一类有理型时滞差分方程的稳定性
一类时滞抛物型偏微分方程的数值稳定性分析
一类时滞抛物型偏微分方程的数值
稳定性分析
一类时滞抛物型偏微分方程的数值稳定性分析是指对一类具有时滞项的抛物型偏微分方程进行数值解法，通过分析由数值方法产生的误差及其影响来实现数值解法的稳定性分析。
一般情况下，所有一类时滞抛物型偏微分方程都具有一些共同的特点，即该方程包含了一个时滞项，该时滞项有助于将动力学系统中的不确定性减少到最小，从而使数值解法更加稳定。
在对一类时滞抛物型偏微分方程的数值稳定性分析中，需要考虑多种因素，例如方程的结构、数值方法的选择以及步长的大小等，以便能够有效地计算出精确的结果。
一类二阶时滞差分方程的全局渐近稳定性
！ （ 口存 ， 而 ｉ 一） 在 进 存 。 ｍ 在
设 ｚ ，则 ， ：
ｌ ， ＋
．
（） 程 （．） ４方 １２ 的平 衡 点 是全 局渐 近 稳定 的 ，如果 它 是局部 稳 定 的 ，并且 是一 个全 局 吸引 子 。
从而， ：口， 这表 明 ：口是 方 程
２ ２ ｄ （，） －－
Ｏ
Ｘ 】
一
ｄ 一２ Ｘ
’’
（．） １２
（＿） １ １的全 局吸 引子 。 利 用 定理 ２ １可知 ，方 程 （．） ． １ １的所 有正解 是 全局渐 近稳 定
的。
的关 于 的线 性化 方程 为
Ｘ＋ ｎ１＝ｐｘ ＋ｑ ． ｎ＝０ １２ ． ． ｘ ， ，， ，． ．
计算机光盘软件与应用
工 程 技 术
Ｃ ｍ ｕ ｅ Ｄ Ｓ ｆ ｗ ｒ ｎ ｐ ｌ ｃ ｔｏ ｓ ｏ ｐ ｔ ｒＣ ｏ ｔ ａ ｅ ａ ｄＡ ｐ ｉ ａ ｉ ｎ
２ １ 年第 ２ ０１ ３期
一
类二阶时滞差分方程的全局渐近稳定性
胡 林 霞
（ 天水师范学 院数 学与统计 学院，甘肃天水
ｌ ∈』，有 ｍ ， ｉ
—
ｌｎ ａ 存在 。 Ｘ— ｌ 由 （．） ２ １ 可知 ，若 ＞ａ，则 ｘ ＞ａ；若 ＝ａ 则 ＝ａ； ｎ ， 若 ｌ ＜ａ， 则 ｘ ＜ａ ； ｎ＝２３ ．从 而 一口 不 变 号 ， 于 是 ｎ … ．
ｘ－
（） 程 （． ） ３方 １２ 的平 衡 点 是 全 局 吸 引 子 ， 如 果 对 每 一 个
其 特征 方程 为
一
参 考 文献 ：
（． ） １ ３
ｐ２一ｑ＝０．
一类时滞差分方程解的性态
中图分类号 ： １５ ０ ７
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ￣６ ３—１２ ２ １ １ ０ ０ ０ １７ ６ Ｘ（０ １ ０ — ０ １— ３ １
口
Ｓ ｌ ｉ ｎ Ｂｅ ａ ｉ ｒ ｏ Ｃｌ ｓ ｆＤｅ ａ ｆｅ ｅ ｅ Ｅｑ ａ ｉ ｎ ｏ ｕｔｏ ｈ ｖ ｏ ｆＡ ａ ｓ ｏ ｌ ｙ Ｄｉｆ ｒ ｎｃ ｕ ｔｏ
ｉ ０ ：
。≥ ０， 使方程 的解 ｛ ｝ 足 满
≤
０— ６
则 ｌ ＝ｘ ｉ ｍｘ ．
≥ 或 ≤ ， ∑
６
一
＋～ ＋
证 明 下 面只证 ≥ ｘ时的情 形 ， 当 ≤ 时 的情形证 明是 完 全类 似 的
ＷＡ Ｇ Ｘａ — ， Ｉ ｅｗ ｉ ＷＡ Ｇ Ｘ ａ －ａ Ｎ ｉ ｌ ＬＵ Ｋ — ｅ， Ｎ ｉｏ ｉ ｏｉ ｊ
（ ｅａｔ ｅｔ ｆ ａｈｍ ｔ ｓ ｅ ｉ ｎ ｅｓｙｏ Ｔ ｃｎｌｇ ，Ｈ ｆ ２ ０ ０ ， ｈｎ Ｄ ｐｒ ｎ ｏ ｔｅ ａｉ ，Ｈ ｆ ｉ ｒｉ ｆ ｅｈ ｏ ｙ ｅ ｉ ３０ ９ Ｃ ｉａ） ｍ Ｍ ｃ ｅＵ ｖ ｔ ｏ ｅ
１ 知 识 背 景
随着 计算 机技 术 的发 展 和普及 ， 分方 程在 工 程技 术 、 济 与管 理 、 理 等方 面都 有 着越 来 越 广泛 的 差 经 物 应 用 ， 出 了许 多 由差 分方 程 描述 的数 学模 型 －１在 文献 ［ ］ 提 ６． １ 中研 究 了 一类 离 散 型 的 Ｌｇ ｔ 模 型 的振 ｏｉｉ ｓｃ 动性 和 全 局吸 引性 ． 文献 ［ ］ 把 差分 方 程 的理论 应用 于血 红 细胞 增 长 差 分模 型和 Ｌｇ ｔ 在 ２中 ｏｉｉ ｓｃ差分 模 型 ． 本 文 主要研 究 一类 时滞 差分 方 程所 有 正解 的全 局 吸引性 态 ．７８ ［ －
一类高阶时滞差分方程的有界持久性与全局渐近稳定性
（） ２
初值 一 一 ＋ 一， ｌ 为 任 意正 数 ． ， — ， ０
方 程 （ ）ｋ＝ １ 的特 殊情 况 已被 文 献广 泛地 研究 过 ． 例 如 ， ［ ， ］ 到 了当 Ａ ， ｌ １ 时 文 １２ 得 ０Ａ ∈ （ ， ， ０ｐ ∈ （ ，） ， 程 （ ） ０ ∞） ｐ ， ｌ ０ １ 时 方 １ 的正 平衡 点 是其 一切 正解 的 全局 吸 引子 ； ［ ］ 文 ２ 还证 明 了 ｐ ０
文献标识码 ： Ａ
中 图分 类 号 ： Ｏ１５７ ７ ．
引
言
考虑 下 列 高 阶时滞 差 分方 程
