值分布理论中全纯函数关于特征函数的一个不等式

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jensen不等式证明均值不等式

Jensen不等式是数学中的一个重要不等式，它描述了凸函数的性质，并应用于众多领域，如概率论、统计学和信息论等。

Jensen不等式在均值不等式中具有重要作用。

本文将从Jensen不等式的数学定义入手，展开对其在均值不等式中的证明，并讨论其在实际问题中的应用。

一、Jensen不等式的定义1.1 凸函数的定义凸函数是指对于定义域内的任意两点，连接这两点的线段位于函数图像的上方。

具体而言，若对于定义域内的任意两点x1和x2，以及任意0≤λ≤1，有f(λx1 + (1-λ)x2) ≤ λf(x1) + (1-λ)f(x2)，则函数f(x)为凸函数。

1.2 Jensen不等式的表述设f(x)为凸函数，X为随机变量，则有E[f(X)] ≥ f(E[X])，其中E[·]表示随机变量的期望值。

此即Jensen不等式的常见表述形式。

二、Jensen不等式在均值不等式中的应用2.1 均值不等式的概念均值不等式是指描述一组数的平均值与其它某些特定数之间的大小关系的不等式。

常见的均值不等式包括算术平均数-几何平均数不等式、柯西-施瓦兹不等式等。

2.2 Jensen不等式与均值不等式的关系通过Jensen不等式，我们可以推导出许多均值不等式。

具体而言，对于凸函数f(x)和非负权重λi（∑λi=1），有f(∑λiXi) ≤ ∑λif(Xi)，其中Xi为实数。

这一不等式即表明了均值不等式的一种形式。

三、Jensen不等式在实际问题中的应用3.1 概率论中的应用在概率论中，Jensen不等式常常用于证明随机变量的期望值与函数的值之间的大小关系。

对于凸函数f(x)和随机变量X，有E[f(X)] ≥f(E[X])。

这一性质在风险管理、金融工程等领域有重要应用。

3.2 统计学中的应用在统计学中，Jensen不等式被广泛应用于证明估计量的不偏性、有效性等性质。

通过Jensen不等式，可以建立统计量与其期望值之间的关系，从而为统计推断提供理论基础。

2019版高考数学文大一轮优选全国讲义：第60讲不等式的证明含答案精品

第60讲不等式的证明1．比较法作差比较法与作商比较法的基本原理： (1)作差法：a －b ＞0⇔__a ＞b __.(2)作商法：ab ＞__1__⇔a ＞b (a ＞0，b ＞0)．2．综合法与分析法(1)综合法：证明不等式时，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过__推理论证__而得出命题成立，综合法又叫顺推证法或由因导果法．(2)分析法：证明命题时，从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的__充分条件__，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立．这是一种__执果索因__的思考和证明方法．3．反证法先假设要证的命题__不成立__，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的__推理__，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)__矛盾__的结论，以说明假设__不正确__，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法．4．放缩法证明不等式时，通过把所证不等式的一边适当地__放大__或__缩小__以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法．5．数学归纳法数学归纳法证明不等式的一般步骤： (1)证明当__n ＝n 0__时命题成立；(2)假设当__n ＝k __(k ∈N *，且k ≥n 0)时命题成立，证明__n ＝k ＋1__时命题也成立．综合(1)(2)可知，结论对于任意n ≥n 0，且n 0，n ∈N *都成立． 6．柯西不等式(1)代数形式：设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立．(3)三角不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3∈R ，则 (x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(x 2－x 3)2＋(y 2－y 3)2≥ (x 1－x 3)2＋(y 1－y 3)2.(4)一般形式：设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．7．排序不等式设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 是b 1，b 2，…，b n 的任一排列，那么a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1≤a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n .当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝…＝b n 时，反序和等于顺序和．1．思维辨析(在括号内打“√”或“”)．(1)用反证法证明命题“a ，b ，c 全为0”时假设为“a ，b ，c 全不为0”. ( × ) (2)若实数x ，y 适合不等式xy >1，x ＋y >－2，则x >0，y >0.( √ ) (3)不等式|x ＋a |＋|x ＋b |≥c 恒成立的充要条件是|a －b |≥c .( √ ) (4)不等式|x ＋a |－|x ＋b |＜c 恒成立的充要条件是|a －b |≤c .( × )2．若a >0，b >0，a ，b 的等差中项是12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1b ，则α＋β的最小值为( D )A ．2B ．3C ．4D ．5解析 ∵12为a ，b 的等差中项，∴a ＋b ＝12×2＝1.a ＋1a ＋b ＋1b ⇒1＋1a ＋1b ＝1＋a ＋b ab ＝1＋1ab，∵ab ≤a ＋b 2，∴ab ≤(a ＋b )24＝14.∴1＋1ab≥1＋4.∴α＋β的最小值为5.故选D.3．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( B )A ．8B ．4C ．1D ．14解析因为3a ·3b ＝3，所以a ＋b ＝1. 1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时“＝”成立．故选B.4．若直线3x ＋4y ＝2，则x 2＋y 2的最小值为__425__，最小值点为__ ⎝⎛⎭⎫625，825 __. 解析画出直线3x ＋4y ＝2的图象，再画以原点为圆心的圆，要使圆和直线有交点，则最小半径为直线与圆相切时，r ＝|2|5＝25，切点为直线3x ＋4y ＝2与4x －3y ＝0的交点．因此，当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2取得最小值，最小值为425，最小值点为⎝⎛⎭⎫625，825. 5．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不等的实数x 1，x 2都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称函数f (x )为“Ζ函数”，以下函数中为“Ζ函数”的序号为__②④__.①y ＝－x 3＋1；②y ＝3x －2sin x －2cos x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ ln |x |，x ≠0，0，x ＝0；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，－x 2＋x ，x <0.解析由排序不等式原理可知x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 1>x 2，f (x 1)>f (x 2)或⎩⎪⎨⎪⎧x 1<x 2，f (x 1)<f (x 2)⇒f (x )是R 上的增函数．易知①是R 上的减函数；③是R 上的偶函数；对于②，y ′＝3＋22sin ⎝⎛⎭⎫x －π4>0；对于④，根据其图象可以判定为增函数．一比较法证明不等式比较法证明不等式的步骤(1)作差(商)；(2)变形；(3)判断差的符号(商与1的大小关系)；(4)下结论．其中“变形”是关键，作差比较法中通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负．【例1】已知a ，b ，x ，y ∈(0，＋∞)，且1a ＞1b ，x ＞y .求证：x x ＋a ＞yy ＋b.证明方法一 ∵x x ＋a －y y ＋b ＝bx －ay (x ＋a )(y ＋b )，1a ＞1b 且a ，b ∈(0，＋∞)，∴b ＞a ＞0.又x ＞y ＞0，∴bx ＞ay . ∴bx －ay (x ＋a )(y ＋b )＞0，即x x ＋a ＞yy ＋b.方法二 ∵x ，y ，a ，b ∈(0，＋∞)， ∴要证x x ＋a ＞yy ＋b，只需证明x (y ＋b )＞y (x ＋a )，即证xb ＞ya . 而由1a ＞1b＞0，得b ＞a ＞0.又x ＞y ＞0，∴xb ＞ya 显然成立．故原不等式成立．二分析法和综合法证明不等式分析法和综合法证明不等式的技巧证明不等式，主要从目标式的结构特征，综合已知条件，借助相关定理公式探索思路，如果这种特征不足以明确解题方法时，就应从目标式开始通过“倒推”——分析法，寻找目标式成立的充分条件直至与已知条件吻合，然后从已知条件出发综合写出证明过程．【例2】 (2017·全国卷Ⅱ)已知a ＞0，b ＞0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.证明 (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b )＝2＋3(a ＋b )34，所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.三柯西不等式的应用柯西不等式应用的常见类型及解题策略(1)求表达式的最值．依据已知条件，利用柯西不等式求最值，注意等号成立的条件． (2)证明不等式．注意所证不等式的结构特征，寻找柯西不等式的条件，然后证明．【例3】 (1)已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，求证：1≤a ≤2. (2)若x ＋2y ＋3z ＝6，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．