巩固练习_双曲线及其标准方程_基础

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双曲线及其标准方程(专题训练)

双曲线及其标准方程双曲线的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离等于常数2a （小于|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线. 如图所示：双曲线的概念注：实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．设M 是双曲线上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ，则1212F F e d d M M ==．标准方程 )0,0(12222>>=-b a by ax)0,0(12222>>=-b a bx ay图形性质焦点F 1（-)0,c ，F 2（)0,cF 1（),0c -，F 2（),c o焦距 | F 1F 2|=2c 222c b a =+范围 x≤-a 与x ≥ay ≤-a 与y ≥a对称性关于x 轴，y 轴和原点对称顶点（-a ，0）。

（a ，0）（0，-a ）（0，a ）轴实轴A 1A 2长2a ，虚轴B 1B 2长2b准线cax 2±= cay 2±=渐近线 x ab y ±=.a y x b=±共渐近线的双曲线系方程λ=-2222by ax （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.题型一：双曲线定义问题1.若+∈R a ，方程()()2222556x y x y-+-++=，表示什么曲线？若改成：()()2222556x y x y -+-++= ？2．已知ABC ∆的顶点()4,0-A 、()4,0B ，且()4sin sin 3sin B A C -=，则顶点C 的轨迹方程是 3．双曲线221169xy-=上一点P 到左焦点的距离为15，那么该点到右焦点的距离为变式：设12,F F 是双曲线2211620xy-=的焦点，点P 是双曲线上的点，点P 到焦点1F 的距离等于9，求点P 到2F 的距离。

4..若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k yk x表示双曲线”的( )A. 充分不必要条件.B.必要不充分条件.C.充要条件.D.既不充分也不必要条件.题型二，利用标准方程确定参数1. 求双曲线22254100x y -=-的实半轴长虚半轴长焦点坐标, 焦距离心率 2．若方程22125xyk k-=+-表示x 型双曲线，则k 的取值范围是表示y 型双曲线，则k 是表示双曲线，则k 的取值范围是 3.已知双曲线228y 8kx k -=的一个焦点为()3,0，k 为4．椭圆14222=+ay x与双曲线1222=-yax有相同的焦点，则a 的值是5变式：与椭圆224936x y +=有相同焦点，且过点()3,2的双曲线方程6．等轴双曲线的一个焦点是()16,0F -，则它的标准方程是题型三。

数学复习：双曲线及其标准方程

数学复习：双曲线及其标准方程学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法．导语同学们，有没有听过《悲伤的双曲线》这首歌，这首歌是王渊超于1995年读高中时创作的．创作灵感来源于一堂解析几何课，当时老师正在论证讲解“双曲线与渐近线只能无限接近，但不能相交”，而正是这点给王渊超带来了创作动机，并在笔记本上把歌词一挥而就．课后，他在家中，拨动着吉他，旋律顺着六弦琴的和弦转换畅然而出，《悲伤的双曲线》就此诞生．一、双曲线的定义问题1如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点．在平面内，取定点F1，F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆．我们知道，当点P在线段AB上运动时，如果||PA|－|PB||<|F1F2|＜|AB|，那么两圆相交，其交点的轨迹是椭圆；如果|F1F2|＞|AB|，两圆不相交，不存在交点轨迹．如图，在|PA|＋|PB|>|F1F2|＞|AB|的条件下，让P点在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件？提示如题图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数．知识梳理一般地，把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．注意点：(1)常数要小于两个定点的距离．(2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支．(3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)．(4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在．(5)当2a＝0时，动点的轨迹为线段F1F2的垂直平分线．例1已知A(0，－5)，B(0，5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为() A．双曲线或一条直线B．双曲线或两条直线C．双曲线一支或一条直线D．双曲线一支或一条射线答案D解析当a＝3时，2a＝6，此时|AB|＝10，∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B)．当a＝5时，2a＝10，此时|AB|＝10，∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线．反思感悟判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件．跟踪训练1已知F1(－8，3)，F2(2，3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是() A．双曲线B．双曲线的一支C．直线D．一条射线答案D解析F1，F2是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线．二、双曲线的标准方程及其推导过程问题2类比求椭圆标准方程的过程．如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？提示观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，此时双曲线的焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，焦距为2c，c>0.设P(x，y)是双曲线上一点，则||PF1|－|PF2||＝2a(a为大于0的常数)，因为|PF1|＝(x＋c)2＋y2，|PF2|＝(x－c)2＋y2，所以(x ＋c )2＋y 2－(x －c )2＋y 2＝±2a ，①类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得(c 2－a 2)·x 2－a 2y 2＝a 2(c 2－a 2)，两边同除以a 2(c 2－a 2)，得x 2a 2－y 2c 2－a 2＝1.由双曲线的定义知，2c >2a ，即c >a ，所以c 2－a 2>0，类比椭圆标准方程的建立过程，令b 2＝c 2－a 2，其中b >0，代入上式，得x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．问题3设双曲线的焦点为F 1和F 2，焦距为2c ，而且双曲线上的动点P 满足||PF 1|－|PF 2||＝2a ，其中c >a >0，以F 1，F 2所在直线为y 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？提示y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．知识梳理双曲线的标准方程焦点位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1_(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1_(a >0，b >0)焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )a ，b ，c 的关系b 2＝c 2－a 2注意点：(1)若x 2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，那么焦点在y 轴上．(2)a 与b 没有大小关系．(3)a ，b ，c 的关系满足c 2＝a 2＋b 2.例2(1)以椭圆x 28＋y 25＝1长轴的端点为焦点，且经过点(3，10)的双曲线的标准方程为________________．答案x23－y25＝1解析由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2 2.设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则有a2＋b2＝c2＝8，9a2－10b2＝1，解得a2＝3，b2＝5.故所求双曲线的标准方程为x23－y25＝1.(2)焦距为26，且经过点M(0，12)的双曲线的标准方程是__________．答案y2144－x225＝1解析∵双曲线经过点M(0，12)，∴M(0，12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.∴双曲线的标准方程为y2144－x225＝1.反思感悟双曲线的标准方程用待定系数法求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解．跟踪训练2焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(26，22)的双曲线的标准方程为________．答案x28－y24＝1解析设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，将点(4，－2)和(26，22)代入方程得－4b2＝1，①－8b2＝1，②解得a2＝8，b2＝4，所以双曲线的标准方程为x28－y24＝1.三、双曲线定义的简单应用例3(1)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于()A ．11B ．9C ．5D ．3答案B解析由题意得||PF 1|－|PF 2||＝6，∴|PF 2|＝|PF 1|±6，∴|PF 2|＝9或－3(舍去)．(2)已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2.若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解由x 29－y 216＝1得，a ＝3，b ＝4，c ＝5.由双曲线的定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°，所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|，所以|PF 1|·|PF 2|＝64，所以12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.反思感悟双曲线定义的应用(1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离．(2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用．(3)若双曲线中焦点三角形的顶角∠F 1PF 2＝θ，则焦点三角形的面积S ＝b 2tanθ2.跟踪训练3设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 224＝1的左、右焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于()A ．42B ．83C ．24D ．48答案C解析1|－|PF 2|＝2，PF 1|＝4|PF 2|，解得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.在△PF 1F 2中，|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝10，∴△PF 1F 2为直角三角形，∴12PF F S △＝12|PF 1||PF 2|＝24.1．知识清单：(1)双曲线的定义．(2)双曲线的标准方程及其推导过程．(3)双曲线定义的简单应用．2．方法归纳：待定系数法、分类讨论．3．常见误区：双曲线焦点位置的判断，忽略双曲线成立的必要条件．1．已知点P (x ，y )的坐标满足(x －1)2＋y 2－(x ＋1)2＋y 2＝±2，则动点P 的轨迹是()A ．椭圆B ．双曲线C ．两条射线D ．双曲线的一支答案B解析设A (1，0)，B (－1，0)，则由已知得||PA －|PB ||＝2，即动点P 到两个定点A ，B 的距离之差的绝对值等于常数2，又|AB |＝2，且2<2，所以根据双曲线的定义知，动点P 的轨迹是双曲线．2．方程x 22＋m －y 22－m ＝1表示双曲线，则m 的取值范围是()A ．－2＜m ＜2B ．m ＞0C ．m ≥0D ．|m |≥2答案A解析∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m )(2－m )＞0.∴－2＜m ＜2.3．若椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值为()A ．1B ．1或－2C ．1或12 D.12答案A解析>0，a 2<4，－a 2＝a ＋2，解得a ＝1.4．以椭圆x 29＋y 28＝1______________．答案x 214－y 234＝1解析由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在x 轴上．设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．b 2＝1，－454b 2＝1，2＝14，2＝342＝16，2＝－15(不符合题意，舍去)，所以双曲线的标准方程为x 214－y 234＝1.练习1．双曲线C 的两焦点分别为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为()A.x 220－y 24＝1 B.x 220－y 216＝1C.y 220－x 216＝1 D.y 220－x 24＝1答案B解析2a ＝|(－5＋6)2＋22－(－5－6)2＋22|＝45，所以a ＝25，又c ＝6，所以b 2＝c 2－a 2＝36－20＝16.所以双曲线的标准方程为x 220－y 216＝1.2．已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，则在平面内满足下列条件的动点P 的轨迹中为双曲线的是()A ．|PF 1|－|PF 2|＝±3B ．|PF 1|－|PF 2|＝±4C ．|PF 1|－|PF 2|＝±5D ．|PF 1|2－|PF 2|2＝±4答案A解析当|PF 1|－|PF 2|＝±3时，||PF 1|－|PF 2||＝3<|F 1F 2|＝4，满足双曲线的定义，所以选项A中P 点的轨迹是双曲线．3．若双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为()D ．(3，0)答案B解析将双曲线方程化为标准方程为x 2－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝a 2＋b 2＝32，∴c ＝62，4．(多选)双曲线x 225－y 29＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为()A ．17B ．7C ．22D ．2答案CD 解析设双曲线x 225－y 29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，则a ＝5，b ＝3，c ＝34，设P 为双曲线上一点，不妨令|PF 1|＝12(12>a ＋c ＝5＋34)，∴点P 可能在左支，也可能在右支，由||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝10，得|12－|PF 2||＝10，∴|PF 2|＝22或2.∴点P 到另一个焦点的距离是22或2.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，F 1，F 2为其两个焦点，若过焦点F 1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长|AB |＝m ，则△ABF 2的周长为()A ．4aB ．4a －mC ．4a ＋2mD ．4a －2m答案C解析由双曲线的定义，知|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a ，所以|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|BF 1|)＋4a ＝m ＋4a ，于是△ABF 2的周长l ＝|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＋2m .6．已知双曲线x 24－y 25＝1上一点P 到左焦点F 1的距离为10，则PF 1的中点N 到坐标原点O的距离为()A ．3或7B ．6或14C ．3D ．7答案A解析设F 2是双曲线的右焦点，连接ON (图略)，ON 是△PF 1F 2的中位线，∴|ON |＝12|PF 2|，∵||PF 1|－|PF 2||＝4，|PF 1|＝10，∴|PF 2|＝14或6，∴|ON |＝12|PF 2|＝7或3.7．焦点在x 轴上的双曲线经过点P (42，－3)，且Q (0，5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为________．答案x 216－y 29＝1解析设焦点为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0)，则由QF 1⊥QF 2，得12QF QF k k ＝－1，∴5c ·5－c1，∴c ＝5.设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，∵双曲线过点P (42，－3)，∴32a 2－9b 2＝1，又∵c 2＝a 2＋b 2＝25，∴a 2＝16，b 2＝9.∴双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.8．若点P 在双曲线x 216－y 212＝1上，且点P 的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，则点P 的纵坐标为________．点P 与双曲线的左焦点间的距离为________．答案±311解析记双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，设P (x P ，y P )．因为点P 的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，所以x P ＝16＋12＝27，所以2816－y 2P12＝1，解得y P ＝±3，所以|PF 2|＝3.由双曲线定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝8，所以|PF 1|＝11.9．在周长为48的Rt △MPN 中，∠MPN ＝90°，tan ∠PMN ＝34，求以M ，N 为焦点，且过点P 的双曲线方程．解因为△MPN 的周长为48，且tan ∠PMN ＝34，所以设|PN |＝3k ，|PM |＝4k ，则|MN |＝5k .由3k ＋4k ＋5k ＝48，得k ＝4.所以|PN |＝12，|PM |＝16，|MN |＝20.以MN 所在直线为x 轴，以MN 的中点O 为原点建立直角坐标系，如图所示．设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由|PM |－|PN |＝4，得2a ＝4，a ＝2，a 2＝4.由|MN |＝20，得2c ＝20，c ＝10，c 2＝100，所以b 2＝c 2－a 2＝100－4＝96，故所求方程为x 24－y 296＝1.10．如图，设F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点.(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离；(2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积．解(1)F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，则a ＝3，b ＝4，c ＝5，设点M 到另一个焦点的距离为m ，由双曲线定义可知|m －16|＝2a ＝6，解得m ＝10或m ＝22，即点M 到另一个焦点的距离为10或22.(2)P 是双曲线左支上的点，|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝6，则|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＋|PF 1|2＝36，代入|PF 1|·|PF 2|＝32，可得|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2×32＝100，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝100，所以△F 1PF 2为直角三角形，所以12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.11．设椭圆x 26＋y 22＝1和双曲线x 23－y 2＝1的公共焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，则cos ∠F 1PF 2等于()A.14 B.13C.19D.35答案B解析设|PF 1|＝d 1，|PF 2|＝d 2，则d 1＋d 2＝26，①|d 1－d 2|＝23，②①2＋②2，得d 21＋d 22＝18.①2－②2，得2d 1d 2＝6.而c ＝2，∴cos ∠F 1PF 2＝13.12．双曲线x 2－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线上的点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于()A ．1B ．4C ．7D ．9答案B 解析在双曲线x 2－y 2＝1中，a ＝b ＝1，c ＝2，设P 在右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，∵∠F 1PF 2＝60°，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|－|PF 1|·|PF 2|，即4c 2＝4a 2＋|PF 1|·|PF 2|，即|PF 1|·|PF 2∣＝4c 2－4a 2＝4b 2＝4.13．动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是()A ．双曲线的一支B ．圆C ．椭圆D ．双曲线答案A 解析设动圆的圆心为M ，半径为r ，圆x 2＋y 2＝1与x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心分别为O 1和O 2，半径分别为1和2，由两圆外切的充要条件，得|MO 1|＝r ＋1，|MO 2|＝r ＋2.∴|MO 2|－|MO 1|＝1，又|O 1O 2|＝4，∴动点M 的轨迹是双曲线的一支(靠近O 1)．14．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若P 在双曲线上，且PF 1—→·PF 2—→＝0，则|PF 1—→＋PF 2—→|的值为________．答案210解析由题意，知双曲线两个焦点的坐标分别为F 1(－10，0)，F 2(10，0)．设点P (x ，y )，则PF 1—→＝(－10－x ，－y )，PF 2—→＝(10－x ，－y )．∵PF 1—→·PF 2—→＝0，∴x 2＋y 2－10＝0，即x 2＋y 2＝10.∴|PF 1—→＋PF 2—→|＝|PF 1—→|2＋|PF 2—→|2＋2PF 1—→·PF 2—→＝2(x 2＋y 2)＋20＝210.15．已知P 为双曲线x 216－y 29＝1右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，M 为△PF 1F 2的内心．若12PMF PMF S S △△＝＋8，则△MF 1F 2的面积为()A ．27B ．10C ．8D ．6答案B 解析设△PF 1F 2的内切圆的半径为R ，由双曲线的标准方程可知a ＝4，b ＝3，c ＝5.因为12PMF PMF S S △△＝＋8，所以12(|PF 1|－|PF 2|)R ＝8，即aR ＝8，所以R ＝2，所以12MF F S △＝12·2c ·R ＝10.16.如图所示，已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)中，c ＝2a ，F 1，F 2分别为左、右焦点，P 为双曲线上的点，∠F 1PF 2＝60°，12F PF S △＝123，求双曲线的标准方程．解由题意得||PF 1|－|PF 2||＝2a ，在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝(|PF 1－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|，∴|PF 1|·|PF 2|＝4(c 2－a 2)＝4b 2.∴12F PF S △＝12|PF 1||PF 2|·sin 60°＝2b 2·32＝3b 2.∴3b 2＝123，b 2＝12.由c ＝2a ，c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝4.∴双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.。

