江苏省高考数学最后一卷试题(含解析)

(图1)

2015江苏高考最后一卷

数 学

一、 填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1.已知复数z 的实部为2-，虚部为1，则z 的模等于 . 2.已知集合{}3,,0,1-=A ，集合{

}

2-=

=x y x B ，则=B A I .

3.右图1是一个算法流程图，若输入x 的值为4-，则输出y 的值为 .

4.函数)

1(log 21)(2---=x x f x

的定义域为 .

5.样本容量为10的一组数据，它们的平均数是5，频率如条形图2所示，则这组数据的方差等于 ．

6.设,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若

,||,,n n m αβαβ⊂=I 则||n m ；②若,m n αα⊂⊂，,m n ββ∥∥，则αβ∥；

③若,,,m n n m αβαβα⊥=⊂⊥I ，则n β⊥；④若,,m m n ααβ⊥⊥∥，则n β∥.其中正确的命题序号为

7.若圆2

2

2

)5()3(r y x =++-上有且只有两个点到直线234:=-y x l 的距离等于1，则半径r 的取值范围是 .

8.已知命题()()2

:,2,P b f x x bx c ∀∈-∞=++在(),1-∞-上为减

x

y 1

2 1-

2-

图3

图2

函数；命题0:Q x Z ∃∈，使得021x <.则在命题P Q ⌝⌝∨，P Q ⌝⌝

∧，P Q ⌝∨，P Q ⌝∧中

任取一个命题，则取得真命题的概率是 9.若函数2

()(,,)1

bx c

f x a b c R x ax +=

∈++),,,(R d c b a ∈，其图象如图3所示，则=++c b a .

10.函数2

3

22)(223

+--=x a x a x x f 的图象经过四个象限，则a 的取值范围是 ．

11.在ABC ∆中,已知角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且

sin sin sin A C B

b c a c

-=

-+，则函数 22()cos ()sin ()22x x f x A A =+--在3,22ππ⎡⎤

-⎢⎥⎣⎦

上的单调递增区间是 .

12. “已知关于x 的不等式02

>++c bx ax 的解集为)2,1(，解关于x 的不等式

02>++a bx cx .”给出如下的一种解法：

参考上述解法：若关于x 的不等式0<++++c x b x a x b 的解集为)1,2

1

()31,1(Y --，则关于x 的不等式

0>----c

x b

x a x b 的解集为 . 13.2014年第二届夏季青年奥林匹克运动会将在中国南京举行，为了迎接这一盛会，某公司计划推出系列产品，其中一种是写有“青奥吉祥数”的卡片.若设正项数列{}n a 满足 ()2110n n n n a a +--=，定义使2log k a 为整数的实数k 为“青奥吉祥数”，则在区间[1，2014]内的所有“青奥吉祥数之和”为________ 14.已知

()22,0

32,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩

，设集合(){}

,11

A y y f x x ==-≤≤，

{},11B y y ax x ==-≤≤，若对同一x 的值，总有12y y ≥，其中12,y A y B ∈∈，则实数

a 的取值范围是

二、 解答题（本大题共6小题，共90分）

15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量

()(1sin ,1),1,sin cos 2

C

m n C C =--=+u r r ，且.n m ⊥

（1）求sin C 的值；（2）若()2

2

48a b a b +=+-，求边c 的长度.

16.如图4，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB∥DC，PAD △ 是等边三角形，

已知28BD AD ==，245AB DC ==．

（1）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （2）求四棱锥P ABCD -的体积．

17.如图5，GH 是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH 上的一点B 的正北方向的A 处建一仓库，设AB = y km ，并在公路同侧建造边长为x km 的正方形无顶中转站CDEF （其中边EF 在GH 上），现从仓库A 向GH 和中转站分别修两条道路AB ，AC ，已知AB = AC 1，

且∠ABC = 60o

．

（1）求y 关于x 的函数解析式；

（2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km ，两条道路造价为3万元/km ，问：x 取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M 最低？

18. 如图6，椭圆22221x y a b +=(0)a b >>过点3

(1,)2

P ，其左、右焦点分别为12,F F ，离心率

A

B

C

M

P

D

图4 公 路

H

G F E D

C B A 图5

O M

N

F 2

F 1 y

x

（图6）

1

2

e =，,M N 是椭圆右准线上的两个动点，且120F M F N ⋅=u u u u r u u u u r ．

（1）求椭圆的方程； （2）求MN 的最小值；

（3）以MN 为直径的圆C 是否过定点？请证明你的结论．

19.已知函数).1,0(ln )(2

≠>-+=a a a x x a x f x

（1）求曲线()y f x =在点))0(,0(f 处的切线方程； （2）求函数)(x f 的单调增区间；

（3）若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数)，求实数a 的取值范围．

20. 已知数列{a n }中，a 2=a(a 为非零常数)，其前n 项和S n 满足S n =n(a n －a 1)

2

(n

N*)．