n ＋2＝2(S n －1＋2)．∵S 1＋2＝4≠0. ∴S n －1＋2≠0，∴S n ＋2S n －1＋2＝2.即{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．考向3等比数列性质的应用(1)(优质试题·广东高考)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝12，则S 9S 3＝________.【解析】 (1)因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5＝50ln e ＝50.(2)法一 ∵S 6∶S 3＝1∶2， ∴{a n }的公比q ≠1.由a 1(1－q 6)1－q ÷a 1(1－q 3)1－q＝12得q 3＝－12，∴S 9S 3＝1－q 91－q3＝34. 法二因为{a n }是等比数列，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)，将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34.【答案】 (1)50 (2)34等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征。

高考专题等差数列、等比数列(教学案)高考理数二轮复习精品资料含答案

专题g 等差数列"等比数列高考侧重于考查等差、等比数列的通项 a n ,前n 项和S n 的基本运算，另外等差、等比数列的性质也是高考的热点.备考时应切实理解等差、等比数列的概念，加强五个量的基本运算，强化性质的应用意识.1. 等差数列（1）定义式：a n +1— a n = d （n € N *, d 为常数）; ⑵通项公式：a n =a 1+ (n—1)d；(3)前n 项和公式：n a 1 + a nn n _ 1 dS = = +⑷性质：① a n = a m + （n — m ）d （n 、m € N *）；②若 m + n = p + q （m 、n 、p 、q € N *）,贝a m + a n = a p + a q . 2. 等比数列a n + 1(1) 定义式：= q(n € N , q 为非零常数)； a n(2) 通项公式：a n = a 1q n T ；"na 1(3)前n 项和公式： S = Ja 1— q n L 1 - qn rm*⑷性质：① a n = a m q (n , m € N ); ②若 m + n = p + q ,贝V a m a n = a p a q (p 、3•复习数列专题要把握等差、等比数列两个定义，牢记通项、前 n 项和四组公式，活用等差、等比数列的性质，明确数列与函数的关系，巧妙利用a n 与S n 的关系进行转化，细辨应用问题中的条件与结论是通项还是前 n 项和，集中突破数列求和的五种方法 (公式法、倒序相加法、错位相减法、分组求和法、裂项相消法).【误区警示】1•应用a n 与S n 的关系，等比数列前 n 项和公式时，注意分类讨论. 2•等差、等比数列的性质可类比掌握•注意不要用混.q = 1， qz 1.*q 、m 、n €3•讨论等差数列前n项和的最值时，不要忽视n为整数的条件和a n= 0的情形.4.等比数列｛a n｝中，公比q MQ a n* 0.考点一、等差数列、等比数列的基本运算例1【2017课标1，理4】记S n为等差数列｛a n｝的前n项和.若a4+a5=24 , S6 = 48,则｛a n｝的公差为A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】因为& =6佝二丸＞=3(a3- a4) =48，即a3 a4=16，则2(a4 a5) -(a3 aj = 24 -16 = 8，即a5 - a3 = 2d = 8，解得d = 4，故选C.【变式探究】(1)在等比数列｛a n｝中，S n表示其前n项和，若a3= 2$+ 1, a4= 20+ 1,则公比q等于()A.—3B.—1C. 1D. 3(2)已知｛a n｝是等差数列，S n是其前n项和•若a j+ a；=—3,S s= 10,则a?的值是____________ .解析；⑴两式t目减得做-录=2从而求得学=3•即尸3.―i二5X4⑵法一；设等差数歹呢®｝的公差为d,由S尸10,知# =旳］+二一片1山得盘】+ 2*2,即①=2 —2却：.ai=a\ + d=2-d r代入e +圧=一3,化简得出一3+9=0』二厂3, □】=一4.故创=6十84 —斗+ 24二20.法二；设等差数列｛血｝的公差为必由55=10,知§(如(例)=5更=1山二4=2一二由创+01=201〉得fli=2oi-2,代入&】+ £=—弓,化简得£+2oi+l=(h ・・・02=-1.公差尺血一£ = 2+1 =気故绥=G +1S=2CL答案：(1)D (2)20【变式探究】(1)已知｛a n｝是公差为1的等差数列，S n为｛a n｝的前n项和，若S8= 4S4,贝Va10=( )17 19人石B・？C. 10 D. 1281⑵若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为—，则前4项倒数的和为()3 9AQ B.4 C. 1 D. 219--a 10= a 1 + 9d = ?.a 1 (1 — q 4) 1 — q 4⑵由题意得S= 1-q = 9，- 1 -q a 19-^73= 2 ag答案：(1)B(2)D考点二、等差数列、等比数列的判断与证明例2、(2016全国川卷)已知数列｛a n ｝的前n 项和S n = 1 +入a 其中入工0. (1)证明｛a n ｝是等比数列，并求其通项公式； 31⑵若&=32，求入⑴证明：由题意得创=$ = 1 +沏, 故辭1, a 】=IT ，故©非①由 $1=14■，心1』1 + 也>t=l 得口.g ；=加目_] 即加-]©— 1)=込一由例利尹得申…驾二=因此伽｝是苜项为占，公比为=的等比数列,(2)解：由(1)得久=1—二 ,31 心 f L\ 31 ()由$=莎寸—匕刁；=0即:乔解得A=- 1【变式探究】已知数列｛a n ｝的前n 项和为S,且满足a n + 2S n • S n -1= 0(n >2 1 2.解析：⑴由S 8= 4S 4,公差d = 1,得8a i + 8j X ^x 1 = 4x l‘4a 1 +4 X3 12 xi 》解得a 1 = i,专•由 a 1 • a 1q • a 1q 2 • a 1q 3=(a 1q 3)2 =乎，得2 39a 1q = 2•由等比数列的性质知该数列前4项倒数的和为q 4- 1 3 ，a i q (q - 1)~3・_a 1q a 1~U(1)求证：丈是等差数列;于是血=2⑵求数列｛an ｝的通项公式.⑴证明：由 an + 2S n • 0-i = 0(n 》2 n € N ),得 S l _ 3)-1+ 2S )S 1 -1= 0,二吉一偌2» nGN*）j 又烏=2,故斗;是苜项湖2,公差为2的等差数列. ⑵解：由⑴知,吉=2"故S 尸羔為=%_'"】=命_2 （丄1） =_肋（；_1〉（吃厶心）fl —亍 1 J 二①n 1< In ( ?J — 1)考点三、等差数列、等比数列的综合应用例3、【2017课标1，理12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了解数学题获取软件激活码”的活动•这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1, 1, 2, 1, 2, 4, 1 , 2, 4, 8 , 1, 2, 4, 8, 16,…, 其中第一项是20,接下来的两项是 20, 21，再接下来的三项是 20, 21, 22，依此类推•求满足如下条件的最小整数 N : N>100且该数列的前N 项和为2的整数幕.那么该款软件的激活码是A . 440B . 330【答案】A【解析】由题意得，数列如下：1, 1,2, 1,2,4, 1,2,4,,2k f k +1）则该数列的前1，2亠•亠k项和为=1 1 2 厂「12 =2k1 _k _2,C. 220D . 1102要使心心）＞ioo ，有k 兰14，此时k+2c2k_t1，所以k+2是第k+1组等比数列 2kt 1t1,2,…,2的部分和，设k ・2 =1 • 2• 2 =2 -1 ,所以 k =：2七一3 _14，则 t _5，此时 k =25 -3 =29 ,29 X 30所以对应满足条件的最小整数 N = ---------- +5 = 440，故选A.2【变式探究】（2016全国I 卷）已知佃｝是公差为3的等差数列，数列｛b n ｝满足b 1 = 1, b 2 1 」」 3，a n b n +1 + b n + 1= nb n . （1）求｛a n ｝的通项公式； ⑵求｛b n ｝的前n 项和.解：⑴由已知，创加+比二亦&1—1＞加=茁得ay —2二数列｛為｝是首项为2^公差为3的等差数列，通项公式为a n =3n- 1 ⑵由（1）知 6九-]+,得 0.1-1 =~f因此㈣罡首项为b 公比甥的等比数列. 记伽｝的前川项和为儿【变式探究】已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,常数 P 0,且入1a n = S + S 对一切正整数 n 都成立.（1）求数列｛a n ｝的通项公式.r \1⑵设a 1＞0,入=100.当n 为何值时，数列clg~ 的前n 项和最大? L.叽解：（1）取 n = 1，得入（=2S| = 2a 1, a# 入 a — 2）= 0.若 a 1= 0，则 S n = 0.当 n 》2时，a n = S n — Si-1 = 0 一 0 = 0, a n = 0（n 》1）右玄1工0，贝U a 1 =人则S H =12 2当n》2时，2a n = -+ S , 2a“-1=一+ S n-1, 人人两式相减得2a n- 2a n-1= a n,••• a n= 2a n-1 (n A 2,)从而数列｛a n｝是等比数列, . n-12 n-12n--a n= a1 • 2=「2=人人综上，当a i= 0 时，a n= 0;当a“M0 时，a.=:.入⑵当闵丸且2=100时，令沪1亦由⑴知，九=1罟=2—«1§2一二数列厲｝是单调递涮的等差数列｛公差为-炉｝•bi>b2>—力嘲=壇应-=1寥貢>lgl=0, 当空？时，hWA=Ig孚=：g黑<gl=(b 故数列*詁J的前石项的和最大•1.【2017课标1,理4】记5为等差数列｛a n｝的前n项和.若a424 , S6^48, 则｛a n｝的公差为A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】因为是=6佝+a6)=3包+a4)=48，即a^a^16，则2(a4 a5) - @3 ■內)=24 -16=8，即a s _ a^ - 2d - 8，解得d = 4，故选C.2.【2017课标II,理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A. 1盏B. 3盏C. 5盏D. 9盏【答案】B【解析】设塔的顶层共有灯X盏，则各层的灯数构成一个首项为X，公比为2的等比数x(1_2 )列，结合等比数列的求和公式有：=381，解得x=3，即塔的顶层共有灯3盏,1-2故选B.3.【2017课标1,理12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件•为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了解数学题获取软件激活码”的活动•这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1, 1, 2, 1 , 2, 4, 1 , 2, 4, 8, 1 , 2, 4, 8, 16 ,…,其中第一项是20,接下来的两项是20, 21,再接下来的三项是20, 21, 22,依此类推•求满足如下条件的最小整数N: N>100且该数列的前N项和为2的整数幕.那么该款软件的激活码是A. 440B. 330C. 220D. 110【答案】A【解析】由题竜得，数列如下：L1±2:1,2,4,肘上+1)则该数列的前1+2十…+力二-——项和为7■S':二］+ (1_2)+”+|1_2十….2卜1)=2“一氐_2,V 2Jk(k +1 ) 心要使一2—>100 ,有^14 ,此时k +2 v2 ,所以k + 2是第k +1组等比数列k t 1 t1,2/ ,2 的部分和，设k，2=「2 •…，2 =2-1,所以k =2七—3 _14,则t -5,此时k =25- 3 = 29 ,29 汇30 所以对应满足条件的最小整数N =+5 =440,故选A.21.【2016高考新课标1卷】已知等差数列佔“前9项的和为27,30=8,则3100二( )【答案】C(A) 100 (B) 99 (C) 98 (D) 97A nB n R" B/r场 B 2B n B n【解析】由已知,9a i 3" - 27,所以印--1,d = 1,a 100 = a 1 99d - -1 99 = 98,故a j +9d =8选C.2【2016高考浙江理数】如图，点列｛A n ｝, ｛B n ｝分别在某锐角的两边上，且| AiA n 1~ An 1A n -2 ,A n = A n 2, n N *，Bn 1 Bn 2,Bn= B n 2, n N *，（P = Q 表示点P 与Q 不重合）若d n 二，S nA nB n B n 1 的面积，贝U （）【答案】A两血』溉定愼臧险-勝定值・故选”3.【2016年高考北京理数】已知｛a n ｝错误！未找到引用源。

