2011届高三数学一轮复习精品课件：空间中的垂直关系
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高考数学一轮复习 直线、平面垂直的性质定理课件
[解析] 如果平面 ⊥ 平面 ,那么只有平面 内垂直于交线的直线才垂直于平面 ,
故C错误.
02
研考点 题型突破
题型一 直线与平面垂直的性质
典例1 如图,PA ⊥ 平面ABD,PC ⊥ 平面BCD,E,F分别为BC,CD上的点,
且EF ⊥
CF
AC.求证:
DC
=
CE
.
BC
证明 ∵ PA ⊥平面ABD,PC ⊥ 平面BCD,
②线（三垂线定理）:过二面角的一个面内的一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的
垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.
③面（垂面法）:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,
这两条交线所成的角即是二面角的平面角.
（2）求（求二面角的平面角的余弦值或正弦值）.
①在三角形中,利用余弦定理求值；
PD ⊥ 平面PBC.
证明 由题设,知BC ⊥ CD,又平面PDC ⊥ 平面ABCD,平面PDC ∩ 平
面ABCD = CD,BC ⊂ 平面ABCD,
所以BC ⊥ 平面PDC,
而PD ⊂ 平面PDC,则BC ⊥ PD.
由∠DPC = 90∘ ,得PC ⊥ PD.
又BC ∩ PC = C,BC,PC ⊂ 平面PBC,则PD ⊥ 平面PBC.
又BC ⊂ 平面PBC,所以AD ⊥ BC.
因为PA ⊥ 平面ABC,BC ⊂ 平面ABC,
所以PA ⊥ BC.
因为AD ∩ PA = A,AD,PA ⊂ 平面PAC,
所以BC ⊥ 平面PAC.
又AC ⊂ 平面PAC,所以BC ⊥ AC.
规律方法
（1）在应用面面垂直的性质定理时,若没有与交线垂直的直线,则一般需作辅助线,基
故C错误.
02
研考点 题型突破
题型一 直线与平面垂直的性质
典例1 如图,PA ⊥ 平面ABD,PC ⊥ 平面BCD,E,F分别为BC,CD上的点,
且EF ⊥
CF
AC.求证:
DC
=
CE
.
BC
证明 ∵ PA ⊥平面ABD,PC ⊥ 平面BCD,
②线（三垂线定理）:过二面角的一个面内的一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的
垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.
③面（垂面法）:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,
这两条交线所成的角即是二面角的平面角.
（2）求（求二面角的平面角的余弦值或正弦值）.
①在三角形中,利用余弦定理求值；
PD ⊥ 平面PBC.
证明 由题设,知BC ⊥ CD,又平面PDC ⊥ 平面ABCD,平面PDC ∩ 平
面ABCD = CD,BC ⊂ 平面ABCD,
所以BC ⊥ 平面PDC,
而PD ⊂ 平面PDC,则BC ⊥ PD.
由∠DPC = 90∘ ,得PC ⊥ PD.
又BC ∩ PC = C,BC,PC ⊂ 平面PBC,则PD ⊥ 平面PBC.
又BC ⊂ 平面PBC,所以AD ⊥ BC.
因为PA ⊥ 平面ABC,BC ⊂ 平面ABC,
所以PA ⊥ BC.
因为AD ∩ PA = A,AD,PA ⊂ 平面PAC,
所以BC ⊥ 平面PAC.
又AC ⊂ 平面PAC,所以BC ⊥ AC.
规律方法
（1）在应用面面垂直的性质定理时,若没有与交线垂直的直线,则一般需作辅助线,基
高中数学必修二《空间中的垂直关系》课件
(2) 由 (1) 知∠ EDC 为二面角 E－ BD － C 的平面角，又 △SAC∽△DEC ，∴∠ EDC ＝ ∠ASC，在Rt△SAB中，∠A＝90° ，设SA＝AB＝1，则SB＝. 由SA⊥BC，AB⊥BC，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥SB，在Rt△SBC中，SB＝BC＝， ∠ SBC ＝ 90° ， 则 SC ＝ 2 ， 在 Rt△SAC 中 ， ∠ A ＝ 90° ， SA ＝ 1 ， SC ＝ 2 ，
足，则∠AOB是α－l－β的平面角．
两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互 相垂直的平面． 7．两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这 两个平面互相垂直． 8．两平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它 们的交线的直线垂直于另一个平面．
【例1】如右图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面正方形 的中心，M为棱DD1的中点，试证：B1O⊥平面MAC.
证明：证法一：如图(1)，连结AB1、CB1，
由AB1＝CB1，又O为AC的中点， ∴B1O⊥AC.连结OM、MB1、B1D1， 可证，∴B1O⊥OM. 根据直线与平面垂直的判定定理知：B1O⊥平面MAC.