2021_2022学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1双曲线及其标准方程练习(含解析)新人教A

2.2.1 双曲线及其标准方程[学生用书P105(单独成册)])[A 根底达标]1．平面内两定点A (－5，0)，B (5，0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝6，那么点M 的轨迹方程是( )A.x 216－y 29＝1 B ．x 216－y 29＝1(x ≥4)C.x 29－y 216＝1 D ．x 29－y 216＝1(x ≥3)解析：选D.由|MA |－|MB |＝6，且6＜|AB |＝10，得a ＝3，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝16. 故其轨迹为以A ，B 为焦点的双曲线的右支．所以方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)．2．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，那么它的右焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0 B ．⎝⎛⎭⎪⎫52，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫62，0 D ．(3，0)解析：选C.将双曲线方程化成标准方程为x 21－y 212＝1，所以a 2＝1，b 2＝12，所以c ＝a 2＋b 2＝62，故右焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫62，0. 3．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是( )A.x 23－y 2＝1 B ．y 2－x 23＝1C.x 23－y 24＝1 D ．y 23－x 24＝1解析：选B.由题意知，双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2，所以b 2＝3，所以双曲线的方程为y 2－x 23＝1.4．(2021·绍兴高二检测)双曲线Γ：x 2λ－y 29＝1上有一点M 到Γ的右焦点F 1(34，0)的距离为18，那么点M 到Γ的左焦点F 2的距离是( )A ．8B ．28C ．12D ．8或28解析：选D.因为双曲线Γ：x 2λ－y 29＝1的右焦点F 1(34，0)，所以λ＝34－9＝25，所以双曲线Γ：x 225－y 29，可知||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝10，又|MF 1|＝18，那么|MF 2|D.5．(2021·邯郸高二检测)设F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的左、右焦点，点P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为1时，PF 1→·PF 2→的值为( )A ．0B ．1 C.12D ．2解析：选A.易知F 1(－5，0)，F 2(5，0)．不妨设P (x 0，y 0)(x 0，y 0>0)，由12×2c ×y 0＝1，得y 0＝55，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2305，55，所以PF 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－5－2305，－55，PF 2→＝⎝⎛⎭⎪⎫5－2305，－55，所以PF 1→·PF 2→＝0.6．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有一样的焦点，那么a 的值是________．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，0＜a 2＜4，4－a 2＝a ＋2，解得a ＝1.答案：17．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，那么点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：双曲线右焦点为(4，0)，将x ＝3代入x 24－y 212＝1，得y ＝±15.所以点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，所以点M 到双曲线右焦点的距离为〔4－3〕2＋〔±15〕2＝4.答案：48．双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，假设PF 1⊥PF 2，那么|PF 1|＋|PF 2|的值为____________．解析：不妨设点P 在双曲线的右支上，因为PF 1⊥PF 2，所以|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝(22)2，又|PF 1|－|PF 2|＝2，所以(|PF 1|－|PF 2|)2＝4，可得2|PF 1|·|PF 2|＝4，那么(|PF 1|＋|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2 3. 答案：2 39．焦点在x 轴上的双曲线过点P (42，－3)，且点Q (0，5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．解：因为双曲线的焦点在x 轴上，所以设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．因为双曲线过点P (42，－3)，所以32a 2－9b2＝1.①又因为点Q (0，5)与两焦点的连线互相垂直，所以QF 1→·QF 2→＝0，即－c 2＋25＝0. 解得c 2＝25.② 又c 2＝a 2＋b 2，③所以由①②③可解得a 2＝16或a 2＝50(舍去)．所以b 2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是x 216－y 29＝1.10．如图，假设F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)假设双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离；(2)假设P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积．解：(1)由双曲线的定义得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，那么|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22. 由于c －a ＝5－3＝2，10>2，22>2，故点M 到另一个焦点的距离为10或22.(2)将||PF 2|－|PF 1||＝2a ＝6两边平方得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100. 在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝ |PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，所以∠F 1PF 2＝90°，所以S △F 1PF 2＝12×32＝16.[B 能力提升]11．(2021·保定检测)双曲线x 2m －y 27＝1，直线l 过其左焦点F 1，交双曲线左支于A ，B 两点，且|AB |＝4，F 2为双曲线的右焦点，△ABF 2的周长为20，那么m 的值为( )A ．8B ．9C ．16D ．20解析：选B.由，|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝20.又|AB |＝4，那么|AF 2|＋|BF 2|，2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝|BF 2|－|BF 1|，所以4a ＝|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16－4＝12，即a ＝3，所以m ＝a 2＝9.12．(2021·西安高二检测)如图，双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 与双曲线C 的焦点不重合，点M 关于F 1，F 2的对称点分别为点A ，B ，线段MN 的中点Q 在双曲线的右支上，假设|AN |－|BN |＝12，那么a ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选A.连接QF 1，QF 2.因为线段MN 的中点为Q ，点F 2为MB 的中点，所以|QF 2|＝12|BN |，同理可得|QF 1|＝12|AN |.因为点Q 在双曲线C 的右支上，所以|QF 1|－|QF 2|＝2a ，所以12(|AN |－|BN |)＝2a ，所以12×12＝2a ，解得a A.13．求与椭圆x 2＋4y 2＝8有公共焦点的双曲线的方程，使得以此双曲线与椭圆的四个交点为顶点的四边形的面积最大．解：椭圆的方程可化为x 28＋y 22＝1，①所以c 2＝8－2＝6.因为椭圆与双曲线有公共焦点，所以在双曲线中，a 2＋b 2＝c 2＝6，即b 2＝6－a 2.设双曲线的方程为x 2a 2－y 26－a2＝1(0＜a 2＜6)．②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4a 23，y 2＝6－a 23.由椭圆与双曲线的对称性可知四个交点构成一个矩形，其面积S ＝4|xy |＝4·4a 23·6－a 23＝83 a 2〔6－a 2〕≤83·a 2＋〔6－a 2〕2＝8，当且仅当a 2＝6－a 2，即a 2＝3，b 2＝6－3＝3时，取等号．所以双曲线的方程是x 23－y 23＝1. 14．(选做题)双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有一样的焦点． (1)求双曲线的标准方程；(2)假设点M 在双曲线上，F 1，F 2为左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判断△MF 1F 2的形状．解：(1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝5，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得a 2＝3，b 2＝2，所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1.(2)不妨设点M 在双曲线的右支上，那么有|MF 1|－|MF 2|＝23，因为|MF 1|＋|MF 2|＝63，所以|MF 1|＝43，|MF 2|＝2 3.又|F 1F 2|＝25，因此在△MF 1F 2中，边MF 1最长，而cos ∠MF 2F 1＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2－|MF 1|22|MF 2|·|F 1F 2|<0，所以∠MF 2F 1为钝角，故△MF 1F 2为钝角三角形．。

新高考数学总复习双曲线的定义标准方程及其几何性质课件教案练习题

则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.
2 2
3.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦),其长为 .

2 2
2 2
4.与双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示为 2 - 2 =t(t≠0).

5.双曲线的离心率公式可表示为e= 1 +
9 7
返回 27
[例3](1)(2024·成都模拟)已知直线y=
2 2
2x是双曲线C: 2 - 2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线,

且点(2 3,2 3)在双曲线C上,则双曲线C的方程为(
2 2
A. - =1
3 4
2 2
B. - =1
3 6
2 2
C. - =1
6 12
2 2
D. - =1
12 24
)
2 2

【解析】选C.由双曲线C: 2 - 2 =1,则其渐近线方程为y=± x,由题意可得: =

可得b= 2a,将(2 3,2
12 12
3)代入双曲线方程可得 2 - 2 =1,解得a2=6,b2=12,
3.了解双曲线几何性质的简单应用.
【核心素养】
数学运算、逻辑推理、直观想象.
返回 3
【命题说明】
考向
考法
高考对双曲线的考查形式有两种:(1)根据题设条件求双曲线的标准
方程;(2)通过双曲线的标准方程研究双曲线的基本性质,常以选择题
或填空题形式出现.
预计2025年高考在双曲线的标准方程、几何性质仍会出题,一般在
A. 37+4

双曲线练习题(含答案)

双曲线及其标准方程习题一、单选题(每道小题 4分共 56分 )1. 命题甲：动点P 到两定点A 、B 距离之差│|PA|-|PB|│=2a(a >0)；命题乙； P 点轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的 [ ] A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件2.若双曲线的一个焦点是，，则等于．．．．2kx ky =1(04)k [ ]A B C D 22---33258332583.点到点，与它关于原点的对称点的距离差的绝对值等于，则点的轨迹方程是．．．．P (60)10P [ ]A y 11=1B y 25=1C y 6=1D y 25=12222-----x x x x 2222256125114.k 5+y 6k=1[ ]A B C D 2＜是方程表示双曲线的．既非充分又非必要条件．充要条件．必要而非充分条件．充分而非必要条件x k 25--5. 如果方程x 2sin α-y 2cos α=1表示焦点在y 轴上的双曲线，那么角α的终边在 [ ] A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限 6.下列曲线中的一个焦点在直线上的是．．．．4x 5y +25=0[ ]A y 16=1B +y 16=1C x 16=1D +x 16=12222---x x y y 22229259257. 若a ·b <0，则ax 2-ay 2=b 所表示的曲线是 [ ] A ．双曲线且焦点在x 轴上 B ．双曲线且焦点在y 轴上 C ．双曲线且焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上 D ．椭圆 8.以椭圆的焦点为焦点，且过，点的双曲线方程为．．．．x x y y y 2222296109251150+y 25=1P(35)[ ]A y 10=1B x 6=1C x 3=1D x 2=122222----9.到椭圆的两焦点距离之差的绝对值等于椭圆短轴的点的轨迹方程是．．．．x x x x x 2222225251697+y 9=1[ ]A y 9=1B y 9=1C y 7=1D y 9=122222----10.直线与坐标轴交两点，以坐标轴为对称轴，以其中一点为焦点且另一点为虚轴端点的双曲线的方程是．．．．或2x 5y +20=0[ ]A y 16=1B y 84=1C y 84=1D y 84=1y 84=122222------x x x x x 2222284161001610011.以坐标轴为对称轴，过，点且与双曲线有相等焦距的双曲线方程是．或．或．或．或A(34)y 20=1[ ]A y 20=1x 20=1B y 15=1x 15=1C y 20=1x 15=1D y 5=1x 10=1222222222x x y x y x y x y 22222222255510105102015---------12.与双曲线共焦点且过点，的双曲线方程是　．．．．x x x x x 2222215520916------y 10=1(34)[ ]A y 20=1B y 5=1C y 16=1D y 9=12222213. 已知ab <0，方程y=-2x +b 和bx 2+ay 2=ab 表示的曲线只可能是图中的 [ ]14.已知△一边的两个端点是、，另两边斜率的积是，那么顶点的轨迹方程是．．．．ABC A(7,0)B(70)C [ ]A x +y =49B +x 49=1C =1D 5y 147=12222---,x 355147514749492222y y x二、填空题(每道小题 4分共 8分 )1.已知双曲线的焦距是，则的值等于．x k 21+-y 5=18k 22.设双曲线，与恰是直线在轴与轴上的截距，那么双曲线的焦距等于．x a 22--y b=1(a >0,b >0)a b 3x +5y 15=0x y 22双曲线的标准方程及其简单的几何性质1．平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．一条直线 C ．一条线段 D ．两条射线 2．已知方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－1<k <1B ．k >0C ．k ≥0D ．k >1或k <－13．动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．双曲线的一支 B ．圆 C ．抛物线 D ．双曲线4．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是( )A.x 23－y 2＝1 B ．y 2－x 23＝1 C.x 23－y 24＝1D.y 23－x 24＝1 5．“ab <0”是“曲线ax 2＋by 2＝1为双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．已知双曲线的两个焦点为F 1(－5，0)、F 2(5，0)，P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2， |PF 1|·|PF 2|＝2，则该双曲线的方程是( ) A.x 22－y 23＝1 B.x 23－y 22＝1 C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y 24＝17．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，曲线上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线方程为( ) A.x 29－y 27＝1 B.x 29－y 27＝1(y >0) C.x 29－y 27＝1或x 27－y 29＝1 D.x 29－y 27＝1(x >0) 8．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( ) A ．16B ．18C ．21D ．269．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，双曲线的方程是( )A.x 212－y 24＝1B.x 24－y 212＝1 C ．－x 212＋y 24＝1 D ．－x 24＋y 212＝1 10．焦点为(0，±6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.x 212－y 224＝1 B.y 212－x 224＝1 C.y 224－x 212＝1 D.x 224－y 212＝111．若0<k <a ，则双曲线x 2a 2－k 2－y 2b 2＋k 2＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( )A ．相同的实轴B ．相同的虚轴C ．相同的焦点D ．相同的渐近线12．中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±54xB ．y ＝±45xC ．y ＝±43xD ．y ＝±34x13．双曲线x 2b 2－y 2a 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( )A ．2B. 3C. 2D.3214．双曲线x 29－y 216＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于( )A. 3 B ．3 C ．4 D ．2二、填空题15．双曲线的焦点在x 轴上，且经过点M (3,2)、N (－2，－1)，则双曲线标准方程是________． 16．过双曲线x 23－y 24＝1的焦点且与x 轴垂直的弦的长度为________．17．如果椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1的焦点相同，那么a ＝________.18．双曲线x 24＋y 2b ＝1的离心率e ∈(1,2)，则b 的取值范围是________．19．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a2－y 2＝1焦点相同，则a ＝________.20．双曲线以椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，求该双曲线的方程为________．双曲线及其标准方程习题答案一、单选题1. B2. C3. A4. D5. B6. C7. B8. B9. C 10. A 11. C 12. A 13. B 14. D 二、填空题1. 10 2.234双曲线的标准方程及其简单的几何性质（答案）1、[答案] D2、[答案] A [解析] 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1.3、[答案] A [解析] 设动圆半径为r ，圆心为O ， x 2＋y 2＝1的圆心为O 1，圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为O 2，由题意得|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2， ∴|OO 2|－|OO 1|＝r ＋2－r －1＝1<|O 1O 2|＝4，由双曲线的定义知，动圆圆心O 的轨迹是双曲线的一支．4、[答案] B [解析] 由题意知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2， ∴b 2＝3，双曲线方程为y 2－x 23＝1. 5、[答案] C [解析] ab <0⇒曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线，曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线⇒ab <0. 6、[答案] C [解析] ∵c ＝5，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， ∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2，∴4a 2＝4c 2－4＝16，∴a 2＝4，b 2＝1. 7、[答案] D [解析] 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x 29－y 27＝1(x >0)8、[答案] D [解析] |AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8， ∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16，∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21， ∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26.9、[答案] C [解析] ∵椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为(0，±4)，离心率e ＝45，∴双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为145－45＝105＝2， ∴双曲线方程为：y 24－x 212＝1.10、[答案] B [解析] 与双曲线x 22－y 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，又因为双曲线的焦点在y 轴上， ∴方程可写为y 2－λ－x 2－2λ＝1.又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12. ∴双曲线方程为y 212－x 224＝1.11、[答案] C [解析] ∵0<k <a ，∴a 2－k 2>0.∴c 2＝(a 2－k 2)＋(b 2＋k 2)＝a 2＋b 2.12、[答案] D [解析] ∵c a ＝53，∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝259，∴b 2a 2＝169，∴b a ＝43，∴a b ＝34.又∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±a b x ，∴所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x .13、[答案] C [解析] 双曲线的两条渐近线互相垂直，则渐近线方程为：y ＝±x ，∴b a ＝1，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝1，∴c 2＝2a 2，e ＝ca＝ 2. 14、[答案] C[解析] ∵焦点坐标为(±5,0)，渐近线方程为y ＝±43x ，∴一个焦点(5,0)到渐近线y ＝43x 的距离为4.15、[答案] x 273－y 275＝1 [解析] 设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)又点M (3,2)、N (－2，－1)在双曲线上，∴⎩⎨⎧ 9a 2－4b 2＝14a 2－1b 2＝1，∴⎩⎨⎧a 2＝73b 2＝75.16、[答案]833[解析] ∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c ＝7，该弦所在直线方程为x ＝7，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7x 23－y 24＝1得y 2＝163，∴|y |＝433，弦长为833.17、[答案] 1 [解析] 由题意得a >0，且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1.18、[答案] －12<b <0 [解析] ∵b <0，∴离心率e ＝4－b2∈(1,2)，∴－12<b <0. 19、[答案]62 [解析] 由题意得4－a 2＝a 2＋1，∴2a 2＝3，a ＝62. 焦点为(0，±4)，离心率e ＝c a ＝45，∴双曲线的离心率e 1＝2e ＝85，∴c 1a 1＝4a 1＝85，∴a 1＝52，∴b 21＝c 21－a 21＝16－254＝394，∴双曲线的方程为y 2254－x 2394＝1.20、[答案]y2254－x2394＝1 [解析]椭圆x29＋y225＝1中，a＝5，b＝3，c2＝16，。

