最新人教版初中八年级数学上册《分式方程及其解法》导学案

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八年级数学上册《分式方程及解法》教案、教学设计

3.精讲精练，突破难点
-教师针对分式方程的解法进行详细讲解，特别是换元法、消元法等难点。
-设计具有针对性的练习题，让学生在练习中巩固所学知识，逐步突破难点。
4.实践应用，提高能力
-设计实际应用题，让学生将分式方程应用于解决实际问题，提高数学应用能力。
-教师及时给予反馈，指导学生调整解题策略，提高解题效果。
（四）课堂练习
1.设计具有代表性的练习题，涵盖分式方程的各种解法。
-练习一：求解分式方程，如：$\frac{2x+1}{3} = \frac{4}{x}$
-练习二：实际问题转化为分式方程，如：某商品原价为x元，打8折后的价格为0.8x元，求原价。
2.学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生疑问。
（五）总结归纳
1.分式方程的定义：给出分式方程的一般形式，讲解分母、分子和未知数之间的关系。
-解释：分式方程就是含有分数的方程，其中分数的分母和分子可以是各种代数式。
2.分式方程的解法：
-换元法：通过设未知数，将分式方程转化为整式方程，然后求解。
-消元法：将方程两边的分母消去，转化为整式方程求解。
-通分法：将方程两边的分式通分，转化为整式方程求解。
7.创设良好的学习氛围，激发学生学习兴趣
-教师应以亲切、热情的态度对待学生，营造轻松、愉快的学习氛围。
-通过表扬、鼓励等方式，激发学生的学习积极性，提高他们的自信心。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.生活实例引入：以学生熟悉的购物打折、银行利率等实际问题为例，引导学生思考如何用数学知识解决这些问题。
4.针对不同学生的需求，给予个性化的指导，帮助他们克服学习中的困难，提高学习效果。
三、教学重难点和教学设想

新人教版八年级数学上册15.3.3分式方程的解的情况导学案

课题新人教版八年级数学上册15.3.3分式方程的解的情况导学案14目标当分式方程有增根时，无解时，怎样求参数的值。

重点分式方程产生增根时，求参数的值。

难点分式方程产生增根的原因。

自主学习一、导入识标：分式方程为什么会产生增根？分式方程产生增根的条件是什么？在哪一步产生增根的？分式方程无解时分为几种情况？二、自学新知：已知11124=--=xax是方程的解，求a的值。

导学探究类型分类：类型一：22=--+axxaxax的方程关于有一个根为1，试求a的值。

类型二：类型三：若)2)(1(2221-1--+=-+xxmxmxx的方程关于有增根，求m的值。

类型四：若)2)(1(2221-1--+=-+x x m x m x x 的方程关于无解，求m 的值。

类型五：当m 为何值时，关于x 的分式方程03)1(16=+-+--xx x m x x 有解？归纳总结：你能回答导入识标中的问题吗？谈谈你的认识。

达标拓展一、达标测试： 1、已知关于x 的方程的取值范围。

的解是非负数，求a x ax 122-=-+2、当m 为何值时，关于x 的分式方程234222+=-+-x x xm x 有增根？3、相关题:练习册22页B 组反思提升。

人教版数学八年级上册15.3分式方程的解法(教案)

三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解分式方程的定义：重点强调分式方程的形式特点，即方程中包含有分母，且分母不为零，让学生充分理解这一核心内容。
举例：如方程2/x = 3/(x+1)，其中x≠0。
（2）掌握分式方程的解法：包括消元法、代入法、加减法等，特别是消元法在求解分式方程中的应用。
举例：消元法求解方程2/x = 3/(x+1)：
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解分式方程的基本概念。分式方程是指含有分母的方程，它是代数方程的一种特殊形式。分式方程在解决实际问题时具有重要作用，能够帮助我们处理比例、速率、百分比等问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设小明和小红的糖果总数为10个，要平均分给两人，我们可以建立分式方程x/2 = 10，其中x表示每人应得的糖果数。通过解这个方程，我们可以得到答案。
2.提升学生的数学建模素养：使学生能够将实际问题抽象为分式方程模型，并运用所学方法求解，从而提高解决实际问题的能力；
3.增强学生的数学运算能力：让学生熟练掌握分式方程的消元、代入、加减等解法，培养他们准确、迅速地进行数学运算的能力。
这些核心素养目标与新教材的要求相符，旨在帮助学生形成系统的数学知识体系，提高数学思维品质和解决问题的综合能力。
难点解析：代入法中，学生可能会遇到以下困难：
-不清楚应该将哪个表达式代入另一个表达式中；
-在代入过程ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，容易忽视方程中的限制条件（如分母不为零）；
-计算过程中可能因粗心导致错误。
（3）分式方程在实际问题中的应用：学生需要学会将实际问题抽象为分式方程，并正确求解。
难点解析：实际问题抽象为分式方程时，学生可能会遇到以下问题：