证明 (1)由柯西不等式得(2b 2＋3c 2＋6d 2)⎝⎛⎭⎫12＋13＋16≥ (b ＋c ＋d )2，即2b 2＋3c 2＋6d 2≥(b ＋c ＋d )2，由已知可得 2b 2＋3c 2＋6d 2＝5－a 2，b ＋c ＋d ＝3－a ， ∴5－a 2≥(3－a )2，即1≤a ≤2，当且仅当2b 12＝3c 13＝6d16，即2b ＝3c ＝6d 时，等号成立． (2)因为6＝x ＋2y ＋3z ≤x 2＋y 2＋z 2·1＋4＋9，所以x 2＋y 2＋z 2≥187，当且仅当x ＝y 2＝z3，即x ＝37，y ＝67，z ＝97时，x 2＋y 2＋z 2有最小值187.1．设a >b >c >0，则2a 2＋1ab ＋1a (a －b )－10ac ＋25c 2的最小值是( D )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 2a 2＋1ab ＋1a (a －b )－10ac ＋25c 2＝(a －5c )2＋a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝(a －5c )2＋ab ＋1ab ＋a (a －b )＋1a (a －b )≥0＋2＋2＝4，当且仅当a －5c ＝0，ab ＝1，a (a －b )＝1时等号成立，如取a ＝2，b ＝22，c ＝25满足条件．故选D.2．若P ＝x 1＋x ＋y 1＋y ＋z1＋z (x >0，y >0，z >0)，则P 与3的大小关系为__P <3__.解析 ∵1＋x >0,1＋y >0,1＋z >0， ∴x 1＋x ＋y 1＋y ＋z 1＋z <1＋x 1＋x ＋1＋y 1＋y ＋1＋z 1＋z＝3，即P <3. 3．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1a －1·⎝⎛⎭⎫1b －1·⎝⎛⎭⎫1c －1≥8. 证明 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca ，⎝⎛⎭⎫1a －1·⎝⎛⎭⎫1b －1·⎝⎛⎭⎫1c －1＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )abc≥ 2bc ·2ac ·2ababc＝8.4．设a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，求2a ＋2b ＋2c 的最小值．解析 ∵(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫2a ＋2b ＋2c ＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2a 2＋⎝⎛⎭⎫2b 2＋⎝⎛⎭⎫2c 2 ≥⎝⎛⎭⎫a ·2a ＋b ·2b ＋c ·2c 2＝18，当且仅当a ＝b ＝c ＝3时，等号成立． ∴2a ＋2b ＋2c ≥2.∴2a ＋2b ＋2c的最小值为2.易错点混淆恒成立问题、无解问题和有解问题错因分析：转化为最值问题时，弄错大小或忽略等号导致错误．【例1】已知关于x 的不等式||x －1－||x －3＜a ，①恒成立；②无解；③有解；分别求a 的取值范围．解析设g (x )＝||x －1－||x －3，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ＞3，2x －4，1≤x ≤3，－2，x ＜1，则－2≤g (x )≤2，所以①a ∈(2，＋∞)；②a ∈(－∞，－2]；③a ∈(－2，＋∞)．【跟踪训练1】设f (x )＝|ax －1|.(1)若f (x )≤2的解集为[－6,2]，求实数a 的值；(2)当a ＝2时，若存在x ∈R 使得不等式f (2x ＋1)－f (x －1)≤7－3m 成立，求实数m 的取值范围．解析 (1)显然a ≠0，当a >0时，解集为⎣⎡⎦⎤－1a ，3a ，则－1a ＝－6，3a ＝2，无解；当a <0时，解集为⎣⎡⎦⎤3a ，－1a ，令－1a ＝2，3a ＝－6，得a ＝－12.综上所述，a ＝－12.(2)当a ＝2时，令h (x )＝f (2x ＋1)－f (x －1)＝|4x ＋1|－|2x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －4，x ≤－14，6x －2，－14<x <32，2x ＋4，x ≥32.由此可知h (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－14上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－14，32上单调递增，在⎝⎛⎭⎫32，＋∞上单调递增，则当x ＝－14时，h (x )取到最小值－72，由题意，知－72≤7－3m ，则实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，72.课时达标第60讲[解密考纲]不等式的证明以解答题进行考查，主要考查综合法、比较法，还常用基本不等式证明不等式或求最值．1．已知a ，b 都是正数，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 证明 (a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＝(a ＋b )(a －b )2. 因为a ，b 都是正数，所以a ＋b >0.又因为a ≠b ，所以(a －b )2>0.于是(a ＋b )(a －b )2>0，即(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)>0，所以a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 2．已知a ，b ，c 都是正数，求证：a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2a ＋b ＋c ≥abc .证明因为b 2＋c 2≥2bc ，a 2>0，所以a 2(b 2＋c 2)≥2a 2bc ，① 同理，b 2(a 2＋c 2)≥2ab 2c ，② c 2(a 2＋b 2)≥2abc 2，③①②③相加得2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)≥2a 2bc ＋2ab 2c ＋2abc 2，从而a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥abc (a ＋b ＋c )．由a ，b ，c 都是正数，得a ＋b ＋c >0，因此a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2a ＋b ＋c≥abc .3．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，求证：2⎝⎛⎭⎫a ＋b 2－ab ≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c 3－3abc . 证明欲证2⎝⎛⎭⎫a ＋b 2－ab ≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c 3－3abc ，只需证a ＋b －2ab ≤a ＋b ＋c －33abc ，即证c ＋2ab ≥33abc ，∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)， ∴c ＋2ab ＝c ＋ab ＋ab ≥33c ·ab ·ab ＝33abc ， ∴c ＋2ab ≥33abc 成立，故原不等式成立． 4．设a ，b 为正实数，且1a ＋1b ＝2 2.(1)求a 2＋b 2的最小值；(2)若(a －b )2≥4(ab )3，求ab 的值．解析 (1)由22＝1a ＋1b ≥21ab ，得ab ≥12，当a ＝b ＝22时取等号．故a 2＋b 2≥2ab ≥1，当a ＝b ＝22时取等号．所以a 2＋b 2的最小值是1.(2)由(a －b )2≥4(ab )3，得⎝⎛⎭⎫1a －1b 2≥4ab ，即⎝⎛⎭⎫1a ＋1b 2－ 4ab ≥4ab ，从而ab ＋1ab≤2. 又a ，b 为正实数，所以ab ＋1ab ≥2，所以ab ＋1ab ＝2，所以ab ＝1.5．已知函数f (x )＝|x |－|2x －1|，记f (x )>－1的解集为M . (1)求M ；(2)已知a ∈M ，比较a 2－a ＋1与1a的大小．解析 (1)f (x )＝|x |－|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤0，3x －1，0<x <12，－x ＋1，x ≥12.由f (x )>－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x －1>－1或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <12，3x －1>－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，－x ＋1>－1，解得0<x <2，故M ＝{x |0<x <2}． (2)由(1)知0<a <2，因为a 2－a ＋1－1a ＝a 3－a 2＋a －1a ＝(a －1)(a 2＋1)a，当0<a <1时，(a －1)(a 2＋1)a <0，所以a 2－a ＋1<1a ；当a ＝1时，(a －1)(a 2＋1)a ＝0，所以a 2－a ＋1＝1a ；当1<a <2时，(a －1)(a 2＋1)a >0，所以a 2－a ＋1>1a .综上所述，当0<a <1时，a 2－a ＋1<1a ；当a ＝1时，a 2－a ＋1＝1a ；当1<a <2时，a 2－a ＋1>1a.6．已知a ，b ，c >0，a ＋b ＋c ＝1.求证： (1)a ＋b ＋c ≤3； (2)13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≥32. 证明 (1)∵由柯西不等式得(a ＋b ＋c )2＝(1·a ＋1·b ＋1·c )2≤(12＋12＋12)·[(a )2＋(b )2＋(c )2]＝3，当且仅当1a ＝1b ＝1c，即a ＝b ＝c ＝13时，等号成立，∴a ＋b ＋c ≤ 3. (2)∵由柯西不等式得[(3a ＋1)＋(3b ＋1)＋(3c ＋1)]⎝⎛⎭⎫13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≥⎝⎛⎭⎪⎫3a ＋1·13a ＋1＋3b ＋1·13b ＋1＋3c ＋1·13c ＋12＝9(当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号)，又a ＋b ＋c ＝1，∴6⎝⎛⎭⎫13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≥9，∴13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≥32.。