高中数学《等差数列的应用》导学案北师大版必修5

第5课时等差数列的应用1.理解等差数列的定义、通项公式、前n项和公式的性质.2.能应用等差数列的定义、通项公式、前n项和公式的性质解决相关的数列问题.前面我们共同学习了等差数列的定义、通项公式、前n项和公式等基本概念,理解了累加法、归纳法、倒序相加法等,今天我们将共同探究等差数列的定义、通项公式、前n项和公式的相关性质及其应用,这些性质在数列中有着重要的地位.问题1:等差数列通项公式的性质(1)若m+n=p+q,则,特别:若m+n=2p,则.(2)a m,a m+k,a m+2k,a m+3k,…仍是等差数列,公差为.(3)数列{a n}、{b n}都是等差数列,公差分别为d1,d2,则数列{c·a n},{c+a n},{pa n+qb n}也是等差数列,其中c、p、q均为常数,公差分别为、、.问题2:等差数列的前n项和的简单性质(1)已知{a n}是等差数列,求前n项和的最值时:若a1>0,d<0,且满足则前n项和S n;若a1<0,d>0,且满足则前n项和S n.(2)数列S m,S2m-S m,S3m-S2m,…也是等差数列,公差为.(3)在等差数列{a n}中,当项数为偶数2n时,S偶-S奇=;S偶∶S奇= ;当项数为奇数2n+1时,S奇-S偶= ;S偶∶S奇= .问题3:等差数列的判定方法(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数.(2)等差中项法:验证2a n-1= (n≥3,n∈N+)成立.(3)通项公式法:验证a n= .(4)前n项和公式法:验证S n= .问题4:通项公式,前n项和公式的函数意义(1)当d≠0时,通项公式a n=a1+(n-1)d=dn+a1-d是关于n的一次函数.(2)将公式S n=na1+变形整理得S n=n2+(a1-)n.故当d≠0时,S n是关于n的一个二次函数,它的图像是抛物线上横坐标为正整数的一群孤立的点.(3) =n+(a1-)是关于n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0),即数列{}是以为公差的等差数列.1.等差数列{a n}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a6+a7等于().A.21B.28C.32D.352.在等差数列{a n}中,2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=24,则此数列的前13项之和等于().A.13B.26C.52D.1563.等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1+a9+a11=30,那么S13的值是.4.已知{a n}为等差数列,若<-1,且它的前n项和S n有最大值,那么当S n取得最小正值时,n 等于多少?利用性质若m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q解题在等差数列{a n}中,若a3+a8+a13=12,a3a8a13=28,求{a n}的通项公式.S m,S2m-S m,S3m-S2m,…也是等差数列的应用设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3=9,S6=36.求a7+a8+a9.等差数列前n项和最大值的求法设等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a3=12,S12>0,S13<0.(1)求公差d的取值范围;(2)指出S1、S2、…、S12中哪一个值最大,并说明理由.已知{a n}是等差数列,且a1+a2+a3=12,a8=16.求数列{a n}的通项公式.已知两个等差数列{a n}、{b n},它们的前n项和分别是S n、S'n,若=,求.在等差数列{a n}中,若a5+a7=4,a6+a8=-2.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{a n}的前n项和S n的最大值.1.在等差数列{a n}中,a n<0,++2a3a8=9,那么S10等于().A.-9B.-11C.-13D.-152.设等差数列{a n}的前n项和是S n,若-a m<a1<-a m+1(m∈N+,且m≥2),则必定有().A.S m>0,且S m+1<0B.S m<0,且S m+1>0C.S m>0,且S m+1>0D.S m<0,且S m+1<03.已知数列{a n}的前n项和为S n,点(n,)在直线y=x+4上,则a n= .4.等差数列{a n}的通项公式是a n=2n+1,其前n项和为S n,求数列{}的前10项和.(2013年·安徽卷)设S n为等差数列{a n}的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9等于().A.-6B.-4C.-2D.2考题变式(我来改编):第5课时等差数列的应用知识体系梳理问题1:(1)a m+a n=a p+a q a m+a n=2a p(2)kd(3)cd1d1pd1+qd2问题2:(1)最大最小(2)m2d (3)nd a n+1问题3:(1)a n-a n-1(2)a n+a n-2(3)pn+q (4)an2+bn(a,b为常数)问题4:(2)y=x2+(a1-)x (3)基础学习交流1.B因为2a4=a3+a5,所以3a4=12,即a4=4,所以a1+a2+…+a6+a7=7a4=28.2.B∵2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=6a4+6a10=24,∴a4+a10=4,∴S13===26.3.130设公差为d,则a1+(a1+8d)+(a1+10d)=30,整理得a1+6d=10,所以S13=13a1+d=13(a1+6d)=130.4.解:由已知得,{a n}是首项为正,公差为负的递减等差数列.由<-1得a10+a11<0且a10>0,a11<0,∴S20===10(a10+a11)<0.而S19=19a10>0,∴S n取最小正值时n=19.重点难点探究探究一:【解析】(法一)设所求的通项公式为a n=a1+(n-1)d,则即把①代入②得(a1+2d)(a1+12d)=7,③∵a1=4-7d,代入③,∴(4-5d)(4+5d)=7,即16-25d2=7,解得d=±.当d=时,a1=-,a n=-+(n-1)·=n-;当d=-时,a1=,a n=+(n-1)·(-)=-n+.(法二)∵a3+a13=a8+a8=2a8,又a3+a8+a13=12,故知a8=4,代入已知得解得或由a3=1,a13=7得d===.∴a n=a3+(n-3)·=n-.由a3=7,a13=1,同理可得:a n=-n+.【小结】注意到等差数列中,若m,n,p,q∈N+且m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q,而a3,a8,a13中的下标3,8,13间的关系:3+13=8+8,从而得到a3+a13=a8+a8=2a8.探究二:【解析】由数列{a n}为等差数列,则S3,S6-S3,S9-S6为等差数列,即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),∵S3=9,S6=36,S6-S3=27,∴a7+a8+a9=S9-S6=45.【小结】数列{a n}是等差数列,前n项和是S n,那么S m,S2m-S m,…,S(k+1)m-S km,…(k∈N+)是等差数列.探究三:【解析】(1)依题意有:解之得公差d的取值范围为-<d<-3.(2)(法一)由d<0可知a1>a2>a3>…>a12>a13,因此,在S1,S2,…,S12中S k为最大值的条件为:a k≥0且a k+1<0,即∵a3=12,∴∵d<0,∴2-<k≤3-.∵-<d<-3,∴<-<4,得5.5<k<7.∵k是正整数,∴k=6,即在S1,S2,…,S12中,S6最大.(法二)由d<0得a1>a2>…>a12>a13,因此若在1≤k≤12中有自然数k,使得a k≥0,且a k+1<0,则S k是S1,S2,…,S12中的最大值.又∵2a7=a1+a13=S13<0,∴a7<0,a7+a6=a1+a12=S12>0,∴a6>-a7>0,故在S1,S2,…,S12中S6最大.(法三)依题意得:S n=na1+(n-1)d=n(12-2d)+(n2-n)=[n-(5-)]2-(5-)2,∵d<0,∴[n-(5-)]2最小时,S n最大;∵-<d<-3,∴6<(5-)<6.5.从而,在正整数中,当n=6时,[n-(5-)]2最小,∴S6最大.【小结】熟练应用前n项和公式及其函数意义解题.思维拓展应用应用一:∵a1+a2+a3=12,∴a2=4.∵a8=a2+(8-2)d,∴16=4+6d,∴d=2,∴a n=a2+(n-2)d=4+(n-2)×2=2n.应用二:∵===,∴====.应用三:(1)设等差数列的公差为d,则由a5+a7=4,a6+a8=-2,得解得所以数列{a n}的通项公式为a n=20-3n.(2)由解得≤n≤.因为n∈N+,所以n=6,故前n项和S n的最大值为S6=6×17+×(-3)=57.基础智能检测1.D由++2a3a8=9,得(a3+a8)2=9,∵a n<0,∴a3+a8=-3,∴S10==5(a3+a8)=5×(-3)=-15.2.A由题意,得:-a m<a1<-a m+1⇔易得S m=·m>0,S m+1=·(m+1)<0.3.2n+3由题意得=n+4,即S n=n2+4n,当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2+4n-[(n-1)2+4(n-1)]=2n+3,当n=1时,a1=S1=5符合上式,∴a n=2n+3.4.解:∵a n=2n+1,∴a1=3,∴S n==n2+2n,∴=n+2,∴{}是公差为1,首项为3的等差数列,∴前10项和为T10=3×10+×1=75.全新视角拓展A根据等差数列的定义和性质可得S8=4(a3+a6),又S8=4a3,所以a6=0,又a7=-2,所以a8=-4,a9=-6.思维导图构建2a n=a n-1+a n+1等差m2d。