Ｘ＋ ｎｌ 其 中
Ａｏ
：
＋
＋… ＋ “＋
（ ： ０ ｌ２ … ） ｎ ＇，， Ｊ ’ ， ’
… （） １
Ａ ，‘ ［ ， ， ｉＰ ∈ ０ ∞）
（ ｉ＝０ １ ２ … ｋ ｋ∈ （ ， ， ） ， ，，， ； １２ … ）
＝ｐ ｌ＝ １ 方程 （ ） 时 １ 的正 平衡 点 是全 局 渐 近稳定 的 ． 对 Ａ ， ∈ （ ， ， ０＝２ ｐ ＝ １ ２ ０ Ａｌ ｏ ∞） ｐ ， ｌ ／ 时
的一 些 结果 及公 开 问题 ， 可见 文 ［ ，］当 ｐ ３４ ； ｌ＝０时 的一 些结 果 ． 文 ［ ，］ 见 ５６ ．
文 章 编 号 ：ＯＯＯ ８ （ｏ２ １－１８ｏ ｌＯ －８７ ２ｏ ）１１８ －７
一
类 高 阶 时滞 差分 方 程 的有 界 持 久 性
与全局 渐近稳定性 。
李 先 义
（ ． 华 大 学 数 理 部 ， 南衡 阳 ４ １０ ； ． 东 师 范 大 学 数 学 系 ， 海 ２０６ ） １南 湖 ２０ １ ２ 华 上 ０ ０２
一类时变时滞系统的稳定性准则
一类时变时滞系统的稳定性准则摘要：该文研究了一类时变时滞系统稳定性问题。
采用积分不等式法和时滞分解法，充分利用时变时滞的上界和下界等信息，构造一个新的Lyapunov-Krasovskii 泛函，并使用不同的积分不等式对Lyapunov-Krasovskii 泛函求导过程中所产生的积分项进行处理，得到了一个保守性更小的稳定性准则。
最后通过数值实例验证该准则的有效性。
关键词：时变时滞；积分不等式；稳定性准则中图分类号：TP273 文献标识码：A 文章编号：0引言时滞现象存在于许多系统中，如制造业、机械、电信、化工等，这些时滞现象通常随着时间的变化而变化，对系统性能有不利影响[1-9]。
一般情况下，我们主要对常时滞系统和时变时滞系统进行研究，但大多情况下，适用于常时滞系统的稳定性判据并不一定适用于时变时滞系统，所以，众多学者目前主要对时变时滞系统进行研究[2]。
为了减少已有成果的保守性，解决系统的时滞问题，使系统更稳定的工作，学者们提出了许多有效的方法，如文献[3]为减小固定权矩阵产生的保守性，在对时滞系统分析时采用了自由权矩阵法。
文献[4]采用了时滞分解的方法,但过多的分割区间会增加计算的复杂度和仿真时间，使系统的运行效率降低，所以一般情况下都是将时滞区间分成两部分进行处理。
文献[5]在构造泛函时引入三重积分项，同时也提出了一种处理三重积分的有效方法，与以前的方法相比，加入该项后并没有明显减小所得结果的保守性。
上述文献的一个共同点是对泛函求导过程中产生的积分项进行处理时都使用了Jensen 不等式，虽然Jensen 不等式使用方便、简单，但存在一定的保守性。
文献[6]引入了Wirtinger 型积分不等式，与使用Jensen 不等式的文献相比，在不影响所得结果的保守性前提下使用的决策变量数较少。
但该方法主要用于未对时滞进行分解的情况，因此，尝试着将时滞分解法与Wirtinger 型积分不等式结合使用,以得到保守性更小的稳定性准则，是一个有意义的研究问题。
两类时滞差分方程的稳定性与分岔分析的开题报告
两类时滞差分方程的稳定性与分岔分析的开题报告一、研究背景和意义时滞差分方程是一类具有时滞的离散动力系统，广泛应用于自然科学、工程技术、经济金融等各个领域。
时滞差分方程的研究具有重要的理论意义和现实应用价值。
其中，稳定性与分岔分析是时滞差分方程研究中的重点问题之一。
稳定性是时滞差分方程研究中的基本问题，研究时滞差分方程的稳定性是了解系统的行为特征的关键。
时滞差分方程的稳定性分析需要通过研究系统的本征特性，判断其演化趋势，并进行数学证明。
稳定性分析的结果可以为系统的设计、控制和优化提供指导。
分岔分析是时滞差分方程研究中的另一个重要问题。
分岔是指系统从一些初始条件出发，在参数变化的过程中，系统继续演化，并在某一时刻出现突变或转折点的现象。
分岔分析通过研究系统在不同参数值下的本征特性，揭示系统因参数变化而产生的突变或转折现象，为系统的稳定性分析和参数优化提供了支持。
因此，本文将重点研究时滞差分方程稳定性与分岔分析的方法和应用，探究时滞差分方程的行为特性和规律，为制定参数调控策略和优化设计提供科学依据。
二、研究目的本文旨在研究两类时滞差分方程的稳定性与分岔分析方法和应用，主要目的包括：1. 分析时滞差分方程的稳定性，确定系统的稳定或不稳定性质，为系统的控制和优化提供依据。
2. 分析时滞差分方程的分岔行为，揭示系统因参数变化而产生的突变或转折现象，为系统的稳定性分析和参数优化提供支持。
3. 研究不同类型时滞差分方程的稳定性和分岔分析方法，并比较其特点和适用性，为不同领域的时滞差分方程研究提供参考和指导。