新人教版八年级数学上册15.3分式方程导学案

新人教版八年级数学上册15.3分式方程导学案
学习目标
1.理解分式方程的概念和分式方程产生无解的原因.
2.掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程.(体会化归思想）
3.体会数学学习带来的快乐.
学习重难点：解分式方程
心灵寄语：与其羡慕别人优秀，不如让自己比别人更优秀！
学习过程：
一、创设情境，导入新课
一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h,它沿江以最大航速顺流航行90 km 所用时间,与以最大航速逆流航行60 km 所用时间相等,江水的流速为多少?
二合作交流，探究新知
1 分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程.如：对比：分母里不含有未知数的方程叫做整式方程.如：3x+1=0，2x-3y=1等。

2 概念应用
下列方程中，哪些是整式方程，哪些是分式方程？
例：解分式方程：
思考：分式方程无解的原因？
v
v -=+306030
90
v v -=+306030902110.x 5x 25=--
三、巩固提高：
1. 解分式方程：
2.的解是中考）分式方程金华12
-x 1(=⋅ 3.211(=-++⋅x
x x x 中考）解方程：嘉兴
四、小结与作业：
1、解分式方程的步骤：通过去分母把分式方程化为然后再解这个整式方程？最后一定要记得检验，这个解是否是这个分式方程的解。

2、作业：练习册
五、教学反思：
1、本节课你有哪些收获？
2、预习时的疑难问题解决了吗？你还有哪些疑惑？
015)4(1412)3(13321)2(3
221)1(222=--+-=-++=++=x x x x x x x x x x x x。

人教初中数学八上《分式方程分式方程及其解法》导学案

第1课时分式方程及其解法 1.理解分式方程的意义. 2.了解分式方程的基本思路和解法. 3.理解分式方程可能无解的原因,并掌握解分式方程的验根的方法. 自学指导：阅读教材P149-151，完成下列问题. 1.填空：(1)分母中不含有未知数的方程叫做整式方程(2)分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2.判断下列说法是否正确：①232x +=5是分式方程；②4x -43=3x 4+是分式方程; ③xx 2=1是分式方程;④1x 1+=1-y 1是分式方程. 解：①不是分式方程，因为分母中不含有未知数.②是分式方程.因为分母中含有未知数.③是分式方程.因为分母中含有未知数.④是分式方程.因为分母中含有未知数.自学反馈1.下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？①22-x =3x ;②x 4+y 3=7; ③2-x 1=x 3;④x1)-x(x =-1; ⑤πx -3=2x ；⑥2x+51-x =10； ⑦x-x 1=2；⑧x 12x ++3x=1. 解：①⑤⑥是整式方程，因为分母中没有未知数.②③④⑦⑧是分式方程，因为分母中含有未知数.判断整式方程和分式方程的方法就是看分母中是否含有未知数.2.解分式方程的一般步骤是：(1)去分母;(2)解整式方程;(3)验根;(4)小结.活动1 小组讨论例1 解方程:3-x 2=x3. 解：方程两边乘x(x-3)，得2x=3(x-3).解得x=9.检验：当x=9时，x(x-3)≠0.所以,原分式方程的解为x=9.例2 解方程:1-x x -1=2)1)(x -(x 3+. 解：方程两边乘(x-1)(x+2)，得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.解得x=1.检验：当x=1时，(x-1)(x+2)=0.所以x=1不是原方程的解.所以，原方程无解.活动2 跟踪训练 1.解方程： (1)2x 1=3x 2+； (2)1x x +=33x 2x ++1； (3)1-x 2=1-x 42； (4)x x 52+-x -x 12=0. 解：(1)方程两边乘2x(x+3),得x+3=4x.去分母：x+3=4x.化简得：3x=3.解得x=1.检验：将x=1代入2x(x+3)≠0.所以x=1是方程的解.(2)方程两边乘3(x+1)，得3x=2x+3x+3.解得x=23-. 检验：将x=23-代入(3x+3)≠0. 所以x=23-是方程的解. (3)方程两边乘x 2-1,得2(x+1)=4.解得x=1.检验：将x=1代入x 2-1=0，所以x=1不是方程的解.所以，原方程无解.(4)方程两边乘x(x+1)(x-1),得5(x-1)-(x+1)=0.解得x=23. 检验：将x=23代入x(x+1)(x-1)≠0. 所以x=23是原方程的解. 方程中分母是多项式，要先分解因式再找公分母.2.解分式方程：(1)1-x x =2-2x 3-2; (2)2-x 3-x +1=x-23; (3)1-2x 2x =1-2x 2+. 解：(1)方程两边乘2x-2，得2x=3-2(2x-2).解得x=67. 检验：当x=67时，2x-2≠0.所以x=67是原方程的解. (2)方程两边乘x-2,得x-3+x-2=-3.解得x=1.检验：当x=1时，x-2≠0.所以，x=1是原方程的解.(3)方程两边乘(2x-1)(x+2),得2x(x+2)=(2x-1)(x+2)-2(2x-1).解得x=0.检验：当x=0时，(2x-1)(x+2)≠0.所以，x=0是原方程的解.课堂小结解分式方程的思路是：教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.角的平分线的性质一、学习目标P N M C B A D C B A 1、会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．2、能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．3、极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。