概率论_特征函数

itx

f ( t ) e dF ( x ) e itx dF ( x ) f ( t ).
- itx

9
【系1】 (唯一性定理) 两分布函数恒等的充要条件是它们各自的特征函数恒等。
即：分布函数由其特征函数唯一确定
23
三、性质与定理的应用例1 若X~B(n1 , p)、Y~B( n2 , p)，且X与Y相互独立
性质3：设Y aX b, 这里a, b为常数，则fY (t ) ei bt f X (at ).
29
f ( t ) E (e ) e f ( x )dx
itX itx

这就是密度函数f(x)的傅里叶变换
5
常见分布的特征函数
【单点分布】
f ( t ) pk e
k 1

itxk
e
ita
【二项分布】
f (t ) C p q
k 0 k n k
n
nk
e
itk
C ( p e ) q
k 0 k n it k
n
n k
( pe q)
it
n
【泊松分布】
it k ( e ) itk eit (eit 1) f (t ) e e e e e k! k 0 k ! k 0
6
k
【均匀分布】X~U [a, b]
【注1】 e
itx
cos tx i sin tx （欧拉公式）

3
【注2】 f (t ) cos txdF ( x ) i sin txdF ( x )
【注3】
特征函数的计算中用到复变函数，为此注意：

均值不等式的定义-概述说明以及解释

均值不等式的定义-概述说明以及解释1.引言1.1 概述均值不等式是数学中一个重要的不等式概念，它描述了一组数的平均值与它们的其他性质之间的关系。

均值不等式在数学分析、概率论、统计学以及许多其他领域都有广泛的应用。

本文将对均值不等式的定义、应用和证明进行详细的阐述，以便读者能更好地理解和应用这一重要的数学理论。

通过深入探讨均值不等式的概念和实际意义，我们可以更好地认识到其在数学和现实生活中的重要作用。

1.2 文章结构：本文将分为引言、正文和结论三个部分来进行阐述均值不等式的定义及相关内容。

在引言部分，我们将先介绍均值不等式的概念，然后简要说明文章的结构，最后阐明撰写本文的目的。

接下来，在正文部分，我们将详细讨论均值不等式的概念、应用和证明，以便读者更全面地了解均值不等式的内涵和意义。

最后，在结论部分，我们将总结均值不等式的重要性，强调其在实际中的意义，并展望其未来研究方向，以期为读者提供一个全面而深入的了解。

1.3 目的:本文的主要目的是介绍和阐述均值不等式的定义及重要性。

我们将深入探讨均值不等式的概念和应用，以及对其进行证明的方法。

通过本文的阐述，我们旨在帮助读者更好地理解均值不等式，并认识到其在数学和实际问题中的重要性。

同时，我们也将展望均值不等式在未来的研究方向，以期激发更多学者对其进行深入研究，并在实际问题中发挥更大的作用。

通过对均值不等式的全面探讨，我们希望读者能够对其有一个更全面的了解，从而在数学和实际问题中更好地运用和发展均值不等式的理论。

2.正文2.1 均值不等式的概念均值不等式是数学中一类重要的不等式，通常用于比较一组数的平均值。

对于任意一组非负实数a1, a2, ..., an，均值不等式可以用来比较它们的平均值，从而得出一些重要的数学结论。

常见的均值不等式包括算术平均-几何平均不等式（AM-GM不等式）和柯西-施瓦茨不等式。

这些不等式在数学和实际问题中都有着广泛的应用和重要性。

2021年高考数学真题名师评析(新高考全国1卷带解析)