三、研究内容和方法本文将针对两类时滞差分方程进行稳定性和分岔分析，具体包括：1. 一类非线性时滞差分方程的稳定性和分岔分析：该类时滞差分方程包括具有一次和多次时滞的非线性方程，将采用非线性分析方法、Lyapunov函数等数学工具，建立系统的稳定性判据和分岔分析模型，并通过数学证明验证结论的正确性。
2. 一类线性时滞差分方程的稳定性和分岔分析：该类时滞差分方程包括具有一次和多次时滞的线性方程，将采用特征方程分析、本征值分析等数学工具，建立系统的稳定性判据和分岔分析模型，并通过数学证明验证结论的正确性。
一类二阶时滞差分方程的局部渐近稳定性
从 － － 而 一 ： 鬻 鬻 南，
由引 理 １ １ ｉ可知 ， ． ） 方程 （． ） 唯一 正平 衡 点是 局 部 渐 近 １１的
稳定的。 ｆ
令 ｐ＝ ａ （ ，） ｇ ｌ ， ａ ； 面 ，＝
ｘ
（ ，）ｒ 互 ｉ ，＝
（ ，） 方程 （． 面ｉ 则 １
ｉ 当 １ ｂ ＋÷ 时 ， ｉ ） ＜ ≤１ ａ 方程（ ． ） １ １ 的唯一正平衡点 ｔ 口
当 ０ ＜ ｂ ＜ １ 方 程 （ ．１ ， １ ）有 唯 一 的 正 平 衡 点
－
一
＝
当 １＜ ≤１ 方 程 （． ） 唯 一 的 正 平 ６ 十 １１ 有 ２（ １ ６） 出离散化的特征 ， 因而有必要对实际应用 中的微分方程进行离散 化 以得 到 相应 的差 分方 程 ， 而 对 后 者 进 行 研究 ， 进 以此 改 进 和 深 衡 点 面＝ － － ￣１＋ ４ａ （ ＂ ） 当 ６ 一１ ／ １ ｂ一 ； ＝１时 ＇程的唯一平 方 衡点为
文章 编 号 ：０ ８－ ２ Ｘ【０ １ １ ０ ２ ０ １ ０ ９ ５ ２ １ ）２－ １６－ １
ａ ＋ｂ 面
１＋互
一
众所 周知 ， 物学 、 学 、 理学 、 理学 、 济学 和 工程 技 生 生态 物 生 经
术等领域 内的诸 多连续现象都 可以用相应 的微分方程来 描述。 但 考虑 到 许多 的实 际现 象 在 一 定 的范 围 内和 程 度 上 总 是 会 呈 现
２ 年 １ 月 Ｏ１ １ ２
第４ 期 总５ ６ ８ ５ 期
一
类 二 阶 时 滞 差 分 方 程 的 局 －ｔ ｇ， － Ｉ
胡林 霞
稳 定 性
７ １０ ） ４ ０ １
一类时滞微分系统的一致稳定性和渐进稳定性研究
), z ( s- ) ) ds) , ( 2)
=/
V * ,X (t , x ( t), x ( t - ), x
t 0
) ) ds0
dy = D ( t) y + E ( t) z + Z ( t, y ( t) , z ( t), dx h (s , y ( s) , z ( s ), y ( s∀
数学学习与研究 2010 17
ds .
其中 h( 1 ) ( ∗ ) , h ( 2 ) ( t - , ∗ ) 非负且关 于 + ∗ , 单调不 减, # 1, 且 h ( 1 ) ( T ) +
∀
0
+ )
h ( 2) ( s , T ) ds< r , T 1- ∃ 1 , 则当
1
( 3 )的零解一致稳定和关 于 y 指数 渐进稳定 时 , ( 2 ) 的零解
0
h (s , y, z, y( s- ), z ( t - ) )ds + ∀ h (s , y, z, y ( s- ), z ( t - ) ) ds) ∃ ∀
t 0 t 1 2
( ( y ( t- ) ( ) ( y ( t - s) ( +
- !( t - s)
∀h
t
( 2)
( t - s, ( y ( s ) ( ) ( y ( s) ( e
专题研究
ZH UAN T I Y AN JIU
111
一类时滞微分系统的一致稳定性和渐进稳定性研究
王 恒 (淄博师范高等专科学校 数理科学系 255130 ) 摘要 !主要研究 一类时 滞微分 系统的 双重 稳定性 , 给 出考察系统的等 价系 统及线 性其 次系统 , 通 过定 理证 明了 等价系统 ( 2 )的零解一致稳定和渐进 稳定性 . 关键词 !时滞微分 ; 一 致稳定性 ; 渐进稳定性 考察系统 : dy = A ( t) x + f ( t , x ( t), x ( t - ), dx 与其等价的系统为 : dy = B ( t) y + C ( t) z + Y ( t, y ( t) , z ( t), dx h (s , y ( s) , z ( s ), y ( s∀
差分方法的稳定性