1.平面与平面的垂直问题可转化为直线与平面的垂直问题解决． 2．利用平面与平面垂直的性质定理，可以有所选择地作出一个平面的垂 线，进而可解决空间的成角和距离等问题，因此作平面的垂线也是 立体几何中最重要的辅助线之一．
解决二面角问题的主要过程是作图、论证与计算，首先要找出二面角的平面 角，作二面角的平面角方法主要有根据定义，利用三垂线定理和逆定理等． 【例3】如右图所示，在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直
高考数学一轮巩固 第48讲 空间中的垂直关系配套课件 文
α⊥β，α∩β＝l，______a_⊥__l____，a⊂α ⇒a⊥β .
一、直线与平面垂直的判定与性质 例1如图所示，已知圆 O 的直径 AB 长度为 4，点 D 为线段 AB 上一点，且 AD＝13DB，点 C 为圆 O 上 一点，且 BC＝ 3AC.点 P 在圆 O 所在平面上的正投 影为点 D，PD＝BD. (1)求证：CD⊥平面 PAB； (2)求 PD 与平面 PBC 所成的角的正弦值．
(2)方法一：过 D 作 DH⊥平面 PBC 交平面 PBC 于点 H，连接 PH，则∠DPH 即为所求的线面角．
由(1)可知 CD＝ 3，PD＝BD＝3， ∴VP－BDC＝13S△BDC·PD＝13·12DB·DC·PD＝13×12×3
a⊂α，α∥β，所以 a∥β，又因为 b⊥β，所以 a⊥b. 反之，若 a⊥b，则不一定有 a⊂α，b⊥β，α∥β，所
以 C 正确；选项 D 中，当 a⊥β 时，a∥b，所以 D 也 不对．
4．若 m，n 是两条不同的直线，α，β，γ 是三个
不同的平面，给出下列命题：
①若 m⊥α，n∥α，则 m⊥n；②若 α⊥γ，β⊥γ，
【解析】(1)连接 CO，由 3AD＝DB 知，点 D 为 AO 的中点，
又∵AB 为圆 O 的直径， ∴AC⊥CB， 由 3AC＝BC 知，∠CAB＝60°， ∴△ACO 为等边三角形，从而 CD⊥AO. ∵点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D， ∴ PD ⊥ 平 面 ABC ， 又 CD ⊂ 平 面 ABC ， ∴PD⊥CD， 由 PD∩AO＝D 得，CD⊥平面 PAB.
2．已知 m，n，l 为三条不同的直线，α，β 为两 个不同的平面，下列命题中正确的是( D )
A．α ∥β ，m⊂α ，n⊂β ⇒m∥n B．l∥β ，α⊥β⇒l∥α C．m⊥α ，m⊥n⇒n∥α D．α ∥β ，l⊥α⇒l⊥β
一、直线与平面垂直的判定与性质 例1如图所示，已知圆 O 的直径 AB 长度为 4，点 D 为线段 AB 上一点，且 AD＝13DB，点 C 为圆 O 上 一点，且 BC＝ 3AC.点 P 在圆 O 所在平面上的正投 影为点 D，PD＝BD. (1)求证：CD⊥平面 PAB； (2)求 PD 与平面 PBC 所成的角的正弦值．
(2)方法一：过 D 作 DH⊥平面 PBC 交平面 PBC 于点 H，连接 PH，则∠DPH 即为所求的线面角．
由(1)可知 CD＝ 3，PD＝BD＝3， ∴VP－BDC＝13S△BDC·PD＝13·12DB·DC·PD＝13×12×3
a⊂α，α∥β，所以 a∥β，又因为 b⊥β，所以 a⊥b. 反之，若 a⊥b，则不一定有 a⊂α，b⊥β，α∥β，所
以 C 正确；选项 D 中，当 a⊥β 时，a∥b，所以 D 也 不对．
4．若 m，n 是两条不同的直线，α，β，γ 是三个
不同的平面，给出下列命题：
①若 m⊥α，n∥α，则 m⊥n；②若 α⊥γ，β⊥γ，
【解析】(1)连接 CO，由 3AD＝DB 知，点 D 为 AO 的中点，
又∵AB 为圆 O 的直径， ∴AC⊥CB， 由 3AC＝BC 知，∠CAB＝60°， ∴△ACO 为等边三角形，从而 CD⊥AO. ∵点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D， ∴ PD ⊥ 平 面 ABC ， 又 CD ⊂ 平 面 ABC ， ∴PD⊥CD， 由 PD∩AO＝D 得，CD⊥平面 PAB.
2．已知 m，n，l 为三条不同的直线，α，β 为两 个不同的平面，下列命题中正确的是( D )
A．α ∥β ，m⊂α ，n⊂β ⇒m∥n B．l∥β ，α⊥β⇒l∥α C．m⊥α ，m⊥n⇒n∥α D．α ∥β ，l⊥α⇒l⊥β
高考数学一轮复习61空间中的垂直关系课件
拓展2
在本例条件下，证明：平面EMN⊥平面PAC. 因为AB⊥PA，AB⊥AC， 且PA∩AC＝A，所以AB⊥平面PAC. 又MN∥CD，CD∥AB，所以MN∥AB， 所以MN⊥平面PAC. 又MN⊂平面EMN， 所以平面EMN⊥平面PAC.
证明
思维升 华
(1)判定面面垂直的方法
①面面垂直的定义； ②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β). (2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化. 在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线 线垂直.