总之,2021年高考数学全国卷试题很好地落实了立德树人、服务选才、引导教学的高考核心功能,同时突出数学学科特色,发挥了高考数学科的选拔功能,对深化中学数学教学改革发挥了积极的导向作用.
三、考点分布细目表
题号
命题点
模块（题目数）
1
集合的交集
集合（共1题）
2
复数的概念与运算
复数（共1题）
3
圆锥中基本量的计算
所以, ,如图所示,当直线与曲线的图象有两个交点时,当时,直线与曲线的图象有两个交点.故选D.
【命题意图】本题考查集合的交集运算,考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：容易.
【答案】B
【解析】由 ,可得 ,故选B.
【点评】集合是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,位于选择题的前3题的位置上,考查热点一是集合的并集、交集、补集运算,二是集合之间的关系,这种考查方式多年来保持稳定.本题所给两个集合,一个是不等式的解集,但无需化简,一个是离散的数集,足见命题者有意降低试题难度,突出对交集概念的考查,该题难度与往年老教材全国卷 , 的文科集合试题难度相当.
③正棱台的侧面展开图是由一些全等的等腰梯形拼成的,底面是正多边形．
(3)旋转体的展开图
①圆柱的侧面展开图是矩形,矩形的长(或宽)是底面圆周长,宽(或长)是圆柱的母线长；
②圆锥的侧面展开图是扇形,扇形的半径长是圆锥的母线长,弧长是圆锥的底面周长；
③圆台的侧面展开图是扇环,扇环的上、下弧长分别为圆台的上、下底面周长．
故选A.
解法三：在区间上单调递增,则时恒成立.
对于A,当时 , 恒成立,A满足条件；
对于B,当时,由 ,可得B不满足条件；
对于C,当时,由 ,可得C不满足条件；

全国高中数学竞赛专题：不等式

全国高中数学竞赛专题-不等式证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质，不等式的性质分类罗列如下：不等式的性质：.0,0<-⇔<>-⇔≥b a b a b a b a 这是不等式的定义，也是比较法的依据. 对一个不等式进行变形的性质：（1）a b b a <⇔>（对称性）（2）c b c a b a +>+⇔>（加法保序性）（3）.0,;0,bc ac c b a bc ac c b a <⇒<>>⇒>>（4）*).(,0N n b a b a b a nn nn ∈>>⇒>>对两个以上不等式进行运算的性质.（1）c a c b b a >⇒>>,（传递性）.这是放缩法的依据. （2）.,d b c a d c b a +>+⇒>> （3）.,d b c a d c b a ->-⇒<> （4）.,,0,0bc ad dbc a cd b a >>⇒>>>> 含绝对值不等式的性质：（1）.)0(||22a x a a x a a x ≤≤-⇔≤⇔>≤ （2）.)0(||22a x a x a x a a x -≤≥⇔≥⇔>≥或（3）||||||||||||b a b a b a +≤±≤-（三角不等式）. （4）.||||||||2121n n a a a a a a +++≤+++证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法.因此，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。

应用多元统计分析讲稿朱建平

第一章多元分析概述第一节引言多元统计分析是运用数理统计方法来研究解决多指标问题的理论和方法。

近30年来，随着计算机应用技术的发展和科研生产的迫切需要，多元统计分析技术被广泛地应用于地质、气象、水文、医学、工业、农业和经济等许多领域，已经成为解决实际问题的有效方法。

然而，随着Internet的日益普及，各行各业都开始采用计算机及相应的信息技术进行管理和决策，这使得各企事业单位生成、收集、存储和处理数据的能力大大提高，数据量与日俱增，大量复杂信息层出不穷。

在信息爆炸的今天，人们已经意识到数据最值钱的时代已经到来。

显然，大量信息在给人们带来方便的同时也带来一系列问题。

比如：信息量过大，超过了人们掌握、消化的能力；一些信息真伪难辩，从而给信息的正确应用带来困难；信息组织形式的不一致性导致难以对信息进行有效统一处理等等，这种变化使传统的数据库技术和数据处理手段已经不能满足要求.Internet的迅猛发展也使得网络上的各种资源信息异常丰富，在其中进行信息的查找真如大海捞针。

这样又给多元统计分析理论的发展和方法的应用提出了新的挑战。

多元统计分析起源于上世纪初，1928年Wishart发表论文《多元正态总体样本协差阵的精确分布》，可以说是多元分析的开端。

20世纪30年代R.A. Fisher 、H.Hotelling、S.N.Roy、许宝騄等人作了一系列得奠基性工作，使多元分析在理论上得到了迅速得发展。

20世纪40年代在心理、教育、生物等方面有不少得应用，但由于计算量大，使其发展受到影响，甚至停滞了相当长得时间。

20世纪50年代中期，随着电子计算机得出现和发展，使多元分析方法在地质、气象、医学、社会学等方面得到广泛得应用。

20世纪60年代通过应用和实践又完善和发展了理论，由于新的理论、新的方法不断涌现又促使它的应用范围更加扩大。

20世纪70年代初期在我国才受到各个领域的极大关注，并在多元统计分析的理论研究和应用上也取得了很多显著成绩，有些研究工作已达到国际水平，并已形成一支科技队伍，活跃在各条战线上。