321双曲线及其标准方程(基础知识+基本题型)(含解析)2022高二数学(选择性必修第一册)

3.2.1双曲线及其标准方程（基础知识+基本题型）知识点一双曲线的定义1．定义平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数(小于12||F F )的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线定义的集合表示设点M是双曲线上任意一点，则双曲线就是集合1212{|||||||2,02||}P M MF MF a a F F =-=<<．对于双曲线的定义，有以下理解:在双曲线的定义中，“距离的差”要加绝对值，否则只表示双曲线的一支，如若1F ，2F 为双曲线的左、右焦点，则有如下两种情形:(1)若点P 满足21||||2PF PF a -=(a >0)，则点P 在双曲线的左支上，如图①．(2)若点P 满足12||||2PF PF a -=(a >0)，则点P 在双曲线的右支上，如图②．拓展(1)若122||a F F =，即1212||||||||PF PF F F -=，则根据平面几何知识，当1212||||||PF PF F F -=时，动点P 的轨迹是以2F 为端点方向向右的一条射线，当2112||||||PF PF F F -=时，动点P 的轨迹是以1F 为端点方向向左的一条射线；(2)若122||a F F >，即1212||||||||PF PF F F ->，则与“三角形两边之差小于第三边”相矛盾，故此时动点P 的轨迹不存在；(3)特别地，当2a =0时，12||||PF PF =，根据线段垂直平分线的性质，动点P 的轨迹是线段12F F 的垂直平分线．知识点二双曲线的标准方程1．焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为22221x y a b-=(a >0，b >0)，焦点分别是1(,0)F c -，2(,0)F c ．焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为22221y x a b-=(a >0，b >0)，焦点分别是1(0,)F c -，2(0,c)F ．2．a ，b ，c 三者的关系为222c a b =+．在双曲线的标准方程中，因为a ，b ，c 三个量满足222c a b =+，所以长度分别为a ，b ，c的三条线段恰好构成一个直角三角形，且长度为c的线段是斜边，如图所示．提示(1)标准方程中的两个参数a 和b 确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件．(2)焦点1F ，2F 的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型，焦点跟着正项走，即若2x 的系数为正，则焦点在x 轴上；若2y 的系数为正，则焦点在y 轴上．(3)当且仅当双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形式．(4)双曲线的标准方程的特征是221x y +=数Ⅰ数Ⅱ(数Ⅰ与数Ⅱ异号)，因此方程又可写为221Ax By +=(0A B ⋅<)，这种形式是当焦点所在的坐标轴不易判断时的统一设法．椭圆与双曲线的比较如下表：椭圆双曲线定义12||||2MF MF a +=12||||2MF MF a-=±2a 与12||F F 的关系122||a F F >122||a F F <,,abc 的关系222a b c =+0,0a b c >>>222c a b =+0,0,0a b c >>>标准方程22221x y a b +=或22221x y a b -=或方法内容已知条件或适合题型定义法通过对条件的分析，根据定义确定轨迹是双曲线，求出,a b 并写出方程．已知,,a b c 的值或动点M 满足122MF MF a-=±待定系数法由已知条件确定双曲线的类型，设方程，代入已知数据，求待定系数已知双曲线上某点的坐标或焦点坐标或焦距相关点法①确定动点满足的等量关系，列出方程；②建立动点坐标(),x y 与中间变量()00,x y 之间的关系，消去00,x y 后得到方程①已知动点满足某种规律；②已知动点与已知曲线上的动点之间的关系直译法根据题意，直接翻译条件，建立,x y之间的关系，构造(),0F x y =的关系式，化简即可这是一种求点的轨迹最基本的方法，一般题目都适用拓展(1)在根据双曲线的定义求标准方程时，要注意动点P 是满足()1220PF PF a a -=>，还是满足()1220PF PF a a -=≠，以便确定是双曲线的两支还是其中一支．(2)在运用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先确定焦点在哪条坐标轴上，若不能确定，则两种形式都讨论．(3)若已知双曲线上的两点坐标，则通常设方程为()2210mx ny mn +=<，这种设法比设方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>计算更简便，也避免了讨论双曲线的焦点位置．考点一双曲线定义的应用例1已知双曲线的方程是221168x y -=，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点1F 的距离为10，点N 是1PF 的中点，求ON 的大小(O 为坐标原点).解：因为ON 是12PF F ∆的中位线所以，212ON PF =因为128PF PF -=，110PF =，所以22PF =或218PF =，故1ON =或9ON =．解双曲线上一点到焦点的距离问题要联想定义，并注意与椭圆的定义加以区别，不能混淆．例2如图，已知双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，点,A B 均在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点2F ，AB m =，1F 为双曲线的左焦点，则1ABF ∆的周长为()A．22a m +B．42a m +C．a m +D．24a m+解析：由双曲线的定义，知122AF AF a -=，122BF BF a -=．又因为22AF BF AB+=，所以1ABF ∆的周长为11AF BF AB ++4242a AB a m =+=+．答案：B应用双曲线定义解题时要根据具体问题，灵活处理绝对值符号，如本例借助双曲线图象直接省略绝对值符号，简化了后面的计算．例3如图2．3-4，已知动圆M 与圆1C :()2242x y ++=外切，与圆2C ()2242x y -+=内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．分析：利用两圆内切，外切的充要条件找出点M 所满足的几何关系式，同时结合双曲线定义求解．解：设动圆M 的半径为r ，由已知，得12MC r =+，22MC r =-．所以122MC MC -=又因为()14,0C -，()24,0C ，所以128C C =，所以1222C C <，根据双曲线的定义，知点M 的轨迹是以()14,0C -，()24,0C 为焦点的双曲线的右支．因为2,4a c ==，所以22214b c a =-=所以动圆圆心M 的轨迹方程为(2212214x y x -=≥．(1)在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，以确保所求轨迹的纯粹性和完备性．(2)求曲线的轨迹方程时，应尽量先利用几何条件探求轨迹的曲线类型，再用待定系数法求出曲线的轨迹方程，这样可以减少运算量．考点二双曲线的标准方程的应用例4求满足下列条件的参数的值或取值范围．(1)已知22113x y k k -=---，当k 为何值时，①方程表示双曲线；②表示焦点在x 轴上的双曲线；③表示焦点在y 轴上的双曲线；(2)已知双曲线方程为222x y k -=，焦距为6，求k 的值；(3)椭圆22214x y a +=与双曲线2212x y a -=有相同的焦点，求a 的值．解：(1)①若方程表示双曲线，则须满足10,30k k ->⎧⎪⎨->⎪⎩或10,30,k k -<⎧⎪⎨-<⎪⎩解得3k <-或13k <<；②若方程表示焦点在x 轴上的双曲线，则须满足10,30,k k -<⎧⎪⎨-<⎪⎩解得13k <<；③若方程表示焦点在y 轴上的双曲线，则须满足10,30k k ->⎧⎪⎨->⎪⎩解得3k <-．(2)若焦点在x 轴上，则方程可化为2212x y k k -=，所以232kk +=，即6k =；若焦点在y 轴上，则方程可化为2212y x k k -=--，所以232k k ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即6k =-．综上所述，k 的值为6或6-．(3)由双曲线方程，知焦点在x 轴上，且()220c a a =+>．由椭圆方程，知224c a =-，所以224a a +=-，即220a a +-=，解得1a =或2a =-(舍去)．因此a 的值为1．在解题时，首先要确定焦点位置，根据相应的标准方程确定22,a b 的值，然后求解．有时要注意对焦点在x 轴，y 轴上分类讨论，不要漏解．考点三双曲线中的焦点三角形问题例5已知双曲线221169x y -=上有一点P ，12,F F 是双曲线的焦点，且123F PF π∠=，则12PF F ∆的面积为______．解析:由题意，得1210F F ==．因为122212128,2cos 100,3PF PF PF PF PF PF π⎧-=⎪⎨+-⋅=⎪⎩所以1236PF PF ⋅=．所以12121sin 23PF F S PF PF π∆=⋅=．答案：在解焦点三角形的有关问题时，一般利用两个关系式:(1)由双曲线的定义，得1PF ，2PF 的关系式．(2)利用正弦定理，余弦定理，得1PF ，2PF 的关系式，求出1PF ，2PF 的关系式，但是，一般我们不直接求解出1PF ，2PF ，而是根据需要，把12PF PF +，12PF PF -，12PF PF ⋅看做一个整体来处理．例6已知双曲线221916x y -=的两个焦点为12,F F ，点P 在双曲线上，若12PF PF ⊥，求点P的坐标．解：由双曲线的方程，知3,4,5a b c ===．不妨设点P 在第一象限，坐标为(),x y ，1F 为左焦点，2F 为右焦点，则1222212126,100.PF PF PF PF F F ⎧-=⎪⎨+==⎪⎩①②由①，得()21236PF PF -=．所以221212236PF PF PF PF +-⋅=，所以1232PF PF ⋅=，在12Rt PF F ∆中，121232PF PF F F y ⋅=⋅=，所以165y =，代入双曲线的方程，得5x =．即点P的坐标是16,55⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．再根据双曲线的对称性，得点P坐标还可以是16,55⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭，16,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，3411655⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭．解答本题除了应用双曲线的定义，还应用了数学思想方法中的整体思想:不是求具体的未知数1PF ，2PF ，而是求12PF PF ⋅整体的值．考点四双曲线的实际应用题例7某地发生地震，为了援救灾民，救援队在如图2．3-5所示的P 处收到了一批救灾药品，现要把这批药品沿道路,PA PB 运送到矩形灾民区ABCD 中去，已知100PA km =，150PB km =，60BC km =，060APB ∠=，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA 送药较近，而另一侧的点沿道路PB 送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线，并求出其方程．分析：审题可得界线是使沿道路PA 和PB 送药一样远近的曲线，设M 为界线上任一点，则根据已知条件，得PA MA PB MB +=+，据此设出双曲线的标准方程，用待定系数法求解即可．解析：灾民区ABCD 中的点可分为三类，第一类沿道路PA 送药较近，第二类沿道路PB 送药较近，第三类沿道路PA 和PB 送药一样长．依题意，知界线是第三类点的轨迹．设M 为界线上任一点，则PA MA PB MB +=+，即30MA MB PB PA -=-=(定值)．因为2201001502100150cos60750AB =+-⨯⨯⨯．所以界线是以,A B 为焦点的双曲线的右支的一部分．如图2．3-6所示，AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系．设所求双曲线的标准方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>．因为25,257a c ==2223750b c a =-=．故双曲线的标准方程为2216253750x y -=．注意到点C 的坐标为()257,60，故y 的最大值为60，此时35x =．故界线的曲线方程为()2212535,0606253750x y x y -=≤≤≤≤．解决应用问题时，应由题干抽象出数学问题即数学模型，先解决数学问题，再回归到实际应用中．本题由题意能得到所求界线是以,A B 为焦点的双曲线，但由于MA MB >，故所求界线为双曲线的右支．由于没有坐标系，因此需先建立坐标系，并确定方程的形式，再用待定系数法求方程．此题极易忽略x和y的取值范围．因此在实际问题中，要注意由实际意义确定变量的取值范围．。