差分方法的稳定性之青柳念文创作对于一阶线性双曲线型方程：其中初值()01,00,0x u x x ≤⎧=⎨>⎩取空间长度h=0.01，对于分歧的差分格式（迎风格式，Lax-Friedrichs 格式，Lax-Wendroff 格式，Beam-Warming 格式以及蛙跳格式）及分歧的网格比（时间长度与空间长度比hτλ=）停止迭代计算.通过将计算成果与切确解停止比较，来讨论和分析差分格式的稳定性.这种格式的基本思想是简单的，就是在双曲型方程中关于空间偏导数用在特征线方向一侧的单边差商来代替，格式如下：运算格式： ()1111(1),01,0n n n j j j n n n j j j u a u a u a u a u a u a λλλλ+-++=-+>=+-<2.2 Lax-Friedrichs 格式运算格式： ()()111111122n n nj j j u a u a u λλ++-=-++ 2.3 Lax-Wendroff 格式这种格式构造采取Taylor 级数展开和微分方程自己得到运算格式： ()()()()111111122n n n n j j j j a a ua u a a u a u λλλλλλ++-=-++-++ 2.4 Bean-Warming 格式（二阶迎风格式）借助于双曲型方程的解在特征线上为常数这一事实，可以构造出多种差分格式.设在n t t =时间层上网格点A,B,C 和D 上u的值已给定，要计算出在1n t t +=时间层上网格点P 上的u 的值.假定C.F.L 条件成立，过P 点特征线与BC 交于点Q ，故微分方程解的性质知()()u P u Q =.对于()u Q ：① 用B,C 两点值停止线性插值，得到的是迎风格式; ② 用B,D 两点值停止线性插值，得到的是Lax-Friedrichs 格式；③ 用B,C 和D 三点值停止抛物型插值，得到的是Lax-Wendroff 格式.如果我们采取A,BC 三点来停止抛物型插值，可以得到 这就是Beam-Warming 格式.2.5 蛙跳格式运算格式： ()1111n n n n j j j j u u a u u λ+-+-=--由于它是个三层格式，需要先用一个二层格式计算出t τ=那一层的值1j u .为了坚持精度的阶数相同，一般我们用Lax-Wendroff 格式或Beam-Warming 格式.2.6 方针点范围跟踪格式（迎风格式的改进）其中[]a λ是a λ取整数部分，{}[]a a a λλλ=-.下面的分析将会得到这是一个无条件稳定布局.稳定性分析：记n ijkh j nu v e =，则()()11i j kh n ijkh n ijkh n ijkh n v e v e a v e v e λ-+=--，得()111n n ikh v v a e λ+-⎡⎤=--⎣⎦ 即()()(),1111cos sin ikh G k a e a kh a i kh τλλλ-=--=---. 则在1a λ≤时，有(),1G k τ≤，格式稳定.3.2 Lax-Friedrichs 格式稳定性分析： 则在1a λ≤时稳定.3.3 Lax-Wendroff 格式稳定性分析： 则在1a λ≤时稳定.3.4 Beam-Warming 格式稳定性分析： 则在2a λ≤时稳定.3.5 蛙跳格式稳定性分析：命()1111n n n n j j j j n n j ju v a u u v u λ++-+⎧=--⎪⎨=⎪⎩ 令[],TU u v =则()2sin 1,10a i kh G k λτ-⎛⎫= ⎪⎝⎭则1a λ<时稳定.3.6 方针点范围跟踪格式 稳定性分析：()[]{}(),11i a kh ikh G k e a e λτλ--⎡⎤=--⎣⎦，其中[]1i a kh e λ-=，{}()111ikh a e λ---≤的成立条件为1a λ≤.然而{}1a λ≤恒成立，故无条件稳定.。
差分方程稳定性
（10）
二阶方程的上述结果可以找到n阶线 形方程，即稳定平衡的条件是特征 方程—— n 次代数方程的根 λ i ( i = 1, 2 ,..., n ) 均有 | λ i |< 1 考虑到高阶方程和方程组的相互转化， 这个条件与（5）、（6）给出的结论是 一致的。
最后讨论一阶非线形差分方程
容易看出，可以用变量代换方法将方程 （1）的平衡点的稳定性问题转换为：
x k +1 + ax k = 0
（2）
的平衡点 x * = 0的稳定性问题。
而对于方程（2），因为其解显然可表为
x k = ( a ) k x 0 , k = 1, 2 ,...
所以立即可知当且仅当
（3）
| a |< 1
（4）
时方程（2）的平衡点（从而方程（1）的平衡点） 才是稳定的
顺便指出， 顺便指出，
对于 n 维向量 x ( k ) 和 n × n 常数 矩陈 A 构成的方程组
x(k + 1) + Ax(k ) = 0
λi , (i = 1,2,..., n )均有
（5）
其平衡点稳定的< 1
（12）
（12）是（11）的近似线形方程
x*也是（ ）的平衡点。 12
关于线形方程（12）的稳定平衡点 的讨论已由（1）——（4）给出
而当 | f / ( x * ) |≠ 1时方程（11）与（12） 平衡点的稳定性相同， 于是得到当
