北大离散图论11

第23讲平面图

四色问题

平面图,面, 极大平面图 欧拉公式

Kuratowski定理

对偶图,自对偶图

外平面图

平面哈密顿图

四色问题(Four Color Problem)

四色问题(Four Color Problem) 1879, Kempe, 第一次“证明”

1890, Heawood 发现Kempe证明的错误

1880, Tait, 另一个错误证明

1891, Petersen发现Tait证明的漏洞(Tait猜想) 1946, Tutte发现Tait证明的错误(Tait猜想反例) 两次错误证明带来的收获:

“Kempe chains”,

用“3-边-着色”描述的四色定理的等价形式.

四色问题(Four Color Problem) 1913, Birkhoff, 下一个大贡献, 导致

1922, Franklin, 证明不超过25个区域的地图四色猜想成立

其他人取得其他形式进展:1974,52区域

四色问题(Four Color Problem)

1936-50,Heesch,最终解决问题的两个要素:10000个情形,100年

约化(reducibility),

放电(discharging).

1972-76, Appel, Haken, 1482个情形, IBM360, 1200小时, 论文139页+400页程

序, conjecture

四色问题(Four Color Problem)

猜想(conjecture)

另外一个证明?

定理

定理11.2: Σr i=1deg(R i)=2m. #

定理11.3: 任何平面嵌入的内部面都可以在另一种平面嵌入下成为外部面

证明: 平面嵌入Æ球面嵌入Æ把该面旋

转到北极Æ平面嵌入. #

定理11.8

定理11.8: 设G 是连通平面图, G 的各面的次数至少是l (≥3), 则

m ≤(n-2)l/(l -2)

证明: r=2+m-n,

2m=Σr i=1deg(R i )≥l •r=l •(2+m-n), 所以m ≤(n-2)l/(l -2). #

定理11.9: 设平面图G 有p 个连通分支, G 的各面的次数至少是l (≥3), 则

m ≤(n -p-1)l/(l -2). #

定理11.10

定理11.10: 设n(≥3)阶简单平面图G有m 条边,则m≤3n-6. #

证明: G是简单图, 所以l ≥3,

m≤(n-p-1)l/(l-2)≤(n-2)3=3n-6,

其中p≥1, l/(l-2)在l =3时达到最大值. # 定理11.11: 设n(≥3)阶简单极大平面图G 有m条边,则m=3n-6. #

证明: G是极大平面图, 所以2m=3r,

r=2+m-n. #

定理11.12

定理11.12: 设G是简单平面图,则δ(G)≤5. 证明: (反证) 设n≥6并且δ≥6, 则

2m=Σd(v)≥nδ≥6n ⇒m≥3n,

与m≤3n-6 矛盾. #

Kuratowski 定理

定理11.13: 图G 是平面图⇔G 没有与K 5

或K 3,3同胚的子图

定理11.14: 图G 是平面图⇔G 没有可以边收缩到K 5或K 3,3的子图

平面哈密顿图(Tait 猜想) Tait 猜想(1880): 3连通3正则平面图都是哈密顿图

Tutte 图(1946): 46阶反例(左图) Lederberg 图(1967): 38阶反例(右图)

平面哈密顿图(充分条件)

定理(Tutte,1956): 4连通平面图是哈密顿

图. #

总结

四色问题

平面图,面,极大平面图

欧拉公式, Kuratowski定理 对偶图,自对偶图

外平面图

平面哈密顿图

作业(#19)

p298, 习题十一, 3,6,7,13,14

今天交作业#17, #18

习题讲解(#15)

p256, 习题九, 2,3,6,11

2. 设有x个4度顶点, 由握手定理

9+3×3+4x=2(9+3+x-1), x=2.

度数列193342, 考虑3342, d(T)=T直径

d(T)=6: 33344, 33434, 34334,

43334, 33443, 34343 d(T)=5: 3443, 4433, 4343,

4333, 4333, 3433, 3433,

d(T)=4: 344, 14种非同构的. #

习题讲解(#15)

p256, 习题九, 2,3,6,11

11. 设有x个树叶, 由握手定理

2(n-1)=2m

=Σd(v)=Σ

d(v)=1d(v)+Σ

d(v)=Δ

d(v)+Σ

其余v

d(v)

≥x+k+2(n-x-1) ∴x≥k. #

习题讲解(#16)

p256, 习题九, 10, 12

10. T={e,g,d,j,i}, T={a,b,c,f,h},

C

a =aegdj,C

b

=bgdji,C

c

=cgd, C

f

=fge,

C

h =hji, C

基

={C

a

,C

b

,C

c

,C

f

,C

h

}.

S e ={e,a,f}, S

g

={g,a,b,c,f},S

d

={d,b,c,a},

S j ={j,a,b,h}, S

i

={i,b,h},

S

基={S

e

,S

g

,S

d

,S

j

,S

i

}. #