(全国通用版)高考数学二轮复习专题二数列第1讲等差数列与等比数列学案文-人教版高三全册数学

第1讲等差数列与等比数列[考情考向分析] 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力．热点一等差数列、等比数列的运算 1．通项公式等差数列：a n ＝a 1＋(n －1)d ；等比数列：a n ＝a 1·q n －1.2．求和公式等差数列：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d ；等比数列：S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q(q ≠1)．3．性质若m ＋n ＝p ＋q ，在等差数列中a m ＋a n ＝a p ＋a q ；在等比数列中a m ·a n ＝a p ·a q .例1 (1)(2018·北京)设{a n }是等差数列，且a 1＝3，a 2＋a 5＝36，则{a n }的通项公式为______．答案 a n ＝6n －3(n ∈N *)解析方法一设公差为d .∵a 2＋a 5＝36，∴(a 1＋d )＋(a 1＋4d )＝36，∴2a 1＋5d ＝36.∵a 1＝3，∴d ＝6，∴通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝6n －3(n ∈N *)．方法二设公差为d ，∵a 2＋a 5＝a 1＋a 6＝36，a 1＝3， ∴a 6＝33，∴d ＝a 6－a 15＝6.∵a 1＝3，∴通项公式a n ＝6n －3(n ∈N *)．(2)(2018·华大新高考联盟质检)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3a 11＝2a 25，且S 4＋S 12＝λS 8，则λ＝________.答案 83解析 ∵a 3a 11＝2a 25，∴a 27＝2a 25，∴q 4＝2， ∵S 4＋S 12＝λS 8，∴a 1(1－q 4)1－q ＋a 1(1－q 12)1－q ＝λa 1(1－q 8)1－q，1－q 4＋1－q 12＝λ(1－q 8)，将q 4＝2代入计算可得λ＝83.思维升华在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a 1和d (q )的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量．跟踪演练1 (1)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1等于( ) A ．－2 B ．－1 C.12 D.23答案 B解析 S 4－S 2＝a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即3a 2＋a 3－2a 4＝0，即3a 2＋a 2q －2a 2q 2＝0，即2q 2－q －3＝0，解得q ＝－1(舍)或q ＝32，当q ＝32时，代入S 2＝3a 2＋2，得a 1＋a 1q ＝3a 1q ＋2，解得a 1＝－1.(2)(2018·全国Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. ①求{a n }的通项公式；②记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝63，求m . 解 ①设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝qn －1.由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1(n ∈N *)．②若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－(－2)n3.由S m ＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．若a n ＝2n －1，则S n ＝2n－1.由S m ＝63得2m＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.热点二等差数列、等比数列的判定与证明证明数列{a n }是等差数列或等比数列的证明方法 (1)证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法： ①利用定义，证明a n ＋1－a n (n ∈N *)为一常数；②利用等差中项，即证明2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)． (2)证明数列{a n }是等比数列的两种基本方法： ①利用定义，证明a n ＋1a n(n ∈N *)为一常数； ②利用等比中项，即证明a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)．例2 已知数列{a n }，{b n }，其中a 1＝3，b 1＝－1，且满足a n ＝12(3a n －1－b n －1)，b n ＝－12(a n －1－3b n －1)，n ∈N *，n ≥2.(1)求证：数列{a n －b n }为等比数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n a n a n ＋1的前n 项和T n . (1)证明 a n －b n ＝12(3a n －1－b n －1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12(a n －1－3b n －1)＝2(a n －1－b n －1)，又a 1－b 1＝3－(－1)＝4，所以{a n －b n }是首项为4，公比为2的等比数列． (2)解由(1)知，a n －b n ＝2n ＋1，①又a n ＋b n ＝12(3a n －1－b n －1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12(a n －1－3b n －1)＝a n －1＋b n －1，又a 1＋b 1＝3＋(－1)＝2，所以{a n ＋b n }为常数数列，a n ＋b n ＝2，② 联立①②得，a n ＝2n＋1，2na n a n ＋1＝2n(2n ＋1)(2n ＋1＋1)＝12n ＋1－12n ＋1＋1，所以T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋1－122＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1－123＋1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋1＋1＝121＋1－12n ＋1＋1＝13－12n ＋1＋1(n ∈N *)．思维升华 (1)判断一个数列是等差(比)数列，也可以利用通项公式及前n 项和公式，但不能作为证明方法．(2)a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2)是数列{a n }为等比数列的必要不充分条件，判断时还要看各项是否为零．跟踪演练2 (2018·新余模拟)已知{a n }是各项都为正数的数列，其前n 项和为S n ，且S n 为a n 与1a n的等差中项．(1)求证：数列{S 2n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)设b n ＝(－1)n a n，求{b n }的前n 项和T n .(1)证明由题意知2S n ＝a n ＋1a n，即2S n a n －a 2n ＝1，(*)当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1，代入(*)式得 2S n (S n －S n －1)－(S n －S n －1)2＝1，整理得S 2n －S 2n －1＝1(n ≥2)．又当n ＝1时，由(*)式可得a 1＝S 1＝1， ∴数列{S 2n }是首项为1，公差为1的等差数列． (2)解由(1)可得S 2n ＝1＋n －1＝n ， ∵数列{a n }的各项都为正数， ∴S n ＝n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n －n －1，又a 1＝S 1＝1满足上式， ∴a n ＝n －n －1(n ∈N *)． (3)解由(2)得b n ＝(－1)n a n＝(－1)nn －n －1＝(－1)n(n ＋n －1)，当n 为奇数时，T n ＝－1＋(2＋1)－(3＋2)＋…＋(n －1＋n －2)－(n ＋n －1)＝－n ，当n 为偶数时，T n ＝－1＋(2＋1)－(3＋2)＋…－(n －1＋n －2)＋(n ＋n －1)＝n ，∴数列{b n }的前n 项和T n ＝(－1)nn (n ∈N *)．热点三等差数列、等比数列的综合问题解决等差数列、等比数列的综合问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系；数列与不等式、函数、方程的交汇问题，可以结合数列的单调性、最值求解．例3 已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6. (1)求数列{a n }的通项公式a n 与其前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使得对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ恒成立，求实数λ的取值范围．解 (1)由a 2＋a 7＋a 12＝－6，得a 7＝－2，∴a 1＝4， ∴a n ＝5－n ，从而S n ＝n (9－n )2(n ∈N *)．(2)由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1，设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 2b 1＝12，∴T m ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 1－12＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12m随m 的增加而减少， ∴{T m }为递增数列，得4≤T m <8. 又S n ＝n (9－n )2＝－12(n 2－9n )＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫n －922－814，故(S n )max ＝S 4＝S 5＝10，若存在m ∈N *，使得对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ，则10<8＋λ，得λ>2.即实数λ的取值范围为(2，＋∞)．思维升华 (1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便．(2)数列的项或前n 项和可以看作关于n 的函数，然后利用函数的性质求解数列问题． (3)数列中的恒成立问题可以通过分离参数，通过求数列的值域求解．跟踪演练3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n －1＝3(a n －1)，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足a n ＋1＝32n na b ⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭，若b n ≤t 对于任意正整数n 都成立，求实数t 的取值范围．解 (1)由已知得S n ＝3a n －2，令n ＝1，得a 1＝1，又a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝3a n ＋1－3a n ，得a n ＋1＝32a n ，所以数列{a n }是以1为首项，32为公比的等比数列，所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1(n ∈N *)．(2)由a n ＋1＝32n na b ⋅⎛⎫⎪⎝⎭，得b n ＝1a n 312log n a +＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1323log 2n⎛⎫ ⎪⎝⎭＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，所以b n ＋1－b n ＝(n ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝2n －13n (2－n )，所以(b n )max ＝b 2＝b 3＝43，所以t ≥43.即t 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞.真题体验1．(2017·全国Ⅰ改编)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为________．答案 4解析设{a n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )＝24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4.2．(2017·浙江改编)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的________条件．答案充要解析方法一 ∵数列{a n }是公差为d 的等差数列， ∴S 4＝4a 1＋6d ，S 5＝5a 1＋10d ，S 6＝6a 1＋15d ， ∴S 4＋S 6＝10a 1＋21d ,2S 5＝10a 1＋20d . 若d >0，则21d >20d ,10a 1＋21d >10a 1＋20d ，即S 4＋S 6>2S 5.若S 4＋S 6>2S 5，则10a 1＋21d >10a 1＋20d ，即21d >20d ，∴d >0.∴“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的充要条件．方法二 ∵S 4＋S 6>2S 5⇔S 4＋S 4＋a 5＋a 6>2(S 4＋a 5)⇔a 6>a 5⇔a 5＋d >a 5⇔d >0. ∴“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的充要条件．3．(2017·北京)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________. 答案 1解析设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，则由a 4＝a 1＋3d ，得d ＝a 4－a 13＝8－(－1)3＝3，由b 4＝b 1q 3，得q 3＝b 4b 1＝8－1＝－8，∴q ＝－2. ∴a 2b 2＝a 1＋db 1q ＝－1＋3－1×(－2)＝1.4．(2017·江苏)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.答案 32解析设{a n }的首项为a 1，公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 3)1－q ＝74，a 1(1－q 6)1－q ＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2，所以a 8＝14×27＝25＝32.押题预测1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．13押题依据等差数列的性质和前n 项和是数列最基本的知识点，也是高考的热点，可以考查学生灵活变换的能力．答案 C解析 ∵a 1>0，a 6a 7<0，∴a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0，a 1＋a 13＝2a 7<0， ∴S 12>0，S 13<0，∴满足S n >0的最大自然数n 的值为12.2．在等比数列{a n }中，a 3－3a 2＝2，且5a 4为12a 3和2a 5的等差中项，则{a n }的公比等于( ) A ．3 B ．2或3 C ．2D ．6押题依据等差数列、等比数列的综合问题可反映知识运用的综合性和灵活性，是高考出题的重点．答案 C解析设公比为q,5a 4为12a 3和2a 5的等差中项，可得10a 4＝12a 3＋2a 5,10a 3q ＝12a 3＋2a 3q 2，得10q ＝12＋2q 2，解得q ＝2或3.