这个平面。 6、一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，则必垂直于
另一个平面。 7、两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面交线垂
直于第三个平面。（小题用） 8、过一点，有且只有一条直线与已知平面垂直。（小题用） 9、过一点，有且只有一个平面与已知直线垂直。（小题用）
三、面面垂直的证明方法：
1、定义法：两个平面的二面角是直二面角。
证明
又∵DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，
∴DE∥平面A1C1F.
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F. ∴AA1⊥A1C1，
证明
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，
又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A1，
∴A1C1⊥平面ABB1A1， ∵B1D⊂平面ABB1A1，
7、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，则另一条也
垂直于这条直线。
二、线面垂直的证明方法：
1、定义法：直线与平面内任意直线都垂直。 2、点在面内的射影 。 3、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么 这条直线垂直于这个平面。（线面垂直的判定定理） 4、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们 交线的直线垂直于另一个平面。（面面垂直的性质定理） 5、两条平行直线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于
空间中的垂直关系学习课件PPT
a
③符号语言：a α ，b l⊥b， l⊥α.
α，a∩b=O，l⊥a，
实验：过△ABC 的顶后的纸片竖起
放置在桌面上，（BD、DC 与桌面接触）.
A
B
D
C
推论1 ：如果两条平行直线中的一条垂 直于一个平面，那么另一条也垂直于这个 平面．
已知： a ， a /． /b 求证： b ．
证明：设m是α内的任意一条直线．
a a m m b m b a / /b m
推论2：如果两条直线垂直于同一个平面， 那么这两条直线平行 。 已知：直线l⊥平面α，直线m⊥平面α， 垂足分别为a，b，求证：l//m.
例3．已知：直线l⊥平面α，垂足为A，直 线AP⊥l. 求证：AP在α内。 证明：设AP与l 确定的平面为β，假设AP 不在α内， 则设α与β相交于直线AM。 因为l⊥α，AM
α,
A
l P M
所以l⊥AM，
又已知AP⊥l，于是在平面β内， 过点A有两条直线垂直于l，
这是不可能的， 所以AP一定在α内。
l P
A
M
直线与平面垂直的判定方法 1.定义：如果一条直线垂于一个平面内的任 何一条直线，则此直线垂直于这个平面. 2.判定定理:如果一条直线垂直于一个平面内 的两条相交直线，那么此直线垂直于这个平 面。 3.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平 面，那么另一条也垂直于同一个平面。 4.如果直线和平面所成的角等于90°,则这 条直线和平面垂直
A B
例1．过一点和已知平面垂直的直线只有 一条。 已知：平面α和一点P. 求证：过点P与α垂直的直线只有一条。
《空间中的垂直关系》课件
《空间中的垂直关系》PPT课 件
垂直关系在空间中起着重要的作用。本PPT课件旨在介绍垂直关系的定义、 基本概念、应用和重要性，以及建筑结构中的具体应用。
引言
空间中的垂直关系是指物体在垂直方向上的位置和相互关系。垂直关系在建筑、城市规划等领域具有重 要作用，能够影响空间的布局和设计。
垂直方向的基本概念
2
垂直投影的定义和应用
垂直投影是指物体在某个垂直平面上的投影，可以用于建筑设计和工程测量等领 域。
3
垂直距离的测量方法
垂直距离是指两个物体之间在垂直方向上的距离，可以通过测量工具或基于三角 关系计算得出。
应用
1 垂直的重要性和应用
2 实例分析：建筑结构中的垂直关系
垂直关系在建筑结构、城市规划和室内设 计等领域中起着重要作用，能够优化空间 布局和提升空间感。
以高层建筑为例，垂直关系可以影响建筑 的稳定性、使用功能和美观性，是建筑设 计中不可忽视的因素。
总结
垂直关系在空间中具有重要性，能够决定空间的布局和设计。深入了解垂直 关系的定义、基本概念和应用，将有助于提升空间规划与设计的质量。
本PPT课件提供了垂直关系的基本知识和应用框架，以及建筑结构中的实例 分析，可根据实际需求进行具体运用。
垂线的定义
垂线是指与给定直线或平面垂直相交的直线。
垂直平面的定义
垂直平面是指与给定平面垂直相交的平面。
垂直角的定义
垂直角是指两条相交直线、弦或切线所夹的 角为90度。
空间中的垂直关系
1
不同垂直关系的分类
在空间中，垂直关系可以分为垂直与水平、垂直与斜面等不同类型。
参考文献
• 李宁，蔡明华. 理论建筑设计教程 [M]. 机械工业出版社，2015. • Thom as P.J. Architecture 101: From Frank Gehry to Ziggurats,
垂直关系在空间中起着重要的作用。本PPT课件旨在介绍垂直关系的定义、 基本概念、应用和重要性，以及建筑结构中的具体应用。
引言