运筹学智慧树知到期末考试章节课后题库2024年北京理工大学

运筹学智慧树知到期末考试答案章节题库2024年北京理工大学1.对偶问题的对偶一定是原问题。

（）答案:对2.线性规划模型无解的原因是约束条件方程组无可行解。

（）答案:错3.线性规划问题的基本可行解一定是最优解。

（）答案:错4.图中有相同端点的边称为平行边。

（）答案:错5.同一个图可以有很多生成树。

（）答案:对6.当线性规划问题有可行解时，不一定有基本可行解。

（）答案:错7.对偶单纯形法计算过程中，每次迭代的基本解都满足最优检验，可以断定此基本解一定为最优解。

（）答案:错8.运输问题的解可能会有唯一解、多重解、无界解、不可行解。

（）答案:错9.线性规划模型中所谓的自由变量可以是决策变量、松弛变量、多余变量、人工变量的任意一种变量。

（）答案:错10.生成树和最小生成树都是针对网络图来界定的，而且寻找生成树和寻找最小生成树的过程是相同的。

（）答案:错11.运输问题的求解结果可能出现下列4种情况之一:唯一解;多重解;无界解;可行解。

（）答案:错12.只要顾客的到达时间是随机的，就可以认为是排队系统。

（）答案:错13.将统筹图非关键工序的工序时间缩短，不会使整个工期提前，所以对非关键工序的工序时间缩短没有意义。

（）答案:错14.非标准指派问题不是线性规划问题。

（）答案:错15.整数规划模型求解的分枝定界法会用到_____或_____。

（）答案:对偶单纯形法###单纯形法16.答案:有可行解###无最优解17.在构造网络图的增流网络时，只需要构造一条边的是_____。

（）答案:饱和边###零边18.针对网络图 G构建增流网络Gf，如果Gf中存在5条从起点到终点的路，那么网络G中_____5条增流链。

（）答案:一定有###只能有19.2如果线性规划模型出现无解，那么约束条件方程组_____。

（）答案:可能有可行解###可能无可行解20.用表上作业法对运输问题求解时，确定的换入变量一定是___，换出变量一定是___。

特征函数

一个例子
具有尺度参数 θ 和形状参数 k 的伽玛分布的特征函数为：
。现在假设我们有：
且其中 X 和 Y 相互独立，我们想要知道 X + Y 的分布是什么。X 和 Y 特征函数分别为：
根据独立性和特征函数的基本性质，可得：。
这就是尺度参数为 θ、形状参数为 k1 + k2的伽玛分布的特征函数，因此我们得出结论：，
相关概念
相关概念有矩母函数和概率母函数。特征函数对于所有概率分布都存在，但矩母函数不是这样。
特征函数与傅里叶变换有密切的关系：一个概率密度函数换的共轭复数（按照通常的惯例）。
的特征函数是
的连续傅里叶变
其中表示概率密度函数：
的连续傅里叶变换。类似地，从可以通过傅里叶逆变换求出
。确实，即使当随机变量没有密度时，特征函数仍然可以视为对应于该随机变量的测度的傅里叶变换。
期望值。另外，注意到个独立的观测的样本平均值具有特征函数，利用前一节的结果。这就是标准柯西分布的特征函数；因此，样本平均值与总体本身具有相同的分布。特征函数的对数是一个累积量母函数，它对于求出累积量是十分有用的；注意有时定义累积量母函数为矩母函数的对数，而把特征函数的对数称为第二累积量母函数。
这个结果可以推广到 n 个独立、具有相同尺度参数的伽玛随机变量：
。
多元特征函数
如果是一个多元随机变量，那么它的特征函数定义为：。
这里的点表示向量的点积，而向量位于的对偶空间内。用更加常见的矩阵表示法，就是：。
例子
如果
是一个平均值为零的多元高斯随机变量，那么：
其中表示正定矩阵 Σ 的行列式。
参考文献
^ P. Levy, Calcul des probabilités, Gauthier-Villars, Paris, 1925. p. 166 ▪ Lukacs E. (1970) Characteristic Functions. Griffin, London. pp. 350 ▪ Bisgaard, T. M., Sasvári, Z. (2000) Characteristic Functions and Moment Sequences, Nova Science

Riemann几何和黎曼曲面的应用

B
C
测地完备性
若流形上的任意两点都可以通过测地线连接，则称该流形是测地完备的。
测地线的存在性与唯一性
在给定初始条件和边界条件的情况下，测地线存在且唯一。
D
02 黎曼曲面基本理论
黎曼曲面定义与分类
定义
黎曼曲面是一种具有复结构的二维流形，即局部上同胚于复平面中的开集，并且满足一定的拓扑和几何条件。
黑洞理论中的奇点、事件视界等概念在Riemann几何中有严格的数学定义和描述。
近年来，基于Riemann几何的黑洞理论研究取得了重要进展，如黑洞热力学、黑洞信息悖论等方面的研究揭示了黑洞与量子物理之间的深刻联系。
04 黎曼曲面在复分析中应用
亚纯函数论基础知识点回顾
亚纯函数的定义和性质
亚纯函数是在其定义域内除去孤立奇点外处处解析的函数。它具有许多与解析函数类似的性质，如可微性、可积性等。
曲率张量
曲率张量是描述流形弯曲程度的一个重要几何量。在Riemann几何中，曲率张量可以通过联络来计算，它反映了流形在不同方向上的弯曲程度。
测地线及其性质
A
测地线定义
测地线是Riemann流形上的一类特殊曲线，它满足测地方程。在局部上，测地线是长度最短的曲线。
局部最短性
在足够小的邻域内，测地线是连接两点的最短曲线。
Riemann几何与计算机科学
随着计算机图形学、计算几何等学科的飞速发展，Riemann几何在计算机科学中的应用前景广阔，如曲面建模、形状分析、计算机视觉等领域。
对相关领域影响和意义评估
01
对数学领域的影响
02
对物理学领域的影响
03
对其他领域的影响
Riemann几何和黎曼曲面的研究推动了微分几何、复分析、代数几何等数学分支的发展，为现代数学提供了丰富的理论和方法。

【精品】专题7从古典概率论到现代概率论

拉普拉斯建立的古典概率理论的逻辑基础十分脆弱，对于事件的概率定义及运算都要用到“等可能性”概念，而在一个具体问题上还需要考察有多少等可能的情形。贝特朗悖论的出现表明了直观的、经验性的概率概念的本质缺陷，对建立概率论的严密逻辑基础提出了要求。
四、概率论的公理化～～现代概率时期（20世纪）
泊松 (Poisson，1781——1840)
《关于刑事案件和民事案件审判概率的研究》 (1837) 引入泊松分布推广大数定律

彼得堡学派（切比雪夫、马尔科夫、李雅普诺夫）

切比雪夫 (Tschebyscheff ，18211894）：在一系列研究中切比雪夫首先引入并提倡使用的随机变量概念，后来成为概率论与数理统计中最重要的概念。建立了切比雪夫不等式，证明了泊松形式大数定律，建立了有关独立随机变量序列的大数定律并对随机变量和收敛到正态分布的条件，即中心极限定理进行讨论。
惠更斯 (C.Huygens ，1629～1695，荷兰)
—— 第一篇关于概率论的正式论文数学期望：如果 p表示一个人获得一定金额 s的概率，则 sp 称为他的数学期望。
《论赌博中的推理》(1657)
雅各· 伯努利（Jacob Bernoulli ， 1654～1705，瑞士）
《猜度术》（出版于1713年）——“把概率论建立在稳固数学基础上的首次认真的尝试” ： ①关于惠更斯《论赌博中的推理》的一个精彩评注 ②对排列组合理论的深入研究 ③将排列组合理论运用于概率论 ④概率论在法律和经济等问题上的应用 ⑤伯努利大数定律 (大数定律的最早形式)，这是占据《猜度术》全书中心位置的结果，被称为“主命题”，是概率论中的第一个极限定理。雅各· 伯努利考虑的是最简单的情形，即在整个试验序列中，某个给定事件出现的概率始终保持为常数