又a 3－3a 2＝2，所以a 2q －3a 2＝2，即a 2(q －3)＝2，所以q ＝2.3．已知各项都为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，存在两项a m ，a n 使得 a m ·a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )A.32B.53C.256D.43押题依据本题在数列、方程、不等式的交汇处命题，综合考查学生应用数学的能力，是高考命题的方向．答案 A解析由a 7＝a 6＋2a 5，得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4，整理得q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(不合题意，舍去)，又由a m ·a n ＝4a 1，得a m a n ＝16a 21，即a 212m ＋n －2＝16a 21，即有m ＋n －2＝4，亦即m ＋n ＝6，那么1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫4m n ＋n m ＋5≥16⎝⎛⎭⎪⎫24m n ·n m ＋5＝32，当且仅当4m n ＝nm，即n ＝2m ＝4时取等号．4．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f (x )＝x 2；②f (x )＝2x；③f (x )＝|x |；④f (x )＝ln|x |. 则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为( )A ．①② B．③④ C．①③ D．②④押题依据先定义一个新数列，然后要求根据定义的条件推断这个新数列的一些性质或者判断一个数列是否属于这类数列的问题是近年来高考中逐渐兴起的一类问题，这类问题一般形式新颖，难度不大，常给人耳目一新的感觉．答案 C解析由等比数列的性质得，a n a n ＋2＝a 2n ＋1. ①f (a n )f (a n ＋2)＝a 2n a 2n ＋2＝(a 2n ＋1)2＝[f (a n ＋1)]2； ②f (a n )f (a n ＋2)＝222n n aa +＝22n n a a ＋＋≠122n a ＋＝[f (a n ＋1)]2；③f (a n )f (a n ＋2)＝|a n a n ＋2|＝|a n ＋1|2＝[f (a n ＋1)]2； ④f (a n )f (a n ＋2)＝ln|a n |ln|a n ＋2|≠(ln|a n ＋1|)2＝[f (a n ＋1)]2.A 组专题通关1．(2018·大庆质检)已知等差数列{a n }中，a 4＝9，S 4＝24，则a 7等于( ) A ．3 B ．7 C ．13 D ．15 答案 D解析由于数列为等差数列，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝9，4a 1＋6d ＝24，解得d ＝2，所以a 7＝a 4＋3d ＝9＋6＝15.2．(2018·淮北模拟)已知等比数列{a n }中，a 5＝2，a 6a 8＝8，则a 2 018－a 2 016a 2 014－a 2 012等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 A解析 ∵数列{a n }是等比数列，∴a 6a 8＝a 27＝8，a 7＝22(与a 5同号)，∴q 2＝a 7a 5＝2，从而a 2 018－a 2 016a 2 014－a 2 012＝q 4＝(2)2＝2.3．(2018·株洲质检)已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，则S 9等于( )A ．－8B ．－6C ．0D ．10答案 C解析 ∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴a 23＝a 1a 4，∴(a 1＋2×2)2＝a 1·(a 1＋3×2)，化为2a 1＝－16，解得a 1＝－8，则S 9＝－8×9＋9×82×2＝0. 4．一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列的项数是( )A ．13B ．12C ．11D ．10 答案 B解析设等比数列为{a n }，其前n 项积为T n ，由已知得a 1a 2a 3＝2，a n a n －1a n －2＝4，可得(a 1a n )3＝2×4，a 1a n ＝2，∵T n ＝a 1a 2…a n ，∴T 2n ＝(a 1a 2…a n )2＝(a 1a n )(a 2a n －1)…(a n a 1)＝(a 1a n )n ＝2n ＝642＝212，∴n ＝12.5．(2018·荆州质检)已知数列{a n }满足51n a ＝25·5n a ，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则13log (a 5＋a 7＋a 9)等于( )A ．－3B ．3C ．－13 D.13答案 A解析 ∵15n a ＋＝25·5n a ＝25n a ＋，∴a n ＋1＝a n ＋2，∴数列{a n }是等差数列，且公差为2.∵a 2＋a 4＋a 6＝9，∴3a 4＝9，a 4＝3. ∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 133a 7＝log 133(a 4＋6)＝log 1327＝－3.6．(2018·资阳模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝9，a 5＝1，则使得S n >0成立的最大的自然数n 为________．答案 9解析因为a 1＝9，a 5＝1，所以d ＝1－94＝－2，所以S n ＝9n ＋12n (n －1)(－2)>0，即n <10，因此使得S n >0成立的最大的自然数n 为9.7．(2018·石嘴山模拟)在正项等比数列{a n }中，若a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 5a 3＝________. 答案 3＋2 2解析由于a 1，12a 3，2a 2成等差数列，所以a 3＝a 1＋2a 2，即a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，q 2－2q －1＝0，解得q ＝2＋1或q ＝1－2(舍去)．故a 5a 3＝q 2＝3＋2 2.8．已知数列{a n }满足a 1＝2，且a n ＝2na n －1a n －1＋n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a n ＝________. 答案 n ·2n2n －1解析由a n ＝2na n －1a n －1＋n －1，得n a n ＝n －12a n －1＋12，于是n a n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1a n －1－1(n ≥2，n ∈N *)．又1a 1－1＝－12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n －1是以－12为首项，12为公比的等比数列，故n a n －1＝－12n ， ∴a n ＝n ·2n 2n －1(n ∈N *)． 9．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…，即F (1)＝F (2)＝1，F (n )＝F (n －1)＋F (n －2)(n ≥3，n ∈N *)，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列{}b n ，则b 2 017＝________.答案 1解析由题意得引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…，此数列被3 整除后的余数构成一个新数列为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0，…，构成以8项为周期的周期数列，所以b 2 017＝b 1＝1.10．(2018·天津)设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n (n ∈N *)，已知b 1＝1，b 3＝b 2＋2，b 4＝a 3＋a 5，b 5＝a 4＋2a 6.(1)求S n 和T n ；(2)若S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n ，求正整数n 的值．解 (1)设等比数列{b n }的公比为q (q >0)．由b 1＝1，b 3＝b 2＋2，可得q 2－q －2＝0.因为q >0，可得q ＝2，故b n ＝2n －1. 所以T n ＝1－2n 1－2＝2n －1(n ∈N *)．设等差数列{a n }的公差为d .由b 4＝a 3＋a 5，可得a 1＋3d ＝4.由b 5＝a 4＋2a 6，可得3a 1＋13d ＝16，从而a 1＝1，d ＝1，故a n ＝n ，所以S n ＝n (n ＋1)2(n ∈N *)． (2)由(1)，有T 1＋T 2＋...＋T n ＝(21＋22＋ (2))－n ＝2×(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－n －2. 由S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n ，可得n (n ＋1)2＋2n ＋1－n －2＝n ＋2n ＋1，整理得n 2－3n －4＝0，解得n ＝－1(舍去)或n ＝4.所以n 的值为4.B 组能力提高11．数列{a n }是以a 为首项，b 为公比的等比数列，数列{b n }满足b n ＝1＋a 1＋a 2＋…＋a n (n ＝1,2，…)，数列{}c n 满足c n ＝2＋b 1＋b 2＋…＋b n (n ＝1,2，…)，若{}c n 为等比数列，则a ＋b 等于( )A. 2 B ．3 C. 5 D ．6答案 B解析由题意知，当b ＝1时，{c n }不是等比数列，所以b ≠1.由a n ＝ab n －1，得b n ＝1＋a (1－b n )1－b ＝1＋a 1－b －ab n1－b，则c n ＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 1－b n －a 1－b·b (1－b n )1－b ＝2－ab (1－b )2＋1－b ＋a 1－b n ＋ab n ＋1(1－b )2，要使{}c n 为等比数列，必有⎩⎪⎨⎪⎧ 2－ab (1－b )2＝0，1－b ＋a 1－b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2，a ＋b ＝3.12．艾萨克·牛顿(1643年1月4日－1727年3月31日)是英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f (x )的零点时给出一个数列{}x n 满足x n ＋1＝x n －f (x n )f ′(x n )，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)有两个零点1,2，数列{}x n 为牛顿数列，设a n ＝ln x n －2x n －1，已知a 1＝2，x n >2，则{a n }的通项公式a n ＝________.答案 2n解析 ∵ 函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)有两个零点1,2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2a ，b ＝－3a . ∴f (x )＝ax 2－3ax ＋2a ，则f ′(x )＝2ax －3a .则x n ＋1＝x n －ax 2n －3ax n ＋2a 2ax n －3a＝x n －x 2n －3x n ＋22x n －3＝x 2n －22x n －3，∴x n ＋1－2x n ＋1－1＝x 2n －22x n －3－2x 2n －22x n －3－1 ＝x 2n －2－2(2x n －3)x 2n －2－(2x n －3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x n －2x n －12，则数列{a n }是以2为公比的等比数列，又∵a 1＝2，∴数列{a n }是以2为首项，以2为公比的等比数列，则a n ＝2·2n －1＝2n. 13．(2018·攀枝花统考)记m ＝d 1a 1＋d 2a 2＋…＋d n a n n，若{}d n 是等差数列，则称m 为数列{a n }的“d n 等差均值”；若{}d n 是等比数列，则称m 为数列{a n }的“d n 等比均值”．已知数列{a n }的“2n －1等差均值”为2，数列{b n }的“3n －1等比均值”为3.记c n ＝2a n＋k log 3b n ，数列{}c n 的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n 都有S n ≤S 6，则实数k 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤135，114 解析由题意得2＝a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n n，所以a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，所以a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2n －2(n ≥2，n ∈N *)，两式相减得a n ＝22n －1(n ≥2，n ∈N *)．当n ＝1时，a 1＝2，符合上式，所以a n ＝22n －1(n ∈N *)．又由题意得3＝b 1＋3b 2＋…＋3n －1b n n，所以b 1＋3b 2＋…＋3n －1b n ＝3n ，所以b 1＋3b 2＋…＋3n －2b n －1＝3n －3(n ≥2，n ∈N *)，两式相减得b n ＝32－n (n ≥2，n ∈N *)．当n ＝1时，b 1＝3，符合上式，所以b n ＝32－n (n ∈N *)．所以c n ＝(2－k )n ＋2k －1.因为对任意的正整数n 都有S n ≤S 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧ c 6≥0，c 7≤0，解得135≤k ≤114. 14．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a ＝(a 1,1)，b ＝(1，a 10)，若a·b ＝24，且S 11＝143，数列{b n }的前n 项和为T n ，且满足12n a －＝λT n －(a 1－1)(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式及数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和M n ；(2)是否存在非零实数λ，使得数列{b n }为等比数列？并说明理由．解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由a ＝(a 1,1)，b ＝(1，a 10)，a·b ＝24，得a 1＋a 10＝24，又S 11＝143，解得a 1＝3，d ＝2，因此数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，所以1a n a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3，所以M n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3 ＝n 6n ＋9(n ∈N *)． (2)因为12n a －＝λT n －(a 1－1)(n ∈N *)，且a 1＝3，所以T n ＝4n λ＋2λ，当n ＝1时，b 1＝6λ；当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝3·4n －1λ，此时有b n b n －1＝4，若{b n }是等比数列，则有b 2b 1＝4，而b 1＝6λ，b 2＝12λ，彼此相矛盾，故不存在非零实数λ使数列{b n }为等比数列．。