高中数学选修双曲线的简单性质(基础)知识点巩固练习

目录双曲线的简单性质 (1)【学习目标】 (1)【要点梳理】 (1)【典型例题】 (5)【巩固练习】 (13)双曲线的简单性质编稿：武小煊审稿：柏兴增【学习目标】1．知识与技能理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念．2．过程与方法锻炼学生观察分析抽象概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力．3．情感态度与价值观通过数与形的辨证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对双曲线对称美的感受，激发学生对美好事物的追求．【要点梳理】【高清课堂：双曲线的性质356749 知识要点二】要点一：双曲线的简单几何性质双曲线22221x ya b-=（a＞0，b＞0）的简单几何性质范围221x a≥，即22x a ≥ ∴x a ≥，或x a ≤-．双曲线上所有的点都在两条平行直线x = -a 和x = a 的两侧，是无限延伸的．因此双曲线上点的横坐标满足∴x a ≥，或x a ≤-．对称性对于双曲线标准方程22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0），把x 换成-x ，或把y 换成-y ，或把x 、y 同时换成-x 、-y ，方程都不变，所以双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心．顶点①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点．②双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A 1（-a ，0），A 2（a ，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点．③两个顶点间的线段A 1A 2叫作双曲线的实轴；设B 1（0，- b ），B 2（0，b ）为y 轴上的两个点，则线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为|A 1A 2|=2a ，|B 1B 2|=2b ．a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长．①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆． ②双曲线的焦点总在实轴上．③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．离心率①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e 表示，记作22c ce a a==． ②因为c ＞a ＞0，所以双曲线的离心率1ce a=>．由c 2= a 2+b 2，可得22222()11b c a c e a a a -==-=-，所以b a 决定双曲线的开口大小，b a越大，e 也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度．③等轴双曲线a b=，所以离心率2e=．渐近线经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是by xa=±．我们把直线by xa=±叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交．22||b bMN x a xa a=--2222bx a xaabx x a=--=→+-【高清课堂：双曲线的性质356749知识要点一、3】要点二：双曲线两个标准方程几何性质的比较标准方程22221x ya b-=(0,0)a b>>22221y xa b-=(0,0)a b>>图形性质焦点1(,0)F c-，2(,0)F c1(0,)F c-，2(0,)F c要点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x 2、y 2的系数，如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．要点三：双曲线的渐近线（1）已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为22221x y a b -=，则其渐近线方程为22220x y a b -=⇒0x y a b ±=⇒b y x a =±已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程．（2）已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为0mx ny ±=，则可设双曲线方程为2222m x n y λ-=，根据已知条件，求出λ即可．（3）与双曲线22221x y a b-=有公共渐近线的双曲线与双曲线22221x y a b -=有公共渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a bλλ-=≠（0λ>，焦点在x 轴上，0λ<，焦点在y 轴上）（4）等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为y x =±，因此等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠．要点四：双曲线中a ，b ，c 的几何意义及有关线段的几何特征双曲线标准方程中，a 、b 、c 三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c ＞b ＞0，c ＞a ＞0，且c 2=a 2+b 2．双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>，如图：（1）实轴长12||2A A a =，虚轴长2b ，焦距12||2F F c =；（2）离心率：21211222121122||||||||11||||||||PF PF A F A F c b e e PM PM A K A K a a======+>；（3）顶点到焦点的距离：11A F =22A F c a =-，12A F =21A F a c =+；（4）12PF F ∆中结合定义122PF PF a -=与余弦定理，将有关线段1PF 、2PF 、12F F 和角结合起来；（5）与焦点三角形12PF F ∆有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式121211sin 2PF F S PF PF F PF ∆=⋅∠相结合的方法进行计算与解题，将有关线段1PF 、2PF 、12F F ，有关角12F PF ∠结合起来，建立12PF PF -、12PF PF ⋅之间的关系．要点五：直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系将直线的方程y kx m =+与双曲线的方程22221x y a b-=(0,0)a b >>联立成方程组，消元转化为关于x或y 的一元二次方程，其判别式为Δ．222222222()20b a k x a mkx a m a b ----=．若2220,b a k -=即bk a =±，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，相交但不相切)．若2220,b a k -≠即b k a≠±， ①Δ＞0⇔直线和双曲线相交⇔直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0⇔直线和双曲线相切⇔直线和双曲线相切，有一个公共点； ③Δ＜0⇔直线和双曲线相离⇔直线和双曲线相离，无公共点．直线与双曲线的相交弦设直线y kx m =+交双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,)P x y P x y 两点，则弦长12||PP12|x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -=；12||y y -双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解．在双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率2020b x k a y =-；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．【典型例题】类型一：双曲线的简单几何性质【高清课堂：双曲线的性质 356749例1】例1．求双曲线22169144x y -=的实轴长和虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程与离心率．【思路点拨】本题的关键是将双曲线化为标准方程22221x y a b -=(0,0)a b >>．【解析】双曲线的方程可化为：221916y x -=，由此可知实半轴长3a =，虚半轴长4b =，∴5c ==∴实轴长26a =，虚轴长28b =，顶点坐标(0,3),(0,3)-，焦点坐标(0,5),(0,5)-，离心率53e =，渐近线方程34y x =±．【总结升华】在几何性质的讨论中要注意a 和2a ，b 和2b 的区别，另外也要注意焦点所在轴的不同，几何量也有不同的表示．举一反三：【变式1】双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( )A ．14-B ．－4C ．4D ．14【答案】A【变式2】已知双曲线8kx 2－ky 2=2的一个焦点为3(0,)2-，则k 的值等于（）A ．－2B ．1C ．－1D ．32-【答案】C类型二：双曲线的渐近线例2．已知双曲线方程，求渐近线方程．（1）221916x y -=；（2）221916x y -=-．【解析】（1）双曲线221916x y -=-的渐近线方程为：220916x y -=，即43y x =±．（2）双曲线221916x y -=的渐近线方程为：220916x y -=，即43y x =±．【总结升华】不同形式双曲线的渐进线方程为：（1）双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a =±；（2）双曲线22221y x a b -=的渐近线方程为b x y a =±，即ay x b=±；（3）若双曲线的方程为2222x y m n λ-=（00m n λ>>、，，焦点在x 轴上，0λ<，焦点在y 轴上），则其渐近线方程为22220x y m n -=⇒0x y m n ±=⇒ny x m=±．举一反三：【变式1】求下列双曲线方程的渐近线方程：（1）2211636x y -=；（2）2228x y -=；（3）22272y x -=．【答案】（1）32y x =±；（2）y x =；（3）y = 【变式2】中心在坐标原点，离心率为53的圆锥曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为（）A ．54y x =±B ．45y x =±C ．43y x =±D ．34y x =±【答案】D例3．根据下列条件，求双曲线方程．（1) 与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点(3,-；（2）一渐近线方程为320x y +=，且双曲线过点M ．【思路点拨】求双曲线的方程，应先定型，再定量．本题中“定型”是顺利解题的关键：（1）与双曲线有221916x y -=有公共渐进线的双曲线方程可设为()220916x y λλ-=≠；（2）320023x y x y +=⇔±=，以023x y±=为渐进线的双曲线方程可设为2249x y λ-=()0λ≠．【解析】（1）解法一：当焦点在x 轴上时，设双曲线的方程为22221x y a b -=由题意，得2243(3)1b a a ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得294a =，24b = 所以双曲线的方程为224194x y -=．当焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为22221y x a b-=由题意，得2243(3)1a b b ⎧=⎪⎪--=，解得24a =-，294b =-（舍去）综上所得，双曲线的方程为224194x y -=解法二：设所求双曲线方程为22916x y λ-=（0λ≠），将点(3,-代入得14λ=，所以双曲线方程为2219164x y -=即224194x y -=（2）依题意知双曲线两渐近线的方程是023x y±=．故设双曲线方程为2249x y λ-=，∵点M 在双曲线上， ∴284λ=，解得4λ=，∴所求双曲线方程为2211636x y -=．【总结升华】求双曲线的方程，关键是求a 、b ，在解题过程中应熟悉各元素（a 、b 、c 、e 及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用．若已知双曲线的渐近线方程0ax by ±=，可设双曲线方程为2222a x b y λ-=（0λ≠）．举一反三：【变式1】中心在原点，一个焦点在(0，3)，一条渐近线为23y x =的双曲线方程是（） A ．225513654x y -= B ．225513654x y -+= C ．22131318136x y -= D ．22131318136x y -+=【答案】D【变式2】过点(2，-2)且与双曲线2212x y -=有公共渐近线的双曲线是 ( )A ． 22124y x -=B ． 22142x y -=C ． 22142y x -=D ． 22124x y -=【答案】A【变式3】设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】C【变式4】双曲线22221x y a b -=与2222(0)x y a b λλ-=≠有相同的（）A ．实轴B ．焦点C ．渐近线D ．以上都不对【答案】C类型三：求双曲线的离心率或离心率的取值范围例4．已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，若2ABF ∆是正三角形，求双曲线的离心率．【解析】∵12||2F F c =，2ABF ∆是正三角形，∴12||2tan30AF c ==，224||2tan30cos30c AF c ===，∴21||||2AF AF a -===，∴3ce a== 【总结升华】双曲线的离心率是双曲线几何性质的一个重要参数，求双曲线离心率的关键是由条件寻求a 、c 满足的关系式，从而求出c e a=举一反三：【高清课堂：双曲线的性质 356749例2】【变式1】(1) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率23e =，过点A (0，-b )和B (a ，0)的直线与原点间的距3，求双曲线的方程． (2) 求过点(-1，3)，且和双曲线22149x y -=有共同渐近线的双曲线方程．【答案】（1）2213x y -=；（2）2241273y x -=【变式2】等轴双曲线的离心率为_________2【变式3】已知a 、b 、c 分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距，且方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实根，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．1<e 5－2B ．1< e <2C ．1< e <3D ．1< e <25【答案】D类型五：双曲线的焦点三角形例5．已知双曲线实轴长6，过左焦点1F 的弦交左半支于A 、B 两点，且||8AB =，设右焦点2F ，求2ABF ∆的周长．【思路点拨】将2ABF ∆的周长分拆成2211|||||||AF BF AF BF ，，，的和，利用双曲线的定义及条件||8AB =可求得周长．【解析】由双曲线的定义有: 21||||6AF AF -=，21||||6BF BF -=，∴2211(||||)(||||)12AF BF AF BF +-+=．即22(||||)||12AF BF AB +-= ∴22||||12||20AF BF AB +=+=．故2ABF ∆的周长22||||||28L AF BF AB =++=．【总结升华】双曲线的焦点三角形中涉及了双曲线的特征几何量，在双曲线的焦点三角形中，经常运用正弦定理、余弦定理、双曲线定义来解题，解题过程中，常对定义式两边平方探求关系．举一反三：【变式1】已知双曲线的方程22221x y a b -=，点A 、B 在双曲线的右支上，且线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |=m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为（）A ．2a +2mB ．4a +2mC ．a +mD ．2a +4m【答案】B【变式2】已知12F F 、是双曲线221916x y -=的两个焦点，P 在双曲线上且满足12||||32PF PF ⋅=，则12F PF ∠=______【答案】90类型六：直线和双曲线的位置关系例6．已知双曲线x 2－y 2=4，直线l ：y =k (x －1)，讨论直线与双曲线公共点个数．【思路点拨】直线与曲线恰有一个交点，即由直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解．【解析】联立方程组⎩⎨⎧=--=4)1(22y x x k y 消去y ，并依x 项整理得：(1－k 2)·x 2+2k 2x －k 2－4=0 ①(1)当1－k 2=0即k =±1时，方程①可化为2x =5，x =25，方程组只有一组解，故直线与双曲线只有一个公共点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，相交但不相切)．(2)当1－k 2≠0时，即k ≠±1，此时有Δ=4·(4－3k 2)若4－3k 2>0(k 2≠1)，则k ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃-⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--332,1)1,1(1,332，方程组有两解，故直线与双曲线有两交点． (3)若4－3k 2=0(k 2≠1)，则k =±332，方程组有解，故直线与双曲线有一个公共点(相切的情况)． (4)若4－3k 2<0且k 2≠1则k ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,332432,，方程组无解，故直线与双曲线无交点．综上所述，当k =±1或k =±332时，直线与双曲线有一个公共点；当k ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃-⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--332,1)1,1(1,332时，直线与双曲线有两个公共点；当k ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,332332,时，直线与双曲线无公共点．【总结升华】本题通过方程组解的个数来判断直线与双曲线交点的个数，具体操作时，运用了重要的数学方法——分类讨论，而且是“双向讨论”，既要讨论首项系数1——k 2是否为0，又要讨论Δ的三种情况，为理清讨论的思路，可画“树枝图”如图：举一反三：【变式1】过原点的直线l 与双曲线3422y x -=－1交于两点，则直线l 的斜率取值范围是 ( ) A ．⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛-23,23 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2323, C ．⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-23,33 D ．⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡+∞⋃⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,2323, 【答案】B【变式2】直线y =x +3与曲线－x 1x ·|x |+91y 2=1的交点个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】D例7．（1）求直线1y x =+被双曲线2214y x -=截得的弦长；（2）求过定点(0,1)的直线被双曲线2214y x -=截得的弦中点轨迹方程．【思路点拨】（1）题为直线与双曲线的弦长问题，可以考虑弦长公式，结合韦达定理进行求解．（2）题涉及到直线被双曲线截得弦的中点问题，可采用点差法或中点坐标公式，运算会更为简便．【解析】由22141y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩得224(1)40x x -+-=得23250x x --=（*）设方程（*）的解为12,x x ，则有121225,33x x x x +==- 得， 212121242082|2()422933d x x x x x x =-=+-=+=．（2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为1y kx =+，它被双曲线截得的弦为AB 对应的中点为(,)P x y ，由22114y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得22(4)250k x kx ---=（*）设方程（*）的解为12,x x ，则22420(4)0k k ∆=+->∴21680,||k k << 且12122225,44k x x x x k k +==---， ∴121212221114(),()()124224k x x x y y y x x k k =+==+=++=--， 22444k x k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩得2240(4x y y y -+=<-或0)y >．方法二：设弦的两个端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，弦中点为(,)P x y ，则221122224444x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩得：121212124()()()()x x x x y y y y +-=+-， ∴121212124()y y x x x x y y +-=+-，即41y x x y =-，即2240x y y -+=（图象的一部分）【总结升华】（1）弦长公式1212||||AB x x y y =-=-；（2）注意上例中有关中点弦问题的两种处理方法．举一反三：【变式】垂直于直线230x y +-=的直线l 被双曲线221205x y -=l 的方程【答案】210y x =±【巩固练习】一、选择题1．焦点为(0，±6)且与双曲线2212x y -=有相同渐近线的双曲线方程是( )A.2211224x y -= B.2211224y x -= C.2212412y x -= D.2212412x y -= 2．双曲线2222ay b x -=1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（） A. 2 B.3 C.2 D.23 3.双曲线与椭圆2211664x y +=有相同的焦点,它的一条渐近线方程为y x =-,则双曲线的离心率为( ) A.2296x y -= B. 22160y x -= C. 2280x y -= D. 2224y x -= 4．过双曲线2222by a x -=1的右焦点F 2作垂直于实轴的弦PQ ，F 1是左焦点，若∠PF 1Q=90︒，则双曲线的离心率是（） A.2 B.1+2C.2+2D.35. 已知双曲线22221x y a b-=(a >0，b >0)的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的3倍，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝xB ．y ＝±xC ．y ＝±4x D ．y ＝±3x 6．与双曲线16922y x -=1有共同的渐近线，且经过点(-3,23)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（）.A.8B.4C.2D.1二、填空题7．已知双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的实轴长为2，离心率为2，则双曲线C 的焦点坐标是________． 8．椭圆22214x y a+=与双曲线2221x y a -=焦点相同，则a ＝________.9．双曲线以椭圆221925x y +=的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，求该双曲线的方程为________． 10．过点P (3,0)的直线l 与双曲线4x 2－9y 2＝36只有一个公共点，则这样的直线l 共有________条．三、解答题11．设双曲线2222by a x -=1（0<a<b ）的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0,b)两点.已知原点到直线l 的距离为43c ，求双曲线的离心率.12. 设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B ；求双曲线C 的离心率e 的取值范围：13．已知双曲线22221x y a b-=(a >0，b >0)过点(14,5)A ，且点A 到双曲线的两条渐近线的距离的积为43，求此双曲线方程． 14．已知双曲线2214x y -=的两个焦点分别为12F F 、，点P 在双曲线上且满足1290F PF ∠=，求12F PF ∆的面积.15．如下图，已知F 1，F 2是双曲线22221x y a b-=(a >0，b >0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，求双曲线的离心率．【答案与解析】1．【答案】: B【解析】: 与双曲线2212x y -=有共同渐近线的双曲线方程可设为222x y λ-=(λ≠0)，又因为双曲线的焦点在y 轴上，∴方程可写为2212x λλλ-=--. 又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12. ∴双曲线方程为2211224y x -=. 2．【答案】C 【解析】双曲线的渐近线方程为a y x b=± ∵渐近线互相垂直，且关于坐标轴对称，∴1a b =，得a=b. 双曲线离心率222c a b e a +===. 3．【答案】 D【解析】设双曲线方程为22(0)y x λλ-=≠∵焦点(0,43),±∴0,λ>又22(43)λ=,24λ=4. 【答案】B 【解析】因为|PF 2|=|F 2F 1|， P 点满足2222b y a c -=1，∴22b y c a a=-, ∴222b c c a a=-,即 2ac=b 2=c 2-a 2, ∴12e e =-,故e=1+2. 5. 【答案】 B【解析】如图，分别过双曲线的右顶点A ，右焦点F 作它的渐近线的垂线，B 、C 分别为垂足，则△OBA ∽△OCF ， ∴13OA AB OF FC ==， ∴13a c =，∴22b a = 故渐近线方程为：22y x =±.6. 【答案】C【解析】设所求方程为22916x y k -=,代入(-3,23)得14k =, 52c =, ∵双曲线221916x y -=的渐近线为43y x =±， ∴焦点5(,0)2到渐近线43y x =±的距离d=2. 7. 【答案】(±2,0)【解析】由题意得：a ＝1，e ＝c a ＝2，所以c ＝2，又由标准方程可得焦点在x 轴上，所以焦点坐标为(±2,0)．8．【答案】2【解析】；由题意得4－a 2＝a 2＋1，∴2a 2＝3，a＝29．【答案】 221253944y x -= 【解析】椭圆221925x y +=中，a ＝5，b ＝3，c 2＝16，焦点为(0，±4)，离心率45c e a ==， ∴双曲线的离心率e 1＝2e ＝85， ∴111485c a a ==，∴a 1＝52， ∴22211125164b c a =-=-＝394， ∴双曲线的方程为221253944y x -=. 10. 【答案】3【解析】已知双曲线方程为22194y x -=，故P (3,0)为双曲线的右顶点，所以过P 点且与双曲线只有一个公共点的直线共有三条(一条切线和两条与渐近线平行的直线)．11.【解析】由已知，l 的方程为ay+bx-ab=0,原点到l4c =,又c 2=a 2+b 2,∴24ab =，两边平方，得16a 2(c 2-a 2)=3c 4. 两边同除以a 4并整理得3e 4-16e 2+16=0，∴e 2=4或243e =. ∵ 0<a<b, 1b a>,221b a >,得22222212a b b e a a +==+>, ∴e 2=4，故e=2.12.【解析】由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y a x 有两个不同的实数解.消去y 并整理得（1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0.242210.0 1.48(1)0.a a a a a a ⎧-≠⎪<≠⎨+->⎪⎩所以解得双曲线的离心率01,2(2,).2e a a e e e =<<≠∴>≠+∞即离心率的取值范围为13.【解析】双曲线22221x y a b-=的两渐近线的方程为bx ±ay ＝0. 点A 到两渐近线的距离分别为1d =2d =已知d 1d 2＝43，故2222|145|43b a a b -=+ (ⅰ) 又A 在双曲线上，则14b 2－5a 2＝a 2b 2(ⅱ)(ⅱ)代入(ⅰ)，得3a 2b 2＝4a 2＋4b 2(ⅲ)联立(ⅱ)、(ⅲ)解得b 2＝2，a 2＝4.故所求双曲线方程为22142x y -=. 14. 【解析】解法一：由双曲线的方程知a=2, b=1, ∴5c =. 因此12||225F F c ==.由于双曲线是对称图形，如图所示，设P 点坐标为(x,142-x )，由已知F 1P ⊥F 2P ，∴111F P F P k k ⋅=-, 即221144155x x x x --⋅=-+-，得2245x =，∴1221211||12512425F PF x S F F ∆=⋅⋅-=⨯⨯= 解法二：∵(|PF 1|-|PF 2|)2=4a 2=16,又由勾股定理得|PF 1|2+|PF 1|2=(2c)2=20, ∴|PF 1||PF 2|=21[|PF 1|2+|PF 2|2-(|PF 1|-|PF 2|)2]=21(20-16)=2, ∴121F PF S ∆=.15.【解析】设MF 1的中点为P ，在Rt △PMF 2中，|PF 2|＝|MF 2|·sin60°＝2c ·32＝3c .又由双曲线的定义得|PF 2|－|PF 1|＝2a ，所以312a c -=，3131c e a ===+-.。