精算师考试指南

②整数规划中国精算师资格考试
③动态规划中国精算师资格考试
多阶段决策问题动态规划的基本问题和基本方程动态规划的基本定理离散确定性动态规划模型的求解离散随机性动态规划模型的求解中国精算师资格考试
5、参考书：中国精算师资格考试
①《高等数学讲义》（第二篇数学分析）樊映川编著高等教育出版社中国精算师资格考试
5、参考书：中国精算师资格考试
①《概率论第一册》复旦大学编人民教育出版社 1979年4月第1版中国精算师资格考试
②《概率论第二册》（第一、二分册）复旦大学编人民教育出版社 1979年8月第1版中国精算师资格考试
③《概率论与数理统计》陈希孺编著中国科学技术大学出版社 2000年3月第1版中国精算师资格考试
④《应用线性回归》（美）S.Weisberg著王静龙、梁小筠等译中国统计出版社 1998年3月第1版中国精算师资格考试
除以上参考书外，也可参看其他同等水平的参考书。中国精算师资格考试
（三）科目名称：复利数学中国精算师资格考试
1、科目代码：03中国精算师资格考试
2、考试时间：2小时中国精算师资格考试
（七）科目名称：寿险精算实务中国精算师资格考试
1、科目代码：07中国精算师资格考试
2、考试时间：3小时中国精算师资格考试
3、考试形式：选择题和问答题中国精算师资格考试
4、考试内容：寿险精算实务中国精算师资格考试
5、参考书：《寿险精算实务》（中国精算师资格考试用书）李秀芳编著南开大学出版社 2000年9月第1版中国精算师资格考试
2、考试时间：3小时中国精算师资格考试
3、考试形式：标准化试题中国精算师资格考试

数学分析(第三册)目录

数学分析讲义目录第一册第1章集合与映射1.1 集合1.2 集合运算及几个逻辑符号1.3 映射1.4 映射的乘积(或复合)1.5 可数集1.6 习题1.7 补充教材一：关于自然数集合N1.8 补充教材二：基数的比较1.9 补充习题进一步阅读的参考文献第2章实数与复数2.1 实数的四则运算2.2 实数的大小次序2.3 实数域的完备性2.4 复数2.5 习题2.6 补充教材一：整数环z与有理数域Q的构筑2.7 补充教材二：实数域R的构筑进一步阅读的参考文献第3章极限3.1 序列的极限3.2 序列极限的存在条件3.3 级数3.4 正项级数收敛性的判别法3.5 幂级数3.6 函数的极限3.7 习题进一步阅读的参考文献第4章连续函数类和其他函数类4.1 连续函数的定义及其局部性质4.2 (有界)闭区间上连续函数的整体性质4.3 单调连续函数及其反函数4.4 函数列的一致收敛性4.5 习题4.6 补充教材：半连续函数及阶梯函数进一步阅读的参考文献第5章一元微分学5.1 导数和微分5.2 导数与微分的运算规则5.3 可微函数的整体性质及其应用5.4 高阶导数，高阶微分及Taylor公式5.5 Taylor级数5.6 凸函数5.7 几个常用的不等式5.8 习题5.9 补充教材一：关于可微函数的整体性质5.10 补充教材二：一维线性振动的数学表述5.10.1 谐振子5.10.2 阻尼振动5.10.3 强迫振动进一步阅读的参考文献第6章一元函数的Riemann积分6.1 Riemann积分的定义6.2 Riemann积分的简单性质6.3 微积分学基本定理6.4 积分的计算6.5 有理函数的积分6.6 可以化为有理函数积分的积分6.6.1 R(x,根号(αx+β)/(γx+δ))的积分6.6.2 R(x,根号ax2+bx+c)的积分6.6.3 R(sinx,cosx)的积分6.7 反常积分6.8 积分在几何学，力学与物理学中的应用6.8.1 定向区间的可加函数6.8.2 曲线的弧长6.8.3 功6.9 习题6.10 补充教材一：关于Newton—Leibniz公式成立的条件6.11 补充教材二：Stieltje8积分6.12 补充教材三：单摆的平面运动和椭圆函数6.12.1 一维的非线性振动的例：单摆的平面运动6.12.2 描述单摆平面运动的椭圆函数6.13 补充教材四：上、下积分的定义进一步阅读的参考文献参考文献名词索引第二册第7章点集拓扑初步7.1 拓扑空间7.2 连续映射7.3 度量空间7.4 拓扑子空间，拓扑空间的积和拓扑空间的商7.5 完备度量空间7.6 紧空间7.7 Stone-Weierstrass逼近定理7.8 连通空间7.9 习题7.10 补充教材：Urysohn引理进一步阅读的参考文献第8章多元微分学8.1 微分和导数8.2 中值定理8.3 方向导数和偏导数8.4 高阶偏导数与T aylor公式8.5 反函数定理与隐函数定理8.6 单位分解8.7 一次微分形式与线积分8.7.1 一次微分形式与它的回拉8.7.2 一次微分形式的线积分8.8 习题8.9 补充教材一：线性赋范空间上的微分学及变分法初步8.9.1 线性赋范空间上的重线性映射8.9.2 连续重线性映射空间8.9.3 映射的微分8.9.4 有限增量定理8.9.5 映射的偏导数8.9.6 高阶导数8.9.7 Taylor公式8.9.8 变分法初步8.9.9 无限维空间的隐函数定理8.10 补充教材二：经典力学中的Hamilton原理8.10.1 Lagrange方程组和最小作用量原理8.10.2 Hamilton方程组和Hamiltom原理进一步阅读的参考文献第9章测度9.1 可加集函数9.2 集函数的可数可加性9.3 外测度9.4 构造测度9.5 度量外测度9.6 Lebesgue不可测集的存在性9.7 习题进一步阅读的参考文献第10章积分10.1 可测函数10.2 积分的定义及其初等性质10.3 积分号与极限号的交换10.4 Lebesgue积分与Riemann积分的比较10.5 Futfini-ronelli定理10.6 Jacobi矩阵与换元公式10.7 Lebesgue函数空间10.7.1 LP空间的定义10.7.2 LP空间的完备性10.7.3 Hanner不等式10.7.4 LP的对偶空间10.7.5 Radon-Nikodym定理10.7.6 Hilbert空间10.7.7 关于微积分学基本定理10.8 二次微分形式的面积分10.8.1 一次微分形式的外微分10.8.2 二次微分形式和平面的定向10.8.3 二次微分形式的回拉和积分10.8.4 三维空间的二次微分形式10.8.5 平面上的Green公式10.9 习题进一步阅读的参考文献参考文献名词索引第三册第11章调和分析初步和相关课题11.1 Fourier级数11.2 Fourier变换的L1-理论11.3 Hermite函数11.4 Fourier变换的L2-理论11.5 习题11.6 补充教材一：局部紧度量空间上的积分理论11.6.1 C0(M)上的正线性泛函11.6.2 可积列空间L111.6.3 局部紧度量空间上的外测度11.6.4 列空间L1中的元素的实现11.6.5 l-可积集11.6.6 积分与正线性泛函的关系11.6.7 Radon泛函与Jordan分解定理11.6.8 Riesz-Kakutani表示定理11.6.9 概率分布的特征函数11.7 补充教材二：广义函数的初步介绍11.7.1 广义函数的定义和例11.7.2 广义函数的运算11.7.3 广义函数的局部性质11.7.4 广义函数的Fourier变换11.7.5 广义函数在偏微分方程理论上的应用11.8 补充习题进一步阅读的参考文献第12章复分析初步12.1 两个微分算子和两个复值的一次微分形式12.2 全纯函数12.3 留数与Cauchy积分公式12.4 Taylor公式和奇点的性质12.5 多值映射和用回路积分计算定积分12.6 复平面上的Taylor级数和Laurent级数12.7 全纯函数与二元调和函数12.8 复平面上的Г函数12.9 习题进一步阅读的参考文献第13章欧氏空间中的微分流形13.1 欧氏空间中微分流形的定义13.2 构筑流形的两个方法13.3 切空间13.4 定向13.5 约束条件下的极值问题13.6 习题进一步阅读的参考文献第14章重线性代数14.1 向量与张量14.2 交替张量14.3 外积14.4 坐标变换14.5 习题进一步阅读的参考文献第15章微分形式15.1 Rn上的张量场与微分形式15.2 外微分算子15.3 外微分算子与经典场论中的三个微分算子15.4 回拉15.5 Poincare引理15.6 流形上的张量场15.7 Rn的开集上微分形式的积分15.8 习题进一步阅读的参考文献第16章欧氏空间中的流形上的积分16.1 流形的可定向与微分形式16.2 流形上微分形式的积分16.3 流形上函数的积分16.4 Gauss散度定理及它的应用16.5 调和函数16.6 习题16.7 补充教材一：Maxwell电磁理论初步介绍16.8 补充教材二：Hodge星算子16.9 补充教材三：Maxwell电磁理论的微分形式表示进一步阅读的参考文献结束语进一步阅读的参考文献参考文献关于以上所列参考文献的说明名词索引。