（13） x 时，对于非线形方程（11）， * 是稳定的；
| f / ( x * ) |< 1
差分方程的稳定性
本节主要是介绍差分方程稳定性的知识 差分方程的平衡点及其稳定性的慨念与微分方程 的有关概念是一致的 ，例如一阶线形常系数差 分方程： （1） x k +1 + ax k = b , k = 0 ,1,... 的平衡点由 解得：
差分方程的相容性收敛性和稳定性课件
相容性的判定方法
通过分析差分方程的形式和系数，可以判断其是否具有相容 性。
判断差分方程是否具有相容性的方法通常包括检查该方程是 否满足一定的数学性质，例如，是否具有一致的形式和系数 。此外，还可以通过求解该差分方程的初始值问题来验证其 相容性。
近似解。
有限元法的优势
有限元法能够处理复杂的几何形 状和边界条件，且能够处理非线 性问题，因此在工程领域应用广
泛。
06
差分方程的实际应用案例
在物理中的应用
1 2
量子力学
差分方程在量子力学中用于描述粒子在势能场中 的行为，例如在求解薛定谔方程时，差分法是一 种常用的数值解法。
热传导方程
在求解一维或二维的热传导方程时，可以使用差 分法将偏微分方程转化为差分方程进行求解。
3
波动方程
在处理波动问题时，如声波、电磁波等，差分法 可以用来模拟波的传播和干涉现象。
在金融中的应用
股票价格模型
差分方程可以用于描述股 票价格的变动规律，例如 著名的几何布朗运动模型 就是一种差分方程。
期货价格模型
在期货定价理论中，差分 方程被用来描述未来价格 的变化趋势，为投资者提 供决策依据。
图形法
通过绘制差分方程的解的 图像，观察其随时间的演 化趋势。
比较法
通过比较差分方程与已知 稳定或不稳定方程的性质 ，判断其稳定性。
稳定性的应用
控制工程
稳定性是控制系统的重要性能指 标，决定了系统的动态行为。
一类中立型时滞差分方程的正解
一类中立型时滞差分方程的正解1什么是一类中立型时滞差分方程一类中立型时滞差分方程，即包含时滞的微分方程，是一类科学研究的基础，它可以帮助我们描述随时间流逝而发生的变化。
它是一个物理系统的描述，并具有时滞特性，可以比较准确地建模和分析各种实际系统在时间变化后所表现出一定的响应速度。
常见的一类中立型时滞差分方程通常有一阶中立型时滞差分方程和二阶中立型时滞差分方程。
2一阶中立型时滞差分方程一阶中立型时滞差分方程是最简单也是最重要的形式，它将时滞特性建模为一个常微分方程的现有结果应用到下一个计算结果的延迟。
即，微分方程的解表达为下一时刻的变量的函数，其中除了晚期结果之外还将上期结果带入考虑。
它一般形式如下：$$\frac{dx(t)}{dt}+p(t)x(t)=q(t)x(t−τ)$$其中，$x(t)$是表示系统状态的变量，$q(t)$和$p(t)$是满足条件$p(t)>0$的连续函数，$τ$是常数，表征时滞的强度。
3二阶中立型时滞差分方程二阶中立型时滞差分方程是一种比一阶时滞更加复杂的形式，也就是将时滞特性建模为包含了及其计算上一步的结果，以及上上步的结果的方程。
二阶中立型时滞差分方程一般形式如下：$$\frac{d^2 x(t)}{dt^2}+p(t)\frac{dx(t)}{dt}+q(t)x(t)=r(t)x(t−δ)$$其中，$x(t)$是表示系统状态的变量，$q(t)$,$p(t)$和$r(t)$是满足条件$p(t)>0$的连续函数，$δ$是常数，表征时滞的强度。
4正解一类中立型时滞差分方程的正解是表示系统状态的最终解的函数，即x(t)。
它具有四种不同的正解，分别是偶正解、单正解、双正解和无正解。
（1）偶正解是指系统解为常数，即$x(t)=X$。
（2）单正解是指系统解随时间变化的周期性函数，即$x(t)=X_1e^{tτ_1+τ_2}+X_2e^{tτ_1−τ_2}$，$τ_1，τ_2$是不定根且$τ_1>0$。
一类时滞差分方程零解的渐近稳定性
在本 文 中 ， 表示 所 有非 负 实 数集 ； 表示 所 Ｒ Ｚ 有非 负 整 数集 ； 表示 ｎ维 欧 几 里 得空 间 ， 范 数 Ｒ 其 为欧几 里 得范数 Ｉ．１； 于 ， Ｊ Ｊ对 Ｙ∈Ｒ ， ， 示 数 Ｙ表 量积 ； 表 示所 有 ｍ ×ｎ矩 阵 的集 合 ； Ｒ Ｉ表示 单 位 矩 阵 。对 于一个 序列 （ ）用 （ Ｉ， ｉ ｝ ）＝ （ 戈 ｋ＋１ ）一 （） ． 表示它 的 向前差 分 。 ｉ ｝
摘
要 ： 论 了一 类 时 分 差 分 方 程 零 解 的 渐 近 稳 定 性 ， 到 了该 系统零 解 渐 近稳 定 的 一 个 充 分 条件 。 讨 得
关 键 词 ： 滞 差 分 方 程 ； 解 ；渐 近稳 定 时 零 中 图分 类 号 ： １５ ７ ０ ７ ． 文 献 标 志码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ ９—３０ （０ ０ ０ １０ ９ ７ ２ １ ）２～００ ０ ０ ３— ２