人教版初中八年级上册数学《分式方程及其解法》精品教案

因此， x=1不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
练习4 解关于x 的方程 a b 1（ b ≠ 1）. xa
解：方程两边同乘x-a，得 a+b（x-a）= （x-a）
去括号，得 a+bx-ab =x-a 移项、合并同类项，得（b-1）x = ab-2a
∴ x ab 2a b1
检验：当 x ab 2a 时，∵ b ≠ 1，∴b-1 ≠0， b1
将方程①化成整式方程的关键步骤是什么？
归纳
解分式方程①的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母，这也是解分式方程的一般方法.
下面我们再讨论一个分式方程
1 10 x 5 x2 25
②
在方程两边乘最简公分母 (x-5)(x+5) ，
得解得
x+5=10 x=5
4.解方程：
(x
1 1)( x
2)
(x
1 2)( x
5)
(x
1 5)( x
8)
(x
1 8)( x
11)
1 1 3x 3 24
解：方程可化为：
1 1
3
x
1
1 x
2
1 1
3
x
2
1
x
5
1 3
x
1
5
x
1
8
1
3
x
1
8x1111 1 3x 3 24
得
1 3
x
1
1
x
1
11
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
再见！
思考

人教版八年级上册数学《分式方程》(优质教案)

人教版八年级上册数学《分式方程》（优质教案）一. 教材分析人教版八年级上册数学《分式方程》这一章节是在学生已经掌握了分式的基础知识，如分式的概念、分式的运算等基础上进行讲解的。

本章主要内容是让学生了解分式方程的定义、解法以及应用。

通过本章的学习，学生应能理解分式方程的概念，掌握解分式方程的基本方法，并能够将分式方程应用于解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习本章内容之前，已经掌握了分式的基本知识，具备了一定的逻辑思维能力和问题解决能力。

但学生在解分式方程时，可能会遇到理解上的困难，如分式方程的转化、求解过程中的运算等。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，及时进行引导和帮助。

三. 教学目标1.了解分式方程的定义，理解分式方程与一般方程的区别。

2.掌握解分式方程的基本方法，能够熟练地求解分式方程。

3.能够将分式方程应用于解决实际问题，提高解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.分式方程的定义及其与一般方程的区别。

2.分式方程的解法及其应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过设置问题，引导学生思考和探索，从而掌握分式方程的知识；通过案例分析，让学生了解分式方程在实际问题中的应用；通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作有关分式方程的PPT，内容包括：分式方程的定义、解法及应用。

2.案例材料：收集一些实际问题，用于教学过程中的案例分析。

3.练习题：准备一些分式方程的练习题，用于课堂练习和课后作业。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示分式方程的定义，引导学生思考：什么是分式方程？分式方程与一般方程有什么区别？2.呈现（15分钟）通过PPT呈现分式方程的解法，主要包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、化简等步骤。

同时，结合实际问题，让学生了解分式方程在生活中的应用。

3.操练（15分钟）让学生独立完成PPT上的练习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。

八年级数学上册 15.3《分式方程》导学案3(新版)新人教版

八年级数学上册 15.3《分式方程》导学案3（新版）新人教版(一)教学知识点1、解分式方程的一般步骤，解分式方程验根的必要性、2、用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题，用分式方程来解决现实情境中的问题、(二)能力训练要求1、通过具体例子,让学生独立探索方程的解法,经历和体会解分式方程的必要步骤、2、使学生进一步了解数学思想中的"转化"思想,认识到能将分式方程转化为整式方程,从而找到解分式方程的途径、3、经历运用分式方程解决实际问题的过程,发展抽象概括、分析问题和解决问题的能力、学习重点1、解分式方程的一般步骤,熟练掌握分式方程的解决、2、明确解分式方程验根的必要性、3、审明题意,寻找等量关系,将实际问题转化成分式方程的数学模型、学习难点1、明确分式方程验根的必要性、2、寻求实际问题中的等量关系,寻求不同的解决问题的方法、学习过程：一、知识梳理、分式方程：分母里含有未知数的方程叫分式方程。

注：分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别，分母中含未知数就是分式方程，否则就为整式方程。