空间中的垂直关系是指物体在垂直方向上的位置和相互关系。垂直关系在建筑、城市规划等领域具有重 要作用，能够影响空间的布局和设计。
垂直方向的基本概念
2
垂直投影的定义和应用
垂直投影是指物体在某个垂直平面上的投影，可以用于建筑设计和工程测量等领 域。
3
垂直距离的测量方法
垂直距离是指两个物体之间在垂直方向上的距离，可以通过测量工具或基于三角 关系计算得出。
应用
1 垂直的重要性和应用
2 实例分析：建筑结构中的垂直关系
垂直关系在建筑结构、城市规划和室内设 计等领域中起着重要作用，能够优化空间 布局和提升空间感。
以高层建筑为例，垂直关系可以影响建筑 的稳定性、使用功能和美观性，是建筑设 计中不可忽视的因素。
总结
垂直关系在空间中具有重要性，能够决定空间的布局和设计。深入了解垂直 关系的定义、基本概念和应用，将有助于提升空间规划与设计的质量。
本PPT课件提供了垂直关系的基本知识和应用框架，以及建筑结构中的实例 分析，可根据实际需求进行具体运用。
垂线的定义
垂线是指与给定直线或平面垂直相交的直线。
垂直平面的定义
垂直平面是指与给定平面垂直相交的平面。
垂直角的定义
垂直角是指两条相交直线、弦或切线所夹的 角为90度。
空间中的垂直关系
1
不同垂直关系的分类
在空间中，垂直关系可以分为垂直与水平、垂直与斜面等不同类型。
参考文献
• 李宁，蔡明华. 理论建筑设计教程 [M]. 机械工业出版社，2015. • Thom as P.J. Architecture 101: From Frank Gehry to Ziggurats,
届高考数学一轮复习空间中的垂直关系
解 析 ： 2过 点 P作 PO AD交 AD于 O，
由 于 平 面 PAD 平 面 ABCD， 所 以 PO 平 面 ABCD. 因 此 PO为 四 棱 锥 P ABCD的 高 ． 又 PAD是 边 长 为4 的等边三角形，
因 此 PO 3 4 2 3. 2
解 析 ： 在 底 面 四 边 形 ABCD中 ， AB //DC， AB 2DC， 所 以 四 边 形 ABCD是 梯 形 ．
4面 面 垂 直 的 性 质 定 理 ：
.
两个平面垂直，则一个平面内垂直于它们交线的
直 线 与 另 一 个 平 面 ⑨ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .用 符 号 表 示 为 ：
， l， a ， a l ⑩ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
归 纳 拓 展 ： 两 个 平 面 、 都 垂 直 于 平 面 ， 则 与
可 能 平 行 也 可 能 相 交 ， 若 l， 则 l .
【要点指南】
①l ；②两条相交；③ A； ④互相平行；⑤ //；⑥直角； ⑦垂线；⑧a ；⑨垂直； ⑩a
题型一 直线和平面垂直的判定和性质
例 1 .如 图 ， 已 知 P A垂 直 于 矩 形 ABCD所 在 的 平 面 ， M 、 N 分 别 是 AB、 PC的 中 点 ， 若 P D A 4 5 ， 求 证 ： MN 平 面 PCD.
求 证 ： 截 面 M B C1 侧 面 B B1C1C .
解 析 ： 1证 明 ： 因 为 A B A C，
D是 BC的 中 点 ， 所 以 AD BC.
因 为 底 面 A B C 侧 面 B B1C 1C ， 平 面 A B C 平 面 B B1C 1C B C ， 所 以 A D 侧 面 B B1C1C . 因 为 C C 1 平 面 B B1C 1C ， 所 以 AD C C1.
高中数学优质课件【空间中的垂直关系】
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2．设 α，β 是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，且 l⊂α，
m⊂β，下列说法正确的是( )
A．若 l⊥β，则 α⊥β
B．若 α⊥β，则 l⊥m
C．若 l∥β，则 α∥β
D．若 α∥β，则 l∥m
A 解析：因为 l⊥β，l⊂α，所以 α⊥β(面面垂直的判定定理)，故
A 正确．
1 2 3 45
又因为 B1C1∥BC，且 B1C1⊄平面 ABC，BC⊂平面 ABC，所以
B1C1∥平面 ABC. 又因为 B1C1⊂平面 EB1C1F，且平面 EB1C1F∩平面 ABC＝EF. 所以 B1C1∥EF，所以 EF∥BC. 又因为 BC⊥平面 A1AMN，
所以 EF⊥平面 A1AMN. 因为 EF⊂平面 EB1C1F，
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5．已知 PD 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，连接 PB，PC，PA， AC，BD，则一定互相垂直的平面有________对．
7 解析：如图，由于 PD⊥平面 ABCD，故平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PDB⊥平面 ABCD，平面 PDC ⊥平面 ABCD，平面 PDA⊥平面 PDC，平面 PAC⊥平 面 PDB，平面 PAB⊥平面 PAD，平面 PBC⊥平面 PDC， 共 7 对．
①证明：因为 M，N 分别为 BC，B1C1 的中点， 所以 MN∥BB1. 又 AA1∥BB1，所以 MN∥AA1. 在△ABC 中，M 为 BC 中点，则 BC⊥AM. 又因为侧面 BB1C1C 为矩形，所以 BC⊥BB1. 因为 MN∥BB1，所以 MN⊥BC.又 MN∩AM＝M，MN，AM⊂平面 A1AMN， 所以 BC⊥平面 A1AMN.