，
其 中 丁是正 常数 ， ｑ 复数 。 Ｐ和 是 本 文将讨 论下 列线 性 时滞差 分方 程零解 的渐 近
稳定性
（ ＋１ （ ）＋ｑ （ ｋ ）＝ ｋ ｘ ｋ—ｒ ， ）
，
（） ２
定义
若对任意的
．
＞０ 和 任 意
．
ｋ ∈ｚ 存 在 。 ． ，
其 中 是 正常数 ， ｑ是 复数 。 Ｐ和 不妨 令 Ｐ ＝Ｐ ｌ＋／２ ｑ＝ｑ ｐ， １＋幻２及 戈（ ）＝ ｋ
考 虑下 列线性 离散 时滞 系统
其 中矩 阵
／ 一４ ８ ３５ ． ２ 一 １ ６ ７ｌ ．４ 、
则 离散 系统 （ ） ７ 的零解 是渐 近稳定 的 。 证明 考虑 下 面的 Ｌ ａ ｕｏ ｙｐ ｎｖ函数 （ ） ｉ ， ９ ｉＱ （ ） （ ）
差分方程(2)-稳定性
0.4474 0.8530
0.4327 0.8469
0.5060 0.8874
0.3548 0.8127
倍周期收敛——x*不稳定情况的进一步讨论 * * * b 3 .3 x （不） x 子序列 x x , x x k 2k 1 2 k 1 2
单周期不收敛
2倍周期收敛
xk 2 f ( xk 1 ) f ( f ( xk )) f ( 2) ( xk ) (*)
0.4474 0.8530 0.4327 0.8469
0.5405 0.8817 0.3703 0.8278
1 b
97 98
99 100
0.4118 0.4118
0.4118 0.4118
0.6154 0.6154
0.6154 0.6154
0.4794 0.8236
0.4794 0.8236
一阶(非线性)差分方程
*
记 b r 1
(1)的平衡点y*=N
r 1 1 (2)的平衡点 x r 1 b
讨论 x* 的稳定性
补充知识(刚学过的):
一阶非线性差分方程 xk 1 f ( xk ) (1) 的平衡点及稳定性 (1)的平衡点 x*——代数方程 x=f(x)的根
* * * x f ( x ) f ( x )( x x ) (2) (1)的近似线性方程 k 1 k
0 x0
x1 1 / 2
x x2
*
1
x
0 x0
x1 1/2 x* x2 1
x
* x （振荡地） x k
x （不） x k
*
k
b=1.7
b=2.6
b=3.3
有限时滞差分方程基于两种测度的稳定性分析
中 图 分 类 号 ： ５ ． ｏ １７ ７ 文 献 标识 码 ： Ａ
Ｓｔ ｉｉｙ Ａｎ ｙ ｉ ｎ Ｔｅ ｍｓ ｏｆＴｗｏ Ｍ ｅａ ｕ ｅｓ ｆ ｒ ａｂ ｌ ａｌ ｓ ｓ ｉ ｒ ｔ ｓ ｒ ｏ
１ 预 备 知 识
首 先 给 出一些 记 号 和定 义 ， Ｒ 记 为 ｋ维 欧几 里
不 必要 的 ． 文运 用 文献 ［ ］ 本 ４ 中关 于泛 函微 分 方程 的
收 稿 日期 ： ０ １０ — ２ ２ ０ — ７１
得 空 间 ， 为非 负 整 数 全 体 ， 为 非 负 实 数 全 体 ， ｚ Ｒ Ｃ一｛ ｛ ， ， １ ０ 一 Ｒ ｝ 定义 ： 一ｒ … 一 ， ｝ ； ｌ ｌ ｌ ｌ— ｍａ ｌ ｓ Ｉ ｘ ）
ｓ ａ ｌｔ ｔ ｂｉｉｙ．
Ｋｅ ｒ ｓ：ｆ ｉｅ ｄ ｌ ｙ ｄ ｆｅ ｅ ｃ ｑ ａ ｉ ｎ ；Ｌｉｐ ｎ ｖ ｆ ｎ ｔ ｎ ｌ ； （ ０ ｈ）ａ ｙ ｐ ｏ ｉ ｔ ｂ ｌ ｙ； （ ０ ｈ） ｙ ｗｏ ｄ ｉ ｔ ｅ ａ ｉｆ ｒ ｎ ｅ ｅ ｕ ｔｏ ｓ ｎ ａ ｕ ｏ ｕ ｃｉ ａｓ ＾ ， ｏ ｓ ｍ ｔ ｔｃ ｓ ａ ｉ ｔ ｉ ＾ ，
准则 ． 这 里 ， 在 只须 要 求泛 函关 于时 滞差 分 方 程 的差 分 在 一 区 间 序 列 上 负 定 ． 外 ， 验 证 渐 近 稳 定 性 另 在
时， 只须 要 求泛 函在一 区间 序列 上 有一 上 界．
方 法 ： 藉 助 于 Ｌａｕ ｏ ① ｉ ｎ ｖ泛 函 ； 运 用 Ｌａ ｕ ｏ ｐ ② ｉｐ ｎ ｖ
一类四阶时滞差分方程的全局渐近稳定性
项” ｚ ， ｆ ” （ Ｘ＋ Ｘ ）组成 ， 中元 素都 大 于或 者等 于 ； 且 ￡ 项 ， ≥一 ３ ｍ ≤ ｏ 满 足 ： 么 ｚ ， ＜ ３ 要 一一 ３ 要么 ｚ ， ＞一 ３ ，
Ｘ＿ ＜ ；； 且 ， ｆ １ 并 要么 ｍ ＝ 。 ，要 么 ｍ ＜ ∞ ， ｌ ； 。 ｚ ＜ ．
Ｋｅ ｏ ｄ ： ｒ ｔ ｎ ｌ ｉ ｅ ｅ ｃ ｑ ａ ｉ ｎ ｅ ｉ ｙ ｌ ；ｇ ｏ ａ ｓ ｍ ｐ ｏ ｉ ｔ ｂ ｌ ｙ ｙ ｗ ｒ ｓ ａ ｉ ａ ｆ ｒ ｎ ｅ ｅ ｕ ｔ ；ｓ ｍ — ｃ ｅ ｌ ｂ ｌａ ｙ ｔ ｔｃ ｓ ａ ｉ ｔ ｏ ｄ ｆ ｏ ｃ ｉ