2、解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程。

（2）列整式方程，求得整式方程的根。

（3）验根：把求得的整式方程的根代入A，使最简公分母等于0的根是增根，否则是原方程的根。

（4）确定原分式方程解的情况，即有解或无解。

3、增根的概念：在分式方程去分母转化为整式方程的过程中，可能会增加使原分式方程中分式的分母为零的根，这个根叫原方程的增根，因此列分式方程一定要验根。

注：增根不是解题错误造成的。

4、列方程解应用题步骤：审、设、列、解、验、答。

二、基础知识练习解下列分式方程1、2、5、要使的值相等，则x=__________。

6、若关于x的分式方程无解，则m的值为__________。

7、A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程-------------8、A、B两地相距50千米，甲骑自行车，乙骑摩托车，都从A地到B地，甲先出发1小时30分，乙的速度是甲的2、5倍，结果乙先到1小时，求甲、乙两人的速度。

新人教版八年级数学上册《分式方程》导学案

《分式方程》导学案学习目标：1．使学生理解分式方程的意义．2．使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法．3．了解解分式方程解的检验方法．学习重点：(1)可化为一元一次方程的分式方程的解法．(2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想学习难点：检验分式方程解的原因学习过程：一、自主学习：1.概念：分式方程：分母中含有的方程叫分式方程。

2.练习：判断下列各式哪个是分式方程．（1）5x y += （2）2253x y z +-= （3）1x （4）05y x =+ 3. 看课本例题回答问题：轮船顺流航行的速度为千米/时；逆流航行的速度为千米/时，顺流航行 100千米所用的时间为小时，逆流航行 60 千米所用的时间为小时。

由两次航行所用时间相等，可列方程100602020v v =+- 二、合作探究1、观察课本生解题过程，思考：方程100602020v v=+-和()()100206020v v -=+中 V 的取值范围相同吗？所以对上题中的解 v=5 必须检验。

检验：将 v=5 代入原方程中，左边= 4，右边=4 ，左边 =右边，因此 v=5 是原方程的解。

注意：分式方程必须检验2、解方程：2110525x x =--小结：一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此检验时常将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解，是原分式方程的增根三、学以致用1、解方程：（1）1223x x =+ （2）21133x x x x =+++（3）22411x x =-- （4）22510x x x x -=+-（5）572x x =- （6）11322xx x -=---四、能力提升：1、若关于 x 的分式方程1011m xx x --=--有增根，则m 的取值是?点拨：把分式方程进行转化，然后找到有可能的增根，代入。

八年级数学上册《分式方程的解法》教案、教学设计

在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，充分调动学生的学习积极性，引导他们主动参与课堂活动，使学生在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等方面得到全面发展。
二、学情分析
八年级学生在数学学习上已具备了一定的基础，对整式方程的解法有较好的掌握。但在面对分式方程时，可能会因为分母不为零的条件、解法的多样性等问题感到困惑。此外，学生在解决实际问题时，可能难以将问题转化为分式方程，需要教师在教学过程中给予引导。
4.反馈与指导：针对学生的练习情况，给予及时反馈和指导，帮助学生纠正错误，提高解题能力。
（五）总结归纳
在总结归纳环节，我将引导学生进行以下思考：
1.分式方程解法的要点：总结分式方程解法的步骤和关键点，加深学生的记忆。
2.解题策略：讨论解题过程中遇到的问题及解决方法，提高学生的解题策略。
3.情感态度与价值观：强调数学学习的重要性，激发学生对数学的热爱，培养学生的自信心。
-能够将实际问题抽象成分式方程，并熟练运用所学的解法求解。
2.过程与方法方面的重难点：
-学生在解题过程中，对解题策略的选择和运用。
-学生在小组合作中，如何有效沟通、分享解题思路。
-学生对解题规律的总结，以及逻辑思维和抽象思维能力的培养。
3.情感态度与价值观方面的重难点：
-培养学生对分式方程解法的兴趣，克服对数学学习的恐惧心理。
3.提出问题：通过提问方式引导学生思考，如“整式方程与分式方程有什么区别和联系？”、“分式方程的解法有哪些？”等问题，激发学生的探究欲望。
（二）讲授新知
在讲授新知环节，我将按照以下步骤进行：
1.分式方程的定义：讲解分式方程的定义，强调分母不为零的条件。
2.解法讲解：详细讲解交叉相乘法、通分法等解分式方程的方法，并通过示例进行演示。

人教版八年级数学上册15.3.1.1《分式方程及其解法(1)》教学设计

人教版八年级数学上册15.3.1.1《分式方程及其解法(1)》教学设计一. 教材分析人教版八年级数学上册15.3.1.1《分式方程及其解法(1)》这一节主要介绍了分式方程的定义、性质以及解法。

分式方程是初中数学中的一种重要方程，它涉及到实数的运算、方程的转化和求解，对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力具有重要意义。

本节内容为学生提供了分式方程的基本解法，为后续学习更复杂的方程打下基础。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了实数的运算、方程的基本概念，具备了一定的数学基础。

但是，对于分式方程这一概念，学生可能还比较陌生，需要通过具体的例子和练习来逐步理解和掌握。

在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的实际水平进行教学，提高学生的学习兴趣和自信心。

三. 教学目标1.了解分式方程的定义和性质，理解分式方程的意义。

2.学会分式方程的基本解法，提高解方程的能力。

3.培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.分式方程的定义和性质。

2.分式方程的解法。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，通过创设情境、设置问题、引导学生自主探究、小组讨论等方式，激发学生的学习兴趣，培养学生的动手操作能力、思考能力和团队协作能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT、案例和练习题。