(2)判定定理与性质定理 文字语言
2．设 α，β 是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，且 l⊂α，
m⊂β，下列说法正确的是( )
A．若 l⊥β，则 α⊥β
B．若 α⊥β，则 l⊥m
C．若 l∥β，则 α∥β
D．若 α∥β，则 l∥m
A 解析：因为 l⊥β，l⊂α，所以 α⊥β(面面垂直的判定定理)，故
A 正确．
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又因为 B1C1∥BC，且 B1C1⊄平面 ABC，BC⊂平面 ABC，所以
B1C1∥平面 ABC. 又因为 B1C1⊂平面 EB1C1F，且平面 EB1C1F∩平面 ABC＝EF. 所以 B1C1∥EF，所以 EF∥BC. 又因为 BC⊥平面 A1AMN，
所以 EF⊥平面 A1AMN. 因为 EF⊂平面 EB1C1F，
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5．已知 PD 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，连接 PB，PC，PA， AC，BD，则一定互相垂直的平面有________对．
7 解析：如图，由于 PD⊥平面 ABCD，故平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PDB⊥平面 ABCD，平面 PDC ⊥平面 ABCD，平面 PDA⊥平面 PDC，平面 PAC⊥平 面 PDB，平面 PAB⊥平面 PAD，平面 PBC⊥平面 PDC， 共 7 对．
①证明：因为 M，N 分别为 BC，B1C1 的中点， 所以 MN∥BB1. 又 AA1∥BB1，所以 MN∥AA1. 在△ABC 中，M 为 BC 中点，则 BC⊥AM. 又因为侧面 BB1C1C 为矩形，所以 BC⊥BB1. 因为 MN∥BB1，所以 MN⊥BC.又 MN∩AM＝M，MN，AM⊂平面 A1AMN， 所以 BC⊥平面 A1AMN.
(2)判定定理与性质定理 文字语言
空间中的垂直关系 人教课标版精品公开PPT课件
（1）找交线
（2）在其中一个平面 内找与交线垂直的直线
符 号 语
I l
m
l
言
l m
4、常用结论
文 1、如果两个平面互相垂直，那么经过第一个
字 语 言
平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在 第一个平面内
图 形
Pl
语
言
提供了一种点向面 作垂线的方法，有 利于求点面距
符 号 语 言
P Pl
a
图 形 语 言
α
2、判定定理：
文 如果一条直线 a 与一个平面 内两条相交直
字 线都垂直，我们就说直线 a 与平面 互相
语 垂直，记作： a
言
a
线
图
不
形
语 言
b
Oc
在 多 ，
ab
符 号 语 言
a b
c c
O
a
b
相 交 就 灵
c
3、性质定理：
文 字
如果两条直线垂直于同一个平面，那么
C
P
根据平面几何知识得到：BDC90o，
DCBD
D Q平面PBD平面BDC且平面PBDI 平面BDCBD
B
CD平面PBD，
C
PB平 面 PBD CDPB 又 QPBPD ， CDI PDD ， CD平 面 PCD ， PD平 面 PCD PB平 面 PCD,
QPB平面PBC 平面PBC平面PCD
A1
D
O
A
B1 A C 平 面 B D D （ 1平 面 B D D 1 B 1 )
C B
线面垂直
ACBD1 线线垂直
AC B1D
面面垂直
经 过 A C 的 平 面 平 面 B D D 1 B 1
高三数学(文)一轮复习课件：空间中的垂直关系
【答案】①②④
2/18/2020
直线与平面垂直的判定与性质
1.判定定理可以简单地记为“线线垂直 线面垂直”，定理中的关键词语 是“平面内两条相交直线”和“都垂直”. 2.证明线面垂直的方法： （1）线面垂直的定义，在用定义时注意“平面内任意一条直线”与“平 面内无数条直线”是两个不同的概念，直线与平面内无数条直线垂直时， 直线与平面不一定垂直. （2）线面垂直的判定定理. （3）两条互相平行的直线的性质 . 3.直线和平面垂直的性质定理可以作为直线与直线平行、平面与平面平行 的判定，实现平行与垂直的相互转化.
2/18/2020
Rt△ABC 所在平面外一点 S 满足 SA＝SB＝ SC，D 为斜边 AC 的中点. (1)求证：SD⊥平面 ABC； (2)若 AB＝BC，求证：BD⊥平面 SAC.
【解析】证明：(1)设 E 是 AB 的中点. ∵D 是 AC 的中点.∴DE∥BC， 又∵BC⊥AB，∴DE⊥AB. ∵SA＝SB，∴SE⊥AB，又 ∵SE∩DE＝E，∴AB⊥平面 SDE， 而 SD平面 SDE，∴AB⊥SD， 又∵SA＝SC，D 为 AC 的中点，∴SD⊥AC. 而 AB∩AC＝A，∴SD⊥平面 ABC. (2)若 AB＝BC，则 BD⊥AC.又由(1)知，SD⊥平面 ABC， 2/18/2020 ∴SD⊥BD，而 SD∩AC＝D，∴BD⊥平面 SAC.
