第八章几何线性问题的有限元法
有限元法概述
大型商用的FEM通用软件分类
目前已经出现了许多大型结构分析通用软件，最早的 是美国国家宇航局（NASA）在1956年委托美国计算科学 公司和贝尔航空系统公司开发的ANASTRAN有限元分析 系统，该系统发展到现在已有几十个版本。此外，比较知 名的有限元分析软件还有德国的ASKA,英国PAFEC，法 国AYATUS，美国ABAUS、ADNA、ANSYS、BERSAF E、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC、STARNYNE 等。下面仅介绍几种当前比较流行的有限元软件。 （1） ANSYS。 ANSYS是融结构、流体、电场、磁 场和声场分析于一体的大型通用有限元分析软件。其主要 特点是具有较好的前处理功能，如几何建模、网络划分、
电磁场分析、声场分析、压电分析以及多物理场的耦分 析，可以模拟多物理介质的相互作用，具有灵敏度分析 及优化分析能力；后处理的计算结果有多种显示和表达 能力。ANSYS软件系统主要包括ANSYS/Mutiphysics 多物理场仿真分析工具、LS-DYNA显示瞬态动力分析 工具、Design Space设计前期CAD集成工具、Design Xploere多目标快速优化工具和FE-SAFE结构疲劳耐久 性分析等。ANSYS已在工业界得到较广泛的认可和应 用。
现代设计理论及方法
有限元分析法
(Finite Element Analysis ， FEA)
概述
1、有限元法简介
有限元法是求解数理方程的一种数值计算方法，是将 弹性理论、计算数学和计算机软件有机结合在一起的一种 数值分析技术，是解决工程实际问题的一种有力的数值计 算工具。 目前，有限单元法在许多科学技术领域和实际工程问 题中得到了广泛的与应用，如，机械制造、材料加工、航 空航天、土木建筑、电子电气、国防军工、石油化工、船 舶、铁路、汽车和能源等，并受到了普遍的重视。 现有的商业化软件已经成功应用于固体力学、流体力 学、热传导、电磁学、声学和生物学等领域，能够求解由 杆、梁、板、壳和块体等单元构成的弹性、弹塑性或塑性 问题，求解各类场分布问题，求解水流管道、电路、润滑、 噪声以及固体、流体、温度间的相互作用等问题。
线性和非线性有限元
目
CONTENCT
录
• 线性有限元方法 • 非线性有限元方法 • 线性与非线性有限元的比较 • 线性与非线性有限元的实例分析 • 未来研究方向与展望
01
线性有限元方法
定义与原理
定义
线性有限元方法是一种数值分析方法，用于求解偏微分方程的近 似解。它将复杂的求解区域离散化为有限个小的、简单的子区域 ，即有限元，然后对每个有限元进行求解，最终得到原偏微分方 程的近似解。
THANK YOU
感谢聆听
在实际应用中，应根据问题的特性和需求选择合适 的有限元方法。对于复杂的问题，可能需要结合多 种有限元方法进行求解。
05
未来研究方向与展望
线性有限元方法的改进与优化
80%
高效求解算法
研究更快速、稳定的线性有限元 求解算法，提高计算效率。
100%
自适应网格生成
发展更智能、自动的网格生成技 术，以适应复杂几何形状和边界 条件。
线性有限元
由于线性有限元基于线性方程组进行求解，因此计算复杂度 相对较低，适用于求解一些较简单的问题，如弹性力学问题 。
非线性有限元
非线性有限元需要求解非线性方程组，计算复杂度较高，但 能够处理更复杂的问题，如塑性力学、流体力学等领域的问 题。
精度比较
线性有限元
对于一些简单的问题，线性有限元可以给出较为精确的结果。然而，对于一些 复杂的问题，线性有限元可能无法准确描述非线性行为。
80%
多物理场耦合
研究线性有限元在多物理场耦合 问题中的应用，如流体-结构、电 磁-热等。
非线性有限元方法的改进与优化
高阶非线性有限元
发展高阶非线性有限元方法， 以更精确地描述复杂非线性行 为。
有限元法的原理_求解域_概述及解释说明
有限元法的原理求解域概述及解释说明1. 引言1.1 概述有限元法是一种数值分析方法，用于求解物理问题的数学模型。
它在工程领域得到了广泛的应用，能够对复杂的结构和系统进行精确的建模和计算。
有限元法通过将连续域划分为许多小的离散单元，在每个单元上使用适当的近似函数来表示待求解的变量，然后利用这些离散单元之间相互连接关系建立代数方程组，并通过求解该方程组得到所需结果。
1.2 文章结构本文将围绕有限元法展开讨论，并按照以下结构组织内容：引言包含概述、文章结构和目的；有限元法的原理部分将涵盖离散化方法、强弱形式及变分问题以及单元划分和网格生成；求解域部分将介绍求解域的定义与划分、边界条件设定和处理以及网格节点和单元的挑选策略；概述及解释说明部分将探讨有限元法在工程领域中的应用、与其他数值方法之间的对比与优势以及未来发展趋势和挑战；最后，本文将总结主要观点，并展望有限元法在应用领域的发展前景。
1.3 目的本文旨在对有限元法进行全面而清晰的介绍和解释，包括其基本原理、求解域的定义与处理方法以及在工程领域中的应用。
通过深入理解有限元法的原理和应用，读者可以更好地了解该方法的优劣势，并掌握将其应用于实际问题求解的能力。
此外，本文还将通过探讨有限元法未来的发展趋势和挑战，为研究者提供对该方法进行进一步改进和扩展的思路。
2. 有限元法的原理2.1 离散化方法有限元法是一种使用离散化方法来对偏微分方程进行求解的数值方法。
它将求解域划分为许多小单元，每个小单元称为有限元。
在这些有限元内，我们假设待求解的场量是线性或非线性的，并通过适当选择合适的函数空间来进行近似。
2.2 强弱形式及变分问题在有限元法中，我们将偏微分方程转化为一个弱形式或者说变分问题。
这是通过将原始方程乘以一个测试函数并进行积分得到的。
这样可以减小方程中高阶导数项对近似解产生的影响，并提供了更好的数学性质以进行计算。
2.3 单元划分和网格生成为了进行离散化，求解域需要被划分成一系列小单元。
有限元法在数学建模中的应用
有限元法在数学建模中的应用有限元法是数学建模中非常重要的一种技术，它广泛应用于工程、物理、材料等领域。
本文将重点探讨有限元法在数学建模中的应用，介绍有限元法的基本原理以及在实际问题的求解中如何使用有限元法。
一、有限元法基本原理有限元法是一种计算数值解的方法，主要用于求解偏微分方程的数值解。
有限元法的基本思想是将一个复杂的物理问题分解成许多小的单元，每个单元内近似为均匀的物理特性，然后利用这些小单元之间的相互作用来描述整个问题的行为。
具体而言，将一个有限区域分割成若干个小的有限元，形成一个有限元网格。
然后在每个有限元内选择一种适当的插值函数和数学方法，利用有限元法求解方程，计算各节点处的场量值。
最终通过将所有单元的解拼接成总体解来解决整个大型问题。
二、有限元法的应用在数学建模中，有限元法被广泛应用于求解各种物理问题。
以下几个问题是常见的应用场景。
1、弹性力学问题弹性力学问题涉及到力学中物体变形和应力分布的关系。
例如，通过有限元法求解一个材料的弹性力学问题，即在一定的边界条件下，计算出其内部的应力和变形分布等参数。
有限元法可以将复杂的材料变形和应力分布问题简化为有限元之间的局部线性问题。
在每个单元内用局部多项式函数近似表示物理量，并将各单元之间的信息连接起来，最终得到整个材料的应力和变形信息。
2、流体力学问题流体力学问题涉及到流体的流动、压力分布以及物体受到的阻力等问题。