(完整word版)高三数学一轮复习导学案《等差数列及其性质应用》资料

n(a1 an ) 2
n(n 1)
na1
d, 共涉 2
及五个量 a1 ,an, d, n, sn , (a1和 d是等差数列的两个基本量）知其中三个就能求另外两个，体现了用
方程思想解决问题的方法．
【练习 1】．(2012. 银川模拟 ) 数列 an 中， a1 2, ， a2 1, 2 an
1 an 1
1 ( n≥2， n∈N* ) ， an 1
考点三：等差数列的性质
【例 4】?设等差数列的前 n 项和为 Sn，已知前 6 项和为 36， Sn＝ 324，最后 6 项的和为 180( n＞ 6) ，
求数列的项数 n.
3、等差数列的性质及应用．
课前预习
一、【知识回顾】
1．等差数列的概念与公式
相关名词
等差数列 { a n } 的有关概念及公式
定义
an 1 － an ＝
或a n
an 1
(n 2)
通项公式
an ＝
前 n 项和公式 s n ＝
＝
等差中项
数列 a , A , b 成等差数列的充要条件是
2. 等差数列的性质
，其中 A 叫做 a , b 的
( Ⅰ ) 求数列 { an } 的通项公式；
( Ⅱ ) 对任意 m
*
N ，将数列
{ an } 中不大于
7 2m 的项的个数记为
bm . 求数列 { bm} 的前 m项和 Sm .
【答案】 (I) 由已知得： 5a1 10 d 105,
解得 a1 7, d 7 ,
a1 9d 2( a1 4d ),
所以通项公式为 an 7 (n 1) 7 7n .
(II) 由 an

2022届全国高考数学真题分类(数列)汇编(附答案)