PQM，SC∩DC＝C，
所以平面 PQM∥平面 SCD，
又 PQ平面 PQM，所以 PQ∥平面 SCD.
2/18/2020
(3)存在点 N，使得平面 DMN⊥平面 ABCD.连接 PC，DM 交 于点 O，连接 SP. 因为 SA＝SD，P 为 AD 的中点，所以 SP⊥AD. 因为平面 SAD⊥平面 ABCD，所以 SP⊥平面 ABCD，SP⊥ PC. 在△SPC 中，过 O 点作 NO⊥PC 交 SC 于点 N，此时 N 为 SC 的中点 则 SP∥NO，则 NO⊥平面 ABCD， 因为 NO平面 DMN，所以平面 DMN⊥平面 ABCD， 所以存在满足条件的点 N.
高考数学(理)一轮课件：8.5空间中的垂直关系
)
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4. 已知直线 l⊥平面 α, 直线 m ⊂ 平面 β, 有下面四个命题 : ① α∥β⇒ l⊥m ; ② α⊥β⇒ l∥m ; ③l∥m ⇒ α⊥β; ④l ⊥m ⇒ α∥β. 其中正确命题的序号是( ) A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③
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【答案】D ������ ∥ ������ ∵ ⇒l ⊥ β 【解析】 ������ ⊥ ������ ⇒ l⊥m , ∴ 命题①正确; 又������ ⊂ ������
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1. 若三个平面 α, β, γ 之间有 α⊥γ , β⊥γ , 则 α与 β(
)
A. 垂直 B. 平行 C. 相交 D. 以上三种可能都有 【答案】D 【解析】垂直于同一个平面的两个平面的位置关系不确定.
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2. (2013·浙江杭州检测) 设 a, b, c是三条不同的直线, α, β是两个不同的平面, 则 a⊥b的一个充分条件是( ) A. a⊥c, b⊥c B. α⊥β, a⊂ α, b⊂ β C. a⊥α, b∥α D. a⊥α, b⊥α 【答案】C 【解析】 对于选项 C , 在平面 α内存在 c∥b, 因为 a⊥α, 所以 a⊥c, 故 a⊥b; A, B 选项中, 直线 a , b可能是平行直线、 相交直线 , 也可能是异面直线; D 选项中一 定有 a ∥b.
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1. 直线与平面垂直 直线和平面垂直的定义: 如果直线 l与平面 α内的任意一条直线都垂直, 我们就说直线 l与平面 α互相垂直 , 记作 l ⊥α, 直线 l叫做平面 α的垂线 , 平面 α 叫做直线 l的垂面.
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2. 直线与平面垂直的判定定理及推论
高三数学第一轮复习单元讲座第11讲空间中的垂直关系
高三新数学第一轮复习第十一讲—空间中的垂直关系一．知识整合1．线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直。
推理模式： ,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭。
注意：⑴三垂线指PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理 ⑵要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用。
2．线面垂直定义：如果一条直线l 和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 和平面α互相垂直其中直线l 叫做平面的垂线，平面α叫做直线l 的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。
直线l 与平面α垂直记作：l ⊥α。
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
3．面面垂直两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理：（线面垂直⇒面面垂直）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
两平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。
二．典例精析题型1：线线垂直问题例1．如图1所示，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、L 、M 、N 分别为A 1D 1，A 1B 1，BC ，CD ，DA ，DE ，CL 的中点，求证：EF ⊥GF 。
例2．（2006全国Ⅱ，19）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ，D 、E 分别为BB 1、AC 1的中点，证明：ED 为异面直线BB 1与AC 1的公垂线。
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课堂互动讲练
【名师点评】 线面垂直的定 名师点评】 拓展了线线垂直的范围， 义，拓展了线线垂直的范围，线垂直 于面，线就垂直于面内所有直线． 于面，线就垂直于面内所有直线．
课堂互动讲练