通过有限元法求解流体力学问题，可以计算流体内部的压力、速度、流量等重要参数。
常见的有限元法方案包括有限元、有限体积法和有限差分法。
3、电磁场问题电磁场问题涉及到电磁波传播、电荷分布等问题。
通过有限元法求解电磁场问题，可以计算电荷、电势、磁场等电磁参数。
例如，有限元法可用于计算电磁波在介质中的传播和反射，以及导体中的电流分布。
三、有限元法在实践中的应用在实际应用中，有限元法需要通过软件来实现计算。
较为流行的有限元软件包有ANSYS、Comsol、ABAQUS等。
有限元的概念
有限元分析概念有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。
由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。
有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。
并利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。
线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。
在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。
如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。
线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。
非线性问题与线弹性问题的区别：1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解；2）非线性问题不能采用叠加原理；3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。
有限元求解非线性问题可分为以下三类：1）材料非线性问题材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，此时应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。
由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们的局限性。
在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。
2）几何非线性问题几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。
当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。
研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。
它包括大位移大应变及大位移小应变问题。
有限元法原理
有限元法原理
有限元法是一种工程计算方法，主要用于求解连续介质的力学问题。
它的基本原理是将连续介质离散成有限个小单元，然后利用有限元的形状函数对每个小单元进行近似，最终利用这些近似解来求解整个连续介质的力学问题。
有限元法的主要思想是将问题的解表示为一个有限个数的基函数的线性组合。
这些基函数与小单元的形状函数相联系，通过对小单元的形状函数进行合适的选取和调整，可以确保解在小单元内满足边界条件。
然后，通过将所有的小单元的解进行组合，就可以得到整个连续介质的解。
在实际的计算中，有限元法通常分为以下几个步骤：首先，需要根据实际问题确定合适的有限元模型，包括选择适当数量和类型的有限元单元。
然后，需要确定边界条件，即确定整个连续介质的边界约束条件。
接下来，根据小单元的形状函数和基函数，可以建立刚度矩阵和荷载向量。
最后，通过求解线性方程组，可以得到整个连续介质的解。
有限元法具有广泛的应用范围，在工程领域中可以用于求解各种静力学、动力学、热力学、流体力学等问题。
它不仅能够提供精确的解，同时也具有较高的计算效率和灵活性。
因此，有限元法已经成为工程计算领域中一种非常重要的数值分析方法。
有限元法概述
5
2、有限元法的发展
有限单元法基本思想的提出，可以追溯到Courantl在1 943年的工作，他第一次尝试应用定义在三角形区域上的 分片连续函数和最小位能原理相结合，来求解St·Venant 扭转问题。相继一些应用数学家、物理学家和工程师由于 各种原因都涉足过有限单元的概念。
但真正的应用实际问题是到1960年以后，随着电子 数值计算机的广泛应用和发展，有限单元法的发展速度才 显著加快。现代有限元法第一个成功的尝试，是将刚架位 移法推广应用于弹性力学平面问题，这是Turner，Cloug h等人在分析飞机结构时于1956年得到的成果。他们第一 次给出了用三角形单元求得平面应力问题的正确解答。
2021/10/10
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兼有静力分析功能（如动力分析前的预应力计算和薄板冲 压成形后的回簧计算）；军用和民用相结合的通用结构分 析非线性有限元软件。 LS-DYNA利用ANSYS、 LS-INGRID、 ETA/FEMB及LS-POST强大的前后处理模块，具有多种自动网 格划分选择，并可与大多数的CAD/CAE软件集成并有接口。
2021/10/10
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能力，可以进行线性和非线性结构分析，如线性/非线性 静力分析、模态分析、简谐响应分析、频谱分析、随机 振动分析、动力响应分析、静/动力接触、屈曲/失稳、失 效与破坏分析等。它提供了丰富的结构单元、连续单元、 特殊单元的单元库，几乎每种单元都具有处理大变形几 何非线性、材料非线性和包括接触在内的边界条件非线 性以及组合的高度非线性的能力。MARC的结构分析材 料库提供了模拟金属、非金属、聚合物、岩土、复合材 料等多种线性和非线性复杂材料行为的材料模型、MAR C软件还提供了多种加载步长自适应控制技术，能够自动 确定分析屈曲、蠕变、热弹塑性和动力响应的加载步长。 此外，它还具有分析非结构场问题（温度场、流场、电 场、磁场）、模拟流-热-固、土壤渗流、声-结构、耦合 电磁、电-热、电-热-结构、以及热-结构等多种耦合场的 能力。
有限元法PPT课件
Motorola– Drop Test Fujitsu-Computers Intel –Chip Integrity
电子
Baxter - Equipment J&J – Stents Medtronic - Pacemakers
医疗
Principia-spain Arup-U.K. T.Y. Lin - Bridge
有限元法
左图所示,为分析齿轮上一个齿内的应力分布,可分析图中所示的一个平面截面内位移分布.作为近似解,可以先求出图中各三角形顶点的位移.这里的 三角形就是单元,其顶点就是节点。
从物理角度理解, 可把一个连续的齿形截面单元之间在节点处以铰链相链接,由单元组合而成的结构近似代替原连续结构,在一定的约束条件下,在给定的载荷作用下,就可以求出各节点的位移,进而求出应力.