2022届全国高考数学真题分类（数列）汇编一、选择题1.（2022∙全国乙（文）T10）已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =（）A. 14B. 12C. 6D. 32.（2022∙全国乙（理）T8）已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =（）A. 14B. 12C. 6D. 33.（2022∙全国乙（理）T4）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{}n b ：1111b α=+，212111b αα=++，31231111b ααα=+++，…，依此类推，其中(1,2,)k k α*∈=N ．则（）A 15b b <B. 38b b <C. 62b b <D. 47b b <4.（2022∙新高考Ⅱ卷T3）中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图，1111,,,DD CC BB AA 是举， 1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AA k k k OD DC CB BA ====，若123,,k k k 是公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（）的.A. 0.75B. 0.8C. 0.85D. 0.95.（2022∙浙江卷T10）已知数列{}n a 满足()21111,3n n n a a a a n *+==-∈N ，则（） A. 100521002a <<B.100510032a << C. 100731002a <<D.100710042a << 二、填空题1.（2022∙全国乙（文）T13）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若32236S S =+，则公差d =_______．2.（2022∙北京卷T15）己知数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和n S 满足9(1,2,)n n a S n ⋅== ．给出下列四个结论：①{}n a 的第2项小于3； ②{}n a 为等比数列； ③{}n a 为递减数列； ④{}n a 中存在小于1100的项．其中所有正确结论的序号是__________．三、解答题1.（2022∙全国甲（文T18）(理T17）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221nn S n a n+=+．（1）证明：{}n a 是等差数列；（2）若479,,a a a 成等比数列，求n S 的最小值．2.（2022∙新高考Ⅰ卷T17）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明：121112na a a +++< ． 3.（2022∙新高考Ⅱ卷T17）已知{}n a 为等差数列，{}nb 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-．（1）证明：11a b =；（2）求集合{}1,1500k m k b a a m =+≤≤中元素个数． 4.（2022∙北京卷T21）已知12:,,,k Q a a a 为有穷整数数列．给定正整数m ，若对任意的{1,2,,}n m ∈ ，在Q中存在12,,,,(0)i i i i j a a a a j +++≥ ，使得12i i i i j a a a a n+++++++= ，则称Q 为m -连续可表数列．（1）判断:2,1,4Q 是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；（2）若12:,,,k Q a a a 为8-连续可表数列，求证：k 的最小值为4；（3）若12:,,,k Q a a a 为20-连续可表数列，且1220k a a a +++< ，求证：7k ≥． 5.（2022∙浙江卷T20）已知等差数列{}n a 的首项11a =-，公差1d >．记{}n a 的前n 项和为()n S n *∈N．（1）若423260S a a -+=，求n S ；（2）若对于每个n *∈N ，存在实数n c ，使12,4,15n n n n n n a c a c a c +++++成等比数列，求d 的取值范围．参考答案一、选择题 1.【答案】D 【答案解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠，易得1q ≠，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【过程详解】解：设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠，若1q =，则250a a -=，与题意矛盾，所以1q ≠，则()31123425111168142a q a a a qa a a q a q ⎧-⎪++==⎨-⎪-=-=⎩，解得19612a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以5613a a q ==. 故选：D .2.【答案】D 【答案解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠，易得1q ≠，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【过程详解】解：设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠，若1q =，则250a a -=，与题意矛盾，所以1q ≠，则()31123425111168142a q a a a qa a a q a q ⎧-⎪++==⎨-⎪-=-=⎩，解得19612a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以5613a a q ==. 故选：D . 3. 【答案】D 【答案解析】【分析】根据()*1,2,k k α∈=N …，再利用数列{}n b 与k α的关系判断{}n b 中各项的大小，即可求解.【过程详解】解：因为()*1,2,k k α∈=N ，所以1121ααα<+，112111ααα>+，得到12b b >，同理11223111ααααα+>++，可得23b b <，13b b >又因为223411,11αααα>++112233411111ααααααα++<+++，故24b b <，34b b >；以此类推，可得1357b b b b >>>>…，78b b >，故A 错误；178b b b >>，故B 错误；26231111αααα>++…，得26b b<，故C 错误；11237264111111αααααααα>++++++…，得47b b <，故D 正确.故选：D.4. 【答案】D 【答案解析】【分析】设11111OD DC CB BA ====，则可得关于3k 的方程，求出其解后可得正确的选项.【过程详解】设11111OD DC CB BA ====，则111213,,CC k BB k AA k ===，依题意，有31320.2,0.1k k k k -=-=，且111111110.725DD CC BB AA OD DC CB BA +++=+++，所以30.530.30.7254k +-=，故30.9k =，故选：D 5. 【答案】B 【答案解析】【分析】先通过递推关系式确定{}n a 除去1a ，其他项都在()0,1范围内，再利用递推公式变形得到1111133n n n a a a +-=>-，累加可求出11(2)3n n a >+，得出1001003a <，再利用11111111333132n n n a a a n n +⎛⎫-=<=+ ⎪-+⎝⎭-+，累加可求出()111111113323n n a n ⎛⎫-<-++++ ⎪⎝⎭ ，再次放缩可得出10051002a >．【过程详解】∵11a =，易得()220,13a =∈，依次类推可得()0,1n a ∈ 由题意，1113n n n a a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即()1131133n n n n na a a a a +==+--， ∴1111133n n n a a a +-=>-，即211113a a ->，321113a a ->，431113a a ->，…，1111,(2)3n n n a a -->≥，累加可得()11113n n a ->-，即11(2),(2)3n n n a >+≥， ∴()3,22n a n n <≥+，即100134a <，100100100334a <<, 又11111111,(2)333132n n n n a a a n n +⎛⎫-=<=+≥ ⎪-+⎝⎭-+， ∴211111132a a ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，321111133a a ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭，431111134a a ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭，…，111111,(3)3n n n a a n -⎛⎫-<+≥ ⎪⎝⎭，累加可得()11111111,(3)3323n n n a n ⎛⎫-<-++++≥ ⎪⎝⎭ ， ∴10011111111133334943932399326a ⎛⎫⎛⎫-<++++<+⨯+⨯< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即100140a <，∴100140a >，即10051002a >；综上：100510032a <<．故选：B ．【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩.二、填空题 1. 【答案】2 【答案解析】【分析】转化条件为()112+226a d a d =++，即可得解.【过程详解】由32236S S =+可得()()123122+36a a a a a +=++，化简得31226a a a =++，即()112+226a d a d =++，解得2d =. 故答案为：2. 2. 【答案】①③④ 【答案解析】【分析】推导出199n n n a a a -=-，求出1a 、2a 的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③.【过程详解】由题意可知，N n *∀∈，0n a >，当1n =时，219a =，可得13a =；当2n ≥时，由9n n S a =可得119n n S a --=，两式作差可得199n n n a a a -=-，所以，199n n n a a a -=-，则2293a a -=，整理可得222390a a +-=，因为20a >，解得2332a -=<，①对；假设数列{}n a 为等比数列，设其公比为q ，则2213a a a =，即2213981S S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，2213S S S =，可得()()22221111a q a q q+=++，解得0q =，不合乎题意，故数列{}n a 不等比数列，②错；是当2n ≥时，()1119990n n n n n n n a a a a a a a ----=-=>，可得1n n a a -<，所以，数列{}n a 为递减数列，③对；假设对任意N n *∈，1100n a ≥，则10000011000001000100S ≥⨯=，所以，1000001000009911000100a S =≤<，与假设矛盾，假设不成立，④对. 故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.三、解答题 1. 【答案】（1）证明见答案解析；（2）78-．【答案解析】【分析】（1）依题意可得222n n S n na n +=+，根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，作差即可得到11n n a a --=，从而得证；（2）由（1）及等比中项的性质求出1a ，即可得到{}n a 的通项公式与前n 项和，再根据二次函数的性质计算可得．【小问1过程详解】解：因为221nn S n a n+=+，即222n n S n na n +=+①，当2n ≥时，()()()21121211n n S n n a n --+-=-+-②，①-②得，()()()22112212211n n n n S n S n na n n a n --+---=+----，即()12212211n n n a n na n a -+-=--+，即()()()1212121n n n a n a n ----=-，所以11n n a a --=，2n ≥且N*n ∈，所以{}n a 是以1为公差的等差数列．【小问2过程详解】解：由（1）可得413a a =+，716a a =+，918a a =+，又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2749a a a =⋅，的即()()()2111638a a a +=+⋅+，解得112a =-，所以13n a n =-，所以()22112512562512222228n n n S n n n n -⎛⎫=-+=-=--⎪⎝⎭，所以，当12n =或13n =时()min 78n S =-． 2. 【答案】（1）()12n n n a +=（2）见答案解析【答案解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得()121133n n S n n a +=+-=，得到()23n n n a S +=，利用和与项的关系得到当2n ≥时，()()112133n n n n n n a n a a S S --++=-=-,进而得：111n n a n a n -+=-，利用累乘法求得()12n n n a +=，检验对于1n =也成立，得到{}n a 的通项公式()12n n n a +=；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到121111211n a a a n ⎛⎫+++=- ⎪+⎝⎭，进而证得. 【小问1过程详解】 ∵11a =，∴111S a ==,∴111S a =, 又∵n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列，∴()121133n n S n n a +=+-=,∴()23n n n a S +=,∴当2n ≥时，()1113n n n a S --+=，∴()()112133n n n n n n a n a a S S --++=-=-,整理得：()()111n n n a n a --=+, 即111n n a n a n -+=-,∴31211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⨯⨯⨯⋯⨯⨯ ()1341123212n n n n n n ++=⨯⨯⨯⋯⨯⨯=--，显然对于1n =也成立， ∴{}n a 的通项公式()12n n n a +=；【小问2过程详解】()12112,11n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭∴12111n a a a +++ 1111112121222311n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3. 【答案】（1）证明见答案解析；（2）9．【答案解析】【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，根据题意列出方程组即可证出；（2）根据题意化简可得22k m -=，即可解出．【小问1过程详解】设数列{}n a 的公差为d ，所以，()11111111224283a d b a d b a d b b a d +-=+-⎧⎨+-=-+⎩，即可解得，112db a ==，所以原命题得证．【小问2过程详解】由（1）知，112d b a ==，所以()1111121k k m b a a b a m d a -=+⇔⨯=+-+，即122k m -=，亦即[]221,500k m -=∈，解得210k ≤≤，所以满足等式的解2,3,4,,10k = ，故集合{}1|,1500k m k b a a m =+≤≤中的元素个数为10219-+=．4. 【答案】（1）是5-连续可表数列；不是6-连续可表数列．（2）证明见答案解析．（3）证明见答案解析．【答案解析】【分析】（1）直接利用定义验证即可；（2）先考虑3k ≤不符合，再列举一个4k =合题即可；（3）5k ≤时，根据和的个数易得显然不行，再讨论6k =时，由12620a a a +++< 可知里面必然有负数，再确定负数只能是1-，然后分类讨论验证不行即可．【小问1过程详解】21a =，12a =，123a a +=，34a =，235a a +=，所以Q 是5-连续可表数列；易知，不存在,i j 使得16i i i j a a a +++++= ，所以Q 不是6-连续可表数列．【小问2过程详解】若3k ≤,设为:Q ,,a b c ,则至多,,,,,a b b c a b c a b c ++++，6个数字，没有8个，矛盾；当4k =时,数列:1,4,1,2Q ，满足11a =，42a =，343a a +=，24a =，125a a +=，1236a a a ++=，2347a a a ++=，12348a a a a +++=， min 4k ∴=．【小问3过程详解】12:,,,k Q a a a ，若i j =最多有k 种，若i j ≠，最多有2C k 种，所以最多有()21C 2k k k k ++=种，若5k ≤，则12,,,k a a a …至多可表()551152+=个数，矛盾, 从而若7k <,则6k =，,,,,,a b c d e f 至多可表6(61)212+=个数，而20a b c d e f +++++<，所以其中有负的，从而,,,,,a b c d e f 可表1~20及那个负数（恰 21个），这表明~a f 中仅一个负的，没有0，且这个负的在~a f 中绝对值最小，同时~a f中没有两数相同,设那个负数为(1)m m -≥ ，则所有数之和125415m m m m m ≥++++++-=+ ，415191m m +≤⇒=，{,,,,,}{1,2,3,4,5,6}a b c d e f ∴=-，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足20个，112=-+ （仅一种方式）， 1∴-与2相邻，若1-不在两端,则",1,2,__,__,__"x -形式，若6x =，则56(1)=+-（有2种结果相同，方式矛盾）， 6x ∴≠，同理5,4,3x ≠ ，故1-在一端，不妨为"1,2,,,"A B C D -形式，若3A =,则523=+ （有2种结果相同，矛盾），4A =同理不行，5A =，则6125=-++ （有2种结果相同，矛盾），从而6A =，由于7126=-++,由表法唯一知3,4不相邻,、故只能1,2,6,3,5,4-，①或1,2,6,4,5,3-，②这2种情形，对①：96354=+=+，矛盾，对②：82653=+=+，也矛盾，综上6k ≠7k ∴≥．【点睛】关键点睛，先理解题意，是否为m -可表数列核心就是是否存在连续的几项（可以是一项）之和能表示从1到m 中间的任意一个值．本题第二问3k ≤时，通过和值可能个数否定3k ≤；第三问先通过和值的可能个数否定5k ≤，再验证6k =时，数列中的几项如果符合必然是{1,2,3,4,5,6}-的一个排序，可验证这组数不合题．5. 【答案】（1）235(N )2n n n S n *-=∈ （2）12d <≤【答案解析】【分析】（1）利用等差数列通项公式及前n 项和公式化简条件，求出d ，再求n S ；(2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求d 的范围.【小问1过程详解】因为42312601S a a a -+==-，，所以()()46211260d d d -+--+-++=，所以230d d -=，又1d >，所以3d =，所以34n a n =-，所以()213522n n a a n n n S +-==，【小问2过程详解】因为n n a c +，14n n a c ++，215n n a c ++成等比数列，所以()()()212415n n n n n n a c a c a c +++=++， ()()()2141115n n n nd c nd d c nd d c -+=-+-+-+++， 22(1488)0n n c d nd c d +-++=，由已知方程22(1488)0n n c d nd c d +-++=的判别式大于等于0，所以()22148840d nd d ∆=-+-≥，所以()()168812880d nd d nd -+-+≥对于任意的n *∈N 恒成立，所以()()212320n d n d ----≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦对于任意的n *∈N 恒成立，当1n =时，()()()()21232120n d n d d d ----=++≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，当2n =时，由()()2214320d d d d ----≥，可得2≤d 当3n ≥时，()()21232(3)(25)0n d n d n n ---->--≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，又1d >所以12d <≤。