新人教版高中数学选择性必修第一册双曲线及其标准方程

进而求得 m 的范围.
2.利用 a,b,c 之间的关系建立等式求解.
29
【思维提升】
方程表示双曲线的条件及参数范围求法
2 2
(1)对于方程 + =1,当 mn<0 时表示双曲线,进一步,当 m>0,n<0 时表示焦点在 x 轴

上的双曲线;当 m<0,n>0 时表示焦点在 y 轴上的双曲线.
范围.
30
【即学即练】
“n>1”是“方程 x2+ny2=1 表示焦点在 x 轴上的圆锥曲线”的 (
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
2 2
2
- 2 =1(a>0,b>0).

由题设知,a=2 5,且点 A(2,-5)在双曲线上,
所以
= 2 5,
25
2
-
4
2
2 = 20,
解得 2
= 1,
= 16.
2 2
故所求双曲线的标准方程为 - =1;
20 16
(2)由已知得 c=6,且焦点在 y 轴上.
因为点 A(-5,6)在双曲线上,所以 2a=
变,则动点轨迹不存在.
③若常数为0,其余条件不变,则点的轨迹是线段F1F2的中垂线.
8
2.双曲线的标准方程
焦点所在
的坐标轴
标准方程
x轴
y轴

- =1

________(a>0,b>0)
x2 y2
- 2 =1(a>0,b>0)
2
a b
图形
焦点坐标
a,b,c的关系式
F1(0,-c),F2(0,c)

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双曲线基础训练题（一）1．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹（ D ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线2．方程11122=-++k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（D ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k3．双曲线14122222=--+m y m x 的焦距是（ C ） A ．4 B ．22 C ．8 D ．与m 有关4．已知m,n 为两个不相等的非零实数，则方程m x －y+n=0与n x 2+my 2=mn 所表示的曲线可能是（ C ）5．焦点为()6,0，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（ B ）A ．1241222=-y xB ．1241222=-x yC ．1122422=-x yD ．1122422=-y x6．若a k <<0，双曲线12222=+--k b y k a x 与双曲线12222=-by a x 有（ D ）A ．相同的虚轴B ．相同的实轴C ．相同的渐近线D ．相同的焦点7．过双曲线191622=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ∆（F 2为右焦点）的周长是（ A ）A ．28B ．22C ．14D ．128．双曲线方程为152||22=-+-ky k x ，那么k 的取值范围是（ D ）A ．k ＞5B ．2＜k ＜5C ．－2＜k ＜2D ．－2＜k ＜2或k ＞59．双曲线的渐近线方程是y=±2x ，那么双曲线方程是（ D ）A ．x 2－4y 2=1 B ．x 2－4y 2＝1 C ．4x 2－y 2=－1 D ．4x 2－y 2=110．设P 是双曲线19222=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则=||2PF（C ）A ．1或5B ． 6C ． 7D ． 911．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则双曲线的离心率e 的最大值为（ B ）A ．43B ．53C ．2D ．7312．设c 、e 分别是双曲线的半焦距和离心率，则双曲线12222=-by a x (a>0, b>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离是（ D ）A ．caB ．c bC ．ea D ．eb 13．双曲线)1(122>=-n y nx 的两焦点为F 1，F 2，P 在双曲线上，且满足|PF 1|+|PF 2|=,22+n 则△PF 1F 2的面积为（ B ）A ．21 B ．1 C ．2 D ．414．二次曲线1422=+my x ，]1,2[--∈m 时，该曲线的离心率e 的取值范围是（ C ）A ．]23,22[B ．]25,23[C ．]26,25[D ．]26,23[15．直线1+=x y 与双曲线13222=-y x 相交于B A ,两点，则AB =_____6416．设双曲线12222=-by a x 的一条准线与两条渐近线交于A 、B 两点，相应的焦点为F ，若以AB 为直径的圆恰好过F17．双曲线122=-by ax 的离心率为5，则a :b= 4或4118．求一条渐近线方程是043=+y x ，一个焦点是()0,4的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．（12分）[解析]：设双曲线方程为：λ=-22169y x ，∵双曲线有一个焦点为（4，0），0>∴λ双曲线方程化为：2548161691169222=⇒=+⇒=-λλλλλy x ，∴双曲线方程为：1251442525622=-y x ∴455164==e ．19．(本题12分)已知双曲线12222=-b y a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是.23求双曲线的方程； [解析]∵（1）,332=a c 原点到直线AB ：1=-by a x 的距离.3,1.2322==∴==+=a b c ab b a ab d .故所求双曲线方程为 .1322=-y x双曲线基础练习题（二）一. 选择题1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0),(4,0)-，则双曲线的方程是A. 221412x y -=B. 221124x y -= C. 221106x y -= D. 221610x y -=2.设椭圆1C 的离心率为513，焦点在x 上，长轴长为26，若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点距离差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程是A. 2222143x y -=B. 22221135x y -=C. 2222134x y -= D. 222211312x y -=3. 已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率等于A ．53B ．43C ．54D ．324. 已知双曲线22112x y n n+=-n = A.2- B .4 C.6 D. 8-5.设1F 、2F 是双曲线22221x y a b-=的两个焦点,若1F 、2F 、(0,2)P b 是正三角形的三个顶点，那么其离心率是A.32 B. 52C. 2D. 3 6．已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线距离之比等于A C. 2 D.4 7．如果双曲线22142x y -=上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 的距离是C. 8.设12F F ，是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点,若其右支上存在一点P 使得1290F PF ∠=,且12PF =,则e =1 D 1 9. 若双曲线22221x y a b-=的两个焦点到一条准线的距离之比为3:2，则双曲线的离心率是A ．3B ．5C D 10. 设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为A ．221+ B ．231+C ． 21+D ．31+11. 双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为 ABC ．D ．312. 设1,a >则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是A ．2)B ．C ．(25)，D ．(213．已知双曲线()222102x y b b-=>的左、右焦点分别为1F 、2F ，它的一条渐近线方程为y x =，点0)P y 在该双曲线上，则12PF PF =A ．12-B ．2-C ．0D ．414．双曲线22221x y a b-=的两个焦点为1F 、2F ，若P 为其上一点，且122PF PF =，则离心率e 的取值范围是A ．(1)，3B ．(1，3]C ．(3)∞，+D ．)+[3，∞15．设P 为双曲线22112y x -=上一点，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，若1PF ：2PF =3：2，则12PF F ∆的面积为A ．B ．12C ．D ．2416．设1F 、2F 是双曲线2219y x -=的左、右焦点，P 为该双曲线上一点，且120PF PF =，则12PF PF +=AB ．CD ．二．填空题17．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线方程是y x =，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为18．以1(60)F -，，2(60)F ，为焦点,离心率2e =的双曲线的方程是19．中心在原点,一个焦点是1(30)F -，20y ±=的双曲线的方程为20．过点(20)N ，且与圆2240x y x ++=外切的动圆圆心的轨迹方程是21．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 22．已知双曲线22291(0)ym x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m =23．已知双曲线2221(2x y a a -=>的两条渐近的夹角为3π，则双曲线的离心率为24．已知双曲线22221x y a b -=的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，OAF ∆的面积为22a ，（O 为坐标原点），则该双曲线的两条渐近线的夹角为25．过双曲线22143x y -=左焦点1F 的直线交双曲线的左支于M N ，两点，2F 为其右焦点，则22MF NF MN+-=26．若双曲线22221x y a b-=的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则e 取值范围是27．.P是曲线22221x y a b-=的右支上一点,F为其右焦点,M 是右准线:2x =与x 轴的交点,若60,PMF ∠=45PFM ∠=,则双曲线方程是28．过双曲线221916x y -=的右焦点F 且平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B, A 为右顶点，则FAB ∆的面积等于三．解答题29.分别求满足下列条件的双曲线方程（1）中心在原点，一条准线方程是5x=，离心率e =（2）中心在原点，离心率2e =30. 已知双曲线22221(00)x y C a b a b -=>>：，的两个焦点为1(20)F -，，2(20)F ，，点()P 在双曲线C 上．⑴求双曲线C 的方程； ⑵记O 为坐标原点，过点(02)Q ，的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E F ，，若O E F =△S l 方程．双曲线练习题答案（二）一．选择题1．A 2. A3.A4. B 5. C6． C7． A8D9. D10. B11. B12. B13．C14．B15．B16B 二．填空题17．223144x y-=18．221927x y-=19．22145x y-=20．()22113yx x-=≥21． 322．423．324．2π25． 826．(11⎤⎦27．2211260x y-=28．3215二．解答题29.分别求满足下列条件的双曲线方程（1）中心在原点，一条准线方程是5x=，离心率e=2214yx-=（2）中心在原点，离心率e=2214xy-=30. 已知双曲线22221(00)x yC a ba b-=>>：，的两个焦点为1(20)F-，，2(20)F，，点()P在双曲线C上．⑴求双曲线C的方程；⑵记O为坐标原点，过点(02)Q，的直线l与双曲线C相交于不同的两点E F，，若OEF=△S l方程．⑴解略：双曲线方程为22122x y-=．⑵解：直线:l2y kx=+，代入双曲线C的方程并整理，得22(1)460k x kx---=. ①直线l与双曲线C相交于不同的两点E F，，222110(4)46(1)0kkkk k≠±⎧⎧-≠⎪⎪∴⇔⎨⎨<<∆=-+⨯->⎪⎪⎩⎩，，，,(1)(11)(13)k∴∈--，，. ②设1122()()E x yF x y，，，，则由①式得12241kx xk+=-，12261x xk=--，EF ∴21k -而原点O 到直线l 的距离d =1122OEFS d EF ∴=⋅==△．若OEFS =△，即422201k k k=⇔--=-，解得k =此满足②故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为2y =+和2y =+双曲线基础练习题（三）一、选择题（每题5分）1．已知a=3,c=5，并且焦点在x 轴上，则双曲线的标准程是（）A ．116922=+y x B. 116922=-y x C. 116922=+-y x 1916.22=-y x D 2．已知,5,4==c b 并且焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程是（）A ．191622=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D.116922=-y x 3．.双曲线191622=-y x 上P 点到左焦点的距离是6，则P 到右焦点的距离是（） A. 12 B. 14 C. 16 D. 184．.双曲线191622=-y x 的焦点坐标是（） A. （5，0）、（-5，0）B. （0，5）、（0，-5） C. （0，5）、（5，0） D.（0，-5）、（-5，0） 5、方程6)5()5(2222=++-+-y x y x 化简得：A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 6．已知实轴长是6，焦距是10的双曲线的标准方程是（）A ．.116922=-y x 和116922=+-y x B. 116922=-y x 和191622=+-y x C.191622=-y x 和191622=+-y x D. 1162522=-y x 和1251622=+-y x 7．过点A （1，0）和B （)1,2的双曲线标准方程（）A ．1222=-y x B ．122=+-y x C ．122=-y x D. 1222=+-y x8．P 为双曲线191622=-y x 上一点，A 、B 为双曲线的左右焦点，且AP 垂直PB ，则三角形PAB 的面积为（） A ． 9 B ． 18 C ． 24 D ． 369．双曲线191622=-y x 的顶点坐标是（） A ．（4，0）、（-4，0） B ．（0，-4）、（0，4）C ．（0，3）、（0，-3） D ．（3，0）、（-3，0）10．已知双曲线21==e a ，且焦点在x 轴上，则双曲线的标准方程是（）A ．1222=-y x B ．122=-y x C ．122=+-y x D. 1222=+-y x11．双曲线191622=-y x 的的渐近线方程是（） A ． 034=±y x B ．043=±y x C ．0169=±y x D ．0916=±y x12．已知双曲线的渐近线为043=±y x ，且焦距为10，则双曲线标准方程是（）A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 二、填空题（每题5分共20分）13．已知双曲线虚轴长10，焦距是16，则双曲线的标准方程是________________. 14．已知双曲线焦距是12，离心率等于2，则双曲线的标准方程是___________________.15．已知16522=++-t y t x 表示焦点在y 轴的双曲线的标准方程，t 的取值范围是___________.16.椭圆C 以双曲线122=-y x 焦点为顶点，且以双曲线的顶点作为焦点，则椭圆的标准方程是___________________三、解答题17．（本小题（10分）已知双曲线C ：191622=+-y x ，写出双曲线的实轴顶点坐标，虚轴顶点坐标，焦点坐标，准线方程，渐近线方程。

