组合学导学案

第一章 计数原理
1.3组合
1.3.1组合
学习目标：1.理解并掌握组合,组合数的概念及意义;
2.掌握组合数公式及其推导并能解决一些简单组合问题
学习重点：组合数计算公式以及性质
学习难点：组合数计算公式以及性质的应用
一 自主学习
问题1:(1)从甲,乙,丙3名同学中选出2名分别去参加某天的上,下午活动,有多少种不同的选法?
(2)从甲,乙,丙3名同学中选出2名分别去参加一项活动,有多少种不同的选法?
问题2:有5名体操运动员参加2008年北京奥运会选拔赛.(1)从中选出3名参加双杠,吊环,鞍马三个单项比赛,每项仅1人,有几种不同的选拔结果?(2)从中选出3名参加吊环比赛,有几种不同的选拔结果?
1 组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合 说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同
2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．
．用符号m
n C 表示． 3．组合数公式的推导：
（1）一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数m n A ，可以分如下两步：① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数m m A ，
根据分步计数原理得：m n A ＝m n C m m A ⋅． （2）组合数的公式：
(1)(2)(1)!m m
n n
m m A n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C m n -=,,(n m N m n ≤∈*且 4、组合数的性质（1）：m n n m n C C -=．
一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n m -个元素．因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应．．．．
，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：m n n m n C C -=．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想 证明：∵)!
(!!)]!([)!(!m n m n m n n m n n C m n n -=---=- 又 )!
(!!m n m n C m n -=，∴n n m n C C -= 说明：①规定：10=n C ；
②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；
③y n x n C C =y x =⇒或n y x =+．
组合数的性质（2）：m n C 1+＝m n C +1-m n C
二 合作学习
例1、计算：（1）47C ； （2）710C ；
例2、求证：11+⋅-+=
m n m n C m
n m C ．
例3、（1）计算：69584737C C C C +++； （2）求证：n m C 2+＝n m C +12-n m C +2
-n m C ．
例4、计算：33333333456789C C C C C C C ++++++
例5、解方程：（1）3213113-+=x x C C ；（2）解方程：33322210
1+-+-+=+x x x x x A C C ．
三课堂检测
1、 计算：391012C C +
2、计算01237345610C C C C C +++++
3、若231212n n C C -=，则n ＝________.
4、若512533204(4)15n n n n C n C A -+++=++，求n 的值．
四 课后练习
1、已知2
n C =10，则n=（ ）
A.10
B.5
C.3
D.2
2、如果436m m C A =，则m=（ ） A.6 B.7 C.8 D.9
3、r r C C -++1710110的不同值有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4、2222345100___A A A A ++++=
5、若x 满足112x 1x 3C 2-+-+<x x C ，则x=
6、解关于n 的不等式：46n n C C <
7、已知的值为与则n m ,4
3211+-==m n m n m n C C C
第一章计数原理
1.3组合
1.3.2组合
学习目标：能够解决一些组合应用问题
学习重点：解决一些组合应用问题及一些简单的组合典型问题
学习难点：组合与排列的区分
一自主学习
引例1、（1）10人互通一次电话，共通多少次电话？
（2）10个球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少场比赛？
（3）从10个人中选出3个作为代表去开会，有多少种选法？
（4）从10个人中选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？
引例2、要从12人中选出5人参加一项活动，其中A、B、C3人至多2人入选，有多少种不同选法？
二合作学习
例1、用0，1，2，3,4，5这六个数字，可以组成____ 个没有重复数字且能被5整除的五位数（结果用数值表示）．
例2、中央电视台1套连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是公益宣传广告，且2个公益宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有 _____ 种（用数字作答）.
例3、从编号为1，2，3，…，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？
例4、在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查．现在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查．
(1)共有多少种不同的抽法？
(2)恰好有一件是次品的抽法有多少种？
(3)至少有一件是次品的抽法有多少种？
(4)恰好有一件是次品，再把抽出的3件产品放在展台上，排成一排进行对比展览，共有
多少种不同的排法？
例5、甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表？
三课堂检测
1、用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为( )
A.32
B. 36
C. 42
D.48
2、将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有5种颜色可供使用,则不同的染色方法总数有（）
A . 240种 B. 300种 C. 360种 D. 420种
3、4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多
少种？
4、某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种．小张用10元钱买杂志(每种至
多买一本，10元钱刚好用完)，则不同买法有多少种？
5、一生产过程有4道工序,每道工序需要安排一人照看.现从甲.乙.丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序,第一道工序只能从甲.乙两工人中安排1人,第四道工序只能从甲.丙两工人中安排1人,则不同的安排方案共有多少种？
6、从10名男同学，6名女同学中选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又
有女同学的不同选法共有多少种？
四、课后练习
1、某岗位安排3名职工从周一到周五值班，每天只安排一名职工值班，每人至少安排一天，至多安排两天，且这两天必须相邻，那么不同的安排方法有( )
A．10种B．12种C．18种D．36种
2、某车队准备从甲、乙等7辆车中选派4辆参加救援物资的运输工作，并按出发顺序前后排成一队，要求甲、乙至少有一辆参加，且若甲、乙同时参加，则它们出发时不能相邻，那么不同排法种数为（）
(A)360 (B)520 (C)600 (D)720
3、现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（）
A 232
B 252
C 472
D 484
4、某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程
中各至少选一门，则不同的选法共有种（用数字作答）．
5、10名运动员中有2名老队员和8名新队员，现从中选3人参加团体比赛，要求老队员至
多1人入选且新队员甲不能人选的选法有种．
6、有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，
要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有种7、平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线，以这些点为顶点，可得
多少个不同的三角形？
8、从6人中选4人分别到北京、哈尔滨、广州、成都四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且在这6人中甲、乙不去哈尔滨游览，则不同的选择方案共有多少种？
第一章计数原理
1.3组合
1.3.3组合
学习目标：利用排列组合解决计数问题
学习重点：如何有效利用排列组合解决计数问题
学习难点：计数问题的分类与解决
学习过程：
一自主学习
引例1、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
引例2、7人站成一排 ,其中甲乙相邻, 共有多少种不同的排法.
二合作学习
例1、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
例2、7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
例3、有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
例4、从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？
例5、有11个工人，其中5人只会当钳工，4人只会当车工，还有甲、乙2人既会当钳工又会当车工．现在要从这11人中选出4人当钳工，4人当车工，一共有多少种选法？
三课堂检测
1、甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。