全国名校高考数学优质学案《等差数列性质》PPT课件

如a1、a3、a5、a7、... 等差
性质4 ：{an}{bn}是等差数列，m、 s、k是常数， cn=m×an+s×bn+k，则{cn差数列各项同乘或者加一个常数仍然是等差数列。
∴d=
-2或2,
从而a14= - 3或31
2．等差数列{an}中，a4＋a5＝15， a7＝12，则 a2＝( ) A．3 B．－3 3 3 C.2 D．－2 解析：由题意知a4＋a5＝a2＋a7
∴a2＝15－12＝3，故选A.
答案： A
课堂练习
1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ B ) A . -1 B. 1 C .-2 D. 2
推广到相同个数的下标和相等的项之和相等。如：a1+a3+a7=a2+a4+a5
特殊的如a4+a6=a3+a7=a5+a5=2a5等
1 ．在等差数列 {an} 中， a1 ＋ a9 ＝ 10 ，则
a5的值为( A．5 ) B．6 C． 8 D．10
解析：答案：
∵a1＋a9＝2a5 ∴a5＝5
(2) 若ap= q，aq= p ( p≠q )，求 a p+q
解：运用an-am=(n-m)d的变形 a a n m d=
n -m a p -a q q - p d= p -q = p -q = -1
性质3 ：m、n、p、q，...∈N+，且m、n、p、q...成等差数列，则等差数列{an}中 an、am、ap、 aq、...也成等差数列
提示1:
2(2a-5 )=(-3a+2) +(a-6)
2. 在数列{an}中a1=1，an= an+1+4，则a10= -35 提示： d=an+1—an= -4

数学归纳法优质学案

*
1 k ＝， 2k－12k＋1 2k＋1
1 1 1 则当 n＝k＋1 时，＋＋…＋＋ 1×3 3×5 2k－12k＋1 1 k 1 ＝＋ 2k＋12k＋3 2k＋1 2k＋12k＋3 k2k＋3＋1 2k2＋3k＋1 k＋1 ＝＝＝ 2k＋12k＋3 2k＋12k＋3 2k＋3 k＋1 ＝， 2k＋1＋1 所以当 n＝k＋1 时，等式也成立．由(1)(2)可知，对一切 n∈N*等式都成立．
答案：2k
课堂探究· 双向交流02
课堂升华强技提能
考点一用数学归纳法证明等式 nn＋12n＋1 【例 1】求证：1 ＋2 ＋…＋n ＝ . 6
2 2 2
1· 1＋12＋1 【证明】 (1)当 n＝1 时，左边＝1，右边＝＝ 6 1，左边＝右边，等式成立；
(2)假设 n＝k(k∈N*，且 k≥1)时，等式成立，即 12＋22＋… kk＋12k＋1 2 2 2 2 ＋k ＝，则当 n ＝ k ＋ 1 时， 1 ＋ 2 ＋ … ＋ k ＋ ( k ＋ 1) 6
2
kk＋12k＋1 2 ＝＋ ( k ＋ 1) 6 k＋1[k＋1＋1][2k＋1＋1] ＝ 6 所以当 n＝k＋1 时，等式仍然成立由(1)、(2)可知，对于∀n∈N*等式恒成立．
用数学归纳法证明恒等式应注意：明确初始值 n0 的取值并验证 n＝n0 时命题的真假必不可少.“假设 n＝kk∈N*，且 k≥n0 时命题正确”并写出命题形式分析“n＝k＋1 时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别.弄清左端应增加的项，明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.