近来 ， 分方 程与差 分方 程 的研究 引起 了许 多 学者 极 大 的兴 趣 引 Ｎｅｅ ｎ ［ 研 究 了三 阶差 分 方 程 微 ． ｓｍａ ｎ。 的全局 渐近 稳定 性 ， 李先 义 等
刘 纯英 ， 海 峰 ， 战平 霍 马
（ 州 理 工 大 学 应 用 数 学 研究 所 ， 肃 兰 州 ７ ０ ５ ） 兰 甘 ３ ００
摘 要 ： 运 用半环 分析 法研 究 了一类 四阶 时滞 差 分方 程 解 的 结构 以及 全局 渐 近 稳 定性 ， 得 结 果 所
推 广 了文 献［ ］［ ］ ６ 中的结 果． １ ５ 和［序列 分 析法研 究 了几类 高 阶有理 差 分方程 正 平衡 点
受 以上工 作启 发 ， 究 了以下 四阶时滞 差分 方程 的全局渐 近稳 定性 研
ｚ Ｘ ， ｚ， — Ｘｎ ， 广３—卜 ｚ ， ｚ， ｚ， ｝土 ｚ ，堕｝ 卜 ｚ， ｌ— ｚ， — ｚ， ， ，， … （ 井 一 Ｘｎ 广ｌ 盟每 Ｘ 广２ｚ， 车 广２ 广３—卜 Ｘ ｎ ， ｌ 广３—卜 Ｘｎ — 生｛ 壁 广３ 一０１ ， １ ２ ） 广２ 卜 广ｌ Ｘ广 广 卜 广２ 卜
时滞微分包含初值问题与稳定性的理论及应用的开题报告
时滞微分包含初值问题与稳定性的理论及应用的开题报告题目：时滞微分包含初值问题与稳定性的理论及应用一、研究背景和意义时滞微分方程是一类非线性的微分方程，广泛存在于自然科学中的许多领域。
这类微分方程中存在着时滞项，即未来的某个时刻对当前状态的影响。
时滞微分方程的研究一直以来受到数学家和科学家的广泛关注，其理论研究和应用发展已经成为现代动力系统研究的一个重要分支。
在实际应用中，时滞微分方程经常涉及初值问题，即需要确定初始状态才能求解出该微分方程的解。
同时，时滞微分方程的稳定性分析也是其研究的关键问题之一。
如何掌握稳定性分析的基本方法，对于时滞微分方程的理论研究和应用有着重要的意义。
二、研究内容和方法本研究将围绕时滞微分方程解的初值问题及其稳定性问题展开研究。
具体研究内容包括：1. 时滞微分方程的初值问题及其求解方法。
2. 时滞微分方程的稳定性分析及其基本方法。
3. 应用场景的研究，包括控制理论、生物学、经济学等领域应用实例的分析。
研究方法主要包括数学理论与应用实例相结合的方式进行。
依据已有的理论基础，探索新的稳定性分析方法，为具体问题提出可行的解决方案，同时与实际应用场景结合进行研究。
三、预期成果及意义本研究旨在对时滞微分方程的初值问题及稳定性问题进行深入探究，可望取得如下成果：1. 探索一些新的初值问题求解方法，提高时滞微分方程的求解效率。
2. 对时滞微分方程的稳定性基本方法进行总结及总结其应用及利益方面的分析，为理论研究提供工具支持。
3. 对时滞微分方程在实际应用领域的应用进行探究，并提供可行的解决方案和实践指导。
本研究成果的意义在于，为时滞微分方程的求解和应用提供理论指导和工具支持，为实际应用问题的解决提供较好的基础。
差分方程的相容性 收敛性和稳定性
粗看起来，差分方程相容性要求时，差分方程逼近于微分 方程，似乎差分方程数值解也应该收敛于微分方程精确 解。事实上，当我们在证明相容性时，已经假定了差分 方程数值解就是微分方程精确解，在对微分方程进行展 开时，截断误差中已经忽略了离散化误差的存在。因此， 差分方程相容性并不能保证其收敛性。
(3) 差分方程同样也有两种不同形式的收敛性：有条件收敛 和无条件收敛。
由此可知，在n时刻的计算误差
n j
是不会大于
0 j
，因此，
当a＞0，a t 1 时，FTBS差分格式是稳定的（见图a）。这
x 是有条件的稳定，稳定的条件是a＞0，a
t
1 。但是，对于
x
不同的a，Δt，Δx，FTBS差分格式的稳定条件是不同的（见
图b）。
n j 1 n j rn j n j 1 1 rn j r n j 1
其中 r
t x
。设在n时刻计算误差为
n j
，n+1时刻计算误差
为
n 1 j
，则计算误差传播方程为：
n j 1r1 n j rn j 1
(a)
可以采用直观的数值试验法来分析误差传播规律。
在（a）式中设在tn时刻xj的计算误差为
n j
，而计算到n+100时
刻，（xj，tn+100）点的计算误差将发展到 r1100n j r100n j1，
(c)
1a xtmajxenj a xtmajxenj O(x,t)
式中 max
e
n j
表示在n层的所有节点上离散化误差
e nj绝对值最
j
大值，对于所有节点j有：
en1 j
majxen j
一类线性差分微分方程解的稳定性
一类线性差分微分方程解的稳定性
李红玉
【期刊名称】《天津工业大学学报》
【年(卷),期】2004(023)002
【摘要】运用Lyapunov第二方法,通过构造特定的Lyapunov泛函,证明了一类具有限变时滞的线性差分微分方程解的一致渐近稳定性.