双曲线,抛物线容易题

双曲线，抛物线基础题例题1．求双曲线的实半轴长，虚半轴长，焦点坐标，离心率，渐近线方程。

例题2．（1）求直线被双曲线截得的弦长；（2）求过定点的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程。

例题3．（12）设焦点在轴上的双曲线渐近线方程为,且离心率为2，已知点A（）（1）求双曲线的标准方程；（2）过点A的直线L交双曲线于M,N两点，点A为线段MN的中点，求直线L方程。

巩固练习4．已知双曲线：的右焦点为，在的两条渐近线上的射影分别为、，是坐标原点，且四边形是边长为的正方形．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）过的直线交于、两点，线段的中点为，问是否能成立？若成立，求直线的方程；若不成立，请说明理由．巩固练习5．双曲线的一条渐近线方程是，坐标原点到直线的距离为，其中（1）求双曲线的方程；（2）若是双曲线虚轴在轴正半轴上的端点，过点作直线交双曲线于点，求时，直线的方程.例题6．已知双曲线的离心率且点在双曲线C上.(1)求双曲线C的方程；(2)记O为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为求直线l的方程.巩固练习7．已知双曲线的右顶点为A,右焦点为F，右准线与轴交于点B，且与一条渐近线交于点C，点O为坐标原点，，，过点F的直线与双曲线右支交于点．（Ⅰ）求此双曲线的方程；（Ⅱ）求面积的最小值．例题8．(满分12分)已知点，直线：交轴于点，点是上的动点，过点垂直于的直线与线段的垂直平分线交于点．（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）若 A、B为轨迹上的两个动点，且证明直线AB必过一定点，并求出该定点．巩固练习9．已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F和椭圆的右焦点重合，直线过点F交抛物线于A、B两点．（1）求抛物线C的方程；（2）若直线交y轴于点M，且，m、n是实数，对于直线，m+n是否为定值？若是，求出m+n的值，否则，说明理由．例题10．已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，点为坐标原点.（Ⅰ）证明：为钝角.（Ⅱ）若的面积为，求直线的方程;巩固练习11．（本小题满分13分）如图所示，直线l与抛物线y2=x交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与x轴交于点M，且y1y2＝－1，（Ⅰ）求证：点的坐标为；（Ⅱ）求证：OA⊥OB；（Ⅲ）求△AOB面积的最小值。

双曲线及其标准方程练习题

课时作业(十)[学业水平层次]一、选择题1．方程x 22＋m －y 22－m ＝1表示双曲线，则m 的取值围( )A ．－2＜m ＜2B ．m ＞0C ．m ≥0D ．|m |≥2【解析】 ∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m )(2－m )＞0. ∴－2＜m ＜2. 【答案】 A2．设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1B.y 29－x 216＝1C.x 29－y 216＝1(x ≤－3) D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 【解析】由题意知，轨迹应为以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线的右支．由c ＝5，a ＝3，知b 2＝16，∴P 点的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)．【答案】 D3．(2014·高级中学期末考试)已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为(5，0)和(－5，0)，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1，则双曲线的方程为( )A.x 22－y 23＝1 B.x 23－y 22＝1C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y 24＝1【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|·|PF 2|＝2，|PF 1|2＋|PF 2|2＝252，⇒(|PF 1|－|PF 2|)2＝16，即2a ＝4，解得a ＝2，又c ＝5，所以b ＝1，故选C. 【答案】 C4．已知椭圆方程x 24＋y 23＝1，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D ．3【解析】椭圆的焦点为(1,0)，顶点为(2,0)，即双曲线中a ＝1，c ＝2，所以双曲线的离心率为e ＝c a ＝21＝2.【答案】 C 二、填空题5．设点P 是双曲线x 29－y 216＝1上任意一点，F 1，F 2分别是其左、右焦点，若|PF 1|＝10，则|PF 2|＝________.【解析】由双曲线的标准方程得a ＝3，b ＝4. 于是c ＝a 2＋b 2＝5.(1)若点P 在双曲线的左支上，则|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝6，∴|PF 2|＝6＋|PF 1|＝16； (2)若点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF 2|＝|PF 1|－6＝10－6＝4. 综上，|PF 2|＝16或4. 【答案】 16或46．(2014·省高一月考)已知F 1(－3,0)，F 2(3,0)，满足条件|PF 1|－|PF 2|＝2m －1的动点P 的轨迹是双曲线的一支，则m 可以是下列数据中的________．(填序号)①2；②－1；③4；④－3.【解析】设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，则c ＝3，∵2a <2c ＝6，∴|2m －1|<6，且|2m －1|≠0，∴－52<m <72，且m ≠12，∴①②满足条件．【答案】 ①②7．(2014·高二检测)已知△ABP 的顶点A 、B 分别为双曲线C ：x 216－y 29＝1的左、右焦点，顶点P 在双曲线C 上，则|sin A －sin B |sin P 的值等于________．【解析】由方程x 216－y 29＝1知a 2＝16，b 2＝9，即a ＝4，c ＝16＋9＝5.在△ABP 中，利用正弦定理和双曲线的定义知，|sin A －sin B |sin P ＝||PB |－|PA |||AB |＝2a 2c ＝2×42×5＝45.【答案】 45三、解答题8．求与双曲线x 24－y 22＝1有相同焦点且过点P (2,1)的双曲线的方程．【解】 ∵双曲线x 24－y 22＝1的焦点在x 轴上．依题意，设所求双曲线为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．又两曲线有相同的焦点， ∴a 2＋b 2＝c 2＝4＋2＝6.①又点P (2,1)在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，∴4a 2－1b2＝1. ②由①、②联立，得a 2＝b 2＝3，故所求双曲线方程为x 23－y 23＝1.9．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k 为实数，对于不同围的k 值分别指出方程所表示的曲线类型．【解】 (1)当k ＝0时，y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线； (2)当k ＝1时，方程为x 2＋y 2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；(3)当k ＜0时，方程为y 24－x 2－4k＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线；(4)当0＜k ＜1时，方程为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆；(5)当k ＞1时，方程为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆．[能力提升层次]1．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．3【解析】由题意知椭圆、双曲线的焦点在x 轴上，且a >0.∵4－a 2＝a ＋2，∴a 2＋a －2＝0，∴a ＝1或a ＝－2(舍去)．故选A. 【答案】 A2．(2014·高二期末)已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】不妨设P 是双曲线右支上一点，在双曲线x 2－y 2＝1中，a ＝1，b ＝1，c ＝2，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，|F 1F 2|＝22，∵|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos∠F 1PF 2， ∴8＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·12，∴8＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， ∴8＝4＋|PF 1||PF 2|， ∴|PF 1||PF 2|＝4.故选B.【答案】 B3．(2014·省一中期末考试)已知双曲线x 216－y 225＝1的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上的一点，且PF 与圆x 2＋y 2＝16相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则|MN |－|MO |＝________.【解析】设F ′是双曲线的右焦点，连PF ′(图略)，因为M ，O 分别是FP ，FF ′的中点，所以|MO |＝12|PF ′|，又|FN |＝|OF |2－|ON |2＝5，且由双曲线的定义知|PF |－|PF ′|＝8，故|MN |－|MO |＝|MF |－|FN |－12|PF ′|＝12(|PF |－|PF ′|)－|FN |＝12×8－5＝－1.【答案】－14．已知双曲线x 216－y 24＝1的两焦点为F 1、F 2.(1)若点M 在双曲线上，且MF 1→·MF 2→＝0，求点M 到x 轴的距离； (2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程．【解】 (1)不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，MF 1→·MF 2→＝0，则MF 1⊥MF 2，设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，由双曲线定义知，m －n ＝2a ＝8，又m 2＋n 2＝(2c )2＝80，②由①②得m ·n ＝8， ∴12mn ＝4＝12|F 1F 2|·h ， ∴h ＝255.(2)设所求双曲线C 的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)，由于双曲线C 过点(32，2)，所以1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴所求双曲线C 的方程为x 212－y 28＝1.。