一.Abaqus公司简介
公司
’00 ’01 ’02 ’03 ’04 ‘05 ’06 ‘07
18%
18%
20%
SIMULIA公司（原ABAQUS公司）成立于1978年，全球超过600名员工，100% 专注于有限元分析领域。 全球28个办事处和9个代表处 业务迅速稳定增长，是当前有限元软件行业中唯一保持两位数增长率的公司。 2005年5月ABAQUS加入DS集团,将共同成为全球PLM的领导者
Where :
Displacement interpolation functions (位移插值函数)
13.3 Approximating Functions for Two-Dimensional Linear Triangular Elements (二维线性三角形单元的近似函数)
node (节点)
element(单元)
有限元方法的求解步骤
有限元方法的求解步骤引言有限元方法是一种数值分析技术，用于求解连续介质力学问题。
它的基本思想是将复杂的物理问题离散化为简单的几何单元，并在每个单元上建立适当的数学模型。
通过在整个域内组装这些单元，最终得到整个系统的近似解。
本文将详细介绍有限元方法的求解步骤，包括问题建模、网格划分、单元模型与刚度矩阵计算、边界条件处理和求解方程等内容。
问题建模在使用有限元方法求解实际问题之前，首先需要对问题进行建模。
这涉及确定问题的几何形状、边界条件和材料属性等方面。
通常可以使用偏微分方程来描述力学行为，并根据具体情况选择适当的方程类型。
网格划分网格划分是有限元方法中非常重要的一步，它将连续域离散化为有限多个几何单元。
常用的网格类型包括三角形网格和四边形网格。
根据具体情况，可以选择不同密度和形状的网格来逼近真实几何形状。
单元模型与刚度矩阵计算在每个几何单元上，需要建立适当的数学模型来描述物理行为。
通常使用一些基本假设和理论模型来近似真实行为。
对于弹性力学问题，常用的单元模型包括线性弹性、非线性弹性和塑性等。
根据单元模型，可以计算每个单元的刚度矩阵。
刚度矩阵描述了单元内部各个节点之间的相互作用关系。
它是由材料属性和几何形状决定的，并且可以通过数值积分等方法进行计算。
边界条件处理边界条件是求解过程中必须考虑的重要因素。
它们描述了系统在边界上的约束条件，例如固定边界、施加力或位移等。
在有限元方法中，通常将边界条件转化为所谓的约束方程，以便将其应用于整个系统。
对于固定边界条件，可以直接将相应自由度设置为零。
而施加力或位移边界条件，则需要将其转化为等效荷载或约束方程，并在求解过程中进行处理。
求解方程有限元方法最终目标是求解整个系统的近似解。
为此，需要将所有单元的刚度矩阵组装成整个系统的刚度矩阵。
同时，需要将所有边界条件应用于约束方程中。
通过求解线性方程组，可以得到系统的节点位移。
常用的求解方法包括直接法和迭代法。
在实际计算中，可以根据问题特点选择最适合的方法。
有限元法的基本原理
有限元法的基本原理有限元法（Finite Element Method, FEM）是一种数值分析方法，用于求解边界值问题和偏微分方程。
它将连续的物理问题离散化为有限数量的小区域，通过对每个小区域进行数学建模和计算，最终得到整个问题的近似解。
有限元法在工程、物理学、地质学、生物学等领域都有着广泛的应用。
有限元法的基本原理可以分为以下几个步骤，建立数学模型、离散化、建立方程、求解方程、后处理。
下面将逐一介绍这些步骤。
首先，建立数学模型。
将实际问题抽象为数学模型是使用有限元法的第一步。
这需要对问题进行合理的假设和简化，以便将其表达为数学形式。
例如，对于结构力学问题，可以假设材料是均匀、各向同性的，结构是线性弹性的。
然后，将问题的几何形状、材料性质、边界条件等信息输入模型中。
其次，离散化。
将连续的问题划分为有限数量的小区域，即有限元。
这需要选择合适的离散化方法和网格划分技术，以确保模型的准确性和计算效率。
通常情况下，问题的复杂性会决定有限元的数量和类型。
然后，建立方程。
利用变分原理或最小势能原理，可以得到问题的弱形式，再通过有限元离散化，得到线性方程组。
这些方程通常是大型、稀疏的，需要采用合适的数值方法进行求解，如直接法、迭代法等。
接着，求解方程。
通过数值计算方法，求解得到方程组的近似解。
在这一步中，需要考虑数值稳定性、收敛性和计算精度等问题，以确保结果的可靠性。
最后，进行后处理。
对求解得到的数值结果进行分析和解释，得出对实际问题有意义的结论。
这包括计算应力、应变、位移等物理量，评估结构的安全性和稳定性，优化设计等。
总之，有限元法是一种强大的数值分析工具，可以有效地解决各种工程和科学问题。
通过建立数学模型、离散化、建立方程、求解方程和后处理，可以得到问题的近似解，并为实际工程和科学研究提供有力的支持。
第八讲_有限元法
• 线性、非线性和拟线性偏微分方程:
• a) 方程中所有出现未知函数或其偏导数的项都是 未知函数的一次式的方程叫线性方程
• b) 未知函数项或未知函数偏导数项不是一次式的 方程叫非线性方程；
• c) 非线性方程中所有未知函数的最高阶偏导数是 一次式的方程叫拟线性方程。
.