2.准备黑板、粉笔等教学工具。

3.准备与教学内容相关的学习资料。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入分式方程的概念，让学生感受分式方程在实际生活中的应用。

例如：某商品打8折后的价格是120元，问原价是多少？2.呈现（15分钟）介绍分式方程的定义、性质和基本解法。

通过PPT展示相关的理论和案例，让学生理解和掌握分式方程的基本概念。

3.操练（15分钟）让学生分组进行练习，运用所学的知识解分式方程。

教师巡回指导，解答学生的问题，并给予鼓励和表扬。

4.巩固（5分钟）挑选几道典型的练习题，让学生上黑板演示解题过程，讲解解题思路。

【最新】人教版八年级数学上册导学案：15.3分式方程

新人教版八年级数学上册导学案：15.3分式方程学习目标：1、结合实际问题理解分式方程的意义，学会区分整式方程与分式方程；2、初步学会解可化为一元一次方程的分式方程；3、通过把分式方程转化为解整式方程的过程，体验化归的思想；一、自学指导1：1、什么是分式方程？------------------------------------------------------------2辨一辨：下列方程中，哪些是关于x 的分式方程，哪些不是？（1）6231=--x x ；（2）x x 1+；（3）0251=++x ；（4）7a 1243=++x x ；二自学指导2 想一想：如何来解分式方程呢？例1解方程：解：方程的两边都乘以2X,得 960-600=90X解这个方程,得 X=4检验：将x=4代人原方程得左边=45=右边∴x=4是原方程的解想一想：对照上面方程的解法，你能理解分式方程为什么要把解进行检验吗？解：方程的两边都乘以x-2，得1-x=－1-2(x-2)解这个方程,得X=2 --------------------------------- ---------------------------------------11321(1)••5••(2)••••(3)••8x x 2x x 2x 12112(4)••0••(5)••1x 1x 32x x==-=-+-+=-=-观察下列方程有什么特点？48060045x 2x-=1x 12x 22x-=---例3 解方程：--------------------------------你认为x=2是方程的根吗？将解方程过程补充完整想一想：除了代入原方程进行检验，你还有其他的检验方式吗？---------------------------例 4解方程：解：方程两边同乘以（x-1）（x+2），得X(x+2)-(x-1)(x+2)=3解这个方程，得X=1检验：当X=1时，(x-1)(x+2)=0 所以原方程无解2、解分式方程的一般步骤是什么？体现了什么数学思想？步骤：1.--------------------------------2．-------------------------------3．-------------------------------- 4.---------------------------------数学思想：---------------------------三自学指导3 找一找：小明同学对方程)1(516++=+x x x x 的解答如下：解:方程两边同乘最简公分母x(x+1),得6x=x+5解这个方程,得x=1所以原方程的解是x=1小丽认为小明的解答有误，你认为小明错在＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