若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )
（A）150种（B）180种（C）300种(D)345种
2、2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）
A. 36种
B. 12种
C. 18种
D. 48种
3、将标号为1、2、3、
4、
5、6的6张卡片放入3个不同的信封中。

若每个信封放2张，其中标号为1、2的卡片放入同一信封，则不同放法共有________种
4、如图将一个矩形分成24个全等的矩形，则从A沿矩形的边走到B的最短走法有多少种？
)
5、若x∈A则
x ∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M={－1，0，
3
1
，
2
1
，1，2，3，4}
的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________
6、现有印着0，l，3，5，7，9的六张卡片，如果允许9可以作6用，那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数?
7、六人站成一排，求
(1)甲不在排头，乙不在排尾的排列数
(2)甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数
8、正方体8个顶点中取出4个，可组成多少个四面体?
四课后练习
1、3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）
A. 360
B. 288
C. 216
D. 96
2、2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）
A. 60
B. 48
C. 42
D. 36
3、计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（）
（A）
5
5
4
4
A
A
（B）
5
5
4
4
3
3
A
A
A
（C）
5
5
4
4
1
3
A
A
A
（D）
5
5
4
4
2
2
A
A
A
4、在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有___种。

5、甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（用数字作答）．
6、7人站成一排照相，若要求甲、乙、丙不相邻，则有多少种不同的排法？
7、八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排办法？
8、一条长椅上有7个座位，4人坐，要求3个空位中，有2个空位相邻，另一个空位与2个相邻空位不相邻，共有几种坐法？
第一章 计数原理
1.3组合
1.3.3组合
学习目标：能利用排列组合解决各种计数问题
学习重点：排序，分组分配等问题的处理
学习难点：能利用两个计数原理及排列组合解决排序，分组分配等问题
学习过程：
一 自主学习
引例1、求下列不同的排法种数：
(1)6男2女排成一排，2女相邻；
(2)6男2女排成一排，2女不能相邻；
(3)5男3女排成一排，3女都不能相邻.
引例2、今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的排法．(用数字作答)
二 合作学习
例1、用543210、、、、、共六个数字，组成无重复数字的自然数，(1)可以组成多少个无重复数字的3位偶数？(2)可以组成多少个无重复数字且被3整除的三位数？
例2、（1）以一个正方体的顶点为顶点的四面体有个？
（2）以一个正方体的顶点为端点可连成多少对异面直线？
例3、从65432、、、、五个数字中每次取出三个不同的数字组成三位数，求所有三位数的和．
例4、7名同学排队照相．
(1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？
(2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？
(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？
(4)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，
女生不能相邻，有多少种不面的排法？
例5、有6本不同的书按下列分配方式分配，问各有多少种不同的分配方式？
（1）分成1本、2本、3本三组；（非均匀分组）
（2）分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
（3）分成每组都是2本的三个组；（均匀分组）
（4）分给甲、乙、丙三人，每个人2本。

例6、（1）有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？
（2）已知方程100x y z w +++=，求这个方程组的自然数解的组数
三 课堂检测
1、有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 ______
2、10个相同的球装5个盒中,每盒至少一个有______种装法？
3、某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有____种
4、用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是 _______
5、分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，其中i 号人不坐i 号椅（54321,,,,i ）的不同 坐法有多少种？
6、设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法
7、由数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，其中万位上数字小于千位上数字的五位数共有多少个?
8、将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有多少种？(用数字作答)．
四 课后练习
1、将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 （ ）
（A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种
2、只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( )
A ．6个
B ．9个
C ．18个
D ．36个
3、某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有( )
A ．24种
B ．36种
C ．38种
D ．108种
4、由1、2、3、4、
5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )
A ．72
B ．96
C ．108
D ．144
5、(1)n 棱柱有______条对角线，有______个对角面。

(2) 四面体的顶点和各棱的中点共10点，在其中取出4个不共面的点有______种不同取法？
6、从10双不同颜色的手套中任取6只，其中恰好有2双同色的取法有________。

7、用1，3，6，7，8，9组成无重复数字的四位数，由小到大排列.
(1)第114个数是多少?
(2)3796是第几个数?
8、25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？。