• 齐次和非齐次偏微分方程
.
静态线弹性有限元定解问题 ij, j fi 0
ijnj Ti 0
Vu i(ij,j fi) d V S u i(ijn j T i) d S 0
u i 真实位移的变分，连续可导。在给定位移的边界上， u i 0
高斯定律
张量形式
8/9/2013
虚应变
矩阵形式
.
3
小结：
等效积分形式：与原有微分方程和定解条件完全等价。 加权余量法：对场函数进行近似，令加权余量等于零。 伽辽金法：加权函数与场函数的试探函数（基函数、形函数）相同。
加权函数、近似解试探函数、坐标插值 函数的类型一致
.
d）单元平衡方程
.
4） 总体分析
a） 建立选择矩阵：
.
b) 组集单元刚度矩阵
c) 组集等效节点载荷
Fe A 2 lAqe(x1 e) A 2 lAqe(x2 e) T
d） 解以节点为未知量的方程组
.
热传导问题的有限元方法
.
热传导方程
1. 一维问题
1）傅里叶定律
q: 单位时间、单位面积流过的热量 热流密度与温度梯度成正比。
单位：W/(m·K)
.
2）平衡方程
Q=cpmΔT 比热容：cp 单位：W·s/(kg·K) 1千克的物质的温度上升 （或下降）1摄氏度所需 的能量。
有限元法的基本原理和应用
有限元法的基本原理和应用前言有限元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种常用的数值分析方法，用于求解工程和物理问题。
它能够将一个复杂的问题分解为许多小的、简单的部分，通过数学方法将这些部分逼近为连续函数，并进行求解。
本文将介绍有限元法的基本原理和应用。
基本原理1.离散化：有限元法将连续域分解为多个离散的小单元，这些小单元称为有限元。
离散化可以将复杂问题简化为易于处理的小部分。
每个有限元由节点和单元组成，节点是问题解的近似点，单元是在节点周围定义的几何形状。
2.变量表示：在有限元法中，通过数学函数对变量进行近似表示。
常用的近似函数有线性、二次、三次等。
通过选择合适的形状函数，可以有效地近似解决问题。
3.形成方程：根据物理方程，将离散域中每个有限元的贡献进行求和，形成一个整体方程。
这个整体方程可以是线性方程、非线性方程、常微分方程等。
通过求解这个整体方程，可以得到问题的解。
应用领域有限元法广泛应用于各个领域，包括但不限于： - 结构分析：有限元法可以用来模拟和分析工程结构的强度、刚度和振动等特性。
通过对结构进行有限元分析，可以预测和优化结构的性能。
- 热传导：有限元法可以用来模拟物体内部的温度分布和热传导过程。
通过对热传导问题进行有限元分析，可以优化物体的热设计和散热能力。
- 流体力学：有限元法可以用来模拟和分析流体的流动和压力分布。
通过对流体力学问题进行有限元分析，可以优化管道、风扇等设备的设计。
- 电磁场：有限元法可以用来模拟和分析电磁场的分布和电磁设备的性能。
通过对电磁场问题进行有限元分析，可以优化电磁设备的设计和电磁干扰问题。
有限元法的优点和局限性•优点：有限元法适用于复杂的几何形状和边界条件，并可以考虑多物理场耦合。
它具有较高的灵活性，可以适应各种问题的求解。
•局限性：有限元法的计算精度和效率受到离散化精度和网格剖分的影响。
对于高度非线性和大变形问题，有限元法可能需要更多的时间和计算资源。
有限单元法
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•从单纯的结构力学计算发展到求解许多物理场问题 有限元分析方法最早是从结构化矩阵分析发展而
来,逐步推广到板、壳和实体等连续体固体力学分析, 实践证明这是一种非常有效的数值分析方法。而且从 理论上也已经证明,只要用于离散求解对象的单元足 够小,所得的解就可足够逼近于精确值。所以近年来 有限元方法已发展到流体力学、温度场、电传导、磁 场、渗流和声场等问题的求解计算,最近又发展到求 解几个交叉学科的问题。
时计算模型的规模不能超过1万阶方程。Microsoft Windows操作
系统和32位的Intel Pentium 处理器的推出为将PC机用于有限元
分析提供了必需的软件和硬件支撑平台。因此当前国际上著名的
有限元程序研究和发展机构都纷纷将他们的软件移植到Wintel平
台上。
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4.2 有限单元法的分析步骤
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但是如果用手工方式来建立这个模型,然后再处 理大量的计算结果则需用几周的时间。可以毫不夸 张地说,工程师在分析计算一个工程问题时有80%以 上的精力都花在数据准备和结果分析上。
因此目前几乎所有的商业化有限元程序系统都 有功能很强的前置建模和后置数据处理模块。在强 调"可视化"的今天,很多程序都建立了对用户非常友 好的GUI(Graphics User Interface),使用户能以可 视图形方式直观快速地进行网格自动划分,生成有限 元分析所需数据,并按要求将大量的计算结果整理成 变形图、等值分布云图,便于极值搜索和所需数据的 列表输出。
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平面应力
平面应变
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有限元方法分类
有限元方法分类
有限元方法是一种强大的数值分析工具，广泛应用于工程计算、物理模拟等领域。