分式方程的解法及应用(提高)导学案+习题【含答案】

分式方程的解法及应用（提高）【学习目标】1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．2. 会列出分式方程解简单的应用问题．【要点梳理】要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.要点三、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.要点四、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题.列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根；（6）写出答案.【典型例题】类型一、判别分式方程【高清课堂分式方程的解法及应用例1】1、下列各式中，哪些是分式方程？哪些不是分式方程？为什么？（1）21753997x x--=（2）352y y =- （3）31422y y ++- （4）221531x x x +=-- 【答案与解析】解：（1）虽然方程里含有分母，但是分母里没有未知数，所以不是分式方程；（2）具备分式方程的三个特征，是分式方程；（3）31422y y ++-没有等号，所以不是方程，它是一个代数式；（4）方程具备分式方程的三个特征，是分式方程．特别提醒：（3）题是一个代数式，不是方程，容易判断错误；【总结升华】整式方程与分式方程的区别在于分母里有没有未知数，有未知数的就是分式方程，没有未知数的就是整式方程．类型二、解复杂分式方程的技巧2、解方程：1310414351x x x x -=-----．【答案与解析】解：方程的左右两边分别通分，得3131(4)(3)(5)(1)x x x x x x ++=----，∴31310(4)(3)(5)(1)x x x x x x ++-=----，∴ 11(31)0(4)(3)(5)(1)x x x x x ⎡⎤+-=⎢⎥----⎣⎦， ∴ 310x +=，或110(4)(3)(5)(1)x x x x -=----，由310x +=，解得13x =-，由110(4)(3)(5)(1)x x x x -=----，解得7x =．经检验：13x =-，7x =是原方程的根.【总结升华】若用常规方法，方程两边同乘(4)(3)(5)(1)x x x x ----，去分母后的整式方程的解很难求出来．注意方程左右两边的分式的分子、分母，可以采用先把方程的左右两边分别通分的方法来解．举一反三：【变式】解方程11114756x x x x +=+++++．【答案】解：移项得11114567x x x x -=-++++，两边同时通分得(5)(4)(7)(6)(4)(5)(6)(7)x x x x x x x x +-++-+=++++，即11(4)(5)(6)(7)x x x x =++++，因为两个分式分子相同，分式值相等，则分式分母相等．所以(4)(5)(6)(7)x x x x ++=++，229201342x x x x ++=++， 2292013420x x x x ++---=，4220x --=，∴ 112x =-．检验：当112x =-时，(4)(5)(6)(7)0x x x x ++++≠．∴ 112x =-是原方程的根．类型三、分式方程的增根【高清课堂分式方程的解法及应用例3】3、（1）若分式方程223242mx x x x +=--+有增根，求m 值；（2）若分式方程2221151k k x x x x x---=---有增根1x =-，求k 的值．【思路点拨】（1）若分式方程产生增根，则(2)(2)0x x -+=，即2x =或2x =-，然后把2x =±代入由分式方程转化得的整式方程求出m 的值．（2）将分式方程转化成整式方程后，把1x =-代入解出k 的值. 【答案与解析】解：（1）方程两边同乘(2)(2)x x +-，得2(2)3(2)x mx x ++=-．∴ (1)10m x -=-．∴ 101x m=-．由题意知增根为2x =或2x =-，∴ 1021m =-或1021m =--．∴ 4m =-或6m =．（2）方程两边同乘(1)(1)x x x +-，得(1)(1)(5)(1)k x x k x --+=-+． ∴ 34x k =-．∴ 43k x -=． ∵ 增根为1x =-，∴ 413k -=-．∴ 1k =．【总结升华】(1)在方程变形中，有时可能产生不适合原方程的根，这种根做作原方程的增根．在分式方程中，使最简公分母为零的根是原方程的增根；(2)这类问题的解法都是首先把它们化成整式方程，然后由条件中的增根，求得未知字母的值．举一反三：【变式】已知关于x 的方程322133x axx x-++=---无解，求a 的值．【答案】解：方程两边同乘(3)x -约去分母，得(32)(2)(3)x ax x --+=--，即(1)2a x +=-． ①∵ 30x -=，即3x =时原方程无解， ∴ (1)32a +⨯=-，∴ 53a =-． ②∵ 当10a +=时，整式方程(1)2a x +=-无解， ∴ 当1a =-时，原方程无解．综上所述，当53a =-或1a =-时，原方程无解．类型四、分式方程的应用【高清课堂分式方程的解法及应用例3】4、某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．(1)甲、乙工程队每天各能铺设多少米?(2)如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量(以百米为单位)的方案有几种?请你帮助设计出来．【思路点拨】(1)题中的等量关系是甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．（2）由工期不超过10天列出不等式组求出范围. 【答案与解析】解：(1)设甲工程队每天能铺设x 米，则乙工程队每天能铺设()20x -米．根据题意，得35025020x x =-．解得70x =．经检验，70x =是原分式方程的解且符合题意．故甲、乙两工程队每天分别能铺设70米和50米．(2)设分配给甲工程队y 米，则分配给乙工程队()1000y -米．