互动探究 题目条件不变， 题目条件不变，图中有几个直角 三角形？它们是什么？ 三角形？它们是什么？ 解：共9个． 个 Rt△PAC，Rt△PAB， △ ， △ ， Rt△PBC，Rt△ABC，Rt△PFA， △ ， △ ， △ ， Rt△CFA，Rt△PEF，Rt△PEA， △ ， △ ， △ ， Rt△AEB. △
第5课时
空间中的垂直关系
基础知识梳理
1．直线与平面垂直 ． (1)定义：如果直线 与平面 内的 定义： 与平面α内的 定义 如果直线l与平面 直线都垂直，则直线l与此平 任意一条直线都垂直，则直线 与此平 垂直． 面α垂直． 垂直 (2)判定定理：一条直线与一个平 判定定理： 判定定理 直线都垂直， 面内的两条相交直线都垂直，则该直 线与此平面垂直． 线与此平面垂直． (3)性质定理：垂直于同一个平面 性质定理： 性质定理 的两条直线 平行 ．
基础知识梳理
3．平面与平面垂直 ． (1)定义：如果两个平面所成的二 定义： 定义 面角是 直二面角 ，就说这两个平面互 相垂直． 相垂直． (2)判定定理：一个平面过另一个 判，则这两个平面垂直． (3)性质定理：两个平面垂直，则 性质定理： 性质定理 两个平面垂直， 一个平面内垂直于交线 的直线与另一 个平面垂直． 个平面垂直．
5．已知平面α、β和直线 ，给出 ．已知平面 、 和直线 和直线m， 条件： 条件： ①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④ ∥ ； ⊥ ； ⊂ ； α⊥β；⑤α∥β. ⊥ ； ∥ (1)当满足条件 当满足条件________时，有 当满足条件 时 m∥β； ∥ ； (2)当满足条件 当满足条件________时，有 当满足条件 时 m⊥β.(填所选条件的序号 填所选条件的序号) ⊥ 填所选条件的序号 答案：③⑤ ②⑤ 答案：
课堂互动讲练
【名师点评】 翻折与展开是一 名师点评】 个问题的两个方面， 个问题的两个方面，不论是翻折还是 展开， 展开，均要注意平面图形与立体图形 中各个对应元素的相对变化， 中各个对应元素的相对变化，元素间 大小与位置关系，哪些变化， 大小与位置关系，哪些变化，哪些不 变化，这是至关重要的．一般来说， 变化，这是至关重要的．一般来说， 在翻折过程中， 在翻折过程中，处在同一个半平面内 的元素是不变的， 的元素是不变的，弄清楚这一点是解 决这类问题的关键． 决这类问题的关键．
课堂互动讲练
例3 如图① 四边形 如图①，四边形ABCD中， 中 AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°， ∥ ， ＝ ， ＝ ° ∠BAD＝90°，将△ABD沿对角线 ＝ ° 沿对角线BD 沿对角线 折起，记折起后点A的位置为 的位置为P， 折起，记折起后点 的位置为 ，且使 平面PBD⊥平面 平面 ⊥平面BCD，如图②. ，如图②
三基能力强化
1．(2009年高考山东卷改编 已知 ． 年高考山东卷改编)已知 年高考山东卷改编 α，β表示两个不同的平面，m为平面 表示两个不同的平面， 为平面 为平面α ， 表示两个不同的平面 内的一条直线， 内的一条直线，则“m⊥β ”是“α⊥β ” ⊥ 是 ⊥ ) 的( A．充分不必要条件 ． B．必要不充分条件 ． C．充要条件 ． D．既不充分也不必要条件 ． 答案： 答案：A
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CD⊥BD，所以 ⊥面PBD. ⊥ ，所以CD⊥ 又因为PB⊂ 又因为 ⊂面PBD，所以 ， CD⊥PB. ⊥ 又因为PB⊥ ， 又因为 ⊥PD，PD∩CD=D，所 ， 以PB⊥面PDC. ⊥ 又PB⊂面PBC，故平面 ⊂ ，故平面PBC⊥平 ⊥ 面PDC.
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(2)AE⊥BD，EF⊥BC，折叠后 ⊥ ， ⊥ ， 的位置关系不变， 的位置关系不变， 所以PE⊥ 所以 ⊥BD. 又面PBD⊥面BCD，所以 ⊥面 又面 ⊥ ，所以PE⊥ BCD. 所以PE⊥ 所以 ⊥EF.
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考点二 平面与平面垂直的判定
证明面面垂直的主要方法是： 证明面面垂直的主要方法是： (1)利用判定定理．在审题时要注意 利用判定定理． 利用判定定理 直观判断哪条直线
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可能是垂线， 可能是垂线，充分利用等腰三角 形底边的中线垂直于底边， 形底边的中线垂直于底边，勾股定理 等结论． 用定义证明 用定义证明． 等结论．(2)用定义证明．只需判定两 平面所成二面角为直二面角． 客观 平面所成二面角为直二面角．(3)客观 题中，也可应用： 题中，也可应用：两个平行平面中的 一个垂直于第三个平面， 一个垂直于第三个平面，则另一个也 垂直于第三个平面． 垂直于第三个平面．
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的直径， 【证明】 ∵AB为⊙O的直径， 证明】 为 的直径 C为⊙O上的一点， 上的一点， 为 上的一点 ∴BC⊥AC. ⊥ 又PA⊥面ABC，BC⊂面ABC， ⊥ ， ⊂ ， ∴PA⊥BC. ⊥ 又PA∩AC=A， ， ∴BC⊥平面 ⊥平面PAC， ，
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∵AF⊂平面 ⊂平面PAC， ， ∴BC⊥AF. ⊥ 又已知AF⊥PC，BC∩PC=C， 又已知 ⊥ ， ， ∴AF⊥平面 ⊥平面BCP，又PB⊂平面 ， ⊂平面BCP， ， ∴AF⊥PB，又BP⊥AE，AE∩AF=A， ⊥ ， ⊥ ， ， ∴BP⊥平面 ⊥平面AEF.