按照不同的分类方式，有限元方法可以划分为多个类别：
1. 按求解问题类型划分：结构力学有限元、热传导有限元、电磁场有限元、流体力学有限元、声学有限元等，分别对应于解决固体结构应力变形、热量传递、电磁场分布、流体流动以及声音传播等问题。
2. 按单元性质划分：线性有限元和非线性有限元。
线性有限元处理的是线性问题，如弹性力学中的小变形问题；非线性有限元则是针对材料非线性、几何非线性等问题。
3. 按时间因素考虑划分：静态有限元分析和动态有限元分析。
静态分析处理稳态问题，不考虑随时间变化的影响；动态分析则考虑了随时间演变的效应，如瞬态动力响应。
4. 按离散形式划分：等参有限元、非等参有限元。
等参有限元在单元内部采用一致的坐标变换，非等参有限元则根据实际情况灵活选择节点和形状函数。
5. 按求解流程划分：直接法有限元和迭代法有限元。
直接法直接求解全局刚度矩阵，而迭代法则通过多次迭代逐步逼近解。
总之，有限元方法因其灵活性和普适性，能够处理各类复杂的物理问题，已成为现代工程与科学研究中不可或缺的分析手段。
有限元分析—模态分析-2023年学习资料
第二节：术语和概念-通用运动方程：-Mi+c+ku=F->假定为自由振动并忽略阻尼：[M]{+[K]K4} {O}-假定为谐运动：-[K]-o2[M]u}={oy-这个方程的根是02，即特征值，i的范圆从1到自由度 的数目，相应的向量是{u,即特征向量。-注意：·模春分折假定结构是线性的，[M和[K]保持为事数-·简潜运 方程u=uoC0swt,其中w为自振圆周频率（狐度/秒）
第一节：模态分析的定义和目的-第二节：对模态分析有关的概念、术语以及-模态提取方法的讨论-第三节：-学会如 在ANSYS中做模态分析-第四节：-做几个模态分析的练习-第五节：-学会如何做具有预应力的模态分析-第六节 学会如何在模态分析中利用循环对称性
第一节：定义和目的-什么是模态分析？->模态分析是用来确定结构的振动特性的一种技术：->自然频率-D振型振型参与条数（即在特定方向上某个振型在多火程-度上-参与了振动->模态分析是所有动力学分析类型的最基础的内 。
模态提取方法-不对称法-不对称法适用于声学问题（具有结构藕合作用）和其它类似-的具有不对称质量矩阵[M]和 度矩阵[K灯的问题：-少计算以复数表示的特征值和特征向量-实数部分就是自然频-虚数部分表示稳定性，负值表示 定，正值表示不确定-注意：不对称方法采用Lancz0s算法，不执行Sturm序列检查，所-以造漏高端频率。
模态提取方法·阻尼法-在模态分析中一般忽略阻尼，但如果阻尼的效果比较朋显，就要-使用阻尼法：-主要用于回转 动力学中，这时陀螺阻尼应是主要的；-D在ANSYS的BEAM4和PIPE16单元中，可以通过定义实常数中SPIN旋转速度，孤度/秒选项来说明陀螺效应；-》计算以复数表示的特征值和特征向量。->虚数部分就是自然频 ；-实数部分表示稳定性，负值表示稳定，正值表示不确定。-注意：-该方法采用Lancz0s算法-不执行Stu m序列检查，所以造漏高端频率-不同节点间存在相差-响应幅值=实部与虚部的矢量和
第八章几何非线性问题的有限元法
第八章几何非线性问题的有限元法引言前而各章所讨论的问题都是在小变形假设的前提下进行的，即假泄物体所发生的位移远小于物体自身的几何尺寸，应变远小于2。
在此前提下，建立物体或微元体的平衡条件时可以不考虑物体的位這和形状（简称位形）的变化，因此在分析中不必区别变形前后位形的差别，且应变可用一阶无穷小的线性应变表达。
实际上，上述假设有时是不成立的。
即使实际应变可能是小的，且不超过材料的弹性极限，但如果需要精确地确怎位移，就必须考虑几何非线性，即平衡方程应该相对于变形后的位置得出，而几何关系应该计及二次项。
例如平板大挠度理论中，由于考虑了中面内的薄膜应力，求得的挠度比小挠度理论的结果有显著的减低。
再如在结构稳左性问题中，当载荷达到一左数值后，挠度比线性解答予示的结果更剧烈地增加，并且确实存在承载能力随继续变形而减低的现象。
在冷却塔、薄壁结构及其它比较细长的结构中，几何非线性分析都显得十分重要。
几何非线性问题可以分为以下几种类型：（1）大位移小应变问题。
一般工程结构所遇到的几何非线性问题大多属于这一类。
例如髙层建筑或髙耸构筑物以及大跨度网壳等结构的分析常需要考虑到结构大位移的影响。
（2）大位移大应变问题，如金属压力加工中所遇到的问题就属于这一类型。
（3）结构的变形引起外载荷大小、方向或边界支承条件的变化等。
结构的平衡实际上是在结构发生变形之后达到的，对于几何非线性问题来说，平衡方程必须建立在结构变形之后的状态上。
为了描述结构的变形需要设置一泄的参考系统。
一种做法是让单元的局部坐标系始终固定在结构发生变形之前的位宜，以结构变形前的原始位形作为基本的参考位形，这种分析方法称作总体的拉格朗日（Lagrange）列式法；另一种做法是让单元的局部坐标系跟随结构一起发生变位，分析过程中参考位形是不断被更新的，这种分析方法称作更新的拉格朗日列式法。
本章首先对几何非线性问题作一般性讨论，从中导岀经典的线性屈曲问题的公式：然后建立平板大挠度问题和壳体的大位移（及大转动）分析的有限方法公式：接着还给岀了大应变及大位移的一般公式，最后还详细讨论了杆系结构几何非线性问题的有关公式。
有限元法
有限元法10.3.2 有限元法解题步骤有限元法解题步骤如下：(1) 建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式。