由题意，得10,70100010,50yy ⎧≤⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩ 解得500≤y ≤700．方案一：分配给甲工程队500米，分配给乙工程队500米．方案二：分配给甲工程队600米，分配给乙工程队400米．方案三：分配给甲工程队700米，分配给乙工程队300米．所以分配方案有3种．【总结升华】本题主要考查列分式方程解应用题，考查学生分析和解决问题的能力. 举一反三：【变式】一慢车和一快车同时从A 地到B 地，A ，B 两地相距276公里，慢车的速度是快车速度的三分之二，结果快车比慢车早到达2小时，求快车，慢车的速度. 【答案】解：(2)设快车速度为x /km h ，则慢车速度为23x /km h 依题意，得276276223x x =-，去分母，得276×2＝276×3－4x ，所以69x =，经检验知69x =是原方程的解，所以2463x =，答：慢车、快车的速度分别为46 /km h 、69/km h ．【巩固练习】一.选择题1．下列关于x 的方程中，是分式方程的是（） A ．35435x x -+-= B ．abb x b a a x +=- C ．2(1)11x x -=-D ．x n x n m n-=2．若分式方程2()8(1)5x a a x +=--的解为,51-=x 则a 等于（）A ．65 B ．5C ．65-D ．－53. 已知111,1,a b b c =-=-用a 表示c 的代数式为（） A ．11c b =- B ．11a c =- C ． a a c -=1 D ．1a c a-=4．若关于x 的方程0111=----x xx m 有增根，则m 的值是（）A ．3B ．2C ．1D ．－15．将公式21111R R R +=（12R R R ，，均不为零，且2R R ≠）变形成求1R 的式子，正确的是（） A ．212RR R R R=-B ．212RR R R R =+C ．1212RR RR R R +=D ．212RR R R R =-6．若关于x 的方程323-=--x mx x 有正数解，则( )． A.m ＞0且m ≠3 B.m ＜6且m ≠3 C.m ＜0 D.m ＞6二.填空题7．当m ＝______时，方程213m x -=的解为1． 8．已知分式方程 424-+=-x ax x 有增根，则a 的值为______． 9．关于x 的方程324+=-b xa 的解为______．10．一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它在江水中航行时，江水的流速为v 千米/时，则它以最大航速顺流航行s 千米所需的时间是______． 11．某人上山，下山的路程都是s ，上山速度1v ，下山速度2v ，则这个人上山和下山的平均速度是______．12．若一个分数的分子、分母同时加1，得12；若分子、分母同时减2，则得13，这个分数是______．三.解答题13.已知关于x 的方程233x mx x -=--有一个正数解，求m 的取值范围．14. 甲工人工作效率是乙工人工作效率的212倍，他们同时加工1500个零件，甲比乙提前18个小时完工，问他们每人每小时各加工多少个零件?15. 从甲地到乙地有两条公路，一条是全长600千米的普通公路，另一条是全长480千米的高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上行驶的平均速度每小时快45千米，由高速公路从甲地到乙地所需时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半．求该客车由普通公路从甲地到乙地的平均速度．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C ；【解析】分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. 2. 【答案】B ；【解析】原式化简为101088x a ax a +=-+，将15x =-代入解得5a =. 3. 【答案】D ；【解析】11c b =-，11b a =-，11111a c a a-==--. 4. 【答案】B【解析】将1x =代入10m x --=，解得2m =. 5. 【答案】A ；【解析】2122111R RR R R RR -=-=，所以212RR R R R=-. 6. 【答案】B【解析】原方程化简为()23x x m --=，6x m =-，03x x >≠且，解得m ＜6且m ≠3.二.填空题 7. 【答案】12；【解析】将1x =代入213m x -=，解得12m =. 8. 【答案】4；【解析】原式化简得()24x x a =-+，将4x =代入，解得4a =. 9. 【答案】264a b x --=；【解析】原方程化简为264a b x --=，所以264a b x --=. 10.【答案】20sv+； 11.【答案】12122v v v v +；【解析】由题意上山和下山的平均速度为：12121222v v s s s v v v v =++.12.【答案】511；【解析】设这个分数为a b ，1112a b +=+，2123a b -=-，解之得：511a b ==，，所以这个分数是511. 三.解答题 13.【解析】解：方程两边同乘(3)x -约去分母，得2(3)x x m --=．整理，得6x m =-．∵ 0,30,m x >⎧⎨-≠⎩ ∴ 60,630.m m ->⎧⎨--≠⎩解得6m <且3m ≠，∴ 当6m <且3m ≠时，原方程有一个正数解． 14.【解析】解：设乙工人每小时加工x 个零件，甲工人每小时加工52x 个零件，由题意，得：150015001852x x =+ 整理得，55150015001822x ⨯=+⨯，解得50x =.经检验，是50x =原方程的根.51252x =.答：甲工人每小时加工125个零件，乙工人每小时加工50个零件. 15.【解析】解：设客车由普通公路从甲地到乙地的平均速度为x 千米/时，列方程得：600480245x x =⨯+．解得：75x =．x 是原方程的解且符合题意．经检验75答：客车由普通公路从甲地到乙地的平均速度为75千米/时．欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。