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考点四 与垂直有关的探究性问题
对于这类问题应先把题目中已确定 的位置、 的位置、大小关系作出全面认识和正确 的推理， 的推理，再对变化不定的线面关系进行 观察，尝试作出各种常见的辅助线、 观察，尝试作出各种常见的辅助线、辅 助面进行判断， 助面进行判断，另外还要灵活运用观 察、联想、类比、猜想、分析、综合、 联想、类比、猜想、分析、综合、 一般化、特殊化等科学的思维方法， 一般化、特殊化等科学的思维方法，才 能使开放性问题快速有效地解决． 能使开放性问题快速有效地解决．
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(2)∵BC⊥CD，BC⊥AD， ∵ ⊥ ， ⊥ ， ∴BC⊥平面 ⊥平面ACD. 又∵MN∥BC，∴MN⊥平面 ∥ ， ⊥ ACD. ∵MN⊂平面 ⊂平面MND，∴平面 ， MND⊥平面ACD. ⊥平面
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【名师点评】 本题体现了线面 名师点评】 转化，同学们可以思考一下， 转化，同学们可以思考一下，若 DN⊥AC，DM⊥AC，我们可以推出 ⊥ ， ⊥ ， 几对面面垂直？ 几对面面垂直？
三基能力强化
2．直线a与b垂直，b⊥平面 ， ．直线 与 垂直 垂直， ⊥平面α， 的位置关系是( ) 则a与α的位置关系是 与 的位置关系是 A．a⊥α B．a∥α ． ⊥ ． ∥ C．a⊂α D．a⊂α或a∥α ． ⊂ ． ⊂ 或 ∥ 答案： 答案：D
三基能力强化
3.如图，如果MC⊥菱形ABCD所在 如图，如果 ⊥菱形 所在 如图 平面，那么MA与BD的位置关系是 的位置关系是( ) 平面，那么 与 的位置关系是
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例2 (2010年陕西西安调研 如图，三 年陕西西安调研)如图 年陕西西安调研 如图， 棱锥A-BCD中，AD，BC，CD两两互 棱锥 中 ， ， 两两互 相垂直，M，N分别为 ，AC的中 相垂直， ， 分别为AB， 的中 分别为 点． (1)求证：BC∥平面 求证： ∥平面MND； 求证 ； (2)求证：平面 求证： 求证 平面MND⊥平面 ⊥平面ACD.
课堂互动讲练
【思路点拨】 根据翻折前后元 思路点拨】 素的关系变化， 素的关系变化，结合面面垂直的判定 定理求解． 定理求解．
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证明： 【解】 (1)证明：折叠前，在四 证明 折叠前， 边形ABCD中， 边形 中 AD∥BC，AD=AB， ∥ ， ， ∠BAD=90°， ° 所以△ABD为等腰直角三角形． 所以△ 为等腰直角三角形． 为等腰直角三角形 又因为∠ 又因为∠BCD=45° ，所以 ° ∠BDC=90°. ° 折叠后，因为面PBD⊥面BCD， 折叠后，因为面 ⊥ ，
基础知识梳理
垂直于同一平面的两平面是 否平行？ 否平行？ 思考·提示】 【思考·提示】 可能平 也可能相交． 行，也可能相交．
基础知识梳理
4．直线和平面所成的角 ． 平面的一条斜线和它在平面上的 射影所成的锐角叫做这条直线和这个 平面所成的角． 平面所成的角． 当直线与平面垂直和平行(含直线 当直线与平面垂直和平行(含直线 在平面内)时，规定直线和平面所成的 在平面内 时 ° ° . 角分别为 90°和0°
课堂互动讲练
考点三 折叠问题
将平面图形折叠成立体图形 应注意折叠前、 时，应注意折叠前、后哪些量发生 了改变，哪些没有发生变化．特别 了改变，哪些没有发生变化． 应注意寻找折叠前、 应注意寻找折叠前、后的那些没有 发生变化的关系和没有变化的 量．把平面图形的垂直关系运用到 空间图形中去， 空间图形中去，又将空间中的有关 问题放到平面中去计算，常可以使 问题放到平面中去计算， 问题得以顺利解决． 问题得以顺利解决．
课堂互动讲练
课堂互动讲练
【思路点拨】 由MN∥BC，知 思路点拨】 ∥ ， BC∥平面 ∥平面MND，由BC⊥CD， ， ⊥ ， BC⊥AD，知BC⊥面ACD. ⊥ ， ⊥
课堂互动讲练
【证明】 (1)∵M、N分别为 证明】 ∵ 、 分别为 AB、AC的中点， 的中点， 、 的中点 ∴MN∥BC. ∥ 又∵MN⊂平面MND，BC⊄平面 ⊂平面 ， ⊄ MND. ∴BC∥平面 ∥平面MND.
基础知识梳理
2．二面角的有关概念 ． (1)二面角：从一条直线出发 二面角： 二面角 的两个半平面 所组成的图形叫做 二面角． 二面角． (2)二面角的平面角：以二面 二面角的平面角： 二面角的平面角 角的棱上任一点为端点， 角的棱上任一点为端点，在两个半 平面内分别作 垂直于掕 的两条射 线，这两条射线所成的角叫做二面 角的平面角． 角的平面角．