郭友中-李国平院士对数学和数理科学的贡献

李国平院士对数学、数理科学和系统科学的贡献郭友中(中国科学院数学计算技术研究所，武汉430071)—纪念李国平院士诞辰100周年—摘要缅怀著名数学和数理科学家，我国函数论、数学物理和系统工程奠基人之一，纪念他的百岁诞生，回顾他在数学和数理科学的若干重要领域的开创性和奠基性工作,包括半(亚)纯函数与整函数理论、准解析函数与函数逼近理论、微分方程解析理论与Minkowski-Denjoy函数理论、广义Reimann几何与混合量分析学、微分差分方程与算子函数论、纤维丛积分与相对性量子场论、电磁风暴说与数理地震学、外微分形式与场论、各向异性能带理论与统计岩体力学、数学模型与自动控制、学科规划与人才培养等方面的巨大贡献，诗词书画与音乐艺术等方面的天赋与造诣；缅怀他严谨的治学态度和一贯的创新精神。

关键词李国平、数学、数理科学、系统科学、贡献引言李国平（1910-1996），幼名海、海清，字慕陶，1910年11月15日（庚戍年10月14日）出生于广东省丰顺黄花村；1996年2月8日（丙子年12月20日）于武汉逝世, 享寿86岁。

1933年，毕业于中山大学数学天文系；1934年至1936年在东京帝国大学数学研究所作竹内端三教授指导下读研究生；1937年任中华教育文化基金会研究员，远赴法国巴黎大学Poincare研究所工作。

1939年抗日军兴，民族危亡，他毅然回国。

历任四川大学数学系教授(1939-1940)，武汉大学数学系教授(1940-1996)、系主任、副校长、校务委员会副主任、数学研究所所长，中国科学院数学计算技术研究所（709研究所）、中国科学院武汉数学物理研究所所长，国家科委中南计算中心主任，湖北省科协副主席、顾问，国家科委数学学科组成员，中国数学会理事，中国系统工程学会副理事长兼学术委员会主任，中国数学会名誉理事，湖北省暨武汉市数学会名誉理事长，中国科学院武汉数学物理研究所名誉所长，《数学物理学报》主编，《数学年刊》副主编，《数学杂志》及《系统工程与决策》名誉主编。

加权L^(P)空间的稠密

1)的原子分解，指出S0 (|")在)"(|")中稠密，这个
结果的详细证明可见文献［13］第7章中的定理1 &
S0 (|")在不加权Hardy空间的稠密性最初是由
文献［14］建立的，相关研究还可见文献［15-16］。进一步，应用离散的Littlewood-Paley理论可以证明
"1 + "2
S0 (| )在多参数不加权Hardy空间也是稠密的,
*
*
•92 -
南通大学学报(自然科学版)
2021 年
引理3设1 ! p " # #若!"化($则 s(|")#&!($")，从而 s(|")在 ($")中稠密 #
证明：记'(0,1)为以原点为圆心、半径为1的球#任取/"S(|"),
$/()) r!())&)=
J'(0，1)
r!())&)+ $ 」/())『(3)
I 8 I ("，- *f) ()8 ) ()-)8 ),
j"Z 8"!；
对任意正整数9,
'9 = {(4,8)：也！9,8"!，8#'(0,9)},
令
丁卫：加权+空间的稠密
・93・
" fN(#)二"I & I为(#&(# -#&),
! ! 显然f" )" (# )，从而f" + (# )，且在)"(# "中，
E -人(#" $
严心傀 $(# - #&"