许多物理问题的分析结果在数学上都可以归结为下面形式的重要微分方程：ρϕϕ=+∇∇-g p )( (10.3-1)一般边界条件有三种形式，分为本质边界条件(狄里克莱边界条件)、自然边界条件(黎曼边界条件)、混合边界条件(柯西边界条件)。
狄利克莱边界条件可表示为：)(Γ=Γf φ (10.3-2))(Γf 为位置的一般函数，在特殊情况下f 可以为常数或零。
狄利克莱条件表明电势在某个边界的值是给定的。
黎曼边界条件或者混合边界条件可以表示为：)()(ΓΓ+∂∂ΓΓb q n ＝ϕϕ(10.3-3) n为边界的外法向矢量，)(Γq 和)(Γb 为一般函数，在特殊情形下)(Γq 和)(Γb 为常数和零。
对应于上面的微分方程式(10.3-1)和边界条件式(10.3-2)，式(10.3-3)的泛函应为dS b q dV g p I S V ⎰⎰ΓΓ-+-+∇=)(222)()2()2()(ϕϕρϕϕϕϕ (10.3-4)式中)(ΓV 为以Γ为边界的体积(三维)或面积区域(二维)；S '为边界Γ上的一部分边界，在S '上势函数满足混合边界条件式(10.3-3)。
在二维情况下，如果ε=p ，εα=q ，b εβ=，0=g ，S '为整个Γ边界的情况下，微分方程式(10.3-1)及边界条件式(10.3-3)可以写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂-=∂∂+∂∂)(),(2222s y x ny x L βϕαϕερϕϕ (10.3-5) 这里平面场域为D , L 为D 的边界，s 为边界上的点。
根据式(10.3-4)，此时的泛函可取为()()⎰⎰Γ-+-∇=)()(2222)(L D S dS dV I βϕαϕερϕϕεϕ (10.3-6)证明：求泛函式(10.3-6)的极值与满足上述边界条件下的微分方程式(10.3-5)的求解是等价的。
有限元法
2. 一维有限元法
以满足帕松方程的有源静电场为例：
2
-1
x 1
0 .5
1
n
i 1
i 1
N
N
f
＝
j
e
j qd e
f
e j
i 1
i 1
N
N
b
＝
j
e
j hd e
bej
i 1
i 1
2. 一维有限元法
k
e ij
e j i de
f
e j
e
j qd e
{ K e C f e b e}
1 x2
2
1 1
2
0.98
43
0.92 0.68
5 0.5
节点处与真解相等，节点间、 单元内有误差，显然剖分越
密，误差越小
2. 一维有限元法
有限元法小结： 有限元法是针对加权余数法和变分法将偏微分方程转变为代数方程后的后续 方法，它将代数方程系数矩阵的构成规范化，以便于计算机处理
称为有限元刚度矩阵，但 不能直接求解，需要消去
1行、1列。
2. 一维有限元法
由边界条件对整个问题的代数方程组消元：
由问题的边界条件，第5 个节点电位为0.5V，已知，故消去该节点的方程：5 行5列。必有这一步，实际上原K矩阵行列式的值为0，本质上是找参考电位
有限线性元分析
有限线性元分析有限元法，也称有限单元法或有限元素法，其基本思想是将求解区域离散为一组有限个、且按一定方式相互连接在一起的单元的组合体，它是随着电子计算机的发展而需素发展起来的一种现代计算方法。
有限元分析较简单的问题代替复杂问题后再求解的一种概念。
它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件，从而得到问题的解。
这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。
由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。
有限元是那些集合在一起能够表示实际连续域的离散单元。
有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用，例如用多边形逼近圆来求得圆的周长。
有限元法最初被称为矩阵近似方法，应用于航空器的结构强度计算，并由于其方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。
经过数十年的努力，伴随着计算机技术的快速发展和普及，有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域，成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法。
有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的子域中。
2首次提出结构力学计算有限元概念的克拉夫教授形象地将其描绘为：“有限元法=Rayleigh Ritz法＋分片函数”，即有限元法是Rayleigh Ritz法的一种局部化情况。
不同于求解满足整个定义域边界条件的允许函数的Rayleigh Ritz法，有限元法将函数定义在简单几何形状（如二维问题中的三角形或任意四边形）的单元域上（分片函数），且不考虑整个定义域的复杂边界条件，这是有限元法优于其他近似方法的原因之一。
对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元求解法的基本步骤是相同的，只是具体公式推导和运算求解不同。
有限元求解问题的基本步骤通常为：第一步：问题及求解域定义：根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。