人教版数学八年级上册15.3分式方程及其解法(教案)

4.数学运算：加强学生对数学运算法则的理解和运用，熟练掌握分式方程的解法，提高运算速度和准确性。
5.数据分析：通过分析和解决分式方程问题，培养学生对数据的敏感度，学会从数据中提炼信息，进行合理推断。
6.数学思维：激发学生的数学思维，培养他们在面对复杂数学问题时，能够运用所学知识进行创新思考和问题解决。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调分式方程的定义和求解方法这两个重点。对于难点部分，如去分母法、代入法等，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与分式方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示分式方程的基本原理。
-数学运算的准确性：在进行分式方程的运算时，学生可能因运算不当而得出错误答案。
-突破方法：强调运算规则，提供针对性练习，及时纠正错误，提高运算准确性。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《分式方程及其解法》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要按比例分配或求解问题的情况？”比如购物打折、按人数分配食物等。这个问题与我们将要学习的分式方程密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索分式方程的奥秘。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“分式方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。

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15.3分式方程
第1课时分式方程及其解法
一、新课导入
1.导入课题:
前面我们探讨了分式的有关性质及其运算，在分式的研究中，还有一个重要的内容就是分式方程，今天我们一起走进分式方程.
2.学习目标：
（1）知道分式方程的概念，
（2）会解分式方程.
3.学习重、难点：
重点：分式方程及其解法.
难点：分式方程产生增根的原因.
二、分层学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第149页到第150页的内容.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：对照自学提纲，认真阅读课本.重点词句或不理解的地方做上记号.
（4）自学参考提纲：
①什么样的方程叫分式方程？
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
②解分式方程的基本思路是什么？
将分式方程化为整式方程.
③将分式方程化成整式方程的关键步骤是什么？
去分母，即方程两边乘最简公分母.
2.自学：请同学们结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：了解学生是否认识分式方程的特点和分式方程的解法.
②差异指导：指导个别学生正确找出最简公分母.
（2）生助生：学生之间相互交流帮助.
4.强化：
（1）判断分式方程的方法是：看分母是否含有未知数.
（2）分式方程的关键步骤是去分母，难点是找最简公分母.
（3）下列方程哪些是分式方程？④⑤.
（4）指出下列方程中各分母的最简分母，并写出去分母后得到的整式方程.
解：①最简公分母2x(x+3),去分母得x+3=4x；
②最简公分母x2-1,去分母，得2（x+1）=4；
③最简公分母3x+3，去分母，得3x=2x+3x+3.
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第150页“思考”到第151页的内容. （2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：认真阅读课本，思考去分母后化成的整式方程的解，为什么有的是原分式方程的解，有的不是？对照课本中的例子想想理由.归纳解分式方程的基本步骤.
（4）自学参考提纲：
①说说为什么解分式方程一定要检验？
因为得到的解可能会导致最简公分母为0，即分母为0. ②说说解分式方程的检验方法.
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解
③解分式方程的一般有哪些步骤？去分母，解整式方程，检验.
④某生在解例2时去分母得x(x+2)-1=3，你认为他错在哪里？漏乘了最简公分母. ⑤试解方程
235
11
x x =--；解：去分母，得3(x+1)=5 x=53-1=23
检验：当x=23
时，(x+1)(x-1)≠0，所以，原分式方程的解为x=23
.
3
2122
x x x =--- 解：去分母，得2x=3-2(2x-2) 去括号得2x=3-4x+4
移项6x=7
系数化为1，x=7
6
时，2(x-1)≠0.
检验：当x=7
6
所以原分式方程的解为x=7
6
2.自学：同学们结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：观察学生在解分式方程过程中易产生错误的环节或步骤.
②差异指导：对学生出现的错误进行分类指导.
（2）生助生：交流提纲④，对⑤互相批改、纠错.
4.强化：
(1)解分式方程的一般步骤.
（2）分式方程的验根方法.
(3)分式方程无解的条件.
时，4x2-1=0,
检验：当x=1
2
因此x=1
不是原分式方程的解.
2
所以，原分式方程无解.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：学生代表交流自己的学习收获和学后体验.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：对学生的学习态度、情感、方法、成果及不足进行归纳点评.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）:
在本课的教学过程中，应从这样的几个方面入手：
（1）分式方程和整式方程的区别：分清楚分式方程必须满足的两个条件：①方程式里必须有分式，②分母中含有未知数.这两个条件是判断一个方程是否为分式方程的必要条件.同时，由于分母中含有未知数，所以将其转化为整式方程后求出的解就应使每一个分式有意义，否则，这个根就是原方程的增根.正是由于分式方程与整式方程的区别，在解分式方程时必须进行检验.
（2）分式方程和整式方程的联系：分式方程通过方程两边都乘以最简公分母，约去分母，就可以转化为整式方程来解，教学时应充分渗透这种化归思想.
（3）解分式方程时，如果分母是多项式，应先写出将分母进行因式分解的步骤，从而让学生准确无误地找出最简公分母.
另外，对分式方程可能产生增根的原因，要启发学生认真思考和讨论.
一、基础巩固（每题10分，共60分）
1.下列式子是分式方程的是（C）
2.把分式方程两边同乘(x－1)，约去分母后，得(D)
3.分式方程的解是（D）
A.x=1
B.x =－1
C.x=－1
D.无解
4
解：（1）去分母，3x-6+4（x+2）=16
去括号，合并同类项7x=14
系数化为1，x=2
检验：当x=2时，(x+2)(x-2)=0,因此x=2不是原分式方程的解.所以，原分式方程无解.
（2）去分母得，（x+1）(x+2)=x(x+4)
去括号，合并同类项，得3x+2=4x
移项，x=2
检验：当x=2时，x(2+x)≠0，所以，原分式方程的解为x=2.
二、综合应用（20分）
7.已知关于x的方程有增根，求该方程的增根和k的值.
解：去分母，得3x+3-（x-1）=x2+kx，
整理，得x2+（k-2）x-4=0.
因为有增根，所以增根为x=0或x=1.
当x=0时，代入方程得-4=0，
所以x=0不是方程的增根；
当x=1时，代入方程，得k=5，所以k=5时方程有增根x=1.
三、拓展延伸（20分）
8.解方程：
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