【总页数】3页(P84-86)
【作者】李红玉
【作者单位】天津工业大学,理学院,天津,300160
【正文语种】中文
【中图分类】O241.8
【相关文献】
1.一类含两个非线性项的三阶拟线性微分方程解的稳定性 [J], 阎承梓
2.一类非线性微分差分方程解的振动性线性化 [J], 朴大雄;闫卫平
3.一类非线性微分—差分方程解的殆指数渐近稳定性 [J], 周明儒; 张宝善
4.一类非线性微分差分方程解的存在唯一性与振动性 [J], 朴大雄
5.一类非线性复微分差分方程解的不存在性 [J], 林书情;陈俊凡
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重根；c>β 时，没有实根。
≠ ≠ c）k≡2（mod5），0< β4
<A
，-b
β4 A
，准1
<C< A-β4 ，或者-A< A
（b）c<0 时，方程（2.2）有一个正根和一个负根，分别记为 μ（3 c） 和 μ（4 c），它们分别属于（1，+∞）和（-∞，0），μ（3 c）单调减少，μ（4 c）单
单调减少。特别地，0<c<β 时，方程（2.2）分别在（0，α）和（α，1）上各
作者简介：张一敏（1982-），女，黑龙江海伦人，讲师，硕士，研究方向为泛函 有一个正根 μ（6 c）和 μ（7 c），且 μ（6 c）单调增加，μ（7 c）单调减少；c=β
≠ ≠ b）k≡1（mod5），0< β4
<A
，-b
β4 A
，准0
<C< A-β4 ，或者-A< A
≠ ≠ β4 <0，-b
β4 A
，准0
<（-1）
k+1
C<
A+β4 A
，其中
准 0 是 方 程 （1.2）在
ห้องสมุดไป่ตู้
≠ ≠ 4π ，（4k+21）π 5 5（k+5）
上的根。
姨 ≠ ≠≠ ≠ 5
α=
k k+5
A
A
≠ ≠ 当 k 是偶数时，-AC-β4
<A
且 -C
<b
β4 ，准 A
准 是方程
sin（k+5）θ = β4
sinkθ
A
（1.2）
其中
ab≠0。令
λ=
5
姨
a
μ，则方程（2.1）变为
k+5 k
μ -μ +c=0
其中 c=
b
k+5
，k=1，2，3 或 4（mod5）且 c≠0。
a5
记
k
（2.2）
≠ ≠ 在 0，kπ+5 上的根。
A≠0，C≠0，β4 B4 是常数，k>1 正整数。 定理 1.1 设 A≠0，C≠0，k>1 正整数，则方程（1.1）零解渐近稳
定的一个充分条件是下列条件之一成立：
设
≠ ≠ （4k+19）π 5（k+5）
,
4π 5
上的根。
2 相关引理
考虑时滞差分方程
≠ ≠姨≠ ≠ b β4 ，准 = A
2
β4 -2 β4 cos5准+1
摘要：
在这篇文章中，我们研究如下形式的有理型时滞方程
xn+1 =
β4 xn-4 A+B4 xn-4
+Cxn-k-4 ，n=0，1，2，…的稳定性，得到了上述方程零解渐近稳定的
充分条件，其中 A，C，β4 ，B4 是实常数，且 A≠0，C≠0，k>1 正整数。
Abstract: In this paper, we consider the stability of rational delay difference equations and give a sufficient condition for the zero solution of
asymptotically
stable
fifth
order
delay
difference
equations
of
the
form
xn+1 =
β4 xn-4 A+B4 xn-4
+Cxn-k-4 ，n=0，1，2，…Where
A≠0,
β4 B4 C≠0
are
real
constants,
k
is a positive integer.
，β=
5 k+5
k5 k+5
引理 2.1 （i）k 是奇数
（a）c>0 时，方程（2.2）没有负根，特别地，0<c<β 时，方程（2.2）有
两个正实根，分别记为 μ（1 c）和 μ（2 c），它们分别属于（0，α）和（α，
1），μ（1 c）单调增加，μ（2 c）单调减少；c=β 时，α 是方程（2.2）的一个二
，准2
<（-1）
k+1
C<
A+β4 A
，其中
准 2 是 方 程 （1.2）在
i=0
≠ ≠ 一些特殊情形的稳定性，上述方程没有考虑时滞因素，在这篇
文章中我们考虑上述方程的其中一类附加时滞项的情况，本文研究
（2k+9）π 5（k+5）
,
2π 5
上的根。
有理型时滞差分方程
≠ ≠ xn+1 =
β4 xn-4 A+B4 xn-4
关键词： 时滞差分方程；特征方程；渐近稳定
Key words: delay difference equation；characteristic equation；asymptotic stability
中 图 分 类 号 ：G642
文 献 标 识 码 ：A
文 章 编 号 ：1006-4311（2012）05-0279-03
A
A
a）k≡0（mod5），0<
β4
< k+5 k
A ，并且
xn+5 -axn +bxn-k =0，n=0，1，2，…
其中 a，b 为常数，k 正整数，且 ab≠0。
（2.0）的特征方程为
k+5
k
λ -aλ +b=0
（2.0） （2.1）
≠ ≠ 当 k 是奇数时，-b β4 ，准 <C<1<1- β4 ；
1 引言 目前很多学者研究了有理型差分方程
≠ ≠ 2π ，（2k+1）π
5
5k
上的根。
4
Σβi xn-i
x = i=0
n+1
4
，n=0，1，2，…
Σ A+ Bi xn-i
≠ ≠ d）k≡3（mod5），0< β4
<A
，-b
β4 A
，准2
<C< A-β4 ，或者-A< A
≠ ≠ β4 <0，-b
β4 A
+Cxn-k-4 ，n=0，1，2，…
（1.1）
≠ ≠ 的稳定性，得到了上述方程零解渐近稳定的充分条件，其中
e）k≡4（mod5），0< β4
<A
，-b
β4 A
，准3
<C< A-β4 ，或者-A< A
β 4 <0，-b
β4 A
，准3
<（-1）
k+1
C<
A+β4 A
，其中
准 3 是 方 程 （1.2）在
Value Engineering
· 279 ·
一类有理型时滞差分方程的稳定性研究
Stability of a Class of Rational Delay Difference Equations
张一敏 Zhang Yimin；邵俊倩 Shao Junqian；赵爽 Zhao Shuang
（绥化学院数学与信息科学学院，绥化 152061） （Department of Mathematics and Computer Science，Suihua College，Suihua 152061，China）
≠ ≠ β4 <0，-b
β4 A
，准1
<（-1）
k+1
C<
A+β4 A
，其中
准 1 是 方 程 （1.2）在
调增加。 （ii）k 是偶数
— —— —— —— —— —— —— —— —— —— —— ——
（a）c>0 时，方程（2.2）在（-∞，0）上有一个负根，记为 μ（5 c），其
基金项目：绥化学院 2011 年科学技术研究资助项目（QK1102005）。