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第八章 几何非线性问题的有限元法8.1 引言前面各章所讨论的问题都是在小变形假设的前提下进行的，即假定物体所发生的位移远小于物体自身的几何尺寸，应变远小于1。
在此前提下，建立物体或微元体的平衡条件时可以不考虑物体的位置和形状（简称位形）的变化，因此在分析中不必区别变形前后位形的差别，且应变可用一阶无穷小的线性应变表达。
实际上，上述假设有时是不成立的。
即使实际应变可能是小的，且不超过材料的弹性极限，但如果需要精确地确定位移，就必须考虑几何非线性，即平衡方程应该相对于变形后的位置得出，而几何关系应该计及二次项。
例如平板大挠度理论中，由于考虑了中面内的薄膜应力，求得的挠度比小挠度理论的结果有显著的减低。
再如在结构稳定性问题中，当载荷达到一定数值后，挠度比线性解答予示的结果更剧烈地增加，并且确实存在承载能力随继续变形而减低的现象。
在冷却塔、薄壁结构及其它比较细长的结构中，几何非线性分析都显得十分重要。
几何非线性问题可以分为以下几种类型：（1）大位移小应变问题。
一般工程结构所遇到的几何非线性问题大多属于这一类。
例如高层建筑或高耸构筑物以及大跨度网壳等结构的分析常需要考虑到结构大位移的影响。
（2）大位移大应变问题，如金属压力加工中所遇到的问题就属于这一类型。
（3）结构的变形引起外载荷大小、方向或边界支承条件的变化等。
结构的平衡实际上是在结构发生变形之后达到的，对于几何非线性问题来说，平衡方程必须建立在结构变形之后的状态上。
为了描述结构的变形需要设置一定的参考系统。
一种做法是让单元的局部坐标系始终固定在结构发生变形之前的位置，以结构变形前的原始位形作为基本的参考位形，这种分析方法称作总体的拉格朗日（Ｌagrange ）列式法；另一种做法是让单元的局部坐标系跟随结构一起发生变位，分析过程中参考位形是不断被更新的，这种分析方法称作更新的拉格朗日列式法。
本章首先对几何非线性问题作一般性讨论，从中导出经典的线性屈曲问题的公式；然后建立平板大挠度问题和壳体的大位移（及大转动）分析的有限方法公式；接着还给出了大应变及大位移的一般公式，最后还详细讨论了杆系结构几何非线性问题的有关公式。
在讨论中我们采用总体的拉格朗日列式法，但对杆系结构，为应用方便我们给出了两种列式法的公式。
8.2 一般性讨论8.2.1 理论基础无论是对于何种几何非线性问题，虚功原理总是成立的。
由虚功原理，单元的虚功方程可以写成如下的形式{}{}{}{}0=-⎰⎰⎰**veeTeeTF dv δσε （8.1）其中{}F 为单元节点力向量，{}e*ε为单元的虚应变，{}e*δ为节点虚位移向量。
增量形式的应变一位移关系可表示为{}[]{}eed B d δε= （8.2）上式中{}ed δ表示单元节点位移{}eδ的微分。
根据变分与微分运算在形式上的相似性，有{}[]{}eeB **=δε (8.3)以上两式中[]B 称为大位移情况下的增量应变矩阵，代表了单元应变增量与节点位移增量之间的关系。
在大位移情况下[]B 应是节点位移的函数。
若将上述应变增量矩阵分解为与节点位移无关的部分[]0B 和与节点位移有关的部分{}[])(δL B 两部分组成，即[][][]LB B B +=0（8.4）此时[]0B 也就是一般线性分析时的应变矩阵。
将式（8.3）代入（8.1），并考虑到节点虚位移{}*δ的任意性，可将单元的平衡方程写成[]{}{}0=-⎰⎰⎰veeTF dv B σ （8.5）按照式（8.5）可以对整个结构建立有限元列式，这种列式方法可称为全量列式方式，在几何非线性分析中，按照这种列式方法得到的单元和结构刚度矩阵一般是非对称的，于求解不利。
因此，在分析非线性问题时大多采用增量列式法。
以下就着重介绍这一方法。
式（8.5）所示的平衡方程可以写成微分的形式[]{}{}0)(=-⎰⎰⎰eveTF d dv B d σ （8.6）由于在几何非线性问题中，应变矩阵[]B 和应力{}eσ都是节点位移的函数，因此有 []{}[]{}[]{}eTeeTd B B d B d σσσ+=)( （8.7）将式（8.7）代入（8.6），则有[]{}[]{}{}eeTvevF d dv d B dv B d =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰σσ （8.8）单元内部的应力增量与应变增量存在确定的关系，这种关系可以用增量形式表示为{}[]{}eed D d εσ= （8.9）式中[]D 称为应力一应变关系矩阵，或称为材料的本构关系矩阵。
如果材料属于线性弹性的，[]D 将是一个常数矩阵。
并且，对于线性弹性材料来说有{}[]{}{}{}e e e e D 00)(σεεσ+-= （8.10）上式中{}e0ε和{}e0σ分别为单元材料中可能存在的初应变和初应力。
将式（8.2）代入式（8.9）就可以得到应力增量与单元节点位移增量之间的关系{}[][]{}eed B D d δσ= （8.11）将式（8.4）代入式（8.11）后得{}[][][]{}e L e d B B D d δσ)(0+= （8.12）于是，式（8.8）左端中的第二项便可表示为[]{}[][][][][][][][][][][][]{}⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++=veL vTL TL vvLTTevTd dv B D B dv B D B dvB D B dv B D B dv d B δσ))((00（8.13）若记[][][][]dv B D B k Tv000⎰⎰⎰= (8.14)[]0k 是与单元节点位移无关，它就是一般线性分析时的单元刚度矩阵。