高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第63课等差、等比数列的综合 Word版含解析

第63课等差、等比数列的综合问题1. 等差、等比数列(C 级要求).2. 高考中可能重点关注等差、等比数列{a n }的前n 项和S n 与通项公式a n 之间的相互转化，以及基本量、性质的运用.1. 阅读：必修5第65～68页.2. 解悟：①画出本章知识框图；②写出等差、等比数列的常用性质，体会形式上的联系与区别；③体会课本中整理知识的方法.3. 践习：在教材空白处，完成第67～68页习题第5、6、9、15题.基础诊断1. 已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }中连续的三项，则数列{b n }的公比为 2 .解析：设数列{a n }的公差为d(d ≠0).由a 23＝a 1a 7，得(a 1＋2d)2＝a 1(a 1＋6d)，解得a 1＝2d ，故数列{b n }的公比q ＝a 3a 1＝a 1＋2d a 1＝2a 1a 1＝2.2. 已知等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则数列{a n }的前6项和为－24 .解析：设数列{a n }的公差为d(d ≠0).根据题意得a 23＝a 2a 6，即(a 1＋2d)2＝(a 1＋d)(a 1＋5d)，解得d ＝0(舍去)或d ＝－2，所以数列{a n }的前6项和为S 6＝6a 1＋6×52d ＝1×6＋6×52×(－2)＝－24.3. 设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝－1n.解析：由题意得S 1＝a 1＝－1；由a n ＋1＝S n S n ＋1，得S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1.因为S n ≠0，所以S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n＝－1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝－1为首项，－1为公差的等差数列，所以1S n ＝－1－(n －1)＝－n ，所以S n ＝－1n.4. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝23a n －13，若1<S k <9 (k ∈N *)，则k 的值为 4 Ｗ.解析：由题意S n ＝23a n －13知当n ≥2时，S n －1＝23a n －1－13，两式相减，得a n ＝23a n －23a n －1，所以a n ＝－2a n －1.又a 1＝－1，所以{a n }是以－1为首项，－2为公比的等比数列，所以a n ＝－(－2)n －1，所以S k ＝（－2）k －13.由1<S k <9，得4<(－2)k <28.又k ∈N *，所以k ＝4.范例导航考向❶ 子数列问题例1 已知在等差数列{a n }中，a 2＝5，前10项和S 10＝120，若从数列{a n }中依次取出第2项、第4项、第8项、…、第2n 项，按原顺序组成新数列{b n }，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：设数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，10a 1＋10×92d ＝120，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2，所以a n ＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1，所以b n ＝a 2n ＝2·2n ＋1＝2n ＋1＋1，所以T n ＝2×(21＋22＋ (2))＋n ＝n ＋2×2（1－2n ）1－2＝2n ＋2＋n －4.在等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 令b n ＝2a n －10，证明：数列{b n }为等比数列.解析：(1) 设数列{a n }的公差为d.由a 10＝30，a 20＝50得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2，所以a n ＝12＋(n －1)×2＝2n ＋10.(2) 由(1)得b n ＝2a n －10＝22n ＋10－10＝22n ＝4n ，所以b n ＋1b n ＝4n ＋14n ＝4，所以{b n }是首项为4，公比为4的等比数列.【注】子数列问题需要搞清楚新数列与原数列之间的关系，既可以利用原数列的性质分析子数列，也可以利用子数列分析原数列的性质. 考向❷ 数列与不等式例2 已知数列{c n }的通项公式为c n ＝4×⎝⎛⎭⎫12n＋1，其前n 项和为T n，若不等式12k4＋n －T n ≥2n －7对任意的n ∈N *恒成立，求实数k 的取值范围.解析：c n ＝4×⎝⎛⎭⎫12n＋1，所以 T n ＝4×12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＋n ＝4＋n －42n .由不等式12k4＋n －T n≥2n －7恒成立，得3k ≥2n －72n 恒成立.设d n ＝2n －72n ，则d n ＋1－d n ＝2n －52n ＋1－2n －72n ＝－2n ＋92n ＋1，所以当n ≤4时，d n ＋1>d n ；当n ≥5时，d n ＋1<d n.又d 4＝116，d 5＝332，所以 d 4<d 5，所以3k ≥332，即k ≥132，故实数k 的取值范围是⎣⎡⎭⎫132，＋∞.已知a n ＝2n －1，设T n ＝∑n i ＝1(－1)i a i ，若对任意正整数n ，不等式λT n <[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]·2n－1恒成立，求实数λ的取值范围.解析：①当n 为偶数时，设n ＝2k ，k ∈N *，则T 2k ＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 2k －a 2k －1)＝2k ，代入不等式λT n <[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]·2n －1，得λ·2k <4k，从而λ<4k 2k.设f (k )＝4k 2k ，则f (k ＋1)－f (k )＝4k ＋12（k ＋1）－4k 2k ＝4k（3k －1）2k （k ＋1）.因为k ∈N *，所以f (k ＋1)－f (k )>0，所以函数f (k )单调递增，所以f (k )min ＝2，所以λ<2；②当n 为奇数时，设n ＝2k －1，k ∈N *，则T 2k －1＝T 2k －a 2k ＝2k －(4k －1)＝1－2k ，代入不等式λT n <[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]·2n －1，得λ(1－2k )<(2k －1)4k ，从而λ>－4k . 因为k ∈N *，所以－4k 的最大值为－4，所以λ>－4.综上所述，实数λ的取值范围为(－4，2).【注】数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在解决这些问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法等.如果是解不等式问题，要使用不等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法等.考向❸ 新定义(类“等差”“等比”数列)问题例3 若数列{a n }中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{a n }为“等比源数列”.已知数列{a n }满足a n ＝2n －1＋1.判断数列{a n }是否为“等比源数列”，并证明你的结论.解析：数列{a n }不是“等比源数列”. 用反证法证明如下：假设数列{a n }是“等比源数列”，则存在三项a m ，a n ，a k (m ＜n ＜k)按一定次序排列构成等比数列，因为a n ＝2n －1＋1，所以a m ＜a n ＜a k . 由题意得a 2n ＝a m a k ，所以(2n －1＋1)2＝(2m －1＋1)(2k －1＋1)，即22n －m －1＋2n －m ＋1－2k －1－2k －m ＝1. 又m ＜n ＜k ，m ，n ，k ∈N *，所以2n －m －1≥1，n －m ＋1≥1，k －1≥1，k －m ≥1，所以22n －m －1＋2n －m ＋1－2k －1－2k －m 为偶数，与22n －m －1＋2n －m ＋1－2k －1－2k －m ＝1矛盾，所以数列{a n }中不存在任何三项，按一定次序排列构成等比数列. 所以数列{a n }不是“等比源数列”.上例中若数列{a n }为等差数列，且a 1≠0，a n ∈Z(n ∈N *).求证：数列{a n }为“等比源数列”.解析：不妨设等差数列{a n }的公差d ≥0.当d ＝0时，等差数列{a n }为非零常数数列，则数列{a n }为“等比源数列”；当d ＞0时，因为a n ∈Z ，则d ≥1，且d ∈Z ，所以数列{a n }中必有一项a m ＞0.为了使得数列{a n }为“等比源数列”，只需要数列{a n }中存在第n 项，第k 项(m ＜n ＜k )，使得a 2n ＝a m a k 成立，即[a m ＋(n －m )d ]2＝a m ·[a m ＋(k －m )d ]，即(n －m )[2a m ＋(n －m )d ]＝a m (k －m )成立，当n ＝a m ＋m ，k ＝2a m ＋a m d ＋m 时，上式成立，所以数列{a n }中存在a m ，a n ，a k 成等比数列. 所以数列{a n }为“等比源数列”.【注】新定义问题中，需要严格以新定义为核心，借助特殊值理解题意，借助等差、等比数列的研究技巧进行变形求解.自测反馈1. 若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝ 1 .解析：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q.由题意得－1＋3d ＝－q 3＝8，解得d ＝3，q ＝－2，所以a 2b 2＝－1＋3－2＝1.2. 设公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若－3a 1，－a 2，a 3成等差数列，且a 1＝1，则S 4＝－20 Ｗ.解析：设数列{a n }的公比为q ，且q ≠1.由题意得－2a 2＝－3a 1＋a 3，即－2q ＝－3＋q 2，解得q ＝－3或q ＝1(舍去)，所以S 4＝1－（－3）41＋3＝－20.3. 设等比数列{a n }的前n 项和S n ，若S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 2＋a 5＝4，则a 8＝ 2. 解析：设{a n }的公比为q.由题意得2S 9＝S 3＋S 6，所以q ≠1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2×a 1（1－q 9）1－q ＝a 1（1－q 3）1－q ＋a 1（1－q 6）1－q ，a 1q ＋a 1q 4＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1q ＝8，所以a 8＝a 1q 7＝a 1q ×(q 3)2＝8×⎝⎛⎭⎫－122＝2.4. 已知{a n }是首项为2，公差不为0的等差数列，若a 1，a 3，a 6成等比数列，则数列{a n }的前n 项和S n ＝ n 2＋7n4.解析：设数列{a n }的公差为d.由题意得a 23＝a 1a 6，即(a 1＋2d)2＝a 1(a 1＋5d)，即(2＋2d)2＝2(2＋5d)，解得d ＝12，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝2n ＋n （n －1）2×12＝n 2＋7n 4.1. 解决等差(比)数列问题时，通常考虑两类方法：①基本量，即运用条件转化成关于a 1和d(q)的方程；②运用等差(比)数列的性质(如下标和的性质、子数列的性质、和的性质).2. 你还有那些体悟，写下来：。