北大离散j集合论6

良序, 序数, ω 序数与基数

ZFC+CH系统

Collatz猜想

两个基本过程

匹配(matching): 多少,大小(基数)----双射

{a} →{0}=1

{a,b} →{0,1}=2

{a,b,c} →{0,1,2}=3…

计数(counting): 首尾,先后(序数)----良序

0→1→2→3→…

a→b

c→b→a

……

基数

κ

< 2κ. κκ= 2κ. (κ为无穷基数)

κ+κ= κ•κ= κ. (κ为无穷基数) 连续统假设(continuum hypothesis):

L L

,2,2,2,,,2,1,00200232210ℵℵ=ℵ=ℵ=ℵℵℵ)2(0

0ℵ<<ℵ¬∃κκ

良序

良序:任何非空子集都有最小元的偏序 良序集的计数过程:

t 0 = min( A ),

t 1 = min( A-{t 0} ),

t 2 = min( A-{t 0,t 1} ),

……

t 0 < t 1 < t 2 <…<…

实例: 英语字典

英语单词如何排序?

字母序: ε< a < b < c <…< x < y < z

标准序: 短在前,长在后,等长的依次比字母, 如to < up < cap < cat < too < two < boat < boot < card

字典序: 依次比字母, 如boat < boot < cap < card < cat < to < too< two < up

英语字典: a,…,b,…,c,…,…,z,…26ω?

三类序数

后继序数: 1,2,…,ω+1,ω+2,…(有头有尾)

极限序数: ω, 2ω, ω2, ωω,…(有头无尾)

归纳集与传递集

归纳集: ∅∈A ∧∀x( x∈A→x∪{x}∈A )

传递集: ∀x( x∈y∈A→x∈A )

连续统假设(CH)

Georg Cantor(1845~1918), 最早提出

David Hilbert(1862~1943),1900年, 著名的23个问题之一

Kurt Gödel(1906~1978),1938年,相容性 Paul Cohen(1934~), 1963年, 独立性 集合论公理系统: ZF, ZFC, ZFC+CH

)

2(00ℵ<<ℵ¬∃κκ

ZF系统

外延公理: A=B ⇔∀x(x∈A↔x∈B)

无序对公理: a,b是集合⇒{a,b}是集合 子集公理: A是集合⇒{x∈A|P(x)}是集合( 定义A∩B = { x∈A | x∈B } )

并集公理: A是集族⇒U A是集合

( 配合无序对公理, 定义A∪B =U{A,B} )

ZF系统(续)

幂集公理: A是集合⇒P(A)是集合

空集公理: ∅是集合

正则公理: A是非空集合⇒A有基础元素(基础元素: 不属于A中其他元素的元素). ( 用途: 防止A∈A )

替换公理: f是A上函数⇒{ f(a) | a∈A }是集合

无穷公理: N是集合

选择公理的等价形式(部分)

广义选择公理: 任何非空集族都有选择函数( f:A→U A, f(X)∈X )

良序原理: 任何集合都可良序化

Zorn引理: 链总有上界的非空偏序集存在极大元

Hausdorff极大原理: 任何链都包含于极大链

三歧性原理:

A,B是集合⇒|A|≤|B| ∨|B|≤|A|

ZFC+CH系统

ZF+C+CH

ZF: Zermelo-Fraenkel公理(9条) C: 选择公理

CH: 连续统假设

超限归纳原理

良序集的超限归纳原理: ,

B⊆A∧∀t((t∈A∧seg t⊆B)→t∈B) ⇒B=A

前节(segment): seg t= { x∈A | x

Collatz猜想

实验: m=100

50,25,76,38,19,58,29,88,44,22,11,34,17 ,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1

实验: m=120

60,30,15,46,23,70,35,106,53,160,80,40 证明: ?

想法(idea): 自然数表示, 性质, 用处?

100=0010010100010100100010000

良序, 序数, ω 序数与基数 ZFC+CH系统

Collatz猜想

答疑

时间: 公共空闲时间= ? 地点: 理科1#楼1625室

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