杨乐：他的名字被载入世界数学史册

文史春秋●邵红能曾经被华罗庚、陈省身亲切地称为“师弟”，少年时就立志使自己名字成为某一数学定理的命名，他，就是数学圈内家喻户晓的人物——杨乐。

早在20世纪70年代，杨乐就在函数论领域取得了国际领先、与陈景润的工作一起被美国数学代表团认为是当时中国两项最主要、国际一流的数学成就。

杨乐（1939—2023），江苏南通人，著名数学家，中国科学院院士、中国科学院数学与系统科学研究院首任院长、数学所研究员及博士生导师，其主要研究领域为复分析。

他在“整函数、亚纯函数的值分布理论”上有着突出的贡献，特别在函数模分布论、辐角分布论、正规族等方面取得的一系列研究成果，被国内外同行、学者广泛引用。

凭借突出的学术成果，杨乐曾获全国科学大会奖、国家自然科学奖、国家科技进步奖、华罗庚数学奖、陈嘉庚数理科学奖、何梁何利奖等众多大奖。

刻苦努力研究函数论一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一杨乐从小勤奋好学、刻苦努力。

1950年，他考入江苏省南通中学。

初二时，杨乐对代数和几何产生了浓厚的兴趣；初三时，他立志要考上北京大学并准备一生从事数学研究。

中学6年，2000余天，杨乐几乎每天都会完成一二十道题目，此外，还阅读了大量课外参考书籍，尝试解决经典难题。

杨乐1956年考入北京大学；1962年考取中国科学院研究生，师从著名数学家熊庆来。

熊庆来是中国现代数学的先驱，带过许多优秀的学生，比如钱三强、华罗庚、严济慈、赵九章等。

20世纪60年代，70多岁的熊庆来抱病指导杨乐和张广厚从事函数值分布研究。

在熊庆来的指导下，读研的头3个月，杨乐就完成论文《亚纯函数及函数组合的重值》，后发表在《数学学报》上。

1966年，杨乐从事数学研究工作。

同年5月，因中国科学院数学所的研究工作完全中断，杨乐虽已完成博士论文，却未能正常毕业。

在此后四五年的时间里，杨乐没有机会再碰数学书本，只能抽象地思考一些数学问题。

数学定理列表

数学定理列表数学定理列表（按字母顺序排列）A阿贝尔-鲁菲尼定理阿贝尔—鲁菲尼定理指出，五次及更高次的代数方程没有一般的代数解法，即这样的方程不能由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根。

阿蒂亚-辛格指标定理阿蒂亚-辛格指标定理断言：对于紧流形上的椭圆偏微分算子，其解析指标（与解空间的维度相关）等于拓扑指标（决定于曲面的拓扑性状）。

它涵摄了微分几何中许多大定理，在理论物理学中亦有应用。

阿贝尔定理设为一幂级数，其收敛半径为R。

若对收敛圆（模长为R 的复数的集合）上的某个复数z0，级数收敛，则有: 。

若收敛，则结果显然成立，无须引用这定理。

安达尔定理（阿姆达尔定律）是固定负载（计算总量不变时）时的量化标准。

可用公式：来表示。

式中Ws,Wp分别表示问题规模的串行分量（问题中不能并行化的那一部分）和并行分量，p表示处理器数量。

阿贝尔二项式定理。

阿贝尔曲线定理艾森斯坦定理奥尔定理阿基米德中点定理阿基米德中点定理说明：圆上有两点A,B，M为弧AB的中点，随意选圆上的一点C，D为AC上的点使得MD垂直AC。

若M、C在弦AB异侧，则AD=DC+BC；若M、C在弦AB同侧，则AD=DC-CB阿基米德原理指对于任何正实数a、b，如果a < b，则存在自然数n，有。

阿基米德公理亦可表述为如下的现代记法：对于任何实数x，存在自然数n有n > x。

在体论中，这叙述称为阿基米德公理。

在现代实分析中，这不是一个公理。

它退却为实数具完备性的结果。

基于这理由，常以实数的阿基米德性质的叫法取而代之。

埃尔布朗定理在谓词演算中，一个公式是前束范式的，如果它可以被写为量词在前，随后是被称为矩阵的非量化部分的字符串。

所有一阶公式都逻辑等价于某个前束范式公式。

可以用公式在如下重写规则下的逻辑等价来证实：它们的存在对偶：这里的x 在Q 中是自由的，并注意通过这些规则的持续应用所有量词都可以移动到公式的前面。

阿达马三圆定理在复分析中，阿达马三圆定理是一个关于全纯函数性质的结论。

蒙特卡洛方法在中子输运中的应用

蒙特卡洛方法在中子输运中的应用《中子输运理论与数值方法》课程作业——蒙特卡洛方法目录1.前言 (4)2. 蒙特卡洛方法概述 (4)2.1 蒙特卡洛方法的基本思想 (5)2.2 蒙特卡洛方法的收敛性、误差 (5)2.2.1 蒙特卡洛方法的收敛性 (5)2.2.2 蒙特卡洛方法的误差 (6)2.3 蒙特卡洛方法的特点 (7)2.4 蒙特卡洛方法的主要应用范围 (8)3. 随机数 (9)3.1 线性乘同余方法 (10)3.2 伪随机数序列的均匀性和独立性 (10)3.2.1 伪随机数的均匀性 (10)3.2.2 伪随机数的独立性 (11)4. 蒙特卡洛方法在粒子输运上的应用 (11)4.1 屏蔽问题模型 (11)4.2 直接模拟方法 (12)4.2.1 状态参数与状态序列 (12)4.2.2 模拟运动过程 (13)4.2.3 记录结果 (16)4.3 蒙特卡洛方法的效率 (17)5. 蒙特卡洛方法应用程序—MCNP (18)5.1 MCNP简述 (18)5.2 MCNP误差的估计 (19)5.3 MCNP效率因素 (20)6. 结论 (20)参考文献 (21)1.前言半个多世纪以来，由于科学技术的发展和电子计算机的发明，蒙特卡洛(Monte Carlo)方法作为一种独立的方法被提出来，并首先在核武器的试验与研制中得到了应用。

蒙特卡洛方法是一种计算方法，但与一般数值计算方法有很大区别。

它是以概率统计理论为基础的一种方法。

由于蒙特卡洛方法能够比较逼真地描述事物的特点及物理实验过程，解决一些数值方法难以解决的问题，因而该方法的应用领域日趋广泛。

蒙特卡洛模拟计算是解决中子在介质中输运较为成熟、有效的方法，对于原子能、辐射防护、剂量学和辐射生物物理学等研究领域实际问题的计算，都可以利用蒙特卡洛方法予以实现。

粒子输运过程可以用玻耳兹曼方程加以描述，然而，以此基础上发展起来的近似数值方法如扩散近似法、离散坐标方法在处理截面与能量相关以及散射各向异性介质、复杂几何条件问题时碰到了较大困难。