双曲线及其标准方程题组训练-2021-2022学年高二上学期数学人教A版选修2-1第二章

2.3 双曲线2.3.1 双曲线及其标准方程基础过关练题组一双曲线的定义及应用1.已知M(-2,0),N(2,0),||PM|-|PN||=3,则动点P 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.射线 D.双曲线2.已知双曲线的方程为x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0),点A,B 在双曲线的右支上,线段AB 经过双曲线的右焦点F 2,|AB|=m,F 1为双曲线的左焦点,则△ABF 1的周长为( )A.2a+2mB.4a+2mC.a+mD.2a+4m3.已知定点A(1,4),F 是双曲线x 24-y 212=1的左焦点,P 是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为( ) A.6 B.8 C.9 D.12 4.设F 1,F 2是双曲线x2-y 224=1的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且3|PF 1|=4|PF 2|,则△PF 1F 2的面积等于 .题组二双曲线的标准方程5.若方程x 2k+3+y 2k+2=1,k∈R表示焦点在x 轴上的双曲线,则k 的取值范围是( )A.-3<k<-2B.k<-3C.k<-3或k>-2D.k>-26.若ax 2+by 2=b(ab<0),则这个曲线是( ) A.双曲线,焦点在x 轴上 B.双曲线,焦点在y 轴上 C.椭圆,焦点在x 轴上 D.椭圆,焦点在y 轴上7.已知双曲线的中心在坐标原点,两个焦点F 1,F 2的坐标分别为(√5,0)和(-√5,0),点P 在双曲线上,且PF 1⊥PF 2,△PF 1F 2的面积为1,则双曲线的标准方程为( )A.x 22-y 23=1B.x 23-y 22=1 C.x 24-y 2=1 D.x 2-y24=1 8.已知双曲线的中心在坐标原点,且一个焦点为F 1(-√5,0),点P 位于该双曲线上,线段PF 1中点的坐标为(0,2),则该双曲线的标准方程是( )A.x 24-y 2=1 B.x2-y 24=1 C.x 22-y 23=1 D.x 23-y 22=19.以椭圆x 28+y 25=1长轴的两端点为焦点,且经过点(3,√10)的双曲线的标准方程为 .10.如图所示,已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A,B 为左、右焦点,且双曲线过C,D 两顶点.若AB=4,BC=3,则此双曲线的标准方程为 .11.已知焦点在x 轴上的双曲线过点P(4√2,-3),且点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,求此双曲线的标准方程.题组三与双曲线有关的轨迹问题12.已知平面内两定点A(-5,0),B(5,0),动点M 满足|MA|-|MB|=6,则点M 的轨迹方程是( )A.x 216-y 29=1B.x 216-y 29=1(x≥4)C.x 29-y 216=1D.x 29-y 216=1(x≥3) 13.已知定圆F 1:x 2+y 2+10x+24=0,定圆F 2:x 2+y 2-10x+9=0,动圆M 与定圆F 1,F 2都外切,求动圆圆心M 的轨迹方程.能力提升练一、选择题1.(河北石家庄二中高二月考,★★☆)已知双曲线x 2a -3+y 22-a=1的焦点在x 轴上,若焦距为4,则a=( ) A.212B.7C.92D.122.(广西梧州高二期末,★★★)已知F 1,F 2为双曲线C:x 2-y 2=1的左、右焦点,点P 在C 上,∠F 1PF 2=60°,则|PF 1|·|PF 2|=( ) A.2 B.4 C.6 D.83.(2018四川绵阳培城模拟,★★★)如图,F 1,F 2分别是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F 1(-√7,0)的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点A,B.若△ABF 2为等边三角形,则双曲线的方程为( )A.5x 27-5y 228=1 B.x 26-y 2=1 C.x2-y 26=1 D.5x 228-5y 27=1 4.(2018四川成都诊断,★★★)已知点P 在曲线C 1:x 216-y 29=1上,点Q在曲线C 2:(x+5)2+y 2=1上,点R 在曲线C 3:(x-5)2+y 2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是( ) A.6 B.8 C.10 D.12二、填空题5.(安徽阜阳三中高二月考,★★☆)已知点F 1,F 2分别是双曲线x 2a 2-y 29=1(a>0)的左、右焦点,P 是该双曲线上的一点,且|PF 1|=2|PF 2|=16,则△PF 1F 2的周长是 .6.(★★★)已知方程x 24-t +y 2t -1=1表示的曲线为C.给出以下四个结论:①当1<t<4时,曲线C为椭圆;②当t>4或t<1时,曲线C为双曲线;③若曲线C为焦点在x轴上的椭圆,则1<t<52;④若曲线C为焦点在y轴上的双曲线,则t>4. 其中正确的是(只填正确结论的序号).三、解答题7.(★★★)已知双曲线x 24-y29=1,F1,F2是其两个焦点,点M在双曲线上.(1)若∠F1MF2=90°,求△F1MF2的面积;(2)若∠F1MF2=120°,△F1MF2的面积是多少?若∠F1MF2=60°,△F1MF2的面积又是多少?(3)观察以上计算结果,你能看出随∠F1MF2的变化,△F1MF2的面积将怎样变化吗?试证明你的结论.8.(天津一中高二期末,★★★)已知点M(-2,0),N(2,0)是平面上的两点,动点P满足|PM|+|PN|=6.(1)求点P的轨迹方程;(2)若(1-cos∠MPN)|PM|·|PN|=2,求点P的坐标.9.(★★★)A,B,C是我方三个炮兵阵地,A在B正东6 km处,C在B北偏西30°方向,与B相距4 km,P为敌炮兵阵地,某时刻A处发现敌炮兵阵地发出的某种信号,由于B,C两地比A距P地远,因此4 s后,B,C 才同时发现这一信号,已知此信号的传播速度为1 km/s,A若炮击P地,求炮击的方向角.答案全解全析基础过关练1.D 因为||PM|-|PN||=3<|MN|=4,所以由双曲线的定义可知,点P 的轨迹是双曲线.2.B 由题意知{|AF 1|-|AF 2|=2a ,|BF 1|-|BF 2|=2a ,即{|AF 1|=2a +|AF 2|,|BF 1|=2a +|BF 2|,又|AF 2|+|BF 2|=|AB|=m,所以△ABF 1的周长为|AF 1|+|BF 1|+|AB|=4a+2m.3.C 由双曲线的方程可知a=2,设其右焦点为F 1,则F 1(4,0).|PF|-|PF 1|=2a=4,即|PF|=|PF 1|+4,所以|PF|+|PA|=|PF 1|+|PA|+4≥|AF 1|+4,当且仅当A,P,F 1三点共线时取等号,此时|AF 1|=√(4-1)2+42=√25=5,所以|PF|+|PA|≥|AF 1|+4=9,即|PF|+|PA|的最小值为9.4.答案 24解析由题意得a=1,2a=2,焦距|F 1F 2|=2×√1+24=10.∵3|PF 1|=4|PF 2|,∴|PF 1|=43|PF 2|,∴|P F 1|-|PF 2|=43|PF 2|-|PF 2|=13|PF 2|=2,∴|PF 2|=6,|PF 1|=8,∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2,∴PF 1⊥PF 2,∴S △PF 1F 2=12|PF 1|·|PF 2|=12×6×8=24.5.A 由题意知{k +3>0,k +2<0,解得-3<k<-2.6.B 原方程可化为x 2b a+y 2=1,因为ab<0,所以ba <0,所以方程表示的曲线是双曲线,且焦点在y 轴上. 7.C 由题意得,{|PF 1|·|PF 2|=2,|PF 1|2+|PF 2|2=(2√5)2,∴(|PF 1|-|PF 2|)2=16,即(2a)2=16,则2a=4,解得a=2,又c=√5,∴b=1,∴双曲线的标准方程为x 24-y 2=1.故选C.8.B 由双曲线的一个焦点为F 1(-√5,0)知c=√5,因为线段PF 1中点的坐标为(0,2),所以P(√5,4),设双曲线的右焦点为F 2,则有PF 2⊥x 轴,且PF 2=4,又点P 在双曲线右支上,所以PF 1=√(2√5)2+42=√36=6,所以PF 1-PF 2=6-4=2=2a,所以a=1,b 2=c 2-a 2=4,所以双曲线的标准方程为x 2-y 24=1. 9.答案x 23-y 25=1解析由题意得,双曲线的焦点在x 轴上,且半焦距为2√2. 设双曲线的标准方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0), 则有{a 2+b 2=c 2=8,9a 2-10b 2=1,解得a 2=3,b 2=5.故所求双曲线的标准方程为x 23-y 25=1.10.答案 x 2-y 23=1解析设双曲线的标准方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0).由题意得B(2,0),C(2,3), ∴{a 2+b 2=4,4a 2-9b 2=1,解得{a 2=1,b 2=3,∴双曲线的标准方程为x 2-y 23=1.11.解析因为双曲线的焦点在x 轴上,所以设双曲线的标准方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0),焦点F 1(-c,0),F 2(c,0).因为双曲线过点P(4√2,-3),所以32a2-9b 2=1.①因为点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,所以QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即-c 2+25=0,解得c 2=25.② 又c 2=a 2+b 2,③所以由①②③解得a 2=16或a 2=50(舍去). 所以b 2=9,所以所求双曲线的标准方程是x 216-y 29=1.12.D 由题意知,点M 的轨迹是以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线的右支.易得c=5,a=3,∴b 2=16,∴点M 的轨迹方程为x 29-y 216=1(x≥3). 13.解析由题意得,圆F 1:(x+5)2+y 2=1,圆心F 1(-5,0),半径r 1=1.圆F 2:(x-5)2+y 2=42,圆心F 2(5,0),半径r 2=4. ∴|F 1F 2|=10.设动圆M 的半径为R,则|MF 1|=R+1,|MF 2|=R+4,∴|MF 2|-|MF 1|=3<|F 1F 2|. ∴点M 的轨迹是以F 1,F 2为焦点的双曲线的左支,且a=32,c=5,∴b 2=c 2-a 2=914.∴动圆圆心M 的轨迹方程为4x 29-4y 291=1(x ≤-32).能力提升练一、选择题1.C ∵双曲线x 2a -3+y 22-a =1的焦点在x 轴上,焦距为4, ∴{2-a <0,a -3>0,√a -3-2+a =2,解得a=92. 2.B 由双曲线方程得a=1,b=1,c=√2, ∴|F 1F 2|=2√2, 在△F 1PF 2中,|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|·cos∠F 1PF 2, 即8=|PF 1|2+|PF 2|2-|PF 1|·|PF 2|, 即8=(|PF 1|-|PF 2|)2+|PF 1|·|PF 2|, 又||PF 1|-|PF 2||=2a=2, ∴8=22+|PF 1|·|PF 2|, ∴|PF 1|·|PF 2|=4.3.C 根据双曲线的定义,有|AF 2|-|AF 1|=2a①,|BF 1|-|BF 2|=2a②,由于△ABF 2为等边三角形,则|AF 2|=|AB|=|BF 2|,①+②,得|BF 1|-|AF 1|=4a, 则|AB|=|AF 2|=|BF 2|=4a,|BF 1|=6a,又∠F 1BF 2=60°,所以(2c)2=(6a)2+(4a)2-2×6a×4a×12,即7a 2=c 2=7,解得a 2=1,则b 2=c 2-a 2=6, 所以双曲线的方程为x 2-y 26=1.4.C 不妨设C 1:x 216-y 29=1的两个焦点分别是F 1(-5,0)与F 2(5,0),且|PF 1|-|PF 2|=8,而这两点正好是两圆(x+5)2+y 2=1和(x-5)2+y 2=1的圆心,两圆(x+5)2+y 2=1和(x-5)2+y 2=1的半径分别是r 2=1,r 3=1,所以|PQ|max =|PF 1|+1,|PR|min =|PF 2|-1,所以|PQ|-|PR|的最大值为(|PF 1|+1)-(|PF 2|-1)=|PF 1|-|PF 2|+2=8+2=10. 故选C.二、填空题5.答案 34解析 ∵|PF 1|=2|PF 2|=16,∴|PF 2|=8,|PF 1|-|PF 2|=16-8=8=2a,∴a=4.又b 2=9,∴c 2=25,∴2c=10.∴△PF 1F 2的周长为|PF 1|+|PF 2|+|F 1F 2|=16+8+10=34.6.答案 ②③④解析 ①错误,当t=52时,曲线C 为圆;②正确,若曲线C 为双曲线,则(4-t)(t-1)<0,∴t<1或t>4;③正确,若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆,则4-t>t-1>0,∴1<t<52;④正确,若曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线,则{4-t <0,t -1>0,∴t>4.三、解答题7.解析设|MF 1|=r 1,|MF 2|=r 2(不妨设r 1>r 2),θ=∠F 1MF 2,因为S △F 1MF 2=12r 1r 2sin θ, θ已知,所以只要求r 1r 2即可,因此考虑到用双曲线的定义及余弦定理的知识,求出r 1r 2.(1)当θ=90°时,S △F 1MF 2=12r 1r 2sin θ=12r 1r 2.由双曲线方程知a=2,b=3,c=√13, 由双曲线的定义,得|r 1-r 2|=2a=4,两边平方,得r 12+r 22-2r 1r 2=16,又r 12+r 22=|F 1F 2|2, 所以|F 1F 2|2-4S △F 1MF 2=16,即52-16=4S △F 1MF 2,解得S △F 1MF 2=9.(2)若∠F 1MF 2=120°,在△MF 1F 2中,|F 1F 2|2=r 12+r 22-2r 1r 2cos 120°=(r 1-r 2)2+3r 1r 2=52,所以r 1r 2=12, 所以S △F 1MF 2=12r 1r 2sin 120°=3√3. 同理,若∠F 1MF 2=60°,则S △F 1MF 2=9√3.(3)由以上结果可见,随着∠F 1MF 2的增大,△F 1MF 2的面积将减小.证明如下:由双曲线的定义及余弦定理,得{(r 1-r 2)2=4a 2,①r 12+r 22-2r 1r 2cosθ=4c 2.②②-①,得r 1r 2=4c 2-4a 22(1-cosθ), 所以S △F 1MF 2=12r 1r 2sin θ=(c 2-a 2)sinθ1-cosθ =b 2cot θ2. 因为0<θ<π,所以0<θ2<π2, 在(0,π2)内,y=cot θ2是减函数. 因此当θ增大时,S △F 1MF 2=b 2cot θ2减小.8.解析 (1)设动点P 的坐标为(x,y).∵点M(-2,0),N(2,0)是平面上的两点,动点P 满足|PM|+|PN|=6>|MN|,∴点P 的轨迹是以M,N 为焦点的椭圆,设其方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),且a=3,c=2,∴b 2=9-4=5. ∴点P 的轨迹方程为x 29+y 25=1. (2)在△MPN 中,cos∠MPN=|PM |2+|PN |2-162|PM |·|PN | =(|PM |+|PN |)2-2|PM |·|PN |-162|PM |·|PN | =10-|PM |·|PN ||PM |·|PN |.∵(1-cos∠MPN)|PM|·|PN|=2,∴(1-10-|PM |·|PN ||PM |·|PN |)·|PM|·|PN|=2,解得|PM|·|PN|=6,由{|PM |·|PN |=6,|PM |+|PN |=6,得||PM|-|PN||=2√3<6,∴点P 在以M(-2,0),N(2,0)为焦点的双曲线x 23-y 2=1上, 联立{x 29+y 25=1,x 23-y 2=1,解得点P 的坐标为(3√32,√52),或(3√32,-√52)或(-3√32,√52)或(-3√32,-√52). 9.解析如图,以直线BA 为x 轴,线段BA 的中垂线为y 轴,以1 km 为一个单位长度,建立平面直角坐标系,则B(-3,0),A(3,0),C(-5,2√3).因为|PB|=|PC|,所以点P在线段BC的垂直平分线上.设敌炮兵阵地的坐标为(x,y),BC的中点为D,易求得k BC=-√3,D(-4,√3),所以直线PD:y-√3=√3(x+4).①又|PB|-|PA|=4<|AB|,故P在以A,B为焦点的双曲线的右支上,且其方程为x 24-y25=1(x≥2).②联立①②,得x=8,y=5√3,所以P的坐标为(8,5√3).因此k PA=5√38-3=√3.故A若炮击P地,则炮击的方向角为北偏东30°.。

_双曲线及其标准方程基础题

2.2.1 双曲线及其标准方程一、基础过关1．若方程y 24－x 2m ＋1＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．－1<m <3B ．m >－1C ．m >3D ．m <－12．双曲线5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是(6，0)，那么实数k 的值为( ) A ．－25 B ．25 C ．－1 C ．13．椭圆x 234＋y 2n 2＝1和双曲线x 2n 2－y 216＝1有相同的焦点，则实数n 的值是 ( )A ．±5B ．±3C ．5D ．9 4．若点M 在双曲线x 216－y 24＝1上，双曲线的焦点为F 1，F 2，且|MF 1|＝3|MF 2|，则|MF 2|等于 ( )A ．2B ．4C ．8D ．125．已知双曲线的一个焦点坐标为(6，0)，且经过点(－5,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 25－y 2＝1 B.y 25－x 2＝1 C.x 225－y 2＝1 D.x 24－y 22＝1 6．若双曲线x 2－4y 2＝4的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2的直线交右支于A 、B 两点，若|AB |＝5，则△AF 1B 的周长为________．7．在平面直角坐标系xOy 中，方程x 2k －1＋y 2k －3＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围为________．二、能力提升8．已知动圆M 过定点B (－4,0)，且和定圆(x －4)2＋y 2＝16相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A.x 24－y 212＝1 (x >0)B.x 24－y 212＝1 (x <0)C.x 24－y 212＝1 D.y 24－x 212＝1 9．已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1|·|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程为____________．10.如图，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1、F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．11.已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M在双曲线上，F1、F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝63，试判别△MF1F2的形状．三、探究与拓展12．A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6千米，C在B北偏西30°，相距4千米，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4 s后，B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，求A应沿什么方向炮击P地．。