式（8.13）右端第二层括号内的项可记为[][][][][][][][][][]⎰⎰⎰++=vL T L T L L T L dv B D B B D B B D B k )(00 （8.15）[]L k 称为单元的初位移矩阵或大位移矩阵，表示单元位置的变动对单元刚度矩阵的影响。
现在再来看式（8.8）左端的第一项。
考虑到式（8.4）的关系并注意到[]0B 与节点位移无关，因此对节点位移的微分等于零，对于一个确定的有限元分析模型，式（8.8）左端的第一项可一般地写成[]{}[]{}[]{}e evTLevTd kdv B d dv Bd δσσσ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （8.16）上式中[]σk 称为单元的初应力矩阵或几何刚度矩阵，它表示单元中存在的应力对单元刚度矩阵的影响。
由上式（8.16）和式（8.13），并考虑到式（8.14）和（8.15）的关系，有[][][]{}{}eeL F d d k k k =++δσ)(0 （8.17）若记[][][][]L T k k k k ++=σ0 （8.18）[]T k 就称为单元的切线刚度矩阵。
此时，有增量形式的单元刚度方程[]{}{}e e T F d d k =δ （8.19）由此可以看出，单元切线刚度矩阵[]T k 代表了单元于某种变形位置时的瞬时刚度，或者说代表了单元节点力与节点位移之间的瞬时关系。
有了单元切线刚度矩阵就可以按照常规的方法，即单元集成法组装结构的切线刚度矩阵，即有[][]∑=T T k K （8.20）并进而得到结构的增量刚度方程[]{}{}F d d K T =δ （8.21）前面在推导式（8.8）时，假定载荷{}eF 与变形无关。
但有些情况并非如此。
例如，作用于特大变形结构上的压力载荷，与变形有关的气动载荷便是这样。
在这种情况下，式（8.8）应计及载荷相对于{}δd 的微分项，本书后面的推导中均不考虑这一影响。
8.2.2 求解方法对于实际应用，载荷增量不可能取成微分的形式，总是一个有限值。
于是，按式（8.21）求得的位移增量使结构偏移了其真实的平衡位置。
为了解决这一问题，可以根据当时的结构位移情况按式（8.5）求各单元上作用的节点力，并继而求得各节点合力。
然后将外载荷与上述节点合力之差，即节点的不平衡力，作为一种载荷施加于结构，由此求得节点位移的修正值。
上述过程也可以反复多次。
综上所述，总体的拉格朗日列式方法的一次完整的迭代步骤一般可归纳如下：（1）按线性分析得到节点位移的初值{}1δ。
（2）形成局部坐标系中的单元切线刚度矩阵[]T k ，并按式（8.5）计算单元的节点力{}eF 。
（3）将[]T k 和{}eF 转换到整体坐标系。
（4）对所有单元重复（2）至（3）的步骤。
生成结构的切线刚度矩阵[]1T K 和节点力合力{}1F 。
（5）计算节点不平衡力{}{}{}∑-=eF F 11ψ。
（6）求解结构刚度方程[]{}{}111ψδ=∆T K ，得节点位移增量{}1δ∆。
（7）将{}1δ∆叠加到节点位移向量{}1δ中，即{}{}{}112δδδ∆+=。
（8）收敛条件判断，如果不满足则反回到步骤（2）。
上述在总载荷下进行迭代的方法有时会遇到困难。
在非线性程度较高的问题中可能收敛较慢，此外，当解答非唯一时，有可能得到实际上不需要的那个解。
在这种情况下，可采用7.2.4节中所介绍的增量法求解，并得到每一增量步的非线性解。
如迭代中再带有自平衡校正，并采用小的载荷增量，通常一步运算就能足够精确地得到该增量步的解。
以上两节所介绍的增量形式的总体拉格朗日列式法，在结构的非线性分析中应用十分广泛，有关计算公式及求解方法对板、壳或杆件体系的非线性分析都同样适用。
由上面的分析也可以看出，采用总体的拉格朗日方法求解非线性问题的关键是形成单元的切线刚度矩阵。
8.3 屈曲问题非线性分析，尤其是几何非线性分析在很多情况下是估算一个结构在失去稳定性前所能承受的最大载荷。
这是结构屈曲问题的研究目标，是固体力学的一个重要分支，也是工程实践中经常出现的问题。
小位移线性理论假设在结构受载变形过程中忽略了结构的位移变化，因此在加载的各个阶段总是认为结构在未加载的原始位形上产生平衡，当屈曲发生时，结构位形突然跳到另一个平衡位置。
图8.1(a)为线性屈曲的示意图。
λ为裁荷比例因子，其含义稍后会讲到，它与位移δ在屈曲前为线性关系，当载荷达到极限值（图中分枝点）时结构失稳，δλ-曲线改变，结构平衡转向另一模态。
这就是线性屈曲也称分枝屈曲。
严格说来，结构的平衡实际上是在结构发生变形之后达到的，因此，从加载一开始就出现了几何非线性的特性，图8.1(b)为非线性屈曲的示意图，当载荷比例因子增加时，δλ-曲线是非线性的，一直达到极限，这种在结构发生变形一直到失稳，在变形后的位形上考虑平衡一直达到极限的方法称非线性屈曲或极限屈曲。
图8.1a 图8.1b可见，工程实际中分枝屈曲现象实为罕见，它仅出现在完全无结构缺陷，完全沿轴向加压的绝对直杆及完整空球壳在均匀外压的情况下。
分枝屈曲现象虽然罕见，但实际中有不少结构屈曲状态接近分枝屈曲，而分枝屈曲的计算工作量又远小于计算极限屈曲的工作量，况且，不少作者得出结论，一些中等非线性的屈曲状态，可以用线性屈曲问题特征向量的线性组合近似得到。