知识讲解_双曲线及其标准方程_基础

双曲线及其标准方程【学习目标】 1．知识与技能：从具体情境中抽象出双曲线的模型；掌握双曲线的定义、标准方程及几何图形；能正确推导双曲线的标准方程．2．过程与方法：学生亲自动手尝试画图、发现双曲线的形成过程进而归纳出双曲线的定义、图像和标准方程．3．情感态度与价值观：了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，进一步感受数形结合的基本思想在解析几何中的作用．【要点梳理】要点一：双曲线的定义把平面内到两定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的集合叫作双曲线． 1F 2F 12F F 定点、叫双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距． 1F 2F 要点诠释：1．双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：常数=，这可以借助于三角形中边的相1212PF PF F F -<关性质“两边之差小于第三边”来理解；2．若常数分别满足以下约束条件，则动点的轨迹各不相同：若常数=（常数），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 1212PF PF F F -<0>2F 若常数=（常数），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支． 2112PF PF F F -<0>1F 若常数=，则动点轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线（包括端点）； 1212PF PF F F -=若常数=，则动点轨迹不存在；1212PF PF F F ->若常数=，则动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线．12=0PF PF -要点二：双曲线的标准方程 1．双曲线的标准方程2．标准方程的推导如何建立双曲线的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分为4步：建系、设点、列式、化简．（1）建系取过焦点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系．（2）设点设M (x ，y )为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c (c ＞0)，那么F 1、F 2的坐标分别是(-c ，0)、(c ，0)．（3）列式设点M 与F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ．由定义可知，双曲线就是集合：P ={M ||M F 1|-|M F 2||=2a }={M |M F 1|-|M F 2|=±2a }．∵ 12||||MF MF ==2a =±(4)化简将这个方程移项，得2a =±两边平方得：22222()44()x c y a x c y ++=±-+化简得：2cx a -=±两边再平方，整理得：①()()22222222ca x a y a c a --=-（以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导）由于方程①形式较复杂，继续化简．由双曲线定义，即，所以． 22c a ，c a ，220c a -，令，222(0)c a b b -=，代入上式得：， 222222b x a y a b -=两边同除以，得：22a b 即，其中． 22221x y a b -=(0,0)a b >>222c a b =+这就是焦点在轴的双曲线的标准方程．x 要点诠释：若在第（1）步中以“过焦点F 1、F 2的直线为y 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴建立平面直角坐标系”，就可以得到焦点在y 轴的双曲线方程：，其中．22221y x a b -=(0,0)a b >>222c a b =+3．两种不同双曲线的相同点与不同点定义平面内到两定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于零1F 2F 且小于）的点的集合12F F 图形标准方程 22221x y a b -=(0,0)a b >> 22221y x a b -=(0,0)a b >>不同点焦点坐标， ()10F c ，()20F c ，，()10F c ，()20F c ，a 、b 、c 的关系222c a b =+相同点焦点位置的判断哪项为正，项的未知数就是焦点所在的轴要点诠释：1．当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式．此时，双曲线的焦点在坐标轴上．2．双曲线标准方程中，a 、b 、c 三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c ＞a ，c ＞b ，且c 2=b 2+a 2．3．双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x 2、y 2的系数，如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．4．对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．要点三：椭圆、双曲线的区别和联系 1．椭圆、双曲线的标准方程对照表：椭圆双曲线图象定义根据|MF 1|+|MF 2|=2a 根据||MF 1|－|MF 2||=2a a 、b 、c 关系a 2－c 2=b 2（a 最大）（a ＞c ＞0，b ＞0）c 2－a 2=b 2（c 最大）（0＜a ＜c ，b ＞0）标准方程，（焦点在x 轴） 22221x y a b +=，（焦点在y 轴） 22221y x a b +=其中a ＞b ＞0，（焦点在x 轴） 22221x y a b -=，（焦点在y 轴） 22221y x a b -=其中a ＞0，b ＞0，a 不一定大于b ）标准方程的统一形式 221x y m n+=（当时，表示椭圆；当时，表示双曲线）0,0,m n m n >>≠0mn <2．方程Ax 2+By 2=C （A 、B 、C 均不为零）表示双曲线的条件方程Ax 2+By 2=C可化为，即，221Ax By C C+=221x y C C A B+=所以只有A 、B 异号，方程表示双曲线．当时，双曲线的焦点在x 轴上； 0,0C CA B ><当时，双曲线的焦点在y 轴上． 0,0C CA B<>要点四：求双曲线的标准方程①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值．其主要步骤是“先定型，再定量”；a b c ②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程．要点诠释：若定义中“差的绝对值”中的绝对值去掉，点的集合成为双曲线的一支，先确定方程类型，再确定参数a 、b ，即先定型，再定量．若两种类型都有可能，则需分类讨论．【典型例题】类型一：双曲线的定义例1．已知点F 1(－4，0)和F 2(4，0)，曲线上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线方程为( )A ．22197x y +=B ．＝1(y >0)22197x y -=C ．或22197x y -=22179x y -=D ． (x >0)22197x y -=【答案】　D【解析】　由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：(x >0)22197x y -=【总结升华】对于双曲线的定义必须抓住两点：一是平面内到两个定点的距离之差的绝对值是一个常数，二是这个常数要小于，若不满足这些条件，则其轨迹不是双曲线，而是双曲线的一支或射线或轨迹不12||F F 存在．举一反三：【变式1】已知定点F 1(－2，0)、F 2(2，0)，平面内满足下列条件的动点P 的轨迹为双曲线的是（）A ．|PF 1|－|PF 2|=±3B ．|PF 1|－|PF 2|=±4C ．|PF 1|－|PF 2|=±5D ．|PF 1|2－|PF 2|2=±4【答案】A【变式2】已知点F 1(0，－13)、F 2(0，13)，动点P 到F 1与F 2的距离之差的绝对值为26，则动点P 的轨迹方程为（）A ．y =0B ．y =0（x ≤－13或x ≥13）C ．x =0（|y |≥13）D ．以上都不对【答案】C【变式3】动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．双曲线的一支 B ．圆C ．抛物线D ．双曲线【答案】A例2．已知P 是双曲线上一点，双曲线的两个焦点，且求值2216436x y -=12,F F 1||17,PF =2||PF 【解析】利用双曲线的定义求解．【答案】在双曲线中，故．221164x y -=8,6,a b ==10c =由P 是双曲线上一点，得． 12||||||16PF PF -=∴或 2||1,PF =2||33,PF =又得2||2,PF c a ≥-=2||33,PF =【总结升华】本题容易忽略这一条件，而得出错误的结论或 2||2,PF c a ≥-=2||1,PF =2||33PF =举一反三：【变式1】双曲线的两个焦点为，点在双曲线上，若，求的面221916x y -=12,F F P 12PF PF ⊥1 2 PF F ∆积．S 【答案】16【解析】中，a 2=9，b 2=16，c 2=9+16=25，所以a =3，b =4，c =5．221916x y -=设，，由题意可知，11PF r =22PF r = 112212-6100.r r r r ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，所以，()2221112111--=322r r r r r r ⎡⎤=+⎣⎦因为是直角三角形，所以．1 2 PF F ∆111==162S r r 【变式2】过双曲线的左焦点与左支相交的弦的长为，另一焦点22221(0,0)x y a b a b-=>>1F AB m 2F ，求的周长．2ABF ∆【解析】∵，且，2121||||2,||||2AF AF a BF BF a -=-=11||||AF BF m +=∴ 2211||||2||2||4AF BF a AF a BF a m +=+++=+∴的周长为：．2ABF ∆22||||||42AF BFAB a m ++=+【变式3】已知点P (x ，y )，则动点P 的轨迹4=是（）A ．椭圆B ．双曲线中的一支C ．两条射线D ．以上都不对类型二：双曲线的标准方程例3．判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出 a ，b ，c ．；；； 22(1)142x y -=22(2)4936y x -=22(3)638x y -=；；．822(5)134x y +=22(6)1515x y +=-【思路点拨】先看方程能否等价转化为双曲线的标准形式，若不能，则不能表示双曲线；反之，找出相应的a 2，b 2，再利用c 2= a 2+b 2得到c 的值．【解析】（1）能．该双曲线焦点在x 轴上，=4，=2，=6，所以a =2，b，c． 2a 2b 222=c a b +（2）能．双曲线可化为：，它的焦点在x 轴上，=9，=4，=13．所以a =3，b =2，c．22194x y -=2a 2b 222=c a b +（3）能．双曲线可化为：，它的焦点在x 轴上，=，=，=4，所以a，b2214833x y -=2a 432b 83222=c a b +c =2．（4）能．该方程表示到定点（-5，0）和（5，0）的距离为8，由于8<10，所以表示双曲线，其中a =4，c =5，则=9，所以b =3．． 222=b c a （6）不能表示双曲线，这是椭圆的方程．（7）不能表示双曲线，该曲线不存在．【总结升华】化双曲线为标准方程的步骤为： 22Ax By C +=（1）常数化为1：两边同除以，将双曲线化为； C 221Ax By C C +=（2）分子上的系数化为1：22x y ，利用，将双曲线化为；1b a b a ⨯=221x y C C A B +=（3）注意符号：若双曲线的焦点在x 轴，则将双曲线化为； 221x y C C A B =若双曲线的焦点在y 轴，则将双曲线化为． 221y x C C BA=【变式1】双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A ．，0) B ．，0)C ．0) D ．0)【答案】C【解析】将双曲线方程化为标准方程为，22=11y x ，∴a 2＝1，b 2＝，∴12c =故右焦点的坐标为0)．【变式2】若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦距为6，则k ＝______．【答案】 1±【解析】当k >0时，双曲线的标准方程为，此时，解得k =1； 22118x y k k =22183a b c k k =====，当k <0时，双曲线的标准方程为，此时，解得k ＝－22181x y k k=22813a b c k k =====，1．所以k 的值为．1±例4．已知双曲线的两个焦点F 1、F 2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程．【解析】由题意得2a =24，2c =26．∴a =12，c =13，b 2=132－122=25．当双曲线的焦点在x 轴上时，双曲线的方程为；22114425x y -=当双曲线的焦点在y 轴上时，双曲线的方程为．22114425y x -=【总结升华】求双曲线的标准方程就是求a 2、b 2的值，同时还要确定焦点所在的坐标轴．双曲线所在的坐标轴，不像椭圆那样看x 2、y 2的分母的大小，而是看x 2、y 2的系数的正负．举一反三：【高清课堂：双曲线的方程 357256 例1】【变式1】求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）已知两焦点，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8．12(5,0),(5,0)F F -（2）双曲线的一个焦点坐标为，经过点．(0,6)-(5,6)A -【答案】（1）；（2）．221169x y -=2211620y x -=【变式2】求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程．221164x y -=2)【答案】221128x y -=【解析】解法一：依题意设双曲线方程为－=122a x 22by 由已知得，22220a b c +==又双曲线过点2)241b-=∴ 222222012481a b a b b ⎧+=⎧=⎪⇒⎨=-=⎪⎩故所求双曲线的方程为．221128x y -=解法二：依题意设双曲线方程为，221164x yk k-=-+将点代入，解得，2)221164x y k k -=-+4k =所以双曲线方程为．221128x y -=类型三：双曲线与椭圆例5．讨论表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 221259x y k k+=--【思路点拨】观察题目所给方程是关于x ，y 的二次形式，故只可能表示椭圆或双曲线．对于：221x y m n+=当时，方程表示椭圆；当时，方程表示双曲线． 0,0,.m n m n >⎧⎪>⎨⎪≠⎩0mn <【解析】(1)当k <9时，25－k >0，9－k >0，所给方程表示椭圆，由于25－k >9－k ，c 2＝a 2－b 2＝16，所以这些椭圆的焦点都在x 轴上，且焦点坐标都为（-4，0）和（4，0）．(2)当9<k <25时，25－k >0，9－k <0，所给方程表示双曲线，其标准方程为． 221259x y k k -=--此时，a 2＝25－k ，b 2＝k －9，c 2＝a 2＋b 2＝16，这些双曲线也有共同的焦点(－4，0)，(4，0)． (3)当k >25时，所给方程没有轨迹．【总结升华】椭圆和双曲线都是二次曲线系，注意它们各自定义在方程中的区别，它们a ，b ，c 的关系区别．举一反三：【变式1】设双曲线方程与椭圆有共同焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点为A ，且A2212736x y +=的纵坐标为4，求双曲线的方程．【答案】22145y x -=【变式2】若双曲线(M >0，n>0)和椭圆(a >b >0)有相同的焦点F 1，F 2，M 为两221x y m n -=221x y a b+=曲线的交点，则|MF 1|·|MF 2|等于________．【答案】　a －M【解析】由双曲线及椭圆定义分别可得|MF 1|－|MF 2|＝①±|MF 1|＋|MF 2|＝ ②②2－①2得，4|MF 1|·|MF 2|＝4a －4M ， ∴|MF 1|·|MF 2|＝a －M ．类型四：双曲线方程的综合应用【高清课堂：双曲线的方程 357256例2】例7．已知A ，B 两地相距2000 M ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚4 s ，且已知当时的声速是330 M /s ，求炮弹爆炸点所在的曲线方程．【解析】由题知爆炸点P 应满足， ||||330413202000PA PB -=⨯=<又所以点P 在以AB 为焦点的双曲线的靠近于B 点的那一支上． ||||,PA PB >以直线AB 为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，得21320,22000a c ==660,1000,a c ==∴222564400b c a =-=∴点P 所在曲线的方程是 221(0)435600564400x y x -=>【总结升华】应用问题，应由题干抽象出数学问题即数学模型，在解决数学问题之后，再回归到实际应用中．举一反三：【变式】设声速为米/秒，在相距10a 米的A ，B 两个观察所听到一声爆破声的时间差为6秒，且记a 录B 处的声强是A 处声强的4倍，若已知声速米/秒，声强与距离的平方成反比，试确定爆炸340a =点P 到AB 中点M 的距离．【答案】米。

高二数学双曲线的标准方程2

又因c=5，a=3，则b=4
x y 则顶点A的轨迹方程为 1 ( x 3) 9 16
2 2
四、练习与习题：
2 y x 1. 已知双曲线与椭圆 27 36 1 有共同的焦点，且与 2
椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求双曲线的方程.
y2 x2 1 4 5
2 2 2 y y x x 1 m n 0 2、已知椭圆 m n 与双曲线a 2 b 2 1a, b 0
2
2
6) ( 0 , 2、y2-2x2=1的焦点为、焦距是 2
6.
3.方程(2+)x2+(1+)y2=1表示双曲线的充要条件是
(1)
( x 3) y ( x 3) y 4
2 2 2 2
方程表示的曲线是双曲线
(2)
(3)
( x 3) y ( x 3) y 5
2 2 2 2
方程表示的曲线是双曲线的右支
( x 3) y ( x 3) y
2 2 2
2
6
方程表示的曲线是x轴上分别以F1和F2为端点，指向x轴的负半轴和正半轴的两条射线。
三、例题选讲：例1、已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6，则 3 5 4 (1) a=_______ , c =_______ , b =_______
(2) 双曲线的标准方程为______________
(3)双曲线上一点Ｐ， |PF1|=10, 4或16 若|PF1|=3, 则|PF2|=_________ 9 则|PF2|=_________
例2、k > 1,则关于x、y的方程(1- k )x2+y2= 1 - k2 所表示的曲线是